VecteursLang Fred1

1Version 2012

1

Table des matieres

1 Notion de vecteurs 31.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Definition de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Proprietes de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Produit d’un vecteur par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Proprietes du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Coordonnees 82.1 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Longueur d’un vecteur 133.1 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Produit scalaire 144.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 Proprietes du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5 Projections 16

6 Produit vectoriel 176.1 Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.3 Proprietes du produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7 Determinants 20

8 Produit mixte 208.1 Definition du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208.2 Proprietes du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

9 Double produit vectoriel 23

10 Exercices 24

11 Solutions 39

2

1 Notion de vecteurs

1.1 Definitions

Un vecteur−−→AB est represente par un segment oriente (ou fleche) AB, A est l’origine ou point d’application

du vecteur et B son extremite.

. La longueur du vecteur−−→AB se note ||

−−→AB|| et celle de ~v , ||~v|| = v.

. La direction du vecteur−−→AB est celle de la droite AB.

. Le sens du vecteur−−→AB est celui de la demi-droite AB.

Si A = B, on parle de vecteur nul , sa longueur est nulle, sa direction et son sens sont alors indetermines,on le note ~o.

Deux vecteurs ayant meme direction sont dits paralleles ou colineaires.

Deux vecteurs, de meme direction, peuvent avoir meme sens ou sens oppose:−−→AB et

−−→BA .

On distingue les vecteurs lies, glissants et libres.

. Un vecteur lie a un point d’application bien defini

. Un vecteur glissant a un point d’application variant sur une droite

. Un vecteur libre a un point d’application quelconque

Dans la suite du cours, nous parlerons essentiellement des vecteurs libres, que nous appellerons simple-ment vecteurs.

Donnons deux caracterisations des vecteurs libres:

1) Deux vecteurs libres non nuls sont egaux s’ils ont meme direction, meme sens et meme longueur.Tous les vecteurs nuls sont egaux.

2)−−→AB =

−−→CD si et seulement si ABDC est un parallelogramme. (fig 1)

Figure 1: Les fleches AB et CD definissent le meme vecteur

3

−−→BA est le vecteur oppose a

−−→AB , on le note -

−−→AB ,

−−→BA = -

−−→AB.

Un vecteur unitaire est un vecteur de longueur 1. On trouve la notation v.

1.2 Definition de la somme

Figure 2: Somme de deux vecteurs

Parallelogramme des forces:

La somme de deux vecteurs ~a et ~b est un troisieme vecteur ~c defini ainsi:

On represente les vecteurs ~a et ~b par des fleches de meme origine O, ~a =−−→OA et ~b =

−−→OB . (fig 2)

La fleche−−→OC, diagonale du parallelogramme OACB, represente alors le vecteur somme

~c = ~a + ~b

On dit aussi que ~c est la resultante de ~a et ~b ; ~a et ~b sont les composantes de ~c.

Comme ~b =−−→AC et ~a =

−−→BC , on a la construction bout a bout :

−−→AB +

−−→BC =

−−→AC

ou encore:−−→OA +

−−→AB =

−−→OB

ce qu’on enonce ainsi:

Regle de Chasles (fig 3):

−−→AB =

−−→OB −

−−→OA (1)

Remarque: Le vecteur ~c est independant du choix du point O:

Attachons les vecteurs ~a et ~b a une origine O’.

En translatant le parallelogramme OACB en O’A’C’B’, on obtient un vecteur ~c′ egal a ~c.

Ainsi la somme des vecteurs est independante du choix du point O.

La soustraction est definie par l’addition de l’oppose: ~a - ~b = ~a + (-~b)

4

Figure 3: Regle de Chasles

1.3 Proprietes de la somme

Commutativite

~a + ~b = ~b + ~a

Associativite(~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c)

Element neutre~o + ~a = ~a

Elements opposes~a + (−~a) = ~o

Verification de l’associativite (fig 4):Disposer les vecteurs ~a , ~b et ~c suivant les aretes OA,OB et OC d’un cube, les differentes diagonalesdonnent les differentes combinaisons des trois vecteurs.

Theoreme des projections (fig 5):

Notons ~v′ la projection du vecteur ~v sur une direction donnee, parallelement a une direction donnee.

La projection de la somme est egale a la somme des projections

(~a + ~b)′ = ~a′ + ~b′

1.4 Produit d’un vecteur par un scalaire

Soient k un scalaire et ~v un vecteur.

Definissons le produit k~v de ~v par k.

k > 0 : k~v est represente par une fleche de meme direction et de meme sens que ~v, de longueur||k~v|| = k||~v||.

5

Figure 4: Associativite

k = 0 : k~v = ~o.

k < 0 : k~v est est represente par une fleche de meme direction que ~v, de sens oppose a ~v, delongueur ||k~v|| = −k ||~v||.

Ainsi, dans tous les cas:

||k~v|| = |k| · ||~v|| (2)

ou |k| est la valeur absolue de k.

Rappel concernant la valeur absolue:

. |k| = +k si k ≥ 0

. |k| = −k si k ≤ 0

Ainsi, |k| est la partie positive de k.

|k| est toujours positive ou nulle, |k| est nulle si et seulement si k est nul.

Proprietes:

(I) |n + m| ≤ |n| + |m|

(II) ||n| − |m|| ≤ |n − m|

6

Figure 5: Projections de la somme: ~c = ~a + ~b et ~c′ = ~a′ + ~b′

Figure 6: Entrees/sortie du produit par un scalaire.

1.5 Proprietes du produit

Distributivites

k (~a + ~b) = k~a + k~b

(k + r)~a = k~a + r~a

Associativite numerique(k r)~a = k(r~a)

Element neutre1~a = ~a

On peut donc calculer avec les vecteurs comme avec les nombres, seules la multiplication et la divisionpar un vecteur sont interdites

7

Figure 7: Distributivite de la somme par rapport au produit par un scalaire, ici 2.

DefinitionsUne combinaison lineaire de vecteurs ~a , ~b , ~c , ~d, ... est une expression du type

α~a + β~b + γ~c + δ ~d + ...

ou α, β, γ, δ sont des nombres reels.

Des vecteurs ~a , ~b , ~c , ~d, ... sont dits lineairement dependants si l’un est une combinaison lineaire desautres; sinon ils sont dits lineairement independants.

Des vecteurs sont dits coplanaires s’ils sont representables par des fleches situees dans un meme plan.

Des proprietes precedentes, on en deduit immediatement:

. Deux vecteurs sont colineaires si et seulement si l’un est multiple de l’autre.

. Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si l’un s’exprime comme combinaison lineaire desdeux autres.

2 Coordonnees

2.1 Plan

On se donne un systeme d’axes perpendiculaires, l’abscisse Ox et l’ordonnee Oy, se coupant en un pointO, sur chacun des axes on prend des segments unites OI et OJ.

Les vecteurs~i =−→OI et ~j =

−−→OJ sont les vecteurs de base.

(~i, ~j) est une base orthonormee de l’ensemble des vecteurs du plan.

(O, I, J) est un repere du plan, O est l’origine du repere.

En projetant un vecteur ~v du plan sur les axes, on obtient la decomposition (fig (8)

8

~v = ~v1 + ~v2

Mais, ~v1 etant parallele a~i , il s’ecrit ~v1 = v1~i , de meme, ~v2 = v2 ~j.

Ainsi:~v = v1~i + v2 ~j

~v1 et ~v2 sont les composantes vectorielles de ~v dans la base (~i, ~j).

v1 et v2 sont les composantes numeriques de ~v dans la base (~i, ~j).

Figure 8: Composantes vectorielles d’un vecteur 2D.

Dans une base fixee, les donnees de v1 et v2 determinent entierement le vecteur ~v.

On associe a ~v le tableau [v1v2

]appele vecteur-colonne de ~v.Il depend du choix de la base, mais non de celui de l’origine O.

Si on represente ~v par une fleche d’origine O, ~v =−−→OV .

Le point V a, lui, les coordonnees v1 et v2 qui, elles, dependent de O.On associe a V un tableau [

v1 v2]

ou(

v1 v2)

appele vecteur-ligne de V .

9

V(v1, v2) ↔ ~v =−−→OV = v1~i + v2 ~j (3)

Un vecteur etant entierement determine par ses composantes, on a:[v1v2

]+

[w1w2

]=

[v1 + w1v2 + w2

]et

k[

v1v2

]=

[k v1k v2

]Quelques vecteurs particuliers :

~o =

[00

]~i =

[10

]~j =

[01

]La regle de Chasles permet de trouver les composantes de n’importe quel vecteur

−−→AB, connaissant les

coordonnees de ses extremites A(a1, a2) et B(b1, b2):

−−→AB =

−−→OB −

−−→OA =

[b1 − a1b2 − a2

](4)

Si ~v n’est pas vertical, v1 , 0, on definit la pente de ~v parv2

v1.

