PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Estimation de copules, une approche bayésienne
Présenté par François PerronUniversité de Montréal
Paris, jeudi le 3 février 2011
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Plan de l’exposé
I PréléminairesI L’approche géométriqueI L’approche mesure spectraleI L’approche polynomiale
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Copule C(U, V) : couple aléatoireL(U) = L(V) = U(0, 1)C : fonction de répartition du couple (U, V)Propriétés de C :
1 Le support C : [0, 1]× [0, 1] → [0, 1]
2 Les conditions aux bornes
C(0, v) = C(u, 0) = 0, u, v ∈ [0, 1]
C(1, v) = v et C(u, 1) = u, u, v ∈ [0, 1]
3 La croissance, 0 ≤ u1 ≤ u2 ≤ 1 et 0 ≤ v1 ≤ v2 ≤ 1 ⇒
C(u2, v2)− C(u1, v2) ≥ C(u2, v1)− C(u1, v1)
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Théorème de Sklar(X, Y) : couple aléatoire continu∃C une copule telle que
F(x, y) = C(FX(x), FY(y)) ∀x, y ∈ R
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Les valeurs extrêmes(X1, Y1), (X2, Y2), . . . ,(Xn, Yn) : un échantillon,X(n), Y(n) : les maximumsHypothèse : il existe une normalisation de sorte que
X(n) − an
αn,
Y(n) − bn
βn
ont une loi limite non dégénérée.
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Les copules de valeurs extrêmes(X, Y) : couple aléatoire dont la loi est une loi limite pour desmaximums renormalisésOn a les caractérisations suivantes,
− log(FX(x)) ={(
1 + ξXx− µX
σX
)∨ 0
}−1/ξX
− log(FY(y)) ={(
1 + ξYy− µY
σY
)∨ 0
}−1/ξY
et la copule dépend d’une fonction A avec
C(u, v) = exp{
log(uv)A( log(u)
log(uv)
)}, u, v ∈ (0, 1)
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L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
La modélisationM : espace des paramètres, copule et margesS : échantillonL : vraisemblanceη : fonction à estimer, la copule, une loi prédictive, etcM⊃ ∪∞i=1Mi union denseπ : loi a priori sur iπi : loi a priori conditionnelle sur Mi étant donné iη : espérance a posteriori de η
La partie simulationÉvaluer η : MCMC avec Metropolis-Hastings et sauts réversibles
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L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
La fonction de Pickands A
La définitionUne fonction A : [0, 1] → R est une fonction de Pickands si
1 A est convexe
2 A(0) = 1 et A(1) = 1
3 D+A(0) ≥ −1 et D−A(1) ≤ 1
La géométrie du problèmeUne fonction A : [0, 1] → R est une fonction de Pickands si
1 A est convexe
2 la courbe A est enfermée dans le triangle formé des sommets
(0, 1), (1/2, 1/2), (1, 1).
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
la construction
la fonction A, l’approximation par φ
0 = t1 < t2 < · · · < tK = 1 : les noeuds{ai}K
i=1 : les évaluations (ai = A(ti))pi = (ti, ai), i = 1, . . . , K : les pointsOn interpole les points par une fonction convexe de PickandsSoit φ la fonction décrivant la courbe obtenue suite à l’interpolation
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l’interpolation entre les points pi et pi+1
mj : pente de la droite passant par pj et pj+1, j = i− 1, i, i + 1mi = (mi−1 + mi)/2Courbe de Bézier qui passe par pi et pi+1 avec pente mj en tj,j = i, i + 1.
