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I L NUOVO CIMENTO VOL. X X I I I , N. 3 1 ° Febbraio 1962

D6termination de la matrice S

dans le cas de potentiels tenseurs non nuls ~ l'origine.

H. C o ~ L ~

Laboratoire Joliot-Curie de Physique ~ucldaire - Orsay (S.-et-O.)

(ricevuto il 25 0 t tob re 1961)

S u m m a r y . --- One may determine in non retatrivistic Quantum Mechanics the (( Jost functions ~) (uncoupled case (1,3) and coupled case (a)) by con- sidering a basic set of solutions defined by their incoming or outgoing asymptot ic behaviour. We shall demonstra te tha t in the coupled case where tensor potentiels satisfy V~(0)¢ 0 i t becomes very difficult to apply the regular i ty conditions to the physical solutions, which are linear com- binations of the basic set. The usual process for extract ing the singular pa r t at r = 0 allows us to remove only one of the two singular solutions. We shah see how, in certain cases, we may obta in the contr ibut ion of the less singular solution by use of a finite expansion of the more singular solution. In these cases the regularity, conditions are satisfied.

1. - I n t r o d u c t i o n .

P o u r o b t e n i r la m a t r i c e S en m ~ c a n i q u e q n a n t i q u e n o n r e l a t i v i s t e d u n s

le cas n o n coupl~ on u t i l i s e d e u x m d t h o d e s .

1) O n c o n s t r a i t l a so lu t i on rdgul i~re en p a r t a n t de l ' o r ig ine , c ' e s t c e

que l ' o n fa i r duns los calculs num~r iques .

2) On consid~re unc ba se de so lu t ions ddfinies p a r l cur c o m p o r t e m e n t ,

a s y m p t o t i q u e d ' o n d e s e n t r a n t e s ou so r t an t e s , on c o n s t r u i t les (~ fonc t ions d e

. Jo s t ~ (1-3) en i m p o s a n t la c o n d i t i o n de r~gu la r i t4 ~ l~origine, ~ la s o l u t i o n

(1) A. MARTIN: NUOVO Cimento, 14, 403 (1959). (2) A. MARTIN: Nuovo Cimento, 15, 99 (1960). (a) V. DE ALFARO et C. ROSSETTI: -IVUOVO Cimento, 18, 780 (1960).

D~TEtgMIIqATION DE LA MATRICE ~ DANS LE GAS D E ~OT]]NTIELS TENSEURS ETC. ~ 2 7

physique, combinaison lin4aire des 4l~ments de la base. Cette m4thode a l 'avantage, d 'une par t , d 'expri lner ais~ment les propri4t4s analytiques, d 'aut re part , elle permet d 'obteni r les d4phasuges par une r~solution ~ caract~re it~- rat i f si les potentiels sont suppos6s 6tre du type de Yukawa g6n6ralis6 (1-3,~) (m6me si un cceur dur est in t rodui t (~)).

On peut g6n6raliser ces m6thodes uu cas coupl6. N6anmoins ceci n6cessite certaines pr6cautions si 16 potent ie l tenseur est non nul ou singulier ~ l'origine. En effet le compor tement £ l 'origine d 'une solution r6guli~re g6n6rale ou d 'une solution singuli~re g6n6rale ne coincide plus avec le compor tement corres- pondant des solutions non coupl6es. En ce qui concerne la premiSre m~thode, il est n6cessaire d'~tablir tou t d 'abord le degr6 des solutions r6guli~res ~ l 'origine avant d 'cffectuer l ' int6gration des 6quations. Duns la seconde m~thode la si tuation est plus d61icute car une des solutions irr6guli~res 6rant plus singu- li~re que l 'autre, le proc6d6 habituel d 'ext rac t ion de la part ie singuli~re ne s 'applique q u ~ la solution la plus singuli~re. Iqous altons mont re r comment, duns certains cas, par un d6veloppement limit6 de cet te solution la plus sin- guli~re, on peut 61iminer la contr ibution venan t de l 'autre solution singuli~re.

2. - Expression de la matrice S .

