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CALCUL INTÉGRAL

Thomas . Weir . Hass . Giordano Onzième édition

SOLUTIONNAIRE DE L’ENSEIGNANT

Chapitre 3 : Techniques d’intégration, règle de l’Hospital et intégrales impropres

Adaptation

Vincent Godbout Hughes Boulanger

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Exercices 3.1 page 427

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Exercices 3.1 - Intégration par parties

1. Soit . 2

sin et dxxdvxu == Alors ,2

cos2- et xvdxdu == et

.2

sin42

cos2-

2sin22

2cos2-

2

cos2-2

cos2- 2

sin

Cxxx

Cxxx

dxxxxdxxx

++=

+⋅+=

−= ∫∫

2. Soit . cos et θπθθ ddvu == Alors ,sin1 et πθπ

θ == vddu de sorte que

( )

.cos1sin

cos-11sin

sin1sin cos

2 C

C

dd

+−=

+⋅−=

−= ∫∫

πθπ

πθπθ

πθππ

πθπθ

θπθπ

πθπθθπθθ

3. Soit . cos et2 dttdvtu == Alors ,sin 2 et tvdttdu == d'où . sin2sin cos 22 ∫∫ −= dtttttdttt

Dans la seconde intégrale, posons . sin et dttdvtu == Alors ,cos- et tvdtdu == de sorte que

2 2 2cos sin 2 - cos -cos sin 2 cos 2sin .t t dt t t t t t dt t t t t t C⎡ ⎤= − − = + − +⎣ ⎦∫ ∫

L'intégration tabulaire aurait donné le même résultat :

( ) ( )

CtttttCtttttdtt

+−+=

++−=∫sin2cos2sin

sin-2cos-2sin cost 2

22

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428 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

4. Soit . sin et2 dxxdvxu == Alors ,cos- 2 et xvdxxdu == de sorte que

. cos2cos- sin 22 ∫∫ += dxxxxxdxxx

Dans la seconde intégrale, posons . cos et dxxdvxu == Alors ,sin et xvdxdu == d'où

( )

2 2

2

2

sin - cos 2 sin sin

- cos 2 sin 2 -cos

- cos 2 sin 2cos .

x x dx x x x x x dx

x x x x x C

x x x x x C

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

= + − +

= + + +

∫ ∫

L'intégration tabulaire aurait donné le même résultat.

cos2+sin2cos- sin 22 Cxxxxxdxxx ++=∫

5. Soit . ln et dxxdvxu == Alors ,2

1 2

et xvdxx

du == de sorte que

dxx

xxxdxxx 12

ln2

ln22

⋅−= ∫∫

.4

ln2

221ln

2

21ln

2

22

22

2

Cxxx

Cxxx

dxxxx

+−=

+−=

−= ∫

Finalement, 2

1

2

1

22

4ln ln∫ ⎥

⎤⎢⎣

⎡−=

xxxxdxxx

.

434ln

432ln2

41012ln2

−=−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=

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Exercices 3.1 page 429

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

6. Soit . ln 3et dxxdvxu == Alors ,4

1 4

et xvdxx

du == de sorte que

.161ln

4

41ln

4 ln 4

43

43 Cxxxdxxxxdxxx +−=−= ∫∫

Finalement, e

1

e

1

44

3

161ln

4 ln∫ ⎥

⎤⎢⎣

⎡−= xxxdxxx

( ) ( )

4 4

4

1 11 04 16 4 16

3 1 .16 16

e e

e

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − − ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= +

7. Soit . tan et dydvyarcu == Alors , 1

1 et2 yvdyy

du =+

= de sorte que

( ).1lntan

1ln21tan

1

221tan

1

tan tan

2

2

2

2

Cyyarcy

Cyyarcy

dyyyyarcy

dyy

yyarcydyyarc

++−=

++−=

+−=

+−=

∫∫

8. Soit . sin et dydvyarcu == Alors , 1

1 et2

yvdyy

du =−

= de sorte que

( )

( )

.1sin

211

21sin

1

2-21sin

1

sin sin

2

212

2

2

Cyyarcy

Cyyarcy

dyy

yyarcy

dyy

yyarcydyyarc

+−+=

+−

+=

−+=

−−=

∫∫

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430 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

9. Soit . sec 2et dxxdvxu == Alors ,tan et xvdxdu == de sorte que

∫ ∫−= dxxxxdxxx tantan sec2

. cos lntan Cxxx ++=

10. Soit . 2sec 4 2et dxxdvxu == Alors ,2tan21 4 et xvdxdu == de sorte que

∫ ∫−= dxxxxdxxx 2tan22tan2 2sec4 2

. 2cos- ln2tan2 Cxxx ++= 11. Procédons par intégration tabulaire.

( )3 3 2

3 2

3 6 6

3 6 6

x x x x x

x

x e dx x e x e xe e C

x x x e C

= − + − +

= − + − +

12. Procédons par intégration tabulaire.

( )

4 - 4 - 3 - 2 - - -

4 3 2 -

- 4 12 24 24 .

- 4 12 24 24

p p p p p p

p

p e dp p e p e p e pe e C

p p p p e C

= − − − − +

= + + + + +

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Exercices 3.1 page 431

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13. Procédons par intégration tabulaire.

( ) ( ) ( )

( )( )

2 2

2

2

5 5 2 5 2

5 2 5 2

7 7

x x x x

x

x

x x e dx x x e x e e C

x x x e C

x x e C

− = − − − + +

= − − + + +

= − + +

14. Procédons par intégration tabulaire.

( ) ( ) ( )

( )( )

2 2

2

2

1 1 2 1 2

1 2 1 2

2

r r r r

r

r

r r e dr r r e r e e C

r r r e C

r r e C

+ + = + + − + + +

= + + − − + +

= − + +

15. Procédons par intégration tabulaire.

( )

5 5 4 3 2

5 4 3 2

5 20 60 120 120

5 20 60 120 120

x x x x x x x

x

x e dx x e x e x e x e xe e C

x x x x x e C

= − + − + − +

= − + − + − +

16. Procédons par intégration tabulaire.

2 4 2 4 4 4

2 4

1 1 1 4 8 321 1 1 4 2 8

t t t t

t

t e dt t e t e e C

t t e C

= − + +

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

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432 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

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17. Procédons par intégration tabulaire.

( ) ( ) ( ) ( )

21

841

41

8

141001-

410

41-

8-

2cos412sin

22cos

2- 2sin

22

2

2

0

2

0

22

−=−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++=∫

ππ

ππ

θθθθθθθθπ π

d

18. Procédons par intégration tabulaire.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

223 3 2

00

3 2

2

1 3 3 3cos2 sin 2 cos2 sin 2 cos22 4 4 8

3 3 3 3 0 -1 0 -1 0 0 0 116 16 8 8 8

3 3-16 4

ππ

x x dx x x x x x x x

π π π

π

⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= +

19. Soit . sec et dttdvtarcu == Alors ,2

1

1 2

2et tvdt

ttdu =

−= de sorte que

( )

2

2

2

2

1 222

22

1 sec sec 2 2 1

1 2sec 2 4 1

11sec2 4 1 2

1sec 1 .2 2

t tt arc t arc t dtt

t tarc t dtt

tt arc t C

t arc t t C

= −−

= −−

−= − +

= − − +

∫ ∫

.33

95

63

632

23

32

31

21

32sec

323

212sec2

121sec

2 sec

2

32

222

32

,Finalement

−=+⋅−−⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=∫

πππ

arcarc

ttarctdttarct

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Exercices 3.1 page 433

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

20. Soit dxxdvxarcu 2 sin et2 == Alors , 1

2 24

et xvdxx

xdu =−

= de sorte que

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) .1sin

211

21sin

1

4-21sin

1

2sin sin 2

422

21422

4

322

4

3222

Cxxarcx

Cxxarcx

dxx

xxarcx

dxx

xxarcxdxxarcx

+−+=

+−

+=

−+=

−−=

∫∫

( ) ( )

( )

123

121

23

621

10411

21sin

21

1sin sin 2 21

0

42221

0

2,Finalement

−+=−+⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=∫

ππ

arc

xxarcxdxxarcx

21. Soit . sin et θθθ ddveu == Alors ,cos- et θθθ == vdedu de sorte que

. coscos- sin θθθθθ θθθ deede ∫∫ +=

Dans la seconde intégrale, posons . cos et θθθ ddveu == Alors ,sin et θθθ == vdedu

d'où . sin sincos- sin θθθθθθ θθθθ deeede ∫∫ −+=

, sincos- sin2 Ceede ′++=∫ θθθθ θθθ d'où ( ) ,+cossin2

sin Cede θθθθθ

θ −=∫ où 2CC′

=

est une constante d'intégration arbitraire. 22. Soit dyydveu y cos et- == . Alors yvdyedu y sin - et- == , de sorte que

dyyeyedyye yyy sinsin cos --- ∫∫ += .

Dans la seconde intégrale, posons dyydveu y sin et- == . Alors yvdyedu y cos- - et- == ,

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434 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

( )( ) Cyyedyye

dyyeyeyedyyeyy

yyyy

′+−=

−+=

∫∫∫

cossin cos2

coscos-sin cos --

----oùd'

d'où ( ) Cyyedyyey

y +−=∫ cossin2

cos -

- , où 2

CC′

= est une constante d'intégration arbitraire.

23. Soit . 3cos et dxxdveu x == 2 Alors ,3sin31 2 et xvdxedu x ⋅== 2 de sorte que

. 3sin323sin

31 3cos dxxexedxxe xxx ∫∫ −= 222

Dans la seconde intégrale, posons . 3sin et dxxdveu x == 2 Alors ,3cos31- 2 et xvdxedu x == 2

( ) ,3cos23sin39

3cos9

13

3cos943cos

923sin

31 3cos

3cos323cos

31-

323sin

31 3cos

2

oùd'

Cxxedxxe

dxxexexedxxe

dxxexexedxxe

xx

x2xxx

xxxx

′++=

−+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=

∫∫

∫∫

2

222

2222

d'où ( ) ,+3cos23sin313

3cos Cxxedxxex

x +=∫

2

2 où CC ′= .139 est une constante d'intégration

arbitraire.

24. Soit dxxdveu x 2sin et2- == . Alors xvdxedu x 2cos21- -2 et2- == , de sorte que

dxxexedxxe xxx 2cos2cos21- 2sin ∫∫ −= 2-2-2- .

Dans la seconde intégrale, posons dxxdveu x 2cos et == -2 . Alors xvdxedu x 2sin21 2- et == 2- ,

d'où ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= ∫∫ dxxexexedxxe xxxx 2sin2sin

212cos

21- 2sin 2-2-2-2-

( ) Cxxedxxe

dxxexexedxxe

xx

xxxx

′++=

−−=

∫∫

2sin2cos21- 2sin2

2sin2sin212cos

21- 2sin

2-2-

2-2-2-2-

d'où ( ) Cxxedxxe xx ++=∫ 2sin2cos41- 2sin 2-2- , où

2CC′

= est une constante d'intégration

arbitraire.

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Exercices 3.1 page 435

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

25. Posons ,93 += sx alors . 3 2 93 et2 dsdxxsx =+=

. 32 93 dxxedse xs ∫∫ =+

Posons . et dxedvxu x== Alors , et xevdxdu == de sorte que

( )( )

( )

( ) .19332

13232

32

93

93

Cse

Cxe

Ceex

dxeexdse

s

x

xx

xxs

+−+=

+−=

+−=

−=

+

+ ∫∫

26. Posons ,1 xy −= alors .01 10 ,- et =⇒==⇒== yxyxdxdy

( ) ( )

( )15400

52

32

2523 1- 1

1

0

25231

0

23210

1

1

0

=−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=−=− ∫∫∫

yydyyydyyydxxx

27. ( )∫ ∫ ∫ ∫−=−=3

0

3

0

3

0

3

0

222 . sec 1sec tanπ π π π

dxxdxxxdxxxdxxx

Dans la première intégrale, posons dxxdvxu sec 2et == .

Alors xvdxdu tan et == , de sorte que

[ ]3

0

3

0

3

0

3

0

23

02

2 tantan sec

ππ π ππ∫ ∫ ∫ ⎥

⎤⎢⎣

⎡−−=−

xdxxxxdxxdxxx

[ ]

( )( )

( ) ( )

32330 0

0

2

2 2

tan ln cos 2

tan 0 ln cos 3 ln 13 3 18

3 3ln 1 2 ln 2 .3 18 3 18

πππ xx x x

π π ππ

π π π π

⎡ ⎤⎡ ⎤= + − ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦

⎛ ⎞= − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

= + − = − −

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436 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

28. Posons ( ) . ln et2 dxdvxxu =+= Alors , 21 et2 xvdxxxxdu =

++

= de sorte que

( ) ( ) ( )( )

( )( ) . 1 ln2ln

1

12ln

1

21ln ln

2

2

22

Cxxxxx

dxx

xxx

dxxxxxxxxdxxx

+++−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−+=

++

−+=+

∫∫

29. Posons xy ln= , de sorte que yexdxx

dy == 1 et .

( ) ∫∫ = dyeydxx y sin lnsin , qui s'intègre par parties.

Posons dyedvyu y sin et == . Alors yevdyydu == cos et .

∫∫ −= dyyeyedyey yyy cossin sin .

Dans la deuxième intégrale, posons dyedvyu y cos et == . Alors yevdyydu == sin- et , d'où

( )

( )

( ) ( ) ( )( )

sin sin cos sin

sin sin cos sin

2 sin sin cos

sin sin cos , où 2 2

sin ln sin ln cos ln .2

y y y y

y y y y

y y

yy

ye dy e y e y ye dy

ye dy e y e y ye dy

ye dy e y y C

e Cye dy y y C C

xx dx x x C

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

= − −

′= − +

′= − + =

= − +

∫ ∫∫ ∫∫

30. Posons ,ln zy = alors . et dyedzez yy ==

( ) dyeydyeyedzzz yyy ln 2222 ∫∫∫ =⋅⋅=

Procédons par intégration tabulaire.

( )

( ) ( )( )∫

++−=

++−=

++−=

Czzzdzzz

Cyye

Ceeyeydyeyy

yyyy

1ln2ln24

ln

,

1224

41

22

22

2

22

2222

22

finalementet

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Exercices 3.1 page 437

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

31. dxexy x 42∫=

Procédons par intégration tabulaire.

( )

2 4

24 4 4

42

1 4 8 32

8 4 132

x

x x x

x

y x e dx

x xe e e C

e x x C

=

= − + +

= − + +

32. dxxxy ln2∫=

Posons . ln 2et dxxdvxu == Alors ,3

1 3

et xvdxx

du == de sorte que

dxxxxdxxxy 31ln

3 ln 2

32 ∫∫ −==

.

9ln

3

331ln

333

33

Cxxx

Cxxx

+−=

+⋅−=

33. θθ dy sin∫=

Posons θ=x . Alors dxxdddx 2 2

1 et == θθθ

.

∫ ∫= dxxxd sin2 sin θθ

Posons dxxdvxu sin et == . Alors xvdxdu cos- et == , de sorte que

[ ]

( )

sin 2 - cos cos

2 - cos sin

2 sin cos .

y θ dθ x x x dx

x x x C

θ θ θ C

⎡ ⎤= = +⎣ ⎦

= + +

= − +

∫ ∫

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438 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

34. θθθθ dy tansec∫=

Posons . tansec et θθθθ ddvu == Alors ,sec et θθ == vddu de sorte que

∫ ∫−== θθθθθθθθ ddy secsec tansec

. tansec lnsec C++−= θθθθ

35. sin ∫=b

a

dxxxA

Posons . sin et dxxdvxu == Alors ,cos- et xvdxdu == de sorte que

[ ] [ ]bab

a

ba xxxdxxxxA sincos- coscos- +=+= ∫

a) [ ] ( ) ( ) 00sincos- sincos- 0 +−+=+= ππππxxxA

( ) ππ =+= 01--

b) [ ] ( ) ( )2 - cos sin -2 cos 2 sin 2 - cos sin ππA x x x π π π π π π= + = + − +

( ) ( )( ) -2 1 0 - -1 0 -2 3π π π π π⎡ ⎤= + − + = − =⎣ ⎦

c) [ ] ( ) ( ) 2sin2cos2-3sin3cos3- sincos- 32 ππππππππ +−+=+= xxxA

( )( ) ( )( ) -3 -1 0 -2 1 0 5π π π⎡ ⎤= + − + =⎣ ⎦

d) L'aire augmente de π2 pour chaque intervalle de .π

Nous pouvons chercher une régularité :

entre 0 et ,π l'aire ; π=

entre π et ,2π l'aire ; 3π=

entre π2 et ,3π l'aire ; 5π=

aurons-nous, entre πn et ( ) ,1 π+n l'aire ( )π12 += n ?

Page 14: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.1 page 439

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Vérifions :

[ ]( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) [ ] ( ) ( ) ( )

1

1

- cos sin

- 1 cos 1 sin 1 - cos sin

- 1 -1 0 -1 0

-1 - 1 -1

-1 -1 2 1 2 1 .

n ππ

n n

n

n n

A x x x

n π n π n π nπ nπ nπ

n π nπ

n π nπ

nπ π nπ n π n π

+

+

= +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + ⋅ + + −

⎡ ⎤= + ⋅ +⎣ ⎦

= + + = + = +

36. cos ∫=b

a

dxxxA

Posons . cos et dxxdvxu == Alors ,sin et xvdxdu == de sorte que

[ ] [ ] sin sin sin cosb

b ba a

a

A x x x dx x x x= − = +∫

a) [ ] 2

cos2

sin22

3cos2

3sin2

3 cossin 232 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=

ππππππππxxxA

( ) ( )3 -1 0 1 0 22 2π π π⎛ ⎞= + − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

b) [ ] 2523cossin π

πxxxA +=

2

3cos2

3sin2

32

5cos2

5sin2

5 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

ππππππ

( ) ( ) πππ 4 01-2

3012

5 =−−+=

c) [ ]7 25 2 sin cos ππA x x x= +

2

5cos2

5sin2

52

7cos2

7sin2

7 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

ππππππ

( ) ( ) πππ 6 12

501-2

7 =−+=

Page 15: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

440 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

d) L'aire augmente de π2 pour chaque intervalle de π .

Nous pouvons chercher une régularité :

entre 2π et ,23π l'aire ; 2π=

entre 23π et ,25π l'aire ; 4π=

entre 25π et ,27π l'aire ; 6π=

entre π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

212n et ,

212 π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +n aura-t-on l'aire πn2= ?

Vérifions :

[ ]2 1

22 1

2

sin cos

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 sin 0 sin 0 2 2 2 2

n π

n πA x x x

n n n n n nπ π π π π π

n π n π n π n π

n

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= +

⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ + + − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= ( ) ( ) ( ) ( )

( )

11 1 1 1-1 -1 -1 -1 2 2 2 2

-1 2 2 .

n n n

n

π n π n n π

nπ nπ

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ + + = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= =

37. Méthode des tubes :

Dans la deuxième intégrale du membre de droite, posons . et dxedvxu x==

Alors . et xevdxdu ==

[ ][ ]

( )

. 2 2ln2

2ln2

du tubehauteur du tube ncecirconfére

2ln

0

2ln

0

2ln

0

dxexdxe

dxex

dxV

xx

x

∫∫

−=

−=

=

ππ

π

Page 16: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.1 page 441

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

( ) ( )( )( )

( )

ln 2ln 2 ln 2

0 00

ln 2

0

Nous aurons 2 ln 2 2

2 ln 2 2 1 2 2ln 2 0

2 ln 2 2 2ln 2 2 1

2 ln 2 4 ln 2 2 2 1 ln 2 .

x x x

x

V π e π xe e dx

π π e

π π

π π π π

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤= − − − − ⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦

= − + = −

38. a) Méthode des tubes :

[ ][ ]

1 1- -

0 0

circonférence du tube hauteur du tube

2 2 .x x

V dx

πxe dx π xe dx

=

= =

∫ ∫

Posons . -et dxedvxu x==

Alors . -et x-evdxdu ==

b) Méthode des tubes :

[ ][ ]

( ) ( )1 1

- -

0 0

circonférence du tube hauteur du tube

2 1 2 1 .x x

V dx

π x e dx π x e dx

=

= − = −

∫ ∫

Posons . 1 -et dxedvxu x=−= Alors . - -et x-evdxdu ==

( )

( ) ( )

11- -0

0

1- -0

-1 -1

2 -

2 -

2 0 1

22 1 .

Ainsi, x x

x x

V π xe -e dx

π xe e

π -e e

πe

⎛ ⎞⎡ ⎤= −⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

( )( )

( )

11- -0

0

1- -0

1- - -0

1- -10

2 - 1-

2 - 1-

2

22 2 0 .

Ainsi, x x

x x

x x x

x

V π x e e dx

π x e e

π -e xe e

ππ xe π ee

⎛ ⎞⎡ ⎤= −⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

⎡ ⎤= = − =⎣ ⎦

Page 17: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

442 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

39. a) Méthode des tubes :

[ ][ ]2 2

0 0

circonférence du tube hauteur du tube

2 cos 2 cos .π π

V dx

πx x dx π x x dx

=

= =

∫ ∫

Posons . cos et dxxdvxu == Alors .sin et xvdxdu ==

[ ]

[ ]

( )

( ).212

2

0cos02

cos2

sin2

2

cossin2

sinsin2

20

2

0

20Ainsi,

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

ππππ

ππππ

π

π

π

ππ

xxx

dxxxxV

b) Méthode des tubes :

[ ][ ]

[ ] ( )

( ) ( )

2 2 2

0 0 0

20

circonférence du tube hauteur du tube

2 cos 2 cos cos 2 2

2 sin 1 Voir a2 2

2 sin sin 0 12 2 2

2 1 0 1 2 1 22 2

π π π

π

V dx

π ππ x x dx π x dx x dx

π ππ x

π π ππ

π ππ π π

=

⎛ ⎞⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎡ ⎤= − − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠

⎡ ⎤= − − + = =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

.

40. a) Méthode des tubes :

[ ][ ]

( ) 2 2

0 0 0

circonférence du tube hauteur du tube

2 sin 2 sin 2 sin .π π π

V dx

πx x x dx πx x dx π x x dx

=

= = =

∫ ∫ ∫

y

xz

xy cos=

2/π

Page 18: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.1 page 443

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Intégration tabulaire :

( ) ( )

( ) ( )

20

2

2 2

2 - cos 2 sin 2cos

2 - cos 2 sin 2cos 0 0 2cos0

2 2 2 2 4 .

πV π x x x x x

π π π π π π

π π π π

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + − + +⎣ ⎦

= − − = −

b) Méthode des tubes :

[ ][ ]

( ) 2 2

0 0 0

circonférence du tube hauteur du tube

2 sin 2 sin 2 sin .π π π

V dx

π π x x x dx π x x dx π x x dx

=

= − = −

∫ ∫ ∫

Intégration tabulaire pour la première intégrale :

( )( )

[ ] ( )( )( ) ( ) ( )

2 20

2 3

3 3

2 - cos sin 2 4sin

1 -cos 2 - cos sin 0 sin 0 2 8 Voir a0 -sin

2 2 8 8 .

πV π x x x π πx x

x π π π π π πx

π π π π

= + − −

+⎡ ⎤= + − + − +⎣ ⎦−

= − + =

41. ( ) . cos1 cos202

1moy2

0

-2

0

- dttedttef tt ∫∫ =−

=ππ

ππ

Soit . cos et- dttdveu t == Alors ,sin et- tvdt-edu t == de sorte que

. sinsin cos --- dttetedtte ttt ∫∫ +=

Dans la seconde intégrale, posons . sin et- dttdveu t == Alors ,cos- et- tvdt-edu t ==

( )( )

( ).cossin2

cos

cossin cos2

coscos-sin cos

--

--

----oùd'

ttedtte

ttedtte

dttetetedtte

tt

tt

tttt

−=

−=

−+=

∫∫∫

Page 19: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

444 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

( ) ( )

( ) ( )

( ).121

21

2-1

0cos0sin2

2cos2sin2

1

cossin2

1moy

2-2-

02-

2

0

-

Donc,

ππ

π

π

ππ

πππ

π

ee

ee

tteft

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

42. ( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−=

−= ∫∫∫ dttedttedtef ttt cos sin2 cost-sint4

021moy

2

0

-2

0

-2

0

-πππ

ππ

Or ( )41 n levoir 22

1 cos o2-2

0

-ππ edtte t −=∫

Il reste à calculer . sin2

0

- dtte t∫π

Soit . sin et- dttdveu t == Alors ,cos- et- tvdt-edu t == de sorte que

. coscos sin --- dttetedtte ttt ∫∫ −=

Dans la seconde intégrale, posons . cos et- dttdveu t == Alors ,sin et- tvdt-edu t ==

( )( )

( ).sincos21- sin

sincos sin2

sinsincos sin

--

--

----oùd'

ttedtte

tt-edtte

dtte-tet-edtte

tt

tt

tttt

+=

+=

−−=

∫∫∫

( )

( ) ( )

21

21-

0sin0cos212sin2cos

21-

sincos21- sin

2-

02-

2

0

-2

0

-Donc,

+=

+++=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=∫

π

π

ππ

ππ

e

ee

ttedte tt

( ) .022

121

21-2moy

2-2-et =

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+=

ππ

πeef

Page 20: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.1 page 445

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

43. Posons . cos et dxxdvxu n == Alors ,sin et1 xvdxnxdu n == − de sorte que

∫ ∫ −−= . sinsin cos 1 dxxxnxxdxxx nnn 44. Posons . sin et dxxdvxu n == Alors ,cos- et1 xvdxnxdu n == − de sorte que

∫ ∫ −+= . coscos- sin 1 dxxxnxxdxxx nnn

45. Posons . et dxedvxu axn == Alors ,1 et1 axn ea

vdxnxdu == − de sorte que

∫ ∫ −−= . 1 dxexan

aexdxex axn

axnaxn

46. Posons ( ) . ln et dxdvxu n == Alors ( ) , 1ln et1 xvdxx

xndu n =⋅= − de sorte que

( ) ( ) ( )∫ ∫ −−= . lnln ln 1 dxxnxxdxx nnn 47. Posons . sin sin et1 dxxdvxu n == − Alors ( ) ,cos- cossin1 et2 xvdxxxndu n =−= − d'où

( )∫ ∫ −− −+= dxxxnxxdxx nnn cossin1cossin- sin 221

( ) ( )( ) ( )∫ ∫

∫−−−+=

−−+=−−

−−

dxxndxxnxx

dxxxnxxnnn

nn

sin1 sin1cossin-

sin1sin1cossin-21

221

( ) ( )1 21 1 sin -sin cos 1 sin n n nn x dx x x n x dx− −+ − = + −∫ ∫

∫ ∫ −− −

+= dxxn

nn

xxdxx nn

n sin1cossin- sin 21

et

∫ −− −+= . sin1sincos1- 21 dxx

nnxx

nnn

48. ( )dxxxdxxxdxx nnn 1sectan tantan tan 2222 ∫∫ ∫ −== −−

∫∫ −− −= dxxdxxx nn tan sectan 222

Page 21: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

446 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons ,tan xu = d'où

. sec2 dxxdu =

Alors, ∫ ∫ ∫ −− −= dxxduudxx nnn tan tan 22

. tantan

11

tan1

1

21

21

∫−−

−−

−−

=

−−

=

dxxxn

dxxun

nn

nn

49. a) ∫ ++=+= Cxxxdxxxdxx21sincos

21-

21sincos

21- sin2

b) ∫+= dxxxxdxx sin43sincos

41- sin 234

Cxxxxx

Cxxxxx

++−=

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++=

83sincos

83sincos

41-

21sincos

21-

43sincos

41-

3

3

50. a) ∫ ∫−= dxxxdxx tantan31 tan 234

[ ]

Cxxx

dxxx

++−=

−−= ∫

tantan31

tantan31

3

3

b) ∫ ∫−= dxxxdxx tantan41 tan 345

Cxxx

dxxxx

++−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−= ∫

sec lntan21tan

41

tantan21tan

41

24

24

51. a) Posons ( ).-1 xfy = Alors ( ) ( ) , et dyyfdxyfx ′== de sorte que

( ) ( ) . -1 ∫∫ ′= dyyfydxxf

Page 22: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.1 page 447

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

b) Posons ( )dyyfdvyu et ′== dans la deuxième intégrale.

Alors ( ), et yfvdydu ==

de sorte que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ∫∫∫ −′=−=′ dyyfxfxdyyfyyfdyyfy

Donc, ( ) ( ) ( ) . -1 dyyfxfxdxxf ∫∫ −′=

52. Posons ( ) . et-1 dxdvxfu == Alors ( ) , et1- xvdxxfdxddu =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= de sorte

que ( ) ( ) ( )∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= . 1-1-1- dxxf

dxdxxxfdxxf

53. a) Dans le contexte de l'exercice 51, posons ( ) ( ) ,sin sin et-1 yyfxarcxfy === où

; 22

- ππ≤≤ y

∫ ∫−= dyyxarcxdxxarc sinsin sin alors

( ) .sin cossin cossin

CxarcxarcxCyxarcx

++=++=

b) Dans le contexte de l'exercice 52,

sin sin sin darc x dx x arc x x arc x dxdx

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

( )

.1sin

211

21sin

1

2-21sin

1

sin

2

212

2

2

Cxxarcx

Cxxarcx

dxx

xxarcx

dxx

xxarcx

+−+=

+−

+=

−+=

−−=

c) Les expressions sont identiques, puisque ( ) 2cos sin 1 .arc x x= −

Page 23: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

448 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

54. a) Dans le contexte de l'exercice 51, posons ( ) ( ) ,tan tan et-1 yyfxarcxfy === où

; 22

- ππ<< y

∫ ∫−= dyyxarcxdxxarc tantan tan alors

( ) . tan cos lntan

cos lntan

Cxarcxarcx

Cyxarcx

++=

++=

b) Dans le contexte de l'exercice 52,

∫ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= dxxarc

dxdxxarcxdxxarc tan tan tan

( ) .1ln21tan

1

221tan

1

tan

2

2

2

Cxxarcx

dxxxxarcx

dxx

xxarcx

++−=

+−=

+−=

( )

( )

( )2

21-2

2

1ln21-

1ln

1

1 ln tan cos ln puisque ,identiquessont sexpression Les

x

x

xxarc

+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

+=c)

55. a) Dans le contexte de l'exercice 51, posons ( ) ( ) ,cos cos et-1 yyfxarcxfy === où

; 0 π≤≤ x

∫ ∫−= dyyxarcxdxxarc coscos cos alors

( ) . cos sin cos sin cos

CxarcxarcxCyxarcx

+−=+−=

Page 24: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.1 page 449

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

b) Dans le contexte de l'exercice 52,

dxxarcdxdxxarcxdxxarc cos cos cos ∫ ∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

( )

.1cos

211

21cos

1

2-21cos

1

-cos

2

212

2

2

Cxxarcx

Cxxarcx

dxx

xxarcx

dxx

xxarcx

+−−=

+−

−=

−−=

−−=

c) Les expressions sont identiques, puisque ( ) .1cos sin 2xxarc −=

56. a) Dans le contexte de l'exercice 51, posons ( ) ( ) ; 2 log et2

-1 yyfxxfy ===

∫ ∫−= dyxxdxx y 2log log 22alors

.2

2ln1log

22ln

1log

2log2

2

Cxx

Cxx

x

y

+−=

+−=

b) Dans le contexte de l'exercice 52,

∫ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= dxx

dxdxxxdxx loglog log 222

.2ln

1log

2ln1log

2ln

11log

2

2

2

Cxxx

dxxx

dxx

xxx

+⋅−=

−=

⋅⋅−=

c) Les expressions sont identiques, puisque .2 2log xx =

Page 25: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

450 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Exercices 3.2 - Intégrales trigonométriques et substitutions trigonométriques

1. ( ) dxxxdxxxdxx sincos1 sinsin sin2

0

222

0

42

0

5 ∫∫∫ −==πππ

Posons .cos xu = Alors .02et 10 ,- sinet sin- =⇒==⇒=== uxuxdudxxdxxdu π

( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=+−=−=−

1

0

1

0

5342

2

0

0

1

2222

532 21 1- sincos1 uuuduuuduudxxx

π

( )158000

51

321 =+−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

2. dxxxdxxxdxx 2

sin2

cos1 2

sin2

sin 2

sin0

22

0

4

0

5 ∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

πππ

Posons .2

cos xu = Alors ,2- 2

sinet 21

2sin- dudxxdxxdu =⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

.0et 10 =⇒==⇒= uxux π

( ) ( )

( )

2 0 122 2 2 4

0 1 0

13 5

0

1 cos sin 1 -2 2 1 2 2 2

2 2 1 162 2 1 0 0 03 5 3 5 15

π x x dx u du u u du

u uu

⎛ ⎞− = − ⋅ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + = − + − − + =⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

3. ( ) dxxxdxxxdxx cossin1 coscos cos2

2-

22

2-

22

2-

3 ∫∫∫ −==π

π

π

π

π

π

Posons .sin xu = Alors .12et 1-2- , cos =⇒==⇒== uxuxdxxdu ππ

( ) ( )34

311-

311

3 1 cossin1

1

1-

32

2-

1

1-

22 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎤⎢⎣

⎡−=−=−∫ ∫

uuduudxxxπ

π

Remarque : Comme xy 3cos= est une fonction paire, nous aurions aussi pu écrire

.34

3112

32... cos2 cos

1

0

32

0

32

2-

3 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎤⎢⎣

⎡−=== ∫∫

uudxxdxxππ

π

(Voir les exercices 1.5, no 85)

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Exercices 3.2 page 451

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

4. ( )∫ ∫ ∫ −==6

0

6

0

6

0

2245 3cos3sin13 3cos3cos3 3cos3π π π

dxxxdxxxdxx

Posons .3sin xu = Alors , 3cos3 dxxdu = .16et 00 ⇒==⇒= πxux

( ) ( )

( )

( )158000

51

321

532 21

1 3cos3sin13

1

0

531

0

42

1

0

226

0

22

=+−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=+−=

−=−

∫∫

uuuduuu

duudxxxπ

5. ( ) dyyydyyydyy sincos1 sinsin sin

3267 ∫∫ ∫ −==

Posons .cos yu = Alors .- sinet sin- dudyydyydu ==

( ) ( ) ( )

5 73 32 2 2 4 6 3

5 7 5 73 3

31 cos sin - 1 - 1 3 3 -5 7

3 3cos cos- -cos cos5 7 5 7

u uy y dy u du u u u du u u C

u u y yu u C y y C

⎛ ⎞− = − = − + − = − + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + − + + = + − + +

∫ ∫ ∫

6. ( ) dtttdtttdtt cossin17 coscos7 cos7

3267∫ ∫ ∫ −==

Posons .sin tu = Alors . cos dttdu =

( ) ( ) ( )3 32 2 2 4 6

5 73

53 7

53 7

7 1 sin cos 7 1 7 1 3 3

375 7

217 75

21sin7sin 7sin sin5

t t dt u du u u u du

u uu u C

uu u u C

tt t t C

− = − = − + −

⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − + − +

= − + − +

∫ ∫ ∫

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452 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

7. ( )∫ ∫ ∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

== dxxdxxdxx 2

2cos18 sin8 sin82

224

Cxxx

Cxxx

dxxx

dxxxdxxx

++−=

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−=+−

=

∫∫

4sin412sin23

44sin

21

22sin2

232

24cos2cos2

232

2

4cos12cos212 4

2cos2cos2182

8. ( ) dxxdxxdxx 2

4cos18 2cos8 2cos82

224 ∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

==πππ

( )28 1 cos81 2cos 4 cos 4 2 1 2cos4 4 2

3 cos82 2cos 4 2 2

3 2sin 4 1 sin822 4 2 8

1 13 sin 4 sin88

πxπx πx dx πx dx

πxπx dx

πx πxx Cπ π

x πx πx Cπ π

⎛ ⎞+⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + +

∫ ∫

9. Puisque xxy 2

4

cossin4

= est une fonction paire, ∫ ∫ ∫==4

4-

4

0

4

02

4

2

4

2

4

cossin8

cos4sin2

cos4sinπ

π

π π

dxxxdx

xxdx

xx

( ) ( )224 4 42 4

2 22 2

0 0 0

44 42 2

00 0

1 cos 1 2cos cos8 8 8 sec 2 cos cos cos

1 cos2 3 1 3 1 sin 28 sec 2 8 sec cos 2 8 tan2 2 2 2 2 2

3 1 18 tan sin tan 0 0 s4 2 4 4 2 4

π π π

ππ π

x x xdx dx x x dxx x

x xx dx x x dx x x

π π π

− − += = = − +

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − + = − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎛ ⎞= − ⋅ + − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( )3 1in 0 8 1 0 0 0 10 38 4π π

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − + − − + = −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦

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Exercices 3.2 page 453

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

10. ( ) θθ

θθθθθθθ

θθ ddd

sinsinsin3sin31

sinsin1

sincos

2

642

2

32

2

6

∫∫∫−+−

=−

=

( )

C

C

d

d

d

d

d

d

d

+−−−=

+−−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅−−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−−+−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−=

−+−=

324sin

22sin

815cot-

44sin

81

22sin

815cot-

4cos812cos

815csc

4cos81

812cos

47csc

2

4cos1412cos

47csc

4

2cos2cos47csc

4

2cos22cos

412cos

23

233csc

2

2cos12

2cos133csc

sinsin33csc

2

2

2

22

22

22

422

θθθθ

θθθθ

θθθθ

θθθθ

θθθθ

θθθθ

θθθθθ

θθθθ

θθθθ

11. ( )( )

22 2 23 2

3 23 36 6 6

1 sin3cos cos 3 cos 3 cos sinsin sin

π π π

π π π

tt tdt t dt t dttt t

−= =∫ ∫ ∫

Posons .sin tu = Alors .12et 216 , cos =⇒==⇒== ututdttdu ππ

( )( )

( )22 1 12

-3 2 1 23 2 3 2

6 1 2 1 2

1-1 2 3 2

1 2

1 sin 13 cos 3 3 sin

2 1 13 2 163 3 -2 -2 2-1 2 3 2 3 23 2

π

π

t ut dt du u u duut

u u

− −= = −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ −⎛ ⎞⎛ ⎞= − = − − − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

12. Posons ( ) .cos

sin3

xxxf = Alors ( )

( )( )( )

( ) ( )3 3 3sin -sin sin- - -

cos coscos -

x x xf x f xx xx

= = = = .

La fonction ( )xf est donc une fonction impaire et ( ) 0 3

3-

=∫ dxxfπ

π

(Voir l'exercice 86, page 64).

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454 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

13. ∫∫ =ππ

θθθθθθθ2

0

222

0

32 cos2 2cos2sin 2cos2sin dd

( ) ( )∫∫ −=−=ππ

θθθθθθθθ2

0

422

0

22 cos2 2sin2sin 2cos2sin12sin dd

Posons .2sin θ=u Alors ,02et 00 , 2cos2 =⇒==⇒== uuddu πθθθθ de sorte que

( ) ( )∫∫ =−=−0

0

422

0

42 0 21 2cos 2sin2sin duuudθθθθ

π

par la définition 1.2.8, page 22.

14. dxxxxdxxx cos cossin cossin 22

0

2532

0

25 ∫∫ =ππ

( )

( ) dxxxx

dxxxx

cossinsin

cossin1sin

2

0

2925

22

0

25

−=

−=

π

π

Posons .sin xu = Alors . cos dxxdu =

De plus, .12et 00 =⇒==⇒= uxux π

( ) ( )

( ) ( ) ( )

12 1 7 2 11 25 2 9 2 5 2 9 2

0 0 0

Ainsi, sin sin cos 7 2 11 2

2 2 81 1 0 0 .7 11 77

π u ux x x dx u u du⎡ ⎤

− = − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

15. ∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=4

2-

4

2-

22 2

2cos12

2cos116 cossin16π

π

π

π

dxxxdxxx

( )

( )

( )

4 42

- 2 - 2

4 4

- 2 - 2

4

- 2

1 cos44 1 cos 2 4 1 2

1 cos44 2 1 cos4 2 2

sin -2sin 4 sin2 2 -4 4 4 2 4

32 0 04 2 2

π π

π π

π π

π π

π

π

xx dx dx

x dx x dx

πx π π πx

π π π

+⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

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Exercices 3.2 page 455

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

16. dyyyydyyy cossinsin8 cossin8 22224 ∫∫ =

( )2

2

2 2

2

3

3

1 cos2 sin 28 1 cos 2 sin 2 2 2

sin 2 cos2 sin 2

1 cos4 cos2 sin 2 2

1 1 sin 4 sin 2 12 2 4 3 21 1 1sin 4 sin 22 8 6

y y dy y y dy

y dy y y dy

y dy y y dy

y yy C

y y y C

−⎛ ⎞⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= −

−= −

= − − ⋅ +

= − − +

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

17. ( ) θθθθθθθθθθθ ddd cossin1sin35 coscossin35 cossin35 242434 ∫∫ ∫ −==

( ) θθθθ d cossinsin35 64∫ −=

Posons .sinθ=u

Alors ( ) θθθθθθ dddu cossinsin35et cos 64∫ −=

( ) .sin5sin775

35 35 7575

64 CCuuduuu +−=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= ∫ θθ

18. ( )∫ ∫= dtttdttt cossin4 cossin4

22244

( )22

22

2 2

sin 2 14 sin 2 2 4

1 1 cos4 1 1 cos4 cos 4 4 2 4 4 2 4

1 1 1 1 cos8cos4 16 8 16 2

1 1 sin 4 1 1 sin816 8 4 32 32 83 1 1sin 4 sin8

32 32 256

t dt t dt

t t tdt dt

tt dt

t tt t C

t t t C

⎡ ⎤⎛ ⎞= =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞−⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤+⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= − + + +

= − + +

∫ ∫

∫ ∫

Page 31: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

456 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

19. ( ) ( ) dxx

xx lncoslnsin4 22

Posons .ln xu = Alors et 1 dxx

du =

( ) ( )

( )

( )

2 22 2

2

4sin ln cos ln 4sin cos

1 cos2 1 cos 24 1 cos 2 2 2

1 cos4 1 11 cos4 2 2 2

1 1 sin 4 1 sin 42 2 4 2 4

sin lnsin 4ln1 1ln ln2 4 2

x xdx u u du

xu u du u du

u du u du

u uu C u C

xx C x

=

− +⎛ ⎞⎛ ⎞= = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

⎡ ⎤+⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + = − +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

( )4

.4

xC

⎡ ⎤⎢ ⎥ +⎢ ⎥⎣ ⎦

20. Posons .tan yarcu = Alors dyy

du 1

12+

= et

( )

( ) ( )

( ) ( ) .3

tan costan cos-12

3coscos-12

sincossin12 sincos112

sinsin12 sin12 1

tan sin12

3

3

22

232

3

Cyarcyarc

Cuu

duuuuduuu

duuuduudyy

yarc

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

−=−=

==+

∫∫

∫∫∫

21. Il est démontré à l'exemple 5, page 197, que . tansec ln21tansec

21 sec3 Cxxxxdxx +++=∫

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

003- 3

- 3

Ainsi, 2sec sec tan ln sec tan

- -sec0 tan 0 ln sec0 tan 0 sec tan ln sec - 3 tan - 3 3 3

1 0 ln 1 0 2 - 3 ln 2 3

2 3 ln 2 3 .

ππ

x dx x x x x

π π π π

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

= × + + − ⋅ + −

= − −

Page 32: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 457

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

22. Posons .1−= xeu Alors dxedu x = et ( ) . sec 1sec 33 ∫∫ =− duudxee xx

Or, il est démontré à l'exemple 5, page 197, que

. tansec ln21tansec

21 sec3 Cxxxxdxx +++=∫

( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 1 1Ainsi, sec 1 sec tan ln sec tan 2 21 1 sec 1 tan 1 ln sec 1 tan 1 .2 2

x x

x x x x

e e dx u u u u C

e e e e C

− = + + +

= − − + − + − +

23. ∫∫ =π

π

π

π 2

2

2

3 2

csc 2

csc 2

csc dxxxdxx

Posons . 2

csc 2

csc 2 dxxdvxu == Alors ,2

cot-2et 2

cot2

csc21- xvdxxxdu == et

dxxxxxdxx 2

csc2

cot2

cot2

csc2- 2

csc 23 ∫∫ −=

2

3

3

-2csc cot csc 1 csc2 2 2 2

-2csc cot csc csc2 2 2 2

-2csc cot csc 2ln csc cot .2 2 2 2 2

x x x x dx

x x x xdx dx

x x x x xdx C

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − +

= − − + +

∫ ∫

(voir la page 73, Table 3.1.2, no 2)

Il s'ensuit que Cxxxxdxx++−=∫

2cot

2csc ln2

2cot

2csc2-

2csc2 3

et π

π

π

π 2

2

2

3 2

cot2

csc ln2

cot2

csc- 2

csc ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=∫

xxxxdxx

( ) ( )

-csc cot ln csc cot -csc cot ln csc cot 2 2 2 2 4 4 4 4

-1 0 ln 1 0 - 2 1 ln 2 1 2 ln 2 1 .

