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Analyse de la variance à un facteur

Michel Tenenhaus

2

Exemple 1 (Snedecor et Cochran)Comparaison de quatre matières grasses

Poids de matière grasse absorbée par fournée de 24 beignets

Matière Grasse

1 2 3 4164172168177156195

178191197182185177

175193178171163176

155166149164170168

3

Résultats graphiques

4

5

6

Analyse de la variance à un facteur

Y = Poids des matières grasses absorbées

X = Type de matière grasse

Modèle :

Yij = + i + ij, avec ij ~ N(0,)

Il y a indétermination puisque

Yij = ( + c) + (i - c) + ij, avec ij ~ N(0,)

pour tout c.

7

Fonction estimable

Modèle :(sur-paramétré)


i = E(Yij) = + i estimé par iy

Forme des fonctions estimables :

k k

i i i ii 1 i 1

k k

i i ii=1 i=1

a a ( )

= ( a ) a

est estimé par . k

i ii 1

a y

8

General Estimable Functiona

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 -1 -1 -1

ParameterIntercept

[type_mg=1]

[type_mg=2]

[type_mg=3]

[type_mg=4]

L1 L2 L3 L4

Contrast

Design: Intercept+type_mga.

4 1 4 2 4

3 4

1 2 3

4

1( ) 2( ) 3( )

4( )

1* 2* 3* 4*

( 1 2 3 4)*

L L L

L

L L L L

L L L L

Forme des fonctions estimables :

L1 =

somme des autres coefficients

9

Résultats SPSS

2i i i ij i

i j

ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆLes et vérifiant = y minimisent (y ) k

i i

k

ˆSAS choisit la solution qui correspond à = 0 :

ˆ ˆ + = y , i = 1 à k-1

ˆ = y

i i kˆ y y

Parameter Estimates

Dependent Variable: poids

162.000 4.101 39.504 .000 153.446 170.554 .987

10.000 5.799 1.724 .100 -2.097 22.097 .129

23.000 5.799 3.966 .001 10.903 35.097 .440

14.000 5.799 2.414 .025 1.903 26.097 .226

0a . . . . . .

ParameterIntercept

[type_mg=1]

[type_mg=2]

[type_mg=3]

[type_mg=4]

B Std. Error t Sig. Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval Partial EtaSquared

This parameter is set to zero because it is redundant.a.

SPSS

10

Estimation de

2 2ij i ij ii

i j i j

SCE = Somme des carrés des erreurs

ˆ ˆ = (y ) (y y )

2

1ˆ = Root Mean Square Error

N

iie

N k

22 1ˆ Mean Square Error

N

iie

N k

11

Résultats SPSSTests of Between-Subjects Effects


1636.500a 3 545.500 5.406 .007

724537.500 1 724537.500 7180.748 .000

1636.500 3 545.500 5.406 .007

2018.000 20 100.900

728192.000 24

3654.500 23

SourceCorrected Model

Intercept

type_mg

Error

Total

Corrected Total

Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.

R Squared = .448 (Adjusted R Squared = .365)a.

Intercept

1.000

.250

.250

.250

.250

ParameterIntercept

[type_mg=1]

[type_mg=2]

[type_mg=3]

[type_mg=4]

L1

Contrast

The default display of this matrix is thetranspose of the corresponding L matrix.Based on Type III Sums of Squares.

type_mg

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

-1 -1 -1

ParameterIntercept

[type_mg=1]

[type_mg=2]

[type_mg=3]

[type_mg=4]

L2 L3 L4

Contrast

The default display of this matrix is the transpose ofthe corresponding L matrix.Based on Type III Sums of Squares.

Ecrire les contrastes testés

12

Exemple de fonction non estimable

n’est pas estimable

Réponse SPSS

Contrast Coefficients (L' Matrix)a

This L matrix is not estimable.Hypothesis tests cannot be computed.

a.

Contrast Coefficients (L' Matrix)a,b

1

0

0

0

0

ParameterIntercept

[type_mg=1]

[type_mg=2]

[type_mg=3]

[type_mg=4]

L1

Contrast

The default display of this matrix is thetranspose of the corresponding L matrix.

deltaa.

