Chapitre 5Elments nis de LagrangeLa construction d une mthode dlments nis ncessite la donne dun maillage, de noeuds et dun espace depolynmes, qui doivent tre choisis de manire cohrente. Les lments nis de type Lagrange font intervenircomme degrs de libert" (c..d. les valeurs qui permettent de dterminer entirement une fonction) les valeurs dela fonction aux noeuds. Ils sont trs largement utiliss dans les applications. Il existe dautres familles dlmentsnis, comme par exemple les lments nis de type Hermite qui font galement intervenir les valeurs des drivesdirectionnelles. Dans le cadre de ce cours, nous naborderons que les lments nis de type Lagrange, et nousrenvoyons aux ouvrages cits en introduction pour dautres lments.5.1 Espace dapproximation5.1.1 Cohrence locale"Soit T un maillage de , pour tout lment K de T , on note K lensemble des noeuds de llment. On supposeque chaque lment a N

noeuds K : K= {a1, . . . , aN

}, qui ne sont pas forcment ses sommets. On note P unespace de dimension nie constitu de polynmes, qui dnit la mthode dlments nis choisie.Dnition 5.1 (Unisolvance, lment ni de Lagrange) Soit K un lment et K=(ai)i=1,...,N

un ensemblede noeuds de K. Soit P un espace de polynmes de dimension nie. On dit que le triplet (K, K, P) est un lmentni de Lagrange si K est P-unisolvant, cest dire si pour tout (1, . . . , N

) IRN

, il existe un unique lmentf P tel que f(ai)=ii=1 . . . N

. Pour i=1, . . . , N

, on appelle degr de libert la forme linaire idnie par i(p) = p(ai), pour tout p P. La proprit dunisolvance quivaut dire que la famille (i)i=1,...,N

forme une base de P

(espace dual de P).La P-unisolvance revient dire que toute fonction de P est entirement dtermine par ses valeurs aux noeuds.Exemple : llment ni de Lagrange P1Prenons par exemple, en dimension 1, llment K=[a1, a2], avecK= {a1, a2}, et P=P1 (ensemble des polynmes de degr infrieur ou gal 1). Le triplet (K, K, P) estunisolvant sil existe une unique fonction f de P telle que :_f(a1) = 1f(a2) = 21595.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEOr toute fonction f de P sexprime sous la forme f(x) = x + et le systme___a1 + = 1a2 + = 2dtermine et de manire unique.a1a2a31a1a2a32a1a2a33FIGURE 5.1 fonctions de base locales pour llment ni de Lagrange P1 en dimension 2De mme si on considre le cas d = 2. On prend comme lment K un triangle et comme noeuds les trois sommets,a1, a2, a3 du triangle. Soit P=P1= {f :IR IR; f(x)=x1 + x2 + } lensemble des fonctions afnes.Alors le triplet (K, K, P) est un lment ni de Lagrange car f P est entirement dtermine par f(a1), f(a2)et f(a3).Dnition 5.2 (Fonctions de base locales) Si (K, K, P) est un lment ni de Lagrange, alors toute fonction fde P peut scrire :f=N

i=1f(ai)fiavec fi P et fi(aj) = ij. Les fonctions fi sont appeles fonctions de base locales.Pour llment ni de Lagrange P1 en dimension 2 considr plus haut, les fonctions de base locales sont dcritessur la gure 5.1Dnition 5.3 (Interpole) Soit (K, K, P) un lment ni de Lagrange, et soit v C(K, IR). Linterpole de vest la fonction v P dnie par :v=N

i=1v(ai)fiOn montre sur la gure 5.2 un exemple dinterpole pour llment ni de Lagrange P1 en dimension 1. Ltudede v v va nous permettre dtablir une majoration de lerreur de consistance d(u, HN).Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 160 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEa1 a2xf(x)FIGURE 5.2 Interpole P1 sur [a1, a2] (en trait pointill) dune fonction rgulire (en trait continu)1 23FIGURE 5.3 Exemple de triangle trois noeuds qui nest pas un lment ni de Lagrange)Remarque 5.4 Pour que le triplet (K, K, P) soit un lment ni de Lagrange, ilfaut, mais il ne suft pas, quedimP=cardK. Par exemple si P=P1 et quon prend comme noeuds du triangle deux sommets et le milieude larte joignant les deux sommets, (voir gure 5.3), (K, K, P) nest pas un lment ni de Lagrange.Proposition 5.5 (Critre de dtermination) Soit (K, , P) un triplet constitu dun lment, dun ensemble denoeuds et dun espace de polynmes, tel que :dimP= card = N

(5.1.1)Alorssi !f P; f= 0 sur (5.1.2)ou sii {1 . . . N

}fi P fi(aj) = ij(5.1.3)alors (K, , P) est un lment ni de Lagrange.Dmonstration : Soit :: P IRN

f (f(ai))ti=1,N

.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 161 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGELapplication est linaire de P dans IRN

, et, par hypothse card = dimP. Donc est une application linairecontinue de P dans IRN

, avec dimP=dim(IRN

)=N

. Si (K, , P) vrie la condition (5.1.2) alors estinjective. En effet, si (f)=0, alors f(ai)=0, i=1, . . . , N

, et donc par hypothse, f=0. Donc est uneapplication linaire, est injective deP dansIRN

avecdimP=N

. On en dduit que est bijective. Donctoute fonction de P est entirement dtermine par ses valeurs aux noeuds : (K, , P) est donc un lment ni deLagrange.On montre facilement que si la condition (5.1.3) est vrie alors est surjective. Donc est bijective, et (K, , P)est un lment ni de Lagrange.Proposition 5.6 Soit ( K, ,P), un lment ni de Lagrange, o est lensemble des noeuds deK etP un espacede fonctions de dimension nie, et soit F une bijection deK dans K, o K est une maille dun maillage lmentsnis. On pose =F() et P= {f:K IR; f F P} (voir gure 5.4). Alors le triplet (K, , P) est unlment ni de Lagrange.KK(x, y) a3F a1 a2( x, y)a1= F( a1)a3= F( a3)a2= F( a2)FIGURE 5.4 Transformation FDmonstration : Supposons que les hypothses de la proposition sont ralises. On veut donc montrer que (, P)est unisolvant. Soit=(a1, . . . , aN

), et soit(1, . . . , N

) IRN

. On veut montrer quil existe une uniquefonction f P telle quef(ai) = i, i = 1, . . . , N

.Or par hypothse, (,P) est unisolvant. Donc il existe une unique fonctionf P telle quef( ai) = i, i = 1, . . . , N

,(o( ai)i=1,...,N

dsignent les noeuds deK). SoitF la bijection deK surK, on posef =f F1. Or parhypothse, ai= F( ai). On a donc : f(ai) =f F1(ai) =f( ai) = i. On a ainsi montr lexistence de f telleque f(ai) = i.Montrons maintenant que f est unique. Supposons quil existe f et g P telles que :f(ai) = g(ai) = i, i = 1, . . . , N

.Soit h = f g on a donc :h(ai) = 0 i = 1 . . . N

.On a donc h F( ai)=h(ai)=0. Or h F P, et comme (,P) est unisolvant, on en dduit que h F=0.Comme, pour tout x K, on a h(x) = h F F1(x) = h F(F1(x)) = 0, on en conclut que h = 0.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 162 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEDnition 5.7 (Elments afne-quivalents) . Sous les hypothses de la proposition 5.6, si la bijectionF estafne, on dit que les lments nis ( K, ,P) et (K, , P) sont afnequivalents.Remarque 5.8 Soient( K, ,P) et (K, , P) deux lments nis affnequivalents. Si les fonctions de baselocales de ( K, ,P). (resp. de (K, , P)) sont afnes, alors celles de K (resp.K) le sont aussi, et on a :___fi= fi F,fi=fi F1,i = 1, . . . , cardLa preuve de cette remarque fait lobjet de lexercice 52.Proposition 5.9 (Interpolation) Sous les hypothses de la proposition 5.10 page 164, soient K et K les op-rateurs dinterpolation respectifs surK et K, voir dnition 5.3 page 160. Soient v C(K, IR), Kv et Kv lesinterpoles respectives de v sur ( K,P) et (K, P), alors on a :Kv F= K(v F)Dmonstration : Remarquons tout dabord que Kv F et K(v F) sont toutes deux des fonctions dnies deK valeurs dans IR, voir gure 5.5. Remarquons ensuite que, par dnition de linterpole, Kv P. CommeKIRKFKvKvF KvFIGURE 5.5 Oprateurs dinterpolation K etK( K, ,P) est llment de rfrence, on a donc :Kv F POn a aussi, par dnition de linterpole : K(v F) P. On en dduit que Kv F et K(v F) sont toutesdeux des fonctions deP. Comme llment ( K,P, ) est unisolvant (car cest un lment ni de Lagrange), toutefonction deP est uniquement dtermine par ses valeurs aux noeuds de. Pour montrer lgalit de Kv F etK(v F), il suft donc de montrer que :K(v F)( ai) = Kv F( ai), i = 1, . . . , N

,o N

= card. Dcomposons K(v F) sur les fonctions de base locales ( fj), j= 1, . . . , N

. On obtient :K(v F)( ai) =N

j=1v F( aj) fj( ai).Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 163 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEOn a donc :K(v F)( ai) = v __N

j=1F( aj) fj__( ai) = v F( ai) = v(ai).Mais on a aussi :Kv F( ai) = Kv(F( ai)) = Kv(ai) = v(ai).Do lgalit.5.1.2 Construction de HN et conformitNous allons considrer deux cas : le cas o lespaceH est lespaceH1tout entier, et le cas o lespaceH estlespace H10Cas H= H1()Plaons-nous ici dans le cas o H=H1(), o IRdest un ouvert born polygonal (si d=2, polydriquesid=3). Soit T un maillage lments nis, avec T =(K

)=1,...,L, o les lments nisK

sont ferms ettels que L=1K

=. Soit S =(Si)i=1,...,M lensemble des noeuds du maillage lments nis, avecSi, i = 1, . . . , M.. On cherche construire une mthode dlments nis de Lagrange ; donc chaque lmentK

, =1, . . . , L, est associ un ensemble de noeuds

= S K

, et un espace P

de polynmes. On veut quechaque triplet (K

,

, P

) soit un lment ni de Lagrange. On dnit les fonctions de base globales (i)i=1,...,M,par :i |K