la qualité d’approximationA : fonction de Pickandsti = (i− 1)/(K − 1), ai = A(ti), i = 1, . . . , K,φ, fonction obtenue à partir des pi, i = 1, . . . , K,
‖A− φ‖∞ ≤ 1/2(K − 1)
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Figure 1
A
B
CD
E
F
FIG.: La disposition des points A, B, C, D, E et la liberté du point C
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la loi a priori
les margesIl y a les trois paramètres (µ, log(σ), ξ) pour chacune des marges,lois normales indépendantes partout, Coles (2001)
les paramètres K et pLoi discrète sur K, K = 3, 4, . . . , U ( on tronque )Loi uniforme sur {p2, . . . , pK−1 : φ est une fonction de Pickands }
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
la chaîne
les optionsOn choisit une option avec une certaine probabilité qui dépend de K eton effectue le test de Metropolis
I modifier un des paramètres des margesI déplacer un des points p, (K → K)
I ajouter un des points p, (K → K + 1)
I retrancher un des points p, (K → K − 1)
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L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
déplacer le point pi → p′i, 1 < i < KConserver la convexité ⇔ p′i doit se trouver dans le triangle Ti−1 i+1donné par les sommets pi−1, pi+1 et l’intersection des droites −−−−−→pi−2pi−1et −−−−−→pi+1pi+2.On propose p′i en choisissant selon une loi uniforme sur Ti−1 i+1.
ajouter un point q entre les points pi et pi+1
q doit se trouver dans le triangle Ti i+1 donné par les sommets pi, pi+1et l’intersection des droites −−−→pi−1pi et −−−−−→pi+1pi+2.On propose p′i en choisissant selon une loi uniforme sur Ti i+1.
retrancher un point pi
On propose d’éliminer le point pi sans toucher aux autres points.
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PréléminairesL’approche géométrique
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Figure 2, Bayes, Capéraà et al, Hall et Tajvidi, Deheuvel
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
FIG.: 200 échantillons de taille 25
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Tableau 1 : MISE relatif, logistique, 1000 échantillons, margesconnues
TAB.: A(t) = 1− β + (β − α)t + {αrtr + βr(1− t)r}1/r
n = 10 n = 25 n = 100model r, α, β C H D C H D C H D
1 1.25,1,1 0.27 0.16 0.20 0.25 0.18 0.19 0.39 0.31 0.292 1.5,1,1 0.24 0.18 0.18 0.56 0.45 0.36 1.45 1.10 0.923 1.75,1,1 0.74 0.63 0.48 1.36 1.10 0.74 2.23 1.72 1.144 2,1,1 1.50 1.39 0.81 2.21 1.84 1.06 3.24 2.31 1.215 3,1,1 6.04 6.46 1.60 6.02 5.06 1.40 5.19 4.39 1.156 1.25,0.9,0.5 0.56 0.32 0.41 0.55 0.33 0.38 0.39 0.30 0.307 1.5,0.9,0.5 0.27 0.17 0.22 0.27 0.21 0.22 0.42 0.34 0.328 2,0.9,0.5 0.20 0.16 0.17 0.38 0.30 0.28 0.68 0.53 0.479 3,0.9,0.5 0.35 0.29 0.26 0.51 0.42 0.37 0.66 0.50 0.4310 5,0.9,0.5 0.44 0.34 0.33 0.51 0.41 0.36 0.56 0.42 0.3811 2,0.75,0.95 0.39 0.38 0.31 0.68 0.59 0.46 1.13 0.90 0.6912 2.5,0.75,0.95 0.74 0.72 0.52 0.96 0.88 0.63 1.18 1.08 1.0813 3.25,0.75,0.95 1.02 0.94 0.61 0.96 0.86 0.56 1.04 0.84 0.5614 5,0.75,0.95 0.98 0.97 0.62 0.76 0.61 0.43 0.86 0.63 0.4415 10,0.75,0.95 0.65 0.63 0.40 0.46 0.31 0.23 0.87 0.62 0.45
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Tableau 2 : MISE relatif, logistique, 1000 échantillons, margesinconnues
TAB.: A(t) = 1− β + (β − α)t + {αrtr + βr(1− t)r}1/r
n = 10 n = 25 n = 100model r, α, β C H D C H D C H D
