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Page 1: Équations de fermeture des équations fluides dans les magnétoplasmas non-collisionels Approche cinétique / Approche fluide Équations fluides et le problème

Équations de fermeture des équations fluides

dans les magnétoplasmas non-collisionels

• Approche cinétique / Approche fluide

• Équations fluides et le problème de leur fermeture

• Différentes approches dans la littérature

• Nos résultats (Chust & Belmont, PoP, sous presse 2005)

Thomas Chust(CETP/CNRS-UVSQ/IPSL, Vélizy, France)

Atelier « Comparaison des théories fluides et cinétique des ondes d'Alfvén à travers l'expérimentation numérique »7-10 novembre 2005, CIAS, Observatoire de Meudon

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APPROCHE CINÉTIQUE / APPROCHE FLUIDEdu système couplé Vlasov-Maxwell

CINÉTIQUE

Intégration/ w

solution

Équation de Vlasov

Moments macroscopiquesn[t, r, w] et v[t, r, w]

Équations de Maxwell

f[t, r, w]

Système fluide

Intégration/ w

solution

FLUIDE

Deux approches différentes pour résoudrele même problème à partir de la même équation

En principe équivalentes mais en pratique …

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SOLUTION DE L’ÉQUATION DE VLASOV

0)().()(.)( fm

qff wt BwEw

Équation de Vlasov pour une population (ions ou électrons) :

),,(),,( 000 wrwr tftf

Solution :),,( 000 wrt),,( wrt trajectoire

1) Solution dépend de l’histoire spatio-temporelle des champs E et B

En pratique, des simplifications sont nécessaires :

linéarisation,

modèle 1- ou 2-D,

évolution quasi-statique,

nombre limité de particules …

2) Forme quelconque de f

Nombre infini de degrés de liberté

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ÉQUATIONS FLUIDES

Intégration de Vlasov / w Équations exactes

.........

01

)()()()(

0)()()(

0)()()(

0)()(

sym

sym

nmchaleurdeflux

pression

nqnmnmimpulsion

nndensité

ct

ct

t

t

ppQΩv.QRQvQ

pΩvpQpvp

BvEpvvv

v

1) Solution dépend de l’histoire spatio-temporelle des champs E et B

En pratique, il faut tronquer le système :

une équation de fermeture est nécessaire

2) Système d’équations infini (moments)

Forme quelconque de f

(généralement à l’ordre , ou )p Q R

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CONDITIONS POUR UNE FERMETURE

Collisionel :

Forme maxwellienne de f justifiée par la dynamique locale des particules

Nombre fini de degrés de liberté

Relation locale entre n, etpest possible

collisiont d collisionr l/1( )and

Non-collisionel :

Possibilité de prédominance de modes “fluides” (relations de dispersion)

Relation fini entre les premiers moments de f est possible seulement si on se limite aux fluctuations qui en première approximation n’impliquent pas tous les degrés de liberté du plasma non-collisionel

(opérateur de collision dominant dans l’équation de Boltzmann)

Pas de constrainte locale sur la forme de f

Q

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PRINCIPALES CARACTÉRISTIQUES DES FERMETURES

1) Hypothèses de symétrie (quelles composantes tensorielles garde-t-on libres?)

2) Ordre de la fermeture (fermeture au niveau de , , , etc. ?)

3) Nature de la fermeture (quel type d’approximation ?)

p Q R

Ces 3 différents aspects du problème sont généralement liés …

Fermeture « double-adiabatique » CGL :

1) Symétrie gyrotropique

2) Concerne l’ordre 3

3) Annulation du flux de chaleur

Exemple:

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APPROCHE DE GRAD-MINTZER À N-MOMENTS

]1[0A ff

Principe: Adoption d’une expression approchée pour la fonction de distribution en fonction des premiers moments macroscopiques

r

z

q

y

p

xpqr

N

rqpccca

1

0

en fonction des moments exacts d’ordre m ≤ p + q + r ≤ N-1

avec

fonction de distribution de base (“ordre 0”)

Maxwelliennne isotrope: Grad (1958), Schunk (1977)Quelconque: Mintzer (1965)Bi-Maxwellienne: Schunk, Barakat, Demars, Blelly …Flux de chaleur non nul : Leblanc & Hubert … 1) Choix ad hoc des symétries

2) Fermeture à l’ordre N3) Approximation dépendant de f0

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APPROCHES LINÉAIRES

10 fff

Principe: Calculs exacts à partir d’une fonction de distribution d’ordre 0 et mise en relation des différents moments après approximation de la fonction de réponse du plasma