Iqous ~llons d 'abord rappeler (~) d 'une mani~re l~g~rement diff4rcnte com- ment on peut d4finir la matr ice S duns le cas d~ondes coupl~es satisfaisant ~:

(1)

d2 2 ~r ~ _ J ( J - - 1 ) + K ~ r 2 + r °" Vl(r) ,

r 2 V ~ ( r ) r~ ~r ~ - - ( J + 1 ) ( J + 2) -J-K2r ~ ~- r2V~(r) w j

~ L ~ 0 , W j

V 1, V 2, V ~ 4tant les combinaisons h~bituelles de potentiels Vo(r), V~(r), Vzs(r),

Vq(r) que nous supposons £ d~croissanee exponentielle quand r - + o o e t moins singuliers que r -~ ~ l'origine.

(a) R. V]N~I-MAu et A. MAI~TI~: Nuovo Cimento, 20, 310 (1961). (5) A. MARTIn: Summer School of Theoretical Physics (Yugoslavia, 1961). (6) H. COR~ILI.E: Nuovo Cimento, 21, 773 (1961).

5 2 8 H . C O R N I L L E

Soit une base (*) de (1)

te~e que

(R~(± K, r)) Y~ = \T?(4- K, r)

=(exp[:J=iKr]J~(~:K,r))

\ e x p [ ~= iKr] g~ ( ~= K, r)

0

et Y[~(exp[~ : iKr] ) "

Si on suppose V~(r)~oV~r -~ et les potent ie ls non tenseurs de la fo rme

V~(r) ~ 0 C o n s t r -*' (e et ~, 6 tan t < 2) on t r o u v e c o m m e sys tbme f o n d a m e n t M 2 solut ions << r6gulibres >> (nulles pour r = O) et 2 solut ions << singulibres >>, d~ofi

p o u r rou te Y d e (1)

( 2 ) y = -:0 ~: ~ w \ r " ~,Jr)/

= t Oq t\ r J+' ~fll(r) / @

-~- O~ 2

[r -<~-~÷*> ~4(r)

+ g'~ r_,J+~)yj,(r) ]"

S i s = 0 le deuxigme t e rme en w dev ien t rJ+~(Lr)~o&) et le dernier t e r m e

en u : r-(J-:)(Lr)~o4(r); 910(0)=1 et ~0~(0)= C7~ r6el ne d 6 p e n d a n t que des coef- ficients du sys tgme differentiel (1), C~ d6pend de J, e et du couplage V~; d o n c :

i r ~ O X ~ k , i tie i or, ~L(o)= ~ , ( o ) .

T o u t e solut ion phys ique sera une eombina i son lin6aire des lz~ ne poss6-

dan~ pas les 2 solut ions singuligres.

1) J- : N J+: Sj_: et sen t ob tenus en eons id6ran t une onde e n t r a n t e pure ,v j - - 1

IS j_: b e t Sj+~ - e) (J--l); Y=aY~+bY++c~+\ J-t a J-:

(') E tan t donnd le comporteme~t quand r ~ o o des potentiels on pourrait (6) aussi prendre

011

off est solution de (1) sans potentieIs. +

o (hj+l(±Kr));

D ~ T : E ~ M I N A T I O N DE LA MATRIC]~ ~ DANS L]~ CAS DE I~OT]~NTI]~LS T]~NSEUP~S ]ETC. 5 2 9

soumise uux conditions de r6gul~rit6 g l 'origine.

[ a~o~a(0 ) + bg)+~(0) + cT+~(0) ~ O,

a~f/a(O ) -~ + c~f+2(O) ---- bq~+~(O) eq~+~(O)) 0 (k=3, 4).

I1 rant bien remarquer que p~rmi ces qu~tre relations, il n 'y en a que 2 qui sont ind6pend~ntes.

J--£ On pourr~it de m6me d6finir _z+~,q~+l et Sz+~.

