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    Andr

    Fortin

    Analyse

    numrique

    pour ingnieurs

    Quatrime dition

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    Analyse

    numrique

    pour ingnieurs

    Quatrime dition

    Andr

    Fortin

    Presses internationales

    P o l y t e c h n i q u e

    Professeur

    lUniversit

    Laval

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    Analyse numrique pour ingnieurs, quatrime dition

    Andr Fortin

    Couverture : Cyclone Design

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    Bibliothque et Archives Canada Imprim au Canada

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    mon pouse Marieet mes fils Michelet Jean-Philippe

    Une pense spcialepour mon pre etpour Line et Marcainsi que pour ma mrequi nous a quitts

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    Avant-propos laquatrime dition

    Lanalyse numrique et les mthodes numriques en gnral poursuiventleur essor considrable amor depuis plusieurs annes. La vaste majorit desfacults de gnie offrent au moins un cours dintroduction cette discipline,suivi trs souvent dun second cours plus avanc.

    Ce manuel reflte mon exprience comme professeur danalyse numriqueaux ingnieurs, dabord lcole Polytechnique de Montral et, par la suite, lUniversit Laval Qubec. Chaque anne, plus de 500 tudiants de ces deuxinstitutions suivent un tel cours qui propose un survol des principales mthodesnumriques lmentaires et couvre plus particulirement les sujets suivants :

    analyse derreurs; racines dune quation algbrique ; systmes dquations linaires et non linaires ; mthodes itratives et systmes dynamiques ; interpolation; diffrentiation et intgration numriques ; quations diffrentielles ordinaires.Lapproche pdagogique de ce manuel repose toujours sur une comprhen-

    sion profonde des mthodes plutt que sur laspect calculatoire. Cela signifieque les exemples choisis cherchent avant tout illustrer diffrents aspects desmthodes et souligner leurs avantages et leurs inconvnients. Cette approcheest justifie en partie par le fait que de plus en plus dingnieurs utilisentdes outils logiciels commerciaux. Lobjectif de ce manuel est donc de faire destudiants des utilisateurs intelligents, en ce sens quils sauront exactement

    quoi sattendre de chaque mthode et quils seront en mesure de valider leursrsultats.Leprix francophone du livre et de la technologie, ouprix Roberval, dcern

    par lUniversit de Compigne en France, est venu rcompenser mes effortsen 1996. Ce fut une belle rcompense, mais il demeure que rien ne vaut lescommentaires des principaux intresss, les tudiants. Bien entendu, on nepeut plaire tous, et cet ouvrage ne fait pas exception, mais jai quand mmesenti un accueil largement favorable. Cest un encouragement poursuivre letravail entrepris, amliorer la prsentation et rechercher dautres exempleset applications.

    Cest encore le but vis par cette quatrime dition qui ne contient pasde modifications majeures par rapport la troisime. Quelques sections ontt rcrites, dans lespoir den amliorer la prsentation et den faciliter la

    v

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    vi Avant-propos

    comprhension. Cest le cas notamment pour la section sur la transforme deFourier rapide et celle sur la mthode de Runge-Kutta-Fehlberg. Jai modifi lanumrotation des dfinitions, exemples, remarques, etc. Ainsi, la remarque 1.2prcdera lexemple 1.3 et suivra forcment la dfinition 1.1. Le lecteur devraitsy retrouver plus facilement dans le texte.

    Certains exercices plus labors sont maintenant identifis par le symboleet ncessitent lemploi de lordinateur. Pour rsoudre ces exercices, la plu-

    part des mthodes dcrites sont disponibles sous forme de programmes enlangage Matlab ladresse Internet suivante :

    www.giref.ulaval.ca/afortin/

    Ces programmes constituent un complment fort utile pour explorer les possi-bilits et limites des diffrentes mthodes prsentes. Laide en ligne permettraau lecteur de reprendre certains des exemples dcrits dans ce manuel et ainsi

    de sinitier lutilisation des diffrentes mthodes qui y sont dcrites. On peutgalement sen servir comme outil pour dventuels travaux pratiques en labo-ratoire ou pour des devoirs.

    En terminant, jaimerais remercier toutes les personnes qui ont contribu la ralisation de ce manuel. Mme Carole Burney-Vincent, M. Gilles Savard M.et M. Robert Roy de lcole Polytechnique de Montral ont patiemment lu etcomment plusieurs chapitres de la premire dition.

    Plusieurs personnes ont contribu de prs ou de loin aux ditions subs-quentes. lUniversit Laval, M. Michel Fortin ma fortement incit inclurede nouvelles sections, notamment sur les NURBS, tandis que messieurs RogerPierre et Jos Urquiza ont eu la patience de relire et de commenter plusieursdes nouveaux ajouts. Je note aussi la contribution de M. Robert Gunette quima propos quelques nouveaux sujets ainsi que de nombreux exercices.

    Enfin, je ne peux passer sous silence lappui inconditionnel de mon pouseMarie et de mes fils Michel et Jean-Philippe qui ont d, entre autres choses,subir mes absences frquentes lors de la rdaction et de la mise en pages finalede cet ouvrage. Lorsque jen ai commenc la rdaction, je ne me serais jamaisdout que mes deux fils auraient lutiliser eux-mmes dans lun de leurscours...

    Que chacun et chacune veuillent bien trouver ici lexpression de ma plusprofonde reconnaissance.

    Andr Fortin

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    Table des matires

    1 Analyse derreurs 11.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Erreurs de modlisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Reprsentation des nombres sur ordinateur . . . . . . . . . . . . 7

    1.3.1 Reprsentation des entiers signs . . . . . . . . . . . . . 9

    1.3.2 Reprsentation des nombres rels . . . . . . . . . . . . . 111.3.3 Erreurs dues la reprsentation . . . . . . . . . . . . . 121.4 Norme IEEE-754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.4.1 Exceptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4.2 Nombres non normaliss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.5 Arithmtique flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.1 Oprations lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.5.2 Oprations risques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5.3 valuation des polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    1.6 Erreurs de troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    1.6.1 Dveloppement de Taylor en une variable . . . . . . . . 281.6.2 Dveloppement de Taylor en plusieurs variables . . . . . 341.6.3 Propagation derreurs dans le cas gnral . . . . . . . . 35

    1.7 valuation de la fonctionex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    2 quations non linaires 492.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.2 Mthode de la bissection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3 Mthodes des points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

    2.3.1 Convergence de la mthode des points fixes . . . . . . . 582.3.2 Interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.3 Extrapolation dAitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    2.4 Mthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4.1 Interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . 692.4.2 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.4.3 Cas des racines multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    2.5 Mthode de la scante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    2.6.1 Modes de vibration dune poutre . . . . . . . . . . . . . 812.6.2 Premier modle de viscosit . . . . . . . . . . . . . . . . 832.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

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    viii Table des matires

    3 Systmes dquations algbriques 953.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.2 Systmes linaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953.3 Oprations lmentaires sur les lignes. . . . . . . . . . . . . . . 100

    3.3.1 Multiplication dune ligne par un scalaire . . . . . . . . 1013.3.2 Permutation de deux lignes . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.3.3 Opration (li li+lj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    3.4 limination de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1043.5 DcompositionLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    3.5.1 Principe de la mthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.5.2 Dcomposition de Crout . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.5.3 DcompositionLU et permutation de lignes . . . . . . . 1153.5.4 Factorisation de Choleski . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193.5.5 Les systmes tridiagonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

    3.6 Calcul de la matrice inverseA1

    . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.7 Effets de larithmtique flottante . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.8 Conditionnement dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.9 Systmes non linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.10 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

    3.10.1 Calcul des tensions dans une ferme . . . . . . . . . . . . 1493.10.2 Deuxime modle de viscosit . . . . . . . . . . . . . . . 1523.10.3 Rseau de distribution deau . . . . . . . . . . . . . . . 154

    3.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    4 Mthodes itratives et systmes dynamiques discrets 1674.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.2 Application quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.3 Mthodes des points fixes : cas complexe . . . . . . . . . . . . . 1764.4 Rappels sur les valeurs et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . 181

    4.4.1 Mthode des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.4.2 Mthode des puissances inverses . . . . . . . . . . . . . 186

    4.5 Mthodes des points fixes en dimensionn . . . . . . . . . . . . 1874.6 Mthodes itratives pour les systmes linaires . . . . . . . . . 195

    4.6.1 Mthode de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

    4.6.2 Mthode de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . 2024.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

    5 Interpolation 2075.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2075.2 Matrice de Vandermonde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2095.3 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105.4 Polynme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2145.5 Erreur dinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2215.6 Splines cubiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

    5.6.1 Courbes de la forme y=f(x) . . . . . . . . . . . . . . . 2305.6.2 Splines paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

    5.7 Krigeage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2425.7.1 Effet ppite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2495.7.2 Courbes paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

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    Table des matires ix

    5.7.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2565.8 Transforme de Fourier discrte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2585.9 Introduction aux NURBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

    5.9.1 B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2705.9.2 Gnration de courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2765.9.3 B-splines rationnelles non uniformes . . . . . . . . . . . 2765.9.4 Construction des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 2785.9.5 Construction des surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

    5.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

    6 Diffrentiation et intgration numriques 2916.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2916.2 Diffrentiation numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

    6.2.1 Drives dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2926.2.2 Drives dordre suprieur . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

    6.3 Extrapolation de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3026.4 Intgration numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

    6.4.1 Formules de Newton-Cotes simples et composes . . . . 3046.4.2 Mthode de Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3196.4.3 Quadratures de Gauss-Legendre . . . . . . . . . . . . . . 3226.4.4 Intgration laide des splines . . . . . . . . . . . . . . . 330

    6.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3326.5.1 Courbe des puissances classes . . . . . . . . . . . . . . 3326.5.2 Puissance lectrique dun ordinateur . . . . . . . . . . . 332

    6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3347 quations diffrentielles 341

    7.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3417.2 Mthode dEuler explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3437.3 Mthodes de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3507.4 Mthodes de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

    7.4.1 Mthodes de Runge-Kutta dordre 2 . . . . . . . . . . . 3547.4.2 Mthode de Runge-Kutta dordre 4 . . . . . . . . . . . . 3577.4.3 Contrle de lerreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

    7.5 Mthodes pas multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3637.6 Systmes dquations diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 3707.7 quations dordre suprieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3737.8 Stabilit absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

    7.8.1 Quelques mots sur les mthodes implicites . . . . . . . . 3807.9 Mthodes de tir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

    7.9.1 quations linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3847.9.2 quations non linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

    7.10 Mthodes des diffrences finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3977.11 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

    7.11.1 Problme du pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4017.11.2 Systmes de masses et de ressorts . . . . . . . . . . . . . 4057.11.3 Attracteur trange de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . 4087.11.4 Dfi du golfeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

    7.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

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    x Table des matires

    Rponses aux exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425Rponses aux exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431Rponses aux exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438Rponses aux exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447Rponses aux exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449Rponses aux exercices du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457Rponses aux exercices du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

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    Chapitre 1

    Analyse derreurs

    1.1 IntroductionLes cours traditionnels de mathmatiques nous familiarisent avec des tho-

    ries et des mthodes qui permettent de rsoudre de faon analytiqueun cer-tain nombre de problmes. Cest le cas notamment des techniques dintgra-tion et de rsolution dquations algbriques ou diffrentielles. Bien que lonpuisse proposer plusieurs mthodes pour rsoudre un problme donn, celles-ciconduisent un mme rsultat, normalement exempt derreur.

