variables aléatoires - site.math.free.frsite.math.free.fr/bts/cours_bts_cgo/variables_aleatoires.pdf · 1 généralités sur les variables aléatoires 1.1 activités 1.1.1 activité

variables aléatoires

Table des matières

1 généralités sur les variables aléatoires 21.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 corrigés activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 corrigé activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3


1.3 a retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 répétition d’expériences identiques et indépendantes 112.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.3 activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 corrigés activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13




2.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 devoirs maison 203.1 devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 tp 254.1 tp1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 corrigé tp1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3 tp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 corrigé tp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 évaluations 345.1 évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2 corrigé évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6 exercices bac et autres 44

1

1 généralités sur les variables aléatoires

1.1 activités

1.1.1 activité 1

activité : (notion de variable aléatoire)

un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée

010

5

0

5 1 0

0

5

1

le prix à payer pour une partie est de 2 eurosle jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euroson pose : X = gain = rapport du jeu - prix de la partieon dit que X est une variable aléatoire

1. déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X

2. déterminer les probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X(consigner les résultats dans un tableau)

3. déterminer p(X ≤ 0) et p(X > 0)

4. déterminer E(X) l’espérance de X donnée par : E(X) =∑

pixioù les xi sont les valeurs possibles pour X et pi les probabilités respectivement associées.interpréter cette valeur.

5. déterminer la variance V (X) et l’écart type σ(X) de X donnés par :

V (X) =∑

pix2

i − E(X)2 et σ(X) =√

V (X)

6. le jeu est à gain positif si E(X) > 0, qu’en est-il de ce jeu ? est-il plus favorable à l’orga-nisateur ou au joueur ?

7. déterminer le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle.

1.1.2 activité 2

activité : loi de probabilité

un jeu consiste à jeter deux dés bien équilibrés à quatre faces dont les faces sont numérotéesde 1 à 4.A chaque résultat on associe la somme X des deux scores.Celui qui devine la somme des deux score à l’avance gagne le nombre d’euros correspondant.Ael choisit 4 pour total et Léa choisit 5.Laquelle des deux a le plus de chances de gagner ?

(a) déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X

(b) déterminer les probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de Xet consigner les résultats dans un tableau. (on pourra s’aider d’un arbre, ou d’un tableaudouble entrée pour répertorier tous les cas possibles)

(c) répondre à la question ci dessus

(d) calculer l’espérance de X

1.2 corrigés activités

1.2.1 corrigé activité 1

corrigé activité : (notion de variable aléatoire)


010

5

0

5 1 0

0

5

1

le prix à payer pour une partie est de 2 eurosle jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euroon pose : X = gain = rapport du jeu - prix de la partieon dit que X est une variable aléatoire

posons :��

��R = rapport du jeu ,��

��C = coût du jeu et

��

��X = R− C = gain du jeu

1. valeurs possible pour R :

10510

valeurs possible pour X :

10− 2 = 85− 2 = 31− 2 = −10− 2 = −2

soit :��

��X ∈ {−2 ; −1 ; 3 ; 8}

2. valeurs des probabilités associées aux valeurs de X :

p(X = 8) = p(R = 10) =1

10=

nb cas favorables

cas total

p(X = 3) = p(R = 5) =3

10

p(X = −1) = p(R = 1) =2

10

p(X = −2) = p(R = 0) =4

10

le tableau de la loi de probabilité de X est :

valeurs possibles de X : xi -2 -1 3 8 total

probabilités : pi4

10= 0, 4

2

10= 0, 2

3

10= 0, 3

1

10= 0, 1 1

3. p(X ≤ 0) = p(X = −2) + p(X = −1) =��

��0, 6

p(X > 0) = 1− p(X ≤ 0) =��

��0, 4

ou bien

��

��p(X > 0) = 1− p(X ≤ 0) = 1− 0, 6 = 0, 4

4. E(X) =∑

pixi

E(X) = 0, 4 × (−2) + 0, 2× (−1) + 0, 3 × 3 + 0, 1 × 8 =��

��0, 7

��

��ceci signifie qu’en moyenne le gain est de 0,7 euros par partie

5. V (X) =∑

pix2

i − E(X)2

V (X) = 0, 4 × (−2)2 + 0, 2× (−1)2 + 0, 3× 32 + 0, 1 × 82 − 0, 72 =��

��10, 41

σ(X) =√

V (X)

σ(X) =√10, 41

��

��≃ 3, 22

6.��

��le jeu est à gain positif car E(X) = 0, 7 > 0,

��

��il est plus favorable au joueur car il gagne

en moyenne 0,7 euros.

7. soit y le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle.

E(X) = 0 ⇐⇒ 0, 4(0 − y) + 0, 2(1 − y) + 0, 3(5 − y) + 0, 1(10 − y) = 0

⇐⇒ −0, 4y + 0, 2 − 0, 2y + 1, 5 − 0, 3y + 1− 0, 1y = 0

⇐⇒ −y + 2, 7 = 0

⇐⇒ y = 2, 7

��

��le prix doit être de 2,7 euros pour avoir une espérance nulle


corrigé activité : loi de probabilité

un jeu consiste à jeter deux dés bien équilibrés à quatre faces dont les faces sont numérotéesde 1 à 4.A chaque résultat on associe la somme X des deux scores.Celui qui devine la somme des deux score à l’avance gagne le nombre d’euros correspondant.Ael choisit 4 pour total et Léa choisit 5.Laquelle des deux a le plus de chances de gagner ?

(a) ensemble des valeurs possibles pour X :comme on répète deux fois la même expérience aléatoire, on utilise un arbre de dénom-brement pour visualiser les résultats possibles

b

b

1b 1 : X = 2b 2 : X = 3b 3 : X = 4b 4 : X = 5

b

2b 1 : X = 3b 2 : X = 4b 3 : X = 5b 4 : X = 6

b

3b 1 : X = 4b 2 : X = 5b 3 : X = 6b 4 : X = 7

b

4b 1 : X = 5b 2 : X = 6b 3 : X = 7b 4 : X = 8

on a donc��

��X ∈ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

(b) probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de Xet résultats dans un tableau.

le tableau de la loi de probabilité de X est :

valeurs possibles de X : xi 2 3 4 5 6 7 8 total

probabilités : pi1

16

2

16

3

16

4

16

3

16

2

7

1

16

16

16= 1

(c) répondre à la question ci dessus :

probabilité que Ael gagne : P (X = 4) =3

16= 0, 1875 = 18, 75%

probabilité que Léa gagne : P (X = 5) =4

16= 0, 25 = 25%

donc��

��Léa a plus de chances de gagner que Ael (25% > 18, 75%)

(d) espérance de X :

E(X) =∑

pixi

E(X) =1

16× 2 +

2

16× 3 +

3

16× 4 +

4

16× 5 +

3

16× 6 +

2

16× 7 +

1

16× 8 =

80

16=

��

��5

��

��ceci signifie qu’en moyenne la somme des deux scores est de 5

1.3 a retenir

définition 1

Soit un univers de probabilité fini U = {w1; w2; ...;wn} (n ≥ 1)sur lequel est défini une probabilité p(chaque "résultat" wi a une probabilité p(wi) de se produire)Soit X une fonction qui à chaque élément wi de U associe un nombre réel xiOn dit que X est une variable aléatoire (réelle) qui prend r valeurs avec r ≤ n

Pour tout xi avec 1 ≤ i ≤ r on pose��

��p(xi) = p(cas de U favorables pour xi)

et on définit ainsi une loi de probabilité que l’on consigne en général dans un tableau.

valeurs possibles de X : xi x1 x2 ... xr total

probabilités : pi p1 p2 ... pr 1

exemple :

pile

face

1

-1

U Ron lance une pièce de monnaie équilibréesi on fait "pile" alors on gagne 1esi on fait "face" alors on perd 1 eon a alors :U = {pile; face}soit X la fonction telle que :X : pile 7−→ 1etX : face 7−→ −1la loi de probabilité de X est donnée par le tableau ci dessousvaleurs possibles de X : xi −1 1 total

probabilités : pi 0, 5 0, 5 1

propriété 1

Soit X une variable aléatoire réelle de loi de probabilité donnée par le tableau suivant

valeurs possibles de X : xi x1 x2 ... xr total

probabilités : pi p1 p2 ... pr 1

(1) L’espérance (ou valeur moyenne) de X est le nombre réel noté E(X)

tel que :

�

�

�

�E(X) =

i=r∑

i=1

pixi

(2) La variance de X est le nombre réel noté V (X)

tel que :

�

�

�

�V (X) =

i=r∑

i=1

pix2

i − (E(X))2 ou

�

�

�

�V (X) =

i=r∑

i=1

pi(xi −E(X))2

(3) l’écart type de X est le nombre réel noté σ(X)

tel que :��

��σ(X) =

√

V (X)

Remarques :

(a) on a les mêmes formules qu’en statistiques pour la moyenne, la variance et l’écart type.

1.4 exercices

exercice 1 :

une question d’un Q.C.M. de sujet de bac propose 3 réponses dont une seule est la bonne

réponse1 réponse2 réponse3

la bonne réponse rapporte 1 pointune mauvaise réponse enlève 0, 25 pointssans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point

un candidat choisit de s’en remettre au hasardon considère que les probabilités qu’il choisisse une des trois réponses proposées ou qu’ilne réponde pas soient les mêmes (et que leur somme vaut 1)Soit X le nombre de points qu’obtient le candidat pour cette question

1. (a) déterminer les valeurs possibles pour X

(b) déterminer la loi de probabilité de X (à consigner dans un tableau)

(c) déterminer E(X) et interpréter cette valeur

2. déterminer E(X) dans le cas où 5 réponses sont proposées et interpréter le résultat

exercice 2 :


040

0

2

0

5

2 0

0

2

5

1

le prix à payer pour une partie est de C = 3 ele jeu rapporte le montant R indiqué par la roue en euroson pose : gain = X = R− C


2. déterminer la loi de probabilité de X(consigner les résultats dans un tableau)

3. (a) déterminer p(X ≥ 3) et p(X < 3)

(b) quelle est la probabilité de recevoir plus que ce que l’on a payé pour jouer ?

