Calcul d’intégrales triples : changement de variables
3 Février 2021 1 / 44
CALCUL D’INTÉGRALES TRIPLES
THEOREM ( THÉORÈME DE FUBINI EN PILES)Soit f :Ω→R un domaine bornée (à bord régulier) de l’espace etf (x ,y ,z) une fonction continue sur Ω, où Ω est en "pile" au dessus d’undomaine régulier D ⊂R2 :
Ω= (x ,y ,z) ∈R3 | (x ,y) ∈D et u1(x ,y)≤ z ≤ u2(x ,y)
où D est un domaine du plan, u1 et u2 sont des fonctions continues sur D.Alors Ñ
Ωf (x ,y ,z)dxdydz =
ÏD
(∫ u2(x ,y)
u1(x ,y)f (x ,y ,z)dz
)dxdy
REMARQUE
D est la projection de Ω sur le plan xOy .
3 Février 2021 2 / 44
CALCUL D’INTÉGRALES TRIPLES
THEOREM ( THÉORÈME DE FUBINI EN TRANCHES (OU
COUCHES))Soit f :Ω→R une fonction continue sur Ω où
Ω= (x ,y ,z) ∈R3 | z1 ≤ z ≤ z2 et (x ,y) ∈Dz
où pour tout z, la tranche Dz =
(x ,y) ∈R2|(x ,y ,z) ∈Ω
est un domainerégulier du plan.Alors Ñ
Ωf (x ,y ,z)dxdydz =
∫ z2
z1
(ÏDz
f (x ,y ,z)dxdy)
dz
3 Février 2021 3 / 44
EXEMPLES DE CALCUL D’INTÉGRALES TRIPLES
EXEMPLE
Calculer I =Ñ
Czdxdydz sur le cube C = [0,1]3.
D’après le théorème de Fubini, on a
I =∫ 1
0dx
∫ 1
0dy
∫ 1
0zdz = [x]10 × [y ]10 ×
[z2
2
]1
0= 1
2.
3 Février 2021 4 / 44
EXEMPLES DE CALCUL D’INTÉGRALES TRIPLES
Example :
On veut calculer I =Ñ
V(1−2yz)dxdydz où V est le cylindre plein
de hauteur 3 et de base le disqueD = (x , y , z) ∈R3|x2 +y2 ≤ 1, z = 0.
3 Février 2021 5 / 44
EXEMPLES DE CALCUL D’INTÉGRALES TRIPLES
D’abord, on décrit explicitement le domaine V :V = (x , y , z)|x2 +y2 ≤ 1,0≤ z ≤ 3
= (x , y , z)|x ∈ [−1,1], y ∈ [−p
1−x2,p
1−x2], z ∈ [0,3]
Ensuite on applique Fubini ( intégration par tranches) :
I =Ñ
V(1−2yz)dxdydz =
∫ 3
0(
ÏD(1−2yz)dxdy)dz
=∫ 3
0(
∫ 1
−1(
∫ p1−x2
−p
1−x2(1−2yz)dy)dx)dz
=∫ 3
0(
∫ 1
−1dx
∫ p1−x2
−p
1−x2(1−2yz)dy)dz
3 Février 2021 6 / 44
EXEMPLES DE CALCUL D’INTÉGRALES TRIPLES
I =∫ 3
0(
∫ 1
−1[y −y2z]
p1−x2
−p
1−x2dx)dz =∫ 3
0
(∫ 1
−1(√
1−x2 − (1−x2)z +√
1−x2 + (1−x2)z)dx)
dz
=∫ 3
0dz
∫ 1
−12√
1−x2dx = 3∫ 1
−12√
1−x2dx .
On fait un changement de variables : x = sin(t), alors dx = cos(t)dtet
I = 3∫ π/2
−π/22cos2 t dt = 3
∫ π/2
−π/2(1+cos(2t))dt = 3π .
3 Février 2021 7 / 44
CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLE
Terminologie :I) Un difféomorphisme de classe C1, h entre deux domaines Ω et Ω′
de R3 est une application bijective de classe C1
h : Ω′ −→ Ω
(u,v ,w) 7→ h(u,v ,w)= (x(u,v ,w),y(u,v ,w),z(u,v ,w))
dont l’inverse h−1 est aussi de classe C1.II) Un changement de variables entre deux domaines Ω et Ω′ de R3 est
la donnée d’un difféomorphisme entre Ω et Ω′.
