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VIBRATIONS 11 février 2008 Lionel ARNAUD, Serge CAPERAA, Sébastien SEGUY Laboratoire Génie de Production - Équipe C.M.A.O École Nationale d’Ingénieurs de Tarbes - 47 av d’Azereix BP 1629 - 65016 Tarbes Cedex France

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VIBRATIONS

11 février 2008

Lionel ARNAUD, Serge CAPERAA, Sébastien SEGUY

Laboratoire Génie de Production - Équipe C.M.A.O

École Nationale d’Ingénieurs de Tarbes - 47 av d’Azereix BP 1629 - 65016 Tarbes Cedex France

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Table des matières

1 Systèmes discrets à un degré de liberté 51.1 Équation de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Étude en mouvement libre (F = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Cas des systèmes non amortis (ξ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Cas des systèmes sur-amortis (ξ > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.4 Cas des systèmes sous-amortis (ξ < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Étude de la réponse en mouvement forcé harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1 Système non amorti (ξ = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Système sous amorti (0 < ξ < 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Distinguo force ou déplacement imposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Systèmes discrets à deux degrés de liberté (2DDL) 132.1 Équations de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Solutions vibratoires, analyse modale (F = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Problème aux valeurs propres associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.3 Résolution du problème aux valeurs propres et vecteurs propres, analyse modale 142.2.4 M et K orthogonalité, raideurs et masses modales . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.5 Découplage des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.6 Réponse en mouvement libre F = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.7 Réponse en excitation forcée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.8 Cas amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Systèmes continus : vibrations des poutres 213.1 Vibrations longitudinales des poutres droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Équation du mouvement (PFD + RC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.1.2 Solution générale en mouvement libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1.3 Cas de la poutre encastrée-libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.4 Autres cas de conditions aux limites (c.f. TD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.5 Vibrations forcées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Vibrations transversales des poutres droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.1 Équation du mouvement (PFD + RC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2.2 Solution générale en mouvement libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3

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4 TABLE DES MATIÈRES

3.2.3 Cas de la poutre encastrée-libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2.4 Autres cas de conditions aux limites (c.f. TD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Méthodes énergétiques : solutions approchées (initiation aux éléments finis) 294.1 Préliminaire : illustration de calculs par éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Énergie de quelques composants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3.1 Ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3.2 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3.3 Poutre en élongation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3.4 Poutre en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3.5 Poutre en torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4 Méthode de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.4.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.5 Méthode des Éléments Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.5.1 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.5.2 Énergie cinétique et énergie de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.5.3 Système matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

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Chapitre 1

Systèmes discrets à un degré de liberté

1.1 Équation de la dynamique

x(t)

c k

m

F(t)

Fig. 1.1 – modèle 1DDL

Le ressort de raideur k exerce une force −kx sur la masse ; l’amortisseur de coefficient c exercequant à lui une force −cx. L’équation fondamentale de la dynamique s’écrit, en isolant la masse m :

mx(t) = F(t) − cx(t) − kx(t) (1.1)

Toutes les fonctions dépendant du temps, nous omettrons désormais l’écriture de la dépendancepour alléger les écritures.

mx + cx + kx = F

La solution se décompose classiquement, à l’aide d’une solution particulière xs.p. de l’équationsans second membre et de la solution générale xs.g. de l’équation homogène :

x(t) = xs.p. + xs.g.

La masse peut par exemple correspondre à l’ensemble carrosserie-bloc moteur d’un véhicule,l’amortissement à ses amortisseurs, la raideur à sa suspension.

Remarque : ce type d’équation se retrouve aussi couramment pour les circuits électriques RLC,par exemple le circuit RLC série donne :

5

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6 CHAPITRE 1. SYSTÈMES DISCRETS À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

LI + RI +I

C= U

U(t)

Fig. 1.2 – Circuit RLC Série

1.2 Étude en mouvement libre (F = 0)

1.2.1 Solution générale

mx + cx + kx = 0 (1.2)

Les solutions sont recherchées sous la forme x = A ert, r ∈ C. En reportant cette forme dansl’équation de la dynamique, on obtient l’équation caractéristique :

mr2 + cr + k = 0 (1.3)

dont les racines, réelles ou imaginaires, sont, en posant ∆ = c2 − 4mk et j2 = −1

r1 ou 2 = − c

2m±√

2msi∆ > 0 , ou r1, ou 2 = − c

2m± j

√−∆

2msi∆ < 0

En posant :

ω0 =

√k

m(1.4)

ξ =c

cc

(prononcer ksi) (1.5)

avec cc le coefficient d’amortissement «critique» qui correspond à une valeur nulle du discriminant :

cc = 2√

km = 2mω0 ⇒ c = 2mξω0 ⇒ ∆ = c2c

(ξ2 − 1

)(1.6)

les solutions r1et r2 peuvent se mettre sous la forme :

r1 ou 2 = −ξω0 ± ω0

√ξ2 − 1 , si ∆ > 0 , ou r1 ou 2 = −ξω0 ± jω0

√1− ξ2 , si ∆ < 0 (1.7)

La forme de la solution dépend alors de la valeur du facteur d’amortissement ξ.

On peut ainsi écrire l’équation sous la forme réduite :

x + 2ξω0x + ω20x = 0 (1.8)

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1.2. ÉTUDE EN MOUVEMENT LIBRE (F = 0) 7

1.2.2 Cas des systèmes non amortis (ξ = 0)

L’équation d’équilibre devient alors :

x + ω20x = 0 (1.9)

La solution s’écrit :x(t) = A1 sin(ω0t) + A2 cos(ω0t) (1.10)

On dit que le système vibre à sa pulsation libre :

ω0 =

√k

m(1.11)

On détermine généralement les constantes réelles A1 et A2 par les conditions initiales.

1.2.3 Cas des systèmes sur-amortis (ξ > 1)

Les racines r1et r2 sont réelles. La solution s’écrit :

x(t) = A1 exp[(−ξ +

√ξ2 − 1)ω0t

]+ A2 exp

[(−ξ −

√ξ2 − 1)ω0t

](1.12)

Fig. 1.3 – Solution sur-amortie (non vibratoire)

Il s’agit de la somme de deux fonctions exponentielles réelles. Si on trace le graphe de cettefonction, on se rend compte que la solution n’oscille pas autour d’une valeur d’équilibre, et parconséquent il ne s’agit pas d’une «vibration». C’est pourquoi nous ne poursuivrons pas l’analyse.

On détermine généralement les constantes réelles A1 et A2 par les conditions initiales.

