Voutˆ es nubiennes II Au Burkina Fasoold.lavoutenubienne.org/IMG/pdf_EPFL-Voutes_nubiennes_II.pdf · E Annexe - Commandes ANSYS® .....xlvi F Annexe - Crit`ere de rupture ... G Annexe

Voutes nubiennes IIAu Burkina Faso

Modelisation sur ansys®

Wurtz Vincent GCMalquarti Mathias GC

Projet de semestre de 1e annee Master

Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (epfl)Faculte de l’Environnement Naturel, Architectural et Construit (enac)Section de Genie Civil (sgc)Laboratoire d’informatique et de mecanique appliquees a la construction (imac)

Encadre par

Dr. Lestuzzi Pierino EPFL-ENAC-IS-IMAC

Lausanne, Semestre d’ete 2007

Voutes nubiennes IIAu Burkina Faso

Modelisation sur ansys®

Wurtz Vincent GCMalquarti Mathias GC

Projet de semestre de 1e annee Master

Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (epfl)Faculte de l’Environnement Naturel, Architectural et Construit (enac)Section de Genie Civil (sgc)Laboratoire d’informatique et de mecanique appliquees a la construction (imac)

Encadre par

Dr. Lestuzzi Pierino EPFL-ENAC-IS-IMAC

Rapport accepte le / /

Lausanne, Semestre d’ete 2007

Voute nubienne II

Wurtz Vincent GC, Malquarti Mathias GC

Resume

L’etude menee s’est portee sur une modelisation par elements finis d’une construc-tion en voute nubienne au Burkina Faso. Ce dossier constitue la suite du projetde semestre de Cocco C., Dauphin R., Ganour K., sur les ”Voutes nubiennes auBurkina Faso” (”Voute nubienne I”). Dans le but de soutenir l’association ”Voutenubienne”, le present dossier s’est concentre sur une etude des differents parametresqui influencent la geometrie de la structure. A savoir l’angle d’inclinaison des arcs(α), l’angle de jonction des courbes (β), le nombre d’arcs (l’avancement), l’epaisseurdes briques (e), la hauteur supplementaire en cle de voute (H) et la portee (R). Il adonc fallu ecrire un algorithme modelisant la structure pour une utilisation avec leprogramme ansys®. Une recherche du stade determinant a ete faite en considerantcomme hypothese que la structure et tout ce qui la compose est homogene et queles appuis ainsi que le mur pignon sont encastres (comme conditions aux limites) ala base. Les briques sont ensuite simplement appuyes. L’etude s’est concentree surla voute uniquement, sans considerer la surcharge laterale provenant du remblayageet les murs porteurs. Ne connaissant pas (encore) les proprietes du materiau, l’etudes’est base sur un seul parametre de comparaison, la contrainte principale N°1 : σ1.Ce premier dossier ouvre donc une porte sur la modelisation et n’a pas pu entrerdans une etude approfondie. Mais il en sort tout de meme certaine conclusions quine demandent qu’a etre approuvees par d’autres etudes : seul le rayon (R), voirepeut-etre l’epaisseur (e), semblent etre des parametres determinants et tres influents.Les autres parametres (α, β, H) sont des parametres dit ”d’affinages”. Connaissantles incertitudes et les erreurs de construction, il devient inutile de vouloir trouverdes valeurs precises pour ces parametres. Finalement il a ete releve que le stade deconstruction est le stade determinant ; precisemment juste avant que la voute ne sereferme, c’est donc a ce stade qu’une attention particuilere doit etre portee.

Projet de semestre de 1e annee Master epfl-gc

Lausanne, Ete 2007

La vie, ca se fabrique avec les moyens du bord.

Bazin, Herve

La nature cree des differences ; la societe en fait des inegalites.

Ben Jelloun, Tahar

Projet de semestre - Voutes nubiennes II - iv

Remerciements

Nous tenons tout d’abord a remercier le Dr. P. Lestuzzi (epfl/ enac/ is/ imac)de nous avoir propose ce sujet dans le cadre d’un projet de semestre. Nous avonstoujours eu beaucoup de plaisir a suivre ses cours, nous en avons pris tout autantlors de cette etude.

Nous remercions aussi l’Ing. Civ. Dipl. EPFL Urs Wyss pour ses precieux renseigne-ment ainsi que l’association Voute nubienne, qui indirectement nous a renseigne viason site Internet.

Finalement nous remercions tout particulierement le Dr. Youssef Belmouden (epfl/enac/ is/ imac) pour sa disponibilite et son professionnalisme. Sans lui cette etudeparametrique par modelisation n’aurait pas ete possible dans les temps impartis.Nous tenons donc a lui tranmettre toute notre gratitude ainsi que notre amitie.

Merci

Vincent WurtzMathias Malquarti

Table des matieres

I Introduction 1

1 Remarques preliminaires................................................................. 1

2 Presentation.................................................................................... 1

3 Questions ........................................................................................ 1

4 Hypotheses...................................................................................... 3

5 Quelques mots sur l’association voute nubienne ............................. 4

II Modelisation 5

6 Introduction .................................................................................... 5

7 Definition des parametres geometriques ......................................... 5

8 Caracteristique du materiau ........................................................... 8

9 Modelisation de la voute................................................................. 89.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89.2 Preparation (I.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89.3 Introduction et construction des parametres (II.) . . . . . . . . . . . . 9

9.3.1 Definition de la dimension (ici nombre de colonnes) de chaqueligne (ici les parametres α, β , ...) (a.) . . . . . . . . . . . . . 9

9.3.2 Construction du tableau avec les valeurs (b.) . . . . . . . . . . 99.3.3 Specification des cas de figures du modele parametre (c.) . . . 9

9.4 Initialisations (III.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99.4.1 Generalites (type de maillage et conditions aux limites) (a.) . 109.4.2 Geometrie controlee par la specification fait en II (b.) . . . . 109.4.3 Introduction des parametres du materiau (c.) . . . . . . . . . 109.4.4 Type d’element (d.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

9.5 Generation des nœuds (IV.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109.5.1 Etape 1 : Le mur pignon (a.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119.5.2 Etape 2 : les arcs inclines (c.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119.5.3 Creation du tableau d’existence des nœuds (b.) . . . . . . . . 11

9.6 Definition du maillage en elevation de la structure (V.) . . . . . . . . 119.7 Conditions aux limites (Boundary conditions) (VI.) . . . . . . . . . . 129.8 Calcul (VII.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129.9 Affichage (plot) et fin (VIII.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

10 Validation du modele ...................................................................... 14

v

Projet de semestre - Voutes nubiennes II - vi

III Etude parametrique 15

11 Introduction .................................................................................... 15

12 Etude 1 ........................................................................................... 15

13 Etude 2 ........................................................................................... 16

14 Etude 3 ........................................................................................... 17

15 Etude 4 ........................................................................................... 17

16 Etude 5 ........................................................................................... 18

IV Conclusion 19

17 Rappel des idees et reponse a la question....................................... 19

18 Comment poursuivre le projet ? ..................................................... 20

19 Quelques ouvrages de reference et personnes de contact utiles ...... 20

20 Les fichiers dans le CD.................................................................... 21

V Annexes xii

A Annexe - Algorithme ANSYS® ..................................................... xii

B Annexe - Resultat des mesures de la masse volumique des briquesxxxix

C Annexe - Comparaison de la forme parabolique et ”ogivale” parincrementation ................................................................................xliii

D Annexe - Les quatre stades d’avancement de la voute....................xliv

E Annexe - Commandes ANSYS® ....................................................xlvi

F Annexe - Critere de rupture ...........................................................xlvii

G Annexe - Element SHELL 63 sur ANSYS®................................... li

H Annexe - Figures de validation du modele...................................... lx

I Annexe - Graphe des resultats de l’etude parametrique.................lxiiiI.0.1 s1 en fonction de l’angle α et du rayon R a differents stades

de construction (Etape 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxiiiI.0.2 s1 en fonction de l’angle α et du rayon R a differents stades

de construction (Etape 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxv

Projet de semestre - Voutes nubiennes II - vii

I.0.3 s1 en fonction de la hauteur supplementaire a la cle (H) etde l’angle β a differents stades de construction pour un rayondonne de 1.6m (Etape 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxvi

I.0.4 s1 en fonction de la hauteur supplementaire a la cle (H) et durayon R a differents stades de construction pour un α et un βdonne (Etape 4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxviii

I.0.5 s1 en fonction de l’avancement (nombre d’arcs) et de l’epais-seur e pour des rayons differents avec un α et un β donne(Etape 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxx

Table des figures

1 Schema d’une vue en coupe de la voute etudiee avec ses parametres geo-metriques, c.f. Tableau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Schema d’une vue en travers de la voute etudiee avec ses parametres geo-metriques, c.f. Tableau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Schema d’une vue sur la modelisation des appuis du mur pignon. . . . . . 74 Schema d’une vue en biai de la voute etudiee avec les conditions d’appuis

consideres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Generation et construction des nœuds de la voute. . . . . . . . . . . . . . 126 Vue sur le maillage de la voute. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Vue sur un detail de maillage au niveau du mur pignon. . . . . . . . . . . 138 Vue sur la repartition des contraintes dans le cas ou les appuis sont articules. 149 Vue sur la repartition des contraintes dans le cas ou les appuis sont articules. 1410 Vue generale sur une forme ”ogivale”, parabolique et circulaire (R=1.62m,

H=0.06m, Beta= 60°). On observe, une tres bonne concordance entrel’equation parabolique et la construction par incrementation pour uneforme relativement classique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xliii

11 Vue sur le satde 1 ou la voute commence a se construire. . . . . . . . . . xliv12 Vue sur le satde 2 ou les courbes de la voute se rejoignent mais ne se

touchent pas encore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xliv13 Vue sur le stade 3 ou la voute s’est refermee mais n’a pas encore une

longueur suffisante pour considerer que les contraintes restent stables . . . xlv14 Vue sur le stade 4 ou la longueur de la voute est suffisante pour dire

que les contraintes restent stables meme en augmentant le nombre d’arcsNarcs. Ici nous avons observe que pour 100 arcs la construction restestable quelque soit l’augmentation de Narcs. . . . . . . . . . . . . . . . xlv

15 Deformee de la voute sous son poids propre. On peut voir, par la deformee,que le modele est coherent. On utilise (entre autre) cette figure pour validernotre modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxi

16 Representaiton des efforts normaux dans le voute sous son poids propre.Par comparaison avec [1] on obtient les resultats suivant : Valeur de l’effortnormal en pied selon le rapport [1] = -8.12 [kN/m]. Valeur de l’effort normalen pied selon notre modele=-8.077[kN/m] . . . . . . . . . . . . . . . . . lxi

17 Representaiton des moments de flexion dans le voute sous son poids propre.Par comparaison avec [1] on obtient les resultats suivant : Valeur du mo-ment de flexion max selon le rapport [1] = 0.68 [kNm/m]. Valeur, selonnotre modele du moment de flexion max = 0.29 [kNm/m] et moment deflexion min = -0.45 [kNm/m] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxii

