Chapitre 2: theoremes generaux

P. Chartier et E. Faou

5 octobre 2016

1 Preliminaires

1.1 Cadre generalSoit I ⊂ R un intervalle ouvert, d’interieur non vide, et t0 ∈ I . Soit E un espace de

Banach, D un ouvert connexe de E. On considere une application

f : D × I → E

et un point y0 ∈ D.

Definition 1.1 On appelle probleme de Cauchy la recherche d’un intervalle J tel quet0 ∈ J ⊂ I et d’une application y : J → D telle que y soit derivable et satisfait pour toutt ∈ J {

y′(t) = f(t, y(t)),

y(t0) = y0.(1)

Remarque 1.2 La plus souvent, on considerera que E = Rd, d ∈ N. On supposera aussique f est au moins continue.

Une formulation equivalente de (1) est donnee par

∀ t ∈ J, y(t) = y0 +

∫ t

t0

f(s, y(s))ds. (2)

Definition 1.3 On donne maintenant quelques definitions :

1. Le couple (J, y) est appele solution locale si t0 ∈ J ⊂ I , y ∈ C1(J), J est unvoisinage de t0 dans I , et (1) est satisfaite pour tout t ∈ J .

1

2. Soient (J1, y1) et (J2, y2) deux solutions locales. On dit que (J1, y1) prolonge(J2, y2) si J2 ⊂ J1,

y1∣∣J2

= y2.

3. Une solution locale (J, y) est appelee solution maximale si pour tout prolonge-ment (J , y) de (J, y), on a J = J et y = y.

4. Une solution locale (J, y) est appelee solution globale si J = I .

Remarque 1.4 On peut immediatement faire les remarques suivantes :— Toute solution globale est solution maximale.— Soient ti, i = 1, . . . , 4 tels que t1 < t0 < t2 et t3 < t2 < t4, et soient (J1, y1) et

(J2, y2) deux solutions locales telles que

[t1, t2] ⊂ J1, et

{y′1(t) = f(t, y1(t)),

y1(t0) = y0.

et

[t3, t4] ⊂ J2, et

{y′2(t) = f(t, y2(t)),

y2(t2) = y1(t2).

Alors le couple (J, y) defini par

J = [t1, t4], et y =

{y1 sur [t1, t2],

y2 sur [t2, t4],

est une solution locale, prolongement de ([t1, t2], y1) (pas forcement de (J2, y2) ! !).

Le resultat suivant est immediat.

Lemme 1.5 Si f est de classe Ck sur I ×D, alors pour toute solution locale (J, y), y estde classe Ck+1 sur J .

1.2 Exemples1. Le probleme

y = −2ty2

y(0) = 1

I = R

2

admet une unique solution globale(R,

1

1 + t2).

2. Le probleme y = +2ty2

y(0) = 1

I = R

admet une unique solution maximale(]− 1,+1[,

1

1− t2)

3. On considere le probleme {y = −y2

y(0) = 1

Avec I = R+ le probleme admet une solution globale y(t) =1

1 + t.

Avec I = R le probleme admet une solution maximale(] − 1,+∞[,

1

1 + t

)qui

est non globale.

4. Le probleme y = y2

y(0) = 1

I = R

admet une solution maximale(]−∞, 1[,

1

1− t)

5. Attention : le temps d’existence ne depend pas de maniere sympathique du secondmembre : le probleme {

y = y2 − εy3

y(0) = 1

admet une solution globale definie sur(] − Tε,+∞[

)avec Tε < ∞ et meme

Tε →∞, ε→ 0.

6. Attention si le second membre n’est pas “regulier”, on perd l’unicite : le problemey = 2

√|y|(1 + y)

y(0) = 0

I = R+

3

admet (evidemment) (R+, 0) pour solution globale, mais aussi toutes les solutionsmaximales

a ≥ 0,

{ya = 0 t ∈ [0, a]

ya = tan2(t− a), t ∈ [a, a+ π2].

(on peut montrer qu’il n’y a pas d’autre solution maximale).

1.3 Lemme de GronwallLemme 1.6 Soit t0 ∈ I et u : I → R+ une fonction positive et continue, et deux fonctionsf, g ∈ C(I,R+) telles que

∀ t ∈ I, u(t) ≤ f(t) +

∣∣∣∣∫ t

t0

u(s)g(s)ds

∣∣∣∣ .Alors

∀ t ∈ I, u(t) ≤ f(t) +

∣∣∣∣∫ t

t0

f(s)g(s) exp(∣∣ ∫ t

s

g(σ)dσ∣∣)ds∣∣∣∣ .

Preuve. On considere tout d’abord le cas t ≥ t0 .On definit la fonction

Y (t) =

∫ t

t0

u(s)g(s)ds ≥ 0.

On a Y (t0) = 0, et par hypothese

Y ′(t) = u(t)g(t) ≤ f(t)g(t) + g(t)Y (t).

On calcule alorsd

dt

(Y (t)e

−∫ tt0g(s)ds

)≤

(f(t)g(t) + g(t)Y (t)− Y (t)g(t)

)e−

∫ tt0g(s)ds

= f(t)g(t)e−

∫ tt0g(s)ds

.

