Vecteurs aléatoires

Dpartement de Mathmatiques et Informatique

Abdelhamid El Mossadeq Professeur lEHTP

A. El Mossadeq Mai 2008

TABLE DES MATIRES

1.Vecteursalatoires 12.Fonctionderpartition 23.Lesmargesdunvecteuralatoire 34.Vecteursalatoiresdiscrets 45.Vecteursalatoiresabsolumentcontinus 56.Oprationssurlesvecteursalatoires 9

6.1.Lasommededeuxalasdiscrets 96.2.Lasommededeuxalascontinus 106.3.Changementdevariables 13

7.Lesmoments 148.Densitsdeprobabilitconditionnelle 189.Esprancemathmatiqueconditionnelle 1910.Ladroitedergression 2011.Convergencedesvariablesalatoires 22

11.1.Convergencepresquepartout 2211.2.Convergenceenprobabilit 2211.3.Convergenceenloi 2211.4.Convergenceennormedordrep 2311.5.Comparaisondesconvergences 23

12.Loifaiblesdesgrandsnombres 2413.Thormecentralelimite 25

13.1.Casdelaloibinomiale 2813.2.CasdelaloidePoisson 28

14.Exercices 30

Vecteurs Alatoires A. El Mossadeq

1. Vecteurs Alatoires

Dnition 1Un vecteur alatoire n dimensions, ou une variable alatoire n dimensionsest un ala dni sur un espace probabilis (; T ;P ) valeurs dans (Rn;BRn),o BRn est la tribu des borliens de Rn.

Soit i, 1 i n, la ieme projection de Rn sur R, et posons :Xi = i X

Pour tout borlien B 2 BR on a :X1i [B] = (i X)1 [B]

= X1 1i [B]= X1

Ri1 B Rni

donc X1i [B] est un vnement de T .Il en rsulte que pour tout i, 1 i n, lapplication :

Xi : (; T ;P ) ! (R;BR)est une variable alatoire une seule dimension dnie sur (; T ;P ).La donne dun vecteur alatoire n dimensions X quivaut donc la

donne de n variables alatoires une dimension X1; :::; Xn qui sont ses

composantes.

On note :

X = (X1; :::; Xn)

et pour tout ! 2 on a :X (!) = (X1 (!) ; :::; Xn (!))

Si lon dsigne par Pi la loi PXi de la variable alatoire Xi, alors pour tout

1

A. El Mossadeq Vecteurs Alatoires

borliens B 2 BR on a :Pi [B] = P

X1i [B]

= P

X1

Ri1 B Rni

= PXRi1 B Rni

= P [X1 2 R; ::; Xi1 2 R; Xi 2 B;Xi+1 2 R; :::; Xn 2 R]

2. Fonction de Rpartition

Si a = (a1; :::an) est un lment de Rn, on pose :

(a) = f(x1; :::xn) 2 Rn j x1 < a1; :::; xn < ang

Dnition 2Soit :

X : (; T ;P ) ! (Rn;BRn)o X = (X1; :::; Xn), un vecteur alatoire.On appelle fonction de rpartition de X, la fonction relle F dnie pour tout xdans Rn par :

F (x) = PX [ (x)]

On a alors :

F (x) = PX [ (x)]

= P [X 2 (x)]= P [X1 < x1; :::; Xn < xn]

pour tout x = (x1; :::xn) dans Rn.

2


3. Les Marges dun Vecteur Alatoire

Dnition 3Soit X = (X1; :::; Xn) un vecteur alatoire dni sur (; T ;P ) :Les n marges de PX sont les lois Pi des variables alatoires Xi, 1 i n:

Proposition 1Soit X = (X1; :::; Xn) un vecteur alatoire dni sur (; T ;P ), F sa fonctionde rpartition et Fi la fonction de rpartition de Xi:Les variables alatoires X1; :::; Xn sont indpendantes si et seulement si pourtout (x1; :::; xn) 2 Rn on a :

F (x1; :::; xn) =

nYi=1

Fi (xi)

Preuve 1Les variables alatoires X1; :::; Xn sont indpendantes si et seulement si pourtout (x1; :::; xn) 2 Rn :

P [X1 < x1; :::; Xn < xn] =

nYi=1

P [Xi < xi]

donc, si et seulement si pour tout (x1; :::; xn) 2 Rn :

F (x1; :::; xn) =

nYi=1

Fi (xi)

3


4. Vecteurs Alatoires Discrets

Dnition 4Soit :

X : (; T ;P ) ! (Rn;BRn)o X = (X1; :::; Xn), un vecteur alatoire.On dit que X est discret si X () est dnombrable et T = P ().

La loi PX de X est alors une loi discrte. Elle est entirement dnie par

les probabilits lmentaires p (x1; :::; xn), o (x1; :::; xn) parcourt X () :

Puisque pour tout i, 1 i n :Xi () = i X ()

donc Xi () est dnombrable et par consquent X1; :::; Xn sont toutes des

variables alatoires discrtes.

Proposition 2Soit :

X : (; T ;P ) ! (Rn;BRn)o X = (X1; :::; Xn) ; un vecteur alatoire discret:Les variables alatoires X1; :::; Xn sont indpendantes si et seulement si pourtout (x1; :::; xn) 2 X () on a :

p (x1; :::; xn) =

nYi=1

pi (xi)

4


Preuve 2Les variables alatoires :

X1; :::; Xn : (; T ;P ) ! (R;BR)sont indpendantes si et seulement si pour tout (x1; :::; xn) 2 X () :

P [X1 = x1; :::; Xn = xn] =

nYi=1

P [Xi = xi]

donc, si et seulement si pour tout (x1; :::; xn) 2 Rn :

p (x1; :::; xn) =

nYi=1

pi (xi)

5. Vecteurs Alatoires AbsolumentContinus

Dnition 5Soit :

X : (; T ;P ) ! (Rn;BRn)o X = (X1; :::; Xn) ; un vecteur alatoire.On dit que X est absolument continu si sa loi de probabilit PX possde unedensit relativement la mesure de Lebesgue sur Rn, cest dire, il existe unefonction positive et intgrable f telle que lon ait pour tout a 2 Rn :

F (a) =

Z(a)

f (x1; :::; xn) dx1:::dxn

o F est la fonction de rpartition de X.f est appele alors la densit de probabilit de X.

5


Remarque 1La condition :

PX [Rn] = 1

se traduit par : ZRnf (x1; :::; xn) dx1:::dxn = 1

Remarque 2Toute fonction :

f : Rn ! Rpositive, intgrable telle que :Z

Rnf (x1; :::; xn) dx1:::dxn = 1

est la densit de probabilit dune loi de probabilit unique.

Proposition 3Soit :

X : (; T ;P ) ! (Rn;BRn)o X = (X1; :::; Xn) ; un vecteur alatoire absolument continu densit de prob-abilit f .La variable alatoire Xi, 1 i n, a pour densit la fonction fi dnie pourtout xi 2 R par :

fi (xi) =

ZRn1

f (x1; :::; xn) dx1:::dxi1dxi+1:::dxn

6


Preuve 3Remarquons tout dabord que la fonction fi ainsi dnie est une densit deprobabilit.En eet,fi est positive, intgrable et on a :Z

Rfi (xi) dxi =

ZRnf (x1; :::; xn) dx1:::dxn

= 1

Dmontrons maintenant que cest la densit de probabilit de la variable alatoireXi.Pour tout a 2 R on a :Pi (]1; a[) = PX

Ri1 ]1; a[ Rni

=

ZRi1]1;a[Rni

f (x1; :::; xn) dx1:::dxn

=

Z a1

ZRn1

f (x1; :::; xn) dx1:::dxi1dxi+1:::dxn

dxi

=

Z a1

fi (xi) dxi

Il en rsulte que fi est bien la densit de probabilit de la variable alatoire Xi.

Proposition 4Soit :

X : (; T ;P ) ! (Rn;BRn)o X = (X1; :::; Xn) ; un vecteur alatoire de densit de probabilit f dont lesmarges X1; :::; Xn admettent les densits f1; :::; fn:Les variables alatoires X1; :::; Xn sont indpendantes si et seulement si pourtout (x1; :::; xn) 2 Rn on a :

f (x1; :::; xn) =

nYi=1

fi (xi)

7


Preuve 4(i) Supposons que pour tout (x1; :::; xn) 2 Rn on a :

f (x1; :::; xn) =

nYi=1

fi (xi)

Alors, pour tout a = (a1; :::; an) 2 Rn :P [X1 < a1; :::; Xn < an] = PX [ (a)]

=

Z(a)

f (x1; :::; xn) dx1:::dxn

=

nYi=1

Z ai1

fi (xi) dxi

=

nYi=1

P [Xi < ai]

donc les variables alatoires X1; :::; Xn sont indpendantes.

(ii) Rciproquement, supposons que les variables alatoires X1; :::; Xn soient

indpendantes.

La fonction :

Rn ! Rn(x1; :::; xn) 7! f1 (x1) :::fn (xn)

est positive, intgrable et vrie :ZRnf1 (x1) :::fn (xn) dx1:::dxn =

nYi=1

ZRfi (xi) dxi

= 1

donc cest une densit de probabilit.

8


Dautre part :

PX [ (a)] = P [X1 < a1; :::; Xn < an]

=

nYi=1

P [Xi < ai]

=

nYi=1

Z ai1

fi (xi) dxi

=

Z(a)

f (x1) :::f (xn) dx1:::dxn

On en dduit que cest la densit de X = (X1; :::; Xn), do pour tout

(x1; :::; xn) 2 Rn :

f (x1; :::; xn) =

nYi=1

fi (xi)

6. Oprations sur les Vecteurs Alatoires

6.1. La Somme de Deux Alas Discrets

SoientX et Y deux variables alatoires discrtes dnies sur un espace probabilis

(; T ;P ) :Dterminons la loi de la variable alatoire :

Z = X + Y

Puisque X () et Y () sont des ensembles dnombrables, alors Z () est lui

mme un ensemble dnombrable, et par consquent, Z est une variable alatoire

discrte.

9


Posons :

I(k) = f(x; y) 2 X () Y () j x+ y = kgAlors :

P [Z = k] =X

(x;y)2I(k)P [X = x; Y = y]

6.2. La Somme de Deux Alas Absolument Continus

Proposition 5Soient X et Y deux variables alatoires telles que le couple (X; Y ) admette unedensit f .Alors la variable alatoire X + Y possde une densit fX+Y dnie pour toutu 2 R par :

fX+Y (u) =

Z +11

f (x; u x) dx

Preuve 5La fonction :

R ! Ru 7!

Z +11

f (x; u x) dx

est une densit de probabilit puisquelle est positive , intgrable et vrie :Z +11

Z +11

f (x; u x) dxdu =

ZR2f (x; u x) dxdu

=

ZR2f (x; y) dxdy

= 1

Dmontrons que cest la densit de la variable alatoire X + Y .