    Cest ici que lanalyse numrique se distingue des autres champs plus clas-siques des mathmatiques. En effet, pour un problme donn, il est possible

    dutiliser plusieurs techniques de rsolution qui rsultent en diffrents algo-rithmes. 1 Ces algorithmes dpendent de certains paramtres qui influent surla prcision du rsultat. De plus, on utilise en cours de calcul des approxima-tions plus ou moins prcises. Par exemple, on peut remplacer une drive parune diffrence finie de faon transformer une quation diffrentielle en unequation algbrique. Le rsultat final et son ordre de prcision dpendent deschoix que lon fait.

    Une partie importante de lanalyse numrique consiste donc contenir leseffets des erreurs ainsi introduites, qui proviennent de trois sources principales :

    les erreurs de modlisation ;

    les erreurs de reprsentation sur ordinateur ; les erreurs de troncature.Les erreurs de modlisation, comme leur nom lindique, proviennent de

    ltape de mathmatisation du phnomne physique auquel on sintresse.Cette tape consiste faire ressortir les causes les plus dterminantes du ph-nomne observ et les mettre sous forme dquations (diffrentielles le plussouvent). Si le phnomne observ est trs complexe, il faut simplifier et n-gliger ses composantes qui paraissent moins importantes ou qui rendent larsolution numrique trop difficile. Cest ce que lon appelle les erreurs de mo-dlisation.

    La deuxime catgorie derreurs est lie lutilisation de lordinateur. Eneffet, la reprsentation sur ordinateur (gnralement binaire) des nombres

    1. Le mot algorithme vient du mathmaticien arabe Al-Khuwarizm (VIIIe

    sicle aprsJ.-C.) qui fut lun des premiers utiliser une squence de calculs simples pour rsoudrecertaines quations quadratiques. Il est lun des pionniers de lal-jabr (lalgbre).

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    2 Chapitre 1

    introduit souvent des erreurs. Mme infimes au dpart, ces erreurs peuventsaccumuler lorsquon effectue un trs grand nombre doprations. Par exemple,la fraction 13 na pas de reprsentation binaire finie, pas plus quelle ne possdede reprsentation dcimale finie. On ne pourra donc pas reprsenter exactementcette fraction, ce qui introduit une erreur. Ces erreurs se propagent au fil descalculs et peuvent compromettre la prcision des rsultats.

    Enfin, leserreurs de troncatureproviennent principalement de lutilisationdu dveloppement de Taylor, qui permet par exemple de remplacer une qua-tion diffrentielle par une quation algbrique. Le dveloppement de Taylor estle principal outil mathmatique du numricien. Il est primordial den matriserlnonc et ses consquences.

    Ce chapitre traite donc principalement derreurs numriques, et non desinvitables erreurs de programmation qui font, hlas, partie du quotidien dunumricien. Il devrait permettre au lecteur de mieux grer les erreurs au seindes processus numriques afin dtre en mesure de mieux interprter les rsul-tats. Introduisons dabord un peu de terminologie qui nous permettra ven-tuellement de quantifier les erreurs.

    Dfinition 1.1Soitx, un nombre, et x, une approximation de ce nombre. Lerreur absolueest dfinie par :

    x= |x x| (1.1)

    Dfinition 1.2Soitx, un nombre, et x, une approximation de ce nombre. Lerreur relativeest dfinie par :

    Er(x) =

    |x x||x| =

    x

    |x| x

    |x| (1.2)

    De plus, en multipliant par 100 %, on obtient lerreur relative en pourcentage.

    En pratique, il est difficile dvaluer les erreurs absolue et relative, car onne connat gnralement pas la valeur exacte de x et lon na que x. Cestpourquoi on utilise lapproximation x/|x| pour lerreur relative. Dans lecas de quantits mesures exprimentalement dont on ne connat que la valeurapproximative, on dispose souvent dune borne suprieure pour lerreur absoluequi dpend de la prcision des instruments de mesure utiliss. Cette borne estquand mme appele erreur absolue, alors quen fait on a :

    |x x| xce qui peut galement scrire :

    x x x x + x (1.3)et que lon note parfois x= xx. On peut interprter ce rsultat en disantque lon a estim la valeur exacte x partir de x avec une incertitude de xde part et dautre.

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    Analyse derreurs 3

    Lerreur absolue donne une mesure quantitative de lerreur commise etlerreur relative en mesure limportance. Par exemple, si lon fait usage dunchronomtre dont la prcision est de lordre du dixime de seconde, lerreur ab-solue est borne par0,1s. Mais est-ce une erreur importante ? Dans le contextedun marathon dune dure approximative de 2 h 20 min, lerreur relative lieau chronomtrage est trs faible :

    0,12 60 60 + 20 60= 0,000 0119

    et ne devrait pas avoir de consquence sur le classement des coureurs. Parcontre, sil sagit dune course de 100 m dune dure denviron 10 s, lerreurrelative est beaucoup plus importante :

    0,110,0

    = 0,01

    soit 1 % du temps de course. Avec une telle erreur, on ne pourra vraisemblable-ment pas distinguer le premier du dernier coureur. Cela nous amne parlerde prcision et de chiffres significatifsau sens de la dfinition suivante.

    Dfinition 1.3Si lerreur absolue vrifie :

    x 0,5 10m

    alors le chiffre correspondant la me

    puissance de 10 est dit significatifettous ceux sa gauche, correspondant aux puissances de 10 suprieures m,le sont aussi. On arrte le compte au dernier chiffre non nul. Il existe uneexception la rgle. Si le chiffre correspondant lame puissance de 10 est nulainsique tous ceux sa gauche, on dit quil ny a aucun chiffre significatif.Inversement, si un nombre est donn avec nchiffres significatifs, on commence compter partir du premier chiffre non nul gauche et lerreur absolueest infrieure 0,5 fois la puissance de 10 correspondant au dernier chiffresignificatif.

    Remarque 1.4En pratique, on cherchera dterminer une borne pour x aussi petite quepossible et donc la valeur de mla plus petite possible.

    Exemple 1.5On obtient une approximation de (x = ) au moyen de la quantit 227(x = 227 = 3,142 857 ). On en conclut que :

    x= 227

    = 0,00126 0,126 102Puisque lerreur absolue est plus petite que 0,5 102, le chiffre des centimesest significatif et on a en tout 3 chiffres significatifs (3,14).

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    16/55

    4 Chapitre 1

    Exemple 1.6Si lon retient 3,1416comme approximation de , on a :

    x= | 3,1416| 0,73 105

    et lerreur absolue est infrieure 0,5 104. Le chiffre correspondant cettepuissance de 10 (6) est significatif au sens de la dfinition, ainsi que tous leschiffres situs sa gauche. Il est remarquer que le chiffre 6 dans 3,1416est significatif mme si la quatrime dcimale de est un 5 (3,14159 ).Lapproximation 3,1416 possde donc 5 chiffres significatifs.

    Exemple 1.7On a mesur le poids dune personne et trouv 90,567 kg. On vous assureque lappareil utilis est suffisamment prcis pour que tous les chiffres fournissoient significatifs. En vertu de la remarque prcdente, puisque le dernierchiffre significatif correspond aux millimes (milligrammes), cela signifie que :

    x 0,5 103 kgEn pratique, on conclut que x= 0,5 103 kg.

    1.2 Erreurs de modlisation

    La premire tape de la rsolution dun problme, et peut-tre la plus d-licate, consiste modliser le phnomne observ. Il sagit en gros didentifiertous les facteurs internes et externes qui influent (ou que lon souponne din-fluer) sur les rsultats. Dans le cas dun phnomne physique, on fait linven-taire des forces en prsence : gravitationnelle, de friction, lectrique, etc. On

    a par la suite recours aux lois de conservation de la masse, de lnergie, de laquantit de mouvement et dautres principes mathmatiques pour traduirelinfluence de ces diffrents facteurs sous forme dquations. Le plus souvent,on obtient des quations diffrentielles ou aux drives partielles.

    Leffort de modlisation produit en gnral des systmes dquations com-plexes qui comprennent un grand nombre de variables inconnues. Pour russir les rsoudre, il faut simplifier certaines composantes et ngliger les moinsimportantes. On fait alors une premire erreur de modlisation.

    De plus, mme bien dcompos, un phnomne physique peut tre difficile mettre sous forme dquations. On introduit alors un modle qui dcrit au

    mieux son influence, mais qui demeure une approximation de la ralit. Oncommet alors une deuxime erreur de modlisation. Illustrons cette dmarche laide dun exemple.

    Extrait de la publication

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    Analyse derreurs 5

    (t)l

    m

    Figure 1.1 Problme du pendule

    Exemple 1.8Le problme du pendule est connu depuis trs longtemps (voir par exempleSimmons, rf. [33]). Une masse m est suspendue une corde de longueur l(fig. 1.1). Au temps t = 0, on suppose que langle (0) entre la corde et laverticale est 0 et que sa vitesse angulaire (0)est 0. Les forces en prsencesont, dune part, la gravit agissant sur la masse et la corde et, dautre part,

    la friction de lair agissant sur tout le systme.Suivant la deuxime loi de Newton, la force due lacclration tangentielle

    ml(t)est quilibre par la composante tangentielle de lacclration gravita-tionnellemg sin((t))et par la force de frictionFfqui soppose au mouvement.On a alors :

    ml(t) = mg sin((t)) FfPour connatre comment se comporte la force de frictionFfen fonction de(t),il faut recourir des mesures exprimentales, qui dmontrent que la frictionest peu prs proportionnelle la vitesse l(t)avec un coefficient de propor-

    tionnalit cf. Il est important de remarquer que cette loi est approximative etque le coefficient cfest obtenu avec une prcision limite. Tout cela entranedes erreurs de modlisation.

