Vincent PANTALONI

Cours de Mathématiques en TaleS

Vincent PANTALONI

VERSION DU 7 DÉCEMBRE 2010

II

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Table des matières

1 Dérivation et continuité 1I Rappels : Limites de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1II Rappels sur la dérivation, notation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . 1III Dérivée de uov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3IV Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

IV.1 Définitions, exemples et contre exemples . . . . . . . . . . . . . . . . 4IV.2 La fonction partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9IV.3 Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

V Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10VI Preuve du T.V.I. par dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11VII Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

VII.1 Racine d’un polynôme de degré impair . . . . . . . . . . . . . . . . . 12VII.2 Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Suites, raisonnement par récurrence. 13I Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

I.1 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15II Comportement global d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

II.1 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15II.2 Majorée, minorée, bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

III Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16III.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16III.2 Analogie : gravir un escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16III.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

IV Étude des suites du type un+1 = f(un) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17IV.1 Intervalle stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17IV.2 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18IV.3 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Exponentielle 19I Méthode d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

I.1 Aspect graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19I.2 Aspect calculatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II Equation différentielle y’=y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20III Méthode d’Euler-valeur approchée de exp(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21IV Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22V Notation exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22VI Étude de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

iii

IV TABLE DES MATIÈRES

VI.1 Dérivée et variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23VI.2 Équations et inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23VI.3 Courbe, approximation affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25VI.4 Limites — Croissance comparée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Nombres Complexes, généralités 27I Activité d’introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

I.1 Résolution historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27I.2 Des nombres impossibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

II Introduction-Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.2 Construction de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.3 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29II.4 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

III Géométrie dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31IV Équation du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

IV.1 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33IV.2 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33IV.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Barycentres et droites de l’espace 35I Barycentre : rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

I.1 Droites, segments de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36I.2 Plans et triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

II Représentations paramétriques d’une droite de l’espace . . . . . . . . . . . . 38II.1 T.P. sur GeoGebra (cas des droites du plan) . . . . . . . . . . . . . . 38II.2 Caractérisation analytique d’une droite de l’espace . . . . . . . . . . 38

6 Équations différentielles 41I Introduction, situation problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

I.1 Vérifier une solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41II Équation y′ = ay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41III Équation y′ = ay + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

7 Probabilités et dénombrement 45I Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

I.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45I.2 Modélisation avec des arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45I.3 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45I.4 Probabilité de B sachant A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45I.5 Réprésentation sur un arbre pondéré . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46I.6 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46I.7 Passer de PA(B) à PB(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47I.8 Indépendance de deux événements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

II Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48II.1 Activité : savez vous compter ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48II.2 Dénombrer des listes : choix ordonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48II.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49



TABLE DES MATIÈRES V

8 Nombres Complexes, forme exponentielle et transformations 53I Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

I.1 Repérage polaire dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53I.2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . 54I.3 Propriétés des arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

II Forme exponentielle d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56II.1 Paramétrisation d’un cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

III Transformations complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58III.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58III.2 Homothétie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59III.3 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

9 Suites adjacentes 61I Convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

I.1 Limites par la définition, rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61I.2 L’axiome de la convergence monotone. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

II Étude des suites du type un+1 = f(un) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62II.1 Intervalle stable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62II.2 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62II.3 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63II.4 Différents comportements asymptotiques. . . . . . . . . . . . . . . . . 64II.5 Suite logistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

III Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66IV Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67V Application : preuve du T.V.I. par dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

V.1 Énoncés équivalents au T.V.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68V.2 Démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68V.3 Algorithme et programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

10 Logarithme népérien 73I Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73II Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74III Propriétés analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

III.1 Dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75III.2 Résoudre des équations et inéquations avec ln . . . . . . . . . . . . . 75

IV Étude de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76V Logarithmes et exponentielles de base a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

V.1 ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76V.2 loga(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

11 Intégration. 79I Aire sous une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

I.1 Aire sous la parabole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79I.2 Fonction aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

II Intégrale d’une fonction continue et positive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80II.1 Intégrale vue comme une aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80II.2 Fonction aire, primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81II.3 Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive. . . . . . . . . . . . . . 81



VI TABLE DES MATIÈRES

II.4 Calcul de primitives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82II.5 Existence du logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

III Généralisation de l’intégrale à l’aide d’une primitive. . . . . . . . . . . . . . 83III.1 Intégrale d’une fonction de signe quelconque. . . . . . . . . . . . . . . 83III.2 Intégrale et signes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83III.3 Formule de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84III.4 Intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85III.5 Aire entre deux courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

IV Calculs d’aires et de volumes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87IV.1 Aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87IV.2 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

12 Lois de probabilités 89I Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

I.1 Activité : savez vous compter ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89I.2 Dénombrer des listes : choix ordonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89I.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

II Loi de probabilités discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93II.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93II.2 Espérance mathématique, variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94II.3 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

III Lois continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97III.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98III.2 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

13 Produit scalaire dans l’espace. 101I Recherche d’une définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101II Propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102III Produit scalaire et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102IV Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

IV.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103IV.2 Droites orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103IV.3 Vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

V Équation cartésienne de plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

14 Statistiques 107



Chapitre 1

Dérivation et continuité

I Rappels : Limites de référence

Voici les courbes des fonctions carré, cube et inverse. Leurs limites sont à connaître.

O ~ı

~

O ~ı

~

O ~ı

~

limx→+∞

x2 = +∞

limx→−∞

x2 = +∞

limx→+∞

x3 = +∞

limx→−∞

x3 = −∞

limx→+∞

1

x= 0

limx→−∞

1

x= 0

limx→0+

1

x= +∞

limx→0−

1

x= −∞

II Rappels sur la dérivation, notation différentielle

Définition 1. Soit a ∈ I où I est un intervalle ouvert. Soit f une fonction définie sur I. Ondit que f est dérivable en a si le taux de variation de f entre a et a+ h :

f(a+ h)− f(a)

h

admet une limite finie quand h tend vers 0. Si cette limite finie existe, on l’appelle le nombredérivé de f en a, noté f ′(a).

Remarque. En posant x = a+ h, cette définition équivaut à : limx→a

f(x)− f(a)

x− a= f ′(a) .

Interprétation graphique

1

2 1. DÉRIVATION ET CONTINUITÉ

Avec les notations du graphique, on a :

∆y

∆x=f(a+ h)− f(a)

h

Quand h tend vers zéro le point Mh se rap-proche du point A. Dire que f est dérivableen a signifie que la sécante (AMh) admet uneposition limite. On appelle alors tangente à lacourbe de f au point d’abscisse a, la droite Tapassant par A et de coefficient directeur f ′(a).Ainsi l’équation réduite de Ta est :

y = f ′(a)(x− a) + f(a)

x

y

0

Γ

A

a

f(a)

Mh

a+ h

f(a+ h)

∆y

∆x

Autour du point A, la courbe de f et sa tangente Ta sont « très proches ». D’où lapropriété :

Propriété 1 (Approximation affine). Si f est dérivable en a, et que h est proche de zéro :

f(a+ h) ≃ f(a) + hf ′(a) . Ou encore, si x est proche de a, on a : f(x) ≃ f(a) + (x− a)f ′(a)

Démonstration. Soit f dérivable en a. On sait que :

limh→0

f(a+ h)− f(a)

h= f ′(a)

On pose ε(h) = f(a+h)−f(a)h

− f ′(a). Cette fonction tend vers zéro lorsque h tend vers zéro eton a : f(a+h) = f(a)+hf ′(a)+hε(h). En négligeant le terme hε(h) qui tend vite vers zéro(car h et ε(h) tendent tous deux vers zéro) on a le résultat.

L’autre expression vient en posant x = a + h. Alors x tend vers a. Et f(a + h) =f(a) + hf ′(a) + hε(h) devient :

f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + (x− a)ε(x− a)

On néglige encore le dernier terme (si x est proche de a).

Exemple: En physique on utilise souvent l’approximation suivante : Pour x proche de 0,sinx ≃ x. Prouvez la.

Exemple: On veut déterminer une valeur approchée de 10025. En première approximationcelà vaut environ 10005 = 1015. Mais l’approximation affine sera plus. . .fine. On pose f(x) =x5.

f(1002) = f(1000 + 2) ≃ f(1000) + 2f ′(1000)

Or f ′(x) = 5x4 donc

f(1000) + 2f ′(1000) = 1015 + 2× 5× (103)4 = 1015 + 1013 = 1, 01.1015

Donc : 10025 ≃ 1, 01.1015. (En fait 10025 ≃ 1, 01004.1015)

Notation différentielle et sciences physiques



III. DÉRIVÉE DE UOV 3

Soit f une fonction dérivable sur un inter-valle I, c’est à dire dérivable en tout réel a àl’intérieur de I. Alors en mathématiques, onnote f ′ la fonction dérivée de f , mais pas enphysique. . . Comme :

f ′(a) = lim∆x→0

∆y

∆x

Lorsque le ∆x est infiniment petit, on le notedx. De même le ∆y devient dy. En physique,au lieu de noter f ′ on notera alors dy

dxou df

dx.

De plus, en physique, la variable est souventle temps, donc noté t au lieu de x. On a donc :f : t 7−→ f(t). Si on dérive à nouveau f ′ onobtient la dérivée seconde de f notée f ′′. Si onredérive cette dernière on obtient f ′′′ que l’onnote aussi f (3), ainsi de suite, f (4) désigne ladérivée quatrième de f . Avec la notation dif-férentielle utilisée en physique, celà donne :

f ′ =df

dtf ′′ = (f ′)′ =

d

dt

(df

dt

)=

d2f

dt2

Remarquez comme l’opération « dériver parrapport à t » se comporte avec cette notationcomme si on multipliait par l’opérateur : d

dt.

Pour embrouiller un peut plus, la fonc-tion en physique est souvent notée x. x(t)représente typiquement l’abscisse d’un pointmobile en fonction du temps t. La vitessemoyenne du point entre les temps t1 et t2 estalors :

∆x

∆t=x(t2)− x(t1)

t2 − t1

La vitesse instantanée est alors la limite de ∆x∆t

quand ∆t tend vers zéro, c’est donc : x′(t),euh. . . pardon dx

dt. Mais les physiciens aussi

feignants que les mathématiciens on trouvéune notation plus courte x qui désigne doncla vitesse v. De même vous savez (ou appren-drez) que l’accélération est la dérivée de lavitesse. On a alors :

x =dx

dt= x′ et x =

d2x

dt2

Comment note–t–on alors la vitesse instanta-née au temps t1 ? En maths ce serait x′(t1),en physique il y a trois notations possibles :

x(t1) =

(dx

dt

)(t1) =

(dx

dt

)

t=t1

L’avantage de cette notation est qu’elle indique quelle est la variable par rapport à laquelleon dérive. Si on a :

f(t) = at2 + t√a+ 3

où a ∈ R+ et t ∈ R. Alors on peut dériver par rapport à t ou par rapport à a et c’estdifférent. On trouve :

df

dt= 2at+

√a et

df

da= t2 +

t

2√a

III Dérivée de uov

Vous appris en première que si u est dérivable mettons sur R, et que si on a deux réels aet b, alors la fonction, f : x 7−→ u(ax+ b) est dérivable sur R et on a :

f ′(x) = au′(ax+ b) (1.1)

Cette formule se généralise si on compose u avec une fonction autre qu’une fonction affine :

Propriété 2. Soit v une fonction dérivable en un réel x et u une fonction dérivable en v(x).Alors u v est dérivable en x et on a la formule :

(u v)′(x) = v′(x)× u′(v(x)) (1.2)




Et sans les x, si cela est vrai pour tous x d’un intervalle I, u v est dérivable sur I et :

(u v)′ = v′ × u′ v (1.3)

Ainsi la formule (1.1) apparait comme un cas particulier de la propriété 2 dans le cas où vest affine.

Exemple:

① Soit le polynôme f défini sur R par f(x) = (x2 + x + 1)1024. f est une composée dela forme u v où. . .qui sont toutes deux dérivables sur R (ce sont des polynômes). Ontrouve donc f ′(x) = (2x+ 1)× 1024(x2 + x+ 1)1023.

② Soit f définie sur [1 ; +∞[ par f(x) =√x2 − 1. Prouver que f est dérivable sur ]1 ; +∞[

et déterminer l’expression de sa dérivée.

Démonstration. Utilise l’approximation affine, comme v est dérivable en x il existe une fonc-tion ε qui tend vers zéro en zéro telle que :v(x+ h) = v(x) + hv′(x) + hε(h).On pose A = v(x), comme u est dérivable en A il existe une fonction ϕ qui tend vers zéroen zéro telle que :u(A+H) = u(A) +Hu′(A) +Hϕ(H).

Or lorsque h tend vers zéro, ε(h), H et ϕ(H) aussi et doncu(v(x+ h))− u(v(x))

htend

vers v′(x)× u′(v(x)). Ce qui prouve que u v est dérivable en x et la formule souhaitée.

IV Continuité

IV.1 Définitions, exemples et contre exemples

La continuité est une notion de régularité des fonctions. En voici une définition heuris-tique :

Définition 2. On dit qu’une fonction f est continue sur un intervalle I lorsque f est définiesur I et que sa courbe sur I peut se tracer « sans lever le crayon ».

Remarque. Cette définition est évidement uniquement intuitive, une vraie définition utiliseles limites en un point (cf définition suivante).

Définition 3. On dit qu’une fonction f est continue en a (a ∈ R) si limx→a

f(x) = f(a) c’est

à dire si les trois conditions suivantes sont vérifiées :

① f est définie en a, i.e. f(a) existe.

② f(x) admet une limite quand x tend vers a.

③ Cette limite est f(a).

Si l’une quelconque de ces trois conditions n’est pas vérifiée, on dit que f n’est pas continueen a, ou qu’elle présente une discontinuité en a.

Remarque. Parfois le comportement d’une fonction f est différent à gauche et à droite d’unréel a. Il pourra alors être utile pour étudier l’existence d’une limite en a d’étudier leséventuelles limites à gauche et à droite de a, i.e. :

limx→a

x<a

f(x) et limx→a

x>a

f(x)



IV. CONTINUITÉ 5

Si ces limites existent, alors, dire que f est continue en a revient à dire que ces deux limitessont égales à f(a).

Les quatre fonctions f représentées ci–dessous présentent une discontinuité en 1. Dire lequeldes trois points de la définition est mis en défaut et pourquoi.

1

1

O 1

1

O 1

1

O 1

1

O




Définition. On dit qu’une fonction f est continue en a (a ∈ R) si limx→a

f(x) = f(a) c’est à dire

si les trois conditions suivantes sont vérifiées :






limx→a

x<a

f(x) et limx→a

x>a

f(x)

Si ces limites existent, alors, dire que f est continue en a signifie que ces deux limites sontégales à f(a).


1

1

O 1

1

O 1

1

O 1

1

O

Définition. On dit qu’une fonction f est continue en a (a ∈ R) si limx→a

f(x) = f(a) c’est à dire

si les trois conditions suivantes sont vérifiées :






limx→a

x<a

f(x) et limx→a

x>a

f(x)

Si ces limites existent, alors, dire que f est continue en a signifie que ces deux limites sontégales à f(a).



IV. CONTINUITÉ 7


1

1

O 1

1

O 1

1

O 1

1

O




Définition 4. On dit qu’une fonction f est continue sur un intervalle I lorsque f est continueen tout réel a de I.

Convention Dans un tableau de variation, lorsqu’on note une flèche pour une fonctioncroissante (ou décroissante) sur un intervalle, cette flèche signifie aussi la continuité de lafonction sur l’intervalle. On mettrait une double barre en un point de discontinuité.

Propriété 3. Une fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.

Démonstration. Soit a une réel de l’ensemble de définition de f . On écrit l’approximationaffine de f en a. Il existe une fonction ε telle que : lim

x→aε(x) = 0 et :

f(x) = f(a) + (x− a)f ′(a) + ε(x)

Alors quand x tend vers a, ε(x) et (x − a) tendent vers zéro, et donc f(x) tend versf(a).

R♥C

La réciproque est fausse. Contre–exemple : La fonction valeur absolue. Elle est continuesur R mais non dérivable en 0. La dérivabilité est donc une notion de régularité plus forteque la continuité.

Démonstration. (Du contre–exemple) |x| =

x if x > 0,

−x if x 6 0.=⇒ |x|

x=

1 if x > 0,

−1 if x < 0.Le taux de variation de la valeur absolue en 0 a une limite à gauche qui vaut -1, et une limiteà droite qui vaut 1. Donc la limite en 0 n’existe pas.

On a même construit des fonctions continues sur [0 ;1] nulle part dérivable.Soit f(x) = x sin( 1

x) pour x ∈ ]0 ; +∞[ et f(0) = 0. Prouver que f est continue sur R+.

Est-elle dérivable en 0 ? Même question avec g(x) = xf(x).

Propriété 4. (Admise) Les fonctions usuelles : polynômes, racine carrée, valeur absolue,fractions rationnelles, sin, cos,(bientôt exp et ln) et leurs composées sont continues sur lesintervalles où elles sont définies.

Cette propriété permet de justifier la continuité d’une fonction en un point ou sur unintervalle.

Exemple: Soit f définie par : f(x) =√x2 − 1. f est définie dès que x2 − 1 est positif donc

sur les intervalles ]−∞ ;−1] et [1 ; +∞[. Sur chacun de ces intervalles, f est la composéede la fonction racine (continue sur R+) et d’un polynôme (donc continu sur R). Ainsi f estcontinue sur les intervalles ]−∞ ;−1] et [1 ; +∞[. La phrase « f est continue sur les intervalles]−∞ ;−1] et [1 ; +∞[ comme composée de fonctions continues » est plus vague mais suffira.

Cependant il existe des fonctions qui ne sont pas continues :



IV. CONTINUITÉ 9

IV.2 La fonction partie entière

Définition 5. On appelle partie entière d’un réel x, notée E(x), le plus grand entier inférieurou égal à x. i.e. E(x) est l’entier n tel que : n 6 x < n+ 1

Exemples: E(2, 36) = 2 ; E(2) = 2 ; E(π) = 3 ; E(−2, 36) = −3

Propriété 5. Pour tout entier n, sur l’intervalle [n ;n + 1[, la fonction partie entière estconstante égale à n. Elle n’est pas continue sur R, elle admet une discontinuité pour chaqueentier.

Démonstration. Soit n ∈ Z. Par définition de E, pour x ∈ [n ;n + 1[ on a E(x) = n. Prouvonsla discontinuité de E en n+1. Par passage à la limite (en restant dans l’intervalle [n ;n + 1[) :

limx→n+1

x<n+1

E(x) = n 6= E(n+ 1) = n+ 1

On en déduit la courbe de la fonction partie entière, on dit que c’est une fonction enescalier.

∗ ∗ ∗

IV.3 Prolongement par continuité

Exemple: La fonction f définie sur R \ 3 par :

f(x) =x2 − 9

x− 3

n’est pas continue sur R car non définie en 3, mais :

x 6= 3 =⇒ f(x) =(x− 3)(x+ 3)

x− 3= x+ 3

Ainsi la courbe de f est la droite d’équation : y = x + 3 à laquelle il manque le pointd’abscisse 3. On pose alors la fonction f définie sur R :

f(x) = x+ 3. donc f(x) =

f(x) si x 6= 3,

6 si x = 3.




La fonction f est alors continue sur R, on dit que c’est un prolongement de f par continuitéen 3.

Exemple: La fonction f définie sur R∗ par f(x) =ex −1

xn’est pas définie en zéro, mais on a

vu que sa limite en zéro existe et vaut 1. On peut « prolonger la fonction f par continuité »en 0, en posant la fonction f définie sur R par : f(x) = f(x) si x ∈ R∗ et f(0) = 1

∗ ∗ ∗

V Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème 1. Théorème des valeurs intermédiaires. Soit f une fonction continue surun intervalle [a ; b]. Soit λ un réel compris strictement entre f(a) et f(b). Alors l’équationf(x) = λ admet au moins une solution dans l’intervalle ouvert ]a ; b[.

Remarque. Si la fonction n’est pas continue, cette propriété n’est pas nécessairement vérifiée.La fontion partie entière fournit un contre exemple : E(0) = 0 et E(1) = 1 mais l’équationE(x) = 0, 5 n’a pas de solution dans ]0 ; 1[ (ni ailleurs).

Propriété 6 (Cas particulier important : λ = 0). Soit f une fonction continue sur unintervalle [a ; b] avec f(a) et f(b) de signes contraires, alors l’équation f(x) = 0 admet aumoins une solution dans l’intervalle ouvert ]a ; b[

C’est un cas particulier, mais en fait cette propriété est équivalente au théorème desvaleurs intermédiaires, et on la démontre par dichotomie en utilisant des suites adjacentesqui convergent vers une racine de f . (cf TD)Ces propriétés nous garantissent l’existence de solutions pour des équations mais ne nousfournissent pas les solutions, ni leur unicité, juste des intervalles où elles se trouvent. Onpeut donc avec la calculatrice trouver des encadrements à la précision souhaitée des solutionscherchées.

Exemple: Sur le graphique ci-dessous, on a une courbe C représentant une fonction continuef sur l’intervalle [−3 ; 2]. On a f(−3) = −1 et f(2) =1,5. Comme la valeur λ = 1 est compriseentre −1 et 1,5 le théorème des valeurs intermédiaires nous assure que l’équation f(x) = 1admet au moins une solution (ici il y en a trois) sur l’intervalle ]−3 ; 2[. Autrement dit, lacourbe C coupe la droite d’équation y = 1 sur cet intervalle.

O ~ı

~

C

En pratique, la simple lecture d’un tableau de variation permet de répondre aux questionsdu type : “Combien l’équation f(x) = λ admet elle de solutions ? Donner des encadrements



VI. PREUVE DU T.V.I. PAR DICHOTOMIE 11

de ces solutions.” Rappel : on admet qu’une flèche dans un tableau de variation traduit aussila continuité de la fonction sur l’intervalle en question. La version suivante du théorème desvaleurs intermédiares permet de garantir l’unicité de la solution :

Théorème 2 (Utile en pratique 1). Soit f une fonction continue et strictement croissantesur un intervalle [a ; b]. Soit λ un réel tel que : f(a) < λ < f(b). Alors l’équation f(x) = λadmet une unique solution dans l’intervalle ouvert ]a ; b[.

Démonstration. Laissé en exercice.

Remarque. Il existe évidemment un énoncé similaire pour une fonction strictement décrois-sante...

Exemple: Soit f définie sur R par f(x) = x5 + x + 7. Justifier que f(x) = 0 admet uneunique solution dans l’intervalle [−2 ; 1]. Réponse d’un bon élève :f est continue sur R (c’est un polynôme). Or f ′(x) = 5x4 + 1 et x4 est positif donc la dé-rivée de f est strictement positive, donc f est strictement croissante sur [−2 ; 1]. De plusf(−2) = −33 < 0 et f(1) = 9 > 0. Donc f(x) = 0 admet une unique solution dans l’inter-valle [−2 ; 1]. D’après le tableau de variation de f et ses limites en −∞ et +∞ on en déduitaussi que f(x) = 0 admet en fait une unique solution dans R.Il est par contre imposible de résoudre par le calcul cette équation, mais pouvez vous à l’aidede la calculette déterminer un encadrement d’amplitude 10−2 du réel α vérifiant f(α) = 0.Trois méthodes :

Méthodes de résolution approchée de f(x) = λ

• Graphiquement, en zoomant de plus en plus sur le point d’intersection de la courbe avec l’axedes abscisses (pour λ = 0) ou avec la droite d’équation y = λ.

• Mieux encore, certaines calculettes disposent d’un outil de résolution graphique (G-solv) ilfaut choisir isect pour l’intersection de deux courbes que l’on doit sélectionner (la courbe de fet la droite d’équation y = λ si on veut résoudre f(x) = λ) ou Root si on cherche une racine.

• En utilisant le tableau de valeurs que l’on doit paramétrer correctement. pitch (Casio) ou∆Tbl (TI) donne le pas de la variation de X, donc la précision voulue. Mais il faut d’abordconnaitre un vague encadrement de la solution (par une méthode graphique par exemple)

• À l’aide d’un programme adapté, comme celui que nous allons établir qui fonctionne pardichotomie. On peut utiliser la méthode de Newton-Raphson ou méthode de la tangente 2

(plus rapide)

VI Preuve du T.V.I. par dichotomie

cf chapitre Suites adjacentes. V

1. On dit dans ce cas que f réalise une bijection croissante de [a ; b] dans [f(a) ; f(b)]. C’est pourquoi cettepropriété est parfois appellée « théorème de la bijection ».

2. xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn). Cette suite converge vers une racine si elle existe, prendre x0 assez près de la

racine.




VII Applications

VII.1 Racine d’un polynôme de degré impair

Propriété 7. Tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle.

Démonstration. Si n est un naturel impair, alors les limites de xn quand x tend vers −∞et +∞ sont respectivement −∞ et +∞. La limite en −∞ ou +∞ d’un polynôme est cellede son terme de plus haut degré. Ainsi l’image de R par un polynôme (qui est une fonctioncontinue) de degré impair est R. En particulier il admet une racine.