P

i = 1, . . . , M; = 1; . . . , L, (5.1.4)eti(Sj) = iji = 1, . . . , M, j= 1, . . . , M. (5.1.5)Chaque fonction i est dnie de manire unique, grce au caractre unisolvant de (K

,

, P

), =1, . . . , M.On pose HN=V ect(1, . . . , M). Pour obtenir une mthode dlments nis conforme, il reste sassurer queHN H1.Une manire de construire lespace HN est de construire un maillage partir dun lment de rfrence, grce laproposition suivante, qui se dduit facilement de la proposition 5.6 page 162Proposition 5.10 (Elment ni de rfrence) Soit T un maillage constitu dlmentsK. On appelle lmentni de rfrence un lment ni de Lagrange ( K, ,P), o est lensemble des noeuds deK etP un espace defonctions, de dimension nie, tel que, pour tout autre lment K T , il existe une bijection F:K K telleque =F() et P= {f: K IR; f F P} (voir gure 5.4). Le triplet (K, , P) est un lment ni deLagrange.Proposition 5.11 (Critre de conformit, cas H1) Soit un ouvert polygonal (ou polydrique) de IRd, d = 2 ou3. Soit T =(K

)=1,...,L, un maillage lments nis de , S=(Si)i=1,...,M lensemble des noeuds de maillage.On se place sous les hypothses de la proposition 5.10 ; soient (i)i=1,...,M les fonctions de base globales, vriant(5.1.4) et (5.1.5), et on suppose de plus que les hypothses suivantes sont vries :Pour toute arte (ou face si d = 3)= K1 K2, on a : 1 = 2 et P1 |

= P2|

, (5.1.6)o P1|

(resp. P2|

) dsigne lensemble des restrictions des fonctions de P1 (resp. P2) ),Siest un ct de K

, (

, P

|

) est unisolvant. (5.1.7)Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 164 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEAlors on a : HN C() et HN H1(). On a donc ainsi construit une mthode dlments nis conformes.(Notons que les cts de K

sont des artes en 2D et des faces en 3D.)Dmonstration : Pour montrer que HN C() et HN H1(), il suft de montrer que pour chaque fonctionde base globale i, on a i C() et i H1(). Or par hypothse, (5.1.4), chaque fonction i est polynmialepar morceaux. De plus, grce lhypothse (5.1.6), on a raccord des polynmes sur les interfaces des lments, cequi assure la continuit de i. Il reste montrer que i H1() pour tout i=1, . . . , M. Comme i C(), ilest vident que i L2() (car est un ouvert born, donc i L() L2().Montrons maintenant que les drives faiblesDji, j =1, . . . , d, appartiennent L2(). Par dnition, lafonction i admet une drive faible dans L2() sil existe une fonction i,j L2() telle que :_i(x)j(x)dx = _ij(x)(x)dx, (5.1.8)pour toute fonction C1c() (on rappelle que C1c() dsigne lensemble des fonctions de classe C1 supportcompact, et que j dsigne la drive classique par rapport la j-me variable). Or, comme =L_=1K

, on a :_i(x)Dj(x)dx =L

=1_K

i(x)Dj(x)dx.Sur chaque lment K

, la fonction i est polynmiale. On peut donc appliquer la formule de Green, et on a :_KLi(x)j(x)dx =_K

i(x)(x)nj(x)d(x) _K

ji(x)(x)dx,o nj(x) est la j-ime composante du vecteur unitaire normal K

en x, extrieur K

. Mais, si on note Eintlensemble des artes intrieures du maillage (i.e. celles qui ne sont pas sur le bord), on a :X=L

=1_K

i(x)(x)nj(x)d(x) =_i(x)(x)nj(x)d(x)+

Eint_ _(i(x)(x)nj(x))K

1+ (i(x)(x)nj(x))K

2d(x).o K1 et K2 dsignent les deux lments dontest linterface.Comme est support compact,_i(x)(x)nj(x)d(x) = 0.Comme i et sont continues et comme nj(x)K

1= nj(x)K

2pour tout x , on en dduit que X= 0. Enreportant dans (5.1.2), on obtient donc que :_i(x)j(x)dx = L

=1_K

ji(x)(x)dx.Soit i,j la fonction de dans IR dnie presque partout parij K= ji.Comme ji est une fonction polynmiale par morceaux, on a i,j L2() qui vrie (5.1.8), ce qui termine ladmonstration.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 165 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.1. ESPACE DAPPROXIMATION CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGECas H= H10()Plaons-nous mainteant dans le cas o H= H10(). On dcompose alors lensemble S des noeuds du maillage :S= Sint SextoSint= {Si, i = 1, . . . , N} est lensemble des noeuds intrieurs etSext= {Si, i = N+ 1, . . . , M} est lensemble des noeuds de la frontire. Les fonctions de base globales sont alors les fonctions i, i = 1, . . . , Ntelles quei |K

P

, i = 1, . . . , N, = 1, . . . , L (5.1.9)i(Sj) = ij, j= 1, . . . , N, (5.1.10)et on pose l encore HN= V ect{1, . . . , N}. On a alors encore le rsultat suivant :Proposition 5.12 (Critre de conformit, cas H10) Soit un ouvert polygonal (ou polydrique) deIRd, d=2ou 3. Soit T =(K

)=1,...,L un maillage lments nis de, S=(Si)i=1,...,M= Sint Sext lensemble desnoeuds du maillage. On se place sous les hypothses de la proposition 5.6. On suppose que les fonctions de baseglobale (i)i=1,...,M vrient (5.1.9) et (5.1.10), et que les conditions (5.1.6) et (5.1.7) sont vries. Alors on a :HN C() et HN H10()Dmonstration : La preuve de cette proposition est laisse titre dexercice.Remarque 5.13 (Elments nis conformes dans H2()) On a construit un espace dapproximation HN inclusdansC(). En gnral, on na pasHNC1(), et donc on na pas non plusHNH2() (en dimension1 despace,H2() C1()). Mme si on augmente le degr de lespace des polynmes, on nobtiendra paslinclusionHNC1(). Si on prend par exemple les polynmes de degr 2 sur les lments, on na pas decondition pour assurer le raccord, des drives aux interfaces. Pour obtenir ce raccord, les lments nis deLagrange ne sufsent pas : il faut prendre des lments de type Hermite, pour lesquels les degrs de libert nesont plus seulement les valeurs de la fonction aux noeuds, mais aussi les valeurs de ses drives aux noeuds. Leslments nis de Hermite seront par exemple bien adapts lapproximation des problmes elliptiques dordre 4,dont un exemple est lquation :2u = f dans o est un ouvert born deIR2, 2u=(u), et avec des conditions aux limites adquates, que nous nedtaillerons pas ici. On peut, en fonction de ces conditions aux limites, trouver un espace de HilbertH et uneformulation faible de (5.13), qui scrit :____u(x)(x)dx =_f(x)(x)dxu H, H.Pour que cette formulation ait un sens, il faut que u L2() et L2(), et donc que H H2(). Pourconstruire une approximation par lments nis conforme de ce problme, il faut donc choisir HN H2(), et lechoix des lments nis de Hermite semble donc indiqu.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 166 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.2. EXEMPLES CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGE5.2 ExemplesPour chaque mthode dlment ni de Lagrange, on dnit :1. un lment de rfrenceK2. des fonctions de base locales surK3. une bijection F

de K sur K

, pour= 1, . . . , L, o L est le nombre dlments du maillage.5.2.1 Elment ni de Lagrange P1 sur triangle (d = 2)Le maillage du domaine est constitu de L triangles (K

)=1,...,L, et les polynmes dapproximation sont de degr1.Elment ni de rfrence : on choisit le triangleK de sommets(0, 0), (1, 0) et (0, 1), etP ={ : KIR(x, y) ax +by +c, (a, b, c) IR3}.Proposition 5.14 (Unisolvance) Soit = ( ai)i=1,2,3 avec a1= (0, 0), a2= (1, 0) et a3= (0, 1), etP= {; K IR; (x, y) a + bx +cy, (a, b, c) IR3}Alors le couple (,P) est unisolvant.Dmonstration : Soit (1, 2, 3) IR3, et P. On suppose que ( ai)=i, i=1, 2, 3. La fonction estde la forme (x, y) = a +bx +cy et on a donc :___a = 1a +b = 2a +c = 3doc =1, b1=2 1 etb2=3 2. La connaissance de aux noeuds( ai)i=1,2,3 dtermine doncentirement la fonction .Fonctions de bases locales.Les fonctions de base locales sur llment ni de rfrenceK sont dnies pari P i( aj) =ij, ce quidtermine les; de manire unique, comme on vient de le voir. Et on a donc___1( x, y) = 1 x y2( x, y) = x3( x, y) = y.Transformation F

On construit ici une bijection afne qui transformeK le triangle de rfrence en un autre triangle K du maillage.On cherche donc:K K, telle queF

( ai) = aii = 1, . . . , 3o =(ai)i=1,2,3 est lensemble des sommets de K. Notons (xi, yi) les coordonnes de ai, i=1, 2, 3. CommeF

est une fonction afne de IR2dans IR2, elle scrit sous la forme.F

( x, y) = (1 + 1 x + 1 y, 2 + 2 x + 2 y)tAnalyse numrique II, Tl-enseignement, M1 167 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.2. EXEMPLES CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEet on cherche i, i, i, i = 1, 2 tels que :___F

((0, 0)) = (x1, y1)F

((1, 0)) = (x2, y2)F

((0, 1)) = (x3, y3).Une rsolution de systme lmentaire amne alors :F

( x, y) =_x1 + (x2x1) x + (x3x1) yy1 + (y2y1) x + (y3y1) y_Daprs la remarque 5.8 page 163, si on notek, k = 1, 2, 3 les fonctions de base locales de llment de rfrence( K, ,P), et ()k, k = 1, 2, 3 les fonctions de base locales de llment (K

