1S Devoir n°8 lundi 13 avril 2015
Exercice 1. sur 2 points On a représenté ci-contre la droite d’équation y x et une
fonction f. On considère la suite (
nu ) définie
pour tout entier naturel n par
1n nu f u
( ) et
01u .
Utiliser ces données pour construire sur l’axe des abscisses les 4 premiers termes de la suite
(n
u ). Laisser les traits de
construction.
Exercice 2. sur 2.5 points Pour chacune des suites (un) définies ci-dessous, calculer les valeurs exactes de u1, u2, u3 en détaillant les calculs, puis, à la calculatrice et sans justification, donner u12 , éventuellement arrondi au dixième.
a) 3 1
2n
nu
n
b) 0 1
115 et 1
3n nu u u
c) La suite (un) est géométrique de premier terme 0 64u et de raison 1
2q
Exercice 3. sur 4.5 points Vrai ou faux ? Justifier.
1) L’équation 3
cos2
x a deux solutions dans ]–π ;π]
2) La fonction g définie par 3 2: 4 7x x x x est décroissante sur .
3) Si f est définie par 1
( )² 5
f xx
alors
2
2( )
² 5
xf x
x
4) Deux fonctions différentes ne peuvent pas avoir la même fonction dérivée.
5) Si la suite (vn) est définie par 5
1n
nv
n
alors 1
5 5
2n
nv
n
6) La suite (un) définie par u0 = 5 et pour tout entier n non nul, 1n nu n u est géométrique
7) La suite (wn) définie, pour tout naturel n par 17 3nw n est une suite arithmétique
Suite du devoir au dos
Cf
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11-1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
0 1
1
Exercice 4. sur 3.5 points
On considère la suite (un) définie par : u0 = 300 et pour tout n , 1 1.04 13n nu u
1) On souhaite déterminer la plus petite valeur de n telle que 600nu .
Compléter l’algorithme ci-contre pour qu’il affiche cette valeur.
2) On admet que la même suite (un) est aussi définie, pour tout entier
naturel n, par 625 1.04 325n
nu
a) Etudier le sens de variation de la suite (un) b) En utilisant le tableau de valeurs de la calculatrice, déterminer le
plus petit entier n tel que 600nu .
3) Un jardin est envahi par des chardons. Un dimanche, ceux-ci couvrent 300 m² de pelouse. Puis chaque semaine,
la surface envahie par les chardons augmente : De 4% par prolifération des racines De 13 m² dus aux graines envolées
Au bout de combien de semaines, le chardon aura-t-il envahi plus de 600 m² ? Justifier soigneusement votre réponse.
Exercice 5. sur 7.5 points
Soit u la suite définie par : 0
1
4
3
2n n
u
u u n
1) a) Justifier que 1 6u
b) Calculer u2 en détaillant les calculs c) Justifier que la suite u n’est pas arithmétique. Est-elle géométrique ?
2) Soit w la suite arithmétique de premier terme – 4 et de raison – 2. a) Exprimer wn en fonction de n b) Calculer w1 , w2 , w25.
c) Calculer le nombre 25
0
k
k
T w
d) Montrer que, pour tout entier n, 1
3
2n nw w n
3) Soit v la suite définie, pour tout n, par : vn = un – wn. a) Calculer v0, v1, v2 . b) Montrer que la suite v est géométrique.
4) a) Déduire des questions précédentes l’expression de un en fonction de n.
b) Soit S = u0 + u1 + …+ u25. Calculer S. Arrondir à l’entier.
Initialisation N prend la valeur 0 U prend la valeur 300 Traitement Tant que ………………… N prend la valeur……………. U prend la valeur……………. Fin tant que Sortie Afficher N
Corrigé du n° 2.
a) 1 2 3 12
3 1 1 4 3 2 1 7 3 3 1 10; ; 2 ; 2.6
1 2 3 2 2 4 3 2 5u u u u
b) 1 2 3 12
1 1 115 1 6 ; 6 1 3; 3 1 2 ; 1.5
3 3 3u u u u
c) Comme la suite est géométrique de raison 1
2, on a :
1
1 2 3 12
1
2
1 1 164 32 ; 32 16 ; 16 8 ; 0.0
2 2 2
n nu u
u u u u
sur 2.5 pts 0.75 0.75 1
Corrigé du n° 3
1) 3
12 et pour tout réel x – 1 cos x 1 : l’équation
3cos
2x n’a aucune solution. L’affirmation est
fausse
2) La fonction g définie par 3 2: 4 7x x x x est décroissante sur ?