(c) peut-on en déduire si le jeu est au bénéfice du joueur ou de l’organisateur ?

4. (a) déterminer E(X) et interpréter cette valeur

(b) ce jeu est-il plus favorable à l’organisateur ou au joueur ? (justifier)

(c) déterminer le prix de la partie pour que le jeu soit "équitable"

exercice 3 :

un jeu consiste à laisser tomber une bille dans une "planche de Galton"

6 e 1 e 2 e 5 e

le coût pour jouer est de C = 3eon considère qu’à chaque impact, la bille a la mêmeprobabilité de tomber à droite qu’à gaucheon considère que la bille va nécessairement se retrouverdans une des 4 cases du basle jeu rapporte la somme R indiquée par la case

1. soit X le nombre de fois ou la bille est tombée à gauchedéterminer le tableau de la loi de probabilité de X(on pourra utiliser un arbre)

2. (a) soit Y ce que rapporte le jeu (Y = R)compléter les correspondances ci dessous :Y = 6 ⇐⇒ X = ...Y = 1 ⇐⇒ X = ...Y = 2 ⇐⇒ X = ...Y = 5 ⇐⇒ X = ...

(b) déduire des résultats ci dessus le loi de probabilité de Y

(c) en déduire E(Y ) et interpréter le résultat

(d) à partir de quel prix le jeu est-il favorable au joueur ?

1.5 corrigés exercices

corrigé exercice 1 :

une question d’un Q.C.M. de sujet de bac propose 3 réponses dont une seule est la bonne

réponse1 réponse2 réponse3

la bonne réponse rapporte 1 pointune mauvaise réponse enlève 0, 25 pointssans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point

un candidat choisit de s’en remettre au hasardon considère que les probabilités qu’il choisisse une des trois réponses proposées ou qu’ilne réponde pas soient les mêmes (et que leur somme vaut 1)Soit X le nombre de points qu’obtient le candidat pour cette question

1. (a)��

��X ∈ {−0, 25; 0; 1}

(b) loi de probabilité de X (tableau)valeurs possibles de X : xi −0, 25 0 1 total

probabilités : pi2

4

1

4

1

41

par exemple : p(X = −0, 25) = p(faux) =2

4car deux réponses sont fausses parmi 4

choix possibles de l’élève ( 4 = 3 + 1, il ne pas oublier le cas où il ne répond pas)

(c) E(X) =∑

pixi =2

4× (−0, 25) +

1

4× 0 +

1

4× 1 =

��

��0, 125

un élève qui répond au hasard, obtient en moyenne 0, 125 points à la question

2. E(X) dans le cas où 5 réponses sont proposées et interpréter le résultat

E(X) =∑

pixi =4

6× (−0, 25) +

1

6× 0 +

1

6× 1 =

��

��0

un élève qui répond au hasard, obtient en moyenne 0 points à la question



040

0

2

0

5

2 0

0

2

5

1

le prix à payer pour une partie est de C = 3 ele jeu rapporte le montant R indiqué par la roue en euroson pose : gain = X = R− C

1. ensemble des valeurs possibles pour X :��

��R ∈ {0; 1; 2; 5; 40}

donc

��

��X ∈ {−3; −2; −1; 2; 37}

2. loi de probabilité de X (tableau)valeurs possibles de X : xi −3 −2 −1 2 37 total

probabilités : pi5

12

1

12

3

12

2

12

1

121

3. (a) p(X ≥ 3) = p(X = 37) =

�

�

�

�1

12

p(X < 3) = 1− p(X ≥ −3) = 1− 1

12=

12

12− 1

12=

�

�

�

�11

12

(b) la probabilité de recevoir plus que ce que l’on a payé pour jouer , c’est à dire p(R > 3)

est de p(R > 3) = p(R = 5) + p(R = 40) =2

12+

1

12=

3

12=

��

��25%

(c) il semble alors que le jeu soit à l’avantage de l’organisateur, mais, pour le savoir ilfaut calculer l’espérance du gain.

4. (a) E(X) =∑

pixi =5

12× (−3) +

1

12× (−2) +

3

12× (−1) +

2

12× 2 +

1

12× 37 =

21

12=

��

��1, 75 e

(b) ce jeu est��

��plus favorable au joueur car

��

��en moyenne le joueur gagne 1, 75 e

(c) le jeu soit "équitable" si E(X) = 0,

ce qui se produit si le prix de la partie est de 3 + 1, 75 =��

��4, 75 e

on peut retrouver cette valeur en résolvant l’équation suivante :

5

12× (0− x) +

1

12× (1− x) +

3

12× (2− x) +

2

12× (5− x) +

1

12× (40− x) = 0

57

12− x = 0

x =57

12=

��

��4, 75


un jeu consiste à laisser tomber une bille dans une "planche de Galton"

6 e

X=

3

1 e

X=

2

2 e

X=

1

5 e

X=

0

le coût pour jouer est de C = 3eon considère qu’à chaque impact, la bille a la mêmeprobabilité de tomber à droite qu’à gaucheon considère que la bille va nécessairement se retrouverdans une des 4 cases du basle jeu rapporte la somme R indiquée par la case

1. soit X le nombre de fois ou la bille est tombée à gauchedéterminer le tableau de la loi de probabilité de X

��

��X ∈ {0; 1; 2; 3}

(pour déterminer les probabilités on utilise un arbre)

G

G

G X = 3

G X = 2

G

G X = 2

G X = 1

G

G

G X = 2

G X = 1

G

G X = 1

G X = 0

il y a 8 issues possibles

p(X = 3) =1

8

p(X = 2) =3

8

p(X = 1) =3

8

p(X = 0) =1

8

d’où le tableau de loi de probabilité suivant

valeurs possibles de X : xi 0 1 2 3 total

probabilités : pi1

8

3

8

3

8

1

81

2. (a) soit Y le rapport du jeu (Y = R)on a donc ci dessous :

Y = 6 ⇐⇒ X = 3Y = 1 ⇐⇒ X = 2Y = 2 ⇐⇒ X = 1Y = 5 ⇐⇒ X = 0

(b) d’où le tableau de loi de probabilité suivant pour Yvaleurs possibles de Y : yi 5 2 1 6 total

probabilités : pi1

8

3

8

3

8

1

81

(c) on a alors E(Y ) =∑

piyi =1

8× 5 +

3

8× 2 +

3

8× 1 +

1

8× 6 =

20

8=

��

��2, 5 e

ce qui signifie que le rapport moyen est de��

��2, 5 e

(d) à partir de quel prix le jeu est-il favorable au joueur ? :��

��2, 5 e

2 répétition d’expériences identiques et indépendantes

2.1 activités

2.1.1 activité 1

Une étude statistique a montré que, dans un petit centre hospitalier, pour chaque journée :la probabilité d’avoir deux urgences est de 20%la probabilité d’avoir une urgence est de 70%la probabilité de n’avoir aucune urgence est de 10%un médecin est de service aux urgences pendant deux jours,on s’intéresse au nombre X d’urgences qu’est susceptible de traiter ce médecin durant sonremplacement de deux jourson suppose de plus que les nombres d’urgences d’un jour à l’autre sont indépendantes

1. compléter l’arbre pondéré suivant

b

b

deux

×0, 2

b deux : X = ......

b une : X = ......

b aucune : X = ......

b

une...

b deux : X = ......

b une : X = ......

b aucune : X = ......

b

aucune

... b deux : X = ......

b une : X = ......

b aucune : X = ......

2. en déduire les valeurs possibles pour X

3. justifier que p(X = 3) = 0, 28

4. déterminer en détaillant les calculs les probabilités p(X = 0), p(X = 1), p(X = 2), p(X = 4)

5. en déduire la loi de probabilité de X (donner un tableau)

6. déterminer la probabilité qu’il traite au moins une urgence

7. donner le nombre moyen d’urgences qu’est susceptible de traiter le médecin (arrondir àl’entier le plus proche)

2.1.2 activité 2

on lance trois fois de suite un dé équilibré à 4 faces inscrites de A à Don s’intéresse au nombre X de fois où l’on a obtenu la lettre A parmi les trois lancers

1. donner les valeurs possible pour X

2. construire un arbre pondéré et déterminer la loi de probabilité de X

3. déterminer p(X ≥ 1) et interpréter le résultat

4. déterminer E(X) et interpréter le résultat

5. montrer que pour n lancers on a p(X ≥ 1) = 1− 0, 75n

et en déduire le nombre minimal de lancers à faire pour que la probabilité d’obtenir aumoins une fois la lettre A soit d’au moins 99%

2.1.3 activité 3

un certain Q.C.M. comporte uniquement deux questions– une bonne réponse rapporte 1 point– une mauvaise réponse enlève 1 point– une question laissée sans réponse n’enlève ni n’ajoute aucun pointpour un certain élève E :– E trouve la bonne réponse (BR) dans 80% des cas– E se trompe (F ) dans 15% des cas– E ne répond pas (SR) pour le reste des cason considère que les réponses proposées par E sont indépendantessoit X le nombre de points obtenu suite aux deux questions

1. compléter l’arbre pondéré ci dessous

b

b

BR

×0, 8

b BR : X = ......

b SR : X = ......

b F : X = ......

b

SR...

b BR : X = ......

b SR : X = ......

b F : X = ......

b

F

...b BR : X = ...

...

b SR : X = ......

b F : X = ......


3. déterminer la loi de probabilité de X

4. quelle est la probabilité que E obtienne au moins un point ?

5. combien de points peut espérer avoir un élève comme E ?

