YZ aV eg eV - mathksar.weebly.commathksar.weebly.com/uploads/1/4/4/0/14403348/qcm.pdf · • Les QCM poussent finalement l’étudiantàseremettre en cause dans ses pratiques, et

les

de la prpaMCQUne approche diffrentepour russir sa Prpa

Collection dirige par Laurent DesmottesProfesseur en classes prparatoires

Martine Arous-LatanickiProfesseur en classes prparatoires

MathsPremireanne M P S IP C S IP T S IBCPST

Composition : IndoLogic

Maquette intrieure : Nicolas Piroux

Maquette de couverture : Nicolas Piroux

www.hachette-education.com

HACHETTE LIVRE 2010, 43 quai de Grenelle 75905 Paris Cedex 15

ISBN : 978-2-01-1 -

Tous droits de traduction, de reproduction etdadaptation rservs pour tous pays.Le Code de la proprit intellectuelle nautorisant,aux termes des articles L. 1224 et L. 1225, dunepart, que les copies ou reproductions strictementrserves lusage priv du copiste et non destines une utilisation collective , et, dautre part, que les analyses et les courtes citations dans un butdexemple et dillustration, toute reprsentationou reproduction intgrale ou partielle, faite sans leconsentement de lauteur ou de ses ayants droit ouayants cause, est illicite .Cette reprsentation ou reproduction, par quelqueprocd que ce soit, sans autorisation de lditeurou du Centre franais de lexploitation du droitdecopie (20, rue des Grands-Augustins 75006 Paris),constituerait donc une contrefaon sanctionne par lesarticles 425 et suivants du Code pnal.

81240 7

3

IntroductionCet ouvrage sadresse tous les tudiants en 1re anne dtudes suprieuresscientifiques (classes prparatoires et 1er cycle universitaire) dsirant tester loutilQCM. Ils en dcouvriront les nombreuses vertus .

Par leur caractre ludique, les QCM sont une invitation permanente travailler,et le faire avec enthousiasme.

Spars en blocs indpendants, les QCM se prtent particulirement des squen-ces de travail de courte dure ( heure par exemple), propices une concentrationet une efficacit maximales.

Nexigeant pas de rdaction, les QCM renvoient nanmoins la ncessit derdiger convenablement un brouillon pour aboutir la solution exacte.

Les QCM confrontent immdiatement ltudiant une valuation sans concession.Il ny a pas de russite approximative, aucune possibilit de biaiser : cest bon oucest faux !

Les QCM, qui ne sont faciles quen apparence, renvoient aux fondamentauxdes programmes, la difficult quil y a finalement matriser parfaitement desquestions de base, et la ncessit de retravailler constamment ces incontourna-bles. Les QCM ont la vertu de secouer le cocotier.

Les QCM poussent finalement ltudiant se remettre en cause dans ses pratiques,et sinterroger sur la qualit, le plaisir et la gestion du temps, qui sont lesvritables critres de la russite aux concours.

Une grande partie des sujets proposs dans cet ouvrage reprennent, en les adaptant,les annales des concours de recrutement de lcole Nationale de lAviation Civile(ENAC) : concours EPL (lves Pilotes de Ligne) et concours ICNA (Ingnieurs duContrle de la Navigation Arienne).Les questions ont t regroupes en QCM de 3 ou 4 questions, et classes en quatorzechapitres thmatiques, ce qui permet une utilisation rgulire de louvrage tout aulong de lanne, mesure de lavance du programme.

Chaque question propose 4 possibilits de rponse : A, B, C ou D.Chaque question comporte exactement zro, une ou deux rponse(s) exacte(s). chaque question, le candidat a donc le choix entre :

slectionner la seule rponse quil juge bonne parmi A, B, C ou D; slectionner les deux seules rponses quil juge bonnes parmi A, B, C ou D; considrer quaucune des rponses proposes nest bonne.

4

sommaireIntroduction 3

Chapitre 1 : Complexes 7noncs corrigs

QCM 1 : Relations trigonomtriques 8 15 QCM 2 : Transformation du plan complexe 10 19 QCM 3 : Interprtation gomtrique 12 23 QCM 4 : quations complexes 14 27

Chapitre 2 : Fonctions usuelles 29 QCM 1 : Fonction exponentielle 30 36 QCM 2 : Fonctions trigonomtriques

rciproques 31 39 QCM 3 : Calcul dune somme 32 42 QCM 4 : Fonctions arg 33 45 QCM 5 : Fonction dfinie par morceaux 34 46

Chapitre 3 : quations diffrentielles 49 QCM 1 : quation linaire du 1er ordre 50 56 QCM 2 : Raccordement 51 59 QCM 3 : quation linaire du 2nd ordre 53 62 QCM 4 : Changement de variable 54 66

Chapitre 4 : Gomtrie du plan et delespace Courbes Coniques 69

QCM 1 : Courbes paramtres 70 78 QCM 2 : Autour de la cardiode 72 83 QCM 3 : Inverse dune courbe 74 87 QCM 4 : Gomtrie de lespace et coniques 76 91

Chapitre 5 : Applications Structures --- 95 QCM 1 : Injections surjections - bijections 96 103 QCM 2 : Dnombrement 97 106 QCM 3 : Groupes et morphismes 99 107 QCM 4 : Anneaux Corps - Arithmtique 100 111

corrigs15192327

29

36

39424546

49

56596266

69

78838791

95

103106107111

5

Chapitre 6 : Suites relles et complexes 115noncs corrigs

QCM 1 : Suite rcurrente 116 123 QCM 2 : Relation de comparaison 117 126 QCM 3 : Suites produits 119 130 QCM 4 : Bornes infrieure et suprieure 121 133

Chapitre 7 : Limites Continuit Drivation 135 QCM 1 : Limites et continuit sur un intervalle 136 142 QCM 2 : Drives nmes et prolongement

de fonctions 137 145 QCM 3 : Accroissements finis 139 149 QCM 4 : Convexit 140 151

Chapitre 8 : Espaces vectoriels 155 QCM 1 : Sous-espaces vectoriels 156 163 QCM 2 : Applications linaires Noyau

et image 157 167 QCM 3 : Endomorphisme de C (, ) 159 170 QCM 4 : Endomorphismes solutions dune quation 161 173

Chapitre 9 : Polynmes et fractionsrationnelles 177

QCM 1 : Degr et racines 178 183 QCM 2 : Polynmes scinds 179 187 QCM 3 : Polynmes de Tchebychev 180 190 QCM 4 : Espaces vectoriels et polynmes 182 194

Chapitre 10 : Matrices Dterminants Systmes 197

QCM 1 : Ensemble de matrices Calcul de puissances 198 205 QCM 2 : Matrices nilpotentes Changement de base 200 208 QCM 3 : Rsolution dun systme 202 211 QCM 4 : Matrice dun endomorphisme 203 214

115

corrigs123126130133

135

142

145149151

155

163

167170173

177

183187190194

197

205208211214

6

Chapitre 11 : Dveloppements limits 217noncs corrigs

QCM 1 : Prolongement par continuit,branches infinies 218 225

QCM 2 : Drivabilit et quation diffrentielle 220 229 QCM 3 : Courbe paramtre 221 232 QCM 4 : Formule de Taylor-Young 223 236

Chapitre 12 : Intgration 239 QCM 1 : Existence et proprits de lintgrale 240 248 QCM 2 : Intgrale dpendant dun paramtre 242 252 QCM 3 : Intgration et algbre linaire 244 255 QCM 4 : Fonction dfinie par une intgrale 245 258

Chapitre 13 : Fonctions deux variables Intgrales doubles tude mtrique des courbes 261

QCM 1 : Fonction Cn - Extremum 262 269 QCM 2 : quation aux drives dordre 2 263 273 QCM 3 : Aires Intgrales doubles 265 277 QCM 4 : tude mtrique des courbes 266 280

Chapitre 14 : Espaces vectoriels euclidiens Transformations du planet de lespace 283

QCM 1 : Produit scalaire et polynmesorthogonaux 284 291

QCM 2 : Automorphismes orthogonaux de E 286 295 QCM 3 : Isomtries et similitudes du plan 287 299 QCM 4 : Isomtries de lespace 288 301

217

corrigs

225229232236

239

248252255258

261

269273277280

283

291295299301

Chapitre 11 : Dveloppements limits

sommaire

7

chapitre 1

Complexesnoncs corrigs

QCM 1 : Relations trigonomtriques 8 15

QCM 2 : Application du plan complexe 10 19

QCM 3 : Interprtation gomtrique 12 23

QCM 4 : quations complexes 14 27

corrigs

15

19

23

27

8

noncs> QCM 1 Relations trigonomtriques

(daprs EPL 2008)

Question 1Parmi les assertions suivantes, lesquelles sont vraies ?

A ( ) = + ( ( = + = + : co s 5(s 5( s 5 ( (s 5( ( 16= +16= + 5 5 5= +5= +co= +co= +s c= +s c= + s c = + = +s c= + = + 5 s c 5 = +5= +s c= +5= + os

B ( ) = + ( ( : co s 5(s 5( s 5 ( (s 5( ( 16= 16= 55 3 5 3 205 320 20 5 3 20 co= co= s c= s c= s c = = s c= = 20 s c 20 5 3s c5 3 5 3 s c 5 3 20 5 3 20 s c 5 3 20 os 5 3 os 5 3 cos

C cos

105 55 5

8

=5 5+5 5

D cos cs cs cs cos cos

105 55 5 5 5 5 5

8 10 3s cs c

s c

s cs cs cs cs cs cs c

s c

s cs cs cs cs c

s c


s c

s cs cs cs c=s c

5 5 5 5 8 18 1

8 18 18 18 1

0 30 30 30 30 30 3

0 30 30 30 30 30 3

s ccas cs crs c

Question 2 (daprs EPL 2008)

Soit n *. On cherche rsoudrenk

kk

n

( ) ==

1

2 0cos o est une inconnuerelle.

A Si est solution, alorsnkk

nn

( )k( )k ==

1

2 2sin ( )( ) .

Bnk

k nk

n n

( )k n( )k n(k n(k n )

=

1

( )2( )2

cos c( )s c( )k n( )k ns ck n( )k n( )2( )s c( )2( ) cos k n k n( ) ( )k n( )k n k n( )k n( (k n(k n k n(k nk ns ck n k ns ck nk n( )k ns ck n( )k n k ns ck n( )k nk n=k ns ck n=k n k ns ck n=k nk nosk n k nosk n

C Lensemble des solutions est n

k k n

k k

k k

k+ + k k+ k k

k kk kk kk kk kk kk kk k

k kk kk kk kk kk kk kk k

, ,k k, ,k k+ , ,+ k k+ k k, ,k k+ k k, ,k k, ,k k, ,k kk k, ,k kk k

, ,

k k

k k, ,k k

k k

, ,k kk k

k kk k, ,k k

k kk k +, , +k k +k k, ,k k +k k, ,, ,k k, ,k k +, , +k k +k k, ,k k +k k, , + +, , + +k k +k kk k +k k, ,k kk k +k k

, ,

+

+, , +

+k k +k k

k k +k k, ,k k

k k +k k, , + +

+ +, , +

+ +k k +k kk k +k k

k kk k +k k, ,k k +k kk k +k k

k k +k kk k +k k k k k k

k k

k k

k kk k +k k k k +k kk k +k k k k +k k k kk k k kk kk k +k kk k +k k k kk k +k kk k k kk kk k k kk kk kk k k kk kk kk kk kk k k kk kk kk k +k k k k +k kk kk k k kk kk k +k kk k +k k k kk k +k kk k

k kk kk k k kk kk kk k +k kk k +k kk kk k +k k k k +k kk k +k kk k +k kk k +k k, , , ,, , , ,k k, ,k k k k, ,k kk k +k k, ,k k +k k k k, ,k k +k kk k, ,k k k k, ,k kk kk k, ,k kk k k k, ,k kk kk k

k k, ,k k

k k k k, ,k k

k kk kk k

k kk k, ,k k

k kk k k kk k

k kk k, ,k kk k

k kk kk k +k k, ,k k +k k k k, ,k k +k kk k +k kk k +k k, ,k kk k +k k k k +k kk k +k k, ,k k +k kk k +k kk k +k k

k k +k k, ,k k

k k +k k k k +k k

k k +k k, ,k k +k k

k k +k kk k +k kk k +k k

k kk k +k k, ,k k +k kk k +k k

k k +k kk k +k k k k +k kk k +k k

+k kk k +k k, ,k kk k +k k

k k +k k +k k

2, ,

2, , .

D Il ny a pas de solution cette quation.

chapitre 1 : Complexes

9

noncs

Question 3 (daprs ICNA 1990)

Soient U h ph V h php

n

p

n

, cos , sin( ) = +( ) ( ) = +( )= =

0

1

0

1

et , avec et h rels

non multiples de 2. On note Z = U + iV.

A Z h eee

iinh

ih( )Z h( )Z h( )Z hZ h( )Z hZ h,( ),Z h,Z h( )Z h,Z h =

11

B Z h e

nh

hi

sin

sin( )Z h( )Z h( )Z hZ h( )Z hZ h,( ),Z h,Z h( )Z h,Z h =

2

2

C U h V h

V h

V hV hV h, ,V h, ,V h, ,V hV h, ,V hV h( )U h( )U h( )U hU h( )U hU h, ,( ), ,U h, ,U h( )U h, ,U h V h= V hV h= V h= V h= V hV hV hV h= V hV h= V hV hV h, ,, ,V h, ,V hV h, ,V hV h= V hV h= V hV h= V hV h= V hV hV hV hV hV h= V hV h= V hV hV h= V h

V h

V hV hV h, ,

, ,, ,, ,V h, ,V h

V h, ,V hV hV h, ,V hV h= V h

V h= V hV hV h= V h

2

, ,2

, , D U h

nh

nh

h

12 2

2

cos ss shs shs sin

sin( )U h( )U hU h0U h( )U h0U h,( ),U h,U h( )U h,U h =

s ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss s2 22 2

s ss ss ss ss ss ss ss ss ss s2 22 22 22 2

s ss ss ss ss ss ss ss ss ss ss s

2 22 22 22 22 22 2

Question 4 (daprs ICNA 1990)

On pose A h ph B h p php

n

p

n

( ) cos ( ) .= ( ) = ( )= =

1 1

et sin

A A h U h( )A h( )A h = U h= U h( )U h( )U h h( )hU h= U h( )U h= U h( ),( ) B A h U h( )A h( )A h = ( )U h( )U h h( )h( ),( )

C B hdAdh

( )B h( )B h = ( )h( )h D A hn

h

h( )A h( )A h =

sin

sin

2 1n2 1n +2 1+2

22

12

10

noncs> QCM 2 Application du plan complexe

(daprs EPL 2006)Le plan complexe est rapport un repre orthonorm direct O u, ,

v

. On consi-

dre une transformation qui tout point m daffixe le nombre complexe non nul z,associe le point M daffixe le nombre complexe Z vrifiant lquation :

Zz

z=

+22

1 (H)

Question 1On note z = r.ei la forme trigonomtrique du complexe z.

A Z na pas toujours de forme trigonomtrique.

B La forme trigonomtrique de Z scrit12

2

re i

.