1.2.4 Cas des systèmes sous-amortis (ξ < 1)

Cette fois, les racines sont complexes :

r1 ou 2 = −ξω0 ± jω0

√1− ξ2

La forme A1er1t + A2e

r2t peut se mettre sous la forme :

x(t) = A1 exp[(−ξ + j

√1− ξ2)ω0t

]+ A2 exp

[(−ξ − j

√1− ξ2)ω0t

](1.13)

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8 CHAPITRE 1. SYSTÈMES DISCRETS À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

On dit que le système vibre à sa «pulsation amortie» :

ωa = ω0

√1− ξ2 (1.14)

Cette pulsation, qui ne dépend que des caractéristiques du système (masse, raideur, amortissement),est une grandeur intrinsèque à ce système, et c’est pourquoi on la nomme «pulsation propre« ou«pulsation naturelle» du système amorti.

On peut donc aussi écrire :

x(t) = e−ξω0t(B1 sin(ωat) + B2 cos(ωat)) (1.15)

ou encore :

x(t) = A e−ξω0t sin(ωat + Φ) (1.16)

La figure ci-dessous montre l’allure de la réponse obtenue, il s’agit bien de vibrations, plus oumoins amorties.

Fig. 1.4 – Solution sous-amortie

Remarque : cas du système à l’amortissement critique (ξ = 1)

Lorsque ξ = 1, l’équation caractéristique ayant une racine double il faut chercher des solutionsdu type (A + Bt) ert) : x(t) = (A1 + A2t) e−ω0t

La même conclusion peut être tirée, il n’y a pas vraiment de vibration, on obtient la même allurede réponse que ξ = 1, 001.

1.3 Étude de la réponse en mouvement forcé harmonique

Prenons par exemple la forme F (t) = F sin(Ωt), avec Ω la pulsation d’excitation, l’équationdifférentielle du second ordre avec second membre s’écrit :

mx + cx + kx = F sin(Ωt) (1.17)

La solution de cette équation différentielle est formée de la solution générale xs.g. de l’équation ho-mogène (sans second membre) plus une solution particulière xs.p. de l’équation avec second membre :x = xs.g. + xs.p.

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1.3. ÉTUDE DE LA RÉPONSE EN MOUVEMENT FORCÉ HARMONIQUE 9

Remarque : pour avoir seulement la réponse forcée (c.à.d. xs.p.) on utilise souvent la notationcomplexe :−mω2X+cjωX+kX = F , en notant : xs.p. = Im X exp(ωt). Ici nous nous intéresserontà la réponse complète (transitoire + permanent).

1.3.1 Système non amorti (ξ = 0)

L’équation sans second membre mx + kx = 0, c’est-à-dire x + km

x = x + ω20x = 0, admet une

solution générale de la forme xs.g.(t) = A sin(ω0t) + B cos(ω0t). Compte-tenu de la forme du secondmembre, on cherche une solution particulière de l’équation complète de la forme xs.p.(t) = C sin(Ωt).En reportant cette forme dans l’équation, on peut identifier C :

C =F

k −mΩ2=

F

k(1− mkΩ2)

=F

k(1− β2)

Ωω0

est appelé «rapport des fréquences», on le note :

β =Ω

ω0

(1.18)

La solution complète s’écrit alors :

x(t) = xs.g.(t) + xs.p.(t) = A sin(ω0t) + B cos(ω0t) +1

1− β2

F

ksin(Ωt) (1.19)

On constate que cette solution comporte deux termes :– un terme de pulsation ω0, dépendant uniquement de la nature du système et des conditions

initiales.– un terme de pulsation Ω, et dont l’amplitude est égale à la réponse «statique» F

k, multipliée

par le terme 11−β2

Ce terme 11−β2 est appelé «facteur d’amplification dynamique» (FAD), il correspond au coefficient

multiplicateur de la réponse forcée par rapport à la solution quasi-statique. Lorsque Ω = ω0, ce termetend (en théorie) vers l’infini ; on dit qu’il y a «résonance» du sytème, et c’est une situation qu’ilfaut en général éviter. La figure ci-après montre le FAD, en fonction du rapport de fréquences β ,dans le cas d’un système non amorti.

Fig. 1.5 – Évolution du FAD non amorti en fonction du rapport des fréquences

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10 CHAPITRE 1. SYSTÈMES DISCRETS À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

1.3.2 Système sous amorti (0 < ξ < 1)

La solution générale de l’équation sans second membre est :

xs.g.(t) = e−ξω0t(A sin(ωat) + B cos(ωat))

La solution particulière de l’équation avec second membre doit être recherchée sous la formesuivante, qui implique un déphasage possible entre la réponse et l’excitation :

xs.p.(t) = C sin(Ωt) + D cos(Ωt)

En remplaçant dans l’équation, et par séparation des termes en sinus et en cosinus(Ωt), on obtient :

x(t) = e−ξω0t (A sin(ωat) + B cos(ωat))︸ ︷︷ ︸xs.g.(t)

+F

k

1

(1− β2)2 + (2ξβ)2

[(1− β2) sin(Ωt)− 2ξβ cos(Ωt)

]︸ ︷︷ ︸

xs.p.(t)

(1.20)

On constate que le premier terme disparait quand le temps augmente, ce qui correspond au régimedit «transitoire».

Dans la suite, nous négligerons ce terme transitoire, pour ne nous intéresser qu’au terme en régimeentretenu. On peut mettre ce dernier terme sous la forme :

xs.p.(t) = X sin(Ωt + Φ) (1.21)

On considère donc que la réponse possède la même fréquence que l’excitation, avec une amplitudeX et un déphasage Φ. Les valeurs de l’amplitude et du déphasage sont, tous calculs faits :

X =F

k× FAD , avec FAD =

[(1− β2)2 + (2ξβ)2

]− 12 (1.22)

Φ = arctan

[−2ξβ

1− β2

](1.23)

Le Facteur d’Amplification Dynamique (FAD), noté encore G = [(1− β2)2 + (2ξβ)2]− 1

2 devient àla résonance (β = 1), G = 1

2ξ. Cette valeur n’est pas tout à fait la valeur maximale, comme on peut

le démontrer en annulant la dérivée dXdβ

; on trouve :

β(FAD max) =√

1− 2ξ2 ; Gmax = 1

2ξ√

1−ξ2

Les figures suivantes montrent le FAD, ainsi que la variation brutale du déphasage à la résonance.

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1.3. ÉTUDE DE LA RÉPONSE EN MOUVEMENT FORCÉ HARMONIQUE 11

Fig. 1.6 – FAD et déphasage

En conclusion, on peut comparer la partie transitoire et permanente de la réponse d’un systèmemasse-ressort sous-amorti :

Fig. 1.7 – Comparaison régime transitoire et établi

Remarque : Pour le système sur-amorti (ξ > 1), on obtient des résultats similaires mais dans cecas la notion de résonance n’apparaît pas clairement : il n’y a pas de pic du FAD, il est toujoursdécroissant.

