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Page 1: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

Présenté à l’Université 20 Août 55, Skikda

Faculté des Sciences et Sciences de l’Ingéniorat

Département des Sciences Fondamentales

Spécialité : Physique

Option : Energétique

Présenté par :

BOUHEZZA Aicha

Soutenu le : 28 /06/ 2007 Devant le jury :

Président : M. M. S. AIDA Professeur Université de MENTOURI - Cne

Examinateurs : M. E. MEZAACHE Professeur Université 20 Août 55 - SKIKDA

M. A. MOKHNACHE Maître de conférences Université de MENTOURI - Cne

Rapporteur : M. N. ATTAF Maître de conférences Université de MENTOURI - Cne

ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN

CONVECTION MIXTE : EFFET DE L'INCLINAISON DE LA

PAROI

Mémoire de Magister

Page 2: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

A mes très chers parents

Je dédie ce mémoire

Page 3: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

REMERCIEMENTS

Je remercie Dieu pour le peu de savoir qu'il nous a permis d'acquérir.

Ce travail a été réalisé au Laboratoire de Recherche de Physico-Chimie des Surfaces et

Interfaces, LRPCSI, de l'Université 20 Août55 de Skikda avec la collaboration du Laboratoire

de Couches Minces et Interfaces, LCMI, de l'Université Mentouri de Constantine.

Mes remerciements s'adressent spécialement à Monsieur N. ATTAF, Maître de

conférences au Département de Physique de l'Université Mentouri de Constantine, mon

encadreur dans ce travail qui m'a fait profiter de ses compétences scientifiques et de sa rigueur

pour le travail bien fait. Il n'a jamais ménagé sa personne ni son temps pour me prodiguer de

judicieux conseils.

Je tiens a remercier Monsieur M. S. Aida, professeur au Département de Physique de

l'Université Mentouri de Constantine, bien voulu accepter de présider le jury de ma thèse

malgré ses nombreuses occupations.

Je tiens particulièrement à exprimer ma profonde reconnaissance à Monsieur E.

MEZAACHE, professeur au Département des Sciences Fondamentales de l'Université de 20

Août 55 de Skikda pour son aide, ses conseils et son acceptation d'examiner mon travail.

Je tiens à remercier Monsieur A. MOKHNACHE, Maître de conférences au

Département de Physique de l'Université Mentouri de Constantine, bien voulu examiner mon

travail.

Je veux aussi remercier Monsieur L. AISSANI, pour son aide, ses conseils et ses

encouragements.

Mes remerciements sincères s'adressent à F. BERRAHIL pour tout son aide et ses

conseils.

Enfin, je ne saurais oublier mes très chers parents pour le grand appui moral qu'ils ont

su m'apporter tout au long de mes études.

Page 4: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

SOMMAIRE

Page 5: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

SOMMAIRE

INTRODUCTION GENERALE .......………………………………………..………. 1

NOMENCLATURE ……………………………………………………………...…..… 3

CHAPITRE I : ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

I.1 Introduction ………………………………………………………..……….…...….. 6

I.2 La convection mixte externe ……………………………………………………… 7

I.2.1 Définition ……………………………………………………...…………… 7

I.2.2 La plaque plane verticale en convection mixte ……………………….…… 8

I.3 Travaux bibliographiques relatifs au domaine ... …………………...……………. 10

CHAPITRE II : MODELE MATHEMATIQUE

II.1 Equations générales de conservation ……………………..……………………… 14

II.1.1 Equations de conservation pour les écoulements laminaires bidimensionnels...14

I.1.1.1 Equation de continuité ………………………………………….…….. 14

I.1.1.2 Equations de quantité de mouvement …………………………….….. 14

I.1.1.3 Equation d'énergie ……………………………...………….………… 15

II.2 Présentation du problème .……………………………………...…………………. 18

II.2.1 Hypothèses simplificatrices ………………………………………………….. 18

II.3 Formulation du problème …………………………………………………………. 19

II.3.1 Equations de conservations ……………………………………..……….... 19

II.3.2 Conditions aux limites ……………………………………………………… 21

II.4 Adimensionnalisation des équations……... ……………………………...……….. 22

II.4.1 Principales grandeurs physiques et variables adimensionnelles ……………. 22

II.4.2 Equations adimensionnelles ……………………………..………..….…….. 23

II.4.4 Conditions aux limites ………………………………………………………. 24

CHAPITRE III : MODELISATION NUMERIQUE

III.1 Introduction ..……………………………………………...……………………. 26

III.2 Méthode des volumes finis. ………………………………......…………….…… 26

III.3 Equation générale de transport ……………………………………….….……… 27

III.4 Maillage ………………………………………………...………………………. 28

Sommaire

Page 6: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

III.5 Discrétisation des équations de conservation. ………………………………….. 31

III.5.1 Application d'un schéma numérique quelconque …………………………… 35

- Equation de quantité de mouvement …...…………………………….. 38

- Equation d'énergie ………...…………………………………………. .40

III.6 Résolution numérique …………………………………..………………………. 42

III.6.1 L'algorithme SIMPLE …………………………………………………….. 42

III.6.2 L’algorithme SIMPLER …………………………………………………... 46

III.6.3 Le critère de convergence …………………..………………………….. 49

III.6.4 Méthode itérative de résolution. .……………………...………………….. 49

III.7 Algorithme de calcul ……………………………………………….…………… 53

CHAPITRE IV : RESULTATS ET DISCUSSION

IV.1 Description des objectifs de notre étude.……………………………………..….. 55

IV.2 Validation numérique du modèle……………………………..………………….. 55

IV.3 Résultats de la convection mixte dans le cas favorable ……………...…………. 58

IV.3.1 Cas de l'air (Pr = 0.72) ……………………………………………………… 58

IV.3.1.1 Influence du nombre de Richardson sur l'écoulement (0≤Ri≤5) …........ 58 IV.3.1.2 Influence de l'angle d'inclinaison (α) sur l'écoulement ……..………... 64

IV.3.2 Cas de l'eau (Pr =7.0) …………………………………………….………… 68

IV.3.2.1 Influence du nombre de Richardson sur l'écoulement (0≤Ri≤10) …..… 68

IV.3.2.2 Influence de l'angle d'inclinaison (α) sur l'écoulement ...…………... 73

IV.3.3 Analyse comparative entre les résultats de l'air et de l'eau ……..………..... 77

IV.4 Résultats de la convection mixte dans le cas défavorable ……………………… 83

CONCLUSION GENERALE .......................................................................................94

BIBLIOGRAPHIE ..........................................................................................................96

ANNEXES

Annexe A : Compléments relatifs aux relations fondamentales .....................................100

Annexe B : Courbes de variations des champs de vitesse et de température ...................102

Sommaire

Page 7: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

INTRODUCTION

Page 8: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

La convection mixte est un phénomène de transfert thermique associé aux

écoulements de fluide. La présence de la convection naturelle influe simultanément sur les

champs thermique et hydrodynamique ; le problème est ainsi couplé. Dans la littérature, il est

bien connu que les mouvements secondaires résultant de la convection naturelle influencent

l'échange thermique par convection et augmente le nombre de Nusselt.

La convection mixte sur une plaque plane intervient dans plusieurs applications

pratiques telles que les collecteurs solaires, le refroidissement des composants électroniques,

les centrales industrielles, la climatisation, l'industrie agroalimentaire etc, …

Dans ce travail, nous nous proposons, par une simulation numérique, d'étudier le

comportement dynamique et thermique d'un écoulement laminaire en convection mixte le

long d'une plaque plane isotherme, inclinée par rapport à la verticale. Cette étude portera plus

précisément sur les influences du nombre de Richardson (Ri=Gr/Re2) et de l'inclinaison de la

plaque sur les champs thermique et hydrodynamique de l'écoulement.

Dans le premier chapitre, dans le but de situer notre travail, on présente le phénomène

de la convection ainsi que quelques rappels bibliographiques en rapport avec le problème

posé.

Le deuxième chapitre est consacré à la formulation du problème, aux hypothèses

simplificatrices et à l'établissement des équations et des conditions aux limites qui leurs sont

associées. Enfin, nous définissons les principales grandeurs adimensionnelles caractérisant le

modèle.

Dans le troisième chapitre, nous présentons la méthode numérique adoptée. Nous

avons opté pour la méthode des volumes finis pour discrétiser les équations aux dérivées

partielles. L'algorithme SIMPLER proposé par Patankar (1980), est bien adapté car il permet

le calcul de correction de la pression et de la vitesse. Cette discrétisation donne un système

matriciel tridiagonal. Sa résolution est obtenue par l'utilisation de l'algorithme de Thomas.

Introduction générale

1

Page 9: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Le quatrième chapitre est consacré à la présentation des résultats de calcul et à leur

discussion. L'étude comporte les deux cas de la convection mixte, en l'occurrence, le cas

favorable (écoulements forcé et naturel sont dans le même sens) et le cas défavorable

(écoulements sont dans le sens inverse) et ceci pour deux fluides différents : l'air

(Pr=0.72) et l'eau (Pr=7). Nous avons aussi évalué l'incidence de l'angle d'inclinaison de la

plaque sur le phénomène de la convection mixte. Enfin, nous validons les résultats obtenus

par une comparaison avec les travaux antérieurs de quelques chercheurs. Nous terminons par

une conclusion générale dans laquelle nous dégagerons les principaux résultats obtenus au

cours de cette étude et nous en signalons les extensions possibles.

