Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 1
Traitement du Signal
Hugues BENOIT-CATTIN
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• 1. Les transformées du Traitement du Signal : Fourier,
Laplace, Z (1h),TD
• 2. La chaîne de traitement numérique : échantillonnage,
quantification, restitution (2h), TP
• 3. Introduction aux signaux aléatoires (4h), TD
• 4. Filtrage numérique (5h),TD,TP
• 5. Filtrage adaptatif (2h), TP
• 6. Architecture des DSP (2h), TP
• 7. Traitement de la parole et du son (8h), TD TP
Plan
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1. Les transformées du TS• Transformée de Fourier– Définition– Échantillonnage et périodisation– Signaux de durée limitée et signaux périodiques– Signaux échantillonnés de durée limitée– Signaux discrets
• Transformée de Laplace– Définition– Relation avec la transformée de Fourier
• Transformée en Z– Définition – Relation avec la transformée de Fourier– Relation avec la transformée de Laplace
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1.1 Transformée de Fourier (1811)
X f x t j f t dt t R f R( ) ( ) exp( ) , ,
2
x t X f j f t df t R f R( ) ( ) exp( ) , ,
2
• Définition
• Quelques propriétés– Linéarité
– X(f) module |X(f)|, phase Arg[X(f)]
– x(t) réel Re[X(f)] paire, Im[X(f)] impaire, module pair, phase impaire
– x(t) réel pair X(f) réel pair
– x(t) réel impair X(f) imaginaire impair
– x(t)*y(t) X(f).Y(f) et x(t).y(t) X(f)*Y(f)
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• Quelques relations– x(t)*d(t-t0)= x(t-t0) X(f) exp(-2jp f t0)
– x(t) exp(2 j p t f0) X(f-f0)
– x*(t) X*(-f)
– x(at) |a|-1 X(f/a)
– dnx(t)/dtn (2 j p f )n X(f)
• Signaux importants– d(t) 1
– 1(t) ½ d(f) + 1/(2 j p f )
– cos(2pf0t) [d(f-f0) +d(f+f0)]/2 et sin(2pf0t) [d(f-f0) -d(f+f0)]/2j
– Sd(t+nT) Fe Sd(f+kFe) avec Fe=1/T
– Rect(t) 2a.Sinc(pfa)
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Échantillonnage et périodisation
• Échantillonnage idéal...
• ...Transformée de Fourier...
... périodisation en fréquence.
x t x t t x t t kT x kT t kTe Tkk
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )
X fT
X f fT
X fk
Te
T k
( ) ( ) * ( ) ( )
1 11
Échantillonnage temporel <=> périodisation en fréquenceÉchantillonnage en fréquence <=> périodisation temporelle
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Signaux de durée finie et signaux périodiques
1
T
x(t)
0 T t f
X(f)Transformée de
Fourier
Echantillonnage
en fréquence
f2
T
00 T 2T
Xe(f)
xT(t)
Transformée
inverse de
Fourier
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Signaux échantillonnés de durée finie
x t x k t kTe
N
( ) ( )
0
1
xe(t)
0 NT t f
X(f)Transformée de
Fourier
Echantillonnage
en fréquence
f1
N T
00 NT 2NT
Xe(f)
xTe
(t)
Transformée
de Fourier
1
T
1
T
0
Périodisation
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Transformée de Fourier des signaux discrets
• Signal discret x[k]
• Transformée de Fourier discrète, périodique
Fréquence définie sur la période principale de 0 à 1 ou de -½ à ½
• Fréquence d’échantillonnage réelle Fe=1/Te
Fréquence définie de 0 à Fe ou de -Fe/2 à Fe/2
• Mêmes propriétés que la transformée de Fourier des signaux continus
X f x k j f kk
( ) [ ]exp( )
2
X f x kT j f k Te ek
( ) [ ]exp( )
2
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1.2 Transformée de Laplace (1820)
X f x t j f t rt dt( ) ( ) exp( ) exp( )
2
X s x t s t dt t R s C( ) ( ) exp( ) , ,
en posant : wjrfjrs ..2.
• Définition
Introduite pour palier aux limitations de la transformée de Fourier
CsRtdstssXtx
,,)exp()()(
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Systèmes différentiels et Laplace
Pour les systèmes continus linéaires invariant de réponse impulsionnelle h(t)
M
M
MN
N
N dt
tydp
dt
tdyptup
dt
tydq
dt
tdyqtyq
)(...