Soient α et β les angles de ~v avec les axes Ox et Oy (fig 8), alors

tan(α) = cot(β) =v2

v1= pente(~v) (5)

Deux vecteurs ~a et ~b (non verticaux) sont colineaires si et seulement s’ils ont memes pentes:

~a ∥ ~b ↔b2

b1=

a2

a1(6)

2.2 Espace

On se donne un systeme d’axes perpendiculaires, l’abscisse Ox, l’ordonnee Oy et la hauteur Oz secoupant en un point O, sur chacun des axes on prend des segments unites OI, OJ et OK.

Les vecteurs~i =−→OI , ~j =

−−→OJ et ~k =

−−→OK sont les vecteurs de base.

(~i, ~j,~k) forme une base de l’ensemble des vecteurs de l’espace.(O, I, J,K) est appele repere de l’espace, O est l’origine du repere.

Soit ~v un vecteur de l’espace. En le projetant sur les axes, on obtient la decomposition (fig 9):

~v = ~v1 + ~v2 + ~v3

et~v = v1~i + v2 ~j + v3 ~k

10

~v1,~v2 et ~v3 sont les composantes vectorielles de ~v dans la base (~i, ~j,~k).v1, v2 et v3 sont les composantes numeriques de ~v dans la base (~i, ~j,~k).

Figure 9: Composantes vectorielles d’un vecteur 3D. On a note α, β, γ les angles de ~v avec les axes dereference et α′, β′, γ′ les angles de ~v avec les plans de reference, ce sont les complementaires des anglesα, β, γ comme on peut le voir dans les rectangles OCVF, OBVD et OAVE.

On associe a ~v le tableau v1v2v3

appele vecteur-colonne de ~v.

11

Si on represente ~v par une fleche d’origine O, ~v =−−→OV .

Le point V a, lui, les coordonnees v1, v2 et v3. On associe a V le vecteur-ligne[v1 v2 v3

]ou

(v1 v2 v3

)On a alors:

V(v1, v2, v3) ↔ ~v =−−→OV = v1~i + v2 ~j + v3 ~k (7)

Et: v1v2v3

+

w1w2w3

=

v1 + w1v2 + w2v3 + w3

et

k

v1v2v3

=

k v1k v2k v3

Quelques vecteurs particuliers:

~o =

000

~i =

100

~j =

010

~k =

001

La regle de Chasles permet de trouver les composantes de n’importe quel vecteur

−−→AB , connaissant les

coordonnees de ses extremites A(a1, a2, a3) et B(b1, b2, b3):

−−→AB =

−−→OB −

−−→OA =

b1 − a1b2 − a2b3 − a3

(8)

Si ~v n’est pas vertical, on definit la pente de ~v:

tan(γ′) = pente(~v) =v3√

v21+ v2

2

(9)

C’est la tangente de l’angle entre la projection horizontale, ~v12, de ~v et ~v.

12

3 Longueur d’un vecteur

3.1 Plan

La longueur2 d’un vecteur ~v = v1~i + v2 ~j se calcule aisement a l’aide du theoreme de pythagore: Onprojette ~v sur l’abscisse et l’ordonnee, on obtient un triangle rectangle (fig (8).On a ainsi:

||~v|| =√

v21+ v2

2(10)

La longueur de−−→AB ou distance de A a B, δ(A, B) est donnee par:

δ(A, B) = ||−−→AB|| =

√(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 (11)

Rappelons qu’un vecteur est dit unitaire si sa longueur est 1.

Si ~a est un vecteur non nul, il y a deux vecteurs unitaires paralleles a ~a , ce sont ~u et -~u.

~u est obtenu en divisant ~a par sa longueur:

~u =1a~a

Attention a l’inegalite du triangle:

||~a + ~b|| ≤ ||~a|| + ||~b||

En termes de distances, cela devient evident:

δ(A,C) ≤ δ(A, B) + δ(B,C)

Il est plus court d’aller directement de A a C plutot que de faire le detour par B. (Sauf si B est aligne etentre A et C, auquel cas l’egalite est verifiee).

Evidemment||~a|| ≥ 0

et||~a|| = 0↔ ~a = ~o

Deux vecteurs sont dits perpendiculaires (ou orthogonaux) s’ils sont representables par des flechesperpendiculaires.Le vecteur nul est ici considere comme etant perpendiculaire a tout vecteur.

3.2 Espace

La longueur d’un vecteur est aussi donnee par Pythagore (fig (9):

||~v|| =√

v21+ v2

2+ v2

3(12)

La longueur de−−→AB ou distance de A a B, δ(A, B) est donnee par:

2ou norme, amplitude, module.

13

δ(A, B) = ||−−→AB|| =

√(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 + (b3 − a3)2 (13)

4 Produit scalaire

4.1 Definition

Nous allons maintenant nous occuper d’angles entre vecteurs.

L’angle entre deux vecteurs se mesure en representant ceux-ci par des fleches de meme origine et enmesurant l’angle des demi-droites indiquees par ces vecteurs, il est donc compris entre 0 et 180 degres.

Notons θ l’angle entre les vecteurs ~a et ~b. (fig 10)Si nous representons ceux-ci par des fleches ~a =

−−→AC =

−−→CD et ~b =

−−→CB, la somme est ~a + ~b = ~c =

−−→AB.

Considerons le triangle ABC, l’angle γ en C est egal a π − θ.

Figure 10: L’angle entre deux vecteurs.

Le theoreme du cosinus donne:

c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ) = a2 + b2 + 2ab cos(θ)

La quantite ab cos(θ) est positive, nulle ou negative selon que θ est aigu, droit ou obtu.

On l’appelle produit scalaire des vecteurs ~a et ~b et on la note ~a · ~b :

~a · ~b = ||~a|| ||~b|| cos(θ) (14)

En particulier le produit scalaire de deux vecteurs unitaires ~u et ~v est egal au cosinus de leur angle.

14

Figure 11: Entrees/sortie du produit scalaire.

4.2 Proprietes du produit scalaire

1. Commutativite~v · ~w = ~w · ~v

2. Distributivite~v · (~w1 + ~w2) = ~v · ~w1 + ~v · ~w2

3. Associativite numerique(k~v) · ~w = ~v · (k~w) = k(~v · ~w)

4. Norme~v · ~v = ||~v||2

5. Parallelisme

. Si ~v et ~w sont de meme direction et de meme sens alors ~v · ~w = ||~v|| ||~w||.

. Si ~v et ~w sont de meme direction et de sens oppose alors ~v · ~w = −||~v|| ||~w||.

6. Perpendicularite

~a ⊥ ~b ↔ ~a · ~b = 0 (15)

7. Angles L’angle entre les vecteurs ~a et ~b est

. aigu⇔ ~a · ~b > 0

. obtu⇔ ~a · ~b < 0

Remarques

. En general, il n’y a pas d’associativite!

~a(~b · ~c) , (~a · ~b)~c

. Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre (ou scalaire).

. Il n’y a pas de division de vecteurs.

15

Theoreme

. Dans le plan~a · ~b = a1b1 + a2b2 (16)

. Dans l’espace~a · ~b = a1b1 + a2b2 + a3b3 (17)

5 Projections

Nous allons projeter le vecteur ~a perpendiculairement sur le vecteur ~b.Appelons ~a∥ le vecteur projete.Representons ces vecteurs par des fleches: ~a =

−−→OA , ~b =

−−→OB , ~a∥ =

−−→OP.

Figure 12: Projections d’un vecteur.

Notons ~u le vecteur unitaire parallele et de meme sens que ~b.

~u =1

||~b||~b

La figure (12) nous donne alors facilement la composante parallele de ~a:

~a∥ = (~a · ~u) ~u (18)

et

~a⊥ = ~a − ~a∥ (19)

est la composante de ~a orthogonale a ~b .

16

6 Produit vectoriel

6.1 Orientation

Figure 13: Base directe.

Trois vecteurs de l’espace forment une base s’ils ne sont pas coplanaires.Une base (~a, ~b, ~c) est directe ou indirecte.

Differents criteres permettent de distinguer une base directe:

. Un observateur, la tete en C et les pieds dans le plan OAB, le bras droit dirige vers A, a le brasgauche dirige vers B.

. La rotation amenant ~a sur ~b fait avancer le tire-bouchon dans la direction de ~c.

. En serrant les doigts de la main droite, et en amenant ~a en ~b, le pouce indique ~c.

. La direction d’avancement d’une vis placee en O dans la direction et le sens de ~c indique unerotation de ~a vers ~b.

. Regle des trois doigts

Si le pouce de la main droite indique la direction ~a, l’index celle de ~b, alors le majeur donne ladirection de ~c.

Remarques

. Etant donne deux vecteurs ~a et ~b perpendiculaires, il n’existe que deux bases orthonormees admet-tant ~a et ~b comme premiers vecteurs de base:

(~a, ~b, ~c) et (~a, ~b,−~c), l’une est directe et l’autre indirecte.