En integrant entre t0 et t, on trouve

Y (t)e−

∫ tt0g(s)ds ≤

∫ t

t0

f(s)g(s)e−

∫ st0g(σ)dσ

ds

d’ou

Y (t) ≤∫ t

t0

f(s)g(s)e∫ ts g(σ)dσds.

Mais par hypothese, on au(t) ≤ f(t) + Y (t)

ce qui donne le resultat.

4

On considere maintenant le cas t ≤ t0 .Dans cette situation, on a Y (t) ≤ 0, et

Y ′(t) ≤ u(t)g(t)− g(t)Y (t).

En calculant comme precedemment, on trouved

dt

(Y (t)e

∫ tt0g(s)ds

)≤ f(t)g(t)e

∫ tt0g(s)ds

.

et en integrant entre t et t0,

−Y (t)e∫ tt0g(s)ds ≤

∫ t0

t

f(s)g(s)e∫ st0g(σ)dσ

ds

d’ou

−Y (t) ≤∫ t0

t

f(s)g(s)e∫ st g(σ)dσds

≤∣∣∣ ∫ t

t0

f(s)g(s)e|∫ ts g(σ)dσ|ds

∣∣∣et on conclut en remarquant que l’hypothese s’ecrit dans ce cas

u(t) ≤ f(t)− Y (t).

Corollaire 1.7 (f ≡ c1) Sous les hypotheses precedentes, si f est une fonction constanteegale a c1 ≥ 0, on a

∀ t ∈ I, u(t) ≤ c1 exp(∣∣∣ ∫ t

t0

g(σ)dσ∣∣∣).

Preuve. Le lemme precedent montre que

u(t) ≤ c1

(1 +

∣∣∣∣∫ t

t0

g(s) exp(∣∣ ∫ t

s

g(σ)dσ∣∣)ds∣∣∣∣) .

Supposons que t ≥ t0, on a

g(s) exp( ∫ t

s

g(σ)dσ)

= − d

dsexp

( ∫ t

s

g(σ)dσ)

ce qui donne directement le resultat. Le resultat pour t ≤ t0 se montre de maniere iden-tique.

Remarque 1.8 Si f ≡ 0 dans le corollaire precedent, le resultat montre que u ≤ 0.

Corollaire 1.9 (f ≡ c1, g ≡ c2) Sous les hypotheses precedentes, si f est une fonctionconstante egale a c1 ≥ 0 et g une fonction constante egale a c2 ≥ 0 alors on a

∀ t ∈ I, u(t) ≤ c1 exp(c2|t− t0|).

5

2 Le cas LipschitzOn se place toujours dans un espace de Banach E. Soit D un ouvert connexe de E, I

un intervalle de R d’interieur non vide, et f : I ×D → E.

Definition 2.11. On dit que f est (globalement) Lipschitzienne par rapport a x si il existe L ≥ 0

telle que

∀x1, x2 ∈ D, ∀ t ∈ I, ‖f(t, x1)− f(t, x2)‖E ≤ L‖x1 − x2‖E .

2. On dit que f est localement Lipschitzienne par rapport a x si pour tout (t0, x0) ∈I ×D, il existe un voisinage V de (t0, x0) et une constante L(t0, x0) ≥ 0 tels que

∀ (t, x1) ∈ V , ∀ (t, x2) ∈ V , ‖f(t, x1)− f(t, x2)‖E ≤ L(t0, y0)‖x1 − x2‖E .

On rappelle le

Theoreme 2.2 (du point fixe) Soit X un ferme de E, et F : X → X contractante. AlorsF admet un unique point fixe y ∈ X tel que F (y) = y.

2.1 Le cas globalTheoreme 2.3 (Existence et unicite globale) On suppose que D = E, et f ∈ C(I ×D)une fonction globalement lipschitzienne par rapport a x. Alors pour tout y0 ∈ D, ilexiste une unique solution globale au probleme de Cauchy (1). De plus toute solutionlocale est une restriction de celle-ci.

Preuve. On suppose tout d’abord que l’intervalle I est ferme et borne.On pose E = C(I, E) l’ensemble des fonctions continues de I dans E, muni de la norme

‖y‖E = maxt∈I

e−2L|t−t0|‖y(t)‖E

ou L est la constante de Lipschitz de f . Il est clair que E est un espace vectoriel normecomplet (car I est compact).On definit la transformation T : E → E par la formule

∀ t ∈ I, (T y)(t) = y0 +

∫ t

t0

f(s, y(s)) ds.

Il est clair que T envoie bien E dans lui-meme.

6

Supposons que t ≥ t0. On a

‖T y1(t)− T y2(t)‖E ≤∫ t

t0

L‖y1(s)− y2(s)‖E ds

≤∫ t

t0

Le2L|s−t0|‖y1 − y2‖E ds

≤ 12e2L|t−t0|‖y1 − y2‖E

la meme inegalite etant valable pour t ≤ t0. On trouve donc que pour tout y1 et y2 dansE , on a

‖T y1 − T y2‖E ≤1

2‖y1 − y2‖E .