1 1.25,1,1 0.31 0.24 0.24 0.30 0.25 0.25 0.40 0.35 0.352 1.5,1,1 0.12 0.17 0.17 0.37 0.39 0.39 1.26 1.18 1.183 1.75,1,1 0.25 0.48 0.48 0.84 0.98 0.98 2.01 1.86 1.864 2,1,1 0.45 1.12 1.11 1.52 1.62 1.62 3.01 2.44 2.445 3,1,1 0.89 3.92 3.72 4.37 4.82 4.80 6.07 4.35 4.356 1.25,0.9,0.5 0.89 0.51 0.51 0.86 0.57 0.57 0.57 0.45 0.457 1.5,0.9,0.5 0.32 0.26 0.26 0.32 0.28 0.28 0.48 0.43 0.438 2,0.9,0.5 0.15 0.18 0.18 0.31 0.33 0.33 0.72 0.62 0.629 3,0.9,0.5 0.21 0.32 0.32 0.47 0.50 0.50 0.74 0.70 0.7010 5,0.9,0.5 0.30 0.46 0.47 0.56 0.61 0.61 0.65 0.65 0.6511 2,0.75,0.95 0.20 0.30 0.30 0.53 0.57 0.57 1.14 1.07 1.0712 2.5,0.75,0.95 0.34 0.67 0.67 0.82 0.93 0.93 1.19 0.94 0.6213 3.25,0.75,0.95 0.45 1.05 1.04 0.99 1.11 1.11 1.02 1.03 1.0314 5,0.75,0.95 0.52 1.29 1.28 0.99 1.09 1.09 0.76 0.79 0.7915 10,0.75,0.95 0.51 1.31 1.30 0.66 0.73 0.73 1.32 1.44 1.44
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Figure 5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
(a) La Grande 4 vs Manouanes
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1
(b) LaGrande 4 vs EOL
FIG.: Estimation de A, Bayes, CFG et Hall
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L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Figure 6
600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000
100
200
300
400
500
600
700
(a) La Grande 4 vs Manouanes
600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20001000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
(b) LaGrande 4 vs EOL
FIG.: Bande de prévision à 95% et prévision
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Avantages et inconvénients liés à la méthode
AvantagesL’estimateur est une vraie fonction de dépendance, pas besoin detrafiquer !Approche bayésienneMeilleurs résultats pour tailles d’échantillon petites
InconvénientsRéponse numériqueLorsqu’on approche la colinéarité en plusieurs points consécutifs onreste coincé, les triangles s’aplatissent.L’asymptotique ?
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
la mesure spectrale
la définitionG1 et G2 : fonctions de répartition pour les margesG : fonction de répartition du couple alétoire
− log G(u, v) = `(− log G1(x),− log G2(y))
avec`(s, t) = 2
∫[0,1]
[ωs ∨ (1− ω)t] H(dω)
et, en plus, H : mesure de probabilité sur [0, 1] avec moyenne 1/2.
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
la construction
la fonction de répartition H, l’approximation par ϕ
On note H la fonction de répartition associée à la mesure HOn construit ϕD une mesure discrète sur 0, y1, . . . , ym, 1 avec0 < y1 < · · · < ym < 1, poids
I ϕD({0}) = H({0})I ϕD({1}) = H({1})I ϕD({y1}) = ϕD({y2}) = · · · = ϕD({ym})
On interpole ϕD avec des splines croissantesI ϕ− : interpolation par le bas, moyenne inférieure à 1/2I ϕ+ : interpolation par le haut, moyenne supérieure à 1/2I ϕ : combinaison convexe, moyenne ramenée à 1/2
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
la qualité d’approximation
‖H − ϕ‖∞ ≤ 2(1− H({0})− H({1}))/m
les conditions sur ϕD
0 ≤ ϕD({0}), ϕD({1})) ≤ 1/2
ϕD({yi}) = (1− ϕD({0})− ϕD({1}))/m i = 1, . . . , m
(1− ϕD({0})− ϕD({1}))y + ϕD({1}) = 1/2 (1)
notationϕD({0}), ϕD({1})) : atomesy1, y2, . . . , ym : noeuds
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
0 y1 y2 y3 y4 1w
1/4
1/2
3/4
1H
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
la vraisemblance
Principe de base, domaine d’attractionLes données brutes ne proviennent pas d’une loi à valeurs extrêmesmais les maximums sont dans le domaine d’attraction d’une loi àvaleurs extrêmes
Censurer les données à gauche(X1, Y1), (X2, Y2), . . . , (Xn, yn) : données brutesX∗i = Xi ∨ u, Y∗i = Yi ∨ v : données censuréesLoi des données censurées proche de celle de données censuréesd’une loi de valeurs extrêmes ( Ledford et Tawn 1996 )
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
la loi a priori