10


Pour tout t 2 R, dsignons par D (t) le domaine de R2 :

D (t) =(x; y) 2 R2 j x+ y < t

alors :

PX+Y (]1; t[) = P [X + Y < t]= P [(X; Y ) 2 D (t)]=

Z +11

Z tx1

f (x; y) dy

dx

=

Z +11

Z t1

f (x; u x) dudx

=

Z t1

Z +11

f (x; u x) dxdu

Il en rsulte que la densit de probabilit de X + Y est la fonction fX+Y dniepour tout u 2 R par :

fX+Y (u) =

Z +11

f (x; u x) dx

Remarque 3Si X et Y sont de plus indpendantes alors :

fX+Y (u) =

Z +11

f (x; u x) dx

=

Z +11

fX (x) fY (u x) dx

fX+Y nest autre, dans ce cas, que le produit de convolution de fX et fY :

fX+Y = fX fY

11


Exemple 1Soient X et Y deux variables alatoires indpendantes qui suivent des lois expo-nentielles de paramtres et respectivement :

fX (x) =

expx si x > 00 si x 0

fY (y) =

expy si y > 00 si y 0

Calculons la densit de probabilit de la variable alatoire :

Z = X + Y

On a :

fX+Y (u) =

Z +11

f (x; u x) dx

=

Z +11

fX (x) fY (u x) dx

=

8 0

(i) si = alors :

fX+Y (u) =

8 0

=

0 si u 02u exp (u) si u > 0

12


(ii) si 6= alors :

fX+Y (u) =

8>>>:0 si u 0

exp (u)Z u0

exp ( )xdx si u > 0

=

8>>>:0 si u 0

[exp (u) exp (u)] si u > 0

6.3. Changement de Variables

Soit X = (X1; :::; Xn) un vecteur alatoire dni sur un espace de proba-

bilit (; T ;P ) de densit de probabilit f:Considrons une transformation S :

Rn ! Rnx 7! y = S (x)

telle que :

(i) S est une transformation bijective

(ii) S est continment direntiable

(iii) le Jacobien DS de S est non nulle.

Proposition 6La densit fSX de S X est donne pour tout x 2 Rn par :

fSX (y) = fXS1 (y)

D1S Preuve 6Cest le thorme de changement de variables dans une intgrale.

13


7. Les Moments

Dnition 6Soient (; T ;P ) un espace probabilis et :

X : (; T ;P ) ! (Rn;BRn)o X = (X1; :::; Xn) ; un vecteur alatoire P -intgrable dni sur cet espace.On appelle esprance mathmatique de X, ou moyenne de X, quon note E [X],le vecteur :

E [X] =

2664E [X1]

:

:

E [Xn]

3775

Proposition 7Soit :

X : (; T ;P ) ! (Rn;BRn)o X = (X1; :::; Xn) ; un vecteur alatoire P -intgrable et :

g : (Rn;BRn; PX) ! (R;BR)une variable alatoire PX-intgrable.Alors :

E [g X] =ZRng (x) dPX

Preuve 7On a :

E [g X] =Z

g XdP =ZRng (x) dPX

daprs le thorme de transfert de mesure.

14


Il rsulte de cette dnition que :

(i) si X = (X1; :::; Xn) est un vecteur alatoire discret alors :

E [g X] =X

(x1;:::;xn)2X()g (x1; :::; xn) p (x1; :::; xn)

(ii) si X = (X1; :::; Xn) est un vecteur alatoire absolument continu de

densit f alors :

E [g X] =ZRng (x1; :::; xn) f (x1; :::; xn) dx1:::dxn

Dnition 7SoientX et Y deux variables alatoires dnies sur un espace probabilis (; T ;P )de carrs intgrables.On appelle covariance de X et Y , note Cov [X; Y ], le rel :

Cov [X; Y ] = E [(X E [X]) (Y E [Y ])]X et Y sont dites non corrles si leur covariance est nulle.

En dveloppant, la covariance de X et Y scrit aussi :

Cov [X;Y ] = E [(X E [X]) (Y E [Y ])]= E [XY XE [Y ] E [X]Y + E [X]E [Y ]]= E [XY ] E [X]E [Y ]

Proposition 8SoientX1; :::; Xn n variables alatoires dnies sur un espace probabilis (; T ;P ).

1. Si X1; :::; Xn sont indpendantes alors :

E

"nYi=1

Xi

#=

nYi=1

E [Xi]

15


2. Si les variables alatoires Xi et Xj sont indpendantes alors elles sont non

corrles.

3. Si (a1; :::; an) 2 Rn alors :

V

"nXi=1

aiXi

#=

nXi=1

nXj=1

aiajCov [Xi; Xj]

4. Si X1; :::; Xn sont deux deux non corrles alors :

V

"nXi=1

aiXi

#=

nXi=1

a2iV [Xi]

Preuve 81. Si X1; :::; Xn sont indpendantes alors :

P(X1;:::;Xn) = PX1 ::: PXndo :

E

"nYi=1

Xi

#=

ZRnx1:::xndPX1:::dPXn

=

nYi=1

ZRxidPXi

=

nYi=1

E [Xi]

2. Si Xi et Xj sont indpendantes alors :

E [XiXj] = E [Xi]E [Xj]

do :

Cov [Xi; Xj] = 0

Xi et Xj sont donc non corrles.

16


3. On a :

V

"nXi=1

aiXi

#= E

24 nXi=1

aiXi E"

nXi=1

aiXi

#!235= E

24 nXi=1

ai (Xi E [Xi])!235

= E

"nXi=1

nXj=1

aiaj (Xi E [Xi]) (Xj E [Xj])#

=

nXi=1

nXj=1

aiajCov [Xi; Xj]

4. Si X1; :::; Xn sont deux deux non corrles alors :Cov [Xi; Xj] = 0 si i 6= jCov [Xi; Xj] = V [Xi] si i = j

do :

V

"nXi=1

aiXi

#=

nXi=1

a2iV [Xi]

Dnition 8SoientX = (X1; :::; Xn) un vecteur alatoire n dimensions et Y = (Y1; :::; Ym)un vecteur alatoire m dimensions dnis sur un espace probabilis (; T ;P ).1. On appelle matrice des covariances de X et Y , la matrice :

E(X E (X))t (Y E (Y )) = [Cov [Xi; Yj]]

2. On appelle matrice des variances et covariances de X, la matrice :

X = E(X E (X))t (X E (X)) = [Cov [Xi; Xj]]

17


8. Densit de Probabilit Conditionnelle

Dnition 9Soit (X; Y ) un couple de variables alatoires de densit f , et notons fX et fYles densits marginales de X et Y respectivement.Soit x 2 R tel que fX (x) soit non nulle.On appelle densit conditionnelle de Y relativement [X = x], la fonctionfY (: j x) dnie pour tout y 2 R par :

fY (y j x) = f (x; y)fX (x)

Proposition 9Pour tout x 2 R, telle que fX (x) soit non nulle, la fonction fY (: j x) dniepour tout y 2 R par :


est une densit de probabilit.

Preuve 9En eet, fY (: j x) est positive , intgrable et :Z

RfY (y j x) dy = 1

fX (x)

ZRf (x; y) dy = 1

Remarque 4On dnit de manire analogue la densit conditionnelle de X relativement [Y = y] par :

fX (x j y) = f (x; y)fY (y)

pour tout y 2 R, telle que fY (y) soit non nulle

18


9. Esprance Mathmatique Conditionnelle

Dnition 10Soient (X; Y ) un couple de variables alatoires discrtes dnies sur un espaceprobabilis (; T ;P ) :On appelle esprance mathmatique conditionnelle de Y relativement [X = x],lorsquelle existe, le nombre rel :

E [Y j X = x] =Xy2Y ()

yP [Y = y j X = x]

Lapplication :

x 7! E [Y j X = x]est appele aussi la courbe de rgression de Y en X:

Dnition 11Soient (X; Y ) un couple de variables alatoires absolument continues de densitf , et dsignons par fY (: j x) la densit conditionnelle de Y relativement X:On appelle esprance mathmatique conditionnelle de Y relativement [X = x],lorsquelle existe, le nombre rel :

E [Y j X = x] =ZRyfY (y j x) dy

Lapplication :

x 7! E [Y j X = x]est appele aussi la courbe de rgression de Y en X:

19


Proposition 101. Si g est une fonction mesurable, alors :

E [E [g Y j X = x]] = E [g Y ]2. Si X et Y sont indpendantes, alors :

E [g Y j X = x] = E [g Y ]

Preuve 10Admis

10. La Droite de Rgression

Dnition 12SoientX et Y deux variables alatoires dnies sur un espace probabilis (; T ;P )et possdant des variances non nulles.On appelle coe cient de corrlation linaire, ou coe cient de Pearson, le nombre dni par :

=Cov [X; Y ]

[X] [Y ]

Proposition 111. 1 12. = 1 si et seulement si il existe a > 0 et un rel b tels que : Y = aX + b:

3. = 1 si et seulement si il existe a < 0 et un rel b tels que : Y = aX + b4. = 0 si et seulement X et Y sont non corrles.

20


Preuve 11Cette proposition dcoule de lingalit de Scharwz.En eet :

jCov [X; Y ]j =Z

(X E [X]) (Y E [Y ]) dP

Z

(X E [X])2 dP 12Z

(Y E [Y ])2 dP 12

[X] [Y ]do la proposition.

Dnition 13On appelle droite de rgression de Y en X, la droite dnie par lquation :

[X] [y E [Y ]] = [Y ] [x E [X]]

Dnition 14La droite scrit aussi :

y = ax+ b

o :

a =Cov [X; Y ]

V [X]

b = E [Y ] aE [X]

Remarque 5On dnit dune manire analogue la droite de rgression de X en Y :

[Y ] [x E [X]] = [X] [y E [Y ]]

21


11. Convergence des Variables Alatoires

11.1. Convergence Presque Partout

Dnition 15Soit (Xn)n2N une suite de variables alatoires dnies sur un espace probabilis(; T ;P ) :On dit que (Xn)n2N converge vers X presque srement ou presque partout ausens de la probabilit P (P -p.s ou P -p.p), sil existe A 2 T , P [A] = 1, telleque Xn (!) converge vers X (!) pour tout ! 2 A:

11.2. Convergence en Probabilit

Dnition 16Soit (Xn)n2N une suite de variables alatoires dnies sur un espace probabilis(; T ;P ) :On dit que (Xn)n2N converge en probabilit vers une variable alatoire X dniesur (; T ;P ) si pour tout " > 0 on a :

limn!1P [jXn Xj > "] = 0

11.3. Convergence en Loi

Dnition 17SoitXn, n 2 N, une suite de variables alatoires dnies sur un espace probabilis(; T ;Pn) de fonction de rpartition Fn et soit X une variable alatoire dniesur un espace probabilis (; T ;P ) de fonction de rpartition F:On dit que (Xn)n2N converge en loi vers Xsi Fn (t) converge vers F (t) en toutpoint t de continuit de F .

22


11.4. Convergence en Norme dOrdre p

Soit Lp (; T ;P ) lespace des variables alatoires X telles que jXjp soit in-tgrable et dsignons par k:kp la norme :

kXkp =Z

jXjp dP 1p

Dnition 18Soit (Xn)n2N une suite de variables alatoires dnies sur L

p (; T ;P ) et X unevariable alatoire de Lp (; T ;P )On dit que (Xn)n2N converge en norme dordre p vers X si :

limn!1 kXn Xkp = 0

11.5. Comparaison des Convergences

Convergence presque sre Convergence k:k2

+ +

Convergence en probabilit (= Convergence k:k1

+

Convergence en loi

23


12. Lois Faibles des Grands Nombres

Proposition 12Soit :

X : (; T ;P ) ! (R;BR)une variable alatoire admettant une moyenne et une variance nie non nulle2.Si (X1; :::; Xn) est un n-chantillon de variable parente X, alors pour tout " > 0on a :

limn!1P

1n (X1 + :::+Xn) E [X] > " = 0

Preuve 12Posons :

Mn =1

n(X1 + :::+Xn)

on a :

E [Mn] = E [X]

V [Mn] =V [X]

n

Daprs lingalit de Bienaym-Tchebychev :

8" > 0 : P [jMn E [Mn]j > "] V [Mn]"2

do :

P

1n (X1 + :::+Xn) E [X] > " V [X]n"2

et par consquent :

limn!1P

1n (X1 + :::+Xn) E [X] > " = 0

24


Proposition 13Soient A 2 T et X = A:La frquence

1

n(X1 + :::+Xn) darrive de A en n preuves indpendantes

converge en loi vers P [A].Cest la loi des grands nombres de Bernouilli

Preuve 13Si X = A, A 2 T , alors :

E [X] = P [A]

do le rsultat.