2.2 corrigés activités


la probabilité d’avoir deux urgences est de 20%la probabilité d’avoir une urgence est de 70%la probabilité de n’avoir aucune urgence est de 10%un médecin est de service aux urgences pendant deux jours,on s’intéresse au nombre X d’urgences qu’est susceptible de traiter ce médecin durant sonremplacement de deux jourson suppose de plus que les nombres d’urgences d’un jour à l’autre sont indépendantes

1. arbre pondéré :

b

b

deux

×0, 2

b deux : X = 2 + 2 = 4×0, 2

b une : X = 2 + 1 = 3×0, 7

b aucune : X = 2 + 0 = 2×0, 1

b

une×0, 7

b deux : X = 3×0, 2

b une : X = 2×0, 7

b aucune : X = 1×0, 1

b

aucune×0, 1

b deux : X = 2×0, 2

b une : X = 1×0, 7

b aucune : X = 0×0, 1

2.��

��X ∈ {0; 1; 2; 3; 4}

3. p(X = 3) = p(deux et une) + p(une et deux) = 0, 2× 0, 7 + 0, 7× 0, 2 = 0, 14 + 0, 14 =��

��0, 28

4. p(X = 0) = p(aucune et aucune) = 0, 1 × 0, 1 =��

��0, 01

p(X = 1) = 0, 7× 0, 1 + 0, 1 × 0, 7 =��

��0, 14

p(X = 2) = p(deux et aucune) + p(une et une) + p(aucune et deux)p(X = 2) = 0, 2× 0, 1 + 0, 7 × 0, 7 + 0, 1 × 0, 2 =

��

��0, 53

p(X = 4) = p(deux et deux) = 0, 2× 0, 2 =��

��0, 04

5. on en déduit la loi de probabilité de X (tableau)valeurs possibles de X : xi 0 1 2 3 4 total

probabilités : pi 0, 01 0, 14 0, 53 0, 28 0, 04 1

6. probabilité qu’il traite au moins une urgence

p(X ≥ 1) = 1− p(X = 0) = 1− 0, 01 =��

��0, 99

ou bienp(X ≥ 1) = p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3) + p(X = 4) = 0, 14 + 0, 53 + 0, 28 + 0, 04 =

��

��0, 99

7. nombre moyen d’urgences qu’est susceptible de traiter le médecin(arrondir à l’entier le plus proche)

E(X) =∑

pixi = 0, 01 × 1 + 0, 14 × 1 + 0, 53 × 2 + 0, 28 × 3 + 0, 04 × 4 = 2, 2 soit��

��2 urgences


on lance trois fois de suite un dé équilibré à 4 faces inscrites de A à Don s’intéresse au nombre X de fois où l’on a obtenu la lettre A parmi les trois lancers

1.��

��X ∈ {0; 1; 2; 3}

2. arbre pondéré et la loi de probabilité de X

A0,25

A0,25

A X = 3 : 0, 2530,25

A X = 2 : 0, 252 × 0, 750,75

A

0,75

A X = 20,25

A X = 1 : 0, 25 × 0, 7520,75

A0,75

A0,25

A X = 20,25

A X = 10,75

A

0,75

A X = 10,25

A X = 0 : 0, 7530,75

p(X = 0) = 0, 753 ≈ 0, 42

p(X = 1) = 3× 0, 251 × 0, 752 ≈ 0, 42

p(X = 2) = 3× 0, 252 × 0, 75 ≈ 0, 14

p(X = 3) = 0, 253 ≈ 0, 02

3. p(X ≥ 1) = 1− p(X = 0) = 1− 0, 753 ≈ 0, 578

la probabilité d’avoir au moins une fois la face A est d’environs 58%

4. E(X) =∑

pixi ≃ 0, 42 × 0 + 0, 42 × 1 + 0, 14 × 2 + 0, 02 × 3 ≃ 0, 75

soit��

��0, 75 fois la face A en moyenne

5. pour n lancers on a :p(X ≥ 1) = 1− p(X = 0) = 1− 0, 75n

le nombre minimal de lancers à faire pour que la probabilité d’obtenir au moins une foisla lettre A soit d’au moins 99% vérifie l’inéquation : 1− 0, 75n ≥ 0, 99on utilise le tableau de valeurs de la calculatrice : pour trouver que n ≥ 17

valeur de n 16 17

valeur de 1− 0, 75n 0, 989 0, 992


1. arbre pondéré

b

b

BR

×0, 8

b BR : X = 1 + 1 = 2×0, 8

b SR : X = 1 + 0 = 1×0, 15

b F : X = 1 + (−1) = 0×0, 05

b

SR×0, 15

b BR : X = 1×0, 8

b SR : X = 0×0, 15

b F : X = −1×0, 05

b

F×0, 05

b BR : X = 0×0, 8

b SR : X = −1×0, 15

b F : X = −2×0, 05

2.��

��X ∈ {−2; −1; 0; 1; 2}

3. loi de probabilité de X

p(X = 2) = p(BR ∩ BR) = 0, 8× 0, 8 = 0, 64 =��

��64%

p(X = 1) = p(BR ∩ SR) + p(SR ∩ BR) = 0, 8× 0, 15 + 0, 15 × 0, 8 = 0, 12 + 0, 12 =��

��24%

p(X = 0) = p(BR ∩ F ) + p(SR ∩ SR) + p(F ∩ BR)

p(X = 0) = 0, 8 × 0, 05 + 0, 15 × 0, 15 + 0, 05 × 0, 8 =��

��10, 25%

p(X = −1) = p(SR ∩ F ) + p(F ∩ SR) = 0, 15 × 0, 05 + 0, 05 × 0, 15 =��

��1, 5%

p(X = −2) = p(F ∩ F ) = 0, 05 × 0, 05 =��

��0, 25%

valeurs possibles de X : xi −2 −1 0 1 2 total

probabilités : pi 0, 0025 0, 015 0, 1025 0, 24 0, 64 1

4. probabilité que E obtienne au moins un pointp(X ≥ 1) = p(X = 1) + p(X = 2) = 0, 24 + 0, 64 =

��

��0, 88

5. nombre de points peut espérer avoir un élève comme EE(X) =

∑

pixi = 0, 0025 × (−2) + 0, 015 × (−1) + 0, 1025 × 0 + 0, 24 × 1 + 0, 64 × 2 =��

��1, 5 points

2.3 à retenir

propriété 2

soit une expérience aléatoire E dont l’univers des résultats possibles est U = {x1; x2; x3}et où les événements x1, x2, x3 ont pour probabilités respectives p1, p2, p3.soit une expérience aléatoire F composée d’une succession de 2 répétitions"identiques" et "indépendantes" de l’expériences aléatoires E.l’ensemble des résultats possibles de F ainsi que les probabilités de chacundes résultats possibles sont en correspondance avec un arbre pondéré comme ci dessous

b

b

x1

×p1

b x1 p(x1 ∩ x1) = p1 × p1×p1

b x2 p(x1 ∩ x2) = p1 × p2×p2

b x3 p(x1 ∩ x3) = p1 × p3×p3

b

x2×p2

b x1 p(x2 ∩ x1) = p2 × p1×p1

b x2 p(x2 ∩ x2) = p2 × p2×p2

b x3 p(x2 ∩ x3) = p2 × p3×p3

b

x3

×p3b x1 p(x3 ∩ x1) = p3 × p1×p1

b x2 p(x3 ∩ x2) = p3 × p2×p2

b x3 p(x3 ∩ x3) = p3 × p3×p3

1.��

��la somme des probabilités des branches qui partent d’un noeud vaut p1 + p2 + p3 = 1

2. la probabilité d’un des événements x1 ∩ x1, x1 ∩ x2, ..., x3 ∩ x3, est égale��

��au produit des probabilités des branches suivies pour arriver à cet événement

p(x1 ∩ x1) = p1 × p1, ... , p(x3 ∩ x3) = p3 × p3

remarques :

i. on généralise cette propriété au cas où on répète avec indépendance, un nombre finiquelconque de fois la même expérience aléatoire ayant un nombre fini de résultats

ii. "indépendantes" signifie intuitivement que le résultat d’une quelconque des expé-riences aléatoire n’a aucune influence sur les résultats des autres expériences

iii. on généralise cette propriété au cas d’une succession d’expériences aléatoires nonidentiques et indépendantes ayant chacune un nombre fini de résultats possibles

exemple :on lance deux fois une pièce de monnaie non équilibrée avec indépendance

b

b

P×0, 8

b P p(P ∩ P ) = 0, 8× 0, 8 = 0, 64×0, 8

b F p(P ∩ F ) = 0, 8× 0, 2 = 0, 16×0, 2

b

F×0, 2

b P p(F ∩ P ) = 0, 2× 0, 8 = 0, 16×0, 8

b F p(F ∩ F ) = 0, 2× 0, 2 = 0, 04×0, 2

2.4 exercices

exercice 4 :

un comité d’entreprise choisit le train comme moyen de transport pour les employés inscritsà un voyage, deux formules sont proposées :

• la formule no 1 : voyage en 1ère classe plus hôtel pour un coût total de 150 e ;• la formule no 2 : voyage en 2e classe plus hôtel pour un coût total de 100 e.

40 % des employés inscrits choisissent la formule no 1. Le comité d’entreprise propose uneexcursion facultative pour un coût de 30 e.80 % des employés ayant choisit la formule no 1 choisissent l’excursion facultative, de mêmepour ceux ayant choisit la formule no 2.On interroge au hasard un employé inscrit à ce voyage. On note :

• U l’évènement : « l’employé inscrit choisit la formule no 1 » ;• D l’ évènement : « l’employé inscrit choisit la formule no 2 » ;• E l’ évènement : « l’employé inscrit choisit l’excursion facultative ».

1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.

2. Montrer que la probabilité que l’employé inscrit choisisse la formule no 2 et l’excursionfacultative est égale à 0, 48.

3. Soit C le coût total du voyage (excursion comprise).

(a) Déterminer les différentes valeurs possibles que peut prendre C.

(b) Déterminer la loi de probabilité de C.

(c) Calculer l’espérance de cette loi. Interpréter le résultat.

