Couche limite atmosphérique
Micrométéorologie
Équations de Reynolds
00
i
i
i
i
x
u
x
u00
i
i
i
i
x
u
x
u
ijj
i
jkjijki
bibj
ij
i uux
u
xug
x
p
x
uu
t
u2
13
11
ijj
i
jkjijki
bibj
ij
i uux
u
xug
x
p
x
uu
t
u2
13
11
iiii
i uxxx
ut
iiii
i uxxx
ut
TRp db TRp db
pddc
R
p
pT
0 pd
dc
R
p
pT
0
1ppp b
1 b
gz
pb
b
dpd
b
c
g
z
T
0 cstb
0 cstb
cst
cst7 équations et 16 inconnues ...7 équations et 16 inconnues ...
Le problème de fermeture dans la CLA
Le nombre d ’inconnues est plus élevé que le nombre d ’équations...
j iu u j iu u
iuiu
Équation pronostique moment
Nombre d ’équations
Nombred ’inconnues
k j ku u u k j ku u u
ij i
j
uu u
t x
ij i
j
uu u
t x
j i i j k
k
u u u u u
t x
j i i j k
k
u u u u u
t x
i j k i j k m
m
u u u u u u u
t x
i j k i j k m
m
u u u u u u u
t x
3
6
10
6
10
15
1
2
3
u u u u
uu
Ordre de fermetureOrdre de fermetureOrdre de fermetureOrdre de fermeture Triangle des inconnuesTriangle des inconnues
u u u u u u
vv ww
u v u v u w u w
w w w w v w v w v v v v
u u v u u v u u w u u w
u w w u w w u v w u v w u v v u v v
v v v v v v v v w v v w v w w v w w w w w w w w
ZéroZéro
UnUn
DeuxDeux
Fermetures d ’ « ordre » et demiFermetures d ’ « ordre » et demi
Certaines hypothèses de fermeture utilisent un sous-ensembled’équations d’ordre donné, « ordre # », pour fermer le système.
Par exemple: COBEL utilise comme équations pronostiquestoutes les équations de premier ordre + l’équationde pronostique de l’énergie cinétique turbulente, quiest une équation de deuxième ordre. On dit alorsque le schéma numérique de COBEL utilise une fermeture un et demi.
C ’est quoi l ’ordre d ’une équation ???
Modélisation de la CLAModélisation de la CLA
Modèles CLA
Équations (moyennesd ’ensemble)
Équations(moyennes de volume) LES
Fermeture non local
Modèles intégrauxou d’ordre zéro( similitude )
Fermeture de premier ordre
Fermeture de deuxième ordre
LES = Large Eddy Simulation
Solution exacte des équations de Navier StokesSolution exacte des équations de Navier Stokes
«Full simulation»«Full simulation»
1) Application de la transformé de Fourier aux équations
2) Résolution par la méthode spectrale. Calculs dans l ’espace de fréquences (ou nombre d ’onde).
Utilisée seulement pour des nombre de Reynolds inférieurs à 100
CLA ???
La précision des calculs est limité par le nombre depoints de grille du domaine...
Règles de paramétrisationRègles de paramétrisation
Les nouveaux termes doivent être paramétrés enfonction des termes connus et de paramètres empiriques...
C ’est quoi une quantité connue ???
C ’est quoi un paramètre ???
Exemple : k j ku u u k j ku u u
Termes connus:iuiu j ku u j ku u autres ??autres ??
12
i j i k j k
k j kk j i
u u u u u uu u u e
x x x
12
i j i k j k
k j kk j i
u u u u u uu u u e
x x x
Pourquoi on paramètre ???
Règles de paramétrageRègles de paramétrage
Le terme paramétré doit obéir à certaines règles:
1) Avoir les mêmes dimensions que le terme physique
2) avoir les mêmes propriétés tensorielles;
3) avoir les mêmes propriétés de symétrie;
4) être invariant par rapport à une transformation galiléenne;
5) satisfaire toutes les contraintes auxquelles le terme physique est soumis.
Règles de paramétrisationRègles de paramétrisation
Exemple:
12
i j i k j k
k j kk j i
u u u u u uu u u e
x x x
12
i j i k j k
k j kk j i
u u u u u uu u u e
x x x
Donaldson, 1973 : fermeture de deuxième ordre
Règles:
1) Avoir les mêmes dimensions que le terme physique
2) avoir les mêmes propriétés tensorielles;
3) avoir les mêmes propriétés de symétrie;
4) être invariant par rapport à une transformation de coordonnées ou galiléenne;
5) satisfaire toutes les contraintes auxquelles le terme physique est soumis.
m m
Modèles intégraux : ordre zéroModèles intégraux : ordre zéro
Il n ’y a pas d ’équation pronostique. Les quantités moyennes sont paramétrés en fonction de la position et du temps.