L’application T est donc contractante de E dans E et le theoreme du point fixe montrel’existence d’une unique solution.

Si maintenant I n’est pas ferme et borne. Alors on peut toujours ecrire

I =⋃n∈N

In, avec pour tout n, In ⊂ In+1 et In ferme et borne.

Soit yn la soluton sur In. Par unicite, on a

yn+1

∣∣In

= yn.

On definit alors y par la formule y = yn sur In, ce qui donne l’existence et l’unicite de lasolution.

Soit maintenant (y, I), I ⊂ I , une autre solution. On decompose I =⋃n∈N In avec

In = I ∩ In borne. Par unicite, on a y∣∣In

= y∣∣In

, ce qui montre que y = y∣∣I.

Proposition 2.4 Dans le cadre du theoreme precedent, soit y1 et y2 deux solutions. Alors

∀ t ∈ I, ‖y1(t)− y2(t)‖E ≤ eL|t−t0|‖y1(t0)− y2(t0)‖E .

2.2 Existence localeOn considere toujours I un intervalle d’interieur non vide de R, et D un ouvert

connexe d’un espace de Banach E. Pour y0 ∈ D et r > 0, on definit la boule

Br(y0) = {y ∈ E, | ‖y − y0‖E ≤ r}.

Theoreme 2.5 (Existence locale) Soit f ∈ C(I×D,E). Soient η, r,M etL des constantestelles que

[t0 − η, t0 + η]×Br(y0) ⊂ I ×D

∀ (t, y) ∈ [t0 − η, t0 + η]×Br(y0), ‖f(t, y)‖E≤M

∀ (t, y1), (t, y2) ∈ [t0 − η, t0 + η]×Br(y0), ‖f(t, y1)− f(t, y2)‖E ≤ L‖y1 − y2‖E

7

Alors il existe (J, y) une solution locale de (1), avec

J = [t0 − η, t0 + η], ou η = min(η,

r

2M

).

Remarque 2.6 Si f est localement Lipschitzienne, alors il est clair qu’elle verifie leshypotheses precedentes.

Preuve. Soit θ ∈ C1(R+) une fonction telle que

θ(x) = 1 x ≤ 1/2

θ(x) = 0 x ≥ 1

|θ(x)| ≤ 1 x ∈ [1/2, 1]

On pose

F (t, y) =

θ(‖y − y0‖E

r

)f(t, y) (t, y) ∈ [t0 − η, t0 + η]×Br(y0),

0 (t, y) ∈ [t0 − η, t0 + η]× E\Br(y0)

On montre facilement que F (t, y) est globalement lipschitzienne sur [t0− η, t0 + η]×E.De plus, on a ‖F (t, y)‖

E≤ M . Par le theoreme precedent, on en deduit qu’il existe une

unique solution globale au probleme{y′(t) = F (t, y(t))

y(t0) = y0.

De plus, en utilisant l’equation integrale, on voit facilement que

‖y(t)− y(t0)‖E ≤M |t− t0|.

Maintenant, par definition de η on a

|t− t0| ≤ η =⇒ |t− t0| ≤r

2M

et donc‖y(t)− y(t0)‖E ≤

r

2.

Or pour t et y tels que |t − t0| ≤ η et y ∈ Br(y0) on a F (t, y) = f(t, y), et donc y estsolution de (1) sur l’intervalle annonce.

2.3 Unicite localeLemme 2.7 Soit f une fonction localement lipschitzienne par rapport a x, et soient J ⊂ Iun compact de I et K ⊂ D un compact de D. Alors f est uniformement lipschitiziennepar rapport a x sur J ×K.

8

Preuve. Soit M = max(t,y)∈J×K ‖f(t, y)‖E

. Par hypothese, pour tout (t, y) ∈ J ×K, ilexiste L(t, y) et un voisinage Ut × Vx de (t, y) dans I ×D tels que

∀ (s, y1), (s, y2) ∈ Ut × Vx, ‖f(s, y1)− f(s, y2)‖E ≤ L(t, y)‖y1 − y2‖E .

On peut toujours supposer que Vy = Br(y)(y) pour un certain r(y) > 0. Puisque J ×Kest compact, il existe (ti, yi) ∈ J ×K, i = 1, . . . , n, tels que

J ×K ⊂n⋃i=1

Uti ×Br(yi)/2(yi).

On pose alorsL = max

i=1,...,nL(ti, yi) et r = min

i=1,...,nr(yi).

Soient (t, y1) et (t, y2) des elements de J ×K. Il existe un indice i0 tel que

(t, y1) ∈ Uti0 ×Br(yi0 )/2(yi0).

On distingue alors deux cas :Cas 1 : ‖y1 − y2‖E ≤ r/2. Dans ce cas on a y2 ∈ Br(yi0) et donc par hypothese

‖f(t, y1)− f(t, y2)‖E ≤ L‖y1 − y2‖E .

Cas 2 : ‖y1 − y2‖E > r/2. On a alors

‖f(t, y1)− f(t, y2)‖E ≤ 2M ≤ 4M

r‖y1 − y2‖E .