. Toute rotation preserve l’orientation, toute symetrie plane et centrale l’inversent. 3

3Une symetrie axiale est une rotation de 180◦.

17

. Si (~a, ~b, ~c) est directe, alors

– (~b, ~c, ~a), (~c, ~a, ~b), (−~a,−~b, ~c), (−~a, ~c, ~b) le sont aussi (rotations de (~a, ~b, ~c)) et

– (~a, ~c, ~b), (~c, ~b, ~a), (~b, ~a, ~c), (−~a,−~c,−~b) sont indirectes. (symetries de (~a, ~b, ~c))

6.2 Definition

Le produit vectoriel de deux vecteurs ~a et ~b se note ~a ∧ ~b, c’est un vecteur defini ainsi:

. Direction: perpendiculaire aux vecteurs ~a et ~b

. Sens: (~a, ~b, ~a ∧ ~b) est un repere direct

. Longueur: ab sin(θ), ou θ est l’angle entre ~a et ~b.

C’est-a-dire l’aire du parallelogramme de cotes ~a et ~b.

Si ~a et ~b sont paralleles, le sinus est nul, on prend alors comme definition ~a ∧ ~b = ~o.

Figure 14: Entrees/sortie du produit vectoriel.

Exemple:

Figure 15: Moment d’une force ~MO, d = r sin(θ).

18

En mecanique, le moment d’une force ~F appliquee au point A, par rapport a un point O, est defini par

~MO =−−→OA ∧ ~F = ~r ∧ ~F (20)

ou ~r =−−→OA est le vecteur ”bras de levier”. (Figure 15)

La norme du moment est donc|| ~MO|| = ||~r|| · || ~F|| · sin(θ)

6.3 Proprietes du produit vectoriel

1. Si ~a ⊥ ~b alors ||~a ∧ ~b|| = ||~a|| ||~b||

2. ~a ∧ ~b = −~b ∧ ~a

3. ~a ∧ k~b = k~a ∧ ~b

4. ~a ∧ (~b + ~c) = ~a ∧ ~b + ~a ∧ ~c

5. ~a et ~b sont paralleles si et seulement si ~a ∧ ~b = ~o

6. Relativement a une base orthonormee directe (~i, ~j,~k), le produit vectoriel des vecteurs

~a = a1~i + a2 ~j + a3 ~k

et~b = b1~i + b2 ~j + b3 ~k

est donne par

~a ∧ ~b = (a2b3 − a3b2)~i + (a3b1 − a1b3) ~j + (a1b2 − a2b1)~k (21)

autrement dit:

a1a2a3

∧ b1

b2b3

=

a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a1b2 − a2b1

Une base orthonormee directe (~i, ~j,~k) est caracterisee par les 9 conditions:

~i ∧~i = ~j ∧ ~j = ~k ∧ ~k = ~o

~i ∧ ~j = −~j ∧~i = ~k

~k ∧~i = −~i ∧ ~k = ~j

~j ∧ ~k = −~k ∧ ~j = ~i

RemarqueEn general, il n’y a pas d’associativite!:

~a ∧ (~b ∧ ~c) , (~a ∧ ~b) ∧ ~c

19

7 Determinants

On introduit pour alleger l’ecriture la notion de determinant.

n = 2 ∣∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22

∣∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21

n = 3 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = a11

∣∣∣∣∣∣ a22 a23a32 a33

∣∣∣∣∣∣ − a12

∣∣∣∣∣∣ a21 a23a31 a33

∣∣∣∣∣∣ + a13

∣∣∣∣∣∣ a21 a22a31 a32

∣∣∣∣∣∣ =

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a23a32a11 − a33a12a21

8 Produit mixte

8.1 Definition du produit mixte

~a · (~b ∧ ~c)

s’appelle le produit mixte de ~a, ~b et ~c.

C’est un nombre qui se note

(~a, ~b, ~c) = ~a · (~b ∧ ~c) = (~a ∧ ~b) · ~c (22)

8.2 Proprietes du produit mixte

1. ~a, ~b et ~c sont lineairement dependants (autrement dit coplanaires) si et seulement si (~a, ~b, ~c) = 0.

2.~a · (~b ∧ ~c) = (~a ∧ ~b) · ~c

Ce qui justifie la notation ci-dessus.

3.(~a, ~b, ~c) = (~b, ~c, ~a) = (~c, ~a, ~b) = −(~b, ~a, ~c) = −(~a, ~c, ~b) = −(~c, ~b, ~a)

Autrement dit une permutation cyclique ne change rien, une transposition change le signe.

4. (~a, ~b, ~c) represente le volume oriente du parallelepipede construit sur les vecteurs ~a, ~b et ~c.

Le signe etant + ou − selon que le triplet (~a, ~b, ~c) est direct ou non.

5.k(~a, ~b, ~c) = (k~a, ~b, ~c) = (~a, k~b, ~c) = (~a, ~b, k~c)

20

6.(~a1 + ~a2, ~b, ~c) = (~a1, ~b, ~c) + (~a2, ~b, ~c)

7. Relativement a une base orthonormee directe, le produit mixte s’ecrit

(~a, ~b, ~c) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 b12 c13a21 b22 c23a31 b32 c33

∣∣∣∣∣∣∣∣∣Verification de la propriete 4:Le volume du parallelepipede est donne par le produit de la base et de la hauteur OH. (Figure 16)Notons

−−→OP = ~a ∧ ~b.

La base est egale a OP = ||−−→OP|| et la hauteur est la projection du vecteur ~c sur

−−→OP.

Ainsi

OH =~c ·−−→OP

||−−→OP||

et le volume vautOH · OP = ~c ·

−−→OP = (~a, ~b, ~c)

Figure 16: Volume du parallelepipede.

Volume du tetraedre:

21

Figure 17: Volume du tetraedre.

Le parallelepipede OABCO′A′B′C′ est divise en 6 tetraedres, dont 3 sont representes sur la figure 17:OABC, B′ABC,C′ABB′.Ils ont tous trois le meme volume:1) OABC et B′ABC ont ABC pour base commune et si O1 designe le pied de la hauteur issue de O surle plan (ABC) et B′1 celui de la hauteur issue de B′ sur le meme plan, alors les triangles OCO1 et B′AB′1sont egaux, donc les hauteurs aussi.

2) Le tetraedre B′ABC est egal a CABB′, il a donc la meme base que C′ABB′, le meme raisonnementque sous 1) montre qu’ils ont aussi meme hauteur.

Ainsi le volume du tetraedre OABC est le sixieme de celui du parallelepipede construit sur ses aretes, etle tiers de celui du prisme OBCAC′B′ construit sur ses aretes.Donc le volume du tetraedre est

VOLUME(OABC) =16

(−−→OA,−−→OB,−−→OC) (23)

Moment axial:

En mecanique, on definit le moment axial d’une force ~F par rapport a un axe ∆ ainsi:Si l’axe est donne par un point P et un vecteur directeur unitaire ~u et que la force est appliquee au pointA, le moment axial est donne par le produit mixte (voir fig. 18a):

M∆ =−→MP · ~u =

−−→PA ∧ ~F · ~u =

−−→PA · ~F ∧ ~u (24)

Il a les proprietes suivantes:

22

1. Ce moment ne depend pas du choix du point P sur l’axe

2. Il ne depend que de la composante de ~F normale a l’axe (voir fig. 18b)

3. C’est la composante selon l’axe ∆ du moment de la force par rapport a un point de l’axe

4. Le moment axial d’une force est egal au moment axial de la composante normale a l’axe de laforce.

Figure 18: Moment axial.

Les demonstrations sont laissees en exercice.

9 Double produit vectoriel

La formule de Gibbs permet de decomposer un double produit vectoriel:

~a ∧ (~b ∧ ~c) = (~a · ~c)~b − (~a · ~b)~c (25)

Variante:(~a ∧ ~b) ∧ ~c = (~c · ~a)~b − (~c · ~b)~a (26)

Cas particulier: ~c = ~b = ~u:Nous trouvons alors

(~a ∧ ~u) ∧ ~u = (~u · ~a)~u − ~a

ou

~a = (~u · ~a)~u − (~a ∧ ~u) ∧ ~u (27)

Nous avons la decomposition de ~a en composantes parallele et perpendiculaire a ~u. Voir (19).

23

10 ExercicesExercice 1Sur l’hexagone regulier ABCDEF de centre O de la figure 19, representer le vecteur

−−→DC par differentes

fleches, faire de meme avec−−→DB et

−−→OA.

Figure 19: Hexagone regulier.

Exercice 2Meme exercice, sur le parallelepipede de la figure 20, avec les vecteurs

−−→HG,

−−→HF,

−−→HA,

−−→HE,

−−→HD,

−−→EC.

Exercice 3Meme exercice, sur le prisme de base hexagonale reguliere de la figure 21, O et P sont les centres des

bases, avec les vecteurs−→LP,−−→LG,

−→LI,−−→LO,

−−→GJ.