4. au retour du voyage, un robot envoie au hasard un courriel à l’un des employés pour luidemander s’il est satisfait du voyage, puis le robot recommence une deuxième fois (onpeut retomber sur le même employé )Soit X le nombre de fois où l’on est tombé sur un employé ayant choisit la formule no 1

(a) quelle est la probabilité que l’on soit tombé deux fois sur un employé qui a choisit laformule no 1 ? (construire un arbre)

(b) quelle est la probabilité que l’on soit tombé au moins une fois sur un employé qui achoisit la formule no 2 ?

(c) quelle est la probabilité que l’on soit tombé au moins une fois sur un employé qui achoisit la formule no 2 ? si on a envoyé 3 courriels ?

(d) combien faut-il envoyer de courriels pour tomber au moins une fois sur un employéqui a choisit la formule no 2 avec une probabilité d’au moins 99% ?

exercice 5 :

une urne contient 8 billes vertes et x rougeson tire au hasard deux billes dans l’urne avec remise,on considère que les tirages sont indépendants

1. calculer la probabilité d’obtenir deux billes de couleurs différentes

(a) si x = 2

(b) si x = 32

2. combien faut-il mettre de billes rouges dans l’urne pour que la probabilité que le tirageci dessus donne deux billes de couleurs différentes avec une probabilité de 75% ?

3. en utilisant la calculatrice, conjecturer la valeur de x qui semble maximiser la probabilitéd’obtenir deux billes de couleurs différentes et donner cette probabilité

2.5 corrigés exercices


1. arbre de probabilités

b

b

U×0, 4

b E C = 150 + 30 = 180 e×0, 8

b E C = 150 + 0 = 150e×0, 2

b

D×0, 6

b E C = 100 + 30 = 130e×0, 8

b E C = 100 + 0 = 100e×0, 2

2. p(D ∩ E) = 0, 6× 0, 8 = 0, 48

3. Soit C le coût total du voyage (excursion comprise).

(a) C ∈ {100; 130; 150; 180}

(b) loi de probabilité de C

valeurs possibles de C : xi 100 130 150 180 total

probabilités : pi 0, 6 × 0, 2 = 0, 12 0, 48 0, 08 0, 4× 0, 8 = 0, 32 1

(c) espérance de cette loi et interprétation

E(X) =∑

pixi = 0, 12 × 100 + 0, 48 × 130 + 0, 08 × 150 + 0, 32 × 180 =��

��144 e

le coût moyen du voyage est de 144 e

4. X le nombre de fois où l’on est tombé sur un employé ayant choisit la formule no 1

(a) p(X = 2) = 0, 4× 0, 4 = 0, 16

b

b

U×0, 4

b U X = 2×0, 4

b D X = 1×0, 8

b

D×0, 6

b U X = 1×0, 4

b D X = 0×0, 8

(b) p(X < 2) = 1− p(X = 2) = 1− 0, 16 = 0, 84

(c) quelle est la probabilité que l’on soit tombé au moins une fois sur un employé qui achoisit la formule no 2 pour 3 courriels envoyés ?trois fois sur la formule no 1 : p(X = 3) = 0, 43 = 0, 064

au moins une fois sur la formule no 2 :p(X < 3) = 1− 0, 43 = 0, 936

(d) combien faut-il envoyer de courriels pour tomber au moins une fois sur un employéqui a choisit la formule no 2 avec une probabilité d’au moins 99% ?n fois sur la formule no 1 : p(X = n) = 0, 4n

au moins une fois sur la formule no 2 : p(X < n) = 1− 0, 4n

il reste à résoudre l’inéquation : 1− 0, 4n ≥ 0, 99on utilise le tableau de valeurs de la calculatrice : pour trouver que n ≥ 6

valeur de n 5 6

valeur de 1− 0, 4n ≃ 0, 989 ≃ 0, 995


une urne contient 8 billes vertes et x rougeson tire au hasard deux billes dans l’urne avec remise,on considère que les tirages sont indépendants

1. calculer la probabilité d’obtenir deux billes de couleurs différentes

b

b

V× 8

8 + x

b V× 8

8 + x

b R× x

8 + x

b

R

× x

8 + x

b V× 8

8 + x

b R× x

8 + x

(a) si x = 2 :

p(deux couleurs) = p(V ∩R) + p(R ∩ V ) =8

8 + 2× 2

8 + 2+

2

8 + 2× 8

8 + 2= 0, 32

(b) si x = 32 :


8 + 32× 32

8 + 32+

32

8 + 32× 8

8 + 32= 0, 32

2. combien faut-il mettre de billes rouges dans l’urne pour que la probabilité que le tirageci dessus donne deux billes de couleurs différentes avec une probabilité de 75% ?il suffit de résoudre l’équation :


8 + x× x

8 + x+

x

8 + x× 8

8 + x=

16x

(8 + x)2= 0, 75

⇐⇒ 0, 75(8 + x)2 = 16x

⇐⇒ 0, 75(64 + 16x+ x2) = 16x

⇐⇒ 48 + 12x+ 0, 75x2 = 16x

⇐⇒ 0, 75x2 − 4x+ 48 = 0

∆ = (−4)2 − 4× 0, 75 × 48 = −128 < 0

cette équation n’a pas de solution dans R donc il est impossible d’obtenir une proba-bilité de 75%

3. en utilisant la calculatrice, conjecturer la valeur de x qui semble maximiser la probabilitéd’obtenir deux billes de couleurs différentes et donner cette probabilitéon utilise le tableau de valeurs de la calculatrice : pour trouver que x = 8 et p = 0, 5

valeur de x 7 8 9

valeur de16x

(8 + x)2≃ 0, 49 0, 5 ≃ 0, 49

3 devoirs maison

3.1 devoir maison 1

Exercice 1 : (13p186)

une urne contient 9 billes dont 3 bleues, 3 rouges, 2 jaunes et une verte

(a) on effectue un tirage au hasard d’une des billes avec équiprobabilité,calculer les probabilités suivantes p(J), p(R), p(V ) et p(B)(probabilités respectives de tomber sur une bille, jaune, rouge, verte, bleue)

(b) une verte rapporte 10 pointsune bleue rapporte 2pointsune rouge ou une jaune rapportent 3 pointssoit X le nombre de points obtenus suite au tirage au hasarddéterminer la loi de X

(c) déterminer les probabilités suivantes

i. p(X ≥ 3)

ii. p(X < 5)

(d) déterminer E(X) et donner une interprétation


on lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibréeon gagne :10 e si trois "face" apparaissent7 e si deux "face" apparaissent3 e si un "face" apparaîton perd :30 e s’il n’y a que des pilesX est le gain consécutif aux trois lancers

(a) déterminer la loi de X

(b) ce jeu est-il équitable (E(X) = 0) ? est-il favorable ou défavorable au joueur ?


le service de dépannage d’un magasin de matériel informatique dispose d’une équipe deconseillers prêts à dépanner les clients qui les appellent au téléphonelorsque tous les conseillés sont occupés, l’appel est mis en attenteon admet que les appels sont indépendants les uns des autres et que la probabilité d’at-tente pour un appel est de 0, 25un client appelle le service à quatre reprisessoit X le nombre de fois où il doit attendreon note R l’événement : "l’appel est mis en attente"

(a) déterminer la loi de probabilité de X

(b) calculer E(X)

(c) calculer la probabilité de l’événement A : le client a eu au moins une attente

(d) combien d’appels faut-il faire pour que p(X ≥ 1) ≥ 0, 99 ?interpréter ce résultat

3.2 corrigé devoir maison 1


une urne contient 9 billes dont 3 bleues, 3 rouges, 2 jaunes et une verte

(a)

�

�

p(J) =

2

9

�

�

p(R) =

3

9=

1

3

�

�

p(V ) =

1

9et

�

�

p(B) =

3

9=

1

3

(b) loi de X

valeurs possibles de X : xi 2 3 10 total

probabilités : pi3

9

2

9+

3

9=

5

9

1

91

(c) probabilités

i. p(X ≥ 3) = p(X = 3) + p(X = 10) =5

9+

1

9=

6

9=

�

�

�

�2

3

ii. p(X < 5) = p(X = 2) + p(X = 3) =3

9+

5

9=

�

�

�

�8

9

(d) E(X) =∑

pixi =3

9× 2 +

5

9× 3 +

1

9× 10 =

31

9=

�

�

31

9points

ce qui signifie que

�

�

le gain moyen pour ce jeu est de

31

9points


on lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée

F×0, 5

F×0, 5

F X = 10 e×0, 5

F X = 7 e×0, 5

F×0, 5

F X = 7 e×0, 5

F X = 3 e×0, 5

F×0, 5

F×0, 5

F X = 7 e×0, 5

F X = 3 e×0, 5

F×0, 5

F X = 3e×0, 5

F X = −30 e×0, 5

(a) loi de Xxi −30 3 7 10 total

pi 0, 53 = 0, 125 3× 0, 5 × 0, 52 = 0, 375 3× 0, 52 × 0, 5 = 0, 375 0, 53 = 0, 125 1

(b) E(X) =∑

pixi = 0, 125 × (−30) + 0, 375 × 3 + 0, 375 × 7 + 0, 125 × 10 =��

��1, 25 e

ce qui signifie que��

��le gain moyen pour ce jeu est de 1, 25 e

ce jeu n’est pas équitable car E(X) 6= 0, de plus, il est favorable au joueur car E(x) > 0


b

b

R

0, 25

b

R

0, 25

b

R0, 25

b R : X = 40, 25

b R : X = 30, 75

b

R

0, 75b R : X = 3

0, 25

b R : X = 20, 75

b

R

0, 75

b

R0, 25

b R : X = 30, 25

b R : X = 20, 75

b

R

0, 75b R : X = 2

0, 25

b R : X = 10, 75

b

R

0, 75

b

R

0, 25

b

R0, 25

b R : X = 30, 25

b R : X = 20, 75

b

R

0, 75b R : X = 2

0, 25

b R : X = 10, 75

b

R0, 75

b

R0, 25

b R : X = 20, 25

b R : X = 10, 75

b

R

0, 75b R : X = 1

0, 25

b R : X = 00, 75

(a) loi de probabilité de Xxi 0 1 2 3 4 Total

p(X = xi) 0, 754 4× 0, 25 × 0, 753 6× 0, 252 × 0, 752 4× 0, 253 × 0, 75 0, 254

≃ 0, 31 ≃ 0, 42 ≃ 0, 21 ≃ 0, 046 ≃ 0, 0039 1

(b) E(X) =∑

pixi =��

��1

(c) probabilité de l’événement A : le client a eu au moins une attente :

p(X ≥ 1) = 1− p(X = 0) ≃ 1− 0, 31 ≃��

��0, 69

(d) nombre d’appels qu’il faut faire pour que p(X ≥ 1) ≥ 0, 99 ?