)()(
)(....
)()( 1010
uQ
Py
)(
)(
N
ii
M
jj
ps
zs
KsQ
sPsHthTLsH
1
1
)(
)(
)(
)()())(()( avec
Causal : N M
• Fonction de transfert
zéros
pôles
Système stable ||h(t)||1< Re(pi) < 0
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Relations entre Laplace et Fourier
fjrjwrs 2.
• Pour s imaginaire pur, et on retombe sur Fourier H(s)=H(f)fjjws 2.
• H(f) = H(s) évaluée sur l'axe imaginaire du plan de Laplace
• Exemple : h(t)=exp(-at) 1(t)
-a
s=j w
j
r
))((1
)(
),exp(1
)(
jHArgjH
jjH
et
H ss a
( ) 1
un pôle en s=-a
v le vecteur du plan complexe reliant les point s et -a
)exp(. jasv
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1.3 Transformée en Z
n
n
znxzX
Somme de série... donc problèmes de convergence !
fjerz 2
• Définition
• Quelques propriétés
– Linéarité
– Décalage temporel :
– Convolution :– Multiplication par série
exponentielle :
x n i z X zT Z i . . ( )
x n x n X z X zT Z1 2 1 2* ( ) ( ). .
a x n Xz
an T Z. . ( )
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Systèmes différentiels et TZ
• Fonction de transfert
NQ
MP zzXbzzXbzXbzzYazzYazY )(...)()()(...)()( 1
101
1
M
ii
N
jj
MP
NQ
pz
zz
Kzaza
zbzbb
zX
zYzH
1
1
11
110
)(
)(
...1
...
)(
)()(
)(...)1()()(...)1()( 101 NnxbnxbnxbMnyanyany QP
Causal : N M
Système stable |pi|< 1
H(z)=TZ(h(t))
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Relations entre TZ et Fourier
z = exp(j2pf) on restreint z au cercle unité
X z x k j f k X fz k
( ) [ ]exp( ) ( )
1
2
f=1
Re(z)
Im(z)
f croissante
1-1
f=0f=1/2
f=1/4
On retrouve la transformée de Fourier discrète du signal x[k], et sa périodicité
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Relations entre Laplace et TZ
X s x kT t kT st dtek
( ) [ ] ( ) exp( )
x kT t kT st dt
x kT ksTk
[ ] ( ) exp( )
[ ]exp( )
Transformée de Laplace de x[kT], signal échantillonné :
= X(z) avec z=exp(sT)
En posant s = r + jw= r +j2pf
on obtient z =exp(rT)exp(j2pfT)
c.à.d une périodicite de 1/T dans le plan des Z
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Plan de Laplace Plan des Z
Re(s)
Im(s)Im(z)
Re(z)
2Fe
4Fe
6Fe
-2Fe
-4Fe
-6Fe
01
f=0f=1
entierk , ,...,0,...,
)(2
kT
kfjrs
Plan de Laplace Plan des Z
Re(s)=r
Im(s)= wIm(z)
Re(z)
2pFe=2p/T
01
f=0
f=1
0
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Interprétation géométrique de la TZ
Plan des Z
Re(z)1
f=0f=1
0-a
r
j
X zz a
( ) 1
|a|<1
X f( ) 1
Arg X f( ( ))
Périodicité de X(f)
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2. Chaîne de traitement numérique du signal
• Chaîne de traitement numérique
• Échantillonnage– Échantillonnage idéal : Th. de Shannon– Filtre anti-repliement– Échantillonnage réel
• Quantification– Pas, niveaux, erreur et bruit – Quantification scalaire uniforme linéaire– Quantification scalaire non uniforme, loi de compression
• Restitution– Restitution idéale – Restitution réelle
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2.1 Chaîne de traitement numérique du signal
• Avantages des systèmes numériques- Faibles tolérances des composants- Sensibilité réduite, Précision contrôlée- Reproductibilité, pas de réglage- Souplesse, nombre d’opérations illimité- Systèmes non réalisables en analogique
• Inconvénients- Inconvénients des systèmes numériques- Source d’énergie nécessaire- Limitations en haute fréquence- CAN/CNA- Bande passante nécessaire importante
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...6, 9, 12, 15,18, 17, 13, 17,19,...