    On obtient une quation diffrentielle du second ordre :

    (t) = cf(t)

    m g sin((t))

    l(0) = 0(0) = 0

    (1.4)

    Lquation diffrentielle 1.4 est non linaire et lon dmontre quelle ne possde

    pas de solution analytique simple.Une brve analyse montre quil est raisonnable de ngliger la friction de

    lair, car les vitesses de mouvement sont faibles. Il sagit encore dune erreur demodlisation, qui parat acceptable cette tape de lanalyse. Si les rsultatsse rvlent insatisfaisants, il faudra revenir en arrire et identifier, parmi les

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    Chapitre 2

    quations non linaires

    2.1 IntroductionLe numricien est souvent confront la rsolution dquations algbriques

    de la forme :f(x) = 0 (2.1)

    et ce, dans toutes sortes de contextes. Introduisons ds maintenant la termi-nologie qui nous sera utile pour traiter ce problme.

    Dfinition 2.1

    Une valeur de xsolution de f(x) = 0est appele une racineou un zro dela fonction f(x)et est note r.

    Nous avons tous appris au secondaire comment rsoudre lquation du seconddegr :

    ax2 +bx+c= 0

    dont les deux racines sont :

    bb2 4ac2a

    Certains ont galement vu comment calculer les racines dune quation dutroisime ordre et se souviennent que la formule est beaucoup plus complexe.On peut aussi obtenir une formule gnrale pour le quatrime degr. Par contre,on ignore souvent quil nexiste pas de formule permettant de trouver les racinesdes polynmes de degr plus grand ou gal 5. Non pas que les mathmaticiensne laient pas encore trouve, mais Abel 1 et par la suite Galois 2 ont dmontrque cette formule nexiste pas.

    Puisquil nexiste pas de formule gnrale pour des fonctions aussi simplesque des polynmes, il est peu probable que lon puisse rsoudre analytiquement

    lquation 2.1 dans tous les cas qui nous intressent. Il faudra donc recourir aux1. Le mathmaticien norvgien Niels Henrik Abel (1802-1829) fut lorigine de la pre-

    mire dmonstration de cet important rsultat.2. Le mathmaticien variste Galois (1811-1832) fut tu dans un duel lge de 21 ans,

    non sans avoir eu le temps dapporter une contribution considrable la thorie des groupes.

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    50 Chapitre 2

    mthodes numriques. Dans ce qui suit, nous prsentons plusieurs techniques dersolution, chacune ayant ses avantages et ses inconvnients. Nous tcheronsde les mettre en vidence de faon tirer le meilleur parti de chacune desmthodes proposes.

    Il faudra galement se souvenir des enseignements du chapitre prcdentpour viter de dvelopper des algorithmes numriquement instables.

    2.2 Mthode de la bissection

    La mthode de la bissection repose sur une ide toute simple : en gnral,de part et dautre dune solution de lquation 2.1, une fonction continue f(x)change de signe et passe du positif au ngatif ou vice versa (fig. 2.1). De toutevidence, ce nest pas toujours le cas puisque la fonction f(x)peut aussi tretangente laxe desxNous reviendrons plus loin sur ces situations particulires

    (fig. 2.2).Supposons pour linstant quil y ait effectivement un changement de signe

    autour dune racine r de f(x). Nous nous occuperons des cas pathologiquesun peu plus tard. Soit [x1, x2], un intervalle ayant un changement de signe,cest--dire :

    f(x1) f(x2)< 0 (2.2)On pose alors :

    xm=x1+x2

    2

    qui est bien sr le point milieu de lintervalle. Il suffit alors de dterminer, entreles intervalles [x1, xm] et [xm, x2], celui qui possde encore un changementde signe. La racine se trouvera forcment dans cet intervalle. la premireitration de la figure 2.1, ce serait lintervalle [xm, x2], tandis qu la deuximeitration ce serait [x1, xm]. Cela nous amne lalgorithme suivant.

    Algorithme 2.2 : Algorithme de la bissection

    1. tant donn un intervalle [x1, x2] pour lequel f(x) possde un change-ment de signe

    2. tant donn a, le critre darrt, et N, le nombre maximal ditrations3. Poser :

    xm=x1+x2

    2

    4. Si|x2 x1|

    2|xm| < a : convergence atteinte crire la racine xm crire f(xm)

    arrt5. crire x1, x2, xm, f(x1), f(x2), f(xm)

    6. Sif(x1) f(xm)< 0, alors x2 =xm7. Sif(xm) f(x2)< 0, alors x1 =xm

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    quations non linaires 51

    0

    2

    4

    6

    8

    22

    10

    -2 -1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,50

    -2

    0 20,60,4 0,8 1,81,61,21

    0

    0,5

    -2

    1

    -1,5

    -1

    -0,5

    0

    -0,8

    -0,6

    -0,4

    -0,2

    0,4

    0,2

    1

    0,6

    0,8

    0

    0,5

    -0,7

    0,1

    -0,6

    -0,5

    -0,4

    0,2

    0,6

    -0,2

    -0,1

    -0,3

    0,90,7 0,8 1

    x1 xm x2

    x1 xm x2

    x1 xm x2

    x1 xm x2

    1,4

    0 0,4 0,6 0,8 10,2

    0,2

    Figure 2.1 Mthode de la bissection : f(x) =ex x

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    52 Chapitre 2

    8. Si le nombre maximal ditrations Nest atteint : convergence non atteinte en N itrations arrt

    9. Retour ltape 3

    Lexpression :|x2 x1|

    2|xm|est une approximation de lerreur relative. En effet, ltape 3 de lalgorithmede la bissection, la racine recherche est soit dans lintervalle [x1, xm]ou danslintervalle[xm, x2], qui sont tous deux de longueur(x2x1)/2, ce qui constitueune borne suprieure de lerreur absolue. En divisant par xm, on obtient une

    approximation assez fiable de lerreur relative.Remarque 2.3Dans lalgorithme prcdent, il faut prendre garde au cas o la racine rechercheest 0. Il y a alors risque de division par 0 au cours de lvaluation de lerreurrelative. Ce cas est toutefois rare en pratique.

    Remarque 2.4Il est parfois utile dintroduire un critre darrt sur la valeur de f(x), qui doittendre galement vers 0.

    Exemple 2.5La fonction f(x) =x3 +x2 3x 3 possde un zro dans lintervalle [1, 2].En effet :

    f(1) f(2) = 4,0 3,0 = 12,0< 0On a alors xm = 1,5 et f(1,5) =1,875. Lintervalle [1,5, 2] possde encoreun changement de signe, ce qui nest pas le cas pour lintervalle [1 , 1,5]. Le

    nouvel intervalle de travail est donc[1,5, 2], dont le point milieu estxm= 1,75.Puisquef(1,75) = 0,17187, on prendra lintervalle [1,5, 1,75]et ainsi de suite.Le tableau suivant rsume les rsultats.

    Mthode de la bissection : f(x) = x3 +x2 3x 3

    x1 x2 xm f(x1) f(x2) f(xm) Erreur absoluelie xm

    1,0 2,0 1,5 4,0 3,0 1,875 0,51,5 2,0 1,75

    1,875 3,0 +0,171 87 0,25

    1,5 1,75 1,625 1,875 0,171 87 0,943 35 0,1251,625 1,75 1,6875 0,943 35 0,171 87 0,409 42 0,06251,6875 1,75 1,718 75 0,409 42 0,171 87 0,124 78 0,03125

    Extrait de la publication

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    22/55

    quations non linaires 53

    On remarque aisment que la longueur de lintervalle entourant la racine estdivise par deux chaque itration. Cette constatation permet de dterminer lavance le nombre ditrations ncessaire pour obtenir une certaine erreurabsolue r sur la racine r. Soit L = x2

    x1, la longueur de lintervalle de

    dpart. Aprs une itration, le nouvel intervalle est de longueur L2 et aprs nitrations la longueur de lintervalle est L/2n. Si lon veut connatre la valeurde nncessaire pour avoir :

    L

    2n ln

    ( Lr

    ln 2

    (2.3)

    Il est clair que, sur le plan pratique, on doit prendre pour valeur de nle pluspetit entier vrifiant cette condition. On a aussi tout intrt bien cerner laracine recherche et prendre, ds le dpart, un intervalle de longueur aussipetite que possible.

    Exemple 2.6Dans lexemple prcdent, L= 2,0 1,0. Si lon veut une erreur absolue pluspetite que0,5 102, ce qui revient sassurer que le chiffre des centimes estsignificatif, il faut effectuer au moins :

    ln 1,00,510

    2ln 2

    = 7,64 itrations

    On fera donc 8 itrations pour sassurer de cette prcision. On peut aismentvrifier quaprs 8 itrations lerreur maximale lie xmest de 0,00390625 etque la vritable erreur est 0,001 582.

    Exemple 2.7On souhaite calculer

    2avec une calculatrice dote seulement des 4 oprations

    lmentaires. Cela revient rsoudre :x2 2 = 0

    Cette fonction prsente un changement de signe dans lintervalle [1, 2]. Lal-gorithme de la bissection donne les rsultats suivants.

    Mthode de la bissection : f(x) = x2 2

    x1 x2 xm f(x1) f(x2) f(xm) (xm)21,0 2,0 1,5 1,0 2,0 +0,25 1,11,0 1,5 1,25

    1,0 0,25

    0,4375 1,01

    1,25 1,5 1,375 0,4375 0,25 0,1094 1,0111,375 1,5 1,4375 0,1094 0,25 +0,066 41 1,01111,375 1,4375 1,4062 0,1094 0,066 41 0,022 46 1,011011,4062 1,4375 1,4219 0,022 46 0,066 41 +0,021 73 1,011 0111,4062 1,4219 1,4141 0,022 46 0,021 73 0,000 43 1,0110101

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    Chapitre 3

    Systmes dquationsalgbriques

    3.1 Introduction

    Les systmes dquations algbriques jouent un rle trs important en in-gnierie. On peut classer ces systmes en deux grandes familles : les systmeslinaireset les systmesnon linaires.

    Ici encore, les progrs de linformatique et de lanalyse numrique per-mettent daborder des problmes de taille prodigieuse. On rsout courammentaujourdhui des systmes de plusieurs centaines de milliers dinconnues. Onrencontre ces applications en mcanique des fluides et dans lanalyse de struc-tures complexes. On peut par exemple calculer lcoulement de lair autourdun avion ou lcoulement de leau dans une turbine hydraulique complte.On peut galement analyser la rsistance de la carlingue dun avion diff-rentes contraintes extrieures et en vrifier numriquement la solidit.

