BADJI-MOKHTAR-ANNABA UNIVERSITY UNIVERSITE BADJI-MOKHTAR-ANNABA
Faculte des sciences de lingenieur Annee 2007
Departement de Genie Civil
THESE
Presente en vue de lobtention du diplome de DOCTORAT DETAT
CALCUL DES DEPLACEMENTS DUN PIEU SOUMIS A DES CHARGES DYNAMIQUES
Option
Geotechnique
Par
SALAH MESSAST
DEVANT LE JURY
PRESIDENT : B. REDJEL Professeur Universite de Annaba EXAMINATEURS : F. HABITA Professeur Universite de Annaba M. HAMAMI Professeur Universite de Skikda K. ABECHE M.C Universite de Bantna
ENCADREUR : AHMED BOUMEKIK Professeur Universite de Constantine
IV
Remerciements
Ce travail a t ralis sous la direction du Professeur A. Boumekik, quil trouve
ici le tmoignage de ma profonde reconnaissance pour ces encouragements incessants et son soutien moral durant les priodes les plus difficiles de la ralisation de ce travail.
Je remercie le Professeur B. Redjel davoir accept de prsider le jury de
soutenance de cette thse. Mes vifs remerciements sont adresss Messieurs F. Habita, M. Hamami et K.
Abbeche qui ont bien voulu examiner ce travail. Je remercie galement Messieurs E. Flavigny et M. Boulon respectivement
Professeur et Professeur Emrite lUniversit Joseph Fourier pour les critiques apportes ce travail et les moyens mis ma disposition lors de mes stages au sein de leur laboratoire (3S).
II
Rsum
Beaucoup douvrages sont fonds sur des pieux tels que les ponts, les structures
offshores, les centrales nuclaires, les grandes tours . etc. Ltude de la rponse dynamique des pieux constitue un lments important dans la scurit et la durabilit de ces ouvrages. Dans cette thse une mthode combine Elment Finis Elments Frontires est prsente pour ltude de la rponse des pieux sous diffrents schmas de chargement statique ou harmonique. Le pieu est plac dans un sol viscolastique linaire. La mthode utilise se base sur la technique de dcomposition du systme sol-pieu, qui permet de sparer les effets du sol et du pieu sur la rponse du systme, en imposant la fin la condition de compatibilit des dplacements. Le pieu est discrtis en lments poutres, sa matrice de rigidit sobtient par la superposition de la matrice caractrisant la rigidit dun pieu fictif et celle reprsentant la contribution du sol dans la rponse du systme. Cette dernire et la matrice de flexibilit du sol adjacent sobtiennent en utilisant la technique des lments frontires, combine avec la mthode des couches minces.
La comparaison des rsultats obtenus par la prsente mthode et ceux cits dans diffrentes rfrences bibliographiques, confirme la fiabilit de cette mthode et sa bonne adaptation la dtermination de la rponse des pieux sous charges statiques et dynamiques.
Pour tudier linfluence des diffrents paramtres sur la rponse dynamique des pieux, une tude paramtrique a t mene sur la rponse dun pieu flottant libre sa tte, plac dans un sol viscolastique, soumis une charge harmonique verticale. Mots cls : Pieu, Sol, Vibration harmonique, BEM, FEM, Dplacement.
III
Abstract Many structures are founded on pile foundation as bridges, offshore structures,
nuclear plants, higt buldings . etc. The study of the dynamic response of the piles constitutes an important element in the security and the durability of these structures. In this thesis a combined method Finite Elements Method Boundary Elements Method is presented for the study of the piles response under static or harmonic loading. The pile is emdidded in a viscoelastic soil. This method is based on the technique of the decomposition of the soil-pile system, which permits to separate the effects of soil and the pile on the response of the total system, while imposing the condition of compatibility of the displacements at the end. The pile is discrtized in elements of beams, its matrix of rigidity can be given by the superposition of the matrix characterizing the rigidity of the fictional pile and the one which representing the contribution of soil in the response of the system. This last and the matrix of flexibility of the adjacent soil can be given by using the technique of the Boundary Elements, combined with the thin layers method.
The comparison of the results gotten by the present method and those mentioned in different bibliographic references, confirm the reliability of this method and its good adaptation to the determination of the response of the piles under static and dynamic loads.
To study the influence of the different parameters on the dynamic response of the pile, a parametric survey has been led on the response of a free floating pile in its head, placed in a viscoelastic soil, the pile is submitted to a vertical harmonic load. Key words: Pile, Soil, Harmonic vibration, BEM, FEM, Displacement.
V
Tables
N Dsignation page 1.1 Facteur rhologique pour divers types de sols (daprs Fascicule 62 ,
1992)
17
1.2 Valeurs recommandes pour nh et pour les sables sous chargements
statiques et cycliques
26
1.3 valeurs recommandes pour , , ' dans la cas des argiles 27
4.1 Comparaison de limpdance verticale normalise par sa correspondante
85
4.2 Comparaison des compliances horizontales normalises
86
4.3 Comparaison des compliances normalises de couplage
86
4.4 Comparaison des compliances normalises de basculement
87
VI
Figures
N Dsignation Page 1.1 Dfinition dun pieu 6 1.2 Courbe typique de transfert de charge daprs Coyle et Reese 15 1.3 Discrtisation du pieu dans le sens vertical daprs Coyle et Reese 15 1.4 Courbe P-y dans le cas de sollicitations de courte dure en tte
dominantes 18
1.5 Courbe P-y dans le cas de sollicitations accidentelles trs brves en tte dominantes
19
1.6 Forme caractristique de la courbe p-y daprs Det Norske Veritas (1977)
23
1.7 Schmatisation dune fondation de Winkler 32 2.1 Modle de Voigt 42 3.1 Systme sol-pieu 47 3.2 Dcomposition du systme sol-pieu 49 3.3 discrtisation du sol et du pieu dans la direction verticale 50 3.4 Discrtisation horizontale de la poutre de sol 63 3.5 Degrs de libert dune section du pieu 66 3.6 Elment fini poutre 71 4.1 Systme sol-pieu 79 4.2 Dplacement vertical le long du pieu 83 4.3 Dplacement latral d une charge horizontale 84 4.4 Dplacement latral d un moment de basculement 84 4.5 Influence de la rigidit relative Partie relle du dplacement
horizontal 88
4.6 Influence de la rigidit relative Partie imaginaire du dplacement horizontal
89
4.7 Influence de la rigidit relative Partie relle du dplacement vertical 89 4.8 Influence de la rigidit relative Partie imaginaire du dplacement
vertical 90
4.9 Influence du coefficient damortissement Partie relle du dplacement horizontal
91
4.10 Influence du coefficient damortissement Partie imaginaire du dplacement horizontal
91
4.11 Influence du coefficient damortissement Partie relle du dplacement vertical
92
4.12 Influence du coefficient damortissement Partie imaginaire du dplacement vertical
92
4.13 Influence de la masse relative Partie relle du dplacement 93
VII
horizontal 4.14 Influence de la masse relative Partie imaginaire du dplacement
horizontal 94
4.15 Influence de la masse relative Partie relle du dplacement vertical 94 4.16 Influence de la masse relative Partie imaginaire du dplacement
vertical 95
4.17 Influence du coefficient de Poisson Partie relle du dplacement horizontal
96
4.18 Influence du coefficient de Poisson Partie imaginaire du dplacement horizontal
96
4.19 Influence du coefficient de Poisson Partie relle du dplacement vertical
97
4.20 Influence du coefficient de Poisson Partie imaginaire du dplacement vertical
97
4.21 Influence de llancement Partie relle du dplacement horizontal
98
4.22 Influence de llancement Partie imaginaire du dplacement horizontal
98
4.23 Influence de llancement Partie relle du dplacement vertical
99
4.24 Influence de llancement Partie imaginaire du dplacement vertical 99
VIII
Notations
Symbole Dsignation Masse volumique E Module dlasticit longitudinal G Module de cisaillement dformation u dplacement contrainte Coefficient de Poisson Constante de lam B Diamtre du pieu L Longueur du pieu D Profondeur du substratum Frquence dexcitation a Frquence adimensionnelle Cs Vitesse de propagation donde de cisaillement Ux Dplacement horizontal Uy Dplacement vertical Re Partie relle Im Partie imaginaire t Temps r Rayon dun disque P Vecteur charge U Vecteur dplacement K Matrice de rigidit totale du pieu F Matrice de flexibilit fij Fonction de Green Coefficient damortissement matriel Coefficient damortissement radiatif M Matrice de masse Lr Rapport dlancement du pieu hr Profondeur relative du substratum er Rigidit relative mr Masse relative ns Rapport de discrtisation verticale nd Rapport de discrtisation horizontale Qpl Charge limite de pointe qpl Rsistance unitaire du sol sous la pointe Ap Section droite de la pointe Qsl Charge limite par frottement qsli Rsistance unitaire du sol due au frottement latral
IX
Qc Charge de fluage qp Contrainte verticale effective due au poids des terres au niveau de la
pointe du pieu Nq Facteur de portance c La cohsion ou Angle de frottement interne
'vq Contrainte effective verticale moyenne
uC Cohsion non draine moyenne 'cq Pression de surconsolidation
s Tassement dun pieu ks module de raction du sol y Dplacement latral I Moment dinertie de la section du pieu z Transfert de charge la profondeur z EM Module pressiomtrique
X
Tables des matires
