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MPSI C2 Analyser, expérimenter et modéliser les systèmes linéaires continus invariants

TD5 CHAP 4 : REPONSES TEMPORELLES

EXERCICE N°1 ASSERVISSEMENT DE VITESSE D’UNE CAMERA SPEEDCAM

L’étude porte sur la caméra de poursuite SPEEDCAM utilisée lors des événements sportifs pour filmer le sprint final des athlètes en tête de la course. La caméra est fixée sur un chariot se déplaçant sur un rail. Ce rail est le plus petit au monde permettant d’atteindre des vitesses supérieures à 15 m.s-1. Un capteur optique permet de mesurer la position de la caméra par rapport au coureur. Un calculateur détermine la consigne de vitesse nécessaire pour suivre le coureur, transmise sous forme de tension de commande à l’asservissement du chariot. Le chariot est asservi en vitesse comme le montre le schéma fonctionnel ci-dessous. Il doit satisfaire aux performances suivantes :

Exigences Critères Niveaux

Le SpeedCam doit être stable dépassement aucun

Le SpeedCam doit être rapide Vitesse maximale Temps de réponse

>15m.s-1 <0,5s

Le SpeedCam doit être précis Erreur en réponse à un échelon <5%

L’objectif de l’étude est de vérifier si les performances du cahier des charges ci-dessus sont vérifiées par le système Speedcam.

Schéma fonctionnel :

Le chariot est actionné par un moteur électrique piloté par sa tension d’entrée ( )mu t .

Cette tension est obtenue à l’aide d’un amplificateur fournissant une tension um proportionnelle à la tension

en sortie de correcteur ( )iu t avec un gain 500AK . Un capteur de vitesse mesure la vitesse ( )v t et renvoie

une information de tension ( )eu t proportionnelle à la vitesse ( )v t . Le gain du capteur est 10,3 .cK Vs m

Modélisation du comportement du chariot. Le chariot motorisé est relativement complexe, ce qui ne permet pas de donner à priori un modèle de

connaissance ( )B p comme pour le capteur de vitesse ou l’amplificateur. Afin de modéliser son

comportement, une mesure est réalisée afin de proposer un modèle simple représentatif. La courbe ci-

dessous montre la réponse obtenue par le capteur de vitesse lorsqu’un échelon de tension 0( ) . ( )mu t u u t

(avec 0 21u V ) est appliquée en entrée de ( )B p .

+ -

Correcteur Amplificateur Chariot motorisé

Capteur

Convertisseur + -

Vitesse consigne

Tension consigne

Tension moteur

Vitesse

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On choisit un modèle simple du premier ordre pour identifier le comportement du chariot, soit

( )1

KB p

p

où K et sont à déterminer à l’aide la courbe.

Q1 Identifier le choix d’un modèle du 1er ordre Q2 Déterminer à l’aide de la courbe la valeur de K

Q3 Déterminer par 3 méthodes la valeur de . A partir des 3 valeurs obtenues proposez une valeur de pertinente.

Etude des performances du système en boucle fermée On cherche maintenant à caractériser les performances du système asservi, c’est-à-dire la stabilité, rapidité

et précision, pour un correcteur proportionnel ( ) PC p K réglable. On supposera 11.PK s dans un

premier temps. Q4 Représenter le schéma-blocs complet de l’asservissement du chariot.

Q5 Calculer la fonction de transfert en boucle fermée

BF

c

V pH p

V p du chariot asservi. Quel est son ordre ?

Le système est-il stable ?

Q6 En appliquant le théorème de la valeur finale, déterminer la valeur de convergence lim ( )t

v t

pour une

entrée de type échelon pour t > 0. Conclure si le système est précis. Q7 Déterminer le temps de réponse à 5% du système. Le système est-il suffisamment rapide ? Comment

modifier PK pour améliorer la rapidité du système ? Quelle en sera la conséquence sur la précision ?

+ -

Vitesse du chariot motorisé v(t) en m.s-1

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EXERCICE N°2 EXERCICE DE COURS

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EXERCICE N°3 AMORTISSEUR MECANIQUE

L’objectif de l’étude est de déterminer les caractéristiques d’un système à partir de l’étude d’un résultat expérimental

Un dispositif mécanique ci-dessous est constitué d’une masse (3), située entre un amortisseur de tige (4) et de corps (5) relié en O1 au bâti et un élément élastique (2).

