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LOIC JOUAN DE KERVENOAEL
VALIDATION DES MESURES PAR VÉLOCIMÉTRIE PAR IMAGE DE PARTICULES DANS UNE
CONDUITE DE SECTION RECTANGULAIRE
Thèse présentée à la Faculté des études supérieures de l’Université Laval
dans le cadre du programme de maîtrise en génie mécanique pour l’obtention du grade de Maître ès Sciences (MSc)
FACULTÉ DES SCIENCES ET DE GÉNIE UNIVERSITÉ LAVAL
QUÉBEC
2009 ©Loïc Jouan de Kervénoaël, 2009
Résumé
L’objectif de cette étude est de valider les mesures prises avec le système de Vélocimétrie
par Images de Particules (PIV). Dans ce but, l’écoulement dans une conduite à section
rectangulaire est ici étudié. Les résultats de Hussain et Reynolds (1975) et de Moser et al
(1999) servent d’éléments de comparaison. Des mesures 2D de la totalité de la hauteur de la
conduite furent faites avec le système PIV. Les nombres de Reynolds choisis pour ces
mesures sont de 32300 et 42600. Les résultats montrent que l’écoulement observé ne
semble pas pleinement développé.
Par ailleurs, deux modes d’interrogation d’images sont testés, ainsi qu’une validation
locale. Le mode d’interrogation qui donne les meilleurs résultats est la corrélation avec
décalage des zones d’interrogation. Cependant, les deux modes d’interrogation, pâtissent de
l’effet de « peak-locking ». Les structures turbulentes de petite échelle ne sont pas
observées dans cette étude.
Remerciements
Je tiens à remercier toutes les personnes qui, de près ou de loin, m’ont soutenu et aidé tout
au long de cette étude. Je remercie tout particulièrement Mme Claire Deschênes mon
directeur de recherche, M. Yvan Maciel mon co-directeur, dont les conseils et l’aide me
furent précieux. Je remercie aussi Richard Fraser pour sa disponibilité et sa bonne humeur.
Je remercie Antoine Vénisse pour sa cérémonie de transmission du « know-how » et dont
les conseils me furent plus qu’utiles. Je remercie Karl-Stéphane Rossignol pour son travail
sur la validation locale et avec qui la cohabitation fut toujours agréable. Je remercie toute
l’équipe du LMFN qui m’hébergea pendant mes longues journées d’analyse. Je remercie
toute l’équipe de l’atelier de Génie Mécanique pour leurs interventions sur le canal. Je
remercie Dominique Poulain, Hélène Fafard et Sylvie Brodeur pour leur aide, leur accueil
et leur sourire. Je remercie spécialement Corina Oancea avec qui j’ai pris plaisir à travailler
et à discuter. Je remercie M. Aït-Kadi qui a toujours un sourire à offrir.
De plus, je tiens à remercier chaleureusement Augustin, Marie, Simon, Gabriel, Guillaum,
Malaïka et Aurélie pour leur accueil et pour toutes ces petites choses quotidiennes qui font
que l’on se sent bien. Je remercie de tout mon cœur Myriam ma complice et mon amour. Je
remercie aussi Antoine, Geneviève Saint-Laurent, Geneviève Toussaint, Guillaume,
Stéphane, Philippe, Marc, Xavier, François, Kevin, Fred, Marianne, Sonia, Miguel, Isham,
Amine, Juan, Babar, Picier, Mariol, Katherine, Nizar, Cat, Thomas, Federico, Martin, Isa,
Geneviève et Jean-Philippe pour les nombreux moments que l’on a passés ensemble et sans
qui la vie aurait été bien insipide.
Je remercie enfin deux personnes sans qui rien de tout ça ne me serait jamais arrivé : Jean
Pasco et Daniel Rousse, merci de votre confiance et de votre compréhension.
Table des matières
CHAPITRE 1. INTRODUCTION ........................................................................................................... 1
1.1. SITUATION DE L’ÉTUDE .................................................................................................................... 1 1.2. OBJECTIFS ........................................................................................................................................ 2 1.3. LA VÉLOCIMÉTRIE PAR IMAGE DE PARTICULES (PIV)...................................................................... 3
1.3.1. Principe général.......................................................................................................................... 3 1.3.2. Historique ................................................................................................................................... 3 1.3.3. Perspectives ................................................................................................................................ 7
1.4. RAPPELS THÉORIQUES ...................................................................................................................... 7 1.4.1. Écoulement de Poiseuille plan.................................................................................................... 8 1.4.2. Variables de paroi....................................................................................................................... 9
CHAPITRE 2. DESCRIPTION DU MONTAGE EXPÉRIMENTAL ............................................... 11
2.1. VUE D’ENSEMBLE DU MONTAGE EXPÉRIMENTAL............................................................................ 11 2.2. LA CONDUITE D’ACRYLIQUE........................................................................................................... 12 2.3. LE CONVERGENT ............................................................................................................................ 15 2.4. LES TUYAUX................................................................................................................................... 16 2.5. LES POMPES.................................................................................................................................... 16
2.5.1. Pompe de remplissage .............................................................................................................. 16 2.5.2. Pompe principale et moteur...................................................................................................... 17
2.6. L’INSTRUMENTATION ..................................................................................................................... 17 2.6.1. Mesures de la température........................................................................................................ 17 2.6.2. Mesure du débit......................................................................................................................... 17 2.6.3. Mesure de la vitesse de référence Uc ........................................................................................ 17 2.6.4. Le système de Vélocimétrie par Image de Particules................................................................ 18 2.6.5. Logiciels de post-traitement...................................................................................................... 20
CHAPITRE 3. DESCRIPTION DE LA PROCÉDURE OPÉRATOIRE .......................................... 21
3.1. ENSEMENCEMENT........................................................................................................................... 21 3.2. AJUSTEMENT DU DÉBIT................................................................................................................... 21 3.3. MESURES AVEC L’OBJECTIF DE 60 MM............................................................................................ 22
3.3.1. Mise en place des instruments de mesure ................................................................................. 23 3.3.1.1. Positionnement du plan laser ..........................................................................................................23 3.3.1.2. Mise en place de la caméra .............................................................................................................23 3.3.1.3. Étalonnage de l’image.....................................................................................................................25 3.3.1.4. Choix de la puissance du laser et de l’ouverture de l’objectif .........................................................26 3.3.1.5. Ajustement de l’ensemencement et de l’intervalle de temps séparant les deux flashs laser............26 3.3.1.6. Lancement de l’acquisition .............................................................................................................27
3.4. MESURES AVEC L’OBJECTIF DE 105 MM.......................................................................................... 27 3.4.1. Mise en place des instruments de mesures................................................................................ 28
3.4.1.1. Positionnement de la cible, de la caméra et étalonnage de l’image.................................................28 3.4.1.2. Positionnement de la tranche laser et lancement de l’acquisition....................................................31
CHAPITRE 4. TRAITEMENT.............................................................................................................. 32
4.1. TRAITEMENT DES PAIRES D’IMAGE ACQUISES................................................................................. 32 4.1.1. La corrélation croisée (« cross-correlation »).......................................................................... 32
4.1.1.1. Interpolation subpixel .....................................................................................................................38 4.1.2. Corrélation avec décalage des zones d’interrogation .............................................................. 39
4.1.2.1. Avantages de la corrélation avec décalage des zones d’interrogation .............................................42 4.2. POST-TRAITEMENT DES DONNÉES................................................................................................... 43
4.2.1. Étape de validation ................................................................................................................... 43 4.2.2. Moyenne des champs instantanés ............................................................................................. 44 4.2.3. Traitement des données moyennes ............................................................................................ 45
v CHAPITRE 5. RESULTATS ................................................................................................................. 47
5.1. TABLEAU RECAPITULATIF DES MESURES PRESENTEES .................................................................... 47 5.2. CAS A............................................................................................................................................. 49 5.3. CAS B............................................................................................................................................. 51
5.3.1. Profil 3D et profil transversal................................................................................................... 51 5.4. CAS C............................................................................................................................................. 53
5.4.1. Comparaison des corrélations avec décalage des zones d’interrogation................................. 55 5.4.2. Comparaison des corrélations croisées .................................................................................... 58
CHAPITRE 6. CONCLUSION.............................................................................................................. 68
BIBLIOGRAPHIE.......................................................................................................................................... 71
ANNEXE 1. CALCUL DE LA DENSITÉ ET DE LA VISCOSITÉ DE L’EAU....................................... 75
Formule de calcul de la densité de l’eau................................................................................................. 75 Formule de la viscosité cinématique de l’eau : ....................................................................................... 75
ANNEXE 2. COURBES D’ÉTALONNAGE DES CAPTEURS [DELTABAR S] DE ENDRESS+HAUSER ..................................................................................................................................... 76
ANNEXE 3. CALCUL DE L’ERREUR SUR LA VITESSE UC................................................................. 80
Liste des tableaux
Tableau 2.1. Types de nid d'abeille employés lors des expériences .....................................15 Tableau 4.1. Données calculées lors de l'opération de moyenne des champs de vecteurs
(manuel d’utilisation de FlowManager) .......................................................................44 Tableau 5.1. Tableau récapitulatif des mesures ....................................................................47 Tableau 5.2. Présentation des cas étudiés dans cette section................................................58
Liste des figures
Figure 1.1. Pompe avec carter transparent de Wuibault et al .................................................1 Figure 1.2. Exemple de franges d'Young observées à partir d'une image de LSV (Huntley
(1986)) ............................................................................................................................4 Figure 1.3. Écoulement entre deux plaques planes.................................................................8 Figure 2.1. Schéma global du montage.................................................................................11 Figure 2.2. Schéma du canal d’acrylique dans son ensemble (le dessin n’est pas à l’échelle)
......................................................................................................................................13 Figure 2.3. Définition du repère : l'origine est située à l'entrée de la conduite, au plancher et
à mi-largeur...................................................................................................................13 Figure 2.4. Vue de face d’une jonction entre deux tronçons du canal..................................14 Figure 2.5. Dimension a et b des nids d'abeille à alvéoles hexagonales...............................15 Figure 2.6. Schéma du convergent, avec dimensions ...........................................................16 Figure 2.7. Disposition du tube de Pitot et des prises de pression statique. Section x = 530
cm..................................................................................................................................18 Figure 2.8. Bras articulé et lentille cylindrique (Source : http://www.dantecdynamics.com/)
......................................................................................................................................19 Figure 2.9. Connections des divers éléments du système d'acquisition................................20 Figure 3.1. Rappel du repère employé..................................................................................22 Figure 3.2. Schéma des vues de côté et de dessus de la conduite, lors du positionnement de
la tranche laser ..............................................................................................................24 Figure 3.3. Alignement de la paroi du canal avec le bord de l'image...................................25 Figure 3.4. Cible de 50×50mm et son support en aluminium...............................................28 Figure 3.5. Réfraction due à la paroi de la conduite et à l’eau: l'indice de l'eau est 1.33, celui
de l’acrylique est 1.5 et celui de l'air est 1 ....................................................................29 Figure 3.6. Couvercle de fermeture des tuyaux ....................................................................29 Figure 3.7. Vue du positionnement de la cible dans la conduite après enlèvement du
couvercle du dessus ......................................................................................................30 Figure 3.8. Photo de la cible d'étalonnage ............................................................................31 Figure 4.1. Division de l'image en zones d'interrogation. Les traits pointillés délimitent les
zones d'interrogation .....................................................................................................33 Figure 4.2. Exemple de corrélation d'une paire d’images.....................................................34 Figure 4.3. Zones d’interrogations 3×3 ................................................................................34 Figure 4.4. Histogramme représentant les valeurs de la fonction Φ(m,n) ............................36 Figure 4.5. Traitement des images, figure tirée du manuel de l'utilisateur de FlowManager
......................................................................................................................................37 Figure 4.6. Illustration du peak-locking, tracé réalisé à partir de 20 corrélations croisées ..38 Figure 4.7. Zone d'interrogation subdivisée en 4 nouvelles zones d’interrogation (ici,
longueur et largeur divisée par 2) .................................................................................40 Figure 4.8. Illustration du décalage de la zone d’interrogation de l’image 2 .......................41 Figure 4.9. Tracé de l’erreur rms ε en fonction du déplacement. Figure tirée de Westerweel
et al (1997b)..................................................................................................................42 Figure 4.10. Schéma du traitement du script moyspace.m ...................................................45 Figure 5.1. 6 profils moyens normalisés par Uc obtenus le long de la conduite...................50
viii Figure 5.2. Profil obtenu par une interpolation des 42 profils mesurés dans la section d'essai
......................................................................................................................................51 Figure 5.3.Tracé de U/Uc en fonction de z1 .........................................................................52 Figure 5.4. Profil moyen U/Uc obtenu à partir d’une corrélation avec décalage des zones
validée avec εu=2 et εv=1 ..............................................................................................53 Figure 5.5. Intensité des fluctuations de vitesse σu/Uc obtenues à partir d’une corrélation
avec décalage des zones validées avec εu=2 et εv=1.....................................................54 Figure 5.6. Intensité des fluctuations de vitesse σv/Uc obtenues à partir d’une corrélation
avec décalage des zones validées avec εu=2 et εv=1.....................................................54 Figure 5.7. Profils de l’écoulement moyen. Corrélations avec décalage et données de
référence (la DNS de Moser et al (1999) est faite à Rec = 12485 ou Reτ = 587) .........56 Figure 5.8. Intensité des fluctuations de vitesse σu/Uc. Corrélations avec décalage et
données de références ...................................................................................................57 Figure 5.9. Illustration de la diminution de la valeur de U due à un faux vecteur ...............59 Figure 5.10. Profils moyens de vitesses U/Uc des cas C1 à C4 ............................................60 Figure 5.11. Intensité des fluctuations de vitesse σu/Uc des cas C1 à C4 .............................61 Figure 5.12. Intensité des fluctuations de vitesse σu/Uc des cas C2 à C4 .............................62 Figure 5.13. Intensité des fluctuations de vitesse σv/Uc. Cas C1 à C4..................................63 Figure 5.14. Intensité des fluctuations de vitesse σv/Uc. Cas C2 à C4..................................63 Figure 5.15. Tensions de Reynolds <u’v’>/Uc² ....................................................................64 Figure 5.16. Fonction densité de probabilité des déplacements U issue d’une corrélation
croisée ...........................................................................................................................65 Figure 5.17. Fonction densité de probabilité des déplacements U issue d’une corrélation
avec décalage des zones d’interrogation.......................................................................66 Figure 5.18. Profil moyen en coordonnées de paroi .............................................................67 Figure 6.1. Suggestion de sortie de canal .............................................................................68
ix
Nomenclature
h : demi hauteur de la conduite
Uc : Vitesse au centre de la conduite
Rec :
hU
Re ccNombre de Reynolds basé sur la vitesse au centre Uc ( )
Um Vitesse moyenne dans le canal
Rem Nombre de Reynolds basé sur la vitesse moyenne
U : Vitesse de frottement
p Contrainte de frottement pariétale
y+ : Ordonnée en coordonnée de paroi (
Uyy )
x et y : Distance entre les vecteurs vitesse calculés par une corrélation
+ : Distance entre les vecteurs vitesse en coordonnées de paroi
(
Ux)
σu : Intensité des fluctuations de la composante de vitesse U
<u’v’> : Tensions de Reynolds
σv : Intensité des fluctuations de la composante de vitesse V
Cf : Coefficient de frottement
Dh : mouilléPérimètre
tionsecladeAire4Dh
) Diamètre hydraulique (
u : Critère de validation sur U
v : Critère de validation sur V
ARHussain : « Aspect Ratio » de la conduite de Hussain et Reynolds (1975)
ARPIV : « Aspect Ratio » de la conduite de la présente étude.