soit n le nombre d’appels à faire, n vérifie l’inéquation : 1− 0, 75n ≥ 0, 99

car p(X ≥ 1) = 1− p(X = 0) = 1− 0, 75n

on utilise le tableau de valeurs de la calculatrice : pour trouver que n ≥ 17valeur de n 16 17

valeur de 1− 0, 75n ≃ 0, 989 ≃ 0, 992

interprétation :il faut donc au moins 17 appels pour que la probabilité d’attendre au moins une foissoit d’au moins 99%

3.3 corrigé devoir maison 2

exercice 1 : (50p194)

voici le bilan des interventions des pompiers dans une ville de France pour une annéenature de l’intervention incendie accident de circulation secours à victime autres

proportion 8% 7% 59% 26%on choisit au hasard deux interventions, ce choix est assimilé à un tirage avec remise pourX = nombre d’interventions sur les 2 liées à des incendies

b

b

I×0, 08

b I : X = 2×0, 08

b I : X = 1×0, 92

b

I×0, 92

b I : X = 1×0, 08

b I : X = 0×0, 92

1. la probabilité que les deux interventions soient liées à des incendies est :p(X = 2) = 0, 08× 0, 08 =

��

��0, 0064

2. p(X = 1) = 0, 08× 0, 92 × 2 =��

��0, 1472

3. p(X ≥ 1) = 1− p(X = 0) = 1− 0, 922 =��

��0, 1536

exercice 2 : (63p196)

