Cours Grasmech – Eléments d'analyse des structures sous action sismique
Cours Grasmech
Éléments d'analyse des structures sous action sismique
Hervé DEGEE
ULg – 2 juin 2009
Cours Grasmech – Eléments d'analyse des structures sous action sismique
Excitation par déplacement d'appui
C
K = -3EI/h³
(x,u)
M
( )gu t
u = déplacement de l'oscillateur par rapport au support (Permet d'estimer les efforts internes après résolution)
= −⎧→ = + ⎨ = −⎩
Ktot g
C
F K uu u u et
F C u
Newton: ( )
( ) ( )
=→ + = − −
→ + + = − =
tot
g
g eq
M u FM u u K u C u
M u C u K u M u t P t
Donnée fondamentale pour l'analyse sismique: évolution de l'accélération du sol au cours du temps (accélérogramme)
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Accélération maximale du sol ag (PGA)
De 0 à
0,1g jusque 0,4g à
0,6g au niveau du bedrock
Attention aux effets de sites
Ordre de grandeur des efforts: F = M . ag
Accélérogrammes
Directement utilisables :
Pas forcément simples à
enregistrer
Constituent des cas particuliers
Spectres de réponse
-0.4-0.3-0.2-0.1
00.10.20.30.4
0 10 20 30 40 50 60
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Spectre de réponse élastique – principe d'établissement
Spectres de déplacement, vitesse et accélération
( )gu t
MM
MM
MM
12π
=MTK
-0.4-0.3-0.2-0.1
00.10.20.30.4
0 10 20 30 40 50 60
ξ cst
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Période [s]
Dép
lace
men
t spe
ctra
l [m
]
Spectre de déplacement (Sd): déplacement maximum en fonction de la période et de l'amortissement
ξ
= 2 %
ξ
= 5 %
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Spectre de réponse élastique – principe d'établissement
Spectres de déplacement, vitesse et accélération
( )gu t
MM
MM
MM
12π
=MTK
-0.4-0.3-0.2-0.1
00.10.20.30.4
0 10 20 30 40 50 60
ξ cst
Spectre de vitesse (Sv): vitesse maximale en fonction de la période et de l'amortissement
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Période [s]
Vite
sse
spec
trale
[m/s
]
ξ
= 2 %
ξ
= 5 %
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Spectre de réponse élastique – principe d'établissement
Spectres de déplacement, vitesse et accélération
( )gu t
MM
MM
MM
12π
=MTK
-0.4-0.3-0.2-0.1
00.10.20.30.4
0 10 20 30 40 50 60
ξ cst
Spectre d'accélération (Sa): accélération maximale en fonction de la période et de l'amortissement
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
2
4
6
8
10
12
14
16
Période [s]
Acc
élér
atio
n sp
ectra
le [m
/s²]
ξ
= 2 %
ξ
= 5 %
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Spectre de réponse élastique – principe d'établissement
Spectres de pseudo-accélération
Objectif: Estimer les efforts internes maximaux dans la structure
2maxmax
ω
= −
⇒ = = =K
K spectral spectral
F K u
F K u K u M u
2ω spectralu = Pseudo- accélération
spectrale (SpA)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
2
4
6
8
10
12
14
16
Période [s]
Acc
élér
atio
n [m
/s²]
Accélération
Pseudo -
accélération
max⇒ = pAF M S
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Spectre de réponse élastique – principe d'établissement
Comportement aux limites
: 00
→ ∞⎧ ⎫→ →⎨ ⎬→⎩ ⎭
d pa g
KS et S u
T
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Période [s]
Sd
[m]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Période [s]
SpA
[m/s
²]
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Spectre de réponse élastique – principe d'établissement
Comportement aux limites
: 00
→ ∞⎧ ⎫→ →⎨ ⎬→⎩ ⎭
pa g d
KS u et S
T0
: 0→⎧ ⎫
→ →⎨ ⎬→ ∞⎩ ⎭d g pa
KS u et S
T
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Période [s]
Sd
[m]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Période [s]
SpA
[m/s
²]
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Spectres de calcul pour l'analyse élastique