Chapitre 1. Introduction
1.1. Situation de l’étude
Depuis quelques années, la mécanique des fluides expérimentale s’est dotée d’une nouvelle
méthode de mesure non-intrusive, qui permet d’acquérir des champs instantanés de
vitesses. Cette méthode est la Vélocimétrie par Image de Particules (PIV). La différence
entre la PIV et l’Anémométrie Laser Doppler (LDA) est que la PIV offre une vue de
l’écoulement beaucoup plus globale, tandis que la LDA est une mesure ponctuelle de
vitesse. Cependant, comme l’observent Grant et al (1992) et Grosjean et al (1997), ces
deux techniques sont complémentaires. La LDA est capable de fournir des informations
ponctuelles très précises et la PIV peut donner une appréciation plus générale de
l’écoulement.
Dans un premier temps, la PIV fut appliquée à des écoulements simples afin d’en vérifier la
validité. À mesure que la PIV gagnait en fiabilité et en reconnaissance, ses domaines
d’application se sont étendus. Sous l’impulsion de certains chercheurs comme G. Ciocan la
PIV fut introduite dans le domaine des turbomachines où elle s’avère un outil très utile dans
l’étude des écoulements internes. On peut citer par exemple l’étude de l’écoulement dans le
diffuseur coudé d’une turbine Francis (Iliescu et al (2002)), qui a permis de comprendre
pourquoi de petites variations de débit engendraient une chute du coefficient de
récupération de pression. Wuibault et al (2002) ont effectué des mesures sur un modèle de
pompe muni d’un carter transparent (cf. Figure 1.1). Et la PIV a aussi permis à Li et al
(2002) de vérifier l’efficacité d’un déflecteur en T dans l’écoulement d’une pompe.
Figure 1.1. Pompe avec carter transparent de Wuibault et al
2 Le LAMH (Laboratoire de Machines Hydrauliques) de l’Université Laval possède un banc
d’essai de micro-turbines sur lequel il est possible de tester différentes sortes de turbines.
Le LAMH, avec le LMF (Laboratoire de Mécanique des Fluides), a décidé d’acquérir un
système PIV et de l’utiliser pour la mesure des écoulements internes des turbines. Ce genre
de mesures permettrait de mieux approcher la dynamique des fluides d’une turbine et
d’apporter une meilleure connaissance quantitative des écoulements typiques d’une turbine.
Cette connaissance peut influencer aussi bien la conception des turbines (choix des
géométries et matériaux), la modélisation des écoulements sur le plan numérique, ou la
vérification des codes numériques déjà existant (Guedes et al (2002)).
1.2. Objectifs
Malgré tout cela, la PIV reste un instrument de mesure relativement récent (Adrian (1984 et
1991), Pickering et Halliwell (1984)). Pour cette raison, une pré-évaluation du
fonctionnement de la PIV et de la cohérence des résultats obtenus avec cette technique de
mesure fut demandée. Cette évaluation est le sujet de ce mémoire.
L'un des premiers objectifs est la prise en main du matériel. Il est nécessaire de se
familiariser avec les différents organes constituant le système d'acquisition PIV, la façon de
faire les mesures, ou encore la façon de les traiter.
Comme les écoulements dans les turbines sont turbulents (nombre de Reynolds de l’ordre
de 1×106), l’évaluation se fait sur un écoulement turbulent de Poiseuille plan. La PIV doit
nous révéler les valeurs moyennes de la vitesse U, les intensités de fluctuations de vitesse
σu et σv et les tensions de Reynolds <u’v’>. Ces grandeurs sont comparées avec deux
expériences réalisées sur le même type d’écoulement. La première est celle effectué par
Hussain et Reynolds en 1975, qui effectuèrent des mesures au fil chaud sur un écoulement
de Poiseuille plan à plusieurs nombres de Reynolds. La deuxième est une simulation DNS
effectuée par Moser et al (1999).
Différents modes de traitement sont testés. Aussi bien des traitements d'images que des
post-traitements de données.
3
1.3. La Vélocimétrie par Image de Particules (PIV)
1.3.1. Principe général
Le principe de la PIV s’appuie sur la définition suivante de la vitesse :
t
xu
Le Δx correspond au déplacement d’un groupe de particules et le Δt est le temps mis par ce
groupe de particules pour se déplacer de sa position initiale xi à sa position finale xf
( ). On acquiert deux images séparées d’un temps Δt d’un écoulement marqué
par des particules, et en estimant le déplacement Δx de ces particules on peut en déduire
leur vitesse.
if xxx
1.3.2. Historique
La PIV a pour origine la visualisation d’écoulements (flow visualization). Pour visualiser
des écoulements, on a recours à des marqueurs que l’on introduit dans le fluide. Ces
marqueurs, qui peuvent être des bulles dans l’eau ou de la fumée en aérodynamique,
suivent une partie du fluide qu’ils rendent visible. On peut ainsi observer l’évolution de
cette partie du fluide. On trouve de nombreux exemples de ces visualisations dans le livre
de Van Dyke (1982).
Cependant, les techniques de visualisation n’apportent essentiellement qu’un aspect
qualitatif à la connaissance de l’écoulement. L’évolution des marqueurs facilite la
compréhension globale de l’écoulement mais ne fournit pas de données quantitatives telles
que la vitesse et ses fluctuations.
Dans les années 1970, une technique empruntée à la mesure de déformation des solides est
appliquée à la dynamique des fluides. Cette technique est la Laser Speckle Velocimetry
(LSV). Pour ce qui est des solides, on observe la déformation des surfaces. Dans ce cas, la
rugosité de la surface fournit de bons marqueurs. Pour ce qui est des fluides, cette technique
requiert un ensemencement très dense, on a même parfois recours à de la peinture au latex
4
images des
particules se chevauchent, c’est pourquoi il faut un ensemencement très dense.
(Simpkins et Dudderar (1978)). Pour mesurer les champs de vitesses, on s’y prend de la
façon suivante : on prend une photo de l’écoulement exposée deux fois ; puis cette photo
est éclairée avec de la lumière cohérente qui fait apparaître des franges d’Young (cf. Figure
1.2). De l’orientation et l’espacement de ces franges on est capable de déterminer la
direction et la vitesse de l’écoulement. Pour obtenir les franges il faut que les
Figure 1.2. Exemple de franges d'Young observées à partir d'une image de LSV (Huntley (1986))
Adrian (1984)) : la densité de
source (« source density ») Ns. Sa définition est la suivante :
Le problème avec cette méthode, est qu’il est difficile d’obtenir un ensemencement
suffisamment dense pour produire les taches qui créent les franges (Adrian (1984)). Les
ensemencements réalisés dans le cadre de cette technique permettent d’obtenir des photos
servant plus souvent à de la PIV qu’à de la LSV. On peut d’ailleurs séparer ces deux types
de vélocimétries laser en faisant intervenir une définition (
20 4
2
M
de
rsque Ns ≥1 on se trouve dans un cas de Laser
Speckle Velocimetry. Sinon c’est de la PIV.
zCN s
Où C est le nombre moyen de particules par unité de volume, Δz0 est l’épaisseur du plan
laser, de est le diamètre de l’image de la particule et M est le grossissement. La probabilité
que les particules se chevauchent dans une zone d’interrogation devient significative
lorsque Ns est plus grand ou égal à 1. Donc lo
5
mergea la PIV à proprement parler. La différence entre ces deux techniques,
comme on l’a vu, repose principalement sur la concentration de particules présentes dans
écoulement.
Dans un premier temps, les études d’écoulement effectuées à l’aide de la PIV se
t le mouvement du fluide (Westerweel et al (1996)). Pour de plus
amples détails concernant la fabrication de ces particules on pourra se référer à l’article de
la lumière blanche (Hayami et al (1997)). Cependant, à l’heure actuelle, les
lasers Nd-YAG sont les plus employés. Ceci s’explique par leur compacité et leur facilité
300
lignes par millimètres pour des dimensions de film de 25×35mm voire de 100×125mm
C’est de cette technique de Laser Speckle Velocimetry (qui n’est plus guère employée de
nos jours) qu’é
l’
déroulèrent de la façon suivante :
L’écoulement est ensemencé à l’aide des particules qui sont encore utilisées à l’heure
actuelle. Le développement de l’Anémométrie Laser Doppler (LDA ou LDV) dans les
années précédentes a permis de connaître relativement bien le type de particules à
employer. Pour obtenir de bonnes mesures PIV, il faut que l’ensemencement soit
homogène, il ne faut pas qu’il altère les propriétés du fluide ou de l’écoulement et il faut
qu’il suive fidèlemen
Schmitt et al (1995).
On crée ensuite un plan laser qui sert à l’illumination des particules. Le type de laser ou
encore de lampe utilisée pour l’illumination de l’écoulement varie d’une expérience à
l’autre. On a recours à des lasers Argon-Ion, des lasers Helium-Néon ou encore à des lasers
Nd-YAG pour ne citer que les plus courants. Parfois, on a aussi recours à des lampes
fournissant de
d’utilisation.
Une fois l’écoulement éclairé, on prend une photo de cet écoulement. À l’origine la photo
est prise grâce à un appareil photo conventionnel sur lequel est monté un objectif de grande
qualité optique qui déforme très peu l’image. Le type de film choisi est généralement un
film à grains très fins comme le Technical Pan de Kodak qui peut compter jusqu’à
(Adrian (2004)). On prend une photo de l’écoulement exposée deux ou plusieurs fois.
6
zone est interrogée l’une après
l’autre et on en tire autant de vecteurs que de zone d’interrogation (Westerweel et al
996)). Cette technique est très précise mais très longue.
ment de mesure reconnu et est quasiment
la seule employée de nos jours. Cependant, on a encore recours à la PIV quand la précision
ssion des images car elle entraîne
une perte de qualité des images et donc une perte d’information. La taille de la mémoire
morte est donc elle aussi d’une importance primordiale.
Un des modes de traitement consiste à numériser le négatif de l’image qui est partagé en
plusieurs zones d’interrogations. À partir de là, chaque
(1
Il faut attendre l’avènement d’une électronique et d’une informatique performantes pour
pouvoir résoudre le problème du temps de traitement des images PIV. La PIV cède alors
progressivement sa place à la DPIV (Digital Particle Image Velocimetry). La fiabilité de la
DPIV, fut en grande partie analysée par Westerweel (1996 et 1997a et b), et c’est
notamment sous son impulsion qu’elle s’est hissée au rang des techniques de mesures
fiables et précises. La DPIV est dès lors un instru
requise est trop importante (Adrian et al (2000)).
Parmi les innovations technologiques qui ont permis à la DPIV de se développer on notera
l’apparition de capteurs CCD particuliers. En effet, Avec la DPIV, on prend deux photos de
l’écoulement exposées une seule fois. Le temps entre ces deux photos est extrêmement
court, et un capteur CCD conventionnel ne peut pas transférer la première image
suffisamment vite pour que l’on puisse en prendre une deuxième. Les capteurs utilisés pour
la DPIV sont des capteurs qui permettent de stocker la première image dans des cellules de
stockage internes attachées directement à chaque pixel et qui permettent donc de libérer
l’espace pour pouvoir prendre la deuxième photo. Pour plus de renseignements, on pourra
se référer à l’ouvrage de Raffel et al (1998). Les autres avancées technologiques concernent
bien entendu la vitesse de traitement qui est intimement liée à la fréquence d’horloge du
microprocesseur et à la taille de la mémoire vive. La capacité de stockage est elle aussi un
point clé puisqu’une plus grande précision nécessite l’enregistrement d’un plus grand
nombre d’images. On évite d’avoir recours à la compre
7
1.3.3. Perspectives
Outre les futurs développements en matière d’informatique et d’électronique, on peut
s’attendre à l’apparition de nouveaux algorithmes et à de nouvelles méthodes de calcul
concernant le traitement et post-traitement des images et des corrélations. Par exemple, l’un
des principaux problèmes de la PIV est sa perte de précision lorsque l’on fait des mesures
dans un écoulement qui compte de forts gradients de vitesse. Des solutions sont déjà
envisagées et même développées comme la Particle Image Distortion (PID) de Huang
(1994). Il faudra compter aussi sans doute sur des innovations dans le domaine de la
validation des mesures qui reste un sujet délicat. De la même façon, le développement
d’une technique optimisant l’ensemencement et voire même l’arrivée de nouvelles
particules (Adrian (2004)) est tout à fait souhaitable.
