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André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Vecteurs algébriques

et forces

Vecteurs algébriques

et forces

Introduction

Il y a deux modes d’écriture des vecteurs dans R2 que l’on appelle

coordonnées polaires et coordonnées rectangulaires.

Nous allons maintenant présenter ces deux modes d’écriture et les

utiliser dans la résolution de quelques problèmes mettant en cause des

forces et des vecteurs donnés sous forme polaire.

Coordonnées polaires et coordonnées rectangulaires

La notation en coordonnées polaires, consiste à donner le module r et l’angle , au sens trigonométrique, que le vecteur fait avec un axe de référence. On appelle cet angle l’argument du vecteur. On note alors le vecteur :

v = r

La notation en coordonnées rectangulaires (ou cartésiennes), consiste à donner les composantes du vecteur dans le repère orthonormé usuel. On note alors :

v = (a; b)

Pour passer d’un système à l’autre, il suffit de résoudre un triangle rectangle.

(–2)2 + (–5)2

Exemple 8.3.1Représenter graphiquement et exprimer en coordonnées polaires le vecteur :

v = (–2; –5)

= arctan –5

–2 = 68,20°

= + 180° = 68,20° + 180° = 248,20°

r =Le module est :

L’angle est :

S

La représentation du vecteur dans un système d’axes nous indique que le vecteur est dans le troisième quadrant. On a alors :

En coordonnées polaires, le vecteur s’écrit :

v = 5,39248,20°

RemarqueL’argument peut être noté en radians.

= 29 ≈ 5,39

5,39

5,39248,20°

(–4)2 + (3)2

ExerciceReprésenter graphiquement et exprimer en coordonnées polaires le vecteur :

v = (–4; 3)

= arctan 3

–4 = –36,87°

= + 180° = –36,87° + 180° = 143,13°

r =Le module est :

L’angle est :

S

La représentation du vecteur dans un système d’axes nous indique que le vecteur est dans le deuxième quadrant. On a alors :

En coordonnées polaires, le vecteur s’écrit :

v = 5143,13°

= 25 = 5

5143,13°

Exemple 8.3.2Représenter graphiquement et exprimer en coordonnées cartésiennes le vecteur :

v

= (r cos ; r sin )

= (3,4 cos 62°; 3,4 sin 62°)

= (1,60; 3,00)

Puisque r = 3,4 et = 62°, on a :

S

Les composantes du vecteur sont donc 1,60 et 3,00 et, en coordonnées cartésiennes, le vecteur s’écrit :

= 3,462°

v

= (1,60; 3,00)v

ExerciceReprésenter graphiquement et exprimer en coordonnées cartésiennes le vecteur :

v

= (r cos ; r sin )

= (4,2 cos 108°; 4,2 sin 108°)

= (–1,30; 3,99)

Puisque r = 4,2 et = 108°, on a :

S

Les composantes du vecteur sont donc –1,30 et 3,99 et, en coordonnées cartésiennes, le vecteur s’écrit :

= 4,2108°

v

= (–1,30; 3,99)v

Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant,

= (635°) + (8130°) + (4250°)= (6 cos 35°; 6 sin 35°)+ (8 cos 130°; 8 sin 130°)+ (4 cos 250°; 4 sin 250°) = (–1,5955; 5,8110) = (a; b)

Exemple 8.3.3Trouver la résultante des forces illus-trées ci-contre.

S

Déterminons la forme polaire des vecteurs représentant les forces.

R F1 F2 F3= + +

R = 6,03105,35° = + 180°= 105,35°. D’où :La résultante est une force de 6,03 N faisant un angle de 105,35° avec l’horizontale.

a2 + b2r = ≈ 6,03 et = arctan b

a = –74,65°Cela donne :

Addition et coordonnées polaires

pour additionner des vecteurs donnés sous forme polaire

1. Exprimer les vecteurs sous forme trigonométrique :

2. Effectuer la somme sous forme rectangulaire.

3. Exprimer le vecteur résultant sous forme polaire en calculant le module et l’argument.

Procédure

4. Interpréter le résultat selon le contexte.

= (r cos  r sin  )v

= (7,224°) + (5,6142°) + (6,4226°)

ExerciceTrouver la résultante des forces illus-trées ci-contre.

