Théorie des situations didactiques Variables didactiques

Ch. Mercat d’après Sophie Soury-Lavergne Master EADM UE10 2011-2012

Quelles sont les conditions pour qu'une situation puisse être vécue comme adidactique ?

•  Cette question renvoie à ce que les chercheurs en didactique appelle analyse a priori. •  Il faut au minimum les conditions suivantes: •  L'élève peut envisager une réponse mais cette réponse initiale (procédure de base qui

est relative aux savoirs et connaissances antérieurs) n'est pas celle que l'on veut enseigner : si la réponse était déjà connue, ce ne serait pas une situation d'apprentissage. “Sans stratégie de base l’élève ne comprend pas le jeu, même si la consigne est claire”

(Brousseau, 1988, p.61) •  La procédure de base doit se révéler très vite insuffisante ou inefficace pour que l'élève

soit contraint de faire des accommodations, des modifications de son système de connaissance. Il y a incertitude de l'élève quant aux décisions à prendre ;

•  La connaissance visée est a priori requise pour passer de la stratégie de base à la stratégie optimale

•  Il existe un milieu pour la validation : le milieu permet des rétroactions •  Le "jeu" est répétable.

Retour sur la course à 20

• Règle du jeu de la course à n • « Le jeu comporte deux adversaires qui disent un nombre tour à tour. Il s’agit pour chacun des adversaires de réussir à dire le nombre n le premier. • Le premier qui joue doit dire un nombre inférieur ou égal à p. • On ne peut dire un nombre que s’il s’obtient en ajoutant un nombre inférieur ou égal à p au nombre que l’adversaire vient de dire. »

• Jeu 1 : stratégie de base : ajouter 1 ou 2 au nombre proposé par l’adversaire • stratégies suivantes : recherche des raisons de jouer un nombre plutôt qu’un autre • le milieu : les règles du jeu et les deux suites de nombres joués par chaque adversaire • validation : les adversaires ont les moyens de savoir par eux-mêmes s’ils ont gagné ou perdu • stratégie gagnante : commencer et dire 2, puis dire la suite des nombres gagnants • notion utilisée : soustraction de p+1 à partir de n

• Jeu 2 : stratégie gagnante : commencer et dire 2, puis dire la suite des nombres gagnants • notion utilisée : soustraction de p+1 à partir de n

• Jeu 3 : changement de stratégie : l’adversaire commence, puis dire la suite des nombres gagnants • notion utilisée : soustraction de p+1 à partir de n

• Jeu 4 : changement de stratégie et de notion utilisée • il n’est plus possible de faire des soustractions à partir de n pour identifier le premier nombre de la suite gagnante, il faut chercher le reste de la division euclidienne de n par p+1.

• Comment décrire ce qui change au cours de ces jeux et qui fait changer la stratégie ?

Jeux 1. n=20 p=2 2. n=38 p=4 3. n=56 p=6 4. n=5928 p=2

Analyse en terme de variables didactiques

•  Dans la course à n, les variables didactiques sont n et p, elles peuvent prendre plusieurs « valeurs » :

–  Pour n, il y a deux valeurs possibles : n multiple de p+1, n non multiple –  Pour p, il y a aussi deux valeurs possibles : p petit ou grand par rapport à n

•  L’important est de pouvoir décrire les changements de stratégies observés au cours des 4 jeux précédents. Il y a deux changements de stratégie, liés à un changement de variable :

–  entre le jeu 2 et le jeu 3 : n passe de non multiple de p+1 à multiple –  entre le jeu 3 et le jeu 4 : p devient petit par rapport à n – 

•  On pourrait décider d’un autre couple de variables, avec d’autres valeurs, par exemple : –  r = reste de la division de n par p, valeurs possibles 0 ou ≠0 ; –  n/(p+1), valeurs possibles < 15 ou >15

Variable didactique

•  « Un champ de problèmes peut être engendré à partir d'une situation par la modification des valeurs de certaines variables qui, à leur tour, font changer les caractéristiques des stratégies de solution (coût, validité, complexité…etc.) […] Seules les modifications qui affectent la hiérarchie des stratégies sont à considérer (variables pertinentes) et parmi les variables pertinentes, celles que peut manipuler un professeur sont particulièrement intéressantes : ce sont les variables didactiques. » (G. Brousseau, 1982 a)

•  « Ces variables sont pertinentes à un âge donné dans la mesure où elles commandent des comportements différents. Ce seront des variables didactiques dans la mesure où en agissant sur elles, on pourra provoquer des adaptations et des régulations : des apprentissages. » (G. Brousseau, 1982 b)

Notion de saut informationnel •  « Le saut informationnel consiste, après avoir trouvé une situation

fondamentale faisant “fonctionner” une notion, à choisir d’abord les valeurs de ses variables de telle manière que les connaissances antérieures des élèves permettent d’élaborer des stratégies efficaces…puis, sans modifier les règles du jeu, à changer les valeurs des variables de façon à rendre beaucoup plus grande la complexité de la tâche à accomplir. De nouvelles stratégies doivent être établies qui demandent la construction de nouvelles connaissances. »

(G. Brousseau, 1986, p. 23)

•  Derrière la notion de saut informationnel il y a l’idée que l’apprentissage n’est pas continu, progressif. Au contraire, il résulte d’une adaptation à une situation problématique, qui provoque un déséquilibre.