Spectres normatifs (Exemple: spectres Eurocode 8)
1 accélérogramme 1 spectre
Pour le dimensionnement, spectre de référence moyen pour une zone donnée
Spectre Type 1 (séismes lointains) –
M > 5.5 Spectre Type 2 (séismes proches) –
M < 5.5
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Spectres de calcul pour l'analyse élastique
Caractérisation: Paramètres: ag
, type de sol, γI
, ξ
• Spa
(T=0) = γI
ag
S
• Palier = zone résonante (Spa
= 2.5 x γI
ag
S)
• Première phase décroissant en 1/T ( SV ~= constante)
• Deuxième phase décroissante en 1/T²
( Sd constant)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Période [s]
SpA
[m/s
²]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
Période [s]
Sd
[m]
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Spectres de calcul pour l'analyse élastique
Utilisation pratique pour la vérification sismique d'un système à
1 degré
de liberté:
• Choix d'un type de spectre (1 ou 2) et des paramètres caractéristiques
•
• Vérification de résistance
•
•
Vérification des états-limites
de service (en général sur base d'un niveau de séisme plus faible)
( )max, , , ,ξ ξ→ → → =M K C T Spa F M Spa T
( ) ( )2
2
,, , , ,
4ξ
ξ ξπ
→ → =T Spa T
M K C T Sd T
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Dynamique des oscillateurs multiples
Vibrations libres –
modes et périodes/fréquences propres
[ ]{ } [ ]{ } { } [ ] [ ]( ){ } { }20 0ω+ = ⇒ − =pM u K u K M u
Problème aux valeurs propres –
pour un système à
N degrés de liberté, N pulsations propres et N vecteurs propres associés
22,961 0,27449,091 0,12872,890 0,086
ω⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= → =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
T s
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Dynamique des oscillateurs multiples
Résolution dans la base des modes propres
Principe: Utiliser les amplitudes des modes comme inconnues
{ } { } [ ]{ },1
( ) ( ) ( )η η=
= =∑N
i p ii
u t t u U tForme des modes propres
Amplitude des modes propres (variable au cours du temps)
[ ]{ }[ ]{ }
2
*2 1,η ω ξ η ω η→ + + = − = − =i i
i i i i i i g g
i i i
u M r Lu u pour i Nu M u M
Facteur de participation modale
Possibilité
de résoudre le problème en considérant chacun des modes séparément.
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Dynamique des oscillateurs multiples
Sélection des modes / masse modale collaborante
[ ]{ }2
* *2 ii
i i i i i i g g
i i
u M rL u uM M
η ω ξ η ω η+ + = − = −
*=i
i
LM
1.42 0.51− 0.09
Pour une direction donnée, plus on "monte" dans les modes, moins le mode contribue à
la réponse globale
La sélection des modes à conserver se fait sur base
de la masse modale2
*= → =∑i
i i tot
i
Lm m MM
1
2
3
81%14.5%4.5%
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
mmm
Critère Eurocode 8:
0.90.05≥
≥∑ i tot
i tot
m Mm M
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Utilisation des spectres de réponse pour les oscillateurs multiples
Principe
Système à
1DDL:
Valeur extrême obtenue par spectre
22ωξ ω+ + = − gu u u u
Système à
NDDL:
Valeur extrême pour chaque mode obtenue par spectre mis à
l'échelle par
On peut ensuite en dériver la valeur extrême de n'importe quelle grandeur (effort, déplacement) pour un mode donné)
2
*2η ω ξ η ω η+ + = − i
i i i i i i g
i
L uM
*i iL M
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
1T2T
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Utilisation des spectres de réponse pour les oscillateurs multiples
Combinaison des réponses selon les différents modes
L'approche spectrale fournit uniquement une valeur extrême pour chaque mode.
MAIS il est peu probable que ces valeurs extrêmes se produisent simultanément (+ signe éventuellement différent) !!