1.4. Rappels théoriques
Comme on le sait, en mécanique des fluides, les équations qui régissent un écoulement sont
les équations de Navier-Stokes (équations de quantité de mouvement plus l’équation de
continuité). Elles sont ici écrites pour un fluide newtonien non pesant, dans un écoulement
incompressible en cordonnées cartésiennes.
0u i,i
jj
i
ij
ij
i
xx
u
x
p
x
uu
t
u
2
(1.1)
Avec et zx;yx;xx 321 wu;vu;uu 321
Cependant, lorsque l’écoulement est turbulent, on ne le traite que rarement en utilisant cette
formule. Pour simplifier on décompose la vitesse u de la façon suivante : . Où U
est la valeur moyenne et u’ les fluctuations de cette vitesse u. On fait de même avec la
pression ( ). En insérant ces relations dans les équations de Navier-Stokes et en
faisant la moyenne on trouve les équations qui régissent le mouvement moyen du fluide :
'uUu
'pPp
8
0
i
i
x
U
'' jij
i
jij
ij
i uux
U
xx
P
x
UU
t
U
(1.2)
où le symbole désigne la moyenne.
Cette transformation fait apparaître le tenseur de Reynolds '' ji uu qui montre l’influence
des fluctuations de vitesse sur l’écoulement moyen.
1.4.1. Écoulement de Poiseuille plan
Dans le cas d’un écoulement entre deux plaques planes (Figure 1.3), certaines
simplifications de l’équation (1.2) sont possibles. Tout d’abord si on considère que
l’écoulement est stationnaire (au sens moyen) et pleinement développé, les termes en t/
et en s’annulent, sauf le termex/ x/P .
Figure 1.3. Écoulement entre deux plaques planes
Ensuite, l’écoulement est considéré comme bidimensionnel (dans le plan (x,y)), c'est-à-dire
que toutes les quantités moyennes et les dérivées normales au plan (x,y) sont nulles. Avec
9 l’équation de continuité on trouve que la composante V est nulle elle aussi. Certains
éléments du tenseur de Reynolds sont eux aussi nuls. Le tenseur se résume à :
2
2
2
li
'w00
0'v'v'u
0'v'u'u
'u'u (1.3)
Finalement les équations qui régissent l’écoulement entre deux plaques planes se résument
à :
'v'uy
U
yx
P0
2'vyy
P0
(1.4)
Dans notre cas, ces équations (1.4) ne sont vraies que pour une partie de l’écoulement. En
effet, Hussain et Reynolds (1975), dans leur étude, ont affaire à un écoulement
bidimensionnel uniquement dans la région centrale de la conduite, et sur 70% de
l’envergure du canal. Dans cette zone, on peut utiliser les équations (1.4), mais lorsque que
l’on se rapproche des parois latérales les équations ne sont plus valables car l’écoulement
est tridimensionnel.
1.4.2. Variables de paroi
Lorsque l’on se trouve dans la région de paroi, on utilise des variables adimensionnelles qui
permettent de traduire l’indépendance des lois physiques vis-à-vis des systèmes de
coordonnées. Ces variables adimensionnelles sont :
Uyy
U
UU (1.5)
Où U est la vitesse de frottement définie par :
10
pU (1.6)
Avec cette vitesse de frottement U on forme d’ailleurs le nombre de Reynolds suivant :
hURe (1.7)
Où h est la demi hauteur du canal à l’étude dans ce mémoire.
En pratique, pour obtenir la vitesse de paroi U , nécessaire pour rendre sans dimension les
variables près de la paroi, il faut connaître la contrainte de frottement pariétale p que l’on
retrouve dans l’expression du coefficient de frottement Cf. Or, le montage expérimental
décrit dans la suite de ce mémoire n’est pas équipé pour que l’on puisse obtenir directement
une valeur de cette contrainte ou de ce coefficient. Pour pallier à cette difficulté, on a
recours à la formule (1.8) établi par Dean (1978) :
4/1mf )Re2(073.0C (1.8)
Où Rem est le nombre de Reynolds basé sur la vitesse de débit (vitesse moyenne dans le
canal).
En connaissant Rem, cette formule nous permet d’obtenir le coefficient de frottement Cf, et
donc par la formule (1.9) on peut avoir la contrainte de frottement pariétale p.
2
pf
u2
1C
(1.9)
La connaissance de p nous permet donc ensuite d’obtenir y+ que l’on retrouve dans le
chapitre 5.
Chapitre 2. Description du montage expérimental
L’écoulement de Poiseuille plan est étudié dans une conduite de section rectangulaire faite
entièrement en acrylique. Il est à noter que cette conduite était initialement destinée à
l’étude de l’écoulement dans une marche descendante 2D (« backward facing step »). En
effet, la conduite est pourvue d’une expansion de section soudaine qui a été comblée de
façon à transformer le montage en une conduite de section rectangulaire. La plupart des
dimensions de la conduite ont donc été choisies en fonction de l’écoulement de marche 2D.
Dans ce chapitre, la conduite et tout le système hydraulique qui lui est associé sont décrits.
De plus l’instrumentation utilisée est elle aussi passée en revue.
2.1. Vue d’ensemble du montage expérimental
Figure 2.1. Schéma global du montage
12 La Figure 2.1 présente une vue d’ensemble du montage. Le système est d’abord rempli
d’eau avec la pompe de remplissage, puis l’eau est mise en mouvement grâce à la pompe
principale. En partant de la pompe principale, l’eau passe dans des tuyaux qui l’amènent au
convergent qui est muni d’un nid d’abeille. L’eau passe ensuite dans la conduite jusqu’au
nid d’abeille de sortie. Elle quitte la conduite via un autre tuyau qui la mène jusqu’au
bassin. Puis du bassin elle est évacuée et ramenée à la pompe principale. Dans la suite de ce
chapitre, chacun des éléments du montage sera passé en revue.
2.2. La conduite d’acrylique
La conduite est constituée de plaques d’acrylique d’un pouce (2.54 cm) d’épaisseur. Les
dimensions internes de la section rectangulaire de la conduite sont de 51 mm de haut pour
360 mm de large.
La hauteur de 51 mm fut choisie de façon à ce que la conduite puisse contenir la cible
d’étalonnage de dimensions 50×50 mm² dont nous reparlerons plus loin. La largeur de 360
mm fut choisie en se basant sur la hauteur de la marche qui était de 30 mm. Le rapport de la
largeur de la conduite sur la hauteur de la marche devait être plus grand que 10 pour être
sûr d’obtenir un écoulement de marche 2D (de Brederode et Bradshaw (1972)). Ici ce
rapport vaut 12. Il est à noter que l’on définit aussi pour les écoulements de canal un ratio
qui est le rapport de la largeur de la conduite sur sa hauteur (« Aspect Ratio »). Ici ce
rapport vaut environ 7.
La Figure 2.2 est un schéma de la conduite d’acrylique. D’un bout à l’autre, la conduite
mesure 6.72 m. Elle est constituée de trois tronçons de longueur respective (de l’entrée vers
la sortie) : 182 cm, 244 cm et 246 cm.
Chaque tronçon est relié l’un à l’autre à l’aide de « collerettes » percées de 8 trous (cf.
Figure 2.4). On serre les deux collerettes à l’aide de vis et d’écrous. L’étanchéité entre les
deux surfaces connectées est assurée à l’aide d’un joint de silicone. La silicone est répartie
sur les surfaces en contact. Il est à noter que la forme des surfaces des jonctions aident à un
bon serrage et donc à une meilleure étanchéité.
13 Le même type de jonction est utilisé pour fixer le convergent au premier tronçon du canal.
Figure 2.2. Schéma du canal d’acrylique dans son ensemble (le dessin n’est pas à l’échelle)
Figure 2.3. Définition du repère : l'origine est située à l'entrée de la conduite, au plancher et à mi-largeur
14
Figure 2.4. Vue de face d’une jonction entre deux tronçons du canal
La longueur de la conduite du nid d’abeille d’entrée au nid d’abeille de sortie est de 6.36 m,
ce qui correspond à environ 71 diamètres hydrauliques Dh
mouilléPérimètre
SectionladeAire4Dh .
D'après la connaissance que l'on a des écoulements de Poiseuille plan, au bout de 60
hauteurs de canal (la hauteur est 2h) l’écoulement est censé être pleinement développé tant
au niveau des valeurs moyennes de la vitesse qu’au niveau des quantités turbulentes (cf.
Durst et al (1998)). Dans le cas présent ces 60 hauteurs de canal correspondent à environ 34
Dh.
À l’entrée, ainsi qu’un peu avant la sortie de la conduite, on a disposé des nids d’abeille. Le
nid d’abeille de l’entrée est destiné à corriger les défauts de l’écoulement causés par la
présence du coude, pour que le profil de vitesse à l’entrée de la conduite soit le plus propre
possible. Le nid d’abeille de sortie est destiné à limiter l’influence du tourbillon de sortie
créé par le tuyau d’évacuation.
Aux cours des différentes mesures le type de nid d’abeille employé a varié. Aussi, pour
chaque mesure, le type de nid d’abeille utilisé sera précisé. Les sortes de nid d’abeille, au
nombre de trois, sont : deux nids d’abeille d’aluminium à alvéoles hexagonales dont les
dimensions a et b (cf. Figure 2.5) sont respectivement 6 mm et 7 mm pour le premier et 4
mm et 5 mm pour le deuxième, et un nid d'abeille en plastique qui présente des alvéoles
15 circulaires d'un diamètre de 13 mm. La longueur des nids d’abeille est de 3.5 cm (cf. Figure
2.6). Le Tableau 2.1 récapitule et numérote les types de nid d’abeille.
Figure 2.5. Dimension a et b des nids d'abeille à alvéoles hexagonales
Tableau 2.1. Types de nid d'abeille employés lors des expériences
Type de
nid d'abeille
Formes des
alvéoles Matériau
Dimensions (mm)
n°1 hexagonale aluminium (a,b)=(6,7)
n°2 hexagonale aluminium (a,b)=(4,5)
n°3 circulaire plastique diamètre=13
2.3. Le convergent
Le convergent est représenté sur la Figure 2.6. Les dimensions y sont indiquées. Le
convergent est fait d’un assemblage soudé de plaques d’aluminium d’un demi pouce (1.27
cm) d’épaisseur. Le nid d’abeille d’entrée est inséré dans le convergent comme le montre la
Figure 2.6.
16
Figure 2.6. Schéma du convergent, avec dimensions
2.4. Les tuyaux
Les tuyaux qui servent à évacuer l’eau du canal et ceux qui servent à amener et à ramener
l’eau jusqu’à la pompe sont des tuyaux de PVC de 8 et 10 pouces (20.32 cm et 25.4 cm) de
diamètre. Le tuyau qui amène l’eau jusqu’au convergent est un tuyau d’acier de 6 pouces
(15.24 cm) de diamètre, qui est incliné d’environ 20° par rapport à la verticale. Le tuyau qui
est connecté à la sortie du canal a un diamètre de 8 pouces et est incliné d’un angle
d’environ 45° par rapport à la verticale.
2.5. Les pompes
2.5.1. Pompe de remplissage
Pour remplir la conduite et le montage d’eau, on utilise une petite pompe immergée dans le
réservoir où l’on s’approvisionne en eau. Cette pompe est équipée d’un détecteur de niveau
qui l’arrête automatiquement lorsqu’un niveau suffisant est atteint dans le bassin.
17
2.5.2. Pompe principale et moteur
La pompe est une pompe centrifuge de la société Weinman Pump MFG Co. A son point de
fonctionnement nominal, elle délivre une hauteur d’eau de 12 m pour un débit de 9.5
m3/min.
La pompe est couplée à un moteur triphasé de 22.4 kW de la société Brook Electric Motor.
La vitesse du moteur est pilotée par un variateur de fréquence Eaton Dynamatic AF1200,
lui même relié à un ordinateur. L’interface qui permet de contrôler la vitesse du moteur est
programmée sous PCIM. Ce montage permet d’atteindre des débits compris entre environ
15 et 100 litres par seconde. Dans notre cas les débits se situeront davantage autour de 15
l/s.
2.6. L’instrumentation
Cette section décrit et présente l’ensemble des instruments de mesure utilisé lors des
mesures expérimentales.
2.6.1. Mesures de la température
La température de l’eau est mesurée avec un thermomètre au mercure de la société Taylor
Instrument Companies. Il est gradué tous les 0.1°C.
2.6.2. Mesure du débit
Le débit d'eau est mesuré par un débitmètre électromagnétique de type MagMaster de la
société ABB.
2.6.3. Mesure de la vitesse de référence Uc
La vitesse de référence, nommée Uc dans le reste de ce mémoire, est la vitesse au centre de
la conduite sur la ligne médiane. Les coordonnées du point où elle est prise sont : (530 ;
2.55 ; 0) (dimensions en centimètres dans le repère de la Figure 2.3).
18 Cette vitesse est mesurée à l’aide d’un tube de Pitot. Deux prises de pression nous donnent
la pression statique dans la section de la conduite, tandis que le tube de Pitot nous donne la
pression totale (Cf. Figure 2.7).
Figure 2.7. Disposition du tube de Pitot et des prises de pression statique. Section x = 530 cm
Le capteur de pression utilisé est un capteur de type [Deltabar S] de l’entreprise
Endress+Hauser. Sa plage de mesure est 0 à 0.5 atmosphère. Ce capteur fait la différence
entre pression totale et pression statique, et mesure ainsi la pression dynamique. Il nous
donne cette pression sous la forme d’un signal en courant qui passe dans une résistance.
