Download pdf - DD - Collège Georges Politzer · moyye ennnnee dd''uunne sséériee tss taattiisstiiqquuee ... Ce qu'il faut apprendre et savoir refaire dans les exercices ! Regarde la vidéo, si

TThhèèmmee NNuumméérroo TTiittrree ddee llaa lleeççoonn NNiivveeaauu PPaaggee

Interpréter,

représenter et

traiter des

données

DD11 Lire et construire un tableau 5ème 4ème 3ème 2

DD22 Lire et construire un diagramme à bâtons 5ème 4ème 3ème 3

DD33 Lire et construire un histogramme 5ème 4ème 3ème 4-5

DD44 Lire et construire un diagramme circulaire ou semi-circulaire 5ème 4ème 3ème 6-7

DD55 Lire et construire un diagramme à bandes 5ème 4ème 3ème 8

DD66 Calculer des effectifs et des fréquences 5ème 4ème 3ème 9

DD77 Calculer et interpréter la moyenne d'une série statistique 5ème 4ème 3ème 10-11

DD88 Calculer et interpréter la médiane d'une série statistique 5ème 4ème 3ème 12

DD99 Calculer et interpréter l'étendue d'une série statistique 5ème 4ème 3ème 13

DD1100 Déterminer la moyenne, la médiane, l'étendue d'une série

statistique avec la calculatrice CASIO collège 5ème 4ème 3ème 14-15

DD1111 Déterminer la moyenne, la médiane, l'étendue d'une série

statistique avec la calculatrice TI collège 5ème 4ème 3ème 16

Proportionnalité

DD1122 Reconnaître une situation de proportionnalité ou de non

proportionnalité 5ème 4ème 3ème 17

DD1133 Calculer une quatrième proportionnelle en utilisant le coefficient

de proportionnalité 5ème 4ème 3ème 18

DD1144 Calculer une quatrième proportionnelle en utilisant les propriétés

de linéarité additives et multiplicatives 5ème 4ème 3ème 19

DD1155 Calculer une quatrième proportionnelle en utilisant la règle de

trois (c'est à dire retour à l'unité) 5ème 4ème 3ème 20

DD1166 Calculer une quatrième proportionnelle en utilisant le produit en

croix 5ème 4ème 3ème 21-22

DD1177 Caractériser graphiquement la proportionnalité 5ème 4ème 3ème 23

Pourcentages

DD1188 Utiliser et appliquer un pourcentage 5ème 4ème 3ème 24

DD1199 Calculer une augmentation ou une réduction 5ème 4ème 3ème 25

DD2200 Calculer un pourcentage 5ème 4ème 3ème 26

Probabilités

DD2211 Aborder des situations simples liées au hasard 5ème 4ème 3ème 27

DD2222 Notion de probabilités et vocabulaire 5ème 4ème 3ème 28-29

DD2233 Calculer la probabilité dans des situations simples 4ème 3ème 30

DD2244 Calculer des probabilités dans des contextes divers 3ème 31-32

DD2255 Simuler une expérience aléatoire à l'aide d'un logiciel ou d'une

calculatrice 3ème 33-34

DD2266 Dépendance entre deux grandeurs 5ème 4ème 3ème 35

Fonctions

DD2277 Notion de fonction : différentes représentations et notations 3ème 36-37

DD2288 Déterminer l'image ou l'antécédent d'un nombre par une

fonction à partir d'un graphique 3ème 38-39

DD2299 Déterminer l'image ou l'antécédent d'un nombre par une

fonction à partir d'un tableau 3ème 40-42

DD3300 Utiliser et représenter une fonction linéaire 3ème 43-44

DD3311 Utiliser et représenter une fonction affine 3ème 45-46

DD3322 Déterminer par le calcul l'image d'un nombre par une fonction

affine ou linéaire 3ème 47

DD3333 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une

fonction affine ou linéaire (équation) 3ème 48

DD3344 Fonction et équation 3ème 49

DD3355 Fonction et inéquation 3ème 50

DD3366 Fonctions linéaires et pourcentages 3ème 51

DD

Joan MAGNIER, enseignantE de mathématiques au collège Anne Frank (Sauzé-Vaussais) page 2

LLiirree eett ccoonnssttrruuiirree uunn

ttaabblleeaauu

D1-Représenter et traiter des

données

D1

Exemple : Noé veut connaître les loisirs préférés des camarades de sa classe de 24 élèves. Il fait une petite enquête auprès d’eux et demande à chacun de noter sur un bout de papier son activité préférée. Il obtient les résultats suivants : les réponses des garçons sont soulignées.

Il souhaite organiser ses résultats.

Pour rassembler les données de manière pratique, il va les représenter dans tableau. On reprend les données récupérées auprès des élèves de la classe, on obtient

L’effectif désigne le « nombre d’élèves » correspondant à chaque loisir.

On lit très rapidement, que 6 élèves aiment la lecture.

ou il aurait pu faire un tableau à double entrée en dissociant filles et garçons

Ce qu'il faut savoir refaire en exercice !