,

, P

), on a ()k=k F1

Si on note maintenant (i)i=1,...,N les fonctions de base globales, on a :iK

= ()k,o i=ng(, k) est lindice du k-ime noeud de llmentdans la numrotation globale. Notons que llmentni de Lagrange ainsi dni vrie les critres de cohrence 5.1.6 page 164 et (5.1.7) page 164. Pour complterla dnition de lespace dapproximation HN, il ne reste qu dterminer les noeuds lis", de la faon dont on atrait le cas de lespace H10().Il faut galement insister sur le fait que cet lment est trs souvent utilis, en raison de sa facilit dimplantationet de la structure creuse des systmes linaires quil gnre. Il est particulirement bien adapt lorsquon cherchedes solutions dans lespace H1(). Il se gnralise facilement en trois dimensions despace, o on utilise alors desttradres, avec toujours comme espace de polynme lespace des fonctions afnes.5.2.2 Elment ni triangulaire P2Comme le titre du paragraphe lindique, on considre un maillage triangulaire, et un espace de polynmes de degr2 pour construire lespace dapproximation.Elment ni de rfrence On choisit comme lment ni de rfrence le triangle de sommets (0,0), (1,0) et (0,1),voir Figure 5.6 et on prend pour : = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (12, 12), (0, 12), (12, 0)}Fonctions de base locales Les fonctions de base locales sont dnies partir des coordonnes barycentriques. Onrappelle que les coordonnes barycentriques dun point x du triangleK de sommetsa1, a2 eta3 sont les rels1, 2, 3 tels que :x = 1a1 + 2a2 + 3a3.Dans le cas du triangle de rfrenceK de sommets (0,0), (1,0) et (0,1), les coordonnes barycentriques dun point{x} de coordonnes cartsiennesx ety sont donc : 1=1 x y,2=x, 3=y. Par dnition, on a

3i=1 i=1 et i 0 (car le triangle K est lenveloppe convexe de lensemble de ses sommets). On peut alorsdterminer les fonctions de base en fonction des coordonnes barycentriques des six noeuds deK exprims parleurs coordonnes barycentriques : a1=(1, 0, 0), a2=(0, 1, 0), a3=(0, 0, 1), a4=(0,12,12), a5=(12, 0,12),a6= (12,12, 0). Les fonctions de base sont telles que i P2, et i(aj) = ij, i = 1, . . . , 6, forallj= 1, . . . , 6.Commenons par 1 ; on veut 1(a1) = 1, et i(ai) = 0, i = 2, . . . , 6. La fonction 1 dnie par1(x, y) = 21(112)Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 168 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.2. EXEMPLES CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGE123456(0,1)(0,1/2)(0,0)(1/2,1/2)(1,0)(1/2,0)(1,0,0)(1/2,1/2,0)(0,1/2,1/2)(1/2,0,1/2)(0,1,0)(0,0,1)FIGURE 5.6 Elment de rfrence pour les lments nis P2, avec coordonnes cartsiennes et barycentriquesdes noeudsconvient, et comme le couple (, P2) est unisolvant, cest la seule fonction qui convient. Par symtrie, on dnit2(x, y) = 22(212),et3(x, y) = 23(312).Les fonctions de base associes aux noeuds a4, a5, a6 sont alors4(x, y) = 423,5(x, y) = 413,et 6(x, y) = 412.Il est facile de voir que ces fonctions forment une famille libre dlments de P2 et comme card = card P2, lecouple (, P2) est bien unisolvant.Transformation F

La bijection F

qui permet de passer de llment ni de rfrenceK llment K

a dj tvue dans le cas de llment ni P1 cest la fonction afne dnie par :F

(x, y) =_x1 + (x2x1)x + (x3x1)yy1 + (y2y1)x + (y3y1)y_o (xi, yi), i=1, 2, 3 sont les coordonnes respectives des trois sommets du triangle K

. Comme cette transfor-mation est afne, les coordonnes barycentriques restent inchanges par cette transformation.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 169 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.2. EXEMPLES CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEOn peut montrer (ce nest pas facile) que lerreur dinterpolation u uN

H1 est contrle, en lments nis P1et P2 par les ingalits suivantes :P1 : si u H2(), on a u uN

H1() ChuH2()P2 : si u H3(), on a u uN

H1() Ch2uH3().On peut gnraliser les lments nis P1 et P2 aux lments nis Pk sur triangles, pour k 1. On prend toujoursle mme lment de rfrence, dont on divise chaque ct en k intervalles. Les extrmits de ces intervalles sontles noeuds du mailage. On a donc 3k noeuds, quon peut reprer par leurs coordonns barycentriques, qui prennentles valeurs 0,1k,2k, . . . , 1. On peut montrer que si u Hk+1, alorsuN uH1() ChkuHk+1()5.2.3 Elments nis sur quadranglesLe cas rectangulaireOn prend comme lment ni de rfrence le carrK= [1, 1] [1, 1], et comme noeuds les coins de ce carr :a1= (1, 1), a2 = (1, 1), a3= (1, 1), et a4= (1, 1).On prend comme espace de polynmesP= {f:K IR; f Q1}o Q1= {f:IR2IR; f(x, y)=a + bx + cy + dxy, (a, b, c, d) IR4} Le couple (, P) est unisolvant. Lesfonctions de base locales sont les fonctions :1(x, y) = 14(x + 1)(y 1)2(x, y) =14(x + 1)(y + 1)3(x, y) = 14(x 1)(y + 1)4(x, y) =14(x 1)(y 1).La transformation F

permet de passer de llment de rfrence carrK un rectangle quelconque du maillageK

. Si on considre un rectangleK

parallle aux axes, dont les noeuds sont nots(x1, y1), (x2, y1), (x2, y2),(x1, y2), les noeuds du rectangle K

, la bijection F

scrit :F

(x, y) =12_(x2x1)x +x2 +x1(y2y1)y +y2 +y1_.Considrons maintenant le cas dun maillage quadrangulaire quelconque. Dans ce cas, on choisit toujours commelment de rfrence le carr unit. La transformation F

qui transforme llment de rfrence en un quadrangleK

est toujours afne, mais par contre, les composantes deF

((x, y)) dpendent maintenant dex et dey voirexercice 51 page 190. En consquence, le fait que f Q1 nentrane plus que f F

Q1. Les fonctions de baseseront donc des polynmes Q1 sur llment de rfrenceK, mais pas sur les lments courants" K

.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 170 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.3. CONSTRUCTION DU SYSTME LINAIRE CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEElments nis dordre suprieur Comme dans le cas dun maillage triangulaire, on peut choisir un espace depolynmes dordre suprieur, Qk, pour les fonctions de base de llment de rfrenceK= [1, 1] [1, 1]. Onchoisit alors comme ensemble de noeuds : =k= {(x, y) K, (x, y) {1, 1 +1k, 1 +1k, . . . , 1}2. Onpeut montrer facilement que (kQk) est unisolvant. L encore, si la solution exacte de problme continu estsufsamment rgulire, on peut dmontrer lestimation derreur suivante (voir [3]) :u uN

H

() CuHk+1()hk.Exprimons par exemple lespace des polynmes Q2. On a :Q2= {f: IR IR; f(x) = a1+a2x+a3y+a4xy+a5x2+a6y2+a7xy2+a8x2y+a9x2y2, ai IR, i = 1, . . . , 9}Lespace Q2 comporte donc neuf degrs de libert. On a donc besoin de neuf noeuds dans pour que le couple(, Q2) soit unisolvant (voir exercice 56 page 192). On peut alors utiliser comme noeuds sur le carr de rfrence[1, 1] [1, 1] : = {(1, 1), (1, 0), (1, 1), (0, 1), (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0), (1, 1)}En gnral, on prfre pourtant supprimer le noeud central (0,0)et choisir := \ {(0, 0)}.Il faut donc un degr de libert en moins pour lespace des polynmes. On dnit alors :Q2= {f: IR IR; f(x) = a1 +a2x +a3y +a4xy +a5x2+a6y2+a7xy2+a8x2y,ai IR,i = 1, . . . , 8}Le couple (, Q2) est unisolvant (voir exercice 57 page 192), et on peut montrer que llment Q2 est aussi prcis(et plus facile mettre en oeuvre que llment Q2).5.3 Construction du systme linaireOn construit ici le systme linaire pour un problme conditions aux limites mixtes de manirea envisagerplusieurs types de conditions aux limites. Soit un ouvert polygonal1, on suppose que: 0 1 avecmes(0) = 0. On va imposer des conditions de Dirichlet sur 0 et des conditions de Fourier sur 1 ; cest ce quonappelle des conditions mixtes". On se donne donc des fonctions p : IR, g0: 0 IR et g1: 1 IR, et oncherche approcher u solution de :___div(p(x)u(x)) +q(x)u(x) = f(x), x ,u = g0 sur 0,p(x)u(x).n(x) + u(x) = g1(x), x 1,(5.3.11)on dsigne le vecteur unitaire normal extrieure . Pour assurer lexistence et unicit du problme(5.3.11), (voir exercice 41), on se place sous les hypothses suivantes :___p(x) > 0,p.p. x q 0 0mes(0) > 0.(5.3.12)1. Dans le cas o la frontire de nest pas polygonale mais courbe, il faut considrer des lments nis dits isoparamtriques" quenous verrons plus loinAnalyse numrique II, Tl-enseignement, M1 171 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.3. CONSTRUCTION DU SYSTME LINAIRE CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEPour obtenir une formulation variationnelle, on introduit lespaceH10,g0= {u H1(); u = g0 sur 0}et lespace vectoriel associ :H= H10,0= {u H1(); u = 0 sur 0}Notons que H est un espace de Hilbert. Par contre, attention, lespace H10,g0nest pas un espace vectoriel. Onva chercher u solution de (5.3.11) sous la forme u= u + u0, avec u0 H10,g0et u H10,0. Soit v H, onmultiplie (5.3.11) par v et on intgre sur . On obtient :_div(p(x)u(x))v(x)dx +_q(x)u(x)v(x)dx=_f(x)v(x)dx, v H.En appliquant la formule de Green, il vient alors :_p(x)u(x)v(x)dx _p(x)u(x)nv(x)d(x) +_qu(x)v(x)dx =_f(x)v(x)dx, v H.Comme v = 0 sur 0 on a :_p(x)u(x)nv(x)d(x) =_1pu(x)nv(x)d(x).Mais sur 1, la condition de Fourier scrit : u.n = u +g1, et on a donc_p(x)u(x)v(x)dx+_1p(x)u(x)v(x)d(x)+_qu(x)v(x)dx =_f(x)v(x)dx+_1g1(x)v(x)d(x).On peut crire cette galit sous la forme : a(u, v) =T(v), avec a(u, v) = a(u, v) +a1(u, v), o :___a(u, v) =_p(x)u(x)v(x)dx +_q(x)u(x)v(x)dx,a(u, v) =_1p(x)(x)u(x)v(x)d(x),etT(v) = T(v) +T1(v), avecT(v) =_f(x)v(x)dx et T1=_1g1(x)v(x)d(x).On en dduit une formulation faible associe (5.3.11) :_chercher u Ha(u0 + u, v) =T(v), v H,(5.3.13)o u0 H1() est un rvlement de g0, cest dire une fonction de H1() telle que u0 = g0 sur . Le problme(5.3.13) peut aussi scrire sous la forme :_ u Ha( u, v) = T(v), v H.(5.3.14)Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 172 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.3. CONSTRUCTION DU SYSTME LINAIRE CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEo T(v)=T(v) a(u0, v). Sous les hypothses (5.3.12), on peut alors appliquer le thorme de Lax Milgram(voir thorme 4.6 page 115) au problme (5.3.14) pour dduire lexistence et lunicit de la solution de (5.3.13) ;notons que, comme la forme bilinaire a est symtrique, ce problme admet aussi une formulation variationnelle :___J(u) = minvH10,g0J(v),J(v) =12a(v, v) +T(v), v H10,g0.(5.3.15)Dans ce cas, les mthodes de Ritz et Galerkin sont quivalentes. Remarquons que lon peut choisir u0 de manireabstraite, tant que u0 vrie u0= g0 sur 0 et u0 H1. Intressons nous maintenant la mthode dapproximationvariationnelle. On approche lespace H par HN= V ect{1, . . . , N} et on remplace (5.3.14) par :_ uN HNa( uN, i) = T(i) a(u0, i), i = 1, . . . , N.(5.3.16)On pose maintenant uN=N

