BILAN THERMIQUE
Conduction dans les solides
MISE EN EQUATION DU BILAN THERMIQUE
SOMMAIRE
Introduction
Mise en équation du bilan thermique
Cas simple du système cartésien monodimensionnel = cas du mur
Coordonnées cylindriques à symétrie axiale
Cas simple des coordonnées cylindriques à symétrie axiale avec L >> R
Cas simple des coordonnées sphériques à symétrie centrale
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Denis BARRETEAUJean - Stéphane CONDORET
Nadine LE BOLAY
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SOMMAIREGENERAL
2Introduction
INTRODUCTIONRetour
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Chaque terme du bilan sera explicité, puis nous nous intéresserons à des cas simples, comme un volume plan ou un volume cylindrique.
Dans ce chapitre, nous allons établir l’équation de conservation de l’énergie thermique par bilan sur un élément de volume.
= accumulation d'énergie interne
3Mise en équation
MISE EN EQUATION DU BILAN THERMIQUERetour
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V
flux de chaleur entrant
P
Ecrivons la conservation de l'énergie thermique dans un élément de volume de solide quelconque V
+ flux de chaleur générée
- flux de chaleur sortant
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V
P
dSn
On définit le vecteur normal unitaire orienté vers l'extérieur
flux de chaleur entrant - flux de chaleur sortant
= flux de chaleur à travers la surface
S
dSn.q
qest la densité de flux thermique
Remarque :Le signe moins est dû au fait que la normale est dirigée vers l'extérieur et que, par convention, tout ce qui entre dans le volume V est compté positivement.
Alors :
La chaleur entre dans l’élément et en sort par conduction.
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flux de chaleur générée = V
PdV
P est la puissance générée (au sens large) par unité de volume en J.s-1.m-3. Elle peut être générée dans l’élément par dégradation d’énergie électrique (effet joule), par fission ou comme le résultat d’une réaction chimique.
Il est compté positivement si il génère de l'énergie, et négativement si il en consomme.
V
P
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accumulation d'énergie interne = V
dVtU
Si U représente l'énergie interne par unité de masse
Dans le cas d'un solide, l'énergie interne par unité de masse U s'écrit :
T
pdCU
V
P
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flux de chaleur entrant
+ flux de chaleur générée - flux de chaleur sortant
= accumulation d'énergie interne
S V V
p dVCPdVdSn.qt
En transformant l'intégrale de surface en intégrale de volume (théorème de GREEN-OSTROGRADSKI) et en revenant à l'élément différentiel, on écrit alors :
t pCPqdiv
devient alors :
démonstration
Le bilan de conservation de l'énergie thermique
V
P
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t pCPqdiv
qest la densité de flux thermique,par conduction dans le cas de solidesqui s'exprime par la loi de Fourier :
Dans l'équation générale que nous venons de démontrer
dgraq
V
P
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Ces équations seront écrites dans les configurations géométriques habituelles, en utilisant les expressions des div et grad adaptées.
t pCPqdiv
dgraq
Dans le cas d’un système cartésien tridimensionnel
dz
dxdy
zy
x
0CP p tzyx
)(2
2
2
2
2
2
les équations ci-dessus conduisent à :
10Cas du mur Retour
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0CP p tx
2
2
0x
seule la variable x intervient.
0CP p tzyx
)(2
2
2
2
2
2
Il reste :
Dans l’équation générale
Considérons le mur représenté ci-dessous
CAS SIMPLE DU SYSTEME CARTESIENMONODIMENSIONNEL = CAS DU MUR
11Cylindre Retour
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r
r+dr
z z+dz
r
z
q r
q r+dr
q z
q z+dz
0CPrr1
p
tzrr
2
2
L’équation générale s’écrit dans ce cas :
COORDONNEES CYLINDRIQUES A SYMETRIE AXIALE
L >> RCAS SIMPLE DES COORDONNEES CYLINDRIQUES A SYMETRIE AXIALE AVEC L >> R
12Retour
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la variable z n'intervient plus. On a donc :
L
R
tr
PCPrrr
1
Dans l’équation générale
0CP p tzyx
)(2
2
2
2
2
2
13sphère Retour
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r
0CPrr1
p2
2
trr
L’équation générale s’écrit dans ce cas :
Les résultats présentés précédemment ont été obtenus d'une manière purement mathématique, certes élégante, mais peut être difficile à raccrocher au sens physique.
Vous trouverez sous ce lien une démonstration par bilan direct sur un élément différentiel (ici le cas cylindrique). On retrouve les résultats de l'équation générale, après adaptation et simplification, mais on visualise mieux la démarche.
démonstration
FIN CHAPITRE
CAS SIMPLE DES COORDONNEES SPHERIQUES A SYMETRIE CENTRALE