Pour ne pas alourdir la présentation du texte, nous donnons en annexes quelques

compléments relatifs aux relations fondamentales ayant servies à l'étude (Annexe A) et

courbes de variations des champs de vitesse et de température (Annexe B).

2

Introduction générale

Page 10: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

NOMENCLATURE

Page 11: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Diffusivité thermique m2.s-1

A Coefficients dans le système d'équations algébriques discrétisées

A|P| Fonction d'un schéma numérique en fonction du nombre de Peclet

b Terme source dans le système d'équations algébriques discrétisées

CP Capacité calorifique à pression constante J. kg -1. K-1

Cƒ Coefficient de frottement pariétal

D Terme de diffusion dans le système d'équations algébriques discrétisées

dXe, dXw , dYn, dYs sont respectivement les distances entre le nœud considéré P et

les nœuds E, W, N, S e Energie interne J

F Terme de convection dans le système d'équations algébriques discrétisées

g Accélération de la pesanteur m . s-2

Gr Nombre de Grashof

k Conductivité thermique W. m-1. K-1

L Longueur de la plaque m

Nu Nombre de Nusselt

p Pression Pa

P Pression adimensionnelle

Pe Nombre de Peclet

Pr Nombre de Prandt

Re Nombre de Reynolds

Ri Nombre de Richardson

Terme source

T Température K

u Composante de la vitesse dans la direction x m . s-1

U Composante de la vitesse adimensionnée dans la direction x

Nomenclature

a

φS

3

Page 12: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

v Composante de la vitesse dans la direction y m . s-1

V Composante de la vitesse adimensionnée dans la direction y

x Abscisse dans le sens de l'écoulement m X Coordonnée adimensionnée dans la direction x

y Coordonnée normale à la plaque m

Y Coordonnée adimensionnée dans la direction y

Symboles grecques

α Angle rad

β Coefficient d'expansion thermique à pression constante K-1 Variable dépendante générale (représente: la pression, la température et les

composantes de la vitesse)

µ Viscosité dynamique kg . m-1. s-1

ν Viscosité cinématique m2 . s-1

ρ Masse volumique kg . m-3

τ Contrainte tangentielle du frottement N . m-2

θ Température adimensionnelle

Φ Fonction de dissipation N. m-1. s-2

σ Contrainte de cisaillement N. m-2

Г Coefficient de diffusion générale

ΔX, ΔY Dimensions du volume de contrôle considéré

Indices

E Nœud considéré du coté est du nœud P

e La face est du volume de contrôle considéré

N Nœud considéré du coté nord du nœud P

n La face nord du volume de contrôle considéré

φ

Nomenclature

4

Page 13: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

P Nœud considéré du maillage

S Nœud considéré du coté sud du nœud P s La face sud du volume de contrôle considéré

W Nœud considéré du coté ouest du nœud P

w La face ouest du volume de contrôle considéré

Paroi x Position suivant Ox

y Position suivant Oy

∞ Position à l'infinie

Exposant ⎯ valeur moyenne

Nomenclature

5

Page 14: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

CHAPITRE I ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

Page 15: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

I.1 Introduction La convection est un mode de transport d'énergie par l'action combinée de la

conduction, de l'accumulation de l'énergie et du mouvement du milieu. Elle est

considérée comme le mécanisme le plus important de transport d'énergie entre une

surface solide et un liquide ou un gaz. Le transport d'énergie par convection d'une surface

dont la température est supérieure à celle du fluide qui l'entoure s'effectue en plusieurs

étapes. D'abord la chaleur s'écoule par conduction de la surface aux molécules du

fluide adjacentes. L'énergie ainsi transmise sert à augmenter la température et l'énergie

interne de ces molécules du fluide. Ensuite les molécules vont se mélanger avec d'autres

molécules situées dans une région à basse température et transférer une partie de leur énergie.

Dans ce cas l'écoulement transporte, simultanément, le fluide et l'énergie. L'énergie est, à

présent, emmagasinée dans les molécules du fluide et elle est transportée sous l'effet de leur

mouvement.

La transmission de chaleur par convection est désignée, selon le mode d'écoulement du

fluide, par convection libre, convection forcée et convection mixte [1-6]

● Convection forcée Le phénomène de convection forcée apparaît quand le mouvement du fluide est imposé

par une cause mécanique extérieure (pompe, ventilateur, …) au système [1-6]

● Convection naturelle Le phénomène de convection naturelle thermique apparaît spontanément, sous le seul

effet des différences de masse volumique résultantes des différences de températures sur les

frontières et d'un champ de forces extérieures (le champ gravitationnel, …) [1-6].

● Convection mixte La Convection mixte correspond au couplage des deux phénomènes précédents

(convection naturelle et forcée) quant les vitesses d'écoulement, fictives, dues aux deux types

de convections sont considérées séparément, du même ordre de grandeur [1-6].

Chapitre I Etude bibliographique

6

Page 16: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

I.2 La convection mixte externe I.2.1 Définition La convection mixte externe peut être trouvée à partir de l'évaluation des différences

de pression susceptibles de générer les écoulements. Si l'on admet, en première

approximation, que ces écoulements sont simplement dus à un transfert d'énergie de pression

en énergie cinétique, pour la convection forcée et à un transfert d'énergie potentielle en

énergie cinétique, pour la convection naturelle, et si on appelle L la longueur caractéristique

de l'obstacle porté à une température Tw , différente de la température ambiante T∞, il est

possible d'écrire :

g représente l'accélération de la pesanteur et β le coefficient de dilatation.

Le critère de définition de la convection mixte revient à comparer la différence de

pression de la convection forcée ΔP∞ à la différence de pression équivalente ΔPn , qu'il

faudrait produire pour créer un écoulement de même impulsion que celui crée par les forces

de poussée d'Archimède. Soit

Ainsi, en formant le rapport de ces 2 différences de pression, on obtient : Dans ces conditions, il en résulte que si :

( ) ( )1.21

21

2

2

IULg

U

nw ρβρ

ρ

≈Τ−Τ

≈ΔΡ

∞∞

( )2.21 2 IU nn ρ≈ΔΡ

( ) ( )

( )3.Re2

2

2

3

22

2

IRiGrUL

LgU

LgUU

L

Ln

wwnn

=≈ΔΡΔΡ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Τ−Τ=

Τ−Τ≈≈

ΔΡΔΡ

∞∞

νν

ββ

Chapitre I Etude bibliographique

7

Page 17: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Ri >> 1 la convection naturelle est dominante

Ri << 1 la convection forcée est dominante

Ri ≈ 1 la convection est dite mixte.

L Tw T∞ U∞ I.2.2 La plaque plane verticale en convection mixte Considérons une paroi verticale, soumise à des conditions de température et de vitesse

telle qu'elle est le siège de phénomènes de convection mixte. Deux cas distincts sont

maintenant à considérer suivant que les forces de poussée d'Archimède sont dans le même

sens ou dans le sens opposé à l'écoulement forcé imposé à l'entrée.

Dans le cas où les deux forces sont dans le même sens : le gradient de pression motrice

dû à la convection naturelle et qui peut s'exprimer par la relation : sajoute au gradient de pression qui génère l'écoulement forcé, on se trouve alors en

convection mixte favorable. Dans le cas contraire, la poussée d'Archimède, naissant du

gradient de température, s'oppose au gradient de pression motrice de l'écoulement forcé, on

,ΔΤ=Χ∂

Ρ∂βgm

Figure I.1 : Ecoulement et transfert convectif autour d'obstacle

Chapitre I Etude bibliographique

8

Page 18: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

est alors en convection mixte défavorable. Dans ce dernier cas, il en résulte souvent des

décollements ou des recirculations [8]. Dans ce dernier cas, le traitement du problème étudié

devient plus difficile qu'en convection mixte favorable.

Suivant que la paroi est chauffée ou refroidie, et suivant la direction de l'écoulement

forcé : vertical, ascendant ou descendant, on trouve quatre (4) situations possibles que nous

schématisons par les figures présentées ci-dessous:

U∞ T∞ U∞ T∞ Tw Tw>T∞ Tw y y Tw< T∞ x x x Tw Tw < T∞ Tw Tw> T∞ y y U∞ T∞ U∞ T∞

Les forces de poussée d'Archimède gβ(T-T∞) sont précédées d'un signe + en

convection mixte favorable et d'un signe - en convection mixte défavorable.

Figure I.2 : Convection mixte favorable Figure I.3 : Convection mixte défavorable

x

Chapitre I Etude bibliographique

9

Page 19: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

I.3 Travaux bibliographiques relatifs au domaine La convection mixte sur une plaque a fait l'objet de plusieurs études théoriques et

expérimentales. Parmi lesquelles nous présentons quelque unes que nous avons jugé proches

de notre cas.