On conclut en prenant la constante de Lipschitz L0 := max(4Mr, L).

Theoreme 2.8 (Unicite locale) Soit f : I × D → E une fonction continue, locale-ment lipschitzienne par rapport a x. Soient (J1, y1) et (J2, y2) deux solutions localesdu probleme de Cauchy {

y′(t) = f(t, y(t))

y(t0) = y0.

Alorsy1∣∣J1∩J2

= y2∣∣J1∩J2

.

Preuve. Soit I ⊂ J1 ∩ J2 un intervalle compact, et soit K = y1(I) ∪ y2(I) qui est donccompact. Le lemme precedent implique que f est globalement lipschitzienne sur J ×K.On en deduit (voir la Proposition 2.4) que y1

∣∣I

= y2∣∣I. Le fait que I soit un compact

arbitraire de J1 ∩ J2 montre le resultat.

Corollaire 2.9 Sous les hypotheses du theoreme precedent, si deux solutions de l’equationy′(t) = f(t, y(t)) coıncident en un point, elle coıncident sur l’intersection de leurs do-maines de definition.

9

2.4 Solution maximaleCorollaire 2.10 (Existence d’une unique solution maximale) Sous les hypotheses du theoreme2.8, il existe une unique solution maximale (J, y) au probleme (1). De plus, J est ouvertdans I .

Preuve. On pose

t+ = sup{t | il existe une solution sur [t0, t]

}.

ett− = inf

{t | il existe une solution sur [t, t0]

}.

On definit une solution sur ]t−, t+[ en “recollant les morceaux” de la facon suivante : sit ∈]t−, t+[ avec t > t0, alors il existe t > t tel que ([t0, t], y) soit solution. On pose alorsy(t) = y(t). Par unicite locale, ceci definit bien une solution.Supposons maintenant que t+ soit dans l’interieur (relatif) de I . Alors on peut resoudre leprobleme {

y′(t) = f(t, y(t))

y(t+) = y(t+)

ce qui fournit une solution sur [t+, t+ + ε] pour un certain ε > 0. Ceci est impossible. Lememe raisonnement montre que t+ et t− ne sont pas dans l’interieur de I .

3 Le cas continu en dimension finie

3.1 Le theoreme d’AscoliDefinition 3.1 Soit (gn)n∈N une suite de fonctions de I and E. On dit que (gn)n∈N estequicontinue si

∀t ∈ I, ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀n ∈ N,∀t′ ∈ I, |t− t′| < δ =⇒ ‖gn(t′)− gn(t)| < ε

Theoreme 3.2 Soit (gn)n∈N une suite de fonctions de I , intervalle ferme borne de R, dansE, equicontinue et de plus uniformement bornee par M ∈ R+, i.e.

∀n ∈ N, ‖gn‖∞ := supt∈I‖gn(t)‖E ≤M.

On peut extraire une sous-suite (gnk)k∈N de (gn)n∈N qui converge uniformement sur I versune fonction g continue sur I .

La preuve ne fait pas partie du programme de ce cours.

10

3.2 Solutions approcheesOn suppose ici que E = Rd est de dimension finie. I est toujours un intervalle de R

et D ⊂ E un ouvert connexe. On considere a nouveau le probleme de Cauchy{x′(t) = f(t, x(t)),

x(t0) = x0

avec f : I ×D → E continue.

Definition 3.3 Soit ε > 0, J ⊂ I et x : J → D. On dit que (J, x) est une ε-solutionapprochee si• J est d’interieur non vide et t0 ∈ J ,• x ∈ C(J ;D),• x(t0) = x0,• pour tout t ∈ J , ∥∥∥x(t)− x0 −

∫ t

t0

f(s, x(s)) ds∥∥∥Rd≤ ε.

Lemme 3.4 Soit f ∈ C(I × D;E) et (t0, x0) ∈ I × D. Soient η, r > 0 tels que Iη =

[t0 − η, t0 + η] ⊂ I et Br(x0) ⊂ D. On pose

Cη,r = Iη ×Br(x0), M = max(t,x)∈Cη,r

‖f(t, x)‖Rd et η = min(η,r

M).

Alors pour tout ε > 0, il existe une ε-solution approchee xε ∈ C(Iη, Br(x0)). De plus,

∀ (t, s) ∈ I2η , ‖xε(t)− xε(s)‖Rd ≤M |t− s|.

Preuve. L’ensemble Cη,r etant compact, la fonction f∣∣Cη,r

est uniformement continue(hypothese de dimension finie). Donc pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tels que

max(‖x− x‖Rd , |t− t|) < δ =⇒ ‖f(t, x)− f(t, x)‖Rd ≤ε

η. (3)

Considerons alors des points tj , j = −n, . . . , n, tels que

t0 − η = t−n < t−n+1 < · · · < t0 < · · · < tn = t0 + η

et tels que

maxj=−n,...,n−1

|ti+1 − ti| ≤ min(δ,δ

M.)

