A rendre le … Lycée Philippe Lebon TS.Spé - Décembre 2012

DM n°5 - Nombres premiers, congruences

Exercice 1 Quelques petites questions sur les nombres premiers. 1. Démontrer que tout nombre premier supérieur à 2 est de la forme 4k±1. 2. Les nombres de la forme 4k±1 sont-ils premiers ? 3. p étant un nombre premier, résoudre dans É l’équation x2−y2=p. 4. a. Démontrer que pour tous réels x et y on a x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2). b. Résoudre dans É l’équation x3−y3=127. 5. Soit p un nombre premier et n un entier naturel. Quelle est la somme des diviseurs positifs de pn ?

Exercice 2 1. Un entier naturel admet seulement deux diviseurs premiers distincts, le nombre total de ses diviseurs est 6 et la somme de ces diviseurs est 28. Quel est ce nombre ? 2. Un entier naturel n ne contient que les facteurs premiers 5 et 7. Le nombre des diviseurs positifs de n2 est le triple de celui de n. Trouver n.

Indication : on pourra avoir besoin de la factorisation uv−u−v=(u−1)(v−1)−1

Exercice 3 1. Déterminer, suivant les valeurs de n, le reste de la division euclidienne par 5 de 2n et 3n. 2. En déduire pour quelles valeurs de l’entier n le nombre A défini par A=1188n+2257n est divisible par 5.

Exercice 4 1. a. Démontrer que pour tout entier n, 23n−1 est un multiple de 7. b. En déduire que 23n+1−2 est un multiple de 7, puis que 23n+2−4 est un multiple de 7.

2. Déterminer les restes dans la division euclidienne par 7 des puissances de 2.

3. Le nombre p étant un entier naturel, on considère le nombre Ap défini par : Ap=2

p+22p+23p. a. Si p=3n, quel est le reste de la division euclidienne de Ap par 7 ? b. Démontrer que si p=3n+1, alors Ap est divisible par 7. c. Etudier le cas où p=3n+2.