Vibrations non linéaires de plaque mince : transition et

Turbulenced’ondes dansles plaques

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Introduction

Modèles etméthodes

Transition à laturbulence

Turbulenced’ondes

Vibrations non linéaires de plaque mince :transition et caractérisation de la turbulence d’ondes

Cyril Touzé

Unité de Mécanique (UME)ENSTA-ParisTech

[email protected]

École thématique du CNRS

Acoustique non linéaire et milieux complexes

Ile d’Oléron

Jeudi 5 juin 2014

Collaborations : Olivier Cadot, Michele Ducceschi, Thomas Humbert (UME), Olivier Thomas (ENSAM-Lille),Stefan Bilbao (Univ. Edimbourgh), Arezki Boudaoud (ENS Lyon), Christophe Josserand (IJLRDA - Paris 6)


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Turbulenced’ondes

PLAN DE LA PRÉSENTATION

1 INTRODUCTION

2 MODÈLES ET MÉTHODESModèle de von KármánProjection modaleDifférences finies

3 TRANSITION À LA TURBULENCEObservations en basse fréquenceRésonances internes, cas de la résonance 1:2Simulations numériques

4 TURBULENCE D’ONDESDéfinitionsPremières confrontations expérimentalesEffet de l’amortissementTurbulence instationnaire : effet du forçage et des imperfections


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Introduction



Turbulenced’ondes


1 INTRODUCTION





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Introduction



Turbulenced’ondes

UN OBJET D’ÉTUDE

Cymbales : coques minces (épaisseurs ≤ 1 mm, ∅ de 20 à 50 cm)

Gongs : épaisseur de 1 à 2 mm, ∅ de 50 cm à 1.2 m.


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Turbulenced’ondes

CYMBALES ET GONGS

son riche et brillant, spectre large bande... régime fortement non-linéaire.


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Turbulenced’ondes

CYMBALES ET GONGS

son riche et brillant, spectre large bande... régime fortement non-linéaire.


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Turbulenced’ondes

NON LINÉARITÉ GÉOMÉTRIQUE


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Introduction



Turbulenced’ondes

UN OBJET D’ÉTUDE

Cymbales, gongs : coques minces modèles mécaniques adaptés:Plaques et coques minces en grande amplitude.

Amplitudes de vibrations : de 1 à 10 fois l’épaisseur,sans déformation plastique rémanente non-linéarité géométrique.

Non-linéarité fondamentale pour la production du son.Régime vibratoire complexe, spectre large bande turbulence dans un solide ?


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Introduction



Turbulenced’ondes

UN OBJET D’ÉTUDE





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Introduction



Turbulenced’ondes

UN OBJET D’ÉTUDE





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Introduction



Turbulenced’ondes

EXPÉRIENCE EN RÉGIME FORCÉ

But : expérience contrôlée, reproductible.Paramètres de contrôle:

Amplitude de la force d’excitation FexcFréquence d’excitation Ω

Idée : à Ω constant : augmenter l’amplitude Fexc . augmentation progressive des non-linéarités et observation destransitions (instabilités).


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Introduction



Turbulenced’ondes

EXPÉRIENCE EN RÉGIME FORCÉ

But : expérience contrôlée, reproductible.Paramètres de contrôle:

Amplitude de la force d’excitation FexcFréquence d’excitation Ω

Idée : à Ω constant : augmenter l’amplitude Fexc . augmentation progressive des non-linéarités et observation destransitions (instabilités).


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Turbulenced’ondes

OBSERVATIONS GÉNÉRIQUES

Pression (champ proche) et spectrogrammes de deux autres expériences surdes cymbales:(K-cymbal, ∅ : 51 cm, h= 1.1 mm )

Ω/2π = 467Hz Ω/2π = 662Hz


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Turbulenced’ondes


3 régimes, 2 bifurcations.

Régime quasipériodique:

Chaque fréquence (fi , fj ) estproche d’une fréquence propre.(accrochage de fréquences).

La relation:

fi + fj = Ω/2π

est toujours vérifiée.Échanges d’énergie entremodes en résonance interne.

Régime de turbulence d’ondes.


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Introduction



Turbulenced’ondes





La relation:

fi + fj = Ω/2π




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Introduction



Turbulenced’ondes





La relation:

fi + fj = Ω/2π




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Introduction



Turbulenced’ondes

PROBLÉMATIQUES

Transition à la turbulence:Quel est le scénario ?comment l’énergie s’échangent-elles entre les modes ?Comment expliquer les couplages et les relation de résonancesinternes ?

Turbulence dans un solideComment caractériser le régime turbulent ?Qu’est-ce que la turbulence d’ondes ?Les observations expérimentales sont elles cohérentes avec la théorie ?


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Turbulenced’ondes

PROBLÉMATIQUES

Transition à la turbulence:Quel est le scénario ?comment l’énergie s’échangent-elles entre les modes ?Comment expliquer les couplages et les relation de résonancesinternes ?

Turbulence dans un solideComment caractériser le régime turbulent ?Qu’est-ce que la turbulence d’ondes ?Les observations expérimentales sont elles cohérentes avec la théorie ?


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Introduction

Modèles etméthodesModèle de vonKármán

Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes


1 INTRODUCTION





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Introduction


Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes


1 INTRODUCTION





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Introduction


Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

MODÈLE DE VON KÁRMÁN : HYPOTHÈSES

Plaque mince en flexion: dimensions latérales épaisseur h. inconnue principale : déplacement transverse w(x, t)

Modèle de von Kármán1 Cinématique de Kirchhoff-Love (pas de cisaillement)2 Troncature à l’ordre le plus bas dans la relation

déformation-déplacement3 Inertie de rotation négligée4 Inertie membranaire négligée introduction d’une fonction d’Airy F (x, t).

Équations du mouvement:

D∆∆w + ρhw = L(w ,F )− µw + p(x , t),

∆∆F = −Eh2

L(w ,w)

L : opérateur bilinéaire (en cartésienne):

L(w ,F ) = w,xx F,yy + w,yy F,xx − 2w,xy F,xy

Non-linéarité cubique uniquement


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Introduction


Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes


Plaque mince en flexion: dimensions latérales épaisseur h. inconnue principale : déplacement transverse w(x, t)Modèle de von Kármán

1 Cinématique de Kirchhoff-Love (pas de cisaillement)2 Troncature à l’ordre le plus bas dans la relation



D∆∆w + ρhw = L(w ,F )− µw + p(x , t),

∆∆F = −Eh2

L(w ,w)





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Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes






D∆∆w + ρhw = L(w ,F )− µw + p(x , t),

∆∆F = −Eh2

L(w ,w)





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Introduction


Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes






D∆∆w + ρhw = L(w ,F )− µw + p(x , t),

∆∆F = −Eh2

L(w ,w)





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Introduction


Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

PLAQUE IMPARFAITE

Ajout d’une imperfection géométrique w0

w (x,y)0

hw(x,y,t)

Équations dynamiques:

D∆∆w + ρhw = L(w ,F ) + L(w0,F )− cw + p,

∆∆F = −Eh2

[L(w ,w) + 2L(w ,w0)].

Non-linéarité quadratique et cubique.


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Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

PLAQUE IMPARFAITE

Ajout d’une imperfection géométrique w0

w (x,y)0

hw(x,y,t)

Équations dynamiques:

D∆∆w + ρhw = L(w ,F ) + L(w0,F )− cw + p,

∆∆F = −Eh2

[L(w ,w) + 2L(w ,w0)].

Non-linéarité quadratique et cubique.


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Introduction


Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes


1 INTRODUCTION





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Introduction


Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

DISCRÉTISATION : BASE MODALE

cas de la plaque parfaiteExpansion modale:

w(x, t) =

NΦ∑k=1

Xk (t)Φk (x),

avec : ∆∆Φk (x) =ρhDω2

k Φk (x),

F (x, t) =

NΨ∑k=1

ηk (t)Ψk (x),

avec : ∆∆Ψk (x) = ζ4k Ψk (x).

Équations modales:

Xp + ω2pXp + 2ξpωpXp +

N∑i,j,k=1

Γpijk XiXjXk = Fp(t),

avec Γpijk un coefficient à calculer:

Γpijk = −1

2

NΨ∑s=1

1ζ4

s

∫∫(S)

L(Φi ,Φj )Ψs dS∫∫

(S)

ΦpL(Φk ,Ψs) dS .


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Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

DISCRÉTISATION : BASE MODALE

cas de la plaque parfaiteExpansion modale:

w(x, t) =

NΦ∑k=1

Xk (t)Φk (x),

avec : ∆∆Φk (x) =ρhDω2

k Φk (x),

F (x, t) =

NΨ∑k=1

ηk (t)Ψk (x),

avec : ∆∆Ψk (x) = ζ4k Ψk (x).

Équations modales:


N∑i,j,k=1

Γpijk XiXjXk = Fp(t),

avec Γpijk un coefficient à calculer:

Γpijk = −1

2

NΨ∑s=1

1ζ4

s

∫∫(S)

L(Φi ,Φj )Ψs dS∫∫

(S)

ΦpL(Φk ,Ψs) dS .


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Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

CAS DE LA PLAQUE IMPARFAITE

On utilise la base modale de la plaque parfaite.

projection du défaut:

w0(x) =

NΦ∑k=1

ak Φk (x).

Équations modales:


NΦ∑i=1

αpi Xp +

NΦ∑i,j=1

βpij XiXj +

NΦ∑i,j,k=1

Γpijk XiXjXk = Fp(t)

Non-linéarité quadratique et cubique:

αpi =

NΦ∑r,s=1

2Γprisar as, βp

ij =

NΦ∑s=1

(Γpijs + 2Γp

sij )as.


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Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes




w0(x) =

NΦ∑k=1

ak Φk (x).

Équations modales:


NΦ∑i=1

αpi Xp +

NΦ∑i,j=1

βpij XiXj +

NΦ∑i,j,k=1



αpi =

NΦ∑r,s=1

2Γprisar as, βp

ij =

NΦ∑s=1

(Γpijs + 2Γp

sij )as.


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Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes




w0(x) =

NΦ∑k=1

ak Φk (x).

