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Diffrences nies pour la rsolution numrique des quations de la mcanique des uidesRISSER Laurent 4 fvrier 2006

Table des matires1 2 Introduction Rappels sur les quations aux Drives Partielles 2.1 Classication mathmatique . . . . . . . . . 2.1.1 Transformations non singulires . . . 2.1.2 EDP hyperboliques . . . . . . . . . . 2.1.3 EDP parabolique . . . . . . . . . . . 2.1.4 EDP elliptiques . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Problme bien pos . . . . . . . . . . 2.2 Systmes dquations . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Exemple de systme linaris . . . . 2.2.2 Systmes dquations dordre un . . . 2.2.3 Systme dEDP dordre deux . . . . . 2.3 Exemples dEDP intressantes . . . . . . . . 2.3.1 Equation donde linaire dordre un . 2.3.2 Equation de Burgers non-visqueuse . 2.3.3 Equation de Burgers . . . . . . . . . 2.3.4 Equation de Tricomi . . . . . . . . . 2.3.5 Equation de Poisson . . . . . . . . . 2.3.6 Equation dadvection-diffusion . . . . 2.3.7 Equation de Korteweg-de-Vries . . . 2.3.8 Equation dHelmoltz . . . . . . . . . 7 9 9 9 10 13 14 15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 19 19 20 20 21 22 23 23 24 24 24 24 25 25 26 27 27

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Rappels sur les diffrences nies 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Construction de schmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Exemple de schma pour une quation diffrentielle 3.2.3 Exemple de schma pour une EDP simple . . . . . . 3.3 Erreur de troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Consistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Stabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Erreurs des la discrtisation . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Forme conservative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les quations de la mcanique des uides 4.1 Navier-Stokes compressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Cas incompressible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Diffrences entre le cas compressible et le cas incompressible 4.4 Classication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

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Diffrences nies pour quations modles 5.1 Equation donde dordre . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Mthode de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Schmas explicites dEuler . . . . . . . . . . . 5.1.3 Schma explicite rgressif . . . . . . . . . . . 5.1.4 Schma dEuler implicite . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Schma Leep Frog (saute mouton) . . . . . . 5.1.6 Autres schmas . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Mthode de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . 5.2.3 Gnralisation de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Equation de la chaleur 5.3.1 Adaptation des schmas . . . . . . . . . . 5.3.2 Mthode ADI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Equation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Formule cinq points . . . . . . . . . . . . . . (linaire) . . . . . . . . . . . 5.5 Equation de transport 5.5.1 Schma explicite FTCS (Roache 1972) . . . . 5.5.2 Schma implicite de Crank-Nicolson . . . . . 5.6 Equation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Equation de Burgers non linaire . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Schma implicite de Bridley-Mc Donald (1974) Rsolution numrique de Navier-Stokes incompressible 6.1 Prsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Ecoulement stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Mthode de la compressibilit articielle . . 6.2.2 Mthode Marker And Cell (MAC) . . . . . . 6.2.3 Stabilit du schma MAC . . . . . . . . . . 6.3 coulement instationnaire . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Mthode de projection . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Mthode de projection implicite . . . . . . . 6.3.3 Mthode SIMPLE . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Fonction de courant, vorticit . . . . . . . .

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29 29 29 32 32 34 34 35 35 35 35 35 35 36 38 39 39 40 41 42 42 42 43 45 45 45 45 46 48 50 50 52 53 54 59 59 60 61 62

6

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Mthodes spectrales 7.1 Approximation pseudo-spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Calcul pratique de lapproximation pseudo-spectrale des drives . . . . . . . . 7.3 Mthodes pseudo-spectrales pour la rsolution dquations aux drives partielles. 7.4 Lanti-aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

6

Chapitre 1

IntroductionVous tes vous dj demand un jour ce qutait un modle ? Cest une reprsentation simplie de la ralit physique. Par simplication, on entend la ngligence des phnomnes peu inuants lchelle tudie. Par exemple si lon tudie lcoulement de lair autour dune automobile, on ne prend pas en compte le mouvement de chaque particule de lair. On moyenne sur de petits volumes la vitesse et la pression induits par les particules. Ces volumes sont petits par rapport la taille de lobjet tudi mais trs grands par rapport a lchelle microscopique. La mcanique des uides fourni une multitude de modles pour tudier des uides plus ou moins visqueux, compressibles ou incompressibles, stationnaires ou instationnaires. Dans le cadre de ce cours, nous allons tudier des mthodes numriques qui permettent de rsoudre les modles couramment rencontrs en mcanique des uides non compressibles. Avant de rentrer dans le vif du sujet, positionons ces mthodes par rapport aux mthodes exprimentales et thoriques En toute logique, lapproche exprimentale est la plus raliste. Cependant elle est la plus coteuse. Elle peut aussi poser des problmes dchelle. Par exemple, lanalogie des Reynolds nest pas toujour respectable. De mme, elle pose des difcult lies aux mesures. Les outils de mesures sont intrusifs ce qui peut fausser les rsultats et poser des difcults daccs certaines zones. Les conditions limites ne sont pas non plus forcment idales. Enn, les tudes paramtriques sont longues. Lapproche thorique demande de modliser le phnomne physique tudi. En supposant que le modle est bon lchelle tudie, cette approche a la grande qualit de fournir une solution exacte. Son principal dfaut est quil est souvent ncessaire de simplifer la gomtrie ainsi que la physique de lobjet tudi et son environnement. De mme, les problmes non linaires ne sont pas traits. Tout comme lapproche thorique, lapproche numrique demande de modliser le phnomne physique tudi. Contrairement la premire, elle permet de prendre en compte des quations bien plus complexes dont les non linaires (les quations de Navier-Stokes par exemple). De mme, une gomtrie plus complexe et lvolution en temps peut tre prise en compte. Lapproche thorique a cependant aussi des limites. Elle implique des erreurs lies la discrtisation (troncature et convergence) et la rsolution (arrondis). Elle pose aussi des problmes lis aux conditions limites. On peut signaler que bien des phnomnes ne sont pas encore modliss. Enn, il faut bien avoir en tte que les machines qui vont rsoudre le problme nont pas une mmoire et une cadence dhorloge innie. On doit donc tudier des domaines de taille et de nesse raisonnable.

7

Concentrons nous maintenant sur la mcanique des uides numrique. Les quations, typiquement des EDP sont un modle de la ralit. Les solutions exactes des modles de la mcanique des uides, typiquement des EDP, sont trs rares. Il est donc souvent ncessaire de discrtiser ces quations pour produire un rsultat approch sur ordinateur. Les uides sont dcrits par diffrentes quations suivant que lon se place dun point de vue Lagrangien ou Eulerien. Le premier consiste tudier le mouvement de chaque particule dun uide, alors que le second consiste dcrire le uide par ses caractristiques globales que sont la densit volumique, la vitesse et la pression. Nous nous focaliserons ici sur le point de vue Eulerien. Il est important dtre conscient que le traitement dun problme de grande complexit implique un grand nombre de points dans le maillage. Il est donc ncessaire de possder de bonnes capacits en terme de mmoire et de rapidit CPU. On peut constater quavec le temps, les cadences processeur et la taille de la RAM ne cessent daugmenter. A ceci sajoute lamlioration constante de lefcacit des algorithmes de rsolution dEDP. Il est donc possible de traiter des problmes de plus en plus nement.

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Chapitre 2

Rappels sur les quations aux Drives PartiellesLes lois de la nature sont souvent gouvernes par des EDP. Il est donc important de comprendre le comportement physique des modles ainsi que le caractre mathmatique des quations.

2.1 Classication mathmatiqueOn distingue EDP linaire et EDP non linaire. Les EDP linaires ne contiennent aucun produit de variable avec elle mme ou une de ses drives alors que les EDP linaires peuvent en possder. Par exemple : Equation de propagation donde (linaire) : " G !

Equation de Burgers (non linaire) : C A 9 7 5 DB@! 86

avec qui dpend de et de et une constante. Nous nous focalisons ici sur les EDP linaires. Les EDP non linaires seront lobjet dtude des derniers chapitres de ce cours. La classication des EDP linaires se fait sur la base dune quation dordre 2 standard :4 3 2 ) & ( ( $ $ ' ( $ ' $ 0 1( $ 0 $ ' %#

(1)

sont fonctions de . Cest une quation linaire. Le type de lEDP o dpend de son discriminant, : alors, lEDP est hyperbolique. alors, lEDP est parabolique. alors, lEDP est elliptique.

2.1.1 Transformations non singuliresC W U FB9 V7 C A 9 DB@! 7

Supposons une transformation de le jacobien de la transformation :CDB@! 7 A 9 Y C W U DB9 V7 Y X X

Calcul de lquation transforme : 9

b Sc W ( P ( W a `` U U

`

`

( W W

I ) # P & H C A 9 FBE! 7 ( U ` ` U ` `

4 9 3 9 2 9 ) 9 & 9 #

T RG S G Q RG

vers

(variables indpendantes) non singulire.

Le discriminant de (2) est :C ) # P H & 7 H I X H C W ( P ( W V7 C ) # P H & 7 U U I

2.1.2 EDP hyperboliquesPrsentation Lexemple le plus simple dEDP hyperbolique est lquation de propagation dune onde (advection) : S H ! H Y Y H " H Y Y

secondes :2 1.8

secondes :1.4

Q H

or

donc lquation transforme est du mme type que lquation initiale.

) H ( W 0 ( W ( U ) ( W ) H ( U 0

I P H

& ( W W ' U & W ( U U &

H W # U # H U #

avec :

1.6

1.4

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 5

4

3

2

1

0

1

2

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 5

4

3

2

1

0

1

2

10

W

$

C W U 5 FB9 V7 H 6

U $

H W

$ $ $

$

( $ W U

mmes calculs pour , , En remplaant dans (1), on trouve :

$

( 1( $

( $ H

U $

W

$

C $ 7 $ U $ $ X

(2)

3

4

5

3

4

5

Une des caractristiques des fonctions rgies par une EDP hyperbolique linaire est que leur nergie ne sattnue pas au l du temps.