Rsum (Arab) ...I Rsum ..II Abstract..III Remerciement ....IV Tables ..........V Figures ...VI Notations .VIII Tables des matires ...........X Introduction Gnrale .1 Chapitre 1. Elments bibliographiques 5
1.1 Introduction ...5 1.2 Dimensionnement des pieux selon le D.T.R. BC 2.33.2 7
1.3 Mthodes bases sur les courbes de transfert de charge (modle de Coyle et Reese) 14 1.4 Modle de Davis-Poulos Midlin ..16 1.5 Courbe de raction P-Y ..16 1.6 Approches bases sur le principe de Winkler ..30 1.7 Approches bases sur la mthode des lments finis ..32 1.8 Approches bases sur les fonctions de Green ..33 1.9 Approche propose dans cette thse 35
Chapitre 2. Comportement dynamique des sols 37 2.1 Introduction.37 2.2 Charges dynamiques .. ...37 2.3 Actions dynamiques dans le sol.....38 2.4 Equation donde ..39 2.5 Ondes harmoniques ..40 2.6 Comportement des sols sous chargement dynamique ...41 2.6.1 Amortissement interne ou matriel ...42 2.6.2 Principe de correspondance 44 2.6.3 Amortissement radiatif ..44 2.6.4 Module de cisaillement ...44 Chapitre 3. Calcul des dplacements du pieu .47 3.1 Modle de calcul 47 3.1.1 Hypothses de la mthode ..48 3.1.2 Dcomposition du systme sol-pieu ...48 3.1.3 Discrtisation du systme sol-pieu 50
3.2 Calcul de la matrice de rigidit de al poutre de sol 51 3.2.1 Dtermination des fonctions de Green dans un sol multicouches Axisymtrique ..51 3.2.1.1 Procdure gnrale de calcul ...52
XI
3.2.1.2 Vibrations non axisymtriques dans un sol axisymtrique ..53 3.2.1.2.1 Formulation du problme dans le domaine frquentiel en coordonnes cylindriques ..54
3.2.1.2.2 Dcomposition en srie de Fourier dans la direction tangentielle ...56 3.2.1.2.3 Dcomposition en fonctions cylindriques dans la direction radiale 59 3.2.1.2.4 Equation du mouvement dans le domaine des nombres dondes 60
3.2.2 Reprsentation intgrale du champ de dplacements .62 3.2.3 Discrtisation des sections 63 3.2.4 Reprsentation discrte des dplacements .63 3.2.5 Calcul de la matrice de flexibilit du sol discrtis ...65 3.2.6 Conditions de rigidit et dquilibre des sections ..66 3.2.7 Matrice de rigidit de la poutre de sol .70 3.3 Matrice de rigidit et de masse du pieu fictif 70 3.3.1 Matrice de rigidit ..71 3.3.2 Matrice masse 72 3.3.3 Matrice de rigidit et de masse dans le repre globale ...72 3.4 Equation du mouvement du pieu ..73 3.5 Modle quivalent .75 3.5 Programme et procdure de calcul 75
Chapitre 4. Rsultats et analyse paramtrique 78 4.1 Dfinition des paramtres de lanalyse .79 4.2 Paramtres de convergence ...80 4.3 Validation des rsultats .81 4.3.1 Cas statique 82 4.3.2 Cas dynamique 85 4.3.2.1 Mode vertical ..85 4.3.2.2 Modes coupls de translation horizontale et de basculement ..86 4.4 Applications ..87 4.4.1 Influence de la rigidit relative ..88 4.4.2 Influence de lamortissement 90 4.4.3 Influence de la masse relative 93 4.4.4 Influence du coefficient de Poisson ...95 4.4.5 Influence de llancement du pieu 98 Conclusion 102 Rfrences ...106 Annexe ..114
Introduction
1
Introduction
Le mtier de lingnieur consiste dvelopper des techniques innovantes
permettant de repousser sans cesse la limite du constructible. Celui-ci cherche btir
plus haut (gratte-ciels) et plus important (centrales nuclaires), franchir des coupures
plus larges (ponts de grandes portes, tunnel sous la Manche) ou dans des conditions
toujours plus difficiles : dans des sols rputs de mauvaise qualit, sur des terrains
gagns sur la mer, dans des environnements hostiles (grands barrages de montagne).
La bonne conception et le bon dimensionnement des fondations constituent un
lment trs important dans la scurit et la durabilit des ouvrages. Il existe deux
grands types de fondations superficielles et profondes selon limportance de louvrage
et la portance du sol. Lorsque le sol de fondation en surface na pas les proprits
mcaniques suffisantes pour supporter les charges par lintermdiaire de fondations
superficielles, soit que sa rsistance soit trop faible, soit que les tassements prvus
soient prjudiciables la construction, on fait appel des fondations profondes.
Beaucoup douvrages importants sont gnralement fonds sur des pieux tels que les
ponts, les centrales nuclaires, les structures offshores, les tours grandes hauteurs, les
fondations pour machinesetc.
On distingue plusieurs types de pieux. Traditionnellement les pieux sont classs
(Frank 1999), soit suivant la nature du matriau constitutif (bois, mtal, bton,), soit
suivant le mode dintroduction dans le sol (pieux battus, pieux fors).
Jusqu un pass relativement rcent, la conception des pieux soumis des
charges dynamiques se faisait par les mthodes de calcul statique moyennant des
coefficients de majoration dynamiques. Au cours des dernires dcennies, les exigences
des structures modernes en terme de scurit et dconomie dune part et le
Introduction
2
dveloppement des moyens de calcul numrique dautre part ont donn de fortes
impulsions lanalyse rationnelle des vibrations des pieux.
Une conception destine fonctionner en conditions dynamiques doit satisfaire les
phases suivantes :
- Dfinition de la rupture ; cest mettre en vidence les critres de rupture. En
gnrale ils sont dcrits en termes de limitation des valeurs de lacclration, de
la vitesse ou du dplacement.
- Evaluation des charges dynamiques sollicitant le pieu qui peuvent tre gnres
soit par des sources naturelles telles que les sismes, le vent et les rez de marre,
ou des sources artificielles telles que les vibrations des machines, le trafic, les
explosions
- Etablissement des relations entre les charges appliques et les dformations
rsultantes.
- Dtermination du facteur de scurit appliquer aux rsultats obtenus, qui
dpend des caractristiques de louvrage et des approximations faites lors du
calcul.
La troisime phase ci-dessus constitue ltape cl dans le calcul dynamique des pieux et
prsente actuellement un sujet dintrt pour plusieurs chercheurs.
Lanalyse du comportement dynamique dun pieu revient fondamentalement
rsoudre les quations de propagation dondes dans un milieu htrogne sol-pieu. La
prise en considration de la flexibilit du pieu rend le problme si complexe que les
solutions analytiques ne sont pas faciles formuler. De ce fait le recours aux mthodes
de rsolution numriques est invitable. Nous citons particulirement la Mthode des
Elments Finis et la Mthode des Elments Frontires qui se gnralisent de plus en
plus pour tous les types de problmes en vertu des avantages quelles prsentent.
La mthode des lments finis a t le premier outil numrique utilis dans les
problmes dinteraction dynamique sol-pieu. Cette mthode tire sa puissance de son
adaptation facile aux problmes de gomtries complexes et de fortes htrognits. A
Introduction
3
cause de la nature infinie du sol, lapplication de la mthode dans le domaine
dinteraction dynamique sol-structure ncessite lutilisation de frontires appropries.
Ces dernires sont conues de manire liminer les rflexions dondes vers lintrieur
du modle discrtis. Ce problme a t le sujet dintrt de plusieurs chercheurs depuis
les annes 1970. Nous citons, Lysmer et kuhlmeyer, Wass, Smith et dautres.
La mthode des lments frontires est mieux adapte pour les problmes
dinteraction dynamique sol-structure du fait quelle est base sur des solutions
analytiques automatiquement satisfaisant les conditions de radiation linfini. Ainsi la
discrtisation se limite une partie de la frontire du milieu infini et le nombre
dlments utiliser se trouve fortement rduit, ce qui permet un gain de mmoire et de
temps de calcul. Cependant, cette mthode prsente certains inconvnients qui se
rsument en : son adaptation difficile aux problmes non-linaires, de fortes
htrognits matrielles et de gomtries complexes.
Une approche alternative a t dveloppe et consiste en la combinaison des deux
mthodes (lments finis, lments frontires) afin de pouvoir tirer profit de leurs
avantages et liminer leurs inconvnients individuels. Cette technique a t
intensivement utilise par plusieurs chercheurs, pour ltude des problmes complexes
dinteraction dynamique sol-structure. Dans cette approche la structure (fondation ou
pieu) est en gnral modlise par lments finis et le sol par lments frontires.
Dans ce travail une mthode combine lments finis lments frontires est
prsente pour ltablissement des relations charges dplacements pour un pieu
flexible plac dans un sol multicouche soumis trois modes de chargement
harmoniques : translation horizontale et verticale et un moment de basculement et ce
pour diffrentes frquences dexcitation. Cette mthode est base sur les solutions
fondamentales (fonctions de Green) obtenues partir de la mthode des couches minces
par Kausel et al.
Dans ce travail on va traiter les points suivants :
- Prsentation du concept gnral de cette approche
Introduction
4
- Validation de la mthode prsente
- Etude paramtrique de la rponse statique et dynamique dun pieu plac dans un
sol homogne.
Le manuscrit de cette thse est organis comme suit :
Un premier chapitre consacr une recherche bibliographique concernant les mthodes
utilises dans le calcul de la rponse des pieux.
Un deuxime chapitre sur les notions et les dfinitions gnrales de la propagation
donde et le comportement dynamique des sols.
Un troisime chapitre qui prsente le modle de calcul et les quations de mouvement
du systme.
Un quatrime chapitre destin aux rsultats et applications.
