1
CHAPITRE III
Caractéristiques géométriques des sections
planes
Résistance des MatériauxNiveau L2 GC
UNIVERSITE ABOUBEKR BELKAÏD- TlemcenFaculté de Technologie
Département de Génie Civil
Intervenants dans la MatièreDr. Latefa SAIL
Dr. Souad BENHACHILIFDr. Naouel DJAFOURMme. Sabah GHEZALIAnnée Universitaire: 2019/2020
Introduction
Ultérieurement, pour calculer les contraintes et les
déformations des solides étudiés, nous aurons besoin de
savoir déterminer un certain nombre de caractéristiques
géométriques des sections planes :
Centre de gravité,
Moment statique,
Moments quadratiques
2
2
I. Centre de gravité
Soit une section plane d’aire S définie dans un repère
orthonormé Oxy.Les coordonnées du centre de
gravité G sont définies par :
S
y.dSY
S
x.dSX S
GS
G
Si la section S peut être décomposée en sous-sections
simples, d’aires connues Si et de centres de gravités
connus (xGi et yGi) alors :
S
.
Y S
.
X 1G
1G
n
iGii
n
iGii ySxS
O x
y
G
XG
YG
3
II. Moment statique
Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment
statique élémentaire par rapport à l’axe Ox est, par
définition, la quantité : Y.dSd x
De même : XO x
y
dSY
(S) Ce qui donne pour l’ensemble de la section :
S.Ysoit y.dS GS
xx
S.Xsoit x.dS GS
yy
4
3
II. Moment statique
Remarques :
pour tout axe passant par le centre de gravité, le moment
statique par rapport à cet axe est nul.
si la section S peut être décomposée en sous-sections
simples, d’aires connues Si et de c.d.g connus (xGi et yGi)
alors :
n
1iGiiy
n
1iGiix
.xS
.yS
5
III. Moments quadratiques
III.1 Moment quadratique par rapport à un axe
Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment
quadratique élémentaire par rapport à l’axe Ox est, par
définition, la quantité : Y².dSdIOx
et:
XO x
y
dSY
(S) Ce qui donne pour l’ensemble de la section :
y².dSISOx
Sx².dSIOy
6
Le moment quadratique est aussi appelé moment d’inertie
de la section.
Il est toujours positif
4
III. Moments quadratiques
III.2 Translation d’axes : Théorème de Huygens
Soit un élément dS de S dans le repère Oxy, et soit le
repère Gxy qui passe par le centre de gravité G de S et
dont les axes sont parallèles à Ox et Oy.y'Y y avec y².dSI G
SOx
dS
O x
y
G x
y
yYG
y’
SGGOx y'²).dS.y'2.Y²(YISoit :
Ce qui donne :
S SS
GGOx dSy'²dSy'.2.YdS².YI
²S.YII GGxOx
²S.XII GGyOy
Finalement, on obtient :
=S = moment statique/Gx= 0
7
III. Moments quadratiques
Théorème :
Le moment quadratique par rapport à un axe est égal au
moment quadratique par rapport à un axe parallèle
passant par le centre de gravité, augmenté du produit de
la surface par le carré de la distance entre les deux axes.
Calcul pratique :
Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de
moments quadratiques connus IOxiet IOyi
, alors:
n
i 1OxOx i
II
n
i 1OyOy i
II
8
5
III. Moments quadratiques
n
i 1GGiixGGx ² YY.SII
i
n
i 1GGiiyGGy ² XX.SII
i
Remarque :
Généralement, pour le calcul des contraintes et des
déformations, nous avons besoin de connaître le moment
quadratique de la section par rapport à son centre de
gravité.
Donc si la section peut être décomposée en n sous-
sections Si de centre de gravité Gi et de moment
quadratique IGixou IGiy
connus:
9
III. Moments quadratiques
III.3 Moment quadratique par rapport à un couple d’axe
Ce moment quadratique est aussi appelé moment produit.
Pour un élément dS, le moment produit élémentaire par
rapport aux axes Ox et Oy est par définition la quantité:
X.Y.dSdIOxy
Ce qui donne pour l’ensemble de la section: x.y.dSIS
Oxy
Théorème de Huygens: GGGxyOxy .YS.XII
Remarques:
Le moment produit est une grandeur algébrique
Si un des deux axes est un axe de symétrie pour la section
alors IOxy=010
6
III. Moments quadratiques
Calculs pratiques :
Si la surface peut être décomposée en n sous-sections
de moments produits connus IOxyi, alors:
n
i 1OxyOxy i
II
Si on cherche le moment produit d’une section par
rapport à son centre de gravité et que celle-ci peut être
décomposée en n sous-sections de c.d.g. Gi connus et
de moments produits par rapport à leur c.d.g. connus
IGixy, alors:
n
i 1GGiGGiixyGGxy YY.XX.SII
i
11
III. Moments quadratiques
III.3 Moment quadratique par rapport à un point
Ce moment quadratique est aussi appelé moment
quadratique (ou d’inertie) polaire.