On definit alors

xε(t) =

{xε(ti) + (t− ti)f(ti, xε(ti)) pour t ∈ [ti, ti+1], i ≥ 0,

xε(ti+1) + (t− ti+1)f(ti+1, xε(ti+1)) pour t ∈ [ti, ti+1], i ≤ −1.

11

A priori, cette fonction est definie sur un intervalle du type [t−K , tK ] avec K,K ≤ nou K est defini comme le plus petit indice pour lequel il existe t ∈ [tK−1, tK ] tel quexε(ti) + (t− ti)f(ti, xε(ti)) ne soit pas dans Br(x0) (K est defini similairement).Pour t ∈ [t0, tK ] on a

‖xε(t)− xε(t0)‖Rd ≤ ‖xε(t)− xε(tK−1)‖Rd +K−1∑`=1

‖xε(t`)− xε(t`−1)‖Rd

≤ (t− tK−1)‖f(tK−1, xε(tK−1))‖Rd+∑K−1

`=1 (t` − t`−1)‖f(t`−1, xε(t`−1))‖Rd

≤ M(t− t0)

≤ Mη ≤ r.

Ainsi on obtient que xε ne sort pas de Br(x0) et ceci montre que K = n. Le memeraisonnement montre que K = n, et de plus pour t et s dans Iη on a

‖xε(t)− xε(s)‖Rd ≤M |t− s|. (4)

Enfin, pour 0 ≤ ` < n et t ∈ [t0, t`+1], on a

xε(t)− x0 −∫ t

t0

f(s, xε(s)) ds

≤ (t− t`)f(t`, xε(t`)) +`−1∑i=0

(ti+1 − ti)f(ti, xε(ti))−∫ t

t0

f(s, xε(s)) ds

=

∫ t

tl

f(t`, xε(t`))− f(s, xε(s)) ds+`−1∑i=0

∫ ti+1

ti

f(ti, xε(ti))− f(s, xε(s)) ds

Notons que pour un i fixe et s ∈ [ti, ti+1], on a evidemment |s− ti| < δ et

‖xε(ti)− xε(s)‖Rd ≤M |ti − s| ≤Mδ

M= δ.

L’inegalite (3) peut donc s’appliquer, et on obtient

‖xε(t)− x0 −∫ t

t0

f(s, xε(s)) ds‖Rd ≤ε

η(t− t0) ≤ ε.

Le meme raisonnement pour t ≤ t0 montre le resultat.

Theoreme 3.5 (Cauchy Peano) Avec les notations et les hypotheses utilisees dans lelemme precedent, il existe au moins une solution locale definie sur Iη. De plus x ∈C1(Iη, Br(x0)).

Preuve. On utilise le lemme precedent, avec ε = 1n

. On note xn ∈ C(Iη, Br(x0)) la

12

1n

-solution approchee. Le point important ici est que η et M ne dependent pas de n dansl’estimation (4).On utilise le theoreme d’Ascoli pour la suite (xn)n∈N. En vertu de l’estimation (4), (xn)n∈Nestequicontinue (il suffit de prendre δ = ε

M). De plus, on a montre que

∀n ∈ N,∀t ∈ Iη, ‖xn(t)‖Rd ≤ r

et donc (xn)n∈N est uniformement bornee. On en deduit donc qu’il existe une sous-suite(xnk)k∈N qui converge vers x ∈ C(Iη, Br(x0)). Enfin, pour tout k ∈ N, on a∥∥∥xnk(t)− x0 − ∫ t

t0

f(s, xnk(s)) ds∥∥∥Rd≤ 1

nk,

ce qui montre que l’expression du membre de gauche tend vers 0 quand k tend vers +∞.Mais on a vu que xnk tend vers x uniformement sur Iη. Ceci implique en particulier que∫ t

t0

f(s, xnk(s)) ds −→∫ t

t0

f(s, x(s)) ds, pour k → +∞.

On en deduit donc que

∀ t ∈ Iη, x(t)− x0 −∫ t

t0

f(s, x(s)) ds = 0,

ce qui montre le resultat.

Remarque 3.6 En dimension infinie, le theoreme est faux. Il faut faire une hypothese dutype que l’image f(Iη, Br(y0)) est compacte.

Theoreme 3.7 Sous les hypotheses precedentes, il existe une solution maximale definiesur un intervalle J ouvert dans I .

Remarque 3.8 En fait pour toute solution locale, il existe une solution maximale qui laprolonge.

4 Dependance continueOn considere cette fois f : I × E → E une fonction globalement Lipschitzienne par

rapport a y. On note t→ y(t, y0) la solution du probleme de Cauchy

y(t) = f(t, y(t)),

y(t0) = y0.

La proposition suivante montre la continuite de la solution par rapport a la condtion ini-tiale y0.