Enfin on termine par une conclusion gnrale et quelques perspectives.
Chapitre 1 Elments bibliographiques
5
Chapitre 1
Elments bibliographiques 1.1 Introduction
Les pieux sont gnralement utiliss comme fondations profondes pour les
grands ouvrages tels que les centrales nuclaires, les ponts, les tours, les structures
offshores ou lorsque les couches de sol proches de la surface prsentent des
caractristiques mcaniques faibles.
Le dveloppement de solutions efficaces pour lanalyse de la rponse statique et
dynamique des pieux, est trs important pour la scurit et la stabilit des grandes
structures et surtout en situations accidentelles (sisme, explosion, choc, .)
Un pieu est une fondation lance qui reporte les charges de la structure sur des
couches de terrain de caractristiques mcaniques suffisantes pour viter la rupture du
sol et limiter les dplacements des valeurs trs faibles. Un pieu est compos de trois
parties essentielles ; la tte, la pointe et le ft compris entre la tte et la pointe. Daprs
le D.T.R. BC 2.33.2 (Mthodes de calcul des fondations profondes, 1994), une
fondation est considre comme profonde lorsque L/B 6 et L 3m (figure 1.1), avec
L : longueur du pieu et B : diamtre du pieu.
Chapitre 1 Elments bibliographiques
6
Les sollicitations sexerant sur une fondation profonde sont de deux types :
- Sollicitations statiques ou dynamiques dues louvrage support
- Sollicitations dues au sol en contact avec la fondation (frottement ngatif,
pousse horizontale des terres, sisme..)
Figure 1.1 Dfinition dun pieu
La capacit portante dun pieu est le minimum des deux valeurs suivantes
(Prakash et Sharma, 1990) :
- La charge admissible obtenue par division de la charge ultime de rupture par un
coefficient de scurit.
- La charge correspondant un dplacement admissible.
Les mthodes de calcul de la capacit portante des pieux dpendent de deux
facteurs importants : le type de sol o est plac le pieu et la nature de la charge
applique sur le pieu (verticale ou horizontale).
Lanalyse des pieux soumis des charges dynamiques tait aussi longtemps
limite la dtermination de la frquence propre de vibration du systme sol-pieu et ce
dans le but dviter la rsonance qui peut avoir lieu sous leffet des vibrations forces
B
Pieu
Couche de sol mdiocre
Couche de sol dancrage
L
Chapitre 1 Elments bibliographiques
7
(Richart et al 1970 et Buzdugan 1972). Pour les vibrations horizontales, la pulsation
propre est calcule aprs dtermination de ce qui est appel lquivalent cantilever, ceci
en supposant un encastrement total du pieu une certaine profondeur partir de la
surface (longueur du cantilever). Pour les vibrations verticales la technique nest
applique quaux pieux portants, en les considrant comme des barres encastres leurs
bases.
A la diffrence des fondations superficielles, la difficult essentielle du calcul de
la rponse dynamique des pieux rside en la ncessit de prise en compte de la
flexibilit longitudinale. Dautant plus, il est important de considrer la non
homognit mcanique du sol dans la direction verticale qui est due laugmentation
des pressions de confinement avec la profondeur.
Plusieurs solutions ont t tablies, en se basant sur des idalisations et des
hypothses permettant de simplifier le comportement complexe du systme sol-pieu.
D au fait que la pratique de fondation sous charges dynamiques est confronte
gnralement des frquences modres et que les pieux sont suffisamment lancs,
lhypothse de base commune pour la majorit des mthodes existantes est la
modlisation unidimensionnelle du pieu (Kuhlmeyer R. L, 1979 ; Rajapakse, 1988).
Les critres de rupture couramment utiliss imposent au pieu de faibles
amplitudes (dformation 410
Chapitre 1 Elments bibliographiques
8
- Pour les efforts transmis suivant laxe de la fondation, par le frottement latral dans les
couches rsistantes et leffort de pointe sexerant sous la base de la fondation.
- Pour tous les autres efforts, par la raction du sol dans les zones o le dplacement du
pieu dans le sens des efforts est suprieur celui du sol encaissant.
Lanalyse du comportement dune fondation profonde ncessite la connaissance de la
nature et des caractristiques du sol, des mthodes dexcution envisages pour la
ralisation de la fondation et la nature du comportement de la structure fonder.
1.2.1 Pieu isol sous charges axiales
Le D.T.R. BC 2.33.2 dfinie trois types de charge pour le dimensionnement des pieux :
-La charge limite
Cest la charge qui correspond la rupture du sol. Cette charge quilibre au moment de
la rupture par :
- la charge limite de pointe (Qpl)
Qpl = qpl.Ap (1.1)
O qpl est la rsistance unitaire du sol sous la pointe et Ap la section droite de la
pointe.
- la charge limite par frottement (Qsl)
=
=n
1isliisl qhpQ (1.2)
Chapitre 1 Elments bibliographiques
9
O qsli est la rsistance unitaire du sol due au frottement latral la traverse de
la couche (i).
P est le primtre du pieu.
n est le nombre de couches traverses par le pieu.
La charge limite dun pieu est la somme des deux composantes prcdentes :
Ql = Qpl + Qsl (1.3)
Conventionnellement, Ql pourrait tre dfinie comme la charge correspondante un
enfoncement de la tte du pieu gal B/10 lors dun essai de chargement.
-Charge de fluage
Charge au-del de laquelle, lenfoncement du pieu ne se stabilise plus dans le temps
sous charge constante. Qc est lie approximativement aux charges limites de pointe et de
frottement latral, selon les relations suivantes en fonction du mode de mise en place du
pieu dans le sol.
Pieu refoulant le sol :
5,1Q
5,1Q
5,1Q
Q lslplc =+= (1.4)
Pieu ne refoulant pas le sol :
5,1Q
2Q
Q slplc += (1.5)
Pieu travaillant larrachement :
,0Qpl = 5,1Q
Q slc = (1.6)
Chapitre 1 Elments bibliographiques
10
- Charge nominale
Cest la charge que peut supporter le pieu en demeurant stable vis--vis du sol.
1.2.1.1 Mthodes de calcul prvisionnelles de Ql
Le rglement prsente les mthodes qui font appel, soit des essais de laboratoire, soit
des essais en place : pntromtre statique, prssiomtre, SPT, Pntromtre
dynamique.
Les mthodes de calcul partir des essais de laboratoire reposent sur la dtermination
des caractristiques de cisaillement :
-Caractristiques effectives : (c et ) pour les sols pulvrulents (sables, gravier), les
argiles surconsolides et les marnes.
- Caractristiques apparentes : (cu et u=0) pour les argiles et limons saturs.
Ces caractristiques sont parfois difficilement mesurables en laboratoire et les valeurs
des rsistances latrales et de pointe dun pieu varient dans de trs fortes proportions
avec ces caractristiques. Dans ces conditions, les mthodes de calcul bases sur des
essais de laboratoires ne seront utilises que pour un prdimensionnement de louvrage.
Le dimensionnement dfinitif doit se faire partir des mthodes de calcul bases sur les
rsultats des essais en place.
1.2.1.2 Rsistance de pointe
Pieux ancrs dans des sols pulvrulents (sable, gravier)
qpl = qp Nq (1.7)
Chapitre 1 Elments bibliographiques
11
qp contrainte verticale effective due au poids des terres au niveau de la pointe du pieu.
Nq facteur de portance donne en fonction de (D.T.R. BC 2.33.2).
Pieux ancrs dans largile
Argile, limons sturs (u=0)
cupl NCq = (1.8)
Avec Nc =9 pour B4D
Cu est la cohsion non draine moyenne au niveau de la pointe du pieu.
Argile surconsolide, marne (C=0, )
qpl = qp Nq (1.9)
qpl ne doit pas dpasser 10 15 MN/m2 dans le cas des sables siliceux et 3 5 MN/m2
dans le cas des calcaires non ciments.
1.2.1.3 Rsistance due au frottement latral
Pieux ancrs dans les sols pulvrulents :
'vsl qq = (1.10)
qv contrainte verticale effective due au poids des terres au niveau de la pointe du pieu
est un facteur donne en fonction de (D.T.R. BC 2.33.2).
Chapitre 1 Elments bibliographiques
12
Pieux ancrs dans largile :
Mthode
)C2q(q u'vslmoy += (1.11)
est donn en fonction de la longueur du pieu (D.T.R. BC 2.33.2). 'vq contrainte effective verticale moyenne.
uC cohsion non draine moyenne
Mthode
usl Cq = (1.12)
Cu est la cohsion non draine
est un coefficient dadhsion pour les pieux fors ou battus de diamtres infrieur
80cm (voir D.T.R. BC 2.33.2).
=0,4 pour les pieux fors de diamtre suprieur 80cm.