VII.2 Fonctions réciproques

On peut à l’aide du TVI définir les fonctions réciproques de certaines fonctions usuellessur des intervalles où elles sont strictement monotones. (Fonction carré, fonctions trigo. . .)



13

14 2. SUITES, RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE.

Chapitre 2

Suites, raisonnement par récurrence.

I Rappels

Suite (un), n ∈ N Suite arithmétique deraison r

Suite géométrique de raisonq

Définition On passe de chaque terme ausuivant en ajoutant le mêmeréel r

un+1 = un + r

On passe de chaque terme ausuivant en multipliant par lemême réel q

un+1 = q × un

Terme généralun = u0 + nr

un = u1 + (n− 1)r

un = u0 × qn

un = u1 × qn−1

Somme de termes “Nombre de termes”×“Moyenne du premier etdernier terme”

n∑

k=0

uk = (n+ 1)× u0 + un2

“Premier

terme”×1− qnb de termes

1− q

n∑

k=0

uk = u0 ×1− qn+1

1− q

Cas particuliers

1 + 2 + · · · + n =n(n+ 1)

21+q+q2+ · · ·+qn =

1− qn+1

1− q



II. COMPORTEMENT GLOBAL D’UNE SUITE 15

I.1 Exercices corrigés

Exercice no 1

Calculer S = 1 + x2 + x4 + · · ·+ x2n

Solution: C’est une somme géométrique du type 1 + q + q2 + · · · + qn avec q = x2. D’où : S =1− (x2)n+1

1− x2si x2 6= 1. Si x = 1 alors S = 1 + 1 + · · ·+ 1 = n+ 1

Exercice no 2

Soit (un) une suite arithmétique de raison r. On donne : u0 = 3 et u34 = 321. Détermineru100.

Solution: On a un = u0 + nr. En remplaçant n par 34, on détermine r. Puis on calcule u100

Exercice no 3

Calculer la somme : S = 5 + 10 + 20 + 40 + · · · + 5120

Solution: C’est la somme des termes de la suite (un) géométrique de raison 2 et de premier

terme 5. Il reste à déterminer le nombre de termes de la somme. un = 5 × 2n =⇒ 5 × 2n =

5120 =⇒ 2n = 1024 =⇒ n = 10. Donc S = u0 + · · · + u10 qui comporte 11 termes. D’où :

S = 5× 1− 211

1− 2= 5(211 − 1) = 10235

Exercice no 4

Soit la suite définie par ∀n ∈ N, un+1 = −2un + 3 et u0 = 5. On pose aussi vn = un − 1.Montrer que (vn) est géométrique, déterminer le terme général de (un).

Solution: vn+1 = un+1− 1 = −2un+3− 1 = −2(un− 1). Donc vn+1 = −2vn, (vn) est géométrique

de raison -2 et de premier terme v0 = u0 − 1 = 4. D’où vn = 4× (−2)n. Ainsi un = 4× (−2)n + 1

Propriété 8. Limite de qn où q est réel. On distingue quatre cas, les deux premiers étantutilisés le plus fréquemment :

① q ∈ ]1 ; +∞[ =⇒ limn→+∞

qn = +∞② q ∈ ]−1 ; 1[ =⇒ lim

n→+∞qn = 0

③ q = 1 =⇒ ∀n ∈ N, qn = 1. Donc q = 1 =⇒ limn→+∞

qn = 1.

④ Si q < 1 alors qn n’a pas de limite quand n tend vers +∞.

II Comportement global d’une suite

II.1 Monotonie

Définition 6. Croissante, décroissante, constante, monotone

Remarque. Pareil avec strict.

II.2 Majorée, minorée, bornée

Définition 7. Maj, min, bornée.




Remarque. Pas unicité d’un maj.

Exemple: un = 4− 1n

III Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence (on dit aussi par induction) est un principe de raison-nement (comme le raisonnement par l’absurde) qui sert à établir une propriété valable pourune infinité d’entiers naturels. Ce raisonnement comporte quatre étapes : L’initialisation,l’hypothèse de récurrence, l’hérédité et la conclusion.

III.1 Principe

Soit P(n) une propriété dépendant d’un entier n dont on veut prouver qu’elle est vraie pourtout n dans N. (Parfois pour tout n dans N∗ ou n > 3 . . .etc)

Initialisation. On vérifie que P(0) est vraie.Hypothèse de récurrence. On suppose que pour un certain k ∈ N, P(k) est

vraie.Hérédité. On montre que sous l’hypothèse de récurrence, P(k+1) est aussi vraie.Conclusion. Alors par récurrence, la propriété P(n) est vraie pour tout n ∈ N.

Toutes les phases du raisonnement sont nécéssaires, mais l’essentiel de la difficulté provienten général dans la phase de l’hérédité. À cet endroit il faut trouver un lien entre P(k) etP(k + 1). Pour expliquer ce raisonnement on utilise parfois l’analogie suivante :

III.2 Analogie : gravir un escalier

On se trouve sur la première marche d’un escalier infini à gravir. Si on sait monter unemarche, alors on peut accéder à n’importe quelle marche de l’escalier.

Initialisation. On est sur la première marche, donc on peut commencer.Hypothèse de récurrence. On suppose que pour un certain k ∈ N, on soit sur lak-ième marche.

Hérédité. On vérifie qu’on peut alors passer à la marche suivante, la (k + 1)-ième.Conclusion. Alors par récurrence, on peut accéder à la marche numéro n pour tout n

dans N∗.

III.3 Exemples

① Prouver la formule suivante donnant la somme des premiers entiers naturels :

1 + 2 + 3 + · · · + n =n(n+ 1)

2

Démonstration. On note pour tout n ∈ N∗ : Sn = 1 + 2 + 3 + · · · + n. La propriété àprouver par recurrence pour tout n de N∗ est donc :

P(n) : Sn =n(n+ 1)

2

Initialisation. S1 = 1 et pour n = 1, n(n+1)2

vaut 1×22

= 1. Donc P(1) est vraie.



IV. ÉTUDE DES SUITES DU TYPE UN+1 = F (UN ) 17

Hypothèse de récurrence. On suppose que pour un certain k ∈ N, P(k) est vraiei.e. Sk =

k(k+1)2

.

Hérédité. Ici on veut prouver que Sk+1 = (k+1)(k+2)2

. Or 1 : Sk+1 = Sk + (k + 1).

Comme par hypothèse de récurrence Sk =k(k+1)

2on en déduit que :

Sk+1 =k(k + 1)

2+ (k + 1) = (k + 1)(1 +

k

2) =

(k + 1)(k + 2)

2

Ainsi P(k + 1) est vraie.Conclusion. Par récurrence, on a prouvé que pour tout n dans N∗, Sn = n(n+1)

2.

② Prouver par récurrence que pour n entier assez grand, 2n > n2.

Démonstration. On commence par chercher à la main ou avec une calculette un rangà partir duquel la propriété semble vraie. On pense à n = 4. Soit P(n) la propriété :2n > n2. On veut prouver qu’elle est vraie pour tout n dans N supérieur ou égal à 4.Initialisation. 24 = 16 et 42 = 16 donc 24 > 42. Donc P(4) est vraie.Hypothèse de récurrence. On suppose que pour un certain k ∈ N, avec k > 4,

P(k) est vraie i.e. 2k > k2.Hérédité. Ici on veut prouver que 2k+1 > (k + 1)2.

2k+1 = 2× 2k > 2k2

Il suffit donc de prouver que pour k > 4 on a 2k2 > (k + 1)2. Les deux membressont positifs, cette égalité est équivalente à

√2k > k + 1 soit k >

1√2−1

, ou encore

k >√2 + 1. Or

√2 + 1 6 4. Ainsi P(k + 1) est vraie.

Conclusion. Par récurrence, on a prouvé que pour tout entier n supérieur à 4, 2n > n2.

IV Étude des suites du type un+1 = f (un)

Étude plus conséquente au chapitre « Suites adjacentes »On se donne une fonction f définie, continue sur un intervalle I de R. Soit u0 ∈ I.

IV.1 Intervalle stable

Définition 8. On dit que I est stable par f si f(I) ⊂ I

Exemples:

1. f(x) = x(1−x) sur I = [0 ; 1]. I est stable par f, mais pas par g = 5f . Il suffit d’étudierf .

2. f(x) = 1x−1

et u0 = 32

Vérifier que la relation un+1 = f(un) ne définit pas une suite.

La condition I stable par f permet de garantir que la suite est définie et que tous lestermes de la suite sont dans l’intervalle I. (récurrence immédiate)

1. L’argument qui suit est la clef pour passer du rang k au rang suivant k + 1.




IV.2 Sens de variation

Propriété 9. 1. ∀x ∈ I, f(x)− x > 0 =⇒ (un) croissante

2. ∀x ∈ I, f(x)− x 6 0 =⇒ (un) décroissante

Démonstration. Facile

Propriété 10. 1. f croissante =⇒ (un) monotone. Le sens de var est donné par lesigne de u1 − u0

2. f décroissante =⇒ (u2n) et (u2n+1) sont monotones de monotonies contraires

Démonstration. Supposons u1 > u0.

1. Par récurrence. P(n) : « un+1 − un > 0 »

2. On pose pn = u2n et in = u2n+1. Alors :

pn+1 = f f(pn) et in+1 = f f(in)

Or f dec. implique f f croissante donc par le 1. p et i sont monotones. Supposons pcroissante, alors u2 > u0 donc, en appliquant f qui est dec. on a u3 6 u1 donc i1 6 i0donc i est dec.

IV.3 Convergence

Définition 9. On appelle point fixe d’une fonction f un réel tel que f(x) = x

Théorème 3. Si f est continue sur I et que (un) converge, alors la limite est nécessairementun point fixe de f

Attention : L’existence d’un point fixe ne garantit pas la convergence de (un). Maisl’absence de point fixe suffit à justifier que (un) ne converge pas. En pratique : On justifieque (un) CV (croissante majorée par exemple) puis on détermine la limite en cherchant lespoints fixes de f . Si le point fixe est unique, c’est facile, sinon il faut raisonner avec le sensde variation de (un).

Exemple: un+1 =un

2−unet u0 ∈ [0 ; 1]



Chapitre 3

Exponentielle

I Méthode d’Euler

I.1 Aspect graphique

On utilise la méthode d’Euler pour approximer la courbe d’une fonction f (si elle existe)telle que f est définie et dérivable sur R et :

f ′(x) = f(x) ∀x ∈ R

f(0) = 1

Cette méthode utilise l’approximation affine suivante : f(a + h) ≃ f(a) + hf ′(a) valablepour une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, a dans I et h petit (et a + h dansI). Graphiquement cela revient à confondre la courbe de la fonction avec sa tangente surl’intervalle [a ; a + h]. J’ai fait les graphiques sur l’intervalle [0 ; 1]. Soit n ∈ N∗. On poseh = 1

npour le pas de la méthode. On fera ensuite tendre le pas vers zéro en faisant tendre

n vers l’infini. Comme f(0) = 1 on place le premier point A0 de coordonnées A0(0; 1). Jefais l’explication pour n = 2 donc h = 1

2(cf. premier graphique). Comme f ′ = f on a donc

f ′(0) = f(0) = 11. On trace donc le segment partant de A0 joignant A1

tel que l’abscisse de A1 soit 0+h = 12

et tel que (A0A1)ait pour coefficient directeur 1. Les coordonnées de A1

sont donc A1(0, 5; 1, 5). Par le calcul :

f(0 + h) ≃ f(0) + hf ′(0) = (1 + h)f(0) = 1, 5

2. On a donc f(0, 5) ≃ 1, 5. Or f ′ = f donc 1,5 est aussiune valeur approchée de f ′(0, 5). On l’utilise pour ob-tenir le point suivant A2 d’abscisse 0, 5 + 0, 5 = 1.Et (A1A2) a pour coefficient directeur 1, 5. On trouvedonc l’ordonnée de A2 : 1, 5 + 0, 5× 1, 5 = 2, 25

3. Ainsi 2,25 est une valeur approchée de f(1). On pour-rait continuer ainsi indéfiniment. Le prochain segmenta un coefficient directeur de 2, 25.

A0

A1

A2

O ~ı

~

Les deux graphiques suivants s’obtiennent de la même manière mais avec des valeurs den plus grandes (n = 4 et n = 8 et donc des pas de 1

4et 1

8). Le dernier est obtenu avec

19

20 3. EXPONENTIELLE

un pas de 15

et un pas de −15

afin d’obtenir la courbe pour des valeurs négatives de x. Deplus celui-ci est dans un repère orthonormal. Tous les graphiques de cette page comportentaussi en pointillé la « courbe limite » recherchée afin que l’on voit mieux la convergence dela méthode.

O ~ı

~

O ~ı

~

O ~ı

~

I.2 Aspect calculatoire

On va d’abord approximer f sur l’intervalle [0 ; 1].

• Soit n ∈ N∗. On pose h = 1n

pour le pas de la méthode. On fera ensuite tendre le pasvers zéro en faisant tendre n vers l’infini.

• On définit une suite d’abscisses. On part de x0 = 0 et xk+1 = xk + h pour tout entiernaturel k. Cette suite est arithmétique de raison h = 1

ndonc on a le terme général :

∀k ∈ N xk =k

n

• On définit maintenant la suite des ordonnées des points que l’on place. On part dey0 = 1 puisque f(0) = 1. On applique alors l’approximation affine, f(xk+1) = f(xk+h)d’où : f(xk+1) = f(xk + h) ≃ f(xk) + hf ′(xk). Or f vérifie aussi f = f ′ sur R donc :f(xk+1) ≃ f(xk)(1 + h). On veut que yk soit proche de f(xk) et donc que yk+1 soitproche de f(xk+1). On définit donc la suite (yk) par la relation de récurrence :

yk+1 = yk(1 + h)

Cette suite est géométrique de raison (1 + h) et comme y0 = 0 et h = 1n

on a donc :

∀k ∈ N yk = (1 +1

n)k

II Equation différentielle y’=y

Théorème 4. Il existe une unique fonction f définie et dérivable sur R telle que : f ′ = fet f(0) = 1.

Existence admise, on va prouver l’unicité.



III. MÉTHODE D’EULER-VALEUR APPROCHÉE DE EXP(X) 21

Lemme 1. Si il existe une fonction f définie et dérivable sur R telle que f ′ = et f(0) = 1alors elle vérifie : ∀x ∈ R f(−x)f(x) = 1 et par conséquent f ne s’annule pas.

Démonstration. On pose la fonction ϕ définie par : ∀x ∈ R ϕ(x) = f(−x)f(x). Ondérive, ϕ′ = 0 et ϕ(0) = 1

On prouve maintenant l’unicité :

Démonstration. Supposons qu’il existe deux fonctions f et g qui définies et dérivablessur R telle que : f ′ = f , g′ = g et f(0) = g(0) = 1. D’après le lemme, ces fonctions nes’annulent pas, et donc on peut considérer la fonction ψ définie et dérivable sur R par :ψ = f

g. On dérive, ψ′ = 0 et ψ(0) = 1. Donc ψ est constante, égale à 1, ainsi f = g.

R♥C

Cette unique fonction s’appelle la fonction exponentielle et on la note exp : x 7→ exp(x)Pour calculer des valeurs approchées de exp(x) on peut utiliser la méthode d’Euler. Ondéduit du lemme1 et de la continuité de exp sur R la propriété qui sera très utile plus tardpour des études de signe :

Propriété 11. La fonction exp est strictement positive sur R

∀x ∈ R, ex > 0

III Méthode d’Euler-valeur approchée de exp(x)

• Soit n ∈ N∗. On pose h = 1n

pour le pas de la méthode. On fera ensuite tendre le pasvers zéro en faisant tendre n vers l’infini.

• On définit une suite d’abscisses. On part de x0 = 0 et xk+1 = xk + h pour tout entiernaturel k. Cette suite est arithmétique de raison h = 1

ndonc on a le terme général :

∀k ∈ N xk =k

n

• On définit maintenant la suite des ordonnées des points que l’on place. On part dey0 = 1 puisque f(0) = 1. On applique alors l’approximation affine, f(xk+1) = f(xk+h)d’où : f(xk+1) = f(xk + h) ≃ f(xk) + hf ′(xk). Or f vérifie aussi f = f ′ sur R donc :f(xk+1) ≃ f(xk)(1 + h). On veut que yk soit proche de f(xk) et donc que yk+1 soitproche de f(xk+1). On définit donc la suite (yk) par la relation de récurrence :

yk+1 = yk(1 + h)

Cette suite est géométrique de raison (1 + h) et comme y0 = 0 et h = 1n

on a donc :

∀k ∈ N yk = (1 +1

n)k

Application : Si on veut une valeur approchée de exp(1) il faut remarquer que xk = kn=

1 ⇐⇒ k = n. On a donc : exp(1) = limn→∞(1 + 1n)n (On admet que cette limite existe

i.e. que la méthode d’Euler converge) Pour des grandes valeurs de n on obtient les valeursapprochées suivantes :

(1 +1

2)2 = 2, 25 (1 +

1

10)10 ≃ 2, 59 (1 + 10−3)1000 ≃ 2, 717 (1 + 10−6)10

6 ≃ 2, 71828

Cette valeur limite est notée e



22 3. EXPONENTIELLE

Propriété 12. La valeur de exp(1) est notée e , c’est un réel transcendant (comme π).

exp(1) = e = limn→∞

(1 +1

n)n

IV Propriétés algébriques

Propriété 13. Pour tous réels a et b et tout entier relatif n, on a les formules :

exp(−a) = 1

exp(a)(3.1)

exp(a+ b) = exp(a)× exp(b) (3.2)

exp(a− b) =exp(a)

exp(b)(3.3)

exp(a× n) = (exp(a))n (3.4)

La relation (3.2) s’appelle la relation fonctionnelle de l’exponentielle.

Démonstration. (3.1) découle du Lemme 1. (3.3) découle de (3.2) et (3.1). (3.4) se prouveà partir de (3.2) par récurrence sur n. L’essentiel est de prouver (3.2) :Soit b ∈ R. On considère la fonction χ de x où b est un paramètre définie par :

χ(x) =exp(x+ b)

exp(x).

On dérive, χ′ = 0 et χ(0) = exp(b). Donc pour tout réel x, exp(x + b) = exp(x) exp(b).Ceci pour tout réel b. D’où (3.2)Preuve de (3.4) : Soit a un réel. Soit P(n) : « exp(a × n) = (exp(a))n » Prouvonspar récurrence sur n que P(n) est vraie pour tout n ∈ N. Ini : Comme exp(a) 6= 0,exp(a)0 = 1 = exp(0) ok. . .

R♥C

V Notation exponentielle

La formule (3.4) donne pour a = 1 : exp(n) = (exp(1))n = en Par analogie, pour toutréel x on note exp(x) = ex. On a donc les règles de calcul usuelles avec les puissances pourtous réels a et b et tout n ∈ Z :

ea × eb = ea+b ea

eb= ea−b (ea)n = ea×n

Cas particuliers importants : e1 = e e0 = 1 e−x =1

ex

cf touche de la calculette. Attention selon modèle on tape ou non le chapeau. Attentionaux parenthèses. Exercices à base de simplification d’expressions.

Exercice no 5



VI. ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE 23

Écrire plus simplement les expressions suivantes en utilisant les règles sur l’exponentielle :

A = e2× e3 B =(e2)4

e3C =

( 1

ex

)2D =

(ex)2 × ex

e−xE =

e3x−1

e2−x

Exercice no 6

Prouver les égalités suivantes :e2x −1

e2x+1=

ex − e−x

ex +e−x

VI Étude de la fonction exponentielle

VI.1 Dérivée et variation

Propriété 14. La fonction exponentielle est sa propre dérivée : (ex)′ = ex

D’après la propriété 11, on en déduit :

Propriété 15. La fonction exponentielle est strictement croissante sur R

Propriété 16 (Dérivée d’une fonction composée avec ex). Si u désigne une fonction dérivablesur R alors exp(u) est dérivable et :

[eu(x)]′ = u′(x)× eu(x)

VI.2 Équations et inéquations

Propriété 17. ∀a, b ∈ R, ea 6 eb ⇐⇒ a 6 b

Démonstration. On prouve chaque sens séparément. Soit a et b deux réels.(⇐=) a 6 b =⇒ ea 6 eb car exp est croissante sur R.(=⇒) Si ea 6 eb. Supposons que a soit strictement supérieur à b, alors comme exp est strictement

croissante sur R on aurait ea strictement supérieur à eb.

Propriété 18. ∀a, b ∈ R, ea = eb ⇐⇒ a = b

Démonstration. On prouve chaque sens séparément. Soit a et b deux réels.(⇐=) a = b =⇒ ea = eb car exp est une application.(=⇒) Si on a ea = eb on procède par double inéquation :

• ea = eb =⇒ ea 6 eb =⇒ a 6 b

• ea = eb =⇒ ea 6 eb =⇒ a > b

On a donc a = b.

Attention, l’équation : ex = a n’a pas de solution si a 6 0 mais grace au TVI, on peutprouver que :

Propriété 19 (Logarithme néperien). Pour tout réel strictement positif a, l’équation en x :

ex = a (3.5)

a une unique solution que l’on note : ln(a) appelée logarithme néperien de a.



24 3. EXPONENTIELLE

On trouve cette fonction sur la calculette sur la même touche que exp. Ne pas confondreavec log.

Exemple: ex = 2 =⇒ x = ln(2).

Exercice no 7

Résoudre dans R :(a) e5x−1 = 1 (b) e2x−1 = e3x−2 (c) e5x−1 = −2 (d) e ex

2

= (e2x+1)2

Exercice no 8

p31 no 17, 18, 24, 25, 26, 27.

Exercice no 9

Résoudre dans R : ex − 1(ex)2

6 0

Exercice no 10

On définit deux fonctions, cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique par :

ch(x) =ex +e−x

2et sh(x) =

ex − e−x

2

1. Prouver que : ∀x ∈ R, ch2(x) + sh2(x) = −1.

2. Démontrer que pour tout réel x : ch(2x) = 2ch2(x)− 1 et sh(2x) = 2ch(x)sh(x)

3. Prouver que : ch(x+y) = ch(x)ch(y)+sh(x)sh(y) et sh(x+y) = sh(x)ch(y)+ch(x)sh(y).

4. On définit tangente hyperbolique par th=sh/ch. Prouver que th(x) = e2x −1e2x +1

et th′ =

1− th2

Exercice no 11

Résoudre dans R : e2x+3 ex −4 = 0

Solution:∆=25,X1=1,X2=−4

Exercice no 12

Résoudre les équations suivantes qui se ramènent à des équations du second degré.On pourra poser X = ex

2 e2x −3 ex +1 = 0 (3.6)

e2x−2 ex = 0 (3.7)

ex +12 e−x+7 = 0 (3.8)



VI. ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE 25

VI.3 Courbe, approximation affine

−4 −3 −2 −1 1 2

1

2

3

4

y = ex

ey=x+1

O

Sur la courbe tracée ci-dessus, on a aussi tracé la droite d’équation y = x + 1 qui est latangente en zéro la courbe de exp.

Propriété 20. Pour x proche de zéro, ex est proche de x+1. Plus précisément, il existe unefonction ε qui tend vers zéro en zéro (lim

x→0ε(x) = 0) telle que pour tout réel x :

ex = x+ 1 + xε(x)

Démonstration. On applique la formule de l’approximation affine vue en première pour unefonction f dérivable au voisinage de a : f(x+a) = f(a)+xf ′(a)+xε(x). Comme exp(0) = 1on a le résultat souhaité pour a = 0.

Conséquence : la forme indéterminéeex −1

xtend vers 1 en zéro.

Propriété 21. Cexp est au dessus de sa tangente en zéro. i.e.

∀x ∈ R, ex > x+ 1

Démonstration. On pose ϕ la fonction définie par : ϕ(x) = ex −x− 1 et on veut prouverque cette fonction est positive sur R pour celà, on l’étudie. ϕ est dérivable sur R et on a :ϕ′(x) = ex −1. Or :

ex −1 > 0 ⇐⇒ ex > e0 ⇐⇒ x > 0

D’où les variations de ϕ qui admet ainsi un minimum en zéro qui vaut : ϕ(0) = 0. Doncϕ est positive sur R.

R♥C

Ceci permet d’établir la limite de la fonction exponentielle en +∞.

VI.4 Limites — Croissance comparée

On a démontré en T.D. par comparaison les limites suivantes (où n ∈ N )

limx→−∞

ex = 0 limx→+∞

ex = +∞ limx→−∞

xn ex = 0 limx→+∞

ex

xn= +∞

La première limite indique que l’axe de abscisses est asymptote à Cexp en −∞. Les deux der-nières sont a priori des formes indéterminées que l’on retient par “L’exponentielle l’emportesur les puissances de x.”



