Vibrations - Laboratoire Interdisciplinaire de Physique · du volume de fluide déplacé ». 5.* Soit un pendule simple constitué une masse ponctuelle m suspendue à un fil inextensible

UE PHY303 Vibrations et Ondes DLST – Université Grenoble Alpes

1

Travaux Dirigés : Vibrations

1.* Soit un oscillateur mécanique non amorti. Sa pulsation est srad /1 . L’équation

différentielle régissant le déplacement de son centre de gravité

x t( ) est donc 2 0x x .

a) Quelle est la caractéristique du mouvement d’un oscillateur non amorti ?

b) Donner la forme générale de la solution de l’équation différentielle ci-dessus.

c) Quels sont les paramètres qui vont décrire le mouvement de cette oscillateur (tracer

une sinusoïde pour vous aidez) ?

d) Expliciter

x t( ) dans les cas suivants :

1) A t=0, l’amplitude vaut 2 cm et la vitesse est nulle.

2)

x 0( ) = -1cm et scmx /10 .

3)

x t1( ) = x1 et 11 vtx .

Relations utiles pour cet exercice : cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) et

sin(a+b)=cos(b)sin(a)+cos(a)sin(b)

2.* Soient deux signaux sinusoïdaux, représentant par exemple l’intensité et la tension aux

bornes d’un dipôle dans un circuit électrique :

tII cos0 et tUU cos0 avec un déphasage 4

.

a) Tracer les deux signaux sur un diagramme en temps, sur deux périodes.

3.* Soit un oscillateur mécanique constitué d’un ressort horizontal de constante de raideur k, au

bout duquel est accrochée une masse m. Cette masse repose sur un table à coussin d’air qui

permet d’avoir un mouvement sans frottement. A l’équilibre, le centre de gravité de la masse

est en X=0. On écarte la masse de cette position d’équilibre jusqu’à une distance X=d0=+1cm.

Puis on la lâche à l’instant t=0 sans vitesse.

1. Donner un bilan des forces appliquées sur le centre de gravité dans la direction

horizontale 𝑢𝑥

2. Montrer que le mouvement du centre gravité est décrit par l’équation:

d2X(t)

dt2= -ω0

2X(t)

3. La masse oscille avec une période de 0.25s (1/4s). Déterminer la masse m sachant que

la constante de raideur du ressort vaut 𝑘 = 32𝜋2N.m-1

.

4. En utilisant les conditions initiales, décrivez le mouvement du centre de gravité.


2

4.** Un cylindre de masse volumique , de rayon r et de hauteur h flotte à la surface d’un

liquide de masse volumique ’. Les conditions sont telles que le cylindre ne bascule pas et garde

sa face circulaire inférieure horizontale. On ne prend en compte ni la pression de l’air ni les

frottements. A l’instant t=0, on enfonce le cylindre dans le fluide (hauteur totale immergée d0)

et on le lâche sans vitesse initiale.

1) Faire un schéma décrivant le problème. On notera : G le centre de masse du cylindre, xi

la hauteur immergée du cylindre, et X la distance entre le centre de gravité G et la

surface de l’eau. On prendra un repère cartésien dont l’axe vertical O x est orienté vers

le bas et dont l’origine est situé à la surface de l’eau.

2) Définir le centre de gravité de l’objet.

3) Déterminer l’ensemble des forces qui s’exercent sur le cylindre.

4) Déterminer la hauteur immergée xeq à l’équilibre, en déduire la position Xeq du centre

de gravité à l’équilibre.

5) Décrire le mouvement du centre de gravité et déterminer l’équation différentielle

correspondante pour x0 <h (cylindre pas complètement immergé). Un changement de

variable est nécessaire afin d’obtenir une équation différentielle portant sur une

grandeur D dont l’origine correspond à la position d’équilibre du centre gravité.

6) Donner la solution de cette équation différentielle.

7) En déduire la pulsation et la période T des oscillations du cylindre autour de sa

position d’équilibre.

8) Calculer pour un cylindre de glace dans l’eau (h=1m, r=1m, =0.7 103 kg.m

-3,

’=103 kg.m

-3, g=10 m.s

-2).

9) Que se passe-t-il pour un cylindre de mêmes dimensions en cuivre (=8.92 103 kg.m

-3) ?

Notions utiles pour cet exercice : Principe fondamentale de la dynamique, Principe

d’Archimède : « Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou

traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids

du volume de fluide déplacé ».

5.* Soit un pendule simple constitué une masse ponctuelle m suspendue à un fil inextensible de

longueur l. On néglige toutes les sources de frottements. On note M le centre de gravité de la

masse et O le point de fixation du fil. On repère la position du centre de gravité de la masse par

l'angle θ entre la verticale et la direction du fil. On écarte le centre de gravité de la masse d’un

angle θ0 et on la lâche sans vitesse. On limite l’étude à des angles θ petits (θ<<1).

1. Quel système de coordonnées utilise-t-on pour étudier ce système ? Faire un bilan des

forces appliqué sur M dans ce système de coordonnées.

2. En utilisant les conditions initiales et le théorème de l’énergie mécanique, décrivez le

mouvement du centre de gravité de la masse.

3. En utilisant les conditions initiales et le théorème du moment cinétique, décrivez le



3

Notions utiles pour cet exercice : Théorème de l’énergie cinétique, Théorème du moment

cinétique.

6.** Un enfant de masse m se tient debout ou assis sur une balançoire en mouvement. On note

O le point de fixation de la balançoire et M le centre de gravité de l’enfant. On repère la

position du centre de gravité Mi par l'angle θ entre la verticale et la balançoire. On note hD la

distance entre O et la position du centre de gravité de l’enfant débout, et hC la distance entre O

et la position du centre de gravité de l’enfant assis.

Position du centre de gravité quand

l’enfant est debout


l’enfant est assis

La position du centre de gravité de l’enfant est repérée par des points A, B, C, D et E au cours

du mouvement de balancier sur un aller. Pour prendre de la vitesse, l’enfant s’accroupit très

rapidement (θ=constante pendant cette action) lorsque que la balançoire est dans la position

arrière la plus élevée, le centre de gravité (enfant + siège de la balançoire) passe alors du point

A au point B. Puis on a un mouvement de balancier jusqu’à la verticale du point de fixation O,

le centre de gravité passe alors du point B au point C. A ce moment-là, l’enfant se relève très

rapidement (θ=constante pendant cette action=0), le centre de gravité passe alors du point C au

point D. Puis on a un mouvement de balancier jusqu’à la position avant la plus élevée, le centre

de gravité passe alors du point D au point E. L’enfant attend d’être à nouveau dans la position

arrière c’est-à-dire au point A pour recommencer, ainsi de suite…

On considère qu’il passe de A en B et de C en D en un temps très bref comparativement à la

période globale d’oscillation de la balançoire (θ=constante pendant cette action). On note

respectivement A et E les angles que fait la balançoire aux positions A et E. On note

respectivement La et Ld la distance entre le centre de gravité de gravité de l’enfant lorsque il est

assis et debout. On veut étudier le mouvement de cet oscillateur, pour cela :

1) Dessiner le mouvement du centre de gravité de l’enfant sur une figure.

2) Quelle est la vitesse du centre de gravité en A et B ?

3) A l’aide du théorème du moment cinétique, déterminer la relation entre les vitesses

de la balançoire en C et D.

4) A l’aide du théorème de l’énergie mécanique entre les points B et C, exprimer la

vitesse CV en C en fonction de l’angle A que fait la balançoire en B.

5) Déterminer à l’aide du théorème de l’énergie mécanique la relation entre la vitesse

DV en D en fonction de l’angle E que fait la balançoire en E.

6) Déduire des questions 3), 4) et 5) une relation entre les angles A et E .

Mdebout θ

Massis θ

hD

hC

O O


2

7) Comparer le mouvement de la balançoire avec celui du pendule simple de l’exercice

5. Quelle est la particularité de cet oscillateur, expliquer physiquement.

8) Quelle est l’angle que fait la balançoire au bout de 5 allers-retours sachant que

l’angle initial est de 20 et hC=2,8m et hD=2,3m ?

Notions utiles pour cet exercice : Théorème de l’énergie cinétique, Théorème du moment

cinétique, la relation trigonométrique : 1-cos(x)=2sin(x/2)2

7.* Oscillateur amorti :

Soit un cube de masse m situé au point M, suspendu à l’extrémité d’un ressort de rigidité k lui-

même fixé au point P, et plongé dans un liquide de coefficient de frottement visqueux f. On

note x0 la position du ressort en l’absence de la masse. On note m’ la masse du liquide déplacé

lors de l’immersion du cube. On néglige la pression (force) exercée par l’eau au-dessus du cube

immergé (faible immersion). Les conditions initiales du mouvement sont : 00 tx et

00 vtdt

dx

1) Faire le bilan des forces qui s’exercent sur la masse m lorsqu’elle est en mouvement. On

note m’ la masse du volume de liquide déplacée par le cube immergé.

2) Déterminer l’équation du mouvement de la masse m (on prendra par exemple le point P

comme origine des coordonnées en orientant l’axe Ox suivant la verticale vers le bas)

3) Donner la position d’équilibre xequ.

4) Réécrire l’équation du mouvement en termes de la variable X(t) mesurant l’écart de la

masse à sa position d’équilibre suivant la verticale.

5) Donner la pulsation propre du système (faire l’analogie avec un oscillateur non

amorti).

6) Les solutions X(t) sont reliées aux solutions possibles de l’équation caractéristique :

02 2

0

2 rr . Déterminer les expressions de et 2

0 en fonction de m, k et f.

7) Donner la solution générale de X(t) dans le cas : kmf 4 En utilisant les conditions

initiales, exprimer la solutions X(t). Dessiner leur allure de X(t).

8) Même question que la question 7) dans le cas : kmf 4

9) Même question que la question 7) dans le cas : kmf 4 .

Notions utiles pour cet exercice : Principe fondamental de la dynamique, solution d’une

équation différentielle du second ordre sans second membre, notation complexe de fonction

trigonométrique.

k

m M

P

𝑢𝑥 x

𝑢𝑦

x


3

8.* Oscillations forcées :

Un appareil fragile de masse m repose sur un socle horizontal au moyen de quatre ressorts de

raideur K/4. Ce socle est soumis à des vibrations verticales sinusoïdales tdtD sin0 de

pulsation et d’amplitude d0. On note z le déplacement vertical de l’appareil par rapport à sa

position d’équilibre zeq et f le coefficient de frottement. On note z0 la position des ressort en

l’absence de la masse m. On note G le centre de gravité de la masse m. On note

�� le vecteur unitaire vertical orienté vers le haut.

1. Déterminer la constante de raideur k du ressort équivalent aux 4 ressorts.

2. Donner l’expression de la force 𝐹𝑒𝑥𝑡 qu’il faut exercer sur le ressort équivalent pour le

déformer (variation de longueur) de D(t).

3. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur le centre de gravité G de la masse m lorsqu’elle

est en mouvement.

4. Etablir l’équation différentielle du mouvement de l’appareil tz en présence de la

vibration du socle tD .

5. Déterminer la position d’équilibre Zeq du système en l’absence de vibrations verticales.

6. Réécrire l’équation différentielle du mouvement en fonction de la variable Z’=z-zeq et la

simplifier en posant m

K0 et

m

f

2 .

7. Déterminer la solution particulière (régime permanent) de cette équation en cherchant

l’amplitude de l’oscillation tZ ' de l’appareil sous la forme complexe : 𝑍′(𝑡) =

𝑍0𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝜑), on a alors 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) = 𝑒𝑖(𝜔𝑡−

𝜋

2). Déterminer 𝑍0 𝑒𝑡 𝜑.

8. Calculer le rapport R=Z0/d0 caractérisant la réponse du système, en l’exprimant en fonction

de la variable x=𝜔/𝜔0 et du paramètre Q=𝜔0/2α sous la forme : 𝑅(𝑥) =1

√(1−𝑥2)2+(𝑥

𝑄)2

9. Montrer que R(x) présente un maximum pour 𝜔 proche de 𝜔0 lorsque le système est

faiblement amorti (Q >>1). Donner l’allure de R(x).