Interprtation par caractristiques Une caractristique interprte la vitesse et direction laquelle est transporte linformation au cours du temps. Pour une quation :

et

prop.

Par exemple :! 4 C B9 7 ! 9 H )

Cette quation rgit la propagation dune onde sonore vitesse en milieu uniforme dans le temps et lespace. Les courbes caractristiques de ce problme sont les courbes intgrales de :)

11

C A 9 DB@! 7 W

A ! W C A 9 7 FBE! DU

on cherche les coordonnes caractristiques et telles que le long de ces carctristiques. Pour (3), on aA U W U

! H " )

! 2 A 2

C A 9 7 5 FBE! 86

$ !#" !

)

C !7

55 76 4 2 3 0 2 1 )

) # I

H ) I

# H &

( 1( $

&

$ & (

" 2 ! 2

%('&

H

%# $

I a

H "

secondes :1 0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

(3) ,

et avec :

)

On dit que linformation se propage le long des caractristiques. (ie : en prenant comme C.I. un Dirac en et ailleur, on va observer son dplacement le long des caractristiques) Domaine born Pour que le problme soit bien pos, il faut xer les valeurs de la fonction l o les caractristiques sont entrantes.

Intuitivement, on voit bien que si lon impose une Condition au Bord l o la caractristique est sortante, linformation ne rentre pas dans le domaine tudi. Cette condition est donc inutile. Paralllement, l o les caractristiques sont entrantes (C.I. incluses), linformation au bord pntre dans le domaine. 12

!

2.1.3 EDP paraboliquePrsentation Une EDP parabolique modlise des problmes de propagation dissipative. Un schma classique est celui de la diffusion (conduction de la chaleur) : H C " BB9 7 Y Y " Y Y

remarque : Beaucoup de formes rduites de Navier-Stokes sont gouvernes par des EDP paraboliques. Interprtation par caractristiques Ici, les caractristiques ( ) sont nulles. Elles ne jouent donc pas le mme rle que pour les quations hyperboliques et navancent en rien pour lexplication du mouvement. Domaine born Ici, sur tous les bords dun domaine born, de linformation est entrante. En effet, chaque pas de temps, linformation stale dans toutes les directions au niveau spatial. 13! 2 " 2

" C B9 7

3

C !

7

" 9 C B@! 7

C !

Pour les C.I. solution exacte :

et les conditions aux bords

H !

7

, on a la

2.1.4 EDP elliptiquesPrsentation En mcanique des uides, les EDP elliptiques sont associes aux problmes stationnaires. Elles ne modlisent donc plus des problmes dvolution comme dans le cas hyperbolique ou parabolique. Les conditions initiales nont donc pas la mme interprtation (elles deviennent des conditions limites). Une EDP elliptique type est lquation de Laplace : S H A Y $ H Y H ! Y $ H Y

Cette quation gouverne les ux incompressibles potentiel. Par exemple, pour le domaine , et les conditions aux bords :C !

Interprtation par caractristiques Les caractristiques sont en gnral complexes pour un problme dordre 2. Elles nous sont donc inutiles ici. Domaines borns Un point lintrieur du domaine inue sur tout le domaine et donc sur tous les bords. 14

(

La solution est :

C " 7@ 9 ! C ! 7 C @7

Les C.I. doivent tre des conditions de Dirichlet ( tions de Dirichlet ( ), de Neumann ( ncessaires.C " 85 7 " C B9 2

). Aux bords, des condi), ou bien mixtes sont

C A S DB9 7 $ 3 C !

3 C !

7 7

7

C A FB9 7 $ 9 C @! 7 $ 9 C @! 7 $

C A 9 DB@! 7 $

%('&

7

4 9 1 ) A 4 9 1 )

!

Aux bords, des conditions de Dirichlet, de Neumann ou bien mixtes sont possibles. Il faut toutefois prendre garde en utilisant des conditions de Neumann. Lquation gouvernante doit tre consistante avec les conditions aux bords via le thorme de Green : 2 $ H ! Y Y ) ! ! Y

2.1.5 Problme bien posLe problme dune EDP+C.L.+C.I. est bien pos si la solution existe, si elle est unique et si elle dpend avec continuit des C.L. ou des C.I. ie, une petite drivation dans les C.L. ou les C.I. produit une petite drivation dans la solution. Cf : Hadamard, 1932

2.2 Systmes dquationsEn gnral, la physique dun phnomne se modlise par un systme dEDP. De mme, une EDP dordre lev peut normalement se poser sous la forme dun systme dquations dordre un.

2.2.1 Exemple de systme linarisLquation donde dordre deux est : H )

15

Y )

Y )

Y

"

"

Y

Y

Y

Y

%

alors : ' &

"

Y

Y

On introduit

et

, deux variables indpendantes telles que : et

24

2.2.2 Systmes dquations dordre un

[ ] [ ] le vecteur dinconnuesC " 9 BBE! 7 C A 9 ! DB@B9 " 7 C A 9 ! DB@B9 " 7

On distingue deux types dEDP dordre un dans la direction : Si les valeurs propres de [A] sont relles et distinctes, le systme est hyperbolique dans cette direction. Si les valeurs propres de [A] sont complexes, le systme est elliptique dans cette direction. , on observe les v.p. de [B] et on suit le mme raisonnement. Par Pour la direction exemple pour lquation donde :S H ) H C B8A 7 " 9

donc :

2.2.3 Systme dEDP dordre deuxCest trs complexe. Le seul cas simple est le systme dEDP :

Ce systme est parabolique (en temps) si toutes les v.p. de [A] sont relles.

2.3 Exemples dEDP intressantes2.3.1 Equation donde linaire dordre un S Y Y ) Y Y

Propagation dune onde vers la droite la vitesse .

2.3.2 Equation de Burgers non-visqueuse S Y Y Y Y

Propagation donde non linaire monodimensionnelle. La non linarit est de au terme 16

C B@! 7 " 9

Le comportement est hyperbolique dans la direction

)

H !

)

H

Y

Y

4 1

CDB9@B9 A ! 7 5 & 5 #

)

!

!

H

``

`

`

)

Y

"

"

"

Y

) `

3

%

avec :

S

Y

A

Y

4 1

Y 4 1 Y

!

' &

Y

Forme gnrale :

)

et

)

" ` ` ` Y

avec :

S

Y 4 Y !

1

Y" Y

donc :

.

2.3.3 Equation de Burgers H Y Y Y Y Y ! H A ! H H A H Y 0 ! Y Y 0 ) Y Y Y Y Y Y H ! H Y " " Y A H ! H Y Y Y

Cette quation est un modle 1D de Navier-Stokes. Elle nest pas linaire.

2.3.4 Equation de Tricomi H Y

Problme mixte : elliptique ou hyperbolique suivant le signe de . Modlise par exemple les coulements transsoniques non visqueux.

2.3.5 Equation de PoissonY

2.3.6 Equation dadvection-diffusion H

2.3.7 Equation de Korteweg-de-Vries

Ondes non linaires dispersives.

2.3.8 Equation dHelmoltz H

Ondes harmoniques en fonction du temps avec propagation dondes acoustiques dans un milieu 2D.

17

C A 9 DB@! 7 4

Conduction thermique dans un solide avec source

.

le paramtre de frquence. Exemple :

A

S

C A 9 DB@! 7 4

H ! H !

S

!

Y

H A Y

Y

H !

H

"

Y

Y Y Y Y Y

18

Chapitre 3

Rappels sur les diffrences nies3.1 IntroductionLes diffrences nies sont une mthode de rsolution numrique des EDP (avec les lments nis et les volumes nis principalement). Avec les schma de ce type, les erreur des la discrtisation sont polynomiales (ex : en ). Pour la rsolution dune EDP de dimension de lespace de pas et du temps de pas . exemple, pour : " G 5 ! G

On construit ainsi une grille. On note :

Les diffrences nies consistent approcher les oprateurs de drivation par des oprateurs discrets de drivation. Par exemple, pour :C

19

B!9 6 " 7

C "

C

!

!

G

G

Les noeuds de la grille sont les coordonnes

)

6 B!9 9 ! 7

pour pour

)

C H ! 19 " G 7 G

B!9 6 " 7

5!

" G

G

(espace+temps), on introduit un maillage

C

B!9 " 7 ! Y

5!

"

Y

6

.

.

Nous tudions dans la prochaine section la construction de tels schmas pour une quation diffrentielle et une EDP avec un terme en espace 1D. Pour lEDP, nous distinguerons schma implicite et schma explicite. Les sections suivantes traitent des problmes que provoquent la discrtisation.

3.2 Construction de schmas3.2.1 Ide

et :

Lquation est appele lapproximation droite de et lquation lapproximation gauche de . Ces deux quations sont cependant grossires puisquelles sont en . Lquation , appele approximation centre de , est plus prcise puisquelle est en . Quand lquation , il sagit de lapproximation de et elle est aussi en . Passons maintenant en dimension deux. On considre maintenant comme une fonction de deux variables de classe . Le principe dapproximation des drives est exactement le mme. Si et tendent vers , nous avons : C I C !7

20

7

! G C H ! G7 CDAB9@! G ! 7 FBE! G ! 7 C A 9 ! G C ! G7 CDB9@! G ! 7 FBE! 7 A C A 9 ! G C ! G7 C A 9 FBE! G ! 7

C H 7

C H 7 C !7 C !7 C 7 C !7 C !7 C !7

C !7

C !7

C

C 7

!7

C A 9 DB@! 7

C !7

H C !7

C

C

7

!7

C

C !7

C !7

C !7

C A 9 FBE! 7

C A 9 FBE! 7

C A 9 FBE! 7

C !7

C C !7

C

En combinant

et

, il vient naturellement :

C

C

7

7

C !7

C !7

I

I

C !7

C !7

Soit une fonction dune variable, de classe mulations suivantes (formule de Taylor) :

. Si

tend vers , nous avons les deux for-

(3.1) (3.2)

(3.3) (3.4) (3.5)

(3.6)

(3.7) (3.8) (3.9)

"7

H

H

C !7

C !7

C !7

C !7

7

C

C

7

7

! Y

! Y

!

