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Morphologie mathématique Ensembles et Images
Luc Brun (d’apres le cours de M. Coster)
Morphologie mathematique – p.1/4
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Plan
Les opérateurs ensemblistes de base et les propriétés usuellesEgalité et inclusionIntersection, réunion, complémentation
Différence et différence symétriqueNotions sur les ensembles ordonnés et les treillis
Ensembles ordonnés
TreillisAutres propriétés algébriques des opérateursDéfinitionsComportement des opérateurs pour la croissance
Algèbre de MinkowskiTranslation d’un ensembleAddition de MinkowskiSoustraction de Minkowski
Morphologie mathematique – p.2/4
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Plan
Les opérateurs ensemblistes de base et les propriétés usuellesNotions sur les ensembles ordonnés et les treillis
Ensembles ordonnés
TreillisAutres propriétés algébriques des opérateurs
Définitions
Comportement des opérateurs pour la croissanceAlgèbre de MinkowskiTranslation d’un ensembleAddition de Minkowski
Soustraction de MinkowskiLes ensembles convexes
DéfinitionPropriétés de l’union et l’intersection d’ensembles convexesEnveloppe convexe
Morphologie mathematique – p.2/4
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opérateurs de base : Égalité et inclusions
Inclusions :X est un sous-ensemble de Y ou est inclus dans Y, si tous les éléments del’ensemble X sont des éléments de l’ensemble Y
¡
¢
£
¤
¥
§
¥
§
¢
Égalité :
Deux ensembles sont égaux si ils sont composé des même éléments.
¢
£
¤
¥
§
¥
§
¢
et
¤
§
¢
§
I
Morphologie mathematique – p.3/4
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Inclusions
Propriétés usuelles de l’inclusionL’inclusion est réflexive :
¡
L’inclusion est transitive :
¡
¢
et¢
¡
¡
L’inclusion est antisymétrique
¡
¢
et¢
¡
¢
Morphologie mathematique – p.4/4
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Intersection
Intersection de deux ensembles :On appelle intersection des deux ensembles X et Y, l’ensemble noté
¢
éléments qui appartiennent à la fois à X et Y.
¢
¥
¥
§
et ¥
§
¢
Ensemble X Ensemble Y
¢
Morphologie mathematique – p.5/4
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Propriétés de l’intersection
L’intersection est commutative :
¢
¢
L’intersection est associative :
¢
¢
Autres propriétés :
Intersection avec l’ensemble vide :
!
!
¢
¡
et
¢
¡
¢
¡
¢
¢
Ensembles disjoints et ensembles qui se rencontrentEnsembles disjoints :
"
!
et¢
"
!
¢
!
Ensembles qui se rencontrent :
#¢
£
"
!
et¢
"
!
¢
"
!
Morphologie mathematique – p.6/4
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L’Union
Union ou réunion de deux ensembles :On appelle union des deux ensembles X et Y, l’ensemble noté
$
¢
deséléments qui appartiennent à X ou à Y.
$
¢
¥
¥
§
ou ¥
§
¢
Ensemble X Ensemble Y
$
¢
Morphologie mathematique – p.7/4
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Propritétés de l’union
L’union est commutative :
$
¢
¢
$
L’union est associative :
$
¢
$
$
¢
$
Autres propriétés :Union avec l’ensemble vide :
$
!
!
¢
¡
$
¢
,
¡
$
¢
¡
¢
$
¢
¢
Morphologie mathematique – p.8/4
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Relation entre l’union et l’intersection
L’union et l’intersection possèdent des propriétésanalogues. Il existe également la propriété de dis-tributivité liant ces deux opérateurs.
Relations entre les 2 opérateurs
L’intersection distributive par rapport à l’union :
¢
$
$
¢
$
La réunion est distributive par rapport à l’intersection :
$
¢
$
¢
¢
$
Morphologie mathematique – p.9/4
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La complémentation
Ensemble de référence EPour la complémentation il faut à un autre ensemble E contenant X. Cetensemble n’est pas défini au hasard mais va servir de référence pour toute
opérations que l’on va faire. Par définition, X est un sous-ensemble de E.DéfinitionPar définition le complémentaire d’un ensemble X par rapport à E est
l’ensemble des éléments appartenant à E mais n’appartenant pas à X.%
&
(
¥
¥
§
)
et ¥
"
§
X%
&
(E : l’image) Morphologie mathematique – p.10/4
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Propriétés de la complémentation
Le complémentaire du complémentaire redonne l’ensemble de départ :%
&
%
&
(
(
L’union de X et de son complémentaire donne l’ensemble de référence :
$
%
&
)
L’intersection de X et de son complémentaire donne l’ensemble vide :
%
&
!