10. Montrer que R(x) décroît continument pour 𝑄 ≲ 1

√2. Donner l’allure de R(x).

11. En supposant que10

0 , trouver la condition sur K et ω pour que R(x)<<1.

D

Y

z m

k/4

��


4

Travaux Dirigés : Ondes

Propagation le long d'une corde

(Représentation spatiale/temporelle, relation longueur d'onde/célérité/période)

On dispose d’un système créant des ondes qui se propagent le long d’une corde tendue. On émet d’abord

une seule perturbation, qui se propage. La corde est représentée dans 2 états séparés de 2 secondes (t=0s

et t=2s).

1. Représentez-la aux instants t=4; 6; 8 et 10s.

2. Quelle est la vitesse de propagation de l’onde ?

3. Représentez l’élévation yB du point B au cours du temps.

4. Sur le même graphique, représentez l’élévation du point A au cours du temps.

5. On se rend compte que la forme de yB est la même que celle de yA, décalée dans le temps. Quel

est ce déphasage ? Donner le résultat sous la forme : yB (t) = yA (t-Δt).

6. D’une manière générale, donner la relation qui existe entre l'élévation de 2 points C et D aux

abscisses xC et xD.

Le générateur est mis en mode répétition : à chaque fois que l'extrémité gauche (coté générateur) de la

corde revient à 0, une nouvelle impulsion est donnée.

7. Tracer la forme spatiale de la corde à un temps quelconque.

8. Quelle est la longueur d’onde de la perturbation ?

9. Tracer l’élévation d’un point quelconque au cours du temps.

10. Quelle est sa fréquence ?

11. En notant que 2 points séparés d’une longueur d’onde vibrent toujours en phase dans le temps,

donner la relation entre Δt et la période τ dans ce cas. En déduire la relation qui relie la célérité

de l'onde v, la période τ et la longueur d'onde λ.

Réflexion

(Somme de signaux, conditions de réflexion)

2 perturbations opposées se propagent le long d’une corde à la même vitesse, comme sur le schéma

suivant. Dans ce cas, l’état de la corde est donné par la somme des 2 perturbations.


2

1. Tracez la forme de la corde aux différents instants.

2. Que se passe-t-il au point M, situé au milieu de la corde ?

Ce cas de figure est identique à une réflexion. Quand une perturbation rencontre un bord, elle repart en

sens inverse. Si on fixe le point M, la perturbation va repartir en sens inverse. Comme le point M est

statique, l’onde réfléchie est inversée, on parle de cas fermé. Une réflexion ouverte est également possible

: dans ce cas le point M est libre de bouger.

1. Représentez comment se passe la réflexion dans le cas fermé.

2. Représentez comment se passe la réflexion dans le cas libre.

* Relation entre l’énergie transportée par une onde et son amplitude

(Énergie transportée, amplitude d’une onde)

Une corde subit une vibration transverse, comme montré sur la figure ci-dessous. Cette déformation se

propage le long de la corde à une vitesse constante V vers les x positifs. Nous nous plaçons toujours dans

le cas où il y a propagation de la déformation (donc d’énergie) sans perte d’énergie. On se propose de

calculer l’énergie propagée dans le cas de cette déformation. Pour ce faire, on calcule le travail en un

point C (voir graphe ci-dessous). Au cours du temps ce point C monte à une hauteur L puis il redescend.

On rappelle que ce mouvement est engendré par la tension du fil que l’on note T0.

L

x

y

C

�� = 𝑉𝑢𝑥


3

1. Donner l’expression du travail de la tension du fil pendant un temps dt, c’est-à-dire pour un

déplacement dy. On peut décomposer le mouvement en deux phases, une phase ou le fil monte et une

phase ou le fil redescend. 2. En déduire le travail ou l’énergie transmise à la corde par déformation.

3. Quelle est la relation entre l’énergie transportée par une onde et son amplitude ?

* Période-fréquence-célérité

* Une onde sinusoïdale de déplacement transverse se propage le long d’une corde suffisamment tendue.

Nous savons qu’un point quelconque de la corde passe de son déplacement maximum à son déplacement

nul en 0.2 seconde.

1. Quelle est la fréquence du phénomène et sa période ?

2. Sachant que la longueur d’onde observée expérimentalement est de 0.4m, donner la vitesse de

propagation (célérité) de cette onde.

Une onde mécanique induit un déplacement sinusoïdal suivant Oy et se propage selon les x négatifs a une

fréquence de 600Hz et une célérité de 300m/s . Le déplacement autour de la position moyenne est au

maximum de 2 micromètres (µm) d’amplitude.

3. Donner l’expression de cette onde?

Une onde sinusoïdale, de période 2 10-3

seconde, se propage avec une célérité de 340m/s.

4. Quelle distance sépare deux points déphasés de 30°?

5. Quelle est en un point déterminé de l’espace la différence de phase entre les déplacements (si la

grandeur physique correspond à un déplacement) aux temps t1 et t2 si t2-t1=0.5 10-3

s ?

* Corde tendue et onde stationnaire

(Onde stationnaire et harmoniques)

Soit une corde très tendue entre les deux points fixes A et B. La corde effleure un petit support en C (voir

figure ci-dessous), ce qui empêche son mouvement transverse (AC=3/4AB). On déclenche un phénomène

vibratoire dans la corde.

1. Que valent les amplitudes a(xA,t), a(xB,t) et a(xC,t) au cours du temps ?

2. Rappeler l’expression générale des ondes stationnaires pouvant s’établir sur une corde fixée en ses

deux extrémités ainsi que l’expression de leur longueur d’onde et de leur fréquence. Décrire la forme

de ces ondes par un schéma.

3. En déduire la fréquence sonore la plus basse détectable dans le dispositif considéré ici.

4. Donner la fréquence des premières harmoniques. Vous pourrez raisonner de nouveau en vous aidant

d’un schéma.

5. Application numérique pour : AB=1m, F0tension = 90N, µ=3.2 10-3

kg/m.

A C B


4

*Clarinette


Une clarinette peut être modélisée comme un tube cylindrique, fermé d'un côté et ouvert de l'autre. En

termes de pression, la partie fermée correspond toujours à un ventre, et le côté ouvert à un noeud. La

clarinette "classique" fait 660mm de long.

1. Quelle est la plus grande longueur d'onde accessible avec cet instrument ? Tracer la pression en

fonction de la position à différents temps.

2. Quelle est la fréquence associée à cette longueur d'onde (vitesse du son dans l'air : 340m/s) ?

3. On précise que la note la plus basse pouvant être produite est un ré (2) à 147Hz. Etes-vous

d'accord avec cette affirmation ?

4. Les clarinettes alto sont plus courtes. Les notes les plus basses atteintes par ces clarinettes sont-

elles plus aiguës ou plus graves ?

5. Les instruments différents se distinguent par leurs harmoniques. Donner les fréquences des 3

premières harmoniques associées à la note fondamentale et les représenter sur le graphique.

6. Quelle est la taille maximale d'un instrument à vent pour qu'il reste dans le domaine de l'audible

(f > 20Hz) ?

7.

*Etude d’une onde harmonique

A. Onde progressive

On considère une corde tendue de masse linéique μ=10-3

kg.m-1

, de tension T0=10N et d’une

longueur L = 40cm. La corde est tendue horizontalement (selon la direction 𝑢𝑥 ) La corde est

légèrement écartée de sa position d’équilibre dans la direction verticale (direction 𝑢𝑦 ) et

lâchée à l’instant t=0. On considère des petites perturbations transverses de la corde par

rapport à la longueur de la corde. Dans ces conditions, le mouvement de la corde dans la

direction verticale (𝑢𝑦 ) est décrit par l’équation d’onde suivante : 𝜕2𝑌(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡2 −𝑇0

𝜇

𝜕2𝑌(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥2 =0

1. Donner l’expression de la vitesse de propagation de l’onde.

2. Calculer cette vitesse à l’aide des données numériques.

3. Quel temps faut-il pour qu’une onde progressive se déplace de 10 cm le long de la

corde ?

L’onde harmonique générée à t=0 a pour expression : 𝑌(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) avec A=0.01m

4. Préciser la direction et le sens de propagation de cette onde.

5. Montrer que Y(x,t) est solution de l’équation différentielle donnée ci-dessus. Rappeler

pour cela la relation entre le vecteur d’onde k et la pulsation ω de l’onde.

6. Pour une onde de fréquence f=500Hz, représenter sur un graphique Y(0.04,t) en

fonction du temps, c’est-à-dire au point x=4cm.

7. Pour une onde de fréquence de f=500Hz, représenter sur un graphique Y(x,0.002) en

fonction du x, c’est-à-dire à l’instant t=2ms. Bien préciser l’abscisse du graphique.


5

B. Onde stationnaire

La corde tendue est fixée à chacune de ses extrémités (x=0 et x=L). L’onde harmonique

progressive se réfléchit donc à chacune de ses extrémités.

8. Expliquer pourquoi le coefficient de réflexion en amplitude de l’onde aux extrémités de

la corde est égal à r=-1

9. Ecrire l’expression de l’onde totale Ytotale(x,t) (superposition de l’onde incidente et de

l’onde réfléchie) qui se propage sur cette corde tendue.

10. A l’aide des relations trigonométriques données en annexe, exprimer cette onde totale

à l’aide d’un produit de sinus.

11. Est-ce que Ytotale(x,t) est une onde progressive ? Justifier clairement votre réponse.

12. Est-ce qu’une onde harmonique de fréquence f=500Hz permet de satisfaire les

conditions limites (aux extrémités de la corde tendue) ?

Relations utiles pour cet exercice : sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

Puissance, Intensité sonore

Une fusée explose à une altitude de 400m produisant une intensité sonore au sol de 6.7 10-2

W/m² et ce,

pendant 0.2s. On considère que l’émission sonore se fait de façon isotrope et que la source sonore peut

être considérée comme ponctuelle.

1. Déterminer la puissance totale émise par l’explosion

2. Quelle est l’énergie sonore totale due à cette explosion ?

3. Donner l’expression qui relie l’intensité acoustique I0 à une distance r0 à l’intensité acoustique I(r) à

une distance r.

4. Quelle est la puissance sonore à 10m du point d’explosion ?

Une personne parlant normalement produit un niveau sonore de 40dB à 1m. On rappelle que l’intensité

acoustique de référence est de 10-12

W.m-2

, ce qui correspond à une pression acoustique de référence p0=2

10-5

Pa.

5. Rappeler à quoi correspond cette intensité acoustique de référence. (Comment elle a été choisie ?)

6. Si le niveau d’audition convenable pour une conservation est de 30dB, à quelle distance peut-on

encore comprendre la conversation ?

Le niveau d’intensité en décibel varie pour l’oreille humaine entre une puissance surfacique sonore de 10-

12W/m² et 1 W/m².

7. Quels sont les niveaux extrêmes correspondant en décibel, sachant que l’on prend comme intensité

sonore de référence le seuil d’audition ?


6

Corrigé travaux dirigés : Vibrations

1.* Soit un oscillateur mécanique non amorti. Sa pulsation est srad /1 . L’équation

différentielle régissant le déplacement de son centre de gravité

x t( ) est donc 2 0x x .

a) Quelle est la caractéristique du mouvement d’un oscillateur non amorti ?

La caractéristique d’un oscillateur non amorti est que l’amplitude d’oscillation reste constante au cours du temps. Il n’y a pas de dissipation d’énergie lors des oscillations. Pas de force non conservative exercé sur le centre de gravité

b) Donner la forme générale de la solution de l’équation différentielle ci-dessus.