2) D@h~sages propres: K ~tunt r~el la solution physique seru (*)

(4) Y = a Y [ + bY+ + e Y ; + d Y + ~ ( 2(exp[--i(Krd-~)J--exp[d-i(Krd-(~)])l ~ \--/~(exp [--i(Kr d-~) ]--exp [ d- i(Kr d-(~) ]) / "

Et~nt donn5 le comportement de ~ quand r--> c~, on expl~me ais6ment a, b, c, d, en fonction des quuntit4s r6elles 2, #, 5, les conditions d 'annulat ion des 2 solutions singuli~res £ l'origine nous donnent les 2 relations ind~pen- d~ntes n6cessuires pour dSterminer 2 qu~ntit~s r4elles reli4es l 'une ~u d~- phasage, l '~utre nu pur~mbtre de m61~nge,

(5) 2(exp [ - - , i 6 ] ~ ( 0 ) -- exp [ + i~]~+~(0)) --

- ~ ( e x p [-,@~L(o) - e x p [ .@~L(o)) -_- o (k = 3, 4)

la relation off les ± ~.i(O) 6tant C~ lois lu relation pr6c6den~e; y;k,~(O) remplncent ± le syst6me (s) en 2/# et tg (~ est ~ coefficient r6els si on rem~rque que @;dK*, 0))* + : %.~(K, 0). On peut a,lors en d6duire (4) les deux v~leurs 5~, ~ ainsi que le p~r~m~tre de couplnge.

3. - D 6 t e r m i n a t i o n des (~ e x t e n s i o n s des f o n c t i o n s de Jos t au eas eoup l6 )).

Fin~lement pour d6terminer la matrice S ou les d6phasages propres, il

est n6cessaire d'obtenir les couples / \ ~ ' ( 0 ) ~ ( i = 1,2, k = 3 , 4) qui sont les \vL(o)/

4quivalents dgns l e c n s coupl4 des fonctions de Jost ; pour chaque couple (k)

(') Pour simplifier l'4crieure 6 usuel est remplac6 par 6 + (J--1)(~/2).

530 H. CORNILLE

un seul des deux termes ± :~ %.dO) ou ~,,,,(0) &ant suffisant.

1) e < 0 • o.J-l .± -+ lira ', ~ i (K, r) = q~3*(O) r - - > o

= lim r T=- (K. r) ± V~(O) 0 • .,+1 + = y,~.~(O)

le probl&ne est r6soluble, on peut 61iminer les contributions proven~nt des deux solutions singuli~res (4).

(5) 2) 2 < e~<0

V~(O) # 0

l i m rJ-~+~R±¢ , K , r) ou si s = O, lira (rJ-1/Lr) R ~ ( : t : K , r) -= ~%i(0)± , r-'->O

l im rJ+IT~(=~ K , r ) = ~ , i ( 0 ) =~ = C 4 ~ 5 ( 0 ) r---> 0

C'est le cas off ls solution is plus singulibre est plus singuli~re en u et en w. Pour a t te indre Is solution is moins singuli~re il f~u~ extrs i re de ls solution tot~le t o u s l e s termes de la solution ls plus singuligre plus ou sussi singuliers

q u e \r-(J-a+s) / . Ceei &unt f a i r devient et on peut sppliquer le

proe6d6 hsbi tuel

l imrJ -1 /~ (=~ K, r) = ~L(0) ,

l im rJ-3+~T~ (:k K, r) ± = v ) ~ , d o ) . ~'"--> 0

R e m a r q u e . - Pour l 'Stude des 6tats propres, si on suppose le parsm~tre de ± m6lsnge connu ls connsisssnee des ~v4~(0 ) ou ~v4.~(0 ) suffit pour donner ls re-

lat ion entre les potentiels et les d6phasages (G).

4. - Syst~me fondamental de solutions pour r--> 0 dans le oas off les potentiels

non tenseurs sont analytiques.

~ous sllons mont rer comment obtenir un syst~me fondsments l de solu- tions de (1) au voisinsge de l 'origine pour v = 2 - - s > 0 sous for_me de dS-

/ao o\ veloppements ~ r~+~'( " ~. Nous d&erminerons dsns le css ,~<2 les termes

D ~ T ] ~ R M I N A T I O N D E L A M A T R I C E ~ DANS L E CAS D ~ I~OTENTIELS T E N S E U R S ETC. 531

(:) ( ,~ c,, ,° o,,. Pour simplifier nous dtudions pour r - * 0 au lieu de \g~]

sage d 'un ddveloppement ~ l ' au t re est imm4diat .