26 3. EXPONENTIELLE



Chapitre 4

Nombres Complexes, généralités

I Activité d’introduction

I.1 Résolution historique

Au XVIe siècle les algébristes italiens apprennent à résoudre les équations du troisièmedegré, en les ramenant à des équations du deuxième degré dont la résolution est connuedepuis le IXe siècle grâce auxs mathématiciens arabes. On attribue à Cardan (GirolamoCardano : Pavie 1501-Rome 1576) la formule (4.2) donnant une solution à l’équation dutroisième degré d’inconnue x :

x3 = px+ q (4.1)

En fait, Tartaglia (Niccolò Tartaglia : Brescia 1500 - Venise 1557) autodidacte auraitdécouvert la formule en 1539 et l’aurait exposée au professeur respecté Cardan qui l’apublié dans son Ars magna en 1545 comme étant sa propre découverte, le reste de l’histoireest romanesque.

x =3

√q

2+

√(q2

)2−(p3

)3+

3

√q

2−√(q

2

)2−(p3

)3(4.2)

Définition 10. Pour a ∈ R, on note 3√a appelé racine cubique de a l’unique réel x vérifiant

x3 = a.

La racine cubique, contrairement à la racine carrée est définie pour tout réel car x 7→ x3

est strictement croissante sur R, et varie de −∞ à +∞. Par exemple, 3√−8 = −2 car

(−2)3 = −8.

1. Prouver que toute équation de degré trois donc de la forme ax3+ bx2+ cx+d = 0 aveca, b, c, d trois réels et a 6= 0 peut se mettre sous la forme x3 + b′x2 + c′x+ d′ = 0

2. Prouver que toute équation de degré trois de la forme x3 + bx2 + cx + d = 0 peut semettre sous la forme de l’équation (4.1) à l’aide du changement de variable : x = X− b

3.

3. Voyons sur un exemple comment ils trouvèrent la formule improbable (4.2). On consi-dère l’équation :

x3 = 6x+ 20 (4.3)

a. On pose x = u+ v. Que devient l’équation (4.3) ?

b. Quelle valeur suffit-il d’imposer au produit uv pour que (4.3) s’écrive u3+v3 = 20 ?

27

28 4. NOMBRES COMPLEXES, GÉNÉRALITÉS

c. On pose U = u3 et V = v3. Former et résoudre une équation de degré deux ayantpour solutions U et V .

d. En déduire que :3

√10 + 2

√23 +

3

√10− 2

√23

est une solution de (4.3).

e. Optionnel : Etudier x 7→ x3 − 6x− 20 sur R pour voir qu’il n’y a qu’une solutionà l’équation (4.3).

La méthode de Tartaglia-Cardan conduit cependant, dans certains cas, à un paradoxeque Bombelli(1526-1572) va essayer de surmonter. Il publie en 1572 dans son l’Algebraopera l’exemple suivant :

I.2 Des nombres impossibles

On considère l’équation :x3 = 15x+ 4 (4.4)

1. Combien vaut alors la quantité :(q

2

)2 −(p

3

)3qui apparaît dans la formule (4.2) ?

2. Prouver cependant que 4 est solution de (4.4)L’idée et l’audace de Bombelli est de faire comme si −121 était le carré d’un nombreimaginaire qui s’écrirait 11

√−1. Il appella

√−1 piu di meno qui sera noté i plus tard

par Euler(1734-1810) en 1777. Grâce à ce stratagème,Bombelli retrouve la solutionréelle 4 :

3. Développer (2 + i)3 et (2− i)3 en tenant compte de i2 = −1.

4. En déduire que (2 + i) + (2− i) est solution de (4.4).Ce nombre «

√−1 » qualifié d’impossible va susciter beaucoup de méfiance et de polé-

mique pendant deux siècles jusqu’à Argand en 1806 qui proposera une représentationgéométrique de ces nombres imaginaires (de la forme a + ib avec a ∈ R, b ∈ R) etGauss(1777-1855) qui les nommera Nombres complexes.

II Introduction-Premières définitions

II.1 Historique

Cf. activité. Bombelli en voulant résoudre x3 = 15x+ 4 a utilisé des racines de nombresreels negatifs, comme

√−1. On a peu a peu construit un ensemble plus grand que R qui

contient un nombre imaginaire note i solution de l’equation x2 = 1. La notation √ reste

réservée aux réels positifs. On n’écrira plus√−1.

II.2 Construction de C

Définition 11. On appelle ens. des nombres complexes note C l’ens des a+ib où a et b sontdes reels et i une solution de x2 = −1

Dans la suite, a et b désigneront deux réels, et z un nombre complexe égal à a+ ib.

Définition 12. Si b = 0 on dit que z = a est réel, si a = 0, on dit que z = ib est unimaginaire pur.



II. INTRODUCTION-PREMIÈRES DÉFINITIONS 29

Remarque : R ⊂ C. On a donc les inclusions d’ensembles de nombres :

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Les règles de calcul de R se prolongent à C en tenant compte de i2 = −1 On definit l’additionet la multiplication de deux complexes :

– Addition : La somme de deux complexes est un complexe. z + z′ = ... (L’opération +est associative et commutative, l’élement neutre est le réel 0. Tout complexe admet unopposé. On dit que C muni de l’addition est un groupe.

– Multiplcation. . .idem.

Propriété 22. C est stable par addition et multiplication, la multiplication est distributivesur l’addition, tout complexe non nul admet un inverse qui est un nombre complexe. On ditque C est un corps.

Propriété 23. Tout complexe z s’écrit de manière unique sous la forme a+ib = ℜ(z)+iℑ(z)appelée forme algebrique du complexe z

Démonstration. On le prouve en deux temps, d’abord avec le complexe nul :

① a+ ib = 0 ⇐⇒ a = −ib⇐⇒ (a = 0 et b = 0). Car sinon i ∈ R

② z = z′ ⇐⇒ z − z′ = 0 ⇐⇒ . . .

Définition 13. Lorsqu’un nombre complexe z est mis sous forme algébrique a+ ib, alors as’appelle la partie réelle de z, notée ℜ(z) et b sa partie imaginaire, notée : ℑ(z).

La partie imaginaire comme la partie réelle est un nombre réel !

Exemple: ℜ(1 + 2i) = 1 et ℑ(1 + 2i) = 2 et pas 2iConsequence : On peut identifier partie réelle et imaginaire de deux complexes qui sont

égaux

Propriété 24. z = z′ ⇐⇒ (ℜ(z) = ℜ(z′) et ℑ(z) = ℑ(z′))

II.3 Conjugué d’un nombre complexe

Définition 14. On appelle conjugué de z, noté z le nombre complexe : z = ℜ(z)− iℑ(z)

Propriété 25. ∀z ∈ C, zz ∈ R+. Et on a la formule zz = a2 + b2 où a = ℜ(z) et b = ℑ(z)

Démonstration. zz = (a+ ib)(a− ib) = · · · = a2 + b2 > 0. De plus cette somme de carrés (deréels !) est nulle ssi a et b sont nuls.

Propriété 26. Tout nombre complexe non nul admet un inverse, noté1

zégal à

z

zz.

Démonstration. Un inverse de z (pour la multiplication) est un nombre complexe z′ vérifiantzz′ = 1. Or, pour z ∈ C∗, on a zz 6= 0 et donc :

zz′ = 1 ⇐⇒ zzz′ = z ⇐⇒ z′ =1

zz× z




On définit la division de deux nombres complexes z et z′ (z′ 6= 0) par z/z′ = z × 1/z′.Dans la définition de l’inverse, il y a déjà une fraction me direz vous, mais le dénominateur estréel. Cette technique de la multiplication du num. et dénom. d’une fraction par le conjuguédu dénom. est utile en pratique pour mettre un nombre complexe sous forme algébrique dansle cas où il est écrit comme un quotient de deux complexes.

Exemple: Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique : z1 = 1/(3 − 2i),z2 = (3− 2i)/(−2 + i). . .

Propriété 27 (Propriétés algébriques du conjugué). On a les formules suivantes pour zet z′ dans C :

z = z (4.5)

z + z′ = z + z′ (4.6)

zz′ = z × z′ (4.7)(1

z′

)=

1

z′pour z′ 6= 0 (4.8)

( zz′

)=z

z′pour z′ 6= 0 (4.9)

zn = (z)n pour n ∈ Z, z ∈ C∗ (4.10)

Démonstration. On écrit z et z′ sous forme algébrique : z = a+ ib et z′ = a′ + ib′.(4.5) et (4.6) immédiat.(4.7) :

zz′ = (a+ ib)(a′ + ib′) = aa′ − bb′ + i(ab′ + a′b) = aa′ − bb′ − i(ab′ + a′b)

Par ailleurs : z × z′ = (a− ib)(a′ − ib′) = · · · = aa′ − bb′ − i(ab′ + a′b) = zz′.(4.8) :

1

z′=

z′

z′z′=

1

z′z′× z′

Or z′z′ ∈ R+ donc il est son propre conjugué, et par (4.7) on a donc :

(1

z′

)=

1

z′z′× z′ =

1

z′z′× z′ =

1

z′z′× z′ =

1

z′

(4.9) : On utilise quez

z′= z × 1

z′puis (4.7) et (4.8).

(4.10) : Récurrence pour n ∈ N∗ utilisant (4.7), puis pour obtenir la formule pour lesentiers négatifs, on utilise (4.8) et les formules usuelles sur les puissances. Soit n ∈ N∗.

z−n =1

zn. Donc :

z−n = 1/zn = 1/zn = 1/zn =

(1

z

)n

= (z−1)n = z−n

R♥C



III. GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN COMPLEXE 31

Propriété 28. z ∈ R ⇐⇒ z = z et z ∈ iR ⇐⇒ z + z = 0

Démonstration. z = z ⇐⇒ · · · ⇐⇒ 2ib = 0 ⇐⇒ b = 0 ⇐⇒ z ∈ R

En particulier, λz = λz pour λ ∈ R.

II.4 Module d’un nombre complexe

D’après la propriété 25 on peut poser la définition suivante :

Définition 15. On appelle module d’un nombre complexe, noté |z| le réel positif :√zz

Remarque, cette notation est la même que la valeur absolue d’un reel et c’est bien justifié,les deux coincident sur R.

Propriété 29 (Propriétés algébriques du module d’un nombre complexe). Pour tous z etz′ dans C :

|z| = |z| (4.11)

|zz′| = |z| × |z′| (4.12)

|1/z′| = 1/|z′| pour z′ 6= 0 (4.13)

|z/z′| = |z|/|z′| pour z′ 6= 0 (4.14)

|zn| = |z|n pour n ∈ Z∗ (4.15)

(4.16)

Démonstration. Ces propriétés se démontrent à l’aide de celles sur les conjugués. Parexemple pour (4.12) :

|zz′| =√zz′ × zz′ =

√zz′ × zz′ =

√zz × z′z′ =

√zz ×

√z′z′ = |z| × |z′|

R♥C

Remarquez qu’il n’y a pas de formule pour le module de la somme, en fait on a :

Propriété 30 (Inégalité triangulaire). Pour tous nombres complexes z et z′ on a : |z+z′| 6|z|+ |z′| De plus on a égalité ssi il existe k réel positif tel que z′ = kz.

Démonstration. Admis pour l’instant. (Hors programme).

Remarque : C c’est cool, mais on a perdu qqchose : l’ordre, c’est le bordel, mais il restele module pour comparer des nombre complexes. Formule de l’inverse : 1/z = z/zz = z/|z|2

III Géométrie dans le plan complexe

On se place dans un plan muni d’un repère orthonormé (O ; ~u,~v).

Définition 16. On appelle affixe d’un point A de coordonnées cartésiennes (x; y) le nombrecomplexe : zA = x+ iy.




D’après l’unicité des coordonnées cartésiennes d’un point dans un repère donné et de laforme algébrique d’un complexe, tout point du plan a une unique affixe et tout complexeest l’affixe d’un point du plan. On peut donc identifier C au plan, on parle alors du plancomplexe de la même manière que l’on parlait de la droite réelle.

Propriété 31. Dans le plan complexe, les réels sont représentés par l’axe des abscisses etles imaginaires purs par l’axe des ordonnées.

Propriété 32 (Interprétation géométrique du conjugué). Soit un point A d’affixe z et A′

d’affixe z′. Alors A et A′ sont symétriques par rapport à (Ox) ssi z′ = z.

Définition 17. Soit −→w un vecteur de coordonnées

a

b

on appelle affixe du vecteur −→w

le complexe z−→w = a+ ib

Ainsi on a grace aux règles de calcul sur les complexes :

Propriété 33. Pour deux points A et B d’affixe zA et zB, on a : z−→AB

= zB − zA .

Propriété 34 (Interprétation géométrique du module). Soit un point A d’affixe zA et Bd’affixe zB.

AB = ‖−→AB‖ = |z−→AB

| = |zB − zA|

Cette égalité est vraie car le repère (O ; ~u,~v) est orthonormé.

Exercice no 13

Prouver que le triangle OAB est isocèle rectangle où A et B sont les points d’affixes respec-tives :

zA = 1 + 2i et zB = −2 + i

Exemple: (fondamental) L’ensemble des points d’affixe de module 1 est le cercle de centreO et de rayon 1.

Propriété 35. Deux vecteurs −→w et−→w′ sont colinéaires ssi il existe un réel k tels que :

z−→w = kz−→w′

Démonstration. On l’écrit avec les coordonnées de vecteurs. Straight forward.

Propriété 36. Trois points A, B, C sont alignés ssi il existe un réel k tel que :

zB − zA = k(zC − zA)

IV Équation du second degré

L’objectif est de résoudre dans C toutes les équations du second degré à coefficients réels.i.e. de la forme :

az2 + bz + c = 0 où a ∈ R∗, b ∈ R, c ∈ R



IV. ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ 33

IV.1 Forme canonique

On commence à la main, sans formule, en utilsant la forme canonique.

Exemple: On veut résoudre : z2 + 2z + 5 = 0 :

z2 + 2z + 5 = (z + 1)2 − 1 + 5 = (z + 1)2 + 4 = (z + 1)2 − (2i)2

D’où la factorisation et la résolution :

z2 + 2z + 5 = 0 ⇐⇒ (z + 1− 2i) · (z + 1 + 2i) = 0 ⇐⇒ z ∈ −1 + 2i ; −1− 2i

Résoudre de la même manière les équations du second degré suivantes dans C :(a) z2 − 4z + 5 = 0 (b) z2 + 6z + 11 = 0 (c) 2z2 − 4z + 3 = 0

IV.2 Formules

Cette technique vue par factorisation grâce à la forme canonique est systématique et onpeut donc obtenir des formules, similaires à celles des racines réelles.

1. Mettre az2 + bz + c sous forme canonique. On fera apparaître ∆ = b2 − 4ac

2. On suppose que ∆ < 0. Écrire∆

4a2comme le carré d’un nombre complexe.

3. En déduire une factorisation de az2 + bz + c sous la forme :

az2 + bz + c = a(z − z1)(z − z1) où z1 ∈ C

4. En déduire les formules donnant les racines complexes de az2 + bz + c dans le cas oùle discriminant est négatif.

Remarque : Comme dans R, si b, le coefficient de z, est nul on n’applique pas ces formulescomme un âne. On procède ainsi :

Exemple: z2 + 3 = 0 ⇐⇒ z2 − (i√3)2 = 0 ⇐⇒ z ∈ i

√3 ; −i

√3

IV.3 Application

Exercice no 14

Résoudre dans C les équations suivantes en appliquant les formules précédentes.

1. (a) 2z2 + 4z + 5 = 0 (b) −2z2 + 6z − 5 = 0 (c) −5z2 + 2z + 2 = 0

2. (a) z2 + z + 1 = 0 (b) (z2+2)(z2−4z+4) = 0 (c) (z + 1)2 = −(2z + 1)2

3. (a) 2z4 − 9z2 + 4 = 0 (b) (z2 + 1)2= 1 (c)

z − 1

z + 1= z + 2

Exercice no 15

Équation à coefficients symétriques. Soit l’équation (E) : z4 − 5z3 + 6z2 − 5z + 1 = 0

Prouver que (E) est équivalente au système :

u2 − 5u+ 4 = 0

u = z +1

z

Résoudre u2 − 5u+ 4 = 0, puis résoudre l’équation (E) dans C.




Exercice no 16

Un grand classique du rire. On veut résoudre une équation de degré trois dans C. On nevous donnera pas de formule, mais on vous présentera toujours les choses à peu près ainsi :On exhibe ou fait trouver une « solution évidente » z0, on factorise par (z− z0) le polynomede départ, et on est alors ramené à une équation de degré deux.

1. Pour tout complexe z, on pose P (z) = z3−12z2+48z−128. Calculer P (8). Déterminertrois réels a, b, c tels que pour tout complexe z :

P (z) = (z − 8)(az2 + bz + c)

Résoudre dans C l’équation P (z) = 0.



Chapitre 5

Barycentres et droites de l’espace

I Barycentre : rappels

Rappel des différentes utilisations du barycentre en sciences physiques :– Centre d’inertie. Cette notion permet de modéliser des systèmes solides complexes par

des masses ponctuelles, les forces subies par le système s’appliquant au centre de masse,ou centre d’inertie.

– Point d’équilibre d’un système.– Utilisation en chimie : molécules polaires (moment dipolaire). Importance pour la ques-

tion de solubilité d’une molécule dans un solvant.Feuille de rappels (mathématiques) lue et commentée.Séances d’exercices, annales à partir des connaissances de première.

RappelsOn peut définir le barycentre d’un nombre quelconque de points pondérés, pourvu que lasomme des masses soit non nulle. Je traite ici le cas de trois points.

Définition 18. Soit le système de points pondérés (A; a); (B; b); (C; c) avec : a+b+c 6= 0.Il existe un unique point G appelé barycentre de ce système vérifiant :

a.−→GA+ b.

−−→GB + c.

−→GC =

−→0 (5.1)

Propriété 37 (Homogénéité du barycentre). Soit k un réel non nul. Le barycentre resteinchangé si on multiplie toutes les masses par k.

Propriété 38 (Position du barycentre de deux points). Soit G = Bar(A; a); (B; b)(i) G ∈ (AB).(ii) Si a et b sont de même signe : G appartient à [AB] et est plus près du point qui est

affecté de la masse la plus grande en valeur absolue.(iii) Si a et b sont de signes contraires : G est en dehors du segment [AB] du côté du

point qui est affecté de la masse la plus grande en valeur absolue.

Propriété 39. Pour tout point M , si a+ b+ c 6= 0 on note G = Bar (A; a); (B; b); (C; c)et on a :

a.−−→MA+ b.

−−→MB + c.

−−→MC = (a+ b+ c)

−−→MG (5.2)

On le démontre à partir de (5.1) en incrustant le point M dans les quatre vecteurs à l’aidede la relation de Chasles. En particulier si on est dans un plan muni d’un repère (O;~ı ;~ ) onen déduit les coordonnées du G en posant M = O dans (5.2) :

35

36 5. BARYCENTRES ET DROITES DE L’ESPACE

Propriété 40. Les coordonnées de G = Bar (A; a); (B; b); (C; c) dans (O;~ı ;~ ) sont :

xG =axA + bxB + cxC

a+ b+ cyG =

ayA + byB + cyCa+ b+ c

En remplaçant M par le point A dans (5.2) on a une expression utile pour placer G :

−→AG =

b

a+ b+ c

−→AB +

c

a+ b+ c

−→AC

La relation ci-dessus prouve que G appartient au plan (ABC) et que ses coordonnées

dans le repère (A;−→AB;

−→AC) sont : G(

b

a+ b+ c;

c

a+ b+ c)

Propriété 41 (Théorème d’associativité). Soit trois réels a, b et c tels que : a+b+c 6= 0et a+ b 6= 0. On considère alors les deux barycentres :

G = Bar (A; a); (B; b); (C; c) et H = Bar (A; a); (B; b) .Alors :

G = Bar (H; a+ b); (C; c)Plus généralement, le barycentre G de n points pondérés (n ∈ N, n > 3) est inchangé si

on remplace p points pondérés (p < n) dont la somme des masses m est non nulle par leurbarycentre H (dit partiel) affecté de ladite masse m.

I.1 Droites, segments de l’espace

Dans cette partie, E désigne l’ensemble des points de l’espace à trois dimensions. A et Bsont deux points distincts de E .

Relation vectorielle

On considère le point Mk de E vérifiant la relation suivante où k désigne un réel :−−→AMk = k

−→AB (5.3)

Alors on a les résultats suivants qui proviennent du repérage sur une droite, car k représentel’abscisse du point Mk dans le repère (A;

−→AB) de la droite (AB).

① Lorsque k décrit R, Mk décrit (AB).

② Lorsque k décrit R+, Mk décrit [AB).

③ Lorsque k décrit [0 ; 1], Mk décrit [AB].

④ Lorsque k décrit R∗, Mk décrit (AB) privée de A.

⑤ Lorsque k décrit R \ a, Mk décrit (AB) privée de Ma. (où a ∈ R)

Caractérisation barycentrique

Droites

Propriété 42. La droite (AB) est l’ensemble des barycentres de A et B. i.e.

M ∈ (AB) ⇐⇒ ∃(a; b) ∈ R2; M = Bar(A; a); (B; b) avec a+ b 6= 0

Démonstration. On prouve les deux sens séparément, en utilisant la caractérisation :M ∈ (AB) ⇐⇒ ∃k ∈ R;

−−→AM = k

−→AB



I. BARYCENTRE : RAPPELS 37

Segment

Propriété 43. Le segment [AB] est l’ensemble des barycentres de A et B avec des massesde même signe. i.e.

M ∈ [AB] ⇐⇒ ∃(a; b) ∈ R2; M = Bar(A; a); (B; b) avec a+ b 6= 0 et ab > 0

Démonstration. cf Première, et feuille de rappels pour la position du barycentres (plus prèsde quel point ?). Rappels à l’oral sur le cas où les masses sont de signes contraires.

I.2 Plans et triangles

Caractérisation barycentrique

Plan

Propriété 44. Le plan (ABC) est l’ensemble des barycentres de A, B et C. i.e.

M ∈ (ABC) ⇐⇒ ∃(a; b; c) ∈ R3; M = Bar(A; a); (B; b); (C; c) avec a+ b+ c 6= 0

Démonstration. On prouve les deux sens séparément, en utilisant la caractérisation :M ∈ (ABC) ⇐⇒ ∃(x; y) ∈ R2;

−−→AM = x

−→AB + y

−→AC

Intérieur d’un triangle

Propriété 45. L’intérieur du triangle ABC est l’ensemble des barycentres de A, B et Cavec des masses strictement positives.

Démonstration. On prouve les deux sens séparément, géométriquement, par le théorèmed’associativité.

① Soit a, b, c trois réels strictement positifs. On considère M = Bar(A; a); (B; b); (C; c).Comme b + c > 0 on peut considérer H = Bar(B; b); (C; c) qui appartient à [BC],alors par associativité du barycentre :

M = Bar(A; a); (H; b+ c)Comme a et b+c sont du même signe, non nuls, M ∈ [AH] différent de A et H. Figure.« Donc » M est à l’intérieur du triangle ABC.

② Réciproque, on refait la construction dans l’autre sens. On appelle H l’intersection de[AM ] et [BC]. Comme H ∈ [BC] (différent de B et C) alors il existe b et c strictementpositifs tels que : H = Bar(B; b); (C; c). De même il existe a′ et k strictement positifstels que : M = Bar(A; a′); (H; k). Par homogénéité en multipliant les masses par b+c

k

(strictement positif), on obtient, en notant a = a′ × b+ c

k:

M = Bar(A; a); (H; b+ c) donc M = Bar(A; a); (B; b); (C; c)

Remarque. La preuve peut être refaite avec des masses strictement négatives. Par conséquent,on retiendra qu’un point appartient à l’intérieur du triangle ABC ssi il est barycentre de A,B et C affectés de masses non nulles, de même signe.

Remarque. Si une des masse a, b ou c est nulle, le point appartient à un côté du triangle, etsi deux masses sont nulles, le point est un sommet du triangle.

Exercice d’application : cf Poly Barycentres fp3




II Représentations paramétriques d’une droite de l’es-pace

II.1 T.P. sur GeoGebra (cas des droites du plan)

Compte rendu sur feuille par binôme, puis oral en classe. Ramasser quelques comptesrendus.Questions complémentaires pour faire le point sur leurs connaissances et leur compréhensionde la problématique soulevée par le TP (à l’oral) :

① Une représentation paramétrique d’une droite est elle unique ? (Bah non ! observer (1)et (2) qui définissent toutes deux ∆)

② Mais alors, quel lien y a-t-il entre ces deux représentations paramétriques ?

③ Quel nom donne-t-on aux vecteurs ~u et ~v dont on a trouvé les coordonnées au 6.c. et6.d. ?

④ Que peut-on dire de ces deux vecteurs (directeurs de ∆) ?

⑤ Cette condition de colinéarité est elle suffisante pour établir que les deux systèmesreprésentent la même droite ?

⑥ Comment caractériser une droite ? (Deux points, oui. . . mais encore. . . barycentres. . .vecteur directeur et un point.)