As-tu bien compris ? Vérifie tes connaissances

À L

A M

AIS

ON

Regarde la vidéo, si tu ne sais

plus comment faire ...

ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES

555èèèmmmeee---444 èèèmmmeee---333èèèmmmeee



ddiiaaggrraammmmee eenn bbââttoonnss


données

D2

Méthode : construire un diagramme à bâtons (exercice résolu)


Yannick a 45 albums de bandes dessinées: 15 Tintin; 6 Boule et Bill; 10 Lucky Luke et 14 Astérix. Représenter la répartition des BD de Yannick par un diagramme à bâtons.


À L

A M

AIS

ON



ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES




hhiissttooggrraammmmee


données

D3

L'histogramme est utilisé dans le cas d'une série regroupée en classe. Pour construire un histogramme, on porte les classes en abscisse et sur chacune d'elles pris comme base, on construit un rectangle dont l'aire (et non pas la hauteur) est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence de la classe correspondante. Il ne doit donc pas y avoir de graduations verticales mais une unité d’aire.

Ce qu'il faut apprendre et savoir reformuler à l'ORAL et à l'ÉCRIT !

2- Méthode : construire un histogramme (exercice résolu)

Exemple : voici une série statistique :

On veut la représenter par un histogramme sur le graphique ci contre :

Rappel : L’amplitude d’une classe est la différence entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite.

Construction du premier rectangle : L’effectif est de 4, un élève est représenté par 4 carreaux donc la première classe a une aire de 16 carreaux. La base du rectangle étant de 8 (d’après le dessin), la hauteur doit être de 16/8 = 2.




ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES




À L

A M

AIS

ON


LLiirree eett ccoonnssttrruuiirree uunn ddiiaaggrraammmmee

cciirrccuullaaiirree oouu sseemmii--cciirrccuullaaiirree


données

D4

1- Méthode : construire un diagramme circulaire (exercice résolu)




ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES


2- Méthode : construire un diagramme circulaire avec le TABLEUR (exercice résolu)





Yannick a 45 albums de bandes dessinées: 15 Tintin; 6 Boule et Bill; 10 Lucky Luke et 14 Astérix. Représenter la répartition des BD de Yannick par un diagramme circulaire de rayon 5 cm.


À L

A M

AIS

ON



ddiiaaggrraammmmee àà bbaannddeess


données

D5

Méthode : construire un diagramme à bandes (exercice résolu)

Les résultat de l'enquête sur les élèves de 5e peuvent être rassemblés dans le tableau ci-dessous :

Représenter cette répartition dans un diagramme à bandes de longueur 10cm

Valeurs football basket handball tennis Danse total

effectifs 8 6 2 3 6 25

longueur 3,2cm 2,4cm 0,8cm 1,2cm 2,4cm 10


Yannick a 45 albums de bandes dessinées: 15 Tintin; 6 Boule et Bill; 10 Lucky Luke et 14 Astérix. Représenter la répartition des BD de Yannick par un diagramme à bandes de longueur 15cm.


À L

A M

AIS

ON



ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES


x


CCaallccuulleerr ddeess eeffffeeccttiiffss eett ddeess

ffrrééqquueenncceess


données

D6

1- Tableau des effectifs


2- Calculer des fréquences

On souhaite comparer les résultats d'une classe de 5e à ceux réalisés lors d’une enquête nationale sur 1253 jeunes âgés de 15 à 24 ans. Les tableaux des effectifs ne sont pas adaptés car les effectifs totaux sont différents. La fréquence qui met en rapport l’effectif sur l’effectif total nous permettra de comparer plus facilement les deux sondages.

On peut maintenant comparer les deux populations. On voit par exemple, que dans la classe, la proportion de jeunes utilisant Internet plusieurs fois par jour (7 %) est très faible par rapport au national (44 %).




ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES



CCaallccuulleerr eett iinntteerrpprréétteerr llaa

mmooyyeennnnee dd''uunnee sséérriiee ssttaattiissttiiqquuee

D4-Interpréter et traiter des

données

D7

1- Moyenne simple

La moyenne d’une série statistique est le quotient de la somme de TOUTES les valeurs par l’effectif total de cette série.

Exemple : voici les notes obtenues par Aurélie en Mathématiques au cours de l'année.

1er trimestre : 10 – 9 – 11 – 12 – 11,5 – 14 – 12

2ème trimestre : 9,5 – 11 – 12,5 – 8 – 13 – 18

3ème trimestre : 8 – 9 – 14 – 12 – 10 – 13 – 11,5

Calculons sa moyenne annuelle :

Remarque :

La moyenne est toujours comprise entre la plus petite valeur et la plus grande valeur de la série statistique.

Ce qu'il faut apprendre et savoir refaire dans les exercices !



ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES


2- Moyenne simple avec le TABLEUR Pour calculer une moyenne arithmétique, il existe la fonction MOYENNE qui permet de calculer la moyenne d’une série de valeurs se trouvant dans une plage de cellules. Dans l’exemple suivant, il s’agit de calculer la moyenne d’une série de notes (plage B2:I2) : on additionne les notes et on divise la somme obtenue par le nombre de notes. La formule est =MOYENNE(B2:I2)

Remarque : on aurait pu utiliser la formule =SOMME(B2:I2)/NBVAL(B2:I2) qui calcule la somme des valeurs de la série et qui divise le résultat par le nombre de valeurs de cette plage.





3- Moyenne pondérée





À L

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AIS

ON

4- Moyenne pondérée avec le TABLEUR

Pour calculer une moyenne pondérée ou une moyenne de valeurs affectées de coefficients, il n’y a pas de fonction dédiée. Cependant, la fonction SOMMEPROD permet de le faire sans avoir une formule trop compliquée. Dans l’exemple précédent, certaines notes sont obtenues plusieurs fois. On peut donc considérer que ces notes sont pondérées et multiplier chaque note (plage B2:E2) par son effectif (plage B3:E3), ajouter les produits obtenus puis diviser par la somme des effectifs. La formule est =SOMMEPROD(B2:E2 ;B3:E3)/SOMME(B3:E3).





CCaallccuulleerr eett iinntteerrpprréétteerr llaa

mmééddiiaannee dd''uunnee sséérriiee ssttaattiissttiiqquuee


données

D8

1- Définition Voici les séries de notes obtenues par 3 élèves : Margot : 5 ; 6 ; 17 ; 9 ; 17 ; 12 ; 12 ; 18 Lucas : 13 ; 13 ; 11; 10 ; 12 ; 8 ; 14 ; 12 ; 13 ; 16 Laura : 16 ; 5 ; 14 ; 13 ; 10 ; 12 ; 12 ; 11 ; 11 Déterminer les valeurs médianes de chaque série.

Pour déterminer les notes médianes, il faut ordonner les séries. La médiane partage l’effectif en deux.


2- Interprétation

La médiane de la série de Margot par exemple est égale à 12, cela signifie que Margot a obtenu autant de notes inférieures à 12 que de notes supérieures à 12.

Ce qu'il faut comprendre !

ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES





CCaallccuulleerr eett iinntteerrpprréétteerr ll''éétteenndduuee

dd''uunnee sséérriiee ssttaattiissttiiqquuee


données

D9

Calculer l'étendue

Etendue = Plus grande valeur – Plus petite valeur On interroge les élèves d’une classe sur leur taille en cm. Voici les résultats de l’enquête : 174 – 160 – 161 – 166 – 177 – 172 – 157 – 175 – 162 – 169 – 160 – 165 – 170 – 152 – 168 – 156 – 163 – 167 – 169 – 158 – 164 – 151 – 162 – 166 – 156 – 165 – 179

1) Calculer l’étendue de la série de tailles

Etendue des tailles = 179 – 151 = 28 cm


1. Calculer l'étendue de la série des poids.

2. Calculer l'étendue de la série des tailles


À L

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AIS

ON



ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES



DDéétteerrmmiinneerr llaa mmooyyeennnnee,, llaa mmééddiiaannee eett

ll''éétteenndduuee dd''uunnee sséérriiee ssttaattiissttiiqquuee aavveecc llaa

ccaallccuullaattrriiccee CCAASSIIOO ccoollllèèggee


données

D10


Regarde la vidéo, si tu ne

sais plus comment faire ...

ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES




DDéétteerrmmiinneerr llaa mmooyyeennnnee,, llaa mmééddiiaannee eett

ll''éétteenndduuee dd''uunnee sséérriiee ssttaattiissttiiqquuee aavveecc llaa

ccaallccuullaattrriiccee TTII ccoollllèèggee


données

D11

Le tableau suivant donne le nombre de spam reçus aujourd’hui dans les boîtes aux lettres électroniques des élèves d’une classe.



sais plus comment faire ...

ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES



RReeccoonnnnaaîîttrree uunnee ssiittuuaattiioonn ddee

pprrooppoorrttiioonnnnaalliittéé oouu ddee nnoonn

pprrooppoorrttiioonnnnaalliittéé

Mo1- Reconnaître des situations de

proportionnalité

D12

Exemple Vérifier si les tableaux suivants représentent une situation de proportionnalité :

Dans un tableau de nombres à deux lignes, on reconnait une situation de proportionnalité lorsque les nombres de la deuxième ligne s’obtiennent en multipliant ceux de la première par un même nombre.

Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité.


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ON



ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES





CCoommpplléétteerr uunn ttaabblleeaauu ddee pprrooppoorrttiioonnnnaalliittéé

eenn uuttiilliissaanntt llee ccooeeffffiicciieenntt ddee


D3-Calculer une quatrième

proportionnelle par diverses

techniques

D13

Exemple : le coefficient de proportionnalité est un nombre entier ou un nombre décimal 2 m² de carrelage coûte 40 €. Le prix est proportionnel à la quantité achetée. Compléter le tableau :

On détermine le coefficient de proportionnalité qui est égal à 20.