𝒙(𝒕) = 𝒅. 𝒔𝒊𝒏(𝒘𝒕 + 𝝋) = 𝒅. 𝒔𝒊𝒏(𝒘𝒕)𝒄𝒐𝒔 (𝝋) + 𝒅. 𝒄𝒐𝒔(𝒘𝒕)𝒔𝒊𝒏 (𝝋)

Soit encore : 𝒙(𝒕) = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔(𝒘𝒕) + 𝑩. 𝒔𝒊𝒏(𝒘𝒕)

avec :𝑨 = 𝒅. 𝒔𝒊𝒏 (𝝋) 𝒆𝒕 𝑩 = 𝒅. 𝒄𝒐𝒔 (𝝋) et : 𝝋 = 𝒂𝒕𝒂𝒏(𝑨

𝑩)

c) Quels sont les paramètres qui vont décrire le mouvement de cette oscillateur (tracer

une sinusoïde pour vous aidez) ?

Les paramètres qui permettent de décrire le mouvement sont l’amplitude d, la pulsation w et φ phi. Bien identifier la phase φ sur le graphe. Comparer avec un cas ou φ=0.

d) Expliciter

x t( ) dans les cas suivants :

1) A t=0, l’amplitude vaut 2 cm et la vitesse est nulle.

𝒙(𝒕) = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔(𝒘𝒕) + 𝑩. 𝒔𝒊𝒏(𝒘𝒕) 𝒆𝒕 ��(𝒕) = −𝒘𝑨. 𝒔𝒊𝒏(𝒘𝒕) + 𝒘𝑩. 𝒄𝒐𝒔(𝒘𝒕)

Donc A=2cm et B=0

2)

x 0( ) = -1cm et scmx /10 Donc A=-1.10-2

et B=1.10-2

/w

3)

x t1( ) = x1 et 11 vtx On a : .𝑥(𝑡1) = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡1) + 𝐵. 𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡1) = 𝑋1 et

��(𝑡1) = −𝑤𝐴. 𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡1) + 𝑤𝐵. 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡1) = 𝑣1

𝑥(𝑡1).𝑤. 𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡1) = 𝐴.𝑤. 𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡1)𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡1) + 𝑤𝐵. 𝑠𝑖𝑛2(𝑤𝑡1) = 𝑤. 𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡1)𝑋1

��(𝑡1). 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡1) = −𝑤𝐴. 𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡1). 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡1) + 𝑤𝐵. 𝑐𝑜𝑠2(𝑤𝑡1) = 𝑣1𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡1)

𝑥(𝑡1).𝑤. 𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡1) + 𝑥(𝑡1). 𝑤. 𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡1) = 𝑤𝐵 = 𝑤. 𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡1)𝑋1 + 𝑣1𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡1)

𝑫𝒐𝒏𝒄 𝑩 = 𝒔𝒊𝒏(𝒘𝒕𝟏)𝑿𝟏 +𝒗𝟏

𝒘𝒄𝒐𝒔(𝒘𝒕𝟏)

𝑥(𝑡1) = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡1) + 𝑠𝑖𝑛2(𝑤𝑡1)𝑋1 +𝑣1

𝑤𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡1)𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑡1) = 𝑋1


7

𝑨 =𝑿𝟏 (𝟏 − 𝒔𝒊𝒏𝟐(𝒘𝒕𝟏))

. 𝒄𝒐𝒔(𝒘𝒕𝟏)−

𝒗𝟏

𝒘𝒔𝒊𝒏(𝒘𝒕𝟏) = 𝑿𝟏𝒄𝒐𝒔(𝒘𝒕𝟏) −

𝒗𝟏

𝒘𝒔𝒊𝒏(𝒘𝒕𝟏)

2.* Soient deux signaux sinusoïdaux, représentant par exemple l’intensité et la tension aux

bornes d’un dipôle dans un circuit électrique :

tII cos0 et tUU cos0 avec un déphasage 4

.

a) Tracer les deux signaux sur un diagramme en temps, sur deux périodes.

Bien insister sur le déphasage et comment le retrouver sur le graphe

Ici retrouver I0=U0=1, T=1s donc ω=2π rad.s-1.

A t=0 I= 𝒄𝒐𝒔 (𝝅

𝟒).

3.* Soit un oscillateur mécanique constitué d’un ressort horizontal de constante de raideur k, au

bout duquel est accrochée une masse m. Cette masse repose sur un table à coussin d’air qui

permet d’avoir un mouvement sans frottement. A l’équilibre, le centre de gravité de la masse

est en X=0. On écarte la masse de cette position d’équilibre jusqu’à une distance X=d0=+1cm.

Puis on la lâche à l’instant t=0 sans vitesse.

1. Donner un bilan des forces appliquées sur le centre de gravité dans la direction

horizontale 𝑢𝑥

Le ressort: �� = −𝒌(𝒙 − 𝒙𝟎)𝒖𝒙

2π

π

π/4

cos (𝜋

4)

π/4

En t=0

I=cos (𝜋

4)


8

A l’équilibre, la somme des forces est nulle, donc �� = −𝒌(𝒙 − 𝒙𝟎)𝒖𝒙 = 𝟎

X= 𝒙 − 𝒙𝟎 donc �� = −𝒌(𝑿)𝒖𝒙

2. Montrer que le mouvement du centre gravité est décrit par l’équation:

d2X(t)

dt2= -ω0

2X(t)

On applique le PFD: 𝒎𝒅𝟐𝑿

𝒅𝒕𝟐= −𝒌(𝑿) soit encore

𝒅𝟐𝑿

𝒅𝒕𝟐= −

𝒌

𝒎(𝑿)

𝝎𝟎𝟐 =

𝒌

𝒎

3. La masse oscille avec une période de 0.25s (1/4s). Déterminer la masse m sachant que

la constante de raideur du ressort vaut 𝑘 = 32𝜋2N.m-1

.

On a T=1/4 soit 𝝎𝟎𝟐 =

𝟒𝝅𝟐

𝑻𝟐 = 𝟒. 𝟏𝟔.𝝅𝟐 =𝒌

𝒎 on a alors 𝒎 =

𝒌

𝟒.𝟏𝟔.𝝅𝟐 = 𝟎, 𝟓𝒌𝒈

4. En utilisant les conditions initiales, décrivez le mouvement du centre de gravité.

La solution de l’équation différentielle est :

𝑿(𝒕) = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔(𝒘𝟎𝒕) + 𝑩. 𝒔𝒊𝒏(𝒘𝟎𝒕)

𝑿(𝟎) = 𝑨 = 𝟏𝒄𝒎

��(𝒕) = −𝒘𝟎𝑨. 𝒔𝒊𝒏(𝒘𝟎𝒕) + 𝒘𝟎𝑩. 𝒄𝒐𝒔(𝒘𝟎𝒕)

��(𝟎) = 𝒘𝟎𝑩 = 𝟎 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝑩 = 𝟎

𝑿(𝒕) = 𝟏𝟎−𝟐. 𝒄𝒐𝒔(𝒘𝟎𝒕)

4.** Un cylindre de masse volumique , de rayon r et de hauteur h flotte à la surface d’un

liquide de masse volumique ’. Les conditions sont telles que le cylindre ne bascule pas et garde

sa face circulaire inférieure horizontale. On ne prend en compte ni la pression de l’air ni les

frottements. A l’instant t=0, on enfonce le cylindre dans le fluide (hauteur totale immergée d0)

et on le lâche sans vitesse initiale.

1) Faire un schéma décrivant le problème. On notera : G le centre de masse du cylindre, xi

la hauteur immergée du cylindre, et X la distance entre le centre de gravité G et la

surface de l’eau. On prendra un repère cartésien dont l’axe verticale « x » est orienté

vers le bas et dont l’origine est situé à la surface de l’eau.

y

xi

G X

x

h


9

2) Définir le centre de gravité de l’objet.

Le centre de gravité est au centre du cylindre en x et y, à h/2 du haut ou du bas du cylindre et à r/2 du bord droite ou gauche du cylindre

3) Déterminer l’ensemble des forces qui s’exercent sur le cylindre.

Le poids : 𝑭𝒑 = 𝒎𝒈𝒖𝒙 = 𝒉𝝅𝒓𝟐𝝆𝒈𝒖𝒙

La poussée d’Archimède 𝑭𝑨 = −𝒙𝒊𝝅𝒓𝟐𝝆′𝒈𝒖𝒙

4) Déterminer la hauteur immergée xeq à l’équilibre, en déduire la position Xeq du centre

de gravité à l’équilibre.

La position d’équilibre du système à t=0 est donnée par : 𝑭𝒑 + 𝑭𝑨

= 𝟎

−𝒙𝒆𝒒𝝅𝒓𝟐𝝆′𝒖𝒙 = 𝒉𝝅𝒓𝟐𝝆𝒈𝒖𝒙

Soit :

𝒙𝒆𝒒 = 𝒉𝝆

𝝆′= (

𝒉

𝟐+ 𝑿𝒆𝒒)

On en déduit 𝑿𝒆𝒒 = 𝒉𝝆

𝝆′−

𝒉

𝟐

5) Décrire le mouvement du centre de gravité et déterminer l’équation différentielle

correspondante pour x0 <h. Un changement de variable est nécessaire afin d’obtenir

une équation différentielle portant sur une grandeur D dont l’origine correspond à la

position d’équilibre du centre gravité.

On applique le PFD : 𝒎𝒅��

𝒅𝒕= ∑ ��

Toutes les forces sont selon 𝒖𝒙 , le mouvement se fait donc dans cette direction, pas de mouvement selon y :

𝒎𝒅𝟐𝑿

𝒅𝒕𝟐= 𝒉𝝅𝒓𝟐𝝆𝒈 − 𝒙𝒊𝝅𝒓𝟐𝝆′𝒈

Attention xi dépend de X, il faut donc l’exprimer en fonction de X, on a : xi=h/2+X, l’équation devient alors :

𝒎𝒅𝟐𝑿

𝒅𝒕𝟐= 𝒉𝝅𝒓𝟐𝝆𝒈 − (

𝒉

𝟐+ 𝑿)𝝅𝒓𝟐𝝆′𝒈

𝒅𝟐𝑿

𝒅𝒕𝟐= 𝒈 − (

𝒉

𝟐+ 𝑿)

𝝆′

𝒉𝝆𝒈

On prend comme origine l’état d’équilibre, on pose D=X-Xeq on a alors :

𝒅𝟐𝑫

𝒅𝒕𝟐= 𝒈 − (

𝒉

𝟐+ 𝑫 + 𝑿𝒆𝒒)

𝝆′

𝒉𝝆𝒈


10

𝒅𝟐𝑫

𝒅𝒕𝟐= 𝒈 − (

𝒉

𝟐+ 𝑫 + 𝒉

𝝆

𝝆′−

𝒉

𝟐)

𝝆′

𝒉𝝆𝒈

𝒅𝟐𝑫

𝒅𝒕𝟐= 𝒈 − (𝑫 + 𝒉

𝝆

𝝆′)

𝝆′

𝒉𝝆𝒈

𝒅𝟐𝑫

𝒅𝒕𝟐= −

𝒈𝝆′

𝒉𝝆𝑫

On a bien l’équation d’oscillation :

𝒅𝟐𝑫

𝒅𝒕𝟐= −

𝒈𝝆′

𝒉𝝆𝑫

6) Donner la solution de cette équation différentielle.

D(t)= Acos(wt)+Bsin(wt)

A=d0 et B=0

7) En déduire la pulsation et la période T des oscillations et l’équation du mouvement.

𝒘𝟎 =𝒈𝝆′

𝒉𝝆

𝑻 = 𝟐𝝅𝒉𝝆

𝒈𝝆′

8) Calculer pour un cylindre de glace dans l’eau (h=1m, r=1m, =0.7 103 kg.m

-3,

’=103 kg.m

-3, g=10 m.s

-2).

𝒘𝟎 = 𝟑, 𝟕𝟗𝒓𝒂𝒅. 𝒔−𝟏 𝒆𝒕 𝑻 = 𝟏, 𝟔𝟔𝒔

9) Que se passe-t-il pour un cylindre de mêmes dimensions en cuivre (=8.92 103 kg.m

-3) ?

Il coule !!!!


11

5.* Soit un pendule simple constitué une masse ponctuelle m suspendue à un fil inextensible de

longueur l (distance OM). On néglige toutes les sources de frottements. On note M le centre de

gravité de la masse et O le point de fixation du fil. On repère la position du centre de gravité de

la masse par l'angle θ entre la verticale et la direction du fil. On écarte le centre de gravité de la

masse d’un angle θ0 et on la lâche sans vitesse. On limite l’étude à des angles θ petits (θ<<1).