j=1 ujj. Le problme (5.3.16) est alors quivalent au systme linaire :KU= G,avec___Kij= a(j, i),i, j= 1, . . . , N,U= ( u1. . . uN)t,Gi= T(i) a(u0, i),i = 1, . . . , N.Limplantation numrique de la mthode dapproximation ncessite donc de :1. construire K et G2. rsoudre KU= G.Commenons par la construction de lespaceHN et des fonctions de base pour une discrtisation par lmentsnis de Lagrange du problme (5.3.14).5.3.1 Construction de HN et iOn considre une discrtisation laide dlments nis de Lagrange, quon note : (K

,

, P

)= 1, . . . , L, oL est le nombre dlments. On note Si, i=1, . . . , M, les noeuds du maillage, et 1, . . . , N, les fonctions debase, avec N M. On peut avoir deux types de noeuds : les noeuds libres : Si 0. On a N noeuds libres les noeuds lis : Si 0. On a M N noeuds lis.Notons quon a intrt mettre des noeuds lintersection de 0 et 1 (ce seront des noeuds lis). Grce ceci, et la cohrence globale et locale des lments nis de Lagrange, on a HN H. On a donc bien des lments nisconformes. Rcapitulons alors les notations : M : nombre de noeuds total N : nombre de noeuds libres M0= M N : nombre de noeuds lis J0 = { indices des noeuds lis} {1, . . . , M}. On a cardJ0= M0Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 173 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.3. CONSTRUCTION DU SYSTME LINAIRE CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGE J= { indices des noeuds libres } = {1 . . . M} J0. On a cardJ= N.Pour la programmation des lments nis, on a besoin de connatre, pour chaque noeud (local) de chaque lment,son numro dans la numrotation globale. Pour cela on introduit un tableau ng(L, N

), o L est le nombre dl-ments et N

est le nombre de noeuds par lment. (on le suppose constant par souci de simplicit, N

peut en faitdpendre de L. Exemple : triangle - quadrangle). Pour tout {1, . . . , L} et tout r {1, . . . , N

}, ng(, r) estalors le numro global du r-ime noeud du -ime lment. On a galement besoin de connatre les coordonnesde chaque noeud. On a donc deux tableauxx ety de dimensionM, ox(i), y(i) reprsentent les coordonnesdu i-me noeud. Notons que les tableaux ng, x et y sont des donnes du mailleur (qui est un module externe parrapport au calcul lments nis proprement dit). Pour les conditions aux limites, on se donne deux tableaux : CF : conditions de Fourier CD : conditions de Dirichlet(on verra plus tard le format de ces deux tableaux)5.3.2 Construction de K et GOn cherche construire la matrice K dordre (N N), dnie par :Kij= a(j, i) i, j JAinsi que le vecteur G, dni par :Gi= T(i) a(u0, i) i J cardJ= NLa premire question rsoudre est le choix de u0. En effet, contrairement au cas unidimensionnel (voir exercice37 page 138), il nest pas toujours vident de trouver u0 H10,g0. Pour se faciliter la tche, on commet un crimevariationnel", en remplaant u0 paru0,N=N

jJ0u0(Sj)j.Notons quon a pas forcment :u0,N H10,g0; cest en ce sens que lon commet un crime". Mais par contre,on a bienu0,N(Sj) =u0(Sj) pour toutj J. On peut voir la fonctionu0,N comme une approximation nonconforme de u0 H10,g0. On remplace donc Gi par :Gi= T(i)

jJ0g0(Sj)a(j, i).Calculons maintenant a(j, i) pour j= 1, . . . , M, et i= 1, . . . , M. On se sert donc pour limplatation pratiquede la mthode, des fonctions de forme associes aux noeuds lis, mme si dans lcriture du problme discretthorique, on nen avait pas besoin.Calcul de K et G1. Calcul des contributions intrieures : on initialise les coefcients de la matrice K et les composantes par lescontributions provenant de a et T.Kij= a(j, i)Gi= T(i)_i = 1, . . . , N,j= 1, . . . , N.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 174 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.3. CONSTRUCTION DU SYSTME LINAIRE CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGE2. Calcul des termes de bord de Fourier. On ajoute maintenant la matrice K les contributions de bord :Kij Kij+ai(j, i),i = 1, . . . , N,j= 1, . . . , N.Gi Gi +Ti(i) i = 1 . . . M.3. Calcul des termes de bord de Dirichlet. On doit tenir compte ici du relvement de la condition de bord :Gi Gi

jJ0g0(Ni)Kiji JAprs cette affectation, les galits suivantes sont vries :Kij= a(j, i) i, j J(J0)Gi= T(i) a(u0,N, i).Il ne reste plus qu rsoudre le systme linaire

jJKijj= Gi, i J. (5.3.17)4. Prise en compte des noeuds lis. Pour des questions de structure de donnes, on inclut en gnral les noeudslis dans la rsolution du systme, et on rsout donc le systme linaire dordre M N suivant :

j=1,...,NKijj= Gi. i = 1, . . . , N. (5.3.18)avecKij= Kij pour i, j J,Kij= 0 si (i, j) J2, et i = j, etKii= 1 si i J. Ces deux systmes sontquivalents, puisque les valeurs aux noeuds lies sont xes.Si par chance on a numrot les noeuds de manire ce que tous les noeuds lis soient en n de numrotation,c..d. si J= {1, . . . , N} et J0= {N+ 1, . . . , M}, le systme (5.3.18) est de la forme :__________|K | 0| | |0 | IdM|__________, U=____________1...uNN+1...M____________,et G=____________G1...GNGN+1...GM____________Dans le cas o la numrotation est quelconque, les noeuds lis ne sont pas forcment la n, et pour obtenirle systme linaire dordre M (5.3.18) (donc incluant les inconnues i, i J0, qui nen sont pas vraiment)on peut adopter deux mthodes :(a) Premire mthode : on force les valeurs aux noeuds lis de la manire suivante :Kii 1 pour tout i J0Kij 0 pour tout i J0j {1 . . . M} i = jGi g0(Si) pour tout i J0(b) Deuxime mthode : on force les valeurs aux noeuds lis de la manire suivante :Kii 1020i J0Gi 1020g0(Si) i J0La deuxime mthode permet dviter laffectation 0 de coefcients extra-diagonaux de la matrice. Elleest donc un peu moins chre en temps de calcul.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 175 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.3. CONSTRUCTION DU SYSTME LINAIRE CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEConclusion Aprs les calculs 1, 2, 3, 4, on a obtenu une matrice K dordre M M et le vecteur G de IRM.Soit IRMla solution du systme K = G. Rappelons quon a alors :uN=N

i=1ii,=

iJii +

iJ0iiuN= uN+u0Remarque 5.15 (Numrotation des noeuds) Si on utilise une mthode itrative sans prconditionnement, la nu-mrotation des noeuds nest pas cruciale. Elle lest par contre dans le cas dune mthode directe et si on utilise unemthode itrative avec prconditionnement. Le choix de la numrotation seffectue pour essayer de minimiser lalargeur de bande. On pourra ce sujet tudier linuence de la numrotation sur deux cas simples sur la structurede la matrice.5.3.3 Calcul de a et T, matrices lmentaires.Dtaillons maintenant le calcul des contributions intrieures, cest dire a(i, j) i=1, . . . M,j=1, . . . , Met T(i) i = 1, . . . , M. Par dnition,a(i, j) =_p(x)i(x)j(x)dx +_q(x)i(x)j(x)dx.Dcomposons laide du maillage lments nis. =L_=1K

.En notant (i, j)(x) = p(x)i(x)j(x) +q(x)i(x)j(x),On a donc :a(i, j) =L

=1_K

(i, j)dx.Pour r et s numros locaux de llment K

, on pose :k

r,s=_

(s, r)dx.On va calculer k

r,s puis on calcule a(i, j), en effectuant un parcours sur les lments, ce qui sexprime parlalgorithme suivant :Initialisation : Kij 0, i = 1, . . . M, j i.Boucle sur les lmentsPour= 1 L fairePour r = 1 N

fairei = ng(, r) numro global du noeud r de llment Pour s = 1 r faireAnalyse numrique II, Tl-enseignement, M1 176 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.3. CONSTRUCTION DU SYSTME LINAIRE CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEcalcul de k

r,sj= ng(, s)si i jKij Kij+k

r,ssinonKji Kji +k

rsFin pourFin pourOn a ainsi construit compltement la matrice de rigidit K. Il reste savoir comment calculerk

r,s=_e(s, r)(x)dx.Ce calcul seffectue sur llment de rfrence, et non sur les lments K

