UVSQ - Master Mcanique - M1ME113 Examen - 07/09/05Vibration des Systmes ContinusSans document - Dure conseille : une heureExercice 1Vibrations de exion dune tigeOn sintresse aux mouvements de vibration de exion dune tige exibleABencastre son extrmitAsupportant une masse son autre extrmit B. On souhaite obtenir une approximation de la frquence fonda-mentale de la structure par diffrentes approches.On ne sintresse quaux mouvements dans le plan (x, y). La tige a une longueurL et elle est modlisepar une poutre de Bernoulli. Les sections de la tige ont une surfaceS et une inertie quadratique autour deznote I. Le module de dYoung du matriau de la tige est E et est sa masse volumique. La masse place enB est not M.Dans ce mouvement de vibration, on note v(x, t) le dplacement transversal (direction y) dune section dela tige situe labscisse x (lorigine des abscisses tant prise en A). Les effets de pesanteur sont ngligs.xyBA1. Premire approche : dans un premier temps, on cherche une approximation par analogie avec un sys-tmeundgrdelibertquivalent.Onconsidrequelesystmeestmajoritairemententrainenmouvement par la masse M.(a) Quelle variable de dplacement utiliser pour lquivalence?(b) Donner lexpression de la raideur quivalente du systme 1ddl.(c) On considre que la masse de la tige est faible devant M. Dnir la masse quivalente.(d) En dduire une approximation de la frquence fondamentale du systme.(e) Donner une nouvelle approximation en dnissant, par une quivalence nergtique, une massequivalente qui tienne compte de la masse de la tige. On utilisera pour cela la forme de la tige laplus simple qui soit compatible avec les conditions aux limites : V (x) = x2.2. Deuxime approche : On cherche maintenant une approximation de cette frquence en utilisant la m-thode du quotient de Rayleigh.(a) Donner lexpression de lnergie cintique du systme pendant le mouvement.(b) Donner lexpression de lnergie potentielle du systme pendant le mouvement.(c) Donner lexpression du quotient de Rayleigh dune forme spatiale testV (x) pour une telle mod-lisation.Rappelerloriginedestermesdecequotient.Prciserleshypothsessurlaformetest.Expliquer comment ce quotient peut donner une approximation de la frquence fondamentale.(d) On prend comme forme test la fonction x2. Construire lapproximation de la frquence fondamentale.(e) Donner une nouvelle approximation plus mcanique en considrant que le systme est principale-ment entrain par la translation de la masse M.(f) Sans faire de calcul, expliquer comment construire une approximation par cette mthode lorsquonconsidre que le systme est majoritairement entrain par la masse rpartie de la tige.Formulaire : dforme dune poutre AB de longueur L, encastre en A et soumise un effort Fen Bv(x) =FEI(Lx22x36 ), 0 x LUVSQ - Master Mcanique - M1ME113 Examen - 07/09/05Elments de correction1. Premire approche :(a) La variable de dplacement est : ueq = v(L)(b) k =Fueq k =3EIL3(avec la solution RdM donne).(c) meq = M(d) fapp =12

keqmeq=12

3EIML3(e) quivalence en nergie cintique (lorsque v(x, t) = ueq(t)(x) ) :12meq u2eq =12

L0S v2(x, t)dx + 12M v2(L, t) =12

L0S2(x)dx +M

u2eqLa forme la plus simple utilisable estV (x) =x2soit(x) = (xL)2. Doncmeq=15SL + M. Ce quidonne pour lapproximation :fapp =12

15EI(SL + 5M)L32. Deuxime approche :(a) Energie cintique du systme pendant le mouvement :Ec(t) =12

L0S v2(x, t)dx + 12M v2(L, t)(b) Energie potentielle du systme pendant le mouvement :Ep(t) =12

L0EIv2(x, t)dx(c) Quotient de Rayleigh de V (x) admissible :R(V ) =

L0EIV2(x)dx

L0SV2(x)dx +MV2(L)(d) V (x) = x2:R(V ) =20EISL4+ 5ML3 fapp =12

20EI(SL + 5M)L3(e) En prenant la forme provenant de laction dun effort tranchant Fau centre :V (x) = (Lx22x36 )on obtient :R(V ) =EIL3311420SL7+ML69 fapp =12

420EI(33SL + 140M)L3(f) Onprendrait pourformetest laformequeprendunepoutredelongueurLsouslactiondunerpartition uniforme defforts tranchants.