C La forme trigonomtrique de Z scrit 112

2

re i .

D La forme trigonomtrique de Z scrit 112

2+

re i .

Question 2La partie relle de Z scrit :

A1

22r

( )cos B 1 1 22+

( )r cos

La partie imaginaire de Z scrit :

C sin(2) D

( )

122r

sin


11

noncs

Question 3Soit Z un complexe, distinct de 1, reprsent sous forme cartsienne par lenombre X + iY, o X et Y sont deux nombres rels. Pour un tel Z, on note z = x + iyun complexe solution, sil en existe, de lquation (H). On a ncessairement :

A X 1 et Y 0 B x yX

X Y2 2x y2 2x y 2X Y2X Y 2

1

1X Y1X Y+ =x y+ =x y2 2+ =2 2x y2 2x y+ =x y2 2x y

X YX Y( )X Y)X YX Y+X Y

C x yX

X Y2 2x y2 2x y 2X Y2X Y 2

1

1X Y1X Y =x y =x y


D 21 2 2

xyY

X Y2X Y2X Y1X Y1=


Question 4Soit Z un complexe non nul, distinct de 1, de forme trigonomtrique Rei. Pourun tel Z, on note z = rei un complexe solution, sil en existe, de lquation (H).On a ncessairement :

A R 1 ou 0 B R 1 et 2k, o k

C rR R

22R R2R R

11 2R R1 2R R

=R R+ R RR R1 2R R+ R R1 2R Rcos

D rR R

2

2R R2R R

1

1 2R R1 2R R=

R R+ R RR R1 2R R+ R R1 2R Rcos

Question 5On suppose dans cette question que le point m daffixe le nombre complexe nonnul z dcrit la demi-droite D dorigine O, prive de O, de vecteur directeur e

tel que langle u e

, soit gal /4. Le point M daffixe le nombre complexe Z

vrifiant lquation (H) dcrit alors :

A une demi-droite. B le demi-axe O u,O u,O u

O u

O u

.

C le demi-axe O v,O v,O vO vO v

O v

O v

. D le cercle de centre O et rayon 2.

12

noncs Question 6

Pour n *, on considre lquation (En) :z

z

n2

2

11

+

= .

A Si z0 est une solution de (En), z0 et z0 sont solutions de (En).

B (En) a n racines distinctes.

C (En) a 2n racines distinctes.

D

+ + + + +

+

+ + +

+ + + +

+

+ + +

1

2

4 2

sinkn

e ke ke ke ke k e k

e k4 2e k4 2 /e k/

i +i + k

e kne k

k k

{ }{ }...{ }... , -{ }, -1 2{ }1 2 3{ }3, , ,{ }, , ,, , ,, , ,1 2, , ,1 2{ }1 2, , ,1 2 3, , ,3{ }3, , ,33 n{ }n, -n, -{ }, -n, -1{ }111 1{ }11 1

est lensemble des

solutions de (En).

> QCM 3 Interprtation gomtrique(daprs EPL 1994)

Dans le plan complexe , on considre la fonction :

fi z i

z i: z z =

+2 4

Question 1On note D lensemble de dfinition de f. On peut dire que f est :

A dfinie sur D = \{i}.

B lapplication nulle.

C une bijection de D sur lui-mme.

D involutive ( f o f = Id ).


13

noncs

Question 2Soient M le point daffixe z, M le point daffixe z , A le point daffixe i, B le pointdaffixe 4 2i et O le point daffixe 0.Si lon pose Z = z i et Z = z i, alors :

A Z Z i = 3 4 3 4

B Z Z = = 5

C arg , (mod )Z Zg ,Z Zg ,g ,AMg , AM g , g ,AM AMg ,AMg , g ,AMg , AM AM g , g , g , g ,(g ,(g ,)g ,)g , ) g , g ,)g , g ,g ,=g ,(g ,(g , ( g , g ,(g , g , ) 2D arg arg (mod )Z Zg aZ Zg argZ Zrg C ste(g a(g a)g a)g aZ Z)Z Zg aZ Zg a)g aZ Zg ag aZ Zg a+g aZ Zg a (Z Z(Z Z ) = 2

Question 3Si M dcrit le cercle de centre A et de rayon 5, alors M est situ sur :

A la mdiatrice du segment [OA]. B le cercle de diamtre [OA].

Si M dcrit une droite passant par A, sauf le point A, alors M est situ sur :

C le cercle de diamtre [AB]. D une droite passant par A.

Question 4Si M dcrit le cercle de centre O et de rayon 1, alors M dcrit :

A le cercle de diamtre [AB].

B la mdiatrice du segment [AB].

Si M dcrit laxe des rels, alors M dcrit :

C une droite passant par B, sauf le point B.

D le cercle de diamtre [AB], sauf le point B.

14

noncs> QCM 4 quations complexes

(daprs EPL 1991 et 1992)

Question 1Dans , on considre les quations :

z z2 2 1 0 + = (1)

z z2

2 1 0 + = (2)

A (1) est quation du 2nd degr et admet donc deux racines,

distinctes ou non.

B si z0 est une solution de (1), alors z0 est une solution de (2).

C si z0 est solution de (1), alors z0 est solution de lquation

du 4e degr :

z z z4 2z z4 2z z2 8z z2 8z z4 22 84 2 5 0z z+ z z4 2+ 4 2z z4 2z z+ z z4 2z z2 8+ 2 8z z2 8z z+ z z2 8z z4 22 84 2+ 4 22 84 2z z4 2z z2 8z z4 2z z+ z z2 8z z4 2z z + =5 0+ =5 0 (3)

D (1) et (2) ont au moins une solution diffrente.

Question 2Pour lquation (3) :

A 1 nest pas une racine.

B on peut mettre en facteur (z 1)2 dans le membre de gauche.

C les racines sont toutes relles.

D il y a trois racines distinctes.

Question 3Les valeurs suivantes sont racines de lquation (1) :

A 1 B 1 + i

C 1 2i D 1

15

> QCM 1 Relations trigonomtriques

Question 1 : rponses B et C

Pour la valeur particulire = 0, lquation de lassertion A scrit :

cos cos cos5 0s c5 0s c16s c16s c 0 5 055 05 0s c5 0s cs c5 0s c(s c(s c)s c)s cs c=s c ( )0 5)0 50 5+0 5 ( ), soit 1 = 16 + 5.

La rponse A est fausse.

Formule de Moivre

, , n n :

cos s s s s s s s s s s s + s s s s+s s s s( ) ( ) ( ) = = ( ) ) s s s s)s s s s + s s s s+s s s s ( ( )i eini ein i e s s s si es s s sin ini ein in )i e) =i e= ( )i e( ) s se ns se ncoe ncos se ns s e n = =e n= = s s(s se ns s(s si n i n i nini nin i n s s s si ns s s sin ini nin in (i n( ( i n ( ni eni e( )i( )n n i n i n e n i n e n

Soit le complexe : z iz iz iz i=z i((z i(z i)) (( ))z icoz iz icoz iz is sz iz is sz iz is sz iz is sz iz i(z is sz i(z iz i(z is sz i(z i5 5z i5 5z i5 5z i5 5z i)5 5)z i)z i5 5z i)z i (5 5(z is sz i5 5z is sz iz is sz i5 5z is sz i in5 5in ) ) ( (z is sz i z is sz is s s sz is sz i z is sz iz i)z is sz i)z i z is sz i)z i5 5 5 55 5 5 55 5 5 55 5 5 5z i5 5z i z i5 5z iz i5 5z i z i5 5z iz i)z i5 5z i)z i z i)z i5 5z i)z iz i+z i5 5z i+z i z i+z i5 5z i+z i (5 5( (5 5((5 5( (5 5(s s5 5s s s s5 5s ss s5 5s s s s5 5s sz is sz i5 5z is sz i z i5 5z is sz iz is sz i5 5z is sz i z is sz i5 5z is sz iz is sz i5 5z is sz i z i5 5z is sz iz is sz i5 5z is sz i z is sz i5 5z is sz iz i)z is sz i)z i5 5z is sz i)z i z i)z is sz i)z i5 5z i)z is sz i)z iz i)z is sz i)z i5 5z i)z is sz i)z i z i)z is sz i)z i5 5z i)z is sz i)z iz i+z is sz i+z i5 5z is sz i+z i z i+z is sz i+z i5 5z i+z is sz i+z iz i+z is sz i+z i5 5z i+z is sz i+z i z i+z is sz i+z i5 5z i+z is sz i+z i in5 5in in5 5inin5 5in in5 5in laide du binme de Newton, en saidant du triangle de Pascal, on obtient :

z iz i= +z i(z i(z iz i= +z i(z i= +z i ) = +z icoz iz i= +z icoz i= +z iz is sz iz i= +z is sz i= +z i in co= +co= +s c= +s c= + sin c sin z i z iz i= +z i z i= +z is s s sz is sz i z is sz iz i= +z is sz i= +z i z is sz i= +z i in in s c s cis ci is ci= +s c= + = +s c= + os os n c n cos os 5 5 4= +5 4= += +s c= +5 4= +s c= + 5 4 = + = +5 4= + = +s c s c5 4s c s c= +s c= + = +s c= +5 4= + = +s c= + 3 2si3 2sin3 2n 3 2 5 1si5 1sin c5 1n c 5 1 s c s c5 1s c s cis ci is ci5 1i is ci os os5 1os os 5 1 n c n c5 1n c n cn c n c5 1 n c5 45 15 4i5 4i5 1i5 4i 5 4 5 1 5 4 i i5 4i i5 1i5 4i is c s c5 4s c s c5 1s c5 4s c s cis ci is ci5 4i is ci5 1is ci is ci5 4is ci is ci os os5 4os os5 1os5 4os os 0 0 n c n c0n c n c +10 +10 + 52 3 4 5i i +i i + +i i+5i i52 3i i2 3 +2 3 +i i +2 3 + 4 5i i4 5+4 5+i i+4 5+i icoi i +i i +co +i i +i is si i +i i +s s +i i + +2 3 +i i +2 3 +s s +i i +2 3 +2 3i i2 3in2 3i i2 3i icoi ii is si ii iini i si4 5si4 5n4 5n4 5 i i i i +i i + +i i +2 3i i2 3 2 3i i2 3 +2 3 +i i +2 3 + +i i +2 3 +i is si i i is si i +i i +s s +i i + +s s +i i + +2 3 +i i +2 3 +s s +i i +2 3 + +2 3 +i i +2 3 +s s +2 3 +i i +2 3 + +i i +in +i i + +in +i i +2 3i i2 3in2 3i i2 3 2 3in2 3i i2 3 +2 3 +i i +2 3 +in +i i +2 3 + +2 3 +i i +2 3 +in +2 3 +i i +2 3 + i i i i4 5i i4 5 4 5i i4 5i is si i i is si ii iini i i iini i

cos c cos s cos s5 1s c5 1s c5 10 5co0 5cos s0 5s sin0 5in0 55 35 15 35 10 55 30 5co0 5co5 3co0 5cos s0 5s s5 3s s0 5s s 2 4co2 4cos s2 4s sin2 4in0 52 40 5 s c s cos os5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s cos5 1os os5 1os5 15 35 1 5 15 35 1 s s s s0 5 0 5s s0 5s s s s0 5s sin0 5in in0 5in0 52 40 5 0 52 40 5 s s s sin in2 4 2 4s s2 4s s s s2 4s sin2 4in in2 4in(s c(s c)5 1)5 1 ) s c s c)s c s c5 1 5 1)5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c)s c s c5 1s c5 1= 5 1s c s c= s c s c5 1 5 1= 5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c= s c s c5 1s c(5 1(5 15 1 5 1(5 1 5 1( ( )5 1)5 1 ) s c s c)s c s c5 1 5 1)5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c)s c s c5 1s c5 1= 5 15 1 5 1= 5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c= s c s c5 1s cos5 1os os5 1os= os os5 1os 0 5+0 50 52 40 5+0 52 40 5s c s ce zs c s cs c5 1s c s c5 1s ce zs c s c5 1s cs c s ce zs c s cs c5 1s c s c5 1s ce zs c s c5 1s cs c s c(s c s ce zs c(s c s cs c5 1s c s c5 1s c(s c s c5 1s ce zs c5 1s c s c5 1s c(s c5 1s c s c5 1s c

cos c cos c cos c5 1s c5 1s c 0 1co0 1cos c0 1s c 5 1co5 1cos c5 1s c5 35 15 35 10 15 30 1co0 1co5 3co0 1cos c0 1s c5 3s c0 1s c 2 25 12 25 12