II.2 Caractérisation analytique d’une droite de l’espace

Introduction

En T.P. on a étudié le problème physique de la trajectoire rectiligne de deux points mo-biles dans le plan. On a vu qu’il fallait distinguer point d’intersection des trajectoires et« collision » des deux points mobiles. Dans le plan, pour savoir si des trajectoires rectilignessont sécantes, il suffit de savoir si les droites sont parallèles, ce qui est simple.Que donne le même problème dans l’espace ? L’objectif est de savoir déterminer par le calculsi deux droites sont sécantes, et le cas échéant savoir calculer les coordonnées de ce pointd’intersection. Pour celà il nous faut une caractérisation analytique d’une droite de l’espace.Malheureusement, il n’y a pas d’équation de droite dans l’espace. . . On verra ensuite qu’uneéquation de la forme ax+ by + cz + d = 0 est en fait celle d’un plan.

Une droite D de E est définie :– Soit par deux points distincts A et B de D . (Alors D = (AB))– Soit par un point A et un vecteur directeur ~u . (Alors (A; ~u ) est un repère de D)

(Rappels oraux sur les vecteurs directeurs.)

Définition 19. Soit ~u un vecteur non nul et A un point de E . La droite passant par A etde vecteur directeur ~u est l’ensemble des points M de E tels que

−−→AM = t~u où t décrit R.

On veut traduire celà avec des coordonnées. Dans la suite, l’espace est rapporté à unrepère (O ;~ı,~,~k).

Propriété 46 (Représentation paramétrique de droite). Soit D une droite de l’espace. Onnote A(xA; yA; zA) un point de D et ~u (a; b; c)un vecteur directeur de D . (xA, yA, zA, a, b, csont des réels avec a, b, c non tous nuls).



II. REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES D’UNE DROITE DE L’ESPACE 39

La droite D est l’ensemble des points M(x; y; z) de E pour lesquels il existe un réel t tel

que−−→AM = t~u . D est donc caractérisée par le système :

x = xA + ta

y = yA + tb

z = zA + tc

, où : t ∈ R (5.4)

Démonstration. Straight forward. Deux vecteurs sont égaux ssi ils ont les mêmes coordon-nées. Or :

−−→AM

x− xA

y − yA

z − zA

et ~u

a

b

c

donc t~u

ta

tb

tc

M ∈ D ⇐⇒ ∃t ∈ R;−−→AM = t~u . En identifiant les trois coordonnées, on obtient le résultat.

Un système comme (5.4) s’appelle une représentation paramétrique de D . Le paramètreest t. On peut mettre n’importe quelle lettre à la place de t. Il peut être utile de se représen-ter t comme le temps (variant dans R) et le point M comme un point mobile dans l’espaceen fonction du temps dont les coordonnées vérifient le système (5.4).

Remarque. Une représentation paramétrique comme (5.4) caractérise la droite passant parA(xA; yA; zA) et de vecteur directeur ~u (a; b; c). On peut déterminer xA, yA, zA, a, b, c à partirdu système que constitue (5.4).

Exercice no 17

1. Donner une représentation paramétrique de la droite (IJ) où I(−1; 0; 2) et J(3;−2; 1).Une fois fait : Tout le monde a-t-il la même représentation paramétrique ? En donnerune autre.

2. Le point A(3; 0, 1) appartient-il à (IJ) ? Et B(3;−2; 1) ? Et C(4; 4; 4) ?

3. Donner une représentation paramétrique de la droite parallèle à (IJ) passant par A.

4. Déterminer l’intersection de (IJ) avec le plan (xOy).

Solution:Onchoisitunvecteurdirecteur,parexemple−→IJ(4;−2;−1)etunpoint,IouJ...

Une fois fait : Tout le monde a-t-il la même représentation paramétrique ? En donner uneautre.

Remarque. Une droite n’a pas une unique représentation paramétrique. On a le choix pour levecteur directeur et pour le point. Alors comment savoir si deux représentations différentescaractérisent la même droite ?

Exercicescf. Représentations paramétriques de droites. fp.1 (fichier Exos_Repres_par_droites_fp1.tex)

Compétences à avoir.

① Savoir vérifier si un point appartient à une droite dont on donne une représentationparamétrique.




② Savoir déterminer les coordonnées de deux (ou plus) points sur une droite dont ondonne une représentation paramétrique.

③ Savoir déterminer une représentation paramétrique d’une droite D connaissant :– Un point et un vecteur directeur de D .– Deux points distincts de D .– Un point et sachant que D est parallèle à une droite D ′ dont on a une représentation

paramétrique.

④ Savoir décider si deux droites dont on donne des représentations paramétriques sont :– Parallèles.– Confondues.– Sécantes, et dans ce cas savoir déterminer les coordonnées du point d’intersection.

⑤ Savoir déterminer les coordonnées du point d’intersection (si il existe) d’une droite avecun plan (parallèle à un plan de coordonnées d’abord).



Chapitre 6

Équations différentielles

I Introduction, situation problème

On a étudié le problème de Maurice qui saute en parachute. Sa vitesse instantanée vérifieune relation qui fait intervenir la dérivée de la vitesse, c’est une équation différentielle. Uneéquation différentielle est une équation où l’inconnue est une fonction (on la note souvent yen maths), et l’équation donne une relation entre la fonction et ses dérivées successives (y,y′, y′′. . .). On a déjà vu l’équation : y′ = y dont la seule solution qui vérifie y(0) = 1 est lafonction exp. En général on ne sait pas trouver une expression exacte d’une solution, mais onsait en donner des approximations numériques (cf méthode d’Euler). Nous allons étudierune petite famille d’équations différentielles que l’on sait résoudre, les équations différentielleslinéaires du premier ordre à coefficients constants. i.e. de la forme : y′ = ay + b où a et bsont réels.

I.1 Vérifier une solution

En sciences physiques, et parfois en maths, on vous demandera de vérifier qu’une fonctiondonnée est solution d’une équation différentielle.

Exercice no 18

Pour chaque équation différentielle, vérifier que les fonctions fk de variable x dont on donnel’expression en sont solution (k est un paramètre réel).

① y′′ = −y. f1(x) = cosx, f2(x) = 2 cosx.

② y′′ = −4y. f1(x) = sin 2x, f3(x) = 3 cos 2x+ k sin 2x.

③ y′ − y = exp. f1(x) = x ex, fk(x) = kx ex.

④ y′′ + 2y′ + 2y = 0 f(x) = e−x sin x.

II Équation y′ = ay

Théorème 5 (Solution générale). Les fonctions définies et dérivables sur R solutions del’équation différentielle y′ = ay sont les fonctions fk définies par :

fk(x) = k eax

Où k est une constante réelle quelconque.

41

42 6. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Démonstration. On doit prouver deux choses :

① fk est bien solution pour tout réel k. (Facile)

② Si il existe une solution g à y′ = ay alors elle est de la forme fk. Pour celà onpose ϕ =

g

f1(où f1(x) = eax). On dérive ϕ, on trouve ϕ′ = 0, donc ϕ = constante,

et donc toute solution de y′ = ay s’écrit comme une constante multipliée par f1.

R♥C

Remarque. La constante k doit en général être déterminée par une condition initiale (on saitque la fonction f cherchée vérifie f(0) = . . . ou f ′(0) = . . . ). On remarquera que k = fk(0).

Propriété 47. Soit x0 et y0 deux réels quelconques. Il existe une unique solution f à y′ = ayqui vérifie f(x0) = y0.

Démonstration. La solution est nécesairement de la forme énoncée par le théorème, on iden-tifie la constante grâce à la condition initiale f(x0) = y0. On trouve que : f(x) = y0 e

x−x0 (àne pas connaître, mais à savoir retrouver).

Exercice no 19

1. Tracer sur votre calculette, quelques courbes (notées Ck) de fonctions solutions dey′ = 1

2y.

2. Existe-t-il une droite horizontale qui soit une des Ck ?

3. Soit un point M(x0; y0). Combien de courbes Ck passent par M ?

4. On trace la droite ∆ d’équation y = 2. Quelle propriété commune ont les courbes Ck

en des points de ∆ ?

Exercice no 20

1. Trouver la solution f sur R de y′ + 2y = 0 telle que f(1) = 3.

2. Déterminer la solution f sur R de 3y′ = 2y telle que f ′(0) = 2.

3. Déterminer la solution f sur R de y = −2y′ telle que f ′(0) = 2.

Exercice no 21

1. Donner la solution générale de l’équation (E1) : 3y′+2y = 0 et tracez plusieurs courbes

de fonctions solution sur l’écran de votre calculette.

2. Résolvez cette même équation sachant maintenant que y(0) = 32.

3. Donnez une solution (non identiquement nulle. . . ) pour chacune des équations diffé-rentielles suivantes :

(E2) : y′ = 32y (E3) : y′′ = −y (E4) : y′ = 32 (E5) : y′′ = 32

Exercice no 22

On se propose de résoudre sur R l’équation différentielle (E) :

y′ − 2y = 2(e2x−1)



III. ÉQUATION Y′ = AY +B 43

1. Montrer que la fonction h définie sur R par h(x) = 2x e2x +1 est solution de l’équationdifférentielle (E).

2. On pose y = z+h. Montrer que y est solution de (E) si, et seulement si, z est solutionde l’équation différentielle z′ − 2z = 0. Résoudre cette dernière équation différentielleet en déduire les solutions de (E).

3. Démontrer qu’il existe une solution et une seule de (E) s’annulant en 0.

Exercice no 23

On considère l’équation :y′ = 3y + 2 (6.1)

1. Déterminer toutes les solutions f de l’équation :

y′ = 3y (6.2)

2. Soit g une solution solution de (6.1). Prouver que : h est solution de (6.1) ssi (h − g)est solution de (6.2)

3. Trouver une solution constante notée g de (6.1), en déduire toutes les solutions de (6.1).

III Équation y′ = ay + b

Dans cette partie, a et b désignent deux réels, a non nul. On considère l’équationdifférentielle :

y′ = ay + b (6.3)

La propriété suivante est à savoir redémontrer dans un cas particulier, comme y′ = ay− 1ou y′ = −2y + 3. . .

Propriété 48. Soit f0 une solution particulière de (6.3). f est une solutions de (6.3), ssila différence (f − f0) est solution de l’équation sans second membre associée : y′ = ay.

Démonstration. Il y a deux sens à prouver.

① Si f est solution de (6.3), alors f ′ = af + b. Comme f0 est aussi solution de (6.3),on a aussi f ′

0 = af0 + b. On soustrait ces deux égalité et on obtient :

f ′ − f ′0 = af + b− af0 − b donc : (f − f0)

′ = a(f − f0)

i.e. (f − f0) est solution de l’équation y′ = ay.

② Si (f − f0) est solution de l’équation y′ = ay, alors en reprenant le calcul précédent,on est amené à faire apparaitre b par la ruse extraordianire : 0 = b − b on a donc :f ′ − f ′

0 = af + b− af0 − b. Et comme f0 est solution de (6.3), alors f ′0 = af0 + b et

donc il reste f ′ = af + b. Ainsi f est solution de (6.3).

L’équivalence est ainsi montrée.

On en déduit que toute solution de (6.3) est de la forme : la solution générale de y′ = ayplus une solution particulière de (6.3).

R♥C

On peut trouver une solution particulière de (6.3) qui est constante. Dire que f0 estconstante signifie que f ′

0 = 0. Alors, dire que f0 est solution de (6.3) signifie af0 + b = 0 i.e.



44 6. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

f0 = − ba.

On choisit la solution constante f0 = − ba

comme solution particulière, et on obtient :

Théorème 6 (Solution générale). Les fonctions définies et dérivables sur R solutions del’équation différentielle y′ = ay + b sont les fonctions gk définies par :

gk(x) = k eax − b

a

Où k est une constante réelle quelconque.

Démonstration. (Laissée en exercice) Tout a été écrit précédemment.



Chapitre 7

Probabilités et dénombrement

I Probabilités conditionnelles

I.1 Rappels

I.2 Modélisation avec des arbres

I.3 Introduction

Exercice no 24

On dispose des fréquences des élèves d’un lycée,classés par sexe et par LV1, notées dans ce ta-bleau à double entrée. On ne connait pas l’effec-tif total du lycée, on le notera : n. On choisit unélève au hasard et on considère les événements :F : L’élève est une fille.A : L’élève est en anglais LV1.

fréquences anglais espagnol total

filles 0, 1 0, 3 0, 4

garçons 0, 2 0, 4 0, 6

total 0, 3 0, 7 1

1. P(A) = , P(F ) = et P(A ∩ F ) = .

2. Donner en fonction de n : le nombre de filles et le nombre de filles qui sont anglais LV1.

3. On a choisi une fille. Quelle est alors la probabilité que cette élève soit anglais LV1 ?

4. On note PF (A) la probabilité que l’élève soit anglais LV1, sachant que c’est une fille.

Vérifier que : PF (A) =P(A ∩ F )P(F )

5. Que représente PA(F ) ?

I.4 Probabilité de B sachant A

On considère une espace probabilisé Ω et P une probabilité sur Ω. Les lettres A et Bdésigneront deux événements de cet univers Ω.

Définition 20. Si P(A) 6= 0, on définit la probabilité de B sachant A, notée PA(B) par :

PA(B) =P(A ∩B)

P(A)

45

46 7. PROBABILITÉS ET DÉNOMBREMENT

Remarque. Ainsi PA est une probabilité sur Ω. Cela revient à considérer une probabilité surA en se restreignant aux événements qui sont inclus dans A. Par exemple : PA(A) = 1

Cette notion est souvent utilisée pour calculer P(A ∩B) en remarquant que :

P(A ∩B) = P(A)×PA(B)

Exemple : On dispose d’une urne contenant trois jetons blancs et deux jetons noirs. Ontire successivement deux jetons de cette urne. Quelle est la probabilité p d’obtenir au moinsun jeton blanc ?

On note respectivement N1 et N2 les événements « obtenir un jeton noir au premiertirage » et « obtenir un jeton noir au deuxième tirage ». De même B1 et B2 pour les blancs.L’événement contraire de « obtenir au moins un jeton blanc » est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Donc p = 1− P( )

La probabilité de tirer un jeton noir au premier coup est P(N1) =La probabilité de tirer un jeton noir au deuxième coup sachant qu’on en a déjà tiré un aupremier coup est : PN (N ) =

D’où p =

I.5 Réprésentation sur un arbre pondéré

On reprend l’exemple précédent, on modélise la situation par un arbre de probabilité.Ajouter sur les branches les probabilités correspondantes.

HHHHHH

B2 =⇒ P(B1 ∩B2) =XXXXXX N2 =⇒ P(B1 ∩N2) =

B1

1ertirage 2etirage

B2 =⇒ P(N1 ∩B2) =XXXXXX N2 =⇒ P(N1 ∩N2) = P(N1)×PN1

(N2) =N1

PN1(N2)

P(N1)

Comment dans cette situation déterminer la probabilité de tirer de tirer un jeton noir audeuxième tirage ? C’est à dire comment déterminer P(N2) ? Il faut remarquer que l’événementN2 est réalisé lorsqu’on a tiré un jeton blanc puis un noir ou bien lorsqu’on a tiré un jetonnoir puis un deuxième noir. Autrement dit, en termes d’ensembles :

N2 = (B1 ∩N2) ∪ (N1 ∩N2)

Et cette union est disjointe, d’où P(N2) =On vient d’utiliser un cas particulier de la :

I.6 Formule des probabilités totales

Définition 21. On dit que n ensembles (ou événements) B1, B2,. . . , Bn (pour n > 2)forment une partition d’un ensembleE si lesBi sont deux à deux disjoints (i.e. incompatibles)et que leur réunion est égale à E.



I. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES 47

Exemple: Pour tout événement A, une partition de Ω est donnée par A, A. En effet :A ∩ A = ∅ et A ∪ A = Ω.

Propriété 49. Si A1, A2,. . . , An forment une partition de A, alors :

P(A) = P(A1) + P(A2) + · · ·+ P(An).

Démonstration. Par récurrence immédiate à partir de : P(A1∪A2) = P(A1)+P(A2) puisqueA1 et A2 sont incompatibles.

Théorème 7 (Formule des probabilités totales). Si B1, B2,. . . , Bn forment une partitionde Ω, alors :

P(A) = P(A ∩B1) + P(A ∩B2) + · · · + P(A ∩ Bn).

Démonstration. Il suffit de voir que les (A∩Bi) forment une partition de A. Il faut faire undessin pour s’en convaincre.

Par exemple dans l’exercice 1, les filles et les garçons forment une partition de l’ensembledes lycéens. On en déduit une partition de l’ensemble des élèves « anglais LV1 » constituédes « garçons faisant anglais LV1 » et des « filles faisant anglais LV1 ».

I.7 Passer de PA(B) à PB(A)

Un problème classique est de « renverser le conditionnement ». On reprend l’exempleprécédent. On connaît PN1

(N2) et on a déterminé P(N1 ∩ N2) puis P(N2). Maintenant,quelle est la probabilité d’avoir tiré un jeton noir au premier coup, sachant qu’on en a tiréun au deuxième ? On écrit la formule, on cherche :

PN (N ) = =

I.8 Indépendance de deux événements.

Définition 22. On dit que deux événements A et B sont indépendants si P (A ∩ B) =P (A)× P (B).

Propriété 50. Si P (B) 6= 0, alors A et B sont indépendants ssi PB(A) = P(A).

Exercice no 25

On partage la galette des rois en trois tiers. Maurice ne prend que les deux cinquièmes desa part. Quelle est la probabilité qu’il ait la fève ?

Exercice no 26

On dispose d’une urne contenant trois jetons blancs et deux jetons noirs. On tire succes-sivement deux jetons de cette urne. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins un jetonblanc ?




II Dénombrement

II.1 Activité : savez vous compter ?

Essayer de répondre à ces questions de dénombrement en utilisant un arbre de choix sinécessaire.

① Combien peut-on écrire de mots distincts avec les trois lettres A, B et C. (On utilisedonc une fois et une seule chacune des trois lettres).

② Combien peut-on écrire de mots distincts de trois lettres en choisissant des lettres dansl’ensemble : A;B;C.

③ Un code secret est composé de trois lettres dans un ordre donné à choisir dans A;B;C;D;E.a. Combien y a-t-il de codes possibles ?

b. Même question si les lettres sont toutes distinctes.

④ À une course de chevaux il y cinq chevaux A;B;C;D;E au départ.

a. Combien y a-t-il de quintés possibles ?

b. Combien y a-t-il de tiercés possibles ?

c. Combien y a-t-il de choix possibles pour l’ensemble des trois premiers chevaux.(A;B;E et B;E;A sont des choix identiques)

II.2 Dénombrer des listes : choix ordonné

Dans cette section, E désigne un ensemble à n éléments (n ∈ N). On imagine une urne Ucontenant n jetons sur lequels sont inscrits les n éléments de E. On va tirer au hasard desjetons de l’urne et noter (dans l’ordre de sortie) les éléments de E obtenus.

Définition 23. On appelle liste de p éléments de E une énumération ordonnée de ces péléments. On la note comme des coordonnées de points.

Exemple: Si a, b, c sont trois éléments de E, (a ; b ; c) et (a ; c ; b) sont deux listes distinctesavec les trois éléments a, b et c.

Tirage sans remise

On tire successivement sans remise p jetons (p 6 n) de l’urne.

Propriété 51. Il y an!

(n− p)!= n× (n− 1)× · · · × (n− (p− 1)) listes sans répétition de p

éléments de E.

Démonstration. On le prouve avec un arbre ou en imaginant remplir des cases : Il il a nchoix pour le 1er élément, et pour chacun de ces choix il y a n − 1 choix pour le 2e élément. . . etc puis (n− (p− 1)) choix pour le pe et dernier élément.

Permutation. Dans le cas particulier où on tire p = n jetons, on considère donc le nombrede façons d’ordonner les n éléments de E. On appelle celà le nombre de permutations de E.

Propriété 52. Il y a n! permutations des n éléments de E.

Démonstration. On applique la formule précédente pour p = n, en se souvenant que 0! =1.



II. DÉNOMBREMENT 49

Tirage avec remise

On tire successivement p jetons, avec remise, de l’urne U et on note toujours les élémentsdans l’ordre de sortie. Ici p ∈ N. On peut donc avoir p > n. Remarquez que si p > n il ya nécessairement répétition d’au moins un élément. (C’est le principe des tiroirs 1 : Si il ya plus de chaussettes que de tiroirs, il y a au moins un tiroir qui comporte au moins deuxchaussettes.)

Propriété 53. Il y a np listes (éventuellement avec répétition) de p éléments de E.

Exemple: Combien y a-t-il de points de l’espace dont les coordonnées sont −1 ou 1 ? Icip = 3 et n = 2 car E = −1; 1. Il y a deux choix pour l’abscisse, deux pour l’ordonnée etdeux aussi pour la cote. Soit 23 = 8 points en tout. Ce sont les coordonnées des sommetsd’un cube.

II.3 Combinaisons

Maintenant on ne dénombrera plus des listes mais des sous ensembles de E, l’ordre deséléments ne comptera pas. E désigne encore un ensemble à n éléments (n ∈ N) et p désigneun entier compris entre 0 et n. Le modèle est celui du tirage simultané dans l’urne U de pjetons. i.e. c’est un tirage sans remise, et sans tenir compte de l’ordre de sortie.

Choisir p éléments parmi n

Définition 24. Une combinaison de p éléments de E est un sous ensemble (ou partie) de Equi comporte p éléments.

Définition 25. Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments estnoté

(n

p

)et se lit « p parmi n ». (En France on le notait autrefois Cp

n)

Exemple: Si E = a ; b ; c, alors :

•(33

)= 1. Il y a une combinaison de trois éléments de E, c’est E lui même.

•(32

)= 3. Il y a trois combinaisons de deux éléments de E : a ; b ; a ; c ; b ; c

•(31

)= 3. Il y a trois combinaisons d’un élément de E : a ; b ; c

•(30

)= 1. Il y a une combinaison de 0 élément de E c’est l’ensemble vide : ∅

Calculette. Pour calculer(53

)à la calculette, utiliser la fonction notée nCr (5 nCr 3 Exe).

Menu Proba (TI : Math/Prb, Casio : Optn/Prob).

Nombre de combinaisons

Propriété 54.

(n

p

)=

n!

p!(n− p)!

Démonstration. On sait qu’il y a n!(n−p)!

listes sans répétition de p éléments de E. Quand ona un ensemble à p éléments il y a p! permutations, soit p! listes sans répétition avec ces péléments. C’est pourquoi pour obtenir le nombre de parties (i.e. de combinaisons) de E à péléments on doit diviser n!

(n−p)!par p!

1. Pigeon hole lemma in english




On vient dans cette preuve d’utiliser le lemme du berger, qui est évident : « Si on comptep pattes dans un troupeau de moutons alors c’est qu’il y a p

4moutons. »

Exemple: Combien y a-t-il de mains différentes au bridge ? (On joue à quatre au bridgeavec un jeu de 52 cartes que l’on distribue entièrement). On doit donc compter le nombrede façons de choisir 13 cartes parmi 52, soit

(5213

)= 52!

13!39!≃ 6, 35.1011

Propriétés des combinaisons

Pour n désigne un entier naturel et p un entier naturel inférieur à n.

Valeurs particulières.

(n

0

)= . . .

(n

n

)= . . .

(n

1

)= . . .

(n

n− 1

)= . . .

Choisir p objets parmi n c’est choisir d’en laisser (n-p). Ainsi on a la formule :(n

p

)=

(n

n− p

)

Le triangle de Pascal. C’est un moyen simple de calculer les(n

p

). Il utilise la relation de

récurrence valable si p+ 1 6 n :

Propriété 55 (Relation de Pascal).

(n

p

)+

(n

p+ 1

)=

(n+ 1

p+ 1

)

Démonstration. Straight forward, just remember that : (p+ 1)! = p!× (p+ 1).

R♥C

Figure 7.1 – Triangle « de Pascal » chinois du XIIIesciècle (Zhu Shijie).



II. DÉNOMBREMENT 51

Démonstration. Avec la formule ou en comptant le nombre de sous ensembles d’un ensembleà n+ 1 éléments en distinguant pour un élément a donné les sous ensembles contenant a etles autres.

La belle formule suivante est à connaître. La preuve, si ça vous amuse.

Propriété 56 (Formule du binôme). Pour tous nombres complexes a et b non nuls, et ndans N on a :

(a+ b)n =n∑

p=0

(n

p

)an−pbp

Démonstration. Par récurrence à partir de (a+ b)n+1 = a(a+ b)n+ b(a+ b)n et la Relationde Pascal 86. Je ne fais que l’hérédité :

(a+ b)n+1 =n∑

p=0

(n

p

)an+1−pbp +

n∑

p=0

(n

p

)an−pbp+1

=n∑

p=0

(n

p

)an+1−pbp +

n∑

p=0

(n

p

)an+1−(p+1)bp+1

=n∑

p=0

(n

p

)an+1−pbp +

(n−1∑

p=0

(n

p

)an+1−(p+1)bp+1

)+

(n

n

)bn+1

=

(n∑

p=1

(n

p

)an+1−pbp

)+ an+1

(n∑

p=1

(n

p− 1

)an+1−pbp

)+ bn+1

=

(n∑

p=1

[(n

p

)+

(n

p− 1

)]an+1−pbp

)+

(n+ 1

0

)an+1 +

(n+ 1

n+ 1

)bn+1

=

(n∑

p=1

(n+ 1

p

)an+1−pbp

)+

(n+ 1

0

)an+1 +

(n+ 1

n+ 1

)bn+1

=n+1∑

p=0

(n+ 1

p

)an+1−pbp

R♥C

Démonstration. Preuve par comptage du nombre de termes de la forme an−pbp obtenus endéveloppant (a+ b)n.






