Analyse dimensionnelle

Pierre GONTARD – Lycée l’Oiselet38300 BOURGOIN-JALLIEU

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Le système international d’unitésIl repose sur 7

grandeurs fondamentales :

Grandeur Unité SILongueur mètre (m)

Temps seconde (s)Masse kilogramme (kg)

Intensité du courant ampère (A)

Quantité de matière mole (mol)

Température kelvin (K)Intensité

lumineuse candela (cd)

Les unités SI des autres grandeurs s’expriment en fonction de ces unités de base.

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Le système international d’unitésExemples : La vitesse (v = d/t) s’exprime en mètre par

seconde ms-1. L’énergie cinétique (Ec = ½ mv2) s’exprime en

joule et 1 J = 1 kgm2s-2. L’unité SI de la concentration molaire (c = n/V)

est la mole par mètre cube (molm-3).

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Notion de dimension Les grandeurs qui décrivent un phénomène

physique sont caractérisées par leur « dimension ». Une grandeur peut avoir la dimension d’une masse, d’une énergie, d’une tension électrique…

La dimension de la grandeur G se note [G] sauf pour les grandeurs de base que sont la longueur, le temps, la masse, l’intensité du courant… qui seront notées pour simplifier : L, T, M, I, …

La notion de dimension est très générale et ne sup-pose aucun choix particulier de système d’unités.

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Notion de dimensionGrandeur Dimension

Longueur L

Temps T

Masse M

Intensité du courant I

Quantité de matière N Température Q

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Analyse dimensionnelle Faire l’analyse dimensionnelle d’une relation

consiste à remplacer, dans la relation, chaque grandeur par sa dimension.

Exemple : la vitesse est le quotient d’une longueur par un temps, l’équation aux dimensions s’écrit : [v] = LT-1.

La dimension d’une grandeur quelconque peut s’expri-mer à partir des dimensions fondamentales.

Toute expression doit être homogène, c’est-à-dire que ses deux membres doivent avoir la même dimension.Exemple : dans la relation DEc = WAB(&) les deux membres ont la dimension d’une énergie.

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Dimension d’une grandeur Energie cinétique : Ec = ½ mv2

eau

liquide

[Ec] = ?[Ec] = ML2T-2

Densité d’un liquide : d =

[d] = ? 1 ][][ [d]

La densité est une grandeur sans dimension.

Masse volumique : = V

m

[] = ?[] = ML-3

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Dimension d’une grandeur Remarque : une grandeur sans dimension peut

cependant avoir une unité.

Exemple : l’unité d’angle, dans le système international, est le radian et [a] = 1 puisque :

R A

B

a

RAB a

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Dimension d’une grandeur Dimension d’une force ?

ABE F cD

Relation que l’on pourra retrouver (plus simplement) à partir de la 2e loi de Newton :

F = ma .

On peut exploiter le théorème de la variation de l’énergie cinétique : Ec(B) – Ec(A) = WAB(&)DEc = &i = FABcos a si a

= 0

[AB]][E [F] c ?ML2T-2L-1 = MLT-2

Remarque : [F] = MLT-2 1 N = 1 kg.m.s-2

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Dimension d’une grandeur Il peut être parfois relativement difficile d’obtenir

le résultat…Exemple : la tension électrique U a pour dimension

[U] = L2 M T-3 I-1

résultat qui peut s’obtenir en combinantles différentes relations :

F = q·E  ; E = U/d  ; q = I·t  ; F = m·a… On pourra, en général, garder [U] dans l’équation

aux dimensions. Ainsi, à partir de la loi d’ohm uR = Ri, on pourra écrire :

I[U] [R]

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Homogénéité d’une formule Une équation est dite homogène si ses

deux membres ont la même dimension. Exemple : « v = dt » n’est pas homogène :

[v] = LT-1 et [dt] = LT

La relation v = dt est donc fausse.

Attention, une expression homogène n’est pas nécessairement juste : Ec = mv2…

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Homogénéité d’une formule

Le faisceau laser ayant une longueur d’onde l, parmi les relations suivantes, lesquelles ne sont pas homogènes ?

aD2 d ; 2aD d ; a2D d ; a

D2 d2

ll

l

l

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Homogénéité d’une formule

[d] = L2L-1 = L

[d] = L2L-2 = 1 L

[d] = L2L-1 = L

[d] = L3 L La formule correcte est :

Mais l’analyse dimensionnelle seule ne permet pas de la retrouver.

aD2 d l

aD2 d ; 2aD d ; a2D d ; a

D2 d2

ll

l

l

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Homogénéité d’une formule Vérifier que la formule : T0 = 2p

est homogène.Formule où T0 représente la période des oscillations d’un pendule simple, l sa longueur et g l’intensité de la pesanteur.

g

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Homogénéité d’une formule T0 = 2p

g

L’expression est homogène si : [T0] =

g

[T0] = T ; [l] = LP = mg g = P/m

[g] = [F]/[m] = MLT-2M-1 = LT-2

[l/g] = LT2L-1 = T2 et donc = T

g

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Autre règle importante Pour respecter l’homogénéité d’une

relation, on ne peut ajouter que des grandeurs de même dimension.

Exemples : Ec + Ep = E ; uR + uC = 0 …

Une relation telle que : (1)

n’est correcte que si : [l] =

0 N dtdN

l

? T-1

car : TN dt

dN

(1) Forme différentielle de la loi de décroissance radioactive (l : constante radioactive).