3 Février 2021 8 / 44
CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLE
DÉFINITION
La matrice jacobienne d’une application de classe C 1 :
h : (u,v ,w) 7→ h(u,v ,w)= (x(u,v ,w),y(u,v ,w),z(u,v ,w))
en un point (u,v ,w) est la matrice 3×3 :
Jach(u,v ,w) :=
∂x∂u
∂x∂v
∂x∂w
∂y∂u
∂y∂v
∂y∂w
∂z∂u
∂z∂v
∂z∂w
(u, v , w)
Le déterminant jacobien de h est la fonction de (u, v , w) :
detJach(u, v , w)= det
∂x∂u
∂x∂v
∂x∂w
∂y∂u
∂y∂v
∂y∂w
∂z∂u
∂z∂v
∂z∂w
(u, v , w)
3 Février 2021 9 / 44
CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLE
Soit A=a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
une matrice carrée d’ordre 3,
alors son déterminant
det(A)= |A| = a11a22a33 +a21a32a13 +a31a12a23
−a31a22a13 −a21a12a33 −a11a32a23.
On peut retrouver ce résultat par la règle de Sarrus :
162 François DE MARÇAY, Département de Mathématiques d’Orsay, Université Paris-Sud, France
D’après (7.8), ce déterminant vaut :
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
= x1y2z3 + x2y3z1 + x3y1z2 x3y2z1 x2y1z3 x1y3z2.
On dit que l’on a développé le déterminant selon la règle de Sarrus : les trois produits précédés dusigne ‘+’ contiennent soit les termes de la diagonale principale, soit deux termes d’une parallèle àcette diagonale. Pour les trois produits précédés du signe ‘’, il y a une règle analogue en remplaçantla diagonale principale par l’autre diagonale.
Donnons deux premiers diagrammes colorés :
En fait, l’idée principale concernant les signes est illustrée comme suit :
Allez ! Encore deux autres illustrations bien flashys !
Soit une matrice carrée d’ordre 3 :
M :=
0@
a a0 a00
b b0 b00
c c0 c00
1A .
Par exemple, det
1 2 34 5 67 8 9
= 225−225= 0.
3 Février 2021 10 / 44
CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLE
THÉORÈME ( THÉORÈME DE CHANGEMENT DE VARIABLES)
Soient Ω et Ω′ deux domaines bornés de R3 eth :Ω′ → Ω
(u,v ,w) 7→ (x ,y ,z)= (x(u,v ,w),y(u,v ,w),z(u,v ,w))un
difféomorphisme de classe C1.Alors pour toute fonction continue f :Ω→R on aÑ
Ωf (x ,y ,z)dxdydz =
ÑΩ′
f (h(u,v ,w))∣∣detJach(u,v ,w)
∣∣dudvdw
=Ñ
Ω′f (x(u,v ,w),y(u,v ,w),z(u,v ,w))
∣∣detJach(u,v ,w)∣∣dudvdw .
3 Février 2021 11 / 44
CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLE
Par le changement de variable h, l’élément de volume dxdydz setransforme en |detJach(u, v , w)|dudvdw .
THÉORÈME
Sous les hypothèses précédentes, pour un C 1 difféomorphismeh :A→B entre deux domaines on aura :
volume(B)=Ñ
Bdxdydz =
ÑA|detJach(u, v , w)|dudvdw .
3 Février 2021 12 / 44
CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLE
On va calculer l’intégrale tripleÑ
Pxdxdydz où P est le
parallélépipède ayant pour sommets les points suivants :A = (0,0,0),B = (1,2,1),C = (2,3,2),D = (1,1,1),A′ = (1,1,2),B′ = (2,3,3),C′ = (3,4,4) et D′ = (2,2,3) .
Exemple 10.7:Evaluons l’integrale triple
∫∫∫D xyz dx dy dz ou D est le parallelipipede ayant pour sommets les points suiv-
ants: A = (0, 0, 0), B = (1, 2, 1), C = (2, 3, 2), D = (1, 1, 1), A′ = (1, 1, 2), B′ = (2, 3, 3), C′ = (3, 4, 4) etD′ = (2, 2, 3). Nous avons represente le domaine D dans la figure 10.4.
A
B
CD
A'
B'
C'D'
x
y
z
figure 10.4Le plan contenant les points A, B, C, D a comme equation z − x = 0, celle du plan contenant les points
A’, B’, C’, D’ est z − x = 1. Le plan contenant les points A, D, A’, D’ a comme equation y − x = 0, celledu plan contenant B, C, B’, C’ est y − x = 1. Le plan contenant les points A, B, A’, B’ a comme equation3x−y−z = 0, celle du plan contenant C, D, C’, D’ est 3x−y−z = 1. Nous pouvons considerer les nouvellescoordonnees:
u = −x + y,
v = 3x − y − z,
w = −x + z.