Équations modales:


NΦ∑i=1

αpi Xp +

NΦ∑i,j=1

βpij XiXj +

NΦ∑i,j,k=1



αpi =

NΦ∑r,s=1

2Γprisar as, βp

ij =

NΦ∑s=1

(Γpijs + 2Γp

sij )as.


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Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

INTÉRÊTS DE LA PROJECTION MODALE

Dynamique modale: ensemble d’oscillateurs non linéaires couplés.

Mise en évidence des termes de couplage non linéaire, responsabledes transferts d’énergie entre modes.

Troncatures pour modèles réduits(en particulier adapté aux études de type "systèmes dynamiques",

e.g. continuation numérique des branches d’orbites périodiques)

Intégration temporelle:Écriture d’un schéma conservatif adapté à ces équations[thèse M. Ducceshi, 2014]

Gestion aisée de l’amortissement


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Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes


1 INTRODUCTION





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Introduction


Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

SCHÉMA AUX DIFFÉRENCES FINIES

cas de la plaque rectangulaire, domaine [0, Lx ]× [0, Ly ]

discrétisations:

w(x , y , t) → wnl,m

F (x , y , t) → F nl,m

tn = nht , avec ht pas de temps, et (l,m) ∈ [0,Nx ]× [0,Ny ], (hx , hy ) pas d’espace.

Opérateurs discrets:et+wn

l,m = wn+1l,m , et−wn

l,m = wn−1l,m .

Dérivées temporelles:

δt· =1

2ht(et+ − et−), δt+ =

1ht

(et+ − 1), δt− =1ht

(1− et−), δtt = δt+δt−,

Moyennage temporel:

µt+ =12

(et+ + 1), µt− =12

(1 + et−), µt· =12

(et+ + et−), µtt = µt+µt−,

Laplacien et bi-laplacien:

δ∆ = δxx + δyy

δ∆∆ = δ∆δ∆


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Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

SCHÉMA AUX DIFFÉRENCES FINIES

cas de la plaque rectangulaire, domaine [0, Lx ]× [0, Ly ]

discrétisations:

w(x , y , t) → wnl,m

F (x , y , t) → F nl,m

tn = nht , avec ht pas de temps, et (l,m) ∈ [0,Nx ]× [0,Ny ], (hx , hy ) pas d’espace.

Opérateurs discrets:et+wn

l,m = wn+1l,m , et−wn

l,m = wn−1l,m .

Dérivées temporelles:

δt· =1

2ht(et+ − et−), δt+ =

1ht

(et+ − 1), δt− =1ht

(1− et−), δtt = δt+δt−,

Moyennage temporel:

µt+ =12

(et+ + 1), µt− =12

(1 + et−), µt· =12

(et+ + et−), µtt = µt+µt−,

Laplacien et bi-laplacien:

δ∆ = δxx + δyy

δ∆∆ = δ∆δ∆


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Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

SCHÉMA CONSERVATIF

schéma conservatif pour les plaques parfaites et imparfaites:[S. Bilbao, NMPDE, 2007]

ρhδttw + Dδ∆∆w = −cδt.w + l(w + w0, µt·F ) + pnl,m,

µt−δ∆∆F = −Eh2

l(w , et−(w) + 2w0).

avec:

l(f , g) = δxx f δyy g + δyy f δxx g − 2µx−µy−(δx+y+ f δx+y+ g).

Condition de stabilité

ht ≤h2

x h2y

2(h2x + h2

y )

√ρhD


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Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

SCHÉMA CONSERVATIF

schéma conservatif pour les plaques parfaites et imparfaites:[S. Bilbao, NMPDE, 2007]

ρhδttw + Dδ∆∆w = −cδt.w + l(w + w0, µt·F ) + pnl,m,

µt−δ∆∆F = −Eh2

l(w , et−(w) + 2w0).

avec:

l(f , g) = δxx f δyy g + δyy f δxx g − 2µx−µy−(δx+y+ f δx+y+ g).

Condition de stabilité

ht ≤h2

x h2y

2(h2x + h2

y )

√ρhD


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Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

SCHÉMA CONSERVATIF

Énergies continues :

T =ρh2

∫∫S

w2dS,

V =D2

∫∫S

(∆w)2dS,

U =1

2Eh

∫∫S

(∆F )2dS,

Conservation de l’énergie :dHdt

=ddt

(T + V + U) = 0

Énergies discrètes :

t =12||δt−w||2s,

v =12κ

2< δ∆w, et−δ∆w >s,

u =12κ

2µt− ||δ∆F ||2s,

< f , g >s= hx hy

Nx∑l=0

Ny∑m=0

fl,mgl,m

Conservation de l’énergie discrète :δt+h = δt+ (t + v + u) = 0


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Introduction


Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

SCHÉMA CONSERVATIF

Énergies continues :

T =ρh2

∫∫S

w2dS,

V =D2

∫∫S

(∆w)2dS,

U =1

2Eh

∫∫S

(∆F )2dS,

Conservation de l’énergie :dHdt

=ddt

(T + V + U) = 0

Énergies discrètes :

t =12||δt−w||2s,

v =12κ

2< δ∆w, et−δ∆w >s,

u =12κ

2µt− ||δ∆F ||2s,

< f , g >s= hx hy

Nx∑l=0

Ny∑m=0

fl,mgl,m

Conservation de l’énergie discrète :δt+h = δt+ (t + v + u) = 0


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Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

CONSERVATION DE L’ÉNERGIE

plaque 0.6m×0.4m

h= 1mm

sans amortissement

bords simplement supportés

premières fréquences propres (Hz):21.65 41.63 66.61 74.9386.59 119.89 121.55 141.54

excitation Fexc = 87 Hz

Fréquence d’échantillonnage :100 kHz

0 5 10 15−4

−2

0

2

4

t [s]

w [mm]

0 5 10 150

10

20

Force [N]

0 5 10 150

2

4

6

8

10x 10

6

t [s]

En

erg

y

in−plane

transverse

total


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Introduction


Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

CONSERVATION DE L’ÉNERGIE

plaque 0.6m×0.4m

h= 1mm

avec amortissement

excitation Fexc = 87 Hz

0 5 10 15 20−3

−2

−1

0

1

2

3x 10

−3

0 5 10 15 200

10

20

30

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

6

Ener

gy

total

in−plane

transverse

10−3

A [N]

0

w [

m]

t [s]

t [s]

Fre

quen

cy [

Hz]

t [s]

(a)

(b)

(c)


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Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

BILAN

Dynamique non linéaire des plaques minces:→ Équations de von Kármán→ Non-linéarité polynomiale, cubique (plaque parfaite).

Approches numériques:Méthode modaleschéma aux différences finies

Utilisation de ces modèles pour comprendrela transition à la turbulencele régime de turbulence d’ondes


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Introduction


Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

BILAN

Dynamique non linéaire des plaques minces:→ Équations de von Kármán→ Non-linéarité polynomiale, cubique (plaque parfaite).Approches numériques:

Méthode modaleschéma aux différences finies



mincesC. Touzé

Introduction


Projection modale

Différences finies


Turbulenced’ondes

BILAN

Dynamique non linéaire des plaques minces:→ Équations de von Kármán→ Non-linéarité polynomiale, cubique (plaque parfaite).Approches numériques:

Méthode modaleschéma aux différences finies



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Introduction


Transition à laturbulenceObservations enbasse fréquence

Résonancesinternes, cas de larésonance 1:2

Simulationsnumériques

Turbulenced’ondes


1 INTRODUCTION





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Introduction





Turbulenced’ondes


1 INTRODUCTION





mincesC. Touzé

Introduction





Turbulenced’ondes

TRANSITION DIRECTE

Cas des excitations basse fréquence (autour des premiers modes de la structure)

transition directe au régime turbulent

Exemples numériques:

[C. Touzé, S. Bilbao et O. Cadot, J. Sound. Vib., 2012]

plaque 0.6m×0.4m, h = 1 mm, bords simplement supportés

premières fréquences propres

f [Hz] 21.65 41.63 66.61 74.93 86.59 119.89 121.55 141.54 161.52


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Introduction





Turbulenced’ondes

TRANSITION DIRECTE







f [Hz] 21.65 41.63 66.61 74.93 86.59 119.89 121.55 141.54 161.52

Excitation 87 Hz


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Introduction





Turbulenced’ondes

TRANSITION DIRECTE







f [Hz] 21.65 41.63 66.61 74.93 86.59 119.89 121.55 141.54 161.52

Fre

qu

en

cy

[H

z]

t [s]

Excitation 154 Hz


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Turbulenced’ondes

PLAQUE CIRCULAIRE - MÉTHODE MODALE

Étude sur plaque circulaire, bord libre.

Méthode modale, forçage ponctuel,au bord (θ = 0).[C. Touzé, O. Thomas and M. Amabili, Int. J. Nonlinear

Mech., 2011]

Troncature N = 19 modes transverses.

Fréquence d’excitation Ωexc ∈ [1.5, 25].NB: fréquence adimensionnée.

Intégration en temps,transitoire très longs (5 000 000périodes)

Analyse : section de Poincaré(stroboscopie à Ωexc ).

(2,0) 5.26

(0,1) 9.06

(3,0) 12.24

(1,1) 20.51

(4,0) 21.52

(5,0) 33.06

(2,1) 35.24

(0,2) 38.51

(6,0) 46.81

(0,3) 87.81

(0,4) 156.88

(0,5) 245.69


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Introduction





Turbulenced’ondes




Mech., 2011]





(2,0) 5.26

(0,1) 9.06

(3,0) 12.24

(1,1) 20.51

(4,0) 21.52

(5,0) 33.06

(2,1) 35.24

(0,2) 38.51

(6,0) 46.81

(0,3) 87.81

(0,4) 156.88

(0,5) 245.69


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Introduction





Turbulenced’ondes




Mech., 2011]





(2,0) 5.26

(0,1) 9.06

(3,0) 12.24

(1,1) 20.51

(4,0) 21.52

(5,0) 33.06

(2,1) 35.24

(0,2) 38.51

(6,0) 46.81

(0,3) 87.81

(0,4) 156.88

(0,5) 245.69


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Turbulenced’ondes

PLAQUE CIRCULAIRE

Excitation au voisinagede la premièrefréquence propres:

Ωexc = 5.3

transition directe.