    Ces calculs complexes requirent des mthodes volues comme les m-thodes dlments finis (voir Reddy, rf. [31]). On obtient gnralement dessystmes dquations non linaires de taille considrable, quon doit rsoudre laide de mthodes efficaces qui minimisent le temps de calcul et lespace-

    mmoire requis.Dans ce chapitre, nous allons aborder les principales mthodes de rsolutiondes systmes linaires, savoir la mthode dlimination de Gauss et la dcom-position LU. Leffet des erreurs dues larithmtique flottante sera galementtudi et nous introduirons le concept de conditionnementdune matrice.

    Par la suite, nous verrons comment rsoudre les systmes non linairesau moyen dune suite de systmes linaires. Cest ce que nous appelons lalinarisation du problme.

    3.2 Systmes linaires

    De faon gnrale, la rsolution dun systme dquations linaires consiste trouver un vecteur x = [x1 x2 x3 xn]T (x dnotera toujours un vecteurcolonne et lindice suprieurTdsignera sa transpose) solution de :

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    96 Chapitre 3

    a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 +

    + a3nxn = b3

    ... = ...an1x1 + an2x2 + an3x3 + + annxn = bn

    (3.1)

    On peut utiliser la notation matricielle, qui est beaucoup plus pratique etsurtout plus compacte. On crit alors le systme prcdent sous la forme :

    Ax = b (3.2)

    o Aest la matrice :

    a11 a12 a13 a1na21 a22 a23 a2na31 a32 a33 a3n

    ... ...

    ... . . .

    ...an1 an2 an3 ann

    et o b= [b1 b2 b3 bn]T est lemembre de droite. Bien entendu, la matriceAet le vecteur bsont connus. Il reste dterminer le vecteur x . Le problme 3.1(ou 3.2) est un systme de nquations et ninconnues. En pratique, la valeur

    de n varie considrablement et peut slever jusqu plusieurs centaines demilliers. Dans ce chapitre, nous nous limitons des systmes de petite taille,mais les stratgies dveloppes sont valides pour des systmes de trs grandetaille. Notons toutefois que le cot de la rsolution crot rapidement avec n.

    Remarque 3.1Dans la plupart des cas, nous traitons des matrices non singuliresou inver-sibles, cest--dire dont la matrice inverse existe. Nous ne faisons pas non plusde rvision systmatique de lalgbre linaire lmentaire que nous supposonsconnue. Ainsi, la solution de lquation 3.2 peut scrire :

    x = A1b

    et la discussion peut sembler close. Nous verrons cependant que le calcul de lamatrice inverse A1 est plus difficile et plus long que la rsolution du systmelinaire de dpart.

    Exemple 3.2

    Considrons le systme linaire suivant :

    2x1+ 3x2 = 8

    3x1+ 4x2 = 11

    Extrait de la publication

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    Systmes dquations algbriques 97

    Pour le rsoudre, on peut utiliser la mthode classique qui consiste liminerles quations une une par substitution successive. Dans un premier temps, onisole x1 de la premire quation :

    x1=

    8

    3x2

    2

    que lon substitue dans la deuxime quation :

    3

    8 3x2

    2

    + 4x2 = 11

    ou encore :

    12 9x22

    + 4x2= 12 0,5x2= 11

    On dduit alors facilement que x2= 2et par la suite que x1= 1.

    Il est thoriquement possible dtendre la substitution successive des sys-tmes de grande taille. Il est cependant difficile de transcrire cette faon defaire sous forme dalgorithme (qui peut par la suite tre programm dans unlangage informatique quelconque). Il est donc prfrable de recourir dautresmthodes pour simplifier le systme dquations.

    On peut dabord se demander quels types de systmes linaires sont faciles rsoudre, et ce, mme sils sont de grande taille. Le cas le plus simple estsans doute celui dessystmes diagonaux, cest--dire dont la matrice Ana decoefficients non nuls que sur la diagonale.

    Exemple 3.3Le systme suivant :

    1 0 00 2 00 0 3

    x1x2x3

    =

    229

    est trs facile rsoudre. Il suffit de considrer sparment chaque ligne. Onobtient ainsi x =

    2 1 3

    T. On voit tout de suite comment rsoudre le casgnral :

    xi= biaii

    pour i= 1, 2, , n

    On remarque de plus que le systme a une solution unique seulement si tousles termes diagonaux sont non nuls. Hlas, on rencontre rarement des systmesdiagonaux en pratique et il faudra travailler un peu plus pour sattaquer auxapplications.

    Le deuxime type de systme simple est le systme triangulaire infrieurousuprieur.

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    98 Chapitre 3

    Dfinition 3.4Une matrice est ditetriangulaire infrieure(ou suprieure) si tous lesaij (outous les aji) sont nuls pour i < j. Une matrice triangulaire infrieure a laforme type :

    a11 0 0 0 0a21 a22 0 0 0a31 a32 a33 0 0

    ... ...

    ... ...

    . . . ...

    an1 1 an1 2 an1 3 an1n 0an1 an2 an3 an n1 ann

    Une matrice triangulaire suprieure est tout simplement la transpose dune

    matrice triangulaire infrieure.

    Les systmes triangulaires sont galement faciles rsoudre. Il suffit eneffet de commencer par lquation qui se trouve la pointe du triangle (la pre-mire pour une matrice triangulaire infrieure et la dernire pour une matricetriangulaire suprieure) et de rsoudre une une les quations. On parle dedescente triangulaireou deremonte triangulaire, selon le cas.

    Exemple 3.5

    La descente triangulaire du systme : 3 0 01 2 0

    3 2 1

    x1x2

    x3

    =

    97

    14

    consiste rsoudre la premire quation :

    x1= b1

    a11

    =9

    3

    = 3

    Puisquex1 est maintenant connue, on peut dterminer x2 :

    x2 = b2 a21x1

    a22=

    7 (1)(3)2

    = 2

    La dernire quation scrit :

    x3=

    b3

    a31x1

    a32x2a33 =

    14

    (3)(3)

    (2)(2)

    1 = 1

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    Systmes dquations algbriques 99

    De lexemple prcdent, on peut rapidement dduire le cas gnral pour ladescente triangulaire :

    x1 = b1/a11

    xi =

    bi

    i1k=1

    aikxk

    aiipouri= 2, 3, , n

    (3.3)

    Pour la remonte triangulaire, on a :

    xn = bn/ann

    xi =

    bi

    nk=i+1

    aikxk

    aiipouri= n 1, n 2, , 2, 1

    (3.4)

    Remarque 3.6Les quations 3.3 et 3.4 sont valides si les aii sont tous non nuls. Dans le cascontraire, la matrice A nest pas inversible et, donc, le systme Ax = bna pasune solution unique. On se souvient en effet que le dterminant dune matricetriangulaire infrieure (ou suprieure) est :

    dtAtriangulaire =n

    i=1

    aii (3.5)

    En dautres mots, le dterminant est le produit des termes de la diagonale deA. Le produit est donc non nul seulement si aucun des aii nest nul.

    Les matrices triangulaires sont primordiales pour la rsolution des sys-tmes linaires. Dans les sections qui suivent, nous voyons comment ramenerun systme linaire quelconque un ou plusieurs systmes triangulaires. Nousabordons essentiellement deux mthodes dites directesau sens de la dfinitionsuivante.

    Dfinition 3.7Une mthode de rsolution dun systme linaire est dite directesi la solu-tion du systme peut tre obtenue par cette mthode en un nombre fini etprdtermin doprations.

    Autrement dit, les mthodes directes permettent dobtenir le rsultat aprs

    un nombre connu de multiplications, divisions, additions et soustractions. Onpeut alors en dduire le temps de calcul ncessaire la rsolution (qui peuttre trs long si n est grand). Les mthodes directes sopposent sur ce pointaux mthodes dites itratives, qui peuvent converger en quelques itrations,converger en un trs grand nombre ditrations ou mme diverger, selon le

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    100 Chapitre 3

    cas. Nous prsentons quelques exemples de mthodes itratives la fin duchapitre 4.

    Les deux principales mthodes directes sont la mthode dlimination deGausset la dcompositionLU. Il sagit en fait dune seule et mme mthodepuisque la mthode dlimination de Gauss est un cas particulier de dcom-position LU. La stratgie de rsolution est base sur la question suivante :quelles oprations sont permises sur les lignes du systme 3.1 pour le ramener un systme triangulaire ?Ou encore : pour ramener un systme linaire quel-conque un systme triangulaire, quels sont les coups permis, cest--dire ceuxqui ne changent pas la solution du systme de dpart ?Cest ces questionsque nous rpondons dans la section suivante.

    3.3 Oprations lmentaires sur les lignes

    Revenons au systme :Ax = b (3.6)

    et voyons comment on peut le transformer sans en modifier la solution. Larponse est toute simple. On peut toujours multiplier ( gauche de chaquect) les termes de cette relation par une matrice W inversible; la solutionnest pas modifie puisque lon peut remultiplier par W1 pour revenir ausystme de dpart. Ainsi :

    W Ax = Wb

    possde la mme solution que le systme 3.6.

    Remarque 3.8Ce rsultat nest plus vrai si la matriceWnest pas inversible. On ne peut plusen effet revenir en arrire si la matrice W1 nexiste pas.

    Exemple 3.9Nous avons vu que la solution du systme :

    3 0 01 2 03 2 1

    x1x2x3

    = 9714

    est x =

    3 2 1

    T. Si lon multiplie ce systme par la matrice inversible :W =

    1 0 01 2 0

    1 2 3

    on obtient le nouveau systme : 3 0 05 4 0

    14 10 3

    x1x2

    x3

    =

    923

    65

    Extrait de la publication

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    Chapitre 4

    Mthodes itratives et systmesdynamiques discrets

    4.1 Introduction

    Nous voyons dans ce chapitre comment de simples mthodes itratives,telles les mthodes des points fixes, peuvent mener des systmes au compor-tement complexe. On pourrait croire, la suite du chapitre 2, que la discussionsur la convergence dune mthode des points fixes sarrte lorsquon a dterminsi le point fixe est attractif ou rpulsif. Nous allons pousser cette discussionbeaucoup plus loin et tcher dtudier un certain nombre de phnomnes in-

    tressants rencontrs dans ltude des systmes dynamiques. Il ne sagit pasde faire une analyse mathmatique profonde de la thorie des systmes dyna-miques, mais bien de dmontrer que des mthodes itratives simples peuventrsulter en des systmes complexes.

    4.2 Application quadratique

    Nous reprenons ici une partie du travail de Feigenbaum (rf. [16]) sur lap-plication quadratique. Cette application remarquablement simple conduit uncomportement de nature universelle.