Mthode
'vsl qq = (1.13)
)q/q(tg)sin1( 'v'c
'' =
angle de frottement effectif sur argile remanie 'v
'c q/q rapport de surconsolidation
'cq pression de surconsolidation
'vq contrainte verticale effective
Chapitre 1 Elments bibliographiques
13
Charge limite dun pieu ancr dans un massif rocheux
pppll qAQQ == (1.14)
1.2.1.4 Essais en place :
Le D.T.R. BC 2.33.2 prsente les mthodes de calcul de la capacit portante des pieux
partir des essais in-situ suivants :
Pntromtre statique
Prssiomtre
Essai SPT (Standard Pntration Test)
Pntromtre dynamique
Essai de battage
1.2.1.5 Tassement dun pieu isol
Le D.T.R. BC 2.33.2 donne les expressions suivantes pour lestimation des
tassements des pieux ayant une longueur entre 6 et 45m et un diamtre entre 0,3m et
1,5m et reoivent une charge cQ7,0Q :
Pieux fors : s=0,006B (avec les valeurs extrmes de 0,003B 0,01B)
Pieux battus : s=0,009B (avec les valeurs extrmes de 0,008B 0,012B)
1.2.2 Pieu isol sous charges horizontales
La stabilit du pieu est assure par la mobilisation des efforts de raction latrale
(p) du sol sur le ft du pieu. Si ks est le module de raction du sol et y le dplacement
latral, le D.T.R. BC 2.33.2 propose la relation suivante selon le modle de Winkler :
ks=p/y (1.15)
Chapitre 1 Elments bibliographiques
14
0pdz/yEId 44 = (1.16)
0ykdz/yEId s44 = (1.17)
E , I module dlasticit et moment dinertie de la section du pieu de diamtre B et de
longueur D.
1.3 Mthodes bases sur les courbes de transfert de charge (modle de Coyle et
Reese)
Cette mthode propose par Coyle et Reese (1966), utilise les donnes de sol
mesures partir des essais in situ sur pieux et sur des modles rduits au laboratoire.
Les donnes du sol sont reprsent sous forme de courbes de transfert de charge (figure
1.2), reliant le rapport dadhsion transfert de charge par rapport la force de
cisaillement du sol au dplacement du pieu en fonction de la profondeur. Ces courbes
sont dtermines partir dessai sur site sur des pieux instruments par un rseau
lectronique, ou partir des essais sur modle rduit.
Par ailleurs Coyle et Reese dfinissent dune manire analytique la relation entre
le transfert de charge et le mouvement du pieu :
)Su
Su2(
00maxzz = (1.18)
z transfert de charge la profondeur z
zmax transfert de charge maximal qui peut se produire la profondeur z
u dplacement du pieu une profondeur z
S0= 2.B.m
B est le diamtre du pieu
m contrainte moyenne de rupture en pourcentage obtenue des courbes dessai de
contrainte non draine fait sur des chantillons du sol prs de la pointe du pieu.
Chapitre 1 Elments bibliographiques
15
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,4 0,8 1,2 1,6 2
Dplacement (inch)
Tran
sfer
t de
char
ge /
inte
nsit
du
sica
illem
ent d
u so
l
Figure 1.2 Courbe typique de transfert de charge daprs Coyle et Reese
Figure 1.3 Discrtisation du pieu dans le sens vertical daprs Coyle et Reese
L
1
2
u1
L u2
u3
Chapitre 1 Elments bibliographiques
16
Le pieu est discrtis en n lments (figure 1.3). On suppose un dplacement
vertical de la pointe du pieu et la raction en pointe sera estime selon la thorie de
Boussinesq. La valeur du dplacement en pointe est suppose gale au dplacement du
dernier lment. A partir de la courbe de transfert de charge, le rapport dadhsion sera
dtermin en fonction du dplacement la profondeur considre. Ainsi le dplacement
du dernier lment du pieu sera calcul, sil y a convergence entre la valeur choisie et la
valeur calcule, un autre lment sera considr, si non le choix du dplacement sera
refait et le procd de calcul sera repris jusqu convergence.
1.4 Modle de Davis-Poulos
Dans cette approche le pieu est simul par un nombre dlments chargs
uniformment. La condition de compatibilit des dplacements est impose entre le pieu
et le sol adjacent pour chaque lment du pieu. Les dplacements du pieu sont obtenus
en considrant la compressibilit du pieu sous linfluence de la charge axiale, par contre
les dplacements du sol adjacent sont obtenus en utilisant les quations de Midlin donc
en considrant leffort lintrieur de la masse.
1.5 Courbe de raction P-Y
Ces courbes ont t labores et dveloppes par de nombreux chercheurs par diverses
approches : essais in situ, essais de laboratoires, modlisation physique ou modlisation
numrique. Certaines sont reconnues et adoptes dans des codes de dimensionnement
des pieux (Fascicule 62, A.I.P., P.H.R.I., ..)
1.5.1 Courbes P-Y standardises
Fascicule 62 (1993)
Les articles du fascicule 62 concernant les courbes P-Y ont t rdigs partir de
linterprtation faite des essais in-situ au pressiomtre. Mnard (1969) fait lanalogie
Chapitre 1 Elments bibliographiques
17
entre le tassement dune fondation superficielle uniformment charge et un pieu charg
latralement.
On dfinit un module Kf gale deux fois le module de raction du sol :
+
=
BB
65,2B
B.
34
E.12K00
Mf pour : 0BB (1.19)
+=
65,2.34
E.12K Mf pour : 0BB (1.20)
B0 = 0,6m
: coefficient rhologique caractrisant le sol
EM module pressiomtrique
Tableau 1.1 Facteur rhologique pour divers types de sols (daprs Fascicule 62,
1992)
argile limon Sable Gravier
Surconsolid ou trs
serr
1 2/3 1/2 1/3
Normalement consolid ou
normalement serr
2/3 1/2 1/3 1/4
Sous-consolid altr et
remani ou lche
1/2 1/2 1/3 -
On admet que le sol exerce en chaque section de llment une raction perpendiculaire
laxe de celui-ci, fonction du dplacement transversal de la section considre. Dans le
Chapitre 1 Elments bibliographiques
18
cas de pieux de sections carres ou circulaires, on considre que cette raction se
compose uniquement de pressions frontales. La pression frontale est modlise par une
pression uniforme sexerant sur la largeur de llment perpendiculairement au sens du
dplacement, note B.
La loi de mobilisation de la raction frontale en fonction du dplacement du pieu est
dfinie par :
- un segment de droite passant par lorigine et de pente Kf.
- un palier Pf gal B.pf avec pf est la pression de fluage.
Cette loi est illustre par la figure 1.4 dans le cas de sollicitations de courte dure en tte
dominantes.
Figure 1.4 Courbe P-y dans le cas de sollicitations de courte dure en tte dominantes
P
y Kf
pf.B
Chapitre 1 Elments bibliographiques
19
Figure 1.5 Courbe P-y dans le cas de sollicitations accidentelles trs brves en tte
dominantes
A.P.I. (American Petroleum Institute, 1993)
Ce code amricain regroupe un ensemble de rgles techniques de conception et de
calcul de fondations. Il est reconnu pour le dimensionnement de plates-formes
offshores.
Les courbes P-y dans les sables tablis dans ce code sont dtermines la base des
essais en grandeur nature Mustang Island, Texas (Cox et al., 1974 ; Reese et al.,
1974). Des modifications ont t apportes aprs les travaux de Murchison et al (1984).
A partir des essais de chargement latral dun pieu sur site, les relations semi-
empiriques tablies ont permis de donner lallure gnrale des courbes P-y. Celles-ci
sont ensuite calles sur une banque de donnes dessais sur sites.
P
y Kf
pl.B
pf.B 1/2Kf
Chapitre 1 Elments bibliographiques
20
La raction latrale du sol pour le sable est non linaire. En labsence dinformation
plus restrictive, elle est approche, la profondeur z par lexpression suivante :
)P.Ay.z.ktanh(.P.APu
u= (1.21)
O :
A : facteur pour la prise en compte dun chargement continu cyclique ou statique
A = 0,9 pour un chargement cyclique
9,0)Bz8,03,0(A = pour un chargement statique
Pu : raction ultime du sol la profondeur z [kN/m]
z)DCz.C(P 21u += proche de la surface
zDCP 3u = en profondeur
Avec C1, C2, C3 coefficients fonctions de langle de frottement interne ' et D : la
fiche du pieu dans le sol.
k : module initiale de raction du sol. Il est fonction de langle de frottement interne et
de la densit.
Pour les sols cohrents, linteraction sol pieu est base sur le modle tabli par Matlock
(1970). Celui-ci a ralis des essais sur un pieu de 0,32m de diamtre fonc dans des
argiles molles.
La seule modification apporte par lA.P.I. porte sur lexpression de la raction ultime
du sol Pu.
3/1
cu y
yP5,0P
= (1.22)
Chapitre 1 Elments bibliographiques
21
O :
Pu : raction ultime du sol la profondeur z
B5,2y cc =
Avec c , est la moiti de la dformation correspondant au maximum de la
contrainte dviatorique dans un essai triaxial non drain.
Pu varie de 3cu 9cu quand z varie de 0 zc dtermin de la manire suivante :
Bzc
Jzc3P uuu ++= pour z
Chapitre 1 Elments bibliographiques
22
5,0
szykP = pour un sable (1.25)
5,0
c ykP = pour une argile (1.26)
O :
ks : module de raction latrale du sable
kc : module de raction latrale de largile
Cette relation a t ensuite confirme par des travaux raliss la centrifugeuse du
P.H.R.I. portant sur un pieu isol charg latralement plac dans un sable (Terashi et al,
1989). Dans cette tude, diverses configurations de pieux ont t testes.
Det Norske Veritas (1977)
Cet organisme norvegien tablit des recommandations pour la construction de structures
offshore. Il se base sur linterprtation dessais in-situ.
La courbe de raction P-y caractrisant la relation effort- dplacement dun lment de
pieu de diamtre B est illustre par la figure 1.6.
La partie initiale, pour dpp et By est une hyperbole dexpression :
d1 py
k1
py
+= (1.27)
O :
pd : rsistance latrale de dimensionnement
: plim/pd = rapport de rupture, toujours suprieur 1
plim : valeur asymptotique de lhyperbole pour y
k1 : pente initiale de la courbe
Chapitre 1 Elments bibliographiques
23
: coefficient dpendant du sol et des conditions de chargement
Lhyperbole est limite By = et la rsistance latrale de conception pd dpend de la
valeur affecte au coefficient qui sexprime par la relation suivante :
Bkp
1
1
1
d
= (1.28)
Si 1d k/pB lhyperbole peut tre remplace par une droite de pente k1.