18 Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonction del’angle α et du Rayon R pour un avancement de 10 arcs (β=60 [deg],H=0[m], e=0.12 [m]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxiii

19 Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonction del’angle α et du Rayon R pour un avancement de 20 arcs (β=60 [deg],H=0[m], e=0.12 [m]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxiii

viii

Projet de semestre - Voutes nubiennes II - ix

20 Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonction del’angle α et du Rayon R pour un avancement de 50 arcs (β=60 [deg],H=0[m], e=0.12 [m]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxiv

21 Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonction del’angle α et du Rayon R pour un avancement de 100 arcs (β=60 [deg],H=0[m], e=0.12 [m]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxiv

22 Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonction del’angle α et de l’avancement (nombre d’arcs) pour un rayon de R=1.6 [m](β=60 [deg],H=0 [m], e=0.12 [m]). Le pas d’increment α et d’avancementne sont pas suffisamment fin pour voir que le pic ne se limite pas en unα= 65 [deg] et pour un avancement de 18 arcs. Le graphe suivant (Fig 23)donne un representation plus affinee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxv

23 Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonction del’angle α et du Rayon R pour un avancement de 100 arcs (β=60 [deg],H=0[m], e=0.12 [m]). La pas d’increment a ete augmente par rapport au graphede la Figure 22. On observe tres clairement une ligne pour laquelle, avecun rayon et un α donne, une zone ou l’avancement (c’est-a-dire pour uncertain nombre d’arcs) devient critique pour s1. . . . . . . . . . . . . . . lxv

24 Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonctionde l’angle β et du supplement en cle de voute (H) pour un avancement de30 arcs (alpha=55 [deg], R=1.6 [m], e=0.12 [m]). . . . . . . . . . . . . . lxvi

25 Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonctionde l’angle β et du supplement en cle de voute (H) pour un avancement de50 arcs (alpha=55 [deg], R=1.6 [m], e=0.12 [m]). . . . . . . . . . . . . . lxvi

26 Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonctionde l’angle β et du supplement en cle de voute (H) pour un avancement de100 arcs (alpha=55 [deg], R=1.6 [m], e=0.12 [m]). . . . . . . . . . . . . . lxvii

27 Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonctiondu rayon R et du supplement en cle de voute (H) pour un avancement de30 arcs (α=55 [deg], β=60 [m], e=0.12 [m]). . . . . . . . . . . . . . . . . lxviii

28 Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonctiondu rayon R et du supplement en cle de voute (H) pour un avancement de50 arcs (α=55 [deg], β=60 [m], e=0.12 [m]). . . . . . . . . . . . . . . . . lxviii

29 Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonctiondu rayon R et du supplement en cle de voute (H) pour un avancement de100 arcs (α=55 [deg], β=60 [m], e=0.12 [m]). . . . . . . . . . . . . . . . lxix

30 Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonctionde l’avancement (nombre d’arcs) et de l’epaisseur e pour un rayon de 1.2[m] (α=55 [deg], β=60 [m]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxx

31 Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonctionde l’avancement (nombre d’arcs) et de l’epaisseur e pour un rayon de 1.6[m] (α=55 [deg], β=60 [m]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxx

32 Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonctionde l’avancement (nombre d’arcs) et de l’epaisseur e pour un rayon de 2.0[m] (α=55 [deg], β=60 [m]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxi

Liste des tableaux

1 Tableau retracant les differentes valeurs utlisees pour les schemas desFigures 1 et 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Tableau des valeurs prises pour les carateristiques du materiau. . . . 83 Tableau recapitulatif de l’influence des parametres geometriques. . . . 19

x

Projet de semestre - Voutes nubiennes II - xi

Notations

α Inclinaison des arcs par rapport au solβ Angle entre le sol et la jonction de la partie circulaire et

parabolique ou ogivale de la vouteσ1 Contrainte principale N°1, contrainte de traction maxi-

maleD Diametre au pied de la vouteR Rayon au pied de la voute, R = D/2

e Epaisseur (dans sa largeur) d’une brique, generalemente=0.12 [m], correspond a l’epaisseur d’un arc

eb Epaisseur d’une briqueNi Nombre d’arcs, correspond a l’avancement

BC Boundary Condition, conditions aux limites−→z Axe de symetrie principal de la voute

ansys® Analysis Meshing Opimization Multiphysics, an-sys11® for Civil Engineering, logiciel de simulation nu-merique

Projet de semestre - Voutes nubiennes II - 1

Premiere partie

Introduction

1 Remarques preliminaires

Ce dossier constitue la suite d’un projet de semestre1 effectue durant le semestred’hiver 2006-2007. Il a ete realise au Laboratoire d’informatique et de mecaniqueappliquees a la construction imac dans la section de genie civil sgc a l’enac-epfl(Environnement Naturel, Architectural et Construit-Ecole polytechnique federale dela Lausanne). L’interet pour ce sujet est ne du melange parfait qu’offrait cette etude :combinaison entre une etude structural, une approche au developpement durable eta l’application de cette etude a un cas concret.

2 Presentation

L’etude aurait due se reposer sur deux choix de recherche. La premiere ligne deconduite consistait a connaıtre les possibilites d’effectuer des essais a l’epfl sur desbriques et des voutes sans importer du sol Burkinabe. Il aurait donc ete necessairede connaıtre les proprietes mecaniques qui regissent ce type de construction. Pourune raison de temps cette etude n’a pas pu etre menee. Elle reste cependant ouvertea d’autres etudiants2. La deuxieme voie, celle choisie, s’est dirigee vers une modeli-sation numerique par elements finis de la structure tant a l’etats final que durant laconstruction. L’objectif recherche etait de connaıtre l’etat critique des efforts dansla construction dans le but d’optimiser les hauteurs, les largeurs voire les ouverturesde ce type de construction. Pour ce faire, nous avons du nous concentrer sur uneconstruction aux geometries et au qualite des briques bien precises. Ces informationssont donnees plus loin dans ce present dossier. L’analyse s’est faite a l’aide du pro-gramme ansys®. Toutes les informations (ainsi que le fichiers de la modelisation)se trouvent sur le CD associe au dossier.

3 Questions

”L’observation des formes naturelles, la volonte de comprendre, est la premiere qua-lite du concepteur. Il faut susciter la curiosite par les generateurs d’idees que sontles formes naturelles...” 3. Nous avons peut-etre la une des raisons qui expliquepourquoi l’homme de tout temps a reussi a concevoir des structures. Mais alorscomment expliquer cette approche empirique qu’on eu la population de la region

1Cocco C., Dauphin R., Ganour K., ”Voutes nubiennes au Burkina Faso”, [1]2En fin du present dossier se trouve un chapitre donnant des idees pour continuer l’etude3Robert Le Ricolais, 1969, tire de [3]


de ”Nubian” (Nil superieur) il y a de ca environ 3000 ans4 ?. Certes des voutes enforme de chaınette ont ete retrouvees dans cette meme region datant de 1300 avantJ.-C. et l’architecte egyptien Hassan Fathy a repris ce concept dans les annees 405,mais comment a-t-on compris le comportement de la structure ? Existe-t-il vraimentdes formes dans la nature qui explique cette courbure (ideale ?). Heinz Isler a dit :”everything in nature, whatever you find is organic shape, is double curvature, no-thing plane”.6. Il rajouta par ailleurs que : ”Where traditional statics ends, there thecalculation of a shell starts”.7Nous sommes alors confronte a un nouveau probleme :verifier ce que des gens ont mis des centaines (voire des milliers) d’annees a trouverempiriquement par des modeles mathematiques. Pretention ? Non, curiosite !Une question se profile alors :

”Quels relations existe-t-il entre les differents parametresgeometriques de la structure en voute nubienne et quels en sont les

parametres influents et determinants pour chaque stade deconstruction ?.”

”The engineer has, since the early days of his activities, been concerned with discretesystems composed of simple elements for which he knew the basic governing beha-viour”.8 Parmi les nombreuses directions d’etude possible, nous avons donc choisid’aborder celle de la modelisation par programme d’element finis. Une grande partiede l’etude a ete consacree a l’ecriture du script (ou algorithme). Dans un premiertemps il a fallu comprendre comment fonctionnait le programme puis ensuite il nousa fallu fixer des hypotheses. Ces-dernieres se trouvent ci-dessous (chapitre 4, page 3).Ensuite nous avons oriente notre modelisation sur l’etude que nous voulions mener.Nous avons opte pour une etude parametrique afin de comprendre quels etaitent lesparametres influents et a quel stade de la construction. En effet la geometrie de lavoute depend de certains parametres que nous avons decrit plus loin (chapitre 7,page 5). Bien souvent le maıtre de l’ouvrage donne des directives pour la construc-tion et il revient a l’ingenieur de concevoir la structure la plus economique, assurantla securite par la resistance (Firmitas), le fonctionnement et l’utilite (Utilitas) et sipossible l’elegance et la beaute (Venustas)9. C’est alors qu’avec quelques parametresil devient interessant de devoir dimensionner notre strucutre en recherchant la formeparfaitement adaptee a la conception. Mais ici nous pourrions definir au moins cinqsatde de construction :

- Construction de la voute avant fermeture de la cle- Construction de la voute en avancement- Voute a l’etat final- Voute avec remplissage parciel du remlai

4Granier T., Kaye A., Ravier J., Sillou D., [4], p.1-25Granier T., Kaye A., Ravier J., Sillou D., [4], p.1-26Heinz Isler, tire de Chilton J., Heinz Isler, Thomas Telford, 20007Heinz Isler, tire de Chilton J., Heinz Isler, Thomas Telford, 20008Professor O. C. Zienkiewicz, tire de [5], p.ii9Firmitas, Utilitas et Venustas sont des conceptes proposes par Vitruve le 1er siecle apres J.-C.


- Voute avec remplissage total du remblai

Il devient donc necessaire de voir s’il existe une forme qui satisfasse toutes ces etapes,une forme qui s’apprete le mieux a ces cinq stades de construction. Il nous a alors fallu, ne connaissant pas suffisamment les proprietes du materiau pour definir un criterede rupture , choisir une caracteristique de comparaison. Il en existe de nombreuse,notre choix s’est porte sur la contrainte principale maximale σ1. Nous avons parla suite procede a plusieurs etudes comparatives en faisant varier 3 parametres, asavoir 2 parametres par graphe et en multipliant le nombre de graphes avec le 3emeparametre.

4 Hypotheses

Les principales hypotheses sont les suivantes :

- La structure est consideree comme homogene. Cela signifie que les briques n’ontpas ete prises en compte dans la reponse structurale. Nous pensons que cettesimplification, certes doit etre verifiee, mais ne semble pas completement erronee.En effet, tant les briques que le mortier sont constitues du meme materiau. Enconsiderant que les briques sont bien ”assemblees”, les surfaces lissees (talochees)et les trous colmates, on peut penser que l’hypothese d’homogeneite reste plus oumoins valable. Il est bien entendu evident que la fissuration (notamment) ainsique d’autres criteres ne sont pas pris en compte.