1. tableau :

`````````````̀

participationactivité

natation loisir aquagym nat compétition total

oui 20% × 30% = 6%1

4× 20% = 5% 46% - 11% = 35% 46%

non 30% - 6% = 24% 20% - 5% = 15% 50% - 35% = 15% 54%

total 30% 20% 100% - 50% = 50% 100%

2. (a) p(competition ∩ oui) =��

��35%

(b)��

��p(non) = 54% est en effet plus de la moitié

3. poui(competition) =35%

46%≃ 0, 76 soit

��

��76%

4. (a)S 60 75 100 115

probabilité 39% 11% 15% 35%

p(60) = p([loisir ∪ aquagym] ∩ non) = 24% + 35% = 39%

p(75) = p([loisir ∪ aquagym] ∩ oui) = 6% + 5% = 11%

p(100) = p(competition ∩ non) = 15%

p(60) = p(competition ∩ oui) = 35%

5. E(S) = 0, 39 × 60 + 0, 11 × 75 + 0, 15 × 100 + 0, 35 × 115 = 86, 9

soit��

��86, 9 e en moyenne par adhérent

exercice 3 : (51 p 194)

1. la somme des probabilités vaut 1 donc a vérifie l’équation suivante :1

7+

3

5+ 2a = 1

2a =35

35− 5

35− 21

35=

9

35a =

9

35× 1

2=

�

�

�

�9

70

2. E(X) =1

7× 0 +

3

5× 2 +

9

70× 3 +

9

70× 5 =

�

�

�

�78

35

3. E(X) = 0, 85 × (−2) + 0, 1 × 10 + 0, 04 × 15 + 0, 01 × 30 =��

��0, 2

l’espérance est positive donc le jeu est��

��favorable pour le joueur

exercice 4 : (65 p 197)

1.

�

�

p(R) =

1

n

�

�

p(B) =

n− 1

n

2. (a) arbre

b

b

R

× 1

n

b R : X = 16× 1

n

b B : X = −5×n− 1

n

b

B

×n− 1

n

b R : X = −5× 1

n

b B : X = 1×n− 1

n(b) loi de probabilité de X

X −5 1 16

probabilité2(n− 1)

n2

(n− 1)2

n2

1

n2

3. E(X) =2(n − 1)

n2× (−5) +

(n− 1)2

n2× 1 +

1

n2× 16

E(X) =−10(n − 1) + (n− 1)2 + 16

n2=

−10n + 10 + n2 − 2n+ 1 + 16

n2=

�

�

�

n2 − 12n + 27

n2

4. le jeu est équitable si et seulement si E(X) = 0n2 − 12n+ 27

n2= 0

n2 − 12n + 27 = 0

∆ = (−12)2 − 4× 2× 27 = 36∆ > 0 donc l’équation admet deux solutions

n1 =−(−12) +

√36

2× 1= 9 et n2 =

−(−12) −√36

2× 1= 3

le jeu est équitable si et seulement si��

��n = 9 car n ≥ 3

5. le jeu est favorable au joueur si et seulement si E(X) > 0

orn 0 3 9 +∞

signe de n2 − 12n + 27 + 0 - 0 +il faut donc

��

��n ≥ 9 (car n ≥ 4)

4 tp

4.1 tp1

tp : loi de probabilité nom, prénom : ...

buts :– modéliser Mathématiquement une expérience aléatoire– utiliser un tableur– conjecturer des résultats– faire des démonstrations de certaines conjectures

situation :on lance deux dés équilibrés à six faceson s’intéresse à la somme X des deux scores obtenuson cherche quelle est la valeur de X la plus probable et sa probabilitéon cherche quelle est la valeur moyenne de X quand on fait un grand nombre de lancers

0. ouvrir et enregistrer dans vos documents (dossier math), le document tp(tableur), ligne10 de site.math.free.fr (du programme de 1es) puis, suivre les consignes

1. (a) que permet d’obtenir la formule =ENT(6*ALEA()+1) ? : ...

(b) écrire une formule qui donne un entier aléatoire compris entre 1 et 4 : ...

2. pour la somme : formule entrée en C2 : ...

3. pour l’effectif en E4, formule entrée en E4 : ...

4. pour tirer E4 jusqu’à O4, formule modifiée entrée en E4 : ...

5. (a) pour la fréquences en E5 formule entrée en E5 : ...

(b) pour tirer E5 jusqu’à O5, formule modifiée entrée en E5 : ...

6. formule entrée en E6 : ...

7. quelle semble être la somme la plus probable ? : ...

8. quelle semble être la valeur moyenne de la somme? : ...

9. compléter la dernière ligne du tableau des sommes des deux dés ci dessousPPPPPPPPP

dé2dé 1

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6

10. construire le tableau de loi de probabilité de X ci dessous(avec les valeurs possibles de X ainsi que les probabilités associées)

11. calculer la valeur exacte de E(X) ainsi qu’une valeur approchée à 0,1 près

12. le résultat ci dessus est-il en accord avec le résultat obtenu expérimentalement avec letableur ? (justifier)

4.2 corrigé tp1

corrigé tp : loi de probabilité

situation :on lance deux dés équilibrés à six faceson s’intéresse à la somme X des deux scores obtenuson cherche quelle est la valeur de X la plus probable et sa probabilitéon cherche quelle est la valeur moyenne de X quand on fait un grand nombre de lancers

0. ouvrir et enregistrer dans vos documents (dossier math), le document tp(tableur), ligne10 de site.math.free.fr (du programme de 1es) puis, suivre les consignes

1. (a) la formule =ENT(6*ALEA()+1)��

��permet d’obtenir un entier aléatoire compris entre 1 et 6

(b) formule qui donne un nombre aléatoire compris entre 1 et 4 : =ENT(4*ALEA()+1)

2. pour la somme : formule entrée en C2 : =A2 +B2 ou =somme(A2 :B2)

3. pour l’effectif en E4, formule entrée en E4 : =nb.si(C2 :C1001 ;E3)

4. pour tirer E4 jusqu’à O4, formule modifiée entrée en E4 : =nb.si($C2 :$C1001 ;E3)

5. (a) pour la fréquences en E5 formule entrée en E5 : =E4/P4

(b) pour tirer E5 jusqu’à O5, formule modifiée entrée en E5 : =E4/$P4

6. formule entrée en E6 : =E4*E3

7. quelle semble être la somme la plus probable ? : 7

8. quelle semble être la valeur moyenne de la somme? : 7

9. compléter la dernière ligne du tableau des sommes des deux dés ci dessousPPPPPPPPP

dé2dé 1

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

10. loi de probabilité de X

X : xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Σ

p(X = xi) = pi1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

36

1

361

11. valeur exacte de E(X) ainsi qu’une valeur approchée à 0,1 près

E(X) =1

36×2+

2

36×3+

3

36×4+

4

36×5+

5

36×6+

6

36×7+

5

36×8+

4

36×9+

3

36×10+

2

36×11+

1

36×12 = 7

12.��

��oui , le résultat ci dessus est en accord avec le résultat obtenu expérimentalement avec

le tableur car la valeur théorique trouvée est de 7 et celle trouvée dans la pratique avecle tableur est proche de 7

4.3 tp2

tp : loi de probabilité nom, prénom : ...

buts :– modéliser Mathématiquement une expérience aléatoire– utiliser un tableur– conjecturer des résultats– faire des démonstrations de certaines conjectures

situation :on lance trois fois une pièce de monnaie équilibréeon s’intéresse au nombre de fois X où l’on a obtenu "pile"on cherche quelle est la valeur de X la plus probable et sa probabilitéon cherche quelle est la valeur moyenne de X quand on fait un grand nombre de lancers

0. ouvrir et enregistrer dans vos documents (dossier math), le document tp(tableur), ligne10 de site.math.free.fr (du programme de 1es) sous le nom "tp2 loi de probabilite" puis,suivre les consignes ci dessous sachant que :dans ce tp, "pile" sera remplacé par 1 et "face" par 0

1. entrer en A2 la formule =ENT(2*ALEA()) puis appuyer sur F9 plusieurs fois et observer

ce que l’on obtient. Que permet d’obtenir cette formule ? : ...

2. tirer cette formule jusqu’à C2

3. obtenez en D2 le nombre de fois que l’on a obtenu 1 parmi les trois lancers en utilisantla formule =nb.si(plage de cellules ;critère)formule entrée : D2 = ...

4. sélectionner le groupe de cellules de A2 à D2 et tirer jusqu’à la ligne 1001

5. obtenez en G3 le nombre de fois où l’on a obtenu 0 fois le nombre 1 parmi les 1000 sériesde trois lancers en utilisant la formule =nb.si(plage de cellules ;critère)formule entrée : G3 = ...

6. modifier la formule précédente et tirer jusqu’à J3formule modifiée : J3 = ...

7. entrer la formule qu’il faut en K3, K3 = ...

8. entrer la formule qu’il faut en G4 afin de pouvoir la tirer jusqu’en J4, G4 = ...obtenir le total en K4 avec la formule K4 = ...

9. en G5, la formule entrée est : G5 = ...tirer cette formule jusqu’à J5 et obtenir le total

10. en G9, la formule entrée est : G9 = ...



13. quel semble être le "nombre de fois où l’on obtient pile" le plus probable parmi 3 lancers ? :...

14. donner un valeur approchée de l’espérance de X : ... et donner une interprétation decette valeur :

15. construire un arbre correspondant à cette situation au verso de cette feuille en indiquantles valeurs de X

16. construire le tableau de loi de probabilité de X (avec les valeurs possibles de X ainsi queles probabilités associées)

17. calculer la valeur exacte de E(X) ainsi qu’une valeur approchée à 0,1 près

18. le résultat ci dessus est-il en accord avec le résultat obtenu expérimentalement avec letableur ? (justifier)

4.4 corrigé tp2

tp : loi de probabilité

situation :X = nombre de ’piles" si on lance trois fois une pièce de monnaie équilibrée

0. document tp(tableur), ligne 10 de site.math.free.fr (du programme de 1es)

1. =ENT(2*ALEA()) donne��

��un nombre entier aléatoire égal à 0 ou 1 avec équiprobabilité

2. tirer cette formule jusqu’à C2

3. obtenez en D2 le nombre de fois que l’on a obtenu 1 parmi les trois lancers en utilisant

la formule =nb.si(plage de cellules ;critère) formule entrée :��

��D2 = NB.SI(A2 : C2, 1)

4. sélectionner le groupe de cellules de A2 à D2 et tirer jusqu’à la ligne 1001

5. formule entrée :��

��G3 = NB.SI(D2 : D1001, G2)

6. formule modifiée :��

��J3 = NB.SI($D$2 : $D$1001, G2)

7. entrer la formule qu’il faut en K3,��

��K3 = SOMME(G3 : J3)

8. entrer la formule qu’il faut en G4 afin de pouvoir la tirer jusqu’en J4,��

��G4 = G3/$K$3

obtenir le total en K4 avec la formule��

��K3 = SOMME(G4 :J4)

9. en G5, la formule entrée est :��

��G5 = =G4*G2)


��G9 = K5


��G10 = K6−G92


��G11 = G100.5

13. le "nombre de fois où l’on obtient pile" le plus probable parmi 3 lancers :��

��1 ou 2 fois

14.��

��E(X) = 1,5 soit

��

��1,5 fois pile en moyenne pour 3 lancers

15. arbre correspondant à cette situation

P

P

P X = 3

P X = 2

P

P X = 2

P X = 1

P

P

P X = 2

P X = 1

P

P X = 1

P X = 0

16. loi de probabilité de Xvaleurs possibles :xi 0 1 2 3 total

probabilités : pi1

83× 3

8

3

8

1

81

17. E(X) =∑

pixi

E(X) =1

8× 0 +

3

8× 1 +

3

8× 2 +

1

8× 3 =

��

��1, 5

18. le résultat ci dessus est en accord avec le résultat obtenuexpérimentalement avec le tableur car

��

��on trouve 1,5 pour les deux

5 évaluations

5.1 évaluation 1

nom et prénom : ...évaluation probabilités et variables aléatoires