s c s cos os5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s cos5 1os os5 1os5 15 35 1 5 15 35 1 s c s c5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c s c s c0 1 0 1s c0 1s c s c0 1s c 5 12 25 1 5 12 25 1 s c s cs c5 1s c s c5 1s c(s c(s c)5 1)5 1) ) s c s c)s c s c5 1 5 1)5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c)s c s c5 1s c5 1= 5 15 1 5 1= 5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c= s c s c5 1s cos5 1os os5 1os= os os5 1os ( )0 1( )0 1 2 2( )2 2 ( ) s c s c( )s c s cos os( )os os0 1 0 1( )0 1 0 1s c0 1s c s c0 1s c( )s c s c0 1s c 2 2 2 2( )2 2 2 2s c s cs c s c( )s cs c s c + 5 1+ 5 1co5 1co+ co5 1cos c5 1s c+ s c5 1s c2 2+ 2 25 12 25 1+ 5 12 25 1co5 1co2 2co5 1co+ co2 2co5 1cos c5 1s c2 2s c5 1s c+ s c2 2s c5 1s cs c5 1s c s c5 1s c+ s c s c5 1s c5 12 25 1 5 12 25 1+ 5 1 5 12 25 1s c5 1s c2 2s c5 1s c s c2 2s c5 1s c+ s c5 1s c2 2s c5 1s c s c5 1s c2 2s c5 1s c( )2 2( )2 25 12 25 1( )5 12 25 1 ( ) s c s c( )s c s cos os( )os oss c5 1s c s c5 1s c( )s c s c5 1s c2 2 2 2( )2 2 2 2s c2 2s c s c2 2s c( )s c s c2 2s cos2 2os os2 2os( )os os2 2os5 12 25 1 5 12 25 1( )5 1 5 12 25 1s c s c+ s c s c( )s c+ s c s cs c5 1s c s c5 1s c+ s c s c5 1s c( )s c5 1s c s c5 1s c+ s c5 1s c s c5 1s c2 2 2 2+ 2 2 2 2( )2 2+ 2 2 2 2s c2 2s c s c2 2s c+ s c s c2 2s c( )s c2 2s c s c2 2s c+ s c2 2s c s c2 2s c5 12 25 1 5 12 25 1+ 5 1 5 12 25 1( )5 12 25 1 5 12 25 1+ 5 12 25 1 5 12 25 1s c5 1s c2 2s c5 1s c s c2 2s c5 1s c+ s c5 1s c2 2s c5 1s c s c5 1s c2 2s c5 1s c( )s c5 1s c2 2s c5 1s c 5 1s c2 2s c5 1s c+ s c2 2s c5 1s c s c5 1s c2 25 1s ccos c cos c cos c5 1s c5 1s c 0 1co0 1cos c0 1s c 5 1co5 1cos c5 1s c5 35 15 35 10 15 30 1co0 1co5 3co0 1cos c0 1s c5 3s c0 1s c 2 25 12 25 1 s c s cos os5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s cos5 1os os5 1os s c s c5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c5 15 35 1 5 15 35 1 s c s c0 1 0 1s c0 1s c s c0 1s c s c s cs c5 1s c s c5 1s c5 12 25 1 5 12 25 1(s c(s c)5 1)5 1) ) s c s c)s c s c5 1 5 1)5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c)s c s c5 1s c5 1= 5 15 1 5 1= 5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c= s c s c5 1s cos5 1os os5 1os= os os5 1os ( )0 1( )0 1( )2 2( )2 2 ( ) s c s c( )s c s cos os( )os os0 1 0 1( )0 1 0 1s c0 1s c s c0 1s c( )s c s c0 1s c 2 2 2 2( )2 2 2 2s c s cs c s c( )s cs c s c + 5 1+ 5 1co5 1co+ co5 1cos c5 1s c+ s c5 1s c2 2+ 2 25 12 25 1+ 5 12 25 1co5 1co2 2co5 1co+ co2 2co5 1cos c5 1s c2 2s c5 1s c+ s c2 2s c5 1s cs c5 1s c s c5 1s c+ s c s c5 1s c5 12 25 1 5 12 25 1+ 5 1 5 12 25 1s c5 1s c2 2s c5 1s c s c2 2s c5 1s c+ s c5 1s c2 2s c5 1s c s c5 1s c2 2s c5 1s c( )co( )cos( )s2 2( )2 25 12 25 1( )5 12 25 1 22 22( )22 22 4( )4 ( ) s c s c( )s c s cos os( )os oss c5 1s c s c5 1s c( )s c s c5 1s cs c2s c s c2s c( )s c s c2s c2 2 2 2( )2 2 2 2s c2 2s c s c2 2s c( )s c s c2 2s cos2 2os os2 2os( )os os2 2os5 12 25 1 5 12 25 1( )5 1 5 12 25 1 22 22 22 22( )2 22 22s c2s c2 2s c2s c s c2 2s c2s c( )s c2s c2 2s c2s c s c2s c2 2s c2s c ( )s c s c+ s c s c( )s c+ s c s cs c5 1s c s c5 1s c+ s c s c5 1s c( )s c5 1s c s c5 1s c+ s c5 1s c s c5 1s c2 2 2 2+ 2 2 2 2( )2 2+ 2 2 2 2s c2 2s c s c2 2s c+ s c s c2 2s c( )s c2 2s c s c2 2s c+ s c2 2s c s c2 2s c5 12 25 1 5 12 25 1+ 5 1 5 12 25 1( )5 12 25 1 5 12 25 1+ 5 12 25 1 5 12 25 1s c5 1s c2 2s c5 1s c s c2 2s c5 1s c+ s c5 1s c2 2s c5 1s c s c5 1s c2 2s c5 1s c( )s c5 1s c2 2s c5 1s c 5 1s c2 2s c5 1s c+ s c2 2s c5 1s c s c5 1s c2 25 1s c +( )+

cos c cos c5 1s c5 1s c6 20 5co0 5cos c0 5s c5 36 25 36 20 55 30 5co0 5co5 3co0 5cos c0 5s c5 3s c0 5s c s c s cos os5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c6 2 6 2s c6 2s c s c6 2s cos6 2os os6 2os6 25 36 2 6 25 36 2 s c s cos os0 5 0 5s c0 5s c s c0 5s c(s c(s c)5 1)5 1 ) s c s c)s c s c5 1 5 1)5 1 5 1s c5 1s c s c5 1s c)s c s c5 1s c6 2= 6 2s c s c= s c s cs c5 1s c s c5 1s c= s c s c5 1s c6 2 6 2= 6 2 6 2s c6 2s c s c6 2s c= s c s c6 2s cos6 2os os6 2os= os os6 2os 0 5 0 5+0 5 0 5s c0 5s c s c0 5s c+s c s c0 5s c

La rponse B est bonne.

Pour

=10

, la relation prcdente scrit :

cos cs cos cos cs cos 2

0 1s c0 1s c

0 1

6s c6s c

6

1020

105s c5s c

5

10

5 3co5 3cos c5 3s c5 3 5 3 5 3 5 3 205 320s cs c

s c

s cs cs c

s cs cs cs c

s c

s cs cs cs cs c

s c


s c

s cs cs cs c= =s cs c0 1s c= =s c0 1s c

5 35 3 5 3 5 3 5 35 3

5 35 3 5 3 5 3

5 3

5 35 35 35 3

5 35 3

s cs c

s c


s c

s cs cs cs cs c

s c


s c

s cs cs c+s c+s c

cos cs cos cos

1016s c16s c

16

10

2010

5 04 2co4 2cos4 2s204 2204 2 4 2 4 2 4 2 s cs c

s c

s cs cs c

s cs cs cs c

s c

s cs cs cs cs c

s c


s c

s cs cs c

4 24 2 4 2 4 2 4 24 2

4 24 2 4 2 4 2

4 2

4 24 24 24 2

4 24 2

+

s cs c

5 0

5 0

5 05 05 0

5 05 0

5 0

5 0=5 0

Pour la valeur particulire NON

QCM 1 Relations trigonomtriques

corrigs

corrigs

16

soit, puisque cos

100

, et en posant x =

cos210

:

16 20 5 02x x20x x202x x2 +20 +20x x +x x20x x20 +20x x20 5 0=5 0

= = = >b a =b a =c =c =2b a2b ab a4b a =b a =4 =b a = 400 320 =320 = 80 0 donc lquation admet 2 racines relles

distinctes : x xx x1 2x x1 2x x5 55 5

81 281 25 55 5

8x x=x xx x1 2x x=x x1 2x x

5 55 5=

5 5+5 5etx xetx xx x1 2x xetx x1 2x x

cos ,s , cos

10s ,

10s ,0s ,0s ,

0

10

5 55 58

s ,s ,

s ,

s ,s ,s ,s ,s ,s ,s ,

s ,

s ,s ,s ,s ,s ,

s ,

s ,s ,s ,s ,s ,s ,s ,

s ,

s ,s ,s ,>s ,>s ,

=5 55 5

donc

donc

:

Or 010 6 10 6

0 866< 0 60 60 60 60 60 6

donc cos cs cs c

s c

s c

s c

s c

s c

s c

s cs c

s c

>s c> os , ...

et cos

105 55 5

8

=5 5+5 5

La rponse C est bonne et la rponse D est fausse.

Question 2 : aucune rponse nest bonne

n

k

n

kk

n

k

n

( )k( )k

=

= =

n

n

k kk

( ) ( )k( )k k( )k = = si n

cos 2 1 1k1 1k k1 1k1 1 1 1= =1 1= =k= =k1 1k= =k k= =k1 1k= =k= =1 1= = = =1 1= =

1 21 2 ( )1 2( )co1 2cos1 2s2

1

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

222121 121 12

da r s

n

k1 1k1 1

n

kk

n

k1 1k1 1

n

nul

1 11 1

1 11 1

( )2( )2k( )k= =1 1= =1 121 12= =21 121 1k1 1= =1 1k1 11 1k1 1= =1 1k1 11 11 1= =1 11 11 11 1= =1 11 1 1 12 2

n

n

k k

cos ( )( )

pa rpa r lhypotllhypotl h seh sh s

En utilisant le dveloppement du binme de Newton, on obtient :

n

k

n

kk

n

k

n n

( )k( )k == = donc donc

n

n

k kn n n n

= + = +( (= +(= + = +(= + ) ) = =0

1 1 = + = +1 1= + = + 2 2 1n2 1n 2 12

2

1

sin ( )( )


Pour la valeur particulire = 0, lquation de lassertion B scrit :

soit encorenkk

n nn

n

=

=

=

1

12

2 1n2 1n =2 1 =12

La rponse B est fausse.

Pour la valeur particulire NON

17

corrigschapitre 1 : Complexes

= 0 nest pas solution de lquation rsoudre, puisque, si n * :

n

k

n

kk

n

k

nn

= = =

n

n

k kk

( ( ) ) = = co s 0 ( (s 0( ( 2 1

n2 1n= 2 1= 01 1k1 1k k1 1k1 1 1 1= =1 1= =k= =k1 1k= =k k= =k1 1k= =k= =1 1= = = =1 1= =

Or, = 0 appartient lensemble des solutions proposes, puisque,pour k = 1, scrit :

n

k k n n n

+ =+ = = = 0

La rponse C est fausse.

Daprs la formule de Moivre :

n

kkk e

n

kk

n

( )k e( )k ek e= k e

=

cos c( )s c( )k e( )k es ck e( )k e2 2k e2 2k e( )2 2( )k e( )k e2 2k e( )k ek e= k e2 2k e= k e( )s c( )2 2( )s c( )k e( )k es ck e( )k e2 2k es ck e( )k e1

( ) ( )s c s ck es ck e k es ck ek e( )k es ck e( )k e k es ck e( )k ek e= k es ck e= k e k es ck e= k e2 2 2 2k e2 2k e k e2 2k ek e( )k e2 2k e( )k e k e2 2k e( )k ek e= k e2 2k e= k e k e2 2k e= k es c2 2s c s c2 2s ck es ck e2 2k es ck e k e2 2k es ck ek e( )k es ck e( )k e2 2k es ck e( )k e k e( )k es ck e( )k e2 2k e( )k es ck e( )k ek e= k es ck e= k e2 2k es ck e= k e k e= k es ck e= k e2 2k e= k es ck e= k ekkk

ni k

k

n n

ke

= =k= =k= = = = k= =k k i k i( ) ( )k i( )k i k i( )k i

n

n k k k i+k i k i+k i ( ) ( )k( )k k( )k si sin n2 2 2 2( )2 2( ) ( )2 2( )2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )2( ) ( )2( ) ( ) ( ) ( ) ( )k i( )k i k i( )k i k i k i( )k i k k k k s c s c s c s cks ck ks ck k ks cks c s c s cs c s c s c s c s c s c s cs c s c s c s c s c s c s cs c s c s c s c os os os os2 2 2 2 2 2 2 2( )2 2( ) ( )2 2( ) ( ) ( )2 2( )2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2s c2 2s c s c2 2s c s c s c2 2s cks ck2 2ks ck k2 2ks ck ks ck2 2ks ck ks ck2 2ks ck

s c

2 2

s c

2 2

s c s c2 2s c s c2 2s cs c2 2s c 2 2s c s c2 2s c s c2 2s cs c2 2s c 2 2s c s c2 2s c s c2 2s c

s c

2 2

s c

s c

2 2

s c

s c

2 2

s c

s c

2 2

s c

s c

2 2

s c

s c

2 2

s c s c2 2s c s c2 2s c

s c

2 2

s c

2 2

s c

s c2 2s c s c2 2s cs c2 2s c 2 2s c s c2 2s c s c2 2s cs c2 2s c 2 2s c s c2 2s c s c2 2s c

s c

2 2

s c

s c

2 2

s c

s c

2 2

s c

s c

2 2

s c

s c

2 2

s c

s c

2 2

s c s c2 2s c s c2 2s c s c2 2s c 2 2s c s c2 2s c s c2 2s cs c2 2s c s c2 2s c s c2 2s c s c2 2s c os2 2os os2 2os os os2 2os ( )( ) ( )( ) e e

2 2

2 22 2 2 2

2 2 2 2s c2 2s c s c2 2s c

s c s c2 2s c

s c s c

s c s cs c2 2s c s c2 2s c

s c s c2 2s cs c2 2s c s c2 2s cs c s c2 2s c2 2 2 2

2 2 2 22 2

2 2 2 2s c2 2s c s c2 2s c

s c s c2 2s cs c2 2s c s c2 2s c

s c2 2s c s c2 2s c

s c s c

s c s cs cs c s cs c2 2s c s c2 2s c

s c s c2 2s cs c2 2s c s c2 2s cs c2 2s c s c2 2s c

= == =

=

( ) = == =

1= =1= =

2

1

n

kk e e e e e e

k

nie eie e

n in i i

( )k e( )k ek e= k e e e+e e( )e e)e e e ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee ee e= e e += cos 2( )s 2( ) e e1 1e ee e)e e1 1e e)e ee ee e1 1e ee e12e e2e e( )( )k e( )k ek e( )k e e e e ein ine eine e e eine e e e e e e e e en n+ +e e+e e e e+e e) ) e ee e e ee ee ee ee ee e e ee ee e= = e e= e e e e= e e1 1 1 1e e1 1e e e e1 1e e

n1 1

n n1 1n)1 1) )1 1)e e)e e1 1e e)e e e e1 1e e)e e e ei i i iei ie ei ie+ +i i+i i i i+i ii ii i i ii i(((e e(e e(e e(e e )

= ( )

n

n n( )n n( )

1

2 12 1n n2 1n n( )n n( )2 1( )n n( )co2 1co2 1n n2 1n ncon n2 1n ns c( )s c( )( )n( )s c( )n( )2 1s c2 1( )2 1( )s c( )2 1( )n n2 1n ns cn n2 1n n( )n n( )2 1( )n n( )s c( )2 1( )n n( )( )n( )2 1( )n( )s c( )2 1( )n( )( )n n( )n( )n n( )2 1( )n( )n n( )s c( )n n( )n( )n n( )2 1( )n n( )n( )n n( ) ( ) ( )2 1 2 1n n2 1n n n n2 1n n( )n n( )2 1( )n n( ) ( )2 1( )n n( )s c s c( )s c( ) ( )s c( )2 1s c2 1 2 1s c2 1( )2 1( )s c( )2 1( ) ( )s c( )2 1( )n n2 1n ns cn n2 1n n n ns cn n2 1n n( )n n( )2 1( )n n( )s c( )2 1( )n n( ) ( )n n( )2 1( )n n( )s c( )n n( )2 1( )n n( ) os os2 1os2 1 2 1os2 1n n2 1n nosn n2 1n n n nosn n2 1n n

ce qui revient rsoudre lquation : cos cs cns c n n s c s cos osn n s c s c(s c(s c) ) s c s c)s c s c = 1

2

Penser factoriser e2i q 1 par ei q pour faire apparatre cos q ou sin q.