Wickern [11-12] a étudié la couche limite laminaire sur une plaque plane semi-infinie

arbitrairement inclinée, chauffée et refroidie, pour déterminer l'influence des forces de

flottement sur l'écoulement forcé de base. Le fluide étudié est newtonien et incompressible

avec des propriétés constantes sauf dans le terme de gravité où l'hypothèse de Boussinesq est

adoptée. Dans son travail, la dissipation visqueuse est négligeable, et en considérant un

domaine de variation de l'angle d'inclinaison de la plaque assez large en incluant les cas

particuliers de la plaque horizontale et verticale où il a pris en compte, à la fois, les

composantes du vecteur gravité, normale et parallèle à la surface. La variation systématique

des paramètres libres (inclinaison, Prandtl, etc…) est faite en étudiant différentes conditions

aux limites thermiques et différents nombres de Prandtl. Un résultat remarquable qui découle

de cette étude est que lorsque les forces de flottement sont en opposition aux forces

dynamiques il peut apparaître un comportement régulier aussi bien que singulier dans le

nombre de Nusselt et le coefficient de frottement.

Mai Ton Hoang et al. [13] ont étudié, en régime transitoire, la couche limite laminaire

sur une plaque verticale en convection mixte. Le système d'équations est résolu à l'aide de la

méthode numérique aux différences finies, avec un schéma implicite. Ils ont montré que la

nature de la plaque influe sur les épaisseurs des couches limites dynamique et thermique ainsi

que sur la vitesse de l'écoulement. Ils ont observé qu'une faible perturbation de vitesse

engendre une instabilité de l'écoulement.

L'étude entreprise par Guo T. et al. [14] a porté sur l'influence de la convection

naturelle sur la convection forcée au-dessus d'une surface plane verticale soumise à un flux de

rayonnement thermique. Ils ont considéré un plan vertical semi-infini dont une face est

soumise au rayonnement tandis que l'autre est léchée par un fluide en écoulement,

parallèlement à sa surface. L'échauffement du plan par le rayonnement, donne naissance à une

Chapitre I Etude bibliographique

10

Page 20: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

convection naturelle dans le fluide qui perturbe l'écoulement forcé. Ces auteurs ont axé leur

dans le calcul, en régime laminaire et permanent, des distributions des vitesses et de la

température, dans la couche limite qui se développe sur le plan à partir de son bord d'attaque.

Sousa et al. [15] ont étudié le transfert de chaleur et le frottement d'un écoulement d'air

sur une surface isotherme inclinée et en mouvement. L'écoulement est laminaire en régime

permanent, la dissipation visqueuse est négligeable et l'hypothèse de Boussinesq est adoptée.

Les équations sont discrétisées et résolues à l'aide de la méthode des éléments finis.

L'exactitude des résultats numériques du nombre de Nusselt et du coefficient de frottement

moyens obtenus dans le cas d'une surface verticale est validée par leur comparaison avec ceux

obtenus par d'autres chercheurs.

Les effets de la poussée thermique et de l'angle d'inclinaison de la surface sur le

frottement et le transfert thermique sont présentés et, de plus, ils peuvent être prédites grâce à

des corrélations mathématiques.

Saeid [16] a étudié l'écoulement en convection mixte, laminaire le long d'une plaque

verticale a une température en régime d'oscillation périodique. Le fluide est newtonien et

incompressible avec des propriétés constantes sauf dans le terme de gravité où il adopte

l'hypothèse de Boussinesq et néglige la dissipation visqueuse. L'écoulement est laminaire et

en régime transitoire. Les équations du bilan dynamique et thermique sont approchées par des

couches limites bidimensionnelles. Les équations sont discrétisées et résolues à l'aide de la

méthode numérique aux différences finies. Le calcul est effectué pour l'air (Pr=0.72) et l'eau

(Pr=7.0). La comparaison du nombre de Nusselt et le coefficient de frottement, avec des

résultats antérieurs sont satisfaisants. Les variations périodiques du nombre de Nusselt et du

coefficient de frottement sont effectuées pour différentes amplitudes et fréquences de la

température de plaque.

Al-Sanea [17] a traité le cas de la convection mixte le long d'une plaque isotherme

verticale mobile avec aspiration ou injection. L'écoulement est considéré laminaire en régime

permanent avec des propriétés constantes sauf dans le terme de gravité où l'hypothèse de

Boussinesq est adoptée, la dissipation visqueuse est négligeable. Les équations sont

discrétisées et résolues à l'aide de la méthode des volumes finis. Il a étudié les effets du

Chapitre I Etude bibliographique

11

Page 21: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

nombre de Prandtl, la force de flottabilité et l'aspiration ou l'injection sur les coefficients de

frottement et de transfert thermique.

Ali et Al-yousef [18,19] ont étudié l'écoulement d'une couche limite laminaire, en

convection mixte, sur une surface verticale présentant une perméabilité linéaire en

mouvement. L'investigation traite les cas d'une poussée thermique qui aide ou s'oppose à

l'écoulement. Les solutions locales de similitude sont obtenues par les équations de la couche

limite. Comme conditions aux limites, ces auteurs ont supposés que les variations de la

température et de la vitesse suivent une loi en puissance. L'étude a porté sur l'effet de divers

paramètres régissant l'écoulement, tels que le nombre de Prandtl Pr, le paramètre d'injection

ou aspiration d et le nombre de Richardson sur les distributions de vitesse, de température et

du coefficient de transfert thermique. Des valeurs critiques ont été trouvées et qui sont

vérifiées par la solution analytique de l'équation d'énergie.

Hsiao-Tsung et al. [20] ont étudié la convection mixte en régime permanent de

couche limite laminaire sur une plaque isotherme, horizontale et en mouvement parallèle à

l'écoulement du fluide. Le système d'équations est résolu numériquement par la méthode de

Keller's Box, avec un schéma implicite. Les solutions numériques précises et des corrélations

complètes sont présentées pour une large gamme de fluides 0.01≤ Pr ≤ 10000 et dans tout le

domaine de la convection mixte. L'étude engendre n'importe quelle vitesse relative entre la

plaque et l'écoulement potentiel. Les effets de la poussée thermique et de la vitesse relative

sur le champ d'écoulement, le frottement, le champ de température et le taux de transfert

thermique sont illustrés pour une plaque se déplaçant parallèlement en co-courant ou en

contre-courant de l'écoulement potentiel et ceci pour les cas:

(i); l'écoulement potentiel et la poussé thermique dans le même sens et (ii); l'écoulement

potentiel et la poussée thermique dans le sens inverse.

Shenoy [21] a étudié la convection mixte en régime permanent d'une couche limite sur

une plaque plane isotherme et inclinée mais dans le cas d'un fluide non-newtonien. Le travail

a été axé sur les effets, d'une part, de l'inclinaison de la surface et du nombre de Richardson

sur le nombre de Nusselt.

Chapitre I Etude bibliographique

12

Page 22: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Kumari et al. [22] se sont intéressé au sujet de l'écoulement d'un fluide

non-newtonien en convection mixte sur une plaque plane mobile et chauffée à une

température constante. Le système des équations partielles thermiques et dynamiques

régissant l'écoulement est résolu numériquement par la méthode des différences finies, avec

un schéma implicite. Ils ont étudié l'effet de divers paramètres entrant dans le transfert

thermique pariétale, comme le nombre de Prandtl, le nombre de Peclet et la poussé thermique.

Chapitre I Etude bibliographique

13

Page 23: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

CHAPITRE II MODELE MATHEMATIQUE

Page 24: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Dans ce chapitre, nous présentons le modèle physique et les hypothèses

simplificatrices. Nous formulons le problème physique régissant le phénomène de convection

mixte le long d'une plaque plane inclinée par rapport au vertical. Nous exprimons les

équations de conservation et les conditions aux limites sous forme adimensionnelle. Nous

introduisons les principales grandeurs dynamiques et thermiques.

II.1 Equations générales de conservation II.1.1 Equations de conservation pour les écoulements laminaires bidimensionnels II.1.1.1 Equation de continuité L'équation de continuité déduite du principe de conservation de masse et s'exprime

mathématiquement comme suit [9] :

II.1.1.2 Equations de quantité de mouvement

Les équations de conservations de quantité de mouvement, connue sous le nom

d'équations de Navier-Stokes, sont obtenues par l'application de la deuxième loi de la

dynamique à une particule de fluide passant à travers un volume de contrôle infinitésimal.

Elles s'écrivent comme suit [9] :

Où le symbole général σ est utilisé pour les contraintes et ƒx, ƒy les composants des forces

volumiques par unité de masse.

Chapitre II Modèle mathématique

( )1.0 IIyv

xu

t=

∂∂

+∂

∂+

∂∂ ρρρ

( )2.2

IIfyxx

pyuv

xu

tu

xxyxx ρ

σσρρρ+

∂+

∂∂

+∂∂

−=∂

∂+

∂∂

+∂

( )3.2

IIfyxy

pyv

xvu

tv

yyyyx ρ

σσρρρ+

∂+

∂+

∂∂

−=∂

∂+

∂∂

+∂

14

Page 25: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Pour un fluide visqueux newtonien d'une densité variable, les contraintes normales σxx,

σyy et les contraintes de cisaillement σxy, σyx sont données par les formules suivantes

Où β est le coefficient de dilatation volumique du fluide.

Pour un fluide à densité constante les contraintes normales se réduisent à

II.1.1.3 Equation d'énergie Elle peut être exprimée en fonction de l'énergie interne e ou bien de l'enthalpie h [9]. • Equation d'énergie interne L'équation de transport de l'énergie est obtenue par l'application du premier principe de

la thermodynamique.