Le déplacement du point A est imposé et noté Xe(t). On veut caractériser le comportement de cet ensemble au travers de la relation entre l’entrée Xe(t) et la sortie Xs(t), déplacement de la masse (3). Les éléments de cette chaîne ont les caractéristiques suivantes :

- Le ressort (2) a une raideur k telle que l’action de (2) sur (3) : R(23) = k (Xe(t)-Xs(t))

- L’amortisseur [4+5] a un coefficient d’amortissement fluide tel que R(45) = .dXs(t)/dt

- Le PFD appliqué à la masse (3) donne : R(23) - R(45)=M3. d²Xs(t)/dt²

1. Montrer que le comportement de cette chaine est représenté par une équation différentielle du second ordre.

2. Mettre la transformée de Laplace de l’équation différentielle précédente sous la forme d’une fonction de transfert

d’un système du seconde ordre :( )

( )( )

Xs pH p

Xe p . Déterminer les expressions du coefficient d’amortissement z et

la pulsation propre 0 en fonction des caractéristiques de la chaîne.

3. Un déplacement Xe(t) du type échelon d’amplitude 10

mm provoque un déplacement Xs(t) de la masse

représenté sur le document réponse ci-contre. Déterminer

graphiquement la valeur du gain K.

4. Déterminer la valeur du coefficient d’amortissement à

partir du deuxième abaque du cours

5. Déterminer la valeur 0 à l’aide du premier abaque du

cours.

6. La masse en mouvement est de 0,5 kg. Déduire de ce

qui précède les valeurs numériques de et k qui

conviennent au modèle initial.

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EXERCICE N°4 ASSERVISSEMENT D’UNE UNITE DENTAIRE

(Inspiré de sujet de concours)

Le support de l’étude est une « unité dentaire » donne un extrait partiel du diagramme des exigences de son modèle ainsi qu’une description structurelle du système. Cet équipement a été conçu et réalisé dans le but d’une adaptabilité maximale aux différentes méthodes de travail des chirurgiens-dentistes. Le chirurgien-dentiste possède une pédale et un pupitre de commande qui lui permet de montrer ou descendre verticalement le corps du patient, de l'incliner plus ou moins, et de positionner sa tête. Grâce à cela, le patient peut prendre une position spatiale pertinente pour que le chirurgien puisse réaliser tous les actes médicaux.

L’objectif de l’étude est de vérifier le critère de l’exigence 1.4.1 concernant le temps de réponse du système permettant de mettre en position verticale le patient Pour régler le patient en position verticale, le chirurgien-dentiste appuie sur une pédale, plus ou moins fort. Un moteur électrique se met en route, sa vitesse de rotation dépendant de l'appuie plus ou moins profond du chirurgien-dentiste sur la pédale. La vitesse de rotation du moteur est réduite par un réducteur à engrenages. En sortie du réducteur à engrenages se trouve une vis, dont la rotation Ω v (p) entraîne, par un système vis écrou, la translation du siège en hauteur. L'ensemble peut se représenter par le schéma bloc suivant (le composant de fonction de transfert C(p) est un correcteur) :

Q.1. Donner le nom des composants qui correspondant aux fonctions de transfert H(p) et G(p).

Q.2. Déterminer la fonction de transfert en boucle fermée du système :

v

c

p

p

Q.3. En supposant les conditions initiales nulles (ce qui sera également supposé dans tout le reste de l'exercice), exprimer ces équations dans le domaine de Laplace. Q.4. Montrer que, dans le domaine de Laplace, la relation entre Ω m (p) et U(p) peut s'écrire sous la forme :

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2

0 0

2 11 ²

m p K

zU pp p

où K, z et ωo sont trois constantes à déterminer.

Si on utilise un correcteur proportionnel, l'application numérique des grandeurs physiques permet de trouver la fonction

suivante :

1

v T

c T

p K

p T p

avec KT=0,9 et TT=0,1s.

Q.5. Tracer l’allure de ωv(t) lorsque le chirurgien-dentiste demande un échelon de rotation ωc(t)=ωc0.u(t). Faire apparaître les grandeurs remarquables du tracé. Q.6. Déterminer le temps de réponse à 5% du système et effectuer l’application numérique. Conclure vis-à-vis du cahier des charges.