π π π π π π π π⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= × − + − ⋅ − + = + +

Page 33: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

458 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

24. Posons .θ=y Alors . 2 1et 2

1 dydddy == θθ

θθ

Ainsi, 3

3 2csc 2 csc 2 csc csc .θ dθ y dy y y dyθ

= =∫ ∫ ∫

Posons . cscet csc 2 dyydvyu ==

Alors ,cot-et cotcsc- yvdyyydu == et

( )

3 2

2

3

31

2 csc 2 -csc cot cot csc

-2csc cot 2 csc 1 csc

-2csc cot 2 csc 2 csc

-2csc cot 2 csc 2ln csc cot

y dy y y y y dy

y y y y dy

y y y dy y dy

y y y dy y y C

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

= − −

= − +

= − − + +

∫ ∫

∫∫ ∫∫

(Voir la page 73, Table 3.1.2 numéro 2).

Il s'ensuit que 13 cotcsc ln2cotcsc2- csc4 Cyyyydyy ++−=∫ et

33csc 2 cos -csc cot ln csc cot

-csc cot ln csc cot ,

θ dθ y dy y y y y Cθ

θ θ θ θ C

= = − + +

= − + +

∫ ∫

où .21

1CC =

25. ( )∫∫ −=4

0

24

0

2 sec1sec sectanππ

dxxxdxxx

( )4 4 4

3 3

0 0 0

4

0

4

0

sec sec sec sec

1 1sec tan ln sec tan ln sec tan 2 2

1 1sec tan ln sec tan 2 2

π π π

π

π

x x dx x dx x dx

x x x x x x

x x x x

= − = −

⎡ ⎤= + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

( )

1 1 1 1sec tan ln sec tan sec0 tan 0 ln sec0 tan 02 4 4 2 4 4 2 2

1 1 1 12 1 ln 2 1 1 0 ln 1 0 2 2 2 21 2 ln 2 12

π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ + +

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

Page 34: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 459

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

26. ( ) dxxxdxxx csc1csc csccot2

6

2

6

22∫ ∫ −=π

π

π

π

( )2 2 2

3 3

6 6 6

2

6

2

6

csc csc csc csc

1 1- csc cot ln csc cot ln csc cot 2 2

1 1- csc cot ln csc cot 2 2

1 1 1 1- csc cot ln csc cot - csc cot ln csc cot2 2 2 2 2 2 2 6 6 2 6

π π π

π π π

π

π

π

π

x x dx x dx x dx

x x x x x x

x x x x

π π π π π π π

= − = −

⎡ ⎤= − + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞= + + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

( )6

1 1 1 1 1- 1 0 ln 1 0 2 3 ln 2 3 3 ln 2 32 2 2 2 2

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ − + = − +

27. ( ) ∫∫∫∫∫ +=+==4

0

224

0

24

0

224

0

224

0

4 sectan sec sectan1 sec sec secπππππ

θθθθθθθθθθθθθ ddddd

Posons θtan=u dans la deuxième intégrale ; nous aurons alors 00 , sec2 =⇒== uddu θθθ

et .14 =⇒= uπθ

[ ] [ ]

.34

3110

310tan4tan

3tan tan sec

1

0

31

0

40

24

0

40

4

=+=−+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+= ∫∫

π

θθθθ ππ

π uduud

28. ∫ ∫=12

0

12

0

224 3sec3sec3 3sec3π π

dxxxdxx

( )∫ ∫ ∫+=+=12

0

12

0

212

0

2222 3sec3tan3 3sec3 3sec3tan13π π π

dxxxdxxdxxx

Posons xu 3tan= dans la deuxième intégrale ; nous aurons alors , 3sec3 2 dxxdu =

112et 00 =⇒==⇒= uxux π .

[ ] [ ]

34

3101

0310tan4tan

33tan 3tan 3sec3

1

0

312

0

1

0

120

2120

4

=+−=

−+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+=∫ ∫ π

πππ uxduuxdxx

Page 35: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

460 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

29. ( ) ∫∫∫∫∫ +=+== θθθθθθθθθθθθθ ddddd csccot csc csccot1 csccsc csc 22222224

Posons θcot=u dans la deuxième intégrale ; nous aurons alors , csc- 2 θθ ddu = de sorte que

( ) .3

cotcot-3

cot--cot- csc33

24 CCuduud +−=+−=⋅+= ∫∫θθθθθθ

30. θθθθθθθθ π

π

π

π

π

π

ddd 2

csc2

cot13 2

csc2

csc3 2

csc3 2

2

22

2

2

2

4 ∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

θθθθθ π

π

π

π

dd 2

csc2

cot3 2

csc3 2

2

2

2

2 ∫∫ +=

Posons 2

cot θ=u dans la deuxième intégrale ; nous aurons alors . 2

csc21- 2 θθ ddu =

De plus, ,0et 12 =⇒==⇒= uu πθπθ de sorte que

( ) ( )

( )

( )

( )

04 2

22 1

12

0

13

0

3csc 3 -2cot 2 3 -2 2

-6 cot 2 cot 4 6

-6 cot 2 cot 4 63

1-6 0 1 6 0 6 2 8.3

ππ

ππ

θ dθ θ u du

π π u du

uπ π

⎡ ⎤= ⋅ +⎣ ⎦

= − +

⎡ ⎤= − + ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎛ ⎞= − + − = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

31. ( )4 4 4 4 4

3 2 2 2

0 0 0 0 0

4 tan 4 tan tan 4 sec 1 tan 4sec tan 4 tan π π π π π

x dx x x dx x x dx x x dx x dx= = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Posons xu tan= dans la première intégrale ; nous aurons alors 00 , sec2 =⇒== uxdxxdu

et .14 =⇒= ux π

20214

24 4 tansec4

1

0

24

0

1

0

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎤⎢⎣

⎡==∫ ∫

uduudxxxπ

Page 36: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 461

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

De plus, 4 4

4

00 0

4 tan 4 4 tan 4 ln sec ,π π

πx dx x dx x⎡ ⎤= = ⎣ ⎦∫ ∫ par le résultat 1.5.3, page 60, d'où

( )4

0

4 tan 4 ln sec 4 ln sec0 4ln 2π

x dx π⎡ ⎤= − =⎣ ⎦∫ .

Nous avons finalement ( ) ( )4

3 4

0

4 tan 2 4ln 2 2 ln 2 2 ln 4.π

x dx = − = − = −∫

32. ( )∫ ∫ ∫ −==3

6

3

6

3

6

223 cot1csc cotcot cotπ

π

π

π

π

π

dxxxdxxxdxx ∫ ∫−=3

6

3

6

2 cot cotcscπ

π

π

π

dxxdxxx

Posons xu cot= dans la première intégrale ; nous aurons alors 36

, csc- 2 =⇒== uxdxxdu π

et .3

13

=⇒= ux π

( )

( )

( ) ( )( )

3 1 3336

6 3

32 3

61 3

cot - ln sin

ln sin 2

3 1 ln sin 3 ln sin 6 2 64 ln 3 2 ln 1 23

4 3 2 ln3 1 2

ππ

ππ

π

π

x dx u du x

u x

π π

⎡ ⎤= ⋅ − ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

= − − −

= − −

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫

( )4 ln 3 .3−

Page 37: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

462 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

33. ( )∫∫∫ −==2

4

222

4

222

4

4 1csccot8 cot cot8 cot8π

π

π

π

π

π

dtttdtttdtt

( )

∫∫∫

∫∫

∫∫

+−=

−−=

−=

2

4

2

4

22

4

22

2

4

22

4

22

2

4

22

4

22

8 csc8 csccot8

1csc8 csccot8

cot8 csccot8

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

dtdttdttt

dttdttt

dttdttt

Posons tu cot= dans la première intégrale ; nous aurons alors 14 , csc- 2 =⇒== utdttdu π

et .02 =⇒= ut π

( ) [ ] [ ]

[ ] [ ]

( )

3162

2838

481080

318

428

4cot

2cot8

38

8cot8 8

8cot-8-8 cot8

1

0

3

24

1

0

24

2

24

24

2

4

0

1

24

−=

+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+⎥

⎤⎢⎣

⎡=

++=

+−⋅=

∫ ∫

π

ππ

ππππ

ππ

ππ

ππ

ππ

π

π

u

ttduu

ttduudtt

34. ( )∫ ∫ ∫ −== dxxxdxxxdxx 1sectan6 tantan6 tan6 22224

( )∫∫∫

∫∫∫∫

+−=

−−=

−=

dxdxxdxxx

dxxdxxx

dxxdxxx

6 sec6 sectan6

1sec6 sectan6

tan6 sectan6

222

222

222

Posons xu tan= dans la première intégrale ; nous aurons alors . sec2 dxxdu =

Cxxx

CxxCuCxxduudxx

++−=

++−+=++−=∫ ∫6tan6tan2

6tan63

66tan6 6 tan6 Ainsi,

3

12

3

124

,

où .12 CCC +=

Page 38: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 463

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

35. ( )dttt coslnsec2∫ peut s'intégrer par parties.

Posons ( ) . secet cosln 2 dttdvtu ==

Alors tvdttdttt

du tanet tan- sin-cos

1==⋅= de sorte que

( ) ( )( ) ( )( )( ) .tancoslntan

seccoslntan

1seccoslntan

tancoslntan coslnsec

2

2

22

Ctttt

dtdtttt

dtttt

dttttdttt

+−+=

−+=

−+=

+=

∫ ∫∫

∫ ∫

36. , cossin2

cossin 3

04

23

3-4

2

θθθθ

θθ ππ

π

dd ∫∫ = puisque ( )θθθ 4

2

cossin

=f est une fonction paire.

∫∫∫ ⋅=⋅=3

0

222

3

02

23

04

2

sectan2 cos

1cossin2

cossin2

πππ

θθθθθθ

θθθθ ddd

Posons .tanθ=u Alors . sec2 θθ ddu = De plus, .33et 00 =⇒==⇒= uu πθθ

Ainsi, .3203

3323

2 2 sectan23

0

33

0

23

0

22 =⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−=⎥

⎤⎢⎣

⎡== ∫∫

uduudπ

θθθ

37. ( ) ( ) dxxxxdxxx sectantan sectan 232233 ∫∫ =

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) dxxxxdxxxx

dxxxdxxxx

dxxxx

tansecsec tansecsec

tansec tansecsec

sectan1sec

2125

23232

232

∫∫∫∫

−=

−=

−=

Dans chacune des intégrales, posons ,sec xu = de sorte que . tansec dxxxdu =

Nous aurons alors ( ) ∫∫∫ −= duuduudxxx sectan 2125233

( ) ( ) .sec32sec

72

23272327

2327

Cxxuu+−=−=

Page 39: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

464 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

38. ( ) ( ) dxxxxdxxx csccotcot csccot 21-221-3 ∫∫ =

( )( )

( )( )( )

( ) ( )

-1 22

-1 23 2

-1 23 2

1 2 -3 2

cot csc 1 csc

cot csc csc

cot csc cot csc

cot csc csc cot csc csc

x x x dx

x x x dx

x x dx x x dx

x x x dx x x x dx

= −

= −

= −

= −

∫ ∫∫ ∫

Dans chacune des intégrales, posons ,csc xu = de sorte que .cot csc- xxdu =

Nous aurons alors

( )

.csc2csc

32-

232-

21-23- - csccot

23

2321-23

23-2121-3

Cx

x

Cu

uCuuduuduudxxx

+−=

+−=++=+= ∫∫∫

39. 9 8cos cos cos θ dθ θ θ dθ=∫ ∫

Il suffit alors de transformer θ8cos en termes de θsin par ( ) ( )4 48 2 2cos cos 1 sin ,θ θ θ= = −

d'effectuer la substitution θsin=u et de développer ( )421 u− avant d'intégrer. 40. ∫ ∫= θθθθθ dd sinsin sin 1213

Il suffit alors de transformer θ12sin en termes de θcos par ( ) ( ) ,cos1sinsin626212 θθθ −==

d'effectuer la substitution θcos=u et de développer ( )621 u− avant d'intégrer. 41. a) ( ) ∫ ∫∫ ∫ ∫ −=−== . tan sectan tan1sec tantan tan 32332325 θθθθθθθθθθθθθ ddddd

En posant θθθ dduu secet tan 2== dans la première intégrale, nous obtenons

∫∫ −= . tan4

tan tan 34

5 θθθθθ dd

Page 40: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 465

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

b) ( )7 2 5 2 5 5 2 5tan tan tan sec 1 tan tan sec tan .θ dθ θ θ dθ θ θ dθ θ θ dθ θ dθ= = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

En posant θθθ dduu secet tan 2== dans la première intégrale, nous obtenons

∫∫ −= . tan6

tan tan 56

7 θθθθθ dd

c) ( )∫ ∫ ∫ −−+ −== θθθθθθθθ ddd kkk tan1sec tantan tan 12212212

∫ ∫ −− −= . tan sectan 12212 θθθθθ dd kk

En posant θθθ dduu secet tan 2== dans la première intégrale, nous obtenons

∫∫ −+ −= . tan2

tan tan 122

12 θθθθθ dk

d kk

k

42. a) ( ) ∫ ∫∫∫∫ −=−== θθθθθθθθθθθθθ ddddd cot csccot cot1csc cot cot cot 32332325

En posant θθθ dduu csc-et cot 2== dans la première intégrale, nous obtenons :

. cot4

cot- cot 34

5 ∫∫ −= θθθθθ dd

b) ( ) ∫ ∫∫∫∫ −=−== θθθθθθθθθθθθθ ddddd cot csccot cot1csc cot cot cot 52552527

En posant θθθ dduu csc-et cot 2== dans la première intégrale, nous obtenons :

. cot6

cot- cot 56

7 ∫∫ −= θθθθθ dd

c) ( ) θθθθθθθθ ddd kk cot1csc cot cot cot 1221+2k212 −+ ∫∫∫ −==

∫ ∫ −− −= θθθθθ dd kk cot csccot 12212

En posant θθθ dduu csc-et cot 2== dans la première intégrale, nous obtenons :

. cot2

cot- cot 122

12 ∫∫ −+ −= θθθθθ dk

d kk

k

Page 41: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

466 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

43. À partir de l'équation (2) de la page 205 avec ,2et 3 == nm nous pouvons écrire :

[ ]

( ) ( )

0 0

- -

0

-

1sin 3 cos2 sin sin 5 2

1 cos5 -cos2 5

cos -51 cos0 -cos0 -cos -2 5 5

1 1 -12

π π

π

x x dx x x dx

xx

ππ

= +

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= −

∫ ∫

1 61 - .5 5 5

⎡ ⎤− − =⎢ ⎥⎣ ⎦

44. À partir de l'équation (2) de la page 205 avec ,3et 2 == nm nous pouvons écrire :

( )

( )

( )

2 2

0 0

2

0

5 2

1sin 2 cos3 sin - sin 5 2

-cos -1 cos5 2 -1 5

1 cos cos0 cos - 2 cos02 5 5

1

π π

π

π

x x dx x x dx

x x

π

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

=

∫ ∫

( ) 1 20 0 1 - .2 5 5⎡ ⎤⎛ ⎞− − − =⎜ ⎟⎢ ⎥

⎝ ⎠⎣ ⎦

45. À partir de l'équation (1) de la page 205 avec ,2et 4 == nm nous pouvons écrire :

[ ]6 6

12 12

6

12

18sin 4 sin 2 8 cos 2 cos6 2

sin 2 sin 6 42 6

sin 3 sin sin 6 sin 2 42 6 2 6

π π

π π

π

π

x x dx x x dx

x x

π π π π

= ⋅ −

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

3 1 1 2 1 3 3 1 4 0 3 1 3 .4 4 6 3 3 3

⎡ ⎤ −= − − + = − + = − =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

Page 42: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 467

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

46. À partir de l'équation (2) de la page 205 avec ,61et

31

== nm nous pouvons écrire :

( ) ( )

( ) ( )[ ] .2123-00

21

cos23

cos6-2

3cos22

cos6-21

212cos

616cos-

21

2

sin6

sin21

6cos

3sin

3

2

3

2

3

2

=+−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=∫ ∫

ππππ

π

π

π

π

π

π

xx

dxxxdxxx

47. À partir de l'équation (3) de la page 205 avec ,41et

31

== nm nous pouvons écrire :

.7

18324733

73333

21-

76

216

23

76

236

67sin

76

6sin6

37sin

76

3sin6

127sin

712

12sin12

21

127cos

12cos

21

4cos

3cos

4

2

4

2

4

2

−=+−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅−⋅+⋅=

−−+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=∫ ∫

ππππ

π

π

π

π

π

π

xx

dxxxdxxx

48. À partir de l'équation (3) de la page 205 avec ,7et 21

== nm nous pouvons écrire :

2 2

0 0

2

0

1 -13 15cos cos7 cos cos 2 2 2 2

-13 15sin sin1 2 2 2 -13 2 15 2

1 2 -13 - sin2 13 4

π π

π

x x dx x x dx

x x

π

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥= +

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞= ⎜⎝ ⎠

∫ ∫

2 15 -2 2sin sin 0 sin 015 4 13 15

1 -2 2 2 2 14 2 - - .2 13 2 15 2 195

π⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Page 43: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

468 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

49. ∫∫ = dxxxdxx csccsc csc 23

Posons . cscet csc 2 dxxdvxu ==

Alors ,cot-et cotcsc- xvdxxxdu == de sorte que

( )

cotcsc ln csccotcsc-

csc csccotcsc-

csc1csccotcsc-

csccotcotcsc- csc

3

3

2

23

xxdxxxx

dxxdxxxx

dxxxxx

dxxxxxdxx

+−−=

+−=

−−=

−=

∫∫∫

∫∫∫

(voir la page 73, Table 3.1.2 no 2)

Il s'ensuit que ∫ +−= cotcsc lncotcsc- csc2 3 xxxxdxx

et . cotcsc ln21cotcsc

21- csc3 Cxxxxdxx ++−=∫

50. a) ( ) ( )( )2 21sin sin cos cos

2

a π a π

a a

mx nx dx m n x m n x dx+ +

= − − +∫ ∫

( ) ( ) 2sin sin1 ,

2

a π

a

m n x m n xm n m n

+⎡ ⎤− +

= −⎢ ⎥− +⎣ ⎦

où 0et 0 ≠+≠− nmnm

( )( ) ( )( ) ( ) ( )sin 2 sin 2 sin sin1 .

2m n a π m n a π m n a m n a

m n m n m n m n

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− + − +⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Mais ( )( ) ( )sin 2 sinm n a π m n a

m n m n⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

− − et

( )( ) ( )sin 2 sin,

m n a π m n am n m n

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦=+ +

puisque la fonction ( )xsin est périodique de période ,2π d'où ∫+

=π2

0 sinsina

a

dxnxmx et les

fonctions nxmx sinet sin sont orthogonales sur tout intervalle de longueur .2π

Page 44: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 469

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

b) ( ) ( )( )dxxnmxnmnxmxa

a

coscos21coscos

2

∫ ∫+

++−=π

( ) ( ) 2sin sin1 ,

2

a π

a

m n x m n xm n m n

+⎡ ⎤− +

= −⎢ ⎥− +⎣ ⎦

où 0et 0 ≠+≠− nmnm ( )( )1 sin 2 .2

m n a π⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

51. Posons .22

-pour , sec3 ,tan3 2 πθπθθθ <<== ddyy

( )2 2 2 29 9 9 tan 9 1 tan 9secy θ θ θ+ = + = + =

de sorte que ,sec3 sec 3sec99 22 θθθ ===+ y

puisque .22

-pour 0sec πθπθ <<>

Alors, ∫∫∫ ==+

θθθθθ dd

y

dy secsec3

sec3

9

2

2

2

2

2

ln sec tan

9+ln

3 3

ln 9+ ln3

ln 9+ , où ln3.

θ θ C

y y C

y y C

y y C C C

′= + +

′= + +

′= + − +

′= + + = −

52. Posons θθθ ddyy sec 3 ,tan3 2==

pour .22

- πθπ<<

,sectan191 222 θθ =+=+ y de sorte que

,sec sec sec91 22 θθθ ===+ y

puisque 0sec >θ pour .22

- πθπ<<

Alors, 2

22

3 sec sec ln sec tan ln 1 9 3 .sec1+9

dy θ dθ θ dθ θ θ C y y Cθy

= = = + + = + + +∫ ∫ ∫

y2 9 y+

3y

1

29 1 y+

θ

Page 45: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

470 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

53. Posons .22

-pour , cos5 ,sin5 πθπθθθ <<== ddtt

( ) ,cos25sin125sin252525 2222 θθθ =−=−=− t

de sorte que ,cos5 cos 5cos2525 22 θθθ ===− t

puisque .22

-pour 0cos πθπθ <<>

Alors, ∫∫ ⋅=− θθθ ddtt cos5cos5 25 2

.2

255

sin 225

525

55sin

225

cossin221

225

22sin

225

2

2cos125 cos25

2

2

2

Ctttarc

Ctttarc

C

C

dd

+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+⎟⎟

⎜⎜

⎛ −⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+== ∫∫

θθθ

θθ

θθθθ

54. Posons θθθ ddtt cos 3 ,sin3 ==

pour .22

- πθπ<<

θθ 222 cossin191 =−=− t de sorte que

θθθ cos os cos91 22 ===− ct ,

puisque 0cos >θ pour .22

- πθπ<<

( ) .9133sin

61

2cossin2

61

22sin

61

22cos1

31 cos

31cos 91Alors,

2

2

CtttarcC

Cdddtt

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+=⋅=− ∫∫∫

θθθ

θθθθθθθ

2 52 t−

5t

θ

3t1

29 1 t−

θ

Page 46: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 471

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

55. Posons . tansec27 ,sec

27ou sec72 θθθθθ ddxxx ===

De ,27

>x on déduit que .2

0 πθ <<

De plus, ( )2 2 2 24 49 49sec 49 49 sec 1 49 tan ,x θ θ t− = − = − =

de sorte que ,tan7 tan 7tan49494 22 θθθ ===−x puisque .2

<<0pour 0tan πθθ >

Il s'ensuit que ∫∫ ∫ ==−

θθθ

θθθ dd

x

dx sec21

tan7 tansec

27

494 2

2

2 2

1 1 2 4 49ln sec tan ln 2 2 7 7

1 1 1ln 2 4 49 - ln 7 ln 2 4 49 2 2 2

x xθ θ C C

x x C x x C

−′ ′= + + = + +

′= + − + = + − +

où .7ln21- CC ′+=

56. Posons , tansec3 5 ,sec35 θθθθ ddxx ==

De ,53

>x nous déduisons que .2

0 πθ <<

De plus, ( ) ,tan91sec99sec9925 2222 θθθ =−=−=−x

de sorte que ,tan3 tan 3tan9925 22 θθθ ===−x

puisque 0tan >θ pour .2

0 πθ <<

Il s'ensuit que

2

2

5 3sec tan 5 25 9sec ln sec tan ln ,3tan 3 325 9

dx θ θ dθ x xθ dθ θ θ C Cθx

−= = = + + = + +

−∫ ∫ ∫

ou encore , 9255 ln 2 Cxx ′+−+ où .3ln−=′ CC

49 4 2 -x

7

2x

θ

5x

3

9 52 2 −xθ

Page 47: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

472 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

57. Posons . tansec ,sec θθθθ ddxx ==

De ,1>x on déduit que .2

0 πθ <<

De plus, ,tan1sec1 222 θθ =−=−x de sorte que

,tan tan tan1 22 θθθ ===−x puisque .2

<<0pour 0tan πθθ >

Il s'ensuit que .1sin cos sec

1tansec

tansec

1

2

222C

xxCddd

xx

dx+

−=+====

−∫∫∫ ∫ θθθθ

θθθθθ

(voir le triangle de référence) 58. Posons θθθθ ddxx tansec ,sec == .

De 1>x , nous déduisons que 2

0 πθ << .

De plus, θθ 222 tan1sec1 =−=−x ,

de sorte que θθθ tan tan tan1 22 ===−x , puisque 0tan >θ pour 2

0 πθ << .

Il s'ensuit que ( ) θθθθθθθθθ ddd

xx

dx 2cos1 cos2tansec

tansec2

1

2 2323 ∫ ∫∫∫ +===

.1sec

11sec2

cossin222sin

2

2

2

Cx

xxarc

Cxx

xxarcCC

+−

+=

+⋅−

+=++=++=θθθθθ

59. Posons 22

-pour , sec2 ,tan2 2 πθπθθθ <<== ddxx

( ) ,sec41tan44tan44 2222 θθθ =+=+=+x

de sorte que ,sec2 ec 2sec44 22 θθθ ===+ sx

puisque .2

<<2

-pour 0sec πθπθ >

1 2 -x

1

x

θ

4 2 +x

2

x

1

1 2 −xθ

Page 48: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 473

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Il s'ensuit que ∫ ∫⋅

=+ θ

θθθsec2

sec2tan8

4

23

2

3 d

x

dxx

( ) . tansec1sec8

tansectan8 sectan82

23

θθθθ

θθθθθθθ

d

dd

∫∫∫

−=

==

Posons . tansecet sec θθθθ dduu ==

Alors ( ) Cuuduux

dxx+⎥

⎤⎢⎣

⎡−=−=

+∫∫ 3

8 184

32

2

3

( ) .44431

24

24

318sec

3sec8

2232

23

23

Cxx

CxxC

++−+=

+⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡+

−⎟⎟

⎜⎜

⎛ +=+⎥

⎤⎢⎣

⎡−= θθ

60. Posons , sec ,tan 2 θθθ ddxx ==

pour .22

- πθπ<<

,sec1tan1 222 θθ =+=+x

de sorte que ,sec sec sec1 22 θθθ ===+x puisque 0sec >θ pour .22

- πθπ<<

Il s'ensuit que

θθθ

θθθθ

θθθθ ddd

xx

dx sincos

cos1

tan sec

sectan sec

12

2

22

2

22⋅===

+∫∫∫ ∫

( ) ( ) .1-sin

1-1-

sin cossin2-12-

Cx

xCCd ++

=+=+== ∫ θθθθθ

61. Posons .22

-pour , cos2 ,sin2 πθπθθθ <<== ddww

( ) ,cos4sin14sin444 2222 θθθ =−=−=− w de sorte que

,cos2 cos 2cos44 22 θθθ ===− w

.22

-pour 0cos puisque πθπθ <<>

4 2w-

2w

θ

x

1

1 2 +x

θ

Page 49: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

474 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Il s'ensuit que θθθθ

θθ dd

ww

dw sin

12cos2sin4 cos28

4

82222 ∫∫∫ =

⋅⋅

=−

Cw

wCd +−

=+== ∫2

2 42-cot-2 csc2 θθθ (voir le triangle de référence, page précédente).

62. Posons , cos3 ,sin3 θθθ ddww ==

pour .22

- πθπ<<

( ) ,cos9sin19sin999 2222 θθθ =−=−=− w

de sorte que ,cos3 cos 3cos99 22 θθθ ===− w puisque 0cos >θ pour .22

- πθπ<<

Il s'ensuit que ∫∫∫ ∫−

==⋅

=− θ

θθθ

θθ

θθθθ ddddw

ww

sinsin1

sin cos

sin9 cos3cos3 9

2

2

2

2

22

2

( ) .3

sin 9-cot- 1csc2

2 Cwarcw

wCd +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=+−=−= ∫ θθθθ

63. Posons . tansec ,sec θθθθ ddxx ==

De ,1>x on déduit que .2

0 πθ <<

De plus, ,tan1sec1 222 θθ =−=−x

de sorte que ,tan tan tan1 22 θθθ ===−x puisque .2

0pour 0tan πθθ <<>

Il s'ensuit que ( ) ∫∫∫∫∫ =⋅⋅===−

. sincos

sincos

cos1

tansec

tan tansec

122

2

23232θ

θθθ

θθ

θθ

θθ

θθθθ dddd

x

dx

Posons ,sinθ=u alors θθ ddu cos= et

( ) Cu

duuduux

dx+===

−∫∫ ∫

1- 1

1 2-

2232.

1-csc-

sin1-

2C

x

xCC +−

=+=+= θθ

1 2 -x

1

x

θ

w3

2 9 w−

θ

Page 50: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 475

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

64. Posons . tansec ,sec θθθθ ddxx ==

De ,1>x nous déduisons que .2

0 πθ <<

De plus, ,tan1sec1 222 θθ =−=−x de sorte que

,tan tan tan1 22 θθθ ===−x puisque 0tan >θ pour .2

0 πθ <<

Il s'ensuit que ( ) θθθ

θθ

θθ

θθθθθ ddd

x

dxx sincos

cos1

tansec

tan tansecsec

1

4

4

34

3

5

2

252

2

⋅===−

∫∫∫∫

( ) ( )

( ) .13

-13

1-

sin31-

3-sin cossin

232

3

32

3

3-4-

Cx

xC

xx

CCd

+−

=+

⎟⎟

⎜⎜

⎛ −=

+=+== ∫ θθθθθ

65. Posons , cos ,sin θθθ ddxx == pour .22

- πθπ<<

,cossin11 222 θθ =−=− x de sorte que

,cos cos cos1 22 θθθ ===− x puisque 0cos >θ

pour .22

- πθπ<<

Il s'ensuit que ( ) . csccotsin

1sincos

sin coscos 1 24

24

4

6

3

6

232

∫∫∫∫ =⋅⋅=⋅

=− θθθθ

θθθ

θθθθ ddddx

xx

Posons ,cotθ=u alors ( ) ( ) Cuduudxxxddu +=⋅=

−= ∫ ∫ 5

-- 1et csc-5

46

2322 θθ

( ) .151-

5cot-

25

5

25

Cx

xC +−

=+=θ (Voir le triangle de référence ci-dessus)

1 2x-

1x

θ

x

1

1 2 −xθ

Page 51: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

476 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

66. Posons , cos ,sin θθθ ddxx ==

pour .22

- πθπ<<

,cossin11 222 θθ =−=− x

de sorte que ,cos cos cos1 22 θθθ ===− x puisque 0cos >θ pour 22

- πθπ<< .

Il s'ensuit que ( )∫∫∫∫ =⋅==

− θθθθθθ

θθ

θθθ ddddxxx csccot

sin1

sincos

sin coscos 1 22

22

2

44

212

( ) .3

1-131-

3cot- 3

2323

23

CxxC

xxC +

−=+

⎟⎟

⎜⎜

⎛ −=+=

θ

67. Posons ,tan21ou tan2 θθ == xx

, sec21 2 θθ ddx = pour .

22- πθπ

<<

.sec1tan14 222 θθ =+=+x

Il s'ensuit que ( ) ( ) θθ dxx

dx sec21

sec

8

14

8 22222⋅=

+∫∫

.14

22tan 2

14

1

14

22tan 2

2cossin22

22sin2

2

2cos14 cos4 sec

14

2

22

22

Cx

xxarc

Cxx

xxarc

CC

ddd

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++=

+⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

+⋅

++=

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=

+=== ∫ ∫∫

θθθθθ

θθθθθθ

1 4 2 +x

1

2xθ

x1

2 1 x−

θ

Page 52: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 477

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

68. Posons , sec 3 ,tan3 2 θθθ ddtt ==

pour .22

- πθπ<<

θθ 222 sec1tan19 =+=+t et

( ) ( ) θθθθθθθ ddd

t

dt 2cos1 cos2sec

sec2

19

6 24

2

22 ∫ ∫∫∫ +===+

( )

( ) .19

33tan

19

1

19

33tan 2

cossin222sin

2

22

Ct

ttarc

Ctt

ttarcCC

++

+=

++

⋅+

+=++=++=θθθθθ

69. Posons .teu = Alors .44lnet 10 , =⇒==⇒== ututdtedu t

Il s'ensuit que .99

4

12

4ln

02 ∫∫

+=

+ u

du

e

dtet

t

Posons ,tan3 θ=u

, sec3 2 θθ ddu = pour .22

- πθπ<<

( ) ,sec91tan99tan99 2222 θθθ =+=+=+u

de sorte que ,sec3 sec 3sec99 22 θθθ ===+u puisque 0sec >θ pour .22

- πθπ<<

Nous avons ∫∫ ∫ ==+

θθθθθ dd

u

du secsec3

sec3

9

2

2

. 33

9 ln tansec ln2

CuuC +++

=++= θθ

Il en résulte que 4

4 2

21 1

9 5 4 10 1ln ln ln 3 3 3 3 3 39

du u u

u

⎡ ⎤+⎢ ⎥= + = + − +⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

( )( ) ( )ln9 ln 3 ln 10 1 ln 3 ln 9 ln 10 1 .= − − + − = − +

9 2 +u

3

3t

1

1 9 2 +t

θ

Page 53: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

478 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

70. Posons ( ) θθθθ ddteete ttt sec et tanlnln ,tan 2====

pour .34

43

≤≤ θ

,sectan11 222 θθ =+=+ te

de sorte que ( ) θθθ sec sec sec1 2212 ===+ te

puisque 0sec >θ pour ,34

43

≤≤ θ et ( ) θ3232 sec1 =+ te

Il s'ensuit que ( )( )

( )ln 4 3 tan4 3 2

3 2 32ln 3 4 tan3 4

secsec1

arct

t arc

e dt θ dθθe

=+

∫ ∫

[ ] tan4 3

tan4 3 tan3 4

tan3 4

4 3 1cos sin .5 5 5

arcarcarc

arc

θ dθ θ= = = − =∫

71. Posons .tx = Alors .2et 2

1t

dtdxdtt

dx ==

Il s'ensuit que . 414 2

412

412

42

22 dxx

dxxt

dttttt

dt∫∫∫∫ +

=⋅+

=⋅+

=+

Posons ,tan21ou tan2 θθ == xx , sec

21 2 θθ ddx = pour .

22- πθπ

<<

Alors θθ 222 sectan141 =+=+ x et

( ) ( ) .2tan 22tan 222 sec21

sec4

414 2

22 ∫∫∫ +=+=+==⋅=+

CtarcCxarcCdddxx

θθθθθ

Finalement, ( )1 4 1 4

1 121 12

2 2 tan 24dt arc t

t t t⎡ ⎤= ⎣ ⎦+∫

[ ]

12 tan1 tan 212

22 tan1 tan2 3

12 tan1 tan3

2 4 6 6.

arc arc

arc arc

arc arc

π π π

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − =

1

2x24 1 x+

θ

3

54

Page 54: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 479

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

72. Posons θθθθ dedyey sec , 2tantan ==

.41tanet 00tan1 πθθθθ =⇒=⇒==⇒=⇒= eyy

( ) ,sectan1ln1 222 θθ =+=+ y de sorte que ( ) .sec sec secln1 22 θθθ ===+ y

puisque 0sec >θ pour .4

0 πθ ≤≤

Il s'ensuit que

( )

4 4tan 2 4

tan 021 0 0

sec sec ln sec tan sec1 ln

π πe θ π

θdy e θ dθ θ dθ θ θ

e θy y⎡ ⎤= = = +⎣ ⎦

+∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )ln sec 4 tan 4 ln sec0 tan 0 ln 2 1 ln 1 0 ln 2 1 .π π⎡ ⎤= + − + = + − + = +⎣ ⎦

73. Posons . tansec ,sec θθθθ ddxx ==

Si ,1>x alors ,0tanet 2

0 ><< θπθ de sorte

que θθθ tan tan tan1 22 ===−x et

. secsectansec

tansec

12CxarcCxarcCd

xx

dx+=+=+==

−∫∫ θ

θθθθθ

Si ,1-<x alors ,0tanet 2

<<< θπθπ de sorte que θθθ tan- tan tan1 22 ===−x et

( )( ) ( )

.où , sec-sec-sec

sec--tan-sec

tansec

12

ππ

θθθθθθ

−=′′+=

′+=+−=

+=+==−

∫∫

CCCxarcCxarcCxarc

CxarcCd

xx

dx

74. Posons . sec ,tan 2 θθθ ddxx ==

θθ 222 sectan11 =+=+ x

Il s'ensuit que .tan sec

sec1 2

2

2 CxarcCdx

dx+=+==

+ ∫∫ θθθθ

1 2 -x

1

x

θ

Page 55: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

480 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

75. Posons . tansec ,sec θθθθ ddxx ==

Si ,1>x alors ,0tanet 2

0 ><< θπθ de sorte que θθθ tan tan tan1 22 ===−x et

.1tan sectan

tansecsec

1

222

CxCdd

x

dxx+−=+===

−∫∫∫ θθθ

θθθθθ

Si -1,<x alors ,0tanet 2

<<< θπθπ de sorte que θθθ tan- tan tan1 22 ===−x et

.1tan- sec-tan-

tansecsec

1

222

CxCdd

x

dxx+−=+===

−∫∫∫ θθθ

θθθθθ

76. Posons , cos ,sin θθθ ddxx ==

pour .22

- πθπ<<

θθ 222 cossin11 =−=− x

et ,cos cos cos1 22 θθθ ===− x

puisque 0cos >θ pour .22

- πθπ<<

Il s'ensuit que .sin cos

cos

1 2CxarcCd

x

dx+=+==

+∫∫ θ

θθθ

77. ( ) ( )2 222 5 2 1 4 1 4

dy dy dyy y y y y

= =− + − + + − +

∫ ∫ ∫

Posons ,tan21ou tan21 θθ +==− yy

, sec2 2 θθ ddy = pour .22

- πθπ<<

( ) ( )2 2 2 21 4 4 tan 4 4 tan 1 4secy θ θ θ− + = + = + =

Il s'ensuit que ∫∫∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+===+−

CyarcCddyy

dy2

1tan 21

21

21

sec4 sec2

52 2

2

2 θθθθθ

et que [ ] .8

042

10tan 1tan 21

21tan

21

52

3

1

3

12

ππ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=−=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+−∫ arcarcyarc

yydy

( ) 4 1 2+-y

2

y - 1θ

x1

2 1 x−

θ

Page 56: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 481

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

78. ( )∫∫ ∫ +−

=++−

=+− 91912102 222 y

dyyydy

yydy

Posons θtan31 =−y

ou θθθ ddyy sec3 ,tan31 2=+= pour .22

- πθπ<<

( ) ( ) .sec91tan99tan991 2222 θθθ =+=+=+−y

Il s'ensuit que Ce

yarcCdyy

dy+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+==+−∫ ∫

1tan 31

31

sec9 sec3

102 2

2

2 θθθθ et que

[ ] .12

043

10tan 1tan 31

31tan

31

102

4

1

4

12

ππ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+−∫ arcarcyarc

yydy

79. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 22 - 2 - 2 1 1 - 1 1 1 1 ,x x x x x x x x⎡ ⎤− = − = − + − = − − = − −⎣ ⎦

d'où ( ) ( )( )

.11

1

2

122 ∫∫

−−

−=

x

dxx

xx

dxx

Posons ,sin1ou sin1 θθ +==− xx , cos θθ ddx = pour .22

- πθπ<<

( ) ,cossin111 222 θθ =−=−− x de sorte que ( ) ,cos cos cos11 22 θθθ ===−− x

puisque 0cos >θ pour .22

- πθπ<<

( )

( ) CxxCx

Cdd

xx

dxx

+−=+−−=

+===−

−∫∫∫

22

2

2-11-

cos- sincos

cossin

2

1 queensuit s' Il θθθθ

θθθ

et que ( ) .2311

23-12

493-2-

2

1 23

1

223

12

−=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡+=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−+−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

−∫ xx

xx

dxx

( ) 1 1 2-x-

1x - 1

θ

y - 1

3

( ) 9 1 2 +−y

θ

Page 57: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

482 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

80. ( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( )2 222 2

2 2 2 2 2

5 4 - 4 5 - 4 4 9 9 2- 2 9

x dx x dx x dx x dx x dx

x x x x x x xx

− − − − −= = = =

⎡ ⎤+ − − − − + − − −− −⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Posons θsin32 =−x ou , cos3 ,sin32 θθθ ddxx =+=

pour .22

- πθπ<<

( ) ,cos3 cos 3cos3sin9929 222 θθθθ ===−=−− x

puisque ,0cos >θ pour .22

- πθπ<<

Il s'ensuit que

( ) ( )

.45-

3293

-cos3- sin3cos3

cos3sin3

45

2

2

2

2

Cxx

Cx

Cdd

xx

dxx

+−+=

+−−

=+==⋅

=−+

−∫∫∫ θθθ

θθθθ

81. ( )∫∫∫

−−=

−+−=

− 111122 222 x

dx

xx

dx

xx

dx

Posons ,sec1ou sec1 θθ +==− xx

, tansec θθθ ddx = pour .2

0 πθ <<

( ) ,tan1sec11 222 θθ =−=−−x

de sorte que ( ) ,tan tan tan11 22 θθθ ===−−x puisque 0tan >θ pour .2

0 πθ <<

. 21 ln

tansec ln sectan

tansec

2 queensuit s' Il

2

2

Cxxx

Cdd

xx

dx

+−+−=

++===−

∫∫ ∫ θθθθθ

θθθ

82. Posons . cos ,sin dttdyty ==

Alors ( )

.111122sin2sin

cos2222 ∫∫ ∫∫−+

=−++

=+

=+ y

dy

yy

dy

yy

dy

tt

dtt .

( ) 1 1 2 --x

1

x - 1

θ

x - 23

( )22 9 −− x

θ

Page 58: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 483

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Posons θsec1 =+y ou , tansec ,sec1- θθθθ ddyy =+=

pour .2

0 πθ <<

( ) ,tan tan tan1sec11 222 θθθθ ===−=−+y

puisque .2

0pour 0tan πθθ <<>

Il s'ensuit que ( ) ∫∫∫ =

−+=

+ θθθθ

tan tansec

11sin2sin

cos22

d

y

dy

tt

dtt

. sin2sin1sin ln

21 ln tansec ln sec

2

2

Cttt

CyyyCd

++++=

++++=++== ∫ θθθθ

83. ( ) ( ) ,92944134 222 ++=+++=++ xxxxx d'où ( ) ( )( )∫ ∫

++

+=

++

+ .92

2

134

222 x

dxx

xx

dxx

Posons ,2tan3ou tan32 −==+ θθ xx

, sec3 2 θθ ddx = pour .22

- πθπ<<

( ) ( ) ,sec91tan99tan992 2222 θθθ =+=+=++x d'où

( ) θθθ sec3 sec 3sec992 22 ===++x puisque 0sec >θ lorsque .22

- πθπ<<

( )

CxxC

dd

xx

dxx

+++=+=

=⋅

=++

+∫ ∫∫

134sec3

sectan3sec3

sec3tan3

134

2 queensuit s' Il

2

2

2

θ

θθθθ

θθθ

et ( ) .235134134

2+2

2-

2

2-

22

=−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++=

++∫ xx

xx

dxx

( ) 9 2 2++x

3

x + 2θ

1

( ) 1 1 2 −+yθ

1 +y

Page 59: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

484 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

84. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 28 2 - 2 8 - 2 1 9 - 1 9 9 1x x x x x x x x⎡ ⎤+ − = − − = − + − = − − = − −⎣ ⎦

Posons , cos3- ,sin31 θθθ ddxx ==− pour .22

- πθπ<<

( ) ,cos3 cos 3cos3sin991928 2222 θθθθ ===−=−−=−+ xxx

puisque 0cos >θ pour .22

- πθπ<<

Il s'ensuit que

( ) ( )∫∫∫ =

⋅=

−+

− θθθ

θθθ dd

xx

dxx sin-3cos

cos3-sin3

28

12

( )CxxC

xC +−+=+

−−⋅=+= 2

2

28319

3cosθ et que

( ) .223892828

1 1

0

21

02

−=−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+=

−+

−∫ xx

xx

dxx

85. ( ) ,4141252 222 +−=++−=+− sssss d'où ( )

.4152 22∫ ∫

+−=

+− s

ds

ss

ds

Posons ,tan21ou tan21 θθ +==− ss , sec2 2 θθ dds = pour .22

- πθπ<<

( ) ( ) ,sec41tan44tan441 2222 θθθ =+=+=+−s

d'où ( ) ,sec2 sec 2sec441 22 θθθ ===+−s

puisque 0sec >θ lorsque .22

- πθπ<<

.