13. Thorme Centrale Limite

Proposition 14Soit :

X : (; T ;P ) ! (R;BR)une variable alatoire admettant une moyenne et une variance nie non nulle2 et soit (X1; :::; Xn) un n-chantillon de variable parente X.La variable alatoire : p

n

1

n(X1 + :::+Xn) E [X]

converge en loi vers une variable alatoire normale centre rduite.

Preuve 14Dmontrons que la fonction caractristique n de la variable alatoire :

pn

1

n(X1 + :::+Xn) E [X]

25


converge vers la fonction caractristique de la variable alatoire normale centrerduite, savoir :

N (t) = exp12t2

Dsignons par la fonction caractristique de la variable alatoire X E [X] :Comme :

pn

1

n(X1 + :::+Xn) E [X]

=

nXi=1

Xi E [X]pn

alors :

n (t) =

t

pn

nEt comme est deux fois continment direntiable, alors :

(0) = 1

0 (0) = 000 (0) = 2

puisque :

(k) (0) = ikE [X]

Il en rsulte, daprs la formule de Taylor, que :

t

pn

1 t

2

2n

do :

lnn (t) = n ln

t

pn

n ln

1 t

2

2n

1

2t2

On conclut que :

limn!1n (t) = exp

1

2t2

26


Remarque 6Posons :

Mn =1

n(X1 + :::+Xn)

Mn est la moyenne empirique du n-chantillon.On a : 8>>>:

E [Mn] = E [X] =

V [Mn] =V [X]

n=2

nDaprs le thorme centrale limite, la variable alatoire centre rduite associe la moyenne empirique Mn :

Mn pn

converge vers une variable alatoire normale centre rduite.En consquence, pour n assez grand, la loi de Mn peut tre rapproche par la

loi normale N;2

n

:

Mn N;2

n

Remarque 7Posons :

Sn = X1 + :::+Xn

On a alors : 8


converge en loi vers une variable normale centre rduite, et par consquent, pourn assez grand, la loi de Sn peut tre rapproche par la loi normale N

n; n2

:

Sn Nn; n2

13.1. Cas de la loi binomiale

Soit X une variable de Bernouilli de paramtre p, 0 < p < 1, et soit

(X1; :::; Xn) un n-chantillon de variable parente X.

La variable alatoire :

Sn = X1 + :::+Xn

est donc une variable binomiale dordre n et de paramtre p : B (n; p). Deplus on a : 8 0, etsoit (X1; :::; Xn) un n-chantillon de variable parente X:

28


La variable alatoire :

Sn = X1 + :::+Xn

est donc une variable de Poisson de paramtre n : P (n). De plus :8


14. Exercices

Exercice 1Soit (; T ;P ) un espace de probabilit, et A et B deux vnements de cet espacetels que :

P [A] = P [A j B] = 12P [B j A] = 1

4Soient X et Y les variables alatoires indicatrices de A et B respectivement.

1. X et Y sont elles indpendantes ?

2. X et Y ont-elles une mme loi de probabilit ?

3. Calculer :

PX2 + Y 2 = 1

, P

X2Y 2 = XY

Solution 1On a :

X = A et Y = B

1. Puisque :

P [A] = P [A j B]on en dduit que les vnements A et B sont indpendants.

Il en rsulte que les variables alatoires X = A et Y = B sont aussi

indpendantes.

2. Comme :

P [A] 6= P [B]les variables alatoires X et Y ne suivent pas la mme loi de probabilit.

30


(a) Puisque :X2 + Y 2 = 1

= [(X; Y ) = (1; 0)] [(X; Y ) = (0; 1)]

et vu lindpendance de X et Y , on a :

PX2 + Y 2 = 1

= P [(X;Y ) = (1; 0)] + P [(X; Y ) = (0; 1)]

= P [X = 1]P [Y = 0] + P [X = 0]P [Y = 1]

= P [A]PB+ P

AP [B]

=1

2

(b) On a X2 = X et Y 2 = Y

=) X2Y 2 = XY

et par consquent :

PX2Y 2 = XY

= 1

Exercice 2On considre un couple (X; Y ) de variables alatoirs prenant les valeurs (i; j)dans f0; 1; 2; 3g f0; 1; 2g avec les probabilits indiques sur le tableau :

YX 0 1 2 3

0 0:1 0:2 0:1 0:1

1 0:1 0:0 0:0 0:1

2 0:1 0:0 0:2 0:0

1. Dterminer les probabilits marginales de X et Y .


3. Calculer les esprances mathmatiques de X et Y ainsi que leurs variances.

31


4. Former les tableaux des probabilits conditionnelles de X relativement Y et

de Y relativement X:

5. Dterminer la distribution de probabilit de la variable alatoire :

U = XY

et calculer lesprance mathmatique de U:

6. Dterminer la droite de rgression de Y en X et tracer son graphe.

Solution 21. On ajoute au tableau initial une ligne et une colonne sur lesquelles on indique

les lois marginales de X et de Y qui sont dnies par :

PX (i) = P [X = i]

=

2Xj=0

P [X = i; Y = j] ; i 2 f0; 1; 2; 3g

et :

PY (j) = P [Y = j]

=

3Xi=0

P [X = i; Y = j] ; j 2 f0; 1; 2g

do le tableau :

YX 0 1 2 3 PY

0 0:1 0:2 0:1 0:1 0:5

1 0:1 0:0 0:0 0:1 0:2

2 0:1 0:0 0:2 0:0 0:3

PX 0:3 0:2 0:3 0:2 1

32


2. Les variables alatoires X et Y ne sont pas indpendantes car :

P [X = 1; Y = 1] = 0

alors que :

P [X = 1] 6= 0et :

P [Y = 1] 6= 0

(a) On a :

E [X] =3Pi=0

iP [X = i] = 1:4

EX2=

3Pi=0

i2P [X = i] = 3:2

V [X] = EX2 E [X]2 = 1:24

(b) de mme :

E [Y ] =2Pj=0

jP [Y = j] = 0:8

EY 2=

2Pj=0

j2P [Y = j] = 1:4

V [Y ] = EY 2 E [Y ]2 = 0:76

(a) La loi conditionnelle de Y relativement X est dnie pour tout (i; j) 2f0; 1; 2; 3g f0; 1; 2g par :

P [Y = j j X = i] = P [(X;Y ) = (i; j)]P [X = i]

33


do le tableau :

YX 0 1 2 3

01

31

1

3

1

2

11

30 0

1

2

21

30

2

30

(b) La loi conditionnelle de Y relativement X est dnie pour tout (i; j) 2f0; 1; 2; 3g f0; 1; 2g par :

P [X = i j Y = j j] = P [(X;Y ) = (i; j)]P [Y = j]

do le tableau :

YX 0 1 2 3

01

5

2

5

1

5

1

5

11

20 0

1

2

21

30

2

30

3. Posons :

U = XY

Dsignons par I (k) lensemble :

I (k) = f(i; j) 2 f0; 1; 2; 3g f0; 1; 2g j ij = kgAn de dterminer les valeurs k prises par la variable alatoires U , et les

ensembles I (k) correspondants, il serait plus judicieux de former le tableau

34


du produit de X et Y :

YX 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 4 6

Alors la loi de probabilit de U est dnie par :

P [U = k] =X

(i;j)2I(k)P [(X; Y ) = (i; j)]

do :

k 0 3 4

PU (k) 0:7 0:1 0:2

Lesprance mathmatique de U est donne par :

E [U ] = 0 P [U = 0] + 3 P [U = 3] + 4 P [U = 4]= 1:1

4. Dterminons dabord la covariance de X et Y :

Cov [X; Y ] = E [XY ] E [X]E [Y ]= E [U ] E [X]E [Y ]= 0:02

Dterminons maintenant les coe cients a et b de la droite rgression de Y en

X :

y = ax+ b

35


On a :

a =Cov [X; Y ]

V [X]= 1

62et

b = E [Y ] aE [X] = 5162

do la droite rgression de Y en X :

y = 162[x 51]

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.79

0.80

0.81

0.82

0.83

x

y

y = 162[x 51]

Exercice 3On considre un sac contenant sept billes blanches et trois billes noires duquelon eectue deux tirages sans remise.Soit X la variable alatoire dont la valeur est :

? 0 si le premier tirage donne une bille blanche? 1 si le premier tirage donne une bille noire.

Soit Y la variable alatoire dont la valeur est :

? 0 si le second tirage donne une bille blanche? 1 si le second tirage donne une bille noire.

36


1. Dresser le tableau de la loi conjointe du couple (X;Y ) et indiquer sur ce

tableau les lois marginales de X et Y:

2. Dterminer la matrice des variances et covariances de (X; Y ) :



Solution 31.

Tableau des lois conjointe et marginales de X et Y

XY 0 1 PX

042

90

21

90

7

10

121

90

6

90

3

10

PY7

10

3

101

X et Y suivent une mme loi de probabilit, cest la loi de Bernouilli de

paramtre p =3

10.

2. On a :

EXk= E

Y k=

1Xi=0

ikP [X = i] =3

10

do :

V [X] = V [Y ] = EX2 E [X]2

=21

100

37


Aussi, on a :

E [XY ] =

1Xi=0

1Xj=0

ijP [X = i; Y = j]

=1

15

do la covariance de X et Y :

Cov [X; Y ] = E [XY ] E [X]E [Y ]= 7

300

La matrice des variances et covariances de (X; Y ) est dnie par :

(X;Y ) =

24 V [X] Cov [X; Y ]Cov [X; Y ] V [Y ]

35

=

2666421

100 7300

7300

21

100

377753. Puisque la covariance de X et Y est non nulle, on en dduit que X et Y ne

sont pas indpendantes.

4. Dterminons les coe cients a et b de la droite rgression de Y en X :

y = ax+ b

On a :

a =Cov [X; Y ]

V [X]= 1

9et

b = E [Y ] aE [X] = 13

38



y = 19[x 3]

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-0.2

0.2

0.4

0.6

x

y

y = 19[x 3]

Exercice 4Un sac contient n jetons numrots de 1 n, n 3:On en tire successivement trois, sans remise.On appelle X la variable alatoire gale au plus grand des trois nombres lus surles trois jetons tirs, et Y la variable alatoire gale celui des trois nombres lusdont la valeur est intermdiaire entre les deux autres.Dterminer les lois de probabilit de X et Y ainsi que leurs esprances math-matiques.

Solution 4Soit Ji,1 i 3, la variable alatoire gale au numro port par le ieme jetontir.

(i) On a :

X = sup (J1; J2; J3)

39


et pour tout k 2 f3; 4; :::; ng :[X = k] = [J1 = k; J2 < k; J3 < k] [J1 < k; J2 = k; J3 < k]

[J1 < k; J2 < k; J3 = k]et comme :

P [J1 = k; J2 < k; J3 < k] = P [J1 < k; J2 = k; J3 < k]

= P [J1 < k; J2 < k; J3 = k]

=(k 1) (k 2)n (n 1) (n 2)

on en dduit :

P [X = k] = 3P [J1 = k; J2 < k; J3 < k]

= 3(k 1) (k 2)n (n 1) (n 2)

Lesprance mathmatique de X est :

E [X] =

nXk=3

kP [X = k]

=3

4(n+ 1)

(ii) Soit S3 le groupe des permutations de f1; 2; 3g.Pour tout k 2 f2; 4; :::; n 1gon a :

[Y = k] =M2S3

J(1) = k; J(2) < k; J(3) > k

Or pour tout 2 S3 :

PJ(1) = k; J(2) < k; J(3) < k

=(k 1) (n k)n (n 1) (n 2)

40


donc :

P [Y = k] = Card S3PJ(1) = k; J(2) < k; J(3) > k

= 6

(k 1) (n k)n (n 1) (n 2)

Lesprance mathmatique de Y est :

E [Y ] =

n1Xk=2

kP [Y = k] =(n+ 1)

2

Exercice 5Soient X1; :::; Xn n variables alatoires indpendantes.Chacune de ces variables prend les valeurs 1 et 1 avec une probabilit gale 1

2pour chacune de ces valeurs.