Il est facile de verifier que ceci est un changement de coordonnees. Il faut simplement noter que la matrice⎛⎝
−1 1 03 −1 −1
−1 0 1
⎞⎠
est inversible ou encore que son determinant n’est pas nul. Dans ces nouvelles coordonnees, D correspondau domaine D′ = (u, v, w) | 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1, 0 ≤ w ≤ 1 et
⎧⎨⎩
⎛⎝
x = u + v + wy = 2u + v + wz = u + v + 2w
⎞⎠ ⇒ ∂(x, y, z)
∂(u, v, w)=
∣∣∣∣∣∣
⎛⎝
1 1 12 1 11 1 2
⎞⎠∣∣∣∣∣∣= −1.
Donc de tout ceci et du theoreme 10.1, nous avons∫∫∫
D
xyz dxdydz =
∫∫∫
D′(u + v + w)(2u + v + w)(u + v + 2w)| − 1| dudvdw
=
∫ 1
0
(∫ 1
0
(∫ 1
0
(u + v + w)(2u + v + w)(u + v + 2w) dw
)dv
)du
=197
24.
Exemple 10.8:Soit la region R de R2 dans le premier quadrant consistant des points (x, y) tels que 1 ≤ xy ≤ 4 et x ≤ y ≤ 3x,
93
3 Février 2021 13 / 44
CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLE
Le plan contenant les points A,B,C,D a pour équation z −x = 0,l’équation du plan contenant les points A′,B′,C′,D′ est z −x = 1.
Le plan contenant les points A,D,A′,D′ a pour équation y −x = 0,celle du plan contenant B,C,B′, C’ est y −x = 1.
Le plan contenant les points A,B,A′,B′ a comme équation3x −y −z = 0,enfin, celle du plan contenant C,D,C′,D′ est 3x −y −z = 1.
3 Février 2021 14 / 44
CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLE
Nous pouvons considérer les nouvelles coordonnées :u =−x +y ,
v = 3x −y −z,
w =−x +z.
Il est facile de vérifier que ceci est un changement de variables :x = u+v +w
y = 2u+v +w
z = u+v +2w
⇒ h(u,v ,w)= (u+v+w ,2u+v+w ,u+v+2w)
et detJach(u,v ,w)= det
∂x∂u
∂x∂v
∂x∂w
∂y∂u
∂y∂v
∂y∂w
∂z∂u
∂z∂v
∂z∂w
= det
1 1 12 1 11 1 2
=−1.
3 Février 2021 15 / 44
CHANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE TRIPLE
Dans ces nouvelles coordonnées, P correspond au cube
P′ = (u, v , w) |0≤ u ≤ 1,0≤ v ≤ 1,0≤w ≤ 1 = [0,1]3.
Nous avons donc, par la formule de changement de variables :
ÑP
x dxdydz =Ñ
P ′(u+v+w)|−1|dudvdw =
Ñ[0,1]3
(u+v+w)dudvdw
=∫ 1
0udu
∫ 1
0dv
∫ 1
0dw+
∫ 1
0du
∫ 1
0vdv
∫ 1
0dw+
∫ 1
0du
∫ 1
0dv
∫ 1
0wdw
= 3∫ 1
0udu
∫ 1
0dv
∫ 1
0dw = 3
∫ 1
0udu = 3
[u2
2
]1
0= 3
2.
3 Février 2021 16 / 44
COORDONNÉES CYLINDRIQUES
Dans R3, les coordonnées cylindriques sont utiles lorsque leproblème étudié présente une symétrie autour d’un axe.Un point M = (x , y , z) de R3 peut s’écrire sous la formeM = (r cosθ, r sinθ, z) avec r ≥ 0 et θ ∈] −π,π].
Section 15.7 Cylindrical Coordinates
Cylindrical Coordinates
Cylindrical coordinates are a three dimensional coordinate system, wherethe xy coordinates are replaced by polar coordinates. The conversions are
Cartesian to Cylindrical
x = r cos
y = r sin
z = z
Multivariable Calculus 69 / 87
Section 15.7 Cylindrical Coordinates
Cylindrical Coordinates
Cylindrical coordinates are a three dimensional coordinate system, wherethe xy coordinates are replaced by polar coordinates. The conversions are
Cartesian to Cylindrical
x = r cos
y = r sin
z = z
Multivariable Calculus 69 / 87
Le triplet (r , θ, z) s’appelle les coordonnées cylindriques de M. Onnote
h : [0,+∞[×]−π, π]×R → R3
(r , θ, z) 7→ (x , y , z)= (r cosθ, r sinθ, z)
3 Février 2021 17 / 44
COORDONNÉES CYLINDRIQUES
La jacobienne de h au point (r ,θ,z) est
Jach(r ,θ,z)=
∂x∂r
∂x∂θ
∂x∂z
∂y∂r
∂y∂θ
∂y∂z
∂z∂r
∂z∂θ
∂z∂z
=cosθ −r sinθ 0sinθ r cosθ 0
0 0 1
et son déterminant jacobien
detJach(r ,θ,z)=∣∣∣∣∣∣cosθ −r sinθ 0sinθ r cosθ 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣= det
∣∣∣∣cosθ −r sinθsinθ r cosθ
∣∣∣∣= r(cos2θ+ sin2θ)= r
3 Février 2021 18 / 44
COORDONNÉES CYLINDRIQUES
THÉORÈME (PASSAGE EN COORDONNÉES CYLINDRIQUES)
Soient f :Ω⊂R3 →R une fonction continue sur Ω= h(Ω′) ( domainesréguliers). On a alorsÑ
Ωf (x , y , z)dxdydz =
ÑΩ′
f (r cosθ, r sinθ, z)rdrdθdz.