Dans le cas contraire, des effets spcifiques peuvent conduire une dtrioration de la
rsistance latrale. Une rsistance rsiduelle 'dp sera dfinie la base des essais de
laboratoire.
Figure 1.6 Forme caractristique de la courbe p-y daprs Det Norske Veritas (1977)
p
pd
pd
p'd
y B
k1 k
1 1
Chapitre 1 Elments bibliographiques
24
Pour les sables, la rsistance latrale du sol nest pas dgrade. Det Norske Veritas fait
lhypothse que, pour des grands dplacements ( )By , la rsistance latrale est
constante et gale la rsistance latrale rsiduelle : 'dd pp = .
Cette rsistance latrale dpend du type de chargement (statique ou cyclique).
Pour un chargement statique dsd pp = :
0pds pK4p = (1.29)
O :
d
dp sin1
sin1K
+
=
'0p : pression effective (aprs excavation)
: angle de frottement rel
d : angle de frottement de calcul dfini par : mfd /tanran =
mf : coefficient de scurit caractristique du matriau
Pour un chargement cyclique dcd pp = :
0pdc pK3p = (1.30)
Cette dernire formule est valable pour des profondeurs suprieures deux fois le
diamtre du pieu.
Chapitre 1 Elments bibliographiques
25
Pour des profondeurs infrieurs deux fois le diamtre du pieu, on aura :
0pdc pKB2z3p = (1.40)
Il est not que ces expressions sous-estiment la rsistance du pieu pour de grandes
profondeurs. Mais du fait quelles se places du cot de la scurit et que la mobilisation
des contraintes de cisaillement y est faible, elles peuvent tre conserves ces
profondeurs.
Linteraction sable-pieu est reprsente par la courbe p-y prcdemment dfinie avec :
'dd pp = (1.41)
Bznk h1 = (1.42)
O :
nh : coefficient de raction du sol (Tableau 1.2)
z : profondeur sous niveau du sol (aprs excavation ventuelle)
pour les argiles, la rsistance latrale de calcul dun pieu peut tre exprime par la
relation suivante :
mc
upd
cNp
= (1.43)
O :
uc : contrainte de cisaillement caractristique non draine reprsentative des conditions
de chargement considres.
mc : coefficient de scurit caractristique du matriau
Chapitre 1 Elments bibliographiques
26
pN : constante semi-empirique augmentant linairement de 1 en statique ou 0 en
cyclique au niveau du sol jusqu la profondeur z avec BNN rp =
rN = 10 pour les argiles normalement consolides.
= 5 pour les argiles surconsolides.
Linteraction argile-pieu est reprsente par la courbe p-y prcdemment dfinie avec
une pente initiale de :
25,0c
d1 )(B
pk
= (1.50)
O :
pd : est pds pour un chargement statique ou pdc pour un chargement cyclique.
: coefficient empirique (tableau 1.3)
c : dformation verticale correspondant au demi des contraintes principales dun essai
triaxial statique non drain sur un chantillon de sol non remani.
Tableau 1.2 Valeurs recommandes pour nh et pour les sables sous chargements
statiques et cycliques
Densit relative du sable
Lche Moyen Dense
nh 5,0 12,0 18,0
0,04 0,04 0,04
Chapitre 1 Elments bibliographiques
27
Tableau 1.3 valeurs recommandes pour , , ' dans la cas des argiles
Paramtres Type de
chargement
Argile normalement
consolide
Argile
surconsolide
Statique 10 30
Statique c20 c5
' Statique c80 c8
cyclique 10 30
cyclique c5,7 c5,2
' cyclique c20 c5
1.5.2 Autres expression de courbes de raction
Li Yan & Byrne (1992)
Li Yan et Byrne (1992) ont men une compagne dessais de chargement latral statique
sur un pieu isol dans le sable. Le but tait dtudier linteraction sol pieu en termes de
courbes de raction P-y. Comparant leurs rsultats aux rsultats du rglement A.P.I., ils
ont propos une nouvelle expression de lissage des courbes P-y en deux segments pour
une profondeur suprieure un diamtre du pieu.
Le premier segment est une droite passant par lorigine de pente Emax :
)1
1(
max By
BEP == (1.51)
O : )1(G2E maxmax +=
Gmax : est le module de cisaillement maximal dtermin exprimentalement.
: choisi gal 0,2
Chapitre 1 Elments bibliographiques
28
8,0r )D(5= , Dr tant la densit relative en pourcentage.
prend une valeur proche de 0,5
Le second segment est une courbe parabolique dexpression :
=
By
BEP
max (1.52)
Le diamtrte du pieu na pas dinfluence sur la pente initiale des courbes P-y. par
contre, pour de grands dplacements, le palier plastique est dpendant du diamtre.
Linfluence de lexcentricit du chargement est tudie pour diffrentes profondeurs.
Une augmentation de lexcentricit conduit des moments flchissants plus importants
et des courbes P-y moins raides. Ceci est surtout vrifi prs de la surface. En
profondeur, Li Yan et Byrne (1992) concluent quun mme jeu de courbes de raction
P-y peut tre utilis, en pratique, pour dimensionner un pieu avec diffrentes
configurations dexcentricits.
Georgiadis et al (1992)
Cette quipe a ralis deux tudes exprimentales sur des pieux chargs latralement.
La premire porte sur le comportement dun groupe de pieux dans largile. La
modlisation est faite sur modle rduit en gravit normale.
La seconde porte sur le comportement dun pieu isol plac dans le sable et charg
transversalement. La modlisation est ralise en centrifugeuse 50g dans du sable
compact manuellement une densit de 16,3kN.m-3.
A partir de ces deux tudes des conditions exprimentales trs diffrentes, Georgiadis
et al obtiennent les mmes conclusions concernant la forme des courbes P-y :
Chapitre 1 Elments bibliographiques
29
uPy
K1
yP+
= (1.53)
O K : raideur initiale de la courbe P-y
Pu : rsistance ultime du sol
Pour les sables, en se basant sur la thorie de Terzaghi (1955), les autaurs montrent que
K augmente proportionnellement avec la profondeur :
hznK = (1.54)
O : nh est un coefficient dpendant de la densit du sable.
La rsistance ultime est le minimum de Pu1 et Pu2 tablies par Reese et al (1974) :
+
+
+
=
BK)tansin(tantanzK
]tantanzB[)tan(
tancos)(gtan
sintanzK
zAP
00
0
1u (1.55)
[ ]+= 408a2u tantanK)1(tanKzBAP (1.56)
Avec : : poids volumique du sol
: angle de frottement interne du sable
K0 : coefficients de pression des terres au repos
Chapitre 1 Elments bibliographiques
30
Ka : coefficient des terres actives
2/=
2/45 +=
A : facteur de profondeur dpendant du rapport z/D, (A compris entre 1et 2)
Kouda et al (1998)
A la suite du tremblement de terre de Kobe en 1995, les auteurs ont ralis une srie
dessais sur modles en centrifugeuse. Les courbes de raction proposes par les auteurs
ont lexpression suivante :
Dy
Dnpnk
1
Dy.
nk
Dnp
max
h
h
+
=
(1.57)
O : kh : module initial de raction la profondeur z.
pmax : pression limite la profondeur z.
: poids volumique du sol
D : diamtre du pieu
n : acclration centrifuge.
1.6 Approches bases sur le principe de Winkler
Penzien et al (1964, 1970) ont utilis un modle simple qui reprsente le pieu
comme une fondation de Winkler avec des rigidits et des amortissements concentrs en
un certain nombre de masses. La rsistance du sol est value par la solution statique de
Midlin (1936). Plus tard, ce modle a t dvelopp par Prakash (1973), Matlock (1979)
Chapitre 1 Elments bibliographiques
31
et dautres chercheurs en introduisant des rigidits et des amortissements dpendant de
la frquence, rpartis le long du pieu et qui sont obtenus par des considrations
analytiques ou exprimentales. Cette approche reste jusqu prsent la plus convenable
pour la prise en compte de la non linarit du sol (Badoni et al 1996) et ce par un simple
changement des proprits dlasticit et damortissement. Les rsultats des travaux
prcits formaient pour longtemps la base des courbes charges dplacements (P-y) et
(P-z) utilises dans la conception des pieux sous charges dynamiques. Cependant cette
mthode reste assez approximative du fait quelle ne prend pas en compte
lamortissement radiatif (gomtrique).
Novak (1974) a obtenu les fonctions impdances dun pieu portant cylindrique
plac dans un sol viscolastique homogne, par la rsolution de lquation de
mouvement de pieu considr comme une poutre de Winkler. Les ractions latrales du
sol sur le pieu sont obtenues partir de la solution approximative des quations dondes
dans le sol. Celle-ci suppose que le sol est constitu de couches infinitsimales
indpendantes. Le cas dun pieu flottant a t trait dune faon similaire en estimant la
raction en pointe partir de la solution dun disque rigide sur un semi espace (Novak,
1977). En utilisant cette approche, de nombreuses investigations ont t conduites,
notamment par Novak et ses coauteurs en traitant les cas des pieux placs dans un sol
multicouche ou ayant un module dlasticit dpendant de la profondeur (Novak et al
1978, 1983). Ces travaux taient en fait les premires tentatives inclure leffet de
lamortissement gomtrique dans lanalyse dune manire consistante. Ainsi cette
approche a fourni une bonne perspicacit du comportement des pieux sous charges
dynamiques. On peut cit aussi les travaux de H. H. Catal 2006, H. Tahghighi et al
2006, Toyoaki 1983 et El Naggar et al 1994.