Le patient, initialement immobile, bouge verticalement selon le déplacement x(t) tel que : ( )

. ( )vv

dx ta t

dt avec

a=constante qui représente le pas réduit de la vis. Q.7. Déterminer la transformée de Laplace Xv(p) de xv(t).

Q.8. Déterminer

v

c

X p

p. Tracer l’allure de xv(t) lorsque le chirurgien-dentiste demande un échelon de rotation

ωc(t)=ωc0.u(t). Faire apparaître les grandeurs remarquables du tracé. Si on utilise un correcteur proportionnel, dérivé et intégral, l'application numérique des grandeurs physiques permet de

trouver la fonction suivante :

1

1 2 ²

v

c

p

p p p

Q.9. Tracer l’allure ωv(t) lorsque le chirurgien-dentiste demande un échelon de rotation ωc(t)=ωc0.u(t). Q.10. Déterminer si le temps de réponse à 5 % est plus faible ou plus grand que dans le cas précédent. Conclure vis-à-vis du cahier de charges.

EXERCICE N°5 ROBOT PREHENSEUR DE PIECES

(Inspiré de sujet de concours)

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L’objectif de l’étude est de vérifier le critère de l’exigence 1.2.1 concernant le temps de réponse du robot On donne le modèle de comportement de l'asservissement de position angulaire de l’axe du bras étudié sous la forme du schéma bloc qui suit (l'angle réel du bras est θb(t), l'angle de consigne est θc(t)).

Q.1. Déterminer le lien entre K 1 et K 7 pour que θb(p) soit asservi sur θc(p).

Q.3. Tracer l’allure de ωM (t) lorsque lorsque uM(t) est un échelon de tension d'amplitude U0. Préciser la valeur de ωM(t) à l'origine, la pente de la tangente à l'origine de ωM(t) et la valeur finale atteinte par ωM(t) quand t tend vers l’infini. Q.4. Déterminer la fonction de transfert H 4 (p).

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EXERCICE N°6 RADAR D’AVION

Le support d'étude est un radar d'avion dont on donne une description structurelle ainsi qu’un extrait de cahier des charges fonctionnel. Ce système permet notamment au pilote de détecter des engins extérieurs (avions, hélicoptères, bateaux, ...) et de connaître leur position. L'objectif de cette étude est de vérifier si l’asservissement proposé ici en phase de conception est compatible aux performances attendues par le client.

L’objectif de l’étude est de vérifier le critère de l’exigence concernant le temps de réponse du radar La solution proposée est un asservissement de position angulaire du radar : l'angle souhaité est θc(t), l'angle réel du radar est θr(t). La différence des deux angles est transformée en une tension u m (t), selon la loi um(t)=A.(θc(t)–θr(t)). La tension

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um(t) engendre, via un moteur de fonction de transfert H m (t), une vitesse angulaire ωm(t). Cette vitesse angulaire est réduite grâce à un réducteur de vitesse, selon la relation ωr(t)=B.ωm(t) (B<1), ωr(t) étant la vitesse angulaire du radar.

On donne la relation : ( ) ( )r r

dt t

dt

Q.1. Réaliser le modèle en schéma-bloc du système.

Q.2. Déterminer la fonction de transfert ( )

( )( )

mm

m

pH p

U p

Q.3. Montrer que Hm (p) peut se mettre sous la forme canonique ( )1

mm

m

KH p

T p

et déterminer les expressions littérales

de Km et Tm. Q.4. Tracer l’allure de ωm(t) lorsque um(t) est un échelon de tension d'amplitude u0. Exprimer le résultat en fonction de Km , Tm et u0 . Préciser la valeur de ωm(t) à l'origine, la pente de la tangente à l'origine de ωm(t) et la valeur finale atteinte par ωm(t) quand t tend vers l’infini en utilisant les différents théorèmes.

Q.5. Déterminer la fonction de transfert( )

( )( )

r

c

pH p

p

. Montrer que cette fonction peut se mettre sous la forme

2 2

0 0

2 11 ²

K

zp p

Déterminer les constantes K, z et ω 0 en fonction de Km , Tm , A et B.