1. Quel système de coordonnées utilise-t-on pour étudier ce système ? Faire un bilan des

forces appliqué sur M dans ce système de coordonnées.

2. Le mouvement étudié est un mouvement de translation, on va donc choisir travailler en coordonnées polaires pour décrire le mouvement, et donc en 3D en coordonnée cylindrique.

Le bilan de force, on a :

Le poids : 𝐹𝑝 = 𝑚𝑔 = 𝑚𝑔 cos(𝜃) 𝑢𝑟 − 𝑚𝑔 sin(𝜃)𝑢𝜃

La Tension T0 du fil �� = 𝑇0𝑢𝑟

3. En utilisant les conditions initiales et le théorème de l’énergie mécanique, décrivez le


La grandeur physique qui permet de repérer la masse en mouvement est θ.

Le théorème de l’énergie mécanique : ∆𝐸𝑀 = 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑎𝑖𝑙 𝑑𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠

Ici pas de frottement, alors pas de forces non conservatives ∆𝐸𝑀 = 0

∆𝐸𝑀 = ∆𝐸𝑐 + ∆𝐸𝑝

∆𝐸𝑐 =1

2𝑚𝑣2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑣 = 𝑙�� 𝑎𝑣𝑒𝑐 �� 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒

∆𝐸𝑝 = 𝑚𝑔ℎ 𝑎𝑣𝑒𝑐 ℎ = 𝑙(1 − 𝑐𝑜𝑠(𝜃)) dans le cadre de l’approximation des petits

angles on a 𝑐𝑜𝑠(𝜃) = 1 −𝜃2

2

∆𝐸𝑀 =1

2𝑚(𝑙��)

2+ 𝑚𝑔𝑙

𝜃2

2= 0 on dérive par rapport au temps et on obtient :

𝑑𝐸𝑀

𝑑𝑡= 𝑚𝑙2�� + 𝑚𝑔𝑙𝜃�� = 0 soit :

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2 = −𝑔

𝑙𝜔0

2𝜃 = 0

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2 + 𝜔02𝜃 = 0 avec 𝜔0

2 =𝑔

𝑙

La solution de l’équation différentielle est :𝜃(𝑡) = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(𝑤0𝑡) + 𝐵. 𝑠𝑖𝑛(𝑤0𝑡)

𝜃(0) = 𝐴 = 𝜃0 et ��(𝑡) = −𝑤0𝐴. 𝑠𝑖𝑛(𝑤0𝑡) + 𝑤0𝐵. 𝑐𝑜𝑠(𝑤0𝑡)

θ l

O

M

𝑢𝑧

𝑢𝜃

𝑢𝑟

h


12

��(0) = 𝑤0𝐵 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐵 = 0 et 𝑋(𝑡) = 𝜃0. 𝑐𝑜𝑠(𝑤0𝑡)

4. En utilisant les conditions initiales et le théorème du moment cinétique, décrivez le


Le théorème du moment cinétique: 𝑑��

𝑑𝑡= ∑𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑟 𝑀

�� = 𝑚𝑂𝑀 ∧ 𝑣 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑣 = 𝑙��𝑢𝜃 𝑎𝑣𝑒𝑐 �� 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒, 𝑑𝑜𝑛𝑐 �� = 𝑚𝑙��𝑢𝑧 𝑎

Moment �� 𝑝 du poids : �� 𝑝 = 𝐹𝑝 ∧ OM = 0 − 𝑚𝑔𝑙 sin(𝜃)𝑢𝑧

Moment �� 𝑇 de la Tension T0 du fil : �� 𝑇 = �� ∧ OM = 0

On a donc : 𝑑��

𝑑𝑡= 𝑚𝑙

𝑑2𝜃

𝑑𝑡2 𝑢𝑧 = −𝑚𝑔𝑙 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑢𝑧

Dans le cadre de l’approximation des petits angles on a : 𝑠𝑖𝑛(𝜃) = 𝜃

On a donc : 𝑚𝑙𝑑2𝜃

𝑑𝑡2 = −𝑚𝑔𝑙𝜃 c’est-à-dire : 𝑑2𝜃

𝑑𝑡2 + 𝜔02𝜃 = 0 avec 𝜔0

2 =𝑔

𝑙

La solution de l’équation différentielle est :𝜃(𝑡) = 𝐴. 𝑐𝑜𝑠(𝑤0𝑡) + 𝐵. 𝑠𝑖𝑛(𝑤0𝑡)

𝜃(0) = 𝐴 = 𝜃0 et ��(𝑡) = −𝑤0𝐴. 𝑠𝑖𝑛(𝑤0𝑡) + 𝑤0𝐵. 𝑐𝑜𝑠(𝑤0𝑡)

��(0) = 𝑤0𝐵 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐵 = 0 et 𝑋(𝑡) = 𝜃0. 𝑐𝑜𝑠(𝑤0𝑡)

6.** Un enfant de masse m se tient debout ou assis sur une balançoire en mouvement. On note

O le point de fixation de la balançoire et M le centre de gravité de l’enfant. On repère la

position du centre de gravité Mi par l'angle θ entre la verticale et la balançoire. On note hD la

distance entre O et la position du centre de gravité de l’enfant débout, et hC la distance entre O

et la position du centre de gravité de l’enfant assis.


l’enfant est debout


l’enfant est assis

La position du centre de gravité de l’enfant est repérée par des points A, B, C, D et E au cours

du mouvement de balancier sur un aller. Pour prendre de la vitesse, l’enfant s’accroupit très

rapidement (θ=constante pendant cette action) lorsque que la balançoire est dans la position

arrière la plus élevée, le centre de gravité (enfant + siège de la balançoire) passe alors du point

A au point B. Puis on a un mouvement de balancier jusqu’à la verticale du point de fixation O,

le centre de gravité passe alors du point B au point C. A ce moment-là, l’enfant se relève très

Mdebout θ

Massis θ

hD

hC

O O


2

rapidement (θ=constante pendant cette action=0), le centre de gravité passe alors du point C au

point D. Puis on a un mouvement de balancier jusqu’à la position avant la plus élevée, le centre

de gravité passe alors du point D au point E. L’enfant attend d’être à nouveau dans la position

arrière c’est-à-dire au point A pour recommencer, ainsi de suite…

On considère qu’il passe de A en B et de C en D en un temps très bref comparativement à la

période globale d’oscillation de la balançoire (θ=constante pendant cette action). On note

respectivement A et E les angles que fait la balançoire aux positions A et E. On note

respectivement ha et hd la distance entre le centre de gravité de gravité de l’enfant lorsque il est

assis et debout. On veut étudier le mouvement de cet oscillateur, pour cela :

1) Dessiner le mouvement du centre de gravité de l’enfant sur une figure.

2) Quelle est la vitesse du centre de gravité en A et B ?

Les vitesses en A et B sont nulles. 𝑣𝐴 = 0 𝑒𝑡 𝑣𝐵 = 0

3) A l’aide du théorème du moment cinétique, déterminer la relation entre les vitesses

de la balançoire en C et D.

𝑑��

𝑑𝑡= ∑𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑟 𝑀

Le bilan de force, on a : Le poids : 𝐹𝑝 = 𝑚𝑔 = 𝑚𝑔 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑢𝑟 − 𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑢𝜃

La Tension T0 du fil �� = 𝑇0𝑢𝑟

En C et D θ=0 on a : 𝐹𝑝 = 𝑚𝑔 = 𝑚𝑔 cos(𝜃) 𝑢𝑟 pour le poids

�� = 𝑇0𝑢𝑟 pour la tension T0 du fil

On en déduit ∑𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑟 𝑀 = 0 car les forces sont colinéaires à OM

On a donc entre C et D 𝑑��

𝑑𝑡= 0 c’est la variation ∆�� 𝐶𝐷 = 0 = �� 𝐷 − �� 𝐶

�� 𝐶 = mOM ∧ v 𝐶 = mh𝐶𝑣𝑐uz et �� 𝐷 = mOM ∧ v 𝐷 = mh𝐷𝑣𝐷uz

On a donc : mh𝐶𝑣𝐶uz = mh𝐷𝑣𝐷uz On en déduit que : 𝑣𝐷 =h𝐶

h𝐷𝑣𝑐

4) A l’aide du théorème de l’énergie mécanique entre les points B et C, exprimer la

vitesse CV en C en fonction de l’angle A que fait la balançoire en B.

La grandeur physique qui permet de repérer la masse en mouvement est θ.

Le théorème de l’énergie mécanique : ∆𝐸𝑀 = 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑎𝑖𝑙 𝑑𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑟𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠

θE θA

A

C

B

D E

𝑢𝑧

𝑢𝜃

𝑢𝑟


3

Ici pas de frottement, alors pas de forces non conservatives ∆𝐸𝑀 = 0

∆𝐸𝑀 = ∆𝐸𝑐 + ∆𝐸𝑝

∆𝐸𝑐 =1

2𝑚𝑣𝐶

2 𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑢𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝐵,

∆𝐸𝑝 = −𝑚𝑔∆ℎ𝐵𝐶 𝑛é𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑐𝑎𝑟 𝑑𝑖𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙′𝑎𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 (𝑜𝑛 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑠 ∆ℎ𝐵𝐶 > 0)

∆ℎ𝐵𝐶 = ℎ𝐶(1 − 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝐴))= ℎ𝐶 (1 − 𝑐𝑜𝑠 (2𝜃𝐴

2)) = ℎ𝐶 (1 − 𝑐𝑜𝑠2 (

𝜃𝐴

2) + 𝑠𝑖𝑛2 (

𝜃𝐴

2))

∆ℎ𝐵𝐶 = 2ℎ𝐶 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃

2) Ce qui donne : ∆𝐸𝑝 = −2𝑚𝑔ℎ𝐶 𝑠𝑖𝑛2 (

𝜃𝐴

2)

∆𝐸𝑀 =1

2𝑚𝑣𝐶

2 − 2𝑚𝑔ℎ𝐶 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃𝐴

2) = 0 Soit : 𝑣𝐶

2 = 4𝑔ℎ𝐶 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃𝐴

2)

5) Déterminer à l’aide du théorème de l’énergie mécanique la relation entre la vitesse

DV en D en fonction de l’angle E que fait la balançoire en E.

∆𝐸𝑐 = − 1

2𝑚𝑣𝐷

2 𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑢𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝐸 𝑒𝑡 𝑑𝑖𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑖𝑡𝑒𝑠𝑠𝑒,

∆𝐸𝑝 = 𝑚𝑔∆ℎ𝐷𝐸 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓 𝑐𝑎𝑟 𝑎𝑢𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑙′𝑎𝑙𝑡𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 (𝑜𝑛 𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑠 ∆ℎ𝐷𝐸 > 0)

∆ℎ𝐷𝐸 = ℎ𝐷(1 − 𝑐𝑜𝑠(𝜃𝐸)) = ℎ𝐷 (1 − 𝑐𝑜𝑠 (2𝜃𝐸

2)) = ℎ𝐷 (1 − 𝑐𝑜𝑠2 (

𝜃𝐸

2) + 𝑠𝑖𝑛2 (

𝜃𝐸

2))

∆ℎ𝐷𝐸 = 2ℎ𝐵 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃𝐸

2) Ce qui donne : ∆𝐸𝑝 = 2𝑚𝑔ℎ𝐷 𝑠𝑖𝑛2 (

𝜃𝐸

2)

∆𝐸𝑀 =1

2𝑚𝑣𝐷

2 − 2𝑚𝑔ℎ𝐷 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃𝐸

2) = 0 Soit : 𝑣𝐷

2 = 4𝑔ℎ𝐷 𝑠𝑖𝑛2 (𝜃𝐸

2)

6) Déduire des questions 3), 4) et 5) une relation entre les angles A et E .