    Considrons la mthode itrative :

    x0 donn

    xn+1 = xn(1 xn)(4.1)

    qui est en fait une mthode des points fixes (voir lquation 2.5) applique la fonction :

    g(x) =x(1 x)Le paramtre est appel varier, si bien que le comportement de lalgo-

    rithme 4.1 sera trs diffrent suivant la valeur de .Tout dabord, il est facile de montrer que la fonctiong(x)est une applica-

    tion de lintervalle[0, 1] dans lui-mme (g(x) [0, 1] si x [0, 1]) seulementpour :

    0<

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    168 Chapitre 4

    En effet, le maximum de g(x) est atteint en x = 12 et vaut

    4 . Nous nouslimitons donc ces valeurs de , qui sont de loin les plus intressantes. Enpremier lieu, il convient de dterminer les points fixes de g(x) et de vrifiersils sont attractifs ou rpulsifs. Bien entendu, cela dpendra de . Les pointsfixes sont les solutions de :

    x= g(x) =x(1 x)On constate immdiatement que 0 est une solution de cette quation et estdonc un point fixe. Si lon suppose que x = 0et que lon divise chaque ct delgalit parx, on obtient :

    1 =(1 x)ce qui entrane que :

    x= r = 1

    (4.2)

    est un autre point fixe. En fait, 0 et r sont les deux seuls points fixes de g(x).Voyons maintenant sils sont attractifs. Pour ce faire, il faut calculer la drivede g(x), savoir :

    g(x) =(1 2x) (4.3)On a donc dune part :

    g(0) =

    ce qui signifie que 0 sera un point fixe attractif si :

    |g

    (0)|

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    Mthodes itratives et systmes dynamiques discrets 169

    0,0

    0,2

    0,4

    0,6

    1,0

    0 0,2 0,6 0,8 1,0

    g(x)

    0,4

    0,8

    x

    Figure 4.1 Application quadratique : = 0,5

    0,0

    0,2

    0,6

    0,8

    1,0

    0 0,2 0,4 0,6 0,8

    x

    g(x)

    0,4

    1,0

    Figure 4.2 Application quadratique : = 1,5

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    170 Chapitre 4

    il y a bien deux points fixes x = 0 et x = r, dont seul r est attractif, carg(r)< 1.

    Vrifions tout cela avec quelques exemples. Prenons dabord= 0,5. On aalors r = 1qui ne peut tre attractif puisquil est lextrieur de lintervalle[0, 1]. partir de x0 = 0,9par exemple, on trouve les itrations suivantes.

    Application quadratique : = 0,5n xn n xn0 0,900 0000 6 0,001 29021 0,045 0000 7 0,000 64262 0,021 4875 8 0,000 32193 0,010 5128 9 0,000 16094 0,005 2011 10 0,000 0804

    5 0,002 5871 ...

    ...

    Ces itrations convergent rapidement vers le point fixe 0. Si lon prend mainte-nant = 0,95, toujours partir de x0 = 0,9, on obtient les itrations suivantes.

    Application quadratique : = 0,95n xn n xn0 0,900 0000 6 0,046 75271 0,085 5000 7 0,042 33862 0,074 2802 8 0,038 51873 0,065 3245 9 0,035 18334 0,058 0044 10 0,032 2482

    5 0,051 9079 ...

    ...

    Ces dernires convergent vers 0, mais beaucoup plus lentement. Cela tientau fait que le taux de convergence g(0) = vaut 0,5 dans le premier cas et0,95 dans le second cas. La convergence est donc plus rapide pour = 0,5.Pour sassurer de la convergence vers 0, il faudrait faire beaucoup plus que 10itrations. Par exemple, pour = 0,95, on trouveraitx200 = 0,114 1385105.

    Passons maintenant = 1,5, pour lequel r = 13 . Lanalyse a dmontrque, dans ce cas, 0 est rpulsif puisque g(0) = 1,5, mais que r est attractif.

    partir cette fois de x0= 0,1, on obtient les itrations suivantes.Application quadratique : = 1,5n xn n xn0 0,100 0000 7 0,042 33861 0,085 5000 8 0,038 51872 0,074 2802 9 0,035 18333 0,065 3245 10 0,032 24824 0,058 0044

    5 0,051 9079 ...

    ...6 0,046 7527 20 0,333 3313

    Les itrations convergent donc vers r = 13 , un rsultat qui confirme lanalyseprcdente. On obtiendrait des rsultats similaires pour des valeurs desituesdans lintervalle ]1, 3[. Notons cependant que la valeur de r varie avec .

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    Mthodes itratives et systmes dynamiques discrets 171

    La question fondamentale est maintenant la suivante : que se passe-t-ilsi lon prend des valeurs de suprieures 3? On pourrait sattendre ceque les itrations de lalgorithme 4.1 divergent. Heureusement, ce nest pasle cas, mais pour expliquer ce comportement il nous faut largir la notion deconvergence. Jusqu maintenant, nous navons parl de convergence que versun point (fixe). Or, il arrive quun algorithme converge vers autre chose quunpoint fixe. On parle alors dun attracteur(voir par exemple Gulick, rf. [21]).

    Dfinition 4.1Un ensemble A Rn est dit un attracteurdune application :

    g:V Rn

    oVest un sous-ensemble deRn, si les conditions suivantes sont respectes :

    1. Si x A, alors g(x) A.2. Il existe un voisinageU de Atel que, si x0 U, la suite xn+1 =g(xn)

    converge vers A.

    3. Lensemble Aest indcomposable.

    Remarque 4.2La dfinition qui prcde indique que, pour que A soit un attracteur, il fautque tout pointx de lensemble A soit projet sur un autre point de A par lap-plicationg(x). Cest bien sr le cas dun point fixe qui est envoy sur lui-mme.La deuxime condition traduit le fait que, si lon part dun point x0 suffisam-ment prs de A, les itrations de lalgorithme des points fixes sapprochentde plus en plus de lensemble A. On tend ainsi aux attracteurs la notion debassin dattraction introduite pour les points fixes. Mentionnons enfin que lesens prcis que lon doit donner au mot indcomposable varie dun auteur lautre. Disons simplement quon ne peut rien enlever lensemble A pourque les deux premires proprits restent vraies.

    Remarque 4.3On ne considre pour linstant que le cas n= 1des applications de Rdans R.Le cas gnral sera trait un peu plus loin. Un point fixe est donc un attracteur(voir le chapitre 2) sil existe un intervalleIcontenant ce point fixe pour lequelg(x) I, x I, et qui vrifie :

    |g(x)|

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    172 Chapitre 4

    Application quadratique : = 3,1n xn n xn1 0,775 0000 14 0,557 47332 0,540 5625 15 0,764 76013 0,769 8995 16 0,557 69644 0,549 1781 17 0,764 68045 0,767 5026 18 0,557 82716 0,553 1711 19 0,764 63367 0,766 2357 20 0,557 9039

    8 0,555 2674 ...

    ...9 0,765 5310 47 0,764 5665

    10 0,556 4290 48 0,558 014011 0,765 1288 49 0,764 5665

    12 0,557 0907 50 0,558 014013 0,764 8960

    On remarque immdiatement un comportement surprenant. Les itrations os-cillent entre les valeurs de 0,5580 et de 0,7645. Il ny a donc pas convergence ausens habituel. En fait, les itrations paires convergent vers environ 0,558 014 etles itrations impaires, vers 0,764 566. Pour comprendre ce qui se passe, il suffitde constater que les itrations paires et impaires correspondent aux itrationsde la fonction compose :

    g1(x) =g(g(x)) =g(x)(1 g(x)) =(x(1 x))(1 x(1 x))cest--dire :

    g1(x) =2x(1 x)(1 x+x2)

    Pour dterminer les points fixes de la fonction g1(x), il suffit de rsoudre :

    x= g1(x) =2x(1 x)(1 x+x2)

    Il est clair que tout point fixe de g(x)est un point fixe de g1(x). Le pointr donn par lquation 4.2 ainsi que 0 sont donc des points fixes de g1(x),

    mais nous savons quils sont rpulsifs pour >3. Il existe cependant dautrespoints fixes deg1(x)qui ne sont pas des points fixes deg(x). Aprs avoir divislquation prcdente parxde chaque ct, quelques manipulations algbriquesnous amnent rsoudre lquation :

    3x3 23x2 +2(1 +)x+ (1 2) = 0

    dont les trois racines sont r et :

    r(2)

    1 , r

    (2)

    2 = 1

    2+

    1

    2

    1

    2( 3)(+ 1) (4.4)

    On montre alors que :

    r(2)1 =g(r

    (2)2 ) et r

    (2)2 =g(r

    (2)1 )

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    Chapitre 5

    Interpolation

    5.1 IntroductionCe chapitre ainsi que le chapitre suivant qui porte sur la drivation et lin-

    tgration numriques sont trs troitement relis puisquils tendent rpondre diverses facettes dun mme problme. Ce problme est le suivant : partirdune fonctionf(x)connue seulement en(n + 1)points de la forme ((xi, f(xi))pour i= 0, 1, 2, , n), peut-on construire une approximation de f(x), et ce,pour tout x ? Les xi sont appels abscissesou nuds dinterpolation tandisque les couples ((xi, f(xi)) pour i = 0, 1, 2, , n) sont les points de colloca-tionou points dinterpolationet peuvent provenir de donnes exprimentales

    ou dune table. En dautres termes, si lon ne connat que les points de collo-cation (xi, f(xi))dune fonction, peut-on obtenir une approximation de f(x)pour une valeur de xdiffrente des xi? La figure 5.1 rsume la situation.

    Sur la base des mmes hypothses, nous verrons, au chapitre suivant, com-ment valuer les drives f(x), f(x) de mme que : xn

    x0

    f(x)dx

    Il sagit dunproblme dinterpolation, dont la solution est relativement simple.Il suffit de construire un polynme de degr suffisamment lev dont la courbe

    passe par les points de collocation. On parle alors du polynme de collocationoupolynme dinterpolation. Pour obtenir une approximation des drives oude lintgrale, il suffit de driver ou dintgrer le polynme de collocation. Ily a cependant des lments fondamentaux quil est important dtudier. Enpremier lieu, il convient de rappeler certains rsultats cruciaux relatifs auxpolynmes, que nous ne dmontrons pas.

    Thorme 5.1Un polynme de degr ndont la forme gnrale est :

    pn(x) =a0+a1x+a2x2 +a3x3 + +anxn (5.1)avecan= 0possde, tenant compte des multiplicits, trs exactementnracinesqui peuvent tre relles ou complexes conjugues. Rappelons que r est uneracine de pn(x)si pn(r) = 0.