1.3.3 Distinguo force ou déplacement imposé

Dans le cas de vibrations forcées par un déplacement imposé, par exemple A(t) = A sin(Ωt), onmontre que la solution se met sous une forme similaire au cas précédent : x(t) = X sin(Ωt + Φ) avecX = A × FAD ; FAD et Φ identiques au cas précédent.

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12 CHAPITRE 1. SYSTÈMES DISCRETS À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ

Le FAD s’interprète alors toujours comme le facteur d’amplification par rapport à la solutionquasi-statique.

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Chapitre 2

Systèmes discrets à deux degrés de liberté(2DDL)

2.1 Équations de la dynamique

Étudions le cas particulier suivant :

Fig. 2.1 – Système à 2DDL

En appliquant successivement aux deux masses le théorème de la résultante cinétique (équationde la dynamique), on obtient :

2mx1 = −kx1 − k(x1 − x2) + F1

mx2 = −kx2 − k(x2 − x1) + F2

2mx1 + kx1 + k(x1 − x2) = F1

mx2 + kx2 + k(x2 − x1) = F2

Soit, sous forme matricielle :[2m 0

0 m

] x1

x2

+

[2k −k

−k 2k

] x1

x2

=

F1

F2

(2.1)

On constate en général, que toutes les inconnues sont dans toutes les équations. On a un systèmed’équations différentielles du second ordre couplé que l’on ne sait pas résoudre directement en général,on l’écrit de façon condensée :

[M ] x+ [K] x = F (2.2)

On appelle [M ] la matrice de masse du système et [K] la matrice de rigidité.

13

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14 CHAPITRE 2. SYSTÈMES DISCRETS À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ (2DDL)

La matrice [K] est toujours symétrique et, quand on écrit l’équilibre masse par masse comme ici,[M ] est alors diagonale (sinon elle n’est même pas symétrique, par exemple si on écrit le PFD pour2m+m et pour m).

2.2 Solutions vibratoires, analyse modale (F = 0)

2.2.1 Rappel

Si on fait subir à un vecteur non nul X une transformation linéaire de matrice carrée [T ], telleque :

[T ] X = λ X , λ ∈ R (2.3)

on dit alors que :– X est une direction (ou vecteur) propre de [T ], l’ensemble forme un sous-espace vectoriel.– λ est une valeur propre de [T ] et on a [[T ]− λ [I]] X = 0, c.à.d que X appartient au noyau

de [T ]− λ [I].

2.2.2 Problème aux valeurs propres associé

Dans notre cas, on cherche une solution vibratoire, c’est à dire de la forme :

X(t)

= X cos(ωt) (2.4)

L’équation de la dynamique, sans second membre, devient : −ω2 [M ] X + [K] X = 0 , soit[[K]− λ [M ]] X = 0, avec λ = ω2.

Si l’on prémultiplie les deux termes de cette dernière équation par [M ]−1, on obtient :

[[M ]−1 [K]− λ [I]

]X = 0

On reconnait un problème classique aux valeurs propres. Sa résolution conduit à déterminer lesvaleurs propres et les vecteurs propres de la matrice [M ]−1 [K], qui n’est pas symétrique en général(ici si, car [M ] est diagonale et [K] symétrique).

2.2.3 Résolution du problème aux valeurs propres et vecteurs propres,

analyse modale

La recherche des valeurs propres s’écrit :

det[[M ]−1 [K]− λ [I]

]= 0 ⇔ det

[[M ]−1 ([K]− λ [M ])

]= 0

ou encore : det [M ]−1 det ([K]− λ [M ]) = 0, comme det [M ]−1 6= 0, on obtient une équation plussimple à résoudre :

det ([K]− λ [M ]) = 0 (2.5)

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2.2. SOLUTIONS VIBRATOIRES, ANALYSE MODALE (F = 0) 15

Dans notre exemple :

[K]−λ [M ] =

[(2k − 2λm) −k

−k (2k − λm)

]d’où le trinôme à résoudre (2k−2λm)(2k−λm)−k2 =

0, dont les racines sont λ1 = ω21 ≈ 0, 634 k

met λ2 = ω2

2 ≈ 2, 366 km

.

Il existe donc deux pulsations propres du système : ω1 ≈ 0, 796√

km

et ω2 ≈ 1, 538√

km

Remarque : on montre par ailleurs que les racines du polynome en λ sont forcément positives.

La recherche des vecteurs propres s’effectue en remplaçant les valeurs propres dans le systèmed’équations : [[K]− λ [M ]] X = 0.

Dans notre exemple :

Pour λ = λ1 :

(2− 2× 0, 634)kX1 − kX2 = 0

−kX1 − (2− 0, 634)X2 = 0⇒ X2 ≈ 0, 732X1

(La seconde équation est identique à la première, et c’est normal...)

Pour λ = λ2 : (2k − 2× 2, 366k)X1 − kX2 = 0 ⇒ X2 ≈ −2, 732X1 :

(Même remarque)

Les couples (X1, X2) sont donc définis à une constante multiplicative près «a». Ce sont les vecteurspropres ou directions propres que nous noterons Φ :

Φ1 =

a

0, 732 a

Φ2 =

a

−2, 732 a

Nous avons donc trouvé que le système mécanique peut vibrer selon les modes ω1, Φ1 et ω2, Φ2 :

Mode 1

Mode 2

Fig. 2.2 – Modes de vibrations

On fixera pour la suite a = 1. Les résultats que nous allons établir ne dépendent pas de cettevaleur fixée arbitrairement.

Nous venons de déterminer les pulsations propres et les vecteurs propres du système ; cette opé-ration, qui ne fait pas intervenir le chargement, est désignée sous le terme d’analyse modale.

2.2.4 M et K orthogonalité, raideurs et masses modales

Démonstration (non détaillé au tableau) :

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16 CHAPITRE 2. SYSTÈMES DISCRETS À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ (2DDL)

On a, par définition : [K] Φ1 − ω2

1 [M ] Φ1 = 0

[K] Φ2 − ω22 [M ] Φ2 = 0

En multipliant à gauche par les vecteurs propres transposés ces équations on peut obtenir lesdeux équations suivantes :

Φ2t 1re ligne− Φ1t 2me ligne = 0

ω22 Φ2t 1re ligne− ω2

1 Φ1t 2me ligne = 0

Φ2t ([K] Φ1 − ω2

1 [M ] Φ1)− Φ1t ([K] Φ2 − ω22 [M ] Φ2) = 0

ω22 Φ2t ([K] Φ1 − ω2

1 [M ] Φ1)− ω21 Φ1t ([K] Φ2 − ω2

2 [M ] Φ2) = 0

Si les opérateurs K et M sont symétriques (ce que l’on peut assurer en écrivant le principefondamental de la dynamique masse par masse) on obtient :

(ω22 − ω2

1) Φ1t [M ] Φ2 = 0

(ω22 − ω2

1) Φ1t [K] Φ2 = 0

D’où, à condition que les fréquences propres soient distinctes :Φ1t [M ] Φ2 = 0

Φ1t [K] Φ2 = 0(2.6)

On dit que les vecteurs propres sont [K] et [M ] orthogonaux, il est à noter qu’ils ne sont pasorthogonaux simplement entre-eux.

