6ème Leçon :5
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Divisions
I) Définition. a) La division est l’opération qui permet de calculer le quotient du dividende
par le diviseur. Il y a un reste qui est ou non égal à zéro.
Exemple : 736 : 6 = 122 et il reste 4
Le reste doit toujours être inférieur au diviseur.( reste < diviseur) Le diviseur ne peut pas être égal à zéro.(on ne peut pas diviser par zéro)
7 3 6 6
- 6 1 2 2
1 3
- 1 2
1 6
- 1 2
4
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II) Division euclidienne.
a) Propriétés.
Exemple précédent: 736 = 6 × 122 + 4 ( avec 4 < 6 )
Dividende = ( Diviseur × quotient ) + reste avec reste < diviseur
Dans une division euclidienne, le dividende, le diviseur, le quotient et le reste sont des nombres entiers.
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b) Application : Effectuer la division de 278 par 7.
Par contre la division de 273 par 7 donne 39 avec un reste =0 ; on dit
alors que 39 est un quotient exact.
Forme détaillée Forme compacte
2 7 8 7 OU 2 7 8 7 OU 2 7 8 7
- 0 0 3 9 - 2 1 3 9 6 8 3 9
2 7 6 8 5
- 2 1 - 6 3
6 8 5 (On fait les
soustraction de tête) - 6 3 L’égalité qui vérifie cette division euclidienne est :
278 = (7 × 39) + 5 5
Car 2<7
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III) Multiples et diviseurs.
a) Un multiple d’un nombre est obtenu en multipliant ce nombre par un
entier. Exemples :
36 est un multiple de 6 car 6 × 6 = 36 36 est un multiple de 9 car 9 × 4 = 36 36 est un multiple de 12 car 12 × 3 = 36 …etc.
Dans tout ces cas on peut également dire que 6,9 et 12 sont des diviseurs de 36. Par contre 36 n’est pas un multiple de 5 car 5 n’est pas un
diviseur de 36. Remarques : 0 est le multiple de tout nombre. 1 est le diviseur de tout nombre.
Un nombre entier non nul est à la fois multiple
et diviseur de lui-même.
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b) Critères de divisibilité. - Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0,2,4,6 ou 8.
- Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses chiffres des dizaines et des unités est divisible par 4.
- Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
- Un nombre est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
- Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
- Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
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IV) Division décimale.
a) A quotient exact : Si la division donne un reste égal à zéro, alors on dit que l’on obtient un
quotient exact. (entier ou décimal)
Exemple : 294 : 35
Dans la division de 294 par 35 on obtient un quotient exact de 8,4 donc :
294 : 35 = 8,4 ou 294 = 35 × 8,4
2 9 4 35
- 2 8 0 8, 4
1 4 0
- 1 4 0 0
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b) A quotient approché :
Si la division ne donne pas un reste égal à zéro, alors on dit que l’on obtient un quotient approché. (au 10ème prés ou au 100ème prés ou …)
Exemple : 35,2 : 3 au 100ème prés
11,73 < (35,2 : 3) < 11.74
11,73 est le quotient approché, par défaut, au 100ème prés. (0,01 prés) 11,74 est le quotient approché, par excès, au
100ème prés. (0,01 prés)
3 5, 2 0 3
- 3 11, 73
0 5
- 3
2 2
- 2 1
1 0
- 9
1
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V) Division par 10 ; 100 ; 1000 …
Pour diviser un nombre par 10; 100; 1000 … on déplace la virgule
de 1; 2; 3 … rangs vers la gauche ce qui revient à multiplier le nombre par 0,1 ;0,01 ;0,001 …(voir chapitre 3 sur la multiplication)
Exemples : 22,4 : 10 = 2,24
22,4 : 100 = 0,224 22,4 : 1000 = 0,0224
2 zéros ; 2 rangs vers la gauche
3 zéros ; 3 rangs vers la gauche Et on rajoute 1 zéro.
1 zéro ; 1 rang vers la gauche
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