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    208 Chapitre 5

    x3x x2 xn1x0

    ?

    xnx1

    Figure 5.1 Problme dinterpolation

    Corollaire 5.2Par (n+ 1) points de collocation dabscisses distinctes ((xi, f(xi)) pour i =0, 1, 2, , n), on ne peut faire correspondre quun et un seul polynme dedegr n.

    Dmonstration:On procde par labsurde et lon suppose lexistence de 2 polynmes de degrn, nots p(x) et q(x), et qui passent tous les deux par les (n+ 1) points decollocation donns. On considre ensuite la diffrence P(x) =p(x) q(x)quiest galement un polynme de degr au plus n. Ce polynme vrifie :

    P(xi) =p(xi) q(xi) =f(xi) f(xi) = 0

    et ce, pouriallant de 0 n. Le polynmeP(x)possderait donc(n+1)racines,ce qui est impossible en vertu du thorme prcdent.

    Dfinition 5.3Lunique polynme de degr n passant par les points (xi, f(xi)) pouri = 0, 1, 2, , n, est appel linterpolant de f(x) de degr n aux abscisses(nuds) x0, x1, , xn.

    Remarque 5.4

    Rien noblige ce que le coefficient ande linterpolant soit diffrent de 0. Lin-terpolant passant par les n+ 1 points dinterpolation peut donc tre de degrinfrieur n. Si on choisit par exemple 10points sur une droite, linterpolantsera quand mme de degr 1.

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    Interpolation 209

    Il reste assurer lexistence de linterpolant, ce que nous ferons tout sim-plement en le construisant au moyen de mthodes diverses qui feront lobjetdes prochaines sections.

    5.2 Matrice de VandermondeLe problme dinterpolation consiste donc dterminer lunique polynme

    de degr n passant par les (n+ 1)points de collocation ((xi, f(xi))pour i =0, 1, 2, 3, , n). Selon le thorme prcdent, il ne saurait y en avoir deux.Il reste maintenant le construire de la manire la plus efficace et la plusgnrale possible. Une premire tentative consiste dterminer les inconnuesaidu polynme 5.1 en vrifiant directement les(n+1)quations de collocation :

    pn(xi) =f(xi) pour i= 0, 1, 2, , n

    ou encore :a0+a1xi+a2x

    2i +a3x

    3i + +anxni =f(xi)

    qui est un systme linaire de (n+1)quations en(n+1)inconnues. Ce systmescrit sous forme matricielle :

    1 x0 x20 x

    30 xn0

    1 x1 x21 x

    31 xn1

    1 x2 x22 x

    32 xn2

    ... ...

    ... ...

    . . . ...

    1 xn x

    2

    n x

    3

    n xn

    n

    a0a1a2...

    an

    =

    f(x0)f(x1)f(x2)

    ...f(x

    n)

    (5.2)

    Remarque 5.5La matrice de ce systme linaire porte le nom de matrice de Vandermonde.On peut montrer que le conditionnement de cette matrice augmente fortementavec la taille (n+ 1)du systme. De plus, comme le rvlent les sections quisuivent, il nest pas ncessaire de rsoudre un systme linaire pour calculer unpolynme dinterpolation.Cette mthode est donc rarement utilise.

    Exemple 5.6On doit calculer le polynme passant par les points (0 , 1), (1 , 2), (2 , 9) et(3,28). tant donn ces 4 points, le polynme recherch est tout au plus dedegr 3. Ses coefficients ai sont solution de :

    1 0 0 01 1 1 11 2 4 81 3 9 27

    a0a1a2a3

    =

    129

    28

    dont la solution (obtenue par dcomposition LU) est [1 0 0 1]T

    . Le polynmerecherch est donc p3(x) = 1 +x3.

    Les sections suivantes proposent des avenues diffrentes et plus efficacespour calculer le polynme de collocation.

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    210 Chapitre 5

    5.3 Interpolation de Lagrange

    Linterpolation de Lagrange est une faon simple et systmatique de construireun polynme de collocation. tant donn (n + 1) points ((xi, f(xi)) pouri= 0, 1, 2,

    , n), on suppose un instant que lon sait construire (n + 1)poly-

    nmes Li(x)de degr net satisfaisant les conditions suivantes : Li(xi) = 1 iLi(xj ) = 0 j=i (5.3)

    Cela signifie que le polynmeLi(x)de degrnprend la valeur 1 enxiet sannule tous les autres points de collocation. Nous verrons comment construire lesLi(x)un peu plus loin. Dans ces conditions, la fonction L(x)dfinie par :

    L(x) =

    ni=0

    f(xi)Li(x)

    est un polynme de degr n, car chacun des Li(x)est de degr n. De plus, cepolynme passe par les (n+ 1)points de collocation et est donc le polynmerecherch. En effet, il est facile de montrer que selon les conditions 5.3 :

    L(xj) = f(xj )Lj (xj ) +n

    i=0,i=j

    f(xi)Li(xj )

    = f(xj ) + 0 =f(xj ) jLe polynme L(x) passe donc par tous les points de collocation. Puisque cepolynme est unique,L(x)est bien le polynme recherch. Il reste construireles fonctions Li(x). Suivons une dmarche progressive.Polynmes de degr 1

    Il sagit de dterminer le polynme de degr 1 dont la courbe (une droite)passe par les deux points (x0, f(x0)) et (x1, f(x1)). On doit donc construiredeux polynmesL0(x)et L1(x)de degr 1 qui vrifient :

    L0(x0) = 1L0(x1) = 0

    L1(x0) = 0L1(x1) = 1

    Le polynme L0(x) doit sannuler en x = x1. On pense immdiatement aupolynme (x x1) qui sannule en x = x1, mais qui vaut (x0 x1) en x =x0. Pour sassurer dune valeur 1 en x = x0, il suffit deffectuer la divisionapproprie afin dobtenir :

    L0(x) = (x x1)(x0

    x1)

    Un raisonnement similaire pour L1(x)donne :

    L1(x) = (x x0)(x1 x0)

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    Interpolation 211

    L0(x)

    x0 x1

    1

    L1(x)

    Figure 5.2 Polynmes de Lagrange de degr 1 : L0(x)et L1(x)

    Ces deux fonctions sont illustres la figure 5.2. Le polynme de degr 1 estdonc :

    p1(x) =f(x0)L0(x) +f(x1)L1(x)

    Exemple 5.7Lquation de la droite passant par les points (2, 3) et (5, 6)est :

    3(x 5)(2 5)+ (6)

    (x 2)(5 2) = (x 5) 2(x 2) = 3x+ 9

    Polynmes de degr 2Si lon cherche le polynme de degr 2 passant par les points (x0, f(x0)),

    (x1, f(x1))et (x2, f(x2)), on doit construire trois fonctionsLi(x). Le raisonne-ment est toujours le mme. La fonction L0(x)sannule cette fois en x= x1 etenx= x2. On doit forcment avoir un coefficient de la forme :

    (x x1)(x x2)qui vaut(x0 x1)(x0 x2)en x= x0. Pour satisfaire la condition L0(x0) = 1,il suffit alors de diviser le coefficient par cette valeur et de poser :

    L0(x) = (x x1)(x x2)(x0

    x1)(x0

    x2)

    Cette fonction vaut bien 1 en x0 et 0 en x1 et x2. De la mme manire, onobtient les fonctions L1(x)et L2(x)dfinies par :

    L1(x) = (x x0)(x x2)(x1 x0)(x1 x2) et L2(x) =

    (x x0)(x x1)(x2 x0)(x2 x1)

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    212 Chapitre 5

    L1(x)L2(x)

    x1 x2

    L0(x)

    x0

    1

    Figure 5.3 Polynmes de Lagrange de degr 2 : L0(x), L1(x)et L2(x)

    Ces trois fonctions sont leur tour illustres la figure 5.3.

    Exemple 5.8La parabole passant par les points (1, 2), (3, 7), (4, 1)est donne par :

    p2(x) = 2(x 3)(x 4)(1 3)(1 4) + 7 (x 1)(x 4)(3 1)(3 4) + (1) (x 1)(x 3)(4 1)(4 3)

    = (x 3)(x 4)

    3 7(x 1)(x 4)

    2 (x 1)(x 3)

    3

    Polynmes de degr nOn analyse le cas gnral de la mme faon. La fonctionL0(x)doit sannuler

    enx= x1, x2, x3, , xn. Il faut donc introduire la fonction :(x x1)(x x2)(x x3) (x xn)

    qui vaut :(x0 x1)(x0 x2)(x0 x3) (x0 xn)

    enx= x0. On a alors, aprs division :

    L0(x) = (x x1)(x x2)(x x3) (x xn)(x0 x1)(x0 x2)(x0 x3) (x0 xn)

    On remarque quil y a nfacteurs de la forme(x xi)dans cette expression etquil sagit bien dun polynme de degr n. Pour la fonctionL1(x), on pose :

    L1(x) = (x x0)(x x2)(x x3) (x xn)(x1 x0)(x1 x2)(x1 x3) (x1 xn)

    Extrait de la publication

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    Chapitre 6

    Diffrentiation et intgrationnumriques

    6.1 Introduction

    Le contenu de ce chapitre prolonge celui du chapitre 5 sur linterpolation. peu de choses prs, on y manie les mmes outils danalyse. Dans le cas delinterpolation, on cherchait valuer une fonction f(x)connue seulement enquelques points. Dans le prsent chapitre, le problme consiste obtenir desapproximations des diffrentes drives de cette fonction de mme que de :

    x

    n

    x0

    f(x)dx

    On parle alors de drivation numriqueet dintgration numrique. On faitface ce type de problmes lorsque, par exemple, on connat la position duneparticule intervalles de temps rguliers et que lon souhaite obtenir sa vi-tesse. On doit alors effectuer la drive de la position connue seulement enquelques points. De mme, lacclration de cette particule ncessite le calculde la drive seconde.

    Si, linverse, on connat la vitesse dune particule certains intervalles detemps, on obtient la distance parcourue en intgrant la vitesse dans lintervalle[x0,xn].

    Nous avons vu au chapitre prcdent que la fonction f(x)peut tre conve-nablement estime laide dun polynme de degrnavec une certaine erreur.En termes concis :

    f(x) =pn(x) +En(x) (6.1)

    o En(x) est le terme derreur dordre (n+ 1) donn par la relation 5.21.Lexpression 6.1 est la base des dveloppements de ce chapitre.

    6.2 Diffrentiation numrique

    On peut aborder la diffrentiation numrique dau moins deux faons. Lapremire approche consiste utiliser le dveloppement de Taylor et la seconde

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    292 Chapitre 6

    est fonde sur lgalit 6.1. Nous utiliserons un mlange des deux approches,ce qui nous permettra davoir un portrait assez complet de la situation.