D’autre part, en écrivant Φ1t 1re ligne, on obtient :

ω21 =

Φ1t [K] Φ1Φ1t [M ] Φ1

=k1

m1

(2.7)

Ce qui permet de définir la «masse modale» m1 et la «raideur modale» k1 associés au mode 1,par analogie avec les résultats obtenus pour les systèmes à un degré de liberté. Ce rapport est appeléquotient de Rayleigh.

Dans notre exemple :– on peut vérifier la [K] et [M ] orthogonalité des deux vecteurs propres– on trouve (avec a= 1) :

k1 = 1, 607k ; m1 = 2, 53m

k2 = 22, 39k ; m2 = 9, 46m

2.2.5 Découplage des équations

Pour découpler le système d’équations, on utilise la matrice des vecteurs propres pour réaliser lechangement de variable suivant :

x =[

Φ1 Φ2

]q = [Φ] q (2.8)

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2.2. SOLUTIONS VIBRATOIRES, ANALYSE MODALE (F = 0) 17

On appelle q le vecteur des déplacements modaux. La matrice des vecteurs propres est appeléematrice de changement de base entre le domaine physique et le domaine «modal» (attention : ellen’est pas orthogonale). Le principe est de résoudre dans la base modale, dans lequel les matrices sontdiagonales, puis de retourner au domaine physique par le changement de variable ci-dessus.

En effet, en remplaçant dans l’expression du système matriciel avec second membre, on obtient :[M ] [Φ] q+ [K] [Φ] q = Fet, en prémultipliant les deux termes par [Φ]t :

[Φ]t [M ] [Φ] q+ [Φ]t [K] [Φ] q = [Φ]t F = R (2.9)

D’après les propriétés des vecteurs propres citées ci-dessus, on voit apparaître les matrices dia-gonales suivantes, désignées par les termes de «matrice de masse modale» et «matrice de rigiditémodale» :

[Φ]t [M ] [Φ] =

[m1 0

0 m2

]= [m] (2.10)

[Φ]t [K] [Φ] =

[k1 0

0 k2

]= [k] (2.11)

(remarque : [Φ]t [K] [Φ] n’est pas un changement de base classique dans la base [Φ] car ce n’estpas une base orthonormale, ni orthogonale, [Φ]−1 6= [Φ]t en général)

Dès lors, on obtient un système d’équations découplées dans l’espace modal :[m1 0

0 m2

]q+

[k1 0

0 k2

]q = [Φ]t F = R (2.12)

Il suffit ensuite de résoudre successivement chacune des équations :m1q1 + k1q1 = Φ1t Fm2q2 + k2q2 = Φ2t F

(2.13)

Remarque (plus détaillée en TD) : il est possible de ne pas exciter un mode i propre en choisissantF orthogonal à la forme propre Φi.

2.2.6 Réponse en mouvement libre F = 0

La solution de la ième équation (miq+kiqi = 0) est bien connue, elle correspond au masse-ressortnon amorti étudié au chapitre précédent, d’où :

qi(t) = Ai sin(ωit) + Bi cos(ωit) (2.14)

Les valeurs Ai et Bi sont déterminées à partir des conditions initiales, qui doivent être au nombrede 2 par degré de liberté si l’on veut poser correctement le problème (c’est à dire obtenir une solutionunique).

Il suffit ensuite de revenir aux déplacements réels par x = [Φ] q.

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18 CHAPITRE 2. SYSTÈMES DISCRETS À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ (2DDL)

Dans notre exemple, nous considérerons que le mouvement est dû aux conditions initiales sui-vantes : t = 0; x1 = 1; x1 = 0; x2 = 0; x2 = 0

Autrement dit, on déplace initialement la première masse de la valeur 1, on retient l’autre et onattend que plus rien ne bouge avant de lâcher l’ensemble.

On connait la forme des coefficients modaux :

q1(t) = A1 sin(0, 796

√k

mt) + B1 cos(0, 796

√k

mt)

q2(t) = A2 sin(1, 538

√k

mt) + B2 cos(1, 538

√k

mt)

5 10 15 20 25t

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

q1

5 10 15 20 25t

-0.2

-0.1

0.1

0.2

q2

Fig. 2.3 – Solution dans la base modale

On peut ensuite revenir aux déplacements physiques :

x1(t) = q1(t) + q2(t)

x2(t) = 0, 732 q1(t)− 2, 732 q2(t)

L’application des conditions initiales conduit à :

A1 = A2 = 0

B1 = 0, 788; B2 = 0, 211

D’où, finalement :

x1(t) = 0, 788 cos(0, 796√

km

t) + 0, 211 cos(1, 538√

km

t)

x2(t) = 0, 577 cos(0, 796√

km

t)− 0, 576 cos(1, 538√

km

t)

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2.2. SOLUTIONS VIBRATOIRES, ANALYSE MODALE (F = 0) 19

5 10 15 20 25t

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

x1

5 10 15 20 25t

-1

-0.5

0.5

1x2

Fig. 2.4 – Solution dans la base physique

2.2.7 Réponse en excitation forcée

On raisonne de même sur les équations découplées et on revient dans l’espace physique.

2.2.8 Cas amorti

En général, on fait l’analyse modale sans amortissement (on ne sait pas vraiment faire avec),puis l’amortissement est artificiellement introduit dans les équations découplées qui correspondentchacune à un système 1DDL, puis on ramène le résultat obtenu dans l’espace réel en utilisant lechangement de base associé au système non amorti. Cette méthode donne une bonne approximationpour des systèmes peu amortis, dans le cas de systèmes fortement amortis il faut des propriétés plusfortes sur la matrice d’amortissement (afin de la diagonaliser), ou alors étudier le système dans labase de départ, en effectuant une résolution numérique par petits pas de temps par exemple.