Démonstration : On applique Fubini en tranches z =constanteÏΩ
f (x , y , z)dxdydz =∫ zmax
zmin
(
ÏDz
f (x , y , z)dxdy)dz et on passe
en coordonnées polaires sur chaque Dz
=∫ zmax
zmin
(
ÏD′
z
f (r cosθ, r sinθ, z)rdrdθ)dz =ÑΩ′
f (r cosθ, r sinθ, z)rdrdθdz par Fubini.ä
3 Février 2021 19 / 44
COORDONNÉES CYLINDRIQUES
REMARQUE
Cet énoncé est très utile pour intégrer des fonctions sur des solides derévolution : c’est-à-dire des solides invariants par rotation autour dun axepar exemple Oz. Les équations de ces domaines sont des fonctions der2 = x2 +y2 et de z.
3 Février 2021 20 / 44
COORDONNÉES CYLINDRIQUES
Exercice : Transformer l’intégrale suivante en coordonnéescylindriques :
∫ 3
0
(∫ 0
−p
9−x2
(∫ p9−x2−y2
0yz2dz
)dy
)dx
Section 15.7 Cylindrical Coordinates
Example 2
Convert the following triple integral to cylindrical coordinates:Z 3
0
Z 0
p
9x2
Z p9x2y2
0yz2dzdydx
Multivariable Calculus 73 / 87
3 Février 2021 21 / 44
COORDONNÉES CYLINDRIQUES
Exercice : Écrire l’intégraleÑ
Ωf (x ,y ,z)dxdydz en coordonnées
cylindriques où Ω est le domaine borné compris entre les graphesdez = x2 +y2 et z =
√1−x2 −y2
Section 15.7 Cylindrical Coordinates
Example 1
Set up the integral for f (x , y , z) over the region R enclosed between thegraphs z = x2 + y2 and z =
p1 x2 y2.
Multivariable Calculus 72 / 87
3 Février 2021 22 / 44
COORDONNÉES CYLINDRIQUES
PROPOSITION
Soit V un domaine de R3 tel qu’il existe a,b ∈R avec a< b et unefonction ϕ :R× [a, b]→R∗+ continue, 2π périodique par rapport à lapremière variable, et vérifiant
V = (r cosθ, r sin(θ), z), θ ∈R, z ∈ [a, b], 0≤ r ≤ϕ(θ, z)
Alors pour toute fonction f continue sur V , on aÑV
f (x , y , z)dxdydz =∫ b
a
∫ π
−π
∫ ϕ(θ,z)
0f (r cos(θ), r sin(θ), z)rdrdθdz.
3 Février 2021 23 / 44
COORDONNÉES CYLINDRIQUES
Pour z ∈ [a, b] on note T (z)=V ∩ (R2 × z). Alors on a
T (z)= (r cos(θ), r sin(θ), z) | θ ∈R, 0≤ r ≤ϕ(θ, z).
PuisqueÏV
f (x , y , z)dxdydz =∫ b
a
(ÏT (z)
f (x , y , z)dxdy)
dz,
il suffit de passer en coordonnées polaires sur chaque trancheT (z) äLe passage en coordonnées cylindriques donne
dxdydz = rdrdθdz
3 Février 2021 24 / 44
COORDONNÉES CYLINDRIQUES
EXEMPLE
Considérons à nouveauÑ
V(1−2yz)dxdydz où V est le cylindre plein
de hauteur 3 et de base le disque unité D.En coordonnées cylindriques, V est représenté par
V ′ = (r , θ, z)| r ∈ [0,1], θ ∈ [0,2π], z ∈ [0,3] = [0,1]× [0,2π]× [0,3]
Puisque dxdydz = rdrdθdz on auraÑV(1−2yz)dxdydz =
ÑV ′(1−2rz sin(θ))rdrdθdz
=∫ 3
0
(∫ 1
0
(∫ 2π
0(1−2rz sinθ)dθ
)rdr
)dz =∫ 3
0
(∫ 1
0[θ+2rz cosθ]2π0 rdr
)dz
=∫ 3
0
(∫ 1
0(2π+2rz −2rz) rdr
)dz =
∫ 3
0
(∫ 1
02πrdr
)dz = 3π[r2]10 = 3π .