This L matrix is not estimable.Hypothesis tests cannot be computed.

b.

UNIANOVA poids BY type_mg /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /LMATRIX = "delta" intercept 1 type_mg 0 0 0 0 /PRINT = PARAMETER TEST(LMATRIX) /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = type_mg .

13

Comparaisons multiples des moyennesMéthode de Tukey

(Effectifs des classes inégaux)

On rejette H0 : i = j au risque global de toutes les

comparaisons si :

i j 1i j

1 1 1ˆy y q (k, N k)

n n2

i 1i

max min

ˆoù N = n , = Root MSE et q (k, N k) est le fractile de la loi de

y yl'étendue Studentisée Q = .

ˆ / N / k

14

Résultats SPSS

poids

Tukey HSDa,b

6 162.00

6 172.00 172.00

6 176.00 176.00

6 185.00

.107 .146

type_mgMG4

MG1

MG3

MG2

Sig.

N 1 2

Subset

Means for groups in homogeneous subsets are displayed.Based on Type III Sum of SquaresThe error term is Mean Square(Error) = 100.900.

Uses Harmonic Mean Sample Size = 6.000.a.

Alpha = .05.b.

ConclusionIl y a un effet MG :MG2 MG4

Essayer avec alpha = .107.

15

Comparaisons multiples des moyennesMéthode REGWQ

(Effectifs des classes égaux)

Procédure itérative

- On teste tout d’abord l’homogénéité de toutes les moyennes au risque k. - Si l’on rejette l’homogénéité, alors chaque sous-ensemble de k-1 moyennes est testé au risque k-1; Sinon la procédure est terminée.- Et ainsi de suite...

Choix des p : k = , k-1 = , k-2 = 1 - (1-)(k-2)/k > , etc...

16

Test sur l’homogénéité de p moyennes

Les moyennes sont ordonnées :

On a : n1 = n2 = … = nk = n.

L’homogénéité de p moyennes

est rejetée par REGWQ si

1 2 ki i iy y ... y

s 1 s 2 s pi i iy , y ,..., y

s p s 1 pi i 1

ˆy y q (p, N k)

n

Le seuil critique diminue avec p.

Pour p = k, on retrouve la méthode de Tukey.

17

poids

Ryan-Einot-Gabriel-Welsch Rangea

6 162.00

6 172.00 172.00

6 176.00 176.00

6 185.00

.063 .088

type_mgMG4

MG1

MG3

MG2

Sig.

N 1 2

Subset

Means for groups in homogeneous subsets are displayed.Based on Type III Sum of SquaresThe error term is Mean Square(Error) = 100.900.

Alpha = .05.a.

ConclusionIl y a un effet MG :MG2 MG4

REGWQ donne des résultatsplus significatifs que Tukey.Essayer alpha = .1.

18

Comparaison de k-1 moyennes à une moyenne de contrôle : Le test de Dunnett

On suppose que le témoin est l ’échantillon n° 2.

On rejette H0 : i = 2 au risque si

où d1- est donné dans la table de Dunnett.

i 2 1i 2

1 1ˆ| y y | d

n n

19

UNIANOVA poids BY type_mg /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /POSTHOC = type_mg ( DUNNETT(2)) /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = type_mg .

Résultats SPSS

Multiple Comparisons


Dunnett t (2-sided)a

-13.00 5.799 .091 -27.73 1.73

-9.00 5.799 .305 -23.73 5.73

-23.00* 5.799 .002 -37.73 -8.27

(J) type_mgMG2

MG2

MG2

(I) type_mgMG1

MG3

MG4

MeanDifference

(I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval

Based on observed means.

The mean difference is significant at the .05 level.*.

Dunnett t-tests treat one group as a control, and compare all other groups against it.a.

20

Test d’un contraste

Modèle : Yij = + i + ij, avec ij ~ N(0,)

iTest :

0 i i

1 i i

H : a 0

H : a 0

0 i i i

1 i i i

H : ( a ) a 0

H : ( a ) a 0

Statistique utilisée :

i i i 2

i i i

ˆ ˆa at ou F = t

ˆ ˆécart type( a a )

avec t t(N-k) et F F(1, N-k) sous H0.