Force F adimensionnée:

F =Eh4

εa4 F

ex : E=110 GPa,h=1 mm, a= 0.2 m,ε = 12(1− ν2), ν = 0.33,

Fadimcr = 15.92 =⇒ F=102.35 N

0 5 10 15 20

−1

0

1

2

0 5 10 15 20

−1

0

1

0 5 10 15 20

−1

0

1

0 5 10 15 20

−0.5

0

0.5

F

F

F

F

(2,0,C)

(2,0,S)

(3,0,C)

(0,1)

qq

qq

(2,0,C)

(2,0,S)

(0,1)

(3,0,C)


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Turbulenced’ondes

PLAQUE CIRCULAIRE

Excitation au voisinagede la premièrefréquence propres:

Ωexc = 5.3

transition directe.

Force F adimensionnée:

F =Eh4

εa4 F

ex : E=110 GPa,h=1 mm, a= 0.2 m,ε = 12(1− ν2), ν = 0.33,

Fadimcr = 15.92 =⇒ F=102.35 N

0 5 10 15 20

−1

0

1

2

0 5 10 15 20

−1

0

1

0 5 10 15 20

−1

0

1

0 5 10 15 20

−0.5

0

0.5

F

F

F

F

(2,0,C)

(2,0,S)

(3,0,C)

(0,1)

qq

qq

(2,0,C)

(2,0,S)

(0,1)

(3,0,C)


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Turbulenced’ondes

PLAQUE CIRCULAIRE

Au voisinage de ladeuxième fréquence propre:

Ωexc = 9.4

transition directe.

résultat générique pourtoutes les fréquencestestées:

Ωexc ∈ [1.5 , 25]

Explication:pas de relation derésonance interne possible !

(1,1,C)

q(3,0,S)

q(3,0,C)

q(0,1)

q(2,0,S)

q(2,0,C)

q

F

F

F

F

F

F

(2,0,C)

(0,1)

(2,0,S)

(1,1,C)

(3,0,S)

(3,0,C)


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Introduction





Turbulenced’ondes

PLAQUE CIRCULAIRE


Ωexc = 9.4

transition directe.


Ωexc ∈ [1.5 , 25]


(1,1,C)

q(3,0,S)

q(3,0,C)

q(0,1)

q(2,0,S)

q(2,0,C)

q

F

F

F

F

F

F

(2,0,C)

(0,1)

(2,0,S)

(1,1,C)

(3,0,S)

(3,0,C)


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Turbulenced’ondes

PLAQUE CIRCULAIRE


Ωexc = 9.4

transition directe.


Ωexc ∈ [1.5 , 25]


(1,1,C)

q(3,0,S)

q(3,0,C)

q(0,1)

q(2,0,S)

q(2,0,C)

q

F

F

F

F

F

F

(2,0,C)

(0,1)

(2,0,S)

(1,1,C)

(3,0,S)

(3,0,C)


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Turbulenced’ondes

PLAQUE CIRCULAIRE : DIAGRAMME DEBIFURCATION

2.5 5.26 7.5 9.06 10 12.24 15 17.5 20.5 21.50

5

10

15

20

25

30

35

40

Ω

F

chaos chaoschaos

pointillés gras : fréquences propres

pointillés fins : sous-harmoniques 1/3 des fréquences propres


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Introduction





Turbulenced’ondes


1 INTRODUCTION





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Introduction





Turbulenced’ondes

RÉSONANCES INTERNES

Théorie des formes normales[H. Poincaré, 1892, H. Dulac, 1912]

Changements de variables non linéaires pour éliminer les termesnon résonnants.

Si le C.V. est possible, terme non résonnant, forme normale linéaireSinon, couplage fort, forme normale non linéaire

Exemple simple:

q1 + ω21q1 + β1

11q21 + β1

12q1q2 + β122q2

2 = 0

q2 + ω22q2 + β2

11q21 + β2

12q1q2 + β222q2

2 = 0

avec relation de résonance : ω2 ' 2ω1.A l’ordre le plus bas :

q1 ∼ exp±iω1t , q2 ∼ exp±iω2t

En particulier:

q21 ∼ exp2iω1t ∼ expiω2t , q1q2 ∼ expi(ω2−ω1)t ∼ expiω1t

Forme normale:

q1 + ω21q1 + β1

12q1q2 = 0

q2 + ω22q2 + β2

11q21 = 0


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Turbulenced’ondes





Exemple simple:

q1 + ω21q1 + β1

11q21 + β1

12q1q2 + β122q2

2 = 0

q2 + ω22q2 + β2

11q21 + β2

12q1q2 + β222q2

2 = 0

avec relation de résonance : ω2 ' 2ω1.

A l’ordre le plus bas :


En particulier:


Forme normale:

q1 + ω21q1 + β1

12q1q2 = 0

q2 + ω22q2 + β2

11q21 = 0


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Introduction





Turbulenced’ondes





Exemple simple:

q1 + ω21q1 + β1

11q21 + β1

12q1q2 + β122q2

2 = 0

q2 + ω22q2 + β2

11q21 + β2

12q1q2 + β222q2

2 = 0



En particulier:


Forme normale:

q1 + ω21q1 + β1

12q1q2 = 0

q2 + ω22q2 + β2

11q21 = 0


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Introduction





Turbulenced’ondes





Exemple simple:

q1 + ω21q1 + β1

11q21 + β1

12q1q2 + β122q2

2 = 0

q2 + ω22q2 + β2

11q21 + β2

12q1q2 + β222q2

2 = 0



En particulier:


Forme normale:

q1 + ω21q1 + β1

12q1q2 = 0

q2 + ω22q2 + β2

11q21 = 0


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Turbulenced’ondes


Forme normale pour les systèmes oscillants, composés d’un spectrede fréquences propres ±iωpp=1...N

Termes résonnants quand une relation de résonance interne existeordre 2 (non linéarité quadratique):

ωk = ωi ± ωj

ordre 3 (non linéarité cubique):

ωk = ωi ± ωj ± ωp

S’il n’existe aucune relation de résonance interne,le système peut être linéarisé.(Théorème de Poincaré. Attention, valable localement uniquement, dans un voisinage d’un point fixe)

Sinon : couplages forts entres les modes, échanges d’énergie.→ compréhension du scénario de transition.


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Turbulenced’ondes




ωk = ωi ± ωj






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Turbulenced’ondes




ωk = ωi ± ωj






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Turbulenced’ondes

PLAQUE CIRCULAIRE IMPARFAITE

Idée : à l’aide d’une imperfection, augmenter la fréquence propre dumode (0,1) pour avoir une résonance interne 1:2

Imperfection ayant la forme du mode (0,1),amplitude de l’imperfection : 0.45h.

Fréquences propres

(2,0) 5.26

(0,1) 10.52

(3,0) 12.24

(1,1) 21.13

Relations de résonances internes:

2ω(2,0) w ω(0,1)

2ω(0,1) w ω(1,1)

Fréquence d’excitation : au voisinage de (0,1).


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Turbulenced’ondes




Fréquences propres

(2,0) 5.26

(0,1) 10.52

(3,0) 12.24

(1,1) 21.13


2ω(2,0) w ω(0,1)

2ω(0,1) w ω(1,1)



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Turbulenced’ondes




Fréquences propres

(2,0) 5.26

(0,1) 10.52

(3,0) 12.24

(1,1) 21.13


2ω(2,0) w ω(0,1)

2ω(0,1) w ω(1,1)



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Turbulenced’ondes


Ωexc = 10.2 :

Activation de larésonance 1:2

Couplage avec uneseule configuration(résonance 1:1:2)

Régime turbulentpour : F = 2.81.

Pas de couplageobservé avec (1,1)


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Turbulenced’ondes


Ωexc = 10.6 :

couplage avec lemode (1,1) pour F =2.25.

résonance 2:1 avec(2,0) changement deconfiguration.

régime turbulent :F = 6.3.


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Turbulenced’ondes

PLAQUE IMPARFAITE : DIAGRAMME DEBIFURCATION

5.26 10.52 12.240

5

10

15

20

25

chaosF

Ω

Region jaune : activation de la résonance 2:1pointillés fins : sous-harmoniques 1/3 des fréquences propres.

tirets-pointillés : sous-harmoniques 1/2


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Turbulenced’ondes

RÉSONANCE 1:2 : ÉTUDE ANALYTIQUE

Deux oscillateurs non linéaires en résonance 1:2. Forme normale:

q1 + ω21q1 = ε [α1q1q2 − 2µ1q1]

q2 + ω22q2 = ε

[α2q2

1 − 2µ2q2 + Q2 cos Ωt]

Solution perturbative : échelles multiples. ε petit paramètre.

Résonance interne, forçage au voisinage de ω2:

ω2 = 2ω1 + εσ1

Ω = ω2 + εσ2

Quelles conditions sur les paramètres du système pour obtenir untransfert d’énergie q2 q1 ?


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Turbulenced’ondes



q1 + ω21q1 = ε [α1q1q2 − 2µ1q1]

q2 + ω22q2 = ε

[α2q2

1 − 2µ2q2 + Q2 cos Ωt]



ω2 = 2ω1 + εσ1

Ω = ω2 + εσ2



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Turbulenced’ondes



q1 + ω21q1 = ε [α1q1q2 − 2µ1q1]

q2 + ω22q2 = ε

[α2q2

1 − 2µ2q2 + Q2 cos Ωt]



ω2 = 2ω1 + εσ1

Ω = ω2 + εσ2



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Turbulenced’ondes


Échelles multiples : T0 = t , T1 = εT .

qp(t) = qp0(T0,T1) +O(ε)

=12

ap(T1) expjθp(T1) expjωpT0 +cc +O(ε)

(ap, θp) : amplitude et phase de la solution au premier ordre. solutions d’un système dynamique en T1

[condition de solvabilité par annulation des termes résonnants]

Solutions (points fixes):Une solution non couplée : a2 = Q2

2ω2

√σ2

2+µ22

, a1 = 0.

Une solution couplée : a1, a2 6= 0


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Turbulenced’ondes


Échelles multiples : T0 = t , T1 = εT .

qp(t) = qp0(T0,T1) +O(ε)

=12

ap(T1) expjθp(T1) expjωpT0 +cc +O(ε)

(ap, θp) : amplitude et phase de la solution au premier ordre. solutions d’un système dynamique en T1

[condition de solvabilité par annulation des termes résonnants]

Solutions (points fixes):Une solution non couplée : a2 = Q2

2ω2

√σ2

2+µ22

, a1 = 0.