Aux bornes de cette résistance on branche un oscilloscope Hewlett Packard 54603B qui
nous permet de lire la tension. Grâce à l’étalonnage effectué au préalable (disponible en
annexe), on connaît la correspondance entre la tension lue et la pression mesurée. Nous en
déduisons donc la valeur de la pression dynamique Pd. Pour obtenir la vitesse Uc on
applique alors la formule suivante :
eau
dc
P2U
2.6.4. Le système de Vélocimétrie par Image de Particules
Le système PIV comprend un laser Nd :YAG de la compagnie NewWave. Ce laser délivre
une lumière cohérente de longueur d’onde 532 nm, à une puissance maximum de 120 mJ
19 par flash. (C’est un laser de classe IV.) Les caractéristiques précises du laser sont
disponibles dans la documentation. Le laser comprend deux cavités qui permettent
d’obtenir des flashs espacés d’au moins 10 μs.
Le rayon laser est guidé dans un bras articulé pourvu de miroirs sur lequel est montée une
lentille cylindrique (cf. Figure 2.8). Cette lentille cylindrique permet d’obtenir le plan laser
qui illumine l’écoulement.
Figure 2.8. Bras articulé et lentille cylindrique (Source : http://www.dantecdynamics.com/)
Les images sont acquises grâce à une caméra numérique HiSense de 8 bits. Le capteur
numérique CCD de la caméra mesure 1280×1024 pixels. La vitesse de ce capteur permet
d’acquérir des paires d’images à une fréquence maximale de 4 paires d’images par seconde.
Pour les mesures étudiées dans ce mémoire, on utilise deux objectifs Nikkor de 60 et 105
mm.
La Figure 2.9 montre la façon dont sont connectés les différents éléments qui constituent le
système d’acquisition PIV. La caméra est reliée à un contrôleur de caméra (aussi appelé
« personality module ») lui-même connecté au processeur Dantec FlowMap PIV 2100. Le
processeur, qui occupe un place centrale dans le système, est relié à un ordinateur DELL
Precision 350 qui a une mémoire vive de 1 Go et est pourvu d’un disque dur de 100 Go. Le
système d’exploitation de l’ordinateur est Ms Windows 2000. Le processeur FlowMap PIV
2100 assure la liaison entre tous les éléments, il envoie et reçoit des informations qu’il
20 retransmet. C’est notamment grâce à lui que les flashs laser sont synchronisés avec les
prises de vue de la caméra.
Sur l’ordinateur, le logiciel FlowManager de Dantec nous permet de voir et sauvegarder les
images et/ou les corrélations, de contrôler le temps d’exposition et le laps de temps qui
sépare les flashes du laser. Le processeur FlowMap PIV 2100 permet aussi de faire des
corrélations croisées en temps réel. Les données de la mesure (images et/ou corrélations)
sont sauvegardées sur le disque dur de l’ordinateur.
Figure 2.9. Connections des divers éléments du système d'acquisition
2.6.5. Logiciels de post-traitement
En ce qui concerne le post-traitement des corrélations, le logiciel FlowMananger de Dantec
est utilisé surtout pour calculer la moyenne de toutes les corrélations obtenues lors d’une
mesure. Sinon, pour retraiter ces données, on utilise le logiciel MatLab 6.5. Pour tracer les
figures on a recours au logiciel Tecplot 10.
Chapitre 3. Description de la procédure opératoire
3.1. Ensemencement
La première étape consiste à ensemencer l’écoulement. Le type de particules employées
dépend de l’objectif de la caméra. Avec l’objectif de 60 mm on utilise des particules de
polyamide d’un diamètre de 50 µm. Avec l’objectif de 105 mm on utilise des particules de
verres creuses recouvertes d’argent d’un diamètre de 10 µm.
Pour ensemencer, on met des particules dans un bidon à moitié rempli d’eau, on agite le
bidon et on verse le mélange dans le bassin. On fait ensuite circuler l’eau dans le canal pour
homogénéiser l’ensemencement.
3.2. Ajustement du débit
L’étape suivante consiste à ajuster le débit d’eau dans la conduite afin d’obtenir le nombre
de Reynolds souhaité. Ici, le nombre de Reynolds Rec, basé sur la vitesse au centre de la
conduite (celle que l’on mesure à l’aide du tube de Pitot, cf. section 2.6.3) et sur la mi-
hauteur h de la conduite, doit être d’environ 32300 (c'est le nombre de Reynolds le plus
élevé de l'expérience de Hussain et Reynolds (1975)).
La première étape est de relever la température de l’eau à l’aide du thermomètre à mercure.
Avec cette température on calcule la masse volumique, , et la viscosité cinématique, , de
l’eau (formules de calcul disponibles en annexe). Connaissant , et Rec, on en déduit la
vitesse centrale Uc voulue h/ReU cc . Avec cette Uc, on calcule la pression
dynamique P par la formule . Cette pression dynamique est mesurée par le
tube de Pitot et les prises de pressions statiques. Le ΔP correspond à une certaine tension
aux bornes de la résistance du capteur de pression (cf. courbe d’étalonnage en annexe). On
ajuste donc le débit pour que la lecture de la tension, faite sur l’oscilloscope, corresponde à
la différence de pression voulue et donc au Reynolds de 32300. (L’erreur relative sur Uc est
de 1%, cf. calcul à l’annexe 3.)
2cU2/1P
22
3.3. Mesures avec l’objectif de 60 mm
Figure 3.1. Rappel du repère employé
L’objectif de 60 mm fut utilisé pour une série de 42 plans de mesures effectuée à 4.9 m de
l’entrée du canal. Ces 42 plans de mesures sont répartis sur toute la largeur du canal. A 4.9
m de l’entrée de la conduite, en vertu de nos connaissances, l’écoulement devrait être
pleinement développé (4.9 m correspond à 55 Dh ou encore à 96 hauteurs de conduite(x/2h
= 96)). L’objectif de 60 mm fut aussi utilisé pour faire une série de cinq plans de mesures
en amont de la station située à 4.9 m. Ces cinq plans sont situés dans le plan médian de la
conduite (plan z = 0). Ces plans se trouvent à x = 36, 156, 206, 268 et 351 cm de l’entrée du
canal.
Avec l’objectif de 60 mm, sur chacune des prises de vue les parois supérieure et inférieure
du canal sont visibles. C’est d’ailleurs la distance d’une paroi à l’autre, 51 mm, qui sert de
longueur de référence pour l’étalonnage de l’image. La cible d’étalonnage n’est pas utilisée,
on y reviendra plus loin. La série de 42 plans de mesures est prise avec le nid d’abeille n°1
tandis que la série de cinq mesures en amont est faite avec le nid d’abeille n°2 (cf. section
2.2).
23
3.3.1. Mise en place des instruments de mesure
3.3.1.1. Positionnement du plan laser
Dans ce paragraphe, on se place dans la situation où l’on veut faire une mesure dans le plan
z=100.
Pour positionner le plan laser on utilise une feuille cartonnée sur laquelle sont tracées des
lignes parallèles espacées de 5 mm (cf. Figure 3.2). Cette feuille de carton est placée et
maintenue en position sur la paroi supérieure et extérieure de la conduite. Le bord de la
feuille (qui est parallèle aux lignes tracées) est aligné avec le bord de la paroi. De cette
façon les lignes tracées sont parallèles à l’axe x de la conduite. Chaque ligne tracée
matérialise le bord supérieur d’un plan de mesure. Pour choisir un plan de mesure, on
choisit une ligne. Dans le cas présent, la ligne choisie est la ligne du plan z = 100, on
l’appelle « ligne z =100 ». Lorsque la feuille est en place, on déplace le bras articulé de
façon à ce que la raie laser (intersection du plan laser et de la feuille) soit confondue avec la
ligne z = 100. Une fois cette opération accomplie, on place la feuille de carton sur la paroi
inférieure du canal. La feuille est placée recto contre la paroi pour que les lignes tracées
soient visibles à travers la conduite. De la même façon, on aligne le bord de la feuille sur le
bord de la paroi. On vérifie alors que la raie laser est bien confondue avec la ligne z = 100
(qui cette fois-ci matérialise le bord inférieur du plan). Si ce n’est pas le cas, on ajuste la
position du bras articulé. Le processus est itératif. On répète ces opérations jusqu’à ce que
la raie laser soit confondue avec la ligne z = 100 sur la paroi supérieure comme sur la paroi
inférieure.
3.3.1.2. Mise en place de la caméra
La caméra, fixée à un trépied, est placée en face du plan laser. L’écoulement est illuminé
par le plan laser, on fait alors la mise au point de la caméra. Quand la mise au point est
correcte, on peut voir distinctement les particules contenues dans l’eau. On a l’image d’une
partie de la conduite.
24
Figure 3.2. Schéma des vues de côté et de dessus de la conduite, lors du positionnement de la tranche laser
25 À ce moment, il faut encore positionner correctement la caméra :
- pour que l’on puisse voir les deux parois de la conduite (indispensable puisque la
hauteur du canal est notre longueur de référence pour l’étalonnage)
- pour que les bords de l’image soient parallèles aux parois de la conduite.
En ce qui concerne le premier point, il s’agit de rapprocher ou d’éloigner la caméra du
canal. Pour le deuxième point, il faut modifier l’assiette de la caméra. Pour ce faire, on se
base sur l’image qui est pourvue d’un système d’axes (x,y) (cf. Figure 3.3). L’assiette de la
caméra est correcte lorsque, sur l’image, la paroi est confondue avec une droite d’équation
y = constante (en pixels). Une fois ces opérations accomplies, l’étape suivante est
l’étalonnage.
La paroi est parallèle au bord de l’image. Elle suit une droite d’équation y=15 pixels par exemple
y
0 x
Figure 3.3. Alignement de la paroi du canal avec le bord de l'image
3.3.1.3. Étalonnage de l’image
Cette étape consiste à saisir dans le logiciel une longueur réelle du plan objet (ici la hauteur
du canal). Avec cette longueur, le logiciel est alors capable d’établir une relation entre le
nombre de pixels visibles à l’image et la longueur qu’ils représentent dans le plan objet : il
calcule le facteur d’échelle. Ainsi, après étalonnage, une image de 1024×1280 pixels
correspondra par exemple à un plan réel de 55×70 mm.
26
3.3.1.4. Choix de la puissance du laser et de l’ouverture de l’objectif
Pour obtenir de bonnes images, il faut que la quantité de lumière soit suffisante pour que les
particules soient bien lumineuses; mais il ne faut pas qu’elle soit trop importante sans quoi
les réflexions au niveau de la paroi viennent masquer une partie de l’image. Pour ajuster
cette quantité de lumière, on joue à la fois sur la puissance du laser et sur l’ouverture de
l’objectif. En règle générale, on joue davantage sur la puissance du laser que sur l’ouverture
de l’objectif. Mais il arrive qu’en fermant un peu l’objectif on obtienne des images ayant un
meilleur contraste. Dans notre cas, lorsqu’on utilise l’objectif de 60 mm l’ouverture est au
maximum, soit f/2.8. Lorsqu’on utilise l’objectif de 105 mm l’ouverture de l’objectif est à
f/11.
3.3.1.5. Ajustement de l’ensemencement et de l’intervalle de temps
séparant les deux flashs laser
Une fois l’image étalonnée et l’illumination choisie, on fait des premières mesures en
temps réel. On visualise les images et les corrélations croisées 32×32 pixels (taille des
zones d’interrogation). A l’aide de ces 2 éléments, on ajuste l’ensemencement et l’intervalle
de temps entre les deux flashs du laser.
Pour ce qui est de l’ensemencement, la première étape est de regarder si le nombre de
particules semble suffisant sur les images. Pour être plus précis qu’un simple regard
général, on peut placer sur l’image un quadrillage qui va matérialiser les zones
d’interrogation. On peut alors « zoomer » sur une ou plusieurs zones en particulier et
regarder si elles contiennent assez de particules. Le nombre optimal étant une dizaine de
particules par zone d’interrogation si on veut effectuer une corrélation croisée simple et ce
nombre descend à 5 ou 6 particules si on veut effectuer une corrélation avec décalage des
zones d’interrogation. En plus, on peut regarder les corrélations et voir si elles semblent
correctes (on regarde le nombre de faux vecteurs présents). La source de mauvaises
corrélations est bien souvent un mauvais ensemencement.
En théorie, pour ce qui est de l’intervalle de temps entre les flashs du laser, il faut que le
déplacement maximum des particules dans une zone d’interrogation soit compris entre 0.2
27 et 0.3 fois la taille de la fenêtre d’interrogation (Adrian 1991). En pratique, on s’arrange
pour que le déplacement des particules d’une image à l’autre soit d’environ 10 pixels. A
l’écran le déplacement est indiqué en pourcentage de la taille de la zone d’interrogation
choisie. Donc, pour avoir 10 pixels de déplacement sur une zone d’interrogation de 32×32
pixels, on doit régler l’intervalle de temps pour avoir un déplacement d’environ 31%
(32 pixels0.3110 pixels). Quand tous ces réglages sont faits, on peut commencer
l’acquisition à proprement parler.
3.3.1.6. Lancement de l’acquisition
Avant de pouvoir lancer l’acquisition, on relève à nouveau la température de l’eau, au cas
où elle aurait changé durant les manipulations précédentes. Si besoin est, on réajuste la
vitesse de l’écoulement et on réajuste l’intervalle entre les deux flashs laser.
Une fois prêt, on note la température de l’eau, la tension lue sur l’oscilloscope ainsi que le
débit. On peut alors lancer l’acquisition des paires d’images. Il est à noter que le processeur
FlowMap PIV 2100 est principalement conçu pour acquérir des corrélations croisées et non
des images. Aussi, lors de l’acquisition, il arrive qu’en demandant 1000 images, le système
ne soit capable d’en enregistrer qu’environ 800 (parfois moins). Pour pallier à ce problème,
on commande généralement l’enregistrement d’environ 1200 images (parfois plus), ce qui
est généralement suffisant pour obtenir à peu près 1000 images.
3.4. Mesures avec l’objectif de 105 mm
On utilise l’objectif de 105 mm pour faire des mesures à la même distance de l’entrée que
les 42 mesures effectuées avec l’objectif de 60 mm, soit à x = 4.9m. Cependant ces mesures
ne sont faites que dans le plan z = 0. Pour ces mesures, le nid d’abeille est le n°3.