Il est signaler enfin quen utilisant le concept de Winkler, les deux approches
prcdentes ngligent linfluence mutuelle des dplacements aux diffrents points le
long du pieu.
Chapitre 1 Elments bibliographiques
32
Figure 1.7 Schmatisation dune fondation de Winkler
1.7 Approches bases sur la mthode des lments finis
Cette catgorie de solutions est base sur lapplication de la mthode des
lments finis couple avec des frontires spciales non rflectives dnergie. Les
solutions proposes ne traitent que des pieux de forme cylindrique afin de travailler en
modles axisymtriques et viter ainsi la discrtisation tridimensionnelle.
En utilisant le modle frontire transmettante dvelopp par Waas (1972) pour
les problmes axisymtriques, tendu plus tard par Kausel (1974) pour les problmes
gomtrie axisymtrique sous charges non-axisymtriques, Blaney et al (1976)ont
conduit une srie dinvestigations sur la rponse dun pieu portant soumis des charges
harmoniques horizontales (force ou moment), encastr dans un sol viscolastique
multicouche et limit par un substratum rigide. Dans le but de minimiser la
discrtisation le pieu est considr reposant directement sur le substratum et sa point est
suppose articule. Ce modle a t utilis par Velez et al (1983), qui ont men une
Pieu Ressort
Amortisseur
Chapitre 1 Elments bibliographiques
33
vaste analyse paramtrique sur les fonctions impdances de translation horizontale, de
balancement et de couplage (translation-basculement), pour un pieu plac dans un sol
module dlasticit et amortissement hystrtique dpendants de la profondeur.
Kuhlmeyer a prsent des solutions pour un pieu flottant dans un sol semi infini,
en utilisant le modle frontires absorbantes dvelopp pour les fondations encastres
dans le sol (Lysmer et al 1979). Pour les vibrations verticales (Kuhlmeyer, 1979), le
pieu est considr initialement rigide et infiniment long pour calculer les contraintes
visqueuses aux frontires verticales (propagation horizontales des ondes S). pour revenir
au pieu rel la pointe est suppose mettant dondes planes verticales P, ainsi les
contraintes visqueuses en appliquer peuvent tre calcules. Par des approximations
similaires sur la propagation donde, les vibrations horizontales ont t traites aussi
(Kuhlmeyer, 1979). On peut aussi citer les travaux de S. Karthingeyan et al 2006 et
Guoxi Wu and Liam Finn 1997.
Quoique les solutions obtenues par lapplication de la mthode des lments
finis, sont restreintes par des simplifications assez importantes imposes par la
limitation du volume discrtiser, elles reprsentent un pas considrable dans la
caractrisation du comportement dynamique des pieux.
1.8 Approches bases sur les fonctions de Green
Cette catgorie de solutions utilise des fonctions dinfluence de dplacements
appropries pour la modlisation du sol. Ces fonctions drivent de la thorie
tridimensionnelle de llastodynamique.
En utilisant cette approche, les premires tudes de la rponse dynamique des
pieux sont dues Kaynia et Kausel (1982), qui ont obtenu des solutions en
dplacements dun anneau de charge lintrieur dun sol multicouche, partir des
travaux dApsel (1979). Ces solutions fondamentales (fonctions de Green), sont ensuite
introduites dans une formulation lments frontires dune manire similaire celle
dcrite par Benerjee et Driscoll (1976), pour le cas statique. Dans cette mthode, seule
Chapitre 1 Elments bibliographiques
34
linterface verticale sol-pieu est discrtise en lments cylindriques, la base est
modlise par un disque sur lequel la rpartition des contraintes est uniforme. En
labsence du pieu, le champ de dplacements dans le sol est dfini partir des tractions
agissant sur les lments par lintermdiaire de la matrice de flexibilit du sol, dont les
lments sont obtenus par lintgration des fonctions de Green. La solution du problme
sobtient en imposant les conditions dquilibre et de compatibilit des dplacements du
sol avec ceux du pieu qui sont caractriss par une quation de mouvement
unidimensionnel.
Linconvnient majeur de cette solution, est limprcision du calcul des
fonctions de Green, du fait que les intgrales impropres dApsel sont trs difficiles
valuer par les mthodes numriques dune manire prcise, particulirement pour les
hautes frquences (Sen R et al 1985).
Pour palier ce problme, dautres tudes ont t dveloppes en se basant sur la
mme technique. Sen et al (1985) ont trait le cas des pieux placs dans un sol
homogne semi-infini, en utilisant les solutions fondamentales calcules partir du
travail de Kobayashi et Nishimura (1980). Ces dernires ont lavantage dtre faciles
calculer, ce qui rend la mthode trs efficace pour la dtermination de la rponse. Une
tude similaire a t mene pour le cas du sol multicouche (non homogne) (Sen et al
1985), en utilisant les fonctions de Green obtenus par la mthode des couches minces
(Kausel et Peek 1982).
Lapproximation de base de la formulation ci-dessus est lutilisation des
fonctions de Green pour un semi-espace. En effet pour que le modle soit prcis, il doit
tenir compte de la prsence de lexcavation dans le sol lors du calcul des flexibilits.
Cette approximation peut engendrer des erreurs en particulier sur la prise en compte des
forces dinertie, qui sont considres et dans la modlisation du sol et du pieu.
En prenant en compte les inconvnients de la formulation prcdente, Rajapakse
(1987, 1988, 1989) a propos un autre modle et en suivant la technique utilise par
Muki et Sternberg (1970) pour le problme statique de transfert de charge. Dans cette
Chapitre 1 Elments bibliographiques
35
approche, le systme sol pieu est dcompos en sol continu sans excavation et un pieu
fictif dont le module dlasticit et la masse volumique rsultent des diffrences entre
ceux du pieux rel et ceux du sol.
Afin dassurer une prise en compte raliste des forces dinertie, le volume du sol
que remplacerai le pieu ultrieurement est discrtis dans sa totalit en lments
torodaux. La compatibilit des dplacements du sol avec ceux du pieu est impose au
niveau de toutes les interfaces des lments.
Ces dernires dcennies, une autre approche qui consiste en la combinaison des
deux mthodes (BEM-FEM) a t dveloppe pour palier aux inconvnients de chacune
et profiter de leurs avantages. Nous citons les travaux de H. R. Masoumi et al 2006,
Mendoa et al 2003, Matos Filho et al 2005, Sami Benjama et al 2000, Mansouri 1998
et Cairo et al 2005. Dans cette approche le pieu est modlis comme un lment
unidimensionnel au moyen de la mthode des lments fini, et le sol par la mthode des
lments frontires en combinaison avec la mthode des couches minces.
1.9 Approche propose dans cette thse
La mthode prsente dan cette thse se base sur une modlisation diffrente des
mthodes prcites. Elle permet ltude de la rponse dynamique dun pieu de forme
arbitraire plac dans un sol multicouche ou ayant des proprits gotechniques variables
avec la profondeur. Cette mthode se base sur la technique de dcomposition du
systme sol-pieu utilise par Rajapakse et al (1988).
Cette dcomposition permet de sparer les effets du sol et du pieu sur la rponse
du systme tout en imposant la fin la condition de compatibilit des dplacements. En
consquence, si le pieu est discrtis en lments poutres, sa matrice de rigidit globale
sobtient par la superposition de deux matrices. Une caractrisant la rigidit du pieu
fictif et elle sobtient par assemblage des matrices lmentaires des lments poutres. La
seconde reprsente la contribution du sol dans la rponse du systme, elle sobtient en
Chapitre 1 Elments bibliographiques
36
utilisant la technique des lments frontires combine avec la mthode des couches
minces. Ceci conduit la discrtisation du sol en sous couches de faibles paisseurs puis
la discrtisation des interfaces lintrieur du volume quoccuperait le pieu aprs sa
mise en place en lments frontires. La matrice de flexibilit du sol discrtis peut tre
calcule partir des fonctions de Green.
Conclusion
Diffrentes mthodes ont t utilises pour le calcul de la rponse des pieux,
parmi ces mthodes on distingue deux grandes classes ; la mthode des lments finis et
celle des lments frontires combine avec la mthode des couches minces. La
premire ncessite la limitation du modle ce qui amne imposer des conditions aux
limites appropries. La deuxime a lavantage de la non limitation de modle
gomtrique mais elle prsente des difficults dans le cas des problmes non linaires et
gomtrie complexe. Cependant le couplage des deux mthodes permet de palier ses
inconvnients.
Chapitre 2 Comportement dynamique des sols
37
Chapitre 2
Comportement dynamique des sols
2.1 Introduction
Ltude rationnelle de la rponse du systme sol-pieu sous laction dun
chargement dynamique ncessite lanalyse du phnomne de propagation donde dans
le sol. Physiquement, la propagation donde mcanique est le processus de transmission
de mouvement dans le milieu continu dun point lautre. Cette transmission est
lorigine de deux proprits essentielles ; la dformabilit et linertie. Un tel phnomne
peut tre formul mathmatiquement travers la thorie de llastodynamique. En effet,
cette dernire conduit en gnral un systme dquations aux drives partielles avec
des conditions initiales. La recherche des solutions du dernier systme permet de dfinir
les inconnues du problme en fonction du temps et de la position.