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20 CHAPITRE 2. SYSTÈMES DISCRETS À DEUX DEGRÉS DE LIBERTÉ (2DDL)

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Chapitre 3

Systèmes continus : vibrations des poutres

3.1 Vibrations longitudinales des poutres droites

3.1.1 Équation du mouvement (PFD + RC)

Le matériau est supposé élastique, linéaire, isotrope, dans l’hypothèse des petites perturbations(module d’Young E, masse volumique ρ). La poutre est droite, de section constante S, de longueurL.

x+dx

x

u(x+dx) = u(x)+du

N(x) N(x+dx) = N(x)+dN

u(x)

x

Fig. 3.1 – Système 1D, poutre en traction

Les fonctions inconnues sont le déplacement axial u(x, t) et l’effort normal N(x, t) au sens dela théorie des poutres. Ces deux fonctions sont reliées par la loi de Hooke, en notant les dérivéespartielle de façon condensée : ∂f

∂x= f,x :

N = σS = ESu,x (3.1)

En isolant un élément de barre situé entre les sections d’abscisse x et x+dx, on peut lui appliquerle principe fondamental de la dynamique :

ρSdx u,tt ≈ (N + N,xdx)−N (3.2)

Ces deux dernières équations contiennent les deux fonctions inconnues. On peut, par exemple,éliminer N et on obtient ainsi une « formulation en déplacements » :

21

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22 CHAPITRE 3. SYSTÈMES CONTINUS : VIBRATIONS DES POUTRES

Loi de Hooke ⇒ N,x = ESu,xx ⇒ le PFD devient : ρu,tt = Eu,xx

3.1.2 Solution générale en mouvement libre

En vibrations libres, l’équation aux dérivées partielles précédente est la célèbre « équation d’ondes » :

u,tt =E

ρu,xx (3.3)

La quantité√

représente ainsi la vitesse des ondes au sein du matériau.

Pour l’équation aux dérivées partielles, la méthode de « séparation des variables » est ici possible.On écrit la fonction inconnue sous la forme d’un produit d’une fonction de l’espace seulement parune fonction du temps seulement :

u(x, t) = Φ(x)q(t) (3.4)

En posant :

c =

√E

ρ(3.5)

l’équation d’onde devient :

Φq′′

= c2qΦ′′ ⇒ q

′′

q= c2 Φ

′′

Φ= ... − ω2 (c.f. ci− dessous)

Ce qui revient à dire qu’une fonction du temps t est égale à une fonction de la position x, cequi n’est possible que si ces fonctions sont des constantes par rapport à t et x. Notons la constanted’intégration −ω2, on admettra qu’elle est négative pour garantir que les fonctions Φ et q demeurentbornées, ce qui correspond à la réalité physique.

On peut ensuite résoudre successivement l’équation en temps sur q (t) et l’équation en espace surΦ (x) :

q′′

+ ω2q = 0 → q(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt)

Φ′′

+ω2

c2Φ = 0 → Φ(t) = C sin(kx) + D cos(kx) ; avec k =

ω

c, le nombre d′onde

La solution générale, pour tout tronçon homogène de poutre droite en vibrations longitudinales,s’écrit finalement :

u(x, t) =

[C sin

√ρ

Ex

)+ D cos

√ρ

Ex

)][A sin(ωt) + B cos(ωt)] (3.6)

ω, C et D seront déterminées par les conditions aux limites,

A et B seront déterminées par les conditions initiales.

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3.1. VIBRATIONS LONGITUDINALES DES POUTRES DROITES 23

3.1.3 Cas de la poutre encastrée-libre

Les conditions aux limites s’écrivent :- en x = 0 , u(0, t) = 0 ⇔ Φ(0) q(t) = 0, ∀t ⇔ Φ(0) = 0 ⇒ D = 0

- en x = L, N(L, t) = 0 ⇔ ESΦ′

(L)q(t) = 0, ∀t ⇔ Φ′

(L) = 0

Cette dernière condition conduit à une équation en ω, dont la résolution conduit à la déterminationdes pulsations propres :

√ρ

Ecos

√ρ

EL

)= 0 ⇒ cos

√ρ

EL

)= 0

La présence d’une fonction circulaire (cosinus) implique qu’il existe un nombre infini de pulsationspropres, dont l’expression est :

ωn = (2n− 1)π

2L

√E

ρ, n = 1, 2, ... (3.7)

Les formes propres associées, définies à une constante près C, sont :

Φn(x) = sin[(2n− 1)

πx

2L

](3.8)

0.5 L

1

0.5

L1

0.5

L

1

Φ 1

Φ 2

Φ 3

Fig. 3.2 – formes propres

3.1.4 Autres cas de conditions aux limites (c.f. TD)

À partir de la solution générale, d’autres cas de conditions aux limites peuvent être étudiés demanière similaire : poutre libre-libre, poutre encastrée-encastrée, poutre encastrée + masse à une

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24 CHAPITRE 3. SYSTÈMES CONTINUS : VIBRATIONS DES POUTRES

extrémité, poutre portant une masse à chaque extrémité...– cas libre-libre : ωn = nπ

L

√Eρ

; Φn(x) = Dn cos[

nπxL

]– cas encastré-encastré : ωn = nπ

L

√Eρ

; Φn(x) = Cn sin[

nπxL

]3.1.5 Vibrations forcées

ΩF sin ( t)

Fig. 3.3 – Poutre en vibrations harmonique, en traction

Non traité...

3.2 Vibrations transversales des poutres droites

3.2.1 Équation du mouvement (PFD + RC)

Le matériau est supposé élastique, linéaire, isotrope, dans l’hypothèse des petites perturbations(module d’Young E, masse volumique ρ). La poutre est droite, de section d’aire constante S, d’inertieconstante I, de longueur L, et fléchit dans le plan xy (rotation des sections autour de l’axe z).

x

TT+dT

M+dMM

y

G(x) G(x+dx)

x x+dx

Fig. 3.4 – Système 1D, poutre en flexion

Fig. 3.5 – Système 1D, poutre en flexion

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3.2. VIBRATIONS TRANSVERSALES DES POUTRES DROITES 25

Les fonctions inconnues sont le déplacement transversal, ou « flèche », v(x, t) l’effort tranchantT (x, t) et le moment fléchissant M(x, t) au sens de la théorie des poutres. Ces fonctions sont reliéespar les relations classiques d’Euler-Bernouilli :

M = EIv,xx (3.9)

Le théorème de la résultante cinétique (loi de la dynamique) s’écrit :

ρSdx v,tt ≈ −T + (T + T,xdx)

⇔ ρSv,tt = T,x (3.10)

Le théorème du moment cinétique au point G(x + dx) s’écrit, si on néglige l’énergie cinétique derotation, α désignant la rotation de la section droite :

Tdx + (M + M,xdx)−M = ρIα,tt ≈ 0

⇔ T = −M,x (3.11)

⇒ T,x = −M,xx = −EIv,x4

En remplaçant dans l’équation de la résultante cinétique, on obtient l’équation d’onde :

EIv,x4 + ρSv,t2 = 0 (3.12)

3.2.2 Solution générale en mouvement libre

Comme pour le cas précédent, on utilise la méthode de séparation des variables, on pose donc :

v(x, t) = Φ(x)q(t) (3.13)

L’équation d’onde donne, de la même façon que pour les vibrations longitudinales :

EI

ρS

Φ′′′′

Φ= −q

′′

q= −ω2

La fonction du temps est donc toujours de la forme :

q′′

+ ω2q = 0 → q(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt)

Par contre la fonction d’espace fait intervenir l’équation du quatrième ordre : Φ′′′′ − ρS

EIω2Φ = 0.

