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CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali
TP MAPLERéduction des endomorphismes
Vecteurs et valeurs propres :
Exercice 1: Déterminer les réels x, y, z, t, u et v pour que le système
110
,
121
,
112
forme une base de vecteurs
propres de la matrice A =
x 1 y1 z tu v −1
.
Exercice 2: Trouver une condition sur a pour que les valeurs propres de la matrice
A =
a 2 1 1 12 a 2 1 11 2 a 2 11 1 2 a 21 1 1 2 a
soient strictement positives.Réduction :
Exercice 3: Soient a, b ∈ R. A quelle condition les matrices suivantes sont-elles diagonalisables :
A =
3− a a− 5 a−a a− 2 a5 −5 −2
B =
1 1 0 00 a b 00 b a 00 0 1 1
.
Exercice 4: Soient a, b, c ∈ R. A quelle condition sur a, b et c la matrice suivante est-elle diagonalisable :
M =
a 0 0 0 b0 a 1 b 00 0 c 0 00 b 1 a 0b 0 0 0 a
.
Exercice 5: Soient a, b ∈ R. Réduire la matrice :
A =
a2 ab ab b2
ab a2 b2 abab b2 a2 abb2 ab ab a2
.
Puissance nième d’une matrice diagonalisable :
Exercice 6: Soit f un endomorphisme de R3 de matrice
A =
2 −2 −2−2 2 −2−2 2 −2
.
1: Montrer que A est diagonalisable.2: Donner une base B de diagonalisation de A.3: Déterminer la matrice de passage de la base canonique de R3 vers la base B.4: Déterminer la matrice D de f dans la base B.5: Vérifier que D = P−1AP .6: Calculer An où n ∈ N.Exercice 7: Soit la matrice A ∈M5(R) telle que ∀i, j ∈ J1, 5K, aij = 1 + δij .1: Montrer que A est diagonalisable.2: Calculer An où n ∈ N.
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Exercice 8: Calculer la puissance n-ième de la matrice A =
−9 −2 88 5 −4−14 −2 13
.
Exercice 9: Calculer la puissance n-ième de la matrice A =
1 4 −20 6 −3−1 4 0
.
Exercice 10: Soit la matrice A :=
−9 6 −7−3 4 −48 −5 6
.
1: Calculer A50.2: Déterminer le polynôme minimal πA de A.3: Construire une procédure d’argument n qui retourne le reste de la division euclidienne de Xn par πA.4: Construire une procédure d’argument n qui retourne la matrice An. Comparer avec le résultat de la première question.Exercice 11: Donner une CNS pour sur a, b et c pour que la matrice A soit diagonalisable. Dans ce cas calculer An.
A =
a− b− c 2a 2a2b b− a− c 2b2c 2c c− a− b
Divers :
Exercice 12: Commutant et raçines d’une matrice diagonalisable :Soit la matrice
A =
1 1 1 3 −13 −5 −6 0 3−3 6 7 0 −3−1 2 2 5 −13 −7 −7 −3 5
1: Montrer que A est diagonalisable.2: Déterminer le commutant de A.3: Résoudre l’équation X2 = A.Exercice 13: Méthode de LeverrierLa méthode permet de calculer le polynôme caractéristique d’une matrice carrée A d’ordre n ∈ N∗.Soit les suites αp et (Ap) définies par A1 = A et ∀p ≥ 1, αp = 1
p tr Ap et Ap+1 = (Ap − αpIn)A.
On démontre que An+1 = 0 et χA = Xn −n∑
p=1
αpXn−p.
Programmer cette méthode et comparer avec les résultats obtenus à l’aide de Maple.
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