0 10 20 30 40 50 60 70-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
Extr. Mode 1
Extr. Mode 2
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Utilisation des spectres de réponse pour les oscillateurs multiples
Combinaison des réponses selon les différents modes
• Une simple addition est en général trop sécuritaire
• Les effets sont combinés selon une moyenne quadratique (SRSS ou CQC)
Exemple:
M1extr
= 14.64
mm
dexact
= 14.78 mm
M2extr
= 3.05
mm
dSRSS
= 14.95 mm (≠1.1%)
dsomme
= 17.69 mm (≠
20%)
• Approche utilisable pour n'importe quel effet (déplacement ou effort)
2SRSS iX X= ∑ CQC ij i j
i jX X Xα= ∑∑
α1 csteξ =
i jω ω
α1 csteξ =
i jω ω
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Analyse statique par force latérale
Principe
• Valable pour des structures régulières (un mode prépondérant)
•
Approximation reposant sur une équivalence de la résultante des efforts horizontaux en base (Base shear) = réaction aux forces d'inertie
Hypothèse: la structure se déforme uniquement selon son premier mode
( )
21
,max 1 1 1*1
1
( ) ( )
1λ λ
= =
= ≤
H pa pa
tot
LR S T m S TM
avec m M
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Analyse statique par force latérale
Principe
•
Analyser la structure sous l'effet d'une distribution de forces horizontales telles que leur résultante vaut
,max 1( )λ=H tot paR M S T
• Evite
le calcul explicite des modes propres
mais nécessite une estimation correcte de la période de vibration principale T1
Formules approchées pour structure courantes
• Nécessite l'estimation du coefficient λ
Eurocode 8: λ = 1.0 (sécuritaire = toute la masse de la structure sur le premier mode), sauf pour les bâtiments élevés (> 2 niveaux) et de période relativement courte ( λ = 0.85)
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Apport du travail plastique des matériaux
Bilan énergétique :
[ ]2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )gM u t u t dt C u t dt F u u t dt M u t u t dt′′′′ ′ ′ ′ ′+ + = −∫ ∫ ∫ ∫ECinétique + EVisqueux + EDéformation = Etotale injectée
ECinétique + EVisqueux + EDéf_élastique + EDéf_plastique = Etotale injectée
Cas 1: Mmax
= MEl
Eél_1cycle
= 2 x (MEl
x θmax
/ 2)
= MEl
x θmax
Cas 2: Mmax
= MEl
/2
Etot_1cycle
= 4 x (MEP
x θy
)
= MEl
x θmax
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Apport du travail plastique des matériaux
Même quantité
d'énergie accumulée dans la structure avec des éléments 2 fois moins résistants, pour autant qu'ils puissent supporter des déformations plastiques significatives
Différents choix de conception
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Apport du travail plastique des matériaux
Même quantité
d'énergie accumulée dans la structure avec des éléments 2 fois moins résistants, pour autant qu'ils puissent supporter des déformations plastiques significatives
Différents choix de conception
Avantages de l'exploitation du comportement plastique
-
Moins de sensibilité
aux incertitudes sur l'action
-
Permet de justifier la tenue de bâtiments dimensionnés élastiquement
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Contexte généralObjectif global des méthodes inélastiques: reproduire le comportement sismique
d'une structure de manière réaliste,
•
Soit en phase de dimensionnement (comme étape d'un processus itératif);
•
Soit en fin d'un processus de dimensionnement pour évaluer les capacités effectives de la structure;
•
Soit pour évaluer (ou ré-évaluer) les capacités sismiques d'une structure existante.
Nécessité de prendre en compte:
Le comportement non linéaire matériel (plastifications, fissurations…)
Le comportement non linéaire géométrique (grands déplacements effets de second ordre, réorientation d'efforts, instabilités…)
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Contexte généralAnalyses élastiques linéaires:
Comportement non linéaire géométrique: Prise en compte limitée (non linéarités modérées) via un coefficient correctif dépendant de la flexibilité
latérale de la
structure (+ possibilité/nécessité
d'adapter le calcul de la raideur à
la situation)
totF M Spa(T)
T 2 M KK ??
λ
π
=
=
= •
Raideur fissurée / non-fissurée (initiale ou sécante)
• Raideur réduite par la compression
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Contexte généralAnalyses élastiques linéaires:
Comportement non linéaire matériel: Prise en compte de manière forfaitaire via le coefficient de comportement
Depl.
Eff.
θy θmax = μ
x θy
FEL
Fmax = FEL / q
La structure peut résister aux efforts imposés par le séisme:
- Calculés de manière élastique
- Divisés par q
Pour autant qu'elle soit capable de développer une ductilité
égale à
q (égalité
de déplacement)
OU
(q²
+ 1) / 2 (égalité
d'énergie)q = Coefficient de comportement
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Contexte généralAnalyses élastiques linéaires:
-
Concept étendu à
des structures plus complexes
-
Valeurs de q minimales par catégories de structures et selon le choix de conception (DCL, DCM ou DCH)
-
Concept valable pour des structures de période "pas trop courte"
-
Traduit en pratique par un "spectre de dimensionnement"
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Contexte généralAnalyse linéaire adaptée:
OK pour le (pré-) dimensionnement: Vérification de résistance sous spectre réduit + respect de règles pour garantir une ductilité
suffisante [Limites
d'utilisation imposées par les codes]
MAIS
•
La vérification du design final devrait idéalement être effectuée à
l'aide d'une analyse où
les effets non linéaires sont modélisés et non supposés;
•
Les analyses non linéaires sont également à
recommander pour l'évaluation de structures existantes, afin d'identifier le(s) mécanisme(s) de ruine et de prendre en compte d'éventuelles grandes déformations.