Chapitre 8

Nombres Complexes, formeexponentielle et transformations

I Forme trigonométrique d’un nombre complexe

I.1 Repérage polaire dans le plan

Soit (O;~ı,~ ) un repère orthonormé du plan. Un point M y est repéré par ses coordonnées

cartésiennes (de Descartes) i.e. M(x; y) ⇐⇒−−→OM = x~ı + y~ . Il y a une autre façon de

définir la position du point M : Par la donnée de la longueur OM et de l’angle orienté

(~ı ;−−→OM). Cela donne les coordonnées polaires : M(ρ; θ) où x = ρ cos θ et y = ρ sin θ. Donc :

ρ =√x2 + y2 et θ vérifie :

cos θ = xρ

sin θ = y

ρ

Exemple: Le point M a pour coordonnées cartésiennes (−√3; 3). On calcule ρ :

ρ =

√(−

√3)2 + 32 =

√12 = 2

√3

Il faut toujours simplifier la racine. Puis :

cos θ = −√3

2√3

sin θ = 32√3

⇐⇒ cos θ = −1

2

sin θ =√32

On part de l’angle de référence qui a les mêmes valeurs de cos et sin en valeur absolue. C’estπ3. On place π

3sur un cercle trigonométrique, ainsi que l’angle θ cherché et on observe que

θ = π− π3. Donc θ = 2π

3convient. Ainsi des coordonnées polaires de M sont : (2

√3; 2π

3).

x en radians 0 π6

π4

π3

π2

cosx 1√32

√22

12

0

sin x 0 12

√22

√32

1

Pour se souvenir de ce tableau ilsuffit de connaître le quart de cercletrigonométrique et de se souvenir de :12<

√22<

√32

θ

ρ

M

O x

y

~ı

~

53

54 8. NOMBRES COMPLEXES, FORME EXPONENTIELLE ET TRANSFORMATIONS

I.2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Traduisons celà en complexe. Soit M un point d’affixe z = x+iy (où x ∈ R, y ∈ R). x+iyest la forme algébrique de z, M a pour coordonnées cartésiennes (x; y). Le rayon polaire ρest le module de z, et un angle polaire θ s’appelle un argument de z.

Définition 26. Tout complexe z peut s’écrire sous la forme appelée forme trigonométriquede z :

z = |z| × (cos θ + i sin θ)

Un argument θ n’est pas unique, car défini modulo 2π. On note : arg(z) = θ un argumentde z.

Propriété 57. Deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même module et même argu-ment à 2π près.

Exemple: Cf exemple précédent. Soit z = −√3 + 3i. Mettre z sous forme trigonométrique.

|z| =√12 = 2

√3. La suite est identique et donc θ = 2π

3d’où : z = 2

√3(cos 2π

3+ i sin 2π

3)

Exercice no 27

Mettre les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique :

1. (a) z = 1 + i (b) z = 5− 5i (c) z = −3− 3i

2. (a) z = −4 (b) z = i (c) z = −2i

3. (a) z = 2√3− 2i (b) z = −3 + i

√3 (c) z = −1 + i

√3

Exercice no 28

Mettre les nombres complexes z et z′ suivants sous forme trigonométrique, ainsi que zz′ etz

z′:

1. (a) z = 4i et z′ = 1 + i√3 (b) z = −2 + 2i

√3 et z′ = −

√3− i

2. z = cos θ + i sin θ et z′ = cos θ′ + i sin θ′

On donnera arg (zz′) et arg (z

z′) en fonction de θ et θ′.

3. Démontrer les formules dans le cas général :

arg (zz′) = arg (z) + arg (z′) et arg (z

z′) = arg (z)− arg (z′)

I.3 Propriétés des arguments

Rappel de trigonométrie Moyen mnémotechnique : le cosinus est « raciste » et « faux-jeton » i.e. dasn cos(a + b) les cos et sin restent ensemble, et le + devient un moins. Demême pour cos(a− b), et pour les sin, c’est tout le contraire. Plus sérieusement :

Prérequis : Pour tous réels a et b, on a :

cos(a+ b) = cos a cos b− sin a sin b (8.1)

sin(a+ b) = sin a cos b+ sin b cos a (8.2)



I. FORME TRIGONOMÉTRIQUE D’UN NOMBRE COMPLEXE 55

Propriété 58. Pour tous complexes non nuls z et z′, on a :

① arg zz′ = arg z + arg z′ [2π]

② arg z = − arg z [2π]

③ arg 1z= − arg z [2π]

④ arg zz′= arg z − arg z′ [2π]

⑤ arg zn = n arg z [2π]

Démonstration. On note z et z′ sous forme trigonométrique :

z = |z|(cos θ + i sin θ) et z′ = |z′|(cosθ′ + i sin θ′)

On va montrer ① et retrouver la propriété sur le module du produit :

① zz′ = |z|(cos θ + i sin θ)× |z′|(cosθ′ + i sin θ′) On développe et on trouve :

zz′ = |z| × |z′| (cos θ cos θ′ − sin θ sin θ′ + i(sin θ cos θ′ + sin θ′ cos θ))

= |z| × |z′| (cos(θ + θ′) + i sin(θ + θ′)) par (8.1) et (8.2)

Or deux nombres complexes sont égaux ssi ils ont même module et même argumentmodulo 2π donc :

|zz′| = |z| × |z′| et arg zz′ = θ + θ′ = arg z + arg z′ [2π]

② C’est évident. Pensez le géométriquement, par symétrie d’axe (Ox) : SiM est d’affixez, et M ′ d’affixe z alors M et M ′ sont symétriques par rapport à l’axe des réels.Donc :(~u ;

−−→OM ′) = −(~u ;

−−→OM). Ce qui se traduit en complexes par ②

③ 1/z = (1/|z|2)× z.. On utilise alors ① et ②. Comme 1/|z|2 ∈ R+, alors arg(1/|z|2) =0.

④ On utilise ① et ③ car z/z′ = z × (1/z′).

⑤ Récurrence sur n en utilisant ①.

R♥C

Interprétation géométrique Vous trouverez beaucoup d’exercices demandant d’inter-préter géométriquement le module et l’argument de tel nombre complexe. En particulier :

Propriété 59. Pour A et B deux points distincts du plan, d’affixes respectives zA et zB,(de même pour C et D) on a :

① Argument de l’affixe d’un vecteur : arg(z−→AB

) = arg (zB − zA) = (~u ;−→AB)

② arg

(zB − zAzD − zC

)= (

−−→CD;

−→AB)

Démonstration. On commence par l’affixe d’un vecteur :




① Cela vient de ce que si M est le point d’affixe (zB − zA) alors−−→OM =

−→AB. Ainsi :

arg (zB − zA) = (~u ;−−→OM) = (~u ;

−→AB)

② D’après la formule sur l’argument d’un quotient :

arg

(zB − zAzD − zC

)= arg(zB − zA)− arg(zD − zC)

= arg(z−→AB

)− arg(z−−→CD

)

= (~u ;−→AB)− (~u ;

−−→CD)

= (−−→CD; ~u ) + (~u ;

−→AB) Par antisymétrie des angles orientés

= (−−→CD;

−→AB) Par la relation de Chasles sur les angles

R♥C

Ensembles de points Une figure doit suffire pour se convaincre que :

• z ∈ R∗ ⇐⇒ arg z = 0 [π]

• z ∈ R+∗ ⇐⇒ arg z = 0 [2π]

• z ∈ R−∗ ⇐⇒ arg z = π [2π]

• z est imaginaire pur ⇐⇒ (arg z =π

2[π] ou z = 0)

Exercice no 29

Déterminer et tracer l’ensemble Ei des points M d’affixe z vérifiant une des conditions sui-vantes :

① E1 : (1 + i)z ∈ R

② E2 : arg iz =π

4[2π]

③ E3 : arg

(z − zBz − zA

)= π [2π] où zA = 2− i et zB = −1 + i

④ E4 : arg

(z − zBz − zA

)=π

2[2π] où zA = 2− i et zB = −1 + i

⑤ E5 : arg

(z − zBz − zA

)=π

2[π] où zA = −2− 2i et zB = −i

⑥ E6 :z − zBz − zA

∈ R−∗ où zA = 3 et zB = 1 + 2i

II Forme exponentielle d’un nombre complexe

Vues les propriétés des arguments, on pose pour θ réel :

eiθ = cos θ + i sin θ

On peut vérifier la cohérence de cette notation avec l’équa diff y′ = iy vérifiée par θ 7−→cos θ + i sin θ.



II. FORME EXPONENTIELLE D’UN NOMBRE COMPLEXE 57

Définition 27. Le complexe non nul z, de module |z| et d’argument θ est mis sous formeexponentielle lorsque l’on écrit : z = |z| eiθ où :

eiθ = cos θ + i sin θ

Ainsi eiθ désigne un nombre complexe de module 1. Réciproquement, tout nombre com-plexe de module 1 peut s’écrire sous cette forme. Les propriétés suivantes sont valables pourtous réels θ et θ′, r et r′, pour tous n et k dans Z. Elles découlent des propriétés vues sur lemodule et les arguments d’un nombre complexe non nul.

Addition d’angles

ei(θ+θ′) = eiθ eiθ′

Conjugué

r eiθ = r e−iθ

Module unitaire ∣∣eiθ∣∣ = 1

Inverse1

eiθ= e−iθ

Quotienteiθ

eiθ′= ei(θ−θ′)

Puissance-Formule de De Moivre

(eiθ)n

= einθ

Produit, quotient de deux complexes

(r eiθ

)×(r′ eiθ

′

)= rr′ ei(θ+θ′) et

r eiθ

r′ eiθ′=r

r′ei(θ−θ′)

Valeurs remarquables

e0 = 1 ; eiπ2 = i ; eiπ = −1 ; e2iπ = 1

Opposé d’un complexe

−r eiθ = r ei(θ+π)

θ 7→ eiθ est 2π périodique

ei(θ+2kπ) = eiθ

eiθ = eiθ′ ⇐⇒ θ = θ′ [2π]




Formules d’Euler

cos θ =eiθ +e−iθ

2et sin θ =

eiθ − e−iθ

2i

Ces formules proviennent de ce que pour tout complexe z :

Re(z) =z + z

2et Im(z) =

z − z

2i

Attention ! eiθ est un nombre complexe, on ne peut donc pas parler de son signe. . .

Exercice no 30

Résoudre dans C : z3 = 8i

II.1 Paramétrisation d’un cercle

Le cercle de centre O et de rayon r est l’ensemble des points d’affixe de module R, doncde la forme : R eiθ où θ décrit R (ou tout intervalle de longueur au moins égale à 2π). Plusgénéralement :

Propriété 60. Le cercle de centre Ω d’affixe zΩ et de rayon R (R ∈ R+) est l’ensemble despoints d’affixe :

z = zΩ +R eiθ

où θ décrit R (ou tout intervalle de longueur au moins égale à 2π)

Démonstration. M ∈ C ⇐⇒ |z − zΩ| = R

On a ainsi une fonction de R dans le plan qui fournit l’enroulement de la droite réelle surle cercle que l’on a vu « avec les mains » en seconde.

III Transformations complexes

Soit F une transformation du plan qui au point M associe le point M ′. i.e. F (M) =M ′.On associe à cette transformation la fonction complexe f qui à l’affixe z de M associe l’affixez′ de M ′. On dit que z′ = f(z) est l’écriture complexe de la transformation F . Onva donner les écritures complexes de trois transformations usuelles.

III.1 Translation

Propriété 61. Soit ~w un vecteur d’affixe b. L’écriture complexe de la translation de vecteur~w est :

z′ = z + b

Démonstration. Ici F est la translation de vecteur ~w .

F (M) =M ′ ⇐⇒−−−→MM ′ = ~w ⇐⇒ z′ − z = b⇐⇒ z′ = z + b



III. TRANSFORMATIONS COMPLEXES 59

III.2 Homothétie

Propriété 62. Soit Ω un point d’affixe zΩ et k ∈ R∗. L’écriture complexe de l’homothétiede centre Ω et de rapport k est :

z′ − zΩ = k(z − zΩ)

Démonstration. Ici F est l’homothétie de centre Ω et de rapport k.

F (M) =M ′ ⇐⇒−−→ΩM ′ = k

−−→ΩM ⇐⇒ z′ − zΩ = k(z − zΩ)

III.3 Rotation

Propriété 63. Soit θ ∈ R. L’écriture complexe de la rotation de centre Ω et d’angle θ est :

z′ − zΩ = eiθ(z − zΩ)

Démonstration. Ici F est la rotation de centre Ω et d’angle θ.

• Si M = Ω alors F (M) = M ′ ⇐⇒ M ′ = Ω ⇐⇒ z′ = zΩ. Car le centre d’une rotationest l’unique point invariant par cette rotation. L’égalité voulue est donc vraie (0=0)

• Si M 6= Ω alors F (M) =M ′ signifie :

ΩM ′ = ΩM et (−−→ΩM ;

−−→ΩM ′) = θ

Ce qui se traduit en module et argument par :

|z′ − zΩ| = |z − zΩ| et arg(z′ − zΩz − zΩ

) = θ[2π]

C’est à dire que le complexe z′−zΩz−zΩ

est de module 1 et d’argument θ. Il est donc égal àeiθ. D’où le résultat :

z′ − zΩz − zΩ

= eiθ ⇐⇒ z′ − zΩ = eiθ(z − zΩ)

Cas particulier. z′ = iz est l’écriture complexe de la rotation de centre O et d’angle π2

cari = ei

π

2 . Donc le triangle OMM ′ est isocèle rectangle en O.






Chapitre 9

Suites adjacentes

I Convergence monotone

I.1 Limites par la définition, rappels

On va énoncer des résultats sur les suites, ils se traduisent aussi en énoncés valables pourles fonctions. Dans la suite, (un) désigne une suite réelle, définie sur N.

Définition 28. On dit que (un) tend vers +∞, si pour tout réel M fixé il existe un rang pà partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à M . i.e.

∀M ∈ R,∃p ∈ N, n > p =⇒ un >M

Le rang p dépend de M et a priori, plus M est grand, plus p sera grand.

Remarque. Ce n’est pas pareil que de dire que « la suite n’est majorée par aucun réel ». Eneffet la suite définie sur N∗ par un = n × (−1)n n’est majorée par aucun réel mais elle netend pas vers +∞.

Définition 29. On dit que (un) converge vers un réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓcontient aussi tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Remarque. On peut dans cette définition se restreindre aux intervalles ouverts centrés en ℓ,c’est à dire de la forme ] ℓ− ε; ℓ+ ε[ où ε est un réel strictement positif. De plus dire un ∈] ℓ− ε; ℓ+ ε[ signifie que un − ℓ ∈ ]−ε; ε[ soit encore |un − ℓ| < ε. Cette définition est doncéquivalente à :« Aussi petit que soit ε strictement positif, au bout d’un moment, tous les termes de la suitesont à une distance strictement inférieure à ε du réel ℓ. » Ce qui se note ainsi :

La suite (un) converge vers un réel ℓ si :

∀ε ∈ R∗+,∃p ∈ N, n > p =⇒ |un − ℓ| < ε

Le rang p dépend de ε et a priori, plus ε estpetit, plus p sera grand.

ℓ+ εℓ

ℓ− ε

p n

un

Définition 30. Une suite non convergente est dit divergente.

Dire (un) diverge ne signifie pas « (un) n’a pas de limite ». L’ensemble des suites diver-gentes contient les suites qui tendent vers +∞, celles qui tendent vers −∞ et celles qui n’ontpas de limite. On peut par exemple dire : « (un) diverge vers +∞. »

61

62 9. SUITES ADJACENTES

I.2 L’axiome de la convergence monotone.

Une suite croissante ne tend pas nécéssairement vers +∞, elle peut aussi converger. Onadmet le résultat suivant (c’est un axiome) qui est lié à la structure de l’ensemble des nombresréels :

Théorème 8 (Convergence monotone). Une suite croissante et majorée (ou décroissante etminorée) converge.

Ce théorème est un théorème d’existence, il ne permet pas de calculer une limite. Si (un)est croissante est majorée par 3 par exemple, elle converge, mais pas nécéssairement vers 3.Certainement vers un réel inférieur (ou égal) à 3.

II Étude des suites du type un+1 = f (un)

On se donne une fonction f définie, continue sur un intervalle I de R. Soit u0 ∈ I.

II.1 Intervalle stable

Définition 31. On dit que I est stable par f si f(I) ⊂ I

Exemples:

1. f(x) = x(1−x) sur I = [0 ; 1]. I est stable par f, mais pas par g = 5f . Il suffit d’étudierf .

2. f(x) = 1x−1

et u0 = 32

Vérifier que la relation un+1 = f(un) ne définit pas une suite.

La condition I stable par f permet de garantir que la suite est définie et que tous lestermes de la suite sont dans l’intervalle I. (récurrence immédiate)

II.2 Sens de variation

Il est faux de dire que f croissante donne (un) croissante, on a en fait la propriétésuivante à savoir montrer le premier cas pour une fonction donnée, dont on sait qu”elleest croissante :

Propriété 64. On a deux cas si f est monotone :

① f croissante =⇒ (un) monotone. Le sens de var est donné par le signe de u1 − u0

② f décroissante =⇒ (u2n) et (u2n+1) sont monotones de monotonies contraires

Démonstration. Supposons u1 > u0.

1. Par récurrence. P(n) : « un+1 > un ». Je fais l’hérédité : Si P(k) est vraie, commef est croissante :

uk+1 > uk =⇒ f(uk+1) > f(uk) =⇒ uk+2 > uk+1

2. On pose pn = u2n et in = u2n+1. Alors :

pn+1 = f f(pn) et in+1 = f f(in)Or f dec. implique fof croissante donc par le 1. p et i sont monotones. Supposonsp croissante, alors u2 > u0 donc, en appliquant f qui est dec. on a u3 6 u1 donci1 6 i0 donc i est dec.



II. ÉTUDE DES SUITES DU TYPE UN+1 = F (UN ) 63

R♥C

Si f − Id est de signe constant, on a un résultat sur le sens de variation de (un) :

Un critère donnant le sens de variation de (un). Une récurrence facile à savoir refaire aucas par cas :

Propriété 65. Si un appartient à l’intervalle I pour tout n, alors :

① Si ∀x ∈ I, f(x) > x alors (un) est croissante.

② Si ∀x ∈ I, f(x) 6 x alors (un) est décroissante.

Démonstration. Je ne montre que la ①. On suppose que I est stable par f et que u0 ∈ I :Soit P(n) la propriété dépendant de n (pour n ∈ N, n > 0) :

P(n) : un+1 > un

Initialisation. . u1 = f(u0) > u0. Donc P(0) est vraie.Hypothèse de récurrence. On suppose que pour un certain k ∈ N, P(k) est vraie.Hérédité. uk+2 = f(uk+1) > uk+1. Ainsi P(k + 1) est vraie.Conclusion. Par récurrence, on a prouvé que pour tout entier n de N : un+1 > un .

Donc la suite (un) est croissante.La preuve du ② est la même mutatis mutandis.

R♥C

II.3 Convergence

Définition 32. On appelle point fixe d’une fonction f un réel x tel que f(x) = x

Le théorème suivant ne doit pas être appliqué mais vous devez savoir montrer le résultatpour une fonction f donnée, dont on sait qu’elle est continue et si on sait déjà que (un)( définie par un+1 = f(un) ) est convergente.

Théorème 9. Si f est continue sur un intervalle fermé I et que (un) converge vers unréel ℓ, alors la limite est nécessairement un point fixe de f , i.e. f(ℓ) = ℓ.

Démonstration. On sait que (un) converge vers ℓ. Donc limn→+∞

un = limn→+∞

un+1 = ℓ. De

plus f est continue sur I, donc en ℓ, ce qui implique que limx→ℓ

f(x) = f(ℓ). En composant

les limites, on en déduit que : limn→+∞

f(un) = f(ℓ). Par unicité de la limite de (un) on a

donc f(ℓ) = ℓ

R♥C

Attention : L’existence d’un point fixe ne garantit pas la convergence de (un). Maisl’absence de point fixe suffit à justifier que (un) ne converge pas.En pratique : On justifie

que (un) CV (croissante majorée par exemple) puis on détermine la limite en cherchant lespoints fixes de f . Si le point fixe est unique, c’est facile, sinon il faut raisonner avec le sensde variation de (un).

Exemple: un+1 =un

2−unet u0 ∈ [0 ; 1]




II.4 Différents comportements asymptotiques.

Je vous ai tracé ci-dessous différentes représentations graphiques en « toile d’araignée »d’une suite (un) définie par une relation de récurrence un+1 = f(un). J’ai donc tracé Cf lacourbe de f ainsi que la droite d’équation y = x.

y=x

Cf

u0u1u2u3O

f croissante, (un) décrois-sante, convergeant vers lepoint fixe.

y=x

C f

u0u1 u2 u3 u4O

f croissante, (un) croissante,convergeant vers le point fixeattractif, zéro est un pointfixe répulsif.

y=x

Cf

u0 u3 u5 u6O

f croissante, (un) croissante,divergeant vers plus l’infini,le point fixe est répulsif.

y=xC

f

u0 u1u2 u3u4 u5u6O

f décroissante, (un) non mo-notone, convergeant vers lepoint fixe (attractif).

y=xC

f

u0 u1u8 u9u10O

f décroissante, (un) non mo-notone, divergeant (pas de li-mite ici), le point fixe est ré-pulsif.

Cf

u0 u1 u91u92

u93u94

O

La suite est attirée vers un2-cycle. Asymptotiquement,elle tend à être 2-périodique.Elle ne converge donc pas, lepoint fixe est répulsif, maisf f admet un point fixe at-tractif. . .



II. ÉTUDE DES SUITES DU TYPE UN+1 = F (UN ) 65

II.5 Suite logistique

Ci–dessous des schémas en toile d’araignée pour la famille de fonctions fk où :

fk(x) = k × x(4− x)

Lorsque le paramètre k varie de 0 à 1, on a divers comportements, de la simple convergence àdes phénomènes dits chaotiques. L’étude de tels phénomènes constitue le domaine des « systèmesdynamiques discrets ». Il est intimement lié aux fractales.J’ai rangé les figures par ordre croissant de k. Au début, zéro est le seul point fixe, il est attractif, puisnait un second point fixe qui devient aussitôt attractif alors que zéro devient répulsif. Ce nouveaupoint fixe attire de plus en plus lentement, et devient répulsif, un 2-cycle devient attracteur. Puisc’est un 4-cycle qui devient attracteur (6e figure), il s’en suit une série infinie de doublement depériodes (8-cycles, puis 16-cycles. . .). Ensuite on trouve malgré tout des trois cycles (k = 0, 958) cequi indique que le chaos va survenir (d’après le théorème de Sarkovski). Sur la dernière figure (pourk = 1), on observe que la suite prend « presque toutes les valeurs » dans [0 ; 4].

Cf

u0u1O

Cf

u0u1O

Cf

u0 u1O

Cf

u0 u1 u91u92

u93u94

O

C f

u0O

Cf

u0 u1 u91u92

u93

u94

u95

O

Cf

u0 u90 u91u92

u93

u94 u95

u96

O

Cf

u0 u80u81 u82

u83u84 u85

O

Cf

u0 u1O




III Théorèmes de comparaison

On a les propriétés suivantes de comparaison :

Propriété 66. Soit (un) et (vn) deux suites convergentes, et M un réel.

① Si pour tout n à partir d’un certain rang on a un < M alors : limn→+∞

un 6M

② Si pour tout n à partir d’un certain rang on a un < vn alors : limn→+∞

un 6 limn→+∞

vn

Propriété 67. Si vn diverge vers +∞ et que pour tout n à partir d’un certain rang on aun > vn alors : lim

n→+∞un = +∞

Utile pour prouver que des suites comme un = 2 ∗ (−1)n + n tendent vers +∞. Cespropriétés sont valables pour les fonctions. Par exemple le théorème des gendarmes vu surles suites en 1re est valable pour les fonctions.

Théorème 10 (Théorème des gendarmes). Si on a trois fonctions f , g et h telles que :

① Pour tout x supérieur à un réel x0 on a l’encadrement :

f(x) 6 g(x) 6 h(x)

② f et h ont une limite finie identique ℓ en +∞ (par exemple)

Alors g aussi admet une limite en +∞ et c’est aussi ℓ.