21

252ln

tansec ln secsec2

sec2

52 queensuit s' Il

2

2

2

Csss

Cdd

ss

ds

+−

++−

=

++===+−

∫∫ ∫ θθθθθθθ

Note : En poursuivant les calculs, on obtient :

, 152 ln2ln 152 ln52

222

CsssCsssss

ds ′+−++−=+−−++−=+−

où ,2ln−=′ CC qui est une réponse équivalente.

( ) 4 1 2+−s

2

s - 1θ

1 - x3

( )2 1 9 x−−

θ

Page 60: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 485

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

86. 3 3 3 3

2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5

z dz z zdz dz dzz z z z z z z z

− + −= = +

− + − + − + − +∫ ∫ ∫ ∫

Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons .522 +−= zzu

Alors ( ) , 22 dzzdu −= .83et 41 =⇒==⇒= uzuz

Ainsi, 3 8

8

2 41 4

2 2 1 8 ln ln8 ln 4 ln ln 2.42 5

z dz du uuz z

− ⎛ ⎞⎡ ⎤= = = − = =⎜ ⎟⎣ ⎦− + ⎝ ⎠∫ ∫

Pour la deuxième intégrale, ( ) ( )2 22

2 2 2 .2 5 2 1 4 1 4

dz dz dzz z z z z

= =− + − + + − +

∫ ∫ ∫

Posons , sec2 ,tan21 2 θθθ ddzz ==− pour .22

- πθπ<<

Il s'ensuit que

( )

CzarcCd

ddddzz

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+==

=+

=+

⋅=

+−

∫∫∫∫

21tan

secsec

1tansec

44

4tan4 sec22

412

2

2

2

2

2

2

2

θθ

θθθθ

θθ

θθθ

et que ( )

.4

04

0tan 1tan 2

1tan 41

23

1

3

12

ππ=−=−=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+−∫ arcarczarcdz

z

Par conséquent, 3

21

2 ln 2 .42 5

z dz πz z

= +− +∫

87. ( ) ,4134169569 222 +−=++−=+− xxxxx d'où ( )

.413

3569

322∫ ∫ +−

=+− x

dxxx

dx

Posons ,3tan21ou tan213 θθ +

==− xx

, sec32 2 θθ ddx = pour .

22- πθπ

<<

( ) ( ) θθθ 2222 sec41tan44tan4413 =+=+=+−x

Il s'ensuit que .2

13tan 21

21

21

sec4

sec323

569 3

2

2

2 CxarcCdd

xxdx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+==⋅⋅

=+− ∫∫ ∫ θθ

θ

θθ

( ) 4 1 3 2+−x

2

3x - 1θ

Page 61: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

486 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

88. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 23 2 - 2 3 - 2 1 4 - 1 4 4 1 ,t t t t t t t t⎡ ⎤− − = + − = + + − = + − = − +⎣ ⎦

d'où ( )

.14

6

23

6 0

1-2

0

1-2 ∫∫

+−=

−− t

dt

tt

dt

Posons , cos2 ,sin21 θθθ ddtt ==+

pour .22

- πθπ<<

( ) ( )2 2 2 24 1 4 4sin 4 1 sin 2 cos 2 cos 2cost θ θ θ θ θ− + = − = − = = =

puisque 0cos >θ pour .22

- πθπ<<

Il s'ensuit que ∫∫⋅

=−− θ

θθcos2

cos26

23

62

d

tt

dt CtarcCd +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+== ∫ 21sin 666 θθ

et que 0

1-

0

1-2 2

1sin 623

6⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−−

∫tarc

tt

dt .06

60sin 21sin 6 ππ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= arcarc

89. ( ) ,4141232 222 −−=−+−=−− rrrrr d'où ( )

.4132 22∫ ∫

−−=

−− r

dr

rr

dr

Posons ,sec21ou sec21 θθ +==− rr

θθθ ddr tansec2= pour .2

0 πθ <<

( ) ( ) ,tan41sec44sec441 2222 θθθ =−=−=−−r

de sorte que ( ) ,tan2 tan 2tan441 22 θθθ ===−−r puisque 0tan >θ pour .2

0 πθ <<

,

232

21 ln

tansec ln sectan2

tansec2

32 queensuit s' Il

2

2

Crrr

Cdd

rr

dr

+−−

+−

=

++===−−

∫∫ ∫ θθθθθ

θθθ

ou encore .2lnoù , 321 ln 2 −=′′+−−+− CCCrrr

2

r - 1( ) 4 1 2

−−rθ

2

( )21 4 +− t

θ1 +t

Page 62: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 487

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

90. ( ) ,111122 222 −+=−++=+ xxxxx d'où

( ) ( ) ( )

.11121

1

122

1

122 ∫∫

−− −++=

++ xx

dx

xxx

dx

Posons . tansec ,sec1 θθθθ ddxx ==+

,212112 ≤+≤⇒≤≤− xx d'où

.34

et 11 πθπ<<>+x

( ) ,tan tan tan1sec11 222 θθθθ ===−=−+x

puisque 0tan >θ pour .34

πθπ<<

Il s'ensuit que ( )

( ) CxarcCdd

xxx

dx++=+===

++∫∫ ∫ 1sec

tansec tansec

21 2θθ

θθθθθ

et que( )

( ) ( )1

1

2 122 1

sec 1 sec2 sec 2 .3 4 121 2

dx π π πarc x arc arcx x x −

⎡ ⎤= + = − = − =⎣ ⎦+ +

91. ( ) ,1214454 222 ++=+++=++ θθθθθ d'où ( )

.12

254

222∫ ∫ ++

=++ θ

θθθθ dd

Posons ,2tanou ,tan2 −==+ αθαθ

, sec2 ααθ dd = pour .22

- παπ<<

( ) .sec1tan12 222 ααθ =+=++

Il s'ensuit que ( )∫ ∫ ∫ ++=+===++

CarcCddd 2tan 222sec

sec254

22

2

2 θααααα

θθθ

et ( ) [ ] [ ]3

3

2 -2-2

2 2 tan 2 2 tan 5 tan 0 2 tan 5 0 2 tan 5.4 5dθ arc θ arc arc arc arc

θ θ⎡ ⎤= + = − = − =⎣ ⎦+ +∫

2 +θ( ) 1 2 2

++θ

Page 63: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

488 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

92. dvvv

v

vv

dvv

vv

dvv 52

2+2221

52

221

52

25

12

25

12

25

12 ∫∫∫

+−

−=

+−=

+−

dvvv

dvvv

v 52

221

52

2221 25

12

25

12 ∫∫

+−+

+−

−=

Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons .522 +−= vvu

Alors ( ) , 22 dvvdu −= .42525et 41 =⇒==⇒= uvuv

Ainsi, .212

254

425

2121

21

52

2-221

425

4

21425

4

21-25

12

=−=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

+−∫∫

uduudvvv

v

Pour la deuxième intégrale,

( ) ( )∫∫ ∫∫+−

=++−

=+−

=+−

. 41

1 412

1 52

1 52

221

2222dv

vdv

vvdv

vvdv

vv

Posons . sec2 ,tan21 2 θθθ ddvv ==−

Puisque .43tan 0et

2310 ,

251 arcvv ≤≤≤−≤≤≤ θ

Il s'ensuit que

( ) ∫∫∫∫ =

+=

+=

+− θ

θθ

θ

θθ

θ

θθ2

2

2

2

2

2

2 sec

sec

1tan2

sec2

4tan4

sec2 41

1 ddddvv

Cd

dd

++==

==

∫∫

tansec ln sec

secsec

sec sec 22

θθθθ

θθθ

θθθ

puisque 0sec >θ pour ,43tan 0 arc≤≤ θ et que

( )

5 2tan3 4

021

1 ln sec tan 1 4

arcdv θ θ

v⎡ ⎤= +⎣ ⎦

− +∫

( ) ( )

.2ln 01 ln 43

45 ln

0tan0sec ln 43tan tan43tan sec ln

=+−+=

+−+= arcarc

Par conséquent, ∫ ++−

25

12

.2ln21=

52

vv

dvv

5

4

2

( ) 4 1 2 +−v

θ1 −v

Page 64: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 489

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

93. ( ) ,4134169569 222 +−=++−=+− xxxxx d'où ( )

.413569 22∫ ∫

+−=

+− x

dx

xx

dx

Posons ,3tan21ou tan213 θθ +

==− xx

, sec32 2 θθ ddx = pour .

22- πθπ

<<

( ) ( )2 2 2 23 1 4 4 tan 4 4 tan 1 4sec ,x θ θ θ− + = + = + = de sorte que

( ) ,sec2 sec 2sec4413 22 θθθ ===+−x puisque 0sec >θ pour .22

- πθπ<<

,

213

2569 ln

31

tansec ln31 sec

31

sec2 sec

32

569 queensuit s' Il

2

2

2

Cxxx

Cdd

xx

dx

+−

++−

=

++===+−

∫∫ ∫ θθθθθθθ

ou encore .2ln31où , 13569 ln

31 2 −=′′+−++− CCCxxx

94. dyyy

yyy

dyyyy

dyy 569

661861

569 18

61

569 3

222 ∫∫ ∫ +−+−

=+−

=+−

∫∫ +−+

+−−

= dyyy

dyyy

y 569

661

569618

61

22

Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons .569 2 +−= yyu

Alors ( ) . 618 dyydu −=

Ainsi, . 569 ln61 ln

61 1

61

569618

61

12

12 CyyCuduu

dyyy

y++−=+==

+−−

∫∫

Pour la deuxième intégrale, . 569

1 569

661

22 dyyy

dyyy ∫∫ +−

=+−

Or, ( ) .4134169569 222 +−=++−=+− yyyyy

Posons , sec2 3 ,tan213 2 θθθ ddyy ==− pour .22

- πθπ<<

( ) 4 1 3 2+−x

2

3x - 1θ

3y - 1

2

( ) 4 1 3 2 +−y

θ

Page 65: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

490 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Il s'ensuit que ( )

( )∫∫∫ +

=+−

=+− 4tan4

sec32 413

1 569

12

2

22 θθθ ddy

ydy

yy

.

213tan

61

61

61

secsec

61

1tansec

61

22

2

2

2

2

CyarcCd

dd

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+==

=+

=

∫∫

θθ

θθθθ

θθ

Par conséquent, ,2

13tan 61 569 ln

61

569 3 2

2 Cyarcyyyy

dyy+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++−=+−∫ où .21 CCC +=

95. ( ) ,92944134 222 ++=+++=++ xxxxx d'où ( )

.92134 22∫ ∫

++=

++ x

dx

xx

dx

Posons ,2tan3ou tan32 −==+ θθ xx

dx = 3sec2θ dθ, pour .22

- πθπ<<

( ) ( ) ,sec91tan99tan992 2222 θθθ =+=+=++x de sorte que

( ) ,sec3 sec 3sec992 22 θθθ ===++x puisque 0sec >θ lorsque .22

- πθπ<<

Cxxx

Cdd

xx

dx

++

+++

=

++===++

∫∫ ∫

3

23

134 ln

tansec ln secsec3

sec3

134 queensuit s' Il

2

2

2θθθθ

θθθ

et ( )1

1 2

2-2 -2

4 13 2 18ln ln 1 ln 1 0 ln 2 1 .3 3 34 13

dx x x x

x x

⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥= + = + − + = +⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦

96. ( ) ( ) ( ) dzzz

z

zz

dzz

zz

dzz 34

24221

34

2221

34

1222 ∫∫∫

+−

+−=

+−

−=

+−

dzzz

dzzz

z 34

221

34

4221

22 ∫∫+−

++−

−=

Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons .342 +−= zzu

Alors ( ) . 42 dzzdu −=

( ) 9 2 2++x

3

x + 2θ

Page 66: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 491

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Ainsi, .34212

1 21

34

4221

12

11

2121-

2CzzCuCuduudz

zz

z++−=+=+==

+−

−∫∫

Pour la deuxième intégrale, . 34

1 34

221

22dz

zzdz

zz∫∫

+−=

+−

Or, ( ) .1214434 222 −−=−+−=+− zzzzz

Posons , tansec ,sec2 θθθθ ddzz ==− pour .2

0 πθ <<

Il s'ensuit que ∫∫∫ =−

=+− θ

θθθ

θ

θθθ222 tan

tansec

1sec

tansec 34

1 dddzzz

∫∫

=

==

θθ

θθθθ

θθθθ

d

dd

sec

tan tansec

tan tansec

,

puisque 0tan >θ pour ,2

0 πθ <<

( ) 22

22

2 342 ln 122 ln tansec ln CzzzCzzC ++−+−=+−−+−=++= θθ .

Par conséquent, ( )2

21

22

342 ln3434

1 CzzzCzzzz

dzz++−+−+++−=

+−

−∫

, 342 ln34 22 Czzzzz ++−+−++−=

où .21 CCC +=

97. ( ) ,9191282 222 −−=−+−=−− ttttt d'où ( )

.9182 22∫ ∫

−−=

−− t

dt

tt

dt

Posons ,sec31ou sec31 θθ +==− tt

θθθ ddt tansec3 alors = pour .2

0 πθ <<

( ) ( ) ,tan91sec99sec991 2222 θθθ =−=−=−−t de sorte que

( ) ,tan3 tan 3tan991 22 θθθ ===+−t puisque 0tan >θ pour .2

0 πθ <<

3

t - 1( ) 9 1 2

−−tθ

z - 2

1

( ) 1 2 2 −−zθ

Page 67: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

492 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Cttt

Cdd

tt

dt

+−−

+−

=

++===−−

∫∫ ∫

3

823

1 ln

tansec ln sectan3

tansec3

82 queensuit s' Il

2

2θθθθ

θθθθ

et 6

6 2

25 5

1 2 8 5 4 4 7 4 7ln ln ln ln3 ln .3 3 3 3 3 3 32 8

dt t t t

t t

⎡ ⎤ ⎛ ⎞− − − +⎢ ⎥= + = + − + = − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥− − ⎝ ⎠⎣ ⎦∫

98. dxxx

x

xx

dxx

xx

dxx 569

6618181

569

18181

569

222 ∫∫ ∫

+−

+−=

+−=

+−

dxxx

dxxx

x 569

6181

569

618181

22 ∫∫+−

++−

−=

Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons .569 2 +−= xxu

Alors ( ) . 618 dxxdu −=

Ainsi, .56991

21181

181

569

618181

12

1

2121-

2CxxCuduudx

xx

x++−=+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛==

+−

−∫∫

Pour la deuxième intégrale, . 569

131

569

6181

22dx

xxdx

xx∫∫

+−=

+−

Or, ( ) .4134169569 222 +−=++−=+− xxxxx

Posons , sec2 3 ,tan213 2 θθθ ddxx ==− pour .22

- πθπ<<

Il s'ensuit que ( )∫∫∫

+⋅⋅=

+=

+− 1tan

sec21

32

31

4tan4

sec3231

569

131

2

2

22 θ

θθ

θ

θθ dddxxx

, tansec ln

91 sec

91

sec sec

91

sec sec

91

sec

sec91

2

22

2

2

Cd

ddd

++==

===

∫∫∫

θθθθ

θθθ

θθθ

θ

θθ

puisque 0sec >θ pour ,22

- πθπ<<

( ), 13+ 569 ln

91

213

2413

ln91

32

2

2

CxxxCxx+−+−=+

−+

+−= où .

92ln

23 −= CC

3x - 1

2

( ) 4 1 3 2 +−x

θ

Page 68: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 493

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Par conséquent,

32

12

2C+ 13569 ln

91569

91

569

−++−+++−=

+−∫ xxxCxx

xx

dxx

, 13569 ln91569

91 22 Cxxxxx +−++−++−=

où .31 CCC +=

99. ( ) ,1214454 222 ++=+++=++ rrrrr d'où ( )

.12

54

22∫ ∫++

=++ r

drr

rr

drr

Posons , secoù d' ,2tanou ,tan2 2 θθθθ ddrrr =−==+ pour .22

- πθπ<<

( ) ,sec1tan12 222 θ=+=++r de sorte que

( ) ,sec ec sec12 22 θθθ ===++ sr

puisque 0sec >θ pour .22

- πθπ<<

( )

. 254 ln254

tansec ln2sec

sec2 sectansec

sec2tan

54

queensuit s' Il

22

2

2

Crrrrr

C

ddd

rr

drr

+++++−++=

++−=

−=−

=++

∫∫∫ ∫θθθ

θθθθθθ

θθθ

100. ( ) ( )∫∫∫ ++

++=

+++

=++

+544

84841

544128

41

544 32

222 xxdxxdx

xxx

xxdxx

∫∫ +++

+++

=544

841

54448

41

22 xxdxdx

xxx

Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons .544 2 ++= xxu

Alors ( ) . 48 dxxdu +=

Ainsi, . 544 ln41 ln

41 1

41

54448

41

12

12 CxxCuduu

dxxx

x+++=+==

+++

∫∫

Pour la deuxième intégrale, .544

2 544

841

22 ∫∫ ++=

++ xxdx

xxdx

( ) 1 2 2++r

1

r + 2θ

Page 69: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

494 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Or, ( ) .4124144544 222 ++=+++=++ xxxxx

Posons , sec2 2 ,tan212 2 θθθ ddxx ==+ pour .22

- πθπ<<

Il s'ensuit que θθθ

θθθ dddx

xxdx

sec sec

42

4tan4 sec2

5442 2

2

2

2

2 ∫∫∫ =+

=++

.2

12tan 21

21

21

22 CxarcCd +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+== ∫ θθ

Par conséquent, ( )21

22 2

12tan 21+ 544 ln

41

544 3+2 CxarcCxx

xxdxx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++=++∫

,2

12tan 21 544 ln

41 2 Cxarcxx +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+++=

où .21 CCC +=

101. . 4et 44 22

2 dxx

xyx

xdxdyx

dxdyx ∫

−=

−=⇒−=

Posons , tansec2où d' ,sec2 θθθθ ddxx == pour .2

0 πθ <<

( ) ,tan41sec44sec44 2222 θθθ =−=−=−x

de sorte que ,tan2 tan 2tan44 22 θθθ ===−x puisque 0tan >θ pour .2

0 πθ <<

( )

.2

sec242

sec22

42

2tan22 sec2

1sec2 tan2

tansec2sec2tan2 4 queensuit s' Il

22

2

22

2

CxarcxCxarcx

Cdd

dd

ddxx

xy

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=

+−=−=

−==

⋅=−

=

∫ ∫∫ ∫

∫∫

θθθθθ

θθθθ

θθθθθ

Comme ( ) .0où d' ,01sec200 aon ,02 =+=+−== CCCarcy

La solution de l'équation différentielle est donc .2

sec242 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=

xarcxy

2

x 4 2

−xθ

2x + 1

2

( ) 4 1 2 2 ++x

θ

Page 70: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 495

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

102. dxx

yxdx

dydxdyx

9

1et 9

11922

2 ∫−

=−

=⇒=−

Posons ,sec3 θ=x d'où , tansec3 θθθ ddx =

pour .2

0 πθ <<

( ) ,tan91sec99sec99 2222 θθθ =−=−=−x

de sorte que ,tan3 tan 3tan99 22 θθθ ===−x

puisque 0tan >θ pour .2

0 πθ <<

Il s'ensuit que Cdddxx

y ++===−

= ∫∫∫ tansec ln sectan3

tansec3 9

12

θθθθθ

θθθ

.3ln 9 ln 3

93

ln 22

CxxCxx+−−+=+

−+=

Comme ( ) ,3ln5 =y nous avons

,3ln39ln3ln9ln3ln 9255 ln3ln CCCC +=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+−=+−−+=

d'où .0=C

La solution de l'équation différentielle est .3ln 9 ln 2 −−+= xxy

103. ( ) ∫ +=

+=⇒=+ .

43et

4334 22

2 dxx

yxdx

dydxdyx

Posons , sec2où d' ,tan2 2 θθθ ddxx == pour .22

- πθπ<<

( ) ,sec41tan44tan44 2222 θθθ =+=+=+x

∫ ∫ ∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+==⋅=

+= .

2tan

23

23

23 sec2

sec43

43où d' 2

22 CxarcCdddxx

y θθθθθ

Comme ( ) ,8

31tan 230 ,02 CCarcy +=+==

π de sorte que .8

3- π=C

La solution de l'équation différentielle est donc .8

32

tan 23 π

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xarcy

2

x 4 2

+x

θ

x

3

9 2 −xθ

Page 71: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

496 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

104. ( ) ( ) ( ) dxx

yxdx

dyxdxdyx

1

1

1

111 232232

222 ∫+

=⇒+

=⇒+=+

Posons ,tanθ=x d'où , sec2 θθ ddx = pour .22

- πθπ<<

,sec1tan1 222 θθ =+=+x

d'où ( ) ,sec sec sec1 2212 θθθ ===+x puisque secθ > 0 pour .22

- πθπ<<

Ainsi, ( ) .1

sin cossec

sec 1

123

2

232C

x

xCdddxx

y ++

=+===+

= ∫∫∫ θθθθθθ

Comme ( ) ,10 =y nous avons ,10

012

C++

= d'où .1=C

La solution de l'équation différentielle est donc .112+

+=

x

xy

105. dxxA 3

93

0

2

∫−

=

Posons , cos3où d' ,sin3 θθθ ddxx == pour .22

- πθπ<<

( ) où d' ,cos9sin19sin999 2222 θθθ =−=−=− x

,cos3 cos 3cos99 22 θθθ ===− x

puisque 0cos >θ pour .22

- πθπ<<

De plus, .23et 00 πθθ =⇒==⇒= xx

( ) .4

300022

322sin

23

2

2cos13 cos3

cos33

cos3 3

9 queensuit s' Il

2

0

2

0

2

0

2

3

0

2

0

2

ππθθ

θθθθ

θθθ

π

π π

π

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=

+==

⋅=−

=

∫ ∫

∫ ∫

dd

ddxxA

3x

9 2x -

θ

3

- 9 2xy =

x

y

31

1

x

1

1 2 +xθ

Page 72: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 497

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

106. Méthode des disques

( )( )

21 12

2 220 0

2 4 .1 1

b

a

dxV π R x dx π dx πx x

⎛ ⎞⎡ ⎤= = =⎜ ⎟⎣ ⎦ +⎝ ⎠ +∫ ∫ ∫

Posons , sec ,tan 2 θθθ ddxx ==

.sectan11 222 θθ =+=+ x

Nous avons .41et 00 πθθ =⇒==⇒= xx

( ) ( )( )

4 4 41 22

2 2 22 20 0 0 0

44

00

sec 1Ainsi, 4 4 4 4 cos sec1 sec

sin 21 cos 2 sin 2 sin 04 2 2 02 2 4 2 2

12 1 .4 2 2

π π π

ππ

dx θ dθV π π π dθ π θ dθθx θ

πθ θ ππ dθ π θ π

π ππ π

= = = =+

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞= = + = + − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ∫

107. ( )( )∫ ∫∫ +−

=++−

=+−

=4

2

4

22

4

222

424

21

4444

21

844

21moy dx

xdx

xxdx

xxf

Posons , sec2où d' ,tan22ou tan22 2 θθθθ ddxxx =+==− pour .22

- πθπ<<

( ) ( ) ,02et sec41tan44tan442 2222 =⇒==+=+=+− θθθθ xx alors que .44 πθ =⇒=x

( )( )

[ ]∫

=−===

⋅=

+−=

4

0

40

24

02

4

22

.4

04

sec2sec4

421

42

421moy queensuit s' Il

ππ

π

ππθθ

θθθ

d

d

dxx

f

θ

( ) 4 2 2+−x

2

x - 2

x

y

2 12

xy

+=

x

1

2 1 x+

θ

Page 73: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

498 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

108. ( )

dxx

dxxx

dxxx

A 12

2 144

2 54

2 1

02

1

02

1

02 ∫∫∫ +−

=++−

=+−

=

Posons θθθ ddxx sec ,tan2 2==− .

( ) θθ 222 sec1tan12 =+=+−x

Ainsi, ( )∫∫ ∫ +−=+===+−

CxarcCdddxxx

2tan 222sec

sec2 54

22

2

2 θθθθθ et

( ) ( ) ( )

( )

11

2 00

2 2 tan 2 2 tan -1 2arctan -24 5

2 - 2 tan -2 0,644.4

dx arc x arcx x

π arc

⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦− +

⎛ ⎞= − ≈⎜ ⎟⎝ ⎠

109. ( )∫ ∫ +=+===23

0

23

0

222 . 41 21et 2où d' , dxxdxxLxdxdyxy

Posons ,2

tanou tan2 θθ == xx d'où , sec21 2 θθ ddx = pour .

22- πθπ

<<

,sec sec sec41et ,sectan141 22222 θθθθθ ===+=+=+ xx puisque 0sec >θ

lorsque .22

- πθπ<<

De plus, .32

3et 00 πθθ =⇒==⇒= xx

( ) .195,132ln213

21

01 ln2101

21 32 ln

2132

21

21

0tan0sec ln210tan0sec

21

3tan

3sec ln

21

3tan

3sec

21

21=

197) ,5 ' (

tansec ln21tansec

21

21 sec

21

sec21sec 41 queensuit s' Il

3

0

3

0

3

23

0

3

0

22

≈⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅⋅−++⋅⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−++

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++==

⋅=+=

∫ ∫

ππππ

θθθθθθ

θθθ

ππ

π

pageexemplelVoir

d

ddxxL

1

2x 4 1 2x+

θ

1

( ) 1 2 2 +−x

θ2 −x

Page 74: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 499

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

110. Méthode des disques

( )[ ]

( ).

1611400

16121400

172

1400 172

20

11

2-2

11

2-2

11

2-2

11

2-

2

2

2

∫∫

∫∫∫

+−=

++−=

+−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

+−==

dxx

dxxx

dxxx

dxxx

dxxRVb

a

ππ

πππ

Posons , sec4 ,tan41 2 θθθ ddxx ==−

( ) ( ) θθθ 2222 sec161tan1616tan16161 =+=+=+−x .

Il s'ensuit que

( )

CxarcCdddxx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+===+− ∫ ∫∫ 4

1tan 100100100sec16

sec4400 161

1400 2

2

2 ππθθπθθθππ

( )( ) ( )[ ] .102,57675,0-tan 5,2tan 100

41tan 100

161-1400et

11

2-

11

2-2

≈−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+

= ∫arcarc

xarcdxx

V

π

ππ

111. ( ) 322 ++== xxxfy est une fonction non négative et lisse sur l'intervalle [ ],0 ,1-

puisque ( ) ( )32

122322

122 ++

+=+⋅

++=′

xx

xxxx

xf est continue sur cet intervalle.

( )

( ) dxxdxxx

dxxx

dxxx

xxxxxx

dxxxxxxx

dxxx

xxxdxdxdyyA

b

a

11+22 11222

2222

32

1232322

32121322

32

11322 12

0

1-

20

1-

2

0

1-

2

2

220

1-

2

2

20

1-

2

2

2

0

1-

22

∫∫

∫∫

+=+++=

++=

+++++++

++=

++++

+++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

++

++++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

ππ

π

π

π

ππ

x - 1

4

( ) 16 1 2 +−x

θ

Page 75: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

500 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Posons . sec ,tan1 2 θθθ ddxx ==+

De plus, .40et 0-1 πθθ =⇒==⇒= xx

( ) θθθθ sec sec sec1tan11 222 ===+=++x

puisque 0sec >θ pour .40 πθ <<

( )

( )

402 2

-1 0

443

00

2 2 +1 1 2 2 sec sec

1 12 2 sec 2 2 sec tan ln sec tan2 2

1 1 1 12 2 sec tan ln sec tan sec0 tan 0 ln sec0 tan 02 4 4 2 4 4 2 2

1 1 1 12 2 2 1 ln 2 1 1 02 2 2

π

ππ

A π x dx π θ θ dθ

π θ dθ π θ θ θ θ

π π π ππ

π

= + = ⋅

⎡ ⎤= = + +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

( )

( ) ( )

ln 1 02

2 2 2 ln 2 1 2 2 ln 2 12π π

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + = + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

112. Caractéristiques d'une bande verticale typique :

centre de masse : ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+−=

102

1 ,~ ,~2 xx

xyx ; longueur : 102

22 +− xx

; largeur : dx ;

aire : ; 102

22

dxxx

dA+−

= masse : dxxx

dAdm 102

2 2 +−

== δ (nous pouvons, sans

perte de généralité, poser 1=δ ).

Le moment de la bande par rapport à l'axe des x est

. 102

2 102

2

102

1 ~222

dxxx

dxxxxx

dmy+−

=+−

⋅+−

=

Ainsi, ( )

. 91

2 912

2 102

2 ~5

1

5

122

5

12 dx

xdx

xxdx

xxdmyM x ∫ ∫∫∫ +−

=++−

=+−

==

x + 1

1

( ) 1 1 2 ++x

θ

Page 76: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.2 page 501

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Posons . sec3 ,tan31 2 θθθ ddxx ==−

( ) ( )2 2 2 21 9 9 tan 9 9 tan 1 9sec .x θ θ θ− + = + = + =

( )

Cxarc

Cdddxx

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

+==×

=+− ∫∫∫

31tan

32

32

32

sec9 sec32

912

2

2

2 θθθ

θθ

( )( )[ ]

( ) .6182,034tan 32

0tan 34tan 32

31tan

32

912et

5

1

5

12

≈=

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+−

= ∫

arc

arcarcxarcdxx

M x

.

102

2 102

22

102

222 102

2 ~

5

12

5

12

5

12

5

12

dxxx

dxxx

x

dxxx

xdxxx

xdmxM y

∫∫

∫∫∫

+−+

+−

−=

+−

+−=

+−⋅==

Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, posons .1022 +−= xxu

Alors ( ) . 22 dxxdu −= De plus, .255et 91 =⇒==⇒= uxux

Ainsi, .49225221

102

2225

9

2125

9

21-5

12

=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

+−

−∫∫

uduudxxx

x

Pour la deuxième intégrale, nous avons ( ) .91912102 222 +−=++−=+− xxxxx

Posons θθθ ddxx sec3 ,tan31 2==− comme dans le calcul de .xM

( ) ,sec3 sec 3sec991102 222 θθθ ===+−=+− xxx puisque

0sec >θ pour ( ).34tan 0 arc<< θ

Cxxx

Cdddxxx

+−

++−

=

++==⋅

=+−

∫∫ ∫

3

13

102 ln2

tansec ln2 sec2sec3

sec32 102

2

2

2

2θθθθ

θθθ

( )5

5 2

21 1

2 2 10 1 5 4et 2 ln 2 ln ln 1 0 2ln3.3 3 3 32 10

x x xdxx x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + − ⎛ ⎞⎢ ⎥= + = + − + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦− + ⎣ ⎦∫

x - 1

3

( ) 9 1 2 +−x

θ

x - 1

3

( ) 9 1 2 +−x

θ

Page 77: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

502 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Ainsi, .3ln24 +=yM

Finalement, ,3ln2 102

25

12

=+−

== ∫ ∫ dxxx

dmM comme nous l'avons calculé précédemment.

Par conséquent, .281,03ln2

6182,0et 820,23ln2

3ln24≈≈=≈

+==

MMy

MM

x xy

113. a) Posons . sec ,tan 2 θθθ daduau ==

Alors ( ) θθθ 222222222 sec1tantan aaaaau =+=+=+

et .tan 111sec

sec22

2

22 Cauarc

aC

ad

aada

audu

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=+===

+ ∫∫ ∫ θθθθθ

b) Posons θθθ daduau cos ,sin == pour .22

- πθπ≤≤

Alors ( ) θθθ 222222222 cossin1sin aaaaua =−=−=−

et θθθθ cos cos coscos 22222 aaaaua ====−

puisque 0cos >θ pour .22

- πθπ≤≤

.sin cos

cos22

CauarcCd

ada

ua

du+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+===

−∫∫∫ θθ

θθθ

u

a

22 au +

θ

ua

22 ua −

θ

Page 78: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.3 page 503

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Exercices 3.3 - Fonctions rationnelles et méthode des fractions partielles

1. ( )( ) ,2323

135−

+−

=−−

−x

Bx

Axx

x d'où ( ) ( ) ( ) ( ).3232135 BAxBAxBxAx +−+=−+−=−

Nous avons donc .(2) 13(1) 5

32

==

++

BB

AA

En soustrayant ×2 (1) de (2), nous obtenons ,3=B d'où .2=A

Ainsi, ( )( ) .2

33

223

135−

+−

=−−

−xxxx

x

2. ( )( )2

5 7 5 7 ,2 1 2 13 2

x x A Bx x x xx x

− −= = +

− − − −− + d'où

( ) ( ) ( ) ( )5 7 1 2 2 .x A x B x A B x A B− = − + − = + − +

Nous avons donc ( )( ).21

75

2 ==

++

BB

BA

En soustrayant (1) de (2), nous obtenons ,2=B d'où .3=A

Ainsi, .1

22

323

752 −

+−

=+−

−xxxx

x

3. ( ) ( )

,111

422 +

++

=++

xB

xA

xx d'où ( ) ( ).14 BAAxBxAx ++=++=+

Nous avons donc ,4et 1 =+= BAA d'où .3=B

Ainsi, ( ) ( )

.1

31

114

22 ++

+=

++

xxxx

4. ( ) ( )

,111

2212

22222 −

+−

=−+

=+−

+x

Bx

Axx

xxx d'où ( ) .122 BAAxBxAx +−=+−=+

Nous avons donc ,2-et 2 =+= BAA d'où .4=B

Ainsi, ( )

.1

41

212

2222 −

+−

=+−

+xxxx

x

Page 79: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

504 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

5. ( ) ,1

-1

122 −++=

−+

zC

zB

zA

zzz d'où ( ) ( ) 2111 CzzBzAzz +−+−=+

( ) ( ) .-222 BzBAzCACzBBzAzAz −+++=+−+−=

Nous avons donc ,1-et 1- ,0 ==+=+ BBACA d'où nous tirons .2et -2 ,-1 === CAB

Ainsi, ( ) .1

212-1

122 −+−=

−+

zzzzzz

6. ( ) 61

66 2223 −−=

−−=

−− zzzzzz

zzzz pour .0≠z

Or, ( )( )2

1 1 ,3 2 3 26

A Bz z z zz z

= = +− + − +− −

d'où ( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 .A z B z A B z A B= + + − = + + −

Nous avons donc ,0=+ BA d'où BA -= et ,132-32 =−=− BBBA d'où .51et 51- == AB

Ainsi, ( ) ( ) ,25

135

1623 +

−−

=−− zzzzz

z où .0≠z

7. 65

25165

822

2

+−+

+=+−

+tt

ttt

t (division de polynômes)

( )( )2

5 2 5 2 ,3 2 3 25 6

t t A Bt t t tt t

+ += = +

− − − −− + d'où ( ) ( ) ( )5 2 2 3 2 3 .t A t B t A B t A B+ = − + − = + − −

Nous avons donc .(2) 2(1) 5

32- ==

−+

BB

AA

En additionnant ×2 (1) à (2), nous obtenons -12,=B d'où .17=A

Ainsi, .2

123

17165

82

2

−−

−+=

+−+

ttttt

8. 24

2

24

4

999-1

99

ttt

ttt

++

+=++ (division de polynômes)

( )

2 2

4 2 2 22 2

-9 9 -9 9 ,9 99

t t A B Ct Dtt t t tt t

+ + += = + +

+ ++ d'où

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 3 2-9 9 9 9 9 9 .t At t B t Ct D t A C t B D t At B+ = + + + + + = + + + + +

Page 80: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.3 page 505

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Nous avons ,99 =B d'où ,09 ,1 == AB d'où ,9- ,0 =+= DBA d'où ,0et -10 =+= CAD

d'où .0=C

Ainsi, .9

101199

2224

4

+−+=

++

ttttt

9. ( )( )2

1 1 ,1 1 1 11

A Bx x x xx

= = +− + − +−

d'où ( ) ( )1 1 1 .A x B x= + + −

En assignant à x la valeur 1, nous obtenons .21=A

En assignant à x la valeur -1, nous obtenons .21=B

Par conséquent ∫∫∫ ++

−=

− xdx

xdx

xdx

121

121

1 2

1 1-ln 1 ln 1 2 21 1 1ln 1 ln 1 ln2 2 1

x x C

xx x C Cx

= ⋅ − + ⋅ + +

+⎡ ⎤= + − − + = +⎣ ⎦ −

10. ( ) ,22

12

12 +

+=+

=+ x

BxA

xxxx d'où ( ) ( ) ( )1 2 2 .A x B x A B x A= + + = + +

Nous avons ,12 =A d'où ,0et 21 =+= BAA d'où .21-- == AB

, 2

121 1

21

2 ,conséquentPar 2 ∫∫∫ +

−=+

dxx

dxxxx

dx

1 1 1ln ln 2 ln ln 2 ,2 2 2

x x C x x C⎡ ⎤= − + + = − + +⎣ ⎦

ou encore . 2

ln21 C

xx

++

11. ( )( )2

4 4 ,6 1 6 15 6

x x A Bx x x xx x

+ += = +

+ − + −+ − d'où ( ) ( )4 1 6 .x A x B x+ = − + +

En assignant à x la valeur 1, nous obtenons .75=B

En assignant à x la valeur -6, nous obtenons .72=A

Page 81: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

506 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Par conséquent ∫∫∫ −+

+=

−++

175

672

654

2 xdx

xdxdx

xxx

( ) ( )2 5

2 5ln +6 ln -1 , ou encore7 71 ln 6 1 .7

x x C

x x C

= + +

= + ⋅ − +

12. ( )( )2

2 1 2 1 ,3 4 3 47 12

x x A Bx x x xx x

+ += = +

− − − −− + d'où

( ) ( ) ( ) ( )2 1 4 3 4 3 .x A x B x A B x A B+ = − + − = + − +

Nous avons ( )( )21

1,2

3-4- ==

−+

BB

AA

En additionnant ( ) ( ),2et 14× nous obtenons ,9=B d'où .7-=A

Par conséquent, . 4 ln9 3 ln7- 4

19 3

17- 127

122 Cxxdx

xdx

xdx

xxx

+−+−=−

+−

=+−

+∫∫∫

13. ( )( )2 ,

3 1 3 12 3y y A B

y y y yy y= = +

− + − +− − d'où ( ) ( )1 3 .y A y B y= + + −

En assignant à y la valeur -1, nous obtenons .41=B

En assignant à y la valeur 3, nous obtenons .43=A

Par conséquent ∫∫∫ ++

−=

−−

8

4

8

4

8

42 14

134

332

ydy

ydy

yydyy

( ) ( )

( )

8 8

4 4

2

3 1ln -3 ln +1 4 43 1 1 1ln 5 ln1 ln 9 ln5 ln 5 ln 94 4 2 41 1 1 1 1ln5 ln 3 ln 5 ln 3 ln5 ln32 4 2 2 21 ln15.2

y y⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − + − = +

= + = + = +

=

Note : La réponse 9ln415ln

21

+ est tout à fait acceptable ; les étapes subséquentes

de raisonnement n'ont pour objet que de simplifier la réponse.

Page 82: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.3 page 507

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

14. ( ) ,11

442 +

+=++

=++

yB

yA

yyy

yyy d'où ( ) ( ) .14 AyBAByyAy ++=++=+

Nous avons .3-où d' ,1et 4 ==+= BBAA

Par conséquent, dyy

dyy

dyyy

y 1

13 14 41

21

1

21

1

212∫ ∫ ∫ +

−=++

( ) ( )( ) ( )

[ ] [ ]

1 1

1 2 1 2

3 2

4 ln 3 ln 1

4 ln1 ln 1 2 3 ln 2 ln 3 2

-4ln 1 2 3ln 2 3ln 3 2

-4 ln1 ln 2 3ln 2 3 ln 3 ln 2

4ln 2 3ln 2 3ln3 3ln 2

3ln3 2ln 2, ou encore ln 3 ln 2 , ou encore ln 27 ln 4,

y y⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − +

= − − + −

= − + −

= − −

27 ou encore ln .4

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

15. ( ) ( )( )3 2 2

1 1 1 ,2 1 2 12 2

A B Ct t t t t tt t t t t t

= = = + ++ − + −+ − + −

d'où

( )( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 .A t t Bt t Ct t= + − + − + +

En assignant à t la valeur 0, nous obtenons .21-=A

En assignant à t la valeur -2, nous obtenons .61=B

En assignant à t la valeur 1, nous obtenons .31=C

Par conséquent, ∫∫∫∫ −+

++=

−+ 131

261

21-

223 tdt

tdt

tdt

tttdt

. 1 ln31 2 ln

61 ln

21- Cttt +−+++=

Page 83: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

508 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

16. ( ) ( )( )3 2

3 3 3 ,2 2 2 2 2 22 8 2 4

x x x A B Cx x x x x xx x x x

+ + += = = + +

+ − + −− −

d'où ( )( ) ( ) ( ).2222223 ++−+−+=+ xCxxBxxxAx

En assignant à x la valeur 0, nous obtenons .43-=A

En assignant à x la valeur 2, nous obtenons .165=C

En assignant à x la valeur -2, nous obtenons .161=B

3

3 -3 1 1 1 5 1Par conséquent, 8 16 2 16 22 8-3 1 5ln ln 2 ln 2 .8 16 16

x dx dx dx dxx x xx x

x x x C

+= + +

+ −−

= + + + − +

∫ ∫ ∫ ∫

17. ( )( )22

3

1232

12 ++

+−=++ x

xxxx

x (division polynomiale)

( ) ( )

,111

2322 +

++

=++

xB

xA

xx d'où ( )3 2 1 .x A x B Ax A B+ = + + = + +

Nous avons donc ,3=A d'où -1,=B de sorte que

( )( )

( )

1 1 1 13

2 20 0 0 0

12

0

2 312 1 1

1 2 3ln 1 2 1

1 1 2 3ln 2 0 0 3ln1 12 2

3ln 2 2.

x dx dx dxx dxxx x x

x x xx

= − + −++ + +

⎡ ⎤= − + + +⎢ ⎥+⎣ ⎦

⎛ ⎞= − + + − − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

∫ ∫ ∫ ∫

18. ( )22

3

1232

12 −−

++=+− x

xxxx

x (division de polynômes)

( ) ( )

,111

2322 −

+−

=−−

xB

xA

xx d'où ( ) .123 BAAxBxAx +−=+−=−

Nous avons donc ,2--et 3 =+= BAA d'où .1=B

Page 84: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.3 page 509

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

( )

.2ln32212ln32

211000

11 1 ln32

2

1

11

32 12

Ainsi,

0

1-

2

0

1-2

0

1-2

3

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−−+++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−+

−++=

+− ∫∫

xxxx

dxxx

xdxxx

x

19. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22

1 1 ,1 11 1 1 11

A B C Dx xx x x xx

= = + + ++ −+ − + −−

d'où

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 .A x x B x x C x D x= + − + − + + − + +

En assignant à x la valeur -1, nous obtenons .41=C

En assignant à x la valeur 1, nous obtenons .41=D

En assignant à x la valeur 0, nous obtenons .21où d' ,1 =−++−= BADCBA

En assignant à x la valeur 2, nous obtenons .21-3où d' ,9931 =++++= BADCBA

En soustrayant l'équation 21=− BA de l'équation ,21-3 =+ BA nous obtenons

.41où d' ,41- == AB

Par conséquent, ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ −+

++

−−

+=

−2222 14

114

114

114

1

1 xdx

xdx

xdx

xdx

x

dx

( ) ( )

( )

( )

2

2

1 1 1 1ln 1 ln 1 4 4 4 1 4 1

1 1 1 1ln 4 1 4 1

1 1ln .4 1 2 1

x x Cx x

x x x Cx x

x x Cx x

= + − − − − ++ −

⎡ ⎤+ − + +⎢ ⎥= − +⎢ ⎥− −⎣ ⎦

+= − +

− −

Page 85: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

510 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

20. ( )( ) ( )( ) ( )

2 2

2 22,

1 11 2 1 1 1 1x x A B C

x xx x x x x x= = + +

− +− + + − + + d'où

( ) ( )( ) ( )22 1 1 1 1 .x A x B x x C x= + + − + + −

En assignant à x la valeur 1, nous obtenons .41=A

En assignant à x la valeur -1, nous obtenons .21-=C

En assignant à x la valeur 0, nous obtenons ,0=−− CBA d'où .43=B

( )( ) ( )

( )

2

22

1 1 3 1 1 1Ainsi, 4 1 4 1 21 2 1 1

1 3 1 ln 1 ln 1 ,4 4 2 1

x dx dx dx dxx xx x x x

x x Cx

= + −− +− + + +

= − + + + ++

∫ ∫ ∫ ∫

ou encore ( ) ( ) ( )31 1ln 1 1 .