    Commenons dabord par lquation 6.1. Si lon drive de chaque ct delgalit, on obtient successivement :

    f(x) = pn(x) +En(x)f(x) = pn(x) +E

    n(x)

    f(x) = pn(x) +En(x)

    ... = ...

    (6.2)

    Ainsi, pour valuer la drive dune fonction connue aux points ((xi, f(xi))pouri= 0, 1, 2, , n), il suffit de driver le polynme dinterpolation passantpar ces points. De plus, le terme derreur associ cette approximation de ladrive est tout simplement la drive de lerreur dinterpolation. Ce rsultat

    est vrai quel que soit lordre de la drive.Remarque 6.1Bien quen thorie on soit en mesure destimer les drives de tout ordre, surle plan pratique, on dpasse rarement lordre 4. Cela sexplique par le fait quela diffrentiation numrique est un procd numriquement instable.

    6.2.1 Drives dordre 1

    Commenons par faire lapproximation des drives dordre 1, ce qui re-vient valuer la pente de la fonction f(x). Tout comme pour linterpolation,nous avons le choix entre plusieurs polynmes de degr plus ou moins lev.De ce choix dpendent lordre et la prcision de lapproximation. Nous avonsrencontr un problme semblable dans le cas de linterpolation : si un poly-nme de degr n est utilis, on obtient une approximation dordre (n+ 1)dela fonctionf(x)(voir la relation 5.26).

    Il est galement utile de se rappeler que lerreur dinterpolation scrit :

    En(x) =f(n+1)((x))

    (n+ 1)! [(x x0)(x x1) (x xn)] (6.3)

    pour un certain compris dans lintervalle [x0 , xn]. En drivant lexpressionprcdente, tout en tenant compte de la dpendance de envers x, on obtientune relation pour la drive de lerreur dinterpolation :

    En(x) = f(n+2)((x))(x)

    (n+ 1)! [(x x0)(x x1) (x xn)]

    + f(n+1)((x))(n+ 1)!

    [(x x0)(x x1) (x xn)]

    La drive du produit apparaissant dans le deuxime terme de droite est plusdlicate. Cette drive dbouche sur une somme de produits o, tour tour,

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    Diffrentiation et intgration numriques 293

    lun des facteurs (xxi)est manquant. Il est facile de se convaincre, en repre-nant ce dveloppement avec n= 2par exemple, que lon obtient :

    En(x) = f(n+2)((x))(x)

    (n+ 1)!

    [(x

    x0)(x

    x1)

    (x

    xn)]

    +f(n+1)((x))

    (n+ 1)!

    n

    k=0

    nj=0(j=k)

    (x xj)

    (6.4)

    On peut simplifier cette expression quelque peu complexe en choisissant lunou lautre des points dinterpolation. En effet, en x=xi, le premier terme dedroite sannule, faisant disparatre la drive de (x), qui est inconnue. De lasomme, il ne reste quun seul terme puisque tous les autres contiennent un

    facteur(x xi)et sannulent. Il reste :

    En(xi) = f(n+1)((xi))

    (n+ 1)!

    n

    j=0(j=i)

    (xi xj )

    Si lon suppose de plus que les xi sont galement distancs, cest--dire :

    xi+1 xi=h

    ce qui signifie que xi xj = (ij)h, on obtient :

    En(xi) = f(n+1)(i)h

    n

    (n+ 1)!

    n

    j=0(j=i)

    (ij) (6.5)

    o i est simplement une notation diffrente de (xi). En particulier, si i= 0,on trouve :

    En(x0) = f(n+1)(0)hn

    (n+ 1)!

    nj=0(j=0)

    (j) = f(n+1)(0)hn

    (n+ 1)!

    nj=1

    (j)

    cest--dire :

    En(x0) = (1)nhnf(n+1)(0)

    (n+ 1)(6.6)

    pour un certain0 compris dans lintervalle [x0, xn].

    Remarque 6.2Lquation 6.5 montre que, si lon utilise un polynme dinterpolation de degrn (cest--dire dordre (n+ 1)), la drive de ce polynme value en x = xiest une approximation dordre nde f(xi).

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    294 Chapitre 6

    Dfinition 6.3Aux points dinterpolation, on a :

    f(xi) =pn(xi) +E

    n(xi) (6.7)

    Le terme pn(xi) dans lquation 6.7 est une formule aux diffrences finiesou plus simplement une formule aux diffrences. Nous proposons plus loinplusieurs formules aux diffrences finies pour valuer les diffrentes drivesdef(x). Elles se distinguent principalement par le degr du polynme et parles points dinterpolation retenus.

    Appproximations dordre 1Si lon choisit le polynme de degr 1 passant par les points (x0, f(x0))et

    (x1

    , f(x1

    )), on a, grce la formule dinterpolation de Newton :

    p1(x) =f(x0) +f[x0, x1](x x0)

    et donc :f(x) =p1(x) +E

    1(x) =f[x0, x1] +E

    1(x) (6.8)

    En vertu de la relation 6.6 avec n= 1et puisque (x1 x0) =h, on arrive :

    f(x0) =f(x1) f(x0)

    x1

    x0

    +E1(x0) =f(x1) f(x0)

    h +

    (1)1h1f(2)(0)2

    qui peut encore scrire :

    f(x0) =f(x1) f(x0)

    h hf

    (2)(0)

    2 pour 0 [x0, x1] (6.9)

    qui est la diffrence avant dordre 1. On lappelle diffrence avant car, pourvaluer la drive en x = x0, on cherche de linformation vers lavant (enx= x1).De la mme manire, si lon value lquation 6.8 en x = x1, la relation 6.5avec (i= 1)donne :

    f(x1) = f(x1) f(x0)

    x1 x0 +E1(x1)

    = f(x1) f(x0)

    h +

    h1f(2)(1)

    2!

    1

    j=0(j=1)

    (1j)

    ou encore :

    f(x1) =f(x1) f(x0)

    h +

    hf(2)(1)

    2 pour 1 [x0, x1] (6.10)

    qui est la diffrence arrire dordre 1.

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    296 Chapitre 6

    Diffrence centre dordre 2 (enx1)

    Diffrence avant dordre 2 (en x0)

    p2(x)

    Diffrence arrire (enx1)

    Diffrence avant (en x1)

    Diffrence arrire dordre 2 (enx2)

    x0 x1 x2

    Figure 6.1 Interprtation gomtrique des formules aux diffrences

    dtermine un polynme de degr 2 dont la pente en x0, en x1 et en x2 donne

    respectivement les diffrences avant, centre et arrire.

    On peut aussi convenir de toujours valuer la drive en x. Dans ce cas,on utilise les valeurs de f(x+h) et de f(x+ 2h) pour la diffrence avant etles valeurs de f(x+ h) et de f(x h) pour la diffrence centre. En ce quiconcerne le terme derreur, on ne retient que son ordre. Les tableaux suivantsrsument la situation.

    Formules de diffrences finies dordre 1 pour f(x)

    f(x) = f(x+h) f(x)

    h +O(h)

    Diffrence avant dordre 1

    f(x) = f(x) f(x h)

    h +O(h)

    Diffrence arrire dordre 1

    (6.12)

    Extrait de la publication

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    Chapitre 7

    quations diffrentielles

    7.1 IntroductionLa rsolution numrique des quations diffrentielles est probablement le

    domaine de lanalyse numrique o les applications sont les plus nombreuses.Que ce soit en mcanique des fluides, en transfert de chaleur ou en analysede structures, on aboutit souvent la rsolution dquations diffrentielles,de systmes dquations diffrentielles ou plus gnralement dquations auxdrives partielles.

    Le problme du pendule abord au chapitre 1 trouvera ici une solution nu-mrique qui sera par la suite analyse et compare dautres solutions approxi-

    matives ou quasi analytiques. Parmi leurs avantages, les mthodes numriquespermettent dtudier des problmes complexes pour lesquels on ne connat pasde solution analytique, mais qui sont dun grand intrt pratique.

    Dans ce chapitre comme dans les prcdents, les diverses mthodes de r-solution proposes sont dautant plus prcises quelles sont dordre lev. Nousamorons lexpos par des mthodes relativement simples ayant une interprta-tion gomtrique. Elles nous conduiront progressivement des mthodes pluscomplexes telles les mthodes de Runge-Kutta dordre 4, qui permettent dob-tenir des rsultats dune grande prcision. Nous considrons principalement lesquations diffrentielles avec conditions initiales, mais nous ferons une brve

    incursion du ct des quations diffrentielles avec conditions aux limites parle biais des mthodes de tir et de diffrences finies.Nous prenons comme point de dpart la formulation gnrale dune qua-

    tion diffrentielle dordre 1 avec condition initiale. La tche consiste dter-miner une fonction y(t)solution de :

    y(t) = f(t, y(t))y(t0) = y0

    (7.1)

    La variable indpendante t reprsente trs souvent (mais pas toujours) le

    temps. La variable dpendante est note y et dpend bien sr de t. La fonc-tionfest pour le moment une fonction quelconque de deux variables que noussupposons suffisamment diffrentiable. La conditiony(t0) =y0est la conditioninitiale et en quelque sorte ltat de la solution au moment o lon commence sy intresser. Il sagit dobtenir y(t) pour t t0, si lon cherche une so-

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    342 Chapitre 7

    lution analytique, ou une approximation de y(t), si lon utilise une mthodenumrique.

    Dfinition 7.1

    Lquation diffrentielle 7.1 est dite dordre 1, car seule la drive dordre 1de la variable dpendante y(t) est prsente. Si des drives de y(t) dordre2 apparaissaient dans lquation diffrentielle 7.1, on aurait une quationdordre 2, et ainsi de suite.

    Commenons par prsenter quelques exemples dquations diffrentiellesavec condition initiale.

    Exemple 7.2Soit lquation diffrentielle du premier ordre :

    y(t) = ty(0) = 1

    (7.2)

    Voil certainement lun des exemples les plus simples que lon puisse imaginer.En intgrant de chaque ct, on obtient :

    y(t)dt=

    tdt

    cest--dire :

    y(t) = t2

    2 +C

    o Cest une constante. Cette dernire expression est la solution gnrale delquation diffrentielleen ce sens quelle satisfait y(t) =t, quelle que soit laconstante C. Pour dterminer la constante C, il suffit dimposer la conditioninitiale :

    y(0) = 1 =C

    Lasolution particulireest alors :

    y(t) =

    t2

    2 + 1

    qui vrifie la fois lquation diffrentielle et la condition initiale.