28
3.4.1. Mise en place des instruments de mesures
3.4.1.1. Positionnement de la cible, de la caméra et étalonnage de l’image
L’objectif de 105 mm ne permet pas de visualiser la totalité de la hauteur de la conduite
(longueur de référence pour les mesures faites avec la lentille de 60 mm). Aussi, faut-il une
nouvelle longueur de référence pour étalonner les images. On a recours à la cible de 50×50
mm, montée sur un support en aluminium (cf. Figure 3.4). Le support permet de placer le
plan de la cible exactement au centre de la conduite (plan z = 0). Le plan de la cible est
placé exactement au milieu de la conduite car la longueur allant du plan de la cible à l’autre
extrémité du support est d’exactement 180 mm, soit la moitié de la largeur de la conduite.
Figure 3.4. Cible de 50×50mm et son support en aluminium
Pour effectuer un étalonnage correct de l’image, il est nécessaire de placer la cible dans la
conduite remplie d’eau. En effet, si la conduite est pleine d’air, on va effectuer un mauvais
étalonnage. Les indices de réfraction de l’air et de l’eau étant très différents, une image de
29 la cible dans l’air ne va pas donner un étalonnage satisfaisant. La Figure 3.5, montre bien
que si on fait un étalonnage lorsque la conduite est pleine d’air (Figure 3.5.a), la position de
la caméra ne sera pas adéquate lors de la mesure (Figure 3.5.b). La caméra ne verra pas la
même chose que lors de l’étalonnage, car les rayons lumineux seront déviés différemment.
Figure 3.5. Réfraction due à la paroi de la conduite et à l’eau: l'indice de l'eau est 1.33, celui de l’acrylique est 1.5 et celui de l'air est 1
Pour placer la cible dans la conduite pleine d’eau, on bouche les deux extrémités du canal.
Ces deux extrémités sont le tuyau de sortie du canal et le tuyau d’évacuation au fond du
bassin. Chacun de ces tuyaux est bouché à l’aide de couvercles (cf. Figure 3.6).
Figure 3.6. Couvercle de fermeture des tuyaux
30
Une fois ces deux orifices bouchés, l’eau est maintenue dans le canal et on peut ouvrir le
couvercle qui est situé sur la paroi supérieure de la conduite pour glisser la cible montée sur
son support jusqu’à la zone de mesure (Figure 3.7).
Figure 3.7. Vue du positionnement de la cible dans la conduite après enlèvement du couvercle du dessus
On place alors la caméra face à la cible et on fait la mise au point. On déplace la caméra de
façon à voir un peu plus de la moitié de la cible. Cette fois-ci, pour régler l’assiette de la
caméra, on se base sur le bord de la cible. La caméra est placée correctement lorsque le
bord de l’image est parallèle au bord de la cible. On voit sur la Figure 3.8 que la cible est
une plaque peinte en blanc percée de trous régulièrement espacés de 2.5 mm dans les deux
directions. D’après cette photo on peut donner au logiciel la longueur de référence qui lui
permet de calculer le facteur d’échelle.
31
Figure 3.8. Photo de la cible d'étalonnage
3.4.1.2. Positionnement de la tranche laser et lancement de l’acquisition
Sans changer la cible de place, on ajuste la position de la tranche laser. Il faut que le plan de
la cible soit complètement inclus dans la tranche laser (qui fait 1 à 2 millimètres
d’épaisseur). Quand ceci est fait, on peut retirer la cible du canal et refermer le couvercle du
dessus. On débouche alors les deux tuyaux et on peut faire tourner l’eau dans le canal.
Le reste de la procédure est en tout point similaire à la procédure adoptée avec l’objectif de
60 mm. C’est-à-dire que l’on vérifie l’ensemencement, on ajuste l’intervalle de temps entre
les deux flashs laser et on lance l’acquisition des paires d’images.
Il est à noter, qu’avec l’objectif de 105 mm, il faut deux plans de mesures pour couvrir
toute la hauteur du canal. Ce qui veut dire qu’une première série d’images concernera la
partie inférieure de la conduite et la deuxième série concernera la partie supérieure. Pour
passer de l’une à l’autre des séries on monte ou on descend la caméra. À la fin des mesures
on a donc deux séries de paires d’images à traiter pour avoir des informations sur la totalité
de la hauteur du canal.
Chapitre 4. Traitement
4.1. Traitement des paires d’image acquises
L’acquisition terminée, nous sommes en possession d’un millier de paires d’images qu’il
faut traiter afin de connaître les champs de vitesses.
Rappelons tout d’abord que chacune de ces images est une photographie numérique. Cette
photographie est constituée de plusieurs points. Dans le cas d’une photo sur film on parle
de grains, mais dans notre cas, il s’agit de pixels. L’image, en noir et blanc, est formée de
différents tons de gris. À chaque ton de gris est associé une valeur comprise entre 0 et 255
(codage sur 8 bits). Par exemple, le code 255 correspond au blanc (illumination la plus
forte) et le code 0 correspond au noir (absence d’illumination). On comprend donc qu’en
fait chacune des images est une matrice de la dimension du capteur numérique (ici
1280×1024) et dont chaque élément est un chiffre auquel correspond un ton de gris.
Pour ce qui est du traitement de ces images, plusieurs techniques d’interrogation sont
disponibles. Dans notre cas, étant donné que nous traitons des paires d’images exposées
une seule fois, on a recours à deux méthodes, la corrélation croisée (« cross-correlation »)
et la corrélation croisée avec décalage des zones d’interrogation (« adaptive correlation »).
Ces corrélations nous donnent des champs de vitesses que l’on peut traiter.
4.1.1. La corrélation croisée (« cross-correlation »)
Par commodité, dans la suite de ce chapitre, les images considérées sont en négatif.
Tout d’abord, il est à noter que ce type de corrélation (croisée) est celui effectué par le
système PIV 2100. L’architecture du système PIV 2100 permet de faire ces corrélations en
temps réel et sans passer par un logiciel. Lors d’une acquisition, les corrélations sont
transférées directement dans la base de données et il n’est pas nécessaire de sauvegarder les
images (sauf si on veut faire d’autres types de corrélations). C’est ce type de corrélation qui
sera utilisé pour les mesures d’écoulements dans les turbines.
33 Le but des corrélations est de calculer le déplacement effectué par les particules d’une
image à l’autre. Connaissant le temps Δt qui sépare la prise des deux images, on peut
calculer la vitesse.
Pour effectuer une corrélation croisée, les deux images constituant la paire sont d’abord
subdivisées en zones d’interrogation (cf. Figure 4.1). La taille de la zone d’interrogation est
laissée à la discrétion de l’utilisateur. Les dimensions de zones d’interrogation qui sont
disponibles dans le logiciel utilisé vont de 16×16 à 256×256 pixels. Le Δt est choisi pour
que le déplacement maximum au sein d’une zone d’interrogation soit d’environ 10 pixels
(cf. section 3.3.1.5).
Figure 4.1. Division de l'image en zones d'interrogation. Les traits pointillés délimitent les
zones d'interrogation
Pour chacune de ces zones d’interrogation, une corrélation croisée est effectuée entre
l’image 1 et l’image 2. Cette corrélation croisée calcule un déplacement pour chaque zone
d’interrogation. Ainsi, si une image compte 1200 zones d’interrogation, on se retrouve alors
avec un champ de 1200 déplacements qui, une fois divisés par Δt, donnent 1200 vecteurs
vitesse. (cf. Figure 4.2). Il y a un champ de vitesses par paire d’images.
Grossièrement, et afin de donner une idée du traitement, cette corrélation croisée est
maintenant abordée plus en détail.
34
Figure 4.2. Exemple de corrélation d'une paire d’images
Pour simplifier (à partir d’une idée originale de Huang (1994)), on considère une zone
d’interrogation de taille 3×3, qui contient donc 9 pixels. La Figure 4.3 montre cette zone
d’interrogation pour l’image 1 et pour l’image 2. Les pixels noirs sont les images de
particules.
Figure 4.3. Zones d’interrogations 3×3
Ces zones d’interrogation ne contiennent pas de tons de gris mais uniquement du noir et du
blanc. Par ailleurs, comme énoncé plus haut, les zones d’interrogation sont représentées en
négatif.
35 Tout d’abord, on met en place un système d’axes (i, j) qui permet de situer un pixel dans la
zone d’interrogation (par exemple, le pixel en bas à gauche a pour coordonnées (0;0)). On
s’intéresse ensuite à l’illumination des pixels. Dans ce cas-ci les particules ne mesurent
qu’un pixel. On note l’illumination d’un pixel de l’image 1, I, et l’illumination d’un pixel
de l’image 2, J. La valeur de I ou J, est 1 si le pixel est noir (présence d’une particule), 0
sinon. On procède ensuite à la corrélation croisée, en appliquant la formule suivante :
22
0
2
0
2,1,0),(),(),(),(
nmnjmiJjiInmi j
(4.1)
où (m,n) est le coefficient de corrélation correspondant au déplacement (m,n), soit m
pixels dans la direction i et n pixels dans la direction j. On applique cette formule pour
toutes les valeurs de (m,n). En fait on teste tous les déplacements d’images de particules
possibles. À chaque valeur de déplacement (m,n) correspond une valeur de . Par exemple,
pour m = 0 et n = 2 (déplacement de deux pixels dans la direction j), en éliminant les termes
nuls, on a : 1)2,1()0,1()2,0( JI .
Pour une valeur particulière du doublet (m,n) la fonction admet un seul maximum. C’est
cette valeur du doublet qui est le déplacement estimé du groupe de particules de la zone
d’interrogation. La Figure 4.4 représente la fonction sous forme d’histogramme, on peut
voir que le plus grand pic, qui correspond au déplacement estimé, est ici (m,n) = (1,0), avec
Φ(1,0) = 2. Ce qui veut dire, pour cet exemple, que deux particules de la zone
d’interpolation 3×3 se sont déplacées vers la droite d’un pixel. On peut d’ailleurs le calculer
facilement car les pixels (0,2) et (1,0) de la zone d’interrogation 1 de la Figure 4.3 se
retrouvent un pixel plus loin à droite dans la zone d’interrogation 2.
Sur la Figure 4.4, on remarque que le pic de corrélation qui correspond au déplacement
estimé (le plus grand) n’est pas le seul présent. Les autres pics sont du bruit (comme Φ(0,2)
qui correspond au déplacement du pixel (1,0) de l’image 1 vers le pixel (1,2) de l’image 2).
Généralement on considère que la corrélation est bonne si le rapport du plus grand pic sur
le deuxième plus grand est au moins 1.2 (cf. Adrian (1991)). Ici le plus grand vaut 2 et les
autres valent 1, on a donc un rapport de 2, ce qui est bon.
36
Figure 4.4. Histogramme représentant les valeurs de la fonction Φ(m,n)
Une fois que le déplacement en pixel est connu, il est converti en mètres grâce au facteur
d’échelle calculé lors de l’étalonnage de l’image. En divisant ce déplacement métrique par
l’intervalle de temps qui séparent les deux images on obtient la valeur de la vitesse en
mètres par seconde. Sa direction est obtenue grâce aux valeurs de m et n. Cette corrélation
croisée est faite pour toutes les zones d’interrogation de l’image.
Dans notre exemple, un certain nombre d’aspects ont été simplifiés dans le but d’entrevoir
de façon plus claire le déroulement du calcul du déplacement. Tout d’abord, la taille des
images de particules n’est pas de 1 pixel. En effet, il est recommandé que la taille des
particules soit d’environ 2 à 3 pixels de diamètre (cf. Raffel et al (1998)). Cette
recommandation, est faite afin d’obtenir de bonnes corrélations et de pouvoir faire une
interpolation subpixel sans effet de « peak-locking ». Nous reviendrons sur l’interpolation
subpixel et sur le « peak-locking » un peu plus loin.
37 Par ailleurs, comme il a été dit plus haut, les images sont constituées de pixels dont les
valeurs I et J sont comprises entre 0 et 255.
Enfin, la taille des zones d’interrogation est toujours plus grande que 3×3 pixels. Le format
le plus couramment employé dans ce rapport est 32×32 pixels.
Figure 4.5. Traitement des images, figure tirée du manuel de l'utilisateur de FlowManager
38 L’exemple qui vient d’être vu donne une idée de la façon dont sont traitées les images.
Cependant en réalité, afin de gagner du temps au niveau du traitement d’image, on a
recours à la transformée de Fourier rapide (FFT) pour effectuer la corrélation croisée. Le
schéma suivi est alors celui de la Figure 4.5. On effectue d’abord la transformée de Fourier
des zones d’interrogation, puis on les multiplie entre elles, ce qui revient à faire une
corrélation croisée. Ensuite, on repasse dans le domaine spatial. On est alors à même de
trouver le déplacement et donc la vitesse.
4.1.1.1. Interpolation subpixel
Dans l’exemple précédent on n’a traité que des déplacements qui sont des nombres entiers
de pixels. Or, en pratique, on obtient des déplacements qui ne sont pas un nombre entier de
pixels, i.e. , c’est ce que l’on appelle l’interpolation subpixel (« subpixel
interpolation »). L’interpolation réalisée est une interpolation 2D. On interpole le pic de la
fonction par une gaussienne dans la direction i puis une autre fois dans la direction j.
Cette interpolation permet de localiser précisément le maximum (le pic) de la fonction ,
ainsi que sa hauteur et sa largeur. Cette interpolation nous permet donc d’estimer le
déplacement en un nombre non entier de pixel.
2, nm
Figure 4.6. Illustration du peak-locking, tracé réalisé à partir de 20 corrélations croisées
39 Cependant, pour que cette interpolation renvoie des résultats acceptables, il est important
que la taille des images de particules soit supérieure à 1 pixel de diamètre. Si ce critère
n’est pas respecté, les résultats obtenus sont faussés. Il se produit ce que l’on appelle l’effet
de « peak-locking ». Les déplacements calculés avec cet effet ont tendance à être des
nombres entiers de pixels. On peut observer ce phénomène en traçant un histogramme des
déplacements, qui est en fait une courbe de densité de probabilité de déplacements. On
remarque en effet, sur la Figure 4.6, la présence des pics qui sont centrés sur des
déplacements entiers. Cet effet de « peak-locking » ajoute un biais à la mesure des quantités
turbulentes (cf. Christensen (2004)).