En posant :

β =4

√ρS

EIω2 (3.14)

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26 CHAPITRE 3. SYSTÈMES CONTINUS : VIBRATIONS DES POUTRES

On peut écrire la forme suivante :

Φ(x) = C sin(βx) + D cos(βx) + E sinh(βx) + F cosh(βx)

La solution générale s’écrit :

v(x, t) = (C sin(βx) + D cos(βx) + E sinh(βx) + F cosh(βx)) (A sin(ωt) + B cos(ωt)) (3.15)

A et B sont déterminés par les conditions initiales.

C, D, E, F , ω sont déterminés par les conditions aux limites.

Ces conditions aux limites peuvent être du type :

– extrémité libre : T = 0 ⇒ Φ′′′

= 0 ; M = 0 ⇒ Φ′′

= 0

– appui simple : v = 0 ⇒ Φ = 0 et M = 0 ⇒ Φ′′

= 0

– encastrement : v = 0 ⇒ Φ = 0 et v,x = 0 ⇒ Φ′= 0

– masse ponctuelle en bout : c.f. TD.– raideur ponctuelle en bout : c.f. TD.

3.2.3 Cas de la poutre encastrée-libre

Rappelons les 4 conditions aux limites :

- en x = 0 : v = 0 ⇔ Φ(0) = 0 et v,x = 0 ⇔ Φ′

(0) = 0

- en x = L : T = 0 ⇔ Φ′′′

(L) = 0 et M = 0 ⇔ Φ′′

(L) = 0

En posant : X = βL et en rappelant que ω = β2√

EIρS

, on obtient un système de 4 équations à 4inconnues :

D + F = 0

βC + βE = 0

−β2C sin X −β2D cos X +β2E sinh X +β2F cosh X = 0

−β3C cos X β3D sin X +β3E cosh X +β3F sinh X = 0

(rappel : sinh(0) = 0; cosh(0) = 1; ∂ sinh(βx)∂x

= β cosh(βx))

Ce système peut être réduit, le résultat est :

(sin X + sinh X)C + (cos X + cosh X)D = 0

(cos X + cosh X)C + (sinh X − sin X)D = 0et

E = −C

F = −D

Comme : cosh2 X − sinh2 X = 1, on obtient finalement la condition issue des conditions auxlimites qui donnera les pulsations propres :

det [matrice] = 0 ⇔ cosh X cos X + 1 = 0

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3.2. VIBRATIONS TRANSVERSALES DES POUTRES DROITES 27

Π

23 Π

25 Π

27 Π

29 Π

211 Π

2

-10

10

Fig. 3.6 – Tracé de cosh(X) cos(X)

Cette équation admet un nombre de racines infini. Si Xk est une de ces solutions, on définir lesnotations : βk = Xk

Let ωk =

X2k

L2

√EIρS

Les résultats pour les premiers modes sont :

X1 = 1, 875; X2 = 4, 694; X3 = 7, 854; X4 = 11, 1; X5 = 14, 14; ...

Le mode propre k s’écrit donc, en utilisant toutes les équations issues des conditions aux limites :

Φk(x) = Ck (sin(βkx)− sinh(βkx)) + Dk (cos(βkx)− cosh(βkx))

0.5 L

2

0.5 L

2

0.5 L

2

Φ 1

Φ 2

Φ 3

Fig. 3.7 – formes propres

3.2.4 Autres cas de conditions aux limites (c.f. TD)

En procédant de manière analogue, on aboutirait aux équations en X suivantes :– cas appuyé-appuyé : sin X = 0 ⇒ X2

1 = 9, 869; X22 = 39, 47; ...

– cas encastré-encastré et libre-libre : cosh X cos X = 1 ⇒ X21 = 22, 37; X2

2 = 61, 67; ...

– cas encastré-appuyé et appuyé-encastré : tan X − tanh X = 0 ⇒ X21 = 15, 41; X2

2 = 49, 96; ...

– cas avec masse ponctuelle en bout : c.f. TD.– cas avec raideur ponctuelle : c.f. TD.

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28 CHAPITRE 3. SYSTÈMES CONTINUS : VIBRATIONS DES POUTRES

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Chapitre 4

Méthodes énergétiques : solutionsapprochées (initiation aux éléments finis)

4.1 Préliminaire : illustration de calculs par éléments finis

Considérons le calcul associé à une poutre encastrée-libre. Prenons les paramètres suivants dansle logiciel RdM6 : poutre encastrée-libre, discrétisation en 20 éléments, calcul des 20 premiers modespropres :

Fig. 4.1 – résultats de calculs par éléments finis

Les premiers modes semblent correct, mais les modes d’ordre élevé montrent des déformationsincohérentes.

Les ruptures de pente, ou de courbure, semblent incohérentes avec les poutres en flexion. Ons’attendait à des déformées du type sinus, cosinus, cosh, sinh.

Les conditions d’encastrement ne sont pas rigoureusement vérifiées (pente non nulle à l’origine)

D’où les questions : quelle type d’approximation est fait dans un calcul EF ?, et comment maîtriserla précision du calcul ?

29

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30CHAPITRE 4. MÉTHODES ÉNERGÉTIQUES : SOLUTIONS APPROCHÉES (INITIATION AUX ÉLÉMENTS FINIS)

4.2 Théorème de l’énergie cinétique

Les méthodes élement finis sont basées sur le calcul des énergies, nous allons donc poser les basesde ces calculs.

Il exprime la conservation de l’énergie. Entre deux états, la variation d’énergie cinétique est égaleà la somme du travail des forces extérieures et du travail des forces intérieures (dûes à la déformation),pour amener le système de l’état 1 à l’état 2.

∆Ec = Wint + Wext (4.1)

Pour illustrer cette relation on peu faire l’expérience suivante : Sur un vélo a grande vitesse leconducteur souhaite ralentir. S’il serre modérément les freins, le travail des forces intérieures faitchauffer les freins et permet de diminuer l’énergie cinétique. S’il serre les freins très fort, les freins nechauffent plus mais c’est sur les pneus maintenant que le travail des forces extérieures fait chaufferla gomme. On voit ainsi l’importance des deux travaux pour faire varier l’énergie cinétique d’unsystème.

On considère maintenant, du fait que le système est élastique, que l’énergie interne dérive d’unpotentiel :

Wint = −∆Ed (4.2)

Ed est l’énergie de déformation élastique et le signe (-) provient de la nature “résistante” du travailinterne.