Moyennes d’ensemble:Théorie de la similitude
Modèles locaux : ordre demiModèles locaux : ordre demi
Utilisent un sous-ensemble des équations d ’ordre 1
Moyennes d’ensemble:Méthode globale ou des couches (bulk method)
1) on impose un profil pour les quantités moyennes
2) on calcule l ’évolution des quantités moyennées surtoute la couche
Pour chaque couche:
3) on trouve les valeurs finales
z z
,z t t z ,z t t z
Modèles globaux ou de coucheModèles globaux ou de couche
Couche de mélangeCouche de mélange
0z 0z
,z t t ,z t t
( ) 1is z
i
d tw w
dt z
( ) 1is z
i
d tw w
dt z
( ) 1is z
i
d q tw q w q
dt z ( ) 1
is zi
d q tw q w q
dt z
( ) 1( )
ig
s zi
d u tw u w u f v v t
dt z ( ) 1
( )i
gs z
i
d u tw u w u f v v t
dt z
( ) 1i
gs z
i
d v tw v w v f u u
dt z ( ) 1
ig
s zi
d v tw v w v f u u
dt z
Modèles globaux ou de coucheModèles globaux ou de couche
Couche de mélangeCouche de mélange
Exemple de fermeture locale de premier ordreExemple de fermeture locale de premier ordre
00
i
i
i
i
x
u
x
u00
i
i
i
i
x
u
x
u
ijj
i
jkjijki
bibj
ij
i uux
u
xug
x
p
x
uu
t
u2
13
11
ijj
i
jkjijki
bibj
ij
i uux
u
xug
x
p
x
uu
t
u2
13
11
iiii
i uxxx
ut
iiii
i uxxx
ut
TRp db TRp db
pddc
R
p
pT
0 pd
dc
R
p
pT
0
Homogénéité horizontaleHomogénéité horizontale 0,0
wyx
0,0
wyx
''1 1
0uw
z
u
zvf
x
p
t
u
''1 1
0uw
z
u
zvf
x
p
t
u
''1 1
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z
v
zuf
y
p
t
v
''1 1
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z
v
zuf
y
p
t
v
0''1
0
11
0
wwz
gz
p
t
w 0''1
0
11
0
wwz
gz
p
t
w
''wzzt
''wzzt
Stationnarité Stationnarité 0t
0t
''
10
0uw
z
u
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x
p
''
10
0uw
z
u
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p
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y
p
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10
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z
v
zuf
y
p
x
pfvg
0
1x
pfvg
0
1
y
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0
1y
pfug
0
1
''0 wzz
''0 wzz
''0 uwz
u
zvvf g
''0 uwz
u
zvvf g
''0 vwz
v
zuuf g
''0 vwz
v
zuuf g
Paramétrisation des termes inconnus Paramétrisation des termes inconnus
' 'w u' 'w u
' 'w v' 'w v
' 'w ' 'w
w w w Kz
w Kz
Théorie K ou des transports gradients
2 1 0K m s 2 1 0K m s
« Small eddy closure » ???
Noms pour K Noms pour K
• Viscosité turbulente• coefficient de diffusion turbulente• coefficient d ’échange turbulent• coefficient d ’échange gradient
Km = coefficient d ’échange turbulent pour la quantité de mouvement
KH = coefficient d ’échange turbulent pour la chaleur
KE = coefficient d ’échange turbulent pour l ’humidité
1,35H E mK K K 1,35H E mK K K
Analogie avec la viscosité moléculaire Analogie avec la viscosité moléculaire
moléculairemu u
z z
moléculairemu u
z z
Pour un fluide newtonien:
Pour un écoulement turbulent :
ReyReynolds m m
u uK K
z z
ReyReynolds m m
u uK K
z z
viscosité cinématique
viscosité cinématique
coefficient d'AustauschmK coefficient d'AustauschmK
Analogie avec la viscosité moléculaire Analogie avec la viscosité moléculaire
mKmK
La viscosité cinématique d ’un fluide est déterminée par la composition chimique du fluide et par son état thermodynamique. Elle est une caractéristique du fluide
La viscosité cinématique
La viscosité turbulente
La viscosité turbulente varie quand la turbulence varie.La viscosité turbulente est fonction de la stabilité statique, du cisaillement du vent et d ’autres caractéristiques de l ’écoulement. Elle dépend du type d ’écoulement
Ordre de grandeur de K et Ordre de grandeur de K et
5 2 11.5 10 m s 5 2 11.5 10 m s
2 10.1,2000mK m s 2 10.1,2000mK m s
La viscosité cinématique de l ’air
La viscosité turbulente
mK mK
2 11,10mK m s 2 11,10mK m s Intervalle habituelle :