3 Février 2021 25 / 44
COORDONNÉES CYLINDRIQUES
REMARQUE
La fonction (x ,y ,z) 7→ 2yz est impaire par rapport à y et le domaine Vest symétrique par rapport au plan xOz, alors le changement de variables
(x ,y ,z) 7→ (x ,−y ,z) donneÑ
V2yzdxdydz =−
ÑV
2yzdxdydz d’oùÑV
2yzdxdydz = 0.
Ainsi,Ñ
V(1−2yz)dxdydz est égal àÑ
Vdxdydz =Volume(V )= 3×Aire(D)= 3π .
3 Février 2021 26 / 44
COORDONNÉES CYLINDRIQUES
Exercice :
Calculer I =ÏΩ(x2 +y2)dxdydz avec
Ω= (x , y , z) ∈R3,0≤ z ≤ 1, x2 +y2 ≤ z2.
Ω est un solide de révolution.
Pour y = 0, on a x2 ≤ z2 et 0≤ z ≤ 1 qui est un triangle.
Par conséquent Ω est le cône plein de sommet 0 et de base ledisque D1 = (x , y , 1), x2 +y2 ≤ 1
On obtient par passage en coordonnées cylindriques
Ω= (r cosθ, r sinθ, z) ∈R3 | 0≤ θ≤ 2π, 0≤ z ≤ 1,0≥ r ≤ z.
Ainsi,
I =∫ 2π
0dθ
∫ 1
0
(∫ z
0r3dr
)dz = 2π
∫ 1
0
z4
4dz = 2π
[z5
20
]1
0= π
10.
3 Février 2021 27 / 44
COORDONNÉES CYLINDRIQUES
On se propose de calculer l’intégrale triple :
I =Ñ
Dzx2+y2
dxdydz
où D est le cylindre défini par : x2 +y2 ≤ a, 0≤ z ≤ 1.L’image de D en coordonnées cylindriques est
D′ = (r ,θ,z) | 0≤ r ≤pa, 0≤ θ≤ 2π, 0≤ z ≤ 1 = [0,
pa]×[0,2π]×[0,1]
comme dxdydz = rdrdθdz et zx2+y2 = zr2, le théorème de
changement de variables en coordonnées cylindriques, nous donne
I =Ñ
D′zr2
rdrdθdz =∫ 2π
0dθ
∫ pa
0
(∫ 1
0zr2
dz)
rdr = 2π∫ p
a
0
[zr2+1
r2 +1
]1
0
rdr
= 2π∫ p
a
0
r
r2 +1dr = 2π
[1
2ln(r2 +1)
]pa
0= π ln(a+1)
3 Février 2021 28 / 44
COORDONNÉES SPHÉRIQUES
Une définition : un point M = (x , y , z) ∈R3 est caractérisé parsa distance à l’origine r =
√x2 +y2 +z2,
sa longitude θ ∈]−π,π],sa latitude ϕ ∈ [−π
2 , π2 [ ( ϕ= π
2 vers le pôle nord, ϕ=−π2 vers le
pôle sud).
88 CHAPITRE 8. CALCUL D’INTÉGRALES DOUBLES ET TRIPLES
x
y
z
O
r
M
M ′θ
ϕ
Fig. 8.4 – Coordonnées sphériques
J =
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎝
∂x
∂ρ
∂x
∂θ
∂x
∂ϕ∂y
∂ρ
∂y
∂θ
∂y
∂ϕ∂z
∂ρ
∂z
∂θ
∂z
∂ϕ
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎠=
⎛
⎝cosϕ cos θ −ρ sin θ cosϕ −ρ sinϕ cos θcosϕ sin θ ρ cos θ cosϕ −ρ sinϕ sin θ
sinϕ 0 ρ cosϕ
⎞
⎠ .
Le déterminant de J est : det J = ρ2 cosϕ (règle de Sarrus). On en déduit :
V =
∫∫∫
B′
ρ2 cosϕdρdϕdθ =
∫ R
0
ρ2dρ
∫ π2
−π2
cosϕdϕ
∫ 2π
0
dθ.
Il s’ensuit immédiatement que V =4πR3
3.