Donc ∆Ec = −∆Ed + Wext ou encore ∆(Ec + Ed) = Wext

Dans le cas de vibrations libres, Wext = 0 ⇒ Ec + Ed = Constante

d

dt(Ec + Ed) = 0 (4.3)

Pour illustrer cette relation on peut étudier un simple système masse ressort en vibraitons libres.Quand le ressort est comprimé au maximum, la masse est arrêtée, toute l’énergie est sous forme dedéformation dans le ressort. Quand le ressort est revenue à sa longueur à vide, la masse est en pleinevitesse, toute l’énergie est sous forme cinétique. La vibration du système est un échange périodiqueentre ces deux formes d’énergie.

4.3 Énergie de quelques composants

Afin de se familiariser avec la façon dont se distribue l’énergie cinétique et de déformation dansun système en vibration, on va détailler l’énergie de quelques composants.

Pour un état de déformation ε correspondant à un état de contrainte σ (la loi de Hooke s’écritσ = Eε), on admet les formes générales suivante :

Ed =1

2

∫Ω

σε dΩ (4.4)

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4.3. ÉNERGIE DE QUELQUES COMPOSANTS 31

Ec =1

2

∫Ω

ρ (u,t)2 dΩ (4.5)

si u désigne le déplacement.

4.3.1 Ressort

Ec = 0 (4.6)

Soit un ressort de raideur k, qui subit un allongement x0 sous l’action d’une force F0

on a F0 = kx0 et dU = Fdx, en considérant que l’on charge progressivement le ressort il vient :

Ed =

∫ x0

0

F dx =1

2kx2

0 =1

2

1

kF 2

0 =1

2F0x0 (4.7)

On exprime ici simplement le travail reçu par le ressort lors de son écrasement.

4.3.2 Masse

Ec =1

2M (u,x)

2 (4.8)

Ed = 0 (4.9)

4.3.3 Poutre en élongation

Tous les points de la même section courante présentent le même déplacement axial u

Ec =1

2

∫Ω

ρ (u,t)2 dΩ =

1

2

∫ L

0

ρS (u,t)2 dx (4.10)

On constate donc que les noeuds de vibration n’apportent pas d’énergie cinétique, alors que lesventres de vibration oui.

Ed =1

2

∫Ω

σε dΩ =1

2

∫ L

0

∫S

Eεε dS dx =1

2

∫ L

0

ES (u,x)2 dx (4.11)

On constate que les zones à faible déformation (par exemple le bord libre d’une poutre encastrée-libre) n’apporte pas d’énergie de déformation, alors que les zones à forte déformation (par exemplel’encastrement) oui. De façon plus générale on peut définir des noeuds et des ventres de déformationsur une poutre en vibrations libres de traction-compression.

En conclusion, l’énergie de déformation et l’énergie cinétique sont distribuées inéquitablement lelong de la poutre, mais la somme des deux est constante pendant la vibration, ce qui généralise notreraisonnement initial sur la vibration du masse-ressort.

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32CHAPITRE 4. MÉTHODES ÉNERGÉTIQUES : SOLUTIONS APPROCHÉES (INITIATION AUX ÉLÉMENTS FINIS)

4.3.4 Poutre en flexion

Les points de la section courante ont un déplacement axial noté u ; tous les points de cette sectionont le même déplacement transversal (flèche) noté v. On a :

Ec =1

2

∫Ω

ρ

(∂v

∂t

)2

dΩ =1

2

∫ L

0

ρS

(∂v

∂t

)2

dx (4.12)

On constate de même que précédemment les noeuds de vibration n’apportent pas d’énergie ciné-tique, alors que les ventres de vibration oui. On a :

Ed =1

2

∫Ω

σε dΩ =1

2

∫ L

0

∫S

Eεε dS dx =1

2

∫ L

0

∫S

E (−y α,x)2 dS dx

En effet : ε = ∂u∂x

= ∂∂x

(−αy) = −y ∂α∂x

si α est la rotation de la section en hypothèse des petitesdéformations (tan α ≈ α)

u = αy

x

y

Fig. 4.2 – déformation de flexion

D’autre part : α = v,x (hypothèse d’Euler-Bernouilli)

α = v,x

Fig. 4.3 – hypothèse d’Euler-Bernouilli

En définissant l’inertie de la section par I =∫

Sy2dS, il vient :

Ed =1

2

∫ L

0

EI (v,xx)2 dx (4.13)

On constate que les zones à faible courbure (par exemple le bord libre d’une poutre encastrée-libre) n’apportent pas d’énergie de déformation, alors que les zones à forte courbure (par exemplel’encastrement) oui. De façon plus générale on peut définir des noeuds et des ventres de courbure surune poutre en vibrations libres de flexion.

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4.4. MÉTHODE DE RAYLEIGH 33

4.3.5 Poutre en torsion

De la même manière que précédemment, si on définit la quantité I0 =∫

S(y2 + z2)dS, et en

désignant par θ l’angle de torsion, on obtient :

Ed =1

2

∫ L

0

GI0 (θ,x)2 dx (4.14)

Ec =1

2

∫ L

0

ρI0 (θ,t)2 dx (4.15)

4.4 Méthode de Rayleigh

La méthode de Rayleigh est originellement une méthode énergétique de détermination analytiquede la première fréquence propre du système. La méthode de Rayleigh-Ritz permettait souvent enpratique d’avoir une valeur approchée de la première fréquence propre.

Ces méthodes ne sont pratiquement plus utilisées à l’heure actuelle en raison des calculs souventfastidieux qu’elles entrainent ; on leur préfère une résolution numérique par la méthode des “Élé-ments Finis” (voir ci-dessous). Néanmoins cette méthode est une très bonne entrée en matière pourcomprendre les élements finis.

4.4.1 Principe de la méthode

La marche à suivre consiste à :– Se donner arbitrairement une fonction Φ(x), à partir de la déformée statique ou d’un polynôme,

satisfaisant les conditions aux limites d’encastrement.– Exprimer, pour chacune des pièces composant le mécanisme, les énergies Ec et Ed. Les calculs

faits à partir des formulations établies précédemment et utilisant la fonction de déplacementselon : u(x,t) = Φ(x)U(t), ce qui conduit systématique aux formes Ed = A U2

(t)et Ec = B U2(t)

– Appliquer aveuglément la formule de l’équation du théorème de l’énergie cinétique, ce quifournit une équation différentielle dont la solution apporte une pulsation propre.

En effet,d

dt(Ec + Ed) = 2BUU + 2AUU = 0

U +A

BU = 0

La solution possède la pulsation ω =√

AB

On montre en pratique que si Φ(x) est exactement une forme propre, alors la pulsation obtenueest exactement la fréquence propre associée. En pratique on obtient une approximation.

La principale difficulté réside dans l’obtention d’une fonction de déplacement qui donnera unebonne approximation de la fréquence propre. On se donne en général une forme qui permet deretrouver la déformée statique, à partir du fait que le premier mode propre a généralement une allureassez proche de cette déformée statique.