Exercice 4Sur la figure 19, donner la somme de

−−→CB et

−−→EF;

−−→CB et

−−→AO;

−−→CB et

−−→OE;

−−→CB,−−→AF et

−−→OD.

Exercice 5Sur la figure 20, donner la somme de

−−→GB et

−−→AB;

−−→HE,

−−→AB et

−−→FH.

Exercice 6Sur la figure 21, donner la somme

−→LP +

−−→OB +

−−→HJ +

−−→DC et de

−→LP +

−→LP.

24

Figure 20: Paralelepipede.

Exercice 7A, B,C,D, E etant des points quelconque, reduire le plus possible:

~a =−−→BD +

−−→AB +

−−→DC ~b =

−−→BC +

−−→DE +

−−→DC +

−−→AD +

−−→EB ~c =

−−→AC −

−−→BD −

−−→AB

~d =−−→DA −

−−→DB +

−−→CD −

−−→BC ~e =

−−→EC −

−−→ED +

−−→CB −

−−→DB

Exercice 8Sur la figure 20, exprimer les vecteurs suivants a l’aide des lettres A, B,C,D, E, F,G,H:

~a =−−→AB +

−−→FG ~b =

−−→AG +

−−→BA ~c =

−−→EB +

−−→CA

~d =−−→EH +

−−→DC +

−−→GA ~e =

−−→AH +

−−→EB ~f =

−−→AB +

−−→CC +

−−→BH +

−−→GF

Exercice 9Sur la figure 20, on pose

−−→AB = ~u,

−−→AD = ~v,

−−→AE = ~w.

Exprimer en fonction de ~u,~v, ~w, les vecteurs

−−→AF,

−−→AG,

−−→AC,

−−→BD,

−−→BG,

−−→BE,

−−→BH,

−−→CA,

−−→CH,

−−→CG,

−−→CE

Exercice 10Soit une pyramide de sommet S dont la base ABCD est un parallelogramme (fig 22).

On pose−−→AB = ~u,

−−→AD = ~v,

−−→AS = ~w.

Exprimer les vecteurs−−→BS ,

−−→DS ,

−−→DB,

−−→CA a l’aide de ~u, ~v, ~w.

Exercice 11On donne deux points A et B. Construire les points K, L,N, P tels que−−→KA = 3

−−→AB,

−→LA = −2

−−→AB,

−−→AN =

45−−→AB,

−−→AP = −

54−−→AB.

25

Figure 21: Prisme de base hexagonale reguliere.

Exercice 12On donne deux points A et B. Construire les points P,Q tels que−−→PA = 3

−−→PB,

−−→QA = −2

−−→QB.

Exercice 13On donne deux vecteurs ~a et ~b . Determiner un vecteur ~x tel que

13

(2~x + ~a − ~b) = 2~b +12

(~x + 2~a − 3~b)

Exercice 14Sur l’hexagone de la figure 19, construire les vecteurs suivants, pour autant que les expressions aient unsens:

3−−→AB + 3

−−→DE 7

−−→CA + 1

−−→AB +

−−→ED

−−→AD +

−−→BC +

−−→FE

−−→FA +

−−→AB +

−−→BC +

−−→EE

−−→AB−−→BC

Exercice 15Soit le parallelepidede de la figure 20. Les triplets suivants de vecteurs sont-ils coplanaires? Si oui,

26

Figure 22: Pyramide de base en forme de parallelogramme.

exprimer l’un comme combinaison lineaire des deux autres.

−−→GH,

−−→AE,

−−→DG

−−→BF,

−−→EH,

−−→CD

−−→DB,

−−→EG,

−−→AB

−−→DF,

−−→EC,

−−→GH

Exercice 16Meme exercice avec le prisme de la figure 21:

−→AJ,−−→EK,−−→BC

−−→LG,−→ID,−−→KB

−−→AF,−−→JD,−→HI

Exercice 17Soient

~a =

[5−3

], ~b =

[4−4

], ~c =

[0.5

0

]Determiner les composantes des vecteurs suivants:

a) 3~a − 4~b + ~c b) ~a − 2~b + 12 ~c c) −5~a − 3~b − 8~c.

Exercice 18Soient

~a =

[24

], ~b =

[3−9

], ~c =

[12−6

]Calculer les nombres α et β de sorte que α~a + β~b = ~c.

27

Exercice 19Soient

~a =

[13

], ~b =

[0−1

], ~c =

[−2

3

], ~d =

[26

], ~g =

[00

], ~h =

[6−4

], ~i =

[1

−3/2

],

~j =

[−1/9

1/3

], ~k =

[0

2/3

]. Determiner les ensembles de vecteurs colineaires.

Exercice 20Soient les vecteurs

~a =

[7−2

], ~b =

[−3

5

], ~c =

[05

]Determiner un nombre reel α et un vecteur ~v colineaire a ~a tels que

~v + α~b = ~c

Exercice 21(paquet cadeau)On considere un cube ABCDEFGH de centre O (Figure 23).On emballe ce cube a l’aide de trois ficelles passant par les milieux des faces IJKLMN.(I est le milieu de la face ABFE, J celui de BCGF et M celui de ABCD).Donner les coordonnees des sommets du cube, des milieux des faces et des milieux des aretes dans lerepere OIJN .Donner, par leurs vecteurs-colonnes, les images des vecteurs de base~i =

−→OI, ~j =

−−→OJ, ~k =

−−→ON par les

transformations suivantes:

1. Symetrie centrale de centre O.

2. Symetries axiales d’axes OI, OJ, ON.

3. Symetries planes de plans OIJ, OJN, OIN.

4. Rotations de ±90 degres d’axes OI, OJ, ON.

5. Rotations de ±120 degres d’axes OF, OA.

Exercice 22On donne les vecteurs suivants:

~a =

1−3

2

, ~b =

08−5

, ~c =

218−11

, ~d =

3514−10

, ~e =

−2−1

0

a) Calculer les composantes des vecteurs

~u = 2~a − ~b + 2~d, ~v = −~c + 3~e, ~w = 12 ~a −

13 ~c + 2~d

b) Montrer que ~a, ~b et ~c sont coplanaires.

28

Figure 23: Le paquet cadeau.

Exercice 23On donne A(5, 2), B(6,−3), C(7, 8), D(3, 8), E(5,−6), F(−1; 36).Les points A, B, C sont-ils alignes ?Les points D, E, F sont-ils alignes ?

Exercice 24On donne deux points A et B, dont M est le milieu.

1. Exprimer−−→OM comme combinaison lineaire de

−−→OA et

−−→OB.

2. Soient A(a1, a2) et B(b1, b2), donner les coordonnees de M. (Utiliser le resultat precedent).

3. Soient A(5, 4) et B(−1, 6). Calculer M.

Exercice 25On donne trois points A, B et C.Soit G le centre de gravite du triangle ABC.

29

Sachant que G est situe aux deux tiers des medianes, exprimer−−→OG comme combinaison lineaire de

−−→OA,

−−→OB et

−−→OC.

En deduire une formule donnant les coordonnees de G en fonction de celles de A, B et C.

Exercice 26Deux masses n et m sont placees aux extremites A et B d’une barre horizontale rigide.Le centre de masse G est le point d’equilibre de la barre.

1. Exprimer la condition d’equilibre a l’aide des vecteurs−−→AG et

−−→GB .

2. Soit O un point origine du plan, exprimer−−→OG en fonction de

−−→OA et de

−−→OB .

Exercice 27Un bateau se deplace successivement 8 km au nord, 20 km au nord-ouest, 12 km a 30 degres au sud-ouest(mesures depuis le sud) et 6 km au sud-est.Determiner son changement moyen de position, c’est-a-dire donner la longueur et la direction du vecteurallant du point de depart au point d’arrivee.

Exercice 281. Calculer la longueur des vecteurs suivants:

~a =

[1−1

], ~b =

[−5

0

], ~c =

[4−3

], ~d =

[8−5

],

2. Calculer les composantes d’un vecteur unitaire de meme direction et de meme sens que chacundes vecteurs precedents.

Exercice 29Demontrer que les vecteurs suivants sont unitaires:

~a =

35

45

, ~b =

−

√2

2√

22

Exercice 30Soit O, A, B trois points non alignes, exprimer a l’aide de

−−→OA et de

−−→OB des vecteurs paralleles aux deux

bissectrices de l’angle ∠AOB.A l’aide du produit scalaire, verifier que celles-ci sont perpendiculaires.

Exercice 31On donne un triangle ABC par A(2, 1), B(5, 5) et C(0,−7). Calculer le perimetre de ce triangle.

Exercice 32Soit A(3, 1), B(9, 5),C(11, 2) et D(5,−2). Montrer que ABCD est un rectangle.