4.1.2. Corrélation avec décalage des zones d’interrogation
Outre la corrélation croisée classique, on compte une autre technique d’interrogation qui
fait intervenir une translation des zones d’interrogation. Cette technique s’appelle
corrélation avec décalage des zones d’interrogation. Sur le logiciel FlowManager elle est
nommée « adaptive correlation ».
Dans le cas d’une corrélation croisée classique, telle que décrite dans la section précédente,
on obtient une approximation de la vitesse pour chaque zone d’interrogation. On la note û
et elle se définit de la façon suivante :
uu
Où u est le déplacement réel et ε est le bruit associé à la mesure. L’une des causes de ce
bruit ε vient du fait que certaines images de particules présentes dans la zone
d’interrogation de l’image 1 sont sorties de la zone d’interrogation de l’image 2. Par
conséquent, il est impossible de les apparier lors de la corrélation croisée. Ceci a pour
conséquence d’augmenter le niveau de bruit et de diminuer la hauteur du pic de corrélation.
Ce phénomène s’appelle perte de paires (« loss of pairs »). D’ailleurs, lorsqu’on réduit la
taille de la zone d’interrogation pour pouvoir observer les petites échelles de vitesses, on
augmente les risques de pertes de paires.
40 Un moyen de remédier à ce problème est de translater les zones d’interrogation de la 2ème
image. Ainsi on apparie davantage de particules et la corrélation est meilleure. En pratique
on procède de la façon suivante :
1. Comme pour une corrélation croisée classique, on partage l’image en zones
d’interrogation (cf. Figure 4.1).
2. Pour savoir comment translater la zone d’interrogation de l’image 2, il faut
connaître une estimation du déplacement. C’est le but de cette deuxième étape
où l’on calcule, par une corrélation croisée, le déplacement des particules. On
retient la partie entière de cette première estimation pour translater la zone
d’interrogation lors de l’étape 4. On la note δp (Scarano et Riethmuller (1999)).
On choisit de prendre uniquement la partie entière pour gagner du temps au
niveau du traitement. Par exemple, si le déplacement réel est de 9.4 pixels, on
prend δp = 9 pixels.
3. On réduit la taille des zones d’interrogation : on les raffine (cf. Figure 4.7). Ceci
permet d’augmenter la résolution spatiale et c’est possible grâce au décalage des
zones d’interrogation, sans quoi il y aurait des pertes de paires comme c’est
évoqué plus haut.
Figure 4.7. Zone d'interrogation subdivisée en 4 nouvelles zones d’interrogation (ici,
longueur et largeur divisée par 2)
4. On translate les zones d’interrogation raffinées de la 2ème image avec
l’estimation δp de l’étape 2 (cf. Figure 4.8). On fait ensuite une corrélation
41
croisée entre les zones raffinées de l’image 1 et les zones raffinées et décalées
de l’image 2. On obtient une correction δc à apporter au précédent estimé δp. Au
final, le déplacement calculé δ est la somme de l’estimation δp de l’étape 2 et de
la correction δc : δ = δp + δc. Soit dans notre exemple avec δp = 9 pixels et δc =
0.4 pixels, δ = 9.4 pixels.
Figure 4.8. Illustration du décalage de la zone d’interrogation de l’image 2
A partir de là on peut, soit décider de garder ce déplacement δ comme résultat, soit prendre
sa partie entière et recommencer à l’étape 3 pour affiner encore le δ. La limite de
raffinement est liée au nombre de particules présentes dans la zone d’interrogation raffinée.
Ce nombre doit être suffisamment important pour pouvoir faire une corrélation croisée de
qualité.
Il est à noter que l’erreur ε faite sur le calcul de la correction δc est moins importante que
celle intervenant dans des calculs de déplacements plus grands (cf. Westerweel et al
(1997b)). On peut d’ailleurs le voir sur la Figure 4.9 qui est un tracé de l’erreur rms ε en
fonction du déplacement réel pour deux diamètres dτ d’images de particules. Ce tracé est
obtenu à partir de simulations Monte-Carlo.
42
Figure 4.9. Tracé de l’erreur rms ε en fonction du déplacement. Figure tirée de Westerweel
et al (1997b)
4.1.2.1. Avantages de la corrélation avec décalage des zones
d’interrogation
Cette corrélation permet un élargissement de la gamme dynamique. En effet comme le
montrent Scarano et Riethmuller (1999), du fait du décalage de la fenêtre d’interrogation, le
déplacement maximum observable dans le plan de mesure n’est plus limité par la taille de
la fenêtre (sauf pour la première corrélation). Pour ce qui est du déplacement minimum
dans le plan de mesure, Westerweel et al (1997b) ont montré que pour des écoulements très
turbulents le niveau de bruit peut être réduit d’un facteur 3 par rapport à une corrélation
croisée classique. Or, le déplacement minimum identifiable est celui que l’on peut
distinguer du bruit. Par conséquent, cette réduction du niveau de bruit permet de distinguer
un déplacement minimum plus petit avec plus de précision. Comme le déplacement
maximum observable est augmenté et le déplacement minimum observable est diminué, la
gamme de déplacements observables est élargie, et donc la gamme dynamique l’est aussi.
43 Par ailleurs, du fait du raffinement des zones d’interrogation, la résolution spatiale est
améliorée. Le champ de vitesse compte un plus grand nombre de vecteurs qu’avec une
corrélation croisée classique, et ce pour les mêmes paramètres de mesures.
Une fois ces corrélations faites (avec ou sans translation des zones d’interrogation), on
obtient autant de champs de vecteurs que de paires d’images. Mais il reste encore quelques
étapes avant de pouvoir vraiment exploiter ces données. C’est le sujet de la section
suivante.
4.2. Post-traitement des données
4.2.1. Étape de validation
Après chaque traitement d’images, on effectue une validation des champs de vitesses
calculés. Il existe un certain nombre de validations possibles. Parmi elles on compte la
validation qui s’occupe de la hauteur du pic de corrélation (« peak validation »). Si le
rapport de la hauteur du plus haut pic sur la hauteur du deuxième plus haut pic est supérieur
ou égal à 1.2, le déplacement est considéré valide.
Une autre possibilité est la validation par gamme dynamique (« range validation »).
Connaissant a priori les valeurs physiques acceptables pour les vecteurs vitesses on rejette
tous les vecteurs qui sont ou plus grands ou plus petits que ces valeurs. L’usage de cette
validation suppose que l’écoulement étudié soit très bien connu, sans quoi on risque de
rejeter des vecteurs qui ne sont pas des faux vecteurs.
Dans notre cas, la validation utilisée est une validation locale développée au LMF par Karl-
Stéphane Rossignol. (La version finale de cette validation locale est disponible dans la
référence Rossignol (2006).) La façon dont elle fonctionne est la suivante :
Tout d’abord on fixe des critères de déplacements tolérés dans les directions i et j, appelés
εu et εv. Ces critères sont en pixels. Ensuite, pour chaque déplacement on regarde si la
valeur du vecteur considéré respecte les écarts εu et εv avec ses 8 voisins directs. Si ce
critère est respecté on accepte le vecteur. Sinon on remplace le vecteur V0 par la valeur
44 médiane V0’ calculée en se basant sur ces 8 voisins directs si et seulement si au moins 5 de
ses 8 voisins sont bons, sinon le vecteur est rejeté. Ce schéma est appliqué à l’ensemble des
vecteurs du champ. Si le nombre de vecteurs faux détectés excède 50 % du champ de
vecteurs, le champ est rejeté.
4.2.2. Moyenne des champs instantanés
Lorsque la corrélation et la validation sont faites, on effectue une moyenne sur l’ensemble
des champs de vitesses validés. Ainsi si l’on est au départ en possession de 1000 paires
d’images, après les étapes de corrélation et validation on a 1000 champs de vitesses
instantanées validés et on effectue la moyenne sur ces 1000 champs de vitesses. Cette
moyenne nous permet d’obtenir les données qui sont notées Sortie dans la dernière colonne
du Tableau 4.1.
Tableau 4.1. Données calculées lors de l'opération de moyenne des champs de vecteurs (manuel d’utilisation de FlowManager)
Estimé Direction X
Composante de vitesse U
Direction Y
Composante de vitesse V
Moyenne
N
1iiu u
N
1
N
1iiv v
N
1 Sortie
Variance 2
u
N
1ii
2u )u(
1N
1
2v
N
1ii
2v )v(
1N
1
Écart-type 2uu 2
vv Sortie
Covariance )v)(u(1N
1V,UCov viu
N
1ii
Coefficient de
corrélation
11V,UCov
vu
Sortie
45 Toutes ces données sont classées dans une matrice où l’on peut lire la position où le calcul
est fait, en pixel ou en millimètres. Cette étape nous renvoie aussi un champ de vecteur
moyenné (nommé « Vector Statistics » sur le logiciel FlowManager).
4.2.3. Traitement des données moyennes
Les champs moyennés calculés à l’étape précédente sont retraités pour pouvoir être
exploités. Pour les traiter, on a recours à des scripts MatLab qui ont été développés au cours
de l’étude. Le plus couramment utilisé est le script qui fait la moyenne des profils
(moyspace.m). Intéressons nous à son fonctionnement. Prenons par exemple un champ de
vecteurs vitesses moyenné comptant 1200 vecteurs répartis sur 30 lignes et 40 colonnes.
Les lignes correspondent à des positions sur l’axe y tandis que les colonnes correspondent à
des positions sur l’axe x. Ceci peut être vu comme 40 profils mis les uns à côté des
autres (chaque colonne est un profil , cf.
)y(U
)y(U Figure 4.10). On calcule alors le profil moyen
sur l’ensemble des 40 profils. Ceci est fait pour toutes les données tirées des champs
moyens (σu, σv…). Pour chaque champ on obtient donc un profil moyen calculé à
partir des 40 positions de l’axe x. Le script crée alors un fichier de données pour chaque
grandeur (U, σu…) Ce script MatLab permet aussi de normaliser les données par la vitesse
de référence Uc mesurée à l’aide du tube de Pitot (section 2.6.3).
)y(U
)y(U
Figure 4.10. Schéma du traitement du script moyspace.m
46 Dans le cas des 42 plans de mesures qui ont été pris sur l’envergure du canal, on a eu
recours à différents scripts Matlab pour pouvoir tracer le profil 3D (cf. section 5.3.1) et
pour pouvoir aussi connaître le profil U(z). Le profil 3D est une interpolation de la surface
formée par tous les points des 42 profils. Pour obtenir le profil U(z), on fait l’intersection
de cette surface avec le plan 1h/y .
Un autre type de script employé est le script PDFdéplacement.m. Ce script s’applique à un
certain nombre de champs de vecteurs instantanés (non moyennés) et il trace l’histogramme
des déplacements (cf. Figure 4.6). Comme on l’a vu, cet histogramme permet de mettre en
évidence l’effet de « peak-locking » et est un bon indicateur de la qualité des images
obtenues.
Chapitre 5. Résultats
Dans ce chapitre, le mode opératoire décrit au chapitre 3 et le traitement décrit au chapitre
précédent sont appliqués. On distingue trois cas de figure qui sont décrits dans le tableau ci-
après. Le cas A permet de connaître l’évolution du profil de vitesses le long du canal, et de
se faire ainsi une idée sur le développement de l’écoulement. Le cas B permet la
visualisation en trois dimensions l’écoulement à 4,9 m de l’entrée du canal et permet aussi
une première comparaison avec les données de Hussain et Reynolds (1975). Les données
du cas C, obtenues avec l’objectif de 105 mm, permettent d’examiner les quantités
turbulentes.
5.1. Tableau récapitulatif des mesures présentées
Le tableau qui suit présente les mesures desquelles sont tirées les résultats. La section
d’essai est choisie à x = 4.9 m (x/2h = 96 ou encore 55 diamètres hydrauliques Dh). A cette
distance, l’écoulement est censé être pleinement développé.
Tableau 5.1. Tableau récapitulatif des mesures
Cas A B C
Position x= 0.36 m, 1.5 m, 2.06
m, 2.68 m, 3.5 m x = 4.9 m x = 4.9 m
Objectif 60 mm 60 mm 105 mm
Ouverture f/2.8 f/2.8 f/11
Type de particules polyamide de 50 μm polyamide de 50 μm
Sphères de verre creuses recouvertes d’argent de 10 μm
Nid d’abeille n°2 n°1 n°3 Taille du champ observé 68.9 × 50.6 mm2 74.4 × 50.5 mm2 36 × 27.9 mm2
48
Cas A B C
Rec 32346 30685 42588
Cf 5×10-3 5×10-3 4.5×10-3
Uτ 0.43 m/s 0.044 m/s 0.06 m/s
Reτ 1211 1172 1611
Δx et Δy 1.72 mm 1.86 mm 0.9 mm
Δ+ 82 85.5 57 y+ = 1 correspond à 21.1 μm 21.8 μm 15.8 μm
Rem est le nombre de Reynolds basé sur la demi-hauteur h et sur la vitesse de débit Um. Les
Δx et Δy sont les dimensions réelles des zones d’interrogation. Les Δx et Δy représentent
aussi la distance entre deux vecteurs vitesse. Comme ici, les zones d’interrogation sont
carrées on a Δx = Δy. La valeur Δ+ est quant à elle obtenue en exprimant en variable de
paroi les Δx etΔy de la façon suivante :
yUxU (5.1)
Le cas A est une investigation du développement de l’écoulement. On a effectué 5 mesures
en amont de la section d’essai. Les profils présentés sont mesurés en z = 0. Les chiffres
présentés dans le tableau sont des valeurs moyennes calculées sur les cinq points de
mesure.