les margesIl y a les trois paramètres (µ, log(σ), ξ) pour chacune des marges,lois normales indépendantes partout, Coles (2001)
les paramètres m et yLoi discrète sur m, m = 1, 2, . . . , U ( on tronque )Loi uniforme sur{ϕD({0}), ϕD({1}), y2, . . . , ym−1 : ϕD est une mesure spectrale}
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Loi a priori, Poisson(10) tronquée en 0 sur m
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1H
FIG.: bande à 95% et espérance, 500 000 itérationsPrésenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
la chaîne
les optionsOn choisit une option avec une certaine probabilité qui dépend de m eton effectue le test de Metropolis
I modifier un des paramètres des margesI déplacer un des points y, (m → m)
I changer ϕD({0}) ou ϕD({1}), (m → m)
I ajouter un des points y, (m → m + 1)
I retrancher un des points y, (m → m− 1)
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
déplacer le point yi
Choisir j 6= i, δ tel que
0 < (yi + δ) ∧ (yj − δ) et (yi + δ) ∨ (yj − δ) < 1
Proposer yi → yi + δ, yj → yj − δ
changer ϕD({0}) ou ϕD({1})Choisir i, δ tel que
0 < yi + δ < 1 et 0 ≤ ϕD({0})′ < 1/2
où ϕD({0})′ est l’unique solution de l’équation (1)Proposer yi → yi + δ, ϕD({0}) → ϕD({0})′
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
ajouter un des points y, (m → m + 1)
Ajouter le point yDéplacer le point y comme si il y avait m + 1 points y
retrancher un des points yChoisir un point yi
Choisir j 6= i, tel que
(yi − y)(yj − y) < 0
Choisir δ tel queyi + δ = y
Proposer d’éliminer yi et de bouger yj → yj − δ
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PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Figure 5
0.75 0.8 0.85 0.9α
0
0.2
0.6
1
×102
MIS
E
(a)
0 0.25 0.5 0.75 1w
0
0.25
0.5
0.75
1
H
(b)
0 0.25 0.5 0.75 1w
0
0.25
0.5
0.75
1
H
(c)
0 0.25 0.5 0.75 1w
0
0.25
0.5
0.75
1H
(d)
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Figure 6
0.75 0.8 0.85 0.9α
0
0.2
0.6
1
×102
MIS
E
(e)
0 0.25 0.5 0.75 1w
0
0.25
0.5
0.75
1
H
(f)
0 0.25 0.5 0.75 1w
0
0.25
0.5
0.75
1
H
(g)
0 0.25 0.5 0.75 1w
0
0.25
0.5
0.75
1H
(h)
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Figure 7
0.75 0.8 0.85 0.9α
0
0.2
0.6
1
×102
MIS
E
(i)
0 0.25 0.5 0.75 1w
0
0.25
0.5
0.75
1
H
(j)
0 0.25 0.5 0.75 1w
0
0.25
0.5
0.75
1
H
(k)
0 0.25 0.5 0.75 1w
0
0.25
0.5
0.75
1H
(l)
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Dommages, bâtiment versus mobilier et biens personels
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1H
FIG.: bande à 95% et espérance, 500 000 itérationsPrésenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Dommages, bâtiment versus perte de profits
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1H
FIG.: bande à 95% et espérance, 500 000 itérationsPrésenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Dommages, mobilier et biens personels versus perte deprofits
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1w
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
H
FIG.: bande à 95% et espérance, 500 000 itérationsPrésenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Avantages et inconvénients liés à la méthode
AvantagesLes données ne proviennent pas nécessairement d’une loi à valeursextrêmesL’estimateur est une vraie mesure spectrale avec des atomes, pasbesoin de trafiquer !Approche bayésienneMeilleurs résultats pour tailles d’échantillon petites
InconvénientsOn doit choisir un bon point pour censurerRéponse numérique, le lissage est compliquéLorsque plusieurs points approchent les bornes on reste coincé, onmanque d’espace pour bouger.L’asymptotique ?