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34CHAPITRE 4. MÉTHODES ÉNERGÉTIQUES : SOLUTIONS APPROCHÉES (INITIATION AUX ÉLÉMENTS FINIS)

4.5 Méthode des Éléments Finis

La méthode des éléments finis peut alors se comprendre comme une généralisation de la méthodeprécédente, apportant plus de précision et de souplesse dans l’utilisation.

4.5.1 Interpolation

Considérons l’exemple de la poutre en élongation. Cette poutre est modélisée par un segment delongueur L porté par l’axe x ; la valeur de la fonction inconnue (le déplacement axial u) est déterminéeseulement aux deux “noeuds” positionnés à chacune des extrémités de l’élément. La fonction u(x, t)

en un point courant est interpolée à partir de sa valeur aux noeuds :

u(x, t) = Φ1(x)u1(t) + Φ2(x)u2(t) Φt U (4.16)

Φt(x) =

Φ1(x) Φ2(x)

est la matrice (ligne ici) des fonctions d’interpolation

U(t) =

u1

u2

est le vecteur (inconnu) des déplacements nodaux

Pour déterminer les fonctions d’interpolation, on dispose des conditions :

- quand x = 0, u = u1

- quand x = L, u = u2

On se donne une forme polynomiale à 2 termes, c’est-à-dire u = ax + b. L’application des deuxconditions aux limites conduit à u = u2−u1

Lx + u1 = u1(1− x

L) + u2

xL.

Par identification dans la formule d’interpolation :

Φt(x) =

(1− x

L) x

L

x

x

x

u1

u2

u x = u1Φ1 x + u2Φ2 x

Φ1 x

Φ2 x

1

1

Fig. 4.4 – Fonctions de forme associées à un élément

De façon plus générale on peut construire ainsi une fonction linéaire par morceaux :

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4.5. MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS 35

u x,t = Φn x un tΣn = 1

N

= Σxxn xn

Φn x

Fig. 4.5 – Fonctions de forme pour N éléments

C’est l’approximation qui est faite par le calcul par élements finis, d’où l’aspect du mode 50. Pourlimiter l’aspect discontinu de la déformation il faut donc, soit discrétiser plus finement, soit utiliserdes polynomes de degrés supérieur par exemple.

4.5.2 Énergie cinétique et énergie de déformation

Énergie cinétique : Ec = 12

∫ρS (u,t)

2 dx

avec : u = Φt Udonc :

u,t = Φt

U

(les fonctions d’interpolation ne dépendent pas du temps)

(u,t)2 =

U

t

Φ Φt

U

D’où :

Ec =1

2

U

t∫ L

0

ρS Φ Φt dx

U

=1

2

U

t

[M ]

U

(4.17)

La matrice de masse [M ] peut être explicitée complètement :

[M ] =

∫ L

0

ρS Φ Φt dx = ρS

∫ L

0

[(1− x

L)2 x

L(1− x

L)

xL(1− x

L) ( x

L)2

]dx =

ρSL

6

[2 1

1 2

]

Énergie de déformation : Ed = 12

∫ L

0ES (u,x) dx

u,x =

Φt

U

(u,x)2 = Ut

Φ

Φ

t

UD’où :

Ed =1

2Ut

∫ L

0

ES

Φ

Φt

dx U =1

2Ut [K] U (4.18)

La matrice de rigidité [K] peut être explicitée :

[K] =

∫ L

0

ES

Φ

Φt

dx = ES

∫ L

0

[ (− 1

L

)2 (− 1

L2

)(− 1

L2

) (− 1

L

)2

]dx =

ES

L

[1 −1

−1 1

]

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36CHAPITRE 4. MÉTHODES ÉNERGÉTIQUES : SOLUTIONS APPROCHÉES (INITIATION AUX ÉLÉMENTS FINIS)

4.5.3 Système matriciel

Par application de l’équation du théorème de l’énergie cinétique :ddt

(Ec) = [M ]

U

U

ddt

(U) =[K] U

U

d

dt(Ec + U) = 0 ⇒ [M ]

U

+ [K] U = 0 (4.19)

On retrouve un système matriciel analogue à celui qui a été présenté au chapitre 2. La suite(analyse modale, réponse) est traité (numériquement) de la même manière que pour les systèmes à2 degrés de liberté.

La résolution par élément finis se base donc sur cette représentation matricielle, considérons alorsune résolution numérique de notre poutre encastrée-libre avec un élément.

Le logiciel nous informe qu’il a alors à faire avec un système à 3 degrés de liberté. Il s’agit desfonctions Φ1 et Φ2 précédente, plus une fonction Φ3 correspondant à de traction-compression. Onobserve le premier mode, le deuxième mode n’a pas de sens physique, le troisième mode correspondau mode de traction-compression.

Fig. 4.6 – Calcul avec 1 élément (3DDL)

Effectuons ensuite un calcul avec 2 éléments, ce qui permettra d’avoir une déformée avec deuxsegments de droite. Le deuxième mode apparaît clairement, même s’il semble grossièrement approché.

Fig. 4.7 – Calcul avec 1 élément (3DDL)

Par comparaison les résultats obtenus avec un calcul beaucoup plus fin montrent que l’on a trèsrapidement des approximations de bonne qualité. Le premier mode à 105Hz est obtenu à 1% prèsavec un seul élément (3DDL), le second mode à moins de 1% aussi avec deux éléments... il n’est pas

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4.5. MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS 37

forcément rentable de faire un calcul avec des miliers d’élements pour une simple poutre. En pratiqueil faut faire un calcul grossier et rapide, puis afiner ensuite jusqu’à ce que le résultat n’évolue plussensiblement.

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38CHAPITRE 4. MÉTHODES ÉNERGÉTIQUES : SOLUTIONS APPROCHÉES (INITIATION AUX ÉLÉMENTS FINIS)

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Table des figures

1.1 modèle 1DDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Circuit RLC Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Solution sur-amortie (non vibratoire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Solution sous-amortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Évolution du FAD non amorti en fonction du rapport des fréquences . . . . . . . . . . 91.6 FAD et déphasage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Comparaison régime transitoire et établi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Système à 2DDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Modes de vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Solution dans la base modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4 Solution dans la base physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1 Système 1D, poutre en traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 formes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Poutre en vibrations harmonique, en traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4 Système 1D, poutre en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5 Système 1D, poutre en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.6 Tracé de cosh(X) cos(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.7 formes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1 résultats de calculs par éléments finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 déformation de flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 hypothèse d’Euler-Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4 Fonctions de forme associées à un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.5 Fonctions de forme pour N éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.6 Calcul avec 1 élément (3DDL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.7 Calcul avec 1 élément (3DDL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

39