On a : 𝑣𝐷 =h𝐶

h𝐷𝑣𝑐, vD

2 = 4ghD sin2 (θE

2) et vC

2 = 4ghC sin2 (θA

2)

On en déduit que : 𝑣𝐷2 = (

h𝐶

h𝐷)2

𝑣𝑐2 soit : sin2 (

θE

2) = (

h𝐶

h𝐷)3

sin2 (θA

2)

Ou encore : sin (𝜃𝐸

2) = (

h𝐶

h𝐷)

3

2 𝑠𝑖𝑛(𝜃𝐴

2)

7) Comparer le mouvement de la balançoire avec celui du pendule simple de l’exercice

5. Quelle est la particularité de cet oscillateur, expliquer physiquement.

Le mouvement de E à A est semblable à celui d’un oscillateur simple comme dans

l’exercice 5, c’est-à-dire qu’au retour on a : 𝜃𝐸𝑟𝑒𝑡𝑜𝑢𝑟= 𝜃𝐴𝑟𝑒𝑡𝑜𝑢𝑟

. En revanche à l’aller,

l’enfant fournit de l’énergie à l’oscillateur ce qui se traduit par 𝜃𝐸𝑎𝑙𝑙𝑒𝑟= 𝜃𝐴𝑎𝑙𝑙𝑒𝑟

,

l’enfant va donc plus haut à chaque aller. On a ici l’équivalent d’un oscillateur forcé

à l’aller et d’un oscillateur libre au retour.


4

8) Quelle est l’angle que fait la balançoire au bout de 5 allers-retours sachant que

l’angle initial est de 20 et hC=2,8m et hD=2,3m ?

1er aller-retour : 𝑠𝑖𝑛 (𝜃𝐸1

2) = (

ℎ𝐶

ℎ𝐷)

3

2𝑠𝑖𝑛 (

𝜃𝐴1

2)

2nd aller-retour : 𝜃𝐴2 = 𝜃𝐸1 on a donc 𝑠𝑖𝑛 (𝜃𝐸1

2) = (

ℎ𝐶

ℎ𝐷)

3

2𝑠𝑖𝑛 (

𝜃𝐸1

2) =((

ℎ𝐶

ℎ𝐷)

3

2)

2

𝑠𝑖𝑛 (𝜃𝐴1

2)

N aller-retour : 𝜃𝐴𝑁 = 𝜃𝐸𝑁−1 on alors : 𝑠𝑖𝑛 (𝜃𝐸1

2) = (

ℎ𝐶

ℎ𝐷)

3𝑁

2𝑠𝑖𝑛 (

𝜃𝐴1

2)

Après 5 allers-retours la balançoire fait un angle d’environ 50°

7.* Oscillateur amorti :

Soit un cube de masse m situé au point M, suspendu à l’extrémité d’un ressort de rigidité k lui-

même fixé au point P, et plongé dans un liquide de coefficient de frottement visqueux f. On

note x0 la position du ressort en l’absence de la masse. On note m’ la masse du liquide déplacé

lors de l’immersion du cube. On néglige la pression (force) exercée par l’eau au-dessus du cube

immergé (faible immersion).

1) Faire le bilan des forces qui s’exercent sur la masse m lorsqu’elle est en mouvement. On

note m’ la masse du volume de liquide déplacée par le cube immergé.

Le poids: �� = 𝒎𝒈𝒖𝒙

Le ressort: �� = −𝒌(𝒙 − 𝒙𝟎)𝒖𝒙

Frottement: �� = −𝒇��

Archimède: 𝑭𝑨 = −𝒎′𝒈𝒖𝒙

Toutes les forces sont selon 𝒖𝒙 donc les mouvements est selon cette direction. Pas de mouvement selon y

2) Déterminer l’équation du mouvement de la masse m (on prendra par exemple le point P

comme origine des coordonnées en orientant l’axe Ox suivant la verticale vers le bas)

𝒅𝟐𝒙

𝒅𝒕𝟐= 𝒈

𝒎 − 𝒎′

𝒎 −

𝒌

𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎) −

𝒇

𝒎

𝒅𝒙

𝒅𝒕

k

m M

P

𝑢𝑥 x

𝑢𝑦

x


5

3) Donner la position d’équilibre xequ.

A l’équilibre la somme des forces est nulle :

−𝒌(𝒙𝒆𝒒 − 𝒙𝟎)�� + (𝒎 − 𝒎′)𝒈�� = 𝟎 donc 𝒙𝒆𝒒 = 𝒙𝟎 +(𝒎−𝒎′)

𝒌𝒈

4) Réécrire l’équation du mouvement en termes de la variable mesurant l’écart de la

masse à sa position d’équilibre suivant la verticale.

𝒅𝑿

𝒅𝒕=

𝒅𝒙

𝒅𝒕 car 𝒙𝒆𝒒 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 et 𝒙 = 𝑿 + 𝒙𝒆𝒒

𝒅𝟐𝑿

𝒅𝒕𝟐= 𝒈

𝒎 − 𝒎′

𝒎 −

𝒌

𝒎(𝑿 + 𝒙𝟎 +

(𝒎 − 𝒎′)

𝒌𝒈 − 𝒙𝟎) −

𝒇

𝒎

𝒅𝑿

𝒅𝒕

𝒅𝟐𝑿

𝒅𝒕𝟐= −

𝒌

𝒎(𝑿) −

𝒇

𝒎

𝒅𝑿

𝒅𝒕 soit

𝒅𝟐𝑿

𝒅𝒕𝟐+ 𝝎𝟎

𝟐𝑿 + 𝟐𝜶𝒅𝑿

𝒅𝒕= 𝟎

On a : 𝝎𝟎𝟐 =

𝒌

𝒎 et 𝜶 =

𝒇

𝟐𝒎

5) Donner la pulsation propre du système (faire l’analogie avec un oscillateur non

amorti).

𝝎𝟎𝟐 =

𝒌

𝒎

6) Les solutions

x t( ) sont reliées aux solutions possibles de l’équation caractéristique :

02 2

0

2 rr . Déterminer les expressions de et 2

0 en fonction de m, k et f.

𝒅𝟐𝑿


𝟐𝑿 + 𝟐𝜶𝒅𝑿

𝒅𝒕= 𝟎 la solution de cette équation de la forme : 𝑿 = 𝑨𝒆𝒓𝒕, si on injecte

cette solution dans l’équation différentielle on obtient :

𝒓𝟐𝑨𝒆𝒓𝒕 + 𝝎𝟎𝟐𝑨𝒆𝒓𝒕 + 𝒓𝟐𝜶𝑨𝒆𝒓𝒕 = 𝟎 soit 𝒓𝟐 + 𝝎𝟎

𝟐 + 𝒓𝟐𝜶 = 𝟎

Les racines sont : 𝒓∓ = −𝜶 ∓ √𝜶𝟐 − 𝝎𝟎𝟐

7) Donner la solution générale de X(t) dans le cas : kmf 4 En utilisant les conditions

initiales, exprimer la solutions X(t). Dessiner leur allure de X(t).

On a dans ce cas : 𝜶𝟐 > 𝝎𝟎𝟐 l’argument de la racine carré est positif, la

solution générale est donc de la forme : 𝑿 = 𝑨𝒆−𝜶𝒕+√𝜶𝟐−𝝎𝟎

𝟐𝒕+ 𝑩𝒆

−𝜶𝒕−√𝜶𝟐−𝝎𝟎𝟐𝒕

X(t)= 0=A+B, donc A=-B

𝒅𝑿

𝒅𝒕= (−𝜶 + √𝜶𝟐 − 𝝎𝟎

𝟐)𝑨𝒆−𝜶𝒕+√𝜶𝟐−𝝎𝟎

𝟐𝒕+ (−𝜶 − √𝜶𝟐 − 𝝎𝟎

𝟐)𝑩𝒆−𝜶𝒕−√𝜶𝟐−𝝎𝟎

𝟐𝒕

𝒅𝑿(𝒕 = 𝟎)

𝒅𝒕= (−𝜶 + √𝜶𝟐 − 𝝎𝟎

𝟐)𝑨 + (−𝜶 − √𝜶𝟐 − 𝝎𝟎𝟐)𝑩 = 𝒗𝟎

Soit : 𝑨 =𝒗𝟎

𝟐√𝜶𝟐−𝝎𝟎𝟐 donc 𝑿 =

𝒗𝟎

𝟐√𝜶𝟐−𝝎𝟎𝟐 𝒆−𝜶𝒕 (𝒆

√𝜶𝟐−𝝎𝟎𝟐𝒕

− 𝒆−√𝜶𝟐−𝝎𝟎

𝟐𝒕)


6

(−𝜶 − √𝜶𝟐 − 𝝎𝟎𝟐) < 𝟎 Car 𝜶 > 𝟎 et la √𝜶𝟐 − 𝝎𝟎

𝟐 > 𝟎

(−𝜶 + √𝜶𝟐 − 𝝎𝟎𝟐)<0 Car 𝜶 > √𝜶𝟐 − 𝝎𝟎

𝟐

On a donc la somme de deux exponentielles décroissantes.

8) Même question que la question 7) dans le cas : kmf 4

On a dans ce cas : 𝜶𝟐 = 𝝎𝟎𝟐 l’argument de la racine carré est nulle, la solution

générale est donc de la forme : 𝑿 = (𝑨 + 𝑩𝒕)𝒆−𝜶𝒕

X(t)= 0=A, donc A=0

𝒅𝑿

𝒅𝒕= −𝜶(𝑨 + 𝑩𝒕)𝒆−𝜶𝒕+ 𝑩𝒆−𝜶𝒕

𝒅𝑿(𝒕=𝟎)

𝒅𝒕= −𝜶𝑨 + 𝑩 = 𝒗𝟎 avec A=0 donc 𝑩 = 𝒗𝟎

: 𝑿 = 𝒗𝟎𝒕𝒆−𝜶𝒕 fonction décroissante de forme exponentielle.

9) Même question que la question 7) dans le cas : kmf 4 ..

On a dans ce cas : 𝜶𝟐 < 𝝎𝟎𝟐 l’argument de la racine carré est négatif, on a

donc : 𝒓∓ = −𝜶 ∓ 𝒊√𝝎𝟎𝟐 − 𝜶𝟐, On a rappelle que : 𝒊𝟐 = −𝟏 𝒆𝒕 𝒅𝒐𝒏𝒄 √−𝒂 = 𝒊√𝒂

La solution générale est donc de la forme : 𝑿 = 𝑨𝒆−𝜶𝒕+𝒊√𝝎𝟎

𝟐−𝜶𝟐𝒕+ 𝑩𝒆

−𝜶𝒕−𝒊√𝝎𝟎𝟐−𝜶𝟐𝒕

X(t)= 0=A+B, donc A=-B

𝒅𝑿

𝒅𝒕= (−𝜶 + 𝒊√𝝎𝟎

𝟐 − 𝜶𝟐)𝑨𝒆−𝜶𝒕+√𝝎𝟎

𝟐−𝜶𝟐𝒕+ (−𝜶 − 𝒊√𝝎𝟎

𝟐 − 𝜶𝟐)𝑩𝒆−𝜶𝒕−√𝝎𝟎

𝟐−𝜶𝟐𝒕

𝒅𝑿(𝒕 = 𝟎)

𝒅𝒕= (−𝜶 + 𝒊√𝝎𝟎

𝟐 − 𝜶𝟐)𝑨 + (−𝜶 − 𝒊√𝝎𝟎𝟐 − 𝜶𝟐)𝑩 = 𝒗𝟎

Soit : 𝑨 =𝒗𝟎

𝟐𝒊√𝝎𝟎𝟐−𝜶𝟐

donc 𝑿 =𝒗𝟎

𝟐𝒊√𝝎𝟎𝟐−𝜶𝟐

𝒆−𝜶𝒕 (𝒆𝒊√𝝎𝟎

𝟐−𝜶𝟐𝒕− 𝒆

−𝒊√𝝎𝟎𝟐−𝜶𝟐𝒕

)

𝑿 =𝒗𝟎

√𝝎𝟎𝟐 − 𝜶𝟐

𝒆−𝜶𝒕𝒔𝒊𝒏(√𝝎𝟎𝟐 − 𝜶𝟐𝒕) =

𝒗𝟎

√𝝎𝟎𝟐 − 𝜶𝟐

𝒆−𝜶𝒕𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒔𝒕)

On a donc une sinusoïde amortie de pulsation 𝝎𝒔 = √𝝎𝟎𝟐 − 𝜶𝟐

Notions utiles pour cet exercice : Principe fondamental de la dynamique, solution d’une

équation différentielle du second ordre sans second membre, notation complexe de fonction

trigonométrique.