ℓ+ ε

ℓ

ℓ− ε

x

y Cg

Cf

Ch

Figure 9.1 – Illustration pour la preuve du théorème des gendarmes.

Démonstration. Soit ε ∈ R∗+.

limx→∞

f(x) = ℓ donc il existe x1 tel que : x > x1 =⇒ ε 6 f(x)− ℓ 6 ε

limx→∞

h(x) = ℓ donc il existe x2 tel que : x > x2 =⇒ ε 6 h(x)− ℓ 6 ε

Pour x > maxx0, x1, x2 on a donc :

ε 6 f(x)− ℓ 6 g(x)− ℓ 6 h(x)− ℓ 6 ε

Et donc ε 6 g(x)− ℓ 6 ε

Remarque. Le +∞ peut être remplacé par −∞.



IV. SUITES ADJACENTES 67

IV Suites adjacentes

Définition 33. On dit que deux suites sont adjacentes si elles vérifient les deux conditions :

① L’une est croissante, et l’autre décroissante.

② Leur différence tend vers zéro.

Théorème 11. Deux suites adjacentes sont convergentes et convergent vers la même limite.

Pour prouver cette propriété on prouve d’abord le lemme suivant :

Lemme 2. Si (un) et (vn) sont adjacentes avec (un) croissante et (vn) décroissante alorspour tout n, un 6 vn

Démonstration. (du lemme.) On pose pour tout n : wn = un − vn. Claim : La suite (wn) estcroissante et tend vers zéro donc est négative. En effet :

wn+1 − wn = un+1 − un − (vn+1 − vn) = un+1 − un︸︷︷︸>0

+(vn − vn+1)︸︷︷︸>0

> 0

Ceci pour tout n donc (wn) est croissante. Si il existait p ∈ N tel que wp soit strictementpositif, alors tous les wn pour n supérieur à p seraient supérieurs à wp, mais celà est impossiblecar (wn) tend vers zéro donc l’intervalle ]−ε ; ε[ où ε = wp contient tous les wn à partir d’uncertains rang. Donc c’est absurde, ainsi wn est toujours négatif, i.e. ∀n ∈ N, un 6 vn.

Démonstration. du théorème 11. Soit (un) et (vn) adjacentes avec (un) croissante et (vn)décroissante. D’après le lemme, ∀n ∈ N, un 6 vn. Comme (vn) est décroissante on a doncen particulier que : ∀n ∈ N, un 6 v0. Donc un est croissante et majorée, ainsi elle convergevers un réel ℓ. De même, (vn) est décroissante et minorée par u0 donc elle converge vers unréel ℓ′. Il reste à voir que ℓ = ℓ′. Or lim

n→∞(un − vn) = 0 = ℓ− ℓ′. Donc ℓ = ℓ′.

Propriété 68. Si deux suites sont adjacentes, leurs termes donnent un encadrement de leurlimite commune. i.e. si (un) et (vn) sont adjacentes (avec (un) croissante et (vn) décroissante)et si on note ℓ leur limite commune, pour tout n on a :

un 6 ℓ 6 vn

Démonstration. Par un raisonnement identique à celui fait dans le lemme, (un − ℓ) estcroissante et tend vers zéro, donc est négative, donc ∀n ∈ N, un 6 ℓ. De même (vn − ℓ) estdécroissante et tend vers zéro, donc est positive.

Application :+∞∑

k=0

1

k!= e

On considère les suites :

Sn =n∑

k=0

1

k!et σn = Sn +

1

n!

Prouver que les deux suites ont une limite commune dont on donnera une valeur approchéeà 10−3 près. Suite en DM.




V Application : preuve du T.V.I. par dichotomie

V.1 Énoncés équivalents au T.V.I.

Soit f une fonction continue sur un intervalle contenant deux réels a et b avec a < b. Soitλ compris entre f(a) et f(b). Le théorème des valeurs intermédiaires nous dit qu’il existe (aumoins) un réel c dans ]a ; b[ tel que f(c) = λ. i.e.

∃c ∈ ]a ; b[ ; f(c) = λ (9.1)

Simplifions le problème :

1. On pose g = f − λ. La fonction g vérifie-t-elle les hypothèses du théorème ?

2. Compléter : f(c) = λ⇐⇒ g(. . .) = . . ..

3. Que peut-on dire des réels g(a) et g(b) ?

4. Justifier que le théorème des valeurs intermédiaires équivaut à :

Théorème 12. Soit h une fonction continue sur un intervalle [a ; b]

h(a)h(b) < 0 =⇒ ∃c ∈ ]a ; b[ ;h(c) = 0

V.2 Démonstration

Ce théorème se prouve par dichotomie. On va « couper l’intervalle [a ; b] en deux », voirdans quelle moitiée h change de signe puis recommencer avec cet intervalle de longueurmoitiée, jusqu’à isoler la racine cherchée c. On définit trois suites (an), (bn) et (cn) sur Npar :

a0 = a ; b0 = b et ∀n ∈ N, cn =an + bn

2puis :

• Si : h(an)h(cn) < 0

• alors :(an+1 = an et bn+1 = cn)

• sinon :(an+1 = cn et bn+1 = bn)

i.e. h change de signe sur ]an ; cn[

On se place alors sur l’intervalle[an ; cn]

On se place alors sur l’intervalle[cn ; bn]

Alors les deux suites (an) et (bn) sont adjacentes, leur limite commune, notons la c vérifie :h(c) = 0.

Exemple graphique pour la compréhension. Sur ce schéma on a tracé une courbe repré-sentant une fonction h continue sur ]a ; b[ et qui change de signe sur ]a ; b[.

a0 = a b0 = bc0

a1 b1

a2 b2

a3 b3

On a les valeurs suivantes :

1. c0 = a0+b02

. Bienque h ait des ra-cines sur ]a0 ; c0[ on ah(a0)h(c0) > 0 donca1 = c0 et b1 = b0

2. c1 = a1+b12

. Cette foisci, h(a1)h(c1) < 0donc :a2 = a1 et b2 = c1



V. APPLICATION : PREUVE DU T.V.I. PAR DICHOTOMIE 69

Démonstration. (de la convergence de la méthode)

1. Justifier que (an) est croissante et (bn) est décroissante.

2. Que représente bn − an ? Prouver que : ∀n ∈ N, bn − an = b−a2n

3. Prouver que (an) et (bn) ont une limite commune que l’on notera c.

4. Justifier que h(an) et h(bn) convergent vers h(c).

5. On a par construction : ∀n ∈ N, h(an)h(bn) < 0. En déduire que h(c) = 0.

V.3 Algorithme et programmation

On utilise la démonstration précédente pour déterminer numériquement un encadrementd’amplitude P d’une racine d’une fonction. On va calculer les différents termes des suites(an) et (bn) jusqu’à ce que la différence entre bn et an soit inférieure à P . On suppose rentréeen Y1 dans le menu graph l’expression de la fonction dont on cherche une racine. Voicil’algorithme 1 :

A = ? B = ? P = ?

(A+B)/2 → C

Si Y1(A) ⋆ Y1(C) < 0 Sinon : C → A

Alors : C → B

Si |B −A| 6 P Sinon

Alors

Afficher A et B

1. On demande à l’utilisa-teur les réels : A, B, et laprécision P souhaitée.

2. On calcule C la moyennede A et B.

3. On teste pour savoir surquel intervalle la fonctionchange de signe.

4. On en déduit les valeursde an+1 et bn+1 qui sontencore notées A et B.

5. Si la précision voulue estatteinte, on affiche « La

racine est encadrée par : »et on affiche A et B, sinonon recommence.

Pour demander les valeurs de A, B et P on utilise la commande Input ou Prompt avec uneTI et : ? avec une Casio. Le test « Si. . . alors. . . sinon » se note : If. . . then. . . else puis End(IfEnd avec une Casio ou EndIf avec une grosse TI) On utilise aussi la fonction Goto n quirenvoit au label numéroté n (Lbl n). Tester et comprendre le programme suivant, ensuitetaper un programme pour l’algorithme de la dichotomie.

1. Un algorithme (d’après le nom d’Al Kwarizmi, père de l’algèbre, al jabr en arabe) est un nombre finide règles à appliquer dans un ordre déterminé à un nombre fini de données, pour arriver en un nombre finid’étapes, à un certain résultat, et cela indépendamment des valeurs des données.




Casio

1 → I

Int(6× Rand)+1→ A′′ Donne un entier entre 1 et 6′′

Lbl 1′′N ′′? → N

If N = A

Then ′′Gagné en :′′ INElse ′′Essaye encore′′

I + 1 → I

Goto 1IfEnd

TI

1 → I

Int(6× Rand)+1→ A

Disp ′′Donne un entier entre 1 et 6′′

Lbl 1Prompt N

If N = A

Then Disp ′′Gagné en :′′ Disp I

Else Disp ′′Essaye encore′′

I + 1 → I

Goto 1End

On commence toujours par Shift / Var

• ( ?) se trouve en F4

• < se trouve en F6 / F3

• If Then, Else, IfEnd dans : COM (F1)

• Goto, Lbl dans : Jump (F3)

• N (pour afficher) en : F5

• La flèche se trouve sur le clavier.

• If Then, Else, Goto, Lbl, End setrouvent dans : Catalogue / Control

• Disp et Prompt se trouvent dans : Ca-talogue / I/O (In/Out)

• < se trouve dans : Catalogue / Test

• La flèche se trouve sur le clavier (STOcomme store ou flèche).

Casio

1 → I

Int(6× Rand)+1→ A′′ Donne un entier entre 1 et 6′′

Lbl 1′′N ′′? → N

If N = A

Then ′′Gagné en :′′ INElse ′′Essaye encore′′

I + 1 → I

Goto 1IfEnd

TI

1 → I

Int(6× Rand)+1→ A

Disp ′′Donne un entier entre 1 et 6′′

Lbl 1Prompt N

If N = A

Then Disp ′′Gagné en :′′ Disp I

Else Disp ′′Essaye encore′′

I + 1 → I

Goto 1End

On commence toujours par Shift / Var

• ( ?) se trouve en F4

• < se trouve en F6 / F3

• If Then, Else, IfEnd dans : COM (F1)

• Goto, Lbl dans : Jump (F3)

• N (pour afficher) en : F5

• La flèche se trouve sur le clavier

• If Then, Else, Goto, Lbl, End setrouvent dans : Catalogue / Control

• Disp et Prompt se trouvent dans : Ca-talogue / I/O (In/Out)

• < se trouve dans : Catalogue / Test

• La flèche se trouve sur le clavier (STOcomme store ou flèche).



V. APPLICATION : PREUVE DU T.V.I. PAR DICHOTOMIE 71

Programme de dichotomie

CasioPour Y1 aller dans Graph/Yvar/Y

puis taper 1

′′A′′? → A′′B′′? → B′′P ′′? → P

Lbl 1(A+B)/2 → C

A → X

Y 1 → Y

C → X

Y 1 → Z

If Y × Z < 0

Then C → B

Else . . .IfEndIf . . .Then′′LA RACINE EST ENCADREEPAR :′′

AN

BN

Else Goto 1IfEnd

TIPour Y1 aller dans VAR/Yvar/Y1

Prompt A,B,PLbl 1(A+B)/2 → C

If Y1(A)× Y1(C) < 0

Then C → B

Else . . .EndIf . . .ThenDisp ′′LA RACINE EST ENCADREEPAR :′′

Disp A, BElse Goto 1End






Chapitre 10

Logarithme népérien

I Premières propriétés

La fonction exp est continue et strictement croissante sur R. Ses limites en −∞ et +∞sont respectivement 0 et +∞. Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour toutréel strictement positif y, l’équation en x :

ex = y (10.1)

a une unique solution que l’on note : ln(y) appelée logarithme néperien de y. Ainsi ln est lafonction réciproque de exp. Elle est définie sur ]0 ; +∞[.

∀y ∈ ]0 ; +∞[ , ex = y ⇐⇒ x = ln(y) (10.2)

Exemples: e0 = 1 donc 0 = ln(1). e1 = e donc 1 = ln(e)

Définition 34. Pour tout réel x strictement positif on définit le logarithme néperien de xnoté ln(x) comme étant l’unique réel a vérifiant :

exp(a) = x. On a donc : exp(ln(x)) = x

Propriété 69. On a ainsi défini la fonction logarithme néperien sur ]0 ; +∞[. ln est lafonction réciproque de exp. Elle vérifie :

∀x ∈ ]0 ; +∞[ , eln(x) = x (10.3)

∀x ∈ R, ln(ex) = x (10.4)

Démonstration. (10.3) c’est la définition. On prouve la suivante (10.4) : Soit un réel x, onnote y = ex. Alors par définition x = ln(y). En remplaçant y dans cette dernière par ex ona le résultat.

Exercice no 31

Dresser le tableau de variation de la fonction ln par un raisonnement graphique de la réso-lution de ex = y. Prouver que ln est croissante sur ]0 ; +∞[.

Exercice no 32

Résoudre les équations suivantes :

73

74 10. LOGARITHME NÉPÉRIEN

x

y

~ı

~

O

Cexp

Cln

D : y = xe

e

Figure 10.1 – Courbes de exp et ln.

1. ex = 2

2. e2x = 4

3. eex

= 3

4. ln(x) = 2

5. ln(x2) = 4

Propriété 70. Comme conséquence de la croissance de ln sur ]0 ; +∞[ on a pour tous réelsa et b strictement positifs :

ln(a) 6 ln(b) ⇐⇒ a 6 b et ln(a) = ln(b) ⇐⇒ a = b

Exemple: Résoudre ln(x− 2) 6 1 Sol : ⇐⇒ x− 2 > 0 et x− 2 6 e ⇐⇒ 2 < x 6 e+2Comme la fonction ln est la réciproque de la fonction exponentielle, leurs courbes sont

symétriques l’une de l’autre par rapport à la droite D d’équation y = x

II Propriétés algébriques

cf T.D. pour les preuves :

Relation fonctionnelle Soient deux réels a et b strictement positifs.

1. Simplifier eln(a), eln(b), eln(ab). Ecrire le produit ab de deux manières.

2. En déduire la relation fonctionnelle : ln(ab) =

3. L’exponentielle transforme les sommes en produits. Que fait sa fonction réciproque ?



III. PROPRIÉTÉS ANALYTIQUES 75

Puissance

1. Par récurrence on peut montrer que pour tout entier naturel n on a donc :

ln(an) =

2. En posant a = eα (donc α = . . .) prouver cette même propriété directement.

3. Etablir une formule pour ln(√a) = On remarquera que (

√a)2 = a.

Inverse et quotients

1. En calculant ln(a× 1a) de deux manières, compléter la formule : ln(

1

a) =

2. En déduire la formule : ln(a

b) =

R♥C

Applications Exprimer en fonction de ln(2) uniquement les réels suivants :

1. (a) ln(29 × e7) (b) 12ln(16) (c) ln(32

e)

2. (a) ln 2n

ln(2)(b) e3 ln(2) (c) ln(−2)

III Propriétés analytiques

III.1 Dérivée

La courbe de la fonction exp et celle de la fonction ln sont symétriques par rapport à la droited’équation y = x. Ainsi géométriquement il est clair que la courbe de ln admet une tangente entout point.(car exp est dérivable sur R). On admet donc que ln est dérivable sur R+∗.

1. Déterminer l’expression de la dérivée de la fonction ln. Rappel : ∀x ∈ R+∗, elnx = x

2. Déterminer la formule pour la dérivée d’une composée de la forme ln(u) où u est une

fonction dérivable, strictement positive. ln′(x) = (ln(u))′ =

Applications Déterminer l’ensemble de dérivabilité puis dériver les fonctions suivantes :(a) f(x) = x ln(x) (b) g(x) = ln(x)

x(c) h(x) = ln x3 − 1

III.2 Résoudre des équations et inéquations avec ln

On a vu un outil avec la propriété 70. Mais cela ne suffit pas. . .Pour étudier le signe d’unedérivée qui comporte des ln on se ramène à résoudre des inéquations du type ln(X) 6 a où

a ∈ R. Compléter et justifier : ln(X) 6 a⇐⇒ (X 6 et X > ) Application.

Résoudre les inéquations suivantes :

1. (a) 1 + ln(x) 6 0 (b) ln(x− 1) < 3 (c) ln(−2x+ 3) > 2

2. (a) ln(2x)− ln(x2) < 1 (b) ln x+ ln x2+ ln x3 > 1 (c) ln(x2)− ln(x+ 3) < 0

3. Étudier les variations de f sur R+∗ où : f(x) = x2 ln(x).




Formalisation

On veut résoudre des équations telles que ln(X) = a ou ln(X) > a. On détermine d’abordl’ensemble des nombres réels pour lesquels l’inéquation a un sens, sachant que ln(X) n’estdéfini que pour X > 0.

• Équation. ln(X) = a⇐⇒ X = ea

• Inéquation.

Exemples: Résoudre :(a) ln(3x− 2) = −1 (b) ln(2x−1)−ln(x) = −1 (c) ln(x− 1) > −3(a) ln(x− 2) < 5 (b) ln(−2x+1)−ln(x) 6 1 (c) ln(−2x+ 1) + ln(x) =

−2

IV Étude de la fonction ln

Limites à base de ln

• En +∞. limx→+∞

ln(x) = +∞.

Soit A>0. Si x > eA alors ln(x) > A, car ln est croissante.

• En 0. limx→0+

ln(x) = −∞.

On pose X = 1xet on se ramène au cas précédent.

• Croissance comparée :

① limx→∞

ln(x)/x = 0 On pose X = ln x et on utilise le résultat de croissance

comparée vu pour exp.

② limx→0+

x ln(x) = 0. Idem, ou bien on utilise ln(1/x) = − ln(x) et on se ramène au

cas précédent.R♥C

V Logarithmes et exponentielles de base a

Dans la suite, a désigne un réel strictement positif.

V.1 ax

Definition, props

Définition 35. expa(x) = ex ln a. On note : ax = ex ln a

Remarque. Pour a = e on retrouve ex c’est pourquoi on dit parfois l’exponentielle de base e.

Remarque. Cette notation est cohérente, elle élargit la notation uniquement valable pourx ∈ Z. En effet : en ln a = an

Remarque. On donne ainsi sens à des nombres comme 10−7,321 ou pire π√2.

Ne pas confondre ax et xa. Toujours partir de ln(an) = n ln a pour retrouver l’expressioncorrecte.Prop en vrac :



V. LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES DE BASE A 77

① Les même prop alg que exp.

② Signe.

③ Dérivabilité

④ Étude de la monotonie : Deux cas.

Courbes à distribuer.

Exercice no 33

Résoudre 2x = 3,(13

)x= 2, x3 = 8, x

1

2 = 3

Racine énième

On peut avec cette nouvelle notion résoudre l’eq en x (solve for x) : xn = a où a ∈ R+∗ et

n ∈ N∗

Définition 36. Pour a ∈ R+∗ et n ∈ N∗, il existe un unique réel x strictement positif tel que

xn = a, c’est x = a1

n on l’appelle la racine énième (ou ne) de a. On note aussi :

a1

n = n√a

Démonstration. Pour x et a sont strictement positifs :

xn = a⇐⇒ n ln x = ln a⇐⇒ lnx =1

nln a⇐⇒ x =

(eln a) 1

n ⇐⇒ x = a1

n

Remarque. La racine carrée de a apparait donc (enfin) comme a1

2 . Écrire avec des radicauxx

3

2 et x−2

3 où x ∈ R+∗

Exemple: Résoudre x3 = 9.

Exercice no 34

Application : Coefficient multiplicatif moyen. Un prix augmente de 10%, puis de 20%, puisde 30%, puis baisse de 30%. Quel est le pourcentage d’évolution global du prix ? Quel est lepourcentage moyen d’évolution du prix à chaque étape ? Solution : CM = 1.2012 augmen-tation de 20, 21%. En moyenne : 1.20120.25 ≃ 1.0469 soit à chaque étape une augmentationmoyenne de 4, 7%.Si on a n réels strictement positifs a1, . . .an, alors :

a1 · · · an =((a1 · · · an)

1

n

)n

Alors multiplier par a1, puis a2, puis . . .an revient à multiplier n fois de suite par (a1 · · · an)1

n .

xα, généralisations

Certains résultats se généralisent. . .Pour α réel :

Dérivéed

dxxα = αxα−1

En particulier on retrouve la dérivée de√x. Exercice.




Limites

① Pour α strictement positif, limx→+∞

xα = +∞② Pour α strictement négatif, lim

x→+∞xα = 0

Croissance comparée pour ln (Pour α strictement positif mais surtout intéressant pourα ∈ ]0 ; 1[)

① limx→∞

ln(x)/xα = 0 On pose X = xα.

② limx→0+

xα ln(x) = 0

Croissance comparée pour exp (Pour α strictement positif)

① limx→+∞

exp(x)/xα = +∞

V.2 loga(x)

On veut maintenant définir sur R+∗ la réciproque de expa.

Définition 37. loga(x) =ln x

ln a

Remarque. C’est la réciproque de la fct expa. En effet :

x ∈ R+∗ =⇒ expa loga(x) = e

ln x

ln aln a = elnx = x

x ∈ R =⇒ loga expa(x) = · · · = x

Définition 38. En particulier, le logarithme décimal, noté log est le logarithme de base 10.log(x) = ln(x)

ln 10. C’est la réciproque de x 7→ 10x

Exemple:



Chapitre 11

Intégration.

I Aire sous une courbe.

I.1 Aire sous la parabole.On considère dans un repère orthonormé la courbede la fonction carré, sur l’intervalle I = [0 ; 1]. Onveut calculer l’aire du domaine entre la courbe etl’axe des abscisses, pour x variant de 0 à 1. Leprincipe de la méthode exposée était déja connud’Archimède, et a donné lieu bien plus tard (New-ton, Leibniz puis Riemann) à la théorie de l’inté-gration.Principe : On se donne un n ∈ N∗. On découpel’intervalle I avec une subdivision de I en n inter-valles de longueur 1

n. On considère alors (cf figure

pour n= ?) les aires de deux suites de rectangles, demanière à obtenir un encadrement de l’aire cher-chée. On calcule les deux aires, puis on fait tendren vers l’infini.

Compléter la figure en notant les abscisses des sommets des rectangles qui sont sur l’axe desabscisses. On note an l’aire des rectangles qui sont sous la courbe et An celle des rectanglesqui vont de l’axe des abscisses jusqu’au dessus de la courbe.

1. Calcul de an :a. L’aire du premier rectangle sous la courbe est nulle, celle du second est 1

n×(1n

)2=

1n3 .

b. Écrire sans, puis avec symbole sigma l’expression de an.2. Procéder de même pour donner l’expression de An en fonction d’une somme de carrés

d’entiers.

3. Calculer et donner la limite de An − an.

4. En utilisant la formule :n∑

k=1

k2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6prouver que An et an ont une limite

commune, et en déduire l’aire cherchée que l’on note :∫ 1

0

x2dx

79

80 11. INTÉGRATION.

I.2 Fonction aire.On étudie un cas un peu plus géné-ral. On considère une fonction f dé-croissante et continue sur un inter-valle . On note Cf sa courbe. Sur lafigure, f est décroissante sur R+. Onappelle A(x) l’aire entre la courbe etl’axe des abscisses pour les abscissesvariant de 0 à x. C’est le domainegrisé.

A(x)

x0 x+ h

f(x)

f(x+ h)

Cf

1. Donner en utilisant les rectangles tracés un encadrement pour h > 0 de la différence :

A(x+ h)− A(x)

en fonction de f .

2. En déduire que la fonction A est dérivable en x, et donner l’expression de sa dérivée.

3. Combien vaut A(0) ?

4. Peut-on obtenir le même résultat si f est croissante ?

5. Application

a. Vérifier le calcul de la première partie : Trouver une fonction A dont la dérivée apour expression : x2 et telle que A(0) = 0

b. Déterminer l’aire sous la parabole de la fonction carré mais pour x variant entre0 et 2.

c. Vérifier qu’avec cette méthode on retrouve bien l’aire du rectangle de côtés a etb.

II Intégrale d’une fonction continue et positive.

Dans cette partie, f est une fonction continue positive sur un intervalle [a ; b]. On seplace dans un repère orthogonal (O;~ı ;~ ), on note C la courbe de f dans ce repère.

Unité d’aire. On appelle unité d’aire (u.a.) l’aire d’un rectangle ABCD où−→AB = ~ı et−−→

AD = ~ . Par exemple si les unités choisies sont de 2 cm en abscisse et 3 cm en ordonnéepour une unité, alors : 1u.a. = 6 cm2 (car = 2× 3 = 6).

II.1 Intégrale vue comme une aire.

Définition 39. L’intégrale∫ b

af(x)dx est l’aire du domaine délimité par C , (Ox) et les

droites d’équations x = a et x = b.

Remarque. On a vu que l’aire s’obtient comme somme d’aires de rectangles de largeur infi-nitésimale dx et de hauteur f(x) ce qui explique la notation due à Leibniz (1646-1716). Unpeu de vocabulaire :

①∫

comme somme.