!7

!7

C

Y

Y

Y

Y

7

C

C ! G

C H 7

A G

! B9 " G "7 C H 7

o

B!9

est lapproximation de

, la fonction continue rgie par lEDP au point

C 7

! G

HC

5 ) C 5 " H 7 et

H 5 & C ! ,

5#

C H 7

C

H 5 4 C H 7 5 C 5 H 7 5 0 C 7 5 %('& C H 7 5! 5 C 5 ! 7 C 5 ! 7 4 C 5 ! 7 C 5 ! 7 C 5 ! 7 C 5 !H 7 C 5 !7 C 5 !7 C 7 C 7 5 ! 7 C 5 ! 7 C 5 ! 7 ! 2 2 C 5 ! 7 C 5 ! 7 H H ! 2 2 C !7 4

5

C

9 9 S

5!

Q cC ! 7

1 9 4 0! )

C !7 4

C !7 C !7

C A 9 DB@! G

3.2.2 Exemple de schma pour une quation diffrentielle

Il en est de mme pour les drives par rapport la variable . Ces formules permettent de comprendre la discrtisation qui va seffectuer sur les quations aux drives partielles.

A

C H ! G7

H ! G C A 9 ! 7 0 DB@! 7

C A 9 FBE! G

!7

Considrons le problme suivant :

Nous supposons , et sufsement rgulires avec en points. Le pas du maillage est :

4

C ! 7 B C ! 7

C 7 C 7 C ! 7 B

%('&

CDAB9@! 7

H ! H Y Y

Notons systme :

Il reste tudier lordre du schma, sa consistance et sa convergence. Nous verrons plus tard dans ce chapitre comment faire.

0 ( (( (( )(('

2) 14 H

4

% $ $$ $$ #$$

% 0 $( $$ (( $$ (( #$$ )(('

4 H 4 # 4

0 H ( (( H (( )((' 7

On nglige le terme

Nous utilisons les approximations

Le systme est vri en chaque point du maillage :

Et les noeuds du maillage sont :

et :

..

.

. En notant

et

la valeur approche de

21

&& # ) H &H

%

:

. . .

. Nous aboutissons alors au

. Subdivisons le segment

aux points

. . .

& H # H $$$ H ) & ) #$$$$ 7

, on obtient : (3.10)

5 !7

4 9 1

3.2.3 Exemple de schma pour une EDP simpleConsidrons lquation suivante (quation de la chaleur) :

condition initiale condition limite

On peut considrer quil sagit de lvolution de la temprature dune barre soumise aux extremits une temprature nulle. schma explicite" G

En utilisant pour la drive temporelle une approximation droite, on obtient :

le schma se pose alors : C !7 $

On connat les , on en dduit les et ainsi de suite jusquaux . Ce schma est dit explicite car les se dduisent directement des . Dans ce genre de schma, aucun systme dquation nest rsoudre (pas de matrice inverser numriquement ! ! !), le nouveau pas se dduit des pas prcdement calculs. schma implicite Discrtisons la mme quation avec le mme maillage mais utilisons cette fois une approximation gauche pour la drive temporelle :

Ce simple changement semble anodin. En fait les modications engendres sont trs importantes. Observons le nouveau schma :

Ce schma ncessite la rsolution dun systme dquations. Au temps tions scrit : .. . .. ..

22

0 6

E

%

H

.

0

66 % 0

.

.

(

..

..

. . .

. . .

((

$$

(

H

.

( )((' 6 6"

((

6

E

)

)

9 9 9 9

9 9 9 9

6 6

#$$

$$

$$

6 16

! G

" G

" G

)((' 6

(( 6

6

H

H

!

Construisons un maillage rgulier. on note lapproximation de . noteC B9 "

avec

et

le systme dqua-

6"

9 9

1 9 4 1 9 4 )

C " 9 BBE! 7

C " " S BB9 7 C B9 C !7 9 $ C E!

" C B9

C 6 B9 ! 7 "

$ (( $$ (( #$$ )((('

6

!7

C ! 7 $

"

"

Y

Y

Y

Y

6

6

6

!7

7 7

6

6

% &'

. On

$$$$ #$$$

%

' &

%

' &

6

%

6

soit :

avec et . Trouver les partir des ncessite ici la rsolution dun systme i.e. linversion dune matrice. Le systme est ici tridiagonal. On peut le rsoudre facilement par lalgorithme de Thomas, spcialement adapt aux matrices bandes. Un tel schma est implicite. La discrtisation du problme induit plusieurs problmatiques que nous tudions dans les y sections suivantes. Nous y analyserons des problmes de dimension 1. La valeur de est toujours approxime par .C

3.3 Erreur de troncatureLe calcul des erreurs de troncature est usuellement bas sur les dveloppements de Taylor. Par exemple, pour lquation de la chaleur : S H Y

On utilise un schma explicite centr en espace :H ! G C 7 6 6 6

En dveloppant et par dveloppement de Taylor, soustrayant les rsultats et divisant le tout par , on retrouve lerreur de troncature sur le temps, . En suivant le mme principe avec le terme sur lespace, on trouve une erreur en . Au nal :" G H ! G C 6 6 6 7 6 6 C B" G 7 C H ! G7

E.T. .C H ! 19 " G 7 G

3.4 ConsistanceUn schma aux diffrences nies est consistant si : S

E.T

Des problmes peuvent se poser si lerreur de troncature varie comme est oblig de rafner de sorte que

23

E

avec E.T., lerreur de troncature. Lordre de lerreur de troncature est

. Dans ce cas, on

! B9

6 "7

6

%

.

6

0

..

H !

Y

"

Y

Y

6 6

" G

%

6

6 16

. . .

..

.

..

.

..

.

. . .

..

.

0 6 (( (( (( )((' 6

$$ ( $$ (( $$ (( #$$ )(('

$$$$ #$$$

H !

E H H Y Y

0 H 66 % ( H $ (( 6 $$ )((' 6 #$$

"

Y

Y

" G

3.5 StabilitCe concept sapplique aux problmes dvolution. Par dnition, un schma numrique est stable si les erreurs (darrondi, de troncature,...) ne peuvent pas crotre pendant la procdure numrique dun pas de temps au suivant. Un schma peut tre : Inconditionnellement stable : Quels que soient et les erreurs causes par le schma numrique nexplose pas au l des itrations. Conditionnellement stable : On doit poser une condition sur et pour que la solution nexplose pas. Inconditionnellement instable : Quels que soient et les erreurs samplient au l des itrations. Ceci cause des rsultats compltement faux.

3.6 ConvergenceUn schma convergent est un schma numriquement saint. Une condition ncessaire la convergence dun schma est :

STABILITE

CONSISTANCE

Ce thorme est applicable pour les EDP linaires. On le suppose aussi valable dans le cas non linaire.

3.7 Erreurs des la discrtisationIl en existe deux types, les erreurs darrondi ( ) et les erreurs de discrtisation ( ). Les premires sexpliquent par le nombre ni de chiffres aprs la virgule et les secondes par les erreurs de troncature. On a : C 7 C

sol. exacte de lEDP7

sol. trouve par lordinateur

3.8 Forme conservativeUne EDP pose sous forme conservative possde la particularit suivante : Ses coefcients ne se retrouvent pas dans les drives. Par exemple : Forme non conservative S

Forme conservative S

Equ. de continuit et Equ. de la chaleurC " 9 BBE! 7 4 C "B9@ ! 7 C ! 7 C !7 ) ) C !7

Avantages de la forme conservative : Meilleure prise en compte des EDP avec coefcients non continus (ex : ondes de choc). Prise en compte du principe de conservation sur une rgion nie. Ceci implique la suppression de petites sources et de petits puits de matire (sauf aux bords du domaine). 24

5

5

! G

" G

! G

)

! G

" G

" G

)

C 9 9

9 9 7

4 " 5 H C 7 1 ! !

5

0 (( )((' 0 (( )((' 0 (( )(('

( H ( (

C

7

%

C

$$

(

( ( ( (1( (

(

7

#$$ % $$ 7

H

#$$ %

C ( ( H

$$ #$$

0 (( )((' S

% $$ #$$Y Y

avec :

Y Y

A

! Y

Y

"

YY

4.1 Navier-Stokes compressible

Les quations de la mcanique des uides

Chapitre 4

Les quations de Navier Stokes compressible sous forme conservatives sont :

o :

7 3

nergie totale par unit de volume nergie interne par unit de masse tension visqueuse (Newtonienne) =

C

H

3

(loi de Fourier) (pour gaz parfait

0

0 )& ( ' &,

,

1

#

%

25 3 3 C

# $7

alors

)

Si on re-crit ces quations sous forme adimensionnelle avec : = longueur caractristique = vitesse caractristique = temps caractristique = viscosit dynamique caractristique = masse volumique caractristique = = pression caractristique = temps caractristique = = nergie interne caractristique , , , on retouve les mmes quations avec : et les quations dtat sont : C

La pression a une signication thermodynamique dans le cas compressible.

4.2 Cas incompressible

Le cas incompressible (avec S "

= const) se traduit par :

la masse volumique est constante le long dune ligne de courant

Si

est constant en amont alors

est constant partout dans le domaine. Alors : S

avec : : le produit tensoriel entre et . : le produit vectoriel entre et .