21

Test d’un contraste : Exemples

Modèle :


i

1er exemple de test :

3 41 20H :

2 2

0 1 2 3 4H : 0

22

Code SPSS

UNIANOVA poids BY type_mg /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = type_mg /CONTRAST (type_mg)=SPECIAL (1 1 -1 -1) /PRINT = PARAMETER TEST(LMATRIX).

porte sur

Demande sur les moyennes

23

Contrast Coefficients (L' Matrix)

0

1

1

-1

-1

ParameterIntercept

[type_mg=1]

[type_mg=2]

[type_mg=3]

[type_mg=4]

L1

type_mgSpecialContrast

The default display of this matrix is thetranspose of the corresponding L matrix.

Contrast Results (K Matrix)

19.000

0

19.000

8.202

.031

1.892

36.108

Contrast Estimate

Hypothesized Value

Difference (Estimate - Hypothesized)

Std. Error

Sig.

Lower Bound

Upper Bound

95% Confidence Intervalfor Difference

type_mg Special ContrastL1

poids

Dependent

Variable

Test Results


541.500 1 541.500 5.367 .031

2018.000 20 100.900

SourceContrast

Error

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.

192.3165

8.202t

24

Contrast Results (K Matrix)

-1.750

0

-1.750

3.551

.628

-7.875

4.375

11.250

0

11.250

3.551

.005

5.125

17.375

2.250

0

2.250

3.551

.534

-3.875

8.375

Contrast Estimate

Hypothesized Value


Std. Error

Sig.

Lower Bound

Upper Bound


Contrast Estimate

Hypothesized Value


Std. Error

Sig.

Lower Bound

Upper Bound


Contrast Estimate

Hypothesized Value


Std. Error

Sig.

Lower Bound

Upper Bound


type_mg DeviationContrast

a

Level 1 vs. Mean

Level 2 vs. Mean

Level 3 vs. Mean

poids

Dependent

Variable

Omitted category = 4a.

1 2 3 4TEST : 04i

2e exemple :

25


.000 .000 .000

.750 -.250 -.250

-.250 .750 -.250

-.250 -.250 .750

-.250 -.250 -.250

ParameterIntercept

[type_mg=1]

[type_mg=2]

[type_mg=3]

[type_mg=4]

Level 1vs. Mean

Level 2vs. Mean

Level 3vs. Mean

type_mg Deviation Contrasta

The default display of this matrix is the transpose ofthe corresponding L matrix.

Omitted category = 4a.

1 2 3 4TEST : 04i

TEST : 3

jj i

i

26

Test de plusieurs contrastes indépendants

Modèle : Yij = + i + ij, avec ij ~ N(0,)

iTest :

0 i i

1 i i

H : a 0, 1,...,m

H : a 0, au moins un

0 i i i

1 i i i

H : ( a ) a 0, = 1,..., m

H : ( a ) a 0, au moins un

27


0 1

1

2 2ij ijH H

2ij H

e e / mF

e /(N k)

On rejette H0 au risque de se tromper si F F1-(m, N-k)

Décision :

1i

2 2 2ij H ij i ij iˆ ˆ,

ˆ ˆ( e ) Min (y ) (y y )

0i

0

2 2ij H ij iˆ ˆ ,

vérifiant H

ˆ ˆ( e ) Min (y )

Calcul des sommes de carrés résiduelles :

28

Exemple : Test de l’effet MGTest : H0 : 1 = 2 = 3 = 4

H1 : Au moins un i différent des autres

Test : H0 : 1 = 2 = 3 = 4

H1 : Au moins un i différent des autres

1i

2 2 2ij H ij i ij iˆ ˆ,

ˆ ˆ( e ) Min (y ) (y y )

Somme des carrés intra-groupes

0

2 2 2ij H ij ijˆ ˆ,

ˆ ˆ( e ) Min (y ) (y y)

= Somme des carrés totale

Calcul des sommes de carrés résiduelles :

29


0 1

1

2 2 2 2ij ijH H ij ij i

22ij iij H

2i i

2ij i

e e / m (y y) (y y ) /(k 1)F

(y y ) /(N k)e /(N k)

n (y y) /(k 1) =

(y y ) /(N k)

On rejette H0 au risque de se tromper si F F1-(k-1, N-k).