Pour n *, on dfinit f sur par : f n nf n( )f ns cos f n f nf n( )f n f n( )f nf ncof n f ncof ns c s cf ns cf n f ns cf n f n f n=f n f n(f n(f nf n f n(f n f nf ns cf n f ns cf n(f n f ns cf n )s c)s c

On a : f ff fnn n

f fn nf f nn nnf f( )f ff f0 1f ff f( )f f0 1f f( )f f

1f f

1f f

2 2f f

2 2f fn n2 2n nf fn nf f2 2f fn nf f 0

12n n2n n

f f= >f ff f0 1f f= >f f0 1f f n nn n2 22 2n n2 2n nn n2 2n nn nn nn nn nn n2 2n nn n2 2n nn nn n2 2n n

n nn nn nn nn nn n

=

corrigs

18

Question 3 : rponses A et D

Z h h e ep

ni ph

p

nii pi p, c , c ( )Z h( )Z h ( ) Z h Z h( )Z h Z h, c( ), cZ h, cZ h( )Z h, cZ h , c ( ) , c Z h Z h, cZ h Z h( )Z h, cZ h Z h = +, c= +, c , c = + , c = =h e= =h ei p= =i p

= =p= =p= =

i p+i p(i p(i p= =(= =i p= =i p(i p= =i p )= =)= =

h e h e i p i ph e h e , c , c , c , c os os i psii p i psii p= + = + = + = + , c= +, c , c= +, c , c = + , c = + , c os= +os os= +os os = + os = + os ( ) ( )ph( )ph ph( )ph ( ) ( ) = +( )= + = +( )= + = + ( ) = + ( ) = + i p+ +i p i p+ +i p+ + + +i p+ +i p i p+ +i pi psii p+ +i psii p i p+ +i psii pi pni p+ +i pni p i p+ +i pni p , c , c , c , c = + = +, c= +, c , c= +, c , c = + , c = + , c ( ) ( )i p( )i p i p( )i ph e( )h e h e( )h ei pi p( )i pi p i p( )i pi pi p+ +i p( )i p+ +i p i p( )i p+ +i pi pi p+ +i pi p( )i p+ +i pi p i pi p+ +i pi p( )i pi p+ +i pi p , c, c , c, c , c , c , c = += + = += +, c= +, c, c= +, c , c, c= +, c , c = + , c = + , c , c = + , c , c = + , c , c, c , c, c , c, c, c, c , c, c, c , c , c , c , c , c , c , c = += += += + = += += +, c= +, c, c= +, c, c, c= +, c , c= +, c, c= +, c, c= +, c, c= +, c , c = + , c = + , c , c = + , c , c = + , c , c = + , c , c = + , c = + , c , c = +, c h eh e h eh e h eh e h eh e h eh eh eh e h eh eh eh e= =h e h e= =h e0= =0= =

1

0

1 eiph

p

n

=

0

1

Il apparat la somme des n premiers termes dune suite gomtrique de pre-mier terme gal 1 et de raison eih. Or h 2k, donc eih 1 et :

Z h eee

iinh

ih =

( )Z h( )Z h =( ) =Z h =Z h( )Z h =Z h,( ), =, =( ) =, =Z h =Z h,Z h =Z h( )Z h,Z h =Z h 11

La rponse A est bonne.

Z h ee e e

e e eei

inh

inh

inh

ih

ih

ih

i

( )Z h( )Z h( )Z hZ h( )Z hZ h,( ),Z h,Z h( )Z h,Z h =

e e

e ee ee ee e

e ee ee e

e e

e ee ee ee e

e ee ee e

=

2 2e e2 2e e2 2e e2 2e e

2 2

e e

e e2 2e e

e ee ee e2 2e ee e

2 2

e e

e ee e

e e2 2e ee e

e e 2

2 2e e2 2e e2 2e e2 2e e

2 2

e e

e e2 2e e

e ee ee e2 2e ee e

2 2

e e

e ee e

e e2 2e ee e

e e 2

+++( )

n hn h )n h)nh

h

n h1n h

2 2

2

sin

sin


U hp

n

p

n

, c , c sin

sin

( )U h( )U h ( ) U h U h( )U h U h, c( ), cU h, cU h( )U h, cU h , c ( ) , c U h U h, cU h U h( )U h, cU h U h = +, c= +, c , c = + , c = = = si= sin= n ( )ph( )ph( ) +( )+

= =

= = = si= sin= n

= =p= =p= =

n n

, c , c , c , c os os = + = + = + = + , c= +, c , c= +, c , c = + , c = + , c os= +os os= +os os = + os = + os ( ) ( )ph( )ph ph( )ph ( ) ( ) = +( )= + = +( )= + = + ( ) = + ( ) = + = = 0= =0= =

1 1

0

1

2

2phpphp V h

p

n

= =

= V h= V hV h= V hV hV hV hV hV h= V hV h= V h

V h

V hV h= V h

V h= V hV h= V hV h= V hV hV hV hV hV h= V hV h= V hV hV h= V h

V h

V hV hV hV h= V h

V h= V hV hV h= V h

=

= = 0

1

2

V h

V hV hV h,V h,V h

La rponse C est fausse. Daprs lassertion A :

U h Z h

nh

hi

n h

0 0Z h0 0Z h 2

2

n h1n h

2, ,, ,0 0, ,0 0sin

sin( )U h( )U h0 0( )0 0U h0 0U h( )U h0 0U h, ,( ), ,U h, ,U h( )U h, ,U h0 0, ,0 0( )0 0, ,0 0U h0 0U h, ,U h0 0U h( )U h, ,U h0 0U h = 0 0= 0 0, ,= , ,0 0, ,0 0= 0 0, ,0 0( )Z h( )Z hZ h0 0Z h( )Z h0 0Z h, ,( ), ,0 00 0, ,, ,, ,, ,0 00 00 00 0, ,, ,, ,, ,

n hn h( )n h)n h

e =0 0e =0 0Z h0 0Z he =Z h0 0Z h, ,e =, ,Z h, ,Z he =Z h, ,Z h0 0, ,0 0e =0 0, ,0 0Z h0 0Z h, ,Z h0 0Z he =Z h, ,Z h0 0Z h, ,e =, ,0 0, ,0 0e =0 0, ,0 0( )e =( )Z h( )Z he =Z h( )Z hZ h0 0Z h( )Z h0 0Z he =Z h( )Z h0 0Z hZ h, ,Z h( )Z h, ,Z he =Z h( )Z h, ,Z hZ h0 0Z h, ,Z h0 0Z h( )Z h, ,Z h0 0Z he =Z h0 0Z h, ,Z h0 0Z h( )Z h0 0Z h, ,Z h0 0Z h0 00 0e =0 00 0, ,, ,e =, ,, ,0 0, ,0 00 0, ,0 0e =0 00 0, ,0 00 00 00 00 0e =0 00 00 0, ,, ,, ,, ,e =, ,, ,, ,0 0, ,0 00 0, ,0 00 00 0, ,0 0e =0 0, ,0 00 0, ,0 00 0, ,0 00 0, ,0 0 e =e = e 2e

=

cos ss ss ss ss ss ss ss ss s s ss s

s ss ss ss s in

sin

nhs shs s

nh

h

12 22 22 2 2 22 2

2

La rponse D est bonne.

Question 4 : rponses B et D

A h h p h h U hp

n

p

n n

q( )A h( )A h s cos h hcoh hh hsh h= = +h p= +h p= +s c= +s cos= +os (h p(h p )= += += += += += + h hh hh hh hh hh hh hh hh h= +h hh hcoh h= +h hcoh hh hsh h= +h hsh hh h= +h h( )h h( )h h ph( )ph= +( )= +h h= +h h( )h h= +h h =

= = = co cos c s c( ) ( )ph( )ph ph( )phs c( )s c s c( )s cphs cph( )phs cph ph( )phs cph = + = +s c= +s c s c= +s c h hh hh hh hh h= +h hh h= +h h

1 1p1 1p= =1 1= =p= =p1 1p= =p

1

10

( )U h( )U h,,,( ),,,h( )h

(en posant q = p 1).

La rponse A est fausse et la rponse B est bonne.

19


dAdh

h p B hp

n

( )h p( )h psin (B hn (B hn ( )h p= h p ( )ph( )ph( )ph( )phn (( )n (phn (ph( )phn (phn (= n (=

h ph p1


Daprs les assertions 4-B et 3-A :

A h U h h e Z h( )A h( )A h , ,h e, ,h e Z h, ,Z h= ( )U h( )U h h e( )h e, ,( ), ,h e, ,h e( )h e, ,h eh e= h eh e, ,h e= h e, ,h e ( )Z h( )Z h h( )h, ,( ), ,Z h, ,Z h( )Z h, ,Z h, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,

A h e e

nh

h

ni

n h

( )A h( )A hsin

sin

cos=

e ee e

e e

e ee ee e

e ee e

=n h+n h( )n h)n hn h1n h

2 2

2

+++

12 22 22 2 2 22 2

2

hnh

h

sin

sin

En utilisant la transformation cos s sin sina bs sa bs sina bina bs sa bs s(s s(s s)a b)a bs sa bs s)s sa bs s ( )a b( )a b = += +si= +sin s= +n s( )n s( )n sa b( )a bn sa bn s( )n sa bn s= +( )= +n s= +n s( )n s= +n sa b= +a b( )a b= +a bn sa bn s= +n sa bn s( )n s= +n sa bn s n s n sin in ( )a b( )a b ( ) a b a b( )a b a b= += += += += += + 12

, on

obtient : A h

nh

h( )A h( )A h =

sin

sin

2 1n2 1n +2 1+2

22

12


> QCM 2 Application du plan complexe

Question 1 : rponse A

Forme trigonomtrique dun complexeTout nombre complexe Z non nul peut tre mis sous la formetrigonomtrique :

Z ZZ Z ei ZZ Z=Z Z . i Zari Zg(i Zg(i Z )

Ici, Z peut tre nul, si z = i. Donc Z na pas toujours de formetrigonomtrique.


Zr e

r e r e re

i

i ii=

+= +i i= +i i = +

2 2r e2 2r ei2 2i

2 2r e2 2r ei i2 2i i2 2i i2 2i i 221 1= +1= +i i= +i i1i i= +i i

11= +1= +

1r e.r e. .r e. .r e r e. .r e

r e r ei i i ir ei ir e r ei ir ei i= +i i i i= +i i2 2 2 2i i2 2i i i i2 2i ir ei ir e2 2r ei ir e r e2 2r ei ir ei i= +i i1i i= +i i i i1i i= +i i

Les rponses B et C sont fausses.

NON

corrigs

20

Lexpression D est bonne, mais nest pas une forme trigonomtrique.La rponse D est fausse.

Lexpression B est la seule qui soit une forme trigonomtrique mais cenest pas la bonne !

Question 2 : rponses B et DDaprs la question prcdente, Z scrit :

Zr

er

ii= +

= +

( ) ( )

= +

1= +1= +1

1= +1= +1

2 2i2 2i( )2 2( ) ( )2 2( )

1= +1= +

22

2 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2i2 2i i2 2i( )2 2( ) ( )2 2( ) + 2 2+ + 2 2+ i+ i2 2i+ i i2 2i+ i ( )2 2( ) ( )2 2( )+ ( )+ 2 2+ ( )+ + 2 2+ ( )+ cos s( )s s( )( )s s( )( )2 2( )s s( )2 2( ) s s i is si i( ) ( )s s( ) ( )2 2 2 2s s2 2 2 2( )2 2( ) ( )2 2( )s s( ) ( )2 2( ) + 2 2+ + 2 2+ s s+ + 2 2+ i+ i2 2i+ i i2 2i+ is si+ i2 2i+ i i+ i2 2i+ i2 2in2 22 2 2 2in2 2 2 2+ 2 2+ + 2 2+ in+ + 2 2+

111 12 2r

ir2 2r2 2

2 22 22 22 22 22 2( )2( )22 2( )2 2

2 22 22 22 22 22 2

( )2( )2co2 2co2 2s s2 2s s2 2( )s s( )2( )2s s2( )22 2( )2 2s s2 2( )2 222 22( )22 22s s2( )22 22 in

1

1 i i( ) ( ) 2 2 2 22 2( )2 2 2 2( )2 22 22 2 2 22 22 22 22 22 2 2 22 22 2

( ) ( )2( )2 2( )2s s s ss s s s2 2s s2 2 2 2s s2 2s s s s2 2s s2 2 2 2s s2 2is si is si2 2i2 2s s2 2i2 2 2 2s s2 2i2 2( )s s( ) ( )s s( )2 2( )2 2s s2 2( )2 2 2 2s s2 2( )2 2s s s s

s s s s

s s

s s2 22 2

s s2 22 2 2 2s s2 22 2

s s s ss s s s

s s

s s2 22 22 22 2

s s2 22 22 2 2 22 22 22 2

s s2 22 22 22 2s s s s

s s

s s

s s s ss s s s

s s

s s

in in

= +

( ) =

( )e Z =e Z = r =m Z = r( ) =( ) =e Z( )e Z =e Z =( ) =e Z = cos ((s (( )s () =s ( = =m Z =s ( =m Z =) s =) s =

) s) s ) s

) s

) s

) s

in11

s (2s (1

) s1

) s 22 22 22 2 (2 2( )2 2) =2 2 = 2 22 2 r2 2rco2 2cos (2 2s ((s ((2 2(s (( )s ()2 2)s () =s ( =2 2 =s ( =) s2 2) s =) s =2 2 =) s = ) s2 2) s) s2 2) ss (2s (2 2s (2s ( = = ( ( =m Z = =m Z =s ( s ()s () )s () =s ( = =s ( = =m Z =s ( =m Z = =s ( =m Z =) s ) s) s ) s) s ) s =) s = =) s = ) s ) s) s ) s

) s

) s

) s ) s) s ) s

) s

) s

) s ) s

) s

) s

) s ) s) s ) s

) s

) s

in in) s1

) s ) s1

) s 2 2 =2 2 = =2 2 = =m Z =2 2 =m Z = =2 2 =m Z =s (2 2s ( s (2 2s ()s ()2 2)s () )2 2)s () =s ( =2 2 =s ( = =2 2 =s ( = =m Z =s ( =m Z =2 2 =s ( =m Z = =m Z =s ( =m Z =2 2 =m Z =s ( =m Z =) s2 2) s ) s2 2) s =) s =2 2 =) s = =2 2 =) s = ) s2 2) s 2 2) s) s2 2) s ) s2 2) ss (ets ( s (ets (s (2 2s (ets (2 2s ( s (ets (2 2s (

Les rponses A et C sont fausses, les rponses B et D sont bonnes.

Question 3 : rponses C et D

LogiqueSoient P et Q deux propositions logiques.La ngation de P et Q est non P ou non Q .

Z XZ X etetet YYY= Z X= Z X = =et= =et Y= =Y1 11 1Z X1 1Z XZ X1 1Z XZ X= Z X1 1Z X= Z X = =1 1= = 00Z X= Z X1 1Z X= Z XZ X1 1Z X

Z X Y Z X Z X Y Y1 1Z X1 1Z XZ X Z X1 1Z X Z X 1 1 0Z X Z X1 1Z X Z XZ X1 1Z X ou La rponse A est fausse.

Z H zZ

Z H Z H =

1Z H1Z HZ H Z H1Z H Z H1

12doncZ HdoncZ H donc Z H Z HdoncZ H Z H ( )Z H( )Z H ( ) Z H Z H( )Z H Z H (1)

Or, lquation (1) scrit :

X iY( )x i( )x iy( )yx i+x i( )x i+x i =

+ X i+ X iY+ Y2 1

1

x y ixyX iY X iY

X Y2 2x y2 2x y 2X Y2X Y 2

2X i1X i

1 1Y X1 1Y XX i1X i

+x y +x y2 2 +2 2x y2 2x y +x y2 2x y =X i X iX i1X i X i1X i

( )X i( )X i1 1( )1 1X i1 1X i( )X i1 1X iY X1 1Y X( )Y X1 1Y XX i +X i( )X i +X iX i1 1X i +X i1 1X i( )X i +X i1 1X i ( )iY( )iY1 1( )1 1Y X1 1Y X( )Y X1 1Y X ( ) 1 1 1 1( )1 1 1 1 =X i X iX i1X i X i1X i

( )X Y( )X Y1( )1X Y1X Y( )X Y1X YX YX Y( )X YX YX Y+X Y

Lexpression D est bonne, mais nest pas une forme trigonomtrique. Lexpression D est bonne, mais nest pas une forme trigonomtrique.NON

Z X

Z XNON

21


soit finalement, en identifiant membre membre les parties relles dunepart, et les parties imaginaires dautre part :

x yX

X Yxy

Y

X Y2 2x y2 2x y 2X Y2X Y 2 2X Y2X Y 2

1

1X Y1X Y2

1X Y1X Y =x y =x y


= X YX Y( )X Y)X YX Y+X Y

et

La rponse B est fausse, les rponses C et D sont bonnes.