Plus généralement, énonçons le théorème de changement de coordonnées en dimension3, dont le meilleur exemple d’application est le calcul du volume de la sphère de centre Oet rayon R effectué ci-dessus :
Théorème 8.5. Changement de variable.Soit ψ : U ⊂ R3 −→ V ⊂ R3, un C1-difféomorphisme tel que :
ψ(u, v, w) = (P (u, v, w), Q(u, v, w), R(u, v, w)) .
Si D ⊂ U , on note D′ = ψ(D). On peut encore écrire D = ψ−1(D′), et si f est unefonction continue de U dans R, alors :
∫∫∫
D′
f(x, y, z).dx.dy.dz =
∫∫∫
Df (ψ(u, v, w)) |Jψ(u, v, w)|.du.dv.dw
, où l’on aura noté Jψ, le déterminant :
Jψ := det
⎛
⎜⎜⎜⎜⎝
∂P
∂u
∂P
∂v
∂P
∂w∂P
∂u
∂Q
∂v
∂Q
∂w∂P
∂u
∂R
∂v
∂R
∂w
⎞
⎟⎟⎟⎟⎠
.
M
M’
On a z2 + (x2 +y2)= r2, d’où z = r sinϕ et√
x2 +y2 = r cosϕ
3 Février 2021 29 / 44
COORDONNÉES SPHÉRIQUES
et finalement
x = r cosθcosϕy = r sinθcosϕz = r sinϕ.
Le triplet (r , θ,ϕ) s’appelle les coordonnées sphériques de M. Onnote
h : [0,+∞[×][π, π]× [−π2 , π2 ]→R3
(r , θ, ϕ) 7→ (x , y , z)= (r cosθcosϕ, y = r sinθcosϕ, r sinϕ)
3 Février 2021 30 / 44
COORDONNÉES SPHÉRIQUES
REMARQUE
Les coordonnées sphériques sont adaptées aux problèmes quiprésentent une symétrie autour du centre du repère.
3 Février 2021 31 / 44
COORDONNÉES SPHÉRIQUES
PROPOSITION
L’application
h :R∗+×]−π, π[×]− π
2 , π2 [ −→ R3\(R−× 0×R)
(r , θ, ϕ) 7−→ (r cos(θ)cos(ϕ), r sin(θ)cos(ϕ), r sin(ϕ))
est un difféomorphisme de classe C1 (un changement de variables).
En outre pour tout (r , θ, ϕ) ∈R∗+×]−π,π[×]− π
2,π
2[ on a
detJach(r , θ,ϕ)= r2 cos(ϕ).
3 Février 2021 32 / 44
COORDONNÉES SPHÉRIQUES
Démonstration : Pour (r , θ, ϕ) ∈R∗+×]−π,π[×]− π
2,π
2[ on a x(r ,θ,ϕ)
y(r ,θ,ϕ)z(r ,θ,ϕ)
= r cos(θ)cos(ϕ)
r sin(θ)cos(ϕ)r sin(ϕ)
On commence par noter que les dérivées partielles
∂x
∂r= cos(θ)cos(ϕ) ,
∂x
∂θ=− r sin(θ)cos(ϕ) ,
∂x
∂ϕ=− r cos(θ)sin(ϕ) ,
∂y
∂r= sin(θ)cos(ϕ) ,
∂y
∂θ= r cos(θ)cos(ϕ) ,
∂y
∂ϕ=− r sin(θ)sin(ϕ) ,
∂z
∂r= sin(ϕ),
∂z
∂θ= 0, et
∂z
∂ϕ= r cos(ϕ)
existent et sont continues, d’où h est de classe C1.Si r cos(ϕ)cos(θ)= r ′ cos(ϕ′)cos(θ′), r cos(ϕ)sin(θ)=r ′ cos(ϕ′)sin(θ′) et r sin(ϕ)= r ′ sin(ϕ′) alors
3 Février 2021 33 / 44
COORDONNÉES SPHÉRIQUES
r =√( r cos(ϕ)cos(θ))2 + ( r cos(ϕ)sin(θ))2 + ( r sin(ϕ))2
=√( r ′ cos(ϕ′)cos(θ′))2 + ( r ′ cos(ϕ′)sin(θ′))2 + ( r ′ sin(ϕ′))2 = r ′
car r , r ′ > 0. De ceci, nous obtenonscos(ϕ)cos(θ)= cos(ϕ′)cos(θ′),cos(ϕ)sin(θ)= cos(ϕ′)sin(θ′) etsin(ϕ)= sin(ϕ′) après simplification par r . La dernière équationnous permet d’affirmer que ϕ=ϕ′ car −π
2 <ϕ,ϕ′ < π2 . De
cos(ϕ)cos(θ)= cos(ϕ)cos(θ′),cos(ϕ)sin(θ)= cos(ϕ)sin(θ′),nous obtenons que cos(θ)= cos(θ′),sin(θ)= sin(θ′) aprèssimplification par cos(ϕ)> 0 car −π
2 <ϕ< π2 . De cette dernière
observation, nous obtenons que θ= θ′ car −π≤ θ,θ′ <π. Ainsi hest une fonction injective.