Une solution couplée : a1, a2 6= 0


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Turbulenced’ondes


Stabilité de la solution non couplée:

a2 ≤2ω1

α1

√4µ2

1 + (σ1 + σ2)2

−10 −5 0 5 100

5

10

15

20

σ2

a2

Minimum de la zone d’instabilité :en σ2 = −σ1 ⇔ Ω = 2ω1 : 4ω1µ1

α1

A l’intérieur : solutions couplées


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Introduction





Turbulenced’ondes


1 INTRODUCTION





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Introduction





Turbulenced’ondes

SCÉNARIO DE TRANSITION

Plaque excité à 167 Hz

Forçage de 0 à 65 N en 30 secondes.

0 200 400 600 800 1000

10−5

100

0 5 10 15 20 25 30−1

0

1x 10

−3

0 100 200 300 400 500 600 700

10−5

100

f

f

t [s]

t [s]

f [

Hz]

w [m

]

(a)

(b)

f [Hz]

(c) : FFT 1

(d): FFT2

FFT 1 FFT 2

f f f f f f f [Hz]

f

f f

f f

f

f

f

f f 1

1

28

69

126

167

265

306362

403 501

599

640

2 4 5 6 7 9

2

45

67

9

3exc

exc

exc 3 exc


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Turbulenced’ondes


Identification du scénario pour 167 Hz:

0 100 200 300 400 500 600 700

10−5

100

f

f

f f

t [s]

f [

Hz]

f

f

f

f

f f f f

f [Hz]

exc3

exc

exc exc3

2

4

7

9

28

69

126

167

265

306362

403 501

599

640

2 4 7 9

Premiers pics : f2, f3 = fexc , f4, f7 et f9,couplés via les résonances internes d’ordre 3:

2f3 = f7 − f22f3 = f9 − f4

Une fois ces modes excités, f1, f5, f6 via:

f3 = f4 + f7 − f8f3 = f6 + f5 − f8f3 = f1 + f8 − f6


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Turbulenced’ondes



0 100 200 300 400 500 600 700

10−5

100

f

f

f f

t [s]

f [

Hz]

f

f

f

f

f f f f

f [Hz]

exc3

exc

exc exc3

2

4

7

9

28

69

126

167

265

306362

403 501

599

640

2 4 7 9


2f3 = f7 − f22f3 = f9 − f4


f3 = f4 + f7 − f8f3 = f6 + f5 − f8f3 = f1 + f8 − f6


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Turbulenced’ondes



0 100 200 300 400 500 600 700

10−5

100

f

f

f

f f f

t [s]

f [

Hz]

f

f f

f f

f

f f f f f f

f [Hz]

1

exc3

exc

exc exc31

2

45

67

9

28

69

126

167

265

306362

403 501

599

640

2 4 5 6 7 9


2f3 = f7 − f22f3 = f9 − f4


f3 = f4 + f7 − f8f3 = f6 + f5 − f8f3 = f1 + f8 − f6


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Turbulenced’ondes

RÉGIME QUASIPÉRIODIQUE



19 20 21 22 23 24 25 26−2

0

2x 10

−3

0 200 400 600 800 1000

10−10

10−5

100

0 200 400 600 800 1000

10−5

100

t [s]

t [s]

f [

Hz]

w [

m]

f [Hz]

f [Hz]

f1 f4 f5

f6

f7

f8f2

f2

f3

f7

f8

f1

f4f5

f6

f3

20

87.5195

370 410

477.5

585

692.5

302.5

31

81.6

148

195

310425

585

= fexc

= 3fexc

FFT 1 FFT 2(a)

(b)

(c) : FFT 1

(d) : FFT 2

Résonances internes d’ordre 3:

2f3 = f2 + f4 = f7 − f2


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Turbulenced’ondes

PLAQUE IMPARFAITE

Ajout d’un défaut activation des non linéarités quadratiques

0 0.3 0.60

1

2

x 10−3

0 0.2 0.40

1

2

x 10−3

0 50 100 150 200 250 3000

1

2

3

4

5x 10

−3

0

0.2

0.4 0 0.2 0.4 0.6

0

1

2

x 10−3

(c)

(a)

(b)

Aimp

Aimp

w0 w

0

w0

Aim

p

x y

xy

[m]

f [Hz]

Simulation, schéma aux diff. finiesplaque 0.4×0.6 m, h = 1mmbords simplement supportésamplitude du défaut : 1 mmfréquence d’excitation : 109 Hz


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Introduction





Turbulenced’ondes

PLAQUE IMPARFAITE

Ajout d’un défaut activation des non linéarités quadratiques

0 0.3 0.60

1

2

x 10−3

0 0.2 0.40

1

2

x 10−3

0 50 100 150 200 250 3000

1

2

3

4

5x 10

−3

0

0.2

0.4 0 0.2 0.4 0.6

0

1

2

x 10−3

(c)

(a)

(b)

Aimp

Aimp

w0 w

0

w0

Aim

p

x y

xy

[m]

f [Hz]

Simulation, schéma aux diff. finiesplaque 0.4×0.6 m, h = 1mmbords simplement supportésamplitude du défaut : 1 mmfréquence d’excitation : 109 Hz


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Introduction





Turbulenced’ondes

PLAQUE IMPARFAITE



0 100 200 300

10−6

10−4

10−2

100

f [

Hz]

t [s]

(a) (b)

f [Hz]

= =

f1 f2 f3

f5

f4f6 f7 f

8 f9

f10

218

191.9

165.6

161.6

135.4

109

82.7

56.452.3

26.3

fexc 2f 3f

exc exc

Résonances internes d’ordre 2:

f1 + f4 = fexc

f2 + f3 = fexc


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Introduction





Turbulenced’ondes

ECOUTE DU SON SIMULÉ

vitesse en un point, pour Fexc = 195 Hz :


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Introduction





Turbulenced’ondes

ECOUTE DU SON SIMULÉ

vitesse en un point, pour Fexc = 289 Hz :


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Introduction





Turbulenced’ondes

CONCLUSIONS

Résonances internesCouplage fortéchanges d’énergie entre modes résonnants

Cas de la résonance 1:2 en détail zone d’instabilité où le couplage est effectifscénario de transition

si couplages possibles : régime quasipériodiquesinon transition directe à la turbulence

Imperfections géométriques non linéarités quadratiques favorisent les couplages facilitent la transition


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Introduction



Turbulenced’ondesDéfinitions

Premièresconfrontationsexpérimentales

Effet del’amortissement

Turbulenceinstationnaire :effet du forçage etdes imperfections


1 INTRODUCTION





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Introduction







MOUVEMENT DE LA PLAQUE EN RÉGIMETURBULENT

En régime turbulent:Champ de déplacementChamp de vitesse


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Introduction








1 INTRODUCTION





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Introduction







TURBULENCE D’ONDES

Turbulence d’ondes : examine les propriétés statistiques dessystèmes hors-équilibre composés de trains d’ondes aléatoires.

Point commun avec la turbulence hydrodynamique:Cascade de Richardson (ondes vs. tourbillons)gamme inertielleFlux d’énergie à travers les échelles

Différences :persistance des ondes (pas d’intermittences)non linéarité faible (weak turbulence)


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Introduction








Hypothèses principales1 Milieu dispersif2 Non-linéarité faible→ persistance des ondes→ petit paramètre ε pour ordonner les termes non linéaires→ Séparation claire des échelles de temps:oscillations rapides : temps linéaire τL = 2π

ωoscillations lentes : temps non linéaire des échanges d’énergie:τNL = 2π

ε2ω(non linéarité quadratique)

τL T τNL

3 Existence d’une fenêtre de transparence→ gamme inertielle où la dynamique est Hamiltonienne

4 taille infinie du sytème→ continuum de vecteurs d’ondes

Résultats principaux1 Fermeture des équations : équation cinétique2 Solution hors équilibre de l’équation cinétique :

spectre de Kolmogorov-Zakharov (KZ).Solutions analytiques.[V.E. Zakharov, V. L’vov, G. Falkovich, Kolmogorov spectra of turbulence, Springer, 1992]

[S. Nazarenko, Wave turbulence, Springer, 2011]

[A. Newell and B. Rumpf, Wave turbulence, Annual Review of Fluid Mechanics, 2011]


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Hypothèses principales1 Milieu dispersif2 Non-linéarité faible→ persistance des ondes→ petit paramètre ε pour ordonner les termes non linéaires→ Séparation claire des échelles de temps:oscillations rapides : temps linéaire τL = 2π

ωoscillations lentes : temps non linéaire des échanges d’énergie:τNL = 2π

ε2ω(non linéarité quadratique)

τL T τNL

3 Existence d’une fenêtre de transparence→ gamme inertielle où la dynamique est Hamiltonienne

4 taille infinie du sytème→ continuum de vecteurs d’ondes

Résultats principaux1 Fermeture des équations : équation cinétique2 Solution hors équilibre de l’équation cinétique :

spectre de Kolmogorov-Zakharov (KZ).Solutions analytiques.[V.E. Zakharov, V. L’vov, G. Falkovich, Kolmogorov spectra of turbulence, Springer, 1992]

[S. Nazarenko, Wave turbulence, Springer, 2011]

[A. Newell and B. Rumpf, Wave turbulence, Annual Review of Fluid Mechanics, 2011]


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APPLICATION AUX PLAQUES MINCES[G. DÜRING, C. JOSSERAND AND S. RICA, PRL, 2006]

Équations de von Kármán sans amortissement:

D∆∆w + ρhw = L(w ,F ),

∆∆F = −Eh2

L(w ,w)

Relation de dispersion:

ωk =

√Eh2

12(1− ν2)|k|2 = hck2

avec c la vitesse de propagation des ondes de flexion.


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Introduction








Première étape : transformée de Fourier spatiale:

w(k, t) =1

2π

∫S

w(x, t) expikx dx

Variables canoniques (Ak,A?k )

w(k, t) =1√

2ρωk[Ak + A?k ]

p(k, t) = ρ∂w(k, t)∂t

= −i√ρωk√2

[Ak − A?k ]

forme canonique des équations de VK:

dAk

dt+ iωkAk = iN3(Ak)

avec N3 le terme regroupant les non linéarités cubiques.