- Les murs porteurs n’ont pas ete pris en compte dans la structure. Seule la voutea ete modelisee avec le mur pignon. La encore, nous pensons que ce n’est pas lapartie structurale determinante puisque la voute a sa base est un cercle. Les effortsdevraient donc rester en grande partie verticale et les poussees sur le mur pignonrester limitees.

- Les murs pignons ont ete consideres comme encastre a leur base. Les briques encontact avec le mur pignon sont simplement appuyes sur le mur pignon (c.f. lesous chapitre 7 (page 5) ainsi que la Figure 3).

- Sur toute la longueur a sa base la structure est encastree (c.f. le sous chapitre 7(page 5) ainsi que la Figure 4).

- L’etude s’est concentree sur la voute a l’etat final et de construction mais sans lasurcharge laterale (ou remblai supplementaire).

- Les caracteristiques du materiau ont ete prises selon les donnees du rapport”Voutes nubiennes au Burkina Faso”10. Suite a une etude rapide de briqueprovenant du Burkina Faso, nous avons obtenu des resultats differents de ceuxutilises (c.f. l’Annexe B (page xxxix)). Mais encore une fois l’interet ici est defaire une etude parametrique. Il n’est donc pas necessaire de prendre des valeurstres exactes.

- La courbe qui relie la fin de la courbe circulaire a la cle de voute (pour un angleβ) n’est pas vraiment une parabole pour des simplifications algorithmiques maisplutot une courbe ”ogivale”. Nous le verrons mieux plus tard mais de maniere

10Cocco C., Dauphin R., Ganour K., [1] ,p.9-11


simplifiee, il faut comprendre qu’a partir de l’angle β, le rayon va augmenterlineairement par increment jusqu’a la valeur supplementaire voulue en cle. Ceprocede est inspire de la methode dite ”des doigts”decrite dans le rapport ”Voutesnubiennes au Burkina Faso”11 qui est egalement une methode incrementale. LaFigure 10 (a l’Annexe C a la page xliii) nous donne une comparaison entre laforme parabolique, ”ogivale” et circulaire.

- La cohesion de la terre n’a pas ete prise en compte. Ce qui veut dire que nousavons considere que les briques tiennent pour des angles d’inclinaison des arcs(α) quelconque. Par experience on sait que cette angle n’excede pas 70°(pented’environ 275%), generalement 50° (pente d’environ 120%)12.

5 Quelques mots sur l’association voute nubienne

L’association ”Voute nubienne” se definie comme suit :L’association la Voute Nubienne s’est fixee comme objectif de faire connaıtre et d’uti-liser une alternative aux techniques actuelles de construction populaire au BurkinaFaso et dans les regions saheliennes.Son but est de permettre l’appropriation de la technique par les populations localesavant de se retirer progressivement pour reproduire l’action dans d’autres regions.Elle appuie son action sur la mise en place du programme de vulgarisation ”Des toitsde terre au Sahel” dans des zones geographiques definies (+ ou - 50 km de rayon),regies, chacune, par un responsable de zone.13 Nous sommes conscient que de nombreuses etudes ont deja ete menees dans cedomaine depuis fort longtemps. Nous ne pretendons pas, par cette etude, comblerdes lacunes des personnes qui travaillent sur ce sujet mais il faut le voir avant toutcomme un travail academique qui cherche a nous apporter une connaissance sur lesujet. Nous esperons toutefois, et nous en serions evidemment tres heureux, que cerapport puisse apporter des informations interessantes aux personnes qui travaillentde pret ou de loin pour l’association.

11Cocco C., Dauphin R., Ganour K., [1], p. 612Urs Wyss, [2], p.1813Source internet, [6]


Deuxieme partie

Modelisation

6 Introduction

Ce chapitre est essentiellement consacre a l’explication de l’algorithme de la mode-lisation ainsi qu’aux parametres utilises. Il a pour but d’orienter au mieux d’even-tuelles personnes qui desireraient reprendre ce dossier pour completer l’etude parmodelisation. Les explications restent volontairement succintes afin de ne pas tropalourdir le rapport et en autres nous ne voulons pas etablir une sorte de mode d’em-ploi d’ansys® car nous en serions totalement incapable et parce que ce n’est pasle sujet de ce rapport. Nous pensons que les personnes qui voudraient reprendrel’etude devraient avoir un minimum de connaissances dans le domaine. Nous restonsbien entendu ouvert a toutes questions mais nous proposons tout de meme a cespersonnes de prendre contact avec quelqu’un qui connaıt bien ce programme. Unecopie du script se trouve a l’Annexe A a la page xii ainsi que sur le CD en fin dupresent dossier.

7 Definition des parametres geometriques

Fig. 1 – Schema d’une vue en coupe de la vouteetudiee avec ses parametres geometriques, c.f.Tableau 1

Fig. 2 – Schema d’une vue en travers de lavoute etudiee avec ses parametres geometriques,c.f. Tableau 1

Prenons d’abord la Figure 1 : nous pouvons constater que nous avons opte pourquatre parametres. Le parametre ”connu” est normalement le rayon (R) qui nous


est indirectement donne par le diametre (ou portee), une des exigences du maıtred’ouvrage. Generalement l’association ”Voute nubienne”se limites a des portees n’ex-cedent pas les 3.20 [m]14. Nous allons donc voir si ce diametre peut etre augmenteen changeant d’autres parametres comme la hauteur supplementaire a la cle (H) oul’angle α (inclinaison des arcs) ou β. L’angle β correspond a l’angle pour lequel lacourbe de la forme de la voute (vue en coupe) passe d’une courbure circulaire a unecourbure parabolique ou ”ogivale” rejoignant le sommet de la voute en cle (donnepar le H)15. Il faut noter que pour la modelisation de la forme de la voute, nousavons opte pour une solution d’augmentation par increment : cela veut dire que lerayon R maintient sa valeur de β = 0 a β = β′ ou β′ varie entre 60° (pente de 173%)et 75° (pente de 373%) (voire 25° !(pente de 46.6%))16. Au dela de β′ le rayon Raugemente par increment regulier d’un ∆H tout les ∆β.e est la largeur d’une brique ou la largeur de la voute. La taille standard d’une briqueest de 24x12x4 [cm], nous avons donc pris un e = 0.12[m] pour toutes les etapes(voir la Partie de l’etude parametrique, Partie III a la page 15) excepte la derniereetape (section 16 page 18) ou nous avons fait varier l’epaisseur e, et par consequentle tiers central (et le poids), dans le but d’en observre les effets.

R Rayon

e Epaisseur de la vouteH Hauteur supplementaire en cleβ Angle de transitionα Angle d’inclinaison des briques

eb Epaisseur d’une briquebc Conditions de bordNarcs Nombre d’arcs inclinesNi Nombres d’arcs avances

Tab. 1 – Tableau retracant les differentes valeurs utlisees pour les schemas desFigures 1 et 2

En ”forcant” la structure a prendre une forme ”ogivale” on cherche a se rapproche dela forme de la chaınette. La hauteur supplementaire H a la cle est le parametre quipermet cette modification. Ce parametre vaut generalement 0.05 [m] et ne depassepas, dans le cas de l’association ”Voute nubienne”, les 0.10 [m] 17. Pour notre partnous l’avons aussi fait varier de 0 [m] a 0.10 [m]. Notons encore que ce choix a eterenforce par les recommandations de l’Ing. Civ. Dipl. EPFL Urs Wyss qui nous ainforme que H variait de 5 a 12 [cm].Si nous prenons maintenant la Figure 2 : nous pouvons tout d’abord observer l’in-clinaison des arcs (ou briques). Cette inclinaison d’un angle α permet de construire

14Cocco C., Dauphin R., Ganour K., [1], p.715Pour des informations complementaires sur la forme de la voute nous proposons au lecteur de

regarder le projet de Cocco C., Dauphin R., Ganour K., [1] ou sur le site Internet de l’association”Voute nubienne” [6] (voire encore a la section 19 a la page 20)

16Cocco C., Dauphin R., Ganour K., [1], p.22 et 617Cocco C., Dauphin R., Ganour K., [1], p.23


la voute sans etayage (pour autant que la cohesion des briques est suffisante). Unangle trop important n’est pas favorable pour la stabilite des briques et un angletrop aplati renvoit les forces verticales (dues au poids propre) exagerement sur lemur pignon et augmente la longueur de la courbe de la voute (durant sa construc-tion). Un angle α = 50(pente de 119.2%)18 a ete pris comme reference. Nous l’avonsfait varier de 50° a 75° (pente de 119.2% a 373.2%).Le conditions limites (bc ou BC) choisis sont les suivantes :

- Les murs pignons sont encastres a leur base. Les briques en contact avec le murpignon seront simplement appuyees. La Figure 3 donne une representation du murpignon avec ses appuis. Cette hypothese ne nous paraıt pas fausse car ce type demur est tout de meme relativement important.

- Sur la longueur de la voute nous avons aussi considere un encastrement (voirFigure 4). Dans le realite nous nous trouverions bien entendu dans un entre deux :entre encastre et articule.

Fig. 3 – Schema d’une vue sur la modelisationdes appuis du mur pignon.

Fig. 4 – Schema d’une vue en biai de la vouteetudiee avec les conditions d’appuis consideres.

Finalement sa valeur eb n’a pas ete etudiee dans le cas de l’etude (mais ca valeur estrestee constante de 0.04 [m]) et le parametre Ni n’a pas ete etudie mais corresponda des bouts d’arcs avances. Ce parametre, inspire par certaines photos19, peut etreintroduit dans le modele. En effet, les angles α et β, la hauteur supplementaire H,le rayon R et l’etat d’avancement Narcs permettent de definir quatre stades deconstruction (c.f. Annexe D page xliv) :

1 La voute commence a ce construire (Figure 11 page xliv)

2 Les arcs de la voute se rejoignent mais ne se touchent pas encore (Figure 12page xliv)

3 La voute s’est refermee mais n’a pas encore une longueur suffisante pour consi-derer que les contraintes restent stalbes (Figure 13 page xlv)

18Cocco C., Dauphin R., Ganour K., [1], p.619Souce internet, [6]


4 La longueur de la voute est suffisante pour dire que les contraintes restentstables, meme en augmentant le nombre d’arcs Narcs (Figure 14 page xlv)

8 Caracteristique du materiau

Le tableau ci-dessous (Tableau 2) resume rapidement les caracteristiques que nousavons prises en compte :

Nous avons tire ces valeurs du dossier ”Voutes nubiennes au Burkina Faso”20. Nousavons par ailleurs effectue deux mesures differentes de masse volumique de briquesimportees du Burkina Faso. La premiere s’est faite par la methode du sable et ladeuxieme par pesee dans l’eau. Nous avons obtenu une masse volumique d’environ1.8 [t/m3]. Selon l’Ing. Civ. Dipl. EPFL Urs Wyss cette valeur est meme un peuelevee. Les resultas se trouvent en Annexe B page xxxix.