. On calcule ensuite la valeur de k

r,s pardes changements de variable laide de la transformation F

(voir Figure 5.4 page 162). Notons :F

( x, y) = (x, y) = (a

0 +a

1 x +a

2 y, b

0 +b

1 x +b

2y) (5.3.19)Notons que les coefcients a

i et b

i sont dtermins partir des la connaissances des coordonnes (x(i), y(i)) oi = ng(, r). En effet, on peut dduire les coordonnes locales x(r), y(r), r= 1, N

, des noeuds de llment , partir des coordonnes globales des noeuds (x(i), y(i)), et du tableau ng(, r)=i. Sur llment courant K

, leterme lmentaire k

r,s scrit donck

r,s=_

(s(x, y), r(x, y))dxdy.Or, (x, y) = F

( x, y) ; donc par changement de variables , on a :k

r,s=_ e(s F

( x, y), r F

( x, y)) Jac x, y(F

) d xd you Jac x, y(F

) dsigne le Jacobien de F

en ( x, y). Or, s F

=s, et, puisque F

est dnie par (5.3.19), on a :Jac(F

) = Det(DF

) =a

1b

1a

2b

2=a

1b

2a

2b

1donc k

r,s= Jac(F

)kr,s, okr,s=_ e(s( x, y), r( x, y))d xd yEtudions maintenant ce quon obtient pour kr,s dans le cas du problme modle (5.3.11), on a :kr,s=_

_p( x, y)s( x, y)r( x, y) +q( x, y)s( x, y)r( x, y)d xd y.Les fonctions de bases etr sont connues ; on peut donc calculerkr,s explicitement si p etq sont faciles intgrer. Si les fonctions p et q ou les fonctions de base, sont plus compliques, on calcule kr,s en effectuant uneintgration numrique. Rappelons que le principe dune intgration numrique est dapprocher lintgrale d unefonction continue donne ,I=_

( x, y)d xd y, par I=NPI

i=1i(Pi)(Pi),Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 177 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.3. CONSTRUCTION DU SYSTME LINAIRE CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEo NPI est le nombre de points dintgration, nots Pi, quon appelle souvent points dintgration de Gauss, et lescoefcients i sont les poids associs. Notons que les points Pi et les poids i sont indpendants de . Prenonspar exemple, dans le cas unidimensionnel,K= [0, 1], p1= 0, p2= 1, et 1= 2=12. On approche alorsI=_10(x)dx par I=12((0) + (1)).Cest la formule (bien connue) des trapzes. Notons que dans le cadre dune mthode, il est ncessaire de sassurerque la mthode dintgration numrique choisie soit sufsamment prcise pour que :1. le systme K = G(N N) reste inversible,2. lordre de convergence de la mthode reste le mme.Examinons maintenant des lments en deux dimensions despace.1. Elment ni P1 sur triangle Prenons NPI= 1 (on a donc un seul point de Gauss), choisissons p1=_13,13_,le centre de gravit du triangleK, et 1= 1. On approche alorsI=_

( x)d x par (p1).On vriera que cette intgration numrique est exacte pour les polynmes dordre 1 (exercice 55 page 191).2. P2 sur triangles. On prend maintenant NPI= 3, et on choisit comme points de Gauss :p1=_12, 0_,p2=_12, 12_,p3=_0, 12_et les poids dintgration 1=2=3=16. On peut montrer que cette intgration numrique est exactepour les polynmes dordre 2 (voir exercice 55 page 191).Remarquons que, lors de lintgration numrique du terme lmentairek

r,s=_

_p( x, y)(F

( x, y))r( x, y) s( x, y) +q( x, y)(F

( x, y))r( x, y)sd xd y,on approche k

r,s parkr,s NPI

i=1i_p(F

(Pi))r(Pi) s(Pi) +q(F

(Pi))r(Pi)s(Pi).Les valeurs r(Pi), s(Pi),r(Pi) ets(Pi) sont calcules une fois pour toutes, et dans la boucle sur , il nereste donc plus qu valuer les fonctions p et q aux points F

(Pi). Donnons maintenant un rsum de la mise enoeuvre de la procdure dintgration numrique (indpendante de ). Les donnes de la procdure sont : les coefcients i, i = 1, . . . , NPI, les coordonnes (xpg(i), ypg(i)), i = 1, . . . , NPI des points de Gauss, les valeurs de r,x etry aux points de Gauss, notes (r, i), x(r, i) et y(r, i), r = 1 . . . N

, i = 1, . . . , NPI.Pourdonn, on cherche calculer :I=_Kp(F

( x, y))r x( x, y)s y( x, y)d xd y +_eq(F

( x, y))r( x, y)d xd ys( x, y).On propose lalgorithme suivant :Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 178 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.3. CONSTRUCTION DU SYSTME LINAIRE CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEInitialisation : I 0Pour i = 1 NPI, faire :pi= p(Fe(Pi))qi= q(Fe(Pi))I I + i(pix(r, i)y(s, i) +qi(r, i)(s, i))Fin pourOn procde de mme pour le calcul du second membreT(i) =_f(x, y)

ix, y)dxdy=L

=1g

, o g

=_ef(x, y)i(x, y)dxdy.Lalgorithme scrit :Initialisation de G 0 : Gi 0 i = 1 MPour= 1 LPour r = 1 N

Calcul de gr

=_ef(x, y)r(x, y)dxdyi = ng(, r)Gi Gi +gr

Fin pourFin pourIl reste le calcul de gr

qui se ramne au calcul de llment de rfrence par changement de variable.On a :gr

=_K

f(x, y)r(x, y)dxdy=_Kf F

( x, y)r( x, y)Jac x, y(F

)d xd y.Lintgration numrique est identique celle effectue pour kr,s.5.3.4 Calcul de a1 et T1 (contributions des artes de bord Fourier".Dtaillons maintenant le calcul des contributions des bords o sapplique la condition de Fourier, cest direa1(i, j) i = 1, . . . M,j= 1, . . . , M et T1(i) i = 1, . . . , M. Par dnition,a1(i, j) =_1p(x)i(x) j(x)dx +_1q(x)i(x)j(x)dx.Notons que a1(i, j) = 0 si i et j sont associes des noeuds Si, Sj de dun lment sans arte commune avecles artes de la frontire. Soit L1 le nombre dartes k, k=1, . . . , L1 du maillage incluses dans 1. Rappelonsque les noeuds soumis aux conditions de Fourier sont repertoris dans un tableau CF, de dimensions (L1, 2), quidonne les informations suivantes1. CF(k, 1) contient le numrode llment K

auquel appartient larte k.2. CF(k, 2) contient le premier numro des noeuds de larte k dans llment K

. On suppose que la num-rotation des noeuds locaux a t effectue de manire adroite", par exemple dans le sens trigonomtrique.Dans ce cas,CF(k, 2) dtermine tous les noeuds de lartek dans lordre, puisquon connait le nombrede noeuds par arte et le sens de numrotation des noeuds. Donnons des exemples pour trois cas diffrents,reprsents sur la gure 5.7.(a) Dans le premier cas ( droite sur la gure), qui reprsente un lment ni P1, on a CF(k, 2) = 3 et lenoeud suivant sur larte est 1.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 179 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.3. CONSTRUCTION DU SYSTME LINAIRE CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGE(b) Dans le second cas (au centre sur la gure), qui reprsente un lment ni P2, on a CF(k, 2)=3 etles noeuds suivants sur larte sont 4 et 5.(c) Enn dans llment P1 de coin" reprsent gauche sur la gure, on a CF(k, 1) = , CF(k

, 1) = ,CF(k, 2) = 1, CF(k

, 2) = 2.K

K

K

k

k1223P1P1P1 en coin

k1 213

k

5643FIGURE 5.7 Exemples de numrotation darte du bordPour k= 1, . . . , L1, on noteSk lensemble des noeuds locaux de k, donns par CF(k, 2) en appliquant la rglead hoc (par exemple le sens trigonomtrique). On peut alors dnir :Sk= {(r, s) (Sk)2/r < s}Lalgorithme de prise en compte des conditions de Fourier scrit alors :Pour k = 1 . . . L1 = CF(k, 1).Pour chaque (r, s) Sk fairecalcul de I

rs=_Ckp(x)(x)

r(x)

s(x)dx (ventuellement avec intgration numrique)i = ng(, r)j= ng(, s)si j iKij Kij +I

rssinonKij Kji +I

rsFin siFin pourFin pourLe calcul de I

rs seffectue sur llment de rfrence (avec ventuellement intgration numrique). De mme, ona une procdure similaire pour le calcul de T1=_1p(x)g1(x)v(x)d(x).Gi Gi +_2p(x)g1(x)i(x)d(x)Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 180 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.4. ELMENTS FINIS ISOPARAMTRIQUES CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGE5.3.5 Prise en compte des noeuds lis dans le second membreAprs les calculs prcdents, on a maintenant dans Gi :Gi=_f(x)i(x)dx +_1p(x)g1(x)i(x)d(x)Il faut maintenant retirer du second membre, les combinaisons venant des noeuds lis :Gi Gi