Exercice 33Soit A(8,−2), B(6, 2),C(6,−6) et P(3,−2). Montrer que les points A, B,C sont sur un cercle de centre P.

30

Exercice 34Calculer la longueur des vecteurs suivants:

~a =

8−5

4

, ~b =

−593

, ~c =

3124

, ~d =

0.50.5π

, ~e =

1/3−2/3

2/3

Exercice 35Calculer la distance des points A et B:

1. A(5,−3, 1), B(3, 0, 9)

2. A(0, 0, 1), B(6, 6, 7)

Exercice 36Calculer le produit scalaire des vecteurs suivants:

1. ~a =

[2−5

]et ~b =

[73

]

2. ~a =

[2−1

]et ~b =

[12

]

3. ~a =

[1/2−1/3

]et ~b =

[5

3/4

]

4. ~a =

[00

]et ~b =

[5−7

]

5. ~a =

[34

]et ~b =

[34

]

6. ~a =

[−8

3

]et ~b =

[6

16

].

Quels sont les couples de vecteurs perpendiculaires ?Trouver trois vecteurs perpendiculaires a ~b dans l’exercice 4).

Exercice 37Calculer x de sorte que les vecteurs ~a et ~b soient perpendiculaires:

~a = x~i + 2~j et ~b = −5~i + 6~j

Exercice 38Soient A(1,−2), B(13, 2), C(2, 5), D(5,−4).Montrer que la droite AB est perpendiculaire a la droite CD.

31

Exercice 39Calculer les produits scalaires suivants:~a · ~b, ~b · ~a, ~a · ~c, ~b · ~c(~a + ~b) · (~c − ~d), (~b · ~c)~a, (~a · ~b)~c, (~b · ~c)~d, (~c · ~d)~b, (~a · ~b)(~c · ~d)

ou

~a =

8−9

1

~b =

5−2

3

~c =

10−8

~d =

363

Exercice 40Montrer que les vecteurs ~a =

1−3

4

et ~b =

82

−1/2

sont perpendiculaires.

Exercice 41Les droites AB et CD sont-elles perpendiculaires ? A(8,−1, 3), B(11, 11, 5), C(4, 1,−1), D(6, 0, 2).

Exercice 42Demontrer que les composantes v1, v2, v3 d’un vecteur ~v sont donnees par les produits scalaires avec lesvecteurs de base respectifs:

v1 = ~v ·~i, v2 = ~v · ~j, v3 = ~v · ~k

Exercice 43Calculer la longueur de la projection de ~a sur ~b:

1.~a = −7~i − 3~j ~b = −3~i + 4~j

2.~a =

34~i +

57~j ~b = −~i + ~j

Exercice 44Calculer les composantes et la longueur de la projection de ~a sur ~b:

1.~a = 8~i + 5~j + ~k ~b = 2~i + 2~j + ~k

2.~a = 4~i − 6~j − 2~k ~b = −3~i + 5~j + 2~k

Exercice 45On donne le triangle A(1, 2), B(5, 4), C(3, 6).Calculer

. la longueur de la projection de AC sur AB

. la longueur de la hauteur issue de C.

. l’aire du triangle ABC

. les coordonnees du pied C′ de la hauteur issue de C

32

Figure 24: Symetrique du point C.

. les coordonnees du symetrique C′′ de C relativement a AB.

Exercice 46. Calculer l’angle entre les vecteurs 2~i + 3~j et −~i + 2~j.

. Calculer l’angle entre les vecteurs~i + 2~j + 3~k et −~i + 3~j + 2~k.

Exercice 47Un poids pendant a un fil est pousse de cote par une force horizontale jusqu’a ce que le fil fasse un anglede 45◦ avec la verticale.Trouver la force horizontale et la tension dans le fil en fonction du poids P.

Exercice 48Soit ~p = x~i + y ~j + z~k.Calculer les cosinus des angles α, β, γ, entre ~p et les axes de coordonnees, en fonction de x, y, z et p = ||~p||.Ces cosinus sont les cosinus directeurs de ~p.Prouver que

cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1

Que represente geometriquement le vecteur cos(α)~i + cos(β) ~j + cos(γ)~k?

Soit ~q, un deuxieme vecteur, de cosinus directeurs cos(α′), cos(β′) et cos(γ′).Soit θ l’angle entre ~p et ~q , exprimer cos(θ) en fonction des cosinus directeurs de ~p et ~q.

Exercice 49Soit ~a =~i + 2~j + 5~k et ~b = −~i + 2~j + 2~k.Decomposer ~a en composantes parallele et perpendiculaire a ~b.

Exercice 50Examinez si chaque expression a un sens. Si non, dites pourquoi, si oui le resultat est-il un scalaire ouun vecteur?

~a · (~b ∧ ~c) ~a ∧ (~b · ~c) ~a ∧ (~b ∧ ~c)(~a · ~b) ∧ ~c (~a · ~b) ∧ (~c · ~d) (~a ∧ ~b) · (~c ∧ ~d)

33

Figure 25: ||~u|| = 5, ||~v|| = 10, α = 60◦

Exercice 51Calculez ||~u∧~v|| et dites si ~u∧~v pointe vers l’interieur de la page ou vers l’exterieur de celle-ci. (Fig 25)

Exercice 52Meme question. (Fig 26)

Figure 26: ||~u|| = 6, ||~v|| = 8, α = 150◦

Exercice 53La pedale d’un velo est enfoncee avec une force de 60 N. (Fig 27).Le bras du pedalier mesure 18 cm. Calculez la norme du moment de torsion par rapport a P.

Figure 27: || ~F|| = 60 N, α = 10◦, β = 70◦

Exercice 54Calculez le vecteur moment de torsion et sa norme par rapport a P d’une force F appliquee en A commele montre la figure (fig 28).Traites deux cas, calcul litteral et numerique:

1. La force est dans le plan Oyz.

2. La force est dans le plan Oxy.

34

Figure 28: || ~F|| = 36 N, α = 30◦, a = 4 m, d = 4 m

Exercice 55Effectuer le produit vectoriel ~a ∧ ~b:

~a =

−234

~b =

301

~a =

111

~b =

11−1

Exercice 56Determiner deux vecteurs unitaires orthogonaux a la fois aux vecteurs ~a et ~b:

~a =

1−1

1

~b =

044

Exercice 57Calculer l’aire du parallelogramme de sommets A(0, 1), B(3, 0),C(5,−2) et D(2,−1).

Exercice 58Calculer l’aire du triangle de sommets A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) et C(0, 0, 3).

Exercice 59Sur la figure 21, supposons que OP soit perpendiculaire au plan de la base et que OD = OP, placons un

systeme d’axes d’origine O de sorte que ~j =−−→OD et ~k =

−−→OP.

Calculer les angles suivants:

1. entre les aretes OI et OJ, OI et OK, OI et OL, OI et OP

2. entre les plans CIJ et CIF, CIJ et CHK (angles diedres)

3. entre les aretes et les plans FI et CIJ, CP et CIJ

35

Exercice 60La tete d’une cle de 30 cm de long posee le long de la partie positive de l’axe Oy enserre un boulon situea l’origine. A l’extremite de la cle, on applique une force dans la direction 3~j − 4~k.Quelle doit etre l’intensite de la force pour exercer un moment de torsion de 100 Nm sur le boulon?

Exercice 61Soient ~v = 5~i et ~u de norme 3 dont le point initial est l’origine et qui tourne dans le plan Oxy.

. Determiner les valeurs maximales et minimales de ||~u ∧ ~v||.

Dans quelles directions pointent alors ~u ?

. Memes questions pour ~u · ~v.

Exercice 62Calculer le volume du parallelipipede construit sur les vecteurs ~a, ~b, ~c.

~a =

106

~b =

23−8

~c =

8−5

6

Exercice 63Calculer le volume du parallelipipede d’aretes adjacentes PQ, PR et PS .

P(1; 1; 1), Q(2; 0; 3) R(4; 1; 7), S (3;−1;−2)

Exercice 64Demontrer que les vecteurs ~a, ~b, ~c sont coplanaires.

~a =

231

~b =

1−1

0

~c =

732

Exercice 65Les points P,Q,R, S sont-ils dans un meme plan?

P(12; 0; 1), Q(2; 4; 6) R(3;−1; 2), S (6; 2; 8)

Exercice 66Soit ~u donne par ses cosinus directeurs cos(α), cos(β) et cos(γ). Calculer l’angle entre les plans vectoriels~u,~i et ~u, ~j.

Exercice 67Demontrez que

(~a − ~b) ∧ (~a + ~b) = 2(~a ∧ ~b)

Exercice 68Soit une force

−→F agissant en un point A d’un corps solide, etablir la formule de changement d’origine:

−→MO′ =

−→MO −

−−−→OO′ ∧

−→F

Exercice 69Etablir les proprietes enoncees apres la definition du moment axial, formule (24).