Question 4 : rponse D

Z et k k= Z e= Z e= =Z e= =Z et k= =t k1 1Z e1 1Z eZ e= Z e1 1Z e= Z et k2t kZ e= Z e1 1Z e= Z eZ e1 1Z eZ eR Z eZ e= =Z eZ e1 1Z eR Z e1 1Z eZ e= =Z e1 1Z e= =Z eZ et kt k t k t kt k= =t k t k= =t kt k2t k t k2t k t k t k t k t kt k2t k t k ( )k( )k ( )( )( )

Z k k Z k Z k Z k Z kZ k1 1Z kZ k Z k1 1Z k Z kZ k2Z kZ k Z k1 1Z k Z kZ k1 1Z kZ kR Z kZ k Z kZ k1 1Z kR Z k1 1Z kZ k Z k1 1Z k Z kZ k Z k ou Z k Z k Z k Z k Z k Z k Z k Z kZ k2Z k Z k2Z k ( )k( )k ( )( )( )

Lassertion A nexclut pas le cas o, par exemple : , ,( )R( )R, ,( ), ,( ), ,, ,( ), ,, ,= (, ,(, , )1 2, ,1 2, , Or : Z R e ei ie ei ie e= =Z R= =Z R e e= =e e. .e e. .e e e e e ei i i ie ei ie e e ei ie ee e= =e e e e= =e e1 1e e1 1e e =1 1=e e. .e e1 1e e. .e e 1 1 e e e e1 1e e e ei i i i1 1i i i ie ei ie e e ei ie e1 1e e e ei ie e 2 2 1 1 2 1 1 . La rponse A est fausse.

Lassertion B recense bien lensemble des valeurs de . En revanche,elle est trop restrictive par la prsence du et . Ainsi, le cas o, parexemple : / , , , ,( )R( )R, ,( ), , ( ) , , , ,( ), , , , = ( ( , , , ,(, , , , )1 2/1 2/ 1 2 , , , ,1 2, , , , ne doit pas tre exclu puisque :

Z R e e ii ie ei ie e= =Z R= =Z R e e= =e e = i= i. .e e. .e e / e e e ei i i ie ei ie e e ei ie ee e= =e e e e= =e e1 1e e1 1e e i1 1i= 1 1= i= i1 1i= ie e. .e e1 1e e. .e e /1 1/ 1 1 e e e e1 1e e e ei i i i1 1i i i ie ei ie e e ei ie e1 1e e e ei ie e 21 121 1


Daprs lquation (1) tablie la question 3 : zZ

2 11

=

soit encore : r zr zZ R e R i Ri

2 22 2r z2 2r zr z2 2r z1

11

11

R i1R i= == =r z= =r zr z= =r z

=

=

R i +R iR i1R i +R i1R iR e.R e R i.cR iR iosR i .sin R i R i R RR i +R i R i +R iR i1R i +R i1R i R i +R i1R i .s .sin in

et finalement :

rR R

2

2R R2R R

1

1 2R R1 2R R=

R R+ R RR R1 2R R+ R R1 2R Rcos

La rponse C est fausse et la rponse D est bonne.

NON

corrigs

22

Question 5 : rponse A

Daprs lnonc : z ri

= z r= z r e r= e r. .= . .= e r= e r. .e r= e r= . .= e r= e r. .e r= e re r= e ravece r= e re r= e r. .e r= e ravece r. .e r= e r4= 4= e r= e r4e r= e r 0. .0. .

Daprs lassertion A de la question 1, si Z vrifie lquation (H), Z scrit :

Zr

er

eir

i i= +

= +

=

1= +1= +1

1= +1= +1

1= 1= 22

22

2

La partie relle de Z est donc gale 1, et sa partie imaginaire 12r

dcrit

* quand r dcrit +* . Autrement dit :

le point M daffixe Z dcrit la demi-droite A v,A v,A vA v-A v

, prive du point A

daffixe 1.La rponse A est bonne, les rponses B, C et D sont fausses.


Notons ( )( )z( )z

z

n

=+

2

2

1.

z0 solution de (En) quivaut (z0) = 1.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z z z ( )z z( ) ( ) z z ( ) = z z = ( )z z( )0 0 0 0 ( )0 0( ) ( ) 0 0 ( ) ( )0 0( )z z0 0z z z z 0 0 z z ( ) z z ( ) 0 0 z z ( ) = z z = 0 0 z z = ( )z z( )0 0( )z z( ) 0 0 0 0 ( )0 0( ) ( ) 0 0 ( ) (0 0( 1 1=1 1=, e , e ( ), e( ) ( ) , e ( ) ), e)z z, ez z z z , e z z ( )z z( ), e( )z z( ) ( ) z z ( ) , e z z ( ) = z z = , e z z = (z z(, e(z z(0 0, e0 0 0 0 , e 0 0 ( ) 0 0 ( ) , e 0 0 ( ) (0 0(, e(0 0(z z0 0z z, ez z0 0z z z z 0 0 z z , e 0 0 z z ( ) z z ( ) 0 0 z z ( ) , e ( ) z z ( ) 0 0 ( ) z z ( ) = z z = 0 0 z z = , e = z z = 0 0 = z z = (z z(0 0(z z(, e(0 0(z z( tDonc, si z0 est solution de (En), z0 et z0 le sont galement.


Prenons linconnue auxiliaire : Zz

z=

+22

1

Zz

zZn

( )E( )En( )n =

+

=

(H)

(2)

2

2

1

1

Rsolvons (H) :( )( )H ( ) ( ) ( ) z Z z Z ( )z Z( ) ( ) z Z ( ) 2z Z2z Z z Z 2 z Z 1 1( )1 1( ) =1 1=

Si Z = 1, on obtient 0 = 1 : pas de solution en z.

Si Z H zZ

Z H Z H =

1Z H1Z HZ H Z H1Z H Z H1

12: (Z H: (Z H : ( Z H Z H: (Z H Z H ) )

Or1

10

Z donc (H) admet deux racines non nulles opposes.

23


Les solutions de (2) sont les racines nmes de lunit :

Z e ki

kn= Z e= Z e n= n { }

= { }{ }{ }... , n-{ }{ }1{ }

2

{ }0 1{ }{ }0 1{ }{ }2 3{ }

/ ,k/ ,k= / ,= k= k/ ,k= k { }/ ,{ }= / ,= { }0 1{ }/ ,{ }0 1{ }{ }, , ,{ }{ }, , ,{ }{ }, , ,{ }{ }2 3{ }, , ,{ }2 3{ }{ }2 3{ }, , ,{ }2 3{ }

Pour k = 0 : Z = 1 ne convient pas.Donc (En) est quivalent :

ze

e

e e

e

ikn

ikn

ikn

ikne ene e

ikn

ikn

22

1

1 2=

=

e ee e=

=

i

i

k k

sin

eeekn

ki

kn

+ + +i +i + +

+

+ + + + + + +

+

+ + +

{ }{ }{ }... , { }{ }-1{ } k k

2

2{ }1 2{ }{ }3{ }

sin// { }, , ,{ }{ }, , ,{ }{ }1 2{ }, , ,{ }1 2{ }{ }3{ }, , ,{ }3{ }{ }3{ }, , ,{ }3{ }{ }n{ }

(En) a donc (2n 2) racines. Les rponses B et C sont fausses.

1 1 0 00 01 1 1 1

corrigs

24

f zf z i ii i( )( )f z( )f zf z( )f z = i i= i i =i i= i ii i4 34 3i i4 3i ii i4 3i i =4 3 = 00 : impossible. Donc f est une application de Ddans D.

Soit z D. On cherche z D tel que z = f (z).

z f z z i i z i z f z f z z z z= z f= z f z z= z z = z f z f= z f z f z z z z= z z z z( )z z( )z z i i( )i i( ) = i i= i i z i= z i( ) ( ) z z z z( )z z z z= ( )= z z= z z( )z z= z z = ( ) = z z z z= z z z z( )z z= z z z zz z= z zz zz zzz zz z z zzz z z z z i2 4z iz i+z i2 4z i+z i

z f z z i i z i z f z f z z z z z iz i= z f= z f z z= z z = z f z f= z f z f z z z z= z z z z( )z z( )z z i i( )i i ( ) z z z z( )z z z z ( ) = i i= i i z i= z i( ) ( ) z z z z( )z z z z= ( )= z z= z z( )z z= z z = ( ) = z z z z= z z z z( )z z= z z z zz z= z zz zz zzz zz z z zzz z z z z i2 4z iz i+z i2 4z i+z iOr z i, donc :

z fi z i

z iz fz fz f

z iz i= z f= z f +

z iz i =z f =z f( )z( )z= ( )= z= z( )z= z ( )z( )z( )= z = =2 4 +2 4 +

Donc z est solution unique dans D. Par consquent, f est bijective, et f 1 = f.De plus :

f o f = IdD

Les rponses C et D sont bonnes.


On a, pouri z i

z i, : ( )z z( )z z, :( ), :z z, :z z( )z z, :z z ( ) =, : =, : = +

z iz i D =D =, : =, :D, : =, : = D = 2 2 =2 = = 2 =

2 4 +2 4 + z =z = = z =

Calculons Z Z :

Z Zi z i

z ii i = ( )z i( )z i ( ) z i z i( )z i z i= ( )= z i= z i( )z i= z i ( )z i( )z i ( ) z i z i( )z i z iz iz i( )z iz i = ( )z i( )z i= ( )= z i= z i( )z i= z i +

z iz i

i ii ii ii ii i

i ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii i= i i2 4 +2 4 + i i3 4i ii i+i i3 4i i+i i


Z Z i = = + = = ( )= ( )= + = + =3 4 +3 4 + 3 4( )3 4( ) + =3 4+ = 9 1+ =9 1+ =6 26 2+ =6 2+ = 5 5=5 5=23 423 42+ =2+ =La rponse B est bonne.

Angle entre deux vecteurs et argument dun complexe

Si e1

est le vecteur directeur de laxe Ox, et si M est le point daffixe z :

arg( ) ,z e) ,z e) ,OM OM) ,z e) ,=) ,z e) ,) ,) ,) ,z e) ,) ,z e) ,) ,) ,) ,z e) ,) ,z e) ,) ,z e) ,) ,z e) ,) ,) ,z e) ,) ,) ,) ,) ,) ,z e) ,) ,z e) ,) ,) ,z e) ,) ,) ,) ,) ,) ,z e) ,) ,z e) ,) ,) ,z e) ,) ,z e) ,) ,z e) ,) ,) ,z e) ,) ,z e) ,) ,z e) ,) ,z e) ,) ,z e) ,

1) ,1) ,

Soient trois points A, B, C, avec C distinct de A et B, daffixes respectives a,b et c :

CA CBc bc a

, aCB, aCB rg (mod ) , a, a, a, a, a

, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a=, a

c bc bc ac a

2

25


AM AMz iz i

ZZ

Z Z, aAM, aAM rg arg aZ

g aZ

rg arZ ZarZ ZgZ ZgZ Z, a, a z i z i Z Z

Z ZZ Z , a, a, a, a, a

, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a=, a

z iz iz iz i

g ag a

g a

g a

g ag ag ag a

g a

g ag ag ag ag a

g a

g a

g ag ag ag a

g a

g ag ag ag a=g a ( )Z Z)Z Z) (Z Z(Z Z( )Z ZZ ZarZ ZZ ZgZ ZZ Zg argg ag a=arg ag ag ag ag ag ag ag a

g ag ag ag a

g ag ag ag ag ag a

g ag ag ag a

g ag ag ag a

g ag ag ag a=g a (Z Z)Z ZZ ZZ ZZ Z(Z Z) (mod )2


Z Z i = +3 4 +3 4 + , donc :

arg arg arg arg (mod )Z ZarZ Zarg aZ Zg ag arg g a g arg rg Z Z Z ZarZ Zar arZ Zarg aZ Zg a g aZ Zg a( )g a( )g aZ Z( )Z Zg aZ Zg a( )g aZ Zg ag a( )g ag a( )g a ( ) g a g a( )g a g ag a=g a ( )Z Z( )Z Z( ) ( ) Z Z Z Z( )Z Z Z ZZ Z+Z ZZ Z Z Z+Z Z Z Z( )g a( )g ag aZ Zg a( )g aZ Zg a ( ) g a g a( )g a g aZ Z Z Z( )Z Z Z Zg aZ Zg a g aZ Zg a( )g a g aZ Zg a= g a= g arg= rg ( )i( )i= ( )= ( )3 4( )+( )+3 4+( )+ 2


Question 3 : rponse D Si M dcrit le cercle de centre A et de rayon 5, on a :

AM z i Z= = z i= z i = == == == =Z= =Z 5

Donc, daprs lassertion B de la question prcdente :

AM z i ZZ Z

Z z i z i

= = z i= z i = == == == =Z= =Z = == =

55

1

Cela signifie que M est situ sur le cercle de centre A et rayon 1, dont [OA]reprsente un rayon et non un diamtre.

Les rponses A et B sont fausses.

Si M dcrit une droite passant par A, sauf le point A, alors le vecteurAM garde une direction constante :

e AM Z1e A1e Ae Ae A M ZM Z, ae A, ae AM Z, aM ZM ZM Z, aM ZM ZrgM ZrgM Z (mod )

M ZM ZM Z, aM ZM Z, aM Z, a, aM Z, aM ZM Z, aM ZM Z, aM Z

M Z, aM ZM ZM Z, aM ZM ZM ZM ZM ZM Z, aM ZM Z, aM ZM ZM Z, aM Z, a, a, a, aM Z, aM ZM Z, aM ZM ZM Z, aM ZM Z, aM ZM Z, aM ZM ZM Z, aM ZM Z, aM ZM Z, aM ZM Z, aM ZM Z, aM ZM Z, aM Z=M Z, aM Z( )M Z( )M Z = ( est langle polaire de ).