Pour un élément dS, à une distance r de O, le moment
quadratique polaire élémentaire par rapport à ce point est
par définition la quantité: ².dS dIo r
Ce qui donne pour l’ensemble de la section:
².dSIS
o r
Remarque: on peut écrire
OyOx III o
XO x
y
dSY
(S)
²y²x ² r SS
o ².dS².dSI yxsoit:
Finalement, on obtient:12
7
III. Moments quadratiques
III.3 Moment quadratique par rapport à un point
Changement d’origine (Théorème de Huygens)
Soit:
²S.XI²S.YII GGyGGxo
ou:
Finalement, on obtient:
O x
y
G x
y
YG
XG
²Y²XS.III GGGyGxo
² OGS.II Go
OyOx III o
13
III. Moments quadratiques
Remarques pratiques concernant le calcul des moments
quadratiques
Les moments quadratiques s’ajoutent et se retranchent. Cette
propriété permet une détermination aisée dans le cas de
surfaces composées d’éléments simples.
1 1 1
2 2 2
[1]+[2] [1]+[2] [1]-[2] 14
8
III. Moments quadratiques
III.4 Moments quadratiques d’axes concourants
III.4.1 Rotations d’axes
Soit la section plane S, et deux systèmes d’axes Oxy et OXY
obtenu par une rotation d’angle .
Ox
y
dS
(S)
x
yX
Y
XY
Les relations liant les coordonnées dans
les deux repères sont:
Calculons le moment quadratique / OX :
y.cosθx.sinθY y.sinθx.cosθX
SS
OX ².dS y.cosθx.sinθ- Y².dSI
S
OX .dS y².cos²θcosθ2.xy.sinθ.x².sin²θI15
III. Moments quadratiques
III.4.1 Rotations d’axes
Ce qui nous donne :
En passant à l’angle double :
OX Oy Ox OxyI =sin²θ.I +cos²θ.I -2.sinθ.cosθ.I
1 cos 2 1 cos2 sin 2cos ² ; sin ² ; sin .cos
2 2 2
On obtient :
Ox Oy Ox Oy
OX Oxy
I +I I -II = + .cos2θ-I .sin2θ
2 2
SS SOX xy.dScosθ2sinθy².dScos²θx².dSsin²θI
16
9
III.4.1 Rotations d’axes
De même, pour le moment quadratique / OY, on obtient :
Calcul du moment produit :
OXY S SI = XY.dS x.cos +y.sin . -x.sin +y.cos .dS
Ox Oy Ox Oy
OY Oxy
I +I I -II = - .cos2θ+I .sin2θ
2 2
OXY S S SI =sin .cos . y².dS- x².dS (cos ² sin ² ) x.y.dS
Soit :
Ox Oy
OXY Oxy
I -II = .sin2θ+I .cos2θ
2 17
III. Moments quadratiques
III.4.3 Expression des moments quadratiques principaux
III. Moments quadratiques
Pour connaître les expressions des moments quadratiques principaux (Imaxi et Imini), il suffit de remplacer, dans les formules donnant IOX, IOY et IOXY, la valeur de q par les solutions de l’équation:
Oxy
Ox Oy
-2Itan(2θ)=
I -IOn obtient ainsi:
2
Ox Oy Ox Oy 2maxi Oxy
2
Ox Oy Ox Oy 2mini Oxy
I +I I -II = + +I
2 2
I +I I -II = - +I
2 2
10
III.4.4 Représentation graphique – Cercle de Mohr
III. Moments quadratiques
Reprenons les expressions donnant IOX et IOXY
Effectuons la somme des carrés, on obtient:
Ox Oy Ox Oy
OX Oxy
I +I I -II - = .cos2θ-I .sin2θ
2 2
Ox Oy
OXY Oxy
I -II = .sin2θ+I .cos2θ
2
2 2
Ox Oy Ox Oy2 2OX OXY Oxy
I +I I -II - +I = +I
2 2
Ce qui correspond à l’équation d’un cercle de centre C et de rayon R 2
Ox Oy Ox Oy 2c Oxy
I +I I -Ix = et R= +I
2 2
III.4.4 Représentation graphique – Cercle de Mohr
Le cercle de Mohr permet la détermination graphique des axes principaux et des moments correspondants, on connait, Ix, Iy et Ixypour un système d’axes.