En effet : 40 2 = 20. Ce qui signifie également que 1 m² de carrelage coûte 20 €. Ainsi, les nombres de la deuxième ligne s’obtiennent en multipliant ceux de la première par 20.

Exemple : le coefficient de proportionnalité sous une écriture fractionnaire

Compléter le tableau de proportionnalité suivant :

3 35 et 35 3 ne donnent pas de valeur exacte. Exprimons le coefficient de proportionnalité sous une écriture fractionnaire :


Compléter les tableaux de proportionnalité ci-dessous :


À L

A M

AIS

ON

ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES









eenn uuttiilliissaanntt lleess pprroopprriiééttééss ddee lliinnééaarriittéé

aaddddiittiivveess eett mmuullttiipplliiccaattiivveess



techniques

D14

Méthode :

Solution

Comme le cycliste roule toujours à la même vitesse, il y a proportionnalité entre la distance et le temps.



À L

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AIS

ON



ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES




eenn uuttiilliissaanntt llaa rrèèggllee ddee ttrrooiiss ((rreettoouurr àà

ll''uunniittéé))



techniques

D15

Méthode : Pour faire des crêpes pour 5 personnes, on a besoin de 400g de farine, 3 œufs et 1 litre de lait. Quelle quantité de farine sera nécessaire pour 4 personnes ?

Solution

Revenons à l’unité en calculant la quantité de farine nécessaire pour une

personne : 400 5 = 80g Pour 4 personnes, il en faut 4 fois plus, soit : 4 x 80 = 320g.

On peut alors trouver la quantité de farine nécessaire pour 2, 3, 4, 5 …. personnes


Dans un magasin, 5 noix de coco coûtent 8 €. Combien coûtent 7 noix de coco ?


À L

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AIS

ON



ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES



CCaallccuulleerr uunnee qquuaattrriièèmmee pprrooppoorrttiioonnnneellllee

eenn uuttiilliissaanntt llee pprroodduuiitt eenn ccrrooiixx



techniques

D16

Exemple

2,5 kg de pommes coûtent 3 €. Combien coûtent 1,8 kg ? On présente les données de l’énoncé dans un tableau de proportionnalité :

= 1,8 x 3 2,5 = 2,16 € (conséquence des produit en croix) 1,8 kg de pommes coûtent 2,16 €.

La méthode du produit en croix permet de calculer la 4ème valeur d’un tableau de proportionnalité connaissant les 3 autres. Pour cela, on commence par multiplier sur la diagonale (le signe « x » fait penser à deux diagonales !) et on divise ensuite sur la colonne (le signe « : » fait penser à une colonne !).




ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES



À L

A M

AIS

ON


Calculer une quatrième proportionnelle avec la calculatrice (CASIO)



CCaarraaccttéérriisseerr ggrraapphhiiqquueemmeenntt llaa


D6-Résoudre des problèmes de

proportionnalité

D17

Exemple

On a représenté dans le graphique ci-contre les données du tableau

Propriété

Sur un graphique, on reconnaît une situation de proportionnalité, lorsque cette situation est représentée par des points alignés avec l’origine.


À L

A M

AIS

ON



ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES





UUttiilliisseerr eett aapppplliiqquueerr

uunn ppoouurrcceennttaaggee


proportionnalité

D18 ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES


Calculer :

a) 25% de 5000 dollars

b) 30% de 300 enfants

c) 10% de 800 km

d) 50% de 60 euros

e) 6% de 300 m


70% des enfants aiment les mathématiques cela veut dire que : sur 100 enfants, il y en a 70 qui aiment les mathématiques.

70% 70 pour 100 70 sur 100

Toutes les écritures ci-dessus sont égales.

2- Méthode : appliquer un pourcentage

Ce qu'il faut connaître et utiliser dans les exercices!

1- Quelques pourcentages à connaître



CCaallccuulleerr uunnee aauuggmmeennttaattiioonn oouu uunnee

rréédduuccttiioonn


proportionnalité

D19 ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES


Méthode : Calculer une réduction (exercice résolu)




CCaallccuulleerr uunn ppoouurrcceennttaaggee


proportionnalité

D20

Méthode: Rechercher un pourcentage (exercice résolu)


1. Ma facture d'eau est passée de 295€ à 212€. Calculer le pourcentage de réduction ?

2. Ma facture est passée de 212€ à 295€. Calculer le pourcentage d'augmentation ?


À L

A M

AIS

ON



ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES





AAbboorrddeerr ddeess ssiittuuaattiioonn ssiimmpplleess lliiééeess

aauu hhaassaarrdd

D2-Comprendre des notions

élémentaires de probabilités

D21

Situation liée au hasard On dit d’une expérience qu’elle est « aléatoire » lorsqu’elle vérifie trois conditions : – on connaît tous les résultats possibles de l’expérience ; – le résultat n’est pas prévisible ; – on peut reproduire plusieurs fois l’expérience dans les mêmes conditions. Exemple : On lance un dé et on regarde la face visible lorsque le dé s’arrête de rouler. – Il y a 6 résultats possibles : 1, 2, 3, 4, 5, 6. – On ne peut pas prévoir le résultat avant de lancer le dé. – On peut refaire plusieurs fois l’expérience dans les mêmes conditions.