Morphologie mathematique – p.11/4
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Les formules de Morgan
HistoriqueMorgan, mathématicien anglais du XIXesiècle a établi des relations quirelient, l’intersection, l’union et la complémentation.
RelationsLe complémentaire de l’intersection des deux ensembles X et Y est égl’union des complémentairesde chaque ensemble.
%
&
¢
%
&
$
%
&
¢
Le complémentaire de l’union des deux ensembles X et Y est égal àl’intersection des complémentaires de chaque ensemble.
%
&
$
¢
%
&
%
&
¢
Les formules de Morgan se généralisent à un nombre quelconqued’ensembles.
Morphologie mathematique – p.12/4
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Différence de deux ensembles
Définition :La différence entre deux ensembles X et Y est l’ensemble des éléments den’appartiennent pas à Y.
X
Y
X-Y Y-X
Morphologie mathematique – p.13/4
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Différence de deux ensembles : Propritétes
Comportement :La différence entre des ensembles et la différence entre des nombres n’atoujours la même signification. La différence dans
1
Z possède un élément
neutre, zéro. Pour les ensembles, cet élément neutre est l’ensemble vide!
Soit m et n deux nombres, on a :
2
3
5
2 et 2
3
6
5
2
6
Pour les ensembles, on a :
3
!
et
3
¢
!
¡
¢
La différence
3
¢
est toujours un sous-ensemble de X. La différence¢
3
n’a donc rien à voir avec
3
¢
. On va donc introduire une autrede composition : la différence symétrique.
X-Y : Y-X : Morphologie mathematique – p.14/4
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La différence symétrique
Définition :La différence symétrique entre deux ensembles X et Y est l’ensemble deséléments qui n’appartiennent qu’à X ou à Y.
7
¢
8
¢
$
¢
3
¢
X Y
8
¢
Morphologie mathematique – p.15/4
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Propriétés de la différence symétrique
La différence symétrique est associative
7
¢
7
7
¢
7
La différence symétrique possède un élément neutre
7
!
La différence symétrique est commutative
7
¢
¢
7
Ce n’est pas le cas de la différence simple.
Morphologie mathematique – p.16/4
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Ensembles ordonnés et tréllis
Les opérateurs ensemblistes de base et les propriétés usuellesEgalité et inclusionIntersection, réunion, complémentation
Différence et différence symétriqueNotions sur les ensembles ordonnés et les treillis
Ensembles ordonnésTreillis
Autres propriétés algébriques des opérateursAlgèbre de MinkowskiLes ensembles convexes
Morphologie mathematique – p.17/4
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Relation d’ordre
Définition :Soit x, y et z trois éléments de l’ensemble E. On dit qu’une relation
9
surensemble est une relation d ordre si elle vérifie les trois axiomes suivants :
1. Réflexivité : ¥
9
2. Antisymétrie : ¥
9
, compatible avec
9
¥ , si ¥
3. Transitivité : ¥
9
et
9
@ impliquent ¥
9
@
Par exemple,la relation « B
C
D
» est une relation d’ordre dans IR.La relation d’inclusion «
E
¢
» est également une relation d’ordre pou
ensembles.
Morphologie mathematique – p.18/4
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Relation d’ordre
Notations :Si E est un ensemble muni d’une relation d’ordre
9
; on dira que deuxéléments peuvent être comparés si on a au moins une des relations :
¥
9
ou
9
¥
F
Si tous les éléments d’un ensemble E peuvent être comparés avec la relati9
, cet ensemble E est un ensemble totalement ordonné.Dans le cas contraire, l’ensemble E a un ordre partiel.
On notera que la relation « B
H
D
» pour les nombres ou «
¡
¢
» ne son
des relations d’ordre car elles ne sont pas réflexives.
Morphologie mathematique – p.19/4
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Majorant et plus grand élément
Soit E un ensemble ordonné et X un sous-ensemble de E. Un élément mest appelé majorant de X si tous les éléments de X sont plus petits que m.Dans le cas où m appartient également à X, on dit que X admet un plus g
élément qui est m.On montre que cet élément est unique. En effet, soit m et m’ deux majorade X appartenant à X. On peut écrire :
6
I
§
6
I
H
6
et
6
§
6
H
6
I
6
6
I
Morphologie mathematique – p.20/4
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Borne supérieure
Appelons
l’ensemble des majorants de X. Le majorant le plusintéressant est celui qui sera le plus petit. Soit s, cet élément. Ce plus petiélément est appelé borne supérieure (notée sup ou supremum).