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Séparation des échelles de temps (H2)→ Élimination de la partie linéaire.

Ak = ak(t) expiωk t

→ équation pour les amplitudes ak

Introduction des moments et du spectre d’action d’ondes nk:

< ak1 a?k2 >= nk1δ(k1 − k2)

relié à la densité spectrale d’énergie du système:

Ek = nkωk

→ nk solution de l’équation cinétique.


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ÉQUATION CINÉTIQUE

Equation cinétique∂n(k, t)∂t

= I(k),

Intégrale de collision

I(k) = 12π∫|Jk123|2fk123δ(k + s1k1 + s2k2 + s3k3)

× δ(ωk + s1ω1 + s2ω2 + s3ω3)dk1dk2dk3,

avec: Jk123 terme d’interaction, s = +/−, et fk123 :

fk123 =∑

s1,s2,s3

nknk1 nk2 nk3

(1nk

+s1

nk1

+s2

nk2

+s3

nk3

).

Interactions à 4 ondes résonnantes:résonance 1←→ 3:

k = k1 + k2 + k3

ωk = ωk1 + ωk2 + ωk3

résonance 2←→ 2:

k + k1 = k2 + k3

ωk + ωk1 = ωk2 + ωk3


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SPECTRE DE KOLMOGOROV-ZAKHAROV

Solutions de l’équation cinétique:Rayleigh-Jeans : équipartition de l’énergie, pas de flux.Solution de Kolmogorov-Zakharov [G. Düring, C. Josserand and S. Rica, PRL, 2006]

Spectre KZ:

nKZk = C

hP1/3ρ2/3

(12(1− ν2))2/3

ln1/3(k?/k)

k2

P : flux d’énergieP1/3 ⇔ interactions à 4 ondes.Solution "dégénérée"→ correction logarithmiquek? coupure où toute l’énergie est dissipée.

Spectre de Puissance spatiale du déplacement : Pw (k) =< |wk |2 >

Pw (k) ∝ P1/3 ln1/3(k?/k)

k4

En passant dans le domaine fréquentiel:

Pw (k)kdk ∝ Pw (f )df

=⇒ Pw (f ) ∼ C′P1/3log(f ?

f)f 0


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Introduction








Solutions de l’équation cinétique:Rayleigh-Jeans : équipartition de l’énergie, pas de flux.Solution de Kolmogorov-Zakharov [G. Düring, C. Josserand and S. Rica, PRL, 2006]

Spectre KZ:

nKZk = C

hP1/3ρ2/3

(12(1− ν2))2/3

ln1/3(k?/k)

k2

P : flux d’énergieP1/3 ⇔ interactions à 4 ondes.Solution "dégénérée"→ correction logarithmiquek? coupure où toute l’énergie est dissipée.

Spectre de Puissance spatiale du déplacement : Pw (k) =< |wk |2 >

Pw (k) ∝ P1/3 ln1/3(k?/k)

k4

En passant dans le domaine fréquentiel:

Pw (k)kdk ∝ Pw (f )df

=⇒ Pw (f ) ∼ C′P1/3log(f ?

f)f 0


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Vérification numérique:Méthode pseudo-spectrale, grille 512×512, CL périodiques[G. Düring, C. Josserand and S. Rica, PRL, 2006]


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1 INTRODUCTION





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MESURES EXPÉRIMENTALES

Mesures sur une plaque de grande dimension

dimensions latérales 2m×1m, épaisseur 0.5 mm.

Grande densité modale, amortissement faible.

Vidéo sur autre montage...


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Spectre de puissance dela vitesse en un point.

En augmentant lapuissance injectée P = I.

Gamme inertielle,dépendance en f−1/2

fréquence de coupure

Mise à l’échelle desspectres:

Pw (f ) = (P/P0)1/2 φ (f/fc) ,

fc ∝ fi (P/P0)0.3

Pv (f ) ∼ P0.66±0.07f−0.5±0.2. significativementdifférent des résultatsthéoriques.[A. Boudaoud, O. Cadot, C. Touzé,

PRL, EPJB, 2008]


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Spectre de puissance dela vitesse en un point.

En augmentant lapuissance injectée P = I.

Gamme inertielle,dépendance en f−1/2

fréquence de coupure

Mise à l’échelle desspectres:

Pw (f ) = (P/P0)1/2 φ (f/fc) ,

fc ∝ fi (P/P0)0.3

Pv (f ) ∼ P0.66±0.07f−0.5±0.2. significativementdifférent des résultatsthéoriques.[A. Boudaoud, O. Cadot, C. Touzé,

PRL, EPJB, 2008]


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Mesure indépendante réalisée à l’ENS (N. Mordant)

Spectre de puissance remis à l’échelle:

conclusions similaires[N. Mordant, PRL, 2008]

pente dans le régime inertiel ∼ −0.6Exposant de la puissance injectée différent de 1/3.


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HYPOTHÈSES À REVOIR ?

Persistance des ondes:→ bien vérifié expérimentalement parprofilométrie.[N.Mordant, EPJB, 2010, thèse B. Miquel, 2013]

Séparation des échelles de temps:

τL T τNL

→ bien vérifié expérimentalement[Miquel & Mordant, PRE, 2011]

Présences des imperfections géométriques→ non linéarité quadratique, interactions à 3 ondes.

Amortissement à toutes les échelles→ pas de gamme inertielle ?

Effets de taille finie ?


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τL T τNL






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τL T τNL






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τL T τNL






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1 INTRODUCTION





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AMORTISSEMENT DANS LES PLAQUES

Causes multiples de l’amortissement:thermoélasticité, viscoélasticité, rayonnement, pertes par les bords.

"contrôle" expérimental de l’amortissement et mesure par bandes defréquences

4 configurations tests:

plaque "naturelle" (N) [ronds rouges]

une face peinte (1SP) [cercles noirs]

deux faces peintes (2SP) [trianglesmagenta]

boudins (ED) [triangles bleus]

Amortissement du type γ(f ) = αf 0.6.

Caractérisation par γ? = α/αN :

Config. N 1SP 2SP EDγ? 1 1.6 3.1 4.9


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Config. N 1SP 2SP EDγ? 1 1.6 3.1 4.9


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Config. N 1SP 2SP EDγ? 1 1.6 3.1 4.9


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EFFET DE L’AMORTISSEMENT

La pente des spectres dépend del’amortissement

Observations similaires en numérique.

Dépendance du spectre en la puissanceinjectée:exposant entre 1/3 et 1/2...

→ pas de gamme inertielle→ le flux d’énergie diminue en traversantles échelles...


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1 INTRODUCTION





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TURBULENCE INSTATIONNAIRE

expérience numérique typique:plaque 0.4×0.6 m, h = 1 mmdifférences finies : excitation ponctuelle réaliste, Conditions aux limites,schéma conservatif.forçage basse fréquence constantpas d’amortissement

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2·105

t [s]

(a)

f[H

z]

101 102 103 104 10510−14

10−8

10−2

f [Hz]

(b)

Pv(

f)[v

2 /H

z]

Figure 2: (a) Spectrogram of the velocity for the perfect undamped plate ofthickness h=1mm, forcing from 0 to 10 N in 0.5s (case 1 from table 1), andthen kept constant. (b) Corresponding velocity power spectra computed every2.5 s from 5 to 25 s.

5 10 15 20 250

0.5

1

·104

t [s]

(a)

f c[H

z]

5 10 15 20 25

−4

−2

0

2

4·10−4

t [s]

(b)

Pv(

f c)[

m2 /

s2 /H

z]

Figure 3: (a) Time evolution of the characteristic frequency fc, (b) correspond-ing spectral amplitude of the spectra shown in Fig. 2(b) (case 1 in table 1). Thecharacteristic frequency evolves as fc = c f t with c f = 412.05 s−2 and the meanamplitude is 〈Pv( fc)〉 = 1.11 · 10−4 m2/s2/Hz.

10−2 10−1 100 10110−9

10−3

103

f / fc

φP

(f/

f c)

Figure 4: Spectra of Fig. 2(b) but normalised using the characteristic frequencyfc and amplitude Pv( fc) (Eq. (18)). Continuous black line shows the log cor-rection log1/3( fc

f ) of the KZ spectrum (Eq. (1)). Dashed red line shows a power

law f −14 .

5 10 15 20 25

−2

0

2

·10−2

t [s]

(a)

ε[m

3 /s3 ]

< ε >

εrms

5 10 15 20 25−2

0

2

4

6

8·10−3

t [s]

(b)

[m3 /

s3 ]

Figure 5: Time evolution of the injected power for the perfect undamped plate(case 1 in table 1). (a): Time series , < ε > and (b): εrms =

√< ε2 >. Continu-

ous lines are best fits that give ε = 9.65 · 10−5 m3/s3, and D = 1.6 · 10−6 m6/s7

(see text).

