IntroductionModèles
OptimisationConclusion
Autour de la modélisation et de la simulation de la
diffusion d’un marqueur pour la localisation d’une
tumeur
Jocelyn MEYRON2A MMISEnsimag
28 mai 2014
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IntroductionModèles
OptimisationConclusion
1 Introduction
2 ModèlesPremier modèleDeuxième modèleComparatif
3 OptimisationPrésentationRésultats obtenus
4 Conclusion
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Sommaire
1 Introduction
2 Modèles
3 Optimisation
4 Conclusion
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Introduction
Répondre à une demande (Jean Luc COLL de l’institut AlbertBonniot) : déterminer la forme 3D des tumeurs de la peaudont la surface est visible sur l’épiderme
Injection d’un marqueur avant opération
Enlever le moins de tissus sains possible et le plus de tissuscancéreux
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Notations I
Tumeur : ω ⊂ R2 ou R
3
Points d’injection : P1, . . . ,PN ∈ R2 ou R
3
Quantités d’injection : q1, . . . , qN ∈ R+ dépendantes du temps
Injection du marqueur :N∑
i=1
qiδPi
Protocole : points et quantités d’injection
Dans la première partie, la forme, les points et les quantités serontsupposées fixés.
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Notations II
Points utilisés pour les simulations :
0
0.5
0 0.5
×
×
×
×
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Premier modèleDeuxième modèleComparatif
Sommaire
1 Introduction
2 ModèlesPremier modèleDeuxième modèleComparatif
3 Optimisation
4 Conclusion
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Premier modèleDeuxième modèleComparatif
Premier modèleMise en équation
Modèle simple :
concentration du marqueur : c
diffusion : k
dégradation : r
k et r ont des valeurs différentes entre l’intérieur et l’extérieur
∂tc = ∇ · (k∇c)− rc +
N∑
i=1
qiδPi
∂nc + αc = 0
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Premier modèleDeuxième modèleComparatif
Premier modèleFormulation variationnelle
Afin d’utiliser FreeFEM++ pour les simulations, il faut mettre leproblème sous forme variationnelle :
∫
Ω
∂tc v +
∫
Ω
k∇c∇v +
∫
∂Ω
kαcv +
∫
Ω
rcv − f = 0
Discrétisation en temps : ∂tc = cn+1−cn∆t
où ci (x) = c(x , t = ti)Finalement : trouver c ∈ V tel que ∀v ∈ V :∫
Ω
cn+1 − cn
∆tv+
∫
Ω
k∇cn+1∇v+
∫
∂Ω
ksainαcn+1v+
∫
Ω
rcn+1v−f = 0
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Premier modèleDeuxième modèleComparatif
Premier modèleTraduction dans FreeFEM++
mesh domaine = square(n, n);
fespace espace(domaine, P1);
espace u, u0;
espace v;
problem diffuse(u,v) = int2d(th)(u*v)
+int2d(th)(dt*(k*(dx(u)*dx(v)+dy(u)*dy(v))+r*u*v))
-int2d(th)(u0*v) +
int1d(th, 1, 2, 3, 4)(kts * alpha * u * v)
+fh[];
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Premier modèleDeuxième modèleComparatif
Premier modèleSimulations
Figure: Ellipse
Figure: Étoile
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Premier modèleDeuxième modèleComparatif
Deuxième modèle
Le premier modèle n’était pas convenable : pas de ralentissement àl’entrée dans la tumeur.Après recherche bibliographique, nous avons considéré le modèlesuivant (Chaplain et al)
∂tc = ∆ · (βc)−∇ · (αc∇v) +N∑
i=1
qiδPi
∂nc + γc = 0
où c est la concentration du marqueur, v la fonction caractéristiquede la tumeur, β le coefficient de diffusion et α le coefficientd’adhésion.
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Premier modèleDeuxième modèleComparatif
Deuxième modèleForme variationnelle
Via la même méthode, on trouve :∫
Ω
∂tc w +
∫
Ω
β∇c∇w +
∫
Ω
αc∇v∇w+
∫
∂Ω
αcw∂nv +
∫
∂Ω
βγcw − f = 0
et ∂tc =cn+1 − cn
∆t
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Premier modèleDeuxième modèleComparatif
Deuxième modèleSimulations
Figure: Ellipse
Figure: Étoile
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Premier modèleDeuxième modèleComparatif
Comparatif
1 Résultat final identique2 Dynamique différente : le second tient compte du
ralentissement du marqueur par « adhésion »
Dans la suite, on utilisera le second modèle.
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PrésentationRésultats obtenus
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3 OptimisationPrésentationRésultats obtenus
4 Conclusion
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PrésentationRésultats obtenus
Présentation
Les quantités ne sont plus fixées
Déterminer les quantités optimales à forme de tumeur etpoints d’injection fixés
Comment faire ?Idée : décomposer la solution u en fonction des quantités qi :
u =
N∑
i=1
qiui
avec ui associées aux quantités élémentaires
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PrésentationRésultats obtenus
Fonction objectif
Critère choisi :
Maximiser le contraste entre l’extérieur et l’intérieur de latumeur
Avoir une répartition homogène dans la tumeur
Cela se traduit par :
minq≥0
N∑
i=1
qi=qmax
F (q) = λ
(
∫
Ω\ωu −
∫
ω
u
)
+
∫
ω
|∇u|2
Équivalent à :
minCq≤d
F (q) = λ(b|q) +12tqAq
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PrésentationRésultats obtenus
Résultats obtenus
Quelques résultats :
Forme Quantités optimalesDisque (qmax
4, qmax
4, qmax
4, qmax
4)
Ellipse (a, b) = (0.2, 0.3) (0, 0, qmax
2, qmax
2)
Ellipse (a, b) = (0.3, 0.2) (qmax
2, qmax
2, 0, 0)
Étoile (7.2926, 0, 7.7074, 0)Croissant (qmax , 0, 0, 0)
Quelques résultats incohérents suivant le choix d’adapter lemaillage et du choix du nombre de mailles.
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1 Introduction
2 Modèles
3 Optimisation
4 Conclusion
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Conclusion
Critiques :
Choix de la fonction objectif
Choix du modèle
Incohérences obtenues durant l’optimisation pour certainesformes
Perspectives :
Points d’injection optimaux
Forme « optimale »
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