26

C 9 7

Lquation de Navier-Stokes en variables primitives tive) :

(Equation de mouvement) (Equation de continuit)

et

est alors (forme non conserva-

H

#

' &

P

' &

H

(

S

3 C

4

# c$7

(

S C 7

C 7 (

3 0 H 3 H

& ! '"

7

C

$ %

! "

) 0

#!

H

# $7

% &'

( ( (

(

(

Ici, la pression a une signication mcanique et non pas thermodynamique. La forme conservative des quations de N.S. est :

tenseur

car :C

nul dans le cas incomp.

4.3 Diffrences entre le cas compressible et le cas incompressibleLe cas incompressible na pas une quation dvolution pour la pression ; donc on ne peut pas produire une solution directe pour toutes les variables (comme cest le cas pour les quations compressibles). ) ou supersonique ( ). Si Le cas compressible peut tre subsonique ( , on peut avoir des difcults numriques pour lapparition dondes de choc, de rarfaction, lignes soniques et discontinuits de contact. Par exemple, la prsence dune ligne sonique spare la rgion elliptique ( , ) de la rgion hyperbolique ( ), do des problmes de technique numrique.Q

4.4 ClassicationLe modle dEuler est celui dun uide dont on ne tient pas compte de la viscosit (uide parfait).Q

Euler station. Euler instation.

Ellipt. Hyperbo.

Parab. Hyperbo.

Hyperbo. Hyperbo.

N.S. instationnaire : Compressible : Type hyperbolique - parabolique (en temps) Incompressible : Type elliptique - parabolique (en temps) N.S. stationnaire : : elliptique : hyperbolique Equations de la couche limite (cas compr. et incompr.) : Parabolique en x (direction dvolution). Pour des problmes complexes, le modle se divise en plusieurs parties. 27 T Q

Q

Q

9

H

$ # "

4

7

T

C

S C 7

!$ " ! 7 C 7

T

T

) 0

%

' &

Evidemment, les techniques diffrent selon le type dquations.

28

Chapitre 5

Diffrences nies pour quations modlesDans un cadre pdagogique, ces quations sont intressantes car elles ont des solutions exactes. Elles permettent de comparer les rsultats des schmas numriques aux rsultats idaux. Ceci est intressant pour valuer lefcacit des schmas. Dans un cadre plus pratique, ces quations permettent souvent de modliser le comportement dEDP plus complexes.

5.1 Equation donde dordre Y ! Y ) H

Cette quation est un modle pour un coulement instationnaire non visqueux. Pour la condi, sa solution exacte est . Nous avons vu au tion initiale chapitre que linformation initiale se propage le long de la caractrique (ici : ).

5.1.1 Mthode de LaxPrsentation) 6 6 0 C

non unif. consistant

Etude de la stabilit Ltude de la stabilit de ce schma va nous servir dexemple pour prsenter deux notions importantes, la dissipation articielle (lie au comportement en amplitude de lerreur) et la dispersion (lie au comportement en phase de lerreur). Avant toute chose, il est ncessaire de remarquer que lerreur numrique et la solution exacte ont les mmes proprits de croissance dans le temps. Les erreurs dans un systme stable ne 29

4 $H " #!" G G

9 " G

1

avec

lindex de temps et lindex despace. Ici, lerreur de troncature est :

)

B B

B C"

)

!7

C " 9 BBE! 7

! G

Q )

" G

" 7

Y

Y

16

C !7

9 C @! 7

croissent donc pas dans le temps. S "

La mthode de stabilit est celle de von Neumann (ou de Fourier). Lerreur initiale ( y est dcrite sous la forme dune srie de Fourier :

)

et reprsentent le min. et le max. de la gamme nie de longueurs dondes. Cette gamme contient points de discrtisation. On suppose que lerreur pour chaque mode de Fourier est sous la forme :C

Le facteur damplication peut aussi se poser sous la forme :9 @

erreur damplitude

dphasage

Le dphasage sinterprte comme la translation de chaque mode de Fourier dans le schma.

30

$

4 2 530

"

7 8

6 1

4 2 0 531

H 5

Une condition quivalente de stabilit est

(poser

$

$ 5 3 C !

G 7

H

$

#" C !

G 7 "

( )

& '

5 3 5

5

o

est le nombre de courant. ).

$ %

C ! G 7

est le facteur damplication pour le mode de Fourier donc : #

6 C 6 C

Or, on a : 7 7

4C !

G 7

"

1

! G G )

C ! G 7 " !

C ! G 7

5

)

En dveloppant (avec

), on obtient :

. La condition de stabilit est

5

6 6

! G " G )

C

6 6

!

de sorte que litration). Lquation de lerreur est :

. Il faut bien noter ici le terme

puissance

H

H

!

765

7

soit soit

65

H

! G

" 9 C B@! 7

7

765

5 5 3 6 6 6

5

16

5

9 C @! 7

E

765

avec implique :

une longueur donde et

le nombre donde correspondant. Le maillage

4 ! 1

9 C @! 7

9 C @! 7

(

5

Solution exacte

Solution approche numriquement

Si et (pour chaque mode de Fourier) on na pas derreur damplitude ni de phase. On observe donc ni dissipation articielle (erreur damplitude) ni dispersion (erreur de phase).

5

31

5.1.2 Schmas explicites dEulerC H ! 19 " G 7 G

Schma dcentr progressif (en temps et en espace) dordre) 6 6 6 16

:

Ces deux schmas sont inconditionnellement instables si . Cela se vrie par tude de stabilit de Von Neumann. Ces schmas ne peuvent donc pas tre utiliss.

5.1.3 Schma explicite rgressifPrsentation Q )

Pour

le schma qui marche est celui-ci :

tude de la diffusion numrique En gnral les quations hyperboliques ont peu ou pas de dissipation. Toutefois, le schma numrique induit souvent de la dissipation articielle (perte damplitude). Il se peut aussi que la vitesse de propagation de londe soit change par dispersion articielle. En effectuant des dcompositions de Taylor pour ) et en les injectant dans le schma, on obtient : ) 0 ! G " G

et pour

eq. donde

E.T.

En liminant toutes les drives temporelles droite, on obtient :

Cette dernire quation est lquation modie. Le terme de droite est une autre criture de lerreur de troncature. On peut remarquer que lE.T. contient un terme en . Celui-ci est similaire un terme visqueux dans lquation de Navier Stokes. Quand , on introduit donc de la viscosit articielle dans la solution. E b C 7

32

C 7

$

6

H ! G

H

C 7 H ! G )

H " G

4

16

" 19 G G G H " G ! 19 " G H ! 19 ! G H

#"

$

! G ) " G

C ! 19 " G 7 G

Son erreur de troncature est montre que la mthode est stable si :

. Une analyse de stabilit de Von Neumann nous

Q )

) 6 6 6 16

6 6 ) 6 16

! G

! G

C H ! 19 " G 7 G

$

" G

Schma centr en espace dordre

:

! G

" G

" G

(pas besoin de toucher

1

$ " # ) H

)

6

Si le terme principal de lE.T. est du type , on observe la place un phnomne de dispersion qui change les relations de phase entre les diffrentes ondes.

Dun point de vue gnral si le terme dominant dans lE.T. contient une drive : paire : On observe principalement des erreurs de dissipation. Cest typiquement le cas pour les scmas dordre un. impaire : on observe principalement des erreurs de dispersion (ou wiggles). Cest gnralement le cas pour les schmas dordre deux. Leffet combin de la dispersion et de la dissipation est la diffusion numrique. Il est important dtre conscient quil existe une relation entre le facteur damplication de lanalyse de Von Neumann et lquation modie.5

Remarque

Il a t montr quune condition ncessaire de stabilit pour un schma numrique dont le terme principal de lE.T. est en est que le coefcient qui lui est rattach soit infrieur zro.

Si , on limine la viscosit articielle. On retrouve donc la solution exacte. Ceci est en gnral faisable sur une quation linaire mais impossible sur tout le domaine avec une quation non-linaire.

Remarque

33

C 7

) 6 6 0 6 16

! G

9

6

6

$0 ( (( (( (( ((

$ 9 $ #" 6 H7 $ 9 " $ 0 16 %

(( (( (( ((

$$

)((' 6

" # $6 $6 % $$ $$ $$ H 6 $$$. . . . . . . . .

$$ $$ #$$

#$$

)((' 16

H 7

0 1 6 $6 % ( $ (( $$ (( $$ (( H $$ (( 16 $$ )((' 16 #$$. . . . . . . . .

$$

(( (( (( )(('

H

7

6 6 6 6 C H ! 19 " G 7 G

) 16 6 6 16

! G

Ici, lerreur de troncature est dordre stable. On peut le rcrire sous la forme :

" G

5.1.4 Schma dEuler implicite

soit :

..

..

..

(

.

.

.

(

$

5.1.5 Schma Leep Frog (saute mouton)

1 1 1 4 6 $6 4 6 4 16

$0

H7

H7

9 6

H7

H7

" #7

H

H7

H7

H7

H7

o

Cest un schma explicite dordre deux :

et

sont les C.L. connues. Le systme se rsoud numriquement en posant .

34" G

4

1 4 1

% $ $$

$$ $$ #$$

. Le schma est inconditionnellement

. . . . . . . . .

Comptant que lerreur de troncature ne contient que des drives paires, le comportement est dispersif et il ny a pas de dissipation.

5.1.6 Autres schmasBeaucoup dautres schmas peuvent tre dvelopps : Lax-Wendroff, Mac-Cormack, Rusanov, Warning-Kutler-Lomax, etc.