2.2 Charges dynamiques
Les sources de vibrations dans les sols sont multiples. On distingue des sources
naturelles tel que le vent, le dferlement des vagues sur les rivages, les chutes des
rivires, les orages et les sismes. En plus de ces sources naturelles, la circulation des
trains, des vhicules, le battage des pieux, lemploi des explosifs pour les terrassements
et les fondations pour machines vibrantes provoquent galement des vibrations.
Chapitre 2 Comportement dynamique des sols
38
Les pieux reoivent les vibrations par lun des deux modes suivants :
Mode o le sol est actif : cest le cas des vibrations vhicules par le sol. Il sagit dun
problme de transmission de vibrations au pieu. Cest le cas des sismes, les explosions
importants ou dautres excitations qui nest pas applique directement sur le pieu.
Mode o le sol est passif : cest le cas o lexcitation vibratoire est applique
directement sur le pieu et la transmettre au sol. Cest le cas des vibrations dues au
battage des pieux ou des installations fondes directement sur des pieux (fondations
pour machines vibrantes).
2.3 Actions dynamiques dans le sol
Le passage dune onde quelconque (surtout sismique) dans un sol engendre des
dformations qui consistent en raccourcissement ou dilatations de compression-
extension et en glissements de cisaillement, et elles se traduisent par des courbures
imposes au sol, plusieurs points initialement aligns se retrouvant disposs sur une
gauche dans une phase ultrieure du mouvement.
Les dformations de cisaillement jouent un rle prpondrant dans la plupart des
phnomnes. Les effets des dformations longitudinales ne sauraient cependant tre
sous-estims pour autant : laccumulation des raccourcissements dans certains zones
peut se traduire par des ruptures de cohsion ou des ouvertures de fissures dans les sols ;
elles se manifestent aussi par les dommages subis par les ouvrages longilignes :
refoulements de canalisation ; flambement des voies ferres, des dallages et autres
revtements.
Les vibrations ont aussi tendance faire voluer les milieux non cohrents ou
faiblement cohrents initialement peu compacts vers des tats plus denses. Il en rsulte
des tassements dautant plus importantes que ltat initial est plus lche.
Chapitre 2 Comportement dynamique des sols
39
Les phnomnes de liqufaction se produisent dans certains sols saturs. Ils
correspondent une perte totale de la rsistance au cisaillement et par consquent de la
capacit portante, suite llvation des pressions interstitielles par un processus
cumulatif. Indpendamment du danger quils prsentent pour les ouvrages, ils peuvent
donner lieu des glissements de terrain extrmement importants si la couche liqufie
est incline.
2.4 Equation donde
Considrons un milieu linairement lastique, de masse volumique et de
modules dlasticit longitudinal E et transversal G. Soit un systme de coordonnes
cartsiennes daxes X, Y, Z. En notation indicielle les quations dquilibre dynamique
et les relations contraintes-dformations et dformations-dplacements scrivent :
iij,ij u.f =+ (2.1)
ijijkkij G2 += (2.2)
)uu(21
i,jj,iij += (2.3)
i=1, 2, 3 j=1, 2, 3 k=1, 2, 3
Les indices 1, 2, 3 correspondent aux trois directions respectives X, Y, Z.
fi sont les forces statiques de volume elle ne seront pas considres dans le formalisme
qui suit.
La combinaison des quations (2.1), (2.2) et (2.3) donne :
ijj,iji,j uGuu)G( =++ (2.4)
Chapitre 2 Comportement dynamique des sols
40
O est la constante de Lam.
)21)(1(E
+
= (2.5)
Lquation (2.4) reprsente un systme de trois quations diffrentielles (i=1, 2,
3) qui caractrisent la propagation des ondes respectivement dans les directions X, Y et
Z. sous forme vectorielle, elle scrit :
uuG)u.()G( 2 =++ (2.6)
O :
T
z
y
x
= est le vecteur gradient.
22
2
2
2
22
zyx
+
+
= est loprateur Laplacien.
T
zyx u u uu =
2.5 Ondes harmoniques
Ltude de ce type donde est dune importance particulire du fait que tout type
de mouvement dans un milieu lastique linaire peut tre exprim en terme dondes
harmoniques travers les sries ou les intgrales de Fourier.
Chapitre 2 Comportement dynamique des sols
41
En effet, considrons lexpression du dplacement dans un milieu
unidimensionnel de forme :
= )
cxt(cosA)t,x(u (2.7)
A est lamplitude indpendante de x et de t, est la frquence circulaire, c est la
vitesse de propagation du mouvement. Largument (t-x/c) est dit la phase de londe.
En plus de lamplitude, les paramtres essentiels caractrisants ce type donde sont :
La longueur donde
=c2 (2.8)
La priode
=2T (2.9)
Le nombre donde
=2k (2.10)
A tout instant t le dplacement u(x,t) est une fonction priodique de . De mme toute
position x le dplacement u(x,t) est une fonction priodique en T.
Pour des raisons de commodit, les ondes harmoniques sont gnralement reprsentes
par lexpression suivante :
[ ])xct(ikexpA)t,x(u = (2.11)
Avec 1i2 =
2.6 Comportement des sols sous chargement dynamique
Ltape critique dans lanalyse dinteraction dynamique sol-structure est la
modlisation du comportement du sol. En effet, en plus des facteurs caractrisant le
comportement statique, le comportement dynamique du sol est trs influenc par
lamortissement et le module de cisaillement. Physiquement, lamortissement
Chapitre 2 Comportement dynamique des sols
42
caractrise la dissipation de lnergie au cours du mouvement, il est de deux types :
amortissement interne et amortissement radiatif.
2.6.1 Amortissement interne ou matriel
Il est d la dissipation dnergie lintrieur du matriau par frottement,
plastification, .etc. Pour les sols, des expriences ont montrs (Peek, 1984) que
lnergie dissipe par cycle varie avec la frquence et peut mme tre considre
constante.
La prise en compte de lamortissement dans lquation de mouvement ncessite
lutilisation dun modle appropri. Ce dernier peut tre dduit partir du modle de
Voigt (ou modle viscolastique linaire) (fig. 2.1), en tablissant une quivalence entre
les nergies dissipes par cycle de chargement.
Fig. 2.1 Modle de Voigt
Pour le modle viscolastique linaire, la relation contrainte- dformation
(charge-dplacement) pour un mouvement harmonique scrit en notation complexe :
=+= *G)...iG( (2.12)
Le facteur tie est implicite dans cette relation, et sont des grandeurs complexes.
G
Chapitre 2 Comportement dynamique des sols
43
G* est connu par le module complexe il est dfini par :
)i1(G)G
i1(GG* +=+= (2.13)
Avec G
= (2.14)
dsigne le coefficient de perte.
On peut montrer que la dissipation dnergie par cycle de chargement est
proportionnelle au coefficient de perte. Ainsi la relation (2.14) indique que lnergie
dissipe est fonction de la frquence.
Considrons le cas o la dissipation dnergie est indpendante de la frquence.
La relation (2.13) reste valable en maintenant le coefficient de perte constant
indpendamment de la frquence.
.=constante, nous dfinissons la constante :
2
= (2.15)
. est une proprit intrinsque du matriau, elle est indpendante de la frquence pour
les sols (Pal, 1998), il est connu par le facteur damortissement interne ou
lamortissement hystrtique.
Le module complexe devient ainsi :
)i21(GG* += (2.16)
Exprimentalement, lamortissement hystrtique sobtient par la mesure de lnergie
dissipe par cycle de chargement.
Chapitre 2 Comportement dynamique des sols
44
2.6.2 Principe de correspondance
Lorsquon travaille dans le domaine frquentiel, la solution amortie sobtient
partir de la solution lastique en remplaant les constantes lastiques par leurs
quivalentes complexes (Wolf, 1985).
Dans le cas du sol les amortissements des dformations volumiques et de
cisaillement sont en gnral pris gaux. Ainsi pour obtenir la solution amortie, les
modules dlasticit doivent tre multiplis par le facteur (1+2i).
Les valeurs recommandes pour lamortissement daprs veletsos et al, 1973 sont :
5 10% pour les dformations modres (fondations de machines)
15 20% pour les dformations leves (sisme)
2.6.3 Amortissement radiatif
Une autre source damortissement prend naissance par la transmission des
vibrations des distances plus ou moins grandes dans le sol. En effet une partie
importante de lnergie de mouvement se fait vacuer lextrieur du systme
(structures et sol entourant) travers les ondes en propagation vers linfini. Ce type
damortissement est connu par lamortissement radiatif (ou gomtrique). Sa prise en
compte dune manire rigoureuse en interaction dynamique, ncessite une analyse
rationnelle de la propagation donde dans le sol. Il est noter enfin que lamortissement
radiatif est fonction de la frquence de vibration (Wolf, 1985).
2.6.4 Module de cisaillement
Le module de cisaillement est une caractristique intrinsque du sol qui dpend
des paramtres suivants :
La compacit du sol, gnralement traduite par lindice des vides.
Ltat de contrainte actuel auquel est soumis le matriau.
Chapitre 2 Comportement dynamique des sols
45
Lhistoire des contraintes antrieures subies par le sol. Cette histoire est
habituellement reflte par le rapport de surconsolidation (OCR), gal au
rapport de la plus grande contrainte verticale supporte par le sol dans
son histoire gologique la contrainte verticale actuelle.
Dans le cas dynamique, sajoute aux paramtres prcdents la frquence
des vibrations.
A petites dformations le module de cisaillement peut tre valu grce la
mesure de la vitesse de propagation des ondes dans un essai dimpulsion ou dans un
essai de colonne rsonante. Il peut galement tre dtermin grce des mesures de
contraintes-dformations dans des phnomnes de cisaillement provoqus par des essais
de torsion dprouvettes cylindriques creuses ou en anneau ou de simples essais de
cisaillement sur prouvettes cylindriques. Dans chacun de ces essais, la mesure de la
dformation de glissement permet de calculer le module.