Filtre passe-bas
anti-repliementg(t), G(f)
Echantillonneur-bloqueur et
Convertisseur A/N
Système de
traitementnumérique
h[n],H(z)
Convertisseur N/A
Filtre de restitution
r(t), R(f)
x t e t g t( ) ( )* ( )=
...5, 9, 11, 16,18, 17, 14, 17,20,...
x t x kT t kT
x k
e( ) [ ] ( )
[ ]
= -å d
X fT
X fn
T
X z
e( ) ( )
( )
= -å1
e t( )
E f( ) X f E f G f( ) ( ) ( )=
y k x k h k
y t y kT t kT
[ ] [ ]* [ ]
( ) [ ] ( )
=
= -å d
Y z X z H z
Y f périodique
( ) ( ) ( )
( )
=
y t y t rect t Ta( ) ( )* ( / )=
Y f Y f TSinc Tfa ( ) ( ) ( )=
s t y t r ta( ) ( ) * ( )=
S f Y f R fa( ) ( ) ( )=
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• Filtre analogique anti-repliement– Eliminer les hautes fréquences
• (Echantillonneur-bloqueur)– Maintien du signal à l’entrée du convertisseur
• Convertisseur analogique numérique (CAN)– Convertir en binaire l’amplitude des échantillons
• Système numérique de traitement– Calcul sur la suite de valeurs binaires
• Convertisseur numérique analogique (CNA)– Transformer une suite de valeurs binaires en un signal analogique
• (Filtre de restitution)– Eliminer les fréquences indésirables à la sortie du CNA
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2.2 Echantillonnage
• ProblèmeOrage
Jour
Nuit
Nuit
Température
Temps
• Mesurer la température mais ... pour quelle application ?• Bande passante limitée de la chaîne de mesure analogique.
• Combien de mesures par jour ? 1 ou ... 10100 (ou plus !)• Comment ne pas perdre ou déformer l’information «utile»
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Echantillonnage idéal
x t x t t x kT t kTe Tk
( ) ( ) ( ) [ ] ( )
X fT
X f fT
X fk
Te
T k
( ) ( ) * ( ) ( )
1 11
T=1/Fe-FMAX
-FMAX FMAX
FMAX0 Fe=1/T-1/T 2/T
Filtre derestitution
x(t) X(f)
xe(t) Xe(f)
t
t
f
f
0
Périodisation en fréquence
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Echantillonnage idéal : Théorème de Shannon
• Si Fe > 2 Fmax alors les spectres périodisés ne se recouvrent pas
Reconstitution du signal analogique de départ théoriquement possible
• Si Fe < 2 Fmax il y a recouvrement de spectre
On ne peut pas reconstituer le signal analogique de départ et l’information est déformée
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Filtre anti-repliement
• Pour éviter le repliement de spectre on élimine les
fréquences contenues dans le signal analogique
supérieures à Fe /2
• On utilise un filtre passe-bas analogique dit filtre
anti-repliement
• Le filtre anti-repliement définit Fmax !
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Illustration : stromboscope
x t f t X f f f f fTF( ) cos( ) ( ) [ ( ) ( )] 21
20 0 0
X f f f f f f fe ( ) ( ( )) ( ( )) .... 1
2 0 0 0 0
X f f fe ( ) ( ) ( ) ....... 1
2
Fréquence d’échantillonnage Fe = f0+e
Fréquence apparente eXe(f)
Fe-Fe
-f0
f0e-e
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Échantillonnage réel
• Fréquences résiduelles au delà de Fe / 2
– Filtre anti-repliement non idéal
– Filtre anti-repliement impossible (CCD)
– Bruit de la partie analogique de la chaîne d’acquisition
• Effet de l’échantillonneur-bloqueur
• Échantillonnage des signaux de fréquence proche de Fe/2
Fe > (2+k) Fmax
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2.3 Quantification
Réduction d ’un espace de valeurs
Espace infini de valeurs Espace fini de valeurs niveaux de quantification
Écart entre 2 niveaux consécutifs pas (plage) de quantification (D)
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Erreur (ou bruit) de quantification
)()()( txtxt qe
B
SqBS P
PR /
Le rapport signal sur bruit de quantification
PS : puissance du signal m(t)
PB : puissance du bruit de quantification
xe(t) : signal échantillonné non quantifié
xq(t) : signal échantillonné quantifié
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Types de quantification
• Quantification scalaire = échantillon par échantillon
• Quantification vectorielle = groupe d ’échantillons (vecteur)
• Quantification uniforme = plage constante
• Quantification non uniforme• Quantification optimale = Erreur minimale (plage+niveaux adaptés)
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Quantification scalaire uniforme linéaire
• Plage de quantification D = cte
• Niveau de quantification = milieu des plages
• Nombre de niveaux : Nnq = dyn/D• Erreur de quantification : - D /2 e(t) <+ D /2
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La puissance moyenne du bruit de quantification peut s’écrire :
12).(.)(
22
2/
2/
22
dftPB
où f() désigne la densité de probabilité de , supposée constante : Ctef
1)(
La puissance moyenne du signal dépend de sa densité probabilité.Si elle est de type gaussienne avec mmax=3
36
2
9
1 2max2
max2 m
mPS
NRNnqm
P
PR dBBS
B
SqBS 677.4
3
1
3
4/
22
2max
/
Nnq=2N
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Bruit de quantification du CAN
• Plage d’entrée du CAN P• Nombre de bits en sortie N• Pas de quantification D = P/2N
)(log208.106 10/x
dBBS
PNR
Pour P= 8 sx (1 ech / 15000 > 4, sx)
on a : NR dBBS 627.7/
Pour un RSB d’environ 90 dB (qualité audio)il faut au moins N=16 bits.