5.2 Equation de la chaleur5.2.1 PrsentationLquation de la chaleur est : H Y Y

Cette quation sert de modle pour les quations (paraboliques) de couche limite. Nous en prsentons ici des schma adapts la rsolution de ce type dEDP.

5.2.2 Mthode de Crank-Nicolson

Les drives spatiales sont moiti values au temps et moiti au temps . En , on trouve une erreur de troncature prenant un dveloppement de Taylor autour de dordre . Ce schma est inconditionnellement stable. Il est trs populaire pour rsoudre les quations paraboliques.

5.2.3 Gnralisation de Crank-NicolsonUne gnralisation populaire du schma de Crank-Nicolson est :

Ce schma est stable si : inconditionnellement stable

5.3 Equation de la chaleur Y Y

35

H

$

$

H

pour pour

avec une constante comprise entre et . On peut constater que si schma explicite ; si , on retrouve Crank-Nicolson et enn si schma implicite dit de Laasonen.

, on a un simple on a affaire un

4 C 16 16 1 6 7 C

4 C 16 16 1 6 7

$

C$

7 ' H A

H C 9 7 H ! G C 0 7 1 6 6 6

H

7

Y

Y

H !

H ! G C 7 1 6 6 6

C

C H ! 19 H " G 7 G H ! H

Y

Y

H 7 "

Y

Y

H ! G ) H "

Lerreur de troncature est dordre modie est :

. Le schma est stable si

$

. Lquation

$

0 )

$

C H ! 19 H " G 7 G

6 16

" G

6 16

" G

!

X

X

6. . .

16

6

( H ( H H (

X

9 9

5 9 5 9 9 9 9

( ( E

65

65

5 6

65

65

1 65

" G H A G H ! G 65 65 65 65 65 65 65 65

5.3.1 Adaptation des schmas

Les techniques utilises prcdement posent des difcults. Voyons deux exemples signicatifs :

1. Simple schma explicite :

avec :

(

E

1 4 X 9 ) 4 9 1 ) ' &

%

On considre

Pour rsoudre lvolution du systme, on pose le schma sous la forme :

et . Les conditions limites sont alors les que lon considre comme des constantes (conditions limites de

9

et On constate que hension de la mthode. On pose :

9

Dirichlet).

M est une matrice

La forme matricielle du problme est alors :

. Elle a la forme dune matrice par blocs :

. Nous les diffrencions pour une meilleure compr-

..

. . .

. . .

. . .

..

36 ..

. .

..

. .

C

9

7

. .

.

. . .

. . .

. . .

Remarque : Pour rsoudre ce genre de problmes sous Matlab, il est intressant de dclarer comme une matrice creuse (sparse matrix). Dans un langage tel que le C ou Fortran on codera la matrice de faon intelligente. On ne rentrera que les bandes non nulles de la matrice et adaptera la multiplication multiplication matricielle au type de codage choisi. La condition de stabilit de ce schma est :$

2. Schma de Crank-Nicolson : H 7

37

C 5 5 7 C H( 6 16

Cette condition est encore plus restrictive que dans le cas

$

H ! G " G

5

6 1 65

" G

A G

! G

En prenant

, la condition de stabilit est :

. . .

H (

C

H

H A G

H

H

7

(

H ! G

" G

Comme dans le cas

, le vecteur

de taille

contient les conditions aux limites :

..

..

.

..

..

!

X

..

.

..

.

C

7

Chaque bloc est de taille

X

X

et :

!

Ce schma est inconditionnellement stable mme en . On a cependant perdu la structure tridiagonale du systme . Le systme est de type :

Pour rsoudre le systme, il est alors ncessaire dinverser (schma implicite oblige) une . Il faut alors absolument utiliser un algorithme dinversion matrice de taille adapt (ici Gauss-Seidel par exemple).C X

5.3.2 Mthode ADIADI signie Alternating Direction Implicit (Peaceman, Rachford et Douglas 1955). Cette mthode rentre dans la catgorie des mthode du pas fractionnaire ou mthode de splitting. Cest un schma implicite deux pas. Il est de type prdiction-correction : H

avec les mmes notations que prcdement :

On avance dune moiti de pas chaque fois. A chaque demi pas, les terme implicites au pas 1 et au pas 2) ne portent que sur une des deux dimensions (ici au pas ( 1 et au pas 2). Nous avons vu dans lexemple prcdent (schma de Cranck Nicolson 2D) que rsoudre le problme de manire implicite sur et la fois demande linversion dune matrice diagonale par blocs. Avec la mthode ADI, on inverse deux fois une matrice tridiagonale ce qui est algorithmiquement prfrable. On utilisera ici lalgorithme de Thomas par exemple.C H A 19 H ! 19 H " G 7 G G

La mthode ADI a une erreur de troncature dordre nellement stable.

et est incondition-

38

!

( EH EH

( 3

H

3

5

5 H( 6 6 H

Pas 2 :

4 1 65 H(

Pas 1 :

5 C H( 6

C (

4 65 H(

H 7

H

2 7 " G ) H & E H E # (

H 65 H 1 H 1 65 H 1 E

5

6

65

%

avec : ' &

(prdiction) (correction)

5

) & 6 2 65 # 1 65 & 1 65 0 65 1' 1 65 #

( H H

avec les notations :

5

5 H( 6 6 H

9

X

7

A

Il existe videment dautres mthodes comme la mthode ADE, la mthode Keller Box... En gnral, les mthodes implicites sont recommandes car leur stabilit est meilleure.

5.4 Equation de Laplace H H A Y H A Y H Y H ! Y

Cette quation est un modle pour les quations de Navier Stokes incompressibles et stationnaires (quations elliptiques) et aussi pour les coulements potentiels (irrotationnel, nonvisqueux et incompressible). Dans les quations de N-S incompressibles, on arrive souvent une quation de Poisson pour la pression en prenant la divergence de lquation de la quantit de mouvement :C A 9 DB@! 7 4

5.4.1 Formule cinq points

Une formule .C

points peut tre gnre facilement avec comme erreur de troncature

39

C 4 H DA

G 7 ( 11( H C ! G 7 ( (

C H A 19 H ! G 7 G

1

lerreur de troncature est dordre 1( 0 (

et lquation modie est :

S

5 5 5 5 5 5

H A G

S

H Y

Y H !

H Y

Y H ! G

A 19 G

! G7

Toutefois, lerreur de troncature diminue rapidement pour les quations elliptiques plus gnrales, et il est de plus difcile de garder la prcision prs dune frontire.! A G Y

pour chaque point o la solution

est recherche.

Si les C.L. sont de type Dirichlet et la solution est connue sur les quatre frontires, alors il reste points o la solution nest pas connue. Pour chaque point, on crit lquation aux quations linaires algbriques pour les inconnues : diffrences. On a doncH

La matrice (de taille ) contient beaucoup de zros ! Pour rsoudre ce systme, on peut utiliser une mthode directe (Gauss, Choleski...) ou une mthode itrative (Gauss-Seidel, surrelaxation, ADI).

5.5 Equation de transport

(linaire)

Lquation de transport (convection-diffusion) monodimensionnelle est :

Cette quation est aussi connue sous le nom de quation de Burgers Linarise. Le scalaire y est convect la vitesse const et y est diffus par le coefcient de diffusion . Cette 40

S

5

I P

5 5 0 5 5 H !

HY

4 1 4 1 4 1

Y

Y

!

"

Y

C H

Y

C 9 7

H

7

H

4 1

H

A

le

Supposons une grille uniforme ( (=N). Lquation aux diffrences scrit :! G

) avec un nombre de points gal suivant les

et

quation, qui est parabolique, peut tre un modle pour lquation de la couche limite. Elle ncessite les mmes C.I. et C.L. que lquation de la chaleur, i.e. : ou ou" C B9%! 7 C "B9 ! 7

5.5.1 Schma explicite FTCS (Roache 1972)FTCS signie forward in time, centered in space

(nombre de courant)

et

Warming et Hyett ont montr que pour avoir stabilit, une condition ncessaire est que le coefcient du terme soit suprieur soit : $

On introduit alors le nombre de Reynolds de maille (grid Reynolds number) tel que : convection diffusion

On montre facilement que :

La condition ncessaire de stabilit est donc :$

Le nombre de Reynolds de maille est dun grand intrt pour la rsolution dquation de transport par un schma dordre deux. Une analyse de stabilit de Von Neumann nous montre une autre condition : et On en dduit que ce qui se traduit par :$

remarque : Ce schma produit des wiggles (erreurs de phase) importants pour . Pour , les oscillations causent lexplosion de la solution. Pour liminer les wiggles, la meilleure solution est de rafner la grille surtout dans la (les) rgion(s) contenant beaucoup doscillations. On peut aussi penser utiliser un schma dcentr rgressif (sur le terme convect). Cette solution est viter car on additionne trop de viscosit numrique la solution do une perte de prcision. 41

$

3

0

$

H

$

3

! G

0

H

3

3

$

0

0

$

H

3

0

avec :

7

dissipation articielle7

dispersion articielle

$

H

" #

H ! G

C H ! 19 " G 7 G

H

Lerreur de troncature est dordre on obtient lquation modie :" G H

. Par limination des drives temporelles,

4 65 65 65 1 H !

G

65 65

! G

Deux C.L. :

CB" 7 2 C "7 &

C " 7 ) C B%! 7 " 9 C B" 7 " # C B9 ! 7 C !7 9 C E! 7

C.I. :

$

" #

65 165

" G

$

H

7

Q

% &'

3

0

5.5.2 Schma implicite de Crank-NicolsonH

Les schmas implicites sont efcaces pour liminer la restriction est :

Finalement, ce schma est un bon schma qui ncessite linversion dun systme tridiagonal.