Symbole Valeur UniteResistance a la compression σc 2 MpaResistance a la traction σt 0 MPaMasse volumique ρ 2000 kg/m3

Module d’elasticite E 2000 MPaAcceleration gravifique (pour le poids propre) g 9.81 m/s2

Tab. 2 – Tableau des valeurs prises pour les carateristiques du materiau.

9 Modelisation de la voute

9.1 Introduction

Nous rentrons finalement dans l’explication de l’algorithme. Nous vous rappelonsque ce-dernier se trouve a l’Annexe A a la page xii ainsi que sur le CD. De plus,on trouve a l’Annexe E (p.xlvi) les princiales commandes ansys® utilisees dansl’algorithme sus-mentionne.

9.2 Preparation (I.)

Cette partie prepare la compilation. Les explications sur le cote gauche nous pa-raissent suffisantes21.

20Cocco C., Dauphin R., Ganour K., [1], p.9-1021Toutes annotations dans l’editeur est precede de point d’interogation ( !).


9.3 Introduction et construction des parametres (II.)

Cette partie permet d’introduire les valeurs sous forme d’un tableau afin de faci-liter les manipulations ”algorithmiques”. Toute cette partie servira pour la partieInitialisations (III.) ou les valeurs entrees en (II.) seront reprises en (III.).

9.3.1 Definition de la dimension (ici nombre de colonnes) de chaqueligne (ici les parametres α, β , ...) (a.)

Introduction des parametres (utilises) en fonction d’une dimension qui correspond(ici) a un nombre de colonnes.

Exemple :Dans ce cas, si nous prenons tALPHA : c’est une vecteur ligne dont les valeurs sontcomprises dans les colonnes 1 a 6. Nous le verrons plus tard mais si nous prenonstALPHA(1) cela donne tALPHA=-pi 50/180 (premiere colonne de tALPHA).

9.3.2 Construction du tableau avec les valeurs (b.)

Ici nous construisons le tableau. Ca veut dire que pour chaques parametres definisauparavant nous construisons un tableau en y inserant les valeurs.

Exemple :tALPHA a une seul ligne, de dimension 6 (donc 6 colonnes) et nous avons introduit6 valeurs (que nous voulions etudier). Mais nous aurions pu prendre 5 valeurs etlaisser la derniere colonne vide...

9.3.3 Specification des cas de figures du modele parametre (c.)

Ici nous specifions quelle colonne nous voulons donner a chaque parametres pourqu’ils aient chacun une valeur

Exemple :nALPHA=2 (=2eme colonne), tALPHA(nALPHA)=-pi 55/180 (=nous prenons lavaleur de la deuxieme colonne de la vecteur ligne tALPHA).

9.4 Initialisations (III.)

Cette etape permet d’entrer toutes les valeurs geometriques, de la voute mais aussiles conditions aux limites et le type d’element.


9.4.1 Generalites (type de maillage et conditions aux limites) (a.)

Deux types de maillage sont envisageables a ce niveau de projet : triangule et qua-drangulaire. Nous avons essaye de faire marcher le quadrangulaire mais pour cettestructure la, ce type de maillage ne correspond pas.On introduit ensuite ici les conditions aux limites desire (1 : encastre a la base, 2 :articule a la base). Nous avons opte pour l’encastre (comme indique ci-dessus 7 a lapage 5)

9.4.2 Geometrie controlee par la specification fait en II (b.)

Ici c’est la partie ou les valeurs de chaque parametres sont introduit en regard de cequi a ete fait (et dit) ci-dessus a l’etape (II.).

9.4.3 Introduction des parametres du materiau (c.)

Comme le titre l’indique, c’est ici que sont introduit les parametres du materiau(considere comme homogene, nous le rappelons).Nous aurions pu aussi entrer ici (nous l’avons deja prepare) les resistances du ma-teriau, utiles pour definir un critere de rupture (FC : failure criteria), cf. Annexe F(a la page xlvii).

9.4.4 Type d’element (d.)

Quand on travaille en elements finis il est necessaire de savoir quel type d’elementa ete choisi et defini : cette partie est consacree pour cela. Le programme ansys®contient deja un certain nombre de type d’element predefini. Ici, l’element SHELL63 correspond a un element elastique lineaire pouvant travailler en membrane et enflexion (cf. Annexe G, page li)

9.5 Generation des nœuds (IV.)

On genere des nœuds qui vont servir de support pour les differents elements dumaillage. Plusieurs etapes ont ete considerees, chacune d’entre elle possede une nu-merotation specifique qui permet un controle plus facile lors de la generation dumaillage.La courbe de la structure a ete partagee en 4 parties, correspondant aux differentesetapes dans la construction : 2 parties circulaires a la base (1 et 2) et deux ”ogivales”au sommet (3 et 4).


9.5.1 Etape 1 : Le mur pignon (a.)

Le mur pignon est ni plus ni moins que la projection de la forme finale de la voutesur un plan verticale passant par l’origine.Les nœuds numerotes 1xx, 2xx, 3xx, 4xx, lui sont associes : xx correspond au numerodu nœud sur l’arc, (1, 2, 3, 4) a la partie de courbe consideree.

9.5.2 Etape 2 : les arcs inclines (c.)

Le reste de la structure est obtenue par la translation de vecteur eb selon −→z (l’axede symetrie principal de la voute) d’arcs inclines correspondant a la projection de laforme finale sur un plan incline d’angle α. Le ieme arc est numerote de la manieresuivante : i1xx, i2xx, i3xx, i4xx ou i est le numero de l’arc incline, (1, 2, 3, 4) est lapartie de courbe consideree et xx est le numero du noeud

9.5.3 Creation du tableau d’existence des nœuds (b.)

Ce tableau est une astuce algorithmique qui permettra par la suite de gerer le rac-cordement entre le mur pignon et les arcs inclines au niveau du maillage.

9.6 Definition du maillage en elevation de la structure (V.)

Il s’agit donc, maintenant que les nœuds ont ete generes de les ”lier” entre eux pourformer les differents elements du maillage. Une attention toute speciale doit etreportee a la maniere dont sont relies les nœuds. En effet, le sens avec lequel esteffectuee la liaison permet de definir la normale de l’element, donc le repere localassocie a l’element.

L’algorithme suit, a nouveau, les differentes etapes de construction : partie 1, jonc-tion 1-3, partie 2, jonction 2-4, partie 3, jonction 3-4, partie 4. Les jonctions entreles differentes parties doivent etre particulierement soignees. La Figure 6 montre lemaillage obtenu suite a la generation des nœuds de la Figure 5.

Le detail de la Figure 7 necessite d’etre souleve : compte tenu de la maniere dont estgenere l’algorithme (mur pignon puis arcs inclines), le raccord entre le mur pignonet les arcs inclines etait quelque peu problematique. Un detail de type triangulairepermettait de traiter facilement le raccord quelque soit la geometrie specifiee en pre-nant les nœuds du mur pignon comme nœuds de reference. Ce maillage triangules’eloigne neanmoins de la forme des briques et peut donner naissance a des nœudsfortement allonges, ce qui est plutot a eviter. Cependant, cette caracteristique n’estpas tres problematique du fait de l’homogeneite du materiau. De plus, on n’observepas de concentration de σ1 dans cette zone qui de toute facon n’est pas specifique-ment etudiee. En effet, nous n’etudions pas au detail mais de maniere globale lecomportement structurel de la voute.


Fig. 5 – Generation et construction des nœuds de la voute.

9.7 Conditions aux limites (Boundary conditions) (VI.)

En rapport avec ce qui a ete precedemment choisi (ci-dessus en (III.)(a.)), on definiici les conditions aux limites.

9.8 Calcul (VII.)

Le logiciel effectue le calcul sous poids propre. D’autres cas de charges peuvent etreintroduits a ce niveau.

9.9 Affichage (plot) et fin (VIII.)

Ces quelques lignes de code permettent d’afficher directement les valeurs que l’onveut etudier (ici σ1 et σ1,MAX) ainsi que l’allure de la deformee.Cette section permet egalement de definir les caracteristiques du materiau permet-tant la creation d’un critere rupture.

Remarque : L’interface graphiqe d’ansys® permet egalement de multiples vi-sualisations possibles que ce soit en contrainte ou en deformation.


Fig. 6 – Vue sur le maillage de la voute.

Fig. 7 – Vue sur un detail de maillage au niveau du mur pignon.


10 Validation du modele

En prenant la deformee de la structure (voir Figure 15 (p. lxi) a l’Annexe H) onconstate que la structure repond de maniere totalement coherente. De plus en com-parant cette meme structure avec les valeurs des efforts normaux et des moments(voir les Figures 16 et 17 (p. lxi et lxii) a l’Annexe H), nous constatons que nousobtenons plus ou moins les memes resultats que dans le rapport ”Voutes nubiennesau Burkina Faso”22. On remarque par ailleurs que le comportement en coque peutetre adopte meme avec une theorie membranaire alors qu’ici nous en avons pris uneflexionnelle.

Les valeurs des contraintes observees sont relativement faibles (centaines de kPa), ce-pendant l’hypothese de traction nulle semble trop conservatrice puisque l’on obtientdes valeurs en traction (σ1) somme toute non negligeable. Une meilleure connais-sance des proprietes du materiau semble donc indispensable pour pouvoir effectuerdes conclusions quant a la resistance de la structure et envisager un eventuel dimen-sionnement.

Fig. 8 – Vue sur la repartition des contraintesdans le cas ou les appuis sont articules.

Fig. 9 – Vue sur la repartition des contraintesdans le cas ou les appuis sont articules.

De plus, les conditions de bord employees (encastree) ne semblent pas etre en causepuisqu’une etude sur un cas articule a montre des valeurs similaires. En effet la Figure8 et 9 nous montre l’influence des conditions de bord. On remarquera toutefois ledeplacement de la zone critique.

22Cocco C., Dauphin R., Ganour K., [1], p.28


Troisieme partie

Etude parametrique

11 Introduction

Nous voulons par cette etude approfondir et affiner les resultats du dossier ”Voutesnubiennes au Burkina Faso”23 et etudier le comportement structural de la vouteau stade de construction. Apres validation du modele ansys®, une (pre-)etudeetait possible. Nous avons choisi, comme deja dit au chapitre d’introduction (auchapitre I sous la section 3, a la page 1), de faire varier 3 parametres, a savoir2 parametres par graphe (3D) et en multipliant le nombre de graphe en faisantvarier le troisieme parametre (environ 3 graphes). Nous avons ensuite compare cesresultats en sortant la composante σ1 pour chaque compilation. Par exemple nousfaisions varier la valeur de H et de R pour un Narcs donne. Nous obtenions alorsun graphique de surface, puis nous repetions cette etude mais pour deux autresNarcs. De ces trois (ou quatre) graphiques obtenus, nous pouvons alors observerquelles sont les tendances de chaque parametres. Le choix de σ1 s’est effectue carnous recherchions un parametre independant de la geometrie locale des elements etqui pouvait constituer un critere de dimensionnement eventuel. Cette derniere raisondevra etre verifiee.Tous les graphes se trouvent a l’Annexe I a la page lxiii. La contrainte σ1,MAX apresque toujours ete reperee en pied de voute.