Soit :

Zn = X1 + :::+Xn

Quelle est la probabilit pour que la variable alatoire jZnj soit minimum ?

Solution 5(i) Si n est pair gal 2k, alors la valeur minimum prise par jZnj est 0; de plus :

P [jZnj = 0] = P [Zn = 0]

= C (2k; k)

1

2

k 1

2

2kk= C (2k; k)

1

2

2k(ii) Si n est impair gal 2k+1, alors la valeur minimum prise par jZnj est 1; de

plus :

[jZnj = 1] = [Zn = 1] [Zn = 1]

41


do :

P [jZnj = 1] = P [Zn = 1] + P [Zn = 1]

= C (2k + 1; k + 1)

1

2

k+11

2

k+ C (2k + 1; k)

1

2

k 1

2

k+1= 2C (2k + 1; k)

1

2

2k+1et nalement :

P [jZnj = 1] = C (2k + 1; k)1

2

2k

Exercice 6On jette n ds parfaitement quilibrs:Soit Mn la variables alatoire gale la moyenne des points obtenus.

1. Calculer lesprance mathmatique et la variance de Mn:

2. Dterminer n pour que lcart-type de Mn soit strictement infrieur 0:01:

Solution 6Dsignons par Di, 1 i n, la variable alatoire gale au point amen par leieme d.D1; :::; Dn sont indpendantes et suivent une mme loi de probabilit : la loi estuniforme sur lensemble f1; 2; 3; 4; 5; 6g :

P [Di = k] =1

6; k 2 f1; 2; 3; 4; 5; 6g

Pour tout i, 1 i n, On a :E [Di] =

7

2ED2i=91

6V [Di] =

35

12

Puisque :

Mn =1

n

nXi=1

Di

42


et vu que les variables alatoires D1; :::; Dn sont indpendantes et suivent unemme loi de probabilit alors :

E [Mn] = E [Di] =7

2

V [Mn] =1

nV [Di] =

35

12nAinsi :

[Mn] 102 =) n 3512104

=) n 29167

Exercice 7On considre le systme dquations :

u + 2v = 5

Xu + Y v = Z

o X, Y et Z sont trois variables alatoires indpendantes de lois respectives :8>>>>>>>:8i 2 f1; 3; 5; 7; 9g P [X = i] = 1

5

8j 2 f2; 4; 6; 8; 10g P [Y = j] = 15

8k 2 f1; :::; 10g P [Z = k] = 110

Quelles sont les probabilits pour que le systme ait :

1. une innit de solution ?

2. aucune solution ?

3. une solution unique ?

4. Quelle est la probabilit que le systme admette la solution unique (1; 2) ?

43


Solution 7Considrons les vnements :

S1 : le systme admet une innit de solutions

S2 : le systme nadmet aucune solution

S3 : le systme a une solution unique

S4 : le systme admet la solution unique (1; 2)

et posons :

= f1; 3; 5; 7; 9g f2; 4; 6; 8; 10g f1; :::; 10g

1. Le systme admet une innit de solutions si et seulement si :

X

1=Y

2=Z

5

donc si et seulement si :

(X; Y; Z) = (1:2:5)

do :

P [S1] =1

card

=1

250

2. Le systme nadmet aucune solution si et seulement si :

X

1=Y

26= Z5

Posons :

S21 = f(1; 2; k) j k 2 f1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9; 10gg

S22 = f(3; 6; k) j k 2 f1; :::; 10gg

S23 = f(5; 10; k) j k 2 f1; :::; 10gg

44


alors :

P [S2] =card S21card

+card S22card

+card S23card

=9

250+10

250+10

250

=29

250

3. Le systme admet une solution unique si et seulement si :

Y 2X 6= 0Posons :

S31 = f1g f4; 6; 8; 10g f1; :::; 10g

S32 = f3g f2; 4; 8; 10g f1; :::; 10g

S33 = f5g f2:4; 6; 8g f1; :::; 10g

S34 = f7g f2; 4; 6; 8; 10g f1; :::; 10g

S35 = f9g f2; 4; 6; 8; 10g f1; :::; 10galors :

P [S3] =card S31card

+card S2card

+card S33card

+card S34card

+card S35card

=40

250+40

250+40

250+50

250+50

250

=22

25

4. Le systme admet la solution unique (1; 2) si et seulement si :8


donc, si et seulement si :

(X:Y:Z) 2 f(1; 4; 9) ; (3; 2; 7) ; (5; 2; 9)gdo :

P [S4] =3

250

Exercice 8Soit X1; :::; Xn des variables alatoires indpendantes qui suivent une mme loide probabilit telle que :

8i 2 f1; :::; ng :

P [Xi = 1] = P [Xi = 1] = 1

o est un paramtre rel appartenant ]0; 1[ :Pour tout k, 1 k n, on pose :

Yk =

kYi=1

Xi

1. Calculer lesprance mathmatique de Yk:

2. En dduire la loi de probabilit de Yk:

3. Dterminer les valeurs de pour lesquelles les variables Y1; :::; Yn sont deux

deux non corrles.

Solution 81. Puisque les variables alatoires X1; :::; Xn sont indpendantes alors :

E [Yk] = E

"kYi=1

Xi

#

=

kYi=1

E [Xi]

= (E [X1])k

46


Or :

E [X1] = 1 P [X1 = 1] + (1) P [X1 = 1]= 2 1

do :

E [Yk] = (2 1)k

2. Puisque la variable alatoire Yk ne prend que les valeurs 1 et 1 alors :E [Yk] = 1 P [Yk = 1] + (1) P [Yk = 1]

= 2P [Yk = 1] 1do :

P [Yk = 1] =1

2(E [Yk] + 1)

=1

2

1 + (2 1)k

et par consquent :

P [Yk = 1] = 12

1 (2 1)k

En rsum, la loi de probabilit de Yk,1 k n. est donne par :8>>>>>:

P [Yk = 1] =1

2

1 + (2 1)k

P [Yk = 1] = 1

2

1 (2 1)k

3. Remarquons dabord que les variables X21 ; :::; X

2n sont indpendantes.

Soit alors i et j des entiers de f1; :::; ng, et sans perte de gnralits, supposonsi < j :

47


E [YiYj] = E

" iYk=1

Xk

! jYk=1

Xk

!#

= E

" iYk=1

X2k

! jY

k=i+1

Xk

!#

=

iYk=1

EX2k! jY

k=i+1

E [Xk]

!

= (E [X1])ji

= (2 1)ji

puisque pour tout k, 1 k n, on a :EX2k= 1

Dautre part :

E [Yi]E [Yj] = (2 1)i+j

Ainsi, les variables alatoires Yi et Yj sont non corrles si et seulement si :

E [YiYj] = E [Yi]E [Yj]

donc, si et seulement si :

(2 1)ji = (2 1)i+j

Si :2 1 6= 0

alors :

(2 1)2i = 1ce qui est impossible puisque =2 f0; 1g :

48


Si :2 1 = 0

alors :

=1

2En rsum, les variables alatoires Yi et Yj sont non corrles si et seule-

ment si :

=1

2

Exercice 9Soit (Xn)n1 une suite de variables alatoires indpendantes qui suivent toutesla mme loi de Bernouilli de paramtre p, 0 < p < 1:On dnit la suite (Yn)n1 par :8


Solution 9Xn, n 1, suit la mme loi de Bernouilli de paramtre p, donc :

P [Xn = 0] = 1 pP [Xn = 1] = p

de plus : E [Xn] = p

V [Xn] = p (1 p)

1. Dmontrons par rcurrence sur n, n 1, que :

Yn =

nXk=0

k (Xnk m)

Pour n = 1, on obtient :Y1 = X1 m

donc, la relation est vraie.

Supposons que pour tout n, n 1, on a :

Yn =

n1Xk=0

k (Xnk m)

Alors :

Yn+1 = Yn +Xn+1 m

=

"n1Xk=0

k (Xnk m)#+Xn+1 m

=

n1Xk=0

k+1 (Xnk m) +Xn+1 m

50


Yn+1 =

nXk=1

k (Xn+1k m) +Xn+1 m

=

nXk=0

k (Xn+1k m)

do la relation.

2. On a :

E [Yn] = E

"n1Xk=0

k (Xnk m)#

=

n1Xk=0

k (E [Xnk]m)

= (pm)n1Xk=0

k

=

8>>>:n (pm) si = 1

1 n1 (pm) si 6= 1

et :

V [Yn] = E

"n1Xk=0

k (Xnk m)#

=

n1Xk=0

2kV [Xnk]

= p (p 1)n1Xk=0

2k

=

8>>>:np (p 1) si jj = 1

1 2n1 2 p (p 1) si jj 6= 1

51


3. Puisque les variables X1; :::; Xn sont indpendantes alors :

Cov [Xi; Xj] = 0 ; i 6= jdo :

Cov [Yn; Yn+s] = Cov

"n1Xi=0

iXni;n+s1Xj=0

jXn+sj

#

=

n1Xi=0

n+s1Xj=0

i+jCov [Xni; Xn+sj]

Or :

Cov [Xni; Xn+sj] =

0 si i 6= j sV [Xni] si i = j s

=

0 si i 6= j s

p (1 p) si i = j sdo :

Cov [Yn; Yn+s] =

8>>>>>>>>>>>:

np (1 p) si = 1

(1)s np (1 p) si = 1

1 2n1 2

sp (p 1) si jj 6= 1

Exercice 10Soit Xet Y deux variables alatoires indpendantes valeurs dans f1; 0; 1gtelles que : 8>:

P [X = 1] = p1 0 p1 12

P [X = 1] = p2 0 p2 12

et :

P [Y = 1] = P [Y = 0] = P [Y = 1]

52


1. Dterminer la loi de

S = X + Y

2. On dnit la variable alatoire Z par :

Z =

8


P [S = 0] = P [X = 1; Y = 1] + P [X = 0; Y = 0] + P [X = 1; Y = 1]=

1

3

P [S = 1] = P [X = 0; Y = 1] + P [X = 1; Y = 0]

=1 p13

P [S = 2] = P [X = 1; Y = 1]

=p23

En rsum :

k 2 1 0 1 2

P [S = k]p13

1 p23

1

3

1 p13

p23

(a) On a :

P [Z = 1] = P [X + Y = 0]

= P [S = 0]

=1

3

do :

P [Z = 2] = P [X + Y 6= 0]= 1 P [X + Y = 0]=

2

3

En rsum : 8>>>>>:P [Z = 1] =

1

3

P [Z = 2] =2

3

54


(b) On a :

EZ2

= V [Z] + (E [Z])2

= 11

Dautre part :8>>>>>:E [Z] = 1P [Z = 1] + 2P [Z = 2] =

1 + 223

EZ2

= 21P [Z = 1] + 22P [Z = 2] =

21 + 222

3

do :8>>>>:1 + 223

= 3

21 + 222

3= 11

=) (1; 2) 2 f(1:4) ; (5:2)g

Exercice 11Soit X une variable alatoire possdant une moyenne et une variance 2, etsoit (X1; :::; Xn) un n-chantillon issu X:Dterminer lesprance mathmatique et la variance de la variable alatoire :

M =1

n

nXk=1

Xi

Solution 11Notons dabord que pour tout i 2 f1; :::; ng on a :

E [Xi] = E [X] =

V [Xi] = V [X] = 2

55


do :

E [M ] = E

"1

n

nXk=1

Xi

#

=1

n

nXk=1

E [Xi]

=

et :

V [M ] = V

"1

n

nXk=1

Xi

#

=1

n2

nXk=1

V [Xi]

puisque les variables alatoires X1; :::; Xn sont indpendantes. Il sen suit que :

V [M ] =2

n

Exercice 12Soient X1; :::; Xn des variables alatoires indpendantes de fonctions de rparti-tion F1; :::; Fn respectivement.On considre les variables alatoires :8


Solution 121. Notons FU et FV les fonctions de rpartition des variables alatoires U et V

respectivement.