On peut facilement construire un schma FTCS. Cependant, lanalyse de stabilit de Von pour ce schma : Neumann est plus restrictive enC ( 7 ( 9 7 H

avec

Pour et la premire condition donne ce qui est deux fois plus svre quen . De plus, les termes de dissipation articielle sont lis au premier ordre de la drive temporelle. Enn, si le vecteur vitesse est degrs par rapport la direction des coordonnes, il y a une trs forte dissipation numrique. Il est donc important dutiliser une bonne prcision temporelle.

5.7 Equation de Burgers non linaireCette quation est un modle pour lquation de Navier-Stokes : H Y Y Y Y

Son criture sous forme conservative est :

Nous utiliserons plutt la formulation :H

La chose importante remarquer est que maintenant, nous avons un problme non linaire. Il est donc ncssaire dappliquer une sorte de linarisation, ou bien itrer (utiliser un schma avec plusieurs pas). 42

I

H A

HY (

$

Y

C F 9 7

H

H !

H !

HY

9

Y

$

C E ( (

H !

9

H

!

Y

Y

Y

A

Y

Y

"

!

Y

Y

7

Y

!

Y

!

Y

$ C (

"

"

Y

Y

Y

Y

"

Y

! G

7 7 7

Y

A G

(

En

, lquation de transport est sous la forme :

5.6 Equation de transport

3

0

Pour viter les wiggles, il faut que reurs de dispersion et de dissipation.

C H ! 19 H " G 7 G

$

Lerreur de troncature est dordre

. Il ny a pas de restriction lie la stabilit. petits, on observe de petites er-

. Pour des

$

E

E H

. Le schma

H

H

H

5.7.1 Schma implicite de Bridley-Mc Donald (1974)Il sagit ici dun schma, pour la rsolution aux diffrences nies des quations compressibles de N.S. sous forme conservative. Lide est de linariser le terme en utilisant une srie de Taylor tronque :

Ici, lerreur de troncature est dordre pour le schma complet. Nous obtenons ce qui donne un sysdonc un systme linaire dquations algbriques pour le temps tme tridiagonal. Ce schma est inconditionnellement stable. La prcision temporelle peut tre amliore par le schma suivant (inconditionnellement stable et dE.T. dordre ):C H ! 19 H " G 7 G

Remarque : si le schma de Bridley- Mc Donald est utilis directement pour lquation de Burgers , on nobtient pas un systme dquations algbriques tridiagonal. Une solution est dutiliser la procdure ADI deux pas.

43

4 165 H

H " G

H

H 5 H 1 6 165 C 7 65 C

65 4 C 7 1 " 65 4 C 7 1 " 65 4 1 "

C H ! 19 " G 7 G

65 4

" G

7

1

G

G

G

H

H

65 C 65 C 65 C 65 C

7

7

7

7

65

avec :

165 H

6 5

!

YY

65 165 " G

44

Chapitre 6

Rsolution numrique de Navier-Stokes incompressible6.1 PrsentationOn considre ici lquation de Navier-Stokes en variables primitives (i.e. avec variables) sous forme adimensionnelle. Lcoulement est incompressible : et comme

(quation de continuit) (quation de mouvement)C 7

Soit le domaine et la frontire. Pour les C.L., est donn sur et pour les C.I., est donn sur sous la contrainte . Il existe une contrainte sur les C.L. de lquation de continuit : S 2

soit

Cette condition interprte le fait que lcoulement entrant est gal lcoulement sortant la frontire (conservation de la masse)." G "

En rsolvant lquation dvolution de "7

, on tombe sur deux problmes : .

2. Quelles sont les conditions limites pour p ?

6.2 Ecoulement stationnaire6.2.1 Mthode de la compressibilit articielleCette mthode est ddie la rsolution des quations de N.S. stationnaires :

Elle se caractrise par :

2. On se ramne au problme compressible (la solution stationnaire reste incompressible !) :

45

1. Introduction dun temps ctif . On a

et

qui dpendent de .

H

H

C 7 ) ) H 0

C S B" G

1. On ne trouve pas forcement

H S

S C 7

"

2

S

C

7 ) S

Les quations sont du type hyperbolique-parabolique. Ici, la transitoire nest pas physique mais (on lespre) ltat stationnaire est bon ! Le paramtre est arbitraire. Il est choisi de manire optimale pour assurer une convergence rapide. Il sagit en effet dune vitesse du son articielle La rsolution peut seffectuer avec une mthode numrique adapte : La mthode MAC.H )

6.2.2 Mthode Marker And Cell (MAC)Cette mthode tire ses origines dans Harlow & Welch 1965 et Welch & al 1966. Elle utilise un maillage dcall. La pression, la vitesse suivant et la vitesse suivant ne sont pas calcules aux mmes points.

Lquation sous forme discrte, pour une discrtisation de type Jacobi (explicite) peut scrire sous la forme : Vitesse suivant :

46

4

E H

H

C H 65

H

(E H 1 & ( & H 65 0 H 65 7

(

65

H

H 65

Vitesse suivant

:

4

(

(

H

H

C

H

65

H

65

H

H 65

H

H

1 & E & 65 H 65 7

Masse :

Un schma de Gauss-Seidel converge plus rapidement. Son criture est la mme que Jacobi en remplacant les par des dans les termes en espace. Au niveau de la frontire du domaine, on a un problme. Des points ncssaires pour le calcul sont lexterieur du domaine physique (classique). Ici, on rsoud le problme de cette sorte : On ne prend pas en compte les points de pression sur la frontire. Les conditions de pression ny sont pas ncessaires. Pour respecter la condition dadhrence pour la vitesse, on procde avec (en supposant que les parois sont xes) :

La deuxime ligne exprime une technique de rexion. Elle exprime le fait que la vitesse est nulle sur la paroi (ici en ):H

Frontire du domaine physique En effet dans le schma on aura :

On peut aussi rsoudre le problme en utilisant un autre maillage : on met la pression au centre de la cellule, et on fait concider la grille avec le domaine (et sa frontire) : 47

S

H

65

S

A G

H

H 5 0 H 5

65 H 65 H 65 H

5

S

H 5 5

! G H

H 5

H

H 5

) H 0

5

6 1 65 G

En gnral, lavantage de la grille dcale est quil ny a pas de couplage entre vitesse et pression. De plus, on na pas besoin dune condition de pression sur la frontire. En effet, pour une frontire solide, cette condition scrit :

Cette C.L. pour est satisfaite de manire implicite par le schma MAC (lapproximation dune couche limite est : ). On peut noter que si on prend la composante tangentielle desC H

On a donc redondance des conditions limites.

6.2.3 Stabilit du schma MACOn ne peut pas analyser la stabilit dun schma pour une quation non linaire, il est ncessaire den faire une approximation. On linarise lquation sous forme non-conservative ( ) avec et des constantes, on limine le dcalage des cellules et on oublie la pression :C 5 H( 5 H 7 6 6

Euler progressif

48

(

5 5 3 6

5

6

Tout comme dans le chapitre , de la forme :

reprsente les diffrences centres. On suppose lerreur

3

0

Composante normale : Composante tangentielle :

(1( ( ( (

5 ( 5 6 6

quations de Navier-Stokes la frontire, autre C.L. pour :

soit

7

3

0

H

soit

H, on a une

YY

H

3

0 S (

$ #G " 6 1 65

5

(

(

H` `

H ! G 3 ` ` G I

W W

U

$

U 6 ! G

$

$

Il y a videment une limite sur la longueur donde que lon peut capturer numriquement pour capturer une onde (th. de avec un maillage donn ; il faut au moins deux intervales Shannon).

! G

H W

U #

!

H

Y Y

` H` `

`

W H #

U

H #

G

H ! G 3 I

0

```

`

H

donc :

$

W H #

W

U

H #

" #

3 U

0H ! GI

$W

A G

#

"

U

! G

G

G

(

5 5 3 6

G

5

6 65

C BC

H

7 H

I P 7 #

'

'

H

' ' H

$

4

5 3

"# 5 5 3 E '

H

' ' H

Finalement, avec lhypothse

5

6

5

6

alors :

et :

et en prenant

et

A G

! G

A G

! G

Soit

le nombre donde, on a alors comme longueur donde

H

On choisi donc la valeur maximale de et

U

! G

avec

la longueur du domaine selon . Ainsi :

!

dans ce cas :

Imaginaire

49

0

```

`

H

comme : Rel et : , on a :

Le schma est alors stable si : $ $

soit :

pour la stabilit, soit :

En majorant le terme gauche et en simpliant, on a :

Cette condition donne la limite de stabilit convective. Les deux limites trouves doivent tre satisfaites. Une troisime analyse de stabilit peut tre effectue en liminant le terme non-linaire et en cherchant calculer la stabilit de lcoulement de Stokes. Dans ce cas, on peut trouver :$

Une petite remarque avant de terminer cette section. Dans la section suivante, on trouve la mthode fonction de courant, vorticit qui peut sappliquer pour des coulements stationnaires avec une mthode similaire celle de la compressiblit articielle.

6.3 coulement instationnaire6.3.1 Mthode de projectionPour la rsolution des quations de Navier Stokes instationnaires, une mthode explicite au pas fractionnaire et dordre en temps est la mthode de projection : Pas 1 : On pose N.S. sans pression :

50

6 H

3

0

6 ``

` C 7

6

" G

H )

et on trouve une mthode sur

.

$

H )

H

G

3

0

G 3

H ! G

G

0

donc :I

H

$

H

H

H

H

!

G

!

G

G

G

H C

G

! G

H !

`

G

7

H`

`

` H ! G 3

G 3

G

H ! G 3

I

G

0

I

0

I

I

0

``

H ! G 3 G I

`

on aurait eu :` H

W

U

W

U

Si on avait choisi pour

et

:

$

E

$

H ! G 3

G

I$

0

$

0

Pas 2 : On obtient la pression par lquation :

Cette quation produit un champ de vitesse divergence nulle :

Cette relation est la relation de compatibilit.