La réponse à un échelon unitaire (réponse indicielle) obtenue à partir d’une simulation du système de fonction de transfert H(p) est donnée sur la figure suivante :

Q.6. Déterminer, en expliquant la démarche utilisée, les valeurs numériques de K, z et ω0.

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Q.7. Déterminer le temps de réponse à 5%. Conclure quant à la capacité du système proposé par le bureau d’étude à vérifier le critère de rapidité du cahier des charges.

EXERCICE N°7 ETUDE D’UNE ANTENNE PARABOLIQUE

La réception de chaînes de télévision par satellite nécessite un récepteur / décodeur et une antenne parabolique. Pour augmenter le nombre de chaînes reçues, l’antenne doit pouvoir s’orienter vers un plusieurs satellites différents. Le satellite choisi dépend de la chaîne demandée. Tous les satellites de radiodiffusion sont situés sur l’orbite géostationnaire à 36000 km au-dessus de l’équateur. Le réglage de l'orientation l'antenne ne nécessite donc qu'une seule rotation, autour d'un axe appelé axe d'azimut. On donne une description structurelle du système ainsi qu’un extrait partiel de cahier des charges fonctionnel.

L’objectif de l’étude est de déterminer le réglage de l’amplificateur à programmer dans la carte de commande de la parabole afin de respecter le critère de rapidité du cahier des charges

L'axe d'orientation d'azimut utilise un dispositif de réduction de vitesse (engrenages et roue et vis sans fin). Si on note ωa(t) la vitesse de rotation de l'axe d'orientation et ωm(t) la vitesse de rotation du moteur, on a la relation suivante :

( ) 1 1

( ) 23328

a

m

t

t N

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Le modèle de connaissance du moteur à courant continu est le suivant :

Q.1. Exprimer ces équations dans le domaine de Laplace. Toutes les conditions initiales seront nulles, et considérées comme telles dans la suite de l'exercice. Q.2. Réaliser le schéma-bloc du moteur.

Q.3. Déterminer la fonction de transfert ( )

( )( )

m

m

pH p

U p

. Montrer que H(p) peut se mettre sous la forme canonique :

2 2

0 0

( )2 1

1 ²

KH p

zp p

Déterminer les valeurs littérales K, z et ω 0 en fonction des constantes fournies.

On note me

m

L

Rla constance de temps électrique du moteur, et m m

m

e m

R J

K K la constance de temps mécanique du

moteur. On suppose que le temps d'établissement du courant est bien inférieur au temps de mise en mouvement de

toute la mécanique, ce qui revient à dire que e m.

Q.4. Montrer alors que la fonction de transfert du moteur peut s’écrire ( )(1 )(1 )e m

KH p

p p

On soumet le moteur à un échelon de tension d'amplitude U0 : um (t)=U0.u(t). Q.5. Justifier que la fonction ωm(t) aura une tangente à l'origine horizontale.

Par la suite on ne considère que le pôle dominant et on approxime la fonction H(p) par (1 )m

K

p

Q.6. Tracer l’allure de ωm(t) en faisant apparaître les grandeurs caractéristiques de la réponse temporelle. Donner

l'expression analytique de ωm(t), en fonction de K, m et U0.

On donne m = 0,012 s et K = 45rad.s−1 .V−1 . La tension nominale d'utilisation est U0 = 18V. Q.7. Montrer que le moteur n'excède pas sa valeur limite de rotation, qui est de 8000 tr/min. La chaîne d'asservissement complète est donnée sur le schéma bloc suivant (θac est l'angle consigne que l'on souhaite faire

prendre à l'antenne ; θa l’angle réel de l'antenne, défini par ( ) ( )a a

dt t

dt ; Ka est un gain constant).

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Q.8. Déterminer les fonctions de transfert de G(p) et M(p).

Q.9. Déterminer la fonction de transfert boucle fermée ( )

( )

a

ac

p

p

montrer que c'est une fonction du 2 ème ordre et déterminer

l'expression littérale de son gain KT, de son coefficient d'amortissement zT et de sa pulsation propre non amortie ω0T. Q.10. Conclure en déterminer le gain de l’amplificateur Ka à programmer pour que le système puisse satisfaire le critère de rapidité du cahier des charges.