(a) Pour tout u 2 R on a :FU (u) = P [U < u]

= P [max (X1; :::; Xn) < u]

= P [X1 < u; :::; Xn < u]

=

nYk=1

P [Xk < u]

=

nYk=1

Fk (u)

(b) Pour tout v 2 R on a :FV (v) = P [V < v]

= P [min (X1; :::; Xn) < v]

= 1 P [min (X1; :::; Xn) v]= 1 P [X1 v; :::; Xn v]

= 1nYk=1

P [Xk v]

= 1nYk=1

(1 P [Xk < v])

= 1nYk=1

[1 Fk (v)]

2. dsignons par f1; :::; fn les densits de probabilit deX1; :::; Xn respectivement

et par fU et fV les densits de probabilit de U et V respectivement.

57


(a) Pour tout u 2 R on a :

fU (u) =d

duFU (u)

=

nXi=1

fi (u)

24Yk 6=i

Fk (u)

35(b) Pour tout v 2 R on a :

fV (v) =d

dvFV (v)

=

nXi=1

fi (v)

24Yk 6=i(1 Fk (v))

353. Dsignons par F et f la fonction de rpartition et la densit de probabilit de

X respectivement.

On a alors :

F1 = ::: = Fn = F

f1 = ::: = fn = f

Il en rsulte que :

(a) pour tout u 2 R on a :FU (u) = [F (u)]

n

et :

fU (u) = nf (u) [F (u)]n1

(b) pour tout v 2 R on a :FV (v) = 1 [1 F (v)]n

et :

fV (v) = nf (v) [1 F (v)]n1

58


Exercice 13Soit (X;Y ) un couple de variables alatoires admettant une densit f , et dsignonspar fX et fY les densits marginale de X et Y respectivement.Posons :

D (X; Y ) =(x; y) 2 R2 : f (x; y) 6= 0

D (X) = fx 2 R : fX (x) 6= 0gD (Y ) = fy 2 R : fY (y) 6= 0g

1. Montrer que :

D (X; Y ) D (X)D (Y )2. Montrer que si les variables alatoires X et Y sont indpendantes alors :

D (X; Y ) = D (X)D (Y )

Solution 13Dsignons par fX et fY les densits marginale de X et Y respectivement.

1. Pour tout (x; y) 2 R2 on a :f (x; y) = fX (x) fY (y j x) = fY (y) fX (x j y)

Il en rsulte que si :

f (x; y) 6= 0alors :

fX (x) 6= 0 et fY (y) 6= 0et par consquent :

D (X;Y ) D (X)D (Y )

59


2. Si les variables alatoires X et Y sont indpendantes alors pour tout (x; y) 2R2 on a :

f (x; y) = fX (x) fY (y)

et par suite :

f (x; y) 6= 0() fX (x) 6= 0 et fY (y) 6= 0do :

D (X; Y ) = D (X)D (Y )

Exercice 14Soit (X;Y ) un couple de variables alatoires absolument continues admettantune densit f telle que :

8 (x; y) 2 R2 : f (x; y) = f (y; x)Montrer que les variables alatoires X et Y suivent une mme loi de probabilit.

Solution 14Dsignons par fX et fY les densits marginale de X et Y respectivement.Pour tout x 2 R on a :

fX (x) =

ZRf (x; y) dy

=

ZRf (y; x) dy

= fY (x)

do le rsultat.

60


Exercice 15On considre les alas X1; :::; Xn dnis sur un espace probabilis (;T; P ) valeurs dans un espace probabilisable (E ;B).La loi de (X1; :::; Xn) est dite symtrique si lon a pour tout A1 2 B; :::; An 2 Bet toute permutation de f1; ::; ng :

P [X1 2 A1; ::; Xn 2 An] = PX1 2 A(1); ::; Xn 2 A(n)

1. Montrer que si la loi de (X1; :::; Xn) est symtrique, alors pour tout k dans

f1; :::; ng, les k-marges de (X1; :::; Xn) suivent la mme loi.2. Montrer que si (X1; :::; Xn) est un n-chantillon dala parent X alors la loi

de (X1; :::; Xn) est symtrique.

3. On eectue n tirages successifs, avec remise, dans une urne et on dsigne par

Xi, 1 i n, le rsultat du ieme tirage.Montrer que la loi de (X1; :::; Xn) est symtrique.

Solution 15Notons que pour toute permutation de f1; ::; ng et pour toutA1 2 B; :::; An 2B on a :

P [X1 2 A1; ::; Xn 2 An] = PX(1) 2 A(1); ::; X(n) 2 A(n)

1. Soit k 2 f1; :::; ng, et considrons la k-marge (i1; :::; ik), et posons :

fik+1; ::; ing = f1; ::; ng fi1; ::; ikgSoit la permutation de f1; ::; ng telle que :

(ik) = k

Soit A1 2 B; ::; Ak 2 B et posons :Aj = E ; k + 1 j n

On a :

61


P [Xi1 2 A1; ::; Xik 2 Ak]

= PXi1 2 A1; ::; Xik 2 Ak; Xik+1 2 E1; ::; Xin 2 E

= P

Xi1 2 A1; ::; Xik 2 Ak; Xik+1 2 Ak+11; ::; Xin 2 An

= P

X1 2 A(1); ::; Xk 2 A(k); X(ik+1) 2 A(k+1)1; ::; X(in) 2 A(n)

= P

X1 2 A1; ::; Xk 2 Ak; X(ik+1) 2 Ak+11; ::; X(in) 2 An

= P

X1 2 A1; ::; Xk 2 Ak; X(ik+1) 2 E1; ::; X(in) 2 E

= P [X1 2 A1; ::; Xk 2 Ak]

Il en rsulte que toute les k-marges de (X1; :::; Xn) ont la mme loi.

2. Soit (X1; :::; Xn) un n-chantillon dala parent X

(X1; :::; Xn) sont donc n alas indpendants qui suivent tous la mme loi

que lala X, do pour tout A1 2 B; ::; An 2 B et toute permutation 2 f1; ::; ng on a :

P [X1 2 A1; :::; Xn 2 An] =nYi=1

P [Xi 2 Ai]

=

nYi=1

P [X 2 Ai]

=

nYi=1

PX 2 A(i)

=

nYi=1

PXi 2 A(i)

= P

X1 2 A(1); :::; Xn 2 A(n)

donc la loi de (X1; :::; Xn) est symtrique.

62


3. On suppose que les tirages sont eectus avec remise.

Dans ce cas, (X1; :::; Xn) un n-chantillon dala parent X, o X reprsente

le rsultat obtenu lorsquon eectue un tirage de lurne. Il en rsulte, daprs

la question prcdente, que la loi de (X1; :::; Xn) est symtrique.

Exercice 16Soit F la fonction de rpartition dun couple de variables alatoires (X; Y ) :

F (x; y) =

(1 ex) (1 ey) si x 0 et y 00 si x < 0 ou y < 0

1. Calculer la densit f de (X; Y ) :

2. Quelles sont les densits marginales de X et Y:


4. Quelle est la fonction de rpartition de Z = X + Y ?

Solution 16On a :

F (x; y) =

(1 ex) (1 ey) si x 0 et y 00 si x < 0 ou y < 0

1. En tout point (x; y) 2 R2 f(0; 0)g on a :

f (x; y) =@2

@x@yF (x; y)

=

exp (x+ y) si x > 0 et y > 00 si x < 0 ou y < 0

2. Puisque la densit f du couple (X; Y ) est symtrique :

8 (x; y) 2 R2 : f (x; y) = f (y; x)donc les variables alatoires X et Y ont une mme loi de probabilit.

63


(a) On a :

fX (x) =

ZRf (x; y) dy

=

8>>>:0 si x 0Z +10

exp (x+ y) dy si x > 0

=

8 0et donc :

fY (y) = fX (y)

=

0 si y 0expy si y > 0

(b) Les variables alatoires X et Y sont indpendantes puisque pour tout

(x; y) 2 R2 :f (x; y) = fX (x) fY (y)

3. Dterminons dabord la densit de :

Z = X + Y

On a :

fZ (z) =

ZRf (x; z x) dx

=

8 0

=

0 si z 0z expz si z > 0

64


Ainsi, la fonction de rpartition FZ de Z est :

FZ (z) =

Z z1

fZ (t) dt

=

8>>>:0 si z 0Z z0

t exp (t) dt si z > 0

=

8 0

Exercice 17Soit (X; Y ) un couple de variables alatoires de densit de probabilit :

f (x; y) =

8 0

0 ailleurs

1. Dterminer la constante K:

2. Calculer la matrice des variances et covariances de (X; Y ) :



5. Calculer les densits de probabilit conditionnelles de Y relativement X, et

de X relativement Y:

Solution 17Soit D le domaine limit par le triangle de sommets (0; 0) ; (0; 1) et (1; 0).Ladensit du couple (X; Y ) est dnie par :

f (x; y) =

8


Le domaine D

1. On a :

1 =

ZZR2f (x; y) dxdy

= K

ZZD

dxdy

= KA (D)

=K

2

do :

K = 2

2. Puisque la densit f du couple (X; Y ) est symtrique :

8 (x; y) 2 R2 : f (x; y) = f (y; x)donc les variables X et Y suivent une mme loi de probabilit.

(a) On a :

fX (x) =

ZRf (x; y) dy

66


do :

fX (x) =

8>>>:Z 1x0

2dy si x 2 ]0; 1[

0 si x =2 ]0; 1[

=

8


do :

V [X] = EX2 E [X]2

=1

18= V [Y ]

(c) On a :

E [XY ] =

ZZR2xyf (x; y) dxdy

=

ZZD

2xydxdy

=

Z 10

Z 1x0

2xydy

dx

=1

12

do :

Cov [X; Y ] = E [XY ] E [X]E [Y ]= 1

36

(d) La matrice des variances et covariances de (X;Y ) est dnie par :

(X;Y ) =

24 V [X] Cov [X; Y ]Cov [X; Y ] V [Y ]

35

=

266641

18 136

136

1

18

37775

3. Puisque la covariance de X et Y est non nulle, on en dduit que X et Y ne

sont pas indpendantes.