2- Méthode : étudier une situation liée au hasard (exercice résolu)

Sur un jeu de 13 cartes indiscernables, Léo écrit sur chaque carte une lettre du mot « mathématiques ».

Ensuite Léo retourne toutes les cartes et demande à son ami Théo d’en choisir une au hasard. 1) Est-ce une expérience aléatoire ? 2) Quelle(s) lettre(s) a-t-il le plus de chance d’obtenir ? 3) Théo pense qu’il a plus de chance d’obtenir une consonne qu’une voyelle. A-t-il raison ? 4) Théo affirme qu’il a plus d’une chance sur deux de tirer une lettre appartenant à son prénom. A-t-il raison ? 1) Cette expérience est aléatoire, car : – on connait les résultats possibles : M, A, T, H, E, I, Q, U, S ; – le résultat n’est pas prévisible : les cartes sont retournées ; – on peut la reproduire plusieurs fois. 2) Les lettres M, A, T, E apparaissent deux fois. Ce sont ces 4 lettres qu’il a le plus de chance d’obtenir. 3) On compte 7 consonnes : 2M, 2T, H, Q, S et 6 voyelles : 2A, 2E, I, U. Il a raison de penser qu’il a plus de chance d’obtenir une consonne qu’une voyelle. 4) Le jeu contient 5 lettres appartenant à son prénom : 2T, H, 2E. Il a donc 5 chances sur 13 d’obtenir une de ces lettres. 5 est inférieur à la moitié de 13, il a donc moins d’une chance sur deux de tirer une lettre appartenant à son prénom. Théo a donc tord.




ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES



NNoottiioonn ddee pprroobbaabbiilliittéé eett vvooccaabbuullaaiirree D2-Comprendre des notions


D22

1- Notion de probabilités Chaque élève lance 100 fois un dé à six faces et note les effectifs d’apparition de chaque face dans le tableau

On regroupe ensuite l’ensemble des résultats de la classe dans un même tableau puis on calcule les fréquences d’apparition de chaque face.

Les fréquences d’apparition sont très proches les unes des autres. Théoriquement, il y a autant de chance d’obtenir un 1, un 2, … ou un 6. En effectuant un nombre encore plus grand de lancers, les fréquences se rapprocheraient les unes des autres de façon encore plus évidente.

Lorsqu’on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence de réalisation d’un

événement se rapproche d’une « fréquence théorique » appelée probabilité.


ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES

444èèèmmmeee---333èèèmmmeee

2- Arbre des possibles

Exemple : Lorsqu’on fait tourner la roue, quatre issues sont possibles. On le schématise sur l’arbre des possibles :

L’arbre des possibles permet de visualiser les

issues d’une expérience aléatoire.


3- Probabilités



4- Événement

Un évènement est constitué par plusieurs issues d’une même expérience aléatoire



CCaallccuulleerr ddeess pprroobbaabbiilliittééss ddaannss ddeess

ccaass ssiimmpplleess

D5-Utiliser des notions


D23

Méthode : calculer une probabilité

On considère l’expérience aléatoire suivante : on lance un dé à six faces et on regarde le nombre de points inscrits sur la face du dessus. Soit E l’évènement : « La face du dessus est un 1 ou un 6 ». Quelle est la probabilité que l’évènement E se réalise ? On construit l’arbre des possibles de l’expérience aléatoire :

Chaque issue à la même probabilité : il y a une chance sur six de sortir un 1, un 2, … ou un 6. On dit qu’il y a équiprobabilité.

Ainsi P(E) =

La probabilité que l’évènement E se réalise est de

.

Il y a donc une chance sur trois d’obtenir un 1 ou un 6 en lançant un dé.



À L

A M

AIS

ON



ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES

444èèèmmmeee---333èèèmmmeee


CCaallccuulleerr ddeess pprroobbaabbiilliittééss ddaannss ddeess

ccoonntteexxtteess ddiivveerrss eett vvooccaabbuullaaiirree

D5-Utiliser des notions


D24

1- Définition

La probabilité d’un évènement est un nombre compris entre 0 et 1 qui exprime « la chance qu’a un évènement de se produire ».

Exemple : Dire que la probabilité d’un évènement est de 0,8 signifie que cet évènement à 8 chances sur 10 ou 80 % de chance de se produire.


2- Un peu de vocabulaire

Un évènement dont la probabilité est égale à 0 est un évènement impossible. Un évènement dont la probabilité est égale à 1 est un évènement certain.


!

ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES

333 èèèmmmeee

3- Calculer une probabilité


!