1p 1Q 1R …

Belmont & Rezeau (1987), Belmont & Mazelle (1992)Quataerts et al. (2002), Ferrière & André (2002 et après …)

Hammett, Snyder et co-auteurs (1990 et après …)Passot, Sulem et co-auteurs (2003 et après …)

Modèles formellement fluides des modes miroir, d’interchange … :

Modèles « Landau-fluides » :

1n

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CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (1)

Simplification au niveau de la forme de f A l'ordre 0, fonction f gyrotrope

||00

00

00

p

p

p

p

)(|| yyzxxzyzyxzxzyyzxxzzz eeeeeeeeeeeeeeeeeeqeeeqQ

ct Ωd

thc VΩ /

cth ΩV ||||

Hypothèses intuitives :

Pas d'effets de fréquence fini:

Pas d'effets de rayon de Larmor fini:

Pas de résonance cyclotron:

(1) Condition de gyrotropie

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CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (2)

)()()( N

ng

N

g

N TTT

)()(

)(d)(d

1Qvpppep

symtt

c

sym

z n

n

Ω

)(/)()(

)(d)(d

1 symsym

Rppv.QQQeQ nmn

n

Ωt

tc

z

… …

1

,dMax

cA

rthAt

Ω

V

),(Min ||

||

p

p

p

pA

N

th

N

ng nmV )(Tavec

nm

ppr ~

thth VVnmp | |

ththth VVVnmq | |

Hypothèse de compacité :

Condition “sls” de gyrotropie :

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CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (3)

(2) Condition d’adiabaticité

zzt ppp )()(2)(d |||||||| Qvv

2/)()()()(2d || xxyyt ppp QQvv

1

)()()()(2d

)(2)()(2)(d

||

||||||||||

zzt

zzt

qqppp

qqppp

eevv

eevv

Condition d’adiabaticité :rth

tA V

d

Condition “sls” de gyrotropie

||||

||

||||

||,

||Max

pV

q

pV

q

thth

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CONDITIONS DE VALIDITÉ DES SYMÉTRIES DES TENSEURS (4)

(3) Condition d’adiabaticité ||

1

)()()()(2d

)(2)()(2)(d

||

||||||||||

zzt

zzt

qqppp

qqppp

eevv

eevv

rth

tA V

d

||||22

||

||

||||

d

/)(,

/Max

th

t

ththththA VnVnVVV

Condition d’adiabaticité || :

)()(2d

)(2)(d

||

||||||||

vv

vv

ppp

ppp

t

t

||||

||

||||

||,

||Max

pV

q

pV

q

thth

Fermeture « double-adiabatique » CGL

(fermeture “gyrotropique-adiabatique”)

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LES LOIS "DOUBLE-ADIABATIQUES" (CGL)

tthV d||||

0d

nB

pt

0d 3||

2

n

pBt

Si

)()()()(2d

)(2)()(2)(d

||

||||||||||

zzt

zzt

qqppp

qqppp

eevv

eevv

Commeq

mnmt ]/)()(d[0)( pvBvE

négligeable dans les conditions de gyrotropie et d’adiabaticité

(variations “temporelles”)

B

Bt )(d)()(|| vv

Ce sont de vraies lois fluides …

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(variations “spatiales” ou résonance Landau)

Divergence du flux parallèle de chaleur n’est plus négligeable

Pas de fermeture exacte: modèles “Landau-fluides”, à N-moments, lois isothermique, polytropiques, …

LOIS “PHÉNOMÉNOLOGIQUES”

Si tthV d||||

)()()()(2d

)(2)()(2)(d

||

||||||||||

zzt

zzt

qqppp

qqppp

eevv

eevv

)(3)()()()(3)(3)()(d ||||||||||||||

|||||||| zzzt rrpppnm

pqqq eeevv

)()()()()()()(2)(d |||||||||| zzzt rrrpppnm

pqq eeev

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FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (1)

nmpr

nmppr

nmpr

/2

/

/3

2

||||||

2

||||||||||

)()()()(2d || zzt qqppp eevv

0)()( vnnt

0)()()( BvEpvvv nqnmnmt

||00

00

00

p

p

p

pavec

Équations fluides pour une espèce :

)(3)()()()(3)(3)()(d ||||||||||||||

|||||||| zzzt rrpppnm

pqqq eeevv

)()()()()()()(2)(d |||||||||| zzzt rrrpppnm

pqq eeev

)(2)()(2)(d |||||||||| zzt qqppp eevv

thVV /||( quelconque)

Tout se joue dans la détermination des coefficients …

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FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (2)

nmpr

nmppr

nmpr

/2

/

/3

2

||||||

2

||||||||||

thVV /||( quelconque)

