Vibration des systèmes á un seul degré de liberté libres non amortis

Recueil d’exercices de physique 3

Editions Al-Djazair

Docteur Ammar HADDAD Professeur d’université

Vibration des systèmes à

un seul degré de liberté

libres non amortis

Docteur Ammar HADDAD Professeur d’université

Vibration des systèmes à

un seul degré de liberté

libres non amortis

Recueil d’exercices de physique 3

Editions Al-Djazair

Vibration des systèmes à un seul degré de liberté libres non amortis

Dr Ammar HADDAD 2

VIBRATION D’UN SYSTEME A UN SEUL DEGREDE LIBERTE

SYSTEME MASSE RESSORT SANS FROTTEMENT

SYSTEME MASSE – RESSOTR (m, k):

I.METHODE DYNAMIQUE:

Le système est constitué d’un ressort indéformable, parfaitement élastique, sans masse, de constante de raideur k (N/m) et une masse m(kg). Il n y a pas de frottement.

1-ETUDE STATIQUE

A l’équilibre, la somme des forces s’exerçant sur un système est nulle.

0

Tgm

Où :

T

est La force de rappel d’un ressort proportionnelle à l’allongement du ressort, m la masse

et g

l’accélération de la pesanteur

En projection sur l’axe Ox orienté positivement vers le bas on obtient :

0

0 0x

mgkkxmg

Avec: 0kxT

k est la constante de raideur qui s’exprime en N m-1 et x0 est l’allongement.

Remarque : On peut déterminer la raideur k du ressort à partir de la mesure de l’allongement

x0 créé en statique par l’action d’une masse m.

mgP

mgP

T

T

x

x0

x0+x


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2-ETUDE EN DYNAMIQUE

On écarte masse de sa position d’équilibre par une intervention extérieure.

On note x l’allongement par rapport à la position d’équilibre.

L’allongement total est donc x0 + x

D’après le principe fondamental de la dynamique, nous avons :

mTgmmF

Où :

est l’accélération

En projection sur l’axe Ox :

2

0

2

0

)()(

dt

xxdmxxkmg

2

2

0dt

xdmkxkxmg car x0 est une constante

Comme 2

2

0 0dt

xdmkxkxmg

D’où l’équation différentielle :

02

2

xm

k

dt

xd

Le fonctionnement du système est une équation différentielle du Second ordre linéaire à

coefficients constants. Elle est identique à celle d’un circuit LC.

3-SOLUTION DE L’EQUATION DIFFERENTIELLE

1°/ SOLUTION

On sait que pour un système sans frottement, le ressort écarté de sa position d’équilibre va

osciller indéfiniment de façon sinusoïdale.

La solution de l’équation différentielle du second ordre sans frottement est sinusoïdale :

)cos()( 0 tAtx

A et sont des constantes déterminées par les conditions initiales


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2°/ PULSATION PROPRE

m

k0

0 est la pulsation propre des oscillations libres (naturelles) du système non amorti (en rad.s-

1.

La fréquence propre (en Hz) est :

2

0

0 f

La période propre (en s) est : 00

0

21

fT

Remarque :

On a vu au cas statique que :

0

0 0x

g

m

kkxmg donc

0

0x

g

m

k

Si on ne connaît pas la masse suspendue et la raideur du ressort, on peut déterminer la

pulsation propre à partir de la mesure de l’allongement en statique.

II. METHDE DELAGRANGE:

Le lagrangien est défini par :

UTL

Où :

T est l’énergie cinétique et U est l’énergie potentielle.

L’énergie cinétique de ce système est :

2

2

2

1

2

1xm

dt

dxmT

Et l’énergie potentielle se réduit à 2

2

1kxU qui représente l’énergie potentielle du ressort.

Donc le lagrangien s’écrit :

22

2

1

2

1kxxmL

Remarque :

On voit que le lagrangien est fonction d’une seule variable dynamique (un seul degré de

liberté).

Pour ce cas, l’équation de Lagrange s’écrit :


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0

x

L

x

L

dt

d

Comme xmx

L

dt

dxm

x

L

et kx

x

L

alors :

00 02

2

xxxm

k

dt

xd est l’équation différentielle du mouvement de la masse m

Avec :

m

k0


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Exercice 1 :

Le rapport m

k d’un système masse-ressort est égal à 4. Si la masse est écartée de sa

position d’équilibre de 4 cm et relâchée avec une vitesse de -4 cm/s déterminer l’expression x

en fonction de t.

Exercice 2 :

Déterminer la fréquence des oscillations du système ci-dessous. J est le moment

d’inertie de la poulie par rapport à l’axe de rotation passant par o.

Exercice 3 :

Une masse de 0,453 kg attachée à un ressort allonge celui-ci de 7.787mm. Déterminer

la fréquence des oscillations du système.

x

k

m o

m

J

o k


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Exercice 4 :

Déterminer la période des oscillations du système ci-dessous. Le cylindre roule sans

glisser.

Exercice 5 :

Déterminer la fréquence des oscillations du système suivant :

Exercice 6 :

Un pendule simple de longueur L et de masse M est fixé à une extrémité fixe.