Activité

• Prenez une feuille format A5 (un demi A4) et proposez une tâche de construction du symétrique d’une figure pour des élèves de collège, après la sixième (extrait de programme ci-dessus) pour savoir s’ils savent faire.

Activité suite

•  En classe de 4ème et de 3ème (Collège de Domène, Isère) la tâche donnée aux élèves était formulée de la façon suivante : « trouver le symétrique de la figure par rapport à la droite».

•  Contraintes : pliage interdit, dessin à main levée.

•  1/ Faire une analyse a priori de la tâche des élèves :

•  • chercher les réponses possibles, correctes ou pas, des élèves et les procédures qui permettent de les obtenir ;

•  • quels sont les moyens de validation des élèves ?

•  2/ Identifiez les variables didactiques de la situation et leurs effets sur les procédures des élèves.

Document 1 – 8 items soumis aux élèves 1 2

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Corrigé sur les procédures (1) •  Quelles procédures de constructions peut-on anticiper chez les élèves ? Comment classer les procédures ? •  ➢ Procédures globales

–  A main levée, contrôle de l’espace entre le segment et l’axe qui doit être « comme » l’espace entre l’image et l’axe, reproduction du dessin du segment qui doit être « le même »

–  Un segment parallèle, de l’autre côté de l’axe –  Un segment dans le prolongement du premier de l’autre côté de l’axe

•  ➢ Procédures semi-analytiques –  Construction de l’image d’une extrémité du segment puis construction du segment image en conservant la longueur et en

choisissant une direction, soit la même que le segment d’origine, ou une direction symétrique par rapport à un axe vertical ou la direction symétrique correcte.

–  Les propriétés intrafigurales sont privilégiées, les propriétés interfigurales sont relâchées. •  ➢ Procédures analytiques

–  Construction des deux extrémités du segment, puis tracé qui relie les deux. –  Les propriétés interfigurales sont à l’œuvre et les propriétés intrafigurales ne sont pas respectées –  Points images construits sur la droite horizontale indépendamment de la direction de l’axe, la propriété de conservation des

longueurs (intrafigurale) ne peut pas être conservée. •  ➢ Pour la construction de l’image d’un point

–  Comptage des carreaux jusqu’au point : à partir de l’axe, à partir des bords de la feuille, selon une direction horizontale, verticale, mixte

–  Le choix de la direction selon laquelle compter les carreaux pour obtenir le point image dépend de la direction de l’axe •  axe vertical = échange droite gauche & conservation haut bas •  axe horizontal = échange haut-bas &conservation droite-gauche •  axe +45° par rapport à l’horizontale = échange droite-haut & gauche-bas •  axe -45° par rapport à l’horizontale = échange droite-bas & gauche haut

–  Si feuille blanche, choix d’une direction (horizontale, verticale ou celle du segment) report de la distance entre le point et l’axe selon cette direction de l’autre côte de l’axe.

Corrigé sur les procédures (2) •  Comment valident-ils leur construction ? Quel est le domaine de validité de chaque procédure ?

• ➢ Validation – Validation perceptive : conservation de l’objet géométrique et dans le cas

d’un segment de sa longueur. – Validation par pliage (non effective dans ce cas, mais invoquée) – Validation géométrique : perpendicularité du segment (point, image) par

rapport à l’axe, équidistance d’un point et de son image à l’axe – Validation par vérification des propriétés intra ou interfigurales.

• ➢ Domaine de validité d’une procédure – Procédure semi-analytique avec un segment parallèle à son image, domaine

de validité : segment parallèle à l’axe. – Procédure globale ou semi-analytique avec le segment et son image sur la

même droite : domaine de validité un segment perpendiculaire à l’axe – Procédure de comptage de carreaux avec inversion gauche-droite : axe

vertical

Corrigé sur les variables didactiques •  Quelles sont les variables didactiques utilisées pour cette série d’items ? •  Quand on identifie une variable, il faut pouvoir dire les valeurs qu’elle prend et les

conséquences sur les procédures des élèves. •  Variables globales

–  Longueur et extrémités du segment (relations intrafigurales) –  Relation objets axe (relations interfigurales)

•  Contraintes (les variables fixées) –  Rigidité du matériau (pour bloquer la validation par pliage) –  Taille de la feuille –  Papier quadrillé ou non –  Instruments de construction

•  Variables didactiques –  Complexité de la figure (point, segment, polygone, autre) –  Orientation du segment par rapport à l’axe (parallèle, oblique, perpendiculaire) –  Orientation de l’axe dans la feuille (horizontal, vertical, oblique) –  Intersection segment axe (vide, extrémité, un point non extrémité, segment complet) –  Localisation axe&figure dans la feuille (permet toutes les constructions, en bloque

certaines)

Références bibliographiques • Brousseau G. (1982 a). Les objets de la didactique des

mathématiques, in Actes de la Deuxième école d’été de didactique des mathématiques, France.

• Brousseau G. (1982 b). Ingénierie didactique : d'un problème à l'étude a priori d'une situation didactique, in Actes de la Deuxième école d’été de didactique des mathématiques, France.

• Grenier D. (1985) Quelques aspects de la symétrie orthogonale pour des élèves de classes de 4ème et 3ème, petit x n°7, pp. 57-69