Cest une condition de Neumann de pression. Par intgration sur , on obtient :

la discrtisation spatiale doit permettre ce que cette condition soit toujours satisfaite

). On impose

Pas 2 : On calcule sur et impose . Cest lapproximation dune couche limite sur une paroi solide. Si la frontire nest pas une paroi, il faut itrer entre le pas et le pas . Pas 3 : On calcule alors sur avec pour garder et . La mthode explicite impose des limitations svres sur le pas de temps, aussi bien du point de vue visqueux que du non visqueux. Il est donc recommand dutiliser des schmas implicites. 51 2

En pratique : Pas 1 : On calcule aux points intrieurs mais pas la frontire ( quelconque sur la frontire. Un bon choix est

`

`

`

2

$

6

" #

16

" G

16

2

16

`

`

`

$ ) )# " 16

6

" G

Y 6Y

donc :

16

" G

6

" G

On obtient aussi, depuis le pas

:

E

2

donc :

2

2

6

2

16 H

16

2

Y 6Y

et

Les C.L. pour la pression doivent satisfaire une relation de compatibilit. Soit la frontire, alors le deuxime pas implique :

6 H

3

0

6

" G ` C 7 6 `` 6 6

En liminant

dans le pas

et le pas , on retrouve bien :

16

" G

6

Pas 3 : On calcule :

H

4 "

G

" G

" G

1

6 H

16

le domaine

6.3.2 Mthode de projection impliciteNous tudions ici la mthode de projection implicite dAdam-Bashforth - Crank-Nicolson. Cette mthode est dordre deux en temps et centre sur . Elle scrit :

Lvaluation du terme non linaire est explicite (Adam-Bashforth). Elle est effectue par un dveloppement de Taylor du style :C H " G7

Lvaluation du terme visqueux est normalement soumise des restrictions svres. Lvaluation implicite (avec Crank-Nicolson) amliore les choses. Pour la rsolution, on utilise une mthode de splitting ( plusieurs pas) : Pas 1 : On soccupe de la partie explicite :

Les

sont arbitraires comme dans le schma prcdent.

Pas 2 : La pression est gre ici :

inconnu

matrice ou oprateur sur

En pratique, la C.L. pour le pas viens du pas mme si est arbitraire, on a une condition implicite quil faut rsoudre par itration. Par exemple : se fait par . Pas 1 : On a ; on obtient explicitement. Linitialisation de Quand , il est arbitraire.

T

Il y a convergence si

pour chaque pas de temps .

52

H

H

H

H

)

E

! ")

16 H

`

`

`

)

!

6

9 9

! ")

' & % %

9 S

Pas 2 et 3 : Pour

au temps

, on calcule

et

simultanment :

6

6

$ " " G

6

" $ 16 #

$

H

3

" G

#0"

donc :

connu

16 H

3

0

16

" G

6

Pas 3 :

6 H

3

0

" G

` Y 6 `` Y

avec :

6 6 6 H

C H " G7

H 3

3

0

C H " G7

0

6 `` C 7 6 `` C 7

6

` C 7 ` C 7 6 6 `` 6 `` H

`

H C H E

16 " G

H H 7 # H C 7 C 7 # C H 7 # C 7 # 7 # C 7 #

H

6 16 H

`

C

6

" G

'

&

6

6 6 " G

On retourne ensuite au pas . Une autre classe de mthodes pour traiter le problme incompressible est connue sous le nom de correction de pression (ou mthode SIMPLE).

6.3.3 Mthode SIMPLELa famille des mthodes SIMPLE (Semi Implict Method for Pressure Linked Equations par Caretto et al., 1972) est une autre approche de la correction de pression. Cette procdure est base sur une srie doprations destimation - correction. La vitesse est tout dabord calcule partir de lquation de continuit en faisant une estimation sur le champ de pression. La pression et la vitesse sont ensuite corrigs pour satisfaire la continuit. On rpte ce processus jusqu la convergence. La diffrence entre cette mthode et le mthode MAC ou bien les mthode de projection est la manire dont on corrige la pression et la vitesse. Dans cette procdure, on pose la pression relle

avec la valeur estime de la pression et manire, la vitesse relle scrit :

la correction sur la pression. De la mme

On relie les corrections sur la pression et la vitesse partir dune approximation de lquation de mouvement :(

soit :

o est le vecteur destimation de la vitesse. On a alors une quation de Poisson rsoudre. On pourra utiliser lalgorithme de Gauss-Seidel pour la rsoudre. On peut aussi rsoudre lquation par une volution de lalgorithme (Raithly & Schneider 1979) :

53

S

H YY

H A

C V7 I

H YY

H !

C

7

! A Y Y Y Y

C 7

H

$

C 7

En combinant les quations Y Y

" #

!

avec

. et , on obtient :

A G

! G

En considrant la correction de pression comme nulle litration prcdante et on a :C 7

C 7

C 7

(

telle que :

( E

E

,

5. Remplacer les valeurs intermdiaires par les valeurs corriges et retourner au deuxime pas. Rpter ce processus jusqu la convergence du schma.

6.3.4 Fonction de courant, vorticitPrsentation En dimension deux, il est avantageux dutiliser une formulation fonction de courant - vorticit. Dans cette approche, on applique un changement de variables qui remplace les composantes de vitesse par la vorticit et la fonction de courant . On na donc pas a un schma en variables primitives comme prcdement. Soit la vitesse ; lquation de transport visqueux est alors : H

Lquation en premire ligne est parabolique et celle en deuxime ligne est elliptique. On peut noter que le terme a disparu car est dans le plan et est selon . A chaque pas de , il faut rsoudre une quation de Poisson, ce qui est coteux. Si on cherche seulement ltat stationnaire, on peut utiliser une mthode similaire celle de la compressibilit articielle. Cest la mthode pseudo-stationnaire : Mthode pseudo-stationnaire (Mallinson & Vahl Davis 1973) H

Les deux quations sont paraboliques. est un paramtre de relaxation ncessaire pour la convergence du schma. La variable reprsente, ici, un temps ctif. Pour la rsolution, on peut"

54

Q

9

C

C 7

H

7

% &'

On y rsoud :

A 9 B@!

(

(

%

avec :

On pourra remarquer que tend tre surestim. On utilise alors souvent o est un coefcient de sous relaxation. la place de

C % 9 9 7

C 5 5 7 C 5 5 7

C 7

C % 9

C 7

4. Correction de la pression et la vitesse en utilisant

C V7 I

3. Rsolution de lquation de correction de pression

pour trouver et :

C

9

7

2. Rsolution de lquation dvolution pour trouver

7

C

(

9

H (E H

9

7

' &

H

% &'

C 7

"

1. Estimation de

en chaque point du maillage. . en chaque point.

C 7

choisir pour une mthode implicite (ADI par exemple) ou explicite.

(

Conditions Limites pour la fonction de courant :

On a :

const

Ici, et correspondent un noeud de lespace discrtis (lintgrale est sur une partie de la frontire). Alors, sur : Y

Avec . On a donc une condition de Dirichlet et une de Neumann. Evidemment, il faudra imposer seulement une de ces deux conditions. Conditions Limites pour la vorticit : La frontire solide cre de la vorticit pour maintenir ladhrence du uide la paroi. C A 9 DB@! 7 5

55

C A 9 7 5 FBE! 86

Y

et

2

C A 9 DB@! 7 4

4

On nglige la constante. Soit la fonction

telle que :

(

` Y

`

`

Dans le cas des conditions limites, on interprte

et

Y

2

Y

Y

C A 9 DB@! 7 4

Pour les conditions limites, on nomme ).

le domaine et

la frontire sur laquelle

par :

` Y

`

`

Y

A

!

est connu

On cherche : Pour calculer

, il nous faut connaitre

etA

. On trouve

Neumann

Il est aussi possible dapproximer

par une autre mthode. On commence par crire :

Cette galit est seulement satisfaite la convergence du schma car avant, na pas la bonne valeur. On peut alors crire comme C.L. sur chaque pas de (algorithme de descente avec comme paramtre de relaxation) :"

56

)('

0 1( 4 (

C

5

5 !

G

4

! G

4

$ #" !

! G

6

#

7

H ! G

6

5

#$

et ainsi :

C

5 ! G

7

H ! G

%

1 6

`

`

donc : `

``

`

H ! G

" $ ` #

`

`

! G

#

! !

Pour

, on utilise un dveloppement de Taylor :

sur

(o

est sur la frontire)

( (

C

( 1(

( 1(

7

C

On a :

H

4

7

( 1( 4 1( (

Dirichlet

facilement :

57

! G

et

a la bonne valeur, et donc on a bien (correcte lordre

5 6

6

4

1 6

A la convergence, on a :

! G

):

58

Chapitre 7

Mthodes spectralesLes mthodes spectrales sont un outil trs puissant dans le cadre de la rsolution numrique des EDP. Elles consistent utiliser des changements despaces sur la fonction tudie. Nous nous limiterons dans ce cours aux dcompositions en sries de Fourier. Elles demandent des conditions aux limites priodiques sur un intervalle de longueur .

7.1 Approximation pseudo-spectrale ! G !

On considre la fonction de dans aux points quirpartis . On suppose priodique sur un intervalle de longueur

avec . On a :

En pratique, on ne peut pas calculer le poids dune innit de frquences dans un signal discrtis comme cest le cas avec les . On ne pourra obtenir les que pour sachant que (avec le conjugu de ) si est dans . On considre alors , lapproximation pseudo-spectrale de :

On parle dapproximation pseudo-spectrale et non spectrale quand est ni. En effet, on considre comme ngligeable le poids de toutes les frquences que lon aurait considres en poussant vers linni.