4 2 1x x C

x+ − + +

+

21. ( )( ) 22

1 ,1 11 1

A Bx Cx xx x

+= +

+ ++ + d'où ( ) ( )( )21 1 1 .A x Bx C x= + + + +

En assignant à x la valeur -1, nous obtenons .21=A

En assignant à x la valeur 0, nous obtenons .21où d' ,1 ==+ CCA

En assignant à x la valeur 2, nous obtenons CBA 3651 ++= et comme ,21== CA nous

en déduisons que .21-=B

Par conséquent, ( )( )

1 1 1

220 0 0

1 1 - 12 1 2 11 1

dx dx x dxx xx x

+= +

+ ++ +∫ ∫ ∫

( )

( )

1 11

2 200 0

11 20

0

1 1 1ln 1 - 2 2 1 1

1 1 1ln 1 - ln 1 tan2 2 2

1 1 1 1ln 2 ln1 - ln 2 tan1 - ln1 tan 02 2 2 2

1 1 1 2ln 2ln 2 ln 2 .2 4 2 4 8

xx dx dxx x

x x arc x

arc arc

π π

⎡ ⎤⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

+= − + ⋅ =

∫ ∫

Page 86: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.3 page 511

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

22. ( )

2 2

3 22

3 4 3 411

t t t t A Bt Ctt t tt t

+ + + + += = +

+ ++ d'où

( ) ( ) ( )2 2 23 4 1 .t t A t Bt C t A B t Ct A+ + = + + + = + + +

Nous avons donc ,3et 1 ,4 =+== BACA d'où -1.=B

[ ]

( ) ( )

( )

3 32

3 2 21 1

3 3 3

2 21 1 1

33 3211 1

4

3 4 4 1Ainsi, 1 1

1 1 2 14 2 1 1

14 ln ln 1 tan2

14 ln 3 ln1 ln 4 ln 2 tan 3 tan12

1 14ln 3 2ln 2 ln 22 2 3 4

ln 3 ln 2

t t tdt dttt t t t

tdt dt dtt t t

t t arc t

arc arc

π π

+ + ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

= − ++ +

⎡ ⎤⎡ ⎤= − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − − − + −

= − ⋅ + + −

= −

∫ ∫

∫ ∫ ∫

1 2 9ln .12 122π π⎛ ⎞

+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

23. ( ) ( )2

2 2 22 2

2 1 ,11 1

y y Ay B Cy Dyy y

+ + + += +

++ + d'où

( )( ) ( ) ( ).112 2322 DByCAByAyDCyyBAyyy +++++=++++=++

Nous avons donc ,2 ,1 ,0 =+== CABA d'où ( ) ,1et 2 =+= DBC d'où .0=D

Ainsi ( ) ( )2

2 2 2 22 2

2 1 1 2 1 tan .1 11 1

y y ydy dy dy arc y Cy yy y

+ += + = − +

+ ++ +∫ ∫ ∫

24. ( ) ( )

2

2 2 22 2

8 8 2 ,4 14 1 4 1

x x Ax B Cx Dxx x

+ + + += +

++ + d'où

( )( ) ( )2 2 3 28 8 2 4 1 4 4 .x x Ax B x Cx D Ax Bx A C x B D+ + = + + + + = + + + + +

Nous avons ,04 =A d'où ,84 ,0 == BA d'où ,8 ,2 =+= CAB d'où ,2et 8 =+= DBC d'où

.0=D

Page 87: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

512 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2 2 22 2 2

2

8 8 2 2 8 2 8Ainsi, 4 1 2 14 1 4 1 4 1

1 tan 2 .4 1

x x x xdx dx dx dx dxx xx x x

arc x Cx

+ += + = +

+ ++ + +

= − ++

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

25. ( )( ) ( ) ( )3 2 2 32

2 2 ,111 1 1 1

s As B C D Esss s s s

+ += + + +

−++ − − − d'où

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )3 22 2 22 2 1 1 1 1 1 1s As B s C s s D s s E s+ = + − + + − + + − + +

En assignant à s la valeur 1, nous obtenons ,42 =E d'où .2=E

En développant l'équation polynomiale, nous obtenons :

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

3 2 2 2 2 2

4 3 3 2 2 4

2 3 2 3 2 2

4 3 2

2 2 3 3 1 1 2 1 1 1 1

3 3 3 3

2 2

-3 2 3 3 2

- 3 2 - ,

s As B s s s C s s s D s s E s

As Bs As Bs As Bs As B Cs

Cs Cs Cs Cs C Ds Ds Ds D Es E

A C s A B C D s A B C D E s

A B C D s B C D E

+ = + − + − + + − + + + − + +

= + − − + + − − +

+ − − + + + + − − + +

= + + + − + + − + − +

+ + − + + + − +

d'où le système d'équations linéaires :

( )( )( )( )( )

102-3 2 033 3 2 04- 3 2 25 .- 2

A CA B C DA B C D EA B C DB C D E

+ =+ − + =− + − + =+ − + =

+ − + =

En additionnant les équations (2) et (3), nous obtenons ,02- =+ EB et puisque

,022- ,2 =+= BE d'où .1=B En additionnant les équations (3) et (4), nous obtenons

,22 =+ EA soit .0et 222 ==+ AA Il découle de l'équation (1) que 0=C et de l'équation (5)

que ,2201- =+−+ D d'où -1.=D

Par conséquent, ( )( ) ( ) ( )3 2 2 32

2 2 1 1 1 2 11 1 1 1

s ds ds ds dsss s s s

+= − +

++ − − −∫ ∫ ∫ ∫

( )

.1

11

1tan 2 Css

sarc +−

−−

+=

Page 88: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.3 page 513

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

26. ( ) ( )

4

2 2 22 2

81 ,99 9

s A Bs C Ds Es ss s s

+ + += + +

++ + d'où

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

24 2 2

4 3 2

81 9 9

18 9 9 81 .

s A s Bs C s s Ds E s

A B s Cs A B D s C E s A

+ = + + + + + +

= + + + + + + + +

Nous avons ,8181 =A d'où ,1 ,1 =+= BAA d'où ,0918 ,0 ,0 =++== DBACB d'où

,09et -18 =+= ECD d'où .0=E

Ainsi, ( ) ( ) .9

9 ln 9

18 1 9

8122222

4

Cs

sdss

sdss

dsss

s+

++=

+−=

+

+∫∫∫

27. ( ) ( ) ,222222

485222222

23

++

++

+++

=++

+++

θθ

θθθ

θ

θθ

θθθ DCBA d'où

( )( )3 2 22 5 8 4 2 2θ θ θ Aθ B θ θ Cθ D+ + + = + + + + +

( ) ( ) ( )

3 2 2

3 2

2 2 2 2

2 2 2 2 .

Aθ Bθ Aθ Bθ Aθ B Cθ D

Aθ A B θ A B C θ B D

= + + + + + + +

= + + + + + + +

Nous avons donc ,5=+2 ,2 BAA = d'où ,822 ,1 =++= CBAB d'où ,42et 2 =+= DBC d'où

.2=D

( ) ( )

( )

( )( )

( )

( )

3 2

2 2 22 2

2 22

2 2 22

22 2

2

2 5 8 4 2 1 2 2Par conséquent, 2 22 2 2 2

2 2 1 2 2 2 2 2 2

2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1ln 2 2 2 21 1

ln 2 2

θ θ θ θ θdθ dθ dθθ θθ θ θ θ

θ θdθ dθθ θ θ θ

θ θdθ dθ dθθ θ θ θ θ θ

θ θ dθ Cθ θθ

θ θ ar

+ + + + += +

+ ++ + + +

+ − += +

+ + + +

+ += − +

+ + + + + +

= + + − − ++ ++ +

= + + −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫ ∫

( ) 21 tan 1 .2 2

c θ Cθ θ

+ − ++ +

Note : 0222 >++ θθ pour tout ,θ de sorte que ( )2 2ln 2 2 ln 2 2 .θ θ θ θ+ + = + +

Page 89: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

514 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

28. ( ) ( ) ( ) ,111

1

13243222232

234

+

++

+

++

++

=+

+−+−∫

θ

θ

θ

θθθθ

θ

θθθθ FEDCBAd d'où

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

24 3 2 2 2

5 4 3 2

4 2 3 1 1 1

2 2 .

θ θ θ θ Aθ B θ Cθ D θ Eθ F

Aθ Bθ A C θ B D θ A C E θ B D F

− + − + = + + + + + + +

= + + + + + + + + + + +

Nous avons -4,2 ,1 ,0 =+== CABA d'où ,22 -4, =+= DBC d'où -3, ,0 =++= ECAD

d'où ,1et 1 =++= FDBE d'où .0=F

( ) ( ) ( )

( )

4 3 2

3 2 2 32 2 2

2 22

4 2 3 1 1Ainsi, 4 11 1 1

2 1 tan .1 4 1

θ θ θ θ θ θdθ dθ dθ dθθθ θ θ

arc θ Cθ θ

− + − += − +

++ + +

= + − ++ +

∫ ∫ ∫ ∫

29. ( )11212122

22

23

−+=

−+=

−+−

xxx

xxx

xxxx (division de polynômes)

Or ( ) ,11

1−

+=− x

BxA

xx d'où ( ) ( ).11 xBxA +−=

En assignant à x la valeur 0, nous obtenons -1.=A

En assignant à x la valeur 1, nous obtenons .1=B

Par conséquent, 3 2

22 2 1 1 1 2

1x x dx x dx dx dx

x xx x− +

= − +−−∫ ∫ ∫ ∫ 2 ln ln 1 ,x x x C= − + − +

ou encore . 1 ln2 Cx

xx +−

+

30. 1

111 2

22

4

−++=

− xx

xx (division de polynômes)

( )( )2

1 1 ,1 1 1 11

A Bx x x xx

= = ++ − + −−

d'où ( ) ( )1 1 1 .A x B x= − + +

En assignant à x la valeur 1, nous trouvons .21=B

En assignant à x la valeur -1, nous trouvons .21-=A

Page 90: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.3 page 515

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

. 11 ln

21

3

1 ln21 1 ln

21

3

1

121

11

211

1 Ainsi,

3

3

22

4

Cxxxx

Cxxxx

dxxx

xdxx

x

++−

++=

+−++−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅+

+⋅−+=

− ∫∫

31. ( )11399139

2

2

23

3

−+−

+=−

+−xx

xxxxxx (division de polynômes)

Or ( ) ,11

13922

2

−++=

−+−

xC

xB

xA

xxxx d'où ( ) ( ) .11139 22 CxxBxAxxx +−+−=+−

En assignant à x la valeur 0, nous obtenons -1.=B

En assignant à x la valeur 1, nous obtenons .7=C

En assignant à x la valeur -1, nous obtenons ,7222213 ++=+−= ACBA d'où .2=A

Par conséquent, dxx

dxx

dxx

dxxxxx

117 1 129 139

223

3

∫∫ ∫ ∫ −+−+=

−+−

. 1 ln71 ln29 Cxx

xx +−+++=

32. ( )22

3

1241244

14416

−−

++=+− x

xxxx

x (division de polynômes)

( ) ( )

,121212

41222 −

+−

=−−

xB

xA

xx d'où ( ) .212412 BAAxBxAx +−=+−=−

Nous avons ,122 =A d'où -4,-et 6 =+= BAA d'où .2=B

( )

3

2 2

2

16 6 2Ainsi, 4 4 2 14 4 1 2 1

1 2 4 3ln 2 1 .2 1

x dx x dxxx x x

x x x Cx

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟−− + −⎝ ⎠

= + + − − +−

∫ ∫

Page 91: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

516 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

33. ( )

4 2

3 2

1 11

y y yy y y y+ −

= −+ +

(division de polynômes)

Or ( ) 22

1 ,11

A By Cy yy y

+= +

++ d'où ( ) ( ) ( )2 21 1 .A y By C y A B y Cy A= + + + = + + +

Il s'ensuit que ,0 ,1 =+= BAA d'où 0et -1 == CB

Par conséquent, dyy

ydyy

dyydyyy

yy 1

1 123

24

∫∫ ∫ ∫ ++−=

+−+

( ) .1ln21 ln

22

2

Cyyy+++−=

34. 1

2221

22323

4

−+−++=

−+− yyyy

yyyy (division de polynômes)

( )( )3 2 22

2 2 ,11 11 1

Ay B Cyy y y yy y

+= = +

−− + − ++ − d'où

( )( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 1 - .Ay B y C y A C y A B y B C= + − + + = + + + − +

Nous avons ,0=+CA d'où ,0- ,- =+= BAAC d'où ,2-et =+= CBAB d'où

,1-et 2- ==− AAA entraînant .1et 1- == CB

( ) . 1 lntan 1ln212

1

11

11

22

1

111-22

12 Ainsi,

22

22

223

4

Cyyarcyyy

dyyyy

yy

dyyy

yydyyyy

y

+−+−+−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

−−

−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++−

++=−+−

∫∫

35. Posons .tey = Alors ( )( ) . 21

1 23

123

et 22 ∫∫∫ ++=

++=

++= dy

yydy

yyeedtedtedy tt

tt

Or ( )( )

1 ,1 2 1 2

A By y y y

= ++ + + +

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 .A y B y A B y A B= + + + = + + +

Nous avons donc ,0=+ BA d'où ,12et - =+= BABA d'où ,1-et 12- ==+ BBB et finalement

.1=A

Page 92: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.3 page 517

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Ainsi, ( )( ) dyy

dyy

dyyy

2

1 1+

1 21

1∫ ∫ ∫ +

−=++

1 1ln 1 ln 2 ln ln .2 2

t

ty ey y C C Cy e+ +

= + − + + = + = ++ +

36. Posons .tey = Alors ( )34 2 3

2 2 2

2 12 2 1 et .1 1 1

t tt t tt t

t t

e ee e e y ydy e dt dt e dt dye e y

+ −+ − + −= = =

+ + +∫ ∫ ∫

1

11

1222

3

+−

+=+−+

yyy

yyy (division de polynômes)

( )

( )

4 2

2 2

22

2 2

22

2 1Ainsi, 1 1

1 1 ln 1 tan2 21 1

1 ln 1 tan .2 2

t t t

t

tt t

e e e ydt y dye y

y yy dy y arc y Cy y

e e arc e C

⎛ ⎞+ − −= +⎜ ⎟

+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞= + − = + + − +⎜ ⎟

+ +⎝ ⎠

= + + − +

∫ ∫

37. Posons ,sin yt = d'où . cos dyydt =

Alors ( )( )2 2

cos 1 1 .3 2sin sin 6 6

y dy dt dtt ty y t t

= =+ −+ − + −∫ ∫ ∫

Or ( )( ) ,2323

1−

++

=−+ t

Bt

Att

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 -2 3 .A t B t A B t A B= − + + = + + +

Nous avons donc ,0=+ BA d'où ,132-et - =+= BABA d'où ,51et 132 ==+ BBB et

finalement .51-=A

Ainsi, ( )( )

1 1 1 1 1 - 3 2 5 +3 5 2

dt dt dtt t t t

= ++ − −∫ ∫ ∫

1 1 2 1 sin 2-ln +3 ln 2 ln ln .5 5 3 5 sin 3

t yt t C C Ct y− −⎡ ⎤= + − + = + = +⎣ ⎦ + +

Page 93: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

518 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

38. Posons .cosθ=u Alors . 2

1-2coscos

sinet sin- 22 duuu

dddu ∫∫ −+=

−+=

θθθθθθ

( )( )2

1 1 ,2 1 2 12

A Bu u u uu u

= = ++ − + −+ −

d'où ( ) ( )1 1 2 .A u B u= − + +

En assignant à u la valeur 1, nous obtenons .31=B

En assignant à u la valeur -2, nous obtenons .31-=A

21 1 1 1 1 1 1Ainsi, - - - ln 2 ln 1

3 2 3 1 3 32

1 2 1 cos 2ln ln .3 1 3 cos 1

du du u u Cu uu u

u θC Cu θ

⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ = + − − +⎜ ⎟+ −+ − ⎝ ⎠

+ += + = +

− −

∫ ∫

39. ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )( )

22 23

2 2 22 2 2

3 4 12 tan 2 12 3 2 tan 2

4 1 2 4 1 2 4 1 2

x xx arc x x x x arc xdx dx dx

x x x x x x

+− − − −= −

+ − + − + −∫ ∫ ∫

( )( )

dxx

xdxx

xarc 2

3 142tan

22∫ ∫ −−

+=

Or ( ) ( )2 2

3 ,22 2

x A Bxx x

= +−− −

d'où ( ) ( ).B+2A-23 +=+−= AxBxAx

Nous avons donc ,02-et 3 =+= BAA d'où .6=B

Ainsi, ( )( )

( )( )2 2 2 2

tan 2 2 tan 23 1 1 1 3 6 2 24 1 4 12 2

arc x arc xxdx dx dx dx dxxx xx x

− = − −−+ +− −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )( )

( )( )

2

2

tan 21 63ln 2 2 2 2

tan 2 63ln 2 .4 2

arc xx C

x

arc xx C

x

= − − + +−

= − − + +−

40. ( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )( )( )

22 23

2 2 22 2 2

9 11 tan 3 9 1 tan 3

9 1 1 9 1 1 9 1 1

x xx arc x x x x arc xdx dx

x x x x x x

++ + + += +

+ + + + + +∫ ∫ ∫

( )( )∫∫ +

++

= dxx

xdxx

xarc 1

193tan

22

Page 94: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.3 page 519

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Or ( ) ( )

,111 22 +

++

=+ x

Bx

Ax

x d'où ( ) .1 BAAxBxAx ++=++=

Nous avons donc ,0et 1 =+= BAA d'où -1.=B

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

2 2 2 2

2

2

tan 3 3 tan 31 1 1Ainsi, 3 19 1 9 11 1

tan 31 1ln 1 3 2 1

tan 3 1ln 1 .6 1

arc x arc xxdx dx dx dxxx xx x

arc xx C

x

arc xx C

x

⎛ ⎞⎜ ⎟+ = + −⎜ ⎟++ ++ +⎝ ⎠

= + + + ++

= + + + ++

∫ ∫ ∫ ∫

41. ( ) . 23

1et 23

1123 222 ∫ +−

=+−

=⇒=+− dttt

xttdt

dxdtdxtt

Or ( )( )2

1 1 ,2 1 2 13 2

A Bt t t tt t

= = +− − − −− +

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 - 2 .A t B t A B t A B= − + − = + + −

Nous avons donc ,0=+ BA d'où ,12-et - =−= BABA d'où ,1-et 12 ==− BBB

et finalement .1=A

Ainsi, . 12 ln 1 ln 2 ln

11

21

231

2 CttCttdt

tdt

tdt

ttx +

−−

=+−−−=−

−−

=+−

= ∫∫∫

Comme ( ) ,03 =x nous avons ( ) ,21ln0 C+= d'où ( ) .2ln21ln- ==C

La solution de l'équation différentielle est donc ,2ln 12 ln +

−−

=ttx ou encore

.2ln 1 ln 2 ln +−−−= ttx

42. ( )4 24 2

2 33 4 1 2 33 4 1

dx dxt tdt dt t t

+ + = ⇒ =+ +

et ( )( )4 2 2 2

2 3 12 3 3 4 1 3 1 1

x dt dtt t t t

= =+ + + +∫ ∫

Or ( )( ) 2 22 2

13 1 13 1 1At B Ct Dt tt t+ +

= ++ ++ +

d'où ( )( ) ( )( )2 21 1 3 1At B t Ct D t= + + + + +

( ) ( ) ( )3 23 3 .A C t B D t A C t B D= + + + + + + +

Page 95: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

520 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Nous avons ,1=+ DB d'où ,03 ,1 =+−= DBDB d'où

,0 ,23et 21- ,031 =+===+− CABDDD d'où ,03et - =+= CACA

d'où .0et 0 ,03- ===+ ACCC

( )( )

( )( )

2 22 2

2 2

1 3 1 1 1Ainsi, 2 3 2 3 2 23 1 13 1 1

3 3 1 3 13 1

3 tan 3 3 tan .

x dt dtt tt t

dt dttt

arc t arc t C

⎛ ⎞= = ⋅ − ⋅⎜ ⎟+ +⎝ ⎠+ +

= −++

= − +

∫ ∫

∫ ∫

Comme ( ) ,43-1 π=x nous avons ,4

33

31tan 33tan 34

3- CCarcarc +⋅−⋅=+−=πππ

d'où .-4

34

3- ππππ=+−=C

La solution de l'équation différentielle est donc ( ) .tan 33tan 3 π−−= tarctarcx

43. ( ) ∫∫∫ +⇒

+=

+⇒+=+ dx

xttdt

xdxx

dtdxtt

11

21

222222 2

2

( ) ( )

1 1 1 ln 1 2 2 2

dt x dtt t t t

= ⇒ + =+ +∫ ∫

Or ( ) ,22

1+

+=+ t

BtA

tt d'où ( ) ( ) ( )1 2 2 .A t B t A B t A= + + = + +

Nous avons donc .21-où d' ,0et 21où d' ,12 ==+== BBAAA

( )

1 1 1 1 1 1Ainsi, ln 1 2 2 2 2 2

1 1ln ln 2 ln ,2 2 +2

x dt dt dtt t t t

tt t C Ct

+ = = −+ +

⎡ ⎤= − + + = +⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

d'où .2où , 2+

ln 1 ln CCCt

tx =′′+=+

Comme ( ) ,31ln2ln ,11 Cx ′+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== d'où .6ln3ln2ln

31ln2ln =+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=′C Nous avons donc

, 2

6ln6ln 2+

ln 1 ln+

=+=+t

tt

tx ou encore . 2

6 1 +

=+t

tx

Page 96: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.3 page 521

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Comme ,0et 0 >> tx les valeurs absolues ne sont pas nécessaires et ,2

61 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=+

ttx ou

encore .12

6−

+=

ttx

Finalement, comme ,012

6 ,0 >−+

>t

tx d'où ,25 ),02 (puisque 26 ,12

6>>++>>

+tttt

tt et

finalement .52>t

La solution de l'équation différentielle est donc ,12

6−

+=

ttx pour .52>t

44. ( ) ( ) CtCtxarctdt

xdxx

dtdxt ++=++=⇒

+=

+⇒+=+ ∫ ∫ 1ln 1 lntan

111 1 2

2 puisque -1.>t

Il s'ensuit que ( )tan ln 1 .x t C⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

Comme ( ) ,4

0 π=x nous avons ( )[ ],10lntan

4C++=

π d'où .4

tan πarcC =

La solution de l'équation différentielle est donc ( ) ( )tan ln 1 tan 4 .x t arc π⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

45. ( ) ( ) 122

11 Cedxedyyy

dxeyy

dyyyedxdy xxxx +==

−⇒=

−⇒−= ∫∫

Or ( ) ,11

1−

+=− y

ByA

yy d'où ( ) ( ) .11 AyBAByyA −+=+−=

Nous avons .1où d' ,0et 1-où d' ,1=- ==+= BBAAA

Par conséquent, ( ) , 1 ln ln- 1

1 1- 1

12Cyydy

ydy

ydy

yy+−+=

−+=

− ∫∫∫

d'où .=où , 1 lnou 1 ln 2112 CCCCey

yCeCy

y xx −+=−

+=+−

Comme ( ) .12ln-21lnoù d'

21ln ,20 00 −=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= eCCey

La solution de l'équation différentielle est donc ,12ln 1 ln −−=− xey

y ou encore

ln 1 l n ln 2 1.xy y e− − = − −

Page 97: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

522 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

46. ( )( ) ( ) ∫∫ =

+⇒=

+⇒+= θθθθθ

θd

ydyd

ydyy

ddy sin

1 sin

1sin1 22

2 Cy

+=+

⇒ θcos-1

1-

Comme ( ) ,02 =πy nous avons ,2cos-1- C+= π d'où -1.=C

Ainsi, .11cos

1et 11cos

1 ,1cos1

1 ,1cos-1

1-−

+=+=

++=

+−=

+ θθθθ yy

yy

La solution de l'équation différentielle est .11cos

1−

+=

θy

47. dxxx

yxxdx

dy 23

123

122 ∫ +−

=⇒+−

=

Or ( )( )2

1 1 ,2 1 2 13 2

A Bx x x xx x

= = +− − − −− +

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 - 2 .A x B x A B x A B= − + − = + + −

Nous avons ,0=+ BA d'où ,12-et - =−= BABA d'où -1, ,12 ==− BBB et finalement .1=A

Ainsi . 1 ln 2 ln 1

1 2

1 Cxxdxx

dxx

y +−−−=−

−−

= ∫∫

Comme ( ) ,03 =y nous avons ,2ln1ln0 C+−= d'où .2ln1ln2ln =−=C

La solution de l'équation différentielle est ln 2 ln 1 ln 2.y x x= − − − +

2ln ln 2.1

xx−

= +−

48. 2 2 22 2

2 2 2 22 2 2ds s ds dt ds dtdt s st t t t t t

+= ⇒ = ⇒ =

+ ++ + +∫ ∫

Or ( ) ,22

12

12 +

+=+

=+ t

BtA

tttt d'où ( ) .21 BttA ++=

En assignant à t la valeur 0, nous obtenons .21=A

En assignant à t la valeur -2, nous obtenons .21-=B

Ainsi, ∫ ∫ ∫ +−=

+dt

tdt

tsds

21

21 1

21

22

1 1 1ln 1 ln ln 2 .2 2 2

s t t C+ = − + +

Page 98: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.3 page 523

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Comme ( ) ,3ln211ln

212ln

21 ,11 Cs +−== d'où .6ln

213ln

212ln

21

=+=C

Donc 1 1 1 1ln 1 ln ln 2 ln 62 2 2 2

s t t+ = − + +

ln 1 ln ln 2 ln 6

6ln 1 ln 2

6 1 .2

s t t

tst

tst

+ = − + +

+ =+

+ =+

La solution de l'équation différentielle est donc . 2

6 1 +

=+t

ts

49. Méthode des disques :

( )2,5 2,5

2 22

0,5 0,5

9 3

b

a

V π R x dx π y dx π dxx x

⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ −∫ ∫ ∫

Or ( ) ,33

93

92 x

BxA

xxxx −+=

−=

− d'où ( ) ( )9 3 - 3 .A x Bx A B x A= − + = + +

Nous avons ,93 =A d'où ,0-et 3 =+= BAA d'où .3=B

Ainsi, 2,5

2,5

0,50,5

3 3 3ln 3ln 3 3

V π dx π x xx x

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + = − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦−⎝ ⎠∫

( )

2,5

0,5

3 ln 3 ln5 ln 0,23

53 ln 3 ln 25.0,2

xπ πx

π π

⎡ ⎤= = −⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

50. Méthode des tubes :

[ ][ ]

( )( ) ( )( )1 1

0 0

circonférence du tube hauteur du tube

22 4 .1 2 1 2

V dx

xπx dx π dxx x x x

=

= ⋅ =+ − + −

∫ ∫

Or ( )( )

,1 2 1 2

x A Bx x x x

= ++ − + −

d'où ( ) ( )2 1 .x A x B x= − + +

Page 99: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

524 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

En assignant à x la valeur -1, nous obtenons .31-=A

En assignant à x la valeur 2, nous obtenons .32=B

( )

1 1

0 0

1 1

0 0

1 1 2 1Ainsi, 4 - 3 1 3 2

4 -ln 1 2 ln 2 3

4 4-ln 2 ln1 2ln1 2ln 2 ln 2.3 3

V π dx dxx x

π x x

π π

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + − + =

∫ ∫

51. a) ( ) ( ) ( ) ∫∫ +==−

⇒=−

⇒−= 1 1 CktdtkdxxNx

dtkxNx

dxxNkxdtdx

Or ( ) ,1xN

BxA

xNx −+=

− d'où ( ) ( )1 - .A N x Bx A B x AN= − + = + +

Nous avons ,1 AN= d'où ,0-et 1=+= BA

NA d'où .1

NB =

Par conséquent, ( ) dxxNN

dxxN

dxxNx

11 11 1∫∫∫ −

+=−

2 11 ln ln x N x C kt CN⎡ ⎤= − − + = +⎣ ⎦

ou encore , ln1 CktxN

xN

+=−

où .21 CCC −=

Comme ,2et 1000 ,2501

=== xNk lorsque ,0=t nous avons

1 2 1ln 0 ,1000 998 250

C= ⋅ +

d'où 1 1 1 1 1 1ln et ln ln ,1000 499 1000 1000 250 1000 499

xC tx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ou encore

ln 4 ln 499,1000

ln ln 499 4 , et finalement1000

499ln 4 .1000

x tx

x tx

x tx

= −−

+ =−

=−

Page 100: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.3 page 525

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Comme 01000 ,10002 >−<< xx et les valeurs absolues sont inutiles, de sorte que

.1000

499 4tex

x=

− En isolant x dans l'expression, nous obtenons 4 4499 1000 ,t tx e e x= −

puis ( )4 4499 1000 ,t te x e+ = et finalement t

t

eex 4

4

4991000

+= qui est la solution de l'équation

différentielle.

b) .50021

== Nx Nous avons 4 4

4 4 44 4

1000 2500 , 1 , 499 2 , 499,499 499

t tt t t

t te e e e ee e

= = + = =+ +

jour. 55,14499ln ,499ln4 ≈== tt

52. ( )( ) ( )( )dx dxk a x b x k dtdt a x b x

= − − ⇒ =− −

a) Si ba = :

( )( ) ( ), 2 ∫∫ ∫ =

−=

−−dtk

xadx

xbxadx d'où .1 Ckt

xa+=

Puisque 1 1 10 en 0, et ,x t C kta a x a

= = = = +−

d'où ,1

,11+

=−+

=− akt

axaa

aktxa

.111

22

+=

+−+

=+

−=akt

ktaakt

aaktaakt

aax

La quantité x de produit est alors donnée par .1

2

+=

aktktax

b) Si ba ≠ :

( )( )

1 ,A Ba x b x a x b x

= +− − − −

d'où ( ) ( )1 .A b x B a x= − + −

En assignant à x la valeur a, nous obtenons .1ab

A−

=

En assignant à x la valeur b, nous obtenons .1ba

B−

=

Page 101: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

526 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

( )( )

( ) ( )

( )

1 1Ainsi,

1 1 - ln -ln

1 - ln ln

dx dx dxa x b x b a a x a b b x

a x b x Cb a a b

a x b x Cb a

= +− − − − − −

= ⋅ − + ⋅ − +− +

= − + − +−

=

∫ ∫ ∫

11 ln b x C k dt kt C

b a a x−

+ = = +− − ∫

et , ln12Ckt

xaxb

ab+=

−−

− où .12 CCC −=

Puisque 0=x lorsque ,ln1 ,0 2Cab

abt =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−= d'où ,ln1 ln1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=

−−

− ab

abkt

xaxb

ab

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

ln ln ,

ln ln ln ,

ln ln ,

,

,

e

e

1 e

b a kt

b a kt

b a kt

b a kt

b a kt b a kt

b a kt b a kt

b a kt b a kt

b x bb a kta x a

b x bea x a

b x b ea x ab x b ea x a

a b x be a x

ab ax ab be x

ab ab ax be x

ab x a be

− −

− −

− −

− ⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟− ⎝ ⎠

− ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟− ⎝ ⎠

− ⎡ ⎤= ⎢ ⎥− ⎣ ⎦−

=−

− = −

− = −

− = −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

et finalement ( )

( )

1.

b a kt

b a kt

ab ex

a be

⎡ ⎤−⎣ ⎦=−

Page 102: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.4 page 527

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Exercices 3.4 - Règle de L'Hospital

1. Règle de L'Hospital : .41

21

42lim

2

..

0022==

−−

=→ x

HR

x xxx

Autre méthode : ( )( )22 2 2

2 2 1 1lim lim lim .2 2 2 44x x x

x xx x xx→ → →

− −= = =

+ − +−

2. Règle de L'Hospital : 51

5cos55sinlim0

..

000==

=→ x

HR

x

xx

x

Autre méthode : ( ) 515sinlim55

5sinlim55

5sin5lim5sinlim00500

=====→→→→ y

yx

xx

xx

xyxxx

3. Règle de L'Hospital : .75

1410lim

14310lim

1735lim

....

2

2

==−

=+−

∞→∞∞∞→∞∞∞→ x

HR

x

HR

x xx

xxx

Autre méthode : .75

1735lim

1735lim 22

2

=+−

=+−

∞→∞→ xx

xxx

xx

4. Règle de L'Hospital : 113

1123

341lim

12

2,.

003

3

1=

−=

−−−

=→

x

HR

x xx

xxx

Autre méthode : ( )( )

( )( )( )2 23

3 221 1 1

1 1 11 3lim lim lim114 3 4 4 31 4 4 3x x x

x x x x xxx x x xx x x→ → →

− + + + +−= = =

− − + +− + +

5. Règle de L'Hospital : 21

2coslim

2sinlimcos1lim

0

..

000

..

0020===

−→→→

xxx

xx

x

HR

x

HR

x.

Autre méthode : 2 20 0

1 cos 1 cos 1 coslim lim1 cosx x

x x xxx x→ →

− − +⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥+⎣ ⎦

( ) ( )2 2

2 20 0

0

0 0 0

1 cos sinlim lim1 cos 1 cos

sin sin 1lim1 cos

sin sin 1 1 1lim lim lim 1 1 .1 cos 2 2

x x

x

x x x

x xx x x x

x xx x x

x xx x x

→ →

→ → →

−= =

+ +

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =+

Page 103: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

528 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

6. Règle de L'Hospital : 064lim

1334lim

132lim

..

2

..

3

2

==++

=++

+→∞∞∞→∞∞∞→∞ xx

xxx

xxx

HR

x

HR

x

Autre méthode : 010

111

32

lim1

32lim32

2

3

2

==++

+=

+++

→∞→∞

xx

xxxx

xxxx

7. ( ) 0101

12coslimsinlim

2

0

..

00

2

0=

⋅=

⋅=

→→

θθθθ

θθ

HR

8. 41

2cos4-sinlim

2sin2-cos-lim

2cos1sin1lim

2

..

002

..

002===

+−

→→→ θθ

θθ

θθ

πθπθπθ

HRHR

9. -111-cos-lim

1sin-lim

11coslim

0

..

000

..

000===

−=

−−−

→→→ tt

HR

tt

HR

tt et

et

tet

10. ππππ +

=−

=−−

→→ 11

cos11lim

sinln1lim

1

..

001 tt

ttt

t

HR

t

11. ( )( ) 2ln

12lnlim

12lnlim

2ln111

1

limlog

1lnlim....

2==

+=

+=+

→∞∞∞→∞→∞∞∞→∞ x

HR

xx

HR

x xx

x

xx

x

12. ( )

. .2

3

1 1log 3 ln3ln 2lim lim lim1 1log 3 ln 2

3 ln 3

R H

x x x

x xxx x

x→∞ ∞ ∞ →∞ →∞

⋅ += = ⋅

+ ⋅+

2ln3ln

11lim

2ln3ln3lim

2ln3ln ..

=⋅=+

=→∞∞∞→∞ x

HR

x xx

Page 104: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.4 page 529

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

13. ( ) ( )1

22

2224lim

222lim1

222

1

limln

2lnlim0

..

002

2

0

2

0

..2

0==

++

=++

=+⋅

+=+

++++ →→→∞∞→ yy

yyyy

y

yyy

yyy

y

HR

yy

HR

y

14. y

yyyy

yy cos

sin2limtan

2lim

22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→→

ππ

ππ

( ) ( )( ). .

0 0 2

-1 sin cos -1 1 0 02lim 1-sin -1

R H

y π

πy y y

y→

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ + ⋅⎝ ⎠= = =

15. 0-lim-lim1-1lim

1lnlimlnlim

0

2

020

..

00=====

+++++ →→→∞∞→→x

xx

xx

xxxx

xxx

HR

xx

16. ( )2 2

. .2

20 0

sec 1 -11 tan1lim tan lim lim sec 0 11 -1

R H

x x x

x xxxx x x→∞ →∞ →∞

⋅= = = =

17. ( )x

xxxxxx

xxxx

xxx sincossincos1limcos

sincos

sin1limcoscotcsclim

000

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=+−

+++ →→→

( ) ( ). ..

0 0 0

sin cos cos sin -sin 0 1 1 0 -0lim 1

cos 1

R H

x

x x x x xx+→

+ + ⋅ + ⋅ + ⋅= = =

18. ( )( ) 2lim ln 2 ln 1 lim ln1x x

xx xx→∞ →∞

⎛ ⎞− + = ⎜ ⎟+⎝ ⎠

Soit ( ) .1

2+

=x

xxf Alors .212lim

12lim

..==

+ →∞∞∞→∞ x

HR

x xx

Ainsi, ( )( ) ( )( ) ( )( )lim ln 2 ln 1 lim ln ln lim ln 2.x x x

x x f x f x→∞ →∞ →∞

− + = = =

Page 105: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

530 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

19. ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−

++ →→ xxxx

xx sinlnlimsinlnlnlim

00

Posons ( ) .sin x

xxf = Alors ( ) ( ). .

0 00 0 0 0

1lim lim lim 1 et lim ln ln sinsin cos

R H

x x x x

xf x x xx x+ + + +→ → → →

= = = −

( ) ( )0 0

lim ln ln lim ln1 0.x x

f x f x+ +→ →

⎡ ⎤⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

20. ∞=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++ →→ xx

xx xx

1lim11lim00

21. ( ) xx

xxe

1

0lim +→

est une forme indéterminée .1∞

Posons ( ) ( ) .1 xx xexf += Alors ( ) ( ) ( ) ( )1 ln1ln ln ln

xxx x

e xf x e x e x

x x

+= + = ⋅ + =

et ( ) ( ) ( ).2

121lim

1

11

limlnlimlnlim00

..

0000==

++

=+⋅

+=+

=→→→→ xe

eexe

xxexf x

x

x

xx

x

HRx

xx

Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).limlimlim 2lnlimln

00

1

00 eeexfxe

xfxf

xx

xx

xx ====+ →

→→→

22. x

x x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→ 20

1lim est une forme indéterminée .0∞

Posons ( ) .12

x

xxf ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= Alors ( ) ( )

xx

xx

xxf

x

11ln1ln1lnln

2

22 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= et

( ) ( ) .02lim-2-lim1-

2-1

1

lim11lnlimlnlim

0

23

2

02

32

0

..2

00==⋅⋅=

⋅==

→→→∞∞→→xx

xx

xxx

xxxf

xxx

HR

xx

Par conséquent, ( ) ( ) ( ).1limlim1lim 0lnlimln

00200 =====⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ →

→→→eeexf

xxfxf

xx

x

xx

23. 014

3lim22

53lim..

2 =−

=+−

−∞→∞∞∞→ xxx

xx

HR

x

De même, .014

3lim22

53lim-

..

2-=

−=

+−−

∞→∞∞∞→ xxxx

x

HR

x

Page 106: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.4 page 531

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

24. ( )( ) 11

711117

11sec117cos7lim

11tan7sinlim 220

..

000===

→→ xx

xx

x

HR

x

25. ( ) x

xx 1lnlim

→∞ est une forme indéterminée 0∞ .

Posons ( ) ( ) xxxf 1ln= Alors ( ) ( ) ( ) ( )x

xxx

xxf x lnlnlnln1lnlnln 1 =⋅== et

( ) ( ) . .1 1

ln ln 1lnlim ln lim lim lim 0.1 ln

R H

x x x x

x x xf xx x x→∞ →∞ ∞ ∞ →∞ →∞

⋅= = = =

Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).1limlimlnlim 0lnlimln1 ===== ∞→

∞→∞→∞→eeexfx

xfxf

xx

x

xx

26. ( ) ( )x

xx ln2121lim +

→∞ est une forme indéterminée .0∞

Posons ( ) ( ) ( ).21 ln21 xxxf +=

Alors ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x

xxx

xxf x

ln221ln21ln

ln2121lnln ln21 +

=+=+= et

( ) ( ) .21

21lim

21lim12

221

1

limln2

21lnlimlnlim....

==+

=⋅

⋅+=

+=

∞→∞∞∞→∞→∞∞∞→∞→ x

HR

xx

HR

xx xx

x

xx

xxf

Par conséquent ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).limlim21lim 21lnlimlnln21 eeeexfx

xfxf

xx

x

xx =====+ ∞→

∞→∞→∞→

27. ( ) 12

112lim

→+−

x

xxx est une forme indéterminée 00 .

Posons ( ) ( ) .1212 −

+−=x

xxxf

Alors ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

212 2

ln 2 1ln ln 2 1 1 ln 2 1

1 1x x x

f x x x x x xx

− − += − + = − − + =

− et

( ) ( )( )

( )

( )22

1

..2

11 11-

2212

1

lim11

12lnlimlnlim−

−⋅+−=

−+−

=→∞∞→→ x

xxx

xxxxf

x

HR

xx

( )( )

( ) ( ) .012lim1-112lim

1

221

=−−=−⋅−−

=→→

xxxx

xx

Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).1limlim12lim 0lnlimln

11

12

11 =====+− →

→→

→eeexfxx

xfxf

xx

x

xx

Page 107: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

532 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

28. ( )

( ) x

xx cos

2coslim

−→ π est une forme indéterminé de 00 .

Posons ( ) ( ) .cos cos xxxf =

Alors ( ) ( ) ( )xxxxf x coslncoscoslnln cos ⋅== et

( )( )

( )( )

( )

( )( )

( ) ( )( )

2 2

. .

2 2

2 2

lim ln lim cos ln cos

1 -sinln cos coslim limsec sec tan- tanlim lim -cos 0.

sec tan

x π x π

R H

x π x π

x π x π

f x x x

xx xx x xx x

x x

− −

− −

− −

→ →

∞ ∞→ →

→ →

= ⋅

⋅= =

= = =

Par conséquent, ( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

.1limlimcoslim 0lnlim

ln

22

cos

2

2 ===== −→

−−− →→→eeexfx

xfxf

xx

x

x

x π

πππ

29. ( ) x

xx 1

01lim +

+→ est une forme indéterminée ∞1 .

Posons ( ) ( ) .1 1 xxxf += Alors ( ) ( ) ( ) ( )x

xxx

xxf x +=+=+=

1ln1ln11lnln 1 et

( ) ( ) .11

1lim1

11

lim1lnlimlnlim00

..

00

1

00=

+=+=

+=

++++ →→→→ xx

xxxf

xx

HRx

xx

Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).limlim1lim 1

lnlimln

00

1

00 eeeexfx

xfxf

xx

x

xx =====+ +→

+++ →→→

30. ( )11

1lim −

x

xx est une forme indéterminée ∞1 .

Posons ( ) ( ).11 −= xxxf

Alors ( ) ( )1

lnln1

1lnln 11

−=

−== −

xxx

xxxf x et ( ) .1

11lim

1lnlimlnlim

1

..

0011==

−=

→→→

xx

xxfx

HR

xx

Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).limlimlim 1lnlimln

11

11

11 eeeexfx

xfxf

xx

x

xx ===== →

→→

Page 108: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.4 page 533

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

31. ( )xx

xsinlim0+→

est une forme indéterminée 00 .

Posons ( ) ( ) .sin xxxf = Alors ( ) ( ) ( ) ( )x

xxxxxf x

1sinlnsinlnsinlnln =⋅== et

( )x

xxx

xxxf

xx

HR

x sincos-lim

1-

cossin

1

limlnlim2

020

..

0

⋅=

⋅=

+++ →→∞∞→

( ) ( ) .01

0010cos

sin--cos2- 2..

00=

⋅+⋅=

⋅+⋅=

xxxxxHR

Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).1limlimsinlim 0

lnlimln

0000 ===== +→

+++ →→→eeexfx

xfxf

xx

x

xx

32. ( ) x

xx tan

0sinlim

+→ est une forme indéterminée .00

Posons ( ) ( ) .sin tan xxxf =

Alors ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxxf x

cotsinlnsinlntansinlnln tan =⋅== et

( ) ( ) 0sincos-limsin-sincoslim

csc-

cossin

1

limcotsinlnlimlnlim

0

2

020

..

00==⋅=

⋅==

+++++ →→→∞∞→→xxx

xx

x

xx

xxxf

xxx

HR

xx.

Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).1limlimsinlim 0

lnlimln

00

tan

00 ===== +→

+++ →→→eeexfx

xfxf

xx

x

xx

33. ( )x

xx −

→ +

11

1lim est une forme indéterminée ∞-1 .