S

Déterminons la forme polaire des vecteurs représentant les forces.

= 2,89142,18°

Puisque le vecteur est dans le deuxième quadrant,

= + 180°= 142,18°. D’où :

La résultante est une force de 2,89 kN faisant un angle de 142,18° avec l’horizontale.

a2 + b2r = ≈ 2,89 et = arctan b

a= –37,82°Cela donne :

Rx = 7,2 cos 24° +  5,6 cos 142° + 6,4 cos 226° = –2,28 = a

Ry = 7,2 sin 24° +  5,6 sin 142° + 6,4  sin 226° = 1,77 = b

R F1 F2 F3= + +

R

2,89142,18°

= (42035°) + (660114°) = (420 cos 35°; 420 sin 35°)+ (660 cos 114°; 660 sin 114°)= (75,60; 843,84) = (a; b)

Exemple 8.3.4Un arpenteur a pris les notes suivantes pour décrire un parcours :

S

=

= 847,284,88° ou

Puisque le vecteur est dans le premier quadrant, = = 84,88°.

Le parcours

a2 + b2r = ≈ 847,2 et = arctan b

a= 84,88°Cela donne :

: N55°E, 420 m;

Représenter graphiquement ce par-cours et déterminer la direction et la distance du parcours

OP : N24°O, 660 mPQ

OQ.OQ +OP PQ

OQ

OQ peut être décrit comme suit :

: N5,12°E, 847,2 mOQ

= (510122°) + (720114°) = (510 cos 122°; 510 sin 122°)+ (720 cos  66°; 720 sin 66°)= (22,59; 1090,26) = (a; b)

ExerciceUn arpenteur a pris les notes suivantes pour décrire un parcours :

S

=

= 1090,4988,81° ou

Puisque le vecteur est dans le premier quadrant, = = 88,81°.

Le parcours

a2 + b2r = ≈ 1090,49 et = arctan b

a= 88,81°Cela donne :

: N32°O, 510 m;

Représenter graphiquement ce par-cours et déterminer la direction et la distance du parcours

OP : N24°E, 720 mPQ

OQ.OQ +OP PQ

OQ

OQ peut être décrit comme suit :

: N1,19°E, 1090,49 mOQ

510122°

72066°

Exemple 8.3.5La masse suspendue dans l’assemblage en équilibre ci-contre exerce une force de 700 N.

S

a) Représenter dans un système d’axes les forces agissant au point A.

b) Établir les équations d’équilibre et trouver l’intensité des forces.

La masse exerce une force due à la gravitation, elle est orientée vers le bas.

P270° = (P cos 270°; P sin 270°) = (0; –P)

La corde est en tension et exerce au point A une force de réaction notée :

T40° = (T cos 40°; T sin 40°) = (Tx; Ty)

La barre rigide est en compression et exerce au point A une force de réaction notée :

C180° = (C cos 180°; C sin 180°) = (–C; 0) S

Le système étant en équilibre, on a, pour les composantes horizontales :

Tx + Cx + Px = 0

T cos 40° + C cos 180° + 700 cos 270° = 0

T cos 40° – C = 0Pour les composantes verticales, on a :

Ty + Cy + Py = 0

T sin 40° + C sin 180° + 700 sin 270° = 0

T sin 40° – 700 = 0S

On a donc le système d’équations :

T cos 40° – C = 0

T sin 40° – 700 = 0

T =

La deuxième équation donne :700

sin 40° = 1 089 N

En substituant dans la première :

1 089 cos 40° – C = 0, d’où :

C = 1 089 cos 40° = 834 N

Exemple 8.3.6Les trois câbles de la situation illustrée ci-contre supportent une masse qui exerce une force de 2,54 kN. Par la méthode des com-posantes (vecteurs algébriques), déterminer la tension dans chacun des câbles.