jJ0g0(Sj)a(j, i)o J0 est lensemble des indices des noeuds lis. On utilise pour cela le tableau CD qui donne les conditions, deDirichlet, de dimension M0 o M0=cardJ0. Pour i0=1, . . . , M0, CD(i0) =j0 J0 est le numro du noeudli dans la numrotation globale. La procdure est donc la suivante.Pour i0= 1, . . . , M0, fairej= CD(i0)a = g0(Sj)si (i j) Gi GiaKijsinon Gi GiaKji sinon Fin si Fin pour5.3.6 Stockage de la matrice KRemarquons que la matrice K est creuse (et mme trs creuse), en effet a(j, i) = 0 ds quesupp(i) supp(j) = Examinons une possibilit de stockage de la matrice K. Soit NK le nombre dlments non nuls de la matrice K Onpeut stocker la matrice dans un seul tableau KMAT en mettant bout bout les coefcients non nuls de la premireligne, puis ceux de la deuxime ligne, etc... jusqu ceux de la derniere ligne. Pour reprer les lments de K dansle tableau KMAT, on a alors besoin de pointeurs. Le premier pointeur, nomm, IC est de dimension NK. Lavaleur de IC(k) est le numro de la colonne de K(k). On introduit alors le pointeur IL(), =1, . . . , NL, oNL est le nombre de lignes, o IL() est lindice dans KMAT du dbut de la -ime ligne. Lidentication entreKMAT et K se fait alors par la procdure suivante :Pour k = 1 . . . NKsi IL(m) k < IL(m + 1) alorsKMAT(k) = Km,IC(k)Fin siFin pourLa matrice K est symtrique dnie positive, on peut donc utiliser une mthode de type gradient conjugu prcon-ditionn (voir cours de Licence). Notons que la structure de la matrice dpend de la numrotation des noeuds. Ilest donc important dutiliser des algorithmes performants de maillage et de numrotation.5.4 Elments nis isoparamtriquesDans le cas ou est polygonal, si on utilise des lments nis de type P2, les noeuds de la frontire sont effec-tivement sur la frontire mme si on les calcule partir de llment ni de rfrence. Par contre, si le bord estcourbe, ce nest plus vrai. Lutilisation dlments nis isoparamtriques" va permettre de faire en sorte que tousles noeuds frontires soient effectivement sur le bord, comme sur la gure 5.8. Pour obtenir une transformationAnalyse numrique II, Tl-enseignement, M1 181 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.5. ANALYSE DERREUR CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEF

KK

FIGURE 5.8 Transformation isoparamtriqueisoparamtrique, on dnitF

: K K

( x, y) (x, y) partir des fonctions de base de llment ni de rfrence :x =N

r=1xr r( x, y), y=N

r=1yrr( x, y),o N

est le nombre de noeuds de llment et (xr, yr) sont les coordonnes du r-ime noeud de K

. Remarquonsque la transformationF

isoparamtriqueP1 est identique celle des lments nis classiques. Par contre, latransformation isoparamtrique P2 nest plus afne, alors quelle lest en lments nis classiques. Notons que lesfonctions de base locales vrient toujours

r F

= r, = 1, . . . , L, r = 1, . . . , N

.On peut alors se poser le problme de linversibilit deF

. On ne peut pas malheureusement dmontrer que F

est inversible dans tous les cas, toutefois, cela savre tre le cas dans la plupart des cas pratiques. Lintrt dela transformation isoparamtrique est de pouvoir traiter les bords courbes, ainsi que les lments nisQ1 surquadrilatres. Notons que le calcul de

r est toujours inutile, car on se ramne encore llment de rfrence.5.5 Analyse derreur5.5.1 Erreurs de discrtisation et dinterpolationOn considre toujours le problme modle (5.3.11) page 171 sur lequel on a tudi la mise en oeuvre de la mthodedes lments nis. On rappelle que la formulation faible de ce problme est donne en (5.3.14) page 172, et quesous les hypothses (5.3.12) page 171, le problme (5.3.14) admet une unique solution uH=H10n=Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 182 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.5. ANALYSE DERREUR CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGE{u H1(); u = 0 sur 0}. La mthode dapproximation variationnelle du problme (5.3.14) consiste chercher uN HN=V ect{1, . . . , N} solution de (5.3.16) page 173, o les fonctions 1, . . . , N sont les fonctionsde base lments nis associs aux noeuds x1, . . . , xN. Comme les hypothses (4.2.22) page 124 sont vries,lestimation (4.2.30) page 127 entre u solution de (5.3.14) et u(N)solution de (5.3.16) est donc vrie. On adonc : u uN

H1 _Md( u, HN),oM(resp.) est la constante de continuit (resp. de coercivit) dea. Commeu=u0+ u, on a, en posantc =_M ,u uN Cu ww HN, (5.5.20)ouN= uN+ u0. Notons que dans limplantation pratique de la mthode dlments nis, lorsquon calculeT(v)=T(v) a(u0, v), on remplaceu0 paru0,NHN, donc on commet une lgre erreur surT. De plus,on calculea(i, j) laide dintgrations numriques : lingalit (5.5.20) nest donc vrie en pratique quede manire approche. On supposera cependant, dans la suite de ce paragraphe, que les erreurs commises sontngligeables et que lingalit (5.5.20) est bien vrie. De la mme manire quon a dni linterpole sur unlment K, (voir dnition 5.3 page 160, on va maintenant dnir linterpole sur H1() tout entier, de manire tablir une majoration de lerreur de discrtisation grce (5.5.20).Dnition 5.16 (Interpole dans HN) . Soit u H1() et HN= V ect{1, . . . , N} o les fonctions 1. . . Nsont des fonctions de base lments nis associes aux noeuds S1. . . SN dun maillage lments nis de . Alorson dnit linterpole de u dans HN, uI HN par :uI=N

i=1u(Si)i.Comme uI HN, on peut prendre W= uI dans (5.5.20), ce qui fournit un majorant de lerreur de discrtisation :u uN

H1 Cu uI

H1On appelle erreur dinterpolation le terme u uI

H15.5.2 Erreur dinterpolation en dimension 1Soit=]0, 1[, on considre un maillage classique, dni par lesN+ 2 points(xi)i=0...N+1, avecx0=0 etxN+1= 1, et on notehi= xi+1xi,i = 0, . . . , N+ 1, et h = max{|hi|, i = 0, . . . , N+ 1}On va montrer que si u H2(]0, 1[), alors on peut obtenir une majoration de lerreur dinterpolation u uI

H1 .On admettra le lemme suivant(voir exercice 33 page 137) :Lemme 5.17 Si u H1(]0, 1[) alors u est continue.En particulier, on a donc H2(]0, 1[) C1([0, 1]). Remarquons que ce rsultat est li la dimension 1, voir injectionde Sobolev, cours danalyse fonctionnelle ou [1]. On va dmontrer le rsultat suivant sur lerreur dinterpolation.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 183 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.5. ANALYSE DERREUR CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEThorme 5.18 (majoration de lerreur dinterpolation, dimension 1) Soitu H2(]0, 1[), et soituI son in-terpole sur HN= V ect{i, i = 1, . . . , N}, o i dsigne la i-me fonction de base lment ni P1 associe aunoeud xi dun maillage lment ni de ]0, 1[. Alors il existe c IR ne dpendant que de u, tel queu uI

H1 Ch. (5.5.21)Dmonstration : On veut estimeru uI

2H1= |u uI|20 + |u uI|21o |v|0= vL2 et |v|1= DvL2. Calculons |u uI|21 :|u uI|21=_10|u

u

I|2dx =N

i=0_xi+1xi|u

(x) u

I(x)|2dx.Or pour x ]xi, xi+1[ on au

I=u(xi+1) u(xi)hi= u

(i),pour un certain i ]xi, xi+1[. On a donc :_xi+1xi|u

(x) u

I(x)|2dx =_xi+1xi|u

(x) u

(i)|2dx.On en dduit que :_xi+1xi|u

(x) u

I(x)|2dx =_xi+1xi|_xiu

(t)dt|2dx,et donc, par lingalit de Cauchy-Schwarz,_xi+1xi|u

(x) u

I(x)|2dx _xi+1xi_xi|u

(t)|2dt|x i|dx hi_xi+1xi__xi|u

(t)|2dt_dx,car |x i| hi. En rappliquant lingalit de Cauchy-Schwarz, on obtient :_xi+1xi|u

(x) u

I(x)|2dx h2i_xi+1xi|u

(t)|2dtEn sommant sur i, ceci entraine :|u uI|21 h2_10|u

(t)|2dt. (5.5.22)Il reste maintenant majorer |u uI|20=_10 |u uI|2dx. Pour x [xi, xi+1]|u(x) uI(x)|2=__xxi(u

(t) u

I(t))dt_2.Par lingalit de Cauchy-Schwarz, on a donc :|u(x) uI(x)|2_xxi(u

(t) u

I(t))2dt |x xi|. .hiAnalyse numrique II, Tl-enseignement, M1 184 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.5. ANALYSE DERREUR CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEPar des calculs similaires aux prcdents, on obtient donc :|u(x) uI(x)|2_xxihi__xi+1xi|u

(t)|2dt_dxhi h3i_xi+1xi|u

(t)|2dt.En intgrant sur [xi, xi+1], il vient :_xi+1xi|u(x) uI(x)|2dx h4i_xi+1xi(u

(t))2dt,et en sommant sur i = 1, . . . , N :_10(u(x) uI(x))2dx h4_10(u

(t))2dt.On a donc :|u uI|0 h2|u|2ce qui entraine, avec (5.5.22) :u uI

2 h4|u|22 +h2|u|22 (1 +h2)h2|u|22On en dduit le rsultat annonc.On en dduit le rsultat destimation derreur suivant :Corollaire 5.19 (Estimation derreur, P1, dimension 1) Soit un ouvert polygonal convexe de IRd, d 1 ; soitf L2() et u H10() lunique solution du problme___u H10()a(u, v) =_u(x)v(x)dx =_f(x)v(x)dx,,et uT Lapproximation lments nis P1 obtenue sur un maillage admissible T de pas hT= maxi=1,...,N{|hi|}. Alorsil existe C IR ne dpendant que de et f tel que u uT < Ch.Ces rsultats se gnralisent au cas de plusieurs dimensions despace (voir Ciarlet), sous des conditions gom-triques sur le maillage, ncessaires pour obtenir le rsultat dinterpolation. Par exemple pour un maillage trian-gulaire en deux dimensions despace, intervient une condition dangle : on demande que la famille de maillagesconsidre soit telle quil existe > 0 tel que pour tout angle du maillage.Remarque 5.20 (Sur les techniques destimation derreur) Lorsquon a voulu montrer des estimations der-reur pour la mthode des diffrences nies, on a utilis le principe de possitivit, la consistance et la stabiliten normeL. En volumes nis et lments nis, on nutilise pas le principe de positivit. En volumes nis, lastabilit en norme L2est obtenue grce lingalit de Poincar discrte, et la consistance est en fait la consis-tance des ux. Notons quen volumes nis on se sert aussi de la conservativit des ux numriques pour la preuvede convergence. Enn, en lments nis, la stabilit est obtenue grce la coercivit de la forme bilinaire, et laconsistance provient du contrle de lerreur dinterpolation.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 185 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.5. ANALYSE DERREUR CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEMme si le principe de positivit nest pas explicitement utilis pour les preuves de convergence des lments niset volumes nis, il est toutefois intressant de voir quelles conditions ce principe est respect, car il est parfoistrs important en pratique.Reprenons dabord le cas du schma volumes nis sur un maillage T admissible pour la discrtisation de lqua-tion (4.1.1)._ u = f dans u = 0 sur .Rappelons que le schma volumes nis scrit :