III. Moments quadratiques
Iaxes
Icouples d’axes
O
ImaxiImini
C
IOx
IOxy
IOy
-IOxy
-2
2
Ox Oy Ox Oy 2c Oxy
I +I I -Ix = et R= +I
2 2
11
21
Module d’Inertie
Définition
Le module d’inertie est un élément indispensable pour le calcul de la résistance à la rupture de différents matériaux. Il dépend de la forme, de la section de ces matériaux et est complémentaire au moment d’inertie .Le moment d’inertie est le quotient du moment d’inertie par la distance de celui-ci au centre de gravité du matériau ou à un axe.
22
Cylindre plein Moment d’inertie sur axe xx‘:
et le Module d’inertie :
Cylindre creux
Moment d’inertie sur axe xx‘:
et le Module d’inertie :
12
Matériaux parallélépipédiquesParallélépipède (fig.1) par rapport sa base Moment d’inertie : et module d’inertie :
Parallélépipède (fig. 2) par rapport àl’axe passant par son centre :Moment d’inertie : et module d’inertie :
Parallélépipède (fig. 3) en son centre :
Moment d’inertie (torsion) :
23
Rayon de Giration
Le rayon de giration « r » est une caractéristique géométrique d’une section qui est utilisé dans la détermination de l’élancement d’un élément de structure soumis à un effort de compression « poteau ».
r2 = I / S , Ou
Si l’on considère les axes xx et yy, on aura:
24
13
TD EXERCICES
I. Centre de gravité
Exercice 1.
Xg= S1. x1+S2. x2 / (S1+S2)
Yg= S1. y1+S2. y2 / (S1+S2)
Xg = 25 mm
Yg= 20 mm
1
2
50 mm
10 mm
10 mm
50 mm
O
y
x
xG
G20
26
Xg Yg S
1 25 5 500
2 25 35 500
27
Exercice 2.
Soit le triangle rectangle de hauteur h et longueur a,
Déterminer la position du centre de gravité « G » (ZG , YG).
14
28
29
15
30
Exercice 3.
Soit la section ci-dessous, les cotes sont en cm.
Déterminer le produit d’inertie par rapport au système yGz
Déterminer les moments quadratiques par rapport aux axes Gy et GZ.
31
Préalablement il faut définir la position de G :
Puis calculer :
16
32
33
Moments quadratiques par rapport aux axes GZ et GY :
17
34
Exercice 4.
Rechercher le centre de masse du profil type 414A ci-contre, utilisé en carrosserie.
Déterminer les moments d’inertie par rapport aux axes (Ox,Oy) (horizontal et vertical) passant par ce centre de gravité.
25
352
36,6
Réponses : Les coordonnées sont données par rapport au coin inférieur gauche.xG = 22,03 mm.yG = 19,01mm .IxG = 31595 mm4IyG = 27256 mm4
35
EXERCICE 5. L'aire de la surface ci-contre vaut 129 cm². Ses moments d'inertie
par rapport aux axes α et α‘ valent respectivement 37 460 cm4 et 74 920 cm4. La distance d2 vaut 7.6 cm. Calculez la distance d1, le moment d'inertie de la surface par rapport à l'axe central y, et le moment statique de la surface par rapport à l'axe α'.
L'aire de la surface ombrée Vaut maintenant 96.78 cm². Son moment d'inertie par rapport à l'axe α' vaut 16 650 cm4.Les distances d1 et d2 valentrespectivement 7.6 cm et 5.1 cm
Calculez le moment d'inertie dela surface par rapport à l'axe α .
18
36
37
Exercice 6.
Calculez pour la surface ci-contre:
1°) Les moments et le produit
d'inertie par rapport aux axes
centraux y et z.
2°) La position des axes centraux
principaux et les moments d'inertie
principaux.
3°) Les moments et le produit
d'inertie par rapport à deux
nouveaux axes centraux obtenus par
une rotation positive de 30° des
axes y et z.
19
38
Décomposons la surface initiale S en trois surfaces S1, S2 et S3:
Appliquons le théorème d’Huygens :
39
20
40
41