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
La représentation par une intégrale
La condition de régularitéA′ est une fonction absolument continue
La décomposition
A(ω) = 1− 12
B(2ω − 1)
B(x) =12
∫ 1
−1{(1− xy)− |x− y|}C(y) dy
=12
∫ 1
−1{(1 + x)(1− y) ∧ (1− x)(1 + y)}C(y) dy}
C ≥ 0,∫ 1−1(1− y)C(y) dy ≤ 2 et
∫ 1−1(1 + y)C(y) dy ≤ 2
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Les polynômes, version classique
La représentation vectorielle et la bijectionA : polynôme de degré ≤ m + 2B(x) = (1− x2)
∑mi=0 bixi, b ∈ Rm+1
C(x) =∑m
i=0 cixi, c ∈ Rm+1
b = Gc, G inversible
La caractérisation, intersection de deux ellipsoïdes
C(x) =
{P2(x) + (1− x2)Q2(x)x si m est pair,(1− x)P2(x) + (1 + x)Q2(x) si m est impair∑
k impairck
k+2 −∑
k pairck
k+1 ≤ 1,∑
k impairck
k+2 +∑
k pairck
k+1 ≤ 1
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Les polynômes, version Bernstein
La représentation vectorielle et la bijectionA : polynôme de degré ≤ m + 2Y(m, t) : variable aléatoire de loi binomiale(m, t)B(x) = (1− x2)E[β(Y(m, (1 + x)/2))], β ∈ Rm+1
C(x) = E[θ(Y(m, (1 + x)/2))], θ ∈ Rm+1
β = Γc, Γ inversible
La caractérisation ( version restreinte ), polytopeθ(k) ≥ 0, ∀k ( version restreinte ) h(x) ≥ 0, x ∈ (0, 1)
1m+1
∑mk=0(1−
k+1m+2)θ(k) ≤ 1
2 ,∫ 1
0 (1− y)h(y)dy ≤ 12 ,
1m+1
∑mk=0
k+1m+2θ(k) ≤ 1
2 .∫ 1
0 yh(y)dy ≤ 12 ,
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
la qualité d’approximation
l’approximation de BernsteinA : fonction de PickandsBm+2A : approximation de Bernstein
BnA(t) = E[A(Y(n, t)/n)]
la borneOn a les résultats suivants,
I Bm+2A est un fonction de Pikands polynomiale qui satisfait lacontrainte de la version restreinte
I |Bm+2A(t)− A(t)| ≤√
t(1− t)/(m + 2) ∀t ∈ [0, 1]
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
La loi a priori et la chaîne
loi a priori, version BernsteinDiscrète sur m et, conditionnellement à m, uniforme sur le polytope.
la chaîneMH standard avec sauts réversibles.
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne
PréléminairesL’approche géométrique
L’approche mesure spectraleL’approche polynomiale
Avantages et inconvénients liés à la méthode
AvantagesLa solution numérique se résume dans les paramètres du polynômeL’estimateur est une vraie fonction de dépendance, pas de lissage àfaire, pas besoin de trafiquer !Approche bayésienneMeilleurs résultats pour tailles d’échantillon petites ?Belles formules, liens entre le polynôme et la forme intégrale.
InconvénientsRéponse numérique, projet en devenir !Borne de l’ordre de O(1/
√n) à comparer avec O(1/n)
Lorsqu’on approche d’un sommet autre que l’origine on reste coincé,la pointe est aiguisée.L’asymptotique ?
Présenté par François Perron Université de Montréal Estimation de copules, une approche bayésienne