59

On peut alors calculer facilement lapproximation des drives emes de

5 H 3 # 6 C

pour9

:

C

!7

o les termes#

sont calculs par la formule suivante (on utilise la notation

9 9

2 9 9 3 2

#

C !7

5H3

#

C

!7

#

9

H

7

! 2

H

H

H

5 H 3C !7

C

#

5 #! 7

5H

C ! 7

C !7

3

#

6

62

! 2

#

#

#

C

!7

avec frquence

les points dits de collocation. On peut visualiser les comme le poids qua la dans la fonction . Les se calculent par la formule suivante :

! G 5

#

5H3

#

C

!7

C !7

C !7

#

9 9 9 9

):

Il require calculs pour obtenir tous les . Cet impact peut tre largement rduit ( calculs) si lon utilise lagorithme de Transforme de Fourier Rapide. En calculs. On peut alors comparaison, les approximations aux diffrences nies demandent se demander quel est lintrt de lapproximation pseudo-spectrale. Il rside dans la qualit dapproximation des drives spatiales. Quand une mthode de diffrences nies classique cr une erreur dapproximation de la drive de lordre dune puissance (faible) de , le terme derreur sur une drive dcrot exponentiellement avec avec une approximation pseudospectrale. La qualit de la drivation est incomparablement meilleure. On parle de mthode dordre suprieur.

7.2 Calcul pratique de lapproximation pseudo-spectrale des drives

o est lapproximation pseudo-spectrale de . On souhaite crire loprateur diffrentiel tel que . Loprateur est nomm matrice de diffrentiation pseudo-spectrale. On le construit en trois tapes : 1. A partir des , on calcule les en utilisant la transforme de Fourier. En prenant soin de convertir les indexes, cette op. Le nombre ration est strictement quivalente une multiplication matricielle doprations est alors en .

3. A partir du rsultat obtenu ltape prcdente, on calcule les en utilisant une transforme de Fourier inverse. Comme la premire tape, cette opration est strictement quivalente une multiplication matricielle par une matrice . Le nombre doprations est encore en .

Lopration est au nal de complexit algorithmique ce qui est rdhibitoire pour de grandes valeurs de . Comme cela a t voqu dans la section prcdente, en pratique, on rduit considrablement la complexit algorithmique de lopration en utilisant la Transforme de Fourier Rapide (en Anglais Fast Fourier Transform ou FFT). Pour cela, doit tre une puissance de . Une transforme de Fourier passe dune complexit une complexite . La procdure de calcul de est alors la suivante : avecC

C

7

Lopration est toujours ici en

. 60

C

par

7

9 9

CP H 5 7 6 7

#

1. A partir des , on calcule les utilisant la FFT. Le nombre doprations est maintenant en et pour la FFT. 2. Calcul des termes spectraux des drives mes en multipliant chaque

C P7

H

#

avec

la matrice dont la diagonale est gale

H

C

9 9

7

5

H

"

Loprateur

vaut alors :

et les autres termes sont nuls.

7

H

1

2. Calcul des termes spectraux des drives en multipliant chaque avec Cette opration est quivalente un produit scalaire . Le nombre doprations est ici en .

par

en pour les .

C

9 9

#

5

B

C P7

0

B

6 7

%

#

B

0

. . .

et

. . .

)(('

#$$

)('

C

C H

C H

#$

%

7

9 9

7

4 C 7 9 9 C

C

7

On calcule les valeurs de . Soit :

en les considrant comme le rsultat de produits linaires avec les

! G

C

7

B

C H

5

C H 5 7 7

5

C P H 5 7

.

ce qui est beaucoup Au nal, la complexit algorithmique est maintenant en plus raisonnable. On ne peut plus par contre considrer cette opration comme un produit matriciel mais plutt comme une bote noire, ce qui nest pas bien gnant tant que les rsultats sont les mmes.C

7.3 Mthodes pseudo-spectrales pour la rsolution dquations aux drives partielles.Ces mthodes sont aussi appeles mthodes de collocations. On considre lquation aux drives partielles de la forme : C 9@! 7

Par exemple considrons lquation dune onde suivante : C 9@! 7

La manire la plus simple dexprimer ce que lon fait est dutiliser loprateur diffrentiel vu la prcdente section (mme si en pratique on utilisera la FFT ce qui est strictement quivalent au niveau du rsultat). Loprateur se prsente sous la forme dune matrice. Soit , alors lquation est rsolue en calculant :

Pour le temps, on pourra par exemple utiliser la mthode dEuler :

Pour rsoudre nimporte quelle quation, on reproduit ce type de schma. La rsolution dune quation non linaire pose cependant un problme technique d au phnomne daliasing que nous dveloppons dans la section suivante.

61

c " C

G

7

0

. . .

)('

(

#$

o :

C !7 C

C !7

7

9 C @! 7 7 C

o est :

est un oprateur diffrentiel spatial et

est considr priodique. Lquation rsolue

C P H 5

7

3. A partir du rsultat obtenu ltape prcdente, calcule des inverse. Comme la premire tape, le nombre doprations est en

H 5 7

B

en utilisant une FFT .

C !7

%

"

Y

Y

C

7

" G

C 9

!7

C 7

7.4 Lanti-aliasing C 5 H 3 ! 7 N/2

Cette priodicit cr une quivalence entre un terme de frquence comprise dans le spectre que lon a dni pour reconstruire notre signal et une frquence lexterieur de ce spectre. Prendre en considration une frquence trop haute dans la reconstruction se traduit donc par la cration dun artefact de reconstruction. Considrons maintenant le terme non linraire dune EDP que lon souhaite rsoudre par une mthode pseudo spectrale. Son approximation pseudo spectrale est :C !7 C !7

Ce qui est aussi gal :

Tant que , on na pas de problme. Par contre ds que lon sort de ce domaine, on reconstruit des frquences qui nont pas t prvues dans notre spectre. On cr alors un artefact de reconstruction. Si le signal tudi t hautement chantillonn la vue des frquences quil contient, lartefact peut tre considr comme ngligeable. Cependant, dans le cas gnral un traitement anti-aliasing simpose. H

N/2+1

Les couples crant un alias sont ceux pour lesquels ou . On pourrait pour traiter ces couples en utilisant la formule de transformation de 62T

Q

9

7

Tout dabord, observons pour le couple qui posent problme :

,(

kN/2

k

N/2+1

4 9 9

#

5 H 3

5 H 3

H

1 ) 4 9 1 C

H

H H

5H3

H

Lalisasing est d la priodicit de priode

des coefcients de Fourier :

5 H

H

H

H

C

3

C

!7 C

!7 C

C

!7

!7

9

7

#

) les valeurs

Fourier via produit matriciel en ajoutant un test sur les . Cependant, comme nous lavons vu plus tt, il est nettement plus avantageux en terme de temps de calculs dutiliser des FFT. Ces denires sont assimiles ici des botes noires quon ne peut modier. Lanti-aliasing doit alors seffectuer ailleurs que dans la tranformation de Fourier. Une solution largement utilise est, une fois dans le domaine spectral, daugmenter la taille de et de en rajoutant des sur les hautes frquences cres. Formellement, on part du spectre de et de avec et compris entre et pour crer un spectre avec et compris entre et (avec ) en rajoutant des aux nouveaux indices.

~ v

N/2+1

...

~ v

1

~ v

0

~ v

1

...

0

...

~ 0 v

N/2+1

...

~ v

1

~ v

0

~ v

1

...

Ceci revient mathmatiquement reconstruire le signal partir des et existants avec un maillage plus n puis de le repasser dans le domaine frquenciel. Comme on peut le voir pour viter laliasing. En pratique on sur lillustration suivante, il suft de prendre prendra le plus souvent car, la FFT demande des signaux discrets de la taille dune puissance de . Le facteur sera toutefois utilis dans certains cas car des versions drives de la FFT permettent deffecuer une transformation de Fourier (ou de Fourier inverse) pour des signaux de dimension ( des entiers). Elles sont cependant plus lentes que la FFT originale. Il y a donc un compromis faire entre ce qui est gagn avec le coefcient et ce qui est perdu avec un algorithme un peu moins puissant. Une fois cette opration ralise, on peut sans risques daliasing, transformer notre produit dans le domaine spatial, via une FFT inverse. On se retrouve alors avec un signal sur-chantillonn (de manire articielle), on a des avec pour . On transforme alors notre signal dans les domaines de Fourier puis le recompose pour dans lintervalle pour ne garder que les frquences non articielles. Cette opration nous permet donc de pouvoir rsoudre proprement et rapidement les problmes non linaires par des mthodes spectrales. Les multiples allers-retours entre domaines spatiaux et frquentiels ds lutilisation de FFT restent trs comptitifs en terme de temps de calculs par rapport une transforme de Fourier par produit matriciel.C

63

!7 C

!7

C

!7 A

C ! 7 A

4 9

Q

9 9 P 6

1

9

C

!7 C

9

)

!7

~ v

N/2

~ v

N/2

0

...

0

Bibliographie John C. Tannehill, Dall A. Anderson, Richard H. Pletcher Computationnal Fluid Mechanics and Heat Transfer. Ed. Taylor & Francis. C.A.J. Fletcher. Computationnal Techniques for Fluid Dynamics. Ed. Springer. Roger Peyret, Thomas D. Taylor. Computationnal Methods for Fluid Flow. Ed. SpringerVerlag. William H. Press & al. Numerical Recipes in C. Cambridge University Press. D. Euvrard. Rsolution numrique des quations aux drives partielles. Ed. Masson

Je remercie particulirment A. Bergeon, A. Bottaro, M. Zagzoule, X. Barthlemy, A. Dechaume, P.Assemat, C. Badue qui mont bien aid dans cette aventure qua t ce cours pour moi. Un gros merci aussi mes lves pour leurs remarques et questions qui mont permis de rendre lensemble plus clair.

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