( )5.322 II

yv

xu

yv

yy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

∂∂

= μβμσ

( )6.IIxv

yu

yxxy ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

== μσσ

( )7.2 IIxu

xx ∂∂

= μσ

( )8.2 IIyv

yy ∂∂

= μσ

( )9.1 IIyv

xup

yq

xq

dtde yx

ρρρΦ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂∂

−=&&

yv

xu

tdtd

∂∂

+∂∂

+∂∂

( )4.32

2 IIyv

xu

xu

xx ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

∂∂

= μβμσ

Chapitre II Modèle mathématique

15

Page 26: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Où Φ est la fonction de dissipation, définie par

Pour un fluide newtonien visqueux,

la densité du flux de chaleur (W/m2 ), et , sont les composantes de cette grandeur

dans les directions x et y.

et

L'équation (II.9), se transforme à

• Equation d'enthalpie L'enthalpie par unité de masse est définie par [9]

( )10.IIyv

xv

yu

xu

xu

yyyxxyxxj

iij ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

=Φ σσσσσ

xkqx ∂

Τ∂−=&

ykqy ∂

Τ∂−=&

( )12.1 IIyv

xup

yk

yxk

xdtde

ρρρΦ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂Τ∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Τ∂

∂∂

−=

( )13.IIpehρ

+≡

xq& yq&

( )11.32

222222

IIyv

xu

xv

yu

yv

xu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

=Φ μβμμμ

( )14.12 II

dtdp

dtdp

dt

pd ρρρ

ρ−=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

( )15.0 IIyv

xu

dtd

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+ ρρ

q&

Chapitre II Modèle mathématique

16

Page 27: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

La substitution de dans l'équation (II.14), l'équation (II.9) conduit à

Pour un fluide à chaleur spécifique constante, on a

En remplaçant les composantes et de la densité du flux de chaleur dans l'équation

(II.16), on trouve :

Si les différences de température ne sont pas importantes, la conductivité peut être considérée

uniforme dans un écoulement à faible vitesse. Par conséquent, l'équation (II.18) se réduit à

: est la diffusivité thermique

dtdρ

( )16.11 IIyp

vxp

utp

yq

xqpe

dtd

dtdh yx

ρρρρΦ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂+

∂∂

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≡

&&

( ) ( )17.IIReccech vpp Τ+=Τ−+=Τ=

xq& yq&

( )18.1 II

ypv

xpu

tp

yk

yxk

xy

vx

ut

cdtdc

dtdh

pp

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

Φ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

Τ∂∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

Τ∂∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

Τ∂+

∂Τ∂

+∂Τ∂

≡ρ

( )19.2

2

2

2

IIyx

ay

vx

ut ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

Τ∂+

∂Τ∂

=∂

Τ∂+

∂Τ∂

+∂Τ∂

pcka

ρ≡

Chapitre II Modèle mathématique

17

Page 28: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

II.2 Présentation du problème On considère une plaque plane isotherme inclinée d'un angle (α) par rapport à la

verticale, de longueur finie. Cette dernière est léchée par un écoulement forcé parallèle à sa

surface. Les forces de volumes induites par le gradient de température entre les particules

fluide qui sont au voisinage de la paroi est celles de l'écoulement potentiel créent un

mouvement de convection naturelle qui perturbe l'écoulement forcé. Le résultat de cette

combinaison donne naissance à une convection mixte.

Le problème physique est schématisé sur la figure (II.1).L'origine du repère Oxy est

située sur la plaque et coïncide avec son bord d'attaque. L'axe Ox est orienté suivant le sens de

l'écoulement forcé. L'axe Oy est perpendiculaire à la plaque et orienté vers l'intérieur de

l'écoulement du fluide.

II.2.1 Hypothèses simplificatrices

La modélisation du système étudié est basée sur les hypothèses simplificatrices

suivantes:

1- L'écoulement du fluide et le transfert de chaleur sont permanents et le régime

laminaire.

2 - Le fluide est newtonien et incompressible. 3 - Les propriétés thermophysiques du fluide (μ , Cp , et k) sont constantes [11-19].

4 - La dissipation visqueuse est négligeable. Il n'est pas de source de chaleur.

5 - L'approximation de Boussinesq est valide, celle-ci consiste à considérer que les

variations de masse volumique sont négligeables au niveau de tous les termes des

équations de quantités de mouvement (ρ = ρ∞), sauf au niveau du terme de

gravité. La variation de la masse volumique ρ en fonction de la température est donnée

par [1].

( ) ( )20.II∞∞∞ Τ−Τ−=− βρρρ

Chapitre II Modèle mathématique

18

Page 29: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

ρ∞ : la masse volumique du fluide à la température d'entrée T∞

β : le coefficient de dilatation volumique du fluide

6 - La surface de la plaque imperméable à l'écoulement.

II.3 Formulation du problème II.3.1 Equations de conservations Le système d'équations qui gouverne l'écoulement laminaire en convection mixte et le

transfert de chaleur en coordonnées cartésiennes après simplifications s'écrivent comme suit :

● Equation de continuité ● Equations de quantités de mouvement

Selon (ox)

Selon (oy)

( )21.0 IIyv

xu

=∂∂

+∂∂

( )[ ] ( )22.cos112

2

2

2

IIgyu

xu

xp

yuv

xuu αβυ

ρ ∞∞

Τ−Τ−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

( )[ ] ( )23.sin112

2

2

2

IIgyv

xv

yp

yvv

xvu αβυ

ρ ∞∞

Τ−Τ−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

Chapitre II Modèle mathématique

19

Page 30: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

● Equation d'énergie Où :

: diffusivité thermique

k : conductivité thermique

Cp : chaleur spécifique à pression constante

Figure II.1 : Représentation schématique du modèle physique

( )24.2

2

2

2

IIyx

ay

vx

u ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

Τ∂+

∂Τ∂

=∂

Τ∂+

∂Τ∂

pCka

a

δuδT

y

u∞, T∞, p∞

g

o

α

x

L

TW

Chapitre II Modèle mathématique

20

Page 31: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

II.3.2 Conditions aux limites - en y =0 u (x,0) = 0

v (x,0) = 0 (II.25)

T (x,0) = Tw ( température imposé )

- en y → ∞ u (x,∞) = u∞

v (x,∞) = 0

T (x, ∞) = T∞ (II.26)

p (x, ∞) = p∞

- en x = 0 u (0,y) = u∞

v (0,y) = 0

p (0, y) = p∞ (II.27)

T (0, y) = T∞

- en x = L

0=∂∂

xu

( )28.0 IIxv

=∂∂

0=∂

Τ∂x

Chapitre II Modèle mathématique

21

Page 32: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

II.4 Formulation adimensionnelle L'emploie de la variable adimensionnelle permet d'exprimer la réalité des phénomènes

physiques indépendamment des systèmes de mesures, pour permettre d'avoir des informations

généralisées à une variété des problèmes ayant les mêmes grandeurs de cœfficient de

similitudes d'un côté, et d'un autre côté, réduire le nombre de paramètres d'un problème.

En effet, pour faire apparaître les paramètres de contrôle du problème étudié, il est nécessaire

d'introduire les grandeurs de référence.

II.4.1 Principales grandeurs physiques et variables adimensionnelles

Le nombre de Reynolds local, le nombre de Prandtl et le nombre de Grashof sont

définis par:

Le coefficient de frottement est donné par : Le nombre de Nusselt local est défini par :

( ) ( )29.PrRe 2

3

IILgGrkCLu w

Lp

L νβμ

μρ ∞∞∞ Τ−Τ

===

( )

( )30.

21

21 2

0

2, II

u

yxu

uC yw

xf

∞∞

=

∞∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

==ρ

μ

ρ

τ

( )

( ) ( )31.0 IIkxy

xk

khxNu

w

yx ⋅

Τ−Τ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂Τ∂

==∞

=

( )RichardsondenombreLeGr

RiL

LL 2Re

=

Chapitre II Modèle mathématique

22

Page 33: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Les variables adimensionnelles choisis sont :

Où : u∞ représente la vitesse caractéristique de l'écoulement de convection forcée.

gx, gy représentent respectivement les composantes de l'accélération de la pesanteur selon

les directions (x, y).

II.4.2 Equations adimensionnelles Les équations adimensionnelles de continuité, de quantités de mouvement et d'énergie

qui gouvernent le phénomène de la convection mixte s'écrivent alors :

● Equation de continuité ● Equations de quantités de mouvement

Selon (OX)

( )( )

ααρ

ρ

θ

sincos

32.