3 Février 2021 34 / 44
COORDONNÉES SPHÉRIQUES
Finalement, le jacobien est égal àdetJach(r , θ,ϕ)=∣∣∣∣∣∣cos(θ)cos(ϕ) −r sin(θ)cos(ϕ) −r cos(θ)sin(ϕ)sin(θ)cos(ϕ) r cos(θ)cos(ϕ) −r sin(θ)sin(ϕ)
sin(ϕ) 0 r cos(ϕ)
∣∣∣∣∣∣= (r2 cos2(θ)cos3(ϕ)+ r2 sin2(θ)sin2(ϕ)sin(ϕ)+0)
−(−r2 cos2(θ)sin2(ϕ)cos(ϕ)+0− r2 sin2(θ)cos3(ϕ))
= r2 cos3(ϕ)+ r2 sin2(ϕ)cos(ϕ)
= r2 cos(ϕ)(cos2(ϕ)+ sin2(ϕ))= r2 cos(ϕ). ä
3 Février 2021 35 / 44
COORDONNÉES SPHÉRIQUES
Le passage en coordonnées sphériques donne
dxdydz = r2 cos(ϕ)drdθdϕ.
Attention :Il existe plusieurs conventions pour les coordonnées sphériques(mathématiciens, physiciens, astronomes· · · ). On suit ici laconvention "rayon-longitude-latitude". Il y a d’autres conventions, parexemple "rayon-longitude-colatitude" dans ce cas on a pourcoordonnées
x = r cosθsinϕy = r sinθsinϕz = r cosϕ.
où la colatitude ϕ ∈ [0, π] (ϕ= 0 vers le pôle nord, ϕ=π vers lepôle sud).
3 Février 2021 36 / 44
COORDONNÉES SPHÉRIQUES
Ces coordonnées sphériques donne dxdydz = r2 sin(ϕ)drdθdϕ .
ρ
θ
ϕ
x
y
z (x, y, z)
figure 9.10Nous pouvons aussi enoncer une proposition similaire a la proposition 8.3 avec dans ce cas-ci le change-
ment de coordonnees cartesiennes a coordonnees spheriques.
Proposition 9.4:Soient R, une region de l’espace des x, y, z, R′ l’ensemble des (ρ, θ, ϕ) ∈ [0, ∞) × [0, 2π) × [0, π] tels que(ρ sin(ϕ) cos(θ), ρ sin(ϕ) sin(θ), ρ cos(ϕ)) ∈ R, la region correspondante dans l’espace des ρ, θ, ϕ et une fonc-tion reelle f : R → R telle que l’integrale triple
∫∫∫R
f(x, y, z) dx dy dz existe. Alors∫∫∫
R′f(ρ sin(ϕ) cos(θ), ρ sin(ϕ) sin(θ), ρ cos(ϕ)) ρ2 sin(ϕ) dρ dθ dϕ
existe et nous avons∫∫∫
R′f(ρ sin(ϕ) cos(θ), ρ sin(ϕ) sin(θ), ρ cos(ϕ)) ρ2 sin(ϕ) dρ dθ dϕ =
∫∫∫
R
f(x, y, z) dx dy dz.
Preuve: Celle-ci est similaire a celle de la proposition 8.3 au chapitre precedent. Il s’agit de calculer un petitelement de volume. Ceci est obtenu dans la figure 9.11. Cette region represente la i-ieme sous-region dansla definition de l’integrale triple. Son volume est ρ2
i sin(ϕi) (∆ϕi) (∆θi) (∆ρi). Ceci explique la presence dufacteur ρ2 sin(ϕ) dρ dθ dϕ dans l’integrale du cote gauche de l’egalite.
Δρi
ρi ϕiangle de mesure Δϕ i
θiangle de mesure Δθi
côté de longueur Δρ i
côté de longueur ρ sin(ϕ ) Δθcôté de longueur ρ Δϕ
i i i
i i
figure 9.11
segment de longueur ρ sin(ϕ )i i
82
rr
Section 15.8 Spherical Coordinates
Converting to Spherical
The following formulas follow from trigonometry.
Cartesian to Spherical
x = cos sin
y = sin sin
z = cos
Notice: x2 + y2 + z2 = 2
A full sphere is 0 2
0
Multivariable Calculus 80 / 87
Pour s’adapter au contexte, il vaut mieux se rappeler de la méthodeplutôt que d’apprendre les formules par cœur.