Donc, daprs lassertion D de la question prcdente :

e AM Z1e A1e Ae Ae A M Z M Z, ae A, ae AM Z, aM ZM Z M Z, aM Z M ZrgM ZrgM ZM Z M ZrgM Z M Z g( ) (mod )

M Z M ZM Z M ZM Z, aM ZM Z, aM ZM Z M Z, aM Z M ZM Z, aM Z M Z, a, aM Z, aM ZM Z, aM ZM Z, aM Z

M Z, aM ZM ZM Z, aM Z M Z M ZM Z M ZM ZM Z M ZM Z, aM ZM Z, aM ZM ZM Z, aM ZM Z M Z, aM Z M ZM Z, aM Z M ZM Z M Z, aM Z M ZM Z M Z, aM Z M Z, a, a, a, aM Z, aM ZM Z, aM ZM ZM Z, aM ZM Z, aM ZM Z, aM ZM ZM Z, aM ZM Z, aM ZM Z, aM ZM Z, aM ZM Z, aM ZM Z, aM Z=M Z, aM Z( )M Z( )M Z ( ) M Z M Z( )M Z M Z = = i i3 4 3 4ar arg( g( ) ( ) (= = = = + +3 4 +3 4 3 4 +3 4 ) () ( ) () ( d )d )) (

Cela signifie que M est situ sur la droite dangle polaire passantpar A.


NON

corrigs

26

Question 4 : rponse B Si M dcrit le cercle de centre O et de rayon 1, on a :

M OM OMM OMM O M O M OM O M OM MM OMM O M OMM O M O M OM O M O M O M O =M O M OM O M OM O M OM O M OM O M O M O M OM O M O M OM O M OM O 1

M zM z M z M zM z M z M z M zM z M z M z M z = M z M zM z M zM z M zM z M zM z M z M z M zM z M z M zM z M zM z 1

Or, daprs lnonc :

zi z i

z ii z i

z ii zi z i

z iz i

= = +z iz i

= +z iz i

=+ +

z iz i=

z i+ +z ii zi zi z i i zi z +2 4 +2 4 + 2 4 +2 4 + 4 2+ +4 2+ + z i4 2z iz i+ +z i4 2z i+ +z ii z.i zi z.i zz iz iz i

M zM z i zi z i zi z i M z M z + +M z +M zM z +M z + =i z+ =i zi z+ =i z i z i zi z i zM zM zM zM z +M z +M z +M z i zi z i z i zi zeti zi z i zeti z i z4 2+ =4 2+ =

M BM BM AM AM BM AM B M MM M A M B M B = =M B =M BM B =M BM A =M AM A =M AM BM AM B =M BM AM B M BM B etM MetM M .

Cela signifie que M dcrit la mdiatrice du segment [AB].


Soit M daffixe z (z i) :

M Ox z z ou z M O M Ox z x z z o z oM OM OM O M OM O M O(M O(M O ( M O M O(M O M O )x z)x z ) x z x z)x z x z x z x z x z x z x z x z =z o =z oz o z o =z o z o ( ( (u z(u z ) [ ]x zx z x z = 0 0u z0 0u z 0 0 u z u z0 0u z u z0 0z o0 0z ou z0 0u z 0 0 z o z o0 0z o z ou z u z0 0u z u zu z(u z0 0u z(u z ( 0 0 ( u z u z(u z u z0 0u z(u z u z )0 0) =0 0=z o0 0z ou z0 0u zu zaru zu z0 0u zaru z0 0u zu z u z0 0u z u zaru z0 0u z u zgu zgu zu z0 0u zgu z0 0u z 0 0 g 0 0 u z u z0 0u z u zgu z0 0u z u z [ ][ ]

M Ox z i ou z M O M Ox z x z M OM OM O M OM O M O(M O(M O ( M O M O(M O M O )x z)x z ) x z x z)x z x z =x z =x z = x z x z =x z x z (u z(u z ) = [ ]x zx z =x z i ou z4 2 4 2 0u zaru zgu zgu z [ ][ ]

Or :

arg z( )g z( )g z( ) = +

= +

= += +arg ag ag a

g a

g ag a

g a

g a

g a

g ag a

g a

= +g a= +rg= +rg= +( )= +( )= + argi z i

z iz ig a

z ig a ( )i( )= +( )= +i= +( )= +

z i+ +z i+ +z iz i

2 4 +2 4 + z i4 2z i+ +z i+ +4 2+ +z i+ +2

MAMMAM MB,

donc :

M Ox M B ou MA Mu MA Mu M M O M O( )M O( )M Ox M( )x M =x M =x M u Mu Mu Mu Mu Mu Mu Mu Mu Mu Mu Mu Mu Mu Mu Mu Mu Mu Mu Mu Mu Mu Mu M

x Mx M =x M B ou M , (, (, (A M, (A MB, (BA MBA M, (A MBA M, (, (, (, (, (, ( =, (= mod )

, (

, ( d )d )

2, (

2, (

Cela signifie que M dcrit le cercle de diamtre AB, sauf le point A puisquez i.

Les rponses C et D sont fausses.

27


> QCM 4 quations complexes


Lquation (1) nest pas une quation du 2nd degr, car elle fait inter-venir z au lieu de z. La rponse A est fausse.

Si z0 est une solution de lquation (1), on a :

z z0z z0z z2z z2z z02 1 0 +z z +z z2 1 +2 1z z2 1z z +z z2 1z z02 10 +02 10 =

Lquation conjugue de (1) est vraie :

z z0z z0z z2z z2z z02 1 0 +z z +z z2 1 +2 1z z2 1z z +z z2 1z z02 10 +02 10 =

Or : z z0z z0z z2z z2z z0

2z z=z z

donc : z z0z z0z z2

02 1 0 +z z +z z2 1 +2 1z z2 1z z +z z2 1z z02 10 +02 10 =

Cela signifie que z0 est solution de lquation (2), et que (2) (1).

La rponse B est bonne et la rponse D est fausse.

Si z0 est une solution de (1), on a :

z z0 0z z0 0z z120 020 0

= +z z= +z zz z= +z zz z0 0z z= +z z0 0z z( )0 0( )0 0z z0 0z z( )z z0 0z z 2( )2 1( )1= +( )= +z z= +z z( )z z= +z z0 0= +0 0( )0 0= +0 0z z0 0z z= +z z0 0z z( )z z= +z z0 0z z 2= +2( )2= +2

En remplaant dans (2), on obtient :

12

1 2 1 002

2

0z z1 2z z1 2z z1 2z z1 20z z02z z2 +z z+z z( )1 2)1 2)z z)z z1 2z z1 2)1 2z z1 2

1 21 21 2z z1 21 2z z1 2

z z

z z1 2z z1 2

1 2z z1 21 2z z1 21 2z z1 21 21 21 21 21 2z z1 21 2z z1 21 21 2z z1 2

z z

z zz zz z1 2z z1 2

1 2z z1 21 21 2z z1 2 +1 2 +1 2 0 +0z z +z z1 2z z1 2 +1 2z z1 2 1 0=1 0

z z0z z0z z2z z2z z

2

01 8z z1 8z z2

1 82

4 0+z z+z z( )z z)z z1 8)1 8z z1 8z z)z z1 8z z +z z +z z0 +01 8 +1 8z z1 8z z +z z1 8z z 4 0=4 0z z z0z z0z z

4z z4z z02

02 122 12 8 4z8 4z08 40 0+ +z z+ +z z2 1+ +2 1z z2 1z z+ +z z2 1z z02 10+ +02 1022 12+ +22 12 +8 4 +8 4z8 4z +z8 4z08 40 +08 40 =

z z z0z z0z z4z z4z z0

202 8z z2 8z z02 80

22 82 5 0+ z z+ z z2 8+ 2 8z z2 8z z+ z z2 8z z02 80+ 02 8022 82+ 22 82 + =5 0+ =5 0

Donc z0 est solution de lquation (3).

La rponse C est bonne.

Lquation (1) nest pas une quation du 2venir NON

corrigs

28


z = 1 est solution vidente de lquation (3). La rponse A est fausse.

On cherche une factorisation :

z z z z z z z4 2z z4 2z z 3 2z z3 2z z2 8z z2 8z z4 22 84 2 5 1z z5 1z z 3 5z3 5zz z+ z z4 2+ 4 2z z4 2z z+ z z4 2z z2 8+ 2 8z z2 8z z+ z z2 8z z4 22 84 2+ 4 22 84 2z z4 2z z2 8z z4 2z z+ z z2 8z z4 2z z + =z z+ =z z5 1+ =5 1z z5 1z z+ =z z5 1z z( )z z( )z z5 1( )5 1z z5 1z z( )z z5 1z z5 15 1( )5 15 1 + +z z+ +z z3 2+ +3 2z z3 2z z+ +z z3 2z z 3 53 5( )z z z z z z4 2z z4 2z z 2 2z z2z z2 8z z2 8z z4 22 84 2 5 1z z5 1z z 2 5z z2 5z zz z+ z z4 2+ 4 2z z4 2z z+ z z4 2z z2 8+ 2 8z z2 8z z+ z z2 8z z4 22 84 2+ 4 22 84 2z z4 2z z2 8z z4 2z z+ z z2 8z z4 2z z + =z z+ =z z5 1+ =5 1z z5 1z z+ =z z5 1z z( )z z( )z z5 1( )5 1z z5 1z z( )z z5 1z z5 15 1( )5 15 1 + +z z+ +z z2 5+ +2 5z z2 5z z+ +z z2 5z z( )

On peut mettre en facteur (z 1)2 dans le membre de gauche de lquation (3).

La rponse B est bonne.

Lquation z z2z z2z z2 5z z2 5z z 0+ +z z+ +z z2 5+ +2 5z z2 5z z+ +z z2 5z z = a pour discriminant = =4 2 =4 2 =0 1 =0 1 = 0 1 6 et pourracines : z iz i= z iz i1 2z iz iz i1 2z iz i

Finalement, les racines de lquation (3) sont :

(racine double)1

1 2

1 2

1 2 1 2 +1 2 +1 2

ii

Deux racines de (3) ne sont pas relles. La rponse C est fausse.

Il y a trois racines distinctes lquation (3).


Question 3 : rponses C et D

1 et 1 + i ne sont pas racines de (3), donc ne sont pas racines de (1),daprs la question 1 assertion C. Les rponses A et B sont fausses.

( ) ( ) ( ) + = + ( ) + =( )1 2( ) ( ) 1 2 ( ) 2 1( )2 1( ) + =2 1+ = 1 4+ 1 4+ 1 0+ =1 0+ =2i i( )i i( ) i i ( )i i( )( )i i( )2 1i i2 1 2 1 i i 2 1 ( )2 1( )i i( )2 1( ) ( ) 2 1 ( ) i i 2 1 ( ) ( )2 1( )i i( )2 1( )2i i2 i i+ i i+ i i ( )i i( ) ( ) i i ( ) 4 2i i4 2 4 2 i i 4 2 ( )1 2( )i i( )1 2( )+( )+1 2+( )+i i+1 2+( )+

1 2i est donc racine de (1), donc le conjugu 1 + 2i est aussi racine de (1).


1 2 1 1 1 2 1 021 221 2( )1 2( )1 21 21 2( )1 1( )1 1+ =1 1+ =1 1 +1 2 +1 2 1 0=1 01 est donc racine de (1).


En conclusion, (1) a trois racines : 1, 1 2i et 1 + 2i.

zNON

Deux racines de (3) ne sont pas relles. NON

daprs la question 1 assertion C. NON

29

chapitre 2

Fonctionsusuelles

noncs corrigs

QCM 1 : Fonction exponentielle 30 36

QCM 2 : Fonctions trigonomtriquesrciproques 31 39

QCM 3 : Calcul dune somme 32 42

QCM 4 : Fonctions arg 33 45

QCM 5 : Fonction dfinie par morceaux 34 46

corrigs

36

39

42

45

46

30

noncs>QCM 1 Fonction exponentielle

(daprs ICNA 1990)Soit f la fonction dfinie sur par :

si x f x xx

xf f

{ } =

= =

1 12

11 1 0

2, , ( ) exp

( ) ( )

On note C la courbe reprsentative de f dans un repre orthonorm (xOy).

Question 1

A f est continue sur . B

( )1

x f x f x f x f x f f0 10 10 1

0 1

0 10 1

0 1

0 1

0 1

0 10 1

0 1

=0 1=1

0 11

0 1( )0 1( )x f0 1x f0 1f0 1fx f,x fx f0 1x f,x f0 1x f, ( )x( )( )0 1( )x( )0 1( )x

C f est impaire. D f est drivable gauche en -1 et 1.

Question 2Le signe de f est celui dun polynme p de degr 4.

A p x x x x x( )p x( )p x = x= x + x x x+ x x x +4 3x x x4 3x x x2+ 2+ x x x+ x x x2x x x+ x x x 1

B p x x x x x( )p x( )p x = +4 3 22 2 2x x x2 2 2x x x 2 2 2 x x x x x x2 2 2x x x x x x4 32 2 24 3x x x4 3x x x2 2 2x x x4 3x x x22 2 22x x x2x x x2 2 2x x x2x x x 1

C p est divisible par x x2x x2x x 1 +x x +x x( )( )x x( )x xx x( )x x1 5( )1 51 5( )1 5x x1 5x x( )x x1 5x xx x1 5x x( )x x1 5x x +( ) +x x +x x( )x x +x x1 5 +1 5( )1 5 +1 5x x1 5x x +x x1 5x x( )x x +x x1 5x x + .D p admet quatre racines relles distinctes.

Question 3Nous avons les limites suivantes :

A lim ( )x

f xm (f xm ( +

= 1

B lim ( )x

f xm (f xm ( +

= +1

C lim ( )x

f xm (f xm (

= + D lim( )

x

f x( )f x( )x

= 1

Question 4

A limh

heh

=0

11 donc la droite dquation y = x 2 est asymptote C.

B C admet trois asymptotes.

chapitre 2 : Fonctions usuelles

31

noncs

Sur lintervalle x 1, C est reprsente par :

C

2

x

y

20 1

D

2

x

y

2 0 1

> QCM 2 Fonctions trigonomtriquesrciproques (daprs EPL 1992)

On considre la fonction de variable relle x dfinie par :

f xxx

xx

( ) arcsin arctan=+

21

212 2

Question 1

A f est dfinie sur ] , [] ,] ,1 1] ,1 1] , .

B f est dfinie sur { } { } { }1 1{ }{ }, { }{ }1 1{ }, { }1 1{ }.C f est paire car la compose de deux fonctions impaires est paire.

D f est impaire car la somme de deux fonctions impaires est impaire.

Question 2

A f est borne.

B f est prolongeable par continuit en 1.