13

Proposition 4.1 Avec les notations precedentes, pour tout intervalle J compact inclusdans I , l’application

E → C(J,E)

y0 7→ y0(t, y0)

est continue, et de plus pour tout y0 et y0 dans E, on a l’estimation

∀ t ∈ J, ‖y(t, y0)− y(t, y0)‖E ≤ eL|t−t0|‖y0 − y0‖E

Preuve. On a par definition pour tout J ⊂ I compact,

∀ t ∈ J, y(t, y0) = y0 +

∫ t

t0

f(s, y(s, y0))ds.

d’ou

y(t, y0)− y(t, y0) = y0 − y0 +

∫ t

t0

f(s, y(s, y0))− f(s, y(s, y0)) ds,

ce qui donne la majoration

∀ t ∈ J, ‖y(t, y0)− y(t, y0)‖E ≤ ‖y0 − y0‖E + L

∫ t

t0

‖y(s, y0))− y(s, y0)‖E ds.

Le lemme de Gronwall donne alors immediatement le resultat.

On verifiera en exercice qu’en fait l’application

J × E → E

(t, y0) 7→ y(t, y0)

est continue.On se place maintenant dans le cas localement Lipschitz decrit plus haut.

Proposition 4.2 Avec les notations habituelles, soit f : I ×D → E une fonction locale-mentl lipschitizienne. Alors pour tout y0 dansD, il existe un voisinage V de y0 et η > 0 telque pour tout y0 dans V , il existe une unique solution sur l’intervalle Iη = [t0− η, t0 + η].De plus l’application

V → C(Iη, D)

y0 7→ y( · , y0)est continue.

Preuve. On reprend la construction du theoreme 2.5 (Existence d’une unique solution).Partant de l’hypothese f continue et localement lipschitzienne sur [t0−η, t0+η]×Br(y0),on a obtenu l’existence d’une solution unique sur l’intervalle [t0 − η, t0 + η] avec η =min(η, r/(2M)). De plus, la solution obtenue satisfait

‖y(t, y0)− y0‖E ≤r

2,

14

de sorte que y(t, y0)) ne “sort” pas de la boule de centre y0 et de rayon r/2. Consideronsmaintenant y0 ∈ Br/4(y0). On peut a nouveau construire une solution sur un intervalle[t0 − µ, t0 + µ] en prenant cette fois µ = min(η, r/(4M)), de sorte que

‖y(t, y0)− y0‖E ≤r

4.

Ainsi, on a :

‖y(t, y0)− y0‖E ≤ ‖y(t, y0)− y0‖E + ‖y0 − y0‖E ≤r

2,

c’est-a-dire que y(t, y0) ne sort pas de la boule Br/2(y0) sur l’intervalle

[t0 − µ, t0 + µ] ⊂ [t0 − η, t0 + η].

Donc les deux solutions y(t, y0) et y(t, y0) sont bien definies sur [t0− µ, t0 + µ] et restentdans Br/2(y0). Elles coincident donc avec les solutions de

y = F (t, y)

avec conditions initiales y(t0, y0) = y0 et y(t, y0) = y0. Comme F est globalement lip-schitzienne, on a la dependance continue.

On se place ci-dessous dans le cas D = E = Rd.

Proposition 4.3 Soit f : R×Rd → Rd une fonction continue et localement lipschitziennepar rapport a y, et soient y0 ∈ Rd, t0 ∈ R, et (J, y) la solution maximale du probleme deCauchy {

y(t) = f(t, y(t))

y(t0) = y0.

Alors on peut ecrire J sous la forme J =]T−(y0), T+(y0)[ et de plus, pour tout ε > 0, il

existe un Rε > 0 tel que

∀ y0 ∈ BRε(y0),

T+(y0) ≥ T+(y0)− ε (resp.

1

εsi T+(y0) = +∞)

T−(y0) ≤ T−(y0) + ε (resp. − 1

εsi T−(y0) = −∞)

En outre, l’application (respectivement la meme application ou les bornes de l’intervallede definition sont modifiees en ±1/ε selon la valeur de T±(y0))

BRε(y0) → C([T−(y0) + ε, T+(y0)− ε],Rd)

y0 7→ y( · , y0)(5)

est Lipschitz.

Preuve. On pose

T+ε = min

(1

ε, T+(y0)− ε

)et T−ε = max

(− 1

ε, T−(y0) + ε

),

15

etMε = sup

t∈[T−ε ,T

+ε ]

‖y(t, y0)‖Rd .

Soit θ ∈ C1(R+) une fonction satisfaisant

θ(x) =

1 si x ∈ [0, 1]

0 si x ≥ 2

∈ [0, 1] pour tout x ∈ R+.

On pose

Fε(t, y) = θ(‖y‖Rd

2M

)f(t, y).