Les informations du cas B sont tirées d’une des mesures des 42 profils mesurés sur toute la
largeur de la section d’essai. Les conditions de mesures des 41 autres profils sont
passablement identiques au cas présenté. Ces 42 profils permirent de reconstituer un profil
en 3 dimensions présenté dans la section 5.3.
Le cas C est une mesure faite dans la section d’essai mais avec un objectif de 105 mm au
lieu de 60 mm dans le cas B. Les profils sont mesurés en z = 0.
49 Les données des cas A, B et C sont tirées de corrélations avec décalage de zones
d’interrogation.
5.2. Cas A
La Figure 5.1 présente les différents profils de vitesse moyenne obtenus grâce aux mesures
du cas A auxquels on a rajouté le profil central du cas B qui est censé être le profil
pleinement développé.
Tout d’abord, on voit que le profil qui correspond à la position la plus proche du nid
d’abeille d’entrée (position x = 0.36 m) a une forme très incurvée dans le haut de la
conduite. Ce profil montre que les conditions à l’entrée de la conduite ne sont pas bonnes, il
y a une vitesse plus faible dans le haut de la conduite. Le déficit de vitesse que l’on observe
est peut-être causé par la plaque déflectrice présente dans le tuyau qui arrive au convergent.
La forme incurvée de ce profil serait due au sillage de cette plaque.
50
Figure 5.1. 6 profils moyens normalisés par Uc obtenus le long de la conduite
Par ailleurs, sur cette figure on n’observe pas de tendance à la stabilisation. Le profil de la
position x = 3.5 m a des valeurs beaucoup plus élevées que le profil de la section d’essai.
Pourtant, à x = 3.5 m nous sommes déjà à environ 69 hauteurs de canal (x/2h = 69 ou 39
Dh). A cette distance de l’entrée, le profil moyen est censé être pleinement développé ou
presque. Ces différentes mesures prises en amont laissent penser que l’écoulement n’est pas
pleinement développé au niveau de la section d’essai. Ceci est probablement dû aux
conditions d’entrée. Le profil d’entrée (x = 0.36 m) présente des défauts que la distance
jusqu’à la section d’essai ne semble pas suffisante à corriger.
51
5.3. Cas B
5.3.1. Profil 3D et profil transversal.
Figure 5.2. Profil obtenu par une interpolation des 42 profils mesurés dans la section d'essai
Ce profil 3D (Figure 5.2) ne permet pas de réelles observations. Son allure présente des
irrégularités qui l’éloigne d’un profil pleinement développé. (Les valeurs de U/Uc ne vont
pas jusqu'à 0 car on ne peut pas prendre de mesures si près de la paroi.) Ce profil fut surtout
établi afin de pouvoir obtenir le profil de vitesse U/Uc = f(z) à la hauteur y/h = 1. La Figure
5.3 présente ce profil.
52
Figure 5.3.Tracé de U/Uc en fonction de z1
Sur cette Figure 5.3, z1 correspond à plusieurs cotes : dans le cas des données de Hussain et
Reynolds (1975) z1 = z/h (le h est le hauteur du canal de Hussain et Reynolds (1975)) et
dans le cas PIV HussainPIV ARAR/)h/z(1z (dans cette formule le h est la hauteur du
canal de la présente étude, le ARPIV est « l’Aspect Ratio » du canal de cette étude et le
ARHussain est « l’Aspect Ratio » du canal de Hussain et Reynolds (1975) qui vaut 18). Cette
normalisation a été faite dans le but de pouvoir comparer les résultats de Hussain et
Reynolds (1975) avec ceux de cette étude.
On voit nettement que le profil obtenu par PIV n’est pas celui d’un écoulement pleinement
développé. La zone 2D est quasiment inexistante et le profil ne suit pas celui de Hussain et
Reynolds (1975). Il est donc clair que l’écoulement n’est pas pleinement développé.
53
5.4. Cas C
Les mesures du cas C, prises en deux fois pour couvrir la totalité de la hauteur du canal,
présentent des différences de niveaux importantes qui sont peut-être dues à un rapport
signal sur bruit différent dans chacune des deux mesures. Bien que cela ne soit pas
réellement visible pour le profil moyen (Figure 5.4). Les Figures 5.5 et 5.6 montrent bien
que les deux parties de profils turbulents ne se recoupent pas. Aussi, dans la suite de cette
section, seule la partie inférieure du profil est prise en compte.
Figure 5.4. Profil moyen U/Uc obtenu à partir d’une corrélation avec décalage des zones validée avec εu=2 et εv=1
54
σ u /
Uc
Figure 5.5. Intensité des fluctuations de vitesse σu/Uc obtenues à partir d’une corrélation avec décalage des zones validées avec εu=2 et εv=1
σ v /
Uc
Figure 5.6. Intensité des fluctuations de vitesse σv/Uc obtenues à partir d’une corrélation avec décalage des zones validées avec εu=2 et εv=1
55 A partir des images du cas C, on a effectue deux corrélations. La première est une
corrélation croisée dont la taille des zones d’interrogation est de 32 pixels. La seconde est
une corrélation avec décalage des zones d’interrogation dont la taille finale est aussi de 32
pixels. Nous avons donc dans les deux cas la même résolution spatiale qui, en variable de
paroi, vaut 57 (cf. Tableau 5.1).
L’influence de la validation locale décrite à la section 4.2.1 a été testée en faisant varier les
paramètres εu et εv. Dans un premier temps, l’effet de cette validation a été examiné sur la
corrélation avec décalages des zones d’interrogation. Les différents profils obtenus ont
aussi été comparés avec les données de Hussain et Reynolds (1975) et avec celles de Moser
et al (1999). Comme l’étude de Hussain et Reynolds (1975) ne fournit que des données
concernant les valeurs moyennes U/Uc et l’intensité des fluctuations σu/Uc, cette première
comparaison n’a été faite que sur ces deux éléments. Dans un deuxième temps, on examine
l’effet de la validation locale sur la corrélation croisée. Cette fois-ci, la comparaison a aussi
été faite au niveau de σv/Uc et <u’v’>/Uc².
5.4.1. Comparaison des corrélations avec décalage des zones
d’interrogation
Le but de cette section est d’une part de voir l’effet de la validation locale sur la corrélation
avec décalage des zones d’interrogation, et d’autre part de connaître la série de données qui
semble la plus vraisemblable. Cette série de données servira de référence pour la
comparaison des corrélations croisées.
Sur la Figure 5.7, qui est un tracé du profil moyen, on peut voir que les corrélations qui sont
validées avec les critères (εu,εv) = (2,1) et (3,1) et celle qui est non validée suivent assez
bien les données de Hussain et Reynolds (1975). Il est à noter que le critère (εu,εv) = (2,1)
est celui qui a le plus de sens du point de vue des caractéristiques de l’écoulement. En effet
si le déplacement moyen est d’environ 10 pixels (ce qui est le cas ici) on ne s’attend
normalement pas à avoir des écarts de plus de 20 % pour la composante de vitesse en x
(soit 2 pixels) et de plus de 10% pour la composante en y (soit 1 pixel). D’ailleurs les
données obtenues pour ce cas sont bonnes puisqu’elles suivent bien les données de Hussain
56 et Reynolds (1975). A première vue, la validation locale ne semble pas avoir d’impact
notable sur les données moyennes qui semblent bonnes même sans validation.
Hussain et Reynolds (1975) Moser et al (1999)
Figure 5.7. Profils de l’écoulement moyen. Corrélations avec décalage et données de référence (la DNS de Moser et al (1999) est faite à Rec = 12485 ou Reτ = 587)
La Figure 5.8, est le tracé des quantités turbulentes σu/Uc. Comme sur la figure précédente,
on voit que la corrélation non validée et celles dont les critères sont (εu,εv) = (2,1) et (3,1)
sont regroupées. Cependant, on voit sur la Figure 5.8 que ces données ne correspondent ni
aux données de Hussain et Reynolds (1975) ni à celles de Moser et al (1999). Ceci
confirme que l’écoulement n’est pas pleinement développé. On constate malgré tout
quelques différences entre les trois séries de données susmentionnées pour la position la
plus proche de la paroi. Plus le critère de validation εu se resserre, plus les valeurs
diminuent. Cette région de l’écoulement est soumise à un fort gradient de vitesse et la
57 résolution spatiale n’est pas assez fine. Aussi il existe, entre deux vecteurs voisins, des
écarts qui excèdent εu. Le vecteur le plus proche de la paroi est donc considéré comme faux
et recalculé à la baisse par la validation locale. C’est ce qui explique les différences de
valeur pour la position la plus proche de la paroi.
Corrélation avec décalage non validée Corrélation avec décalage validée avec εu=2 et εv=1 Corrélation avec décalage validée avec εu=3 et εv=1 Hussain et Reynolds (1975) Moser et al (1999)
σ u /
Uc
Figure 5.8. Intensité des fluctuations de vitesse σu/Uc. Corrélations avec décalage et données de références
On note des différences entre les données mesurées et les profils de Hussain et Reynolds
(1975) et Moser et al (1999). Au centre du canal, l’intensité des fluctuations de vitesse
mesurée est plus importante que celles de Hussain et Reynolds (1975) et Moser et al
(1999). Il se peut que l’écoulement observé soit plus turbulent du fait des conditions
d’entrée du montage. Par ailleurs, lorsqu’on se rapproche de la paroi, on remarque que
l’intensité des fluctuations de vitesse est beaucoup plus faible que celle des références
58 citées ci-dessus. Ceci est fort probablement dû à une résolution spatiale trop faible (Δ+ =
57).
La différence observée entre les différents profils issus des corrélations avec décalage des
zones d’interrogation n’est pas grande. On considère que le profil le plus vraisemblable
(choisi comme reflétant le plus probablement la réalité) est celui obtenu via le validation
dont les critères sont (εu,εv) = (2,1). Bien que cette corrélation sous-évalue les données près
de la paroi, ses critères de validation sont, on l’a vu, les plus appropriés. Par conséquent,
cette corrélation servira de référence pour la comparaison des corrélations croisées dans la
section suivante.
5.4.2. Comparaison des corrélations croisées
Les différents cas étudiés dans cette section sont présentés dans le tableau suivant. La
proportion de vecteurs substitués et rejetés par la validation locale y est mentionnée.
Tableau 5.2. Présentation des cas étudiés dans cette section
Validation locale
Cas Corrélation
εu εv
Proportion de
vecteurs faux
détectés par
champ
Proportion
de vecteurs
rejetés par
champ
Proportion
de vecteurs
substitués
par champ
C1 Croisée1 Pas de validation 0 % 0 % 0 %
C2 Croisée1 2 1 20.2% 10.2 % 10 %
C3 Croisée1 0.8 0.5 28.7 % 14.5 % 14.2 %
C4 Avec décalage 2 1 19.1 % 10.4 % 8.7 %
1 Les corrélations croisées ne sont pas réalisées en temps réel mais après acquisition des images.
59 Si on s’intéresse aux proportions de vecteurs faux pour les cas C2 et C4, qui ont les mêmes
critères de validation, on voit que le cas C2 compte légèrement plus de faux vecteurs (qui
sont substitués). Ceci indique que la corrélation avec décalage des zones d’interrogation
donne moins de vecteurs faux que la corrélation croisée et est donc plus performante.
Cependant, la proportion de faux vecteurs dans les deux cas C2 et C4 est très proche. Ceci
semble indiquer que les images sont de mauvaise qualité. Examinons maintenant les
différents profils obtenus à partir de ces données.
La Figure 5.10 est un tracé des profils moyens U/Uc obtenus avec les différents cas. Tout
d’abord, on remarque que le cas C1 présente des valeurs inférieures d’environ 5% aux cas
C4. La corrélation croisée sans validation locale sous-estime la vitesse moyenne. Ceci est
dû à une grande quantité de vecteurs faux. Ces vecteurs faux ont une norme et une
orientation mauvaise qui causent la diminution de la valeur de la composante U (cf. Figure
5.9).
Le cas C2 montre que la validation locale permet d’éliminer suffisamment de vecteurs faux
pour que les données soient vraisemblables. On voit que le cas C2 est très proche du cas
C4. En revanche, le cas C3 semble trop corriger les corrélations : près de la paroi la
première valeur dépasse le cas C4.
Figure 5.9. Illustration de la diminution de la valeur de U due à un faux vecteur
60
Figure 5.10. Profils moyens de vitesses U/Uc des cas C1 à C4
La Figure 5.11 est un tracé de l’intensité des fluctuations de vitesse σu/Uc. Sur cette figure
l’impact de la validation locale sur la corrélation croisée est encore plus net que sur la
précédente. Le cas C1 présente un niveau environ 6 fois supérieur aux autres cas. Ceci est
toujours dû au grand nombre de vecteurs faux qui engendre de grandes fluctuations dans la
valeur de la composante U. Mais dès que l’on applique la validation locale (cas C2) les
points se rapprochent du cas C4 tout en restant légèrement inférieurs (cf. Figure 5.12). Une
explication de ce décalage sera avancée à la fin de cette section. Le cas C3, qui a des
critères de validation plus serrés, semble bien concorder avec les autres cas pour y/h≥0.4.
Mais pour y/h≤0.4 les valeurs sont plus faibles que le cas C4. Ceci est le signe d’une
correction excessive qui élimine ou substitue de bons vecteurs.
61
σ u /
Uc
Figure 5.11. Intensité des fluctuations de vitesse σu/Uc des cas C1 à C4
62
σ u /
Uc
Figure 5.12. Intensité des fluctuations de vitesse σu/Uc des cas C2 à C4
Dans le cas de l’intensité des fluctuations de vitesse σv/Uc (cf. Figure 5.13) on voit encore
que C1 surévalue largement les valeurs des fluctuations. Ceci est toujours dû au très grand
nombre de faux vecteurs. Cependant, comme pour les fluctuations σu/Uc, le cas C2 ne
recolle pas au cas C4 mais cette fois-ci de façon plus marquée (cf. Figure 5.14). Après
validation, les valeurs du cas C2 sont inférieures au cas C4. Une explication est avancée un
peu plus loin. Pour ce qui est du cas C3, l’ensemble de ces valeurs sont trop faibles et plus
spécialement près de la paroi. Ceci vient confirmer que les critères de validation sont trop
sévères.