A) ~ 0 non entier. ~ o u s nous l imiterons ~ des potentiels tenseurs

e t non tenseurs V~ - ~ o ~ V~r ~ (off s = l , 2). i=0

l~eportant le d6veloppement duns (1) on obt ient pour les couples (n, m)

]a relat ion de r6curence

(6) ( , . + _ . 1> 0

O, /(n -k my, J-I- 1) b~

~:ot \v ,v , / \ ~ ~o-j v:/\bo_,,o/~ ~bo_,~)- O,

off ](p, J) =p(p -- 1) - - J(J + 1). l%echerehant les couples (no, too) min ima on t rouve 2 cas qui donnent 2

groupes de solutions bien distinctes.

ler eas: ](no+mov, J - - l ) - - - - O ; a%,%:/:0, b~°,%-----O et (no, m o ) : ( J , O ) et ( - ( J - i ) , o).

Les coefficients b~°+~.o sont nuls, le premier t e rme de w e s t

r"°+'(--V~a%.o)/l(no +V, J + l ) ;

on obt ient les solutions et de (2) J + 2 \ - - ( J - - 1 ) + ~ ,

() (°') (ut (-) (°,, ~ ÷ ~ .

kb () I .=] b(2) a W ~ m=O \ n , m / \ ~ 0 / 2 ~0 3 m=O \ ~ t , m /

~vee a~8)o= 0 lu solut ion 3 ne ddpend que d 'une constante comme nous le

verrons duns le cas suivant .

532 i-i. CORNILLE

2~me eas: ~(no+mov, J + l ) = O , a .. . . . = 0 , b . . . . . ¢ 0 et (no, mo)--~ ( J + 2 , O) et ( - (J+~), o)

Les coefficients a,,+~.o sont nuls, le p remier t e rme de u est :

r%+'(--V~b~o.o)/t(no+v, J - - l ) ;

on ob t ien t les solutions

eg de (2) \ J + 2 z \ - - ( J + l ,~

w/4 l a <1) \ I-(~) \

n,m n + m v bbn m 1+ 2 , ( ~=J+2 ~b (I) / ~=-(.r+1) \ b (4) / m = 0 \ n , m / =0 \ n , m /

Cette derni~re solut ion ne d6pend que d~une seule cons t an t e ; en effe~

0 donne L~ L ~ 0 ~vec ¢ 0 4 'W 4

~L 1

0 ) 2r dr d

0~ 2r clr - - 1

1~ re la t ion de r6eurence (6) est remplae6e pa r

2 ( n + v) - - I 0 (a~.m~ + r e l a t i o n (6) pour le couple "'~ ~ 0 . (6') 2 ( n + m v ) - - I ~b ̀~' l b(.~)

\ - - n , m ]

P o u r n < J + 2 , les coefficients s ' exp r imen t en fonc t ion de b (4) p o u r - - (d+l ) ,0

h(~) e t b (4) n ~ - J + 2 , on p rend h (a) -----0~ il res te une re la t ion ent re ~J+2,o -(J+~,~- ~ d + 2 , 0

T o u s l e s coefficients p e u v e n t done s ' expr imer en fonc t ion de

b(•) ~-- l im rJ+~w(r) ou, si v < 2 , d e a (4) --~ lira r J + ~ - " u ( r ) = - - ( J + l ) , 0 ~'-->0 - - ( d + l ) , l r-->O

T e r m e s de "W 4

~ , - - ( d + l ) + ~ + m v a,(4) ~ - - ( J + l ) + T , m - -

= - - V~ob(,+~).o/]( - ( J + l ) + v, J - - l ) .

soustraire darts le cas v < 2 ( V ~ ( 0 ) = c ~ ) . - C o m m e

r-(J-1)+~+~-~a (4) fl f au t p rendre pour u t o u s l e s --~J+l)+q),m

couples (p, m), p ~ 0, m > 1, tels que p + m y < 2. De m~me r -(J+~)+~'+~'~ h (4~ v ( j+ lp} .~ , ,m, - -

- - ¢--(J--1)-{-V/~(4) r ~ ' + ( m ' - l ) ~ - 2 . . . . (¢+,+~,~, on gardera pour ~v les couples (p' , m') , p ' > 0 ,