Posons ( ) ( ).11 xxxf −= Alors ( ) ( )xxx

xxxf x

−=⋅

−== −

1lnln

11lnln 11 et

( ) -1.1-lim1-

1lim1lnlimlnlim

11

..

0011===

−=

++++ →→→→ xx

xxxf

xx

HR

xx

Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).limlimlim 1-

lnlimln

11

11

11 eeexfx

xfxf

xx

x

xx ==== +→

+++ →→

34. 02lim2limlimlim....2

-2 ====∞→∞∞∞→∞∞∞→∞→ xx

HR

xx

HR

xx

x

x eex

exex

35. ( )2

21 2lim lim ln lim ln 2 ln lim ln ln 2x

x

xx x x xx

xdt t x xt x→∞ →∞ →∞ →∞

⎛ ⎞⎡ ⎤= = − = =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫

Page 109: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

534 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

36. 11

1

lim1ln

lnlim1ln1

lnlimln

lnlim ln

ln1lim

....

1

1 ==+

=⋅+⋅

==→∞∞∞→∞→∞∞∞→∞→∞ ∫

x

xx

x

xxx

xxx

dttdtt

xx x

HR

xx

HRx

x

xx

37. 1-11-cos-lim

1sin-lim

11coslim

0

..

000

..

000===

−=

−−−

→→→ θθθθθθ

θθθθ

eee

HRHR

38. tete

t

t

t −+

∞→

2

lim est une forme indéterminée ∞∞ puisque ,lim 2 ∞=∞+∞=+

∞→tet

t que

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−

∞→∞→ tt

t

t

t etete 1limlim et que 01limlim

..==

∞→∞∞∞→ tt

HR

tt eet , de sorte que

( ) .011limlimlim ∞=−∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=−

∞→∞→∞→ tt

t

t

t

t etete

Ainsi, .1lim2lim2limlim......2

==+

=−+

=−+

∞→∞∞∞→∞∞∞→∞∞∞→ t

t

t

HR

t

t

t

HR

t

t

t

HR

t

t

t ee

ee

tete

tete

39. 119lim

119lim

++

=++

∞→∞→ xx

xx

xx

Or ,91119lim

119lim =

++

=++

∞→∞→ xx

xx

xx

de sorte que .39119lim

119lim

119lim ==

++

=++

=++

→∞→∞→∞ xx

xx

xx

xxx

40. 11

1sinlim

1sin1lim

sinlim

0

00====

+

++

→→

xx

xxx

x

x

xx

41. ( ) ( ) ( )

111

sin1lim

sincos

cos1lim

tanseclim

222===⋅=

−−− →→→ xxx

xxx

xxx πππ

Page 110: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.4 page 535

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

42. 1coslim1

sinsincoslim

sin1

sincos

limcsccotlim

0000==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=++++ →→→→

xxxx

x

xx

xx

xxxx

43. La solution b) est correcte. La solution a) est erronée, puisque la règle de L'Hospital

ne s'applique que si le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers 0 ou vers

∞± lorsque ,3→x ce qui n'est pas le cas ici.

44. Chaque cas comporte une infinité de réponses possibles.

En voici quelques exemples.

a) Soit ( ) ( ) xxgxxf =+= et 13 .

Alors ( )( ) .3

13lim13limlim

..==

+=

∞→∞∞∞→∞→ x

HR

xx xx

xgxf

b) Soit ( ) ( ) 2et 1 xxgxxf =+= .

Alors ( )( ) .0

21lim1limlim

..

2 ==+

=→∞∞∞→∞→∞ xx

xxgxf

x

HR

xx

c) Soit ( ) ( ) 1et 2 +== xxgxxf .

Alors ( )( ) .

12lim

1limlim

..2

∞==+

=→∞∞∞→∞→∞

xxx

xgxf

x

HR

xx

45. Si nous voulons que ( )xf soit continue en ,0=x il faudra que .5

3sin39lim 30 xxxc

x

−=

Or, .1027

303cos81lim

303sin27lim

153cos99lim

53sin39lim

0

..

000

..

0020

..

0030===

−=

−→→→→

xx

xx

xx

xxx

HR

x

HR

x

HR

x

Donc 1027=c est la valeur recherchée.

46. a) Pour ( ) ( ) ( ) ( ) 11et 12 ,0 =+=′=+=′≠ xdxdxgx

dxdxfx , de sorte que ( )

( ) 111lim

0==

′′

→ xgxf

x.

Mais ( )( ) 2

12limlim

00=

++

=→→ x

xxgxf

xx, de sorte que dans ce cas, ( )

( )( )( )xgxf

xgxf

xx ′′

≠→→ 00

limlim .

Page 111: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

536 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

b) Pourtant, la règle de L'Hospital n'est pas contredite puisque les conditions d'application

de la règle, soit l'existence de ( ) ( )0et 0 gf ′′ , ne sont pas remplies. En effet, les fonctions

( ) ( )xgxf et ne sont pas continues en 0=x , donc elles ne sont pas dérivables en .0=x

47. a) kt

k kr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→1lim est une forme indéterminée ∞1 .

Posons ( ) .1kt

krkf ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += Alors ( )

kkrt

krkt

krkf

kt

1

1ln1ln1lnln

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

et ( ) .11

lim1-

-1lim

1

1lnlimlnlim 2

2

1-

..

00rtrt

kr

rtk

kr

krt

kkrt

kfkk

HR

kk==

+=

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=∞→∞→∞→∞→

Par conséquent, ( )kfAkrA

krA

k

kt

k

kt

k ∞→∞→∞→=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + lim1lim1lim 000

( ) ( ). lim 0

lnlim0

ln0

rtkfkf

keAeAeA k === ∞→

∞→

b) Selon la partie a), lorsque le nombre k de capitalisations dans une année tend vers

l'infini, le capital final après k capitalisations est le même que le capital final avec

capitalisation continue, de sorte que les montants des intérêts sont aussi égaux. 48. Le graphe suggère que la limite est voisine de -1.

En effet,

( )

-1.21

294

12

1294

lim

1232lim

12132lim

1

..

00

21232

1

2

1

=−−=−−

=

−+−−

=

−++−

xxx

xxxx

xxxx

x

HR

x

x

-1

1x

y( )

1 2 1 3 2

2

−++−= x

xxxy

(1,-1)

Page 112: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.4 page 537

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

49. a) La calculatrice graphique

indique une limite voisine

de -0,225.

La limite est une forme

indéterminée 00 .

( )( )xxxx

xx πcosln

1lim2

1 −−−

( )( ) ( )

( )

. .

0 0 1 1

. .

20 0 1

2 1 2 2lim lim1 ln sin1 ln 1 sin

2 2lim -0,2251 1cos

R H

x x

R H

x

x xx π πxx x πx π

x

ππ πx πx

→ →

− −= =

+⎡ ⎤⋅ + ⋅ − + ⎣ ⎦

= = ≈−⎡ ⎤+ ⎣ ⎦

b) Le graphique de la fonction

( )( )xxxx

xyπcosln

1 2

−−−

=

admet une asymptote verticale autour

de .552,2=x

1

y

x2

1

2

x− ( )( )xxxx

xy

cos ln

1

2

π−−

−=

x

y

( )( )xxxx

xy

cos ln

1

2

π−−

−=

Page 113: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

538 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

50. a) ( ) ( ) ( ) ( )xfxgxf xg lnln =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )0

lim ln lim limln

lim ln lim lim ln - - .

x c x c x c

x c x c x

g x f x g x f x

g x f x y+

→ → →

→ → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ∞ ⋅ = ∞ ⋅ ∞ = ∞⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Donc, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).0limlim -lnlimln ==== ∞

→→→ eeexf

xfxgxf

cx

xg

cxcx

xg

b) ( ) ( ) ( ) ( )lim ln lim limln

x c x c x cg x f x g x f x

→ → →⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )0

lim ln lim - lim ln

- - .x c x c x

g x f x y+→ → →

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = ∞ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ∞ ⋅ ∞ = ∞

Donc, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).limlim

lnlimln ∞==== ∞

→→→ eeexf

xfxgxf

cx

xg

cxcx

xg

51. En général, les calculatrices n'ont pas un degré de précision suffisamment élevé pour donner

une approximation acceptable de ( ) 12

6cos1x

xxf −= pour des valeurs voisines de 0.

Par exemple, pour ,5 999 999 999 999,0cos ,1,0 6 ≈= xx de sorte que sur une calculatrice à 10

décimales de précision, nous aurons ,0cos1et 1cos 66 =−= xx de sorte qu'une calculatrice

graphique indiquera des valeurs de ( )xf égales à 0 pour .1,01,0- << x Dans les faits,

( ) ( )6 5 6 56 6 6. . . .

12 11 6 50 0 0 0 0 0 0 0 0

sin 6 cos 61 cos sin cos 1lim lim lim lim lim .2 212 2 12

R H R H

x x x x x

x x x xx x xx x x x→ → → → →

⋅−= = = = =

Page 114: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.4 page 539

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

52. a) 5,0-lim 2 ≈⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

∞→xxx

x

b) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

∞→xxx

x

2lim

est une forme indéterminée .∞−∞

⎟⎟

⎜⎜

++

++⋅+−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +−

∞→∞→ xxx

xxxxxxxxxxx 2

222 limlim

( )

( )

2 2

2 2

-lim lim

-1 -1lim lim11 1 1 1 1

x x

x x

x x x x

x x x x x x

xx x

x

→∞ →∞

→∞ →∞

− + ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠

⎡ ⎤⋅⎢ ⎥= =⎢ ⎥+ + + +⎣ ⎦

,21-

111-

=+

=

ce qui est conforme à l'estimation graphique trouvée en a).

53. a) 011 >+x

lorsque -1,1>

x soit -1.ou 0 <> xx Le domaine de la fonction est

] [ ] [- ,-1 0, .∞ ∪ ∞

b) Posons ( ) .11x

xxf ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += Alors ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

xx

xxf

x 11ln11lnln et

( )- - - --1 -1 -1 -1

1 1lim ln lim ln 1 lim lim ln 1 -1 - =x x x x

f x x xx x→ → → →

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ + = ⋅ + = ⋅ ∞ ∞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

( ) ( ) ( ).limlim11lim

lnlimln

-1-1-1

--1---

∞=====⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ∞

→→→

→ eeexfx

xfxf

xx

x

xx

c) ( ) ( )x

xx

xxfxxx 1

11lnlim11lnlimlnlim---

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=

∞→∞→∞→

( ) 111

1lim1-

1-11lim-2

2-1

-

..

00=

+=

⋅+=

∞→∞→

xx

xxxx

HR

Par conséquent, ( ) ( ) ( ).limlim11lim 1lnlimln

---- eeeexf

xxfxf

xx

x

xx =====⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + ∞→

∞→∞→∞→

y

x1

-0,5

( ) 2 xxxxf +−=

Page 115: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

540 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

54. a) xx

xyxy xx ln1lnln 11 ==⇒=

Dérivation logarithmique :

,1ln-11ln1-122 xx

xxx

xdxdy

y+

=⋅+=⋅ d'où .ln1ln12

12 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=x

xxx

xydxdy x

0=dxdy lorsque .1ln0ln1 1 eexxx ==⇒=⇒=−

x e

dxdy + 0

y maximum

relatif

Comme 0>x , aucune valeur du domaine de xxy 1= ne fait en sorte que dxdy n'existe

pas.

Le tableau des signes indique un maximum relatif en ex = , qui est aussi un maximum

absolu puisque la fonction est croissante partout à la gauche de e et décroissante partout à

la droite de e. La valeur maximale de la fonction est .44,1e1 ≈= ey

b) xx

xyxy xx ln1lnln 211 22

==⇒=

Dérivation logarithmique :

,ln2111ln2-1323 x

xxx

xxdx

dyy

−=⋅+⋅=⋅ d'où .ln21ln21

31

3

2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=x

xxx

xydxdy x

0=dxdy lorsque .

21ln0ln21 21 eexxx ==⇒=⇒=−

x e

dxdy + 0

y maximum

relatif

Page 116: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.4 page 541

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Comme 0>x , aucune valeur du domaine de 21 xxy = ne fait en sorte que dxdy n'existe

pas.

Le tableau des signes indique un maximum relatif en ex = , qui est aussi un maximum

absolu puisque la fonction est croissante partout à la gauche de e et décroissante partout

à la droite de e .

La valeur maximale de la fonction est .2019,11

≈=e

ey

c) xx

xyxy nxx nn

ln1lnln 11 ==⇒=

Dérivation logarithmique :

,ln11ln-11ln-1111

1-+++

− −=+=⋅+= nnnn

n

xxn

xx

xn

xxxnx

dxdy

y d'où

.ln1ln11

11 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

= ++ nx

n xxnx

xxny

dxdy n

0=dxdy lorsque .1ln0ln1 1 nex

nxxn =⇒=⇒=−

x ne1

dxdy + 0

y maximum

relatif

Comme 0>x , aucune valeur du domaine de nxxy 1= ne fait en sorte que dxdy n'existe

pas. Le tableau des signes indique un maximum relatif en nex 1= , qui est aussi un

maximum absolu puisque la fonction est croissante partout à la gauche de ne1 et

décroissante partout à la droite de ne1 . La valeur maximale de la fonction est

( ) ( )e1e11 nn ee = .

Page 117: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

542 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

d) Soit ( ) nxxxf 1= . Alors ( ) xx

xxf nxn

ln1lnln 1 == et

( ) .01lim

1

limlnlimlnlim 1

..====

∞→−∞→∞∞∞→∞→ nxnx

HR

nxx nxnxx

xxxf

Par conséquent, ( ) ( ) ( ).1limlim 0lnlimln ==== ∞→

∞→∞→eeexf

xfxf

xxx

55. a)

b)

xxxxk

x k

k

HRk

kln

1ln1

1lnlim1lim

0

..

000=

⋅==

−→→

56. a) Il faudrait poser ( ) 10 =f .

x

y

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0,5 1,5 2,5 321

( )xxy sin =

Page 118: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.4 page 543

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

b) ( )xx

xsinlim0+→

a la forme indéterminée 00 .

Posons ( ) ( )xxxf sin= . Alors ( ) ( ) ( ) ( )x

xxxxxf x

1sinlnsinlnsinlnln =⋅== et

( ) .010

sec2-lim

tan-lim

1-

cossin

1

lim1sinlnlim 20

,.

00

2

020

,.

0====

⋅=

++++ →→→∞∞→ xx

xx

x

xx

xx

x

HR

xx

HR

x

Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).1limlimsinlim 0

lnlimln

0000 ===== +→

+++ →→→eeexfx

xfxf

xx

x

xx

c) La valeur maximale est voisine de 1 ; elle est obtenue pour une valeur de x

voisine de 1,57.

d) Trouvons la fonction dérivée de la fonction ( ) ( )xxxf sin= par la méthode de

dérivation logarithmique.

Si ( ) ( )xxxf sin= , alors ( ) ( ) ( )xxxxf x sinlnsinlnln == , de sorte que

( ) ( ) ( ) ( ) xx

xxxfxf

xfdxd cos

sin1sinln11ln ⋅⋅+⋅=′⋅= et

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln sin cot sin ln sin cotxf x f x x x x x x x x′ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ .

Dans l'intervalle [ ] ( )0, , π f x′ s'annule pour x voisin de 0,40, qui correspond à

un minimum relatif de la fonction ( ) ( )xxxf sin= , et pour x voisin de 1,57, qui

correspond à la valeur maximale de ( )xf recherchée.

2x

y'

1 3-1

-2

-3

-4

0,5 1,5 2,5

( )( )( )xxxxxy sincot sin ln +=′

Page 119: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

544 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

e) ( ) ( ) ( ) ( )0 sin ln sin cot 0 ln sin cot 0xf x x x x x x x x′ ⎡ ⎤= ⇒ + = ⇒ + =⎣ ⎦ dans le voisinage

de 57,1=x , puisque ( )xxsin ne s'annule pas dans ce voisinage.

Procédons par la méthode de Newton d'approximation des zéros d'une fonction.

Posons ( ) ( )ln sin cotg x x x x= + .

Alors ( ) .csccot2csc-cot1cossin

1 22 xxxxxxxx

xg −=⋅+⋅+⋅=′

( ) 0=xg pour ( )( )

( )( )1 2

ln sin cot

2cot cscn n nn

n n nn n n n

x x xg xx x x

g x x x x+

+= − = −

′ −.

En posant 55,11 =x , nous trouvons 57122,12 =x , puis 57080,143 == xx .

Le zéro de ( )xf ′ est donc approximativement 1,57080.

f) ( ) ( )1,57 0,9 999 995 022 et 1,57 080 1f f≈ = , de sorte que 080 57,1=x donne la meilleure

estimation.

Page 120: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 545

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Exercices 3.5 - Intégrales impropres 1. a) L'intégrale est impropre parce qu'une des bornes d'intégration est infinie.

b) [ ] [ ]2

02

0tan tan limtan lim1

lim1 0

02

02

ππ=−=−==

+=

+ ∞→∞→∞→

∫∫ arcbarcxarcx

dxx

dxb

bb

bb

[ ]2

02

0tan tan lim ππ=−=−=

→∞arcbarc

b

L'intégrale impropre converge.

c) 2π . 2. a) L'intégrale est impropre parce que l'intégrande présente une discontinuité infinie en .0=x

b) ( )( ) 2212lim21

limlim0

121

0

1

0

1

0

=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

+++ →→→ ∫∫ bxx

dxx

dxb

bb

bb

L'intégrale impropre converge.

c) 2 3. a) L'intégrale est impropre parce que l'intégrande présente une discontinuité infinie en

.0=x

b) ∫ ∫∫ +=0

8-

1

03131

1

8-31 x

dxxdx

xdx

Or b

b

b

b

xxdx

xdx

8-

32

08-

310

0

8-31 2

3limlim-- ⎥

⎤⎢⎣

⎡==

→→ ∫∫

( ) -6.60236

23lim8-

23

23lim 32

0

3232

0 --=−⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

→→bb

bb

D'autre part, ∫ ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

→→

1

0

1321

031031 23limlim

++

cccc

xxdx

xdx

( ) .23023

23

23

23lim

231

23lim 32

0

3232

0 ++=⋅−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

→→cc

cc

Page 121: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

546 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Finalement, .29-

23+-6

1

8-31 ==∫ x

dx

L'intégrale impropre converge.

c) 29- . 4. a) L'intégrale est impropre parce que les deux bornes d'intégration sont infinies.

b) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∞

∞∞

∞ ++

+=

+

0

- 02222

-22 1

2

1

2

1

2

x

dxx

x

dxx

x

dxx

( ) ( )( )

-11

11-lim1

1-11-lim

1-1lim

1

2lim1

2

2-2-

01-2

-

0

-

0

22-22Or,

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ +=

+=

+

∞→∞→

∞→∞

∞→∫ ∫

bb

x

x

dxx

x

dxx

bb

bb

bb

et ( ) ( )( ) 1.

11-

11-lim

1-1lim

1

2lim1

22

0

1-2

0 02222

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

+=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ +=

+=

+ →∞→∞

→∞∫ ∫ bx

x

x

x

dxxb

b

b

b

b

Ainsi, ( ) .011-1

2

-22

=+=+

∫∞

∞ x

dxx L'intégrale impropre converge.

c) 0 5. a) L'intégrale est impropre parce que l'intégrande présente une discontinuité infinie en

.0=x

b) [ ] [ ] ∞=+===+++ →→→ ∫∫ b

bb

x

bb

x

b

x eeedxx

edxex 12ln1

0

2ln1

0

2ln

2

1

0

12ln

0

2- -lim-lim lim

L'intégrale impropre diverge.

c) L'intégrale impropre diverge.

Page 122: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 547

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

6. a) L'intégrale est impropre parce que l'intégrande présente une discontinuité infinie en .0=x

b) ( )2 2

2

0 0 00

cot lim cot lim ln sin lim ln sin 2 ln sin 0π π

π

bb b bb

θ dθ θ dθ θ π b+ + +→ → →

⎡ ⎤= = = − = + ∞ = ∞⎣ ⎦∫ ∫ .

L'intégrale impropre diverge.

c) L'intégrale impropre diverge.

7. b

b

b

bx

xdx

xdx

1

0,001-

1001,1

1001,1 0,001-

1limlim ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

∞→

∞→ ∫∫

100010000110001000-lim 001,0001,0 =+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=

∞→ bb

8. ∫∫∫ +=1

032

0

1-32

1

1-32 x

dxxdx

xdx

[ ] [ ]( ) ( ) 60330

33lim33lim

31lim

31lim

limlim

31

0

31

0

131

01-

31

0

1

3201-

320

+-

+-

+-

=−++=

−++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎤⎢⎣

⎡=

+=

→→

→→

→→ ∫∫

cb

xx

xdx

xdx

cb

cc

b

b

cc

b

b

9. ( ) ( )[ ]bb

b

brdrr

rdr

021

40

21-4

04

42-lim4lim4 --

−=−=− →→ ∫∫

-4

lim -2 4 2 4 0 4 4b

r→

⎡ ⎤= − + = + =⎣ ⎦

10. 1001,0

0

1999,0-

0

1

0999,0 001,0

lim limb

bb

b

rdrrr

dr⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

++ →→ ∫∫

( )0,001

0lim 1000 1000 1000 0 1000

bb

+→= − = − =

Page 123: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

548 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

11. [ ]bb

b

bxarc

x

dx

x

dx0

10

2

1

012

sin lim1

lim1 -- →→ ∫∫ =

−=

[ ]2

02

0sin sin lim-1

ππ=−=−=

→arcbarc

b

12. 2

-

2

2-

2

-2 2

tan 212lim

42lim

42

bb

bb

xarcdxx

dxx ⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

+=

+ ∞→∞→∞

∫∫

-

- 3lim tan1 tan2 4 2 4b

b π π πarc arc→ ∞

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

13. ∫∫ −=

− ∞→∞

-2

2-

-2

-2 1

2lim1

2

bb x

dxx

dx

Or ( )( ) ,1111

21

22 +

+−

=+−

=− x

Bx

Axxx

d'où ( ) ( ) ( ) ( ).112 BAxBAxBxA −++=−++=

Nous avons .1et -1 ,22-où d' ,2et -où d' ,0 ====−==+ ABBBABABA

Il s'ensuit que dxxxx

dx

bb

1

11

1lim1

2 -2

-

-2

-2 ∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−=

− ∞→∞

-2 -2-2

- -

-2

- -

-

1 1lim lim ln 1 ln 1 1 1

1 1lim ln lim ln 3 ln +1 +1

1 1ln3 ln lim ln3 ln1 ln3.1 1

bb bb b

b bb

b

dx dx x xx x

x bx b

bb

→ ∞ → ∞

→ ∞ → ∞

→ ∞

⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − − +⎢ ⎥ ⎣ ⎦− +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −= = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞−= − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

∫ ∫

14. ∫∫ −=

− ∞→

∞ b

b ttdt

ttdt

22-

22

3lim 3

Or ( ) ,11

3 32 −

+=−

=− t

BtA

tttt d'où ( ) ( ).13 tBtA +−=

En assignant à t la valeur 0, nous obtenons -3.=A

En assignant à t la valeur 1, nous obtenons .3=B

Page 124: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 549

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Il s'ensuit que dttttt

dt b

b

133-lim 3

222 ∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+=

− ∞→

2

2

lim -3ln 3ln 1

1 1 1lim 3ln lim 3ln 3ln2

1 1 1 1lim 3ln 3ln 3ln1 3ln1 2 2

1-3ln , 3ln 2.2

ou encore

b

b

b

b b

b

t t

t bt b

b

→∞

→∞ →∞

→∞

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ⎛ ⎞= = − ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

15. θθθ

θθθθ

θ ddb

2

1lim 2

1 1

020

1

02 ∫∫

+

+=

+

++→

Posons .22 θθ +=u Alors ( ) ( ) . 21 1et 1222 dud

ddu

=++=+= θθθθθ

De plus, 3=u

lorsque .0 lorsque 0et 1 === θθ u

[ ] .3033lim

2121lim

21lim 1

21

2

1 Ainsi,

0

321

0

321-

0

3

0

1

02

=−=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

==+

+

++

+

→→

→ ∫∫∫

bu

duuduu

d

bb

b

bb

θθθ

θ

16. ∫∫−

+=

+→

b

bds

s

sdss

s

022

2

02

4

1lim 4

1-

( ) ( )

( )

( )

- -

- -

- -

- -

2 22 20 0

-1 2222 20 0

1 22

2 20

0

2

2 2

1lim lim 4 4

1 1lim 4 -2 lim -2 4

41lim - lim sin2 1 2 2

lim - 4 -2 lim sin sin 02

b b

b b

b b

b b

bb

b b

b b

s ds dss s

s s ds dss

s sarc

bb arc arc

→ →

→ →

→ →

→ →

= +− −

= − +−

⎡ ⎤− ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤= − − + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )0 2 2 0 22ππ= + + − = +

Page 125: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

550 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

17. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4 4

00 0 4 4

lim lim1 1 1 1 1

c

cbb

dx dx dx dx dxx x x x x x x x x x+

∞ ∞

→∞→= + = +

+ + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Posons .xu = Alors . 2et 2

1 dux

dxxdx

du==

Nous avons ( )

.tan 2tan 21

21 2 xarcuarc

udu

xxdx

==+

=+ ∫∫ (La constante d'intégration est

inutile ici puisque nous avons des bornes d'intégration.)

( )4 4

00

0

Ainsi, lim 2 tan lim 2 tan1

lim 2 tan 2 2 tan lim 2 tan 2 tan 2

2 tan 2 2 0 2 2 tan 2 .2

b bcb

cb

dx arc x arc xx x

arc arc b arc c arc

πarc arc π

+

+

→∞→

→∞→

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − ⋅ + ⋅ − =

18. ∫∫∫∞∞

−+

−=

− 22

2

12

12 111 xx

dx

xx

dx

xx

dx

[ ] [ ]

+

+

+

2

2 21 2

2

21

1

lim lim1 1

lim sec lim sec

lim sec2 sec lim sec sec2

03 2 3 2

c

cb b

c

b cb

cb

dx dx

x x x x

arc x arc x

arc arc b arc c arc

π π π π

→∞→

→∞→

→∞→

= +− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫

19. [ ]22

12

2

112

seclim1

lim1

bb

bbsarc

ss

ds

ss

ds∫∫ ++ →→

=−

=−

( ) .3

03

sec2seclim1

ππ=−=−=

+→barcarc

b

Page 126: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 551

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

20. ∫∫ ++=

++ ∞→

∞ b

b

dd

1-2

1-2 65

lim65 θθ

θθθθ

Or ( )( ) ,3232

165

12 +

++

=++

=++ θθθθθθ

BA d'où ( ) ( ).231 +++= θθ BA

En assignant à θ la valeur -3, nous obtenons -1.=B

En assignant à θ la valeur -2, nous obtenons 1.=A

Il s'ensuit que θθθθθ

θ dd b

b

31

21lim

65 1-1-2 ∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

+=

++ ∞→

-1-1

2lim ln 2 ln 3 lim ln 3

2 1 1 2 1lim ln ln lim ln ln3 2 1 3 2

1 1ln1 ln -ln , ln 2.2 2

ou encore

bb

b b

b b

θθ θθ

b bb b

→∞ →∞

→∞ →∞

⎡ ⎤+⎡ ⎤= + − + = ⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎣ ⎦

⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

21. ∫∫ −=

∞→

b

bdv

vvdv

vv 22

22 2lim 2

Or ( ) ( ) ( ) ( ) .12où d' ,11

222 AvBAvBvA

vB

vA

vvvv−+=+−=

−+=

−=

Nous avons .2où d' ,0et -2où d' 2,- ==+== BBAAA

( )

2 22 2 2 2

22

2 2 2 2 lim lim - 1

1 lim -2ln 2ln 1 lim 2ln

1 lim 2ln 2ln 1 2

b b b

b b

bb

b b

b

dv dv dv dvv vv v v v

vv vv

bb

→∞ →∞

→∞ →∞

→∞

⎡ ⎤= = +⎢ ⎥

−− − ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎡ ⎤= + − = ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤−= −⎢ ⎥

⎣ ⎦

=

∫ ∫ ∫ ∫

2

1 12ln lim 2ln 2 2ln1 2ln 21

0 2ln 2 2ln 2 ou encore ln 2 ou ln 4

b

b→∞

⎛ ⎞−+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= + =

Page 127: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

552 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

22. ∫∫ −=

− ∞→

∞ b

b tdt

tdt

22

22 1

2lim1

2

Or ( )( ) ,1111

21

22 −

++

=−+

=− t

Bt

Attt

d'où ( ) ( ).112 ++−= tBtA

En assignant à t la valeur -1, nous obtenons -1.=A

En assignant à t la valeur 1, nous obtenons 1.=B

Il s'ensuit que dtttt

dt b

b

11

11-lim

1 2

222 ∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

+=

− ∞→

22

1lim -ln +1 ln 1 lim ln 1

1 1 1 1 1lim ln ln lim ln ln1 3 1 1 3

1 1ln1 ln -ln ln 3.3 3

ou

bb

b b

b b

tt tt

b bb b

→∞ →∞

→∞ →∞

⎡ ⎤−⎡ ⎤= + − = ⎢ ⎥⎣ ⎦ +⎣ ⎦

⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

23. bb

bb

sarcs

ds

s

ds

0022

2

022 2

sin lim4

lim4 -- ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

−=

−∫∫ →→

2

02

0sin 2

sin lim-2

ππ=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

→arcbarc

b

24. ∫∫−

=− →

b

b r

drr

r

drr

04

1

014 1

4lim1

4-

Posons .2ru = Alors drrdu 2= et ( )

( ),sin 2sin 21

21

221

4 22224

rarcuarcu

du

r

drr

r

drr==

−=

−=

−∫∫∫

d'où ( ) ( )- -

12 2

4 01 10

4 lim 2 sin lim 2 sin 2 sin 0 2 2 0 .21

b

b b

r dr πarc r arc b arc πr → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = ⋅ − ⋅ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦−∫

Page 128: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 553

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

25. ( )( ) ( )( )2 2

0 0

lim1 1 tan 1 1 tan

b

b

dv dvv arc v v arc v

→∞=

+ + + +∫ ∫

Posons .tan 1 varcu += Alors .1

et 1

122 du

vdv

vdvdu

=++

=

Nous avons ( )( )2

1 ln ln 1 tan .1 1 tan

dv du u arc vuv arc v

= = = ++ +∫ ∫

( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 20 0

0

Ainsi, lim1 1 tan 1 1 tan

lim ln 1 tan

lim ln 1 tan ln 1 tan 0

ln 1 2 ln1 ln 1 2 .

b

b

b

b

b

dv dvv arc v v arc v

arc v

arc v arc

π π

→∞

→∞

→∞

=+ + + +

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − +⎣ ⎦

= + − = +

∫ ∫

26. dxx

xarcb

dxx

xarc 1

tan 16lim

1tan 16 b

02

02 ∫∫ +∞→

=+

( )

( ) ( )

( )

2

20 0

2 2

22 2

tan1lim16 tan lim1621

lim 8 tan 8 tan 0

8 8 0 22

bb

b b

b

arc xarc x dx

x

arc b arc

π π

→∞ →∞

→∞

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⋅ =

+ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

27. ∫∫∫ →→+=

4

01-

4

1-0 +-

lim-

lim c

c

b

b xdx

xdx

xdx

- +

- +

4

-1 c0 0

0 0

lim -2 - lim 2

lim -2 - 2 1 lim 2 4 2

0 2 4 0 6

b

b c

b c

x x

b c

→ →

→ →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + + − =

Page 129: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

554 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

28. ∫∫∫ −+

−=

2

1

1

0

2

0 11 1 xdx

xdx

xdx

( ) ( )

[ ]40220

12lim121212-lim

211lim

211-lim

1lim

1lim

+-

+-

+-

11

221

10

21

1

2

10

1

=−++=

−−++−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −+

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ −=

−+

−=

→→

→→

→→ ∫∫

cb

xx

xdx

xdx

cb

cc

b

b

cc

b

b

29. θθθθ θθ dedeb

b ∫∫ ∞→∞

=0

-

0

-

lim

Posons . et θθ θ dedvu ==

Alors ,et θθ evddu == de sorte que θθθθθ θθθθθ eedeede −=−= ∫∫ et

θθθθ θθ dedeb

b ∫∫ ∞→∞

=0

-

0

-

lim

( )( )

0

- -

-- -

. .

--

lim lim 0 1

1-1 lim 1 -1 lim

1-1 lim -1 0 -1.-

θ θ b bbb b

bbb b

R H

bb

θe e be e

be be

e

→ ∞ → ∞

→ ∞ → ∞

∞ ∞ → ∞

⎡ ⎤⎡ ⎤= − = − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦−

= − − = −

= − = − =

30. θθθθ θθ dedeb

b sin2lim sin2

0

-

0

- ∫∫ ∞→

=

Posons . sinet 2 - θθθ ddveu == Alors ,cos-et 2- - θθθ == vdedu de sorte que

. cos2cos-2 sin2 --- θθθθθ θθθ deede ∫∫ −=

Dans l'intégrale du membre de droite de l'égalité, nous posons . coset 2 - θθθ ddveu ==

Page 130: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 555

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Alors .sinet 2- - θθθ == vdedu

[ ]θθθθθθ θθθθ deeede sin2sin2cos2 sin2 ---- ∫∫ +−= , d'où

θθθθ θθθ sin2cos2- sin22 --- eede −=∫ et .sincos- sin2 --- θθθθ θθθ eede −=∫

Il s'ensuit que [ ]bb

eede 0--

0

- sincos-lim sin2 θθθθ θθθ −=∞→

.01sincos-lim

0sin0cos-sincos-lim

sincos-lim

00

0

++⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

∞→

∞→

∞→

bbb

bbb

b

b

eb

eb

eeeb

eb

ee θθθθ

Comme ,1sin-1-et 1cos-1- ≤≤≤≤ bb et que ,01lim1-lim ==∞→∞→ bbbb ee

le théorème du sandwich assure

que 0cos-lim =∞→ bb e

b et que .0sin-lim =∞→ bb e

b Donc .10100 sin20

- =+++=∫∞

θθθ de

31. dxedxedxe xxx 0

-0

-

-

-

- ∫∫∫∞

+=

dxe x 20

-

∫∞

−= (puisque xe- est une fonction paire ; voir page 64, exercice 85)

( )

0 0

- -

0 0

- -

2 lim 2 lim

2 lim 2 lim 2 1 0 2

x x

b bb b

x bbb b

e dx e dx

e e e

→ ∞ → ∞

→ ∞ → ∞

= =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

Page 131: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

556 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

32. dxexdxexdxex xxx 2 2 20

-0

-

-

-

- 222

∫∫∫∞

+=

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

0- -

-0

0- -

- 0

- -

-

lim 2 lim 2

lim - lim -

-1+ lim lim - 1

-1 0 0 1 0

cx x

b cb

cx x

b cb

b c

b c

xe dx xe dx

e e

e e

→ ∞ →∞

→ ∞ →∞

→ ∞ →∞

= +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= + + + =

∫ ∫

33. ∫∫ +→=

1

0

1

0

lnlim lnb

bdxxxdxxx

Posons . et ln dxxdvxu == Alors ,2

et 1 2xvdxx

du == de sorte que

4

ln2

2

ln2

ln222 xxxdxxxxdxxx −=−= ∫∫ et

1 1

00

12 2 2 2

0 0

2

20 0

. .

0

ln lim ln

1 1 lim ln lim ln1 ln2 4 2 4 2 4

1 1 ln - lim ln - lim4 2 4 2

1 1 - lim4 -4

b b

b bb

b b

R H

b

x x dx x x dx

x x b bx b

b bbb

b

+

+ +

+ +

+

→ →

→ →

∞ ∞ →

=

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − = − − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

= − = −

= −

∫ ∫

2

3 0

1 1 1- lim - +0 - .4 4 4 4b

bb +→

= − − = =

34. ( ) ( )dxxdxxb

ln-lim ln-0

1

0+→

=∫

Posons .et ln- dxdvxu == Alors ,et 1- xvdxx

du == de sorte que

( ) ∫∫ +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−= .ln- 1-ln- ln- xxxdx

xxxxdxx

Page 132: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 557

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Il s'ensuit que ( ) [ ]10

1

0

ln-lim ln- bb

xxxdxx +=+→∫

( ) [ ]

( )

0

0

. .

20 0

-1ln1 1 lim - ln

ln0 1 lim 0-1

11 lim 1 lim 1 0 1.1

b

b

R H

b b

b b b

bb

b bb

+

+

+ +

∞ ∞ → →

= + − +

⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − = − = − =

35. 2

00 02 2

sintan lim lim -ln cos cos

π bb

π πb b

θθ dθ θθ→ →

⎡ ⎤= = ⎣ ⎦∫ ∫2

lim -ln cos ln cos0 πb

b→

⎡ ⎤= + = ∞⎣ ⎦

L'intégrale impropre diverge. Note : Même si les tests de comparaison entre intégrales des pages 242 et 243 sont énoncés pour des intégrales impropres du premier type, il en existe de semblables pour les intégrales impropres du deuxième type. Nous y faisons appel dans certains des exercices qui suivent.

36. 2 2

2

0 00

coscot lim lim ln sin sin

π ππ

bb bb

θθ dθ dθ θθ+ +→ →

⎡ ⎤= = ⎣ ⎦∫ ∫

( ) ∞=∞−=−=+→

-0 sin lnlim 2sin ln0

bb

π

L'intégrale impropre diverge.

37. Posons .θπ −=x Alors πθ == xddx ,- lorsque 0et 0 == xθ lorsque .πθ =

De plus ( ) ,sinsinsin x=−= θπθ de sorte que 0

0 0

sin sin sin- .π π

π

θ dθ x xdx dxπ θ x x

= =−∫ ∫ ∫

Comme 1sin0 ≤≤ x pour tout ,0 π≤≤ x nous avons .1sin0xx

x≤≤

Page 133: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

558 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Or 0 0 00

1 1 lim lim 2 lim 2 2 2 ,π π π

bb b bb

dx dx x π b πx x+ + +→ → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ de sorte que cette

intégrale impropre converge.

Il s'ensuit que dxxx sin

0∫π

converge par le test de comparaison directe entre intégrales.

38. Posons .2θπ −=x Alors 02-et 22- , 2- =⇒==⇒== xxddx πθππθθ

Finalement, .22x

−=πθ

Ainsi, ( )

. 2

2sin

2

22cos

2

22cos-

2 cos 2

031

2

031

0

231

2

2-31 dx

x

x

dxx

x

dxx

xd

∫∫∫∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

ππ

π

π

π

ππ

θπθθ

Comme ( ) 12sin0 ≤≤ x pour tout ,20 π≤≤ x nous avons ( ) .2

12

2sin0 3131 xxx

≤≤

Or πππ 232

0

2

310

2

031 322

lim 2

1lim 2

1

bb

bb

xdxx

dxx ⎥

⎤⎢⎣

⎡⋅

==++ →→ ∫∫

( ) ( ) ,243

43lim2

43 3232

0

32 ππ =−=+→

bb

de sorte que dxx

12

031∫

π

converge.

Il s'ensuit que ( )( )∫∫ −

=2

2-31

2

031 2

cos 2

2sin π

π

π

θπθθ ddx

xx converge par le test de comparaison directe

entre intégrales.

39. ∫∫ ∫ +→==

2ln

2

1-2ln

00

2ln

02

1-1-2- lim

b

x

b

xx dx

xedx

xedxex

( )ln 2-1 -1 ln 2 -1 -1 ln 2 -1 ln 2

0 0lim lim 0x b

bb be e e e e

+ +→ →⎡ ⎤= = − = − =⎣ ⎦

L'intégrale impropre converge.

Page 134: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 559

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

40. ∫∫∫ ++ →→==

1 -

0

1 -

0

1

0

-

2-

2-lim lim b

x

bb

x

b

x

dxx

edxx

edxx

e

1- -1 -

0 0lim -2 -2 2 lim

-2 2.

x b

b bbe e e

e

+ +→ →⎡ ⎤= = +⎣ ⎦

= +

L'intégrale impropre converge. 41. Pour ,0sin ,0 ≥≤< tt π de sorte que ttt ≥+ sin et, puisque chaque membre de l'inégalité

est positif .1sin

10ttt

≤+

De plus, ∫π

0 tdt converge (voir l'exercice 37).

Il s'ensuit que ∫ +

π

0 sin ttdt converge par le test de comparaison directe entre intégrales.

42. ∫ ∫ −=

− +→

1

0

1

0 sinlim

sin bb tt

dttt

dt

Posons ( ) ( ) .1et sin1

3ttg

tttf =

−=

Alors, ( )( ) .6

cos6lim

sin6lim

cos13lim

sinlimlim

0

..

000

..

00

2

0

..

00

3

00===

−=

−=

→→→→→ ttt

tt

ttt

tgtf

t

HR

t

HR

t

HR

tt

Mais ,2

1-lim21-

21-lim lim 20

1

20

1

0

13-

03 ∞=−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

+++ →→→∫ ∫ btdtt

tdt

bbbb

b d'où cette intégrale impropre diverge.

Il s'ensuit que ∫ −

1

0 sin ttdt diverge par le test de comparaison entre intégrales par une limite.

Page 135: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

560 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

43. ∫ ∫ ∫ −+

−=

2

0

1

0

2

1222 111 x

dxx

dxx

dx

Or ( )( ) ,1111

11

12 x

Bx

Axxx +

+−

=+−

=−

de sorte que ( ) ( ) ( ) ( ).111 BAxBAxBxA ++−=−++=

Nous avons .21et 21 ,1où d' ,1et ,où d' ,0 ===+=+==− ABBBBABABA

1

2 21 10 0 0 0

1 0

10

1 1Ainsi, lim lim2 1 2 11 1

1 1 lim - ln 1 ln 1 2 2

1 1 lim ln 2 1

b b b

b b

b

b

b

b

dx dx dx dxx xx x

x x

xx

− −

→ →

⎡ ⎤= = +⎢ ⎥

− +− − ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤+= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

1

1 1 lim ln ln1 .2 1b

bb−→

⎡ ⎤+= − = ∞⎢ ⎥−⎣ ⎦

L'intégrale ∫ −

1

021 x

dx diverge donc, d'où ∫∫∫ −+

−=

2

12

1

02

2

02 111 x

dxx

dxx

dx diverge aussi (voir la page 233).

44. ∫∫∫ −+

−=

2

1

1

0

2

0 111 xdx

xdx

xdx

Or ( ) ( )- - -

1

01 1 10 0

lim lim -ln 1 lim -ln 1 ln1 ,1 1

bb

b b b

dx dx x bx x→ → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = − + = ∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −∫ ∫ d'où cette intégrale impropre

diverge.

Il s'ensuit que ∫ −

2

0 1 xdx diverge aussi.

Page 136: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 561

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

45. dxxdxxdxx ln ln ln1

0

0

1-

1

1-∫∫∫ +=

∫∫

+→=

=

1

0

1

0

1

0

. lnlim2 ln2=

paire)fonction uneest ln (puisque ln2

bb

dxxdxx

xdxx

Posons .et ln dxdvxu == Alors ,et 1 xvdxx

du == d'où

[ ]

[ ]

( )

1 11

0-1

1

0

0

0

ln 2 lim ln

2 lim ln

2 lim 1ln1 1 ln

2 -1 lim ln .

bb b

bb

b

b

x dx x x dx

x x x

b b b

b b

+

+

+

+

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= −

⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

Or .0lim1-1lim

1lnlimlnlim

020

..

00=−===

++++ →→∞∞→→b

bb

bbbb

bb

HR

bb

Nous avons donc [ ]1

-1

ln 2 -1 0 -2.x dx = − =∫

L'intégrale impropre converge.

46. ( )1 0 1

-1 -1 0

- ln - ln - - ln x x dx x x dx x x dx⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ ∫ ∫ .

Intégrons par parties. Posons ( ) dxxdvxu -et -ln == dans la première intégrale du membre de

droite. Alors .2

-et 1 -1-1 2xvdx

xdx

xdu ==⋅=

Ainsi, ( ) ( ) ( ) .4

-ln2

- 12

--ln2

- -ln-2222 xxxdx

xxxxdxxx +=⋅⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅= ∫∫

Dans la deuxième intégrale, , -et ln dxxdvxu == d'où ,2

-et 1 2xvdxx

du == , de sorte que

.4

ln2

- 12

-ln2

- ln-2222 xxxdx

xxxxdxxx +=⋅−= ∫∫

Page 137: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

562 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Nous avons ( )- +

1 1

0 0-1 -1

- ln lim - ln - lim - ln b

b c c

x x dx x x dx x x dx→ →

⎡ ⎤= +⎣ ⎦∫ ∫ ∫

( )

( ) .4

ln2

-lim410

410

4-ln

2-lim

4ln

2-lim

4-ln

2-lim

22

0

22

0

122

01-

22

0

+-

+-

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−++−−⎥

⎤⎢⎣

⎡+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥

⎤⎢⎣

⎡+=

→→

→→

cccbbb

xxxxxx

cb

cc

b

b

Or ( ) ( ) .04

lim41lim

2--lnlim-ln

2-lim

2

030

..