Il est clair que y∣∣[T−ε ,T

+ε ]

est solution du probleme{y(t) = Fε(t, y(t))

y(t0) = y0.(6)

Pour tout y0 ∈ Rd, on note yε( · , y0) la solution globale (car Fε est globalement lipschit-zienne par rapport a y) correspondant au systeme (6) ayant pour valeur initiale y0 en t0.On a alors (grace au lemme de Gronwall) que pour tout t ∈ [T−ε , T

+ε ],

‖yε(t, y0)− yε(t, y0)‖Rd ≤ eLε|t−t0||‖y0 − y0‖RdOn voit donc que si

‖y0 − y0‖Rd ≤ Rε := Mε exp(− Lε max(|T−ε − t0|, |T+

ε − t0|))

on a‖yθ(t, y0)− yε(t, y0)‖Rd ≤Mε

pour t ∈ [T−ε , T+ε ]. En particulier, pour tout y0 ∈ BR(y0) et tout t ∈ [T−ε , T

+ε ], on a

‖yε(t, y0)‖ ≤ 2Mε, et donc yε est en fait solution du probleme avec f(t, y) comme secondmembre, c’est-a-dire qu’on a yε(t, y0) = y(t, y0). Ceci montre donc que pour tout y0 ∈BRε(y0) on a T−(y0) ≤ T−ε et T+(y0) ≥ T+

ε . La majoration precedente montre de plusque l’application (5) est Lipschitz.

Remarque 4.4 Si f est de classe C1, alors on peut montrer (exercice) que l’applicationy0 7→ y(t, y0) est C1 et que de plus l’application

t 7→ Y (t) = Dy0y(t, y0) ∈ L(Rd,Rd)

est solution du probleme variationnel{Y (t) = Dyf(t, y(t)) · Y (t)

Y (0) = IdRd

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Remarque 4.5 On peut avoir une solution globale pour un y0 mais pas pour un voisinagede ce meme y0. Par exemple, le probleme de Cauchy{

y(t) = y(t)2

y(0) = y0

admet pour solution y(t) ≡ 0 si y0 = 0 (solution globale), mais

y(t) =1

−t+ 1y0

des que y0 6= 0. On voit donc que T+(0) = +∞, T−(0) = −∞, mais que pour y0 > 0,T+(y0) = 1

y0et T−(y0) = −∞.

5 Principe de majoration a priori. Solutions globales.On considere maintenant f : I × D → Rd un fonction continue, D ⊂ Rd un ouvert

connexe, et I un intervalle ouvert de R.

Theoreme 5.1 Soit (J, y) une solution maximale du probleme{y′(t) = f(t, y(t))

y(t0) = y0.

On note J =]T−, T+[. Alors• Soit T+ = sup I• Soit lim inft→T+ d(y(t), ∂D) = 0• Soit f(t, y(t)) n’est pas borne en T+ (et donc y(t) est non borne en T+).

De meme,• Soit T− = inf I• Soit lim inft→T− d(y(t), ∂D) = 0• Soit f(t, y(t)) n’est pas borne en T− (et donc y(t) est non borne en T−).

Si de plus f est localement lipschitzienne par rapport a y, alors l’alternative devient• Soit T+ = sup I• Soit limt→T+ d(y(t), ∂D) = 0• Soit limt→T+ ‖y(t)‖ = +∞.

et de meme en T−.

Remarque 5.2 Dans le cas ou I est ferme, par exemple I = [0, T ], alors soit T+ = Tet T+ ∈ J , soit J est ouvert en T+ et alors soit f(t, y(t)) est non bornee en T+, soitlim inft→T+ d(y(t), ∂D) = 0.

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On va en fait demontrer un enonce plus elementaire du theoreme precedent, dans le casD = E (E Banach quelconque ici) et en supposant que f est localement lipschitziennepar rapport a y. Soit (J, y) la solution maximale du probleme de Cauchy :

y(t) = f(t, y(t)), t ∈ I,y(t0) = y0

L’intervalle J est ouvert dans I donc de la forme J =]T−, T+[. Si T+ < sup I , la solu-tion maximale “explose” au voisinage de T+, de la maniere decrite dans les theoremessuivants :

Theoreme 5.3 (Sortie de tout compact) Soit (]T−, T+[, y) la solution maximale du problemede Cauchy. Si T+ < sup I , alors la trajectoire {y(t)}t∈]T−,T+[ sort de tout compact auvoisinage de T+ : quel que soit K compact de E, il existe TK ∈]T−, T+[ tel que, pourtout t ∈ [TK , T

+[, y(t) ∈ E/K.

Preuve. Supposons par l’absurde qu’il existe un compact K de E et une suite de points(tn)n∈N de ]T−, T+[ tendant vers T+ pour n tendant vers l’infini, tels que :

∀N ∈ N, ∃n > N, y(tn) ∈ K.

Soit alors y+ ∈ K une valeur d’adherence de cette suite. Comme f est continue et loca-lement lipschitzienne en sa deuxieme variable, il existe η, r, L et M des reels strictementpositifs tels que :

(i) [T+ − η, T+ + η]×Br(y+) ⊂ I ×D,

(ii) ∀(t, y) ∈ [T+ − η, T+ + η]×Br(y+), ‖f(t, y)‖E ≤M,

(iii) ∀(t, y1), (t, y2) ∈ [T+ − η, T+ + η]×Br(y+), ‖f(t, y2)− f(t, y1)‖E ≤ L‖y2 − y1‖E.

On pose alors η = min(η, r2M

) et on se donne n tel que

|T+ − tn| <η

3et ‖y(tn)− y+‖ < r

2.