12 Etude 1

Recherche : σ1 en fonction de l’angle α et du rayon R a differents stades deconstruction (Narcs = 10,Narcs = 20,Narcs = 50,Narcs = 100).

Graphes : Figures 18, 19, 20 et 21 (pages lxiii, lxiii, lxiv et lxiv).

Valeurs fixes : β=60 [deg],H=0 [m], e=0.12 [m].

Observations Selon ce qui a deja ete dit precedemment (a la section 7 page 5)nous pouvons constater 4 stades de construction. Nous renvoyons par ailleurs lelecteur aux Figures 18 a 21 (aux pages lxiii a lxiv). Nous constatons qu’il existe a unmoment donne un pic ou les σ1 sont maximums. Ils correspondent a un rayon R etun angle α donnes au stade juste avant que la voute ne se referme. Cette remarquen’est pas etonnante et nous continuons nos observations. Nous constatons que ces

23Cocco C., Dauphin R., Ganour K., [1]


pics tendent a s’eloigner avec l’augmentation de Narcs. Rien encore d’etonnant,cela nous indique qu’effectivement apres un certain stade d’avancement les pics nepeuvent exister (avec nos intervalles choisis). Apres un certain stade seul le parametreR reste influent, quant a α nous constatons qu’il n’influence plus du tout la contrainteσ1. Mais attention, ne perdons pas l’aspect constructif pour lequel l’inclinaison desarcs reste importante.Cette permiere etude nous renseigne donc que le stade initial, la ou la voute n’est pasencore fermee, est un stade delicat. Nous remarquons finalement que pour un rayonR = 1.6[m] on obtient une contrainte σ1 ≈ 200[kPa] a l’etat final. Nous voyons doncque c’est bien le stade constructif et non final qui est determinant. Nous en tironsces conclusions :

- Pre-pic : l’angle est determinant (plus l’inclinaison est forte plus σ1 est important).- Pic : l’amplitude du pic depend du rayon et semble egalement etre influencee par

l’angle (cf. etude 2). Et plus l’angle est grand plus le pic intervient tot dans laconstruction (cf. etude 2).

- Post-pic : augmentation progressive des contraintes dans le regime post-pic avecl’augmentation du nombre d’arcs.

- Etat final (grand nombre d’arcs) : le rayon est determinant l’angle d’inclinaisonn’a quasiment plus aucune influence.

13 Etude 2

Recherche : σ1 en fonction de l’angle α et du stade de construction pour un rayonfixe a 1.6 [m].

Graphes : Figures 22 et 23 (pages lxv et lxv).

Valeurs fixes : β=60 [deg],H=0 [m], e=0.12 [m].

Observations : Ce qui a ete dit precedemment est renforce par ce pic depassant lavaleur σ1 de l’etat final. On remarque simplement sur la Figure 22 que pour un rayonR, un nombre d’arcs Narcs et un angle α donnes un pic survient. C’est-a-dire qu’ily a a ce stade constructif un etat determinant. Le pics n’etant certainement pas isolenous affinons les increments α et Narcs et nous obtenons la Figure 23. Encore unefois rien d’etonnant : nous confirmons ce qui a ete dit precedemment pour l’etude1. Nous rajoutons que tres certainement l’angle d’inclinaison des briques ne semblepas avoir d’influence sur l’amplitude des pics. Nous relevons toutefois un pics pluseleve pour R = 1.6[m].


14 Etude 3

Recherche : σ1 en fonction de la hauteur supplementaire a la cle H et de l’angleβ a differents stade de construction pour un rayon donne de 1.6 [m] (Narcs =30,Narcs = 50,Narcs = 100).

Graphes : Figures 24, 25 et 26 (pages lxvi, lxvi et lxvii).

Valeurs fixes : alpha=55 [deg], R=1.6 [m], e=0.12 [m].

Observations : Il semble y avoir encore un pic pour R = 1.6[m] avec un avance-ment de Narcs = 30 et β = 75. Mais nous ne pouvons pas nous prononcer pour lesautres valeurs. Il serait interessant d’affiner notre modele. Tout ce que nous pouvonsdire ce que comme pour l’etape 1 et 2 est qu’il existe de grandes differences de com-portement suivant l’etape de construction. On remarque entre autre qu’au debut βn’influence que tres peu σ1, ce qui est logique puisque la voute est sur le point dese fermer. C’est donc H qui va fortement influencer σ1. Par la suite on remarqueque plus H augmente plus β est sensible. Une fois de plus la logique nous ratrape :avec un H = 0 nous avons un cercle et donc β n’a pas d’influence. Cependant nousconstatons que plus H augmente (et β diminue) et plus l’influence est favorable pourσ1. Il faut etre prudent avec cette observation. Nous avons choisi (a tort ou a raison)de prendre σ1 comme critere de comparaison. Nous savons toutefois qu’a la jonctiondes deux courbes une cassure se cree et engendre d’autres contraintes, de cisaille-ment par exemple, qui n’est pas observe ici. Une etude sur le cisaillement auraitdonc ete necessaire dans cette zone. Nous constatons finalement que la diminutionde σ1 reste toutefois faible.

15 Etude 4

Recherche : σ1 en fonction de la hauteur supplementaire a la cle H et du rayonR a differents stades de construction pour un α et β donne (Narcs = 30,Narcs =50,Narcs = 100).

Graphes : Figures 27, 28 et 29 (pages lxviii, lxviii et lxix).

Valeurs fixes : α=55 [deg], β=60 [m], e=0.12 [m].

Observations : Trois observations peuvent etre faites : D’abord sur le graphede la Figure 27 on peut simplement dire que pour une rayon R ainsi que pour unNarcs et H donnee il existe un pic (rien de particulier). Ensuite (sur le deux Figures


suivantes) on observe que le H n’influence pas le rayon. Mais, derniere observation(Figure 29), il existe une legere chute (certes minime) lorsque H = 0.7 − 0.8[m].Cette cassure est sans importance mais nous n’arrivons pas a l’expliquer.

16 Etude 5

Recherche : σ1 en fonction du nombres d’arcs Narcs et de l’epaisseur e pourdifferents rayons (R = 1.2[m],R = 1.6[m], R = 2.0[m])

Graphes : Figures 30, 31 et 32 (pages lxx, lxx et lxxi).

Valeurs fixes : α=55 [deg], β=60 [m], H = 0.05[m].

Observations : Nous arrivons a notre derniere etude. Nous pouvons tres facile-ment observer deux phenomenes sur les figures concernees : premierement un picsapparaıt pour des criteres geometrique bien definis. Ici rien de nouveau, nous l’avonsdeja vu auparavant. Deuxiemement, chose plus interessant, c’est que l’epaisseur di-minue de maniere significative les contraintes σ1. Cette derniere observation interes-sante ne demande qu’a etre verifiee de maniere plus precise.


Quatrieme partie

Conclusion

17 Rappel des idees et reponse a la question

Le tableau ci-dessous (Tableau 3) cherche a condenser ce qui a ete dit dans le chapitreIII a la page 15. Il y a donc quatres stades de construction : pre-pic, pic, post-pic,”etat final”. Parmis ces stades, le stade du pic correspond au moment jute avant defermer la voute. C’est donc une etape importante ou il faut preter attention.Parmis les differents parametres nous nous sommes rendu compte que les parametresdeterminants sont le rayon R voire l’epaisseur e. Quand aux autres parametres ilspeuvent etre necessaire dans une recherche d’optimisation. Mais connaissant les aleasde la construction, nous pouvons aisement avancer qu’ils n’ont pas d’influence signi-ficative.

Etape pre-pic Etape pic Etape post-pics

α Plutot bien si faible. Permet de controlerpour un rayon donne aquel stade se trouve le

pic.

Pas d’effet sur σ1. Maisattention aux autrescontraintes !

β

Pas d’effet ou faibleinfluence avec

augmentation. Logiquecar voute pas encore

fermee.

?

Influencee d’autant queH est grand (H=0 ”->”cercle). D’autant plusfavorable que beta estpetit.

H

Voir case beta. Etlegere influence de H (a

0.08m d’epaisseur)pour tout rayon.

Epaisseur de 0.08m? Incomprehension ?

e FavorableR Augmente la contrainte (logique)

Tab. 3 – Tableau recapitulatif de l’influence des parametres geometriques.

Nous avons donc pour le moment un modele qui fonctionne et qui ne demande qu’aetre utilise pour tester d’autres combinaisons. Nous avons clairement vu entre autreque l’hypothese de traction nulle semble beaucoup trop conservatrice. Finalement ilmanque cruellement dans notre etude un critere de rupture pour passer a une etapesuivant et pourquoi pas a des abaques de dimensionnement ?


18 Comment poursuivre le projet ?

Nous tenons d’abord a rajouter quelques donnees que nous n’avons pas utilisees maisqui peuvent peut-etre etre utiles pour la poursuite du projet :

- Il serait bon de voir si des essais ont ete effectues sur des briques.- La terre n’est pas la meme sur toute la partie de l’ouvrage.- La terre utilisee ne doit pas gonfler sous l’effet de l’humidite.- A l’etat final, lorsque le remblai est ”pose”, une distance d’environ 15 a 30 [cm]

separe la cle de voute au sommet du toit.- On peut considerer que la brique supporte une compression de 2 [MPa].

Ensuite il serait bon d’etudier le comportement de la structure a des deformationsimposees. Il faudrait aussi connaıtre les possibilites d’ouverture(s) et de jonction(s)de voute. Il faudrait aussi etudier la construction a son etat final, avec le remblai.Nous sommes en train d’etudier une forme qui satisfait un etat de construction bienprecis. Quel est le stade determinant et quelle est la forme la plus adequate pour tousles stades d’avancement ? Il devient donc necessaire de faire des etudes sur le typede materiau et etre plus ou moins clair sur ses caracteristiques et son comportement.Nous renvoyons donc le lecteur sur un diplome de Master qui aiderait a comprendrecomment reconstituer des briques en Europe sans l’importer du Burkina Faso dansle but, pourquoi pas, de faire des essais a une echelle 1 :1. Il faudrait aussi connaıtreles types de ruptures classiques. Rechercher la possibilite de faire des abaques dedimensionnement sur papier voire sur ordinateur, etc.

19 Quelques ouvrages de reference et personnes

de contact utiles

Ouvrages interessants Outre les ouvrages que nous avons references (a la pagexi) nous proposons ici d’autres ouvrages que nous jugeons interessant pour d’autresetudes ou pour les personnes cherchant a completer un manque.- Wyss U., ”La construction en �materiaux locaux�”, ”Etat d’un secteur a

potentiel multiple”, DDC, Ouagadougou, decembre 2005, 79 p.- Doat P., Hays A., Houben H., Matuk S., Vitoux F., ”Construire en terre”,

CRAterre (Centre de recherche et d’application - Terre), editions alternatives,collection AnArchitecture, 1985, 287 p.

- Houben H., Guillaud H., ”Traite de construction en terre”, L’encyclopedie dela construction en terre - Volume 1 -, CRAterre (Centre de recherche et d’appli-cation - Terre), Editions Parentheses, 1989, 355 p.