63
σ v /
Uc
Figure 5.13. Intensité des fluctuations de vitesse σv/Uc. Cas C1 à C4
σ v /
Uc
Figure 5.14. Intensité des fluctuations de vitesse σv/Uc. Cas C2 à C4
64 La Figure 5.15 est un tracé des tensions de Reynolds <u’v’>/Uc
2. Le cas C1 présente des
résultats incohérents. Le cas C2 semble davantage coller au cas C4. Cependant, on
remarque que pour les valeurs de y/h comprises entre 0.15 et 0.8 les valeurs du cas C2 sont
légèrement supérieures au cas C4. Le cas C3, surévalue la corrélation près de la paroi et la
sous-évalue lorsque l’on se rapproche du centre de la conduite. C’est une fois de plus le
signe que ses critères sont trop sévères.
<u
’v’>
/ U
c²
Figure 5.15. Tensions de Reynolds <u’v’>/Uc²
Une explication possible aux mauvais résultats obtenus avec la corrélation croisée vient des
images. En effet, après avoir interrogé 25 corrélations (de 1200 vecteurs chacune) avec le
script Matlab PDFdeplacement.m, on voit que les corrélations croisées subissent l’effet de
peak-locking (cf. Figure 5.16). Les déplacements sont nettement centrés autour des valeurs
entières. Ceci est valable pour toutes les corrélations croisées, même celles qui sont
validées localement. La validation locale ne peut pas corriger cet effet puisque le calcul des
vecteurs de substitution s’effectue en se basant sur des vecteurs eux-mêmes biaisés. Les
65 corrélations avec décalage des zones d’interrogation subissent moins l’effet de peak-
locking, mais il est présent. On voit sur la Figure 5.17 des renflements autours des valeurs
entières de déplacement.
Figure 5.16. Fonction densité de probabilité des déplacements U issue d’une corrélation croisée
La raison pour laquelle les corrélations subissent du peak-locking vient probablement de la
qualité des images et de l’ensemencement. L’ensemencement n’est peut-être pas assez
homogène et la taille des particules qui servent à la corrélation devrait être inférieure à 2
pixels dans la majorité des cas, ce qui n’est pas le cas au laboratoire.
Le peak-locking est surtout préjudiciable à la mesure des quantités turbulentes (Christensen
(2004)). Cette particularité cadre bien avec nos précédentes observations, puisque on a vu
que les mesures moyennes étaient assez proche des données de références mais pas les
quantités turbulentes. Ce peak-locking constitue une explication possible au fait que les
valeurs σv/Uc du cas C2 ne se rapprochent pas des valeurs du cas C4 (cf. Figure 5.13).
66 Lorsque le critère de validation est trop grand, le niveau de σv/Uc est trop élevé (cas C1). Si
on le resserre dans des proportions raisonnables (ici εv = 1) les valeurs de σv/Uc sont trop
petites (cas C2) car le peak-locking regroupe les valeurs autour d’un déplacement ou trop
grand ou trop petit. C’est pourquoi, sur la Figure 5.13, après validation les valeurs de σv/Uc
ne recollent pas aux valeurs du cas C4.
Figure 5.17. Fonction densité de probabilité des déplacements U issue d’une corrélation avec décalage des zones d’interrogation
Par ailleurs, concernant la résolution spatiale, celle-ci est trop grossière si l’on veut
observer les petites structures turbulentes. En plus, les données recueillies ne permettent
pas de se rapprocher suffisamment près de la paroi comme en témoigne la Figure 5.18. (Les
valeurs de U/Uτ et de y+ sont calculées avec les données du Tableau 5.1.) Le premier point
des données du cas C4 se situe dans la zone tampon, mais on voit que les points sont très
espacés et que l’on dispose de peu d’information dans cette région. De plus, la différence
de niveau observée, sur cette Figure 5.18, indique que la vitesse de frottement Uτ est sous
estimée. Cette vitesse est calculée à partir du Cf tiré de la formule (1.8) de Dean (1978).
67 Elle est donc indirectement tirée du Reynolds Rem calculé à partir de la vitesse de débit.
Une sous estimation de la vitesse Uτ signifie donc que la vitesse de débit est surévaluée.
Pour approcher davantage de la paroi il faudrait zoomer davantage (le grossissement
maximum de l’objectif de 105 mm n’a pas été utilisé dans cette étude), et probablement
avoir recours à un plus gros objectif. En zoomant davantage on augmente naturellement la
résolution spatiale. Cependant, le reflet du laser au niveau de la paroi limite le
rapprochement possible.
Figure 5.18. Profil moyen en coordonnées de paroi
Chapitre 6. Conclusion
Nous avons donc étudié l’écoulement dans une conduite de section rectangulaire à l’aide de
la vélocimétrie par image de particules ou PIV. Au cours de cette étude, en comparant
l’écoulement de la conduite du laboratoire avec les résultats de Hussain et Reynolds (1975),
il est apparu que l’écoulement étudié n’était pas pleinement développé. Les raisons pour
lesquelles cet écoulement n’est pas développé, malgré la longueur de la conduite, viennent
probablement de l’entrée de la conduite comme en témoigne le profil x =0.36 m de la
Figure 5.1. L’entrée ne comprend pas de chambre de tranquillisation suffisamment
importante pour gommer les défauts engendrés par l’inclinaison du tuyau coudé de l’entrée
et probablement par la plaque déflectrice de ce même tuyau. Il faudrait prévoir une
chambre de tranquillisation plus importante et pourvue de grilles. Le convergent pourrait
être retravaillé. Il est possible de lui donner un forme moins trapézoïdale qui offrirait une
adaptation plus douce à la section d’entrée de la conduite. Une autre raison possible vient
de la sortie de la conduite qui pourrait avoir une influence sur les mesures. L’évacuation de
l’eau par le tuyau de 8 pouces fixé au plancher de la conduite crée un tourbillon assez
important qui, malgré le nid d’abeille, doit très probablement influencer l’écoulement. Il
faudrait sans doute préférer une sortie comme celle de la Figure 6.1.
Figure 6.1. Suggestion de sortie de canal
69 Si ces dispositions sont inopérantes ou pas assez efficaces, on pourra aussi disposer des
éléments qui font passer les couches limites de leur état laminaire à turbulent (« boundary
layer tripper » cf. Erm et Joubert (1991)) sur le plafond et le plancher de la conduite. Ces
éléments permettent généralement d’accélérer de façon appréciable la transition de la
couche limite de son état laminaire à son état turbulent.
Par ailleurs, on a vu que les corrélations avec décalage des zones d’interrogation
fournissent des résultats qui semblent satisfaisants. La validation locale n’a que peu d’effet
sur les résultats bruts, ce qui semble indiquer que cette corrélation compte peu de vecteurs
faux. Pour ce qui est de la corrélation croisée, sa précision est loin de valoir celle de la
corrélation avec décalage des zones d’interrogation. Même pour les valeurs moyennes les
résultats sont insatisfaisants. Il faudra dans l’avenir prendre de grandes précautions pour
pouvoir obtenir des résultats satisfaisant avec la corrélation croisée. Bien entendu, ces
constatations sont à prendre avec une certaine réserve étant donné que les corrélations sont
entachées de l’effet de peak-locking. Pour pallier à ce problème, il faudra prendre un très
grand soin quant à la qualité des images, surtout du point de vue de la taille des images de
particules et de l’homogénéité de l’ensemencement. Avant de lancer l’acquisition de
milliers d’images, on pourrait acquérir quelques corrélations et les tester avec le script
PDFdeplacement.m pour voir si l’on n’a pas d’effet de peak-locking et donc si les images
sont acceptables.
Enfin, la résolution spatiale est trop faible (Δ+ = 57 avec l’objectif de 105 mm) pour
pouvoir observer correctement les abords de la paroi, et cela pose problème pour
l’utilisation de la validation locale. Il faudrait essayer de zoomer davantage voire d’utiliser
un autre objectif.
Mis à part ces résultats concrets, les objectifs de la maîtrise énoncés à la section 1.2 ont été
atteints. Le but était une pré-évaluation du fonctionnement de la PIV et de la cohérence des
résultats obtenus.
La compréhension du fonctionnement des différents organes composant le système PIV est
bonne, qu’il s’agisse des éléments physiques constituant le dispositif de mesure ou bien du
logiciel interface FlowManager.
70 Les valeurs moyennes de la vitesse U, des intensités des fluctuations de vitesse σu et σv et
des tensions de Reynolds <u’v’> ont été mesurées et comparées avec les données de
Hussain et Reynolds (1975) et Moser et al (1999).
Enfin, différents modes de traitement ont été testés, que ce soit au niveau du traitement des
images (corrélations croisées et corrélations avec décalage des zones d’interrogation) ou
bien du post-traitement des données issues de ces corrélations.
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Annexe 1. Calcul de la densité et de la viscosité de l’eau
Formule de calcul de la densité de l’eau
1
3
0
13
0
210
i
ij
jijwd R
où
Pappp abs
55 10102001
C11
1
De 20°C à 50°C θ1=20°C et θ est la température de
l’eau.
Rij pour 20 à 50 degrés Celsius
i j=0 j=1 j=2 j=3
i=0 -0.4410355650.10-4 0.3052252898.10-4 0.9207848427.10-6 -0.2590431198.10-7
i=1 0.1011269892 0.1763956234.10-4 0.5750340044.10-6 -0.1923769978.10-8
i=2 -0.4832441163.10-5 0.1533281704.10-7 -0.3749721294.10-9 0.1322804180.10-11
i=3 0.6194433327.10-9 -0.3164540431.10-11 0.6311389123.10-13 0.2469249342.10-15
Formule de la viscosité cinématique de l’eau :
)41.107
13.396921.16exp(
Annexe 2. Courbes d’étalonnage des capteurs [DeltaBar S] de Endress+Hauser
Courbe d'étalonnage du premier capteur de pression
y = 13254,739945x - 12916,127551
R2 = 1,000000
-5000
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
Tension
Pre
ss
ion
pression vs tension Linéaire (pression vs tension)
77
Erreur Absolue sur le premier capteur
-300
-200
-100
0
100
200
300
0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000
Pression (Pa)
Err
eur
abso
lue
Erreur absolue
0.10%
-0.10%
0.60%
-0.60%
Linéaire (0.60%)
Linéaire (-0.60%)
Linéaire (0.10%)
Linéaire (-0.10%)
78
Courbe d'étalonnage du deuxième capteur
y = 12793,902576x - 12490,037781
R2 = 1,000000
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
0 1 2 3 4 5 6
Tension (V)
Pre
ss
ion
(P
a)
Pression vs Tension Linéaire (Pression vs Tension)
Erreur absolue tension vs Pression
-300
-200
-100
0
100
200
300
0 10000 20000 30000 40000 50000 60000
Pression (Pa)
Err
eur
abso
lue
Erreur absolue vs Pression
0.10%
-0.10%
0.6%
-0.6%
Linéaire (0.10%)
Linéaire (-0.10%)
Linéaire (0.6%)
Linéaire (-0.6%)
79
80
Annexe 3. Calcul de l’erreur sur la mesure de la vitesse Uc
On voit sur les tracés d’erreur du deuxième capteur de pression (annexe 2) que la relation
entre la tension récupérée en sortie de capteur (V en volts) et la pression mesurée (P en Pa) est
la suivante :
038.12490V903.12793P (A3.1)
D’après la formule du livre de Protassov (2002) l’expression de l’erreur pour la fonction y(x)
est
2
2
xmoyx
2 )x(x
y)y(
(A3.2)
Appliquée à la pression P (A3.2) devient :
2
2
VV
2 )V(V
P)P(
moy
(A3.3)
Ici, la lecture de la tension V s’effectue sur un oscilloscope dont la précision à l’affichage est
de 0.001 Volts, on pose donc Volts. 001.0V
Avec la formule (A3 .1), on trouve queVmoyVV
P903.12793
V
P
.
La formule (A3.3) s’écrit alors :
222 )001.0()903.12793()P( (A3.4)
Soit
794.12001.0903.12793P Pa (A3.5)
Les pressions mesurées sont en moyenne de l’ordre de 800 Pa on a donc une erreur relative
due à la lecture de l’ordre de :
016.0800
794.12
P
P
(soit 1.6%) (A3.6)
Par ailleurs, d’après la courbe d’erreur de l’annexe 2 une erreur relative systématique de 0.6%
(due à la précision du capteur de pression) vient s’ajouter à cette erreur. Nous appellerons la
première erreur calculée plus haut P
P1 et la deuxième (de 0.6%)
P
P2. L’erreur relative totale
est donc égale à :
81
2
2
2
1
P
P
P
P
P
P
(A3.7)
Soit
017.0)006.0()016.0(P
P 22
(soit 1.7%) (A3.8)
Ou une erreur absolue de P = 13.7 Pa
La formule permettant d’obtenir la vitesse Uc à partir de la pression P (obtenue par la formule
de Bernoulli) est la suivante :
P2
Uc (A3.9)
Où est la masse volumique de l’eau que nous prendrons ici égale à 997 kg/m3 (valeur à
22°C).
La formule (A3.2) écrite pour Uc est :
2
2
PmoyP
c2c )P(
P
U)U(
(A3.10)
Ici on a moyPmoyP
c
P2
1
P
U
(A3.10) s’écrit donc
PP2
1U
moy
c
(A3.11)
En prenant , P = 13.7 Pa et = 997 kg/m3, on obtient : Pa800Pmoy
012.07.138009972
1Uc
(A3.12)
La vitesse Uc est en moyenne de l’ordre de 1.15 m/s, on a donc une erreur relative sur Uc de :
009.015.1
012.0
U
U
c
c
soit environ 1% (A3.13)
Donc, avec le dispositif de mesure par tube de Pitot on obtient une précision de 1% sur la
mesure de Uc. (L’erreur obtenue en utilisant le premier capteur est sensiblement la même).