'( ) 3 ² 8 7g x x x . = - 20 < 0. Pas de racine. g’(x) est toujours du signe de – 3, négatif sur donc
c’est VRAI
13) ( )
² 5f x
x
. f est de la forme
1
v donc
'
²
vf
v
. D’où
2
2( )
² 5
xf x
x
. C’est VRAI.
3) FAUX : par exemple, les fonctions f et g définies par ( ) ² et ( ) ² 3f x x g x x ont la même fonction
dérivée ( ) '( ) 2f x g x x
4) 1
5 5( 1) 5 5. Alors
1 ( 1) 1 2n n
n n nv v
n n n
. C’est VRAI
5) On calcule les premiers termes : 0 1 0 2 15; 1 5 ; 2 10u u u u u
1
0
1u
u alors que 2
1
2u
u : la suite n’est pas géométrique. c’est FAUX
6) 17 3 3 17nw n n de la forme 0w nr avec 0 3 et 17w r : cette suite est donc
arithmétique de premier terme – 3 et de raison 17. C’est VRAI.
sur 4.5 pts 0.75 0.75 0.5 0.5 0.75 0.75 0.5
Corrigé du n° 4. 1)
Initialisation N prend la valeur 0 U prend la valeur 300 Traitement Tant que U < 600 N prend la valeur N + 1 U prend la valeur 1.04U+13 Fin tant que Sortie Afficher N
2) a) On étudie le signe de un+1 – un.
1
1 (625 1.04 325) (625 1.04 325)
625 1.04 1.04 325 625 1.04 325
1.04 (625 1.04 625)
1.04 25
n n
n n
n n
n
n
u u
Comme 1.04 et 25 sont positifs, 1.04n × 25 > 0 pour tout n et donc un+1 – un > 0 pour tout n. La suite (un) est croissante.
b) La calculatrice donne : 9 10564.57 et 600.15u u : la plus petit entier n tel que un 600 est 10.
sur 3.5 pts 1 1 0.5
3) Chaque semaine, la surface envahie par les chardons augmentent de 4% donc est multipliée par 1.04 et aussi de 13 m². La suite (vn) définie par vn = la surface envahie par les chardons après n semaines
vérifie donc : 0 1300 et 1.04 13n nv v v . Cette suite est donc égale à la suite (un) et d’après la
question 2 ? on peut affirmer que la chardon aura envahi plus de 300m² après 10 semaines.
1
Corrigé du n° 5
1) a) Pour n = 0 on a : 0 1 0 1
3 30 donc 4 6
2 2u u u
b) Pour n = 1 : 1 1 1 2
3 31 donc 6 1 10
2 2u u u
c) 1 0
2 1
6 4 2 la suite (u )n'est pas arithmétique
10 6 4n
u u
u u
1
0
2
1
61.5
4 la suite (u ) n'est pas géométrique
10 5
6 3
n
u
u
u
u
2) a) Comme la suite (wn) est arithmétique, on a : 0 4 2nw w nr n
b) 1 0 2 1 256 ; 8 ; 4 2 25 54w w r w w r w
c) (wn) est une suite arithmétique donc 25
0 25
0
4 5426 26 754
2 2k
k
w wT w
d) Pour tout entier n :
1
1
3 3( 4 2 ) 6 3 6 2 3
donc w2 22
4 2( 1) 4 2 2 2 6
n
n n
n
w n n n n n nw n
w n n n
3) a) 0 0 0 1 1 1 24 ( 4) 8 ; 6 ( 6) 12; 10 ( 8) 18v u w v u w v
b) 1 2
0 1
12 3 18 3;
8 2 12 2
v v
v v : d’après les premiers termes, on conjecture que la suite (vn) est
géométrique de raison 3
2. Démontrons le.
Pour tout naturel n :
1 1 1
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2n n n n n n n n n nv u w u n w n u w u w v
ce qui justifie que la
suite (vn) est géométrique de raison 3
2.
4) a) Comme (vn) est géométrique, on a : n , 0
38
2
n
n
nv v q
De plus : n n n n n nv u w u v w .
D’où 3
8 4 22
n
nu n
5) 25 25
0 1 25 0 0 1 1 25 25
0 0
... ... k k
k k
S u u u v w v w v w v w
Or,
26
2625
0
0
31
1 28 606 012
311
2
k
k
qv v
q
d’où S 606 012 -754 = 605 258
sur 7.5 pts 0.25
0.25
0.5
0.5
0.5 0.5
0.5
1
0.5
1
1
1