Les proprietes (i), (ii) et (iii) sont encore vraies sur [tn − η/2, tn + η/2]× Br/2(y(tn)).D’apres le theoreme d’existence locale, il existe une solution sur un intervalle [tn−α, tn+α] avec α = min(η/2, r/(4M)) = η/2. Or, on a :

tn + α > T+ − η/3 + η/2 > T+.

On peut donc definir un prolongement strict de la solution, ce qui contredit l’hypothesede maximalite de la solution.

Corollaire 5.4 (Explosion en temps fini) On suppose que E est de dimension finie. Soit(]T−, T+[, y) la solution maximale du probleme de Cauchy. Si T+ < sup I , alors

limt→T+

‖y(t)‖E = +∞.

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Preuve. Il suffit d’appliquer le theoreme precedent avec K = BR(0) et R > 0 aussigrand que l’on souhaite. Ainsi, pour tout R > 0, il existe TR ∈]T−, T+[ tel que pour toutt ∈ [TR, T

+[, ‖y(t)‖E > R. C’est tres exactement dire que limt→T+ ‖y(t)‖E = +∞.

Remarque 5.5 SiE est de dimension finie, il suffit de montrer qu’une solution maximaleest bornee pour qu’elle soit globale !

Exemple 5.6 Soit I un intervalle ouvert. Considerons le probleme{y(t) = f(t, y(t))

y(t0) = y0

ou f : I × Rd → Rd est continue et satisfait

∀ t ∈ I, ∀ y ∈ Rd, ‖f(t, y)‖E ≤ α(t)‖y‖E + β(t)

ou α et β sont deux fonctions positives appartenant a L1loc(I) (c’est-a-dire que pour tout

compact J ⊂ I , on a∫Jα < +∞). Alors on a pour tout intervalle J compact de I et tout

t ∈ J ,

‖y(t)‖ ≤ ‖y0‖ +

∣∣∣∣∫ t

t0

α(s)‖y(s)‖ ds

∣∣∣∣+

∣∣∣∣∫ t

t0

β(s) ds

∣∣∣∣et donc

‖y(t)‖ ≤ exp

(∣∣∣∣∫ t

t0

α(s) ds

∣∣∣∣)(‖y0‖ +

∣∣∣∣∫ t

t0

β(s) ds

∣∣∣∣) .Donc y est borne sur J , et donc puisque J est arbitraire, la solution existe sur I tout entier.

Notons le cas particulier ou f est Lipschitz par rapport a y, continue, et ou il existe L(t) ≥0 appartenant a L1

loc(I) telle que

∀x, y ∈ Rd, ‖f(t, x)− f(t, y)‖E≤ L(t)‖x− y‖

E.

Alors on a‖f(t, y)‖

E≤ L(t)‖y‖

E+ ‖f(t, 0)‖

E

qui verifie bien les hypotheses (un fonction continue sur I est bien L1loc(I)).

Un autre cas particulier est celui ou

f(t, y) = A(t)y + b(t)

ouA ∈ C(I,L(Rd))

est une matrice dependant du temps, et b(t) ∈ C(I,Rd) un vecteur. On etudiera plusamplement les systemes lineaires dans le chapitre suivant.

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Exemple 5.7 On considere maintenant I = R+, t0 ≥ 0, et

f(t, y) =

2p−1∑k=0

akyk,

avec a2p−1 < 0. Alors on a

(y2)′

= 2

2p−1∑k=0

akyk+1

= 2a2p−1y2p +Q(y)

ou Q(y) est un polynome de degre plus petit que 2p. Il existe β une constante positive,telles que :

∀y ∈ R, 2a2p−1y2p +Q(y) ≤ β.

On en deduit donc quey2(t) ≤ y(t0)

2 + β(t− t0).Attention au fait que la solution n’est pas globale sur R tout entier.

Exemple 5.8 (Fonction de Lyapunov). On considere maintenant un fonction f : Rd →Rd. Supposons qu’il existe une fonction V : Rd → R, de classe C1, telle que

∀ y ∈ Rd, 〈∇V (y), f(y)〉 ≤ 0,

et∀M ≥ 0, { y |V (y) ≤M } est borne.

Alors on a le long de tout solution

dV (y(t))

dt= 〈∇V (y(t)), y(t)〉 = 〈∇V (y(t)), f(y(t))〉 ≤ 0,

donc∀ t ∈ R, V (y(t)) ≤ V (y(t0))

ce qui montre l’existence globale sur R+.

Un cas particulier de tels systemes concerne les systemes gradient du type

y(t) = −∇V (y(t)).

Une autre grande classe de systemes possedant une fonction de Lyapunov est donnee parles systemes Hamiltonien du type

q = −∇U(q)

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qui s’ecrivent encore {p = −∇qH(p, q),

q = +∇pH(p, q)

ou p, q ∈ Rd et ou H(p, q) = 12pTp+U(q) est une quantite conservee le long du systeme.

De meme, le systeme de Lotka-Volterra etudie en introduction est un systeme avec uneenergie conservee, ce qui donne l’existence globale (il s’agit en fait d’un systeme Hamil-tonien a condition de faire un changement de variable).

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