2 ggggu

ygxgpII

uvV

uuU

Ly

Lx

yxyx

w

−=−=+−

==Τ−ΤΤ−Τ

==Υ=Χ

∞∞

∞∞∞

( )33.0 IIVU=

Υ∂∂

+Χ∂

( )34.cosRe1

2

2

2

2

IIRiUUUVUU αθ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Υ∂

∂+

Χ∂∂

+Χ∂Ρ∂

−=Υ∂

∂+

Χ∂∂

Chapitre II Modèle mathématique

23

Page 34: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Selon (OY) ● Equation de l'énergie II.4.3 Conditions aux limites Les conditions aux limites (II.25-II.28) après adimensionnalisation s'écrivent alors : - en Y=0 U (X, 0) = 0 V (X, 0) = 0 (II.37) θ (X, 0) = 1

- en Y → ∞ U (X, ∞) = 1

V (X, ∞) =0

θ (X, ∞) = 0 (II.38)

P (X, ∞) = 0

( )35.sinRe1

2

2

2

2

IIRiVVVVVU αθ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Υ∂

∂+

Χ∂∂

+Υ∂Ρ∂

−=Υ∂

∂+

Χ∂∂

( )36.Re1

2

2

2

2

IIr

VU ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Υ∂

∂+

Χ∂∂

Ρ=

Υ∂∂

+Χ∂

∂ θθθθ

Chapitre II Modèle mathématique

24

Page 35: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

- en X = 0 U (0, Y) = 1

V (0, Y) = 0

P (0, Y) = 0 (II.39)

θ (0, Y) = 0

- en X = 1

0=Χ∂

∂ U

0=Χ∂

∂ θ

( )40.0 IIXV

=∂∂

Chapitre II Modèle mathématique

25

Page 36: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

CHAPITRE III MODELISATION NUMERIQUE

Page 37: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Dans ce chapitre nous décrivons la méthode numérique utilisée pour résoudre les équations de

base formulées dans le chapitre II.

Le système d'équations aux dérivées partielles est résolu numériquement par la

méthode des volumes finis où la correction de la pression et de la vitesse est obtenue par

l'algorithme SIMPLER [25]. Cette discrétisation donne un système matriciel tridiagonal dont

la résolution est obtenue par l'application de l'algorithme de Thomas. Le domaine de calcul

est divisé en un nombre fini de volumes de contrôle ou mailles. Le maillage est non uniforme,

les équations de base sont intégrées sur chaque volume de contrôle. Pour éviter la divergence

de la solution, le schéma en loi de puissance est utilisé pour évaluer les flux aux interfaces des

volumes de contrôle.

III .1 Introduction La discrétisation des équations présentées dans le chapitre précédent traduisant le

phénomène de convection mixte est l'opération de transformer ces équations différentielles

en un système d'équations algébriques.

Plusieurs méthodes de discrétisation des équations différentielles aux dérivées

partielles sont utilisées actuellement telles que: la méthode des volumes finis, des

différences finies et des éléments finis, etc, ... Parmi ces méthodes, nous avons choisi la

méthode des volumes finis.

III .2 Méthode des volumes finis La méthode des volumes finis est caractérisée par son avantage à satisfaire la

conservation de masse, de quantité de mouvement et d'énergie dans tous les volumes

finis ainsi dans tout le domaine de calcul. Elle facilite la linéarisation des termes non

linéaires dans les équations de conservation tel que le terme source par exemple. La méthode

consiste à partager le domaine de calcul en plusieurs volumes, où chaque volume

entoure un nœud. En utilisant différents schémas d'approximations on peut intégrer les

termes des équations différentielles modélisantes sur chaque volume de contrôle, où

les valeurs et les quantités sont stockées aux nœuds du volume de contrôle.

Chapitre III Modélisation numérique

26

Page 38: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Ces équations algébriques produites expriment la conservation des quantités pour le

volume de contrôle et pour tout le domaine de calcul.

III. 3 Equation générale de transport L'équation générale de transport d'une variable pour un écoulement

incompressible s'écrit dans le système cartésien comme suit:

1 2 3 1 : terme de transport par convection

2 : terme de transport par diffusion

3 : terme de source.

V vecteur vitesse

Γ cœfficient de diffusion

Opérateur laplacien définie par :

Dans le tableau suivant, nous donnons la définition de , Γ et pour les équations

qui gouvernent notre problème général.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Υ∂∂

+Χ∂∂

=∇ 2

2

2

22

φ φS

φ

( ) ( ) ( )1.2 IIISVdiv φφφ +∇Γ=

2∇

Chapitre III Modélisation numérique

27

Page 39: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Γ

Equation

U

Quantité de

mouvement suivant (OX)

V

Quantité de

mouvement suivant (OY)

0

θ

Energie

0

0

1

Continuité

Tableaux III.1 : variables et cœfficients des équations de transport adimensionnelles

III. 4 Maillage Le domaine de calcul est divisé en une série de sous domaines appelés volume de

contrôle. Ces volumes de contrôle enveloppent tout le domaine de calcul sans chevauchement,

de telle façon que la somme de leurs volumes soit égale exactement au volume du domaine

de calcul.

Le schéma du maillage adopté est du type décalé, proposé par Patankar [25]. Un

point est positionné au centre de chaque volume est appelé centre du volume de contrôle, il

sera noté P (figure III.1).

Les nœuds des volumes voisins seront notés suivant leur positions N, S, W et E

(North, South, West et East). Les faces d'un volume de contrôle sont localisées aux points e,

w, n et s. Les quantités scalaires (pression et température) sont stockées aux centres des

αθ cosRi+Χ∂Ρ∂

αθ sinRi+Υ∂Ρ∂

φSφ

Re1

Re1

RePr1

Chapitre III Modélisation numérique

28

Page 40: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

volumes finis. Par contre, les composantes de la vitesse sont localisées aux faces des volumes

finis.

Ce volume de contrôle est utilisé pour l'expression des bilans des grandeurs scalaires,

appelé volume de contrôle principal (figure III.2), et pour l'expression des grandeurs

vectorielles, on utilise un volume de contrôle décalé (figure III.3) et (figure III.4).

On utilise un maillage non uniforme dans lequel les mailles sont plus larges là où les

gradients sont plus faibles.

Chapitre III Modélisation numérique

29

Page 41: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

● i,j P

● i+1,j E

● i-1,j W

● i,j+1 N

● i,j-1 S

i-2 i-1 i i+1

w

e

n

s

● ● ●

● ●

● ● ● ●

Volume de contrôle pour θ et P

Volume de contrôle pour V

Volume de contrôle pour U

Figure III.1 : Schéma des différents volumes de contrôle

Chapitre III Modélisation numérique

30

Page 42: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

III. 5 Discrétisation des équations de conservation Les équations de conservation (II.21-II.24), autrement dit l'équation sous la forme

générale (III.1) a été intégrée sur le volume de contrôle ∆V = 1.∆X . ∆Y (figure III.2).

L'intégration de l'équation (III.1), donne:

Le terme convectif : Le terme diffusif : Le terme source :

( ) ( ) ( )2.2 IIIddSddVdivVV

ΥΧ+∇Γ=ΥΧ ∫∫ φφφ

( ) ( )

( )3.IIIddSdddd

ddVddU

n

s

e

w

n

s

e

w

n

s

e

w

n

s

e

w

n

s

e

w

ΥΧ+ΥΧ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Υ∂∂

ΓΥ∂∂

+ΥΧ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Χ∂∂

ΓΧ∂∂

=ΥΧΥ∂∂

+ΥΧΧ∂∂

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

φφφ

φφ

( ) [ ] ( ) ( )[ ]

( )

( ) [ ] ( ) ( )[ ]ΔΧ−=Χ=ΥΧΥ∂∂

ΔΥ−=Υ=ΥΧΧ∂∂

∫∫ ∫

∫∫ ∫

sn

n

s

e

w

n

s

e

w

we

e

w

n

s

n

s

e

w

VVdVddV

III

UUdUddU

φφφφ

φφφφ

4.

( )

ΔΧ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Υ∂∂

Γ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Υ∂∂

Γ=Χ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Υ∂∂

Γ−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Υ∂∂

Γ=ΥΧ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Υ∂∂

ΓΥ∂∂

ΔΥ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Χ∂∂

Γ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Χ∂∂

Γ=Υ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Χ∂∂

Γ−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

Χ∂∂

Γ=ΥΧ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Χ∂∂

ΓΧ∂∂

∫∫ ∫

∫∫ ∫

sn

e

w sn

n

s

e

w

we

n

s we

n

s

e

w

ddd

III

ddd

φφφφφ

φφφφφ

5.

( )6.IIISddSn

s

e

w

ΔΥΔΧ=ΥΧ∫ ∫ φφ

Chapitre III Modélisation numérique

31

Page 43: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

L'équation (III.2), s'écrira alors:

Le terme soure dans chaque équation de conservation doit être linéarisé afin que tout le

système d'équations prenne la forme linéaire et la résolution devient ainsi simplifiée. Donc le

terme peut se mettre sous la forme suivante :

doit être négatif afin de répondre aux régles de la méthode des volumes finis

(Patankar 1980) [25], et faciliter ainsi la convergence du système (la diagonale de la matrice

du système à résoudre devient dominante).