The analysis described above is now applied to 15 differentcases, summarised in table 1. For all cases, the self-similar dy-namics displaying a constant injected power ε, a linear growthof the variance of injected power

⟨ε2

⟩, a linear increase of fc

over time and constant 〈Pv( fc)〉 has been observed. It is worthnoticing that the cases present forcing values covering aboutfour decades; this results in a vast range for the mean injectedpower ε. The thickness values cover one decade also. For eachone of the cases, the cascade velocity c f , the spectral amplitudeat the characteristic frequency 〈Pv( fc)〉, the diffusion coefficientD are calculated. These quantities are plotted in fig. 6 as func-tions of combinations of ε and h having the same dimensions.It can be seen that for all cases a linear relationship is found,confirming the consistency of the dimensional argument. Theconstant of proportionalities are found from best linear fits :

〈Pv( fc)〉 = 2.51h(ε)1/3, (19a)

c f = 0.20(ε)2/3

h2 , (19b)

D = 2.07 · 104 (ε)7/3

h. (19c)

In conclusion, an important result arising from the numericalsimulations of the periodically forced undamped plate is a self-similar evolution for the power spectra. It is characterized bythe progression towards higher frequencies of a steep cascadefront with time, with a steady spectrum left in its wake. Thenumerical result recovers the main theoretical finding of [31,32] about the non-stationary wave turbulence spectrum. Duringthe self similar dynamics, the spectral amplitude at fc is foundto have a dependence on (ε)1/3 (see Fig. 6) and the self-similarspectrum can be expressed as

Pv( f ) = 0.42h(ε)13 ΦP

(ffc

); (20)

where ε is the mean injected power. In the absence of damping,the mean injected power can be confounded with the energyflux transfer εc through the scale. The progression of the cas-cade front toward higher frequencies is given by fc(t) = c f t ∝

7

[M. Ducceschi, O. Cadot, C. Touzé and S. Bilbao, Physica D, 2014]


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PLAQUE PARFAITE, FORÇAGE CONSTANT

Définition d’une fréquence de coupure: fc =∫〈Pv (f )〉 f df∫〈Pv (f )〉 df

Spectres mis à l’échelle:

10−2 10−1 100 10110−9

10−3

103

f/fcPv(f

)/Pv(f

c)

1

Evolution de la fréquence de coupure, et de l’amplitude spectrale à la coupure:

0 5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2·105

t [s]

(a)

f[H

z]

101 102 103 104 10510−14

10−8

10−2

f [Hz]

(b)

Pv(

f)[v

2 /H

z]Figure 2: (a) Spectrogram of the velocity for the perfect undamped plate ofthickness h=1mm, forcing from 0 to 10 N in 0.5s (case 1 from table 1), andthen kept constant. (b) Corresponding velocity power spectra computed every2.5 s from 5 to 25 s.

5 10 15 20 250

0.5

1

·104

t [s]

(a)

f c[H

z]

5 10 15 20 25

−4

−2

0

2

4·10−4

t [s]

(b)

Pv(

f c)[

m2 /

s2 /H

z]

Figure 3: (a) Time evolution of the characteristic frequency fc, (b) correspond-ing spectral amplitude of the spectra shown in Fig. 2(b) (case 1 in table 1). Thecharacteristic frequency evolves as fc = c f t with c f = 412.05 s−2 and the meanamplitude is 〈Pv( fc)〉 = 1.11 · 10−4 m2/s2/Hz.

10−2 10−1 100 10110−9

10−3

103

f / fc

φP

(f/

f c)

Figure 4: Spectra of Fig. 2(b) but normalised using the characteristic frequencyfc and amplitude Pv( fc) (Eq. (18)). Continuous black line shows the log cor-rection log1/3( fc

f ) of the KZ spectrum (Eq. (1)). Dashed red line shows a power

law f −14 .

5 10 15 20 25

−2

0

2

·10−2

t [s]

(a)

ε[m

3 /s3 ]

< ε >

εrms

5 10 15 20 25−2

0

2

4

6

8·10−3

t [s]

(b)

[m3 /

s3 ]

Figure 5: Time evolution of the injected power for the perfect undamped plate(case 1 in table 1). (a): Time series , < ε > and (b): εrms =

√< ε2 >. Continu-

ous lines are best fits that give ε = 9.65 · 10−5 m3/s3, and D = 1.6 · 10−6 m6/s7

(see text).

The analysis described above is now applied to 15 differentcases, summarised in table 1. For all cases, the self-similar dy-namics displaying a constant injected power ε, a linear growthof the variance of injected power

⟨ε2

⟩, a linear increase of fc

over time and constant 〈Pv( fc)〉 has been observed. It is worthnoticing that the cases present forcing values covering aboutfour decades; this results in a vast range for the mean injectedpower ε. The thickness values cover one decade also. For eachone of the cases, the cascade velocity c f , the spectral amplitudeat the characteristic frequency 〈Pv( fc)〉, the diffusion coefficientD are calculated. These quantities are plotted in fig. 6 as func-tions of combinations of ε and h having the same dimensions.It can be seen that for all cases a linear relationship is found,confirming the consistency of the dimensional argument. Theconstant of proportionalities are found from best linear fits :

〈Pv( fc)〉 = 2.51h(ε)1/3, (19a)

c f = 0.20(ε)2/3

h2 , (19b)

D = 2.07 · 104 (ε)7/3

h. (19c)

In conclusion, an important result arising from the numericalsimulations of the periodically forced undamped plate is a self-similar evolution for the power spectra. It is characterized bythe progression towards higher frequencies of a steep cascadefront with time, with a steady spectrum left in its wake. Thenumerical result recovers the main theoretical finding of [31,32] about the non-stationary wave turbulence spectrum. Duringthe self similar dynamics, the spectral amplitude at fc is foundto have a dependence on (ε)1/3 (see Fig. 6) and the self-similarspectrum can be expressed as

Pv( f ) = 0.42h(ε)13 ΦP

(ffc

); (20)

where ε is the mean injected power. In the absence of damping,the mean injected power can be confounded with the energyflux transfer εc through the scale. The progression of the cas-cade front toward higher frequencies is given by fc(t) = c f t ∝

7

→ Spectres auto-similaires, avec fc = cf t , et Pv (fc) ∼ Const.


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Expérience similaire menée sur 15 cas différents. comportements identiques

Conclusions:Spectres auto-similaires, de la forme:

Pv (f ) ∼ hε1/3c ΦP(f/fc)

Front se propageant en t , puissance spectrale à fc constante.

10−2 10−1 100 10110−9

10−3

103

f/fc

Pv(f

)/Pv(f

c)

1

Fonction auto-similaire ΦP de pente plus raide que solution KZ


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Expérience similaire menée sur 15 cas différents. comportements identiques

Conclusions:Spectres auto-similaires, de la forme:

Pv (f ) ∼ hε1/3c ΦP(f/fc)

Front se propageant en t , puissance spectrale à fc constante.

10−2 10−1 100 10110−9

10−3

103

f/fc

Pv(f

)/Pv(f

c)

1

Fonction auto-similaire ΦP de pente plus raide que solution KZ


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TURBULENCE LIBRE

En stoppant le forçage: turbulence libre

Effet du forçage sur la pentedes spectres

Evolution fc et Pv (fc):

fc(t) ∼ t1/3

Pv (fc)(t) ∼ t−1/3

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2·104

t [s]

(a)

f[H

z]

101 102 103 104

10−8

10−6

f [Hz]

(b)P

v(f)

[m2 /

s2 /H

z]

Figure 12: (a): Spectrogram of the velocity of the perfect, undamped plate forwhich the forcing is stopped after 0.1s. The plate is of thickness h=0.1 mm andthe sampling rate 40kHz. (b) : Corresponding velocity power spectra averagedover 10s, displayed for time intervals of 30s. The first one (red) is computedfrom 0.1s (i.e. the end of the forcing) to 10.1s. Straight red line corresponds tothe power law f −1/4.

100 101 102 103

102.8

103

103.2

t [s]

(a)

f c[H

z]

100 101 102 10310−8

10−7

t [s]

(b)

Pv(

f c)[

m2 /

s2 /H

z]

Figure 13: Undamped free turbulence. (a): Time evolution of the characteristicfrequency fc and (b) corresponding spectral amplitude. Continuous lines arebest fits fc = at1/3 with a = 331.5 s−

43 (a), and Pv( fc) = bt−1/3 with b =

1.1 · 10−7 m2s−23 (b).

0 50 100 150 2001

1.5

2

2.5

3·10−8

t [s]

ξ[m

3 /s2 ]

Figure 14: Time evolution of the kinetic energy ξ = h2

∫Pv( f )d f for the free

undamped turbulence.

10−2 10−1 100

10−2

10−1

100

101

f / fc

Pv(

f)/P

v(f c

)

Figure 15: Free undamped turbulence. Normalised velocity power spectra offig. 12(b) for t > 10s during the self-similar dynamics. Black line shows thelog correction log1/3( fc

f ) of the KZ spectrum (Eq. (1))

as displayed in Fig. 15. Finally, our numerical results appear tofit properly with the theoretical framework proposed in [31, 32],as the self-similar spectra left in the wake of the propagatingfront are observed to be in full agreement with the KZ spectrum.This result also sharpens those of the previous section with pe-riodic forcing. The general conclusion that can be drawn outis that the pointwise forcing introduces a spatial anisotropy thathave a measurable effect on the slope of the power spectra atlow frequencies, with a steeper slope when forcing is present.This important result on the effect of the forcing should be re-trieved in a more realistic case where damping is also consid-ered, and should corroborate the experimental results shown in[20]. The aim of the last section is thus to verify this numeri-cally in the case of a decaying turbulence.

4.3. Damped turbulence

The effect of the forcing is now studied in a damped case.The plate dimensions are Lx × Ly = 0.4 × 0.6 m2, the grid sizeis 102 × 153 and h = 1mm. The damping law is γ( f ) = 1s−1.The forcing frequency is fp = 75Hz, with a forcing amplitudeof A0 = 140N and a ramp time t0 = 0.5s. The forcing remainsperiodic from 0.5s to 3.5s (t1 = 4s in Eq. (7)) and then abruptlystopped at t = 4s.

The response of the damped system is shown over 20s of du-ration in the spectrogram of Fig. 16(a). The spectra reach anearly steady state just before t = 4s that corresponds to thetime at which the forcing is stopped. Meanwhile, the injectedpower remains fairly constant in Fig. 17, 〈ε〉 (t) ' ε, and thecharacteristic frequency grows, just as for the undamped casestudied in section 4.1. The main difference is that the character-istic frequency (Fig. 18) will saturate to a constant value oncethe statistical steady state of turbulent energy will be reached.In other words, the cascade velocity front decreases toward zerowhen approaching the steady-state.

As the cascade progresses to higher frequencies, more andmore modes are activated, which results in an increase of thedissipation flux εd since each mode has a linear energy loss pa-rameterized by γ that should be compensated by the incomingflux. Hence, less and less energy flux εc is available to propa-gate the cascade front velocity, since 〈εc〉 (t) = ε−〈εd〉 (t). Oncethe forcing is stopped at t = 4s, the characteristic frequencyovershoots as shown in Fig. 18 and then sharply saturates. Thedrastic increase of the characteristic frequency is provoked by

12

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2·104

t [s]

(a)

f[H

z]

101 102 103 104

10−8

10−6

f [Hz]

(b)

Pv(

f)[m

2 /s2 /

Hz]


100 101 102 103

102.8

103

103.2

t [s]

(a)

f c[H

z]

100 101 102 10310−8

10−7

t [s]

(b)

Pv(

f c)[

m2 /

s2 /H

z]



1.1 · 10−7 m2s−23 (b).