7

8.* Oscillations forcées :

Un appareil fragile de masse m repose sur un socle horizontal au moyen de quatre ressorts de

raideur K/4. Ce socle est soumis à des vibrations verticales sinusoïdales tdtD sin0 de

pulsation

w et d’amplitude Y0. On note z le déplacement vertical de l’appareil par rapport à sa

position d’équilibre zeq et f le coefficient de frottement. On note z0 la position des ressort en

l’absence de la masse m. On note G le centre de gravité de la masse m. On note

�� le vecteur unitaire vertical orienté vers le haut.

1. Déterminer la constante de raideur k du ressort équivalent au 4 ressort.

Les ressort sont en parallèle alors la constante de raideur du ressort équivalent est égale à la somme des constante de raideur soit k=K

2. Donner l’expression de la force 𝐹𝑒𝑥𝑡 qu’il faut exercer sur le ressort équivalent pour le

déformer (variation de longueur) de D(t).

Cette force est qu’il faut exercer sur le ressort pour le déformer de 𝒅𝟎𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝒕) soit 𝑭𝒆𝒙𝒕

= 𝒅𝟎𝒌𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝒕)��

3. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur le centre de gravité G de la masse m lorsqu’elle

est en mouvement.

Le poids: �� = −𝒎𝒈��

Le ressort: �� = −𝒌(𝒛 − 𝒛𝟎)��

Frottement: �� = −𝒇��

Vibration: 𝑭𝒆𝒙𝒕 = 𝒅𝟎𝒌𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝒕)�� cette forme se répercute

directement sur G.

On peut aussi faire une autre interprétation et mettre cette déformation dans la réaction du ressort.

Le ressort: �� = −𝒌(𝒛 − 𝒛𝟎 + 𝑫(𝒕))��

Toutes les forces sont selon �� donc les mouvements est selon cette direction.

D

Y

z m

k/4

��


8

4. Etablir l’équation différentielle du mouvement de l’appareil tz en présence de la

vibration du socle tD .

𝒅𝟐𝒛

𝒅𝒕𝟐= −𝒈 −

𝒌

𝒎(𝒛 − 𝒛𝟎) −

𝒇

𝒎

𝒅𝒛

𝒅𝒕+

𝒅𝟎

𝒎𝒌𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝒕)

5. Déterminer la position d’équilibre Zeq du système en l’absence de vibrations verticales.

A l’équilibre la somme des forces est nulle :

−𝒌(𝒛𝒆𝒒 − 𝒛𝟎)�� − 𝒎𝒈�� = 𝟎 donc 𝒛𝒆𝒒 = 𝒛𝟎 −𝒎

𝒌𝒈

6. Réécrire l’équation différentielle du mouvement en fonction de la variable Z’=z-zeq et la

simplifier en posant M

K0 et

M

f .

𝒅𝒁′

𝒅𝒕=

𝒅𝒛

𝒅𝒕 car 𝒛𝒆𝒒 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 et 𝒛 = 𝒁′ + 𝒛𝒆𝒒

𝒅𝟐𝒁′

𝒅𝒕𝟐= −𝒈 −

𝒌

𝒎(𝒁′ + 𝒛𝒆𝒒 − 𝒛𝟎) −

𝒇

𝒎

𝒅𝒛′

𝒅𝒕+ 𝒅𝟎

𝒌

𝒎𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝒕)

𝒅𝟐𝒁′

𝒅𝒕𝟐= −𝒈 −

𝒌

𝒎(𝒁′ + 𝒛𝟎 −

𝒎

𝒌𝒈 − 𝒛𝟎) −

𝒇

𝒎

𝒅𝒛′

𝒅𝒕+ 𝒅𝟎

𝒌


𝒅𝟐𝒁′

𝒅𝒕𝟐= −

𝒌

𝒎𝒁′ −

𝒇

𝒎

𝒅𝒁′

𝒅𝒕+ 𝒅𝟎

𝒌


𝒅𝟐𝒁′

𝒅𝒕𝟐+

𝒌

𝒎𝒁′ +

𝒇

𝒎

𝒅𝒁′

𝒅𝒕= 𝒅𝟎

𝒌


Par identification avec l’équation avec l’équation

𝒅𝟐𝒁′


𝟐𝒁′ + 𝟐𝜶𝒅𝒁′

𝒅𝒕= 𝒅𝟎𝝎𝟎

𝟐𝒔𝒊𝒏 (𝝎𝒕)

On a : 𝝎𝟎𝟐 =

𝒌

𝒎 et 𝜶 =

𝒇

𝟐𝒎

7. Déterminer la solution particulière (régime permanent) de cette équation en cherchant

l’amplitude de l’oscillation tZ de l’appareil sous la forme complexe : 𝑍′(𝑡) =

𝑍0𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝜑), on a alors 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) = 𝑒𝑖(𝜔𝑡−

𝜋

2). Déterminer 𝑍0 𝑒𝑡 𝜑.

On injecte l’expression de Z’(t) dans l’équation de mouvement, on obtient alors :

−𝝎𝟐𝒁𝟎𝒆𝒊(𝝎𝒕+𝝋) + 𝝎𝟎

𝟐𝒁𝟎𝒆𝒊(𝝎𝒕+𝝋) + 𝟐𝜶𝒊𝝎𝒁𝟎𝒆

𝒊(𝝎𝒕+𝝋) = 𝒅𝟎𝝎𝟎𝟐𝒆𝒊(𝝎𝒕−

𝝅𝟐)

𝑶𝒏 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒆 𝒕𝒐𝒖𝒕 𝒑𝒂𝒓 𝒆𝒊(𝝎𝒕) on a alors :

−𝝎𝟐𝒁𝟎𝒆𝒊(𝝋) + 𝝎𝟎

𝟐𝒁𝟎𝒆𝒊(𝝋) + 𝟐𝜶𝒊𝝎𝒁𝟎𝒆

𝒊(𝝋) = 𝒅𝟎𝝎𝟎𝟐𝒆𝒊(−

𝝅𝟐)

𝒁𝟎𝒆𝒊(𝝋) =

𝒅𝟎𝝎𝟎𝟐𝒆𝒊(−

𝝅𝟐)

𝝎𝟎𝟐 − 𝝎𝟐 + 𝟐𝜶𝒊𝝎

On en déduit que : 𝒁𝟎 =𝒅𝟎𝝎𝟎

𝟐

√(𝝎𝟎𝟐−𝝎𝟐)

𝟐+(𝟐𝜶𝝎)𝟐


9

Pour déterminer la phase on doit avoir partie réelle et imaginaire au numérateur,


𝒅𝟎𝝎𝟎𝟐𝒆

𝒊(−𝝅𝟐)

𝝎𝟎𝟐−𝝎𝟐+𝟐𝜶𝒊𝝎

∗𝝎𝟎

𝟐−𝝎𝟐−𝟐𝜶𝒊𝝎

𝝎𝟎𝟐−𝝎𝟐−𝟐𝜶𝒊𝝎

=𝒅𝟎𝝎𝟎

𝟐𝒆𝒊(−

𝝅𝟐)

(𝝎𝟎𝟐−𝝎𝟐)

𝟐+(𝟐𝜶𝝎)𝟐

(𝝎𝟎𝟐 − 𝝎𝟐 − 𝟐𝜶𝒊𝝎 )

On rappelle que 𝒆𝒊(−𝝅

𝟐) = −𝒊 On a donc :


𝒅𝟎𝝎𝟎𝟐𝒆𝒊(−

𝝅𝟐)

(𝝎𝟎𝟐 − 𝝎𝟐)

𝟐+ (𝟐𝜶𝝎)𝟐

(−𝒊(𝝎𝟎𝟐 − 𝝎𝟐) − 𝟐𝜶𝝎 )

𝝋 = 𝒂𝒕𝒂𝒏((𝝎𝟎

𝟐 − 𝝎𝟐)

𝟐𝜶𝝎)

8. Calculer le rapport R=Z0/d0 caractérisant la réponse du système, en l’exprimant en fonction

de la variable x=𝜔/𝜔0 et du paramètre Q=𝜔0/2α sous la forme : 𝑅(𝑥) =1

√(1−𝑥2)2+(𝑥

𝑄)2

𝑹 =𝝎𝟎

𝟐

√(𝝎𝟎𝟐 − 𝝎𝟐)

𝟐+ (𝟐𝜶𝝎)𝟐

=𝟏

√(𝟏 −𝝎𝟐

𝝎𝟎𝟐)

𝟐

+ (𝟐𝜶𝝎

𝝎𝟎𝟐 )

𝟐=

𝟏

√(𝟏 − 𝒙𝟐)𝟐 + (𝒙𝑸)

𝟐

9. Montrer que R(x) présente un maximum pour 𝜔 proche de 𝜔0 lorsque le système est

faiblement amorti (Q >>1). Donner l’allure de R(x).

Si Q>>1 On a alors : 𝑹 =𝟏

√(𝟏−𝒙𝟐)𝟐+(𝒙

𝑸)𝟐

On a bien un maximun pour x=1 avec

𝜺 ≪ 𝟏

x=0 R=0, x=Q R=max x=∞ R=0, ce qui permet de tracer l’allure

10. Montrer que R(x) décroît continument pour 𝑄 ≲ 1

√2. Donner l’allure de R(x).

Si Q<1 alors 𝑹 =𝟏

√𝟏+𝒙𝟒+𝒙𝟐(𝟏

𝑸𝟐−𝟐)

avec (𝟏

𝑸𝟐 − 𝟐) > 𝟎 il n’y a donc plus de

maximum car le dénominateur ne passe plus par un minimum pour x>0. R(x) décroît continument.

11. En supposant que20

0 , trouver la condition sur K pour que R(x)<<1.

On alors Q=10 on a donc une résonnance, si on veut R(x) alors 𝝎𝟎 ≪ 𝟏 soit

K<<m dans ce cas c’est l’aspect inertiel qui l’emporte rapide pour ω> 𝝎𝟎 = √𝑲

𝒎


10

Corrigé travaux dirigés : Ondes

1. Propagation le long d'une corde

(Représentation spatiale/temporelle, relation longueur d'onde/célérite/période)

On dispose d’un système créant des ondes qui se propagent le long d’une corde tendue. On émet d’abord

une seule perturbation, qui se propage. La corde est représentée dans 2 états séparés de 2 secondes (t=0s

et t=2s).

1. Représentez-la aux instants t=4; 6; 8 et 10s.

T=4 secondes

T=6 secondes

T=8 secondes

T=10 secondes

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Am

plit

ud

e

position en cm

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Am

plit

ud

e

position en cm

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Am

plit

ud

e

position en cm

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Am

plit

ud

e

position en cm


4

2. Quelle est la vitesse de propagation de l’onde ?

La vitesse de l’onde est de 0,5cm.s-1, en effet elle avance de 1cm en 2 secondes. 3. Représentez l’élévation yB du point B au cours du temps.

4. Sur le même graphique, représentez l’élévation du point A au cours du temps.

5. On se rend compte que la forme de yB est la même que celle de yA, décalée dans le temps. Quel

est ce déphasage ? Donner le résultat sous la forme : yB (t) = yA (t-Δt).

YB(t) correspond à la fonction YA(t) translatée dans le temps de Δt. Le déphasage entre les deux courbes est Δt=4s. Avec Δt=XAB/vitesse de l’onde, c’est-à-dire Δt=4s. On a bien alors YB(t) = YA(t- Δt), Par exemple : YB(4) = YA(0) ou YB(8) = YA(4), comme on peut le vérifier sur la courbe ci-dessus.

6. D’une manière générale, donner la relation qui existe entre l'élévation de 2 points C et D aux

abscisses xC et xD.