20

2

0 ----====

→→∞∞→→

bbb

bbbb

bb

HR

bb

Par un raisonnement analogue, il peut être démontré que ( ) .0ln2

-lim2

0=

+→cc

c

Nous obtenons finalement (enfin !)

( ) ( ) .000410

41000 ln-

1

1-

=+−++−−+=∫ dxxx

Mise en garde : Même si la fonction ( ) ln- xxxf = est une fonction impaire, nous ne pouvons

appliquer ici la propriété ( )∫ =a

a

dxxf-

0 sans nous assurer d'abord que les intégrales impropres

( ) ( )dxxfdxxfa

a

et 0

0

-∫∫ sont convergentes.

47. ,1et 1pour 0 333 xxxx ≥+∞<≤> de sorte que .11

10 33 xx≤

+≤ Or ∫

13x

dx converge (voir

l'exemple 4, page 231). Par conséquent ∫∞

+13 1xdx converge aussi selon le test de comparaison

directe entre intégrales (voir la page 242).

48. 01 >−x pour ,1et 4 xxx ≤−∞<≤ de sorte que .11

1xx

≥−

Or [ ] ,422lim21

lim 1lim 1

4

21

44

∞=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

→∞→∞→∞

∫∫ bxdxx

dxx b

b

b

b

b de sorte que cette intégrale impropre

diverge.

Page 138: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 563

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Par conséquent, l'intégrale impropre ∫∞

−4 1xdx diverge aussi selon le test de comparaison directe

entre intégrales.

49. 2

2 2

lim lim 2 lim 2 2 2b b

b b b

dv dv v vv v

→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = − = ∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

Donc cette intégrale impropre diverge.

De plus, ,111

1lim11

lim1

lim11

1

lim =−

=−

=−

=−→∞→∞→∞→∞ vvv

vv

v

v

vvvvv

de sorte que

dvv

1

1

2∫∞

− diverge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par une limite (voir la

page 237).

50. ,24

44-lim21-

2lim 2lim 2

4

21-

423

423 =−⎥

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎤⎢⎣

⎡==

∞→∞→∞→

∫∫ bt

tdt

tdt

b

b

b

b

b d'où cette intégrale impropre converge.

De plus, ( ) 101

111

lim21

2lim21

2

lim 2323

2323

23

23

23=

−=

−=⋅

−=−

∞→∞→∞→ tttt

tt

tttt

, de sorte que ∫∞

−423 1 2

tdt

converge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par une limite.

51. ∫ ∫ ∫ ∫∫∞ ∞∞

++

<+

++

=+

1

0 1

1

0 13666

06 1111 x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx puisque ,1 366 xxx =>+ de sorte que

.1

1

136 xx

<+

Or ,01

1

06∫ ≥

+x

dx puisque la fonction [ ]0,1sur 01

16

≥+x

(voir l'exercice 28, page 28).

Page 139: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

564 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

De plus, [ ],0,1 intervallel'sur 11

16

≤+x

d'où ( )∫ =−⋅≤+

1

06

10111x

dx selon l'inégalité max-min pour

les intégrales définies (voir la page 23). Donc, ∫+

1

06 1x

dx est comprise entre 0 et 1.

Finalement, 21

131 1

13 =

−=∫

dxx

(voir l'exercice 4 page 237) de sorte que

∫∞

=+<+

<0

6 23

211

10

x

dx et qu'elle converge.

52. [ ] [ ] ,2lnlnlimlnlim 1lim 12

22

∞=−===→∞→∞→∞

∫∫ bxdxx

dxx b

b

b

b

b d'où cette intégrale impropre diverge.

De plus, ,111

1lim11

lim1

lim11

1

lim222

2=

−=

−=

−=−

∞→∞→∞→∞→ xxx

x

x

x

x

xxxxx

de sorte que

∫∞

−22 1

x

dx diverge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par une limite.

53. 21

23

1 1 1

231

2 =−

== ∫∫∞∞

dxx

dxx

x (voir l'exercice 4 p. 237)

Donc cette intégrale impropre converge.

De plus, ,111

1lim11

lim1

lim1

lim

2

2=

+=

+=

+=

+ ∞→∞→∞→∞→

xxx

xx

x

xxx

x

xxxx de sorte que

dxxx 1

12∫

∞ + converge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par une limite (voir la

page 243).

Page 140: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 565

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

54. [ ] [ ]2 242 2 2

1 lim lim lim ln lim ln ln 2 ,b b

b

b b b b

x dx x dx dx x bxxx

→∞ →∞ →∞ →∞= = = = − = ∞∫ ∫ ∫ d'où cette intégrale

impropre diverge.

De plus, ,111

1lim11

lim1

lim1

1

lim442

2

4

4

4

4=

−=

−=

−=−

→∞→∞→∞→∞ xxx

x

x

x

x

xx

xxxx de sorte que

∫∞

−24 1

x

dxx diverge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par une limite.

55. .pour 012coset 12cosoù d' -1,cos π≥≥≥+

≥+≥ xxx

xxx

Or [ ] [ ]lim lim ln lim ln ln ,b

bπb b b

π π

dx dx x b πx x

→∞ →∞ →∞= = = − = ∞∫ ∫ d'où cette intégrale impropre diverge.

Il en résulte que dxx

x cos2∫∞ +

π

diverge aussi selon le test de comparaison directe entre intégrales

(voir la page 236).

56. ,1sin1- ≤≤ x d'où 222sin10et 2sin10xx

xx ≤+

≤≤+≤ pour .π≥x

Or ,22022-lim2-lim 2lim 222 ππππππ

=+=+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==

∞→∞→∞→

∫∫ bxdx

xdx

x b

b

b

b

b d'où cette intégrale

impropre converge. Il en résulte que dxx

x sin12∫

∞ +

π

converge aussi selon le test de comparaison

directe entre intégrales.

57. 0et 1 ≥≥+ θθθ eee pour tout .11

10où d' , θθθee

≤+

Or - - - 00

0 0

lim lim - lim - 0 1 1b bθ θ b

θ b b b

dθ e dθ e e ee

→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = + = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ , de sorte que cette intégrale

impropre converge.

Page 141: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

566 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Il s'ensuit que θθ de

1

1

0∫∞

+ converge aussi selon le test de comparaison directe entre intégrales

(voir la page 236).

58. xx

xxx 1ln10et ln >⇒>< .

Or [ ] [ ]22 2

1 1 lim lim ln lim ln ln 2 ,b

b

b b bdx dx x b

x x

→∞ →∞ →∞= = = − = ∞∫ ∫ d'où cette intégrale impropre diverge.

Il en résulte que dxx

ln1

2∫∞

diverge aussi selon le test de comparaison directe entre intégrales.

59. ,1pour 1 >≥ xex de sorte que .10x

ex

x

≤≤

Or ∫∞

1 xdx diverge (voir l'exemple 4 pages 231 et 232), de sorte que ∫

1

dxx

ex

diverge aussi selon le

test de comparaison directe entre intégrales (voir la page 236). 60. Posons ,ln xy = d'où .yex = Alors .et , ∞→⇒∞→=⇒== yxeyexdyedx ey

Ainsi, ( ) . ln lnlne

dyeydxxe

y

e∫∫∞∞

=

Comme 0lnet 1 >> ye y pour .0lnln , >>≥ yyeey y

Or [ ]ln lim ln lim lnb

beb b

e e

y dy y dy y y y∞

→∞ →∞= = −∫ ∫ (voir l'exemple 7 page197)

[ ] ( )

( ) ( )

lim ln

lim ln 1 lim lim ln 1 ,b

b b b

b b b e e

b b b b→∞

→∞ →∞ →∞

= − − −

⎡ ⎤= − = ⋅ − = ∞⎣ ⎦

d'où cette intégrale impropre diverge. Il en résulte que ( )dxxdyeye

y

e

lnln lne∫∫∞∞

= diverge aussi,

selon le test de comparaison directe entre intégrales.

Page 142: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 567

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

61. - 2 - 2 - 2 -1 2 -1 21

1 1

2lim lim -2 lim -2 2 0 2 ,b bx x b

x b b b

dx e dx e e e eee

→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = + = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ d'où cette intégrale

impropre converge.

De plus, ,101

1

1

1lim1

limlim1

1

lim =−

=−

=−

=−

=−∞→∞→∞→∞→

x

x

xx

x

xx

x

x

x

x

x

ex

exe

e

xe

e

e

xe

puisque .01limlim..

==∞→∞∞∞→ xx

HR

xx eex

Il s'ensuit que ∫∞

−1 xe

dxx

converge aussi selon le test de comparaison entre intégrales par

une limite (voir la page 243).

62. ∫∞

1xe

dx converge (voir la solution de l'exercice 61).

De plus, ,101

1

21

1lim21

lim2

lim1

2

1

lim =−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=−

=−∞→∞→∞→∞→ xxx

x

x

xx

x

x

x

xx

x

eee

e

xe

e

e

e

car .02lim12=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒<

∞→

x

x ee Il s'ensuit que dx

e xx

2

1

1∫∞

− converge aussi selon le test de

comparaison entre intégrales par une limite.

63. ∫∫∞∞

∞ +=

+ 04

-4 1

21 x

dx

x

dx (puisque 1

14 +x

est une fonction paire).

Par ailleurs, ,1111

1

0 1

1

0 12444

04 ∫ ∫ ∫ ∫∫

∞ ∞∞

++

<+

++

=+ x

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

dx puisque ,1 244 xxx =>+

de sorte que .1

1

124 xx

<+

Page 143: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

568 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Or ,01

1

04

≥+

∫x

dx puisque la fonction [ ]1,0sur 01

14

≥+x

(voir l'exercice 28, page 28).

De plus, [ ]1,0 intervallel'sur 11

14

≤+x

d'où ( ) 10111

1

04

=−⋅≤+

∫x

dx selon l'inégalité max-

min pour les intégrales définies (voir la page 23).

Donc, ∫+

1

04 1x

dx est comprise entre 0 et 1.

Finalement, 112

1 1

12 =

−=∫

dxx

(voir l'exercice 4, page 237), de sorte que

2111

00

4=+<

+< ∫

x

dx et que ,4221

0-

4=×<

+< ∫

∞ x

dx et que cette intégrale impropre

converge.

64. Comme xx ee -1+

est une fonction paire, ∫∫∞∞

∞ +=

+ 0-

-- 2 xxxx ee

dxee

dx à condition que

∫∞

+0-xx ee

dx converge.

,0- >>+ xxx eee de sorte que .110 - xxx eee<

+<

De plus, -00

0 0

1 1 -1 1 lim lim - lim 0 1 1.b bx

x x bb b bdx dx e

e e e e

→∞ →∞ →∞

⎡ ⎤⎡ ⎤= = = + = + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

Il s'ensuit que ∫∞

+0-xx ee

dx converge aussi selon le test de comparaison directe entre

intégrales, ce qui entraîne aussi la convergence de .2-

-0

- ∫∫∞

+=

+ xxxx eedx

eedx

65. a) Posons .ln xt = Alors ,1xdx

dt= de sorte que .1 dtdx

x= De plus, 0=t lorsque

2lnet 1 == tx lorsque .2=x

Page 144: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 569

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

( ) ∫∫∫ +→

==2ln

-

0

2ln

0

2

1

lim 1ln

Ainsi,b

p

bpp dttdttxx

dx

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

−−

−=⎥

⎤⎢⎣

⎡+

=−−

+

→ ++ pb

ppt pp

bb

p

b 112lnlim

1-lim

11

0

2ln1-

0 pour 1≠p .

Or .1pour -1

limet 1pour 01

lim1

0

1

0>∞=

−<=

→ ++p

pbp

pb p

b

p

b

Finalement, pour [ ] ( )ln 2

ln 200 00

11, lim ln lim ln ln 2 ln -b b

p dt t bt + +→ →

⎡ ⎤= = = − = ∞⎣ ⎦∫ , d'où

l'intégrale diverge.

Par conséquent, ( )∫

2

1 ln pxxdx converge pour 1<p et diverge pour 1≥p .

b) Comme en a), nous posons .ln xt =

( ) ∫∫∫ ∞→

∞∞

==b

p

bpp dttdttxx

dx

2ln

-

2ln2

lim 1ln

( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

−−

−=⎥

⎤⎢⎣

⎡+

=−−

→∞

+

→∞ ppb

pt pp

b

bp

b 12ln

1lim

1-lim

11

2ln

1-

pour 1≠p .

Or .1pour 01

limet 1pour 1

lim11

>=−

<∞=−

→∞

→∞p

pbp

pb p

b

p

b

Finalement, pour [ ] [ ]ln 2ln 2

11, lim ln lim ln ln 2 ,b

b bp dt t b

t

→∞ →∞= = = − = ∞∫ d'où

l'intégrale diverge.

Par conséquent, ( )∫

2 ln pxxdx converge pour 1>p et diverge pour .1≤p

66. ( ) ( )2 22 2 0

0 0

2 2 lim lim ln 1 lim ln 1 ln11 1

b b

b b b

x dx x dx x bx x

→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = + − = ∞⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ +∫ ∫

Il s'ensuit que ∫∞

∞ +-2 1 2

xdxx diverge par la définition 3.6.1, 3e cas.

Cependant, ( ) ( ) ( )2 2 22 -

-

2 lim lim ln 1 lim ln 1 ln 1 lim 0 0.1

b b

b b b bbb

x dx x b bx→∞ →∞ →∞ →∞

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + − + = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦+∫

Page 145: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

570 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

67. - - - 00

0 0

lim lim - lim - 0 1 1b bx x x b

b b bA e dx e dx e e e

∞−

→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = + = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫

68. Méthode des tubes :

[ ][ ]

. 2lim

2

du tubehauteur du tube ncecirconfére

0

-

0

-

dxex

dxex

dxV

bx

b

x

∞→

=

=

=

π

π

Évaluons dxex x -∫ par parties.

Posons . et - dxedvxu x==

Alors ,-et -xevdxdu == de sorte que .- -- ----- xxxxx eexdxeexdxex −=−= ∫∫

( )( )( )

- -0

- -

lim 2 -

2 lim - 0 1

2 0 0 0 1 2 ,

Doncbx x

b

b b

b

V π xe e

π be e

π π

→∞

→∞

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦

= − − + =

puisque .01-lim-lim-lim..

- ===∞→∞∞∞→∞→ bb

HR

bb

b

b eebeb

69. ( )[ ] ( ) dxedxxRVb

x

b lim

0

2-

0

2 ∫∫ ∞→

== ππ

b

x

b

bx

bedxe

0

2-

0

2-

21-lim lim ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==

∞→∞→ ∫ ππ

22

1021

21-lim 02 πππ =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ += −

∞→ee b

b

Page 146: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 571

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

70. ( )∫ −=2

0

tansecπ

dxxxA

( )-

-

-

-

-

2 0

02

20

02

2

lim sec tan

lim ln sec tan ln sec

sec tanlim ln sec

lim ln 1 sin

lim ln 1 sin ln 1 sin 0 ln 2

b

b π

b

b π

b

b π

b

b π

b π

x x dx

x x x

x xx

x

b

= −

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

⎡ ⎤+= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − + =⎣ ⎦

71. ∫∫∫∞∞∞

−−

≠⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− 333 2 1

21

xdx

xdxdx

xx. En effet, l'intégrale à la gauche du signe ≠ converge, alors

que chacune des intégrales à droite diverge.

72. a) ( ) ( ) ( ) , --

dxxfdxxfdxxfb

a

ab

∫∫∫ +=∞∞

( ) ( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxfdxxfb

a

b

aab

et ∫∫∫∫ −=∞∞

existe puisque ( )xf est intégrable sur tout

intervalle [ ]. , ba

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfa

b

a

b

a

a

a

a

--

∫∫∫∫∫∫∞

+−+=+

( ) ( ) ( )

( ) ( )dxxfdxxf

dxxfdxxfdxxf

b

ba

a

b

b

-

-

∫∫

∫∫∫∞

+=

++=

1

xy sec =

xy tan =x

y

Page 147: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

572 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

73. a) 9-9-9-3-

3

3-

3

3-

3

3-

31

310

31

31-lim

31-lim lim eeeeedxedxe b

b

bx

b

bx

b

x =+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==

∞→∞→∞→

∫∫

000042,00000411,0 <≈ .

Si ,3>x alors ,et 3- ,3 3--22 2 xx eexxxx ≤<−> de sorte que

.000042,0 3 3

3-- 2<<∫ ∫

∞ ∞

dxedxe xx

Comme , 3

-

0

3

0

-- 222

∫∫ ∫∞∞

+= dxedxedxe xxx l'intégrale ∫∞

0

- 2

dxe x peut être remplacée par

dxe x 3

0

- 2

∫ sans que l'erreur introduite soit plus grande que 0,000042.

b) .88621,0 3

0

- 2≈∫ dxe x

Exercices réalisés avec Mathématica

74. Fonction sinus intégral

a) [ ] [ ]x

0

Sin tSI x : = dt

t∫

[ ] { } { } { }

[ ] { } { }

[ ] [ ] { } { } { }

Sin tTracer , t, 0, 25 , Style bleu , Image -0.3, 1

t

Tracer SI x , x, 0, 25 , Style vert

Sin xTracer , SI x , x, 0, 25 , Style bleu, vert , Image -0.3, 2

x

⎡ ⎤→ →⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤→⎣ ⎦

⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪→ →⎢ ⎥⎨ ⎬⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦

b) [ ] dt t

tSin0∫∞

[ ] { } { }⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡→

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ vertrouge,Style ,50 0, x, ,xSI ,

2Tracer π

Page 148: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 573

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

75. Fonction erreur

a) Cette fonction est déjà offerte dans Mathématica sous le nom [ ].xErf

[ ]

[ ] { } { }

2-tx

0

2F x_ : = dt

Tracer F x , x, 0, 25 , Image 0, 1.25

⎡ ⎤→⎣ ⎦

b) dt 20

-t2

∫∞

πe

[ ][ ]

[ ]x

Erf 0

Erf

lim F x→∞

76. a) [ ]2-x

21f x_ : = 2

[ ] { }[ ]

[ ][ ]{ }

Tracer f x , x, -3, 3

Croissance = Résous f x 0, x

Décroissance = Résous f x 0, x

Maximum - 0, f 0

⎡ ⎤⎣ ⎦

′⎡ ⎤>⎣ ⎦

′⎡ ⎤<⎣ ⎦

b) [ ] { }n

-nValeursDemandées = Table f x dx, n, 1, 3⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦∫

[ ]andéesValeursDemN Explorer les intégrales de [ ]xLogpx

77. [ ] { }⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∫

e

0p 3 3,- p, dx, xLogxTable

[ ]

[ ] { } { } { }

{ }

p0

p

x Log x dx

Tracer Table x Log x , p, -3, 3 , x, 0, , Image -2, 2 ,

Style rouge, vert, bleu, jaune, noir, cyan, rouge

e

e⎡ ⎡ ⎤ →⎣ ⎦⎣

⎤→ ⎦

Page 149: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

574 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

78. [ ] { }pTable x Log x dx, p, -3, 3e

∞⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦∫

[ ]

[ ] { } { }

{ } { }

p

p

x Log x dx

Tracer Table x Log x , p, -1, 1, 0.5 , x, e, 10 ,

Image 0, 5 , Style rouge, vert, bleu, jaune, noir

e

⎡ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣

⎤→ → ⎦

79. [ ] { }p0

Table x Log x dx, p, -3, 3∞⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦∫

[ ]

[ ] { } { }

{ } { }

p0

p

x Log x dx

Tracer Table x Log x , p, -2, 2 , x, 0, 5 ,

Image -5, 5 , Style rouge, vert, bleu, jaune, noir

⎡ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣

⎤→ → ⎦

80. [ ] { }p-

Table x Log Abs x dx, p, -3, 3∞

∞⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦∫

[ ]

[ ] { } { }

{ } { }

p-

p

x Log Abs x dx

Tracer Table x Log Abs x , p, -2, 2 , x, -5, 5 ,

Image -5, 5 , Style rouge, vert, bleu, jaune, noir

∞⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦⎣

⎤→ → ⎦

Exercices réalisés avec Maple 6

74. a) Commandes Maple

f:=unapply(int(sin(t)/t,t=0..x),x):

Page 150: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 575

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

b) Commande Maple

Limit(Int(sin(t)/t,t=0..x),x=infinity)=limit(int(sin(t)/t,t=0..x),x=infinity);

= lim → x ∞

d⌠

⎮⎮⎮⎮0

x( )sin tt t

12 π b

75. a)

b)

76. a)

b)

c)

et = lim

→ b ∞d⌠

⌡⎮⎮

b

e( )− /1 2 x

x 0

= l i m → x ∞

d ⌠

⎮ ⎮⎮⎮⎮⎮ 0

x

2 e ( ) − t 2

π t 1

= d ⌠

⌡ ⎮ - 1

1 f x . 6 8 2 6 8 = d⌠

⌡ ⎮ - 2

2

f x .95450 = d⌠⌡⎮-3

3

f x .99730

Page 151: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

576 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

77. Commandes Maple

seq(["p "=p/2,Int(x^(p/2)*ln(x),x=0..exp(1))=int(x^(p/2)*ln(x),x=0..exp(1))],p=1..4);

seq(["p"=-p/2,Int(x^(-p/2)*ln(x),x=0..exp(1))=int(x^(- p/2)*ln(x),x=0..exp(1))],p=1..4);

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡==⋅

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡== ∫∫

ee

edxxxedxxx0

2

0

23

41 ln ,1"p"

92 ln ,

21"p"

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡==⋅

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡== ∫∫

ee

edxxxedxxx0

32

0

2523

92 ln ,2"p"

256 ln ,

23"p"

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡∞==⋅

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡== ∫∫

ee

dxxxedx

xx

00

21 - ln ,1-"p"2- ln ,21-"p"

( )

( )( )

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡∞==⋅

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡∞== ∫∫

ee

dxx

xdxx

x

02

023 - ln ,2-"p"- ln ,

23-"p"

L’intégrale ∫e

p dxxx0

ln converge pour des valeurs de ] [∞∈ 1,-p

78. ( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡∞==⋅

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡∞== ∫∫

∞∞

e

ln ,1"p" ln ,21"p" dxxxdxxx

e

( ) ( ) ( )3 2 23"p" , ln "p" 2, ln 2 e e

x x dx x x dx∞ ∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = ∞ ⋅ = = ∞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡∞==⋅

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡∞== ∫∫

∞∞

e

ln ,1"p" ln ,21"p" dxxxdxxx

e

( ) ( ) ( )3 2 23"p" , ln "p" 2, ln 2 e e

x x dx x x dx∞ ∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = ∞ ⋅ = = ∞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫

L’intégrale ∫∞

e

p xdxx ln converge pour des valeurs de ] [1- ,- ∞∈p

Page 152: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices 3.5 page 577

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

79. ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡∞==⋅

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡∞== ∫∫

∞∞

00

23 ln ,1"p" ln ,21"p" dxxxdxxx

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡∞==⋅

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡∞== ∫∫

∞∞

0

2

0

23 ln ,2"p" ln ,23"p" dxxxdxxx

( ) ( )⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡==⋅

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡∞== ∫∫

∞∞

00

ln ,1-"p" ln ,21-"p" undefineddx

xxdx

xx

( )

( )( )

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡∞==⋅

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡∞== ∫∫

∞∞

02

023 - ln ,2-"p"- ln ,

23-"p" dx

xxdx

xx

L’intégrale ∫∞

0

ln dxxx p ne converge pas.

80. Graphiques de l’intégrande pour différentes valeurs de p

Page 153: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

578 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Exercices récapitulatifs

1. Posons .94 2 −= xu Alors . 81 et 8 dudxxdxxdu ==

( )3 2 3 22 1 2 21 1 14 9 4 9

8 8 3 2 12ux x dx u du C x C− = = + = − +∫ ∫

2. Posons .12 += xu Alors . 21et 2 ,

21 dudxdxduux ==

−=

( )

( ) ( )

1 2 1 2 3 2 1 2

5 2 3 2

5 2 3 2

1 1 12 1 2 2 4

14 5 2 3 2

2 1 2 110 6

ux x dx u du u du u du

u u C

x xC

−⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ = = −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

+ += − +

∫ ∫ ∫ ∫

3. Posons .18 2 += xu Alors . 161 et 16 dudxxdxxdu ==

CxCuduux

dxx++=+⋅==

+∫∫ 18

81

21161

161

18

221

21-2

4. Posons .25 2yu += Alors . 21 et 2 dudyydyydu ==

( ) CyCuduuy

dyy++=+==

+∫ ∫ 22 25ln

21 ln

21 1

21

25

5. Posons .49 4tu −= Alors . 161- et 16- 33 dudttdttdu ==

CtCuduut

dtt+−=+==

−∫∫ 4

2121-

4

3

4981-

21161-

161-

49

Page 154: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 579

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

6. Posons .135 += zu Alors . 53 et

35 3232 dudzzdzzdu ==

( )

( )

5 32 32 3 5 3 2 3

5 35 3

3 31 5 5 5 39 125

uz z dz u du C

z C

+ = = +

= + +

∫ ∫

7. Posons .2cos1 θ−=u Alors ( ) . 21 2sinet 22sin dudddu =⋅= θθθθ

( ) ( )

-1-2

2sin 2 1 1 1 -

2 2 -1 2 1 cos21 cos2θ dθ uu du C C

θθ= = + = +

−−∫ ∫

8. Posons .2sin1 tu += Alors . 21 2coset 2cos2 dudttdttdu ==

cos2 1 1 1 ln 1 sin 2 2 2

1 ln 1 sin 2 2

t dt du u Ct u

t C

= = ++

= + +

∫ ∫

9. Posons .2cos xu = Alors ( ) . 21- 2sinet 22sin- dudxxdxxdu =⋅=

CeCeduedxex xuux +=+== ∫∫ 2cos2cos

21-

21-

21- 2sin

10. Posons .θeu = Alors . θθ dedu =

( ) ( ) CeCuduudee +=+==∫∫ θθθ θ tantan sec sec 22 . 11. Posons .1−= xu Alors .dxdu =

CCdudxxu

ux +=+==−

− ∫∫ 2ln2

2ln2 2 2

11 .

Page 155: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

580 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

12. Posons .lnvu = Alors . 1 dvv

du =

CvCuduuvv

dv+=+== ∫∫ ln ln ln 1

ln

13. Posons .tan 2 xarcu += Alors . 1

12 dx

xdu

+=

( )( )2

1 ln ln 2 tan 1 2 tan

dx du u C arc x Cux arc x

= = + = + ++ +∫ ∫

14. Posons .2xu = Alors . 2 dxdu =

CxarcCuarcu

du

x

dx+=+=

−=

−∫∫ 2sin sin

141

222

15. ∫∫∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=− 2

22

431

41

169116916

t

dt

t

dt

t

dt

Posons .43 tu = Alors dtdudtdu

41

31et

43

==

CtarcCuarcduut

dt+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+=

−=

−∫ ∫ 4

3sin 31sin

31

1

131

916 22

16. .

91

91

9 22 ∫∫+

=+ t

dtt

dt Posons .3tu = Alors . 3et

31 dudtdtdu ==

CtarcCuarcu

dut

dt+=+=

+=

+ ∫∫ 3tan

31tan

31

1 3

91

9 22

17. ∫∫∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=− 2

222

5425

4

2516255

4

16255

4

xx

dx

xx

dx

xx

dx

CxarcCxarc +=+⋅= 4

5 sec51

54 sec

45

254

Page 156: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 581

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

18. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 24 3 - 4 3 - 4 4 1 - 2 1 1 2x x x x x x x x⎡ ⎤− − = − + = − + − = − − = − −⎣ ⎦

Posons .2−= xu Alors .dxdu =

( )

( )∫∫ ∫ +−=+=−

=−−

=−−

CxarcCuarcu

du

x

dx

xx

dx 2sin sin 12134 222

19. ( ) 4244484 222 +−=++−=+− yyyyy

Posons .2−= yu Alors .dydu =

( )

CyarcCuarcu

duy

dyyy

dy+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

+−=

+− ∫∫∫ 22tan

21

2tan

21

24284 2222

20. ( ) 111122 222 −+=−++=+ vvvvv

Posons .1+= vu Alors .dvdu =

( ) ( ) ( )

CvarcCuarcuu

du

vv

dv

vvv

dv++=+=

−=

−++=

++∫∫∫ 1 sec sec

111121 222

21. CxxCxxdxxdxx ++=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

+=∫∫ 12

6sin26

6sin21

26cos1 3cos2

22. θθθθθθθθ ddd 2

sin2

cos1 2

sin2

sin 2

sin 223 ∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

Posons .2

cosθ=u Alors . 2- 2

sinet 21

2sin- dudddu =⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= θθθθ

( ) CuuCuuduud ++=+=+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−= ∫∫ 2

cos32

2cos2-

322-

32- 12-

2sin 3

3323 θθθθ

Page 157: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

582 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

23. ( )3 2 2 2tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 sec 2 1 tan 2 sec 2 tan 2 t dt t t dt t t dt t t dt t dt= = − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Posons .2tu = Alors . 21et 2 dudtdtdu ==

( )

23 2

2

1 1 1 tan 1tan 2 tan sec tan ln sec 2 2 2 2 21 1 tan 2 ln sec2 4 2

ut dt u u du u du u C

t t C

= − = ⋅ − +

= − +

∫ ∫ ∫

24. Cxxdxxx

dxxx

dx++=== ∫∫∫ 2cot2csc ln

21- 2csc

2sincossin2

25. ∫∫ =− x

dxxx

dx2cos

2sincos

222

Posons .2xu = Alors . 2 dxdu =

CxxCuuduuu

duxx

dx++=++===

− ∫∫∫ 2tan2sec ln tansec ln seccossincos

222

26. 2 2 2

224

4 4 4

csc 1 cot cot ln sin ln sin 2 ln sin 4 π π π

π

ππ π π

y dy y dy y dy y π π⎡ ⎤− = = = = −⎣ ⎦∫ ∫ ∫

2ln2

1ln1ln =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

27. 3 4 3 4 3 4

2

4 4 4

cot 1 csc csc π π π

π π π

t dt t dt t dt+ = =∫ ∫ ∫

( )

3 4

4-ln csc cot

3 3-ln csc cot ln csc cot 4 4 4 4

2 1-ln 2 1 ln 2 1 ln 2 1

2 1 2 1 3 2 2ln ln ln 3 2 22 12 1 2 1

π

πt t

π π π π

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

+⎡= − + + =⎣ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + += ⋅ = = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Page 158: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 583

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

28. 2 2 2

2

0 0 0

1 sin cos cos cos 2 2 2 2

π π π π

π

x x x xdx dx dx dx− = = −∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) 42002

2sin2sin20sin2

2sin2

2sin2

2sin2

2

0

=−−−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

ππππ

π

π xx

29. ( ) tttttttt 2222222 sin2sinsinsincos1sincos12cos1 =+=+−=−−=−

∫∫∫∫ ===−2

0

2

2-

2

2-

22

2-

sin 22 sin 2 sin2 2cos1ππ

π

π

π

π

π

dttdttdttdtt

(puisque sin t est une fonction paire de t, voir les exercices 1.5, numéro 85, page 67)

[ ]

( ) ( )

22

00

2 2 sin 2 2 -cos

2 2 -cos 2 cos0 2 2 0 1 2 2.

ππt dt t

π

= =

= + = + =

30. ∫∫∫∫∫ +===+π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

2

23

23222

2

cos2 cos2- cos 2 cos2 2cos1 dttdttdttdttdtt

[ ] [ ] ( ) ( )

( ) ( )( )

3 2 23 2- 2 sin 2 sin - 2 sin3 2 sin 2 sin 2 sin 3 2

- 2 -1 0 2 0 -1 2 2

π ππ πt t π π π π= + = − + −

= − + − =

31. ∫∫ ∫ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

+dx

xxdx

xdx

xx

214

441

4 2222

2

4 tan 2 tan2 2 2

x xx arc C x arc C⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

32. ∫ ∫∫∫ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

+ 222

3

9 9

99

9 xdxxdxxdx

xxxdx

xx

Posons 29 xu += dans la deuxième intégrale du membre de droite.

Alors . 21et 2 dxxdudxxdu ==

Ainsi, ( ) .9ln29

2 ln

29

2 1

29

92

22

2

3

CxxCuxduu

dxxdxx

x++−=+−=−=

+ ∫∫∫

Page 159: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

584 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

33. dyy

dyy

ydyy

y 2

1 4

2 412

2222 ∫∫∫ +−

+=

+−

Dans la première intégrale du membre de droite de l'égalité, nous posons ,42 += yu

de sorte que . 2 dyydu =

( ) .2

tan 214ln

2tan

21 ln

2tan

21 1

412 Ainsi,

2

2

Cyarcy

Cyarcu

Cyarcduu

dyy

y

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

+−

∫∫

34. ∫∫∫∫∫ ++

+=

++

+=

++ dy

ydy

yydy

ydy

yydy

yy

114

12

21

114

1

14

22222

( ) Cyarcy +++= tan 41ln21 2

35. dtt

dtt

tdtt

t 4

2 4

4

2222 ∫∫∫

−+

−=

+

( )

( )

Ctarct

Ctarct

dtt

dttt

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+−=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−=

−+⋅−= ∫∫

2sin 24-

2sin 2

214

2-1

4

12 2-42-

1

2

212

2

21-2

36. ( ) ( ) dtt

dtttdtt

dtt

tdttt

tt 1 2-1- 1 1

2 1

12 21-222

22

∫∫∫∫∫ +⋅−=+−

=−

−+

( )1 22

21

- ln -2 1 ln 1 2

tt C t t C

−= + + = − + +

Page 160: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 585

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

37. dxxxxx

xxx

xxdxx

sectansectan

sectan tan

sectan tan

−−

⋅+

=+ ∫∫

Cxxx

dxxxdxdxx

dxxxxdxxx

xxx

+++=

++=

−−=

−−

=

∫∫ ∫

∫∫

sectan-

tansec 1 sec-

1-

tansec1sec sectan

tansectan

2

2

22

2

38. Posons .32 += xu Alors . 21 et 2 dudxxdxxdu ==

( ) ( ) ( ) CxxCuuduudxxx ++++=++==+ ∫∫ 3cot3csc ln21- cotcsc ln

21- csc

21 3csc 222

39. Cxdxxdxx+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∫∫ 4

sin ln441

4cot4

4cot

40. Posons .1 xu −= Alors .-et 1 dudxux =−=

( ) ( )

( ) ( )

3 2 5 21 2 1 2 3 2

3 5

1 - 1 - -3 2 5 2

2 2- 1 13 5

u ux x dx u u du u u du C

x x C

⎛ ⎞− = − = − = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − + − +

∫ ∫ ∫

41. Posons , sec4 ,tan4 2 θθθ ddZZ == pour .22

- πθπ<<

( ) ( ) ( ) -3 2-3 2 -3 22 2 216 16 16 tan 16 1 tanZ θ θ⎡ ⎤+ = + = +⎣ ⎦

( ) ( )3 2 3 32

1 1 1 1 1 ,64 64 64sec sec sec θθθ

= = =

puisque 0sec >θ pour .22

- πθπ<<

Il s'ensuit que ( ) ∫∫∫ ==+ θθθθθ dddZZ cos

161

sec64 sec4 16 3

223-2

.1616

sin161

2C

Z

ZC ++

=+= θ

z

4

2 16 z+

θ

Page 161: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

586 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

42. Posons .tan5 θ=y Alors θθ ddy sec5 2= pour 22

- πθπ<< et

θθθθ sec5 sec 5tan15tan252525 222 ==+=+=+ y

puisque 0sec >θ pour .22

- πθπ<<

, 55

25 ln tansec ln sec

sec5 sec5

25

22

2Cyy

Cdd

y

dy++

+=++===

+∫ ∫∫ θθθθ

θθθ

ou encore .5lnoù , 25 ln 112 −=+++ CCCyy

43. Posons , cos ,sin θθθ ddxx == pour .22

- πθπ≤≤

θθ 2222 sin1sin1 −=− xx

,cossin cos sin 22 θθθθ == puisque 0cos >θ pour .22

- πθπ≤≤

Il s'ensuit que ∫∫ ∫ ==−

θθθθ

θθ dd

xx

dx csccossin cos

12

222

.1-cot-2

Cx

xC +−

=+= θ

44. Posons .sinθ=x Alors cos θθ ddx = pour 22

- πθπ<<

et θθθ cos cos sin11 22 ==−=− x

puisque 0cos >θ pour .22

- πθπ<<

CxxxarcC

Cddd

x

dxx

+−−=+−=

+−=−

===−

∫ ∫∫∫

2

22

2

2

121sin

21cossin

21

21

2sin41

21

22cos1 sin

cos cossin

1

θθθ

θθθθθθθ

θθθ

x1

2 1 x−

θ

y2 25 y+

5

θ

x

2 1 x−

1

θ

Page 162: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 587

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

45. Posons , tansec3 ,sec3 θθθθ ddxx == pour .2

0 πθ <<

( )2 2 29 9sec 9 9 sec 1 3 tan 3tan ,x θ θ θ θ− = − = − = =

puisque 0tan >θ pour .2

0 πθ <<

Il s'ensuit que ∫ ∫=− θ

θθθtan3

tansec3

92

d

x

dx

2

1 1

2 21

9sec ln sec tan ln 3 3

ln 9 ln3 ln 9 ,

x xθ dθ θ θ C C

x x C x x C

−= = + + = + +

= + − − + = + − +

où .3ln1 −= CC

Note : La restriction 2

0 πθ << ne modifie en rien la réponse. Vous pourrez vérifier, si vous en

avez la curiosité, que pour 2- 0, 9 -3tan2π θ x θ< < − = et 2

2-ln 9 .

9

dx x x Cx

= − − +−

Mais l'application de quelques lois algébriques vous convaincra sans peine que cette

réponse équivaut à la précédente.

46. Posons .secθ=x Alors θθθ ddx tansec= pour .2

0 πθ <<

θθθθ tan tan tan1sec1 222 ===−=−x puisque

0tan >θ pour .2

0 πθ <<

( )3 2 3 22

12 12sec tan 12cos tan sin1

dx θ θ dθ θ dθθ θx

= =−

∫ ∫ ∫

Posons .sinθ=u Alors . cos θθ ddu =

( )

-1-2

3 2 22

12 12 -12 -12 -1212 -1 sin 11

dx u xu du C C C Cu θ xx

= = + = + = + = +−−

∫ ∫

x

3

9 2 −x

x1 2 −x

1

θ

Page 163: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

588 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

47. Soit ( ) .et 1ln dxdvxu =+=

Alors et ,et 1

1 xvdxx

du =+

=

( ) ( )

( ) ( ) ( ) Cxxxxdxx

xx

dxx

xxxdxx

+++−+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−−+=

+−=+

∫∫

1ln1ln 1

111ln

1

1+ln 1ln

que nous pouvons aussi transformer en

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

.1où ,11ln1111ln11ln1

1

1

+=++−++=++−−++=+−++

CCCxxxCxxxCxxx

48. Posons . et ln 2 dxxdvxu == Alors .3

et 1 3xvdxx

du ==

CxxxCxxxdxxxxdxx

xxxdxxx +−=+−=−=⋅−= ∫∫∫ 9ln

3331ln

3

31ln

3 1

3ln

3 ln

33332

3332

49. Posons .et 3tan dxdvxarcu ==

Alors ( )

.et 913 3

311

22 xvdxx

dxx

du =+

=⋅+

=

∫ ∫ +−= dx

xxxarcxdxxarc 91

33tan 3tan 2

Posons maintenant .91 2xy += Alors . 61 3et 18 dydxxx

dxdy

==

( )2

1 1 tan 3 tan361 1 tan3 ln tan 3 ln 1 9 .6 6

arc x dx x arc x dyy

x arc x y C x arc x x C

= −

= − + = − + +

∫ ∫

50. Soit . ,2

cos dxdvxarcu =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= Alors . ,

4-

21

41

1-22

xvx

dxdxx

du =−

=⋅

=

∫∫−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

24

2

cos 2

os x

dxxxarcxdxxcarc

Page 164: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 589

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Posons .4 2xy −= Alors .21- et 2- dydxxdxxdy ==

Cxxarcx

Cyxarcxdyyxarcxdxxcarc

+−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∫∫2

2121-

42

cos

2121

2cos

21

2cos

2os

51. Procédons par intégration tabulaire.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

1 1 2 1 2

1 2 1 2

x x x x

x

x e dx x e x e e C

x x e C

+ = + − + + +

⎡ ⎤= + − + + +⎣ ⎦

52. Intégration tabulaire :

( ) ( )( ) ( )

2 2 sin 1 cos 1

2 sin 1 2cos 1 .

x x dx x x

x x x C

− = −

+ − − − +

53. Soit . et 2cos dxedvxu x==

Alors ∫ ∫+=== . 2sin22cos 2coset ,et 2sin2- dxexxedxxeevdxxdu xxxx

Soit . et 2sin dxedvxu x==

Alors 2cos2 et , et cos2 cos2 2 sin 2 2 cos2 ,x x x x xdu x dx v e e x dx e x xe e x dx⎡ ⎤= = = + −⎣ ⎦∫ ∫

d'où [ ]5 cos2 cos 2 2 sin 2 et cos2 cos2 2sin 2 .5

xx x x x ee x dx e x e x e x dx x x C= + = + +∫ ∫

54. Soit . ,3sin 2- dxedvxu x== Alors .21-et 3cos3 2- xevdxxdu ==

∫∫ += dxxexedxxe xxx 3cos233sin

21- 3sin 2-2-2-

Soit . ,3cos 2- dxedvxu x== Alors .21-et 3sin3- 2- xevdxxdu ==

Page 165: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

590 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

-2 -2 -2 -2

-2 -2 -2 -2

-2 -2 -2

-2 -2 -2

-1 3 -1 3sin 3 sin 3 cos3 sin 3 2 2 2 2-1 3 9sin 3 sin 3 cos3 sin 3 2 4 4

13 -1 3sin 3 sin3 cos34 2 4

-2 3sin 3 sin3 cos313 13

x x x x

x x x x

x x x

x x x

e x dx e x e x e x dx

e x dx e x e x e x dx

e x dx e x e x

e x dx e x e x C

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

= − −

= −

= − +

∫ ∫

∫ ∫

55. a) Posons .16 2yu −= Alors , 2- dyydu = d'où .21- dudyy =

CyCuduuy

dyy+−=+==

−∫ ∫ 2

2121-

216-

2121-

21-

16

b) Posons θθθ ddyy cos4 ,sin4 == pour .22

- πθπ≤≤

( )

2 2

2 2

16 16 16sin

16 1 sin 4 cos 4 cos 4cos ,

y θ

θ θ θ θ

− = −

= − = = =

puisque 0cos >θ pour .22

- πθπ≤≤

2

2

2

4sin 4cos Il s'ensuit que 4 sin -4cos4cos16

16-4

4

- 16 .

y dy θ θ dθ θ dθ θ Cθy

yC

y C

⋅= = = +

−= +

= − +

∫ ∫ ∫

56. a) Posons .4 2xu += Alors . 21 et 2 dudxxdxxdu ==

CxCuduux

dxx++=+==

+∫ ∫ 2

2121-

24

2121

21

4

b) Posons θθθ ddxx sec2 ,tan2 2== pour .22

- πθπ<<

θθθθ sec2 sec 2tan12tan444 222 ==+=+=+ x

y4

2 16 y−

θ

x2 4 x+

2

θ

Page 166: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 591

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

puisque 0sec >θ pour .22

- πθπ<<

CxCx

Cddx

dxx

++=++

=

+===+

∫∫ ∫

22

2

2

42

42

sec2 sectan2 sec2

sec2tan2

4

θθθθθθ

θθ

57. a) Posons .4 2xu −= Alors dxxdu 2-= et .21- dudxx =

CxCuduux

dxx+−=+==

−∫ ∫ 4 ln21- ln

21- 1

21-

4 2

2

b) Posons θθθ ddxx cos2 ,sin2 == pour .22

- πθπ≤≤

( )2 2 2 24 4 4sin 4 1 sin 4cos .x θ θ θ− = − = − =

( ) , 4 ln-

2ln 4 ln-

2

4 ln-

cos ln- cossin

cos4 cos2sin2

4 queensuit s' Il

212

12

1

2

122

Cx

Cx

Cx

Cddx

dxx

+−=

++−=

+−

=

+==⋅

=− ∫∫ ∫ θθ

θθ

θθθθ

. 4 ln21-2lnoù 2

1 CxCC +−=+=

58. a) Posons .14 2 −= tu Alors .8

et 8 dudttdttdu ==

CtCuduut

dtt+−=+==

−∫ ∫ 14

41

2181

81

14

221

21-2

b) Posons .sec2 θ=t Alors θθθθ ddtt tansec21et sec

21

==

pour .2

0 πθ <<

θθθ tan tan 1sec14 22 ==−=−t puisque 0tan >θ

x2

2 4 x−

θ

t21 4 2 −t

1

θ

Page 167: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

592 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

pour .2

0 πθ <<

2 22

1 1sec sec tan 1 1 12 2 sec tan 4 1tan 4 4 44 1

θ θ θ dθt dt θ dθ θ C t Cθt

= = = + = − +−

∫ ∫ ∫

59. Posons .9 2xu −= Alors dxxdu 2-= et .21- dudxx =

22

1 1 1 1- - ln - ln 9 ,2 2 29

x dx du u C x Cux

= = + = − +−∫ ∫

ou encore ( )1 222

1-ln 9 ln .9

x C Cx

⎛ ⎞− + = +⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

60. ( )2

1 ,3 39

A B Cx x xx x

= + +− +−

d'où ( ) ( ) ( )2 2 21 9 3 3 .A x B x x C x x= − + + + −

En assignant à x la valeur 0, nous obtenons .91=A

En assignant à x la valeur 3, nous obtenons .181=B

En assignant à x la valeur -3, nous obtenons .181-=C

Il s'ensuit que

( )2

2

2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ln 3 ln 3 9 18 3 18 3 9 18 189

1 12ln ln 3 ln 3 ln .18 18 9

dx dx dx dx x x x Cx x xx x

xx x x C Cx

= + − = − − − + +− +−

⎡ ⎤= − − − + + = +⎣ ⎦ −

∫ ∫ ∫ ∫

61. ( )( )2

1 1 ,3 3 3 39

A Bx x x xx

= = +− + − +−

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 3 3 3 3 .A x B x A B x A B= + + − = − + +

Nous avons donc ,133et ,où d' ,0 =+==− BABABA c'est-à-dire

.61où d' ,

61et 133 ===+ BAAA

2

1 1 1 1 1Par conséquent, - ln 3 ln 3 6 3 6 3 691 3 ln 6 3

dx dx dx x x Cx xx

x Cx

⎡ ⎤= + = − + + +⎣ ⎦− +−+

= +−

∫ ∫ ∫

Page 168: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 593

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

ou encore . 33 ln

61 C

xx

+−+

62. Posons .sin3 θ=x Alors θθ ddx cos3= pour .22

- πθπ≤≤

θθθ cos3 cos 3sin999 22 ==−=− x puisque

0cos >θ pour .22

- πθπ<<

CxarcCd

x

dx+=+==

−∫∫ 3

sin cos3

cos3

9 2θ

θθθ

63. ( )( )2 ,

2 1 2 13 2x x A B

x x x xx x= = +

− − − −− + d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 2 - 2 .x A x B x A B x A B= − + − = + + −

Nous avons donc - 2 0, d'où -2 , et 1,A B A B A B− = = + = d'où .2et -1 ,12- ===+ ABBB

Par conséquent, 2 1 12 2ln 2 ln 1 .