3 Février 2021 37 / 44
COORDONNÉES CYLINDRIQUES
Exercice : Transformer l’intégrale suivante en coordonnéessphériques :
∫ 3
0
(∫ 0
−p
9−x2
(∫ p9−x2−y2
0yz2dz
)dy
)dx
Section 15.7 Cylindrical Coordinates
Example 2
Convert the following triple integral to cylindrical coordinates:Z 3
0
Z 0
p
9x2
Z p9x2y2
0yz2dzdydx
Multivariable Calculus 73 / 87
3 Février 2021 38 / 44
COORDONNÉES SPHÉRIQUES
THÉORÈME (PASSAGE EN COORDONNÉES SPHÉRIQUES)
Soit f :Ω→R une fonction continues sur Ω= h(Ω′) domaines réguliersde R3. Alors on aÑ
Ωf (x , y , z) dxdydz =
ÑΩ′
f (h(r ,θ,ϕ))r2 cosϕdrdθdϕ
=Ñ
Ω′f (r cosθcosϕ, r sinθcosϕ, r sinϕ) r2 cosϕdrdθdϕ.
Cette formule est très utile pour intégrer des fonctions sur des secteursangulaires de boules.
3 Février 2021 39 / 44
COORDONNÉES SPHÉRIQUES
REMARQUE (PASSAGE EN COORDONNÉES SPHÉRIQUES)Avec les coordonnées sphériques "rayon-longitude-colatitude"
x = r cosθsinϕy = r sinθsinϕz = r cosϕ.
La formule de changement de variables devient :ÑΩ
f (x , y , z) dxdydz =Ñ
Ω′f (h(r ,θ,ϕ))r2 sinϕdrdθdϕ
=Ñ
Ω′f (r cosθsinϕ, r sinθsinϕ, r cosϕ) r2 sinϕdrdθdϕ.
3 Février 2021 40 / 44
EXEMPLE
EXEMPLE ( VOLUME D’UNE LA BOULE DE RAYON R EN
COORDONNÉES SPHÉRIQUES)Quitte à faire une translation, on peut supposer que la boule BR de rayonR est centrée à l’origine. Elle est représentée, en coordonnéessphériques, par B′
R = (r ,θ,ϕ,)| r ∈ [0, R], θ ∈ [−π, π], ϕ ∈ [−π
2 , π2 ]
.Puisque dxdydz = r2 cos(ϕ)drdθdϕ on a
Vol(BR) =Ñ
BR
dxdydz =Ñ
B′R
r2 cosϕdrdθdϕ
=∫ R
0r2dr
∫ π
−πdθ
∫ π2
− π2
cos(ϕ)dϕ
= [r3
3]R0 × [θ]π−π× [sin(ϕ)]
π2
− π2= R3
3×2π×2= 4πR3
3.
3 Février 2021 41 / 44
COORDONNÉES SPHÉRIQUES
EXEMPLE (CALCUL D’INTÉGRALE EN UTILISANT LES SYMÉTRIES).
Soit à calculer I =Ñ
BR
(ax +by +cz)2dxdydz où BR est la boule de
centre O = (0,0,0) et de rayon R.On a (ax +by +cz)2 = a2x2 +b2y2 +c2z2 +2(abxy +acxz +bcyz),d’autre part en raison des symétries du domaine BR on aura :Ñ
BR
xydxdydz =Ñ
BR
yzdxdydz =Ñ
BR
zxdxdydz = 0,
et ÑBR
x2dxdydz =Ñ
BR
y2dxdydz =Ñ
BR
z2dxdydz.
Alors,
I = (a2 +b2 +c2)
ÑBR
z2dxdydz.
3 Février 2021 42 / 44
COORDONNÉES SPHÉRIQUES
EXEMPLE
On utilise les coordonnées sphériques
x = r cosθcosϕ, y = r sinθcosϕ, z = r sinϕ.
le domaine BR est transformé en B′R = [0,R]× [−π, π]× [−π
2 , π2 ], et
z2 = r2 sin2ϕ.La formule de changement de variables nous donne :Ñ
BR
z2dxdydz =Ñ
B′R
(r2 sin2ϕ) r2 cosϕdrdθdϕ=ÑB′
R
r4 sin2ϕ cosϕdrθdϕ.
3 Février 2021 43 / 44
COORDONNÉES SPHÉRIQUES
EXEMPLE
Comme les variables sont séparables, on aÑBR
z2dxdydz = (
∫ R
0r4dr) (
∫ π
−πdθ) (
∫ π2
− π2
cosϕsin2ϕdϕ)
= 2πR5
5
[sin3ϕ
3
] π2
− π2
= 4πR5
15,
d’où
I = (a2 +b2 +c2)4πR5
15.
3 Février 2021 44 / 44