D’une manière générale on a YD(t) = YC(t- XCD/vitesse)

Le générateur est mis en mode répétition : à chaque fois que l'extrémité gauche (coté générateur) de la

corde revient à 0, une nouvelle impulsion est donnée.

7. Tracer la forme spatiale de la corde à un temps quelconque.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6 8 10 12

Elé

vati

on

de

B

Temps en s

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6 8 10 12

Elé

vati

on

Temps en s

élévation B

élévation A


5

8. Quelle est la longueur d’onde de la perturbation ?

La longueur d’onde λ est la période spatiale d’une onde, on a donc λ=3cm. 9. Tracer l’élévation d’un point quelconque au cours du temps.

L’onde périodique du graphe ci-dessus se propage à la vitesse de 0,5cm.s-1. Donc le point situé par exemple à 6cm aura l’élévation suivante en considérant que le graphe ci-dessus correspond à t=0s

. 10. Quelle est sa fréquence ?

La période temporelle τ de l’onde est 8 secondes, ce qui correspond à une fréquence de 0,125Hz.

11. En notant que 2 points séparés d’une longueur d’onde vibrent toujours en phase dans le temps,

donner la relation entre Δt et la période τ dans ce cas. En déduire la relation qui relie la célérité

de l'onde v, la période τ et la longueur d'onde λ.

On a la relation suivante : YD(t) = YC(t- XCD/vitesse). Si les points C et D sont séparés d’une longueur d’onde, on a : YD(t) = YC(t- λ/vitesse). Or ces deux points vibrent en phase au cours du temps. Cela veut dire qu’ils sont déphasés d’une période temporelle τ, soit τ= λ/vitesse. On en déduit que : λ= τ*vitesse.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6 8

Am

plit

ud

e

position en cm

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 2 4 6 8 10 12 14

Elé

vati

on

Temps en s


6

2. *Réflexion

(Somme de signaux, conditions de réflexion)

2 perturbations opposées se propagent le long d’une corde à la même vitesse (v=1cm.s-1

), comme sur le

schéma suivant. Dans ce cas, l’état de la corde est donné par la somme des 2 perturbations.

1. Tracez la forme de la corde aux différents instants.


7


8

2. Que se passe-t-il au point M, situé au milieu de la corde ?

Les deux ondes incidente et réfléchie sont de signe opposé et disposées de manière symétrique par rapport au point M, d’abscisse 6 cm. L’élévation de ce point qui est la somme des déformations induites par chacune des ondes est donc toujours nulle.

Ce cas de figure est identique à une réflexion. Quand une perturbation rencontre un bord, elle repart en

sens inverse. Si on fixe le point M, la perturbation va repartir en sens inverse. Comme le point M est

statique, l’onde réfléchie est inversée, on parle de cas fermé. Une réflexion ouverte est également possible

: dans ce cas le point M est libre de bouger.

3. Représentez comment se passe la réflexion dans le cas fermé.

Pour étudier ce cas il faut faire le cas précédent, imaginer un espace virtuel à droite du point M avec une onde opposée et symétrique de l’onde incidente par rapport à M. On a alors la même résultante que dans la question précédente.

4. Représentez comment se passe la réflexion dans le cas libre.

Pour étudier ce cas il faut, comme dans le cas précédent, imaginer un espace virtuel à droite du point M avec une onde symétrique de l’onde incidente par rapport à M, mais cette fois-ci avec une amplitude positive.


9


10

3. * Relation entre l’énergie transportée par une onde et son amplitude

(Énergie transportée, amplitude d’une onde)

Une corde subit une vibration transverse, comme montré sur la figure ci-dessous. Cette déformation se

propage le long de la corde à une vitesse constante V vers les x positifs. Nous nous plaçons toujours dans

le cas où il y a propagation de la déformation (donc d’énergie) sans perte d’énergie. On se propose de

calculer l’énergie propagée dans le cas de cette déformation. Pour ce faire, On calcule le travail en un

point C (voir graphe ci-dessous). Au cours du temps ce point C monte à une hauteur L puis il redescend.

On rappelle que ce mouvement est engendré par la tension du le fil que l’on note T0 la tension.

1. Donner l’expression du travail de la tension du fil pendant un temps dt c’est-à-dire

pour un déplacement dy. On peut décomposer le mouvement en deux phases, une

phase ou le fil monte et une phase ou le fil redescend.

On a le système suivant :

Le point C monte sous l’action d’une tension TO.

Pendant dt, il subit un

déplacement dy

Le point C va de a à b puis de b

à c

Lorsque le début de la perturbation arrive en C, le point est tiré vers le

haut (selon y) du fait de la tension dans le fil, dans le sens des y positifs :

pendant dt, il subit un déplacement dy. Le travail correspondant vaut

dyTdyTdW y sin

2. En déduire, le travail ou l’énergie transmise à la corde par déformation.

Entre le moment où la partie ab du signal arrive en C, le travail total est

donc : sinsin0

TLdyTW

L

.

L

x

y

C

�� = 𝑉𝑢𝑥

L

c

b

a

Ty

T0

l

x

y

C


11

Lorsque la partie bc du signal arrive en C, la tension de la corde est vers les y négatifs sinTTy et le déplacement dy est vers les y négatifs (de L à

0). Le travail vaut donc sinsin

0

TLdyTWL

.

Le travail total ou énergie transmise par la déformation vaut donc 24

22tan2sin2 L

l

T

l

LTLTLTLW (car 𝛼 est petit).

3. Quelle est la relation entre entre l’énergie transportée par une onde et son

amplitude ?

L’énergie varie comme le carré de l’amplitude de la déformation, ce qui est un résultat

général.

4. * Période-fréquence-célérité

* Une onde sinusoïdale de déplacement transverse se propage le long d’une corde suffisamment tendue.

Nous savons qu’un point quelconque de la corde passe de son déplacement maximum à son déplacement

nul en 0.2 seconde.

1. Quelle est la fréquence du phénomène et sa période ?

On a la fonction suivante :

Le passage d’un zéro à un max correspond à un quart de période, la période de cette

onde est donc de 0,8s soit une fréquence f=1,25Hz.

2. Sachant que la longueur d’onde observée expérimentalement est de 0.4m, donner la vitesse de

propagation (célérité) de cette onde.

La longueur d’onde λ est de 0,4m et c’est la distance parcourue par l’onde en une période c’est-à-dire 0,8s, la vitesse est donc de 0,5m.s-1.

Une onde mécanique induit un déplacement sinusoïdal suivant Oy et se propage selon les x négatifs a une

fréquence de 600Hz et une célérité de 300m/s. Le déplacement autour de la position moyenne est au

maximum de 2 micromètres (µm) d’amplitude.

3. Donner l’expression de cette onde?

𝒀(𝒙, 𝒕) = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒙 + 𝝎𝒕 + 𝝋)

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

Am

plit

ud

e

Temps

τ


12

𝝎 = 𝟐𝝅𝒇 = 𝟏𝟐𝟎𝟎𝝅 et 𝒌 =𝟐𝝅

𝝀 avec 𝝀 =

𝒗

𝒇=

𝟑𝟎𝟎

𝟔𝟎𝟎= 𝟎, 𝟓𝒎, donc 𝒌 = 𝟒𝝅

On ne peut pas déterminer φ avec les données du problème.

Une onde sinusoïdale, de période 2 10-3

seconde, se propage avec une célérité de 340m/s.

4. Quelle distance sépare deux points déphasés de 30°?

On a : 𝒀(𝒙, 𝒕) = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒙 + 𝝎𝒕)

𝝎 =𝟐𝝅

𝟎,𝟎𝟎𝟐= 𝟏𝟎𝟎𝟎𝝅 et 𝒌 =

𝟐𝝅

𝝀 avec 𝝀 = 𝟑𝟒𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟎𝟐 = 𝟎, 𝟔𝟖𝒎

Le déphasage entre deux de l’espace séparé de Δx est égal à : 𝝋 = 𝒌𝚫𝒙 =𝟐𝝅

𝟏𝟐

Donc 𝚫𝒙 =𝟐𝝅

𝟏𝟐𝒌=

𝟎,𝟔𝟖

𝟏𝟐=5,6cm

5. Quelle est en un point déterminé de l’espace la différence de phase entre les déplacements (si la

grandeur physique correspond à un déplacement) aux temps t1 et t2 si t2-t1=0.5 10-3

s ?

Le déphasage entre deux instants séparés de Δt est égal à 𝝋 = 𝝎𝚫𝒕

𝝋 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝝅 ∗ 𝟎, 𝟓. 𝟏𝟎−𝟑 =𝝅

𝟐

5. * Corde tendue et onde stationnaire


Soit une corde très tendue entre les deux points fixes A et B. La corde effleure un petit support en C (voir

figure ci-dessous), ce qui empêche son mouvement transverse (AC=3/4AB). On déclenche un phénomène

vibratoire dans la corde.

1. Donner les amplitudes a(xA,t), a(xB,t) et a(xC,t)

Ces 3 amplitudes sont nulles quel que soit t, car la corde ne peut pas bouger en ces points. 2. Quelle est la fréquence sonore détectable la plus basse ?

Cette fréquence est associée à la longueur d’onde la plus grande (car 𝝀 =𝒗

𝒇) qui

permet d’avoir : a(XA,t)= a(XB,t)= a(XC,t)=0. La distance entre deux zéros d’une

fonction sinusoïdale est une période sur 2, soit 𝝀

𝟐.

On a donc λ=2BC, 𝒇𝟎

=𝒗

𝝀=

𝒗

𝟐𝑩𝑪


13

3. Donner la fréquence des 3 premières harmoniques supérieures. Aidez-vous d’un schéma.

L’harmonique supérieure correspond à une longueur d’onde λ entre B et C, comme sur

le graphe ci-dessus, on a alors λ =BC, , 𝒇𝟏

=𝒗

𝝀=

𝒗

𝑩𝑪= 𝟐𝒇

𝟎

1

2

0

A

A

C

C

B

B

C BA

u

u

u

A chaque fois que l’on ajoute une demi période entre B et C on a bien un zéro en A, B

et C. l’harmonique suivante correspond alors à 3/2 λ =BC, soit 𝒇𝟐

=𝒗

𝝀= 𝟑

𝒗

𝟐𝑩𝑪= 𝟑𝒇

𝟎,

Etc….

4. Donner une application numérique sachant que : AB=1m, F0tension = 90N, µ=3.2 10-3

kg/m.

Dans une corde, la vitesse de propagation est donnée par

mkg

NFV

/102.3

903

0

(F0 est la tension de la corde et µ la masse

linéique de la corde). On a donc f0=335.4Hz.


14

Les harmoniques sont représentées sur la figure ci-dessus : on a

012 , 023 donc 01 2 ff 02 3 ff … 0nff i .

6. *Clarinette


Une clarinette peut être modélisée comme un tube cylindrique, fermé d'un côté et ouvert de l'autre. En

termes de pression, la partie fermé correspond toujours à un ventre, et la côté ouvert à un noeud. La

clarinette "classique" fait 660mm de long.

1. Quelle est la plus grande longueur d'onde accessible avec cet instrument ? Tracer la pression en

fonction de la position à différents temps.

La plus grande longueur d’onde possible est celle pour laquelle on a juste un maximum en x=0 et un zéro en x=660mm, soit :

Donc λ =4*0,66=2,64m. En effet dans une fonction sinusoïdale la distance entre un max et un zéro est un quart de période.

2. Quelle est la fréquence associée à cette longueur d'onde (vitesse du son dans l'air : 340m/s) ?

𝒇𝟎

=𝒗

𝝀=

𝟑𝟒𝟎

𝟐, 𝟔𝟒=

𝟑𝟒𝟎

𝟒 ∗ 𝟎, 𝟔𝟔= 𝟏𝟐𝟖, 𝟖𝑯𝒛

3. On précise que la note la plus basse pouvant être produite est un ré (2) à 147Hz. Etes-vous

d'accord avec cette affirmation ?

Non, on trouve 128,8Hz, cette différence peut être due au pavillon de l’instrument qui donnerait une longueur effective un peu plus petite.

4. Les clarinettes alto sont plus courtes. Les notes les plus basses atteintes par ces clarinettes sont-

elles plus aiguës ou plus graves ?

