VI) Évolution temporelle des systèmes quantiques.

1) Equation de SchrödingerL’évolution temporelle d’une fonction d’onde est décrite par l’équation de Schrödinger dépendant du temps :

ttxitx

),(),( H

Nous savons que l’hamiltonien, H(x), admet des fonctions propres indépendantes du temps :

)()( xEx HEn supposant que l’on puisse écrire on aura )()(),( txtx

)()()()()()()()( txEttxi

ttxitx

H

)()( tEtti

D’où

Et donc )exp()( iEtt

Donc si (x) est une fonction propre de l’opérateur hamiltonien, pour l’énergie E, son évolution temporelle sera

)exp()(),(iEt

xtx

Notons que :

22)()exp()()exp()(*),( x

iEtx

iEtxtx

La densité de probabilité ne dépend pas du temps, on a un état stationnaire.

Des exemples de dynamique :http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/fr/step.html

Evolution d’une fonction d’onde quelconque :

Soit 1 et 2 sont deux fonctions propres orthonormées de l’opérateur énergie, pour les valeurs propres E1 et E2

Soit

On a alors

210)( bat

21

21

)( tE

itE

ibeaet

Notons que la probabilité de mesurer le système dans chacun des états est constante au cours du temps :

csteaaetE

i

2

21

cstebbetE

i

2

22

)()())(

cos(2)()(),(

)()()()()()(),(

21122

222

122

12

)(

21

)(2

222

122

2112

xxtEE

abxbxatx

xxebaxxeabxbxatxtEE

itEE

i

Supposons pour alléger le calcul, que a et b sont des coefficients réels et que 1 et 2 sont des fonctions réelles. On a alors pour la densité de probabilité:

Cette fonction dépend du temps. Il y a oscillation temporelle de la densité de probabilité, qui retrouve périodiquement la même forme avec une fréquence, f , égale à

2

)( 12 EEf

Illustrations (avec coeffs et fonctions complexes):http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/fr/superposition.htmlhttp://www.quantum-physics.polytechnique.fr/fr/nh3.html

Résumé !Visualisation d’états propres dans différents puits :

Applet états liés

1- Puit fini rectangulaire.- Notez que le nombre d’états liés augmente lorsque le puit s’élargit ou lorsque la masse augmente. Leur écartement augmente lorsque l’énergie augmente.- clic sur « densité de proba » : notez que le nombre de nœuds augmente avec l’énergie. Notez que la probablité de présence « dans le mur » n’est pas nulle et qu’elle augmente lorsque la hauteur du puit diminue ou lorsque l’on monte en énergie (dans les deux cas, lorsque l’on s’approche du haut du puit !).-clic sur « wave function » puis « real part » et « imaginary part » : notez la succession de fonctions paires et impaires. NotezQue la partie imaginaire est nulle à t=0 pour toutes les fonctions. -clic sur la flèche en bas pour faire défiler le temps : les fonctions d’ondes à t=0 sont multipliées par le terme exp(-iE 2t/h) etleur parties réelles et imaginaires évoluent. -clic sur « magnitude (=module) » : notez que le module (et donc la densité de probabilité) ne dépend pas du temps.-Clic sur « superposition of states », donnez un coeff 1aux trois premiers états, clic « normalize » : notez la normalisation automatique, clic sur « apply » et « close ». Notez que ce nouvel état n’est pas un état stationnaire carson module (et sa densité de proba) évoluent dans le temps.

2- Double puit fini rectangulaire.-Notez la levée de dégénérescence des niveaux lorsque l’écart entre les puits diminue.-Clic sur « wave function » et « magnitude » : notez que les fonctions d’ondes de chaque puit ne se recouvrent pas lorsque les puits sont séparés et que la levée de dégénérescence augmente avec le recouvrement des fonctions lorsque les puits se rapprochent.-A puits proches, regardez la forme des deux fonctions de plus basse énergie (partie réelle), quasiment dégénérées. En en faisant la combinaison, on peut quasiment « localiser » la particule dans un puit. Lancer ensuite l’évolution temporelle et admirer un modèle de l’inversion de l’ammoniac !

3- n puits finis rectangulaires : structure de bande.Les atomes d’un solides forment un système à n puits, la levée de dégénérescence des états est à l’origine de la formation des« bandes » énergétiques. Notez la délocalisation des fonctions d’ondes sur l’ensemble du solide (conduction).

Résumé !Visualisation d’états propres dans des potentiels ouverts :

Applet marches

1- Onde plane et marche de potentiel.- Notez que l’onde plane a une énergie bien définie et suivez son évolution temporelle à potentiel constant. Notez le coeff de transmission=1- Lorsque la marche augmente (glissez la partie droite du potentiel vers le haut), il se crée une onde réfléchie et l’onde transmise voit sa longueur d’onde augmenter (donc son énergie diminue ! Normal puisque l’énergie potentielle augmenteDans cette région et qu’il faut conserver l’énergie !). Notez la variation des coefficients de transmission et de réflection.Notez que pour une onde plane, la densité de probabilité est constante (cas particulier de non normalisation !).-Lorsque le potentiel est supérieur à l’énergie de l’onde, la transmission est nulle mais il a une « onde évanescente » à l’intérieur de la marche qui est de plus en plus faible lorsque le potentiel augmente par rapport à l’énergie de l’onde.

2- Paquet d’ondes et marche de potentiel.- Notez que le paquet d’ondes qui est une superposition d’ondes planes n’a pas une énergie bien définie. Plus le paquet d’onde est localisé (clic « initial width ») plus il faut d’ondes planes superposées pour le décrire et plus son énergie est indéfinie. LePaquet d’onde évolue sans déformation.-Notez le paquet d’onde réfléchi lorsque le potentiel à droite augmente, et la reflection totale lorsque le potentiel est supérieurÀ « l ‘énergie » du paquet d’ondes. Notez l’onde evanescente.

3- Onde plane et mur de potentiel.- Notez que l’onde évanescente augmente lorsque le haut de la barrière est proche de l’énergie de l’onde. Notez l’onde transmise lorsque l’onde a une énergie supérieure à la barrière.- Notez l’effet tunnel lorsque la largeur du mur est inférieur à l’extension spatiale de l’onde évanescente.

4- Paquet d’ondes et mur de potentiel.- Mêmes remarques qu’en 3.