36

Exercice 70En cinematique du corps solide, la vitesse ~vA d’un point A d’un corps solide tournant autour d’un axeavec une vitesse angulaire ~ω est donne par

~vA = ~ω ∧−−→OA

ou O est l’origine de ~ω.A partir de la regle de Chasles, etablir la formule

~ω ∧−−→AB = ~vB − ~vA

Exercice 71Soit ~a, ~b, ~c trois vecteurs dont la somme est nulle.Multiplier vectoriellement l’egalite ~a + ~b + ~c = ~o par ~a, simplifier et en deduire le theoreme du sinus:

sin(α)a

=sin(β)

b=

sin(γ)c

Exercice 72Soient les vecteurs

~a =

2−1

2

~b =

302

~c =

−311

Calculer les vecteurs ~d = ~a ∧ (~b ∧ ~c) et ~e = (~a ∧ ~b) ∧ ~c et verifier la formule de Gibbs.

Exercice 731. Si

~a · ~b = ~a · ~c

que peut-on dire de ~a, ~b et ~c?

2. Si~a ∧ ~b = ~a ∧ ~c

que peut-on dire de ~a, ~b et ~c?

3. Resoudre l’equation vectorielle~a ∧ ~x = ~b

ou ~a , ~o, ~b , ~o.

Indications:

. Verifier que ~a · ~b = 0 est une condition d’existence.Chercher une solution particuliere ~x0 de la forme ~x0 = λ ~a ∧ ~b.

. Determiner λ en introduisant ~x0 dans l’equation donnee.

. Demontrer que, si ~x est une autre solution, alors ~x − ~x0 est un multiple k~a de ~a.

. En deduire qu’il y a une infinite de solutions, donner la solution generale, parametree par k.

37

Exercice 74a) Etablir la formule

(~a ∧ ~b) · (~c ∧ ~d) = (~a · ~c)(~b · ~d) − (~a · ~d)(~b · ~c)

b) Etablir la formule de Jacobi:

~a ∧ (~b ∧ ~c) + ~b ∧ (~c ∧ ~a) + ~c ∧ (~a ∧ ~b) = ~o

c) Examiner les differents produits de quatre vecteurs, par exemple

(~a ∧ ~b) ∧ (~c ∧ ~d)

d) Etablir la formule de Lagrange:

(~a ∧ ~b)2 = ~a 2 ~b 2 − (~a · ~b)2

ou le carre d’un vecteur represente le produit scalaire de ce vecteur par lui-meme:

~x · ~x = ||~x||2 = x2

Exercice 75Soit un tetraedre de sommets ABCD.

Exprimer le volume du tetraedre a l’aide des vecteurs−−→OA,

−−→OB,

−−→OC,

−−→OD.

Exercice 76On suppose que les vecteurs ~v1, ~v2 et ~v3 ne sont pas coplanaires.On definit les vecteurs suivants:

~k1 =~v2 ∧ ~v3

~v1 · (~v2 ∧ ~v3)~k2 =

~v3 ∧ ~v1

~v1 · (~v2 ∧ ~v3)~k3 =

~v1 ∧ ~v2

~v1 · (~v2 ∧ ~v3)

De tels vecteurs se rencontrent en cristallographie. Des vecteurs de la forme n1~v1 +n2~v2 +n3~v3, ou chaqueni est un entier, forment un reseau pour un cristal.Le reseau reciproque est defini par les vecteurs n1~k1 + n2~k2 + n3~k3.

Demontrer:

1. ~ki est perpendiculaire a ~v j, pour tout i , j.

2. ~ki · ~vi = 1, pour tout i.

3. ~k1 · (~k2 ∧ ~k3) =1

~v1 · (~v2 ∧ ~v3)Indications:

Identifier les denominateurs et leur donner un nom.

Utiliser les proprietes du produit vectoriel, du produit mixte et la formule de Gibbs.

38

11 SolutionsCorrige ex 1

−−→DC =

−−→OB =

−−→EO =

−−→FA

−−→EA =

−−→DB

−−→OA =

−−→CB =

−−→DO =

−−→EF

Corrige ex 2

−−→HG =

−−→EF =

−−→AB =

−−→DC

−−→HF =

−−→DB

−−→HA =

−−→GB

−−→HE =

−−→GF =

−−→CB =

−−→DA

−−→HD =

−−→FB =

−−→GC =

−−→EA

−−→EC

Corrige ex 3

−→LP =

−→PI =

−−→FO =

−−→OC =

−−→KJ =

−−→GH =

−−→ED =

−−→AB

−−→LG =

−−→KP =

−→JI =

−−→PH =

−−→EO =

−−→OB =

−−→DC =

−−→FA

−→LI =

−−→FC

−−→LO =

−−→PC =

−−→GB =

−−→KD

−−→GJ =

−−→AD

Corrige ex 4

−−→CB +

−−→EF =

−−→DA

−−→CB +

−−→AO = ~o

−−→CB +

−−→OE =

−−→CO

−−→CB +

−−→AF +

−−→OD =

−−→CD

Corrige ex 5

−−→GB +

−−→AB =

−−→HB

−−→HE +

−−→AB +

−−→FH =

−−→FE +

−−→AB = ~0

Corrige ex 6

−→LP +

−−→OB +

−−→HJ +

−−→DC =

−−→LH +

−−→HJ +

−−→DC =

−→LJ +

−−→DC =

−→LI =

−−→FC

−→LP +

−→LP =

−→LI =

−−→FC

39

Corrige ex 7~a =−−→AC ~b =

−−→AC +

−−→DC ~c =

−−→DC ~d =

−−→CA +

−−→CD ~e = ~0

Corrige ex 8~a =−−→EG =

−−→AC ~b =

−−→AH =

−−→BG ~c =

−−→HA =

−−→GB

~d =−−→EA =

−−→FB =

−−→GC =

−−→HD ~e =

−−→EG =

−−→AC ~f =

−−→AE =

−−→BF =

−−→CG =

−−→DH

Corrige ex 9~u + ~w ~u + ~v + ~w ~u + ~v −~u + ~v ~v + ~w ~w − ~u

−~u + ~v + ~w −~u − ~v −~u + ~w ~w −~u − ~v + ~w

Corrige ex 10

−~u + ~w − ~v + ~w ~u − ~v − ~u − ~v

Corrige ex 11K et P sont a gauche de AB, L a droite et N entre.

Corrige ex 12P est a droite de AB, Q entre.

Corrige ex 13

~x = 4~a + 5~b

Corrige ex 14Les questions (b) et (f) n’ont pas de sens.La somme d’un vecteur et d’un nombre n’est pas definie.La division des vecteurs non plus.

1. (a): ~0

2. (c):−−→FC

3. (d): 2−−→AD = 4

−−→FE = 4

−−→OD = 4

−−→AO = 4

−−→BC

4. (e):−−→FC

Corrige ex 151. oui: face arriere,

−−→AE =

−−→DH, donc

−−→GH =

−−→AE −

−−→DG.

2. non.

3. oui: face bas,−−→EG =

−−→AC, donc

−−→EG = 2

−−→AB −

−−→DB.

4. oui: plan oblique EFCD,−−→GH =

−−→FE, donc

−−→EC = −

−−→DF − 2

−−→GH.

Corrige ex 161. oui: plan AJDG,

−→AJ = 2

−−→BC +

−−→EK.

2. oui: plan KHBE,−−→LG =

−→JI, donc

−−→KB = 3

−−→LG +

−→ID.

3. non, car−−→AF et

−−→JD sont dans le plan IJDC et

−→HI ne l’est pas.

40

Corrige ex 17 [−0.5

7

] [−2.75

5

] [−41

27

]Corrige ex 18

(α; β) = (3; 2)

Corrige ex 19Par convention, le vecteur nul est colineaire a tous les vecteurs.On a encore, ~a ∥ ~d, ~b ∥ ~k et ~c ∥~i.

Corrige ex 20

~v =1529~a , α =

3529

Corrige ex 21Rappelons que les vecteurs-colonnes des vecteurs de base,~i, ~j et ~k sont:

~i =

100

~j =

010

~k =

001

1) Chaque vecteur est transforme en son oppose, ainsi les images des vecteurs de base sont:

~i′ =

−100

~j′ =

0−1

0

~k′ =

00−1

2) Le vecteur parallele a l’axe est fixe, les autres vont sur leur oppose, voici le resultat pour la symetried’axe OI:

~i′ =

100

~j′ =

0−1

0

~k′ =

00−1

3) Les vecteurs paralleles au plan sont fixes, l’autre va sur son oppose, voici le resultat pour la symetriede plan OIJ:

~i′ =

100

~j′ =

010

~k′ =

00−1

4) Le vecteur parallele a l’axe de rotation est fixe, pour les rotations d’axe OI, on a les resultats suivants:

~i′ =

100

~j′ =

001

~k′ =

0−1

0

41

et

~i′ =

100

~j′ =

00−1

~k′ =

010

5) Remarquons que OF = OD et OA = OG.Une rotation d’axe OF va permuter cycliquement les sommets I, J,N et donc les vecteurs de base~i, ~j et~k. Ainsi, une des rotations donne:

~i′ =

010

~j′ =

001

~k′ =

100

et l’autre

~i′ =

001

~j′ =

100

~k′ =

010

Une rotation d’axe OG va permuter cycliquement les sommets J,N,K et donc les vecteurs −~i, ~j et ~k.Ainsi, une des rotations donne:

~i′ =

0−1

0

~j′ =

001

~k′ =

−100

et l’autre

~i′ =

00−1

~j′ =

−100

~k′ =

010

Corrige ex 22a) Voici les vecteurs-colonnes demandes:

~u =

7214−11

~v =

−8−21

11

~w =

419/641/2−46/3

b) Ils sont coplanaires, car l’un est une combinaison lineaire des autres:

~a = −32~b +

12~c

Corrige ex 23a) non. b) oui.