•
Les analyses non linéaires sont aussi indispensables pour la calibration d'approches simplifiées (Calibration des facteurs q et mise au point des règles technologiques visant la ductilité).
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Analyse dynamique non linéaire
Intégration temporelle complète de l'équation du mouvement
Méthode la plus précise: représentation directe de la réponse "réelle"
( ) gM u C u F u M u+ + = −
Mais nécessite tout de même un certain nombre de vérification a posteriori (notamment les éventuels modes de rupture non prévu par le modèle. Exemple: Cisaillement dans les poteaux en béton armé)
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Analyse dynamique non linéaireRemarques relatives à l'analyse dynamique non linéaire
1. Modélisation du comportement non linéaire des matériaux.
-
Différents modèles existent (modèles "rotules", modèles "fibres")
-
Il est nécessaire de définir le comportement cyclique
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Analyse dynamique non linéaireRemarques relatives à l'analyse dynamique non linéaire
2. Définition de l'action
-
Chaque calcul NL est un cas particulier (un accélérogramme
donné)
-
Choix de plusieurs accélérogrammes représentatifs (Proposition Eurocode 8: 3 acgs
et conserver le résultat maximum OU 7 acgs
et Conserver le résultat
moyen)
-
Accélérogrammes
naturels (si disponibles)
-
Accélérogrammes
synthétiques (pour couvrir l'ensemble du spectre de design)
-0.4-0.3-0.2-0.1
00.10.20.30.4
0 10 20 30 40 50 60
Acg naturel-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Temps [s]
Acc
élér
atio
n [m
/s^2
]
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Acg synthétique
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Analyse dynamique non linéaireRemarques relatives à l'analyse dynamique non linéaire
3. Définition et calibration de l'amortissement
-
Pour l'analyse spectrale, on utilise un amortissement modal (en général ξ
= 5%)
-
L'amortissement modal n'a plus de sens en dynamique non linéaire
-
On doit définir la matrice d'amortissement complète
( ) gM u C u F u M u+ + = −
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Analyse dynamique non linéaireRemarques relatives à l'analyse dynamique non linéaire
3. Définition et calibration de l'amortissement
-
En général, amortissement de Rayleigh:
Deux paramètres à définir, par exemple pour obtenir un niveau d'amortissement défini sur les deux premier modes
Problème: Faut-il utiliser Kini ou Ktg ?
C M Kα β= +
( ) gM u C u F u M u+ + = −
iniC M Kα β= + tgC M Kα β= +
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Analyse dynamique non linéaireRemarques relatives à l'analyse dynamique non linéaire
4. Analyse des résultats
-
Temps de calcul généralement élevé
-
Grande quantité
de résultats à
dépouiller
-
Encore plus important en cas d'analyse dynamique pas à
pas incrémentielle !