68



y = ax+ b

On a :

a =Cov [X; Y ]

V [X]= 1

2et

b = E [Y ] aE [X] = 12


y = 12[x 1]

-2 -1 1 2

-0.75-0.50-0.25

0.250.500.751.001.251.501.75

x

y

La droite de regression deY en X

5. Calculons les densits de probabilit conditionnelles de Y relativement X,

et de X relativement Y:

(a) Pour tout x 2 ]0; 1[, la densit conditionnelle de Y relativement [X = x]est donne par :


69


do :

fY (y j x) =

8>>>:1

1 x si y 2 ]0; 1 x[

0 si y =2 ]0; 1 x[(b) Pour tout y 2 ]0; 1[, la densit conditionnelle deX relativement [Y = y]

est donne par :


=

8>>>:1

1 y si x 2 ]0; 1 y[

0 si x =2 ]0; 1 y[

Exercice 18Un triplet de variables alatoires (X; Y; Z) a une loi conjointe qui admet unedensit de probabilit f telle que :

X suit la loi uniforme sur lintervalle [0; 1] dont la densit est note fX Y admet une densit de probabilit conditionnelle relativement la variableX telle que :

fY (y j x) =8


1. Donner lexprssion de f:

2. Quelles sont les lois marginales de Y et Z ?

3. Quelle est la loi conditionnelle de (X; Y ) relativement Z ?

4. On pose : 8 0

et :

D(X;Y ) =(x; y) 2 R2 j 0 x 1 ; x < y

1. Pour tout (x; y; z) 2 R3 on a :

f (x; y; z) =

fX (x) fY (y j x) fZ (z j x; y) si (x; y; z) 2 D0 si (x; y; z) =2 D

do :

f (x; y; z) =

(y x)2 exp (1 + z) (y x) si (x; y; z) 2 D0 si (x; y; z) =2 D

(a) La densit f(X;Y ) du couple (X; Y ) est donne par :

f (x; y) = fX (x) fY (y j x)

=

8


do :

fY (y) =

ZRf (x; y) dx

=

Z inf(1;y)0

(y x) exp (y x) dx

(i) si y 2 ]0; 1[ alors :

fY (y) =

Z y0

(y x) exp (y x) dx= 1 (1 + y) expy

(ii) si y 2 ]1;+1[ alors :

fY (y) =

Z 10

(y x) exp (y x) dx= [(e 1) y 1] expy

(iii) En rsum :

fY (y) =

8>>:0 si z 0Z 10

Z +1y

(y x)2 exp (1 + z) (y x) dydx si z > 0

=

8>>>:0 si z 0

2

(1 + z)3si z > 0

72


2. Calculons la densit conditionnelle de (X; Y ) relativement Z.

Pour tout z 2 ]0;+1[ on a :

f(X;Y ) (x; y j z) = f (x; y; z)fZ (z)

=

8>:1

2(y x)2 (1 + z)3 e(1+z)(yx) si (x; y) 2 D(X;Y )

0 si (x; y) =2 D(X;Y )(a) Le changement : 8:X = X

Y = X + U

Z =V

ULe Jacobien de cette dernire transformation est :

1 0 0

1 1 0

0 vu2

1

u

=1

u

do, la densit du triplet (X;U; V ) est donne par :

f(X;U;V ) (x; u; v) = fx; x+ u;

v

u

jJ j

=

8 0 ; v > 0

0 ailleurs

73


(b) Calculons les densits marginales fU et fV de U et V respectivement :

fU (u) =

ZZR2f (x; u; v) dxdv

=

8>>>:0 si u 0Z 10

Z +10

u exp (u+ v) dvdx si u > 0

=

8 0et :

fV (v) =

ZZR2f (x; u; v) dxdu

=

8>>>:0 si v 0Z 10

Z +10

u exp (u+ v) dudx si v > 0

=

8 0

Il en rsulte que pour tout (x; u; v) 2 R3 :f (x; u; v) = fX (x) fU (u) fV (v)

les variables alatoires X, U et V sont donc indpendantes.

74


Exercice 19Soit (X; Y; Z) un triplet de variables alatoires telle que :

X admette une densit marginale :

fX (x) =

8>>>:0 si x 0

x3

6expx si x > 0

Y admette une densit de probabilit conditionnelle relativement [X = x]telle que :

fY (y j x) =

8>>>:3y2

x3si 0 < y < x

0 ailleurs

Z admette une densit de probabilit conditionnelle relativement [(X; Y ) = (x; y)]telle que :

fZ (z j x; y) =

8>>>:2 (y z)

y2si 0 < z < y

0 ailleurs

1. Dterminer la loi conjointe du triplet (X; Y; Z) :

2. Dterminer la loi de probabilit conditionnelle du couple (X; Y ) sous lhypothse

[Z = z] :

3. Dterminer la loi de probabilit conditionnelle de la variable alatoire X sous

lhypothse [Y = y; Z = z].

4. On pose : U = X + Y

V = X Y(a) Quelle est la loi du couple (U; V ) ?

(b) Quelles sont les lois conditionnelles de U et V ?

(c) U et V sont-elles indpendantes ?

75


Solution 19Posons :

D =(x; y; z) 2 R3 j 0 < z < y < x

1. Pour tout (x; y; z) 2 R3 on a :

f (x; y; z) =

8>:0 si z 0Z +1z

Z xz

(y z) expxdydx si z > 0

=

8 0do, la densit conditionnelle de (X; Y ) relativement Z.est dnie pour

tout z 2 ]0;+1[ par :

f(X;Y ) (x; y j z) = f (x; y; z)fZ (z)

=

8


3. Calculons la densit marginale f(Y;Z) du couple (Y; Z) :

f(Y;Z) (y; z) =

ZRf (x; y; z) dx

=

8>>>:Z +1y

(y z) expxdx si 0 < z < y

0 ailleurs

=

8


est la transformation :

X =1

2(U + V )

Y =1

2(U V )

Le Jacobien de cette dernire est :1

2

1

2

1

212

= 1

2

do pour tout (u; v) 2 R2:

f(U;V ) (u; v) = f

1

2(u+ v) ;

1

2(u v)

jJ j

=1

16(u v)2 exp1

2(u+ v)

(b) Calculons les densits marginales fU et fV de U et V respectivement :

fU (u) =

ZRf(U;V ) (u; v) dv

=

8>>>:0 si u 0Z u0

116 (u v)2 exp12 (u+ v) dv si u > 0

=

8>:0 si u 0

1

16

hu2 4u+ 8 8 expu

2

iexpu

2si u > 0

78


et :

fV (v) =

ZRf(U;V ) (u; v) du

=

8>>>:0 si v 0Z u0

116 (u v)2 exp12 (u+ v) du si v > 0

=

0 si v 0expv si v > 0

Do, les densits conditionnelles de U relativement V et de V relative-

ment V sont dnies par :

fU (u j v) =f(U;V ) (u; v)

fV (v)

=

8>:1

16(u v)2 exp1

2(u v) si 0 < v < u

0 ailleurs

et :

fV (v j u) =f(U;V ) (u; v)

fU (u)

=

8>>>:1

16

(u v)2u2 4u+ 8 8 expu2

expv2

si 0 < v < u

0 ailleurs

(c) Les variables alatoires U et V ne sont pas indpendantes car :

fU (u j v) 6= fU (u)

79


Exercice 20Soient X et Y un couple de variables alatoires normales indpendantes demoyennes et 0, et de variances 2 et 02 respectivement.

1. Quelle est la densit de probabilit du couple (X; Y ) ?

2. On pose : 8>>>>>:U =

X

V =X 00

(a) Quelle est la densit du couple (U; V ) ?

(b) U et V sont-elles indpendantes ?

3. On considre la variable alatoire Z dnie par :

Z =U

V

(a) Dterminer la densit de probabilit du couple (U;Z) :

(b) En dduire la densit de Z:

4. Dterminer la densit de probabilit de la variable alatoire :

T = X + Y

Solution 20On a :

fX (x) =1

p2exp 1

22(x )2 ; x 2 R

fY (y) =1

0p2exp 1

202(y 0)2 ; y 2 R

80


1. La densit f du couple (X; Y ) est dni pour tout (x; y) 2 R2 par :f (x; y) = fX (x) fX (x)

=1

20exp1

2

"x

2+

y 00

2#(a) La transformation inverse de la transformation :8>>>>>:

U =X

V =Y 00

est : 8


do :

fU (u) =

ZR

1

2exp1

2

u2 + v2

dv

=1

2exp1

2u2ZRexp1

2v2dv

=1p2exp1

2u2

(ii) Puisque la densit f(U;V ) du couple (U; V ) est symtrique, donc pour

tout v 2 R on a :fV (v) = fU (v)

=1p2exp1

2v2

(c) Les variables alatoire U et V sont indpendantes puisque pour tout

(u; v) 2 R2 :f(U;V ) (u; v) = fU (u) fV (v)

2. La transformation inverse de la transformation :8>:U = U

Z =V

Uest : 8


do la densit f(U;V ) du couple (U; V ) :

f(U;Z) (u; z) = f(U;V ) (u; uz) jJ j=

juj2exp1

2u21 + z2

pour tout (u; z) 2 R2.Il en rsulte que la densit fZ de Z est donne pour tout z 2 R.par :

fZ (z) =

ZRf(U;Z) (u; z) du

=

ZR

juj2exp1

2u21 + z2

du

=1

(1 + z2)

Cest la densit de probabilit de la loi de Cauchy.

3. La densit de probabilit de la variable alatoire :

T = U + V

est dnie pour tout t 2 R.par :

fT (t) =

ZRf(U;V ) (u; t u) du

=

ZR

1

2exp1

2

u2 + (t u)2

du

=1

2pexpt

2

4

cest la densit de la loi normale N (0; 2).

Exercice 21Soient X et Y deux variables alatoires indpendantes qui suivent une mme loide probabilit dont la densit est dnie par :

f (t) =1

t2; t 1

83


1. On pose : 8>:U = XY

V =X

Y(a) Quelle est la densit de probabilit du couple (U; V ) ?

(b) U et V sont-elles indpendantes ?

2. Dterminer les lois marginales de U et V .

3. Dterminer la densit de probabilit et la fonction de rpartition de la variable

alatoire :

Z =pU

Solution 211. Pour tout t 2 [1;+1[ on a :

fX (t) = fY (t) =1

t2

Puisque les variables alatoires X et Y sont indpendantes alors la densit f

du couple (X;Y ) est dnie pour tout (x; y) 2 R2 par :f (x; y) = fX (x) fY (y)

do :

f (x; y) =

8>>>:1

x2y2si (x; y) 2 [1;+1[ [1;+1[

0 si (x; y) =2 [1;+1[ [1;+1[(a) Linverse de la transformation :8>:

U = XY

V =X

Y

84


est la transformation : 8>>>:X =

pUV

Y =

rU

V

Son Jacobien J est :

J =

pv

2pu

pu

2pv

1

2puv

pu

2pv3

= 1

2v

La densit f(U;V ) de (U; V ) est dnie pour tout (u; v) 2 R2 par :

f(U;V ) (u; v) = f

puv;

ru

v

jJ j

Et comme le domaine D(U;V ) o la densit f(U;V ) de (U; V ) est non nul

est donne par :

D(U;V ) =

(u; v) 2 R2 j u 1 ; 1

u v u

85


on en dduit que la densit f(U;V ) de (U; V ) est dnie :

f(U;V ) (u; v) = f

puv;

ru

v

jJ j

=

8>:1

2u2vsi (u; v) 2 D(U;V )

0 (u; v) =2 D(U;V )(b) Les domainesDU etDV o les densits fU de U et fV de V sont non nulles

correspondent respectivement la 1ere projection et la 2eme projection

de D(U;V ) do :

DU = [1;+1[et :

DV = ]0;+1[Et comme :

D(U;V ) 6= DU DVdonc, les variables alatoires U et V ne sont pas indpendantes.

2. Calculons les densits marginales fU de U et fV de V respectivement.

(a) On a :

fU (u) =

ZRf(U;V ) (u; v) dv

=

8>>>:0 si u < 1Z u1u

1

2u2vdv si u 1

=

8>>>:0 si u < 1

lnu

u2si u 1

86


(b) On a :

fV (v) =

ZRf(U;V ) (u; v) du

=

Z +1sup(v; 1v)

1

2u2vdu

(i) si 0 < v 1 alors :

fV (v) =

Z +11v

1

2u2vdu

=1

2

(ii) si v 1 alors :

fV (v) =

Z +1v

1

2u2vdu

=1

2v2

En rsum :

fV (v) =

8>>>>>>>>>>>>>:

0 v 0

1

20 < v 1

1

2v2v 1

(a) On a :

Z =pU () U = Z2

do :du

dz= 2z

87


La densit fZ de Z est dnie pour tout z 2 R :

fZ (z) = fUz2 dudz

=

8>:0 si z < 1

4

z3ln z si z 1

(b) La fonction de rpartition FZ de Z est dnie pour tout z 2 R par :

FZ (z) =

Z z1

fZ (t) dt

=

8>>>:0 si z 1Z z1

4

t3ln tdt si z 1

=

8>>>:0 si z 1

1 1 + 2 ln zz2

si z 1

Exercice 22Soit (X; Y ) un couple de variables alatoires dont la densit de probabilit estdnie par :

f (x; y) =

8>>>:Kpxy

si x > 0 ; y > 0 ; x+ y < 1

0 ailleurs

1. Dterminer la constante K

2. Dterminer les lois marginales et conditionnelles de X et Y:

3. X et Y sont-elles indpendantes ?

4. Dterminer la droite de rgression de Y en X:

88


Solution 22Posons :

D =(x; y) 2 R2 j x > 0 ; y > 0 ; x+ y < 1

Pour tout (x; y) 2 D on a :

f (x; y) =

8>>>:Kpxy

si (x; y) 2 D

0 si (x; y) =2 D1. Calculons la constante K :

ZZR2f (x; y) dxdy =

Z 10

Z 1x0

Kpxydy

dx

= K

Do :

K =1

2. Puisque la densit f de (X; Y ) est symtrique, donc X et Y suivent une

mme loi de probabilit.