P
§
et ¥
§
¥
Q
P
Si s est la borne supérieure de X, en tant que majorant s est comparable à
les éléments de X et les suit ; en tant que plus petit élément de M(X), s escomparable à tous les majorants et les précède.La notion de borne supérieure est plus générale que celle de plus grandélément. En effet, si X admet une borne supérieure s, alors s est le plus grélément de X si et seulement si s appartient à X. La borne supérieure peuexister sans qu’il existe un plus grand élément. Cette borne supérieure estreprésentée par :
P
P R S
T
Considérer IR etU
V . Morphologie mathematique – p.21/4
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Minorant, Borne inférieure et tréllis
Minorant On utilise une démarche similaire pour définir un minorant m’.C’est un élément de E plus petit que n’importe quel élément de X.Borne inférieure
Le plus grand des minorants de X est appelé borne inférieure (notée inf oinfimum).
P
W
2
X
Y
Treillis :On appelle treillis tout ensemble ordonné dans lequel deux élémentsquelconques ont toujours une borne inférieure et une borne supérieure. Dle cas des ensembles, l’union de deux éléments correspond à la bornesupérieure et l’intersection à la borne inférieure.
Morphologie mathematique – p.22/4
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Autres propriétés algébriques des opérateurs
Les opérateurs ensemblistes de base et les propriétés usuellesEgalité et inclusionIntersection, réunion, complémentation
Différence et différence symétriqueNotions sur les ensembles ordonnés et les treillis
Ensembles ordonnésTreillis
Autres propriétés algébriques des opérateursDéfinitionsComportement des opérateurs pour la croissance
Algèbre de MinkowskiLes ensembles convexes
Morphologie mathematique – p.23/4
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Définitions : idempotence
DéfinitionsEn dehors des propriétés de base que nous avons déjà définies, il en existed autres qui nous seront très utiles, en particulier en morphologie
mathématique :La propriété de croissanceLa propriété d’extensivité ou d’anti-extensivitéLa propriété d’idempotence
Propriété d’idempotence :Appliquer une deuxième fois la transformation ne modifie pas le résultat depremière transformation.
`
`
`
Morphologie mathematique – p.24/4
éfi i i i
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Définitions : croissance
Propriété de croissanceSoit deux ensembles X et Y tels que X soit inclus dans Y, on dit que latransformation
`
vérifie la propriété de croissance si`
est inclus dans`
:a `
:a
¢
:a
+`
¢
:a
+Morphologie mathematique – p.25/4
Défi i i E i i é
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Définitions : Extensivité
Extensivité, anti-extensivité :Une transformation est extensive si son résultat est toujours plus grand quel’original. On définit la notion d’anti-extensivité par dualité.
Extensivité :
E
`
:a
`
:a
+
:a
Anti-extensivité :
b
`
.
`
:a
:a
+
a
Morphologie mathematique – p.26/4
C d l’i i
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Comportement de l’intersection
L’intersection est une transformation croissante¢
c
¡
¢
e
¢
c
¡
¢
e
¢
c
a
¡
¢
e
(a
+ )
¢
c
¡
¢
e
Morphologie mathematique – p.27/4
C t t d l’ i
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Comportement de l’union
L’union est une transformation croissante¢
c
¡
¢
e
$
¢
c
¡
$
¢
e
¢
c
a
¡
¢
e (a
+ )
$
¢
c
¡
$
¢
e
a a
Morphologie mathematique – p.28/4
C t t d l difé ét i
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Comportement de la diférence symétrique
La différence symétrique n’est pas une transformation croissante¢
c
¡
¢
e
"
7
¢
c
¡
7
¢
e
¢
c
a
¡
¢
e (a
+ )
7
¢
c
7
¢
e
Morphologie mathematique – p.29/4
C t t d l lé t ti
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Comportement de la complémentation
La complémentation est une transformation décroissante¢
c
¡
¢
e
%
&
¢
c
g
%
&
¢
e
¢
c
a
¡
¢
e (a
+ )
%
&
¢
c
g
%
p
¢
e
a a
Morphologie mathematique – p.30/4
Al èb d Mi k ki
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Algèbre de Minkowski
Les opérateurs ensemblistes de base et les propriétés usuellesEgalité et inclusionIntersection, réunion, complémentation
Différence et différence symétriqueNotions sur les ensembles ordonnés et les treillisEnsembles ordonnésTreillis
Autres propriétés algébriques des opérateursDéfinitionsComportement des opérateurs pour la croissance
Algèbre de MinkowskiTranslation d’un ensembleAddition de MinkowskiSoustraction de Minkowski
Les ensembles convexesMorphologie mathematique – p.31/4
Algèbre de Minkowski
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Algèbre de Minkowski
H. Minkowski (Mathématicien allemand) «Volumen und Oberfläche» MaAnn. 1903, 57, 447-495.Opérateurs de Minkowski
Définition de la translation d’un ensembleAddition de MinkowskiSoustraction de Minkowski
Opérateurs définis dans un espace métriqueUn espace E est un ensemble de points. Cet espace devient un espacemétrique s’il est muni d’une distance d.Définition de la distance :
Application d de
)
q
)
dans IR
s
vérifiant les axiomes suivants :t
u
u
v
¤
¥
§
)
e
x
¥
5
¥
séparation¤
¥
§
)
e
x
¥
x
¥
symétrie¤
¥
@
§
)
y
x
¥
C
x
¥
@
U
x
@
Inégalité triangulaireMorphologie mathematique – p.32/4
Translation d’un ensemble
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Translation d un ensemble
Définition :Pour un ensemble donné Y, défini dans un espace métrique muni d’une origla translation d’un ensemble Y par un point x est définie par :
¢
U
¥
U
¥
§
¢
Le signe +, dans le terme ensembliste de droite est relatif à une addition
vectorielle. En effet, le point x permet de définir dans l’espace métrique unvecteur.