gaDéplacement maximum
Cis
aille
men
t en
base
-10-8-6-4-202468
10
Temps [s]
Acc
élér
atio
n [m
/s^2
]
-10-8-6-4-202468
10
Temps [s]
Acc
élér
atio
n [m
/s^2
]
-10-8-6-4-202468
10
Temps [s]
Accé
léra
tion
[m/s
^2]
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
ALTERNATIVE: Analyse statique non linéaire en poussée progressive
Principe: établir la courbe Fb (u) par une analyse statique équivalente sous l'effet d'actions représentatives des forces d'inertie
1Pλ
2Pλ
3Pλ
4Pλ
Déplacement maximum
Cis
aille
men
t en
base
λ
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Analyse statique non linéaire en poussée progressive
Méthodologie:
•
Créer un modèle mécanique de la structure
•
Appliquer le chargement vertical nominal
•
Définir un modèle de plasticité
monotone pour le matériau
•
Appliquer et incrémenter un distribution de charge horizontale jusqu'à "ruine" de la structure
Cst1Pλ
2Pλ
3Pλ
4Pλ
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Analyse statique non linéaire en poussée progressive
Avantages:•
Significativement plus rapide que l'analyse dynamique
•
Permet l'évaluation:
•
De la sur-résistance
globale (αu
/α1
) validation du coefficient de comportement q utilisé pour le design
•
De l'allure de la déformée inélastique
•
Des zones de concentration de déformation ("rotules plastique")
uα
1α
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Analyse statique non linéaire en poussée progressive
Avantages:•
Significativement plus rapide que l'analyse dynamique
•
Permet l'évaluation:
•
De la sur-résistance
globale (αu
/α1
)
•
De l'allure de la déformée inélastique
•
Des zones de concentration de déformation ("rotules plastique")
•
Des efforts dans les éléments non-ductiles
(à
comparer à
la résistance)
•
De la déformation des éléments ductiles
(à
comparer à
la courbure limite)
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Analyse statique non linéaire en poussée progressive
Avantages:•
Significativement plus rapide que l'analyse dynamique
•
Permet l'évaluation:
•
De la sur-résistance
globale (αu
/α1
)
•
De l'allure de la déformée inélastique
•
Des zones de concentration de déformation ("rotules plastique")
•
Des efforts dans les éléments non-ductiles
(à
comparer à
la résistance)
•
De la déformation des éléments ductiles (à
comparer à
la courbure limite)
•
De l'effet des irrégularités géométriques (verticales + horizontales si modèle 3D)
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Analyse statique non linéaire en poussée progressive
Principales limitations:
Vue en plan
CRCM
1Pλ
2Pλ
3Pλ
4Pλ
•
Le comportement cyclique des matériaux n'est pas explicitement pris en compte
•
Difficultés dans le cas de bâtiments avec torsion éventuelle (distribution irrégulière de masses)
•
Définition de la distribution verticale des efforts (modes supérieurs, modes inélastiques)
1P 'λ
2P 'λ
3P 'λ
4P 'λ
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Analyse statique non linéaire en poussée progressive
Mise en relation avec le niveau d'action sismique (point de fonctionnement ou point de performance):
gaDéplacement maximum
Cis
aille
men
t en
base
-10-8-6-4-202468
10
Temps [s]
Acc
élér
atio
n [m
/s^2
]
-10-8-6-4-202468
10
Temps [s]
Acc
élér
atio
n [m
/s^2
]
-10-8-6-4-202468
10
Temps [s]
Acc
élér
atio
n [m
/s^2
]
1Pλ
2Pλ
3Pλ
4PλDéplacement maximum
Cis
aille
men
t en
base
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Evaluation
du point de performance
1ère
étape: Conversion de la courbe MDDL en une courbe 1DDL équivalente
1Pλ
2Pλ
3Pλ
4Pλ
m*
*i i i
*i22
ii i
i
top* *b
m m P
PmPmmuFF et u
φ
φ
= =
Γ = =
= =Γ Γ
∑ ∑∑
∑ ∑
Rem: Push-over
modal / Push-over
adaptatif
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Evaluation
du point de performance
Approche en amortissement (ATC 40)
1.
Superposition de la courbe de capacité
et du spectre ADRS calculé
pour un amortissement arbitraire ξ
2.
Lecture du déplacement au point d'intersection
3.
Évaluation de l'amortissement ξ' correspondant au déplacement
4.
Si ξ
≠
ξ', reprendre l'étape 1 avec un spectre calculé
pour l'amortissement ξ'
5.
Si ξ
= ξ', le déplacement correspond au point de fonctionnement
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Evaluation
du point de performance
Approche en amortissement (ATC 40)1.
Superposition de la courbe de capacité
et du spectre ADRS calculé
pour
un amortissement arbitraire ξ
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
Période [s]
Dép
lace
men
t spe
ctra
l [m
]
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
2
4
6
8
10
12
14
16
Période [s]
Acc
élér
atio
n [m
/s²]
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450
2
4
6
8
10
12
14
16
Déplacement spectral [m]
Acc
élér
atio
n sp
ectra
le [m
/s²]
Sd(T) Spa(T) Spa(Sd)Spectre ADRS
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Evaluation
du point de performance
Approche en amortissement (ATC 40)1.