0 50 100 150 2001

1.5

2

2.5

3·10−8

t [s]

ξ[m

3 /s2 ]




10−2 10−1 100

10−2

10−1

100

101

f / fc

Pv(

f)/P

v(f c

)








12


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TURBULENCE LIBRE

En stoppant le forçage: turbulence libre

Effet du forçage sur la pentedes spectres

Evolution fc et Pv (fc):

fc(t) ∼ t1/3

Pv (fc)(t) ∼ t−1/3

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2·104

t [s]

(a)

f[H

z]

101 102 103 104

10−8

10−6

f [Hz]

(b)P

v(f)

[m2 /

s2 /H

z]


100 101 102 103

102.8

103

103.2

t [s]

(a)

f c[H

z]

100 101 102 10310−8

10−7

t [s]

(b)

Pv(

f c)[

m2 /

s2 /H

z]



1.1 · 10−7 m2s−23 (b).

0 50 100 150 2001

1.5

2

2.5

3·10−8

t [s]

ξ[m

3 /s2 ]




10−2 10−1 100

10−2

10−1

100

101

f / fc

Pv(

f)/P

v(f c

)








12

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2·104

t [s]

(a)

f[H

z]

101 102 103 104

10−8

10−6

f [Hz]

(b)

Pv(

f)[m

2 /s2 /

Hz]


100 101 102 103

102.8

103

103.2

t [s]

(a)

f c[H

z]

100 101 102 10310−8

10−7

t [s]

(b)

Pv(

f c)[

m2 /

s2 /H

z]



1.1 · 10−7 m2s−23 (b).

0 50 100 150 2001

1.5

2

2.5

3·10−8

t [s]

ξ[m

3 /s2 ]




10−2 10−1 100

10−2

10−1

100

101

f / fc

Pv(

f)/P

v(f c

)








12


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Introduction







TURBULENCE LIBRE

Spectres auto-similaires, de la forme:

Pv (f ) ∼ hε1/3c ΦF (f/fc)

Front se propageant en t1/3,puissance spectrale à fc décroissant en t−1/3

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2·104

t [s]

(a)

f[H

z]

101 102 103 104

10−8

10−6

f [Hz]

(b)

Pv(

f)[m

2 /s2 /

Hz]


100 101 102 103

102.8

103

103.2

t [s]

(a)

f c[H

z]

100 101 102 10310−8

10−7

t [s]

(b)

Pv(

f c)[

m2 /

s2 /H

z]



1.1 · 10−7 m2s−23 (b).

0 50 100 150 2001

1.5

2

2.5

3·10−8

t [s]

ξ[m

3 /s2 ]




10−2 10−1 100

10−2

10−1

100

101

f / fc

Pv(

f)/P

v(f c

)








12

Fonction auto-similaire ΦF de pente très proche de la correctionlogarithmique.


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Solutions auto-similaires de l’équation cinétique : ∂n(k,t)∂t = I(k):

n(k , t) = t−q f (kt−p)

En utilisant l’expression de l’intégrale de collision il vient:

q = p + 1/2

Soit E =∫ωk nk dk l’énergie du système.

CAS 1 E ∼ tCAS 2 E ∼ t0

Permet de déterminer (p, q):CAS 1 p=1/2, q = 1CAS 2 p=1/6, q = 2/3

En revenant à l’observable Pv (f ):CAS 1 Pv (f , t) ∼ g1(f/t)CAS 2 Pv (f , t) ∼ t−1/3g2(f/t1/3)


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n(k , t) = t−q f (kt−p)


q = p + 1/2






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Introduction









n(k , t) = t−q f (kt−p)


q = p + 1/2






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Introduction









n(k , t) = t−q f (kt−p)


q = p + 1/2






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Introduction







SOLUTIONS AUTO-SIMILAIRES

Solutions auto-similaires de l’équation cinétiqueCAS 1 Pv (f , t) ∼ g1(f/t)CAS 2 Pv (f , t) ∼ t−1/3g2(f/t1/3)

10−2 10−1 100 10110−9

10−3

103

f/fc

Pv(f

)/Pv(f

c)

1

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2·104

t [s]

(a)

f[H

z]

101 102 103 104

10−8

10−6

f [Hz]

(b)

Pv(

f)[m

2 /s2 /

Hz]


100 101 102 103

102.8

103

103.2

t [s]

(a)

f c[H

z]

100 101 102 10310−8

10−7

t [s]

(b)

Pv(

f c)[

m2 /

s2 /H

z]



1.1 · 10−7 m2s−23 (b).

0 50 100 150 2001

1.5

2

2.5

3·10−8

t [s]

ξ[m

3 /s2 ]




10−2 10−1 100

10−2

10−1

100

101

f / fc

Pv(

f)/P

v(f c

)








12

Conclusion : le forçage a un effet visible sur la pente des spectres.Attention : pas de théorie pour la forme des spectres non stationnaires dans le cas d’une correction logarithmique...

Observations expérimentalessimilaires (turbulence en déclin)[Miquel & Mordant, PRL, 2011]


mincesC. Touzé

Introduction









10−2 10−1 100 10110−9

10−3

103

f/fc

Pv(f

)/Pv(f

c)

1

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2·104

t [s]

(a)

f[H

z]

101 102 103 104

10−8

10−6

f [Hz]

(b)

Pv(

f)[m

2 /s2 /

Hz]


100 101 102 103

102.8

103

103.2

t [s]

(a)

f c[H

z]

100 101 102 10310−8

10−7

t [s]

(b)

Pv(

f c)[

m2 /

s2 /H

z]



1.1 · 10−7 m2s−23 (b).

0 50 100 150 2001

1.5

2

2.5

3·10−8

t [s]

ξ[m

3 /s2 ]




10−2 10−1 100

10−2

10−1

100

101

f / fc

Pv(

f)/P

v(f c

)








12




mincesC. Touzé

Introduction









10−2 10−1 100 10110−9

10−3

103

f/fc

Pv(f

)/Pv(f

c)

1

0 50 100 1500

0.5

1

1.5

2·104

t [s]

(a)

f[H

z]

101 102 103 104

10−8

10−6

f [Hz]

(b)

Pv(

f)[m

2 /s2 /

Hz]


100 101 102 103

102.8

103

103.2

t [s]

(a)

f c[H

z]

100 101 102 10310−8

10−7

t [s]

(b)

Pv(

f c)[

m2 /

s2 /H

z]



1.1 · 10−7 m2s−23 (b).

0 50 100 150 2001

1.5

2

2.5

3·10−8

t [s]

ξ[m

3 /s2 ]




10−2 10−1 100

10−2

10−1

100

101

f / fc

Pv(

f)/P

v(f c

)








12




mincesC. Touzé

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IMPERFECTIONS GÉOMÉTRIQUES

Turbulence instationnaire : ajout d’un défaut géométriqueε

23

h2 t (from Eq. (19b)). The function ΦP displayed in Fig. 4 in-creases as frequencies decrease toward the forcing frequencyfp. A best-fit approximation of the slope of ΦP indicates thatit follows a power-law for low frequencies with a small expo-nent close to −1/4. Even though the log-correction of the KZspectrum cannot be discarded, see Fig. 4, the slope appears tobe a bit steeper. This effect will be discussed further in the nextsections and is attributed to the anisotropy brought by the pres-ence of the external forcing. Hence the steady spectrum left inthe wake of the propagating front for the periodically forced un-damped plate is close to the KZ spectrum (see in particular thedependence on εc), albeit displaying a slightly steeper slope.

The injected power fluctuation is found to increase as a dif-fusive law during the self-similar dynamics. A comprehensiveinterpretation of this behavior may be given by the model of in-jected power proposed in [38, 39] for this system. In this work,the velocity w(xF , t) at the forcing point is assumed to resultfrom a turbulent feedback v described by the velocity spectrum,and a linear response of the deterministic forcing F (x, t), say:

w(xF , t) = v +LF , (21)

with L a linear operator. The feedback turbulent velocity isassumed to be statistically independent of the forcing. Thus,using Eq. (21) and the periodic forcing in Eq. (6) with A(t) =

A0, the mean of the squared injected power becomes:

< (F w)2 >=A2

0

2< v2 > + < (LF )2F 2 > (22)

For sufficiently long time, the stationary forcing term will benegligible in front of the quadratic term that keeps increasingwith time as the cascade propagates. Using the Parseval’s iden-tity :

< v2 >=

∫ ∞

0Pv( f )d f . (23)

and the expression of the self-similar time-dependent spectrumin Eq. (20), Eq. (22) becomes:

< (F w)2 >∼ A20

2< v2 >∝ A2

0εth, (24)

then< ε2 >∝ A2

0εt

h(ρS )2 (25)

which gives the expected diffusive behavior. Hence, theinjected power fluctuations is the consequence of a directfeedback of the propagation of the kinetic energy spectrumduring the self-similar dynamics.

4.1.2. Imperfect, undamped platesThe effect of the presence of a plate imperfection on the tur-

bulent dynamics is now investigated. Results are presented fol-lowing the same procedure as for the perfect plate.

The static deformation w0(x) appearing in Eq. (2) is chosenin the form of a raised cosine

w0(x) =Z2

1 + cos

π√

(x − x0)2 + (y − y0)2

L

, (26)

0 0.3 0.60

1

2x 10

−3

0 0.2 0.40

1

2x 10

−3

00.2

0.4 00.3

0.6

0

1

2

x 10−3

(a)

(b) (c)

w0

w0w0

x y

yx

Z Z

Z

Figure 7: Plate of dimensions 0.4 × 0.6m2 with imperfection in the form of araised cosine. (a): 3D view, (b) and (c): x and y axes views.

when (x − x0)2 + (y − y0)2 ≤ L2, and zero otherwise. Here Z isthe static (vertical) deflection, L is the width and x0 is the centerof the deformation. The plate area is 0.4× 0.6 m2 and the widthis here selected to be 0.2m, and x0 is the center of the plate, seeFig. 7. Z is then a free parameter that changes case by case. Forthe perfect plate with w0(x) = 0, the internal restoring force issymmetric so that only cubic nonlinearities are present in thevon Karman equations. However when an imperfection is con-sidered, quadratic nonlinearity appears in the model equationsand so three-wave processes are present in the dynamics.