3- Evénement contraire L'événement contraire de A, noté A , est l'ensemble de toutes les issues de n'appartenant pas à A. Propriété : p( )= 1 - p(A) Exemple : On lance un dé à 6 faces et on regarde la face du dessus. Les évènements A et B sont contraires : A = « On obtient un 1 » B = « On obtient un 2, 3, 4, 5 ou 6. »


!


3-Méthode : Calculer une probabilité (exercice résolu)

On considère l’expérience aléatoire suivante : On lance un dé à six faces et on regarde le nombre inscrit sur la face du dessus. Soit E l’évènement : « La face du dessus est un nombre supérieur ou égal à 3 ». Quelle est la probabilité que l’évènement E se réalise ? Nombre d’issues favorables à E = 4 En effet, pour avoir un nombre supérieur ou égal à 3, il faut obtenir un 3, un 4, un 5 ou un 6. Nombre d’issues total = 6 En effet, le dé à 6 faces.

Ainsi

La probabilité que l’évènement E se réalise est de

.

Il y a donc deux chances sur trois d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 3.


!


sais plus comment faire

...

4-Méthode : Calculer une probabilité à l'aide d'un arbre de probabilité (exercice résolu)

Lancer deux fois de suite une pièce de monnaie est une expérience aléatoire à deux épreuves. Soit E l’évènement : « On obtient au moins une fois la face PILE. »


!




SSiimmuulleerr uunnee eexxppéérriieennccee aallééaattooiirree àà

ll''aaiiddee dduu ttaabblleeuurr oouu dd''uunnee

ccaallccuullaattrriiccee

D5-Utiliser des notions élémentaires de

probabilités

Mo4-Valider ou invalider un modèle,

comparer une situation à un modèle connu

(par exemple un modèle aléatoire).

D25

Simuler une expérience aléatoire avec le tableur


ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES

333 èèèmmmeee


2- Donner un nombre aléatoire à l'aide de la calculatrice





DDééppeennddaannccee eennttrree ddeeuuxx ggrraannddeeuurrss

D4-Comprendre la notion de

fonction, de dépendance entre

deux grandeurs

D26

1- A partir d'une courbe

La courbe ci-dessous donne la température extérieure relevée sous abri pendant 24 heures par un thermomètre, en fonction de l'heure.

À 12 h 00, la température était de 4 "C : ainsi au nombre 12, on associe

l'unique valeur 4.

Le point de coordonnées (12 ; 4) appartient à la courbe.

Plus généralement, quelle que soit l'heure de la journée, on peut lui

associer la température correspondante.


ORGANISATION

ET GESTION DE

DONNÉES


2- A partir d'un tableau de valeurs Le tableau ci-dessous donne la pointure française p correspondant à chaque longueur l (en cm) du pied. Quelle que soit la longueur du pied, on peut lui associer une unique pointure. Par exemple, à un pied de 23 cm de longueur, on associe la pointure 36. On dit que la pointure p est donnée en fonction de la longueur l.


3- A partir d'une expression littérale

L'aire A (en cm²) d'un disque de rayon r (en cm) est donnée par la formule A r² À chaque valeur du rayon r, on peut associer l'aire correspondante du disque. On dit que A s'exprime en fonction du rayon r.


4- A partir d'un programme de calcul Un programme de calcul (ou algorithme) peut aussi décrire une

relation de dépendance entre deux grandeurs. Pour un séjour

balnéaire, le coût de la pension à l'hôtel est de 80 € par jour

et par personne, et celui du voyage est de 270 €.

L'algorithme ci-contre (écrit avec le logiciel Scratch) affiche en

sortie le prix p du séjour, en fonction du nombre n de jours

réservés par une personne.



NNoottiioonn ddee ffoonnccttiioonn

D4-Comprendre la notion de

fonction, de dépendance entre

deux grandeurs

D27

1- Définition

Une fonction associe un nombre à un unique autre nombre en utilisant toujours la même suite de calculs. Exemple : derrière la table de 7 se cache une fonction : 1 est associé à 7; 2 à 14 ; …


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2- Notations

La fonction , qui à chaque nombre x associe le nombre y se note On peut également écrire Ainsi, la fonction peut se noter Exemple : Soit la fonction A chaque nombre , on associe le nombre y tel que La fonction peut aussi être définie par l'égalité appelée expression de la fonction .


3- Vocabulaire

Soit la fonction telle que, au nombre , on lui associe le nombre . est l'image de par la fonction et on a est un antécédent de par la fonction

Remarque Un nombre x ne peut avoir qu'une seule image par une fonction. Un nombre y peut avoir plusieurs antécédents par une fonction.



4- Plusieurs représentations d'une fonction Une expression Soit f la fonction telle que

Un tableau de valeurs

De manière générale, un tableau de données de ce type là indique certaines images d’une fonction Cependant, par ce procédé, on obtient que quelques images et la fonction n’est connue qu’en partie On ne peut donc pas tracer avec précision le graphique de la fonction

Une courbe représentative

Dans un repère, la courbe représentative (ou

représentation graphique) d'une fonction est formée de

tous les points M de coordonnées avec ,

pour toutes les valeurs de telle que existe.