Y+x
Y
x
Morphologie mathematique – p.33/4
Addition de Minkowski
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Addition de Minkowski
Soient un ensemble
et un ensemble
, définis l’espace IR
e
(on peutgénéraliser à IR
). L’addition de Minkowski de
par
est construite entranslatant
par chaque élémentD
de
et en prenant l’union du résultat de
translations.
U
D
:
:
:
Morphologie mathematique – p.34/4
Addition de Minkowski :Propriétés
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Addition de Minkowski :Propriétés
Si
¥
(
réduit à un point), on a uniquement translation de
:
D
U
D
Si
(
réduit à l’origine de l’espace), on a :
Propriétés dérivées de l’unionL’addition de Minkowski est commutative :
L’addition de Minkowski est associative :
¢
¢
L’addition de Minkowski est croissante :¢
c
¡
¢
e
¢
c
¡
¢
e
Morphologie mathematique – p.35/4
Soustraction de Minkowski
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Soustraction de Minkowski
Définition :Soient un ensemble
et un ensemble
, définis dans IR
e
(on peut généralisIR
). La soustraction de Minkowski est construite en translatant X par chaqu
élémentD
de
et en prenant l’intersection du résultat des translations.
U
D
:
:
:
Morphologie mathematique – p.36/4
Soustraction de Minkowski : Propriétés
5/14/2018 02 Ensembles - slidepdf.com
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Soustraction de Minkowski : Propriétés
Si
¥
(
réduit à un point), on a uniquement translation de
:
D
U
D
Si
(
réduit à l’origine de l’espace), on a :
La soustraction de Minkowski n’est pas commutative :
"
La soustraction de Minkowski est croissante :¢
c
¡
¢
e
¢
c
¡
¢
e
Morphologie mathematique – p.37/4
Opérations de Minkowski : Exemple
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Opérations de Minkowski : Exemple
addition
= ,
= ,
+ .Soustraction :
= + ,
= ,
.Morphologie mathematique – p.38/4
Les ensembles convexes
5/14/2018 02 Ensembles - slidepdf.com
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Les ensembles convexes
Les opérateurs ensemblistes de base et les propriétés usuellesNotions sur les ensembles ordonnés et les treillis
Ensembles ordonnés
TreillisAutres propriétés algébriques des opérateursDéfinitionsComportement des opérateurs pour la croissance
Algèbre de MinkowskiTranslation d’un ensembleAddition de Minkowski
Soustraction de MinkowskiLes ensembles convexesDéfinitionPropriétés de l’union et l’intersection d’ensembles convexes
Enveloppe convexeMorphologie mathematique – p.39/4
Les ensembles convexes
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Les ensembles convexes
Définition :Un ensemble
est dit convexe si pour tout couple
¥
c
¥
e
de pointsappartenant à
, le segment
¥
c
3
¥
e
est inclus dans
.
¤
¥
c
¥
e
§
e
¤
§
5
F
¥
c
U
3
¥
e
§
x1
x2
X
X
x2
x1
convexe non convexe
Morphologie mathematique – p.40/4
Ensembles convexes : Propriétés
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Ensembles convexes : Propriétés
L’union d’ensembles convexes n’est généralement pas convexe.
¢
$
¢
L’intersection d’ensembles convexes est convexe
¢
$
¢
Morphologie mathematique – p.41/4
Enveloppe convexe
5/14/2018 02 Ensembles - slidepdf.com
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Enveloppe convexe
À chaque ensemble
, on peut associer un ensemble convexe dans lequelest totalement inclus. Le plus petit est appelé enveloppe convexe et notée
.
Si
est défini dans IR
e
, l’enveloppe convexe est l’intersection de tous lesdemi-plans qui contiennent l’ensemble X.
Morphologie mathematique – p.42/4