2 13 2x dx dx dx x x C

x xx x= − = − − − +

− −− +∫ ∫ ∫

64. ( ) ( )2 2

1 ,11 1

A B Cx xx x x

= + +++ +

d'où ( ) ( )21 1 1 .A x Bx x Cx= + + + +

En assignant à x la valeur 0, nous obtenons .1=A

En assignant à x la valeur -1, nous obtenons -1.=C

En assignant à x la valeur 1, nous obtenons ,13224 =+=++ BCBA d'où -1.=B

Il s'ensuit que

( ) ( )2 2

1 1 1 ln ln +1 ln .1 1 1 11 1

dx dx dx xdx x x C Cx x x x xx x x

= − − = − + + = + ++ + + ++ +

∫ ∫ ∫ ∫

65. Posons .cosθ=u Alors .2

-2coscos

sinet sin- 22 ∫∫ −+=

−+=

uududddu

θθθθθθ

Or ( )( )2

1 1 ,2 1 2 12

A Bu u u uu u

= = ++ − + −+ −

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 - 2 .A u B u A B u A B= − + + = + + +

Nous avons donc ,12-et ,-où d' ,0 =+==+ BABABA c'est-à-dire .31-et ,31ou 12 ===+ ABBB

x

2 9 x−

3

θ

Page 169: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

594 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

2 2sin Ainsi, -

cos cos 2 21 1 1 1- - 3 2 3 1

1 ln 2 ln 1 31 ln cos 2 ln cos 1 31 cos 2ln ,3 cos 1

θ dθ duθ θ u u

du duu u

u u C

θ θ C

θ Cθ

=+ − + −

⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − − +⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − − +⎣ ⎦

+= +

∫ ∫

∫ ∫

ou encore . 2cos1cos ln

31- C+

+−

θθ

66. ( )

2 2

3 22

3 4 4 3 4 4 ,11

x x x x A Bx Cxx x xx x

+ + + + += = +

+ ++

d'où ( ) ( ) ( )2 2 23 4 4 1 ,x x A x Bx C x A B x Cx A+ + = + + + = + + +

d'où ,3et 4 ,4 =+== BACA d'où -1.=B

( )

( )

2

3 2

2 2

2

- 43 4 4 1 4 1

1 2 14ln 4 2 1 114ln ln 1 4 tan .2

Il s'ensuit quexx x dx dx dx

xx x xxx dx dx

x x

x x arc x C

++ += +

+ +

= − ++ +

= − + + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫

67. ( ) ( )( )3 2

3 1 3 1 3 2 2 2 22 8 4

v v vdv dv dvv v vv v v v

+ + += =

+ −− −∫ ∫ ∫

Or ( )( )

3 ,2 2 2 2

v A B Cv v v v v v

+= + +

+ − + −

d'où ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 4 2 2 2 - 4 .v A v B v v C v v A B C v B C v A+ = − + − + + = + + + + −

Nous avons donc 4 3, d'où -3 4, 0, A A A B C− = = + + =

( )d'où - 3 4, et 2 - + 1, d'où - 1 2.B C A B C B C+ = = = + =

En additionnant les deux équations en B et en C, nous obtenons ,452 =C d'où

.8121et 85 =−== CBC

Page 170: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 595

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

( )

( )( )

3

56

5

6

3 1 3 1 1 1 5 1Il en résulte que - 2 4 8 2 8 22 81 -6ln ln 2 5ln 2

161 -ln ln 2 ln 2

16

2 21 ln .16

v dv dv dv dvv v vv v

v v v C

v v v C

v vC

v

+ ⎡ ⎤= + +⎢ ⎥+ −− ⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + + − +⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

+ −= +

∫ ∫ ∫ ∫

68. ( )( )4 2 2 22 2

1 1 ,4 3 3 13 1

At B Ct Dt t t tt t

+ += = +

+ + + ++ + d'où

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2 3 2 3 2

3 2

1 1 3 3 3

3 3 .

At B t Ct D t At Bt At B Ct Dt Ct D

A C t B D t A C t B D

= + + + + + = + + + + + + +

= + + + + + + +

Nous avons ,0=+CA d'où ,0 ,- =+= DBCA d'où ,03 ,- =+= CADB d'où ,03- =+ CC

d'où ,13 ,0 =+== DBAC d'où - +3D=1, 2 1, 1 2 et -1 2.D D D B= = =

4 2 2 21 1 1 1 - 2 24 3 3 11 1 1- tan tan2 23 3

1 1- tan tan .22 3 3

Ainsi, dt dt dtt t t t

tarc arc t C

tarc arc t C

= ++ + + +

⎛ ⎞= ⋅ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

69. ( )( )

3 2

2 22 2 ,

2 1 2 12 2x x x x A Bx x x

x x x xx x x x+

= + = + = + ++ − + −+ − + −

d'où

( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 - 2 .x A x B x A B x A B= − + + = + + +

Nous avons donc - 2 0, d'où 2 , et 2,A B A B A B+ = = + = c'est-à-dire

.34où d' ,32et 22 ===+ ABBB

( ) ( )3 2

2

2

4 2Par conséquent, 3 2 3 12

4 2 ln 2 ln 1 .2 3 3

x x dx x dxx xx x

x x x C

⎛ ⎞+= + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ −+ − ⎝ ⎠

= + + + − +

∫ ∫

Page 171: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

596 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

70. ( )( )

3 2

2 24 3 3

3 1 3 14 3 4 3x x x x A Bx x x

x x x xx x x x+

= − = − = + ++ + + ++ + + +

d'où

( ) ( ).313- +++= xBxAx

En assignant à x la valeur -1, nous obtenons .23=B

En assignant à x la valeur -3, nous obtenons .29-=A

. 1 ln

23 3 ln

29

2

1

123

31

29

344

2

2

23

queensuit s' Il

Cxxx

dxx

dxx

dxxdxxxxx

++++−=

++

+−=

+++

∫∫ ∫∫

71. ( ) ( ) ( )( )2432

8232

8224212

22

23

−++−=

−++−=

−++−+

xxxx

xxxx

xxxxx

( ) ,24

32−

++

+−=x

Bx

Ax

d'où ( ) ( ) ( ) ( )2 4 -2 4 .x A x B x A B x A B= − + + = + + +

Nous avons donc ,1et ,2où d' ,042- =+==+ BABABA

c'est-à-dire 2 1 ou 1 3, d'où 2 3.B B B A+ = = =

( ) ( ) ( )3 2

2

2

2 21 24 2 1Par conséquent, 2 3 3 4 3 22 8

2 1 3 ln 4 ln 2 .3 3

x x x dx x dxx xx x

x x x x C

⎛ ⎞+ − += − + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ −+ − ⎝ ⎠

= − + + + − +

∫ ∫

72. Posons .1+= xu Alors 21 , 2 et 1,2 1

du dx dx u du u xx

= = = ++

d'où .12 −= ux

( ) ( ) 22

2 2 1 3 11 33 1

dx u du duuu ux x

= =−−+

∫ ∫ ∫

Or ( )( )2

1 1 ,1 1 1 11

A Bu u u uu

= = +− + − +−

d'où ( ) ( )1 1 1 .A u B u= + + −

En assignant à u la valeur 1, nous obtenons .21=A

En assignant à u la valeur -1, nous obtenons .21-=B

Page 172: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 597

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

( )

2 1 1 1 1 2 1 1 ln 1 ln 1 3 2 1 2 1 3 2 23 1

1 1 1 1 1ln ln .3 1 3 1 1

Ainsi, dx du du u u Cu ux x

u xC Cu x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎣ ⎦+

− + −= + = +

+ + +

∫ ∫ ∫

73. Posons .seu = Alors .et udu

edudsdsedu s

s ===

Ainsi, ( )

.11s

ds duu ue

=−−∫ ∫

Or ( ) ,11

1−

+=− u

BuA

uu d'où ( ) ( )1 1 .A u Bu A B u A= − + = + −

Nous avons donc -1 et 0, d'où - =1.A A B B A= + = =

( )

1 1- -ln ln 1 1 11

1 1 ln ln

s

s

s

ds du du du u u Cu u u ue

u eC Cu e

= = + = + − +− −−

− −= + = +

∫ ∫ ∫ ∫

74. Posons .1+= seu Alors . 12

1 dsee

du s

s⋅

+=

,12 += seu d'où . 1

2et 1 22 du

uudsues

−=−=

( )( )

22

1 1 1ln ln 1 1 1

2 1 2 111

1 1 1 12 2 1 2 1

' 72

s

su eC Cu se

ds u du duuu ue

du duu u

voir l exercice

− + −= + = +

++ +

= =−−+

⎡ ⎤= −⎢ ⎥− +⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Page 173: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

598 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

75. Posons xu = . Alors .et 2 2 ,2

1 2uxduuduxdxxdx

du====

2

32

32

2 Par conséquent, 11

2 2 2 2 2 1 1

2 2 2ln 1 3

x dx u u duux

u du u u duu u

u u u u C

⋅=

++

⎛ ⎞= = − + −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

= − + − + +

∫ ∫

∫ ∫

( )3 22 2 2ln 1 .

3x x x x C= − + − + +

76. Posons .tanθ=x Alors θθ ddx sec2=

pour 22

- πθπ<< et .sec1tan1 222 θθ =+=+x

( ) ( )( )

( )

2 3

2 2 22 2

2

2 2

22

sec 1 cos sintan sec1 tan sec

1 sin cos cos sin cos sin sin

sinln sin ln 2 2 11

dx θ dθ θdθ dθθθ θx x θ θ

θ θ θdθ dθ θ θ dθθ θ

θ x xθ C Cxx

= = =+

−= = −

= − + = − +++

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

77. Posons .xu = Alors . 2et 2

1 dux

dxxdx

du==

Ainsi, ( ) .sin2sin2 cos2 cos CxCuduudxx

x+=+== ∫∫

78. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 2-2 - 2 - 2 1 1 - 1 1 1 1x x x x x x x x⎡ ⎤− = + = + + − = + − = − +⎣ ⎦

Posons .1+= xu Alors .dxdu =

( )

( )∫∫∫ ++=+=−

=+−

=−

CxarcCuarcu

du

x

dx

xx

dx 1sin sin 1112- 222

1 2 +x

1

Page 174: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 599

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

79. Posons , sec ,tan 2 θθθ dduu == pour .22

- πθπ<<

Ainsi, ,sec sec sectan11 222 θθθθ ===+=+ u

puisque 0sec >θ pour .22

- πθπ<<

2

2

2

sec sec sec1

ln sec tan ln 1 .

du θ dθ θ dθθu

θ θ C u u C

= =+

= + + = + + +

∫ ∫ ∫

80. dxxxdx

xxdx

xdx

xxx

sinsin

sincos

sin2

sinsincos2

2222 ∫∫∫∫ +−=+−

Cxxxx

dxxdxxxdxx

++−+=

+−= ∫ ∫ ∫ cotcsc lncsccot2-

csc cotcsc csc2 2

81. ( )( ) ( )( )( )4 22 2 2

9 9 9 ,3 381 99 9 9 3 3

Av B C Dv vv vv v v v v

+= = = + +

+ −− ++ − + + − d'où

( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 29 9 9 3 9 3 .Av B v C v v D v v= + − + + − + + +

En assignant à v la valeur 3, nous obtenons .121

1089

==D

En assignant à v la valeur -3, nous obtenons .121

1089

==C

En assignant à v la valeur 0, nous obtenons ,331ou 272799 DCBDCB ++=++=

d'où .211261331 =−=−−= DCB

Finalement, en assignant à v la valeur 1, nous obtenons ( ) ,402089 DCBA +++= d'où

.0et 012401220494020898 ==−−−=−−−= ADCBA

. 33 ln

121

3tan

61

3 ln121 3 ln

121

3tan

31

21

3

1121

31

121

91

21

819 queensuit s' Il 24

Cvvvarc

Cvvvarc

dvv

dvv

dvv

dvv

+−+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+−−++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

−+

++

+=

− ∫∫ ∫∫

u

1

2 1 u+

θ

Page 175: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

600 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

82. Posons ( ).12coset +== θθ dvu Alors ( ).12sin21et +== θθ vddu

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1cos 2 1 sin 2 1 sin 2 1 2 21 1 1sin 2 1 - cos 2 12 2 21 1sin 2 1 cos 2 12 4

θ θ dθ θ θ θ dθ

θ θ θ C

θ θ θ C

+ = + − +

⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + + +

∫ ∫

83. ( )222

3

1232

12232

12 −−

++=+−

−++=

+− xxx

xxxx

xxx

( ) ,

112 2−

+−

++=x

Bx

Ax

( ) ( )d'où 3 2 1 - .x A x B Ax A B− = − + = + +

Nous avons donc -2,-et 3 =+= BAA c'est-à-dire .1où d' -2,3- ==+ BB

Par conséquent, ( )

.1

1 1 ln322

1

11

3212

2

22

3

Cx

xxxdxxx

xxx

dxx+

−−−++=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

−+

−++=

+−∫ ∫

84. Posons .1 θ+=x Alors ( ) . 12et 2

1 dxxdddx −== θθθ

( )

( )

1 2 -1 2

3 2 1 2 3 2

2 1 2 2

1

42 2 1 4 13 2 1 2 3

xdθ dx x dx x dxxθ

x x C θ θ C

−= = −

+

= − + = + − + +

∫ ∫ ∫ ∫

85. Posons .xu = Alors . 2et 2

1 dux

dxxdx

du==

( ) ( ) ( ) .2cos-

22cos-2 2sin2

cossin22 secsin22

sec sin2 Ainsi,

CxCuduu

duuuduuu

xxdxx

+=+⋅==

==

∫ ∫∫

Page 176: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 601

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

86. ( )( )( )

5

4 4 2

16 1616 16 4 2 2

x x xx xx x x x x

= + = +− − + + −

( )( )( ) 22

16 ,2 244 2 2

x Ax B C Dx xxx x x

+= + +

+ −++ + − d'où.

( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 216 4 2 4 2 4 .x Ax B x C x x D x x= + − + − + + + +

En assignant à x la valeur 2, nous obtenons .1=D

En assignant à x la valeur -2, nous obtenons .1=C

En assignant à x la valeur 0, nous obtenons ,884-0 DCB +−= d'où .0et 04- == BB

En assignant à x la valeur 1, nous obtenons ,1553-16 +−= A d'où -2.=A

Il s'ensuit que ∫∫ ∫∫ ∫ −+

++

+−=

−dx

xdx

xdx

xxdxx

xdxx

21

21

42

16

24

5

2 2 2

22

4ln 4 ln 2 ln 2 ln .2 2 4x x xx x x C C

x−

= − + + + + − + = + ++

87. ( )∫∫∫ +−

=++−

=+− 3131242 222 θ

θθθθ

θθθ ddd

Posons .1−= θu Alors θddu = et

( ) ( ) ,

31tan

31

3tan

31

33142 2222 CarcCuarcu

dudd+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

+=

+−=

+− ∫∫∫θ

θθ

θθθ

ou encore .31tan

33 Carc +⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −θ

88. ( )22 22 2 1 1 1 1r r r r r+ = + + − = + −

Posons .1+= ru Alors .drdu =

( ) ( ) ( )2 2 2

sec sec 1 .1 2 11 1 1

dr dr du arc u C arc r Cr r r u ur r

= = = + = + ++ + −+ + −

∫ ∫ ∫

89. Posons .2cos1 θ+=u Alors . 21- 2sinet 2sin2- dud

ddu

== θθθθ

Ainsi, ( ) ( )

-1-2

2sin 2 1 1 1 1- - ,

2 2 -1 2 2 1 cos21 cos2θ dθ uu du C C C

u θθ= = + = + = +

++∫ ∫ ou encore

Page 177: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

602 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

( )

222

1 1 1 sec .44cos2 1 2cos 1

C C θ Cθθ

+ = + = ++ −

90. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22

1 1 ,1 11 1 1 11

A B C Dx xx x x xx

= = + + ++ −+ − + −−

d'où

( )( ) ( ) ( )( ) ( )2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 .A x x B x C x x D x= + − + − + − + + +

En assignant à x la valeur -1, nous obtenons .41=B

En assignant à x la valeur 1, nous obtenons .41=D

En assignant à x la valeur 0, nous obtenons ,1 DCBA +−+= d'où .21et 21 +==− CACA

En assignant à x la valeur 2, nous obtenons ,9931 DCBA +++= d'où

,92339323- CCCA ++=+= d'où .41et 41- == AC

( ) ( ) ( )

( )

2 2 22

2

1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 4 4 1 41 11

1 1 1 1 1 1ln 1 ln 1 4 4 1 4 4 1

1 1 1 1ln 1 ln 1 4 4 1 1

1 1 1ln .4 1 2 1

Ainsi, dx dx dx dx dxx xx xx

x x Cx x

x x Cx x

x x Cx x

= + − ++ −+ +−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − − + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+= − ⋅ +

− −

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

91. Posons .2 xu −= Alors .2et - ,1- uxdudxdxdu

−===

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) .4232-622

32

24232

212

23

2 2-2 Ainsi,

21

21232123

21-2121

CxxCxx

CxxCuu

duuuduu

ux

dxx

++−=+−−−=

+−−−=+−=

−=−

=− ∫ ∫∫

Page 178: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 603

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

92. ( ) 1111222 222 +−=++−=+− yyyyy

Posons .1−= yu Alors dydu =

( )

( )∫∫ ∫ +−=+=+

=+−

=+−

.1tan tan 11122

et 222 CyarcCuarcu

duy

dyyy

dy

93. ( ) ( )1 2 1ln 1 ln 1 ln 1 2

x dx x dx x dx⎡ ⎤− = − = −⎣ ⎦∫ ∫ ∫

Soit ( ) .et 1ln dxdvxu =−= Alors .et 1

1 xvdxx

du =−

=

( ) ( )

( )

( ) ( )

1 1ln 1 ln 1 2 2 1

1 1 ln 1 1 2 1

1 ln 1 ln 12

xx dx x x dxx

x x dxx

x x x x C

⎡ ⎤− = − −⎢ ⎥−⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎢ ⎥−⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − − − +⎣ ⎦

∫ ∫

Note : 1ln −x a pour domaine ] [,,1 ∞ de sorte que .01>−x 94. ( ) ( ) ( ) ( )2 22 4 4 2 4 2 2 28 2 - 2 8 - 2 1 9 - 1 9 9 1x x x x x x x x⎡ ⎤− − = + − = + + − = + − = − +⎢ ⎥⎣ ⎦

Posons .12 += xu Alors . 21 et 2 dudxxdxxdu ==

( )2 4 2 22

2

1 1 sin2 2 38 2 99 1

1 1 sin .2 3

Ainsi, x dx x dx du uarc Cx x ux

xarc C

⎛ ⎞= = = +⎜ ⎟⎝ ⎠− − −− +

⎛ ⎞+= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

95. ( ) 2 22 2

1 ,44

Z A B CZ DZ Z ZZ Z

+ += + +

++ d'où ( ) ( ) ( )2 2 21 4 4 .Z AZ Z B Z CZ D Z+ = + + + + +

En assignant à Z la valeur 0, nous obtenons ,41 B= d'où .41=B

( ) ( )3 21 4 4Z A C Z B D Z AZ B+ = + + + + +

Nous avons 4 1, d'où 1 4, + =0, d'où - -1 4, et 0, A A B D D B A C= = = = + =

4.1--où d' == AC

Page 179: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

604 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

( )

-222 2

1 1 1 1 1 1Ainsi, 4 4 4 44

Z ZdZ dZ Z dZ dZZ ZZ Z

+ += + −

++∫ ∫ ∫ ∫

( )

2 2

2

2

1 1 1ln 4 4 4

1 1 1 2 1ln tan4 2 2 24

1 1 1 1ln ln 4 tan .4 2 2 2

ZZ dZ dZZ Z Z

Z ZZ dZ arc CZ Z

ZZ Z arc CZ

⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥+ +⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟⎢ ⎥+ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

96. Posons .2xy = Alors . 21 et 2 dydxxdxxdy ==

dyeydxexxdxex yxx 21

22 23 ∫∫∫ =⋅=

Posons . et dyedvyu y== Alors .et yevdydu ==

2 2 2

22

1 1 1 2 2 2

1 12 2

y y y y y

x x x

ye dy ye e dy ye e C

xx e e C e C

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − +⎣ ⎦⎣ ⎦

⎛ ⎞−⎡ ⎤= − + = +⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

∫ ∫

97. Soit . 1et tan 2 dxx

dvxarcu == Alors .1-et 1

12 x

vdxx

du =+

=

( )2 2

tan 1 1 - tan 1

arc x dx arc x dxxx x x

= ++∫ ∫ .

Or ( ) 22

1 ,11

A Bx Cx xx x

+= +

++ d'où ( ) ( ) ( )2 21 1 .A x Bx c x A B x Cx A= + + + = + + +

Nous avons 1, 0, d'où - -1, et 0.A A B B A C= + = = = =

( )

( )

2 2

2

2

2

tan 1 1Ainsi, - tan 1

1 1- tan 1

1 1 2- tan ln 2 1

1 1- tan ln ln 1 ,2

arc x dx arc x dxxx x x

xarc x dx dxx x x

xarc x x dxx x

arc x x x Cx

= ++

= + −+

= + −+

= + − + +

∫ ∫

∫ ∫

Page 180: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 605

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

ou encore .1ln lntan 1- 2 Cxxxarcx

++−+

98. Posons .tex = Alors . 23

123

et 22 dxxxee

dtedtedx tt

tt ∫∫ ++

=++

=

( )( )2

1 1 ,2 1 2 13 2

A Bx x x xx x

= = ++ + + ++ +

d'où ( ) ( )1 1 2 .A x B x= + + +

En assignant à x la valeur -1, nous obtenons .1=B

En assignant à x la valeur -2, nous obtenons -1.=A

2

1 1 - -ln 2 ln 1 2 13 2

1 1ln ln .2 2

Ainsi,

t

t

x dx dx dx x x Cx xx x

x eC Cx e

= + = + + + ++ ++ +

⎛ ⎞+ += + = +⎜ ⎟

+ +⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

99. ( ) dxxxxxdx

xx

sincos1sincos1

2cos12cos1

22

22

∫∫ −+−−

=+−

( )( )( )

2 2 22

22 2

2

1 cos sin 2sin tan 2cos1 sin cos

sec 1 tan

x x xdx dx x dxxx x

x dx x x C

− += = =

− +

= − = − +

∫ ∫ ∫

100. Posons .sin xarcu = Alors dxx

du 1

12−

=

( )

( ) .sin sin

sin cos 1

sin cos 2

et

CxCxarc

Cuduudxx

xarc

+=+=

+==−

∫∫

101. ( ) ( )3 2 2

cos cos cos sin sin sin sin 1 sin -cos

x x xdx dx dxx x x x x x

= =− − ⋅∫ ∫ ∫

( ) ( )

1 2- - - 2csc2 sin cos sin 2

ln csc 2 cot 2

dx dx x dxx x x

x x C

= = =

= + +

∫ ∫ ∫

Page 181: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

606 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

102. Posons .teu = Alors dtedu t =

( ) 1 ln 1 ln 1 .11

ett

tt

e dt du u C e Cue

= = + + = + +++∫ ∫

103. Posons ,ln yx = alors ,1ydy

dx= d'où .et , 22 xeydx

ydy

==

De plus, ∞→= xet 01ln lorsque .∞→y

Ainsi, -23 2 2

1 1 0 0

ln 1 1ln lim .b

xx b

y dy dyy x dx xe dxyy y e

∞ ∞ ∞

→∞= ⋅ ⋅ = =∫ ∫ ∫ ∫

Posons .eet 2- xdvxu == Alors ,e21-et 2- xvdxdu ==

.410

41

2-lim

41

2-lim

21

2-lim ln

22

022

0

2-

02

13

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

∞→

∞→

∞→

∫∫

bbb

b

xxb

bx

b

xb

eeb

eex

dxeex

ydyy

Nous savons que 04

1-lim2

lim 2

..

2 ==−∞→∞∞∞→ bb

HR

bb eeb et que ,0

41lim 2 =−

∞→ bb e

de sorte que .41

41000 ln

13∫

=+−−=y

dyy

104. ( ) ( )∫∫ ⋅= dv

vvv

vdvv

sinlnsincos

sinln cot

Posons ( ).sinln vu = Alors dvvv

du ⋅⋅= cossin

1

( )( ) . sinln ln

ln 1 sinlnsin

cos et

Cv

Cuduu

dvvv

v

+=

+==⋅ ∫∫

Page 182: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 607

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

105. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ∫

−−=

−+−−=

−−=

−− 1121-2

2

114412

2

4412

2

12 2222 xx

dx

xxx

dx

xxx

dx

xxx

dx

Posons .12 −= xu Alors dxdu 2= et

( )

. 12 sec sec112 22

CxarcCuarcuu

du

xxx

dx+−=+=

−=

−−∫ ∫

106. CxCxdxxdxe x +=+== ∫∫ 2323

ln

32

23

107. Posons .4 θeu = Alors θθ dedu 4= et . 41 dude =θθ

( ) ( ) ( ) CeCuduudee ++=++

=+=+ ∫∫23

2321 43

61

233

41 3

41 43 θθθ θ

108. Posons .vex = Alors .et x

dxdvdvedx v ==

Ainsi, ( ) .sec sec11 22

CearcCxarcxx

dx

e

dv v

v+=+=

−=

−∫ ∫

109. Posons .13 += θu Alors 3=θd

du et . 31 dud =θ

( ) CCdudu

u +⋅=+==+

+ ∫∫ 27ln27

31

27ln27

31 27

31 27

1313

θθ θ

110. Intégration tabulaire :

.sin120cos120sin60cos20sin5cos- sin

2

3455

Cxxxxxxxxxxxdxxx

++−−

++=∫

Page 183: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

608 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

111. Posons .ru = Alors rdr

du2

1= et . 2 2 duudurdr ==

( ) CrrCuuduuu

duur

dr++−=++−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

+=

+ ∫ ∫∫ 1ln22 1 ln22 1

221

21

112. ( )3 2 3

8 ,22

A B C Dy yy y y y

= + + +++

d'où ( ) ( ) ( )2 38 2 2 2 .Ay y By y C y Dy= + + + + + +

En attribuant à x la valeur 0, nous obtenons .4=C

En attribuant à x la valeur -2, nous obtenons -1.=D

En attribuant à x la valeur 1, nous obtenons ,3338 DCBA +++= d'où .-1ou -1 BABA −==+

En attribuant à x la valeur -1, nous obtenons ,8 DCBA −+−= d'où ,31- ,3 =−−=− BBBA

.1et -2 == AB

( )3 2 3

2 2

8 1 1 1 1 2 4 22

2 2 2 2ln ln 2 ln .2

Ainsi, dy dy dy dy dyy yy y y y

yy y C Cy y yy y

= − + −++

= + − − + + = + − ++

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

113. ( )2 2

8 8 7

49 4 7 7 4

dm dm

m m m m

×=

− −∫ ∫

Posons .7mu = Alors . 7et 7 dmdudmdu

==

CmarcCuarcuu

dudmmm

+=+⋅=−

=−

∫∫ 2

7 sec4 2

sec218

48

449

822

114. Posons .ln tu = Alors dtt

du 1=

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

1 ln ln 2 ln 1 2 1 2 1 1 1

sec 1 sec 1 ln .

et dt du du dut t t t u u u u u u u u

arc u C arc t C

= = =+ + + + + + + + −

= + + = + +

∫ ∫ ∫ ∫

Page 184: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 609

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

115. ( )( )

. .

20 0 0 0 0

21ln 1 2 2 11 2lim lim lim2 2 1 2

R H

t t t

t t ttt t tt→ → →

−− + −+= =+

Or ( )-0

2 1lim2 1 2t

tt t→

−= +∞

− et

( )0

2 1lim - .2 1 2t

tt t+→

−= ∞

La limite n'existe pas.

116. ( )( )

2. .

20 0 0 0

sec 3 3tan 3 1 3 3lim limtan5 1 5 5sec 5 5

R H

t t

ttt t→ →

⋅ ⋅= = =

⋅⋅

117. ( ). . . .

0 0 0 0 0 0 0

cos 1 cos -sinsin 1 sin cos 1 1 0lim lim lim 21 cos sin cos 0

R H R H

x x x

x x x xx x x x xx x x→ → →

+ ⋅ + ⋅⋅ + + += = = =

118. ( )x

xx −

11

1lim est une forme indéterminée .1∞

Posons ( ) ( ).11 xxxf −= Alors ( ) ( )xxx

xxxf x

−=

−== −

1lnln

11lnln 11

( ). .

1 1 0 0 1

ln 1et limln lim lim -1.1 -1

R H

x x x

x xf xx→ → →

= = =−

Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( )1

limln1 1 ln -1

1 1 1

1lim lim lim .xf xx f x

x x xx f x e e e

e→−

→ → →= = = = =

119. x

xx1lim

∞→ est une forme indéterminée .0∞

Posons ( ) .1 xxxf = Alors ( )xxx

xxxf x lnln1lnln 1 === et

( ) .01

1limlnlimlnlim..

===→∞∞∞→∞→∞

xxxxf

x

HR

xx

Par conséquent, ( ) ( ) ( ).1limlimlim 0lnlimln1 ===== ∞→

∞→∞→∞→eeexfx

xfxf

xx

x

xx

Page 185: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

610 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

120. x

x x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→

31lim est une forme indéterminée .1∞

Posons ( ) .31x

xxf ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += Alors ( )

xx

xxxf

1

31ln31lnln

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

( )

.313lim

33lim31

3lim

1-

3-31

1

lim1

31lnlimlnlimet

..

2

2

..

00

==+

=+

=

⋅+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

∞→∞∞∞→∞→

∞→∞→∞→

x

HR

xx

x

HR

xx

xx

x

x

xx

xxxf

Par conséquent, ( ) ( ) ( ).limlim31lim 3lnlimln eeexf

xxfxf

xx

x

xx ====⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + ∞→

∞→∞→∞→

121. ,1cos1- ≤≤ r d'où rr

rr ln

1ln

cosln

1-≤≤

Comme ,ln ∞→r lorsque 0ln

coslimet 0ln1lim

ln1-lim , ===∞→

→∞→∞→∞ rr

rrr

rrr selon le

théorème du sandwich.

122. ( ) -1sin-1lim

cos2limsec2lim

2

..

0022==

−=−

→→→ θθπθθπθ

πθπθπθ

HR

123. ( )⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

−+⋅

−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

− →→→

xxx

xxx

xxxx x

HR

xx 1ln1

11

limln1

1lnlimln1

11lim

1

..

0011

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

+⋅+⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⋅

−=

→→→ 11ln1

1-lim1ln

1lim1ln

1lim1

,,

0011

xxxxxx

xxxx

xx

xx

HR

xx

21-

1101-

=++

=

Page 186: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 611

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

124. x

x x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+→

11lim0

est une forme indéterminée .0∞

Posons ( ) .11x

xxf ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += Alors ( )

xx

xxxf

1

11ln11lnln

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

( )

.01

lim11

1lim

1-

1-11

1

lim1

11lnlimlnlimet

00

2

2

0

..

0000

=+

=+

=

⋅+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

++

+++

→→

→→→

xx

x

x

xx

xxxf

xx

x

HR

xx

Par conséquent, ( ) ( ) ( ).1limlim11lim 0

lnlimln

0000 =====⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + +→

+++ →→→eeexf

x

xfxf

xx

x

xx

125. ( )θ

θθtanlim

0+→ est une forme indéterminée .0∞

Posons ( ) ( ) .tan θθθ =f Alors ( ) ( ) ( ) ( )θθθθθθ θ

1tanlntanlntanlnln =⋅==f et

( ) ( ) 2202

2

0

..

00-

sincos

cos1lim

1-

sectan

1

lim1tanlnlimlnlim θ

θθ

θθ

θθ

θθθ

θθθθ⋅⋅=

⋅==

++++ →→∞∞→→

HRf

( )θθθθθ

θθθ

θθ sin-sincoscos2-lim

cossin-lim

0

..

00

2

0 ⋅+⋅==

++ →→

HR

.010

sincos2lim 220

==−

=+→ θθ

θθ

Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( ).1limlimtanlim 0

lnlimln

0000 ===== +→

+++ →→→eeef

ff

θθ

θθ

θ

θθθθ

126. ∞===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++ →→→∞ tt

tt

t

HR

t 2coslimsinlim1sinlim

0

..

0020

2

θθ

θ

127. ∞=−

=+−

=−++−

→∞∞∞→∞∞∞→∞ 466lim

1463lim

3213lim

..2..

2

23 xx

xxxxxx

x

HR

x

HR

x

Page 187: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

612 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

128. 0612

6lim3416lim

213lim 2

..

23

..

34

2

=−

=−−

=+−+−

→∞∞∞→∞∞∞→∞ xxxxx

xxxx

x

HR

x

HR

x

129. bb

bb

xarcx

dx

x

dx

0032

3

032 3

sin lim9

lim9 -- ⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=

−∫∫ →→

2

02

0sin 3

sin lim-3

ππ=−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

→arcbarc

b

130. ∫∫ +→=

11

00

lnlim lnb

bdxxdxx

Posons .et ln dxdvxu == Alors .et 1 xvdxx

du ==

[ ]

[ ] ( )

1 11

0 0

1

0 0

. .

20 0 0 0

1lim ln lim ln

lim ln 1ln1 1 lim ln

ln 1-1 lim ln 0 -1 lim -1 lim -1 lim - -1 0 -1.1 -1

bb bb b

bb b

R H

b b b b

x dx x x x dxx

x x x b b b

b bb b bb b

+ +

+ +

+ + + +

→ →

→ →

∞ ∞→ → → →

⎛ ⎞= − ⋅ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − = − − −

= − + = − = − = − = − =

∫ ∫

131. ∫ ∫∫∫ =+=1

0

1

03232

0

1-32

1

1-32 2

ydy

ydy

ydy

ydy (puisque 32

1y

est une fonction paire).

Ainsi, [ ] ( ) .6032313lim231

lim2 lim2 31

0

1 131

0

32-

0

1

1-32 =−=−⋅=⎥

⎤⎢⎣

⎡==

+++ →→→ ∫∫ bydyyydy

bb b

bb

132. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∫ +

++

=+

++

=+ →→

0

53-12-

53-1

0

1-53

-1

2-53

0

2-53 1

lim1

lim111 +-

cc

b

b

dddddθ

θθ

θθ

θθ

θθ

θ

( ) ( )

( ) ( ) 0025

2501

25lim

25

251

25lim

521lim

521lim

52

-1

52

-1

052

-12-

52

-1

+-

+-

=−+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ ++

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡ +=

→→

→→

cbcb

cc

b

b

θθ

Page 188: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 613

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

133. ( )2

2 2 ,2 22

A Bu u u uu u

= = +− −−

d'où ( ) ( )2 2 2 .A u Bu A B u A= − + = + −

Nous avons ,22- =A d'où .1-où d' ,0et -1, ===+= ABBAA

( ) ( )

23 3

33

2 1 1Ainsi, - 22

1 1lim - lim -ln ln 2 2

lim -ln ln 2 -ln3 ln1

2lim ln ln3 ln1 ln3 ln 3,

bb

b b

b

b

du duu uu u

du u uu u

b b

bb

∞ ∞

→∞ →∞

→∞

→∞

⎛ ⎞= +⎜ ⎟−− ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + = + −⎜ ⎟ ⎣ ⎦−⎝ ⎠

⎡ ⎤= + − − +⎣ ⎦

⎡ ⎤−⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

puisque .1ln11limln2limln2lnlim

..=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∞→∞∞∞→∞→ b

HR

bb bb

bb

134. ( ) ,1414

134

132223 −++=

−−

=−−

vC

vB

vA

vvv

vvv d'où ( ) ( ) 23 1 4 1 4 1 .v Av v B v Cv− = − + − +

En attribuant à v la valeur 0, nous obtenons .1=B

En attribuant à v la valeur 41 , nous obtenons .4-=C

En attribuant à v la valeur 1, nous obtenons ,332 CBA ++= d'où .1et 4332 =−+= AA

3 2 3 2 21 1 1

1 1

. .

3 1 3 1 1 1 4 lim lim 4 14 4

1 1lim ln ln 4 1 lim ln 4 -1

1 1 1 1 3lim ln ln 1 ln ln 1 1 ln .4 1 3 4 3 4

Ainsi,b b

b b

bb

b b

R H

b

v vdv dv dvv vv v v v v

vv vv v v

bb b

→∞ →∞

→∞ →∞

→∞ ∞ ∞

− − ⎛ ⎞= = + −⎜ ⎟−− − ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎡ ⎤= − − − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − − − = − + = +⎜ ⎟⎢ ⎥− ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

Page 189: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

614 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

135. Procédons par intégration tabulaire.

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−⎥

⎤⎢⎣

⎡−−=−−==

∞→∞→∞→

∫∫ 120022-lim2 2-limlim

2

0---2

0

-2

0

-2bbbb

bxxx

b

bx

b

x

eeb

ebeexexdxexdxex

En appliquant la règle de L'Hospital à ,2-limet -lim2

bbbb eb

eb

∞→∞→ nous obtenons la réponse 0, pour

chaque limite.

De plus, 0.2-lim =∞→ bb e

Ainsi, .2 0

-2 =∫∞

dxex x

136. dxexdxexb

x

b

x lim 0

3

-

0

-

3 ∫∫ ∞→∞

=

Posons . et 3 dxedvxu x== Alors .3

et 3xevdxdu ==

91-0

91-

3-31lim

91-03lim

91-

93lim

910

93lim

33lim lim

3--

..

3--

33

-

033

-

0 303

-

03

-

=−=

−=+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎟

⎜⎜

⎛−⎥

⎤⎢⎣

⎡=

∞→∞∞∞→∞→

∞→∞→∞→ ∫∫

bb

HR

bb

bb

b

b

xx

bb

x

b

x

bb

x

b

eebeeb

eexdxeexdxxe

137. ∫∫∫∫∫∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=+

=+

=+

++

=+ →∞

∞∞∞

b

bx

dx

x

dxxdx

xdx

xdx

xdx

02

20 202

02

0

-2

-2

23

lim21

494

294

2949494

6

023

10tan 31

32tan lim

31

32tan

32lim

21

0

ππ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

→∞→∞arcbarcxarc

b

b

b

Page 190: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 615

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

138. b

b

b

b

xarcdxx

dxxx

dx

002

02

-2 4

tan 414lim2

16 4lim2

16 42

16 4

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅=

+=

+=

+ →∞→∞

∞∞

∞∫∫∫

ππ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

→∞0

220tan

4arctanlim2 arcb

b

139. Soit ( ) ( )θθ gf et définies respectivement par ( ) ( ) .1et 1

12 θ

θθ

θ =+

= gf

( )( ) ( )2 22 2

lim lim lim lim 1.1 1 11 1θ θ θ θ

f θ θ θ θg θ θ θ θθ θ→∞ →∞ →∞ →∞

= = = =+ ++

Par ailleurs, [ ] ,lnlim 1lim 16

66

∞===∞→∞→

∫∫ b

b

b

bdd θθ

θθ

θ d'où cette intégrale impropre diverge.

Il en résulte que ∫∞

+62 1θ

θd diverge aussi, selon le test de comparaison entre intégrales

par une limite.

140. ∫∫∞

∞→=

bu

b

u duueduue0

-

0

- coslim cos

Posons . coset - duudwev u == Alors .sinet - - uwduedv u ==

∫ ∫= duueueduue uuu sin+sin cos ---

Posons . sinet - duudwev u == Alors .cos-et - - uwduedv u ==

( )∫ ∫−= dueuueueduue uuuu coscos-+sin cos ----

( )∫

∫−=

−=

ueueduue

ueueduue

uuu

uuu

cossin21 cos

cossin cos2

---

---

( )

( ) ( )

( ) .21

2100

21

110121cossinlim

21

cossin21lim coslim

--

0

--

0

-Donc,

=+−=

⋅−⋅−−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

∞→

∞→∞→ ∫

ueue

ueueduue

uu

b

buu

b

b

u

b

L'intégrale impropre converge.

Page 191: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

616 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

141. Posons .ln Zu = Alors ,1ZdZ

du= d'où ∞→= udu

ZdZ , lorsque 0et =∞→ uZ lorsque .1=Z

Ainsi, .20

2lim

2lim lim ln 22

0

2

001

∞=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎤⎢⎣

⎡===

→∞→∞→∞

∞∞

∫∫∫buduuduudZ

ZZ

b

b

b

b

b

L'intégrale impropre diverge.

142. Pour tout .ee0 ,1 --

tt

tt ≤<≥

De plus, - - - - -11

1 1

1 1e lim e lim -e lim -e e 0 ,e e

b bt t t b

b b bdt dt

→∞ →∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = + = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ donc cette intégrale

impropre converge. Donc dtt

t

e

1

-

∫∞

converge selon le test de comparaison directe entre intégrales.

143. - -- 0

2x x x xdx dx

e e e e

∞ ∞

=+ +∫ ∫ (puisque la fonction -

1x xe e+

est paire).