exercice 1 :dans le Q.C.M. suivant, il n’y a q’une seule bonne réponse par question, une bonne réponserapporte 1 point, une mauvaise enlève 0, 5 points, aucune réponse n’enlève ni ne rapporteaucun point (un score négatif est ramené à 0)

1. avec un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6,

p(2 points) =? réponse A : 1 réponse B :2

6réponse C :

1

6réponse D : 6

2. avec le dé suivant,score 1 2 3 4 5 6 total

probabilités 0, 1 0, 05 0, 2 0, 03 0, 02 ? ?

p(pair) =? réponse A : 0, 05 réponse B : 0, 7 réponse C : 0, 68 réponse D :3

6

3. pour un jeu de 32 cartes (8 ♥, 8 ♦, 8 ♣, 8 ♠), (4 rois, 4 reines, ... ),(16 rouges, 16 noires)dans lequel on choisit une carte au hasard

(a) p(coeur) =? réponse A :1

8réponse B :

1

4réponse C :

32

8réponse D : 8

(b) p(roi ∩ coeur) =? réponse A :1

32réponse B :

12

32réponse C :

11

32réponse D : 11

(c) p(roi ∪ coeur) =? réponse A :1

32réponse B :

12

32réponse C :

11

32réponse D : 11

(d) p(Roi) =? réponse A :4

32réponse B :

32

28réponse C : 87, 5% réponse D : 28%

4. on choisit au hasard un élève dans la classe suivante

garçons filles total

gaucher 3 2 5

droitier 10 15 25

total 13 17 30

(a) p(fille) =? réponse A :2

30réponse B :

17

30réponse C :

2

5réponse D : 17

(b) p(fille ∩ droitier) =? réponse A :42

30réponse B :

27

30réponse C :

1

2réponse D :

15

25

(c) p(fille ∪ droitier) =? réponse A :15

30réponse B :

42

30réponse C :

27

30réponse D : 15

(d) l’élève est choisit parmi les gauchers, quelle est la probabilité qu’il soit une "fille" ?

pG(fille) =? réponse A :2

30réponse B :

3

30réponse C :

2

17réponse D :

2

5

(e) l’élève est choisit parmi les filles, quelle est la probabilité qu’il soit " gaucher" ?

pfille(gaucher) =? réponse A :5

17réponse B :

2

30réponse C :

2

17réponse D :

15

17

5. Une urne contient 2 billes vertes V1 et V2 ainsi qu’une rouge R1

On choisit une bille au hasard, ON LA REMET dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urne

(a) p(2vertes) =? réponse A :1

4réponse B :

2

6réponse C :

1

2réponse D :

4

9

(b) p(2rouges) =? réponse A :1

4réponse B : 0 réponse C :

1

9réponse D :

2

4

6. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6

p(double 6) =? réponse A :1


1

6réponse D :

2

6

exercice 2 :un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée

010

5

0

5 1 0

0

5

1le prix à payer pour une partie est de 2 eurosle jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euroon pose : X = gain = rapport du jeu - prix de la partie


2. déterminer la loi de probabilité de X(consigner les résultats dans un tableau)

3. déterminer p(X ≤ 0) et p(X > 0)

4. déterminer E(X) l’espérance de X et interpréter cette valeur.

5. ce jeu est-il plus favorable à l’organisateur ou au joueur ?

6. déterminer le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle.

exercice 3 :on lance trois fois de suite un dé équilibré à 4 faces inscrites de A à Don s’intéresse au nombre X de fois où l’on a obtenu la lettre A parmi les trois lancers

1. donner les valeurs possibles pour X

2. compléter l’arbre pondéré suivant

b

A

...

A...

A X = ......

A X = ......

A...

A X = ......

A X = ......

A

...A

...

A X = ......

A X = ......

A...

A X = ......

A X = ......

(a) donner les probabilités suivantes

i. p(X = 0)

ii. p(X ≥ 1) et interpréter le résultat

(b) donner les probabilités suivantes pour quatre lancers du dé

i. p(X = 0)

ii. p(X ≥ 1)

(c) i. justifier que pour n lancers (n entier ) on a p(X ≥ 1) = 1− 0, 75n

ii. quel est le nombre minimal n de lancers à faire pour que la probabilité d’obtenirau moins une fois la lettre A soit d’au moins 99%

5.2 corrigé évaluation 1

exercice 1 :

1. avec un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6,

p(2 points) =? réponse A : 1 réponse B :2

6

�

�

réponse C :

1

6réponse D : 6

2. avec le dé suivant,score 1 2 3 4 5 6 total

probabilités 0, 1 0, 05 0, 2 0, 03 0, 02 ? ?

p(pair) =? réponse A : 0, 05 réponse B : 0, 7��

��réponse C : 0, 68 réponse D :

3

6

3. pour un jeu de 32 cartes (8 ♥, 8 ♦, 8 ♣, 8 ♠), (4 rois, 4 reines, ... ),(16 rouges, 16 noires)dans lequel on choisit une carte au hasard

(a) p(coeur) =? réponse A :1

8

�

�

réponse B :

1

4réponse C :

32

8réponse D : 8

(b) p(roi ∩ coeur) =?

�

�

réponse A :

1

32réponse B :

12

32réponse C :

11

32réponse D : 11

(c) p(roi ∪ coeur) =? réponse A :1

32réponse B :

12

32

�

�

réponse C :

11

32réponse D : 11

(d) p(Roi) =? réponse A :4

32réponse B :

32

28

��

��réponse C : 87, 5% réponse D : 28%

4. on choisit au hasard un élève dans la classe suivante

garçons filles total

gaucher 3 2 5

droitier 10 15 25

total 13 17 30

(a) p(fille) =? réponse A :2

30

�

�

réponse B :

17

30réponse C :

2

5réponse D : 17

(b) p(fille ∩ droitier) =? réponse A :42

30réponse B :

27

30

�

�

réponse C :

1

2réponse D :

15

25

(c) p(fille ∪ droitier) =? réponse A :15

30réponse B :

42

30

�

�

éponse C :

27

30réponse D : 15

(d) l’élève est choisit parmi les gauchers, quelle est la probabilité qu’il soit une "fille" ?

pG(fille) =? réponse A :2

30réponse B :

3

30réponse C :

2

17

�

�

réponse D :

2

5

(e) l’élève est choisit parmi les filles, quelle est la probabilité qu’il soit " gaucher" ?

pfille(gaucher) =? réponse A :5

17réponse B :

2

30

�

�

réponse C :

2

17réponse D :

15

17

5. Une urne contient 2 billes vertes V1 et V2 ainsi qu’une rouge R1

On choisit une bille au hasard, ON LA REMET dans l’urne,On choisit à nouveau une bille dans l’urne

(a) p(2vertes) =? réponse A :1

4réponse B :

2

6réponse C :

1

2

�

�

réponse D :

4

9

(b) p(2rouges) =? réponse A :1

4réponse B : 0

�

�

réponse C :

1

9réponse D :

2

4

6. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6

p(double 6) =? réponse A :

�

�

�

�1


1

6réponse D :

2

6

exercice 2 :

1.��

��X ∈ {−2 ; −1 ; 3 ; 8}

2. le tableau de la loi de probabilité de X est :valeurs possibles de X : xi -2 -1 3 8 total

probabilités : pi4

10= 0, 4

2

10= 0, 2

3

10= 0, 3

1

10= 0, 1 1

3. p(X ≤ 0) = p(X = −2) + p(X = −1) =��

��0, 6 ; p(X > 0) = 1− p(X ≤ 0) =

��

��0, 4

4. E(X) =∑

pixi = 0, 4 × (−2) + 0, 2× (−1) + 0, 3 × 3 + 0, 1× 8 =��

��0, 7

��

��ceci signifie qu’en moyenne le gain est de 0,7 euros par partie

5.��

��le jeu est plus favorable au joueur car il gagne en moyenne 0,7 euros.


E(X) = 0 ⇐⇒ 0, 4(0 − y) + 0, 2(1 − y) + 0, 3(5 − y) + 0, 1(10 − y) = 0

⇐⇒ −0, 4y + 0, 2− 0, 2y + 1, 5 − 0, 3y + 1− 0, 1y = 0 ⇐⇒ −y + 2, 7 = 0 ⇐⇒ y = 2, 7

��

��le prix doit être de 2,7 euros pour avoir une espérance nulle

exercice 3 :

1.��

��X ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3}

2. arbre pondéré

A0,25

A0,25

A X = 3 : 0, 2530,25

A X = 2 : 0, 252 × 0, 750,75

A

0,75

A X = 20,25

A X = 1 : 0, 25 × 0, 7520,75

A0,75

A0,25

A X = 20,25

A X = 10,75

A

0,75

A X = 10,25

A X = 0 : 0, 7530,75

(a) i. p(X = 0) = 0, 753 ≈ 0, 42

ii. p(X ≥ 1) = 1− p(X = 0) = 1− 0, 753 ≈ 0, 578,la probabilité d’avoir au moins une fois A est de 57, 8%

(b) pour quatre lancers du dé

i. p(X = 0) = 0, 754 ≃ 31, 6%

ii. p(X ≥ 1) ≃ 1− 31, 6% ≃ 68, 4%

(c) i. pour n lancers (n entier ) on a p(X ≥ 1) = 1− p(X = 0) = 1− 0, 75n

ii. le nombre minimal n de lancers à faire pour que la probabilité d’obtenir au moinsune fois la lettre A soit d’au moins 99% est de 17, on utilise le tableau de valeurs

de la calculatricevaleur de n 16 17

valeur de 1− 0, 75n 0, 989 0, 992

exercice 2 :

Un élève décide de répondre au hasard à un Q.C.M. de bac.Pour chaque question, il y a 4 propositions de réponses dont une seule bonne réponse.

1. pour une question, quelle est la probabilité p qu’il ait la bonne réponse ?

2. le Q.C.M. comporte trois questions.Pour chaque question, l’élève répond au hasard.On considère que ses réponses aux questions sont indépendantes les unes des autres.On note X le nombre de bonnes réponses parmi les trois questions.

a. justifier pourquoi X suit une loi binomiale.

b. construire un arbre de probabilité associé à la situation avec les valeurs de X et lesprobabilités associées.

c. donner la loi de probabilité de X.

d. donner la probabilité qu’il ait exactement deux bonnes réponses.

e. donner la probabilité qu’il ait au moins une bonne réponse.

f. donner le nombre de questions qu’il faudrait au Q.C.M. pour que la probabilité qu’ilait au moins une bonne réponse soit d’au moins 99%

corrigé activité 1 : (notion de variable aléatoire)un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée

010

5

0

5 1 0

0

5

1

le prix à payer pour une partie est de 2 eurosle jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euroon pose : X = gain = rapport du jeu - prix de la partieon dit que X est une variable aléatoire

1. X ∈ {−2 ; −1 ; 3 ; 8}

2.

valeurs possibles :xi -2 -1 3 8 total

probabilités : pi4

10= 0, 4

2

10= 0, 2

3

10= 0, 3

1

10= 0, 1 1

3. p(X ≤ 0) = p(X = −2) + p(X = −1) = 0, 6

p(X > 0) = 1− p(X ≤ 0) = 0, 4

4. E(X) =∑

pixi

E(X) = −2× 0, 4 + (−1)× 0, 2 + 3× 0, 3 + 8× 0, 1 = 0, 7

ceci signifie qu’en moyenne le gain est de 0,7 euros par partie

5. V (X) =∑

pix2

i − E(X)2

V (X) = (−2)2 × 0, 4 + (−1)2 × 0, 2 + 32 × 0, 3 + 82 × 0, 1 − 0, 72 = 10, 41

σ(X) =√

V (X)

σ(X) =√10, 41 ≃ 3, 22

6. le jeu est à gain positif car E(X) = 0, 7 > 0, il est plus favorable au joueur car il gagne enmoyenne 0,7 euros.


E(X) = 0

Corrigé Devoir Maison

46 page 129

arbre :

27000

0,4

270000,4

27000 : R = 81000 : 0, 430,4

15000 : R = 69000 : 0, 42 × 0, 60,6

15000

0,6

27000 : R = 69000 : 0, 42 × 0, 60,4

15000 : R = 57000 : 0, 4× 0, 620,6

15000

0,6

270000,4

27000 : R = 69000 : 0, 42 × 0, 60,4

15000 : R = 57000 : 0, 4× 0, 620,6

15000

0,6

27000 : R = 57000 : 0, 4× 0, 620,4

15000 : R = 45000 : 0, 630,6

��

��p(R = 81000) = 0,064 ,

��

��la probabilité que la recette soit de 81000 euros est de 6,4%

loi de probabilité de R :

valeurs possibles : xi 45000 57000 69000 81000 total

0, 63 3× 0, 4× 0, 62 3× 0, 42 × 0, 6 0, 43

probabilités : pi 0,216 0,432 0,288 0,064 1