Plus l’ instrument est petit, plus les notes les plus basses ont une fréquence

élevée : 𝒇 =𝒗

𝝀=

𝟑𝟒𝟎

𝟒∗𝑳𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕

5. Les instruments différents se distinguent par leurs harmoniques. Donner les fréquences des 3

premières harmoniques associées à la note fondamentale et représenter-les sur le graphique.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

x en m


15

A chaque fois que l’on ajoute une demi période on a bien un max en x=0 et un

zéro en x=0,66m. 3/4 λ =0,66, soit 𝒇𝟏

=𝒗

𝝀= 𝟑

𝒗

𝟒∗𝟎,𝟔𝟔= 𝟑𝒇

𝟎, 𝒇

𝟓=

𝒗

𝝀= 𝟓

𝒗

𝟒∗𝟎,𝟔𝟔=

𝟓𝒇𝟎. Etc….

6. Quelle est la taille maximale d'un instrument à vent pour qu'il reste dans le domaine de l'audible

(f > 20Hz) ?

𝒇 =𝒗

𝝀=

𝟑𝟒𝟎

𝟒∗𝑳𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕 donc 𝑳𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕 =

𝟑𝟒𝟎

𝟒∗𝒇= 𝟒, 𝟐𝟓𝒎

7. *Etude d’une onde harmonique

A. Onde progressive

On considère une corde tendue de masse linéique μ=10-3

kg.m-1

, de tension T0=10N et d’une

longueur L = 40cm. La corde est tendue horizontalement (selon la direction 𝑢𝑥 ) La corde est

légèrement écartée de sa position d’équilibre dans la direction verticale (direction 𝑢𝑦 ) et lâchée à

l’instant t=0. On considère des petites perturbations transverses de la corde par rapport à la

longueur de la corde. Dans ces conditions, le mouvement de la corde dans la direction verticale

(𝑢𝑦 ) est décrit par l’équation d’onde suivante : 𝜕2𝑌(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡2 −𝑇0

𝜇

𝜕2𝑌(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥2 =0

1. Donner l’expression de la vitesse de propagation de l’onde.

Dans l’expression 𝝏𝟐𝒀(𝒙,𝒕)

𝝏𝒙𝟐−

𝛍

𝑻𝟎

𝝏𝟐𝒀(𝒙,𝒕)

𝝏𝒕𝟐 figurant dans l’équation d’onde, le coefficient

multipliant le terme de dérivée seconde en temps peut être identifié comme l’inverse du carré de la célérité des ondes dans le milieu considéré (ici la corde

tendue). La vitesse de propagation de l’onde est donc égale à = √𝐓𝟎

𝛍 .

2. Calculer cette vitesse à l’aide des données numériques.

Avec μ=10-3kg.m-1et T0=10N, on a 𝒗 = √𝐓𝟎

𝛍 =100m.s-1

3. Quel temps faut-il pour qu’une onde progressive se déplace de 10 cm le long de la corde ?

Temps= 1ms

L’onde harmonique générée à t=0 a pour expression : 𝑌(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) avec A=0.01m

4. Préciser la direction et le sens de propagation de cette onde.

L’onde se propage selon les x croissant.

5. Montrer que Y(x,t) est solution de l’équation différentielle donnée ci-dessus. Rappeler pour cela

la relation entre le vecteur d’onde k et la pulsation ω de l’onde.

𝛚

𝒌= 𝒗

𝝏𝟐𝒀(𝒙,𝒕)

𝝏𝒕𝟐−

𝑻𝟎

𝝁

𝝏𝟐𝒀(𝒙,𝒕)

𝝏𝒙𝟐 = 𝝎𝟐𝒀(𝒙, 𝒕) −𝑻𝟎

𝜇𝒌𝟐𝒀(𝒙, 𝒕)=0

6. Pour une onde de fréquence f=500Hz, représenter sur un graphique Y(0.04,t) en fonction du

temps, c’est-à-dire au point x=4cm.

On a 𝒌. 𝟎. 𝟎𝟒 = 𝟐𝝅𝟓𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟒 = 𝟎. 𝟒𝝅, ce qui donne.


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7. Pour une onde de fréquence de f=500Hz, représenter sur un graphique Y(x,0.002) en fonction du

x, c’est-à-dire à l’instant t=2ms. Préciser bien l’abscisse du graphique.

𝒍𝒐𝒏𝒈𝒖𝒆𝒖𝒓 𝒅′𝒐𝒏𝒅𝒆 = 𝒗𝝉 = 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝟎, 𝟎𝟎𝟐 = 𝟎, 𝟐𝒎

𝛚 = 𝟐𝛑.𝟓𝟎𝟎 𝛚. 𝟎, 𝟎𝟎𝟐 = 𝟒𝛑. On a donc

B. Onde stationnaire

La corde tendue est fixée à chacune de ses extrémités (x=0 et x=L). L’onde harmonique progressive

se réfléchit donc à chacune de ses extrémités.

8. Expliquer pourquoi le coefficient de réflexion en amplitude de l’onde aux extrémités de la corde

doit être égal à r=-1

La corde est fixe en x=0 et x=L Y=0, ce qui veut dire que la superposition de

l’onde incidente et de l’onde réfléchie est nulle, donc r=-1

9. Donner l’expression de l’onde totale Ytotale(x,t) (superposition de l’onde incidente et de l’onde

-0,012

-0,01

-0,008

-0,006

-0,004

-0,002

0

0,002

0,004

0,006

0,008

0,01

0,012

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005

Am

plit

ud

e

Temps en seconde

-0,015

-0,01

-0,005

0

0,005

0,01

0,015

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Am

plit

ud

e

x en m


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réfléchie) qui se propage sur cette corde tendue.

𝒀𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆(𝒙, 𝒕) = 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) − 𝑨𝒄𝒐𝒔(𝒌𝒙 + 𝝎𝒕)

10. A l’aide des relations trigonométriques données en annexe, exprimer cette onde totale à l’aide

d’un produit de sinus.

On utilise 𝒄𝒐𝒔(𝒂) − 𝒄𝒐𝒔(𝒃) = −𝟐𝒔𝒊𝒏 (𝒂−𝒃

𝟐) 𝒔𝒊𝒏 (

𝒂+𝒃

𝟐)

On a alors : 𝒀𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍𝒆(𝒙, 𝒕) = 𝟐𝑨𝒔𝒊𝒏(𝒌𝒙)𝒔𝒊𝒏(𝝎𝒕)

11. Est-ce que Ytotale(x,t) est une onde progressive ? Justifier clairement votre réponse.

Non, on n’a plus une fonction dont la dépendance spatiotemporelle est en x-vt. On

a une onde stationnaire.

12. Est-ce qu’une onde harmonique de fréquence f=500Hz permet de satisfaire les conditions limites

(aux extrémités de la corde tendue) ?

𝝀 =𝒗

𝟓𝟎𝟎=

𝟏𝟎𝟎

𝟓𝟎𝟎=

𝟏

𝟓=0.2m, L est un multiple de la longueur d’onde, donc oui

13. Est-ce que d’autres fréquences permettent de satisfaire ces conditions limites ? Si oui, donner

leur expression.

Oui, toutes les valeurs de fréquence qui permettent de satisfaire kL=mπ

C’est-à-dire f=m.v/2L

8. Puissance, Intensité sonore

Une fusée explose à une altitude de 400m produisant une intensité sonore au sol de 6.7 10-2

W/m² et ce,

pendant 0.2s. On considère que l’émission sonore se fait de façon isotrope et que la source sonore peut

être considérer comme ponctuelle.

1. Déterminer la puissance totale émise par l’explosion

On a une émission sonore isotrope et donc se propageant dans toutes les directions

de l’espace. La source étant considérée ponctuelle, on a émission d’une onde

sphérique (équivalent en 3D du caillou que l’on jette dans l’eau) En un point situé à

une distance de 400m, on mesure une intensité sonore (densité surfacique de

puissance) de 6.7 10-2 W/m².

La puissance totale est celle émise dans toutes les directions. Elle est égale au

flux de l’intensité sonore à travers une surface fermée contenant le point source.

𝑷 = ∬ 𝑰𝒓𝒖𝒓 𝒅𝒔 avec 𝒖𝒓 le vecteur radial car on a une émission sphérique.

A une distance r l’intensité sonore est constante sur toute la surface d’une sphère

de rayon r (émission isotrope). Donc pour calculer le flux on choisit comme surface

une sphère de rayon r. 𝑰𝒓 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒕 𝒖𝒓 ∥ 𝒅𝒔 . On a : 𝑷 = 𝑰𝟒𝟎𝟎𝟒𝝅𝟒𝟎𝟎𝟐 = 𝟏𝟑𝟒, 𝟕𝑲𝑾

2. Quelle est l’énergie sonore totale due à cette explosion ?

La puissance est l’énergie émise pendant une seconde, donc l’énergie totale émise

est égale à la puissance fois la durée d’émission. 𝑬 = 𝑷. ∆𝒕 = 𝟏𝟑𝟒, 𝟕𝑲𝑾 ∗ 𝟎, 𝟐 = 𝟐𝟔𝑲𝑱

3. Donner l’expression qui relie l’intensité acoustique I0 à une distance r0 à l’intensité acoustique I(r) à

une distance r.

Le calcul de la puissance totale ne dépend de la distance à laquelle on fait le

calcul (en l’absence de mécanismes d’absorption). On a donc 𝑷 = 𝑰𝒓𝟒𝝅𝒓𝟐 = 𝑰𝟎𝟒𝝅𝒓𝟎𝟐.

Soit : 𝑰𝒓 =𝑰𝟎𝒓𝟎

𝟐

𝒓𝟐

4. Quelle est la puissance sonore à 10m du point d’explosion ?


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𝑰𝟏𝟎 =𝑰𝟒𝟎𝟎𝟏𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟎𝟎= 𝟏𝟔𝟎𝟎𝑰𝟒𝟎𝟎

Une personne parlant normalement produit un niveau sonore de 40dB à 1m. On rappelle que l’intensité

acoustique de référence est de 10-12

W.m-2

, ce qui correspond à une pression acoustique de référence p0=2

10-5

Pa.

5. Rappeler à quoi correspond cette intensité acoustique de référence. (Comment elle a été choisie ?)

L’intensité de référence I0 correspond au seuil d’audition, c’est la petite densité

surfacique de puissance que l’oreille peut détecter.

6. Si le niveau d’audition convenable pour une conservation est de 30dB, à quelle distance peut-on

encore comprendre la conversation ?

Le niveau L est égal à 𝑳 = 𝟏𝟎. 𝒍𝒐𝒈 (𝑰

𝑰𝟎).

A 1m le niveau sonore est de 40dB soit 10000 fois I0

𝟒𝟎 = 𝟏𝟎. 𝒍𝒐𝒈 (𝑰

𝑰𝟎

) 𝒄𝒐𝒓𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒏𝒅 à 𝒍𝒐𝒈 (𝑰

𝑰𝟎

) = 𝟒 𝒔𝒐𝒊𝒕 𝑰 = 𝟏𝟎𝟒 𝑰𝟎

Un niveau sonore de 30 db correspond à 1000 fois I0.

Or on a la relation

𝑰𝒓 =𝑰𝟏𝒓𝟏

𝟐

𝒓𝟐 𝒔𝒐𝒊𝒕 𝒓 = √

𝑰𝟏𝒓𝟏𝟐

𝑰𝒓= √𝟏𝟎

Le niveau d’intensité en décibel varie pour l’oreille humaine entre une puissance surfacique sonore de 10-

12W/m² et 1 W/m².

7. Quels sont les niveaux extrêmes correspondant en décibel sachant que l’on prend comme intensité

sonore de référence le seuil d’audition ?

𝑳 = 𝟏𝟎. 𝒍𝒐𝒈 (𝑰

𝑰𝟎) donc cela va de 0dB à 120 dB.

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Vibrations - Laboratoire Interdisciplinaire de Physique · du volume de fluide déplacé ». 5.* Soit un pendule simple constitué une masse ponctuelle m suspendue à un fil inextensible