1- Ecrire le Lagrangien du système.

2- Déduire l’équation du mouvement de la masse

3-Trouver la fréquence des oscillations du système.

m, J

G

k

r

k

k

m

y

o

o

θ

h


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Exercice 7 :

Soit le système mécanique suivant :

1- Ecrire le Lagrangien du système.

2- Déduire l’équation du mouvement de la masse

3-Trouver la fréquence des oscillations du système.

Exercice 8 :

Déterminer la fréquence des oscillations du système suivant :

Le cylindre roule sans glisser sur un plan horizontal.

Exercice 9:

1)-Déterminer la constant de raideur équivalente des systèmes suivants :

2)-Donner les circuits électriques équivalents.

k1 2k

k4 m

3k (a)

k2 k3 m

(b)

k1

k

m o

x

m,J k k

G

o


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Exercice 10:

a) - déterminer l’équation du mouvement des petites oscillations d’un pendule simple

de masse m et de longueur l.

b) - trouver l’élongation angulaire du pendule pour les conditions initiales :

rad12

et 0 à t=0.

Exercice 11:

Calculer la pulsation des petites oscillations d’un cylindre de poids P, de section S qui

flotte dans un liquide de densité .

Exercice 12:

Calculer la période des petites oscillations d’un demi disque homogène de rayon r, de masse

m, suspendue au centre de son cercle. Le centre de gravité G se trouve à une distance de 3

4r

du point o.

o

m

h

G

r o


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Exercice 13 :

On considère une boule de masse m fixée à une corde comme montrée sur la figure ci-

dessous. On l’écarte légèrement de sa position d’équilibre. Calculer la période des petites

oscillations transversales de m si on suppose que la corde exerce une tension constante T.

Exercice 14 :

Une boule de masse m est suspendue à une barre OB=l de masse négligeable, au point

A(Am= l1) est fixé un ressort de constante de raideur k. Calculer la pulsation du

mouvement.

Exercice 15 :

Etudier le mouvement des faibles oscillations d’un cylindre plein de masse m et de

rayon r qui roule sans frottement sur un plan horizontal et fixé à son axe à un ressort de

constante de raideur k dont l’autre extrémité est fixée au point A.

T T x

(l-a) a

o

k

A

B


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Exercice 16:

Une masse m est fixée à l’extrémité d’une barre de masse négligeable qui repose en o

(Ao= l3

2) dont l’autre extrémité est fixée à un ressort de constante de raideur k ( loB

3

1 ).

Calculer la période des faibles oscillations de m autour de sa position d’équilibre.

Exercice 17 :

Une masse m sur un plan incliné est fixée à un ressort de constante de raideur k.

Etudier le mouvement de la masse si on l’écarte légèrement de sa position d’équilibre.

k

A o

m

▲

A B o

m

k

k m


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Exercice 18:

Calculer la période des faibles oscillations d’une tige mince homogène de masse m, de

longueur l fixée au centre A à deux ressorts de constante de raideur k1 et k2.

Exercice 19 :

Un cylindre plein de masse m et de rayon r est fixé en o1 et o2 à deux fils de torsions c1

et c2 dont les autres extrémités sont fixées en A et B .

-Calculer la période des petites oscillations de m1.

-Calculer la période si on remplace le cylindre par une sphère de même rayon et de masse m2.

Etablir la relation entre m1 et m2 pour que les deux systèmes oscillent avec la première

période.

o

A

2

l

k1 k2

c1

c2

m1

A

B


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Exercice 20 :

Déterminer la fréquence des oscillations du système montré sur la figure suivante :

Exercice 21:

Un cylindre de masse m et de rayon r roule sans glisser sur une surface cylindrique de

rayon R. Déterminer l’équation différentielle du mouvement pour des petites oscillations

autour du point le plus bas.

Exercice 22:

k

m2

▲ r2

r1

J

r

R


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Une masse m inconnue attachée à l’extrémité d’un ressort de constante de raideur k

inconnue a une fréquence égale à 94Hz. Quand une masse de 0,453kg est ajoutée à m,la

fréquence de vibration est égale 736,7Hz. Déterminer m et k.

Exercice 23 :

Une masse m1 repose sur un ressort de constante de raideur k. Une masse m2 située à

une hauteur h au –dessus de m1 tombe sur m1 et colle dessus. On supposera que les masses ne

se déplaceront que suivant la direction verticale. Déterminer l’équation donnant la position

de m1 en fonction du temps par rapport à sa position d’équilibre.

Exercice 24:

Une barre homogène de masse M et de longueur oB=L pivote autour de o. L’extrémité

B est accroché à un ressort de constante de raideur k. Déterminer la période des petites

oscillations du système.

h x

k

m1

m2

o

o

B

k


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Exercice 25:

Déterminer la pulsation des vibrations du système suivant :

▲ r

m

M

k

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Autres titres du même auteur: Optique Physique Optique géométrique Vibration des systèmes à un N degrè de liberté Vibration des systèmes à un seul degrès de liberté amortis forcé

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