E(R) = 0, 216 × 45000 + 0, 432 × 57000 + 0, 288 × 69000 + 0, 064 × 81000 = 59400

��

��l’espèrance de la recette est de 59400 euros .

59400 - 50000 = 9400,��

��9400>0 donc le projet est rentable .

74 page 134

1. a. p(R) = p(B ∩R) + p(J ∩R) = 0, 2 × 0, 5 + 0, 5 × 0, 3 =��

��0,25

b. pB(M) =p(B ∩M)

p(B)=

0, 2

1− 0, 5=

0, 2

0, 5=

��

��0,4

c. pR(B) =p(B ∩R)

p(R)=

0, 5 × 0, 2

0, 25=

��

��0,4

2. a. p(4 pièces)= 0, 24 =��

��0,0016

b. p(1 jeton)= 4× 0, 31 × 0, 73 =��

��0,4116

c. p(aucun jeton)= 0, 74 =��

��0,2401

76 page 135

1. a. arbre

A3

12

S0,4

S0,6

B

4

12S

0,75

S0,25

C

5

12

S0,24

S0,76

p(S) = p(A ∩ S) + p(B ∩ S) + p(C ∩ S) =3

12× 0, 4 +

4

12× 0, 75 +

5

12× 0, 24 =

��

��0,45

b. pS(B) =p(B ∩ S)

p(S)=

4

12× 0, 75

0, 45≃

��

��0,55

2. p(X = 1) = 3× 0, 451 × 0, 552 ≃��

��0,41

V0,45

V0,45

V X = 3 : 0, 4530,45

V X = 2 : 0, 452 × 0, 550,55

V

0,55

V X = 20,45

V X = 1 : 0, 45 × 0, 5520,55

V0,55

V0,45

V X = 20,45

V X = 10,55

V

0,55

V X = 10,45

V X = 0 : 0, 5530,55

3. a. pn = p(X ≥ 1) = 1− p(X = 0) =��

��1− 0, 55n

b. 1− 0, 55n > 0, 9999

⇐⇒ 0, 0001 > 0, 55n

⇐⇒ ln(0, 0001) > ln(0, 55n)

⇐⇒ ln(0, 0001) > nln(0, 55)

⇐⇒ ln(0, 0001)

ln(0, 55)< n

⇐⇒ 15, 4 < n

��

��il faut au moins 16 tirages pour que la probabilité soit supérieure stricte à 0,9999

6 exercices bac et autres

exercice 1 : Baccalauréat ES Liban 31 mai 2010

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer surla copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucunejustification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève0, 5 point. L’absence de réponse ne rapporte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total despoints est négatif la note est ramenée à 0.

1. A et B sont deux événements indépendants et on sait que p(A) = 0, 5 et p(B) = 0, 2La probabilité de l’événenement A ∪B est égale à :

Réponse A : 0,1 Réponse B : 0,7Réponse C : 0,6 Réponse D : on ne peut pas savoir

2. Dans un magasin, un bac contient des cahiers soldés. On sait que 50 % des cahiers ontune reliure spirale et que 75 % des cahiers sont grands carreaux. Parmi les cahiers grandscarreaux, 40 % ont une reliure spirale.

Adèle choisit au hasard un cahier à reliure spirale. La probabilité qu’il soit grands carreauxest égale à :

Réponse A : 0,3 Réponse B : 0,5Réponse C : 0,6 Réponse D : 0,75

Dans les questions 3. et 4. , on suppose que dans ce magasin, un autre bac contient unegrande quantité de stylos-feutres en promotion. On sait que 25 % de ces stylos-feutressont verts. Albert prélève au hasard et de manière indépendante 3 stylos-feutres.

3. La probabilité, arrondie à 10−3 , qu’il prenne au moins un stylo-feutre vert est égale à :


4. La probabilité, arrondie 10−3 , qu’il prenne exactement 2 stylos-feutres verts est égale à :


5. Quel nombre minimal de stylos doit-il prendre au hasard pour que la probabilité qu’il aitau moins 1 stylo-feutre vert soit au moins égale à 95% ?

Réponse A : 10 Réponse B : 11Réponse C : 12 Réponse D : 13

6. Un jeu consiste lancer une fois un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotées de1 à 6. Un joueur donne 3 euros pour participer à ce jeu.

Il lance le dé et on lit le numéro inscrit sur la face supérieure de ce dé :

• si le numéro est 1, le joueur reçoit 10 euros,• si le numéro est 2 ou 4, il reçoit 1 euro,• sinon, il ne reçoit rien.

à ce jeu, l’espérance mathématique du gain algébrique, exprimée en euros, est :

Réponse A : 0 Réponse B : 1Réponse C : -1 Réponse D : -2

corrigé exercice 1 : Baccalaurat ES Liban 31 mai 2010

1. A et B sont deux événements indépendants donc p(A ∩B) = p(A)× p(B) = 0, 1et comme p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B) = 0, 5 + 0, 2 − 0, 1 = 0, 6Réponse C

2. en appelant S l’événement « Le cahier est spirale » et C l’événement « Le cahier estgros carreaux » on a :

C0,75

S0,40

S0,60

C0,25

S

S

pS(C) =p(S ∩ C)

P (S)=

P (C)× PC(S)

P (S)=

0, 75 × 0, 4

0, 5= 0, 6

Réponse C

3. La loi numérique correspondant au nombre X de stylos-feutres verts est une loi bi-nomiale. Il faut faire un arbre :

V0,25

V0,25

V X = 3 : 0, 2530,25

V X = 2 : 0, 252 × 0, 750,75

V

0,75

V X = 20,25

V X = 1 : 0, 25 × 0, 7520,75

V0,75

V0,25

V X = 20,25

V X = 10,75

V

0,75

V X = 10,25

V X = 0 : 0, 7530,75

On cherche la probabilité de l’événement contraire de « On a obtenu aucun stylovert » donc

p(X ≥ 1) = 1− p(X = 0) = 1− 0, 753 ≈ 0, 578

Réponse C

4. Sur l’arbre, il y a trois chemins de même probabilité qui donnent 2 stylos verts donc

p(X = 2) = 3× 0, 252 × 0, 75 ≈ 0, 141

Réponse C

5. on cherche le nombre de tirages n tel que p(X ≥ 1) ≥ 0, 95

1− 0, 75n ≥ 0, 95 ⇐⇒ n ≥ ln(1− 0, 95)

ln(0, 75)⇐⇒ n ≥ 11

Réponse B

6. la loi de probabilité de X est :

xi -3 -2 7 total

pi3

6= 0, 5

2

6=

1

3

1

61

E(X) = −3× 0, 5 + (−2)× 1

3+ 7× 1

6= −1

Réponse C

exercice 2 : Antilles–Guyane 18 juin 2010

Un bijoutier propose des perles de culture pour fabriquer des bijoux. Il dispose dans sonstock de deux types de couleurs : les perles argentées et les perles noires.

Chacune de ces perles a :

– soit une forme dite sphérique ;– soit une forme dite équilibrée ;– soit une forme dite baroque.

On sait que dans son stock, 44 % des perles sont équilibrées, deux cinquièmes sont ba-roques et les autres sont sphériques. De plus, 60 % des perles sont argentées dont 15 %sont sphériques et la moitié sont baroques.

i. Recopier le tableau des pourcentages ci-dessous et le compléter à l’aide des donnéesde l’énoncé (on ne demande pas de justification).

Sphérique équilibrée Baroque Total

Argentée

Noire

Total 100 %

ii. Le bijoutier choisit une perle du stock au hasard. On suppose que chaque perle a lamème probabilité d’être choisie.

On note :

– A l’événement : « la perle est argentée » ;– N l’événement : « la perle est noire » ;– S l’événement : « la perle est de forme sphérique » ;– E l’événement : « la perle est de forme équilibrée » ;– B l’événement : « la perle est de forme baroque ».

Toutes les probabilités seront données sous forme décimale exacte.

A. Quelle est la probabilité que le bijoutier choisisse une perle de forme baroque ?

B. Quelle est la probabilité que le bijoutier choisisse une perle noire de forme équi-librée ?

C. Déterminer la probabilité de l’événement A ∪B puis interpréter ce résultat.

D. Le bijoutier a choisi une perle de forme baroque. Quelle est la probabilité qu’ellene soit pas argentée ?

iii. Pour une création de bijou original, le bijoutier choisit dans son stock quatre perlesau hasard et de manières indépendantes. On admet que le nombre de perles estsuffisamment grand pour que le choix d’une perle soit assimilé à un tirage avec remise.

A. Calculer la probabilité qu’aucune des quatre perles choisies ne soit argentée.

B. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins une perle sphérique parmi les quatreperles choisies (donner une valeur approchée de ce résultat à 10−3 près).

corrigé exercice 2 : Antilles–Guyane 18 juin 2010

i. tableau des pourcentages

Sphérique équilibrée Baroque Total

Argentée 9% 21% 30% 60%

Noire 7% 23% 10% 40%

Total 16% 44% 40% 100 %

ii. Le bijoutier choisit une perle du stock au hasard. On suppose que chaque perle a lamème probabilité d’être choisie.Toutes les probabilités seront données sous forme décimale exacte.

A. probabilité que le bijoutier choisisse une perle de forme baroque : p(B) = 0, 4

B. probabilité que le bijoutier choisisse une perle noire et équilibrée : p(N ∩E) = 0, 23

C. p(A ∪B) = 0, 6 + 0, 4− 0, 3 = 0, 7interprétationprobabilité que le bijoutier choisisse une perle argentée ou de forme équilibrée

D. Le bijoutier a choisi une perle de forme baroque.

probabilité qu’elle ne soit pas argentée : pB(A) =p(A ∩B)

p(B)=

0, 1

0, 4= 0, 25

iii. Pour une création de bijou original, le bijoutier choisit dans son stock quatre perlesau hasard et de manières indépendantes. On admet que le nombre de perles est suf-fisamment grand pour que le choix d’une perle soit assimilé à un tirage avec remise.

A. probabilité qu’aucune des quatre perles choisies ne soit argentée.p(X = 0) = 0, 44 ≃ 0, 0256

B. probabilité qu’il y ait au moins une perle sphérique parmi les quatre perles choisies( à 10−3 près).p(Y ≥ 1) = 1− 0, 844 ≃ 0, 502

exercice 3 : (72 page 134)

un jeu est tel qu’on lance une balle sur une plaque comportant un trou en son centre.si la plaque n’est pas atteinte, la balle est ramenée.si la plaque est atteinte, soit la balle est "avalée" soit elle reste sur la plaquela probabilité d’atteindre la plaque est de 30%lorsque la plaque est atteinte, la probabilité que la balle soit avalée est de 20%

1. construire un arbre de probabilité associé à cette situation

2. a. calculer la probabilité que la balle soit avalée

b. calculer la probabilité que la balle reste sur la plaque

3. on paie 0,5 euros pour jouersi la balle est avalée on gagne g eurossi la balle reste sur la cible on est remboursési la balle rate la cible, on perd la mise

déterminer la loi de probabilité du gain G

4. a. montrer que l’espérance du gain G est : E = 0, 06g − 0, 38

b. pour quelle valeur de g peut-on espérer un bénéfice ?

corrigé exercice 3 : (72 page 134)

1. arbre de probabilité associé à cette situation

C0,3

B0,2

B0,80

C0,7

B0

B1

2. a. probabilité que la balle soit avalée :

p(B) = p(C ∩B) + p(C ∩B) = 0, 3 × 0, 2 + 0 =��

��0,06

b. probabilité que la balle reste sur la plaque :

p(B) = p(C ∩B) = 0, 3× 0, 8 =��

��0,24

3. loi de probabilité du gain G :

xi −0, 5 0 g − 0, 5 total

pi 0, 7 0, 24 0, 06 1

4. a. espérance du gain G :

E = −0, 5× 0, 7 + 0× 0, 24 + 0, 06 × (g − 0, 5) =��

��0,06g -0,38

b. valeur de g pour espérer faire un bénéfice :

0, 06g − 0, 38 > 0 ⇐⇒ g >0, 38

0, 06

soit au moins��

��6,34 euros

1

2

Documents

variables aléatoires - site.math.free.frsite.math.free.fr/bts/cours_bts_cgo/variables_aleatoires.pdf · 1 généralités sur les variables aléatoires 1.1 activités 1.1.1 activité