KC__

KintK,L(uK uL) +

KextK,uK__= |K|fK, (5.5.23)avecK,L=|K|L|d(xK, xL) et K,=||d(xK, ),o |K|, (resp. ||) dsigne la mesure de Lebesque en dimension d (resp. d 1) de K (resp. ).Notons que les coefcientsK,L et K, sont positifs, grce au fait que le maillage est admissible (et donc

XKXL=d(XK, XL)nKL, o

XKXL dsigne le vecteur dextrmitsXK etXL etnKL la normale unitaire K|L sortante de K.Notons que le schma (5.5.23) scrit comme une somme de termes dchange entre les mailles K et L, avec descoefcientsKL positifs. Cest grce cette proprit que lon montre facilement que le principe de positivitest vri. Considrons maintenant la mthode des lments nis P1, pour la rsolution du problme (4.1.1) surmaillage triangulaire. On sait (voir par exemple Ciarlet) que si le maillage satisfait la condition faible de Delau-nay (qui stipule que la somme de deux angles opposs une mme arte doit tre infrieure ), alors le principedu maximum est vrie. Ce rsultat peut se retrouver en crivant le schma lments nis sous la forme dunschma volumes nis.5.5.3 Super convergenceOn considre ici un ouvert polygonal convexe de IRd, d 1, et on suppose que f L2(). On sintresse lapproximation par lments nis P1 de la solution u H10() du problme (4.1.5). On a vu dans le paragrapheprcdent (corollaire 5.19) quon peut estimer lerreur en norme L2entre la solution exacte u et la solution ap-proche par lments nisP1 ; en effet, comme lerreur dinterpolation est dordre h, on dduit une estimationsur lerreur de discrtisation, galement dordre h. En fait, si la solution u de (4.1.1) est dans H2, il se produit unpetit miracle", car on peut montrer grce une technique astucieuse, ditetruc dAubin-Nitsche", que lerreur dediscrtisation en norme L2est en fait dordre 2.Thorme 5.21 (Super convergence des lments nis P1) Soit un ouvert polygonal convexe de IRd, d 1 ;soit f L2(),u solution de (4.1.5), uT la solution apporche obtenue par lments nis P1, sur un maillagelments nis T . SoithT= maxKTdiamK.Alors il existe C IR ne dpendant que de et f tel que :u uT

H1() Ch et u uT

L2() Ch2.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 186 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.5. ANALYSE DERREUR CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEDmonstration : Par le thorme de rgularit 4.9 page 118, il existe C1 IR+ ne dpendant que de tel queuH2() C1fL2().Grce ce rsultat, on a obtenu (voir le thorme 5.19) quil existe C2 ne dpendant que de , et tel queu uT

H1() C2fL2hSoit maintenant eT= u uT et H10() vriant_(x).(x)dx =_eT (x)(x)dx, H10(). (5.5.24)On peut aussi dire que est la solution faible du problme_ = eT dans = 0 sur .Comme e L2(), par le thorme 4.9, il existe C3 IR+ ne dpendant que tel queH2() C3eT

L2().Or eT

2L2()=_eT (x)eT (x)dx =_(x).e(x)dx, en prenant = eT dans (5.5.24).Soit T la solution approche par lments nis P1 du problme (5.5.24), c..d solution de :___T VT ,0= {v C(); v|K P1, K T , v|= 0}_T (x)v(x)dx =_e(x)v(x)dx, v VT ,0(5.5.25)On sait que uT vrie :_T (x).(u uT )(x)dx = 0;on peut donc crire que :eT

2L2(=_( T )(x).(u uT )(x)dx T

H1()u uT

H1()Daprs le thorme 5.19, on a : T

H1() C2eL2()hT et u uT

H1() C2fL2()hT .On en dduit que :eT

L2() C22fL2()h2T .Ce qui dmontre le thorme.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 187 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.5. ANALYSE DERREUR CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGE5.5.4 Traitement des singularitsLes estimations derreur obtenues au paragraphe prcdent reposent sur la rgularit H2de u. Que se passe-t-il sicette rgularit nest plus vrie ? Par exemple, si le domaine possde un coin rentrant, on sait que dans ce cas,la solution u du problme (4.1.5) nest plus dans H2(), mais dans un espace H1+s(), o s dpend de langledu coin rentrant. Considrons donc pour xer les ides le problme_ u = f dans , o est un ouvertu = 0 sur polygnal avec un coin rentrant.Pour approcher correctement la singularit, on peut rafner le maillage dans le voisinage du coin. On peut gale-ment, lorsque cela est possible, modier lespace dapproximation pour tenir compte de la singularit. Dans le casdun polygne avec un coin rentrant par exemple, on sait trouver H10() (et H2()) telle que si u estsolution de (4.1.5) avec f L2(), alors il existe un unique IR tel que u H2().Examinons le cas dune approximation par lments nis de Lagrange. Dans le cas ou est rgulire, lespacedapproximation estVT= V ect{i, i = 1, NT },o NT est le nombre de noeuds internes du maillage T de considr et (i)i=1,NT la famille des fonctions deforme associes aux noeuds.Dans le cas dune singularit porte par la fonction introduite ci-dessus, on modie lespaceV et on prendmaintenant : VT= V ect{i, i = 1, NT }IR Notons que VT H10(), car H10(). Reprenons maintenantlestimation derreur. Grce au lemme de Ca, on a toujoursu uT

H1 M u wH1(), w VT .On a donc galement :u uT

H1 M u wH1(), w VT .puisque +w VT . Or, u = u H2().Donc u uT

H1 M u wH1(), w VT .Et grce aux rsultats dinterpolation quon a admis, si on note uI linterpole de u dans VT , on a :u uT

H1() M u uI

H1() MC2 uH2()h.On obtient donc encore une estimation derreur en h.Examinons maintenant le systme linaire obtenu avec cette nouvelle approximation. On effectue un dveloppe-ment de Galerkin sur la base de VT . On poseuT=

i=1,NTuii + .Le problme discrtis revient donc chercher___(us)i=1,NT IRNet IR t.q.

j=1,NTuj_j(x) i(x)dx + _(x) i(x)dx =_f(x)i(x)dx, i = 1, NT

j=1,NTuj_i(x) (x)dx + _(x) (x)dx =_f(x)(x)dx.On obtient donc un systme linaire de NT+ 1 quations NT+ 1 inconnues.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 188 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.6. EXERCICES CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGE5.6 ExercicesExercice 47 (Elments nis P1 pour le problme de Dirichlet) Corrig en page 192Soit f L2(]0, 1[). On sintresse au problme suivant :u

(x) = f(x), x ]0, 1[,u(0) = 0, u(1) = 0.dont on a tudi une formulation faible lexercice 35.SoientN IN,h=1/(N+ 1) etxi=ih, pouri =0, . . . , N+ 1, etKi=[xi, xi+1], pouri =0, . . . , N.Soit HN= {v C([0, 1], IR) t.q. v|Ki P1, i=0, . . . , N, et v(0)=v(1) =0}, o P1 dsigne lensemble despolynmes de degr infrieur ou gal 1.1. Montrer que HN H10.2. Pour i = 1, . . . , N, on pose :i(x) =___1 |x xi|hsi x Ki Ki1,0 sinon.Montrer que i HN pour tout i = 1, . . . , N et que HN est engendr par la famille {1, . . . , N}.3. Donner le systme linaire obtenu en remplaant H par HN dans la formulation faible. Comparer avec le schmaobtenu par diffrences nies.Exercice 48 (Conditions aux limites de Fourier et Neumann) Corrig en page 194Soit f L2(]0, 1[). On sintresse au problme :u

(x) +u(x) = f(x), x ]0, 1[,u

(0) u(0) = 0, u

(1) = 1.(5.6.26)Lexistence et lunicit dune solution faible ont t dmontres lexercice 48 page 189. On sintresse maintenant la discrtisation de (5.6.26).e (4.4.41) 1. Ecrire une discrtisation d par diffrences nies pour un maillage non uniforme. Ecrire le systmelinaire obtenu.2. Ecrire une discrtisation de (5.6.26) par volumes nis pour un maillage non uniforme. Ecrire le systme linaireobtenu.3. Ecrire une discrtisation par lments nis conformes de type Lagrange P1 de (5.6.26) pour un maillage nonuniforme. Ecrire le systme linaire obtenu.Exercice 49 (Conditions aux limites de Fourier et Neumann,bis)Soit f L2(]0, 1[). On sintresse au problme : :_ u

(x) u

(x) +u(x) = f(x), x ]0, 1[,u(0) +u

(0) = 0, u(1) = 11. Ecrire une discrtisation par lments nis conformes de type Lagrange P1 pour un maillage uniforme. Ecrirele systme linaire obtenu.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 189 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.6. EXERCICES CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGE2. Ecrire une discrtisation par volumes nis centrs pour un maillage uniforme. Ecrire le systme linaire obtenu.3. Ecrire une discrtisation par diffrences nies centrs de pour un maillage uniforme. Ecrire le systme linaireobtenu.4. Quel est lordre de convergence de chacune des mthodes tudies aux questions prcdentes ?Exercice 50 (Elments nis pour un problme avec conditions mixtes)Soit f L2(]0, 1[. On sintresse ici au problmeu