Or - 20 0 0

2 2 2 .1 1

x

x x xx

x

dx dx e dxe e ee

e

∞ ∞ ∞

= =+ ++

∫ ∫ ∫

Posons .xu e= Alors , 1xdu e dx u= = lorsque ∞→= ux et 0 lorsque .∞→x

[ ] [ ] .0

220tan tan lim2tan lim2

1lim2

122 Ainsi,

0

02

02

0-

ππ=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=−==

+=

+=

+

∞→∞→

∞→

∞∞

∫∫∫

arcbarcuarc

udu

udu

eedx

b

b

b

b

bxx

L'intégrale impropre converge.

144. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

-1 0 1

2 2 2 2 2- - -1 0 11 1 1 1 1x x x x x

dx dx dx dx dxx e x e x e x e x e

∞ ∞

∞ ∞

= + + ++ + + + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Or,

( )

2

0 0

2

1

lim lim1 21

1

x

x x

x

x e

x e

→ →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = + =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

et 11 1

2 20 0 00

1 1lim lim - -1 lim - ,b b bbb

dx dxx bx x+ + +→ → →

⎡ ⎤= = = − = ∞⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

Page 192: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices récapitulatifs page 617

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

donc cette intégrale impropre diverge.

Il s'ensuit que ( )

1

20 1 x

dxx e+∫ diverge selon le test de comparaison par une limite et, par conséquent,

que ( )2

- 1 x

dxx e

∞ +∫ diverge.

145. ( ) ( ) 122

11 1 Cedxedyyy

dxedyyy

yyedxdy xxxx +==

−⇒=

−⇒−= ∫∫

Or ( ) ,11

1−

+=− y

ByA

yy d'où ( ) ( )1 1 .A y By A B y A= − + = + −

Nous trouvons .1-où d' ,0et -1,où d' ,1- ===+== ABBAAA

Ainsi, ( ) 2 1 ln ln- 1

11- 1

1 Cyydyyy

dyyy

+−+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=− ∫∫ et

1 2-ln ln 1 , où .xy y e C C C C+ − = + = −

Comme 2=y lorsque ,0=x nous avons .2ln1-2ln-où d' ,1ln2ln- 00 −=−=+=+ eCCe

La solution de l'équation différentielle est donc .2ln1 1 ln ln- −−=−+ xeyy

146. ( )( ) ( )

Cy

dy

dydy

dyyddy

+=+

⇒=+

⇒=+

⇒+= ∫ ∫ θθθθθθθ

cos-1

1- sin1

sin1

sin1 222

Comme 0=y lorsque ,2πθ = nous avons ,01- C+= d'où -1.=C

La solution de l'équation différentielle est donc ,1cos

11+ou 1cos-1

1-+

=−=+ θ

θ yy

ou encore .11cos

1−

−=

θy

147. 23

23

122 +−

=⇒+−

=xx

dxdyxxdx

dy

Or ( )( )2

1 1 ,2 1 2 13 2

A Bx x x xx x

= = +− − − −− +

d'où ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 - 2 .A x B x A B x A B= − + − = + + −

Nous avons ,12-et ,-où d' ,0 =−==+ BABABA d'où .1et -1 ,12 ===− ABBB

Page 193: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

618 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Ainsi, ∫ ∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−=

+−= dx

xxxxdxdy

11

21

23 2 et . 1 ln 2 ln Cxxy +−−−=

Comme 0=y lorsque ,3=x nous avons .2lnet ,2ln1ln0 =+−= CC

La solution de l'équation différentielle est donc .2ln 1 ln 2 ln +−−−= xxy

148. tt

dtsds

tts

dtds

222222

22 +=

+⇒

++

=

Or ( ) ,22

12

12 +

+=+

=+ t

BtA

tttt d'où ( ) ( ) .21-et 21 ,221 ==++=++= BAAtBABttA

Nous avons donc ∫ ∫∫∫ +−=

+=

+dt

ttdtt

ttdt

sds

221

21

222 2

Ctts ++−=+ 2ln21 ln

21 1 ln

21

. 2

ln 1 ln Ct

ts ++

=+

Comme 1=s lorsque ,31ln2ln ,1 Ct +== d'où .6ln

312ln

31ln2ln ==−=C

La solution de l'équation différentielle est donc 2

6 ln6ln 2

ln 1 ln+

=++

=+t

tt

ts

ou . 2

6 1 +

=+t

ts

Page 194: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices supplémentaires page 619

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Exercices supplémentaires : théorie, exemples et applications

1. Posons ( ) .et sin 2 dxdvxarcu == Alors .et 1

1sin 22

xvdxx

xarcdu =−

⋅=

Ainsi, ( ) ( ) . 1

sin 2sin sin 2

22 dxx

xxarcxarcxdxxarc ∫∫−

−=

Posons ( ) . 12- 1

2-et sin 21-2

2dxxxdx

x

xdvxarcu −=−

==

( )

( )

( ) ,21sin 2

1

121sin 2

1

sin 21221

1et 1

1 Alors

2

2

22

22

212

2

Cxxxarc

dxx

xxxarc

dxx

xxarcxxvdxx

du

+−−=

−−−=

−−−=

−=

−=

de sorte que ( ) ( ) ( ) .21sin 2sin sin 222 Cxxxarcxarcxdxxarc +−−+=∫

2. ( ) ; 1

111

1 ; 11+

−=+

=xxxxxx

( )( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 ;1 2 2 1 2 2

1 1 1 1 1 ;1 2 3 6 2 1 2 2 6 +3

1 1 1 1 1 1 ;1 2 3 4 24 6 1 4 2 6 +3 24 4

x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

= − ++ + + +

= − + −+ + + + +

= − + − ++ + + + + + +

nous retrouvons la régularité suivante : ( )( ) ( )

( )( ) ( )0

-11 .1 2 ... ! !

km

kx x x x m k m k x k=

=+ + + − +∑ .

Ainsi, ( )( ) ( )

( )( )0

-1ln .

1 2 ... ! !

km

k

dx x k Cx x x x m k m k=

= + ++ + + −∑∫

Page 195: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

620 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

3. Posons . et sin dxxdvxarcu == Alors .2

et 1

1 2

2

xvdxx

du =−

=

Ainsi, . 12

sin 2

sin 2

22

dxx

xxarcxdxxarcx ∫∫−

−=

Pour évaluer l'intégrale du membre de droite de l'égalité,

posons , coset sin θθθ ddxx == pour .22

- πθπ≤≤

,cos cos cossin11 222 θθθθ ===−=− x puisque 0cos ≥θ pour .22

- πθπ≤≤

( )

2 22

2

2

sin 1 cos sin 2cos 22 1

1 1 cos 2 1 sin 2 2 2 4 2

1 2sin cos4 21 sin 1 .4

x θdx θ dθ θ dθθx

θ θdθ θ C

θ θθ C

arc x x x C

= ⋅ =−

− ⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= − − +

∫ ∫ ∫

Finalement, ( )2

21 sin sin arcsin 1 .2 4xx arc x dx arc x x x x C= − − − +∫

4. Posons .yz = Alors . 2et 2

1 dzzdydyy

dz ==

Ainsi, ∫∫ +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−== Czzzarczarczdzzzarcdyyarc 2

2

1sin 41sin

22 sin 2 sin

( )

.21sin

21sin

1arcsin21sin

2 Cyyyarcyarcy

Cyyyyarcy

+−+−=

+−−−=

5. 2

2 2 2 2

2

cos1 tan sin cos sin1

cos

dθ dθ θ dθθ θ θ θ

θ

= =− −

−∫ ∫ ∫

( )1 cos2 1 sec2 1 2cos2 2ln sec2 tan 2 1

2 2

ln sec2 tan 2 24

θ dθ θ dθθθ θ

θ C

θ θ θC

+= = +

⎡ ⎤+= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

+ += +

∫ ∫

x

2 1 x−

1

θ

Page 196: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices supplémentaires page 621

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

6. Posons ( ) .et 1ln dxdvxxu =++=

dxxx

dxxx

xxxx

dxxxxx

du

12

1

14

2121

1 121

21

11 Alors

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

+++

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=

et .xv =

( ) ( ) ∫∫ +−++=++

xxdxxxxxdxxx1

211ln 1ln

Or,

41

21

1

41

41

1111

22

2

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−++

=+

=+

xxxxxxx

d'où ( ) ( ) .

41

21

211ln 1ln

2∫∫−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−++=++

x

dxxxxxdxxx .

Posons .sec21

21 θ=+x Alors θθθ ddx tansec

21

= pour 2

0 πθ <<

et θθ tan21 tan

21

41

21 2

2

==+=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + xxx puisque 0tan >θ pour .

20 πθ <<

( ) ( )

( )

2

2

2 2

1 1 1sec sec tan 1 1 2 2 2 12 21 1 tan

22 4

1 1sec sec tan ln sec tan 4 41 2 ln 2 1 2 .4

Ainsi,θ θ θ dθ

x dx

θx

θ θ dθ θ θ θ C

x x x x x C

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − = − + +

= + − + + + +

∫ ∫

Il s'ensuit que ( ) ( ) .4

212 ln21ln 1ln

22

Cxxxxx

xxxdxxx ++++−+

−++=++∫

21

21 +x

xx 2 +θ

Page 197: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

622 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

7. Posons , coset sin θθ ddtt == pour .22

- πθπ≤≤

,cos cos sin11 22 θθθ ==−=− t puisque 0cos ≥θ pour .22

- πθπ≤≤

.1tan

coscos

cossincossin

cos

1 2 ∫∫∫∫ −=

−=

−=

−− θθ

θθ

θθ

θθθ

θθ ddd

tt

dt

Posons , secet tan 2 θθθ dduu == d'où .1sec 22 +

==u

dududθ

θ

Alors, ( )( )22

.1 11

dt duu ut t

=− +− −

∫ ∫

Or ( )( ) 22

1 ,1 11 1

A Bu Cu uu u

+= +

− +− + d'où

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 1 .A u Bu C u A B u C B u A C= + + + − = + + − + −

Nous avons ,0=+ BA d'où ,0 ,- =−= BCBA d'où ,1et =−= CACB

d'où 21-,21-et 1- ===− CBBB .21et =A

( )

22

2 2

2

1 1 1 1Ainsi, 2 1 2 111 1 1 2 1 2 1 2 2 21 11 1 1 ln 1 ln 1 tan2 4 2

dt uduu ut t

u dudu duu u u

u u arc u C

+= −

− +− −

= − −− ⋅ + +

= − − + − +

=

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

2

2

2

1 1 1ln tan 1 ln tan 12 2 21 1 1 ln tan 1 ln sec 2 2 21 tan 1 1 ln 2 sec 2

11 11 ln 12 2

1

θ θ θ C

θ θ θ C

θ θ Cθ

tt ar

t

− − + − +

= − − − +

−= − +

−−= −

21 1sin ln 1 sin .2 2

c t C t t arc t C+ = − − − +

t

1 2t−

1

θ

Page 198: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices supplémentaires page 623

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

8. Posons xu e=

Alors ( )( )

.

341

123

1 163

12 163

2et 222

2

duu

uduuu

udxee

eedxeduxx

xxx ∫∫∫

−−

−=

−−

−=

−−

−=

Posons .sec3

21 θ=−u

Alors θθθ ddu tansec3

2= pour .

20 πθ <<

( )

( )

2

21

2 21

2 21

2

4 sec 11 2 1 1 23 sec tan 23 4 3 3tan1 33

4 1 4 1sec sec tan ln sec tan 3 33 3

4 3 1 3 32 1 3 ln 1 2 1 3 3 2 2 23

2 1 1 1 32 ln 1 2 1 3 ln3 23 3 3

1 12 2 ln 133

x x x

θu du θ θ dθ

θu

θ dθ θ dθ θ θ θ C

u u u u u C

u u u u u C

e e e

+−

= ⋅− −

= + = + + +

= ⋅ − − + − + − − +

= − − + − + − − + +

= − − + −

∫ ∫

∫ ∫

2 12 .3

x xe e C⎡ ⎤

+ − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

9. ( ) ( )( )4 4 2 2 2 2 22 2

1 1 1 1 4 4 4 4 2 2 2 22 4

dx dx dx dxx x x x x x x xx x

= = =+ + + − + + − ++ −

∫ ∫ ∫ ∫

Les deux facteurs quadratiques sont irréductibles.

( )( ) 2 22 2

1 ,2 2 2 22 2 2 2

Ax B Cx Dx x x xx x x x

+ += +

+ + − ++ + − + d'où

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2

3 2

1 2 2 2 2

-2 2 2 2 2 2 2 2

Ax B x x Cx D x x

A C x A B C D x A B C D x B D

= + − + + + + +

= + + + + + + − + + + +

32

1 −u31 2 2 −− uu

θ

Page 199: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

624 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Nous obtenons le système d'équations linéaires :

( )( )( )( )4321

1000

222

2

222

2-

====

+++

+++

−+

DD

DCC

C

BB

BA

AA

( ) ( ) ( )4123 +− donne .41=D

( )4 donne alors .41=B

( ) ( )32 + donne ,034- =++ DCB d'où .81-=C

( )1 donne .81=A

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

1 8 1 4 -1 8 1 41Ainsi, 4 2 2 2 2

1 2 4 -2 4 16 2 2 2 2

1 2 2 2 2 2 2 16 2 2 2 21 1 1 1

1 ln 2 2 2 tan 1 ln 2 2 2 t16

x xdx dx

x x x x x

x x dxx x x x

x x dxx x x xx x

x x arc x x x arc

⎛ ⎞+ += +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + − +⎝ ⎠

+ +⎛ ⎞= +⎜ ⎟+ + − +⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞+ −⎢ ⎥⎜ ⎟= + − +⎜ ⎟+ + − +⎢ ⎥+ + − +⎝ ⎠⎣ ⎦

= + + + + − − + +

∫ ∫

( )

( ) ( )2

2

an 1

1 2 2 1ln tan 1 tan 1 .16 82 2

x C

x x arc x arc x Cx x

⎡ ⎤− +⎣ ⎦

⎛ ⎞+ + ⎡ ⎤= + + + − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦− +⎝ ⎠

Note : 02222

2

2

>+−++

xxxx pour tout x puisque les facteurs quadratiques du numérateur et du

dénominateur sont irréductibles, donc toujours de même signe, et que leur valeur en ,0=x

par exemple, est positive.

10. ( )( ) ( )( )( )( )6 2 4 2 2 2

1 1 11 1 1 1 1 1 1x x x x x x x x x x= =

− − + + − + − + + +

2 21 1 1 2 2 ,6 1 1 1 1

x xx x x x x x

− +⎡ ⎤= − + −⎢ ⎥− + − + + +⎣ ⎦ d'où

6 2 21 1 1 1 2 2

6 1 11 1 1x xdx dx

x xx x x x x− +⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟− +− − + + +⎝ ⎠∫ ∫

Page 200: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices supplémentaires page 625

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

( ) 2 2 2 2

2

2

1 1 2 1 3 2 1 3ln 1 ln 1 6 12 1 11 3 1 3

2 4 2 4

1 1 1 1 2 1 2 1ln ln 2 3 tan 2 3 tan .6 1 12 1 3 3

x xx x dxx x x x

x x

x x x x xarc arc Cx x x

⎡ ⎤⎢ ⎥

− +⎢ ⎥= − − + + − − −⎢ ⎥− + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − += + − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

11. [ ] [ ]- - -021 1 10

lim lim sin lim sin sin 0 02 21

bb

b b b

dx π πarc x arc b arcx→ → →

= = − = − =−

12. . .

0

0

tan 1 tanlim tan lim lim

1 2

x

x R H

x x x

arc t dtarc x πarc t dt

x x→∞ →∞ ∞ ∞ →∞= = =

∫∫ .

13. ( )1

0lim cos

x

xx

+→ est une forme indéterminée ∞1 .

Posons ( ) ( ) .cos1 x

xxf = Alors ( ) ( ) ( ) ( )1 ln cos1ln ln cos ln cosx x

f x x xx x

= = ⋅ = et

( )( ) . .

0 00 0 0

2. .

0 00 0

2

0

1 1-sinln cos cos 2lim ln lim lim1

1sec1 tan 1 2- lim lim 12 2

21 1 1- lim sec - 1 - .2 2 2

R H

x x x

R H

x x

x

xx x xf xx

xx x

xx

x

+ + +

+ +

+

→ → →

→ →

⋅ ⋅= =

⋅= = −

= = ⋅ =

Par conséquent, ( ) ( ) ( ) ( )0

lim ln1 ln -1 2

0 0 0

1lim cos lim lim .xf xx f x

x x xx f x e e e

e+→

+ + +→ → →= = = = =

Page 201: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

626 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

14. Posons ( ) ( ) .2 xxexxf += Alors ( ) ( )xex

xxf += ln2ln

( )

( ) ( )

( )

. .

. . . .

12 12ln lim ln lim lim

1

2 1 2 2lim lim lim 2.1

etxx

R H x

x x x

x x xR H R H

x x xx x x

ex e x ef xx

e e ex e e e

→∞ →∞ ∞ ∞ →∞

→∞ ∞ ∞ →∞ ∞ ∞ →∞

⋅ ⋅ ++ += =

+= = = =

+ +

Donc ( ) ( ) ( ) ( )2 lim lnln 2lim e lim lim .xx f xf xx

x x xx f x e e e→∞

→∞ →∞ →∞+ = = = =

15. [ ] ( ) [ ]--

lim sin lim -cos lim -cos cos - lim -cos cosx

xxx x x x

x

t dt t x x x x→∞ →∞ →∞ →∞

⎡ ⎤= = + = +⎣ ⎦∫

(puisque la fonction xcos est une fonction paire) ( ) .00lim ==→∞x

16. 12

20 0 02

11lim lim 1 et

cos cost t

dttt t t

t

+ +→ →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ diverge (voir exercices récapitulatifs, exercice 144).

Donc dtt

t

xx

coslim1

20 ∫+→ diverge selon le test de comparaison entre intégrales par une limite.

Ainsi dtt

txx

x coslim

1

20 ∫+→ est une forme indéterminée ,0 ∞⋅ que nous transformons pour appliquer la

règle de L'Hospital : 21 2. .

120 0 0 0

2

cos cos- -coslim lim lim lim cos 1.

11 -

x

R H

x x x xx

t xdttt xx dt x

xtx

+ + + +∞ ∞→ → → →

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫∫

17. xdxdy 2cos= est continue sur l'intervalle [ ],4 ,0 π d'où la courbe est lisse sur cet intervalle.

[ ]

10222

sin2 cos2 cos 2

1cos21 2cos1 1

40

4

0

4

0

4

0

24

0

2

=⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡−=

===

−+=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

∫∫

∫∫∫

πππ

ππ

xdxxdxx

dxxdxxdxdxdyL

b

a

Page 202: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices supplémentaires page 627

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

18. 212-xx

dxdy

−= est continue sur l'intervalle [ ]0, 1 2 , d'où la courbe est lisse sur cet intervalle.

( )( )

( )

22 22 21 2 1 2

2 220 0

1 2 1 22

2 20 0

1 21 2

00

1 4-21 1 1 1

1 2 -1 1 1

1 1-1 - ln 1 ln 1 1 1

-1 -1ln 3 2 ln1 2 0 0 0 ln 32 2

b

a

x xdy xL dx dxdx x x

x dx dxx x

dx x x xx x

− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −

+ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟− −⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + + = + + − −⎜ ⎟ ⎣ ⎦+ −⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞= + − − + − = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫

19. [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube b

a

V dx= ∫

dxxx

dxxxx

16

132

1

0

2

1

0

−=

−⋅=

π

π

Posons .1 xu −= Alors ( ) .1et - 22 uxdxdu −==

De plus, .01et 10 =⇒==⇒= uxux

( )

( )

( )

( )

02 1 2

1

12 1 2

0

11 2 3 2 5 2

0

13 2 5 2 7 2

0

-6 1

6 1 2

6 2

263 2 5 2 7 2

2 4 2 326 0 0 03 5 7 35

V π u u du

π u u u du

π u u u du

u u uπ

ππ

= −

= − +

= − +

⎡ ⎤= − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + − − + =⎢ ⎥⎣ ⎦

y

x0,2 0,4 0,6 0,8 1

0,2

0,4

0,6

0,8

1

xxy 1 3 −=

Page 203: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

628 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

20. Méthode des disques :

( )

.4

154ln2541ln

454ln

5 5

ln

5

151

525

4

1

4

12

4

12

2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−++=

−==

∫ ∫

ππ

π

π

ππ

xxx

dxxxx

dxxx

dxyVb

a

21. [ ][ ]circonférence du tube hauteur du tube b

a

V dx= ∫

dxexdxex xx 2 21

0

1

0∫∫ == ππ

Posons . et dxedvxu x== Alors ,=et xevdxdu =

de sorte que xxxxx eexdxeexdxex −=−= ∫∫ et

( )

1 1

00

2 2

2 0 1 2 .

x x xV π xe dx π xe e

π e e π

⎡ ⎤= = −⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − − =⎣ ⎦

22. Méthode des tubes :

[ ][ ]

( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

ln 2

0

ln 2

0

ln 22

0

22

2

circonférence du tube hauteur du tube

2 ln 2 1

2 ln 2 ln 2

2 ln 2 ln 22

ln 22 2ln 2 ln 2 2ln 2 2 2 ln 2 1

2

ln 22 - ln 2 1 .

2

b

a

x

x x

x x x

V dx

π x e dx

π e xe x dx

xπ e x xe e

π π

π

=

= − −

= − − +

⎡ ⎤= − − + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥= − − + + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

y

x1 2 3 4

1

2

2,5

1,5

0,5

( )xxy 55/ −=

0

Page 204: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices supplémentaires page 629

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

23. a) Méthode des disques troués :

( ) ( ) ,lnet 1 xxrxR == d'où

( )( ) ( )( )

( )

[ ] ( )

2 2

1

2

1

21

1

1 ln

ln

e

e

ee

V π R x r x dx

π x dx

π x π x dx

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

= −

( ) dxx ln 2∫ s'obtient en posant ( ) .et ln 2 dxdvxu == Alors ,et ln2 xvdxx

xdu == de

sorte que ( ) ( ) . ln2ln ln 22 dxxxxdxx ∫∫ −=

De même, dxx ln∫ s'obtient en posant ,et ln dxdvxu == de sorte que

,et 1 xvdxx

du == et que .lnln ln∫ ∫ −=−= xxxdxxxdxx

Nous obtenons ainsi :

( ) ( )

( ) ( )[ ]

e2

11 ln 2 ln 2

1 2 2 0 0 2

1 2 .

V π e π x x x x x

π e π e e e

π e e π

⎡ ⎤= − − − +⎣ ⎦

⎡ ⎤= − − − + − − +⎣ ⎦

= − − + =

b) Méthode des disques

( )

( )

( )

2

2

1

2

1

1 ln

1 2ln ln .

e

e

V π R x dx

π x dx

π x x dx

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

= −

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

Or ∫ +−= Cxxxdxx ln ln (voir l'exemple 4, page 190) et

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2ln ln 2 ln ln 2 lnx dx x x x dx x x x x x C= − = − − +∫ ∫ (voir l'exercice 46, page

194).

Page 205: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

630 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

( ) ( )

( )

( )

( )( )

e2

1

e2

1

e2

1

Nous avons donc 2 ln ln 2 ln 2

2 ln 2 ln 2 ln 2

5 4 ln ln

5 4 5 0 0

2 5 .

V π x x x x x x x x x

π x x x x x x x x x

π x x x x x

π e e e

π e

⎡ ⎤= − − + − +⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + + − +⎣ ⎦

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

⎡ ⎤= − + − − +⎣ ⎦

= −

24. a) Méthode des disques troués : ( ) ( )et 1.yR y e r y= =

( )( ) ( )( ) ( )

( )

12 2 2

0

1 22 2

0

1

311 02 2 2 2

dy

c

y

V π R y r y dy π e dy

π ee eπ y π

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

b) Méthode des disques : ( ) 1.−= yeyR

( ) ( ) ( )

( )

1 122 2

0 0

12 2

0

22

1 2 1

12 2 1 2 02 2 2

4 5522 2 2

dy y y

c

yy

V π R y dy π e dy π e e dy

e eπ e y π e

π e eeπ e

⎡ ⎤= = − = − +⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − + − − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

− +⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

25. a) 0-lim1-1lim

1lnlimlnlim

020

..

00====

++++ →→∞∞→→x

xx

xxxx

xx

HR

xx et ( ) ,00 =f d'où

( ) ( ).0lim0

fxfx

=+→

La fonction f est donc continue à droite en .0=x

b) Méthode des disques :

( )

( )

2

222

0

ln .

V π R x dx

πx x dx

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

=

L'intégrale s'obtient par intégration par parties.

Page 206: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices supplémentaires page 631

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

Posons ( ) . et ln 22 dxxdvxu == Alors .3

et 1ln23xvdx

xxdu =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

( ) ( )

( )

( )

2 22 22 2

00

2 23 32

0

2 232 2

0

ln lim ln

1lim ln 2ln 3 3

2lim ln ln 3 3

b b

b bb

b bb

V πx x dx π x x dx

x xπ x x dxx

xπ x x x dx

+

+

+

= =

⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟= − ⋅ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟= −⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠

∫ ∫

Posons cette fois . et ln 2 dxxdvxu == Alors ,3

et 1 3xvdxx

du == de sorte que

( )

( )

( ) ( ) .272ln

92ln

3lim

27162ln

9162ln

38

331

32ln

332ln

3lim

3

ln33

2ln3

lim

3323

0

2

2332

3

0

2 32322

3

0

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

⎟⎟

⎜⎜

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅+−=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟

⎜⎜

⎛−⎥

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎤⎢⎣

⎡=

+

+

+

→ ∫

bbbbb

xxxxx

dxxxxxxV

b

bb

bbbb

π

π

π

( ) ( ) ( )23 . .2

3 40 0 0

3. .

3 40 0 0

ln 2 ln 1Or lim ln lim lim

3 3 -9

2ln 2 1 2lim lim lim 0.27-9 27

R H

b b b

R H

b b b

b b bb bb b

b b bb b

+ + +

+ + +

∞ ∞→ → →

∞ ∞→ → →

⋅= =

⋅= = = =

De même, 330 0

-2 2lnlim ln lim 09 -9b b

bb bb+ +→ →

= = selon le raisonnement ci-dessus.

Finalement, .0272lim 3

0=

+→b

b

Nous pouvons enfin conclure que ( )28 16 16ln 2 ln 2 .3 9 27

V π ⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

Page 207: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

632 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

26. Méthode des disques :

( ) ( )

[ ]

1 12 2 2

00

112

0

1

0

-ln lim ln

lim ln 2 ln

-2 lim ln 2 .

b

ba b

bbb

bb

V π R x dx π x dx π x dx

π x x x dx

π x x x π

+

+

+

⎡ ⎤= = =⎣ ⎦

⎛ ⎞⎡ ⎤= −⎜ ⎟⎣ ⎦⎜ ⎟⎝ ⎠

= − =

∫ ∫ ∫

27. Posons . et 1

1 1 dynydvy

u n−=+

= Alors ( )2

1- et .1

ndu dy v yy

= =+

( )

( ) ( )∫∫

∫∫

++=

++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟

⎜⎜

++⎥

⎤⎢⎣

⎡+

=+

→∞→∞→∞

→∞

→∞

1

02

1

02

1

02

1

0

1

0

1

. 1

lim21

1lim

10

21lim

11

lim 1

lim Ainsi,

dyy

ydyy

y

dyy

yy

ydyy

ny

n

n

n

n

nn

n

nn

n

n

n

Or ( )( )

.1

011110 22 n

n

yy

yyyy ≤+

≤⇒≥+⇒≥+⇒≥

De plus, 01

1lim1

01

1lim1

lim lim111

0

11

0

=+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=→∞

++

→∞

+

→∞→∞ ∫ nnnnydyy

n

nn

n

n

n

n

n et .0 0lim

1

0∫ =

→∞dy

n

Il s'ensuit, selon le théorème du sandwich, que ( )

.01

lim1

02 =

+∫∞→ yyn

n

Finalement, .210

21

1lim

1

0

1

=+=+∫

∞→dy

ynyn

n

28. Posons .22 axu −= Alors . 2 dxxdu =

( )

( ) Cn

axC

nuCn

nu

Cnuduudxaxx

nn

nn

n

++

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

=++

=++

+

⋅=

++

==⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

++

+

∫∫

222

22

2

21

12

21

21

2222

12222

xy ln −=

y

x1

z

Page 208: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices supplémentaires page 633

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

29. Si ,10 << x alors ,-0et 0 ,-- , 332323 xxxxxx ><>< d'où 322 44 xxx −−>− et

.2444 22232 xxxxx −=−−>−−

Comme 024et 04 ,04 2322 >−>−−>− xxxx pour ,10 << x il découle des inégalités

précédentes que 2322 2444 xxxx −>−−>− et que .24

1

4

1

4

12322 xxxx −

<−−

<−

Or .6

06

0sin 21sin

2sin

4

1 1

0

1

02

ππ=−=−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

−∫ arcarcxarcdx

x

.

820

4210sin

21sin

21

2sin

21

2

12

1 24

1 ailleurs,Par 1

0

1

02

1

02

ππ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−=

−∫∫

arcarc

xarcdxx

dxx

Selon la propriété de dominance des intégrales définies (voir le théorème 1.2.9, page 25)

.8

2

46

1

032∫ <

−−<

ππ

xx

dx

30. dxxx

axdxxx

ax b

b

21

1lim

21

1 12

12 ∫∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ →∞

( ) ( )

( )

22

11

2

11 1lim ln 1 ln lim ln2 2 2

11lim ln ln 2 .2

bab

b b

a

a

b

xa x xx

b

b

→∞ →∞

→∞

⎡ ⎤+⎡ ⎤ ⎢ ⎥= + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤+⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Or ( ) .21 si limlim1lim 2

1222

>∞==>+ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

→∞→∞→∞ab

bb

bb a

b

a

b

a

b L'intégrale impropre diverge donc si .

21

>a

Pour ,21

=a nous avons ,111lim1lim 2

2

=+=+

∞→∞→ bbb

bb

( )1 22

1 211 1 1 ln 2 lim ln ln 2 ln1 ln 2 - .

2 2 2 4d'où

b

b

b→∞

⎡ ⎤+ ⎛ ⎞⎢ ⎥− = − =⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

L'intégrale impropre converge dans ce cas.

Pour ,21

<a ( ) ( ) ( )

2 22 11 1

0 lim lim lim 1 0

a aa

b b b

b bb

b b−

→∞ →∞ →∞

+ +≤ < = + = d'où ( ) .-1lnlim

2

∞=+

→∞ bb

a

b

Page 209: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

634 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

L'intégrale impropre diverge dans ce cas.

En résumé, l'intégrale impropre dxxx

ax 21

112∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ ne converge que pour .

21

=a Sa valeur est

alors .42ln-

31. Posons ( ) .et dxdvxfu == Alors ( ) .et xvdxxfdu =′=

( ) ( ) ( )

[ ]

( ) ( ) ( )

3 2 3 23 2

22 2

3 2

2

3 22

Alors

3 3 cos 2 2 2 2

3 sin2 2

3 -1 1 3 2.2 2

π ππ

ππ π

π

π

ππ

f x dx xf x xf x dx

π π π πf f x dx

π πb a x

π πb a b a

′⎡ ⎤= −⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

= − − − = − +

∫ ∫

32. [ ] aarcarcaarcxarcx

dx aa

tan 0tan tan tan 1 0

02 =−==

+∫

[ ] [ ] aarcaarcbarcxarcx

dxb

bab

a

tan 2

tan tan limtan lim1 2 −=−==+ ∞→∞→

∫π

Par conséquent, ,4

tan ou 2

tan 2tan 2

tan πππ==⇒−= aarcaarcaarcaarc d'où 1=a

puisque .0>a 33. Calculons la longueur du quart de cercle d'équation 24 xy −= situé dans le premier quadrant.

Nous avons .4

-2-42

122 x

xxxdx

dy

−=⋅

−=

Page 210: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices supplémentaires page 635

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

ππ=−⋅=

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−=

−=

−+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−+=

→ ∫∫

∫∫

02

2

0sin 22

sin 2lim

2sin 2lim

4

2lim 4

2

4

4 4

-1

-

-

-

2

02

022

2

02

2

02

222

0

2

2

arcbarc

xarc

dxx

dxx

dxx

xxdxx

xL

b

b

b

b

b

La longueur du cercle de rayon 2 est ,4L soit .4π

34. Cxyxdx

dyxdx

dy+±=⇒±=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

21

412

Puisque 0=y lorsque ,0=x on en déduit que ,et 0 xyC ±== pour .40 ≤≤ x 35. Soit ( ) .2 cbxaxxP ++= Alors ( ) ( ) ( ) ( ) ,000et 0et 110et 0 =⇒=′=′=⇒== bPbPcPcP

d'où ( ) .12 += axxP

Décomposons ( )( )23 1−xx

xP en fractions partielles : ( ) ( )

.111

123223

2

−+

−+++=

−+

xE

xD

xC

xB

xA

xxax

Pour que l'intégrale soit une fonction rationnelle, il faut que 0et 0 == DA

(puisque ln xAdxxA

=∫ et 1 ln 1

−=−∫ xDdx

xD qui ne sont pas des fonctions rationnelles).

Ainsi, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 3 3 21 1 1 -2 2 ,ax Bx x C x Ex B E x B C x B C x C+ = − + − + = + + + + − +

d'où 02 ,1 =−= CBC d'où aBCB =−= 2 ,2 d'où .3-et 41 ==− aa

Le polynôme recherché est ( ) .13- 2 += xxP

Page 211: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

636 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

36. L'intégrale dxx 11

1-

2∫ − est l'aire du demi-cercle centré à l'origine et de rayon 1 situé au-dessus de

l'axe des x. Cette aire est bien entendu la moitié de l'aire du cercle, soit ( ) ,2

121 2 ππ = ce qui

donneπ lorsqu'elle est doublée.

La longueur de l'arc circulaire 21 xy −= entre 1et -1 == xx est

( )221 1 1

2 2-1 -1 -1

- 11 1 221 1

dy x dxL dx dx π πdx x x

⎛ ⎞⎛ ⎞= + = + = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ − −⎝ ⎠∫ ∫ ∫ puisque L est la moitié de

la circonférence du cercle. Il est donc bien vrai que .1

121

1-2

1

1-

2 ∫∫−

=−x

dxdxx

37. Soit ( ) pp

xxxf 1- == pour .1 ∞<≤ x

L'aire de la région entre ( )xf et l'axe des x est ∫∞

=1

pxdxA et le volume du solide de révolution

autour de l'axe des x est, par la méthode des disques, ( )2

2

21 1 1

1 .p pdxV π R x dx π dx π

x x

∞ ∞ ∞⎛ ⎞⎡ ⎤= = =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

Or ∫∞

1px

dx converge si 1>p et diverge si 1≤p (voir l'exemple 4 de la section 3.6, page 231).

Donc l'aire de la région est infinie pour .1≤p

De même, ∫∞

12 px

dx converge si 12 >p et diverge si .12 ≤p

Donc le volume de révolution est fini si ,12 >p ou .21>p

Par conséquent, pour que l'aire de la région soit infinie et que le volume de révolution soit fini,

il faut .121

≤< p

Page 212: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices supplémentaires page 637

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

38. L'aire est donnée par l'intégrale .1

0∫= px

dxA

Pour 1=p : [ ]10 0

lim ln - lim lnbb bA x b

+ +→ →= = = ∞ et l'intégrale diverge.

Pour 1>p : 11 1

0 0lim 1 lim -p p

bb bA x b

+ +

− −

→ →⎡ ⎤= = − = ∞⎣ ⎦ et l'intégrale diverge.

Pour 1<p : 11 1

0 0lim 1 lim 1 0 1p p

bb bA x b

+ +

− −

→ →⎡ ⎤= = − = − =⎣ ⎦ et l'intégrale converge.

L'aire de la région est donc infinie pour .1≥p

Le volume du solide engendré par la rotation de la région autour de l'axe des x est ,1

02∫= px x

dxV π

qui converge si ,21ou ,12 << pp et diverge si .

21

≥p Le volume est donc infini dans tous les

cas où l'aire est infinie ( 1≥p ). Le volume du solide engendré par la rotation de la région autour de l'axe des y est

( ) 2

21 1

,y pdyV R y dy π

y

∞ ∞

⎡ ⎤= =⎣ ⎦∫ ∫ qui converge si ,12>

p c'est-à-dire si 2<p (voir l'exercice 37).

En résumé, la région sous la courbe pxy -= a une aire infinie et donne lieu à un volume de

révolution fini pour .21 <≤ p 39. a)

b) ( ) ( ) ( )0- - -

- +- - 0

lim lim x x x x

bx e e ex x e x

a ba

e dx e e dx e e dx e e dx∞ ∞

→ ∞ → ∞∞ ∞

= = +∫ ∫ ∫ ∫

Posons .xeu = Alors dxedu x = et

Page 213: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

638 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

( )

b

1- -

- +- 1

1- -1- +

- -

- +

0

lim lim

lim - lim -

1 1lim - lim -

1 1- 0 1.

bx

a

b

a

a

ex e u u

a be

eu uea b

e e

a b

e dx e du e du

e e

e ee e

ee e

∞−

→ ∞ → ∞∞

→ ∞ → ∞

→ ∞ → ∞

= +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

L'intégrale impropre converge.

40. a) ( )∫∫ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−+−+−=

+− 1

02

24561

02

44

722

144454

11 πdx

xxxxxdx

xxx

b) % 04,0%100722

≈×−

π

π

c) L'aire est inférieure à 0,003.

41.

d'où

2 2

2 2

1 cos3 sin 33

1 1 -2 - cos3 4 - cos3 ,9 9

x x

x x

e x dx e x

e x e x dx

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x

y

( )1 1 2

44

+−=

xxxy

10,2 0,4 0,6 0,8

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0 0x

y

( )1 1 2

44

+−=

xxxy

10,2 0,4 0,6 0,8

0,001

0,002

0,003

0,004

0,005

Page 214: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices supplémentaires page 639

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

∫ ∫

+=

−+=

xexedxxe

dxxexexedxxe

xxx

xxxx

3cos923sin

31 3cos

913

3cos943cos

923sin

31 3cos

222

2222

et ( )∫ ++= .3cos23sin313

3cos2

2 Cxxedxxex

x

42.

d'où ∫ += xexedxxe xxx 4sin1634cos

41- 4sin

1625 333

et [ ] .4cos44sin325

4sin2534cos

254- 4sin

3333 Cxxexexedxxe

xxxx +−=+=∫

43.

d'où

∫ ∫++= dxxxxxxxdxxx sin3sin9sin3cos3cos3sin- sin3sin

∫ +=− xxxxdxxx sin3cos3cos3sin- sin3sin8 et

.8

sin3cos3cos3sin sin3sin Cxxxxdxxx +−

=∫

44.

d'où ∫ −= xxxxdxxx 4sin5sin1654cos5cos

41- 4sin5cos

169-

et .4sin5sin954cos5cos

94 4sin5cos Cxxxxdxxx ++=∫

( )( ) ( ) ( ) , sin-3sin9-sin-3cos3-

cos-3sin sin3sin dxxxxx

xxdxxx⋅+⋅

⋅=

∫∫

3 3

3 3

1 sin 4 - cos 44

3 9 sin 4 sin 4 ,16 16

x x

x x

e x dx e x

e x e x dx

=

+ −

1 cos 5 sin4 - cos 5 cos 44

5 25 sin 5 sin 4 cos 5 sin 4 ,16 16

x x dx x x

x x x x dx

=

− +

Page 215: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

640 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

45.

dxbxb

eabxb

eabxb

edxbxe axaxaxax sin1-sin1-cos1- sin 22

2 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= ∫∫

dxbxebabxe

babxe

bdxbxe axaxaxax sinsincos1- sin 2

2

2 ∫∫ −+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ +∫ bx

babx

bedxbxe

bab axax sincos1- sin 22

22

( ) Cbxbbxaab

edxbxeax

ax +−+

=∫ cossin sin 22

46.

d'où 2

2 211 cos sin cos ,ax ax axa ae bx dx e bx e bxbb b

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

+=∫ bx

babx

be

babdxbxe axax cossin1 cos 222

2

et ( ) .cossin cos 22 Cbxabxbba

edxbxeax

ax +++

=∫

47.

48.

( ) ( )

( )

1 ln ln

ln

ax dx x ax x dxx

x ax x C

= − ⋅

= − +

∫ ∫

2

2 2

1 cos sin

+ cos cos ,

ax ax

ax ax

e bx dx e bxb

a ae bx e bx dxb b

=

( ) ( )

( ) Cxaxx

dxxaxxdxaxx

+−=

−= ∫∫

9ln

3

3

ln3

ln 33

232

Page 216: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

Exercices supplémentaires page 641

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

49. a) ( ) - -

0 0

1 lim b

t t

be dt e dt

→∞Γ = =∫ ∫

- - 00

lim - lim - 0 1 1.bt b

b be e e

→∞ →∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

b) ( ) dtetx tx 10

-∫∞

=+Γ

Posons . et - dtedvtu tx == Alors tx evdxxtdu -1 -et == − (x est un nombre réel

positif fixé.)

( )

( ) ( ) ( )

- -

0 0

- - 10

0

1 -

0

1 lim

lim - -

-lim 0

0 0

bx t x t

b

bx t t x

b

xx t

bb

x t e dt t e dt

t e x e t dx

b x t e dxe

x x x x

→∞

∞−

→∞

∞−

→∞

Γ + = =

⎡ ⎤= −⎣ ⎦

⎡ ⎤= + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

= + + Γ = Γ

∫ ∫

Remarque : 0lim =−∞→ b

x

b eb quelle que soit la valeur de x. On dit alors que be est

« dominant » sur toute puissance ,xb en ce sens que ∞→be plus rapidement que xb

lorsque .∞→b (Attention ! Le rôle des lettres est inversé dans le présent contexte : b est

une variable et x est un nombre fixe).

La règle de L'Hospital s'avère un instrument bien utile ici, puisque les indéterminations

du type ∞∞ se succèdent ainsi :

( ) ( )( )2 31. . . . . .- 1 - 1 2- -lim lim lim lim etc.x xx xR H R H R H

b b b bb b b b

x x b x x x bb xbe e e e

− −−

→∞ ∞ ∞ →∞ ∞ ∞ →∞ ∞ ∞ →∞

− − −= = =

Si x est un entier, alors les dérivées successives de xb finissent par arriver à 0 alors

que le dénominateur demeure toujours le même à .be

Si x n'est pas un entier, alors les dérivées successives de xb finissent par donner un

exposant négatif de sorte que x

bb

∞→lim au numérateur arrive aussi à 0 alors que be au

dénominateur tend vers .∞

Page 217: CALCUL INTÉGRAL...∫x sin x dx =-x2 cosx +2xsin x +2cosx +C 5. Soit u =ln x et dv =x dx. Alors , 2 1 2 et x dx v x du = = de sorte que dx x x x x x x dx 1 2 ln 2 ln 2 ∫ = −∫

642 Chapitre 3 Techniques d'intégration, règle de l'Hospital et intégrales impropres

Calcul intégral, 11e édition – Chapitre 3 – Solutionnaire - © 2009 Chenelière Éducation inc.

c) Soit à démontrer que ( ) !.1 nn =+Γ

(1) Vrai pour ,0=n puisque ( ) ( )0 1 1 1 0!.Γ + = Γ = =

(2) Supposons l'énoncé vrai pour kn = quelconque, où ( )0 : 1 !.k k k> Γ + =

(3) Alors l'énoncé sera vrai pour .1+= kn

( ) ( ) ( )( )( )

En effet, 1 1 1 1

1 ! d'après (2)

1 !.

k k k

k k

k

Γ + + = + Γ +

= +

= +

Il s'ensuit que ( ) !1 nn =+Γ pour tout entier positif n.

50. a) ( ) ( ) .22!!et 2 πππ nen

nennnnnn

xexx

nnx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≈⇒=Γ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛≈Γ

b) n

πnen n

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Calculatrice

10 619,695 598 3 800 628 3

20 18104227868,2 × 1810432902,2 ×

30 32101075164,2 × 3210286525,2 ×

40 47106217214,8 × 47102815915,8 ×

50 64106446303,3 × 64109301404,3 ×

60 81108339430,8 × 81101780932,8 ×

c) n

πnen n

2⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ( )n

n

enen 1212 π⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Calculatrice

10 619,695 598 3 051,108 286 3 800 628 3


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