Par exemple, donc le point A de

coordonnées appartient à la courbe représentative de la

fonction .



DDéétteerrmmiinneerr ll''iimmaaggee oouu ll''aannttééccééddeenntt

dd''uunn nnoommbbrree àà ppaarrttiirr dd''uunn ggrraapphhiiqquuee

D7-Utiliser la notion de fonction

D28

1- Méthode : lire graphiquement une image




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À L

A M

AIS

ON

2- Méthode : lire graphiquement un antécédent





DDéétteerrmmiinneerr ll''iimmaaggee oouu ll''aannttééccééddeenntt

dd''uunn nnoommbbrree àà ppaarrttiirr dd''uunn ttaabblleeaauu


D29

1- Exemple Le tableau ci-dessous donne la pointure française p correspondant à chaque longueur l (en cm) du pied.

Quelle que soit la longueur du pied, on peut lui associer une unique pointure. Par exemple, à un pied de 23 cm de longueur, on associe la pointure 36.

23 est un antécédent de 36

24 est l'image de 15


2- Dresser un tableau de valeurs avec un TABLEUR




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À L

A M

AIS

ON


3- Dresser un tableau de valeurs avec la calculatrice CASIO collège





4- Dresser un tableau de valeurs avec la calculatrice TI collège

Exemple : On donne la fonction f définie par .

Appuyer sur la touche

Voici ce qui apparaît à l'écran :

Il faut alors rentrer l'expression de la fonction : ici

(remarque : pour faire le )

Puis appuie sur la touche

Voici ce qui apparaît à l'écran :

On rentre alors la valeur de début, ici -3

puis on appuie sur et encore une fois

On obtient alors le tableau de valeurs :





UUttiilliisseerr eett rreepprréésseenntteerr uunnee

ffoonnccttiioonn lliinnééaaiirree


D30

1- Définition

Une fonction f est linéaire si elle peut s’écrire sous la forme où est un nombre relatif fixé. Une fonction linéaire représente une situation de proportionnalité. Le nombre relatif est alors un coefficient de proportionnalité.

Exemple : est une fonction linéaire dont le coefficient

– 10 est aussi linéaire car – – Elle est bien de la forme avec


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2- Méthode : tracer la courbe représentative d'une fonction linéaire

Propriété :

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine du repère

Exemple rédigé : Représenter graphiquement les fonctions

est une fonction linéaire dont le coefficient est -2

La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine. Il suffit dont de deux

points pour la tracer.

0 3

0

On calcule alors son image

Coordonnées des points (0 ; 0) (3 ; -6)

On place alors les deux points de coordonnées (0;0) et

(3;-6) dans le repère puis on les relie.

On obtient alors la représentation graphique de la

fonction linéaire définie par





3- Méthode : déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire

par la donné d'un nombre non nul et de son image

Exemple: Déterminons la fonction linéaire dont l'image de 8 est -12

Solution

Donc

à l'aide de sa courbe représentative


1. Dans un repère, construire la représentation graphique de la fonction linéaire définie par

2. Déterminer la fonction linéaire telle que


À L

A M

AIS

ON





8 -12


UUttiilliisseerr eett rreepprréésseenntteerr uunnee

ffoonnccttiioonn aaffffiinnee


D31

1- Définition

Une fonction est affine si elle peut s’écrire sous la forme où et sont des nombres relatifs fixés.

Exemples:

est une fonction affine avec et .

–

est aussi affine car

–

Elle est bien de la forme avec

et –


2- Méthode : tracer la courbe représentative d'une fonction linéaire

Propriété :

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite ne passant pas par l'origine du

repère

Exemple rédigé : Représenter graphiquement les fonctions

est une fonction affine de la forme où et

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite passant par l'origine. Il suffit dont de deux

points pour la tracer.

0 4



Coordonnées des points (0 ; 2) (4 ; - 2)

On place alors les deux points de coordonnées (0;2) et

(4 ; -2) dans le repère puis on les relie.

On obtient alors la représentation graphique de la

fonction affine définie par




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3- Méthode : déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire

par la donné de deux nombres et de leurs images

Exemple rédigé : Déterminons la fonction affine dont l'image de 8 est -12 et dont l'image de 5 est -9 Etape N°1: on cherche le coefficient a

donc Etape N°2: on cherche l'ordonnée à l'origine b Or par exemple, donc donc D'où