C lim ( )x

f xm (f xm ( + +

=2

D lim ( )x

f xm (f xm ( + +

= 0

32

noncs Question 3

Pour x { }+ 1 , on pose = arctan x

A f x( )f x( )f x arcsin sin a= ( )n a( )n a ( ) 2 2n a2 2n arc2 2rc( )2 2( )n a( )n a2 2n a( )n a2 22 2n an a2 2n an a2 2n an an an a2 2n an an a ( )2 2( )2 2 n a n arc rc( ) ( )n a( )n a n a( )n a n an a n an a n an an an a n an an a ( ) ( ) 2 2 2 2( )2 2( ) ( )2 2( )2 2 2 2n a2 2n a n a2 2n arc2 2rc rc2 2rcn a( )n a2 2n a( )n a n a2 2n a( )n an an a2 2n an a n a2 2n an an an an an a2 2n an an a n an an an a2 2n an an an an an a2 2n an a n a2 2n an a2 2ta2 2 ta 2 2 2 2ta2 2 2 22 2n t2 22 2n t2 22 2n t2 2 n t n t n t 2 2 2 2n t2 2 2 22 2 2 2n t 2 22 2 2 2n t2 2 2 22 2an2 2 an 2 2 2 2an2 2 2 2

B Si u uu u uu uu uu uu u

u u

u uu uu uu uu uu uu u

u u

u uu uu uu uu u

u uu uu uu u

(u u(u u( ) = + u u u u u u u uu u u uu uu u u uu uu uu u u uu uu uu uu uu u u uu uu u( (u u(u u u u(u u) ) = + = +

2, ,u u, ,u u

, ,

, ,

, , u u u u, ,u u u u , , u u u u, ,u u u u

, ,

u u

u u u u

u u, ,u u u u

u uu uu u u uu u, ,u u u uu u

, ,

u u

u uu uu u u uu uu u, ,u u

u uu uu u u u

u uu uu uu uaru uu u u uaru u u ucsinu ucsinu uu u u ucsinu u u usiu usiu uu u u usiu u u uu unu uu u u unu u u u .

C Si u uu u uu uu uu uu u

u u

u uu uu uu uu uu uu u

u u

u uu uu uu uu u

u uu u

u uu uu uu u

( ) = u uu u2

, ,u u, ,u u, ,u u, ,u u

, ,

u u

u u, ,u u

u uu uu u, ,u uu u, ,

u u

u uu uu u, ,u uu uu u, ,u uu u, ,u uu uu uaru uu ucu utau utau un tu un tu u(n t(u u(u un tu u(u uu uanu u .

D Si x fx fx f[ [x f[ [x f =x f[ [x f0 1x f[ [x f 0x f, ,x fx f[ [x f, ,x f[ [x fx f[ [x f0 1x f[ [x f, ,x f0 1x f[ [x f ( )x( )x .

Question 4Sur ]1 , + [, on a :

A f est drivable sur [1 , + [. B f xx

f x(f x) =+2

1 2

C f xx

f x(f x) = +2

1 2D f x x( )f x( )f x arctan= = = 2

> QCM 3 Calcul dune sommeSoient les fonctions de variable relle :

f x x x: arctan +1 ( ) arctan

g xx x

: arctan1

2 + +

1

Question 1

A QCM 4 Fonctions argSoient les fonctions :

f x x: arg th sin( )

g xx

: arg ch1

cos

dfinies sur

2 2

, .

Question 1

On pose, pour x

2 2

, :

arg th arg chy x et zx

= ( ) =

sincos

1

A y ] [ ] [ ] [1 1] [] [, ] [] [1 1] [, ] [1 1] [B z [ [ [ [ [ [0 ,[ [ [ [ 0 , [ [ [ [+[ [ [ [ + [ [ C ch donc ch2 2

1 1donc

1 1donc ch

1 1chy y

x= == =donc= =donc ch= =ch y= =y

cos c2s c2 xs cx os.

D ch ch doncy zchy zch y z= =donc= =doncy z= =y zchy zch= =chy zch y z= =y z.

34

noncs Question 2

A f nest pas drivable en 0.

B

=x fx f x f x fx f

x f

x fx f

x f

x f

x f

x fx f

x f

xx

x f

x f

2 2x f

2 2x f

12x f, ,x f

x f

, ,

x f

x f, ,x fx f

, ,

x f

x f

2 2x f, ,x f

2 2x f ( )

cos

C

x gx gx gx g x g x gx g

x g

x gx g

x g

x g

x gx g

x g

x f2

x g2

x g0x g0x gx g, ,x g

x g

, ,

x g

x g, ,x gx g

, ,

x g

x g0x g, ,x g0x g ( ) x f) x f=x f=) =x f= ( )x( )x

D

x gx g x g x gx g

x g

x gx g

x g

x g

x g

x gx g

x g

x f= x f= 2

x g2

x g0x g0x gx g, ,x g

x g

, ,

x g

x g, ,x gx g

, ,

x g

x g0x g, ,x g0x g( )x f( )x f ( )x( )x

> QCM 5 Fonction dfinie par morceauxSoit f la fonction dfinie sur par :

si sh

si

x f x x x

x f x e

+ [ [ = +( ) ] ] =

0 2 1

0 1, , ( ) ln

, , ( ) // x x1

On note C la courbe reprsentative de f dans un repre orthonorm (xOy).

Question 1

A f nest pas continue en 0.

B f est drivable sur ]0 , + [ et droite en 0.

C f nest pas drivable gauche en 0.

D f est drivable droite et gauche en 0, donc f est drivable en 0.

Question 2

A Sur ] ] ] ] , ,] ], ,] ] )] ]0] ]] ], ,] ]0] ], ,] ] f x(f x( est du signe de +x x +x x +2 +2 + +x x +2 +x x + 2 22 2x x2 2x xSur 0 , :+[ [

B f xx

f x(f x) = +

2= 2= 1

1sh

C f xe e

x

x xe ex xe ef x(f x) =

e e +e ex x +x xe ex xe e +e ex xe e( )

3 4e e3 4e ex x3 4x x +3 4 +e e +e e3 4e e +e ex x +x x3 4x x +x xe ex xe e +e ex xe e3 4e e +e ex xe ex xx x3 4x xx x

2 1x2 1x2 1+2 1+(2 1(sh2 1sh2 1

D lim( )

x

f x( )f x( )x

= 0 donc (Ox) est asymptote C.

chapitre 2 : Fonctions usuelles

35

noncs

Question 3

A Il existe un rel b et une fonction tel que, pour x > 0:

ln ( ) lim ( )sh x x b x( )b x( ) xx

+x x+x x( )x x)x x +

1 0( )1 0( ) li1 0lim (1 0m ( )1 0)x x1 0x x b x1 0b x( )b x( )1 0( )b x( ) x1 0x)1 0)x x)x x1 0x x)x x= +1 0= +x x= +x x1 0x x= +x x + =1 0+ =( )+ =( )1 0( )+ =( ) li+ =li1 0li+ =lim (+ =m (1 0m (+ =m ( )+ =)1 0)+ =)avec+ =avec1 0avec+ =avecb x+ =b x1 0b x+ =b x( )b x( )+ =( )b x( )1 0( )+ =( )b x( ) x+ =x1 0x+ =x ( ) m ( m (avec avecb x b x( )b x( ) ( )b x( )1 0 1 0( )1 0( ) ( )1 0( ) m (1 0m ( m (1 0m (avec1 0avec avec1 0avecb x1 0b x b x1 0b x( )b x( )1 0( )b x( ) ( )1 0( )b x( )+ =1 0+ = + =1 0+ =( )+ =( )1 0( )+ =( ) ( )1 0( )+ =( ) li+ =li1 0li+ =li li1 0li+ =lim (+ =m (1 0m (+ =m ( m (1 0m (+ =m (avec+ =avec1 0avec+ =avec avec1 0avec+ =avecb x+ =b x1 0b x+ =b x b x1 0b x+ =b x( )b x( )+ =( )b x( )1 0( )+ =( )b x( ) ( )b x( )+ =( )b x( )1 0( )b x( )+ =( )b x( )Dans le cas o lassertion A est juge exacte :

B b = 0

C b = ln 2

D La droite dquation y = xln 2 est asymptote C.

Question 4La courbe C est reprsente par :

A

1

x

y

0 1

ln2

B

1

x

y

0 1

ln2

C

1

x

y

0 1

ln2

D

x

y

0

ln2ln2

corrigs

36

> QCM 1 Fonction exponentielle

Question 1 : rponse D

Par oprations et par composition, f est continue sur { } { } { }1 1{ }{ }, { }{ }1 1{ }, { }1 1{ } . Continuit en 1:

lim lm lim ( ) ( )x x

xm l

xm l

xx xxx xxf x( )f x( ) f

x x x x x xx xx xm lm l

m l

m lx xx x

m lm lm lm lm lm l

m l

m lm lm l

x xx xx xx xm lm l

m l

m lx xx x

m lm lm lm lm lm l

m l

m lm lm l

x xx xx xx xm l= m l =m l =m lim =im ( ) =( )f x =f x( )f x( ) =( )f x( )m l =m lm ldoncm ldoncm ldoncm lm l =m ldoncm l =m l

1x x1x x2m l2m lx x2x x 1

2m l

2m l

1x x1x x 1 0 1( )0 1( )f0 1f= 0 1= ( )= ( )0 1( )= ( )f= f0 1f= f

lim lm lim ( )x x

xm l

xm l

xx xxx xxf x( )f x( )

x x x x + +x x+ +x x+ +x x+ +x xx+ +xx xxx x+ +x xxx x + + x xx xx x+ +x xx x+ +x xm lm l

m l

m lx xx x+ ++ +x x+ +x xx x+ +x x

m lm lm lm lm lm l

m l

m lm lm l

x xx xx xx xm lm l

m l

m lx xx x+ ++ +x x+ +x xx x+ +x x

m lm lm lm lm lm l

m l

m lm lm l

x xx xx xx xm l= +m l =m l =m lim =im ( ) =( )f x =f x( )f x( ) =( )f x( )m l =m l m ldoncm ldoncm ldoncm lm l =m ldoncm l =m l

1x x1x x2m l2m lx x2x x 1+ +1+ +

2m l

2m l

1x x1x x+ +1+ +x x+ +x x1x x+ +x x

Donc f est continue gauche en 1, mais pas droite.

Continuit en 1 :

lim lm lim ( ) ( )x x

xm l

xm l

xx xxx xxf x( )f x( ) f

x x x xx x x xx xxx x x xxx x x xx x x xx x x xm lm l

m l

m lx xx xx x x xx x x x

m lm lm lm lm lm l

m l

m lm lm l

x x x xx x x xx xx x x xm lm l

m l

m lx xx xx x x xx x x x

m lm lm lm lm lm l

m l

m lm lm l

x x x xx x x xx xx x x xm l= m l =m l =m lim =im ( ) =( )f x =f x( )f x( ) =( )f x( )m l =m l1x x x x1x x x x2

m l2m lx x x x2x x x x 12

m l2

m l1x x1x xx x x x1x x x x 1

0 1( )0 1( )f0 1f=0 1=m ldoncm ldoncm ldoncm lm l =m ldoncm l =m l

lim lm lim ( )x x

xm l

xm l

xf x( )f x( )

x x x xx x x xx xxx x x xxx x+ ++ +x+ +x + + x x x x+ +x x x xx xxx x x xxx x+ +x x x xxx xx x x xx x x xx x x x+ +x x x xx x+ +x x x xm lm l

m l

m lx x x xx x x x+ ++ +x x x x+ +x x x xx x+ +x x x x

m lm lm lm lm lm l

m l

m lm lm l


m l

m lx x x xx x x x+ ++ +x x x x+ +x x x xx x+ +x x x x

m lm lm lm lm lm l

m l

m lm lm l

x x x xx x x xx xx x x xm l= +m l =m l =m lim =im ( ) =( )f x =f x( )f x( ) =( )f x( )m l =m l +1x x x x1x x x x2

m l2m lx x x x2x x x x 1+ +1+ +2

m l2

m l1x x x x1x x x x+ +1+ +x x x x+ +x x x x1x x+ +x x x x

m ldoncm ldoncm ldoncm lm l =m ldoncm l =m l

Donc f est continue gauche en 1, mais pas droite.


Pour x f x fx

x f= x f

= x f1x f1

0 1= 0 1= : (x f: (x f x f)x f . La rponse B est fausse.

f e f ef e( )f e f e( )f e/ /f e/ /f ef e( )f e/ /f e( )f ef e2 2f ef e( )f e2 2f e( )f e f e2 2f ef e( )f e2 2f e( )f ef e/ /f e2 2f e/ /f ef e( )f e/ /f e( )f e2 2f e/ /f e( )f e4 3/ /4 3/ /4 3/ /4 3/ /= f e= f ef e( )f e= f e( )f e= f e= f ef e2 2f e= f e2 2f e f e2 2f e= f e2 2f e/ // /et/ /et/ /et= et=

f ff f( )f f ( )f f f ff f( )f f f f( )f f2 2f f2 2f ff f( )f f2 2f f( )f f ( )2 2( )f f f f2 2f f f ff f( )f f f f( )f f2 2f f f f( )f ff ff f2 2f ff f : f nest pas impaire. La rponse C est fausse.

Drivabilit gauche en 1:

=

=

f x f f

xx

xe

x

x( )f x( )f x ( ) ( ) ( ) ( )

( )1( )1 1+1 1+x1 1x( )1 1( )

2

12

Quand x 1 :x

x + +

1et e

x

x

2

12 0

37

corrigschapitre 2 : Fonctions usuelles

Pour lever lindtermination, posons : Xx

x=

2

12. Alors : =

xX eX

12

x

12

1, X et X eX 0 (eX lemporte sur X ) donc limx

=1

0

Donc f est drivable gauche en 1, et f g (g (g ) =1 0)1 0) =1 0 =) =)1 0) =) .

Un raisonnement identique conduit :

f est drivable gauche en 1, et f g (g (g )1 0)1 0)1 0=1 0 .



Sur { } { } { }1 1{ }{ }, { }{ }1 1{ }, { }1 1{ } :

f xx x

ep xxxf x(f x)( )p x( )p x

= +( )x x( )x x x( )x ( )

( )x( )x ( )

= += +

= +

= +

= += +

= += +

=

1= +1= +

( )2 2( )x x( )x x2 2x x( )x x ( ) 2 2 ( ) ( )4( )1 1( )1 1( ) 1 11 11 1

( )2 2( )x( )x2 2x( )x( )2 2( )2 2( )2 2( )( )4( )2 2( )4( )( )2( )21 121 1

2

12

( )x( )x1 1( )1 1x1 1x( )x1 1x 1 1( )1 12( )21 121 1( )1 121 1(( )(1 1(1 1( )1 1(1 1

2

2

12ex

x

avec : p x( )p x( )p x == == = +x x= x x= x x = = x x= = x x x x +x x + + x x + 4 3x x4 3x x 2x x2x x2 2 2 2 2 2 2 2 x x2 2x x x x 2 2 x x 4 32 24 3x x4 3x x2 2x x4 3x x 2 1 +2 1 ++2 1+ ++ +2 1 ++ + +x x +2 1 +x x + .


Cherchons si p est divisible par x x2x x2x x 1 +x x +x x( )( )x x( )x xx x( )x x1 5( )1 51 5( )1 5x x1 5x x( )x x1 5x xx x1 5x x( )x x1 5x x +( ) +x x +x x( )x x +x x1 5 +1 5( )1 5 +1 5x x1 5x x +x x1 5x x( )x x +x x1 5x x + , cest--dire sil existe unrel b tel que :

p x x x( )p x( )p x = x x= x x= ( )( )x x( )x xx x( )x x += = = = = = ( )x b( )x bx( )x2 2x x2 2x x( )2 2( )( )2 2( )x x( )x x2 2x x( )x x +2 2+ 2 2 ( )2 2( )x b( )x b2 2x b( )x bx x( )x x1 5x x( )x xx x( )x x1 5x x( )x xx x+x x( )x x+x x1 5x x( )x x+x x( )2 2( )1 5( )2 2( )( )2 2( )1 5( )2 2( )x x( )x x2 2x x( )x x1 5x x2 2x x( )x xx x( )x x2 2x x( )x x1 5x x2 2x x( )x x+( )+2 2+( )+1 5+2 2+( )+x x+x x( )x x+x x2 2x x( )x x+x x1 5x x+x x( )x x+x x2 2x x+x x( )x x+x x 1 11 11 11 1 ( )1 1( )x b( )x b1 1x b( )x b+ +( )+ +1 1+ +( )+ +x b+ +x b( )x b+ +x b1 1x b( )x b+ +x bx+ +x( )x+ +x1 1x( )x+ +x2 21 12 22 21 12 2 ( )2 2( )1 1( )2 2( )x b( )x b2 2x b( )x b1 1x b2 2x b( )x b .Par identification des deux critures, on obtient :

b = 1 51 5+1 5+ .