(a) La densit marginale fX de X est donne par :

fX (x) =

ZRf (x; y) dy

=

8>>>:0 si x =2 ]0; 1[Z 1x0

1

pxydy si x 2 ]0; 1[

=

8


(b) La densit marginale fY de Y est donne par :

fY (y) = fX (y)

=

8>>>:0 si y =2 ]0; 1[

2

r1 yy

si y 2 ]0; 1[

(c) La densit conditionnelle de X relativement Y est dnie pour tout

y 2 ]0; 1[ par :


=1

2px (1 y) si 0 < x < 1 y

(d) La densit conditionnelle de Y relativement X est dnie pour tout

x 2 ]0; 1[ par :fY (y j x) = fX (y j x)

=1

2py (1 x) si 0 < y < 1 x


f (x; y) 6= fX (x) fY (y)

(a) On a :

E [X] =

ZRxfX (x) dx

=

Z 10

2

x

r1 xx

dx

=1

4= E [Y ]

90


et :

EX2

=

ZRx2fX (x) dx

=

Z 10

2

x2r1 xx

dx

=1

8= E

Y 2

do :

V [X] = EX2 E [X]2

=1

16= V [Y ]

(b) On a :

E [XY ] =

ZZR2xyf (x; y) dxdy

=

Z 10

Z 1x0

1

xy

1pxydy

dx

=1

24

do :

Cov [X; Y ] = E [XY ] E [X]E [Y ] = 148

(c) Dterminons les coe cients a et b de la droite rgression de Y en X.

On a :

a =Cov [X; Y ]

V [X]= 1

3et

b = E [Y ] aE [X] = 13

91



y = 13[x 1]

-2 -1 1 2 3

-0.5

0.5

1.0

x

y

La droite de regression de Y en X


f (x; y) =

8>:K sin

2(2x+ y) si x > 0 ; y > 0 ; 2x+ y < 1

0 ailleurs


2. Dterminer les lois marginales X et Y:


4. Calculer la matrice des variances et covariances de X et Y:

5. Dterminer la droite de rgression de Y en X

6. Calculer la densit conditionnelles deX relativement Y et de Y relativement

X.

92


Solution 23Posons :

D =(x; y) 2 R2 j x > 0 ; y > 0 ; 2x+ y < 1

DX =

x 2 R j 0 < x < 1

2

DY = fy 2 R j 0 < y < 1g

Le domaine D

On a :

f (x; y) =

8>:0 si (x; y) =2 D

K sin

2(2x+ y) (x; y) 2 D

1. On a :ZZR2f (x; y) dxdy =

Z 12

0

Z 12x0

K sin

2(2x+ y) dy

dx

=2K

2

do :

K =2

2

93


2. Calculons les densits marginales fX et fY de X et Y respectivement :

fX (x) =

ZRf (x; y) dy

=

8>>>>>>>:0 si x =2

0;1

2

Z 12x0

2

2sin

2(2x+ y) dy si x 2

0;1

2

=

8>>>>>>>:0 si x =2

0;1

2

cos x si x 20;1

2

et :

fY (y) =

ZRf (x; y) dx

=

8>>>:0 si y =2 ]0; 1[Z 1

2 (1y)

0

2

2sin

2(2x+ y) dx si y 2 ]0; 1[

=

8>:0 si y =2 ]0; 1[

2cos

2y si y 2 ]0; 1[


f (x; y) 6= fX (x) fY (y)

94


(a) On a :

E [X] =

ZRxfX (x) dx

=

Z 12

0

x cos xdx

= 22

et :

EX2

=

ZRx2fX (x) dx

=

Z 12

0

x2 cos xdx

=2 + 8

42

do :

V [X] = EX2 E [X]2

= + 1

2

(b) On a :

E [Y ] =

ZRyfY (y) dy

=

Z 10

2y cos

2ydy

=1

2E [X]

= 24

95


et :

EY 2

=

ZRy2fY (y) dy

=

Z 10

2y2 cos

2ydy

=1

4EX2

=2 + 8

162

do :

V [Y ] = EY 2 E [Y ]2

=1

4V [X]

= + 1

42

(c) On a :

E [XY ] =

ZZR2xyf (x; y) dxdy

=

ZZD

2

2xy sin

2(2x+ y) dxdy

=

Z 12

0

Z 1x0

2

2xy sin

2(2x+ y) dy

dx

= + 2

2

do :

Cov [X; Y ] = E [XY ] E [X]E [Y ]=

1

8232 + 12 4

96



(X;Y ) =

24 V [X] Cov [X;Y ]Cov [X; Y ] V [Y ]

35

=

26664 + 1

21

8232 + 12 4

1

8232 + 12 4 + 1

42


a =Cov [X; Y ]

V [X]=32 + 12 48 ( + 1)

et

b = E [Y ] aE [X] = 24

32 + 12 48 ( + 1)

22


y =32 + 12 48 ( + 1)

x+ 24

32 + 12 48 ( + 1)

22

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

La droite de regression de Y en X

97


(a) La densit conditionnelle de X relativement Y est dnie pour tout

y 2 ]0; 1[ par :


=

8>>>>>>>>>:sin

2(2x+ y)

cos

2y

si 0 < x >>>>:

2

sin

2(2x+ y)

cos xsi 0 < y < 1 2x

0 ailleurs

Exercice 24Soit X une variable alatoire qui suit la loi normale centre rduite et Y unevariable alatoire, indpendante de X, qui prend ses valeurs dans lensemblef1; 1g telle que :

P [Y = 1] = p

o p 2 ]0; 1[.Dterminer la loi de probabilit de :

Z = XY

98


Solution 24Notons FZ la fonction de rpartition de Z et FX celle de X.On a :

[Z < z] = [X > z; Y = 1] [X < z; Y = 1]donc :

FZ (z) = P [Z < z]

= P [X > z; Y = 1] + P [X < z; Y = 1]= P [X > z]P [Y = 1] + P [X < z]P [Y = 1]

et comme X suit une loi normale centre rduite, alors :

P [X > z] = P [X < z]do :

FZ (z) = (1 p)FX (z) + pFX (z) = FX (z)Il en rsulte que Z suit la loi normale centre rduite.


f (x; y) = K si x > 0 ; x2 + y2 < 1


2. Dterminer les lois marginales X et Y:


4. Calculer la matrice des variances et covariances de X et Y:

5. Dterminer la droite de rgression de Y en X

6. Calculer la densit conditionnelles deX relativement Y et de Y relativement

X.

99


Solution 25Posons :

D =(x; y) 2 R2 j x > 0 ; x2 + y2 < 1

On a :

f (x; y) =

8>>>>:0 si x =2 ]0; 1[Z p1x2p1x2

2

dy si x 2 ]0; 1[

=

8>:0 si x =2 ]0; 1[

4

p1 x2 si x 2 ]0; 1[

et :

fY (y) =

ZRf (x; y) dx

100


fY (y) =

8>>>>>:0 si y =2 ]1; 1[Z p1y20

2

dx si y 2 ]1; 1[

=

(0 si y =2 ]1; 1[2

p1 y2 si y 2 ]1; 1[


f (x; y) 6= fX (x) fY (y)

(a) On a :

E [X] =

ZRxfX (x) dx

=

Z 10

4

xp1 x2dx

=4

3

et :

EX2

=

ZRx2fX (x) dx

=

Z 10

4

x2p1 x2dx

=1

4

do :

V [X] = EX2 E [X]2

=92 64362

101


(b) On a :

E [Y ] =

ZRyfY (y) dy

=

Z 11

2

yp1 y2dy

= 0

et :

EY 2

=

ZRy2fY (y) dy

=

Z 11

2

y2p1 y2dy

= EX2

=1

4

do :

V [Y ] = EY 2=1

4(c) On a :

E [XY ] =

ZZR2xyf (x; y) dxdy

=

ZZD

2

xydxdy

=

Z 10

"Z p1x2p1x2

2

xydy

#dx

= 0

do :

Cov [X; Y ] = E [XY ] E [X]E [Y ] = 0Les variables alatoires sont non corrles mais ne sont pas indpendantes.

102



(X;Y ) =

24 V [X] Cov [X; Y ]Cov [X; Y ] V [Y ]

35

=

2666492 64362

0

01

4


y = ax+ b

On a :

a =Cov [X; Y ]

V [X]= 0

et

b = E [Y ] aE [X] = 14


y =1

4

(a) La densit conditionnelle de X relativement Y est dnie pour tout

y 2 ]1; 1[ par :


=

8>>>:1p1 y2 si 0 < x >>:1

2p1 x2 si

p1 x2 < y < p1 x2

0 ailleurs

Exercice 26Soit (X; Y ) un couple de variables alatoires indpendantes suivant toutes lesdeux la mme loi uniforme sur lintervalle [2; 1].Dterminer la loi de probabilit de la variable alatoire :

T = inf (X; Y )

Solution 26Notons FX , FY et FZ les fonctions de rpartition de X, Y et Z respectivementet fX , fY et fZ leurs densits respectives.On a :

FX (u) = FY (u)

=

u+ 2

3

[2;1] (u) + [1;+1[ (u)

= F (u)

et :

fX (u) = fY (u)

=1

3[2;1] (u)

= f (u)

104


Puisque :

T = inf (X; Y )

alors :

P [T t] = P [X t; Y t]= P [X t]P [Y t]= [1 F (t)]2

do :

FT (t) = P [T < t]

= 1 [1 F (t)]2

=

"1

1 t3

2#[2;1] (t) + [1;+1[ (t)

Il en rsulte que :

fT (t) = F0T (t)

=2

9(1 t)[2;1] (t)

Exercice 27Un appareil lectrique fonctionne avec trois piles Pi, i 2 f1; 2; 3g :La dure de vie de la pile Pi est une variable alatoire Xi: Les trois variablesalatoiresX1,X2 etX3 sont indpendantes et suivent une mme loi exponentiellede paramtre , > 0:Lappareil sarrte de fonctionner ds que deux piles sont uses.Soit T la variable alatoire reprsentant le temps de onctionnement de lappareillectrique.Dterminer la loi de probabilit de T et calculer son esprance mathmatique etsa variance.

105


Solution 27Soit F et f la fonction de rpartition et la densit de probabilit de la loi expo-nentielle de paramtre .On a :

F (t) =

0 si t 0

1 expt si t 0

f (t) =

0 si t < 0

expt si t > 0

1. Dsignons par FT et fT la fonction de rpartition et la densit de probabilit

de T respectivement.