I ) ] ~ T ~ R M I N A T I O N I)]~ I ,A iVIATRICE ~ / ) A N S L~E C / k S D E P O T E N T I E L S T]~NS:EUI~S ]~TC. 533

m ' > 0 tels que p ' + ( m ' - - l ) v < 2 . Si M e t £V sont des entiers tels que M < 2 / v < Mq- 1; N < l / r ~ N + I on t rouve ais6ment pour u:

pour w:

M /¢

~,mv - - ( J+ l ) (a) e t ~ ' mq-y (4) - ~ - ( g + l ) . m & r ~--./,m ' 1 1

M + I .~+1 1 q,mv--(J-~l) ]}(4) m v - - J (4) ~ rmV--(Y--1) b(a)

o 0 0

Remarques: i) Pour v fix6, N et M soar finis, ce sons des d6veloppements l imi t , s de la solution 4 que nous retranehons.

2) Nous avons t rouv6 2 groupes bien distincts car la s6rie (n, 0) donn6e par (6) se d6eouple. Les coefficients a~,o, (b~,o) s ' expr iment un iquement en

fonetion de a~..o, (b~.,0), doric dans le 1 ¢~ eas, (2 ° cas) t o u s l e s b~,o, (a~,o) sont ~ 0.

B) Cas de v entier. Le d6veloppement ~ r,,( a"] port~ d~ns (1) donne la relat ion de r~eurrenee: \b~/

(7) o

0 ](n, J~- 1) b.

- - 0 .

Cherchant les no minim~ on re t rouve les 2 c~s pr6c6dents.

1) /(no, J - - 1 ) = O ; a % ¢ O , b%=O, J / - - ( J - - l )

n o : J , - - ( J - - l ) &off les d6velop-

2) ](no J+~)=o, b% ¢O, a.o=0, (J+2-F et (--(J+l)+ pements \ J+2 ~)~ \--(J÷l) ~)~

no ---- J + 2, - - ( J + 1) d'ofl les d~velop-

La difference avec le cas v non entier v ien t de ee que les s~.ries (a~) et (b~}

6rant eoupl6es, aueune des deux n ' e s t =--0, &off la n6cessit6 de te rmes loga-

r i thmes suppl6mentaires. On t rouve trois groupes de syst6mes f o n d a m e n t a u x

diff4rents su ivant que ~ est ~ 2 J + 1 ou 2 < v < 2 J + l ou ~ < 2 avee des termes logar i thmes diff6rents su ivant les cas. Si ~ - 2 J + 1, d~ns (2) le dernier t e rme en u devient rJ(Lr)~4(r) et le 3~me en w r'1+2(Lr)y~s(r).

534 ~. COR~:LLE

On se limite dans ce qui suit ~ ~,~<2, ( v = l , 2). On obt ient les solutions

( u ) ( k = l ' 2 , 3 , 4 ) w

(u) (o,

les coefficients sont donn~s par

(w) 25 u = 0 et 25 u +25: - - 0 , 1 $ W 1

hi2) ~ : ) - - b ( 2 ) ~ O ~

( u ) = , L r ) ' ( : ) -]- 225r(U) -]- (~) w3 x a;

(1~ h(~) a C8~ b C3~ h ~s~ il y a 4 const~ntes =2~0/h(1) a~a) h(~) a~a~ ~ et 5 ~utres ~ 0 (aj+2~ ~j ~ j ~ -¢J-:~ ~J+2~.

L u O; +L1 ~ 0 donne pour n = J ÷ 2 la premigre relat ion; W l 2 W :

dcux autres relations.

il y ~ 7 constantes =/=0 [h (i) _(2l a(3~ h(a) h(s) _(3) h(s)~ et 7 autres

~W: 'W: / k / k [ ",

2 rela-

(:) tions pour n=J et J + 2 enfin L --~ 0 ~- 25 325: ~- 0 fourni t 4 2

pour n = - - ( J - - 1 ) , J, J + 2 les 3 derniSres relations n~cessMres. On t rouve

donc

( 1 " ~ ( r~-~-~[a-(:-t)+r"'J+r-~-~[a-(:-~)+'"J+""