à l'aide de sa courbe représentative


1. Dans un repère, construire la représentation graphique de la fonction affine définie par

2. Déterminer la fonction affine telle que et


À L

A M

AIS

ON






DDéétteerrmmiinneerr ppaarr llee ccaallccuull ll''iimmaaggee dd''uunn

nnoommbbrree ppaarr uunnee ffoonnccttiioonn aaffffiinnee oouu

lliinnééaaiirree


D32

1-Méthode : Calculer l'image d'un nombre par une fonction linéaire Exemple : Soit est une fonction linéaire de coefficient -3 Calculer l'image de 4; -6 et de 0 : donc l'image de 4 est -12 par la fonction

donc l'image de -6 est 18 par la fonction

donc l'image de 0 est 0 par la fonction


2- Méthode : Calculer l'image d'un nombre par une fonction affine

Exemple : Soit est une fonction affine de coefficient -4 et d'ordonnée à l'origine 5. Calculer l'image de 2; -5 et de 0 : donc l'image de 2 est -3 par la fonction

donc l'image de -5 est 25 par la fonction

donc l'image de 0 est 5 par la fonction



À L

A M

AIS

ON



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DDéétteerrmmiinneerr ppaarr llee ccaallccuull ll''aannttééccééddeenntt

dd''uunn nnoommbbrree ppaarr uunnee ffoonnccttiioonn aaffffiinnee oouu

lliinnééaaiirree ((ééqquuaattiioonn))


D33

1-Méthode : Calculer l'image d'un nombre par une fonction linéaire Exemple : Soit est une fonction linéaire de coefficient -3 Calculer le(s) antécédent(s) de 117 : On cherche tel que c'est-à-dire Il faut donc résoudre l'équation

donc un antécédent de 117 est (-39) par la fonction


2- Méthode : Calculer l'image d'un nombre par une fonction affine

Exemple : Soit est une fonction affine de coefficient -4 et d'ordonnée à l'origine 5. Calculer le(s) antécédent(s) de 25 On cherche tel que c'est-à-dire Il faut donc résoudre l'équation

donc un antécédent de 25 est (-5) par la fonction



À L

A M

AIS

ON



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FFoonnccttiioonn eett ééqquuaattiioonn


D34

Méthode : interpréter graphiquement la solution d'une équation Voici les tarifs d’entrée pour un stade de football : Tarif 1 : 8€ l’entrée Tarif 2 : 4€ l’entrée avec la carte demi-tarif qui coûte 40€ 1. Soit le nombre d’entrées. Exprimer en fonction de la dépense pour la saison pour chaque tarif. 2. Pour chaque tarif, représenter sur un même graphique la dépense en fonction du nombre d’entrées. 3. Déterminer le nombre d'entrées pour lequel les deux tarifs sont égaux

1) Tarif 1 : A chaque nombre , on associe le nombre 8 , On a définit une FONCTION LINEAIRE qu’on appelle f et on note : Tarif 2 : A chaque nombre , on associe le nombre , On a définit une FONCTION AFFINE qu’on appelle g et on note : 2)

3) Les deux tarifs sont égaux si . Il nous faut donc trouver la valeur de qui vérifie cette équation.

Il s'agit de l'abscisse du point d'intersection des droites représentatives des fonctions et . Il faut donc lire l'abscisse de ce point sur le graphique: on lit 10. Donc pour 10 entrées, les deux tarifs sont égaux.




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FFoonnccttiioonn eett iinnééqquuaattiioonn


D35

Méthode : interpréter graphiquement la solution d'une inéquation Voici les tarifs d’entrée pour un stade de football : Tarif 1 : 8€ l’entrée Tarif 2 : 4€ l’entrée avec la carte demi-tarif qui coûte 40€ 1. Soit le nombre d’entrées. Exprimer en fonction de la dépense pour la saison pour chaque tarif. 2. Pour chaque tarif, représenter sur un même graphique la dépense en fonction du nombre d’entrées. 3. Déterminer le nombre d'entrées à partir duquel le tarif 2 est plus avantageux

1) Tarif 1 : A chaque nombre , on associe le nombre 8 , On a définit une FONCTION LINEAIRE qu’on appelle f et on note : Tarif 2 : A chaque nombre , on associe le nombre , On a définit une FONCTION AFFINE qu’on appelle g et on note : 2)

3) Le tarif 2 est plus avantageux si . Il nous faut donc trouver la valeur de qui vérifie cette inéquation.

Il s'agit de l'ensemble des abscisses des points où la courbe représentative de la fonction se trouve en dessous de celle de . Il faut donc lire les abscisses de ces points sur le graphique: à partir de 11 entrées (car pour 10 le tarif est le même) Donc à partir de 11 entrées, le tarif 2 est plus avantageux.




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FFoonnccttiioonnss lliinnééaaiirreess eett ppoouurrcceennttaaggeess


D36

1- Propriétés


2- Méthode : appliquer une augmentation ou une diminution en % (exercice résolu)

1) Le prix d'un blouson qui coutait 160 € est réduit de 35%. Calculer le nouveau prix du blouson. 2) La facture d'électricité de Bertrand a subi une augmentation de 20% sur un an. Il a payé cette année 99 €. Calculer le prix qu'il avait payé l'année dernière.


Un commerçant diminue ses prix de 8%.

1) Un lecteur DVD coûte, avant réduction, 329€. Combien coûtera-t-il après ?

2) Un écran LCD coûte, après réduction, 540€. Combien coûtait-t-il avant ?


À L

A M

AIS

ON



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