- Butterworth Scientific ,”Brickwork arch detailing”, Ibstock, 1989, 116 p.- Fernandez Rodrigo, ”Fibre reinforced soilcrete blocks for the. Construc-

tion of low cost housing”, Diploma projet 2003-2004, EPFL, 98 p.- Farshad M., ”Design and Analysis of Shell Structures”, Solid mechanics and

its applications, Volume 16, Kluwer Academic Publishers, 1992 ,415 p.


- CRATerre-EAG, ”Elements de Base sur la Construction en Arcs, Vouteset Coupoles”, ”Possibilites et limites de la construction en arcs, voutes et cou-poles por les decideurs et les pro-fessionnels de la construction”, SKAT, 1994, 27p.

- www.earth-auroville.com- www.ddc.admin.ch/

Personnes de contacts- Ing. Civ. Dipl. EPFL Urs Wyss- Monsieur Granier (il travaille pour l’association Voute nubienne)

20 Les fichiers dans le CD

- Le present rapport.- Le fichier format .txt et .pdf de l’algorithme.- Cocco C., Dauphin R., Ganour K., ”Voutes nubiennes au Burkina Faso”,

Projet de semestre, EPFL-ENAC-SGC-IMAC, hiver 2006-2007, 51 p.- Wyss U., ”Dissemination des techniques de construction de toitures eco-

nomiques et non consommatrices de bois au Burkina Faso”, Rapport,Evaluation, octobre 2005, 60 p.

- Granier T., Kaye A., Ravier J., Sillou D., ”The Nubian Vault : Earth roofsin the Sahel”, Association la Voute Nubienne (AVN), date incunnue, 14 p.

- La Base mondiale de donnees sur les sols : avantages et faiblesses pour la connais-sance et l’utilisation des milieux edaphiques au Burkina Faso.

- ”Principe de structure & regles de base”, ”Construction sans bois”, AnnexeX, Developement Workshop pour la Projet Construction sans Bois, Niger.

- Un dossier des images du present dossier.- Une image sur l’analyse granulometrique du Burkina Faso, de source inconnue.- Une image sur la repartition du sol du Burkina Faso, de source inconnue.- Une feuille de resume du projet de Master suivant : Fernandez Rodrigo, ”Fibre

reinforced soilcrete blocks for the. Construction of low cost housing”, Diplomaprojet 2003-2004, EPFL, 98 p.

Projet de semestre - Voutes nubiennes II - xi

References

[1] Cocco C., Dauphin R., Ganour K., ”Voutes nubiennes au Burkina Faso”, Projetde semestre, EPFL-ENAC-SGC-IMAC, hiver 2006-2007, 51 p.

[2] Wyss U., ”Dissemination des techniques de construction de toitures econo-miques et non consommatrices de bois au Burkina Faso”, Rapport, Evalua-tion, octobre 2005, 60 p.

[3] Frey F., ”Analyse des structures et milieux continus”, ”Mecanique des struc-tures”, Volume 2, Traite de Genie Civil, Presse Polytechniques et Universitaire Ro-mandes, 2000, 453 p.

[4] Granier T., Kaye A., Ravier J., Sillou D., ”The Nubian Vault : Earth roofs inthe Sahel”, Association la Voute Nubienne (AVN), date incunnue, 14 p.

[5] Frey F., Jirousek J., ”Analyse des structures et milieux continus”, ”Methodedes elements finis”, Volume 6, Traite de Genie Civil, Presse Polytechniques et Uni-versitaire Romandes, 2000, 300 p.

[6] www.lavoutenubienne.org/

Projet de semestre - Voutes nubiennes II - xii

Cinquieme partie

Annexes

A Annexe - Algorithme ANSYS®

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FIN

ISH

Projet de semestre - Voutes nubiennes II - xxxix

B Annexe - Resultat des mesures de la masse vo-

lumique des briques

EPFL Projet de semestre Voûte nubienne II

CALCUL DE LA MASSE VOLUMIQUE D'UNE BRIQUE EN TERRE DU BURKINA FASSO

2 échantillons avec 3 essais pour chaque pesées

Matériels : 3 récipients ( un bac , une casserole, un godet ), une balance, du sable fin

Hypothèses: Gama eau 1.00E+06 [g/m3]Gamma correspond à la masse volumique

= Valeur à obtenir T1 : brique N°1= Valeur à introduire T2 : brique N°2

ESSAI 1 ESSAI 2 ESSAI 3Etape 1 : Pesée des récipients

Mgodet 107.4 107.5 107.4 [g]Mcasserole 556.7 556.8 556.7 [g]

Moyenne Mgodet 107.43 [g]Mcasserole 556.73 [g]

Etape 2 : Obtention du volume du godet

Mgodet + eau 1388.4 1384.3 1384 [g]

Moyenne Mgodet + eau 1385.57 [g]Vgodet 1.28E-03 m3

Etape 3 : Obtention du gamma du sable utilisé (sable fonderies Moudon)

Mgodet + sable 2241 2241 2228 [g]

Moyenne Mgodet + sable 2236.67 [g]Msable 2129.23 [g]

Gamma sable 1.67E+06 [g/m3]1665.89 [kg/m3]

Semestre : Été 2007


Etape 4 : 3x2 pesées des échantillons de terre

MT1 1544.2 1544 1544 [g] APRESMT1 1550 1550 1549.4 [g] AVANTMT2 1481.8 1482 1481.6 [g] AVANTMT2 1480 1480 1480 [g] APRES

Moyenne MT1 1544.07 [g] APRESMT1 1549.80 [g] AVANTMT2 1481.80 [g] AVANTMT2 1480.00 [g] APRES

MT1 1546.93 [g] MOYENMT2 1480.90 [g] MOYEN

Etape 5 : Obtention du volume de la casserole

Mcasserole + sable 7286 7167 7261 [g]

Moyenne Mcasserole + sable 7238.00 [g]Vcasserole 4.01E-03 m3

Etape 6 : Obtention du gamma de la terre

MMT1+casserole + sable 7292 7403 7414 [g]MMT2+casserole + sable 7378 7332 7302 [g]

Moyenne MMT1+casserole + sable 7369.67 [g]MMT2+casserole + sable 7337.33 [g]VT1 8.50E-04 m3

VT2 8.29E-04 m3

Gamma T1 1.82E+06 [g/m3]Gamme T2 1.79E+06 [g/m3]

RESULTAT GAMMA T Moyenne 1.80E+06 [g/m3]1803.27 [kg/m3]

1.80 [t/m3]



s

CALCUL DE LA MASSE VOLUMIQUE D'UNE BRIQUE EN TERRE DU BURKINA FASSO

1 échantillons avec 1 essais

Matériels : un support, une balance, un bac avec de l'eau

Hypothèse Gama eau 1000 [kg/m3]Gamma correspond à la masse volumique

= Valeur à obtenir T1 : brique N°1= Valeur à introduire

ESSAI 1Etape 1 :

Masse du support [M1] 278.40 [g]Masse du support immergé [M2] 250.00 [g]

Etape 2 :Masse de l'échantillon + support [M3] 1762.50 [g]

Masse de l'éch. + support immergés [M4] 926.00 [g]

Etape 3 :

RESULTAT GAMMA T 1836.53 [kg/m3]1.84 [t/m3]


Projet de semestre - Voutes nubiennes II - xliii

C Annexe - Comparaison de la forme parabolique

et ”ogivale” par incrementation

Fig. 10 – Vue generale sur une forme ”ogivale”, parabolique et circulaire (R=1.62m,H=0.06m, Beta= 60°). On observe, une tres bonne concordance entre l’equation parabo-lique et la construction par incrementation pour une forme relativement classique.

Projet de semestre - Voutes nubiennes II - xliv

D Annexe - Les quatre stades d’avancement de la

voute

Fig. 11 – Vue sur le satde 1 ou la voute commence a se construire.

Fig. 12 – Vue sur le satde 2 ou les courbes de la voute se rejoignent mais ne se touchentpas encore

Projet de semestre - Voutes nubiennes II - xlv

Fig. 13 – Vue sur le stade 3 ou la voute s’est refermee mais n’a pas encore une longueursuffisante pour considerer que les contraintes restent stables

Fig. 14 – Vue sur le stade 4 ou la longueur de la voute est suffisante pour dire que lescontraintes restent stables meme en augmentant le nombre d’arcs Narcs. Ici nous avonsobserve que pour 100 arcs la construction reste stable quelque soit l’augmentation deNarcs.

Projet de semestre - Voutes nubiennes II - xlvi

E Annexe - Commandes ANSYS®

Lexique presentant les principales commandes ansys® utilisees dans le code (deplus amples informations peuvent etre trouve dans l’aide du logiciel) :

/PREP7 : entree dans le preprocessing/SOLU : entree dans le module de calcul/POST1 : entree dans le postprocessing

BC : Boundary conditionsET : Element typeN : NoeudE : ElementMP : Material propertiesNSEL : Selection des nœudsD, ALL, ALL : encastrement des nœuds selectionnesD, ALL, UX, 0.0 : blocage du deplacement selon X, la rotation reste libreANTYPE : type d’analysePLESOL,S,1,1 : affichage de la contrainte principale 1

*AFUN,RAD : definition de la mesure des angles*DIM : creation d’un tableau ou d’une matrice*VFILL : remplissage d’un tableau ou d’une matrice avec des valeurs*DO / *ENDDO : boucle for*IF / *ELSEIF / *ELSE / *ENDIF : boucle if

Projet de semestre - Voutes nubiennes II - xlvii

F Annexe - Critere de rupture

2.3. Structural Strain and Stress Evaluations

2.3.1. Integration Point Strains and Stresses

The element integration point strains and stresses are computed by combining equations Equation 2–1 and Equation 2–44to get:

where:

Nodal and centroidal stresses are computed from the integration point stresses as described in Nodal and Centroidal Data Evaluation.

2.3.2. Surface Stresses

Surface stress output may be requested on “free” faces of 2-D and 3-D elements. “Free” means not connected to other elements as well as not having any imposed displacements or nodal forces normal to the surface. The following steps are executed at each surface Gauss point to evaluate the surface stresses. The integration points used are the same as for an applied pressure to that surface.

1. Compute the in-plane strains of the surface at an integration point using:

Hence, , and are known. The prime (') represents the surface coordinate system, with z being normal to the surface.

2. A each point, set:

where P is the applied pressure. Equation 2–63 and Equation 2–64 are valid, as the surface for which stresses are computed is presumed to be a free surface.

3. At each point, use the six material property equations represented by:

(2–59)

(2–60)

{εel} = strains that cause stresses (output as EPEL)[B] = strain-displacement matrix evaluated at integration point{u} = nodal displacement vector{εth} = thermal strain vector{σ} = stress vector (output as S)[D] = elasticity matrix

(2–61)

(2–62)

(2–63)

(2–64)

(2–65)

Theory Reference | Chapter 2. Structures |

Page 1 of 32.3. Structural Strain and Stress Evaluations

18.05.2007mk:@MSITStore:C:\Program%20Files\Ansys%20Inc\v100\commonfiles\help\en-us\a...

to compute the remaining strain and stress components ( , , , , and .