Décision :

2i in (y y) Somme des carrés inter-groupes où :

30

Résultats

Tests of Between-Subjects Effects


1636.500a 3 545.500 5.406 .007

724537.500 1 724537.500 7180.748 .000

1636.500 3 545.500 5.406 .007

2018.000 20 100.900

728192.000 24

3654.500 23

SourceCorrected Model

Intercept

type_mg

Error

Total

Corrected Total

Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.

R Squared = .448 (Adjusted R Squared = .365)a.

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Code SPSS

UNIANOVA poids BY type_mg /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = type_mg /CONTRAST (type_mg)=SPECIAL (1 -1 0 0, 1 0 -1 0, 1 0 0 -1) /PRINT = TEST(LMATRIX).

32

Custom Hypothesis Tests


0 0 0

1 1 1

-1 0 0

0 -1 0

0 0 -1

ParameterIntercept

[type_mg=1]

[type_mg=2]

[type_mg=3]

[type_mg=4]

L1 L2 L3

type_mg Special Contrast

The default display of this matrix is the transpose ofthe corresponding L matrix.

Test Results


1636.500 3 545.500 5.406 .007

2018.000 20 100.900

SourceContrast

Error

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.

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Identification des outliers : Le RSTUDENT

L’observation i0j0 est-elle un outlier ?

On pose ui0j0 = 1 pour l’observation i0j0 , = 0 sinon.

Modèle : Yij = + i + ui0j0 + ij, avec ij ~ N(0,)

Test : H0 : = 0 (observation i0j0 normale)

H0 : 0 (observation i0j0 outlier)

RSTUDENT : ˆt

ˆécart type( )

à comparer à un t1-/2(N-k-1)

34

Résultats SPSS : Studentized deleted residuals

Régression de Poids sur les variables indicatrices de MG1, MG2,MG3:

MG1 164 172 -.867

MG1 172 172 .

MG1 168 172 -.427

MG1 177 172 .535

MG1 156 172 -1.847

MG1 195 172 2.953

MG2 178 185 -.755

MG2 191 185 .645

MG2 197 185 1.334

MG2 182 185 -.320

MG2 185 185 .

MG2 177 185 -.867

MG3 175 176 -.106

MG3 193 176 1.986

MG3 178 176 .213

MG3 171 176 -.535

MG3 163 176 -1.457

MG3 176 176 .

MG4 155 162 -.755

MG4 166 162 .427

MG4 149 162 -1.457

MG4 164 162 .213

MG4 170 162 .867

MG4 168 162 .645

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

type_mg poids Prédiction RSTUDENT

35

36

Normalité des résidus (*)

(*) Utiliser les résidus studentisés ˆ 1

ii

i

et

h

Tests of Normality

.094 24 .200* .972 24 .721StudentizedResidual for poids

Statistic df Sig. Statistic df Sig.

Kolmogorov-Smirnova

Shapiro-Wilk

This is a lower bound of the true significance.*.

Lilliefors Significance Correctiona.

37

38

Tests d’homogénéité des variancesTest de Levene

Analyse de la variance des valeurs absolues des résidussur le facteur étudié :

Levene's Test of Equality of Error Variancesa


.361 3 20 .782F df1 df2 Sig.

Tests the null hypothesis that the error variance ofthe dependent variable is equal across groups.

Design: Intercept+type_mga.

39

Conclusion sur le test d’homogénéité des variances

Unless the group variances are extremely different or thenumber of groups is large, the usual ANOVA test is relativelyrobust when the groups are all about the same size

(Documentation de la Proc GLM)

To make the preliminary test on variances is rather like puttingto sea in a rowing boat to find out whether conditions are sufficiently calm for an ocean liner to leave port !

(Box, 1953)