Où:

SP : est le coefficient de

Sc : est la partie constante de qui ne dépend pas de

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )7.IIIS

VVUU

snwe

Snwe

ΔΧΔΥ

+ΔΧ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Υ∂∂

Γ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Υ∂∂

Γ+ΔΥ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Χ∂∂

Γ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Χ∂∂

Γ

=ΔΧ−+ΔΥ−

φ

φφφφ

φφφφ

pS

φS pφ

( )8.IIISSS pc +=φ

Chapitre III Modélisation numérique

φS

φS

32

Page 44: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

(θ, P) ●

i, j P

Ue e Uw w

Vs s

ΔX

● E i+1, j

● W i+1, j

S ●

i, j-1

N ●

i, j+1

δXe

δXw

δY

s

Vn n

ΔY

δY

n

Figure III.2 : Volume de contrôle typique

Chapitre III Modélisation numérique

33

Page 45: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

● (i, j) P

e Ue w Uw

● W (i-1,j)

●E (i+1, j)

S● (i, j-1) δX(i)

δX(i-1)

ΔX(i)

ΔX(i+1)

ΔY

(J)

δY

(j-1

) δ

Y(j

)

Figure III.3 : Volume de contrôle décalé vers la droite

Vn n

● (i, j ) P

● (i-1, j ) W

● (i+1, j ) E

● (i, j +1) N

● (i, j-1 ) S

δX(i-1)

δX(i)

δX(i+1) ΔX(i)

ΔX(i+1)

δY

(j)

δY

(j-1

) Δ

Y(j

-1)

ΔY

(j)

Figure III.4 : Volume de contrôle décalé vers le haut

Chapitre III Modélisation numérique

N● (i, j+1)

34

Page 46: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Pour évaluer les aux interfaces des volumes de contrôle on utilise un des schémas

de discrétisation (upwind, exponentiel, power law, hybride, quick,…). Ces schémas différent

par la façon avec laquelle, on prend en compte les termes de convection et de diffusion. Pour

les flux aux interfaces des volumes de contrôle on choisit une interpolation entre les nœuds

voisins. Pour simplifier l'éqaution (III.7) nous appliquons un schéma centré d'ordre deux pour

remplacer les dérivés premières sur les facettes du volume de contrôle.

Dans notre étude, on utilisera le schéma numérique de la loi puissance (power law ).

L'importance d'utiliser ce schéma est d'obtenir une meilleure stabilité de la solution

numérique.

III.5.1 Application d'un schéma numérique quelconque La discrétisation des équations permet d'obtenir un système d'équations dont la forme

algébrique générale est :

Ou sous la forme équivalente : Tels que : est la variable dans l'équation concernée .

Les indices (nb) représentent les nœuds voisins du nœud principal désigné par la lettre P.

Les coefficients et sont calculés avec l'une des méthodes aux problèmes de

convection-diffusion (upwind, exponentiel, power law, hybride, quick, …).

Dans l'équation (III. 9) on a :

( )9.IIIbSSNNEEWWPP +Α+Α+Α+Α=Α φφφφφ

( ) ( )10.IIIbnbnbPP +Α=Α ∑ φφ

φ

( )11.IIIS pnbP ΔΥΔΧ−Α=Α ∑

( ) ( ) ( )12.0,max IIIFPD eeeE −+Α=Α

( ) ( ) ( )13.0,max IIIFPD wwwW +Α=Α

φ

PΑ nbΑ

Chapitre III Modélisation numérique

35

Page 47: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

où la fonction A(|P|) décrit le schéma utilisé.

Le schéma de la loi puissance (power-law) est donné par la fonction suivante :

(i = e, w, n, s)

Les coefficients de l'équation (III.9) contiennent une combinaison du flux convectif F

et de diffusion D aux interfaces de volume de contrôle. Les valeurs de F et D pour chaque

interface w, e, s et n du volume de contrôle sont données par les relations suivantes :

et

( ) ( ) ( )14.0,max IIIFPD nnnN −+Α=Α

( ) ( ) ( )15.0,max IIIFPD sssS +Α=Α

( )16.IIISb c ΔΥΔΧ=

( ) ( )[ ] ( )17.1.0.1,.0max 5 IIIPP ii −=Α

( )ΔΧ=ΔΧ=ΔΥ=

ΔΥ=

ss

nn

ww

ee

VFIIIVF

UFUF

18.

( )

ΔΧΥΓ

=

ΔΧΥΓ

=

ΔΥΧΓ

=

ΔΥΧΓ

=

s

ss

n

nn

w

ww

e

ee

D

IIID

D

D

δ

δ

δ

δ

19.

Chapitre III Modélisation numérique

36

Page 48: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

: coefficients correspondants, respectivement, aux nœuds est,

ouest, nord, sud et centre du volume de contrôle b : est un terme de source

et : termes convectifs correspondants, respectivement, aux faces est,

ouest, nord et sud

et : diffusifs correspondants, respectivement, aux faces est, ouest, nord et

sud

et : rapports du flux convectif au flux diffusif aux différentes faces du

volume de contrôle

Si l'on exprime l'équation (III. 9) en fonction du nouveau système de coordonnées (de

numérotation des nœuds, figure (III. 1)), l'équation générale (III. 9) s'écrit donc sous forme

indicée.

( )

s

ss

n

nn

w

ww

e

ee

DF

P

IIIDF

P

DF

P

DF

P

=

=

=

=

20.

PSNWE et ΑΑΑΑΑ ,,,

nwe FFF ,,sF

nwe DDD ,, sD

nwe PPP ,,sP

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )jibjijijijiIII

jijijijijiji

SN

WEP

,1,,1,,21.

,1,,1,,,

+−⋅Α++⋅Α+

−⋅Α++⋅Α=⋅Α

φφ

φφφ

Chapitre III Modélisation numérique

37

Page 49: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

• Equations de quantité de mouvement

Selon (OX) Avec : Les flux convectifs :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )jibjiUjijiUjiIII

jiUjijiUjijiUji

SN

WEP

,1,,1,,22.

,1,,1,,,

+−⋅Α++⋅Α+

−⋅Α++⋅Α=⋅Α

( ) ( ) ( ).0,max, eeeE FPDji −+Α=Α

( ) ( ) ( )( )23.

.0,max,III

FPDji wwwW +Α=Α

( ) ( ) ( ).0,max, nnnN FPDji −+Α=Α

( ) ( ) ( ).0,max, sssS FPDji +Α=Α

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )24.cos,1,5.0

,1,,IIIjiRijiji

jjiPjiPjibΔΥΧ++

+ΔΥ+−=δαθθ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )25.,,,,, IIIjijijijiji SNWEP Α+Α+Α+Α=Α

( ) ( )[ ] ( )ijiVjiVFn Χ++= δ,,121

( ) ( )[ ] ( )

( )26.

,,121

III

jjiUjiUFw ΔΥ+−=

( ) ( )[ ] ( )jjiUjiUFe ΔΥ++= ,,121

( ) ( )[ ] ( )ijiVjiVFs Χ−+−+= δ1,1,121

Chapitre III Modélisation numérique

38

Page 50: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Les flux diffusifs :

Selon (OY) Avec :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )jibjiVjijiVjiIII

jiVjijiVjijiVji

SN

WEP

,1,,1,,28.

,1,,1,,,

+−⋅Α++⋅Α+

−⋅Α++⋅Α=⋅Α

( )( )1Re

1+ΔΧ

ΔΥ=

ijDe

( )( )

( )27.Re1

IIIijDw ΔΧ

ΔΥ=

( )( )jiDn Υ

Χ=

δδ

Re1

( )( )1Re

1−Υ

Χ=

jjDs δ

δ

( ) ( ) ( ).0,max, eeeE FPDji −+Α=Α

( ) ( ) ( ) ( )29..0,max, IIIFPDji nnnN −+Α=Α

( ) ( ) ( ).0,max, wwwW FPDji +Α=Α

( ) ( ) ( ).0,max, sssS FPDji +Α=Α

( ) ( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )30.sin1,,5.0

1,,,IIIjiRijiji

ijiPjiPjibΥΔΧ++

+ΔΧ+−=δαθθ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )31.,,,,, IIIjijijijiji SNWEP Α+Α+Α+Α=Α

Chapitre III Modélisation numérique

39

Page 51: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Les flux convectifs : Les flux diffusifs : • Equation d'énergie

( ) ( )[ ] ( )jjiUjiUFe Υ++= δ,1,21

( ) ( )[ ] ( )

( )32.

,11,121

III

jjiUjiUFw Υ−++−= δ

( ) ( )[ ] ( )ijiVjiVFn ΔΧ++= ,1,21

( ) ( )[ ] ( )ijiVjiVFs ΔΧ+−= ,1,21

( )( )ijDe Χ

Υ=

δδ

Re1

( )( )

( )33.1Re

1

IIIi

jDw −ΧΥ

=δδ

( )( )1Re

1+ΔΥ

ΔΧ⋅=

jiDn

( )( )jiDs ΔΥ

ΔΧ⋅=

Re1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )jibjijijijiIII

jijijijijiji

SN

WE

,1,,1,,34.

,1,,1,,,

+−⋅Α++⋅Α+

−⋅Α++⋅Α=⋅Α Ρ

θθ

θθθ

Chapitre III Modélisation numérique

40

Page 52: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Avec : Les flux convectifs : Les flux diffusifs :

( ) ( ) ( ).0,max, eeeE FPDji −+Α=Α

( ) ( ) ( )( )35.

.0,max,III

FPDji wwwW +Α=Α

( ) ( ) ( ).0,max, nnnN FPDji −+Α=Α

( ) ( ) ( ).0,max, sssS FPDji +Α=Α

( ) ( )36..0, IIIjib =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )37.,,,,, IIIjijijijiji SNWEP Α+Α+Α+Α=Α

( ) ( )jjiUFe ΔΥ⋅= ,

( ) ( )( )38.