A case study (case 11 in table 2) is first examined. It corre-sponds to a plate with a thickness h = 1mm, and a deformationZ = 5mm as defined in Eq. (26). As the eigenfrequencies in-creases with the imperfection, the excitation frequency is nowshifted so as to remain in the vicinity of the fourth eigenfre-quency, so that now fp = 103Hz, and the forcing amplitude isselected as A0 = 90N.

During the dynamics, it is observed that the velocity powerspectra evolve almost identically to the perfect plate case, sothat the spectrogram and power spectra of the imperfect plateare similar to those shown in Fig. 2. The characteristic fre-quency increases linearly with time while the characteristic am-plitude remains fairly constant as shown in Fig. 8. The nor-malized spectra in Fig. 9 all superimpose following a curveφP( f / fc) = 〈Pv( f )〉 / 〈Pv( fc)〉 indicating a self-similar dynam-ics. The self-similar dynamics is also produced during a meanconstant injection flux with diffusive-type fluctuations, as seenin fig. 10.

A total of 12 simulations are considered for imperfect plates.The parameters are listed in table 2. Note that the magnitudeof the imperfection considered is important (Z ≥ h), and of theorder of what can be expected in real experiments. In particu-lar, it has been shown in [40, 26, 41] that an imperfection of theorder of the thickness h is able to change the type of non linear-ity of the low frequency modes. For each one of the cases, thecascade velocity c f , the spectral amplitude at the characteristicfrequency Pv( fc) and the coefficient D are plotted as functionsof combinations of ε and h. It can be seen that for all cases alinear relationship is found (Fig. 11):

〈Pv( fc)〉 = 2.30hε1/3 (27a)

9

Aucun effet sur la dynamique de la cascade

1 2 3 4 50

0.5

1

·104

t [s]

(a)

f c[H

z]

1 2 3 4 5−5

0

5

·10−4

t [s]

(b)

Pv(

f c)[

m2 /

s2 /H

z]

Figure 8: Imperfect, undamped plate, case 11 of table 2. (a) Time evolutionof the characteristic frequency, (b) corresponding spectral amplitude. Contin-uous lines are best fit fc = c f t with c f = 226s−2 (a), and the mean amplitude〈Pv( fc)〉 = 2.66 · 10−4 m2/s2/Hz.

10−2 10−1 100 10110−8

10−3

102

f / fc

φ(f/

f c)

Figure 9: Normalised velocity spectra using the characteristic frequency fc andamplitude Pv( fc) (case 11 in table 2). Continuous black line shows the logcorrection log1/3( fc

f ) of the KZ spectrum (Eq. (1)) using the same characteristic

frequency. Dashed red line shows a power law f −14 .

1 2 3 4 5

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

t [s]

(a)

ε[m

3 /s3 ]

< ε >

εrms

1 2 3 4 50

2 · 10−2

4 · 10−2

6 · 10−2

8 · 10−2

0.1

t (s)

(b)

[m3 /

s3]

Figure 10: Time evolution of the injected power for the imperfect undampedplate (case 11 in table 2). (a) Time series, (b) < ε > and εrms =

√< ε2 >.

Continuous lines are best fits : ε = 1.15 · 10−5 m3/s3, and D = 0.0015 m6/s7

(see text).

A0 (N) h (mm) fp (Hz) Z (mm)Case 1 7 0.5 8.5 1Case 2 3 0.5 8.5 1Case 3 0.02 0.1 10.5 0.5Case 4 0.01 0.1 10.5 0.5Case 5 0.03 0.1 13 1Case 6 0.02 0.1 8.5 0.1Case 7 0.02 0.1 13 1Case 8 0.01 0.1 8.5 0.1Case 9 100 1 127 10Case 10 70 1 127 10Case 11 90 1 103 5Case 12 60 1 103 5

Table 2: Case studies for the imperfect plate.

c f = 0.19ε2/3

h2 (27b)

D = 1.86 · 104 ε7/3

h(27c)

The scaling laws are identical to the perfect case, although thedata are a bit more scattered in Fig. 11 than in Fig. 6. Theobtained values for the proportional constants are also veryclose. The quadratic non-linearity introduced by an imperfec-tion is then hardly discernable in the turbulent cascade dynam-ics which indicates that the vibration amplitudes are sufficientlyimportant so that the cubic term dominates the quadratic one,hence only cubic nonlinearity seems to drive the main char-acteristics. In conclusion, plate imperfections should not beconsidered as a potential cause for explaining the discrepanciesobserved between theory derived for perfect plates and real ex-periments with unavoidable imperfections. In the remainder ofthe paper, the plate imperfections are not considered anymore.The next section is devoted to the study of free (unforced) tur-bulence in order to highlight the effect of the pointwise forcing.

4.2. Free undamped turbulence

We now consider the case where the perfect, undampedplate, given an initial turbulent spectrum energy, is left free tovibrate in the absence of forcing and develops its cascade. Theplate dimensions are Lx × Ly = 0.4 × 0.6 m2, the thicknessis selected as h = 0.1mm. The sampling rate is chosen as40kHz resulting in a grid size of 102 × 153 points. Theexcitation frequency is in the vicinity of the fourth eigenmodeat 7.5 Hz. The forcing amplitude reaches linearly A0 = 0.1 Nafter a duration t0 = 0.1s and is then abruptly stopped. Theresponse of the system is shown over a long time duration inthe spectrogram of Fig. 12(a). Even after stopping the externalexcitation, the number of excited modes keeps increasingslowly. Because of the slowness of this dynamics, the dataanalysis has been exceptionally changed with respect to thestandard procedure explained is sec. 3. Here the time windowis τ = 0.1s and the number of spectra over which the average istaken is M = 100, resulting in a time T = Mτ = 10s.

10

Conclusion : les non linéarités cubiques (interactions à 4 ondes) sontdominantes dans le régime de turbulence d’ondes.


mincesC. Touzé

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23



w(xF , t) = v +LF , (21)



< (F w)2 >=A2

0

2< v2 > + < (LF )2F 2 > (22)


< v2 >=

∫ ∞

0Pv( f )d f . (23)


< (F w)2 >∼ A20

2< v2 >∝ A2

0εth, (24)

then< ε2 >∝ A2

0εt

h(ρS )2 (25)





w0(x) =Z2

1 + cos

π√

(x − x0)2 + (y − y0)2

L

, (26)

0 0.3 0.60

1

2x 10

−3

0 0.2 0.40

1

2x 10

−3

00.2

0.4 00.3

0.6

0

1

2

x 10−3

(a)

(b) (c)

w0

w0w0

x y

yx

Z Z

Z






〈Pv( fc)〉 = 2.30hε1/3 (27a)

9


1 2 3 4 50

0.5

1

·104

t [s]

(a)

f c[H

z]

1 2 3 4 5−5

0

5

·10−4

t [s]

(b)

Pv(

f c)[

m2 /

s2 /H

z]


10−2 10−1 100 10110−8

10−3

102

f / fc

φ(f/

f c)




1 2 3 4 5

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

t [s]

(a)

ε[m

3 /s3 ]

< ε >

εrms

1 2 3 4 50

2 · 10−2

4 · 10−2

6 · 10−2

8 · 10−2

0.1

t (s)

(b)

[m3 /

s3]


√< ε2 >.


(see text).



c f = 0.19ε2/3

h2 (27b)

D = 1.86 · 104 ε7/3

h(27c)




10



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23



w(xF , t) = v +LF , (21)



< (F w)2 >=A2

0

2< v2 > + < (LF )2F 2 > (22)


< v2 >=

∫ ∞

0Pv( f )d f . (23)


< (F w)2 >∼ A20

2< v2 >∝ A2

0εth, (24)

then< ε2 >∝ A2

0εt

h(ρS )2 (25)





w0(x) =Z2

1 + cos

π√

(x − x0)2 + (y − y0)2

L

, (26)

0 0.3 0.60

1

2x 10

−3

0 0.2 0.40

1

2x 10

−3

00.2

0.4 00.3

0.6

0

1

2

x 10−3

(a)

(b) (c)

w0

w0w0

x y

yx

Z Z

Z






〈Pv( fc)〉 = 2.30hε1/3 (27a)

9


1 2 3 4 50

0.5

1

·104

t [s]

(a)

f c[H

z]

1 2 3 4 5−5

0

5

·10−4

t [s]

(b)

Pv(

f c)[

m2 /

s2 /H

z]


10−2 10−1 100 10110−8

10−3

102

f / fc

φ(f/

f c)




1 2 3 4 5

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

t [s]

(a)

ε[m

3 /s3 ]

< ε >

εrms

1 2 3 4 50

2 · 10−2

4 · 10−2

6 · 10−2

8 · 10−2

0.1

t (s)

(b)

[m3 /

s3]


√< ε2 >.


(see text).



c f = 0.19ε2/3

h2 (27b)

D = 1.86 · 104 ε7/3

h(27c)




10



mincesC. Touzé

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CONCLUSION GÉNÉRALE

Transition à la turbulence dans les vibrations de plaquesminces

Scénario de transition importance des résonances internesImperfections (non linéarités quadratiques) favorisent les échanges d’énergie et la transition

Régime turbulentsystème physique permettant un aller-retour théorie/expérience trèsfructueux !pas d’effet des imperfections...effet du forçage sur la penteDésaccords avec la théorie dus essentiellement à la présenced’amortissement à toutes les échelles pas de gamme inertielle

vers un théorie de turbulence d’ondes avec amortissement ?


mincesC. Touzé

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CONCLUSION GÉNÉRALE

Transition à la turbulence dans les vibrations de plaquesminces

Scénario de transition importance des résonances internesImperfections (non linéarités quadratiques) favorisent les échanges d’énergie et la transition

Régime turbulentsystème physique permettant un aller-retour théorie/expérience trèsfructueux !pas d’effet des imperfections...effet du forçage sur la penteDésaccords avec la théorie dus essentiellement à la présenced’amortissement à toutes les échelles pas de gamme inertielle

vers un théorie de turbulence d’ondes avec amortissement ?

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Vibrations non linéaires de plaque mince : transition et