Puisque :

[T < t] = [X1 < t;X2 < t;X3 t] [X1 < t;X2 t;X3 < t] [X1 t;X2 < t;X3 < t] [X1 < t;X2 < t;X3 < t]

et puisque X1, X2 et X3 sont indpendantes alors :

FT (t) = P [T < t]

= 3 [F (t)]2 [1 F (t)] + [F (t)]3

= [F (t)]2 [3 2F (t)]= [1 expt]2 [1 2 expt] ; t 0

do :

fT (t) = 6 [1 expt] exp2t ; t > 02. On a :

E [T ] =

ZRtfT (t) dt

=

Z +10

6t [1 expt] exp2tdt

=5

6

106


ET 2

=

ZRt2fT (t) dt

=

Z +10

6t2 [1 expt] exp2tdt

=19

182

do :

V [T ] = ET 2 E [T ]2

=13

362

Exercice 28Soit (X; Y ) un couple de variables alatoires admettant une densit de probabilitf(X;Y ) dnie par :

f(X;Y ) (x; y) =

8 0

0 sinon

o K est une constante.


2. Les variables alatoires X et Y sont-elles indpendantes ?

3. Pour (k; s) 2 N2, calculer E XkY s.4. En dduire la covariance de X et Y:

Que constate-t-on ?

5. On pose : 8


Solution 28Posons :

D(X;Y ) =(x; y) 2 R2 j jxj y et y > 0

On a alors

DX = fx 2 R j fX (x) 6= 0g= R

et :

DY = fy 2 R j fY (y) 6= 0g= ]0;+1[

o fX et fY sont les densits marginales de X et Y:

1. On a :ZZR2f(X;Y ) (x; y) dxdy = K

Z +10

Z yy

y2 x2 exp (y) dxdy

= K

Z +10

exp (y)Z y

y

y2 x2 dx dy

=4K

3

Z +10

y3 exp (y) dy= 8K

Do :

K =1


D(X;Y ) 6= DX DY3. Pour (k; s) 2 N2 on a :

EXkY s

=

ZZR2xkysf(X;Y ) (x; y) dxdy

=1

8

Z +10

ys exp (y)Z y

yxky2 x2 dx dy

108


Or : Z yyx2k+1

y2 x2 dx = 0

et : Z yyx2ky2 x2 dx = 2Z y

0

x2ky2 x2 dx

=4y2k+3

(2k + 1) (3 + 2k)

do :

EX2k+1Y s

= 0

et :

EX2kY s

=

1

2 (2k + 1) (3 + 2k)

Z +10

y2k+s+3 exp (y) dy

=(2k + s+ 3)!

2 (2k + 1) (3 + 2k)

4. En particulier, on a :

E [X] = 0

et :

E [XY ] = 0

do :

Cov [X; Y ] = 0

On costate que les variables alatoires sont non corrles mais ne sont pas

indpendantes.

(a) Le changement : 8


quivaut : 8>>>>>:X =

1

2(U V )

Y =1

2(U + V )

Le Jacobien de cette transformation est :

J =

1

212

1

2

1

2

=1

2

Daprs le thorme de changement de variables, la densit f(U;V ) du couple

(U; V ) est donne par :

f(U;V ) (u; v) = f(X;Y )

u v2

;u+ v

2

jJ j

=

8>>>:1

16uv exp(u+ v)

2si u > 0 et v > 0

0 sinon

(b) Les fonctions :

fU (u) =

8>:1

4u expu

2si u > 0

0 si u 0et :

fV (v) =

8>:1

4v expv

2si v > 0

0 si v 0sont des densits de probabilits. Ce sont les densits marginales des

variables alatoires U et V:

110


En outre, pour tout (u; v) 2 R2 on a :f(U;V ) (u; v) = fU (u) fV (v)

Il en rsulte que les variables alatoires U et V sont indpendantes.

Exercice 29Soit h une fonction positive dnie sur ]0;+1[ et soit H la fonction dnie pourtout x, x > 0, par :

H (x) =

Z x0

h (t) dt

On dsigne par h la fonction dnie pour tout x, x > 0, par :

h (x) =

Z +10

h (t) exp (tx) dt

Soit (X;Y ) un couple de variables alatoires de densit de probabilit :

f(X;Y ) (x; y) =

8 0 et y > 0

0 sinon


2. Dterminer les densits marginales de X et Y:

3. Les variables alatoires X et Y sont-elles indpendantes ?

4. On suppose que pour tout x, x > 0, on a :

h (x) = x

(a) Calculer la covariance de X et Y .

(b) Que constate-t-on pour = 1 ?

Solution 29Posons :

D =(x; y) 2 R2 j x > 0 et y > 0

111


D1 =(x; y) 2 R2 j 0 < y < x

D2 =(x; y) 2 R2 j 0 < x < y

On a :

D = D1 [D2Puisque la densit f(X;Y ) du couple (X;Y ) est symtrique :

8 (x; y) 2 R2 : f(X;Y ) (x; y) = f(X;Y ) (y; x)alors :

P [(X; Y ) 2 D1] = P [(X;Y ) 2 D2]de plus, X et Y suivent la mme loi de probabilit.

1. On a :ZZR2f(X;Y ) (x; y) dxdy =

ZZD1

f(X;Y ) (x; y) dxdy +

ZZD2

f(X;Y ) (x; y) dxdy

= 2

ZZD1

f(X;Y ) (x; y) dxdy

= 2

Z +10

Z +1y

h (x y) exp (x) dxdy

Eectuons le changement :

t = y xon obtient alors :ZZR2f(X;Y ) (x; y) dxdy = 2

Z +10

Z +10

h (t) exp [ (y + t)] dtdy

= 2

Z +10

exp (y)Z +1

0

h (t) exp (t) dtdy

= 2

Z +10

exp (y) dy Z +1

0

h (t) exp (t) dt

=2

h ()

112


Do :

K =

2 h ()

2. La densit marginale de X est dnie pour tout x 2 R par :

fX (x) =

ZRf(X;Y ) (x; y) dy

Donc, pour tout x, x > 0, on a :

fX (x) =

Z x0f(X;Y ) (x; y) dy +

Z +1x

f(X;Y ) (x; y) dy

fX (x) =

2 h ()

Z x0h (x y) exp (x) dy +

Z +1x

h (y x) exp (y) dy

Eectuons dans la premire intgrale le changement :

t = x yet dans la deuxime le changement :

t = y xon obtient :Z x

0h (x y) exp (x) dy = exp (x)

Z x0h (t) exp (t) dt

= exp (x)H (x)et :Z +1x

h (y x) exp (y) dy = exp (x)Z +10

h (t) exp (t) dt= h () exp (x)

et nalement :

fX (x) =

2 h ()[H (x) + h ()] exp (x)

113


En rsum, la densit marginale de X est dnie par :

fX (x) =

8>>>:0 si x 0

2 h ()[H (x) + h ()] exp (x) si x > 0

do la densit marginale de Y :

fY (y) =

8>>>:0 si y 0

2 h ()[H (y) + h ()] exp (y) si y > 0

3. On constate que les variables alatoires X et Y ne sont pas indpendantes

puisque :

f(X;Y ) (x; y) 6= fX (x) fY (y)4. Si pour tout x, x > 0, on a :

h (x) = x

alors tout x, x > 0 :

H (x) =x2

2et :

h () =1

2

Aussi on a :

f(X;Y ) (x; y) =

8>>>:

2jx yj exp [max (x; y)] si x > 0 et y > 0

0 sinon

114


et :

fX (x) =

8>>>:0 si x 0

2 + 2x2

4

exp (x) si x > 0

(a) Calculons la covariance de X et Y .

(i) On a :

E [X] =

ZRxfX (x) dx

=

4

Z +10

x2 + 2x2

exp (x) dx

En eectuant le changement :

u = x

on obtient :

E [X] =1

4

Z +10

2u+ u3

exp (u) du

=2

(ii) On a :

E [XY ] =

ZZR2xyf(X;Y ) (x; y) dxdy

=

ZZD1

xyf(X;Y ) (x; y) dxdy +

ZZD2

xyf(X;Y ) (x; y) dxdy

= 2

ZZD1

xyf(X;Y ) (x; y) dxdy

=

Z +10

y

Z +1y

x (x y) exp (x) dxdy

Or, en eectuant le changement :

u = x y

115


on obtient :Z +1y

x (x y) exp (x) dx = exp (y)Z +10

u (u+ y) exp (u) du

=

y

2+2

3

exp (y)

do :

E [XY ] =

Z +10

y

y

2+2

3

exp (y) dy

=4

4

et par suite :

Cov [X; Y ] = E [XY ] E [X]E [Y ]=

41 24

(b) Si :

= 1

alors :

Cov [X; Y ] = 0

bien que les variables alatoires X et Y ne sont pas indpendantes.

Exercice 30Soit X et Y deux variables alatoires indpendantes qui suivent la mme loiexponentielle de paramtre :On pose :

Z = X2 Y

116


1. Dterminer la loi de probabilit de Z:

2. On considre le polynme :

P (t) = t2 2Xt+ YCalculer la probabilit pour que les racines de P soient complexes.

Solution 30La densit de probabilit de la loi exponentielle de paramtre ; > 0; est dniepar :

f (x) = exp (x)X et Y tant indpendantes, donc la densit du couple (X; Y ) est donne par :

f(X;Y ) (x; y) = f (x) f (y)

= 2 exp [ (x+ y)]

1. Considrons le changement :8


Daprs le thorme de changement de vatiables, on a :

f(U;Z) (u; z) = f(X;Y )p

u; u z jJ j=

1

2pufp

uf (u z)

Pa ailleurs, limage par cette dernire transformation du domaine :

D (X; Y ) =(x; y) 2 R2 j x > 0 et y > 0

est le domaine :

D (U;Z) =(u; z) 2 R2 j u > 0 et z < u

do :

f(U;Z) (u; z) =

8>>>:2

2puexp [ (pu+ u z)] si (u; z) 2 D (U;Z)

0 si (u; z) =2 D (U;Z)Dterminons la densit de probabilit de Z :

fZ (z) =

ZRf(U;Z) (u; z) du

=

8>>>>>>>:2

2

Z +10

1puexp [ (pu+ u z)] du si z 0

2

2

Z +1u

1puexp [ (pu+ u z)] du si z > 0

Or : R 1puexp

pu+ u z du =exp

z + 14

Rexp

h4 (2

pu+ 1)

2i dup

u

118


et en eecuant le changement :

t =

r

2

2pu+ 1

on obtient :Z1puexp

pu+ u z du =r2exp

z +

1

4

Zexp

t

2

2

dt

do :

fZ (z) =

8>>>>>>>>>>>:

32p2exp

z + 14

Z +1p 2exp

t

2

2

dt si z 0

32p2exp

z + 14

Z +1p

2 (2pz+1)

exp

t

2

2

dt si z > 0

Dsignons par la fonction de rpartition de la loi normale centre rduite :

(x) =1p2

Z x1exp

t

2

2

dt

alors :

fZ (z) =

8>>>>>>>>>>>:

p

32

1

r

2

!!exp

z + 14

si z 0

p

32

1

r

2(2pz + 1)

!!exp

z + 14

si z > 0

2. Posons :

0 = X2 Y = Zles racines de P sont complexes si et seulement si :

Z < 0

119


do, la probabilit pour que les racines de P soient complexes est :

P [Z < 0] =

Z 01

fZ (z) dz

=p

32

1

r

2

!!exp

4

Z 01exp (z) dz

=p

1

r

2

!!exp

4

Exercice 31Soit une densit de probabilit dnie sur R+ telle que les intgrales :

=

Z +10

t (t) dt

et :

2 =

Z +10

(t )2 (t) dtexistent et soient nies.On dnit la fonction par :

(x; y) =

8>>>: (x+ y)

x+ ysi x > 0 et y > 0

0 sinon

1. Montrer que est la densit de probabilit dun couple (X; Y ) de variables

alatoires.

2. Montrer que X et Y ont la mme loi de probabilit.

3. Pour (k; r) 2 N N; calculer E XkY r, puis en dduire le coe cient decorrlation de X et Y:

120

Vecteurs A

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Vecteurs aléatoires