4. Repeat and average the results across all integration points.

2.3.3. Shell Element Output

For elastic shell elements, the forces and moments per unit length (using shell nomenclature) are computed as:

where:

For shell elements with linearly elastic material, Equation 2–66 to Equation 2–73 reduce to:

(2–66)

(2–67)

(2–68)

(2–69)

(2–70)

(2–71)

(2–72)

(2–73)

Tx, Ty, Txy = in-plane forces per unit length (output as TX, TY, and TXY)

Mx, My, Mxy = bending moments per unit length (output as MX, MY, and MXY)

Nx, Ny = transverse shear forces per unit length (output as NX and NY)

t = thickness at midpoint of element, computed normal to center planeσx, etc. = direct stress (output as SX, etc.)

σxy, etc. = shear stress (output as SXY, etc.)

(2–74)

(2–75)



For shell elements with nonlinear materials, Equation 2–66 to Equation 2–73 are numerically integrated.

It should be noted that the shell nomenclature and the nodal moment conventions are in apparent conflict with each other. For example, a cantilever beam located along the x axis and consisting of shell elements in the x-y plane that deforms in the z direction under a pure bending load with coupled nodes at the free end, has the following relationship:

where:

The shape functions of the shell element result in constant transverse strains and stresses through the thickness. Some shell elements adjust these values so that they will peak at the midsurface with 3/2 of the constant value and be zero at both surfaces, as noted in the element discussions in Chapter 14: "Element Library".

The thru-thickness stress (σz) is set equal to the negative of the applied pressure at the surfaces of the shell elements, and linearly interpolated in between.

(2–76)

(2–77)

(2–78)

(2–79)

(2–80)

(2–81)

(2–82)

b = width of beamFMY = nodal moment applied to the free end (input as VALUE on F command with Lab = MY (not MX))



Projet de semestre - Voutes nubiennes II - li

G Annexe - Element SHELL 63 sur ANSYS®

SHELL63 Elastic Shell

MP ME ST <> <> PR <> <> <> PP ED

SHELL63 Element Description SHELL63 has both bending and membrane capabilities. Both in-plane and normal loads are permitted. The element has six degrees of freedom at each node: translations in the nodal x, y, and z directions and rotations about the nodal x, y, and z-axes. Stress stiffening and large deflection capabilities are included. A consistent tangent stiffness matrix option is available for use in large deflection (finite rotation) analyses. See SHELL63 in the ANSYS, Inc. Theory Reference for more details about this element. Similar elements are SHELL43 and SHELL181 (plastic capability), and SHELL93 (midside node capability). The ETCHG command converts SHELL57 and SHELL157 elements to SHELL63.

Figure 63.1 SHELL63 Geometry

xIJ = Element x-axis if ESYS is not supplied.

x = Element x-axis if ESYS is supplied.

SHELL63 Input Data The geometry, node locations, and the coordinate system for this element are shown in Figure 63.1: "SHELL63 Geometry". The element is defined by four nodes, four thicknesses, an elastic foundation stiffness, and the orthotropic material properties. Orthotropic material directions correspond to the element coordinate directions. The element coordinate system orientation is as described in Coordinate Systems. The element x-axis may be rotated by an angle THETA (in degrees). The thickness is assumed to vary smoothly over the area of the element, with the thickness input at the four nodes. If the element has a constant thickness, only TK(I) need be input. If the thickness is not constant, all four thicknesses must be input. The elastic foundation stiffness (EFS) is defined as the pressure required to produce a unit normal deflection of the foundation. The elastic foundation capability is bypassed if EFS is less than, or equal to, zero. For certain nonhomogeneous or sandwich shell applications, the following real constants are provided: RMI is the ratio of the bending moment of inertia to be used to that calculated from the input thicknesses. RMI defaults to 1.0. CTOP and CBOT are the distances from the middle surface to the extreme fibers to be used for stress evaluations. Both CTOP and CBOT are positive, assuming that the middle surface is between the fibers used for stress evaluation. If not input, stresses are based on the input thicknesses. ADMSUA is the added mass per unit area. Element loads are described in Node and Element Loads. Pressures may be input as surface loads on the element faces as shown by the circled numbers on Figure 63.1: "SHELL63 Geometry". Positive pressures act into the element. Edge pressures are input as force per unit length. The lateral pressure loading may be an equivalent (lumped) element load applied at the nodes (KEYOPT(6) = 0) or distributed over the face of the element (KEYOPT(6) = 2). The equivalent element load produces more accurate stress results with flat elements representing a curved surface or elements supported on an elastic foundation since certain fictitious bending stresses are eliminated. Temperatures may be input as element body loads at the "corner" locations (1-8) shown in Figure 63.1: "SHELL63 Geometry". The first corner temperature T1 defaults to TUNIF. If all other temperatures are unspecified, they default to T1. If only T1 and T2 are input, T1 is used for T1, T2, T3, and T4, while T2 (as input) is used for T5, T6, T7, and T8.

Element Reference | Part I. Element Library |

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For any other input pattern, unspecified temperatures default to TUNIF. KEYOPT(1) is available for neglecting the membrane stiffness or the bending stiffness, if desired. A reduced out-of-plane mass matrix is also used when the bending stiffness is neglected. KEYOPT(2) is used to activate the consistent tangent stiffness matrix (that is, a matrix composed of the main tangent stiffness matrix plus the consistent stress stiffness matrix) in large deflection analyses [NLGEOM,ON]. You can often obtain more rapid convergence in a geometrically nonlinear analysis, such as a nonlinear buckling or postbuckling analysis, by activating this option. However, you should not use this option if you are using the element to simulate a rigid link or a group of coupled nodes. The resulting abrupt changes in stiffness within the structure make the consistent tangent stiffness matrix unsuitable for such applications. KEYOPT(3) allows you to include (KEYOPT(3) = 0 or 2) or suppress (KEYOPT(3) = 1) extra displacement shapes. It also allows you to choose the type of in-plane rotational stiffness used:

KEYOPT(3) = 0 or 1 activates a spring-type in-plane rotational stiffness about the element z-axis KEYOPT(3) = 2 activates a more realistic in-plane rotational stiffness (Allman rotational stiffness - the program uses default penalty parameter values of d1 = 1.0E-6 and d2 = 1.0E-3).

Using the Allman stiffness will often enhance convergence behavior in large deflection (finite rotation) analyses of planar shell structures (that is, flat shells or flat regions of shells). KEYOPT(7) allows a reduced mass matrix formulation (rotational degrees of freedom terms deleted). This option is useful for improved bending stresses in thin members under mass loading. KEYOPT(8) allows a reduced stress stiffness matrix (rotational degrees of freedom deleted). This option can be useful for calculating improved mode shapes and a more accurate load factor in linear buckling analyses of certain curved shell structures. KEYOPT(11) = 2 is used to store midsurface results in the results file for single or multi-layer shell elements. If you use SHELL,MID, you will see these calculated values, rather than the average of the TOP and BOTTOM results. You should use this option to access these correct midsurface results (membrane results) for those analyses where averaging TOP and BOTTOM results is inappropriate; examples include midsurface stresses and strains with nonlinear material behavior, and midsurface results after mode combinations that involve squaring operations such as in spectrum analyses. A summary of the element input is given in "SHELL63 Input Summary". A general description of element input is given in Element Input.

SHELL63 Input Summary

Nodes I, J, K, L

Degrees of Freedom UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ

Real Constants

Material Properties EX, EY, EZ, (PRXY, PRYZ, PRXZ or NUXY, NUYZ, NUXZ), ALPX, ALPY, ALPZ (or CTEX, CTEY, CTEZ or THSX, THSY, THSZ), DENS, GXY, DAMP

Surface Loads Pressures --

Body Loads Temperatures --

T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7, T8

Special Features

TK(I), TK(J), TK(K), TK(L), EFS, THETA, RMI, CTOP, CBOT, (Blank), (Blank), (Blank), (Blank), (Blank), (Blank), (Blank), (Blank), (Blank), ADMSUASee Table 63.1: "SHELL63 Real Constants" for a description of the real constants

face 1 (I-J-K-L) (bottom, in +Z direction), face 2 (I-J-K-L) (top, in -Z direction), face 3 (J-I), face 4 (K-J), face 5 (L-K), face 6 (I-L)

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KEYOPT(1) Element stiffness:

0 -- Bending and membrane stiffness

1 -- Membrane stiffness only

2 -- Bending stiffness only

KEYOPT(2) Stress stiffening option:

0 -- Use only the main tangent stiffness matrix when NLGEOM is ON. (Stress stiffening effects used in linear buckling or other linear prestressed analyses must be activated separately with PSTRES,ON.)

1 --

Use the consistent tangent stiffness matrix (that is, a matrix composed of the main tangent stiffness matrix plus the consistent stress stiffness matrix) when NLGEOM is ON and when KEYOPT(1) = 0. (SSTIF,ON will be ignored for this element when KEYOPT(2) = 1 is activated.) Note that if SOLCONTROL is ON and NLGEOM is ON, KEYOPT(2) is automatically set to 1; that is, the consistent tangent will be used.

2 -- Use to turn off consistent tangent stiffness matrix (i.e., a matrix composed of the main tangent stiffness matrix plus the consistent stress stiffness matrix) when SOLCONTROL is ON. Sometimes it is necessary to turn off the consistent tangent stiffness matrix if the element is used to simulate rigid bodies by using a very large real constant number . KEYOPT(2) = 2 is the same as KEYOPT(2) = 0, however, KEYOPT(2) = 0 is controlled by SOLCONTROL, ON or OFF, while KEYOPT(2) = 2 is independent of SOLCONTROL.

KEYOPT(3) Extra displacement shapes:

0 -- Include extra displacement shapes, and use spring-type in-plane rotational stiffness about the element z-axis (the program automatically adds a small stiffness to prevent numerical instability for non-warped elements if KEYOPT(1) = 0).

Note For models with large rotation about the in-plane direction, KEYOPT(3) = 0 results in some transfer of moment directly to ground.

1 -- Suppress extra displacement shapes, and use spring-type in-plane rotational stiffness about the element z-axis (the program automatically adds a small stiffness to prevent numerical instability for non-warped elements if KEYOPT(1) = 0).

2 -- Include extra displacement shapes, and use the Allman in-plane rotational stiffness about the element z-axis). See the ANSYS, Inc. Theory Reference.