~ : 2 ; \w/4"~°'325rrb (3) ± r ~± 1 rb(~) ±r~b (~' ±r~b (', ±r'b (') LL "

325r 1 (:) ) -(~-~, +...] + ... ( u ) ~ r~-:[a~-: '+r '"]+~ [a-~+r~a(',

v = l ; 1 [b_(~_~)~-r ...] + rb~):+ ~(~) ~ r~b ¢a)

D ~ T E R ~ I I N A T I O N DE LA £Y[ATRICiE ~ DANS LE CAS D E P O T E N T I E L S TENSEURS ETC. 5 3 5

I1 est facile de voir quels sont les termes plus ou uussi singuliers que ceux

de \ w / .=O \r_(,_,,+.] . Bemurquons que les coefficients de m~me 4criture

C) a ~ ou b~ ~ muis de solutions diffgrentes sont diff6rents car ils ne sont

pus dgfinis par les mgmes relations.

Remarques: 1) Si v~<2 on vol t donc q 'une solut ion (~r4guli6re ~) g4n4rule,

C) C) combinuison lin~uire de et se eomporte qu~nd r--> 0 comme Wl W ~

) ) ( g ) (v non enticr) ; ~ ( v = l ) ; ~ ( v = 2 ) . Br:+ ~ \ Br J+~ \ B( Lr)r J+~

2) Pour le syst~me p-p, duns l 'eq. (1) de d6purt, il fau t inclure le po- tentiel coulombien suppl~mcntuire, doric un t e rme qui ne couple pus los ~tuts J - - 1 et J + l . E t u n t donn~ le eompor t emen t en 1/r (quund r-->c~), les Y~ seront d~finis par leur curuet~re usympto t ique d'ondes coulombiennes entruntes ou sortuntes. E t u n t donn~ ce mSme compor tement en 1/r (quund r - ~ 0) le degr4 des diff4rentes solutions du syst~me fondumentul (2) reste le m6mc. Si VT(0)¢ 0 on peut d~velopper un formulisme sembluble it ce qui a 4t4 fuit en introduisunt duns les potentiels non tenseurs un pole du premier ordre.

5 . - C o n c l u s i o n .

Cette m5thode de d~termin~tion des coefficients des parties singuli~res des solutions que nous ~vons montr4e pour des potent ie ls non tenseurs d~velop- pables reste rulable s i c e s potentiels ont un pble du premier ordre (ex. poten- tiels de Yukuw~). Duns tous ces cus on pourr~i t en d~duire les propri~t4s d 'analyt ici t~ de la m~triee S. Cette m~thode ne s 'applique cepend~nt plus si les potentiels non tenseurs sont singuliers et quelconques (0 < ~ i < 2, $i quel- conque ¢ 1).

Je remercie le Professeur R. ~ATAF et le Dr. A. ~ABTI~ du CERN pour leurs suggestions utiles et pour m'avoir encourag6 ~ publier les r6sultats obtenus.

5 36 H. CORNILLE

R I A S S U N T 0 (*)

Si possono de te rminare , ne l l a mecean iea quunt i s t iea non re la t iv is t ica , le (~ funzioni di J o s t , (caso non accoppia to (1,3) c caso accoppia to (4)) cons iderando un gruppo ~on- damen ta l e di soluzioni defini te del loro c o m p o r t a m e n t o as intot ico, in en t r a t a o in uscita. D imos t r e r emo che nel caso accoppia to , in cui i potenzia l i tensori soddisfano la V~(0)~ 0, d iv iene difficilissimo appl icare lc eondizioni di regolar i t£ alle soluzioni fisiche, ehe sono combinaz ioni l inear i del g ruppo fondamenta le . I1 procedime~to usuale per cs t ra r re le pa r t i s ingolar i per r = d ci p e r m e t t e di e l iminare solo una delle due soluzioni singolari. Vedremo come, in alcuni casi, poss iamo o t t ene re iI cont~ibuto della s o h z i o n e meno singolare facendo uso di uno svi luppo finito della soluzione pifi singolare. I n quest i casi le condi- zioni di regolar i t~ sono, soddisfat te .

(*) T r a d u z i o n e a e u r a d e l l a R e d a z i o n e .


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