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Quantification scalaire non uniforme
Quantification uniforme (RS/N)q est non constant (peut devenir très faible!)
dépend de l’amplitude du signal
Erreur de quantification non constante
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Les faibles amplitudes sont « amplifiées »
ou « favorisées » par rapport aux fortes valeurs
Loi de compression logarithmique
• Loi de compressionCompression
(loi)Quantification
uniforme
Pré-traitement des valeurs et conservation
d ’un quantificateur simple
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maxmax mc
)t(mcy,
m
)t(mx Soit m(t) le signal à compresser et mc(t) le signal compressé :
Les valeurs de A = 87.6 et = 255 sont normalisées.
(RS/N)q est de l’ordre de 35 dB pour un niveau d’entrée maximal de 40 dB
• Loi de compression logarithmique A, m
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L’obtention de caractéristiques analogiques de compression et d’expansion
réciproques est impossible Approximation par segments
1
1
• Compression logarithmique par segment
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A chaque valeur échantillonnée et quantifiée mot de n bits -code-
Echantillonnage MICm(t) Quantification Codage
fréquence fe q niveaux n bits
CAN (q = 2n)
Modulation d ’impulsions codées (MIC, PCM)
Remarque : le codage toujours de longueur fixe à la numérisation
Le codage de source est un traitement numérique, bien qu ’une loi
de compression ait pour conséquence de réduire la redondance !!
Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 40
Exemple : La téléphonie
L’utilisation d’un MIC à
à compression par segments
non uniforme (loi A) permet
de coder les 256 niveaux de
quantification par :
n = log2 256 =8 bits
Fe=8 kHzD = 8 *8=64 kbit/s
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2.4 Restitution
Restitution idéale, interpolateur idéal
-FMAX
FMAX
t
f
x(t) X(f)
f0
-FMAX
FMAX
0 Fe=1/T-1/T 2/T
Filtre de
restitutionxe(t) X
e(f)
tT=1/F
e
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• Interprétation temporelle
T X f rect f TF
X f rectf
FX fe
ee
e
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1
• Filtrage passe-bas
x t x kT t kTe e( ) [ ] ( ) X fT
X fk
Te ( ) ( ) 1
x kT t kT SinctTe[ ] ( ) * ( )= -å dt
x t x t SincTe( ) ( )* ( )=
x t x kT Sinct kT
Te( ) [ ] ( )
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• Interpolateur idéal de Shannon
x t x kT Sinct kT
Te( ) [ ] ( )
L’interpolateur de Shannon est irréalisable car il correspond à un filtre non causal
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Restitution réelle (CNA), interpolateur d ’ordre N
Tt
x(t)
• Cas N=0
x t x t rectt
Te
T
( ) ( ) * ( ) 2
• Conséquences spectrale
X f T X f Sinc f T j fT
e( ) ( ) ( ) exp( ) 22
Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 45
• Conséquences spectrale, interpolateur ordre 0
-FMAX FMAXt
f
x(t) X(f)
f0
-FMAX FMAX0 Fe=1/T-1/T 2/T
Filtre derestitutionxe(t) Xe(f)
tT=1/Fe
Filtre de restitution (analogique, passe-bas)