S

La masse exerce une force due à la gravitation, elle est orientée vers le bas.

P270° = (P cos 270°; P sin 270°) = (0; –P)

Les câbles sont en tension et exercent au point A des forces de réaction notées :

Td33° = (Td cos33°; Td sin 33°) = (Tdx; Tdy)

Tg128° = (Tg cos128°; Tg sin 128°) = (Tgx; Tgy)

S

Le système étant en équilibre, on a :

Tdx + Tgx + Px = 0Tdy + Tgy + Py = 0

D’où :

Td cos 33° + Tg cos 128° + 2,54 cos 270° = 0

Td sin 33° + Tg sin 128° + 2,54 sin 270° = 0Puisque cos 270° = 0 et sin 270° = –1, on a :

Td cos 33° + Tg cos 128° = 0

Td sin 33° + Tg sin 128° – 2,54 = 0

On a donc le système d’équations :

Td cos 33° + Tg cos 128° = 0

Td sin 33° + Tg sin 128° = 2,54

SS

En isolant Td dans la première équation, on obtient :

Td = – Tg cos 128°

cos 33° En substituant dans la deuxième équation :

sin 33° + Tg sin 128° = 2,54– Tg cos 128°

cos 33°

En substituant dans la deuxième équation :

D’où l’on tire : Tg ≈ 2,14 kN et, par substitution : Td ≈ 1,57 kN.

La tension est donc de 2,54 kN dans le câble vertical, de 1,57 kN dans le câble de droite et de 2,14 kN dans le câble de gauche.

ExerciceLa masse suspendue dans l’assemblage en équilibre ci-contre exerce une force de 900 N.

S

La masse exerce une force due à la gravitation, elle est orientée vers le bas.

P270° = (P cos 270°; P sin 270°) = (0; –P)

La corde est en tension et exerce au point A une force de réaction notée :

T140° = (T cos140°; T sin 140°) = (Tx; Ty)

La barre rigide est en compression et exerce au point A une force de réaction notée :

C20° = (C cos 20°; C sin 20°) = (Cx; Cy)S

a) Représenter dans un système d’axes les forces agissant au point A.

b) Établir les équations d’équilibre et trouver l’intensité des forces.

Le système étant en équilibre, on a :

Tx + Cx + Px = 0Ty + Cy + Py = 0

D’où :

T cos 140° + C cos 20° + 900 cos 270° = 0

T sin 140° + C sin 20° + 900 sin 270° = 0

Puisque cos 270° = 0 et sin 270° = –1, on a :

T cos 140° + C cos 20° = 0

T sin 140° + C sin 20° – 900 = 0

On a donc le système d’équations :

T cos 140° + C cos 20° = 0

T sin 140° + C sin 20° = 900

SS

T = –C cos 20°

cos 140°

En isolant T, dans la première équation, on a :

En substituant dans la deuxième équation :

–C cos 20°

cos 140° sin 140° + C sin 20° = 900

D’où l’on tire : C ≈ 796 N

et, par substitution, T ≈ 977 N.

La tension est donc de 900 N dans le câble vertical, de 977 N dans l’autre câble et la barre rigide subit une pression de 796 N.

Conclusion

La description en coordonnées polaires véhicule toute l’information sur un vecteur, son module, sa direction et son sens. Dans plusieurs situations, la description en coordonnées polaires est plus facile à obtenir.

On peut par la résolution d’un triangle rectangle passer des coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires pour effectuer les opérations.

En effectuant le passage des coordonnées polaires aux coordonnées polaires, on peut utiliser les vecteurs algébriques pour déterminer la résultante de plusieurs forces dont les lignes d’action (droite support) sont concourantes en un point. On peut également analyser des systèmes de forces en équilibre par la méthode dite des composantes.

ExercicesAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 6.2, p. 164, no 19 à 34.

LectureAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 6.1, p. 158 à 162.