,1III

jjiUFw ΔΥ⋅−=

( ) ( )ijiVFn ΔΧ⋅= ,

( ) ( )ijiVFs ΔΧ⋅−= 1,

( )( )i

jDe ΧΔΥ

=δPrRe

1

( )( )

( )39.1PrRe

1

IIIi

jDw −ΧΔΥ

( )( )jiDn Υ

ΔΧ=

δPrRe1

( )( )1PrRe

1−Υ

ΔΧ=

jiDs δ

Chapitre III Modélisation numérique

41

Page 53: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

III.6 Résolution numérique Les équations différentielles ont été intégrées et discrétisées à l'aide de la méthode des

volumes finis. La résolution de ce système présente quelques difficultés, parce que:

● Les coefficients des équations dépendent des valeurs des variables; le système n'est

donc pas linéaire.

● Les termes source des équations de quantité de mouvement font intervenir le gradient

de pression.

Cette difficulté pourra être résolue par un traitement itératif du système d'équation

(Algorithme TDMA) [25].

Les équations (III.22) et (III.28) ne pourront être résolues que si la pression P est

connue ou estimée. Si la pression correcte est connue, le champ de vitesse obtenu après la

résolution du système algébrique satisfera l'équation de continuité. Comme la pression n'est

pas connue, il est nécessaire une procédure pour calculer la pression.

III.6.1 L'algorithme SIMPLE L'algorithme SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equation) a été

crée par Patankar et Spalding [25]. Il est une procédure itérative pour calculer la pression en

utilisant le maillage déplacé. La procédure itérative commence par l’estimation de la pression.

Soit P* le champ de pression estimé. Les équations (III.22) et (III.28) sont résolues pour

obtenir le champ de vitesse associé U* et V*

:

bU et bV sont les termes de source ne contenant pas le terme de pression.

On définit la correction de la pression P' comme la différence entre la pression correcte

P et la pression estimée P* :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )40.,1,,,, ***

,,,

* IIIjjiPjiPjibUjiUji UnbSNWEnbnbP ΔΥ⋅+−++Α=Α ∑

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )41.1,,,,, ***

,,,

* IIIijiPjiPjibVjiVji VnbSNWEnbnbP ΔΧ⋅+−++Α=Α ∑

=

Chapitre III Modélisation numérique

42

Page 54: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

De façon similaire on définit la correction des vitesses U ' et V ' comme la différence

entre les vitesses correctes U, V et les vitesses estimées U* et V * :

La substitution du champ de pression correct, P, dans les équations de conservation de

la quantité de mouvement donne le champ de vitesse correct (U, V). Les équations discrétisées

(III.22) et (III.28) lient le champ de vitesse correct avec le champ de pression correct.

La soustraction des équations (III.40) et (III.41) des équations (III.22) et (III.28)

respectivement, donne :

En utilisant les formules de correction (III.42-III.44) les équations (III.45) et (III.46)

peuvent être réécrites ainsi :

( )42.'* IIIPPP +=

( )43.'* IIIUUU +=

( )44.'* IIIVVV +=

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )45.,1,1,,

,,,

**

*

,,,

*

IIIjjiPjiPjiPjiP

UUjiUjiUji nbnbSNWEnbnbP

ΔΥ⋅+−+−−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −Α=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅Α ∑

=

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )46.1,1,,,

,,,

**

*

,,,

*

IIIijiPjiPjiPjiP

VVjiVjiVji nbnbSNWEnbnbP

ΔΧ⋅+−+−−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −Α=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −⋅Α ∑

=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )47.,1,,, '''

,,,

' IIIjjiPjiPUjiUji nbSNWEnbnbP ΔΥ⋅+−+Α=Α ∑

=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )48.1,,,, '''

,,,

' IIIijiPjiPVjiVji nbSNWEnbnbP ΔΧ⋅+−+Α=Α ∑

=

Chapitre III Modélisation numérique

43

Page 55: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

À ce moment une approximation est introduite: les termes et

sont négligés pour simplifier les équations (III.47) et (III.48). L’omission de ces termes est la

principale approximation de l’algorithme SIMPLE. On obtient :

Les équations (III.49) et (III.50) décrivent les corrections qui doivent être appliquées

aux vitesses à travers les formules (III.43) et (III.44), ce qui donne les vitesses aux niveaux

des faces du volume de contrôle :

Jusqu’à maintenant on a considéré les équations de conservation de la quantité de

mouvement, mais le champ de vitesse, en même temps doit satisfaire l’équation de continuité

(II.21).

L'équation de continuité discrétisée, obtenue par l'intégration de l'équation (II.21) sur

le volume de contrôle présenté à la (Fig III.2), est :

'

,,,nb

SNWEnbnb V∑

=

Α'

,,,nb

SNWEnbnb U∑

=

Α

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )49.,1,,, ''' IIIjjiPjiPjiUjiP ΔΥ⋅+−=Α

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )50.1,,,, ''' IIIijiPjiPjiVjiP ΔΧ⋅+−=Α

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )51.

,,,

''* III

jijPPjiUjiU E

Ρ

Ρ

ΑΔΥ⋅−

+=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )52.

,1,1,1

''* III

jijPPjiUjiU W

−ΑΔΥ⋅−

+−=−Ρ

Ρ

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )53.

,,,

''* III

jiiPPjiVjiV N

Ρ

Ρ

ΑΔΧ⋅−

+=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )54.

1,1,1,

''* III

jiiPPjiVjiV S

−ΑΔΧ⋅−

+−=−Ρ

Ρ

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )55.01,,,1, IIIijiVjiVjjiUjiU =ΔΧ⋅−−+ΔΥ⋅−−

Chapitre III Modélisation numérique

44

Page 56: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

La substitution des équations corrigées (III.51–III.54) dans l’équation de continuité

discrétisée (III.55) donne :

En regroupant les termes, on obtient l'équation de la correction de pression P' sous la

forme générale suivante :

L’équation (III.57) représente l’équation de continuité discrétisée comme une équation

de correction de pression P'. Le terme source apparaît à cause du fait qu’on utilise un

champ de vitesse incorrect U* et V*. Si celui-ci implique plus de correction de

pression nécessaire. Par la résolution de l’équation (III.57) on obtient la correction de pression

pour tous les points du maillage et alors la pression correcte peut être calculée à l’aide de la

formule (III.42) et les composantes de la vitesse avec les formules de correction (III.43) et

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )56.01,

1,,

,

,1,1

,,

''*

''*

''*

''*

IIIiji

iPPjiVji

iPPjiV

jji

jPPjiUji

jPPjiU

SN

WE

=ΔΧ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

−ΑΔΧ⋅−

−−−Α

ΔΧ⋅−+

+ΔΥ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

−ΑΔΥ⋅−

−−−Α

ΔΥ⋅−+

Ρ

Ρ

Ρ

Ρ

Ρ

Ρ

Ρ

Ρ

( )57.'''''' IIISPPPPP PSSNNWWEEPP +Α+Α+Α+Α=Α

'PS

0' =PS

( )( ) ( ) ( )58.

,IIIj

jij

PE ΔΥ⋅

ΑΔΥ

( )( ) ( ) ( )61.

1,IIIi

jii

PS ΔΧ⋅

−ΑΔΧ

( )62.IIISNWEP Α+Α+Α+Α=Α

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )63.1,,,1, ****' IIIijiVjiVjjiUjiUSP ΔΧ⋅−−+ΔΥ⋅−−=

( )( ) ( ) ( )59.

,1IIIj

jij

PW ΔΥ⋅

−ΑΔΥ

( )( ) ( ) ( )60.

,IIIi

jii

PN ΔΧ⋅

ΑΔΧ

Chapitre III Modélisation numérique

45

Page 57: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

(III.44). L’omission du terme ne doit pas affecter la solution finale parce que

les corrections de pression et de vitesse seront nulles à la convergence.

Il est possible que le processus itératif soit divergent. Pour remédier cet inconvénient,

pendant le processus itératif on peut utiliser la sous-relaxation :

Où 0 < αP < 1 est facteur de sous-relaxation.

Les composantes de la vitesse doivent aussi être sous-relaxées en utilisant les relations :

Où : aU et aV sont les facteurs de sous-relaxation pour les composantes de la vitesse, U et V

sont les composantes corrigées sans relaxation tandis que U(n-1) et V(n-1) représentent leurs

valeurs à l’itération précédente.

III.6.2 L’algorithme SIMPLER

L’algorithme SIMPLER (SIMPLE Revised), mise au point par Patankar (1980), [25],

est une version améliorée de l’algorithme SIMPLE. Selon cet algorithme l’équation de

continuité discrétisée (III.55) est utilisée pour obtenir une équation discrétisée pour la

pression au lieu d’une équation de correction de pression comme dans l’algorithme SIMPLE.

Le champ de pression est obtenu directement, sans correction de pression, mais le champ de

vitesse est obtenu à l’aide de la correction en utilisant les équations (III.51-III.54).

Selon l'algorithme SIMPLER, on définit les pseudo-vitesses

ainsi :

( ) ( ) ( )65.1 1 IIIUUU nUU

nouv −⋅−+= αα

( ) ( ) ( )66.1 1 IIIVVV nVV

nouv −⋅−+= αα

( )64.'* IIIPPP Pnouv α+=

'

,,,nb

SNWEnbnb UA∑

=

∧∧∧∧

snwe VetVUU ,,

Chapitre III Modélisation numérique

46

Page 58: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

bU et bV sont les termes de source ne contenant pas le terme de pression.