② La variable x est muette, on met ce qu’on veut :∫ b

af(x)dx =

∫ b

af(t)dt



II. INTÉGRALE D’UNE FONCTION CONTINUE ET POSITIVE. 81

③ On lit intégrale (ou somme) de a à b de f(x) dx.

④ a et b sont les bornes de l’intégrale. (Lower bound et upper bound in english)

Exemple:∫ 0

−23 dx = 6 (rectangle) et

∫ 3

1t dt = 4 (trapèze)

Valeur approchée d’intégrale. Il suffit de décomposer l’aire cherchée en rectangles, tri-angles et ou trapèzes pour obtenir une valeur approchée voire un encadrement de l’intégralecherchée. La calculatrice en mode G-solve permet d’obtenir graphiquement une valeur ap-prochée de l’intégrale et un joli coloriage. L’unité est l’unité d’aire (u.a.) Si on veut l’aire encm2 il faut calculer combien de cm2 mesure 1 u.a.

II.2 Fonction aire, primitives.

On a vu en activité que si f est continue, positive et monotone sur un intervalle [a ; b],alors la fonction :

F : x 7−→∫ x

a

f(t) dt (11.1)

est une fonction dérivable sur [a ; b] telle que : F ′ = f et F (a) = 0. F (x) est l’aire (en u.a.)du domaine compris entre C et (Ox) pour les abscisses allant de a à x. F est une fonctioncroissante (puisque ici f est positive) et postive.

Définition 40. Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle primitive de fsur I une fonction F dérivable sur I telle que : F ′ = f

Une fonction n’a pas une unique primitive, on dira bien « une primitive de f ». Cepen-dant :

Propriété 71. Si F et G sont deux primitives de f alors elles diffèrent d’une constante.

Démonstration. (F −G)′ = f − f = 0 donc (F −G) est une constante.

Ainsi on pourra dire « la primitive de f qui vaut . . . en . . . ». Par exemple :

Propriété 72 (Unicité). Soit f continue positive sur un intervalle [a ; b] alors f admet uneunique primitive qui s’annule en a, c’est la fonction « aire » définie en (11.1).

Démonstration. On a prouvé l’existence dans le cas d’une fonction monotone en TD. Onl’admet dans le cas général. La propriété 71 nous garantit l’unicité.

Remarque. La condition de continuité est suffisante mais pas nécessaire pour assurer l’exis-tence d’une primitive. Penser à la fonction partie entière. On peut facilement calculer l’airesous sa courbe, en additionnant des aires de rectangles, et pourtant elle n’est pas continue.

II.3 Calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive.

Propriété 73. Soit f continue positive sur un intervalle [a ; b] et F une primitive de f sur[a ; b]. alors : ∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a)




Démonstration. Soit F la primitive qui s’annule en a, alors le résultat est immédiat. Il fautvoir que ce calcul ne dépend pas de la primitive choisie pour f :Si G est une primitive de f , alors il existe une constante réelle k telle que G = F + k. AlorsG(b)−G(a) = (F (b) + k)− (F (a) + k) = F (b)− F (a).

Notation : On note dans les calculs [F (x)]ba pour F (b)− F (a).

Relation de Chasles. D’après la notion intuitive d’aire et les découpages que l’on peutfaire d’une surface, on a :

Propriété 74 (Relation de Chasles). Soit c un réel compris entre a et b.

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx

Démonstration. Soit F une primitive de f .

(F (c)− F (a)) + (F (b)− F (c)) = F (b)− F (a) c0 ba

Cf

∫ c

a

f(x)dx∫ b

c

f(x)dx

II.4 Calcul de primitives.

On calcule des primitives de f en reconnaissant en f l’expression d’une dérivée (facile àdire !). On s’aide des propriétés de linéarité de la dérivée pour obtenir les bons coefficients.En effet :

Propriété 75 (Linéarité). Si f et g sont deux fonctions admettant F et G respectivementcomme primitives sur un intervalle, alors pour tous réels λ et µ, on a : (λF + µG) qui estune primitive de (λf + µg).

Démonstration. (λF + µG)′ = (λF )′ + (µG)′ = λF ′ + µG′ = λf + µg

Exemple: On cherche une primitive sur R de f où f(x) = sin(2x) + x3

On remarque que : f(x) = −12× (−2 sin(2x)) + 1

4× (4x3)

Donc une primitive de f a pour expression : F (x) = −12cos(2x) + 1

4x4.

Si on demande la primitive de f s’annulant en 0, alors on écrit :Les primitives de f ont pour expression : F (x) = −1

2cos(2x)+ 1

4x4+k où k est une constante.

Alors F (0) = −12+ k, ainsi la primitive de f s’annulant en 0 a pour expression : F (x) =

−12cos(2x) + 1

4x4 + 1

2

II.5 Existence du logarithme népérien.

La fonction inverse est continue et positive sur ]0 ; +∞[, elle admet donc une unique pri-mitive s’annulant en 1 qui a pour expression :

∫ x

11tdt ceci pour tout x de ]0 ; +∞[. Cela prouve

l’existence du logarithme népérien, donc de sa fonction réciproque, la fonction exponentielle.L’existence de exp avait admise en début d’année.



III. GÉNÉRALISATION DE L’INTÉGRALE À L’AIDE D’UNE PRIMITIVE. 83

III Généralisation de l’intégrale à l’aide d’une primitive.

III.1 Intégrale d’une fonction de signe quelconque.

On admet que toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive, et on définitla notion d’intégrale de f à partir de :

Définition 41. Soit f continue sur un intervalle [a ; b] et F une primitive de f sur [a ; b].alors : ∫ b

a

f(x) dx = [F (x)]ba = F (b)− F (a)

Remarque. C’est la même chose que ce qu’on a énoncé pour la propriété 73, mais on a oté lacondition de positivité de f . C’est maintenant notre définition de l’intégrale d’une fonction.Évidemment, les deux définitions coïncident lorsque f est positive.

Linéarité de l’intégrale. D’après la propriété 75 on en déduit :

Propriété 76. Si f et g sont deux fonctions continues sur [a ; b] et λ, µ deux réels, alors :

∫ b

a

λf(x) + µg(x) dx = λ

∫ b

a

f(x) dx+ µ

∫ b

a

g(x) dx

Relation de Chasles. Cette formule est encore vraie si f n’est plus supposée positive :

Propriété 77 (Relation de Chasles). Soit c un réel compris entre a et b.

∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx

Démonstration. Soit F une primitive de f .

(F (c)− F (a)) + (F (b)− F (c)) = F (b)− F (a) c0 ba

Cf

∫ c

a

f(x)dx∫ b

c

f(x)dx

R♥C

III.2 Intégrale et signes.∫ b

af et

∫ a

bf est-ce la même chose ? Et bien non, en observant la définition, on voit

qu’échanger les bornes revient à changer le signe de l’intégrale.

∫ a

b

f(x) dx = −∫ b

a

f(x) dx

Si f est négative, qu’est-ce que cela change ? Par linéarité on a en particulier :

∫ b

a

−f(x) dx = −∫ b

a

f(x) dx

Donc si f est positive sur [a ; b], alors −f est négative et son intégrale est l’opposée del’intégrale de f .




Propriété 78 (Aire algébrique). Pour une fonction f continue, de signe quelconque sur

[a ; b],

∫ b

a

f(x) dx représente l’aire algébrique du domaine compris entre C , (Ox) et les

droites d’équations x = a et x = b. On compte positivement l’aire lorsque f est positiveet négativement lorsque f est négative.

Exemple: Calculer∫ 2π

0sin(x) dx, interpréter géométriquement. Quelle est réellement l’aire

du domaine grisé ?

Propriété 79 (Intégrer une inégalité). Si f et g sont deux fonctions continues sur [a ; b],telles que :∀x ∈ [a ; b] , f(x) > g(x) alors :

∫ b

a

f(x) dx >

∫ b

a

g(x) dx

Démonstration. Par hypothèse, la fonction f − g est positive, donc son intégrale (vuecomme une aire par exemple) est positive, puis par linéarité de l’intégrale, on a le résultat.

R♥C

Cas particulier, on peut utiliser cette propriété avec g qui est une constante. Par exemple :

Exercice no 35

On considère la suite (In) définie sur N∗ par : In =

∫ 1

0

xn

1 + xdx. Prouver que (In) est

décroissante, majorée par 1, puis qu’elle converge.

Exercice no 36

Prouver que ∀k ∈ N∗ :∫ k+1

k

1

xdx 6

1

kEn déduire que :

∀n ∈ N :n∑

k=1

1

k> ln(n).

Et donc que la somme des inverses des entiers naturels non nuls diverge.

III.3 Formule de la moyenne

Définition 42. On appelle moyenne de la fonction f sur [a ; b] le réel : f =1

b− a

∫ b

a

f(x) dx

Pour faire une moyenne de n réels, on fait leur somme,et on divise par le nombre n de réels. Ici pour faire lamoyenne des f(x), on fait leur « somme » et on divisepar la longueur de l’intervalle dans lequel varie x. Lafigure donne une interprétation graphique dans le casoù f est positive : l’aire du rectangle gris est la mêmeque l’intégrale de f de a à b. 0 ba

f

Cf



III. GÉNÉRALISATION DE L’INTÉGRALE À L’AIDE D’UNE PRIMITIVE. 85

Propriété 80 (Inégalités de la moyenne). Si f admet un minimum m et un maximumM sur [a ; b], alors on a l’encadrement :

m(b− a) 6

∫ b

a

f(x) dx 6M(b− a)

Autrement dit la moyenne est comprise entre le minimum et le maximum de f : m 6

f 6M

Démonstration. On intègre l’encadrement : ∀x ∈ [a ; b] ,m 6 f(x) 6M sur [a ; b]

R♥C

Exercice no 37

Calculer la valeur moyenne sur [0 ; 2] des fonctions f , g, h où :

f(x) = x et g(x) = x2 et h(x) =√x

Tiercédansledésordre:2√2/3,1,8/6

III.4 Intégration par parties.

Propriété 81 (I.P.P.). Si u et v sont deux fonctions dérivables de dérivées continues surun intervalle [a ; b], alors la fonction u′v est intégrable sur [a ; b] et on a la formule :

∫ b

a

u′(x)v(x) dx =

Démonstration. On a (uv)′ = u′v + uv′. On intègre cette égalité sur [a ; b] et on utilise lalinéarité de l’intégrale.

R♥C

III.5 Aire entre deux courbes

Un exemple : Déterminer l’aire en cm2 du domaine grisé entre les deux paraboles dontl’équation est donnée. Les unités choisies ont été : 1 cm en abscisse et 0,8 cm en ordonnée.

y = x(3− x)/2

y = x2 − 6x+ 6

cf partie activité à la suite :Aires et volumes.




c0 ba

Cf

∫ c

a

f(x)dx∫ b

c

f(x)dx

Relation de Chasles pour lesintégrales.

0 ba

f

Cf

Moyenne d’une fonction sur unintervalle [a ; b].

c0 ba

Cf

∫ c

a

f(x)dx∫ b

c

f(x)dx


0 ba

f

Cf


c0 ba

Cf

∫ c

a

f(x)dx∫ b

c

f(x)dx


0 ba

f

Cf


c0 ba

Cf

∫ c

a

f(x)dx∫ b

c

f(x)dx


0 ba

f

Cf




IV. CALCULS D’AIRES ET DE VOLUMES. 87

IV Calculs d’aires et de volumes.

IV.1 AiresAire algébrique. L’aire est comptée négati-vement lorsque la fonction est négative, i.e.lorsque sa courbe se trouve sous l’axe des abs-cisses. Ainsi, pour prouver que le domaine ha-churé et le domaine grisé ont la même aire, ilsuffit de prouver que :

∫ π

0

sin x cosx dx = 0

0

f(x) = sin x cosx

π

Unité d’aire. L’unité pour l’aire obtenuegrace au calcul d’une intégrale est l’unité d’aire(u.a.). Dans le repère orthonormal ci-contre(1, 5 cm pour une unité) l’unité d’aire mesure :1, 5 × 1, 5 = 2, 25cm2. Calculer alors l’aire dudomaine hachuré en cm2.

0 1 2−10

1

2

−1

f(x) = (x+ 1)(x− 1)(x−

Aire entre deux courbes Si sur un intervalle[a ; b] on a f(x) > g(x) alors l’aire du domainecompris entre les deux courbes sur [a ; b] est :∫ b

af(x)− g(x) dx. En déduire l’aire en u.a. du

domaine hachuré sur la figure ci-contre aprèsavoir prouvé que :

f(x) > g(x) ⇐⇒ sin(x− π

6) > 0

0 1 2 3−1−2−30

1

2

−1

−2

CfCg

f(x) =√3 sin xg(x) = cosx

IV.2 VolumesVolume obtenu par rotation autour d’unaxe. Si on a une fonction f continue, positivesur un intervalle [a ; b], et que l’on « fait tour-ner » la courbe de f autour de (Ox) on déli-mite alors un volume qui vaut :

∫ b

a

πf(x)2 dx

On somme en fait l’aire des disques de rayonf(x) (qui est positif) pour x variant de a à b.La courbe représentée dans le plan (xOy) estcelle de la fonction f : x 7→ 1

4x2. Calculer le

volume alors défini sur la figure ci-contre. OùA(2; 1; 0).

0

1

2

0

1

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

A

x

y

z






Chapitre 12

Lois de probabilités

I Dénombrement

I.1 Activité : savez vous compter ?

Essayer de répondre à ces questions de dénombrement en utilisant un arbre de choix sinécessaire.

① Combien peut-on écrire de mots distincts avec les trois lettres A, B et C. (On utilisedonc une fois et une seule chacune des trois lettres).

② Combien peut-on écrire de mots distincts de trois lettres en choisissant des lettres dansl’ensemble : A;B;C.

③ Un code secret est composé de trois lettres dans un ordre donné à choisir dans A;B;C;D;E.a. Combien y a-t-il de codes possibles ?

b. Même question si les lettres sont toutes distinctes.

④ À une course de chevaux il y cinq chevaux A;B;C;D;E au départ.

a. Combien y a-t-il de quintés possibles ?

b. Combien y a-t-il de tiercés possibles ?

c. Combien y a-t-il de choix possibles pour l’ensemble des trois premiers chevaux.(A;B;E et B;E;A sont des choix identiques)

I.2 Dénombrer des listes : choix ordonné

Dans cette section, E désigne un ensemble à n éléments (n ∈ N). On imagine une urne Ucontenant n jetons sur lequels sont inscrits les n éléments de E. On va tirer au hasard desjetons de l’urne et noter (dans l’ordre de sortie) les éléments de E obtenus.

Définition 43. On appelle liste de p éléments de E une énumération ordonnée de ces péléments. On la note comme des coordonnées de points.

Exemple: Si a, b, c sont trois éléments de E, (a ; b ; c) et (a ; c ; b) sont deux listes distinctesavec les trois éléments a, b et c.

89

90 12. LOIS DE PROBABILITÉS

Tirage sans remise

On tire successivement sans remise p jetons (p 6 n) de l’urne.

Propriété 82. Il y an!

(n− p)!= n× (n− 1)× · · · × (n− (p− 1)) listes sans répétition de p

éléments de E.

Démonstration. On le prouve avec un arbre ou en imaginant remplir des cases : Il il a nchoix pour le 1er élément, et pour chacun de ces choix il y a n − 1 choix pour le 2e élément. . . etc puis (n− (p− 1)) choix pour le pe et dernier élément.

Permutation. Dans le cas particulier où on tire p = n jetons, on considère donc le nombrede façons d’ordonner les n éléments de E. On appelle celà le nombre de permutations de E.

Propriété 83. Il y a n! permutations des n éléments de E.

Démonstration. On applique la formule précédente pour p = n, en se souvenant que 0! =1.

Tirage avec remise

On tire successivement p jetons, avec remise, de l’urne U et on note toujours les élémentsdans l’ordre de sortie. Ici p ∈ N. On peut donc avoir p > n. Remarquez que si p > n il ya nécessairement répétition d’au moins un élément. (C’est le principe des tiroirs 1 : Si il ya plus de chaussettes que de tiroirs, il y a au moins un tiroir qui comporte au moins deuxchaussettes.)

Propriété 84. Il y a np listes (éventuellement avec répétition) de p éléments de E.

Exemple: Combien y a-t-il de points de l’espace dont les coordonnées sont −1 ou 1 ? Icip = 3 et n = 2 car E = −1; 1. Il y a deux choix pour l’abscisse, deux pour l’ordonnée etdeux aussi pour la cote. Soit 23 = 8 points en tout. Ce sont les coordonnées des sommetsd’un cube.

I.3 Combinaisons

Maintenant on ne dénombrera plus des listes mais des sous ensembles de E, l’ordre deséléments ne comptera pas. E désigne encore un ensemble à n éléments (n ∈ N) et p désigneun entier compris entre 0 et n. Le modèle est celui du tirage simultané dans l’urne U de pjetons. i.e. c’est un tirage sans remise, et sans tenir compte de l’ordre de sortie.

Choisir p éléments parmi n

Définition 44. Une combinaison de p éléments de E est un sous ensemble (ou partie) de Equi comporte p éléments.

Définition 45. Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments estnoté

(n

p

)et se lit « p parmi n ». (En France on le notait autrefois Cp

n)

1. Pigeon hole lemma in english



I. DÉNOMBREMENT 91

Exemple: Si E = a ; b ; c, alors :

•(33

)= 1. Il y a une combinaison de trois éléments de E, c’est E lui même.

•(32

)= 3. Il y a trois combinaisons de deux éléments de E : a ; b ; a ; c ; b ; c

•(31

)= 3. Il y a trois combinaisons d’un élément de E : a ; b ; c

•(30

)= 1. Il y a une combinaison de 0 élément de E c’est l’ensemble vide : ∅

Calculette. Pour calculer(53

)à la calculette, utiliser la fonction notée nCr (5 nCr 3 Exe).

Menu Proba (TI : Math/Prb, Casio : Optn/Prob).

Nombre de combinaisons

Propriété 85.

(n

p

)=

n!

p!(n− p)!

Démonstration. On sait qu’il y a n!(n−p)!

listes sans répétition de p éléments de E. Quand ona un ensemble à p éléments il y a p! permutations, soit p! listes sans répétition avec ces péléments. C’est pourquoi pour obtenir le nombre de parties (i.e. de combinaisons) de E à péléments on doit diviser n!

(n−p)!par p!

On vient dans cette preuve d’utiliser le lemme du berger, qui est évident : « Si on comptep pattes dans un troupeau de moutons alors c’est qu’il y a p

4moutons. »

Exemple: Combien y a-t-il de mains différentes au bridge ? (On joue à quatre au bridgeavec un jeu de 52 cartes que l’on distribue entièrement). On doit donc compter le nombrede façons de choisir 13 cartes parmi 52, soit

(5213

)= 52!

13!39!≃ 6, 35.1011

Propriétés des combinaisons

Pour n désigne un entier naturel et p un entier naturel inférieur à n.

Valeurs particulières.(n

0

)= . . .

(n

n

)= . . .

(n

1

)= . . .

(n

n− 1

)= . . .

Choisir p objets parmi n c’est choisir d’en laisser (n-p). Ainsi on a la formule :(n

p

)=

(n

n− p

)

Le triangle de Pascal. C’est un moyen simple de calculer les(n

p

). Il utilise la relation de

récurrence valable si p+ 1 6 n :

Propriété 86 (Relation de Pascal).

(n

p

)+

(n

p+ 1

)=

(n+ 1

p+ 1

)

Démonstration. Straight forward, just remember that : (p+ 1)! = p!× (p+ 1).

R♥C




Figure 12.1 – Triangle « de Pascal » chinois du XIIIesciècle (Zhu Shijie).

Démonstration. Avec la formule ou en comptant le nombre de sous ensembles d’un ensembleà n+ 1 éléments en distinguant pour un élément a donné les sous ensembles contenant a etles autres.

La belle formule suivante est à connaître. La preuve, si ça vous amuse.

Propriété 87 (Formule du binôme). Pour tous nombres complexes a et b non nuls, et ndans N on a :

(a+ b)n =n∑

p=0

(n

p

)an−pbp

Démonstration. Par récurrence à partir de (a+ b)n+1 = a(a+ b)n+ b(a+ b)n et la Relationde Pascal 86. Je ne fais que l’hérédité :

(a+ b)n+1 =n∑

p=0

(n

p

)an+1−pbp +

n∑

p=0

(n

p

)an−pbp+1

=

n∑

p=0

(n

p

)an+1−pbp +

n∑

p=0

(n

p

)an+1−(p+1)bp+1

=n∑

p=0

(n

p

)an+1−pbp +

(n−1∑

p=0

(n

p

)an+1−(p+1)bp+1

)+

(n

n

)bn+1

=

(n∑

p=1

(n

p

)an+1−pbp

)+ an+1

(n∑

p=1

(n

p− 1

)an+1−pbp

)+ bn+1

=

(n∑

p=1

[(n

p

)+

(n

p− 1

)]an+1−pbp

)+

(n+ 1

0

)an+1 +

(n+ 1

n+ 1

)bn+1

=

(n∑

p=1

(n+ 1

p

)an+1−pbp

)+

(n+ 1

0

)an+1 +

(n+ 1

n+ 1

)bn+1

=n+1∑

p=0

(n+ 1

p

)an+1−pbp



II. LOI DE PROBABILITÉS DISCRÈTES 93

R♥C

Démonstration. Preuve par comptage du nombre de termes de la forme an−pbp obtenus endéveloppant (a+ b)n.

II Loi de probabilités discrètes

II.1 Définitions

Soit Ω un univers fini à n éléments (n ∈ N). On suppose qu’il existe une probabilitédéfinie sur Ω. On dira que Ω est un espace probabilisé. On note (ωi)16i6n les n événementsélémentaires qui constituent Ω. Donc Ω = ω1; ω2; . . . ;ωn Définition 46. On appelle variable aléatoire réelle (v.a.r.) sur Ω toute fonction X qui vade Ω dans R. Pour chaque i = 1, 2, . . . , n on note xi = X(ωi).

X : Ω → R

ωi 7→ X(ωi) = xi

L’ensemble des xi est donc l’ensemble des valeurs possibles pour X.

Exemple: Une urne contient 3 jetons noirs et 2 jetons blancs. On tire sans remise deuxjetons dans une urne. On note X le nombre de jetons noirs tirés.On peut choisir : Ω = N ;N; N ;B; B;BAlors : X (N ;N) = 2 ; X(N ;B) = 1 ; X(B;B) = 0.On peut aussi choisir : Ω′ = (N ;N); (N ;B); (B;N); (B;B). On aurait alors :X((N ;B)) = X((B;N)) = 1. . .

Définition 47. On appelle loi de probabilité d’une variable aléatoire X la donnée pourchaque valeur xi possible pour X de pi = P (X = xi). On la présente en général sous formede tableau.

Ce tableau est à rapprocher de ceux qu’on peut dresser en statistiques lorsqu’on a unesérie de valeurs et leur fréquence d’aparition.

Propriété 88. La somme des pi = P (X = xi) vaut 1.

Cela vient de ce que les « X = xi » forment une partition de Ω.

Exemple: On reprend l’exemple précédent. On dresse un arbre pondéré :

b

N0, 6N

0, 5X = 2

B0, 5 X = 1

B0, 4N

0, 75X = 1

B0, 25 X = 0

On trouve :P (N ;N) = 0, 6 × 0, 5 = 0, 3 ; P (N ;B) = 0, 6 × 0, 5 + 0, 4 × 0, 75 = 0, 6 ; P (B;B) =0, 4× 0, 25 = 0, 1.D’où la loi de X :

xi 0 1 2

P (X = xi) 0, 1 0, 6 0, 3




II.2 Espérance mathématique, variance

La lettre X désigne une v.a.r. sur un espace probabilisé Ω. On note (xi)16i6n les n valeurspossibles pour X, i.e. l’image de Ω par X.

Définition 48. On appelle espérance de X le réel : E(X) =n∑

i=1

xiP (X = xi)

C’est la moyenne pondérée des valeurs possibles de X.

Linéarité de l’espérance.

Propriété 89. Pour tous réels a et b : E(aX + b) = aE(X) + b

Démonstration. Y = aX + b est une v.a.r. qui prend les valeurs axi + b et on a :

E(aX + b) =n∑

i=1

(axi + b)P (aX + b = axi + b)

=n∑

i=1

(axi + b)P (X = xi) si a 6= 0

= an∑

i=1

xiP (X = xi)

︸︷︷︸=E(X)

+bn∑

i=1

P (X = xi)

︸︷︷︸=1

= aE(X) + b

Si a = 0 est la formule est encore vraie i.e. E(b) = b

On peut prouver aussi cette propriété de linarité, mais c’est difficile :

Propriété 90. Si X et Y sont deux v.a.r. sur un même espace de probabilité Ω : E(X+Y ) =E(X) + E(Y )

Admis

Définition 49. On appelle variance d’une v.a.r. X le réel positif :

V (X) = E([X − E(X)]2

)

On retiendra la définition en français sous la forme : « La variance est la moyenne descarrés des écarts à la moyenne ». Ce réel positif (moyenne de carrés) utilisé aussi en statis-tiques mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Cependant le calcul est plussimple avec cette formule :

Propriété 91. V (X) = E(X2)− E(X)2



II. LOI DE PROBABILITÉS DISCRÈTES 95

Démonstration. On utilise la linéarité de la moyenne, E(X) et E(X)2 sont des constantesréelles d’où :

V (X) = E((X − E(X))2

)

= E(X2 − 2E(X)×X + E(X)2

)

= E(X2)− 2E(X)× E(X) + E(E(X)2)

= E(X2)− 2E(X)2 + E(E(X)2)

= E(X2)− E(X)2

En pratique, on calcule E(X) d’abord, puis E(X2), la moyenne des carrés des valeurs deX, puis on en déduit V (X). Avec cette formule on perd de vue que la variance est toujourspositive. Si dans votre calcul vous trouvez une valeur négative, c’est probablement que vousavez échangé E(X2) et E(X)2.