Superposition de la courbe de capacité
et du spectre ADRS calculé
pour un amortissement arbitraire ξ
*top* *b
* *
uFFa fct um m
⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟Γ Γ⎝ ⎠
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Déplacement [m]
Accé
léra
tion
[m/s
²]
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Evaluation
du point de performance
Approche en amortissement (ATC 40)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Déplacement [m]
Accé
léra
tion
[m/s
²]
2. Lecture du déplacement au point d'intersection
3. Évaluation de l'amortissement ξ' correspondant au déplacement
dy
d* = μ
dy0
00
0
0.05
14
2
0.05
Eq
D
S
y pi y pi
pi pi
Eq
EE
a d d aa d
ξ ξ
ξπ
π
ξ κ ξ
= +
=
−=
= +
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0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25Déplacement [m]
Acc
élér
atio
n [m
/s²]
Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Evaluation
du point de performance
Approche en amortissement (ATC 40)
4. Si ξ
≠
ξ', reprendre l'étape 1 avec un spectre calculé
pour
l'amortissement ξ'
5. Si ξ
= ξ', le déplacement correspond au point de fonctionnement
dy
d* = μ
dy
ξξ'
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Evaluation
du point de performance
Approche N2 (Eurocode 8)
Masse effective
Coefficient de transformation
Force et déplacement pour le système à
1DDL équivalent
bi-linéarisation
de la courbe et calcul du déplacement élastique
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Evaluation
du point de performance
Approche N2 (Eurocode 8)
Période effectiveDéplacement élastique
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Evaluation
du point de performance
Approche N2 (Eurocode 8)
Déplacement du système réel
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Méthodes de dimensionnement direct basé
sur les déplacements
Objectif: Dimensionner une structure en maîtrisant le niveau de dommage subi pour un niveau d'action donné
Par exemple:
EQ "de service" (Tret
= 50 ans): Pas de dommage (comportement élastique)
EQ "de calcul" (Tret
= 500 ans): Dommages réparables
EQ "extrême" (Tret
= 2500 ans): Pas d'effondrement (Life
safety)
Par comparaison, un dimensionnement en force ne garantit que la résistance (+ incertitude sur les valeurs de facteur de comportement)
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Méthodes de dimensionnement direct basé
sur les déplacements
Objectif: Dimensionner une structure en maîtrisant le niveau de dommage subi pour un niveau d'action donné
Kobé
(1995) Extrême
Acceptable Non acceptable
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Méthodes de dimensionnement direct basé
sur les déplacements
Objectif: Dimensionner une structure pour en maîtrisant le niveau de dommage subi pour un niveau d'action donné
SANS PASSER PAR UNE PROCEDURE ITERATIVE
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Méthodes de dimensionnement direct basé
sur les déplacements
Méthodologie
Etape
1:
Définir l'état de déplacement "cible" en liaison avec le niveau de performance recherché
(par exemple, drift inter-étage
ou niveau de
courbure)
Etape
2:
Estimer le déplacement élastique de la structure (formules approchées pour des schémas types). En déduire la ductilité
requise.
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Méthodes d'analyse en réponse inélastique
Méthodes de dimensionnement direct basé
sur les déplacements
Méthodologie
Etape
3:
Connaissant la ductilité, en déduire l'amortissement visqueux équivalent représentatif de la dissipation hystérétique
Pilares BA
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5 6Ductilidade
EFV
D [%
]
Blandon (1.0 sec)Piestley and Blandon (0.5 sec)Dwairi et al (1.0 sec)Dwairi et al (0.5 sec)Kwan
Vigas BA
0
5
10
15
20
25
1 2 3 4 5 6Ductilidade
EFV
D [
%]
Blandon (1.0 sec)Priestley Dwairi et al (1.0 sec)Dwairi et al (0.5 sec)Blandon (0.5 sec)Kwan
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Méthodes de dimensionnement direct basé
sur les déplacements
Méthodologie
Etape
4:
Connaissant l'amortissement équivalent, le spectre de déplacement et le déplacement cible, en déduire la période effective de la structure
Difficultés:
-
Evaluation
du spectre de déplacement aux longues périodes
-
Effets de l'amortissement sur le spectre de déplacement
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Méthodes de dimensionnement direct basé
sur les déplacements
Méthodologie
Etape
5:
Connaissant la période effective et la masse de la structure, en déduire la raideur sécante et le cisaillement en base
Etape
6: Finaliser le dimensionnement capacitif sur base de l'effort ainsi évalué
Keff = 4π2Meff / Teff2
Vbase
= Δobj
Keff