(x) +u(x) = f(x), x =]0, 1[,u(0) = 0,u

(1) = 0,(5.6.27)Ce problme est un cas particulier du problme (4.4.44) tudi lexercice 41 page 139 page 139, en prenant : =]0, 1[, p 1 et q 1, 0= {0}, 1= {1}, g0 0, g1 0 et = 0.On sintresse ici la discrtisation du problme (5.6.27). SoientNIN, h=1(N+ 1) etxi=ih, pouri=0, . . . , N+ 1, et Ki=[xi, xi+1], pour i=0, . . . , N. On cherche une solution approche de (5.6.27), noteuh, en utilisant les lments nis (Ki, {xi, xi+1}, P1)Ni=0.1. Dterminer lespace dapproximation Vh. Montrer que les fonctions de base globales sont les fonctions i de[0,1] dans IR dnies par i(x) = (1 |xxi|h)+, pour i = 1, . . . , N+ 1.2. Construire le systme linaire rsoudre et comparer avec les systmes obtenus par diffrences nies et volumesnis.3 A-t-on u

h(1) = 0 ?Exercice 51 (Elments nis Q1) Corrig en page 197On considre le rectangle de sommets (1, 0), (2, 0), (1, 1), (2, 1). On sintresse la discrtisation par l-ments nis de lespace fonctionnel H1().I. On choisit de dcouper en deux lments e1 et e2 dnis par les quadrilatres de sommets respectifs M1(1, 1),M2(0, 1), M5(1, 0), M4(1, 0) et M2(0, 1), M3(2, 1), M6(2, 0), M5(1, 0).On prend comme noeuds les points M1, . . . , M6 et comme espace par lment lensemble des polynmes Q1. Onnote 1= {M4, M5, M2, M1} et 2= {M5, M6, M3, M2}.On a donc construit la discrtisation {(e1, 1, Q1), (e2, 2, Q1)}.I.1 Montrer que les lments (e1, 1, Q1) et (e2, 2, Q1) sont des lments nis de Lagrange.I.2. Montrer que lespace de dimension nie correspondant cette discrtisation nest pas inclus dansH1()(construire une fonction de cet espace dont la drive distribution nest pas dans L2). Quelle est dans les hypothsesappeles en cours cohrence globale celle qui nest pas vrie ?II. On fait le mme choix des lments et des noeuds que dans I. On introduit comme lment de rfrence e lecarr de sommets (1, 1), est lensemble des sommets de e et P= Q1.II.1. Quelles sont les fonctions de base locales de (e, , P). On note ces fonctions 1, . . . , 4.II.2 A partir des fonctions 1, . . . , 4, construire des bijections F1 et F2 de e dans e1 et e2. Les fonctions F1 et F2sont elles afnes ?II.3 On note Pei= {f: ei IR, f Fi|e Q1}, pour i =1, 2, o les Fi sont dnies la question prcdente.Montrer que les lments (e1, 1, Pe1) et (e2, 2, Pe2) sont des lments nis de Lagrange et que lespace vectorielconstruit avec la discrtisation {(e1, 1, Pe1), (e2, 2, Pe2)} est inclus dansH1() (i.e. vrier la cohrenceglobale dnie en cours). On pourra pour cela montrer que si S =e1 e2={(x, y); x+y =1}, alors{f|S, f Pei} = {f: S IR; f(x, y) = a +by, a, b IR}.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 190 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.6. EXERCICES CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEExercice 52 (Elments afnequivalents) Corrig en page 200Soit un ouvert polygonal de IR2, et T un maillage de .Soient ( K, ,P) et (K, , P) deux lments nis de Lagrange afne - quivalents. On suppose que les fonctionsde base locales deK sont afnes.Montrer que toute fonction de P est afne.En dduire que les fonctions de base locales de (K, , P) afnes.Exercice 53 (Elments nis P2 en une dimension despace)On veut rsoudre numriquement le problme aux limites suivant___u

(x) +u(x) = x2, 0 < x < 1u(0) = 0,u

(1) = 1.(5.6.28)1. Donner une formulation faible du problme (5.6.28)2. Dmontrer que le problme (5.6.28) admet une unique solution.3. On partage lintervalle ]0, 1[ en N intervalles gaux et on approche la solution par une mthode dlments nisde degr 2. Ecrire le systme quil faut rsoudre.Exercice 54 (Elments nis P1 sur maillage triangulaire) Corrig en page 202On veut rsoudre numriquement le problmeu(x, y) = f(x, y), (x, y) D = (0, a) (0, b),u(x, y) = 0, (x, y) D,o f est une fonction donne, appartenant L2(D). Soient M, N deux entiers. On dnitx =aM+ 1, y=bN+ 1et on posexk= kx, 0 k M+ 1, ylly, 0 l N+ 1On noteT0k+1/2,l+1/2 le triangle de sommets (xk, yl), (xk+1, yl), (xk+1, yl+1),T1k+1/2,l+1/2 le triangle de sommets (xk, yl), (xk, yl+1), (xk+1, yl+1).Ecrire la matrice obtenue en discrtisant le problme avec les lments nis triangulaires linaires (utilisant lemaillage prcdent).Exercice 55 (Intgration numrique) Corrig en page 2041. Vrier que lintgration numrique un point de Gauss, donn par le centre de gravit du triangle, sur llmentni P1 sur triangle, est exacte pour les polynmes dordre 1.2. Vrier que lintgration numrique trois points de Gauss dnis sur le trangle de rrrence par p1=_12, 0_,p2=_12, 12_,p3=_0, 12_. avec les poids dintgration 1=2=3=16, est exacte pour les polynmesdordre 2.Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 191 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.7. CORRIGS DES EXERCICES CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGEExercice 56 (Elments nis Q2) Corrig en page 205On note C le carr [0, 1] [0, 1] de sommetsa1= (0, 0), a2= (1, 0), a3= (1, 1), a4= (0, 1).On notea5= (1/2, 0), a6= (1, 1/2), a7= (1/2, 1), a8= (0, 1/2), a9= (1/2, 1/2)et

= {ai, 1 i 8}.1. Montrer que pour tout p P24

i=1p(ai) 28

i=5p(ai) + 4p(a9) = 0.2. En dduire une forme linaire telle que si p P= {p Q2, (p) = 0} et p(ai) = 0 pour i = 1, . . . 8, alorsp = 0. 3. Calculer les fonctions de base de llment ni (C, P, ), avec = {a1, . . . , a8}.Exercice 57 (Elments nis Q2)Soit C= [1, 1] [1, 1]. On note a1, . . . , a8 les noeuds de C, dnis para1= (1, 1), a2= (1, 1), a3= (1, 1), a4= (1, 1),a5= (0, 1), a6= (1, 0), a7= (0, 1), a8= (1, 0).On rappelle queQ2=V ect{1, x, y, xy, x2, y2, x2y, xy2, x2y2} et que dimQ2=9. On noteQ2 lespace depolynme engendr par les fonctions {1, x, y, xy, x2, y2, x2y, xy2}.a) Construire (i)i=1,...,8 Q2 tel quej(ai) = iji, j= 1, . . . , 8.b) Montrer que est Q2-unisolvant, avec = {a1, . . . , a8}.c) SoitS=[1, 1] {1}, S= S, et soitP lensemble des restrictions S des fonctions deQ2, i.e.P= {f|S; f Q2}. Montrer que S est P-unisolvant. La proprit est elle vraie pour les autres artes de C ?5.7 Corrigs des exercicesExercice 47 page 1891.Soit v HN, comme HN C([0, 1]), on a v L2(]0, 1[). Dautre part, comme v|Ki P1, on a v|Ki(x)=ix + i, avec i, i IR. Donc v admet une drive faible dans L2(]0, 1[), et Dv|Ki= i on a donc :DvL2 maxi=1,...,N|i| < +.De plus v(0) = v(1) = 0, donc v H10(]0, 1[).On en dduit que HN H10(]0, 1[).Analyse numrique II, Tl-enseignement, M1 192 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.7. CORRIGS DES EXERCICES CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGE2. On a :i(x) =___1 x xihsi x Ki1 +x xihsi x Ki10 si x ]0, 1[ Ki Ki1On en dduit que i|Kj P1 pour tout j= 0, . . . , N.De plus, les fonctions i sont clairement continues. Pour montrer que i HN, il reste montrer que i(0)=i(1)=0. Ceci est immdiat pour i =2, . . . , N 1, car dans ce cas i|K0=i|KN+1=0. On vrie alorsfacilement que 1(0) = 1 hh= 0 et N(1) = 0.Pour montrer que HN= V ect{1, . . . , N}, il suft de montrer que {1, . . . , N} est une famille libre de HN.En effet, siN

i=1aii=0, alors en particulierN

i=1aii(xk) =0, pourk =1, . . . , N, et doncak=0 pourk = 1, . . . , N.3. Soit u =N

j=1ujj solution dea(u, i) = T(i) i = 1, . . . , N.La famille (uj)j=1,...,N est donc solution du systme linaireN

j=1Ki,juj= Gii = 1, . . . , No Ki,j= a(j, i) et Gi= T(i). Calculons Ki,j et Gi ; on a :Ki,j=_10

j(x)

i(x)dx; or

i(x) =___1h si x ]xi1xi[1h si x ]xi, xi+1[,0 ailleursOn en dduit que :Ki,i=_10(

i(x))2dx = 2h1h2=2h pour i = 1, . . . , N,Ki,i+1_10

i(x)

i+1(x)dx = h 1h2= 1h, pour i = 1, . . . , N 1,Ki,i1=_10

i(x)

i1(x)dx = 1h pour i = 2, . . . , N,Ki,j= 0 pour |i j| > 1.Calculons maintenant Gi :Gi=_xi+1xi1f(x)i(x)dxAnalyse numrique II, Tl-enseignement, M1 193 Universit Aix-Marseille 1, R. Herbin, 27 septembre 20105.7. CORRIGS DES EXERCICES CHAPITRE 5. ELMENTS FINIS DE LAGRANGESi f est constante, on a alors Gi= f_xi+1xi1i(x)dx = hf. Si f nest pas constante, on procde une intgrationnumrique. On peut, par exemple, utiliser la formule des trapzes pour le calcul des intgrales_xixi1f(x)i(x)dxet_xi+1xif(x)i(x)dx. On obtient alors :Gi= hf(xi).Le schma obtenu est donc :_2uiui1ui+1= h2f(xi) i = 1, . . . , Nu0 = uN+1= 0Cest exactement le schma diffrences nis avec un pas constant h.Exercice 48 page 1891. Soit(xi)i=1,...,N+1 une discrtisation de lintervalle[0, 1], avec0=x0