Donc :

p x x x x x( )p x( )p x == x x= x x= == = x x +x xx x= x x +x x= x x(x x(x xx x +x x(x x +x x( )( )x x( )x xx x( )x xx x +x x( )x x +x x(( )(x x(x x( )x x(x xx x +x x(x x +x x( )x x(x x +x x)x x)x x( ))( )x x( )x x)x x( )x x +++++= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = (x x(x x( )( )x x( )x xx x( )x x +( ) +x x +x x( )x x +x x+( )+x x+x x( )x x+x x ++ +( ) ++ +x x +x x+x x +x x( )x x+x x +x x(( )(x x(x x( )x x(x x)x x)x x( ))( )x x( )x x)x x( )x x 2 2x x2 2x x +2 2 +x x +x x2 2x x +x x(2 2( +( +2 2 +( +x x +x x(x x +x x2 2x x(x x +x x( )2 2( )( )2 2( )x x( )x x2 2x x( )x x +( ) +2 2 +( ) +x x +x x( )x x +x x2 2x x( )x x +x x(( )(2 2(( )( +( +( ) +( +2 2 +( ) +( +x x +x x(x x +x x( )x x(x x +x x2 2x x +x x(x x +x x( )x x +x x(x x +x x)2 2)x x)x x2 2x x)x x( ))( )2 2( ))( )x x( )x x)x x( )x x2 2x x)x x( )x x +2 2++2 2++++2 2+++ 2 22 22 2 2 22 22 2x x( )x x1 5x x( )x xx x( )x x1 5x x( )x xx x +x x( )x x +x x1 5x x( )x x +x xx x+x x( )x x+x x1 5x x( )x x+x xx x +x x+x x +x x( )x x+x x +x x1 5x x +x x+x x +x x( )x x +x x+x x +x x( )2 2( )1 5( )2 2( )( )2 2( )1 5( )2 2( )x x( )x x2 2x x( )x x1 5x x2 2x x( )x xx x( )x x2 2x x( )x x1 5x x2 2x x( )x x +( ) +2 2 +( ) +1 5 +2 2 +( ) +x x +x x( )x x +x x2 2x x( )x x +x x1 5x x +x x( )x x +x x2 2x x +x x( )x x +x x+( )+2 2+( )+1 5+2 2+( )+x x+x x( )x x+x x2 2x x( )x x+x x1 5x x+x x( )x x+x x2 2x x+x x( )x x+x x ++ +( ) ++ +2 2 +( ) ++ +1 5 ++ +( ) ++ +2 2 ++ +( ) ++ +x x +x x+x x +x x( )x x+x x +x x2 2x x +x x+x x +x x( )x x +x x+x x +x x1 5x x +x x+x x +x x( ) +x x+x x +x x2 2x x+x x +x x( )x x +x x+ +x x 1 1x x1 1x x+1 1+x x+x x1 1x x+x x+ 1 1+ x x+ x x1 1x x+ x x++ +1 1++ +x x+x x+ x x+x x1 1x x+ x x+x x(1 1(+ (+ 1 1+ (+ x x+ x x(x x+ x x1 1x x(x x+ x x( )1 1( )+ ( )+ 1 1+ ( )+ x x+ x x( )x x+ x x1 1x x( )x x+ x x +( ) +1 1 +( ) +x x +x x( )x x +x x1 1x x( )x x +x x+ ++ ( )+ ++ 1 1+ ( )+ ++ x x+ x x +x x+ x x( )x x +x x+ x x1 1x x+ x x +x x+ x x( )x x+ x x +x x+ x x(( )(1 1(( )(+ (+ ( )+ (+ 1 1+ ( )+ (+ x x+ x x(x x+ x x( )x x(x x+ x x1 1x x+ x x(x x+ x x( )x x+ x x(x x+ x x1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1 1 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 21 12 2x x2 2x x1 1x x2 2x x2 21 12 22 21 12 22 21 12 22 21 12 2 2 21 12 22 21 12 22 21 12 2 5 1x x5 1x x( )5 1( )x x( )x x5 1x x( )x x)5 1)x x)x x5 1x x)x x( ))( )5 1( ))( )x x( )x x)x x( )x x5 1x x)x x( )x x +5 1++5 1++++5 1+++


corrigs

38

p x x x x x( )p x( )p x ( ) (= ( )( )( )( )x x( )x xx x( )x xx x +x x( )x x +x x + = + x x+ x x( )( )x x( )x xx x( )x x+ ( )+ x x+ x x( )x x+ x x + =0 1x x0 1x x= 0 1= x x +x x0 1x x +x xx x( )x x0 1x x( )x xx x +x x( )x x +x x0 1x x( )x x +x x5 1x x5 1x xx x( )x x5 1x x( )x x + =5 1+ = 0 1( )0 1( ) ( )1 5( )( )1 5( )x x( )x x1 5x x( )x xx x( )x x1 5x x( )x x+( )+1 5+( )+x x+x x( )x x+x x1 5x x( )x x+x x 1 0+ =1 0+ =2 2x x2 2x x2 2( )2 2( )( )2 2( )( )2 2( )x x( )x x2 2x x( )x xx x( )x x2 2x x( )x x +( ) +2 2 +( ) +x x +x x( )x x +x x2 2x x( )x x +x x + =2 2+ =0 12 20 1x x0 1x x2 2x x0 1x x +0 1 +2 2 +0 1 +x x +x x0 1x x +x x2 2x x0 1x x +x x( )0 1( )2 2( )0 1( ) +( ) +0 1 +( ) +2 2 +0 1 +( ) +x x +x x( )x x +x x0 1x x( )x x +x x2 2x x +x x( )x x +x x0 1x x +x x( )x x +x x5 12 25 1x x5 1x x2 2x x5 1x x( )5 1( )2 2( )5 1( )x x( )x x5 1x x( )x x2 2x x5 1x x( )x x + =5 1+ =2 2+ =5 1+ = 0 12 20 1( )0 1( )2 2( )0 1( )= 0 1= 0 1 0 1 ou2 2 ou 2 2 2)22)2

(1) a pour discriminant = + >+ >2 2+ >2 2+ >5 0+ >5 0+ > et admet donc deux racinesrelles distinctes x1 et x2.

(2) a pour discriminant =

39

corrigschapitre 2 : Fonctions usuelles

Le tableau de variation de f est le suivant :

x

f '(x)

f (x)

1

0

x

1

1

x

2

+ + + +

+ +

+

0

0

0

0

000

m

M

1

C admet trois asymptotes : lasymptote verticale dquation x = 1 en 1+ lasymptote verticale dquation x = 1 en 1+ lasymptote oblique dquation y = x + 2 en

Les rponses B et C sont bonnes et la rponse D est fausse.

>QCM 2 Fonctions trigonomtriquesrciproques


La fonction xxx

2

1 2est dfinie sur { } { } { }1 1{ }{ }, { }{ }1 1{ }, { }1 1{ } et la fonction arctan

est dfinie sur , donc la fonction xxx

arctan2

1 2

est dfinie sur { } { } { }1 1{ }{ }, { }{ }1 1{ }, { }1 1{ }. La fonction arcsin est dfinie sur [1, 1].

+

( ) +( ) + +

+(1 1

21

1 1 1 1 +1 1 +( )1 1( ) +( ) +1 1 +( ) + 2 1 2 1 1 2+ +1 2+ + 01 2+ 1 2+ 0

12

2 2( )2 2( ) 2 2 + 2 2+ 2 12 22 1 2 1 2 2 2 1 21 221 2+ +1 2+ +2+ +1 2+ +21 221 2+ 1 2+ 2+ 1 2+

xx

x x( )x x( ) x x 2 1 x x 2 1 2 2x x2 2( )2 2( )x x( )2 2( ) 2 2 x x 2 2 2 1 2 2 2 1 x x 2 2 2 1 + x+ + 2 2+ x+ 2 2+ x x1 2x x1 2+ +1 2+ +x x+ +1 2+ ++ +1 2+ +2+ +1 2+ +x x+ +2+ +1 2+ +

x x1 2x x1 2+ 1 2+ x x+ 1 2+ + 1 2+ 2+ 1 2+ x x+ 2+ 1 2+

x))) ( )

2

2

0

1 01 0 )1 0) 1 021 02x1 0x1 0Cette double condition est toujours vrifie,

donc la fonction xxx

arcsin2

1 2+

est dfinie sur .

Par consquent, f est dfinie sur { } { } { }1 1{ }{ }, { }{ }1 1{ }, { }1 1{ }.


corrigs

40

Soit g et h deux fonctions impaires :

g o h x g h x g g h x g o hg o x gg hx gg hh x( )h x( )h x( )h x( )h x( )h x( )h x ( )x( )x =( ) =( )h x( )h x =h x( )h x [ ]g h[ ]g h x g[ ]x gx g[ ]x gg h[ ]g h( )[ ]( )x g( )x g[ ]x g( )x g( )[ ]( )x g( )x g[ ]x g( )x g( )x g( )x g[ ]x g( )x g( )( )[ ]( )( ) = x g= x g [ ]h x[ ]h x[ ]h x[ ]h x( )[ ]( )h x( )h x[ ]h x( )h x( )[ ]( )h x( )h x[ ]h x( )h x( )h x( )h x[ ]h x( )h x= [ ]= = [ ]g h[ ]g h x g[ ]x gx g[ ]x gg h[ ]g h( )[ ]( )x g( )x g[ ]x g( )x g( )[ ]( )x g( )x g[ ]x g( )x g( )x g( )x g[ ]x g( )x gx g= x gdonc g o h est impaire.

x g x h x g x h x g h x( )g h( )g hg h+g h( )g h+g h x g =x g x h +x h x g =x g x g x g x h x h x g= x g( )x g( )x g h x( )h x+( )+( )x g( )x g =( ) =x g =x g( )x g =x g( )x h( )x h +( ) +x h +x h( )x h +x h( )x g( )x g =( ) =x g =x g( )x g =x g( )x h( )x h ( ) x h x h( )x h x h( )x g( )x g ( )h x( )h xdonc g + h est impaire.



[ ]

arctan

x x[ ]x x[ ]x x x x [ ]x x[ ][ ]x x[ ]x x[ ]x x[ ]

x x x x x x x x arctanx xarctan

[ ]1 1[ ][ ]x x[ ]1 1[ ]x x[ ]2 2

2 2

, ,[ ], ,[ ]x x, ,x x[ ]x x[ ], ,[ ]x x[ ][ ]x x[ ], ,[ ]x x[ ][ ]x x[ ]1 1[ ]x x[ ], ,[ ]1 1[ ]x x[ ]x xarx xcsinx xcsinx x ,2 2

,2 2

, , , , 2 2

, ,2 2

, , , , x x, ,x x, ,arctanx xarctan, ,arctanx xarctan

x xx x

, ,

, , , ,

, , , , , ,

, ,

, ,, ,, , , ,

, , , ,

{ } donc x f x f x f { }x f{ } { } x f { } x f x f { }x f{ }x fx f{ }x f{ }1 1{ }x f{ }x f, ,x f{ }x f{ }, ,{ }x f{ }{ }x f{ }, ,{ }x f{ }{ }x f{ }1 1{ }x f{ }, ,{ }1 1{ }x f{ } ( )x( )x( ) x f x f x f x f ( ) ( )x( )x x( )x

Par consquent, f est borne : la rponse A est bonne.

lim lm limx x

xm l

xm l

xxx x x x xx x x xx xxx x x xxx x + +x +x + x x x x +x x x xx xxx x x xxx x +x x x xxx xx x x xx x x xx x x x +x x x xx x +x x x x

m lm l

m l

m lx x x xx x x x + +x x x x +x x x xx x +x x x x

m lm lm lm lm lm l

m l

m lm lm l


m l

m lx x x xx x x x + +x x x x +x x x xx x +x x x x

m lm lm lm lm lm l

m l

m lm lm l

x x x xx x x xx xx x x xm l= +m lm lm l

= etm letm l1x x x x1x x x x2

m l2m lx x x x2x x x x 1 +1 + 22

m l2

m l1x x x x1x x x x +1 +x x x x +x x x x1x x +x x x x

21

donc et: lim ( ) lim ( )x x

f x( )f x( ) f xm (f xm (x x x x + + x x x x +x x x x +x x x x +x x x x

= = = = + == + = 1 1 1 1 x x x x1 1x x x x +1 1 + + 1 1 + x x x x +x x x x1 1x x +x x x x1 1

f x1 1

f xx x x x1 1x x x xx x x x +x x x x1 1x x +x x x x2 2 +2 2 +x x x x +x x x x2 2x x +x x x x1 12 21 1x x x x1 1x x x x2 2x x1 1x x x xx x x x +x x x x1 1x x +x x x x2 2x x x x +x x x x1 1x x x x +x x x x

02 2

0

Donc f nest pas prolongeable par continuit en 1. La rponse B estfausse.

lim lm limx x

xm l

xm l

xx xxx xxxx x x x +x x+x x

m lm l

m l

m lx xx xx xx x

m lm lm lm lm lm l

m l

m lm lm l

x xx xx xx xm lm lm l

m lx xx x

m lm lm lm lm lm lm l

m lm lm lm l= =m l

x x x xx xxx xx x+x xx xx x x x+ x x x xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx x +

2m l

2m l

1x x1x xx x1x xm l0m lm l= =m l0m l= =m l

212 2

m l2 2m lim2 2imx x2 2x x x2 2x 2 2 2 2m l

m l2 2m lm l

x xx x2 2x xx x2 2m l

m lm lm l2 2m lm lm l

x xx xx xx x2 2x xx xx x 2 22 2x x2 2x x 2 2 x x2 2x xx xx x2 2x xx xx xx xx x2 2x xx xx xx x + 2 2 + 02 20m l0m l2 2m l0m l 12 21

arcsin arctan0 0 0 00 0=0 0= =ar= =arctan= =ctan0 0= =0 0 0 0= =0 00 0=0 0= =0 0=0 0 0 0=0 00 0= =0 0=0 0= =0 0

et= =et= = donc + lim ( ) 0

xf x( )f x( ) =



{ }

+x x x x x x { }x x{ }+x x+ { }x x{ }x x+x x+x xx x1 0{ }1 0{ } = 1 0= 1 0

1 0

1 01 0

1 0

x x1 0x x= x x= 1 0= x x= x x1 0x x= x x= 1 0= x x= x x1 0x x{ }x x{ }1 0{ }x x{ }{

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