Corrige ex 24

Formule du point milieu

42

Le vecteur−−→OM est la moyenne des vecteurs

−−→OA et

−−→OB:

−−−→OM =

12

(−−→OA +

−−→OB) =

12−−→OA +

12−−→OB (28)

Les coordonnees de M sont la moyenne des coordonnees de A et B:

M(

a1 + b1

2;

a2 + b2

2

)Corrige ex 25

Formule du centre de gravite:

Le vecteur−−→OG est la moyenne des vecteurs

−−→OA,−−→OB et

−−→OC:

−−→OG =

13

(−−→OA +

−−→OB +

−−→OC) =

13−−→OA +

13−−→OB +

13−−→OC (29)

Les coordonnees de G sont la moyenne des coordonnees de A, B et C:

G(a1 + b1 + c1

3;

a2 + b2 + c2

3)

Corrige ex 26a) La condition d’equilibre est

n−−→AG = m

−−→GB

b)n(−−→OG −

−−→OA) = m(

−−→OB −

−−→OG)

d’ou−−→OG =

n−−→OA + m

−−→OB

n + m

Corrige ex 27Soient~i et ~j des vecteurs unitaires dans les directions est et nord.Les quatre deplacements sont:

8~j, −10√

2~i + 10√

2 ~j, −6~i − 6√

3 ~j, 3√

2~i − 3√

2 ~j

Le deplacement total est donc:

(−6 − 7√

2)~i + (8 − 6√

3 + 7√

2)~j ≈ −15.898~i + 7.507~j

La longueur du trajet parcouru est donc√

15.8982 + 7.5072 ≈ 17.58 km.

La direction est

arctan(15.8987.507

)≈ 64◦7′ NW

43

Corrige ex 28Pour rendre les vecteurs unitaires, il faut les diviser par leurs longueurs qui sont:

a)√

2 b) 5 c) 5 d)√

89

Corrige ex 29a) √(

35

)2

+

(−

45

)2

= 1

b) √√− √22

2

+

√22

2

= 1

Corrige ex 30Il suffit de rendre unitaire les vecteurs

−−→OA et

−−→OB

~u =1

||−−→OA||

−−→OA

~v =1

||−−→OB||

−−→OB

et d’en faire la somme ou la difference:

~u ± ~v

Pour verifier qu’elles sont orthogonales, calculons le produit scalaire:

(~u + ~v) · (~u − ~v) = ~u · ~u − ~u · ~v + ~v · ~u − ~v · ~v = ||u||2 − ||v||2 = 1 − 1 = 0

Corrige ex 31

AB + BC + CA = 5 + 13 +√

68

Corrige ex 32Il faut verifier que

−−→AB ∥

−−→DC,

−−→AD ∥

−−→BC et que

−−→AD ⊥

−−→AB

Corrige ex 33Le rayon vaut 5.

Corrige ex 34||~a|| =

√105 ||~b|| =

√115 ||~c|| = 13 ||~d|| =

√0, 5 + π2 ||~e|| = 1

Corrige ex 351)√

77 2)√

108

Corrige ex 361) −1 2) 0 3) 9/4 4) 0 5) 25 6) 0Les couples de vecteurs perpendiculaires sont ceux dont le produit scalaire est nul,donc (2) et (6).

Il suffit de prendre n’importe quel multiple de[

75

].

44

Corrige ex 37Le produit scalaire est nul, on obtient −5x + 12 = 0, d’ou x = 12/5.

Corrige ex 38Le produit scalaire de

−−→AB et

−−→CD est nul.

Corrige ex 39

~a · ~b = ~b · ~a = 61 ~a · ~c = 0 ~b · ~c(~a + ~b) · (~c − ~d) = (−19) · (−4) = 76

(~b · ~c)~a = −19~a (~a · ~b)~c = 61~c (~b · ~c)~d = −19~d

(~c · ~d)~b = −21~b (~a · ~b)(~c · ~d) = 61 · (−21)

Corrige ex 40Leur produit scalaire est nul.

Corrige ex 41La regles de Chasles permet de calculer les vecteurs

−−→AB =

3122

et−−→CD =

2−1

3

.Leur produit scalaire est nul, donc les droites sont perpendiculaires.

Corrige ex 42Il suffit de calculer les produits scalaires donnes.

Corrige ex 43a)

95

b)1

28√

2

Corrige ex 44Notons ~p =

~a · ~bb2

~b le vecteur projete.

a) ~p =279~b = 3~b et p = 3b = 9.

b) ~p = −4638

~b = −2319

~b et p =2319

√38.

Corrige ex 45La regle de Chasles et le produit scalaire donnent:

a) ||−−→AC′|| =

8√

5b) ||−−−→CC′|| =

6√

5c) L’aire vaut 6.

d) C′(215

;185

) e) C′′(275

;65

)

Corrige ex 46Le produit scalaire donne:

a) cosα =4√

65b) cosα =

1114

45

Corrige ex 47Appelons ~P le poids, ~H la force horizontale et ~T la tension.L’equilibre est donne par

~P + ~H + ~T = ~o

Introduisons une base~i et ~j orthonormee, alors

~P =

[0−P

], ~H =

[H0

], ~T =

[Tx

Ty

]Ainsi H + Tx = 0 et −P + Ty = 0.

Les donnees imposent |Tx| = |Ty|, ainsi H = P = −Tx = Ty, et ~T =

[−P

P

].

Corrige ex 48a)

cos(α) =xp, cos(β) =

yp, cos(γ) =

zp

b)p2 = x2 + y2 + z2

c) Le vecteur unitaire et de meme sens que ~p.d)

~u · ~v = cos(α) cos(α′) + cos(β) cos(β′) + cos(γ) cos(γ′)

~u et ~v etant les vecteurs unitaires correspondants a ~p et ~q.

D’autre part,~u · ~v = uv cos(θ) = 1 · 1 · cos(θ)

donc

cos(θ) = cos(α) cos(α′) + cos(β) cos(β′) + cos(γ) cos(γ′)

Corrige ex 49On a

~a∥ =~a · ~bb2

~b =139~b , ~a⊥ = ~a − ~a∥ =

22/9−8/919/9

Corrige ex 50

Les entrees/sorties des differents produits sont donnes par les figures (6), (11) et (14).scalaire pas de sens vecteurpas de sens pas de sens scalaire

Corrige ex 51La norme vaut 25

√3, le vecteur pointe vers l’interieur de la page.

Corrige ex 52La norme vaut 24, le vecteur pointe vers l’interieur de la page.

46

Corrige ex 53La norme vaut 10, 8 sin(80◦) ≈ 10, 6 Nm.

Corrige ex 541. Le vecteur moment est defini par

~MP =−−→PA ∧ ~F = (a ~j − d~k) ∧ −F(cos(α) ~j + sin(α)~k) = −F(a sin(α) + d cos(α)~i

La norme vautF(a sin(α) + d cos(α) = 72(1 +

√3) ≈ 200 Nm

2.~MP = (a ~j − d~k) ∧ +F(sin(α)~i − cos(α) ~j) = −F(d cos(α)~i + d sin(α) ~j + a sin(α)~k)

La norme vaut

F√

d2 + a2 sin2(α) = 72√

5 ≈ 161 Nm

On etablira que le second moment est inferieur ou egal au premier si et seulement si

tanα ≤ 2ad

Corrige ex 55Les produits vectoriels valent:

~a =

314−9

~b =

−220

Corrige ex 56

Le produit vectoriel ~a ∧ ~b donne un vecteur orthogonal.On le divise par sa norme et on obtient une des deux solutions.L’autre s’obtient en prenant le vecteur oppose:

±1√

6

−2−1

1

Corrige ex 57

Il faut rajouter une troisieme coordonnee nulle aux points.

La norme du produit vectoriel ||−−→AB ∧

−−→AC|| = 4 donne l’aire demandee.