    Exemple 7.3Soit lquation diffrentielle :

    y(t) = ty(t)y(1) = 2

    (7.3)

    Il ne suffit pas dans ce cas dintgrer les deux cts de lquation pour obtenirla solution. On doit dabord sparer les variables en crivant par exemple :

    dy

    dt = t y(t) qui devient

    dy

    y = tdt

    Extrait de la publication

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    quations diffrentielles 343

    Les variables tant spares, on peut maintenant faire lintgration :

    ln y= t2

    2 +Cou encore y(t) =C e

    t2

    2

    qui est la solution gnrale. On obtient la solution particulire en imposant lacondition initiale :

    y(1) = 2 =C e12

    ce qui signifie que :C= 2e

    12

    et donc que la solution particulire est :

    y(t) = 2e(t21)

    2

    Les ouvrages de Simmons (rf. [33]) et de Derrick et Grossman (rf. [11])contiennent dautres exemples dquations diffrentielles. Notre propos concerneplutt les mthodes numriques de rsolution de ces quations diffrentielles. cet gard, nous suivons lapproche de Burden et Faires (rf. [5]), notammenten ce qui concerne la notion derreur de troncature locale qui indique lordrede prcision de la mthode utilise.

    Avec les outils numriques de rsolution dquations diffrentielles, il nestplus possible dobtenir une solution pour toutes les valeurs de la variableindpendante t. On obtient plutt une approximation de la solution analy-tique seulement certaines valeurs de t notes ti et distances dune valeurhi = ti+1 ti. Dans la plupart des mthodes prsentes, cette distance estconstante pour tout iet est note h. On appelle hle pas de temps.

    Remarque 7.4On note y(ti) la solution analytiquede lquation diffrentielle 7.1 en t = ti.On note yi lasolution approximativeen t= ti obtenue laide dune mthodenumrique.

    7.2 Mthode dEuler explicite

    La mthode dEuler explicite est de loin la mthode la plus simple de rso-lution numrique dquations diffrentielles ordinaires. Elle possde une belleinterprtation gomtrique et son emploi est facile. Toutefois, elle est relati-vement peu utilise en raison de sa faible prcision. On la qualifie dexplicitecar car elle ne ncessite pas de rsolution dquation non linaire contraire-

    ment la mthode dEuler dite implicite que nous verrons plus loin (voir lasection 7.8.1).

    Reprenons lquation diffrentielle 7.1 et considrons plus attentivement lacondition initiale y(t0) =y0. Le but est maintenant dobtenir une approxima-tion de la solution en t= t1=t0 + h. Avant deffectuer la premire itration, il

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    344 Chapitre 7

    faut dterminer dans quelle direction on doit avancer partir du point (t0, y0)pour obtenir le point (t1, y1), qui est une approximation du point (t1, y(t1)).Nous navons pas lquation de la courbe y(t), mais nous en connaissons lapente y(t)en t= t0. En effet, lquation diffrentielle assure que :

    y(t0) =f(t0, y(t0)) =f(t0, y0)

    On peut donc suivre la droite passant par(t0, y0)et de pentef(t0, y0). Lqua-tion de cette droite, note d0(t), est :

    d0(t) =y0+f(t0, y0)(t t0)et est illustre la figure 7.1. En t= t1, on a :

    d0(t1) =y0+f(t0, y0)(t1 t0) =y0+hf(t0, y0) =y1

    En dautres termes, d0(t1)est proche de la solution analytique y(t1), cest--dire :y(t1) y1 =d0(t1) =y0+hf(t0, y0)

    Il est important de noter que, le plus souvent, y1=y(t1). Cette ingalit narien pour tonner, mais elle a des consquences sur la suite du raisonnement. Eneffet, si lon souhaite faire une deuxime itration et obtenir une approximationde y(t2), on peut refaire lanalyse prcdente partir du point (t1, y1). Onremarque cependant que la pente de la solution analytique en t= t1 est :

    y(t1) =f(t1, y(t1))

    On ne connat pas exactement y(t1), mais on possde lapproximation y1 dey(t1). On doit alors utiliser lexpression :

    y(t1) =f(t1, y(t1)) f(t1, y1)et construire la droite (fig. 7.1) :

    d1(t) =y1+f(t1, y1)(t t1)qui permettra destimery(t2).On constate que lerreur commise la premireitration est rintroduite dans les calculs de la deuxime itration. On a alors :

    y(t2) y2 =d1(t2) =y1+hf(t1, y1)

    Remarque 7.5Le dveloppement qui prcde met en vidence une proprit importante desmthodes numriques de rsolution des quations diffrentielles. En effet, ler-reur introduite la premire itration a des rpercussions sur les calculs de ladeuxime itration, ce qui signifie que les erreurs se propagent dune itration lautre. Il en rsulte de faon gnrale que lerreur :

    |y(tn) yn|augmente lgrement avec n.

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    quations diffrentielles 345

    (t2, y(t2))

    (t0, y(t0))(t1, y1)

    (t2, y2)(t1, y(t1)) d0(t)

    h h

    d1(t)

    y(t)(inconnue)

    t1t0 t2

    Figure 7.1 Mthode dEuler explicite

    On en arrive donc lalgorithme suivant.

    Algorithme 7.6 : Mthode dEuler explicite1. tant donn un pas de temps h, une condition initiale (t0, y0) et un

    nombre maximal ditrations N2. Pour 0 n N :

    yn+1 =yn+hf(tn, yn)tn+1 =tn+hcrire tn+1 et yn+1

    3. Arrt

    Exemple 7.7Soit lquation diffrentielle (voir Fortin et Pierre, rf. [18]) :

    y(t) = y(t) +t+ 1et la condition initiale y(0) = 1. On a donc t0 = 0et y0 = 1 et lon prend unpas de temps h= 0,1. De plus, on a :

    f(t, y) =

    y+t+ 1

    On peut donc utiliser la mthode dEuler explicite et obtenir successivementdes approximations dey(0,1), y(0,2), y(0,3) , notesy1, y2, y3 . Le premierpas de temps produit :

    y1=y0+hf(t0, y0) = 1 + 0,1f(0, 1) = 1 + 0,1(1 + 0 + 1) = 1

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    346 Chapitre 7

    Le deuxime pas de temps fonctionne de manire similaire :

    y2=y1+hf(t1, y1) = 1 + 0,1f(0,1, 1) = 1 + 0,1(1 + 0,1 + 1) = 1,01On parvient ensuite :

    y3 = y2+hf(t2, y2) = 1,01 + 0,1f(0,2, 1,01)= 1,01 + 0,1(1,01 + 0,2 + 1) = 1,029

    Le tableau suivant rassemble les rsultats des dix premiers pas de temps. Lasolution analytique de cette quation diffrentielle est y(t) = et +t, ce quipermet de comparer les solutions numrique et analytique et de constater lacroissance de lerreur. On peut aussi comparer les rsultats la figure 7.2.

    Mthode dEuler explicite :y(t) = y(t) +t + 1

    ti y(ti) yi |y(ti) yi|0,0 1,000 000 1,000 000 0,000 0000,1 1,004 837 1,000 000 0,004 8370,2 1,018 731 1,010 000 0,008 7310,3 1,040 818 1,029 000 0,011 8180,4 1,070 302 1,056 100 0,014 2200,5 1,106 531 1,090 490 0,016 0410,6 1,148 812 1,131 441 0,017 371

    0,7 1,196 585 1,178 297 0,018 2880,8 1,249 329 1,230 467 0,018 8620,9 1,306 570 1,287 420 0,019 1501,0 1,367 879 1,348 678 0,019 201

    Les rsultats prcdents nous amnent parler de prcision et donc der-

    reur. La figure 7.2 montre une lgre diffrence entre la solution numrique etla solution analytique. On peut se demander comment se comporte cette erreuren fonction du pas de temps h. La dfinition qui suit aidera apporter unerponse. Elle sapplique la plupart des mthodes tudies dans ce chapitre.

    Dfinition 7.8Une mthode de rsolution dquations diffrentielles est dite un passi elleest de la forme :

    yn+1=yn+h(tn, yn) (7.4)

    o est une fonction quelconque. Une telle relation est appelequation auxdiffrences. La mthode est un pas si, pour obtenir la solution en t= tn+1,on doit utiliser la solution numrique au temps tn seulement. On dsignemthodes pas multiplesles mthodes qui exigent galement la solution nu-mrique aux temps tn1, tn2, tn3 .

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    quations diffrentielles 347

    Solution analytique1,40

    1,35

    1,30

    1,25

    1,20

    1,15

    1,10

    1,05

    Solution numrique (h= 0,1)

    1,00

    0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

    Figure 7.2 Mthode dEuler explicite : y(t) = y(t) + t + 1pour y(0) = 1

    La mthode dEuler explicite est bien sr une mthode un pas o(t, y) =f(t, y). Dans ce chapitre, lattention est principalement porte sur les mthodes un pas. Nous pouvons maintenant dfinir lordre de convergence de ces m-thodes.

    Dfinition 7.9On dira quun schma un pas converge lordre psi :

    max1nN

    |y(tn) yn| =O(hp) (7.5)

    o Nest le nombre total de pas de temps.

    Lordre de convergence dune mthode un pas dpend de lerreur com-mise chaque pas de temps via lerreur de troncature locale que nous allonsmaintenant dfinir.

    Dfinition 7.10Lerreur de troncature localeau point t= tn est dfinie par :

    n+1(h) =y(tn+1) y(tn)

    h (tn, y(tn)) (7.6)

    Lerreur de troncature locale mesure la prcision avec laquelle la solutionanalytique vrifie lquation aux diffrences 7.4.

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    Analyse numriquepour ingnieurs

    Quatrime dition

    Depuis plusieurs annes,

    lanalyse numrique connat un

    essor considrable et la plupart

    des facults de sciences et de gnie

    offrent au moins un cours dintroduc-

    tion cette discipline. La matrise de cetoutil extrmement performant est devenue

    indispensable dans la formation scientifique en

    gnral, et en particulier dans celle des ingnieurs,

    puisquelle permet daborder et de rsoudre des

    problmes dont la solution est inimaginable par les

    mthodes analytiques classiques. Ce livre couvre notam-

    ment lanalyse derreurs, les racines dquations algbri-

    ques, les systmes dquations linaires et non linaires, les

    techniques dinterpolation, la diffrentiation et lintgration

    numriques ainsi que les systmes dquations diffrentiellesordinaires. Lauteur met laccent sur la comprhension profonde

    des mthodes proposes plutt que sur la programmation, en pr-

    sentant chaque thme laide dexemples, de figures, de tableaux et

    dapplications.

    Ce livre sadresse aux tudiants en sciences et en gnie ainsi quaux ing-

    nieurs et aux scientifiques qui dsirent acqurir des connaissances et des

    habilets de base dans le domaine de lanalyse numrique.

    Andr Fortin est professeur au Dpartement de mathmatique


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