Le principe de la colonne rsonante consiste mettre lchantillon en vibration
force et ajuster la frquence dexcitation jusqu lobtention de la rsonance de
lprouvette. La connaissance de la frquence de rsonance et des dimensions
gomtriques de lprouvette permet de dterminer le module de Young dans le cas de
vibrations longitudinales, ou de cisaillement dans le cas de vibrations de torsion. Lors
de larrt de la sollicitation lchantillon revient au repos en vibrations libres, ce qui
permet la mesure de lamortissement matriel. Les essais de colonnes rsonantes
permettent la mesure des caractristiques de dformabilit des sols dans une gamme de
dformation comprise entre 10-6 et 10-4.
Pour les dformations plus leves (5.10-5 10-2), on a usuellement recours
lappareil triaxial cyclique qui permet lenregistrement direct des boucles dhystrsis
du sol.
Chapitre 2 Comportement dynamique des sols
46
Conclusion
Ltude de la rponse du systme sol-pieu sous leffet dun chargement
dynamique dpend de la rsolution de lquation de propagation donde dans le sol et
des caractristiques dynamiques du sol. Les ondes harmoniques ont un grand intrt
dans lanalyse dynamique car elles prsentent une forme analytique rgulire, et on peut
par des superpositions les utiliser pour caractriser des excitations plus complexes.
Chapitre 4 Rsultats et analyse paramtrique
78
Chapitre 4
Rsultats et analyse paramtrique
La mthode prsente dans cette thse est une mthode semi analytique assez
gnrale. Elle permet la dtermination de la rponse dun pieu flottant ou portant plac
dans un sol viscolastique monocouche ou multicouche ayant des proprits
mcaniques et gomtriques qui peuvent tre variables dune couche lautre.
Cependant pour ne pas encombrer la prsentation, cette analyse sera limite au cas dun
pieu flottant plac dans un sol monocouche viscolastique et isotrope ayant un module
dlasticit constant avec la profondeur.
Dans ce chapitre on prsente dans une premire partie sur les dfinitions des
paramtres de calcul. Lanalyse sera faite en terme de paramtres adimensionnels pour
rendre ltude plus gnrale. Une deuxime partie prsente la validation de la mthode
propose dans le cas statique et dynamique en comparant les rsultats obtenus par la
prsente mthode dautres simulations et rsultas exprimentaux. Une troisime partie
est consacre lanalyse paramtrique. Cette analyse porte essentiellement sur
linfluence des diffrents paramtres mcaniques et gomtriques du systme sol-pieu
sur la rponse du pieu sous une charge harmonique verticale applique la tte du pieu.
Dans cette tude la rponse du pieu est caractrise par les parties relle et imaginaire
des dplacements relatifs horizontaux et verticaux la tte du pieu.
Chapitre 4 Rsultats et analyse paramtrique
79
4.1 Dfinition des paramtres de lanalyse
Figure 4.1 Systme sol-pieu
La figure 4.1 montre un pieu de longueur L et de section carr de cot B de manire que
B
Chapitre 4 Rsultats et analyse paramtrique
80
La profondeur relative du substratum : hr=D/B
La rigidit relative du pieu : er=Ep/Es
La densit relative du pieu : mr=p/s
Les coefficients de Poisson du sol et du pieu ainsi que le taux damortissement du sol
restent inchangs car eux mmes sont sans dimension.
Comme notre tude porte sur un pieu de section carr et la plus part des cas
prsents dans la littrature sont en forme circulaire, il sera ncessaire de donner
lquivalence dimensionnelle entre le cot dun carr et le diamtre dun cercle, qui sera
dfini par les relations suivantes (daprs Boumekik, 1985) :
Pour les modes de translation : ( ) 0 rB= Pour les modes de rotation : ( ) 04 3 rB= Avec r0 tant le rayon du pieu circulaire.
4.2 Paramtres de convergence
Dans cette partie on cherche dfinir les limites dimensionnelles du modle et
les rapports de la discrtisation dans les deux sens (horizontale et verticale) qui
permettent davoir la convergence des rsultats. Les solutions du problme dinteraction
sol-pieu dpendent de la matrice de rigidit dynamique totale du systme sol-pieu
discrtis. En consquence, leur convergence vers les solutions exactes dpend des
termes de cette dernire matrice.
La matrice de rigidit totale du systme sol-pieu rsulte de la superposition de
deux matrices : celle du pieu fictif et celle du sol. Cest cette dernire qui affecte
beaucoup plus lexactitude des rsultas car elle fait appel un volume de discrtisation
plus important.
Chapitre 4 Rsultats et analyse paramtrique
81
A cet effet, dans cette tude on ne sintressera qu lanalyse de linfluence des
deux discrtisation du sol (verticale et horizontale) sur les termes de la matrice de
rigidit dynamique du sol. Ces termes ne sont en fait que les rigidits des sections. Les
rapports de discrtisation verticale et horizontale sont dfinis par les expressions
suivantes (Mansouri, 1989) :
Rapport de discrtisation verticale :ns=hi/B
Rapport de discrtisation horizontale :nd=2r/B
O hi est lpaisseur de la sous-couche i. r est le rayon du disque utilis dans la
discrtisation horizontale.
Il a t conclu que les rapports correspondant une discrtisation optimale
sont :
Pour les modes horizontaux : ns=1,5, nd=0,5
Pour le mode verticale : ns=1,5, nd=0,333
Il est noter que linfluence des paisseurs des sous-couches profondes
(relativement lointaines de la pointe du pieu) est pratiquement ngligeable. De ce fait
lpaisseur des sous-couches dfinie ci-dessus sera maintenue jusqu une profondeur
gale au double de la longueur du pieu, au-del de cette limite la discrtisation sera
largie graduellement, tout en restant au dessous de la limite impose par la longueur
donde de cisaillement his/4 (R. Sen et al 1985).
4.3 Validation des rsultats
Pour vrifier la validit de la mthode prsente dans ce travail, on procde la
comparaison des simulations faites par cette mthode et les rsultats obtenus par
dautres mthodes ou mesures exprimentales cits dans la littrature.
Chapitre 4 Rsultats et analyse paramtrique
82
4.3.1 Cas statique
Plusieurs exemples ont t traits pour vrifier la fiabilit de la mthode
prsente. La comparaison est faite en terme de dplacement horizontal et vertical.
Le premier exemple et celui trait par R. Matos Filho et al (2005) consiste un
pieu de 12.2m de longueur et de 0.61m de diamtre soumis une charge verticale de
1100kN, qui a t test par Whitker et Cooke (1966). Le module dlasticit
longitudinal du pieu tait 27p m/kN10x067.2E = et celui du sol 2s m/kN72400E = et son
coefficient de poisson de 0.5.
Le dplacement vertical mesur la tte du pieu tait de 0.284cm, et celui
calcul par la mthode propose par R. Matos Filho et al tait 0.2867cm. La mthode
prsente dans cette thse donne un dplacement de 0.285cm.
Le deuxime exemple est celui trait par Vilabhan et Sivakumar (1986) et puis
par R. Matos Filho et al (2005) qui consiste un pieu de longueur de 6.096m et de
diamtre 0.6096m soumis une charge verticale de 726.40kN, Le module dlasticit
longitudinal du pieu tait 2p m/kN21111000E = et celui du sol dfini par 100EE
s
p = et son
coefficient de poisson est de 0.2.
Daprs le rsultat du premier exemple et La figure 4.2 qui montre la variation
du dplacement vertical en fonction de la profondeur, on constate un bon accord entre la
mthode prsente et les travaux su cits.
Chapitre 4 Rsultats et analyse paramtrique
83
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
00 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Dplacement vertical (mm)
Pro
fond
eur (
m)
Vallabhan et al
R. Matos Filho et al
La mthodeprsente
Figure 4.2 Dplacement vertical le long du pieu
Un troisime exemple consiste un pieu de longueur de 6.096m et de diamtre
0.6096m soumis une charge horizontale de 181.60kN et un moment de basculement
de 95.826kN.m, Le module dlasticit longitudinal du pieu tait 2p m/kN21111000E = et
celui du sol dfini par 100EE
s
p = et son coefficient de poisson est de 0.2.
Daprs les figures 4.3 et 4.4 qui montrent la variation du dplacement
horizontal en fonction de la profondeur, on constate un bon accord entre la mthode
prsente et les travaux de Vallabhan et al ainsi que ceux de R. Matos Filho et al.
Chapitre 4 Rsultats et analyse paramtrique
84
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Dplacement latral (mm)
Pro
fond
eur (
m)
Vallabhan et al
R, Matos Filho et al
Mthode prsente
Figure 4.3 Dplacement latral d une charge horizontale
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0-0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
Dplacement horizontal E-02 (cm)
Pro
fond
eur (
m)
Vllabhan
R, Matos Filho
MethodePrsente
Figure 4.4 Dplacement latral d un moment de basculement
Chapitre 4 Rsultats et analyse paramtrique
85
4.3.2 Cas dynamique
4.3.2.1 Mode vertical
Le tableau 4.1 prsente une comparaison de limpdance verticale normalise
par sa correspondante statique obtenue par la prsente approche utilise dans cette thse
et par Mansouri (1998) avec celles donnes par Rajapakse et al 1989 ( mthode
variationnelle), et Kuhlmeyer 1979 (mthode des lments finis), pour des frquences
adimensionnelles a=0.1, 0.2, 0.3, scB=a , oest la frquence circulaire de lexcitation ,