Corrige ex 58La moitie de la norme du produit vectoriel

12||−−→AB ∧

−−→AC|| =

72

donne l’aire demandee.

Corrige ex 59Voici les valeurs des angles:

1. arccos(34

)≈ 41, 410 , arccos

(14

)≈ 75, 520 , 900 , 450

2. 600 , arccos(

2√

7

)≈ 40, 10,

47

3. arccos(

1√

5

)≈ 26, 570 , arccos

√38

≈ 37, 760,

Corrige ex 60

~F = F ·15·

03−4

et

~d = 0.3

010

La norme du moment vaut 100, on obtient ainsi la valeur F ≈ 417 N.

Corrige ex 61

Figure 29: L’extremite de ~u varie sur un cercle de rayon 3

.

||~u ∧ ~v|| = ||~u|| ||~v|| sin(α) = 15 sin(α)

Cette valeur est minimale si le sinus vaut -1, donc pour α = 3π/2 et est maximale si le sinus vaut1, donc pour α = π/2.

Elle est nulle si le sinus est nul, donc pour α = 0 ou α = π . Voir la figure (29).

.

~u · ~v = ||~u|| ||~v|| cos(α) = 15 cos(α)

Cette valeur est minimale si le cosinus vaut -1, donc pour α = π, est nulle si α = ±π/2 et estmaximale si le cosinus vaut 1, donc pour α = 0.

Corrige ex 62Le volume vaut 226.

Corrige ex 63Le volume vaut 21.

48

Corrige ex 64Ils le sont, car le produit mixte est nul.

Corrige ex 65Le produit mixte des vecteurs

−−→PQ,−−→PR,−−→PS vaut 198 et n’est donc pas nul.

Ainsi les points P,Q,R, S ne sont pas coplanaires.

Corrige ex 66L’angle θ entre deux plans est l’angle entre leurs normales ~n1 et ~n2.

~n1 = ~u ∧~i = cos(γ) ~j − cos(β)~k

et~n2 = ~u ∧ ~j = − cos(γ)~i + cos(α)~k

Leurs longueurs valent||~n1|| = ||~u ∧~i|| = ||~u|| ||~i|| sin(α)

et||~n2|| = ||~u ∧ ~j|| = ||~u|| ||~j|| sin(β)

Le produit scalaire donne d’une part:

~n1 · ~n2 = ||~n1|| ||~n2|| cos(θ) = sin(α) sin(β) cos(θ)

et d’autre part~n1 · ~n2 = − cos(α) cos(β)

donc

θ = arccos(− cos(α) cos(β)

sin(α) sin(β)

)= arccos (− cot(α) cot(β)) = π − arccos (cot(α) cot(β))

Corrige ex 67Il suffit d’utiliser la distributivite du produit vectoriel pour obtenir l’egalite demandee.

Corrige ex 68Rappelons que

−→MO =

−−→OA ∧

−→F et

−→MO′ =

−−−→O′A ∧

−→F .

En soustrayant ces egalites, on trouve

−→mO −−→mO′ = (

−−→OA −

−−−→O′A) ∧

−→F = (

−−→OA +

−−−→AO′) ∧

−→F =−−−→OO′ ∧

−→F

Corrige ex 69On decompose

−−→QA =

−−→QP +

−−→PA et ~F = ~F⊥ + ~F‖.

Le produit mixte etant nul si deux vecteurs sont colineaires, on peut conclure.

Corrige ex 70Rappelons que −→v A = ~ω ∧

−−→OA et −→v B = ~ω ∧

−−→OB.

En soustrayant ces egalites, on trouve

−→v B −−→v A = ~ω ∧

−−→AB

49

Corrige ex 71Multiplions a gauche l’egalite ~a + ~b + ~c = ~o par le vecteur ~a:

~a ∧ ~a + ~a ∧ ~b + ~a ∧ ~c = ~a ∧ ~o

Les premier et dernier produits sont nuls. Ainsi

~a ∧ ~b + ~a ∧ ~c = ~o

ou~a ∧ ~b = −~a ∧ ~c

eta b sin(γ′) = a c sin(β′)

ou γ′ est l’angle entre les vecteurs ~a et ~b, supplementaire de l’angle γ du triangle.

Comme le sinus du supplementaire est egal au sinus de l’angle. On obtient:

b sin(γ) = c sin(β)

Ce qui fournit une des egalites demandees, les autres se deduisent selon la meme methode.

Corrige ex 72

~d =

+15−10−20

~e =

−1−7

4

Corrige ex 73a)

~b et ~c ont memes projections sur le vecteur ~a.Si on represente ces vecteurs par des fleches d’origine commune O:

~a =−−→OA, ~b =

−−→OB, ~c =

−−→OC

OAB etant fixe, on peut dire alors que:En geometrie plane:C doit etre sur la droite perpendiculaire a OA par B.

En geometrie de l’espace:C doit etre sur le plan perpendiculaire a OA par B.

b)C doit etre sur une parallele a OA par B.

c)

. ~b etant egal a ~a ∧ ~x, il est necessairement perpendiculaire a ~a.

.

~a ∧ ~x0 = ~a ∧ (λ~a ∧ ~b) = (~a · ~b)λ~a − (~a · λ~a)~b = 0 − λa2~b = ~b⇒ −λ a2 = 1⇒ λ = −1a2

50

. On a ~a∧~x0 = ~b et ~a∧~x = ~b, donc ~a∧(~x−~x0) = ~o, ainsi ~a et ~x−~x0 sont paralleles, donc ~x−~x0 = k~a.

. La solution generale s’ecrit donc, avec k un parametre arbitraire:

~x = −~b ∧ ~a

a2 + k~a

Corrige ex 74a) Poser ~e = ~a ∧ ~b, utiliser (~e ∧ ~c) · ~d = ~e · (~c ∧ ~d) et la formule du double produit vectoriel.

b)~a ∧ (~b ∧ ~c) = ~b(~c · ~a) − ~c(~a · ~b)

on obtient aussi par permutations cycliques

~b ∧ (~c ∧ ~a) = ~c(~a · ~b) − ~a(~b · ~c)

et~c ∧ (~a ∧ ~b) = ~a(~b · ~c) − ~b(~c · ~a)

Il n’y a plus qu’a les ajouter.

c)Voyons un cas:

(~a∧~b)∧ (~c∧ ~d) = ~p∧ (~c∧ ~d) = ~c (~p · ~d)− ~d (~p ·~c) = ~c ((~a∧~b) · ~d)− ~d((~a∧~b) ·~c) = ~c(~a, ~b, ~d)− ~d (~a, ~b, ~c)

Ainsi on obtient une combinaison lineaire de ~c et ~d:

(~a ∧ ~b) ∧ (~c ∧ ~d) = (~a, ~b, ~d)~c − (~a, ~b, ~c) ~d

On a de meme,(~a ∧ ~b) ∧ (~c ∧ ~d) = (~a ∧ ~b) ∧ ~q = ~q ∧ (~b ∧ ~a)

En continuant le developpement on arrive a:

(~a ∧ ~b) ∧ (~c ∧ ~d) = (~c, ~d, ~a)~b − (~c, ~d, ~b)~a

En soustrayant on obtient:

(~d, ~b, ~c)~a + (~d, ~c, ~a)~b + (~d, ~a, ~b)~c − (~a, ~b, ~c)~d = 0

Ainsi:

~d =(~d, ~b, ~c)

(~a, ~b, ~c)~a +

(~d, ~c, ~a)

(~a, ~b, ~c)~b +

(~d, ~a, ~b)

(~a, ~b, ~c)~c

~d est decompose selon ~a, ~b, ~c, les coefficients representent des quotients de volumes.

d) Se deduit de a).

Corrige ex 75

V =16|(~b, ~c, ~d) − (~c, ~d, ~a) + (~d, ~a, ~b) − (~a, ~b, ~c)|

[Le volume est16|(~b − ~a, ~c − ~a, ~d − ~a)| ; utiliser la trilinearite].

51

Corrige ex 76Les denominateurs sont le produit mixte

p = ~v1 · (~v2 ∧ ~v3) = (~v1 ∧ ~v2) · ~v3

Ainsi~k1 =

~v2 ∧ ~v3

p~k2 =

~v3 ∧ ~v1

p~k3 =

~v1 ∧ ~v2

p

1. ~k1 · ~v2 =1p

(~v2 ∧ ~v3) · ~v2 = 0

2. ~k1 · ~v1 =1p

(~v2 ∧ ~v3) · ~v1 =pp

= 1

3. Calculons d’abord

~k2 ∧ ~k3 =1p~k2 ∧ (~v1 ∧ ~v2) Gibbs

=1p

(~k2 · ~v2)~v1 − (~k2 · ~v1)~v2 =1p

(1)~v1 − (0)~v2 =1p~v1

et

~k1 · (~k2 ∧ ~k3) =1p2 (~v2 ∧ ~v3) · ~v1 =

1p2 p =

1p

52