II.3 Loi binomiale

Loi de Bernoulli

Définition 50. On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve aléatoire qui a deux issuespossibles appellée succès et échec.

Typiquement, cela modélise un jeu de pile ou face (avec une pièce éventuellement tru-quée), où l’on déclare avoir un succès si on tombe sur « face », par exemple. Cependant onne peut pas faire de moyennes de piles et face, donc on introduit une v.a.r. qui est :

Définition 51. Noton X la v.a.r. qui vaut 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec dans unschéma de Bernoulli, et p la probabilité d’un succès ( i.e. P (X = 1) = p). Alors on dit queX suit la loi de Bernoulli de paramètre p. On notera X ∼ B(p)

Ainsi la loi de Bernoulli de paramètre p est donnée par ce tableau :

Propriété 92. Si X ∼ B(p), alors E(X) = p et V (X) = p(1− p)

Démonstration. Facile. Remarque : X2 = X donc E(X) = E(X2).

Répétition de n épreuves identiques indépendantes

Maintenant on répète plusieurs fois une même épreuve de Bernoulli. On lance par exempleplusieurs fois une pièce dans un jeu de pile ou face. On compte les succès :

Définition 52. On répète n fois (n ∈ N∗) une même épreuve de Bernoulli de paramètre pdans des conditions d’indépendance. On note X la v.a.r. qui compte le nombre de succèsparmi les n épreuves. On dit que X suit une loi binômiale de paramètre n et p. On noteraX ∼ B(n, p).

Remarque. Ainsi X ∼ B(p) signifie la même chose que X ∼ B(1, p).

Propriété 93. Si X ∼ B(n, p), alors E(X) = np et V (X) = np(1− p)

Démonstration. On note X1, X2,. . ., Xn les n v.a.r. suivant la même B(p). On note alorsX = X1 +X2 + · · ·+Xn la v.a.r. qui compte le nombre de succès parmi les n épreuves. Onutilise la propriété de linéarité (admise) de l’espérance pour des sommes de v.a.r. Pour lavariance, il y a aussi linéarité lorsque les v.a.r. sont indépendantes, d’où le résultat.

Propriété 94. Soit X ∼ B(n, p), alors la loi de X est donnée par :

P (X = k) =

(n

k

)pk(1− p)n−k

Démonstration. On dresse un arbre pondéré. Dire « X = k » signifie qu’il y a eu k succèset donc (n − k) échecs. Chaque chemin donnant X = k a pour probabilité pk(1 − p)n−k. Ily a

(n

k

)listes avec k succès et (n − k) échecs, d’où le résultat. On vérifie que la somme des

P (X = k) de k = 0 à n vaut bien 1 grace à la formule du binôme.

Exemple: On lance 5 fois de suite un dé à six faces.

1. Quelle est la probabilité d’obtenir :



III. LOIS CONTINUES 97

a. cinq fois un six ?(16

)5 ≃ 1, 3.10−4

b. au moins une fois un six ? 1−(56

)5 ≃ 0, 60

c. exactement trois fois un six ?(53

) (16

)3 (56

)2= 10× 25

65≃ 3, 2.10−2

d. au moins trois fois un six ?(16

)5+(54

) (16

)4 (56

)+(53

) (16

)3 (56

)2 ≃ 3, 5.10−2

2. En moyenne, combien obtient-on de six sur cinq lancers ? 5× 16= 5

6

3. a. Combien faudrait-il de lancers pour avoir en moyenne 5 six ? 30

b. Dans ce cas quelle serait la probabilité d’obtenir cinq fois un six ?(305

) (16

)5 (56

)25 ≃0, 19

Distribuer le poly Differentes Bnp.odt

III Lois continues

La fonction Rand d’une calculatrice donne un nombre « au hasard » dans l’intervalle[0 ; 1], ce nombre aléatoire X suit la loi uniforme dans [0 ; 1] par exemple la probabilité queX appartienne à

[0 ; 1

2

]vaut 1

2. Plus généralement, P (a 6 X 6 b) = b − a si a et b sont

deux réels de [0 ; 1] avec a 6 b. On ne peut pas définir la loi de X en donnant les valeurs deP (X = xi) car toutes ces valeurs sont nulles ! On dit que X est une v.a.r. qui suit une loicontinue à densité. En physique on parle de la densité de probabilité de présence de X danstel intervalle.

Définition 53. On dit qu’une fonction f , est une densité de probabilité si f est une fonctionpositive, continue sur un intervalle I telle que l’intégrale de f sur I vaut 1.




Définition 54. On dit qu’une v.a.r. X suit une loi (continue) de densité f lorsque pour tousα et β de I avec α 6 β, on a :

P (α 6 X 6 β) =

∫ β

α

f(x)dx

L’espérance de X est alors l’intégrale sur I de xf(x)dx

III.1 Loi uniforme

Définition 55. On dit qu’une v.a.r. suit la loi uniforme sur l’intervalle [a ; b] (où a et b sontdeux réels avec a 6 b) lorsque pour tous α et β de [a ; b] avec α 6 β, on a :

P (α 6 X 6 β) =

∫ β

α

1

b− adx =

β − α

b− a

On notera X ∼ U ([a ; b]). On peut aussi dire que X est une v.a.r. uniformément répartiesur [a ; b]. On remarque que l’ensemble des valeurs possibles pour X est infini puisque c’estun intervalle (si a 6= b). La fonction densité est ici la fonction f constante égale à 1

b−asur

l’intervalle [a ; b].

Propriété 95 (Espérance). Si X ∼ U ([a ; b]) alors, E(X) = a+b2

Démonstration. E(X) =∫ b

ax

b−adx = 1

b−a(12(b2 − a2)) = a+b

2

III.2 Loi exponentielle

Définition 56. Soit λ un réel strictement positif. On dit qu’une v.a.r. X suit la loi exponen-tielle de paramètre λ (on notera X ∼ E (λ) )si sa densité est définie sur R+ par f(x) = λ e−λx.i.e. Pour tous α et β de R+ avec α 6 β :

P (α 6 X 6 β) =

∫ β

α

λ e−λx dx

Dans la suite, λ désignera un réel strictement positif.

Remarque. Cette fonction est bien une densité, en effet, si t est un réel positif,∫ t

0λ e−λx dx =

[− e−λx]t0 = 1 − e−λt. Or lorsque t tend vers +∞, λt aussi et donc limt→+∞

e−λt = 0. On peut

donc écrire que : ∫ +∞

0

λ e−λx dx = 1

La loi exponentielle est aussi appelée « loi de durée de vie sans viellissement ».

Propriété 96. Si X ∼ E (λ), alors pour t positif,

P (X ∈ [0; t]) = P (X 6 t) =

∫ t

0

λ e−λx dx et P (X > t) = 1−∫ t

0

λ e−λx dx

L’intégrale∫ t

0λ e−λx dx se calcule et vaut : [− e−λx]t0 = 1− e−λt.

R♥C



III. LOIS CONTINUES 99

Propriété 97 (Espérance). Si X ∼ E (λ), alors

E(X) =

∫ +∞

0

xλ e−λx dx = limA→+∞

∫ A

0

xλ e−λx dx =1

λ

Démonstration. Il faut savoir refaire ce calcul. Soit A ∈ R+, on calcule l’intégrale suivantepar parties :

∫ A

0xλ e−λx dx. On pose u(x) = x et v′(x) = λ e−λx, donc u′(x) = 1 et

v(x) = − e−λx. D’où :

∫ A

0

xλ e−λx dx = [−x e−λx]A0 −∫ A

0

− e−λx dx

= −A e−λA −[1

λe−λx]A0

=−λA e−λA− e−λA +1

λ

Comme λ est strictement positif, quand A tend vers +∞, λA aussi et donc limA→+∞

e−λA = 0.

En posant B = −λA qui tend vers −∞ quand A tend vers +∞, on obtient :

limA→+∞

−λA e−λA = limB→−∞

B eB = 0

Par croissance comparée. Ainsi, limA→+∞

−λA e−λA − e−λA+1

λ=

0− 0 + 1

λ=

1

λ

R♥C






Chapitre 13

Produit scalaire dans l’espace.

I Recherche d’une définition

On voudrait définir le produit scalaire dans l’espace par :

Définition 57. Deux vecteurs ~u et ~v de l’espace sont toujours coplanaires i.e. il existe trois

points A, B et C tels que : ~u =−→AB et ~v =

−→AC. Le produit scalaire de ~u et ~v est défini

comme le produit scalaire de−→AB et

−→AC.

Remarque. Comme A, B, C sont coplanaires, on se ramène ainsi à la définition plane duproduit scalaire. Il faudrait quand même vérifier que cette définition ne dépend pas des re-

présentants−→AB et

−→AC choisis. De plus il y a de nombreuses expressions du produit scalaire

dans le plan (avec des projetés, avec un cosinus, avec des normes uniquement, avec des co-ordonnées uniquement) alors laquelle prend-on comme définition ? Je choisis cette définitiondu produit scalaire dans l’espace :

Définition 58. Soient ~u et ~v de coordonnées respectives (x, y, z) et (x′, y′, z′) dans un repèreorthonormé de l’Espace. On appelle produit scalaire de ~u et ~v et on note ~u · ~v le réel :

~u · ~v = xx′ + yy′ + zz′

Il faut voir que cette définition ne dépend pas du repère orthonormé choisi. On saitque d’après le théorème de Pythagore, dans un repère orthonormé de l’Espace : ||~u ||2 =x2 + y2 + z2 et donc :

~u · ~u = ||~u ||2

Remarque. Pour deux points A et B, on a donc : AB2 =−→AB ·

−→AB.

Intéressons-nous maintenant à ||~u + ~v ||2 :

||~u + ~v ||2 = (x+ x′)2 + (y + y′)2 + (z + z′)2

= x2 + y2 + z2 + x′2 + y′2 + z′2 + 2(xx′ + yy′ + zz′)

= ||~u ||2 + ||~v ||2 + 2(~u · ~v )

Je vous laisse le soin d’obtenir une formule similaire en remplaçant ~v par son opposé onobtient alors :

101

102 13. PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE.

Propriété 98. Expression du produit scalaire en fonction de la norme

~u · ~v =1

2

(||~u + ~v ||2 − ||~u || − ||~v ||

)

=1

2

(||~u ||2 + ||~v ||2 − ||~u − ~v ||2

)

Certes ces formules sont moins agréables mais elles ont l’avantage de prouver que leproduit scalaire ne dépend pas des coordonnées et donc du repère choisi. Nous pouvons doncutiliser sans retenue la définition 2 qui en est bien une finalement.

⋆⋆⋆ On peut définir le produit scalaire de manière bien plus générale : c’est une « forme » (notons-la ϕ) qui « transforme » deux vecteurs en un réel et qui est bilinéaire, symétrique, définie positive.

i.e. qui vérifie les propriétés :

• ϕ est symétrique : ϕ(u, v) = ϕ(v, u).

• ϕ est bilinéaire : ϕ(λu+ µv,w) = λϕ(u,w) + µϕ(v, w) pour tous réels λ et µ.

• ϕ est positive : ϕ(u, u) > 0.

• ϕ est définie : ϕ(u, u) = 0 ⇐⇒ u = 0.

⋆ ⋆ ⋆

II Propriétés algébriques

Propriété 99. Pour tous vecteurs ~u , ~v et ~w , le produit scalaire vérifie :

Symétrie

Bilinéarité (λ ∈ R)

Distributivité

Positivité

Définie

~u · ~v = ~v · ~u(λ~u ) · ~v = ~u · (λ~v ) = λ(~u · ~v )~u · (~v + ~w ) = ~u · ~v + ~u · ~w~u · ~u > 0

~u · ~u = 0 ⇐⇒ ~u =−→0

Preuves faciles à partir de la définition. On en déduit les identités remarquables usuelles :

Propriété 100 (Produits scalaires remarquables).

(~u + ~v )2 = ~u 2 + 2~u · ~v + ~v 2 (13.1)

(~u − ~v )2 = ~u 2 − 2~u · ~v + ~v 2 (13.2)

(~u + ~v ) · (~u − ~v ) = ~u 2 − ~v 2 (13.3)

III Produit scalaire et cosinus

On choisit deux points A et B tels que−→OA = ~u et

−−→OB = ~v . On note H le projeté

orthogonal de A sur (OB). De plus on notera (~u ;~v ) l’angle AOB. On obtient donc deuxcas de figure selon que : H ∈ [OB) ou H /∈ [OB). On veut retrouver les formules vues enpremière comme définition du produit scalaire dans le plan :



IV. ORTHOGONALITÉ 103

O

A

B H

~u

~v O

A

BH

~u

~v

⋆ ~u · ~v = OB ×OH ~u · ~v = −OB ×OH ⋆

~u · ~v = ‖~u ‖ × ‖~v ‖ × cos(~u ;~v )

Démonstration. À l’aide du théorème de Pythagore on prouve dans la figure de gauche que :

OB × OH =1

2

(OA2 +OB2 − AB2

)=

1

2

(||~u ||2 + ||~v ||2 − ||~u − ~v ||2

)= ~u · ~v

On prouverait le même résultat dans la figure de droite pour −OB ×OH

Remarque. L’angle orienté (~u ;~v ) a été défini dans le plan, mais on se sait pas définir unsens de rotation dans l’espace. Les angles seront donc définis comme des angles géométriques,(comme au collège) avec des mesures en radians dans l’intervalle [0, π]. Cette dernière formulepermet d’ailleurs de mesurer un angle entre deux vecteurs non nuls de l’espace :

cos(~u ;~v ) =~u · ~v

||~u || × ||~v ||

IV Orthogonalité

IV.1 Vecteurs orthogonaux

Propriété 101. Soient deux vecteurs ~u et ~v non nuls et trois points O, A et B tels que

~u =−→OA et ~v =

−−→OB. Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

(1) (OA) et (OB) sont perpendiculaires(2) ~u · ~v = 0(3) ~u et ~v sont orthogonaux. On notera : ~u⊥~v . (Définition)

Remarque. Par souci de cohérence, on dira aussi que le vecteur nul est orthogonal à toutvecteur.

IV.2 Droites orthogonales

Définition 59. On dit que deux droites (AB) et (CD) sont orthogonales si−→AB ·

−−→CD = 0

Remarque. Ce n’est pas la même chose que des droites perpendiculaires, qui sont elles tou-jours coplanaires ! Mais deux droites perpendiculaires sont orthogonales.

Définition 60. On dit qu’une droite D est perpendiculaire à un plan P si elle est ortho-gonale à deux droites non parallèles du plan P.

On prouve alors que D est orthogonale toute droite du plan P :




Démonstration. Soit ~u un vecteur directeur de D . Notons (OA) et (OB) les deux droitesnon parallèles du plan P qui sont orthogonales à D . Alors P = (OAB). Si on note de

plus ~ı =−→OA et ~ =

−−→OB alors (O;~ı ;~ ) est un repère du plan P et on a par hypothèse :

~u ·~ı = 0 et ~u ·~ = 0. Soit ~w un vecteur directeur d’une droite D ′ de P. Alors en notantx et y les coordonnées de ~w dans la base (~ı ;~ ), on a : ~w = x~ı + y~ Alors :

~u · ~w = ~u · (x~ı + y~ ) = x~u ·~ı + y~u · ~ = x× 0 + y × 0 = 0

IV.3 Vecteur normal

Définition 61. Un vecteur ~n non nul est dit normal à un plan P lorsque toute droite devecteur directeur ~n est perpendiculaire à P.

Propriété 102. Soit ~n un vecteur normal à un plan P. Soit ~u un vecteur non nul. Alors,~u est normal à P ssi ~u et ~n sont colinéaires.

Propriété 103. Soit un plan P, A un point de P et ~n un vecteur normal à P. Alors P

est l’ensemble des point M de l’espace vérifiant :

−−→AM · ~n = 0

P est alors défini comme le plan passant par A et de vecteur normal ~n .

Démonstration. Tout point M du plan vérifie cette relation car une droite de vecteur direc-teur ~n est orthogonale à toute droite (AM) de P. L’inclusion inverse est admise.

Remarque. Cette relation caractéristique permet de déterminer l’équation cartésienne duplan P.

Propriété 104. Soit P et P ′ deux plans ayant respectivement ~n et ~n ′ pour vecteur normal.

• P⊥P ′ ⇐⇒ ~n⊥~n ′

• P//P ′ ⇐⇒ ~n et ~n ′ sont colinéaires.

Définition 62. Soit un plan P, A un point de l’espace, on appelle projeté orthogonal de

A sur P l’unique point H de P tel que (AH)⊥P. i.e. tel que−−→AH soit normal à P. La

distance AH est alors appelée distance du point A au plan P.

Propriété 105. Soit A et B deux points distincts de l’espace. L’ensemble des points M àégale distance de A et B est un plan, appelé plan médiateur de [AB]. C’est le plan de vecteur

normal−→AB passant par le milieu de [AB].

Démonstration. Soit I le milieu du segment [AB]. On a alors :−−→MA+

−−→MB = 2

−−→MI

MA =MB ⇐⇒MA2 =MB2 ⇐⇒−−→MA2 −

−−→MB2 = 0 ⇐⇒ (

−−→MA−

−−→MB) · (

−−→MA+

−−→MB) = 0

MA =MB ⇐⇒−→BA · (2

−−→MI) = 0 ⇐⇒

−−→IM ·

−→AB = 0

Cette dernière caractérise le plan passant par I et de vecteur normal−→AB.

Fiche à distribuer



V. ÉQUATION CARTÉSIENNE DE PLAN 105

V Équation cartésienne de plan

On se place dans un repère orthonormal (O;~ı,~,~k ) de l’espace. Soit P le plan passantpar A(xA; yA; zA) et de vecteur normal ~n (a; b; c).

M ∈ P ⇐⇒−−→AM · ~n = 0

D’où une équation cartésienne de P : a(x− xA) + b(y − yA) + c(z − zA) = 0.Tout plan admettant ~n (a; b ; c) comme vecteur normal a une équation cartésiennede la forme

ax+ by + cz + d = 0

Réciproquement toute équation cartésienne de la forme ax+ by + cz + d = 0 (aveca, b, c non tous nuls) est celle d’un plan de vecteur normal ~n (a; b ; c).

En pratique : Pour trouver une équation d’un plan P passant par un point A(xA; yA; zA),on cherche un vecteur normal (ce qui donne a, b et c), puis on trouve d en utilisant que :

A ∈ P ⇐⇒ axA + byA + czA + d = 0

Exercice no 38

Soit P le plan d’équation : x+ 2y − 3z + 7 = 0

1. Donner un vecteur normal à P ainsi qu’un point appartenant à P.

2. Déterminer l’équation du plan Q parallèle à P, passant par I(1; 2; 3).

3. Soit P ′ et Q′ d’équations respectives : 5x−y+ z+4 = 0 et −2x−4y+6z−1 = 0Prouver que : P⊥P ′ et P//Q′

4. Déterminer une équation du plan médiateur du segment [AB] où : A(0;−1; 2) etB(−2; 3; 4).

Distance d’un point à un plan. La distance d’un point A(xA; yA; zA) au plan P

d’équation cartésienne ax+ by + cz + d = 0 est notée d(A;P). Elle vaut :

d(A;P) =|axA + byA + czA + d|√

a2 + b2 + c2

Démonstration. d(A;P) = AH où H est le projeté orthogonal de A sur P. Soit B un

point de P. Justifier que :−→AB · ~n =

−−→AH · ~n puis que :

AH =|−→AB · ~n |‖~n ‖

Enfin, justifier que : d = −(axB + byB + czB) puis conclure.

R♥C

Demi-espace. Toute inéquation de la forme ax+ by + cz + d > 0 ou ax+ by + cz + d 6 0définit un demi-espace fermé de frontière le plan P d’équation ax+ by + cz + d = 0.

Exercice no 39

On considère le plan P d’équation : x− 2y + 3z − 2 = 0 et le point A(1; 3; 1)




1. Le point A appartient-il à P ? Calculer la distance d(A;P).

2. Le plan P est la frontière de deux demi-espaces. Donner une inéquation du demi-espacecontenant le point A.

Sphère. La sphère S de centre Ω(xΩ; yΩ; zΩ) et de rayon R (R ∈ R+) a pour équationcartésienne : (x− xΩ)

2 + (y − yΩ)2 + (z − zΩ)

2 = R2

Démonstration. M ∈ S ⇐⇒ ΩM = R ⇐⇒ ΩM 2 = R2 ⇐⇒−−→ΩM ·

−−→ΩM = R2

L’ensemble des points M de l’espace tels que−−→MA ·

−−→MB = 0 est la sphère de diamètre [AB].



Chapitre 14

Statistiques

Adéquation de données à une loi équirépartie.

Un joueur veut vérifier si le dé qu’il possède est « normal », c’est-à-dire bien équilibré.On sait que, dans ce cas-là, la loi de probabilité associée est la loi d’équirépartition :

P (1) = P (2) = P (3) = P (4) = P (5) = P (6) =1

6≃ 0, 167

Pour cela il lance 200 fois le dé et note les résultats :

xi 1 2 3 4 5 6

ni 31 38 40 32 28 31

fi 0, 155 0, 190 0, 200 0, 160 0, 140 0, 155

Pour savoir si la distribution de fréquences obtenue est « proche » de la loi uniforme, oncalcule la quantité suivante notée d2, qui prend en compte l’écart existant entre chaquefréquence trouvée fi et la probabilité théorique attendue pi = 1

6:

d2 =6∑

i=1

(fi − pi)2 =

(0, 155− 1

6

)2

+

(0, 190− 1

6

)2

+ · · ·+(0, 155− 1

6

)2

≃ 0, 00268

On note cette quantité d2 car son calcul est celui du carré d’une distance.Mais rien ne permet de dire pour l’instant si cette quantité trouvée est « petite» ou « grande». En effet, elle est soumise à la fluctuation d’échantillonnage, puisque sa valeur varie d’unesérie de lancers à l’autre. On va donc étudier cette fluctuation d’échantillonnage pour convenird’un seuil entre « petite» et « grande» valeur de d2 lorsqu’on lance 200 fois un dé. Pour cela,on génère des séries de 200 chiffres au hasard pris dans 1; 2; 3; 4; 5; 6 par exemple avec untableur en utilisant la fonction : ENT(6*ALEA())+1. On calcule les fréquences d’obtention dechaque valeur 1, 2,. . ., 6 et on calcule le d2. Les résultats trouvés pour le nombre d2 à partirde 1 000 simulations de ce type sont résumés par le tableau suivant, et par le diagramme enboîte.

Minimum D1 Q1 Médiane Q3 D9 Maximum

0, 00036 0, 00138 0, 00233 0, 00363 0, 00555 0, 00789 0, 01658

107

108 14. STATISTIQUES

Le neuvième décile de la série des valeurs simulées de d2 est D9 = 0, 00789. Cela signifieque 90% des valeurs de d2 obtenues au cours de ces 1 000 simulations sont dans l’intervalle[0; 0, 00789]. Comme la valeur observée de d2 est inférieure à cette valeur seuil de 0, 00789,on peut convenir que le dé est équilibré avec un risque de 10%. En effet, en utilisant cetteméthode sur les données simulées, on se serait trompé dans l0% des cas. On dit que l’on aun seuil de confiance de 90%.Plus généralement :

Propriété. Soit une épreuve conduisant à r issues x1, x2, . . ., xr. Expérimentalement, onrépète n fois cette épreuve (n est un entier supérieur à 100), on obtient les fréquences f1,f2,. . ., fr pour chaque issue. Pour tester l’adéquation de ces données à la loi équirépartie surx1;x2; . . . ;xr, on calcule le nombre :

d2 =r∑

i=1

(fi −

1

r

)2

Ensuite on simule une loi équirépartie sur x1;x2; . . . ;xr un grand nombre de fois et oncalcule le d2 correspondant. On obtient une série statistiques de neuvième décile D9.

– Si d2 6 D9, alors on dira que les données sont compatibles avec le modèle de la loiéquirépartie, au seuil de risque de 10%.

– Si d2 > D9, on dira que les données ne sont pas compatibles avec le modèle de la loiéquirépartie, au seuil de risque de 10%.



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Vincent PANTALONI