KEYOPT(5) Extra stress output:

0 -- Basic element printout

Stress stiffeningLarge deflectionBirth and death

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2 -- Nodal stress printout

KEYOPT(6) Pressure loading:

0 -- Reduced pressure loading (must be used if KEYOPT(1) = 1)

2 -- Consistent pressure loading

KEYOPT(7) Mass matrix:

0 -- Consistent mass matrix

1 -- Reduced mass matrix

KEYOPT(8) Stress stiffness matrix:

0 -- “Nearly” consistent stress stiffness matrix (default)

1 -- Reduced stress stiffness matrix

KEYOPT(9) Element coordinate system defined:

0 -- No user subroutine to define element coordinate system

4 -- Element x-axis located by user subroutine USERAN

Note See the Guide to ANSYS User Programmable Features for user written subroutines

KEYOPT(11) Specify data storage:

0 -- Store data for TOP and BOTTOM surfaces only

2 --

Store data for TOP, BOTTOM, and MID surfaces

Table 63.1 SHELL63 Real Constants

No. Name Description1 TK(I) Shell thickness at node I2 TK(J) Shell thickness at node J3 TK(K) Shell thickness at node K4 TK(L) Shell thickness at node L5 EFS Elastic foundation stiffness6 THETA Element X-axis rotation7 RMI Bending moment of inertia ratio

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SHELL63 Output Data The solution output associated with the element is in two forms:

Nodal displacements included in the overall nodal solution Additional element output as shown in Table 63.2: "SHELL63 Element Output Definitions"

Several items are illustrated in Figure 63.2: "SHELL63 Stress Output". Printout includes the moments about the x face (MX), the moments about the y face (MY), and the twisting moment (MXY). The moments are calculated per unit length in the element coordinate system. The element stress directions are parallel to the element coordinate system. A general description of solution output is given in Solution Output. See the ANSYS Basic Analysis Guide for ways to view results.

Figure 63.2 SHELL63 Stress Output

xIJ = Element x-axis if ESYS is not supplied.

x = Element x-axis if ESYS is supplied.

The Element Output Definitions table uses the following notation: A colon (:) in the Name column indicates the item can be accessed by the Component Name method [ETABLE, ESOL]. The O column indicates the availability of the items in the file Jobname.OUT. The R column indicates the availability of the items in the results file. In either the O or R columns, Y indicates that the item is always available, a number refers to a table footnote that describes when the item is conditionally available, and a - indicates that the item is not available.

Table 63.2 SHELL63 Element Output Definitions

8 CTOP Distance from mid surface to top9 CBOT Distance from mid surface to bottom10, ..., 18 (Blank) - -19 ADMSUA Added mass/unit area

Name Definition O REL Element Number Y YNODES Nodes - I, J, K, L Y YMAT Material number Y YAREA AREA Y YXC, YC, ZC Location where results are reported Y 1PRES Pressures P1 at nodes I, J, K, L; P2 at I, J, K, L; P3 at J, I; P4 at Y Y

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1. Available only at centroid as a *GET item. 2. The equivalent strains use an effective Poisson's ratio: for elastic and thermal this value is set by the user

(MP,PRXY).

Table 63.3 SHELL63 Miscellaneous Element Output

1. Output at each node, if KEYOPT(5) = 2, repeats each location

Table 63.4: "SHELL63 Item and Sequence Numbers" lists output available through the ETABLE command using the Sequence Number method. See The General Postprocessor (POST1) in the ANSYS Basic Analysis Guide and The Item and Sequence Number Table in this manual for more information. The following notation is used in Table 63.4: "SHELL63 Item and Sequence Numbers":

Name output quantity as defined in the Table 63.2: "SHELL63 Element Output Definitions"

Item predetermined Item label for ETABLE command

E sequence number for single-valued or constant element data

I,J,K,L sequence number for data at nodes I,J,K,L

Table 63.4 SHELL63 Item and Sequence Numbers

K, J; P5 at L, K; P6 at I, LTEMP Temperatures T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7, T8 Y YT(X, Y, XY) In-plane element X, Y, and XY forces Y YM(X, Y, XY) Element X, Y, and XY moments Y YFOUND.PRESS Foundation pressure (if nonzero) Y -LOC Top, middle, or bottom Y YS:X, Y, Z, XY Combined membrane and bending stresses Y YS:1, 2, 3 Principal stress Y YS:INT Stress intensity Y YS:EQV Equivalent stress Y YEPEL:X, Y, Z, XY Average elastic strain Y YEPEL:EQV Equivalent elastic strain [2] - YEPTH:X, Y, Z, XY Average thermal strain Y YEPTH:EQV Equivalent thermal strain [2] - Y

Description Names of Items Output O RNodal Stress Solution TEMP, S(X, Y, Z, XY), SINT, SEQV 1 -

Output Quantity Name

ETABLE and ESOL Command InputItem E I J K L

TX SMISC 1 - - - -TY SMISC 2 - - - -

TXY SMISC 3 - - - -MX SMISC 4 - - - -MY SMISC 5 - - - -

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SHELL63 Assumptions and Restrictions

Zero area elements are not allowed. This occurs most often whenever the elements are not numbered properly. Zero thickness elements or elements tapering down to a zero thickness at any corner are not allowed. The applied transverse thermal gradient is assumed to vary linearly through the thickness and vary bilinearly over the shell surface. An assemblage of flat shell elements can produce a good approximation of a curved shell surface provided that each flat element does not extend over more than a 15° arc. If an elastic foundation stiffness is input, one-fourth of the total is applied at each node. Shear deflection is not included in this thin-shell element. A triangular element may be formed by defining duplicate K and L node numbers as described in Triangle, Prism and Tetrahedral Elements. The extra shapes are automatically deleted for triangular elements so that the membrane stiffness reduces to a constant strain formulation. For large deflection analyses, if KEYOPT(1) = 1 (membrane stiffness only), the element must be triangular. For KEYOPT(1) = 0 or 2, the four nodes defining the element should lie as close as possible to a flat plane (for maximum accuracy), but a moderate amount of warping is permitted. For KEYOPT(1) = 1, the warping limit is very restrictive. In either case, an excessively warped element may produce a warning or error message. In the case of warping errors, triangular elements should be used (see Triangle, Prism and Tetrahedral Elements). Shell element warping tests are described in detail in tables of Applicability of Warping Tests and Warping Factor Limits in the ANSYS, Inc. Theory Reference. If the lumped mass matrix formulation is specified [LUMPM,ON], the effect of the implied offsets on the mass matrix is ignored for warped SHELL63 elements.

SHELL63 Product Restrictions When used in the product(s) listed below, the stated product-specific restrictions apply to this element in addition to the general assumptions and restrictions given in the previous section.

ANSYS Professional.

The DAMP material property is not allowed. The only special features allowed are stress stiffening and large deflection. KEYOPT(2) can only be set to 0 (default).

MXY SMISC 6 - - - -P1 SMISC - 9 10 11 12P2 SMISC - 13 14 15 16P3 SMISC - 18 17 - -P4 SMISC - - 20 19 -P5 SMISC - - - 22 21P6 SMISC - 23 - - 24

TopS:1 NMISC - 1 6 11 16S:2 NMISC - 2 7 12 17S:3 NMISC - 3 8 13 18

S:INT NMISC - 4 9 14 19S:EQV NMISC - 5 10 15 20

BotS:1 NMISC - 21 26 31 36S:2 NMISC - 22 27 32 37S:3 NMISC - 23 28 33 38

S:INT NMISC - 24 29 34 39S:EQV NMISC - 25 30 35 40

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KEYOPT(9) can only be set to 0 (default).

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Projet de semestre - Voutes nubiennes II - lx

H Annexe - Figures de validation du modele

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Fig. 15 – Deformee de la voute sous son poids propre. On peut voir, par la deformee, quele modele est coherent. On utilise (entre autre) cette figure pour valider notre modele

Fig. 16 – Representaiton des efforts normaux dans le voute sous son poids propre. Parcomparaison avec [1] on obtient les resultats suivant : Valeur de l’effort normal en piedselon le rapport [1] = -8.12 [kN/m]. Valeur de l’effort normal en pied selon notre modele=-8.077[kN/m]

Projet de semestre - Voutes nubiennes II - lxii

Fig. 17 – Representaiton des moments de flexion dans le voute sous son poids propre. Parcomparaison avec [1] on obtient les resultats suivant : Valeur du moment de flexion maxselon le rapport [1] = 0.68 [kNm/m]. Valeur, selon notre modele du moment de flexionmax = 0.29 [kNm/m] et moment de flexion min = -0.45 [kNm/m]

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I Annexe - Graphe des resultats de l’etude para-

metrique

I.0.1 s1 en fonction de l’angle α et du rayon R a differents stades deconstruction (Etape 1)

Fig. 18 – Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonction del’angle α et du Rayon R pour un avancement de 10 arcs (β=60 [deg],H=0 [m], e=0.12[m]).


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Projet de semestre - Voutes nubiennes II - lxv

I.0.2 s1 en fonction de l’angle α et du rayon R a differents stades deconstruction (Etape 2)

Fig. 22 – Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonction del’angle α et de l’avancement (nombre d’arcs) pour un rayon de R=1.6 [m] (β=60 [deg],H=0[m], e=0.12 [m]). Le pas d’increment α et d’avancement ne sont pas suffisamment fin pourvoir que le pic ne se limite pas en un α= 65 [deg] et pour un avancement de 18 arcs. Legraphe suivant (Fig 23) donne un representation plus affinee.

Fig. 23 – Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonction del’angle α et du Rayon R pour un avancement de 100 arcs (β=60 [deg],H=0 [m], e=0.12[m]). La pas d’increment a ete augmente par rapport au graphe de la Figure 22. Onobserve tres clairement une ligne pour laquelle, avec un rayon et un α donne, une zone oul’avancement (c’est-a-dire pour un certain nombre d’arcs) devient critique pour s1.

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I.0.3 s1 en fonction de la hauteur supplementaire a la cle (H) et del’angle β a differents stades de construction pour un rayon donnede 1.6m (Etape 3)

Fig. 24 – Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonction del’angle β et du supplement en cle de voute (H) pour un avancement de 30 arcs (alpha=55[deg], R=1.6 [m], e=0.12 [m]).


Projet de semestre - Voutes nubiennes II - lxvii


Projet de semestre - Voutes nubiennes II - lxviii

I.0.4 s1 en fonction de la hauteur supplementaire a la cle (H) et durayon R a differents stades de construction pour un α et un βdonne (Etape 4).

Fig. 27 – Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonction durayon R et du supplement en cle de voute (H) pour un avancement de 30 arcs (α=55 [deg],β=60 [m], e=0.12 [m]).

Fig. 28 – Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonction durayon R et du supplement en cle de voute (H) pour un avancement de 50 arcs (α=55 [deg],β=60 [m], e=0.12 [m]).

Projet de semestre - Voutes nubiennes II - lxix

Fig. 29 – Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonction durayon R et du supplement en cle de voute (H) pour un avancement de 100 arcs (α=55[deg], β=60 [m], e=0.12 [m]).

Projet de semestre - Voutes nubiennes II - lxx

I.0.5 s1 en fonction de l’avancement (nombre d’arcs) et de l’epaisseur epour des rayons differents avec un α et un β donne (Etape 5).

Fig. 30 – Graphique donnant l’evolution de la contrainte principale s1 en fonction del’avancement (nombre d’arcs) et de l’epaisseur e pour un rayon de 1.2 [m] (α=55 [deg],β=60 [m]).


Projet de semestre - Voutes nubiennes II - lxxi


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