Pour une fonction de distribution Maxwellienne :

1||||||

(fermeture normale)

Directement comparable aux modèles à 16-moments de Barakat & Schunk (1982)

Résultats équivalents à ceux de Ramos (2003)

Coefficients constants approche de Grad-Mintzer à 8-moments

Modèles “Landau-fluides”: approximation au plus près de la théorie cinétique linéaire

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FERMETURE “GYROTROPIQUE-ADIABATIQUE ” (3)

)(3)()()()(3)(3)()(d ||||||||||||||

|||||||| zzzt rrpppnm

pqqq eeevv

)()()()()()()(2)(d |||||||||| zzzt rrrpppnm

pqq eeev

(variations “spatiales”)Si tthV d||||

0)(11)()(12)(

|| ||

|| ||||

|||| ||

||

|| ||

|| ||||||

|| ||

|| ||

||

||||

p

p

B

B

n

n

p

p

0)(1)(1212)()()(

||

||||

||

||

||

||||

||||||

||||||||

p

p

p

p

B

B

n

n

p

p

B

B

p

p

np

np )(1

/

/ ||

||

||

0/|||| np

fonction de distribution Maxwellienne :(fermeture normale)

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2) Partie non-gyrotopique de mise à zéro comme avant: R

0)()( vnnt

0)()()( BvEpvvv nqnmnmt

||00

00

00

p

p

p

p

1) Expression entière de (parties gyrotropique et non-gyrotropique) : )(Q

with

FERMETURE “GYROTROPIQUE" (1)(pas de restriction sur le flux de chaleur)

nmpr

nmppr

nmpr

/2

/

/3

2

||||||

2

||||||||||

3) Partie gyrotropique de calculée comme avant :Q

zzt ppp )()(2)(d |||||||| Qvv

2/)()()()(2d || xxyyt ppp QQvv

)(3)()()()(3)(3)()(d ||||||||||||||

|||||||| zzzt rrpppnm

pqqq eeevv

)()()()()()()(2)(d |||||||||| zzzt rrrpppnm

pqq eeev

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FERMETURE “GYROTROPIQUE" (2)(pas de restriction sur le flux de chaleur)

)(/)()(

)(d)(d

1 symsym

Rppv.QQQeQ nmn

n

Ωt

tc

z

c

yy

c

yyxzz

ppp

nm

prrrq

)()()()()3()( |||||||||||||| ee

c

xx

c

xxyzz

ppp

nm

prrrq

)()()()()3()( |||||||||||||| ee

c

yy

c

yyxyy

rrrppp

nm

pq

)()2/()2/()()()( |||||||| ee

c

xx

c

xxyxx

rrrppp

nm

pq

)()2/()3/()()()( |||||||| ee

c

yyy

c

yyxxx

rrrrrr

ppp

nm

pq

)()2()()2/()(

)()()(3

||||x||||

||||

ee

e

c

xxx

c

xxyyy

rrrrrr

ppp

nm

pq

)()2()()2/()(

)()()(3

||||y||||

||||

ee

e

)2/()()(

||

rrqq

c

xzyyzxxxzyyz

eeee

)2/(2

)()(||

rrqc

zyzxxyz

ee

4) Partie non-gyrotropique de :Q

Résultat pas équivalent aux approches précédentes à l’ordre le plus bas car ici distinction entre gyrotropie et adiabaticité …

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Prend en compte les asymétries de f le long de n’importe quel axe (x, y ou z) ?

UNE FERMETURE “NON-GYROTROPIQUE” ?

nm

ppr

(avec aucune restriction ?)

• Les approches à N-moments (ex. Barakat & Schunk, 1982) font implicitement ce genre de fermeture

• Récemment, Goswami, Passot et Sulem (2005) ont utilisé explicitement ce genre d’approximation pour tenir compte d’effets correctif dûs aux termes non-gyrotropiques dans les tenseurs de pression et de flux de chaleur.

• Ramos (2005) également mais juste formellement

Valable seulement pour une approche perturbative ?

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CONCLUSION

Fermeture des équations fluides approximation des coefficients

Notion de relation de dispersion existence de modes “fluides” (qualitatifs)

En première approximation, la participation d’un nombre infini de modes cinétiques (solutions du système Vlasov-Mawell) doit pouvoir se ramener à un nombre fini de modes “fluides” (solutions du système fluide que l’on cherche)

Pas de coefficients universels même dans le cas quasi-statique !

Condition de gyrotropie condition d’adiabaticité (expansion à deux paramètres: distinguer clairement les échelles temporelles des échelles spatiales)


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