Les vitesses aux niveaux des faces du volume de contrôle s'écrivent

comme suit :

Avec :

En remplaçant les vitesses données par les

relations (III.71-III.74) dans l'équation de continuité discrétisée (III.55) on obtient:

( ) ( )67.,,,

IIIbUUSNWEnb e

Unbnbe ∑

=

Α+Α

=

( ) ( )68.,,,

IIIbUUSNWEnb w

Unbnbw ∑

=

Α+Α

=

( ) ( )69.,,,

IIIbVVSNWEnb n

Vnbnbn ∑

=

Α+Α

=

( ) ( )70.,,,

IIIbVVSNWEnb s

Vnbnbs ∑

=

Α+Α

=

snwe VetVUU ,,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )71.

,,, III

jijPP

jiUjiUUp

Epe Α

ΔΥ⋅−+==

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )72.

,1,,1 III

jijPPjiUjiUU

p

PWw −Α

ΔΥ⋅−+=−=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )73.

,,, III

jiiPP

jiVjiVVp

Npn Α

ΔΧ⋅−+==

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )74.

1,1,1, III

jiiPPjiVjiVV

p

PSs −Α

ΔΧ⋅−+−=−=

( )∧∧

= eUjiU , ( )∧∧

=− wUjiU ,1 ( )∧∧

= nVjiV , ( ) .1,∧∧

=− sVjiV

( ) ( ) ( ) ( ).1,,,,1,, −Α=ΑΑ=Α−Α=ΑΑ=Α jietjijiji PsPnPwPe

( ) ( ) ( ) ( )1,,,,1,, −− jiVetjiVjiUjiU

Chapitre III Modélisation numérique

47

Page 59: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

En regroupant les termes dans l'équation (III.75) on obtient l'équation de pression

discrétisée :

La solution numérique dans nos calculs est obtenue avec l'algorithme SIMPLER. Les

séquences de calcul sont les suivantes :

1. On commence par l’estimation (choix initial) du champ de vitesses, du champ de

pression et de la température.

2. Calculer les pseudo-vitesses à l’aide des relations (III.67-III.70)

3. Calculer les coefficients et résoudre l’équation de la pression (III.76) pour obtenir le champ

de pression P.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )75.01,

1,,

,

,1,1

,,

IIIijiA

iPPjiVjiA

iPPjiV

jjiA

jPPjiUjiA

jPPjiU

P

PS

P

NP

P

PW

P

EP

=ΔΧ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−ΔΧ⋅−

−−−ΔΧ⋅−

+

+ΔΥ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

ΔΥ⋅−−−−

ΔΥ⋅−+

∧∧

∧∧

( )76.IIISPAPAPAPAPA PSSNNWWEEPP ++++=

∧∧∧∧

snwe VetVUU ,,

( )( ) ( ) ( )77.

,IIIj

jiAjA

PE ΔΥ⋅

ΔΥ=

( )81.IIIAAAAA SNWEP +++=

( )( ) ( ) ( )78.

,1IIIj

jiAjA

PW ΔΥ⋅

−ΔΥ

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )82.1,,,1, IIIijiVjiVjjiUjiUSP ΔΧ⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−+ΔΥ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−=

∧∧∧∧

( )( ) ( ) ( )80.

1,IIIi

jiAiA

PS ΔΧ⋅

−ΔΧ

=

( )( ) ( ) ( )79.

,IIIi

jiAiA

PN ΔΧ⋅

ΔΧ=

Chapitre III Modélisation numérique

48

Page 60: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

4. Initialiser le champ de pression initial P* avec le nouveau champ de pression obtenu à

l’étape 3 (P* = P) et résoudre les équations de conservation de la quantité de mouvement

(III.40) et (III.41) pour obtenir U*(i, j) et V*(i, j)

5. Calculer les coefficients et le terme-source et puis résoudre l’équation de correction de

pression (III.57) pour obtenir la correction de pression P' ;

6. Corriger le champ de vitesses à l’aide des relations (III.51-III.54), mais sans corriger la

pression ;

7. Calculer les coefficients et le terme-source et puis résoudre l’équation de l’énergie;

8. Réinitialiser toutes les variables calculées aux étapes 3, 6, et 7 (P* = P, U* = U, V* = V, θ∗

=θ) et puis retour à l’étape 2 ;

9. Répéter les étapes 2 à 8 jusqu’à l’obtention de la convergence.

III.6.3 Méthode itérative de résolution Il existe plusieurs méthodes de résolution des systèmes d'équations algébriques,

essentiellement les méthodes directes (par exemple Gauss-jordan) et les méthodes itératives

(par exemple Gauss-seidel).

La résolution directe du système d'équations algébriques est compliquée, pour cela, on

utilise la technique de balayage qui est une méthode de résolution semi-itérative. Elle consiste

à déterminer les valeurs de la variable sur chaque ligne du domaine d'étude

indépendamment des autres lignes, donc le système se transforme d'un système d'équations

algébriques multidimensionnelles en un système unidimensionnel, en ajoutant à la source de

la dimension choisie des termes des autres dimensions. Le système d'équations obtenu est

représenté par une matrice tridiagonale et peut être résolu par l'algorithme de Thomas [25].

φ

'ΡS

Chapitre III Modélisation numérique

49

Page 61: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

● Développement de la méthode (TDMA)

L'équation algébrique s'écrit pour le nœud P du maillage comme suit :

Le système d'équations obtenu peut se mettre sous la forme : Où : matrice de (IL-2)× (JL-2) éléments. vecteur des inconnues i = 2, IL -1

j = 2, JL -1

Pour déterminer les valeurs de sur une colone (i) on suppose que les valeurs de

cette derniére sont connues sur les colonnes (i -1) et (i+1). L'équation algébrique (III.84)

écrire pour chaque nœud de la colonne (i) est alors réduire à une équation qui contient

seulement trois inconnues

Pour le nœud (i, j) du maillage, l'équation peut être écrite sous la forme d'une équation

unidimensionnelle :

Et en posant :

( )84.IIISSSNNWWEEPP φφφφφφ +Α+Α+Α+Α=Α

[ ] [ ] [ ] ( )85.IIISφφ =⋅Α

[ ]Α

[ ]φ ( )ji,φ

φ

( ).,, SN φφφ Ρ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )86.,,1,

,1,1,,1,,,,

IIIjiSjiji

jijijijijijijiji

WW

EENNSSPP

φφ

φφφφ

+−⋅Α+

+⋅Α=+⋅Α−−⋅Α−⋅Α

( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )jiSjijijijid

jic

jibjia

WWEEj

sj

nj

Pj

,,1,,1,

,

,;

φφφ +−⋅Α++⋅Α=

Α=

Α=

Α=

Chapitre III Modélisation numérique

50

Page 62: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

On obtient l'équation (III.87) sous la forme suivante :

avec :

Pour tous les nœuds (j=2, JL-1) de la colonne (i), l'équation (III.87) donne un système

de la forme :

Les valeurs de et sont connues (conditions aux limites).

La matrice associée au système est tridiagonale. On utilisera l'algoritheme TDMA

(algorithme de Thomas) [25] pour la résolution en réarrangeant toutes les équations du

système (III.88) sous la forme :

On obtient ce qui suit :

( )87.11 IIIdbac jjjjjjj =−+− +− φφφ

001 == JLbetc

2322212 dbac =−+− φφφ

JLJLJLJLJLJLJL dbac =−+− +− 11 φφφ

( )88.11 IIIdbac jjjjjjj =−+− +− φφφ

1φ JLφ

( )89.11 IIIad

ab

ac

j

jj

j

jj

j

jj ++= +− φφφ

( )90.2

23

2

21

2

22 III

ad

ab

ac

++= φφφ

( )91.3

34

3

32

3

33 III

ad

ab

ac

++= φφφ

( )92.11 IIIad

ab

ac

JL

JLJL

JL

JLJL

JL

JLJL ++= +− φφφ

Chapitre III Modélisation numérique

51

Page 63: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Et puisque est connue, on élimine de l'équation (III.91) puis de l'équation (III.92) et

ainsi de suite, on obtient une relation de récurrence pour telle que :

Détermination de et :

Pour le nœud (i, j-1), on a :

En remplaçant (III.94) dans (III.88) on trouve :

D'où on a :

De (III.93) et (III.97) on a :

Pour j=1 on a :

Donc l'équation (III.97) pour j=1 se réduit à :

2φ 3φ1φ

( )93.1 IIIQP jjjj += +φφ

jP jQ

( )94.111 IIIQP jjjj −−− += φφ

( ) ( )95.111 IIIdbaQPc jjjjjjjjj =−++− +−− φφφ

( ) ( )96.111 IIIbcdPca jjjjjjjjj +−− ++=− φφφ

( )97.1

11

1

IIIPca

cdPca

b

jjj

jjjj

jjj

jj

−+

− −

−+

−=

φφφ

( )98.1

IIIPca

bP

jjj

jj

−−=

( )99.1

1 IIIPca

cdQ

jjj

jjjj

−=

φ

01 =c

Chapitre III Modélisation numérique

52

Page 64: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Ce qui correspond à la forme de l'équation (III.89).

Donc, on a :

Aussi, pour j= JL on a : bJL=0 donc PJL =0

Et de l'équation (III.94) on a :

● Résumé de l'algorithme de Thomas

1. Calculer de l'équation (III.101).

2. Calculer à partir de la relation (III.98) et la relation (III.99) les coefficients et avec : j= 2, 3, …, JL.

3. On pose .

4. On utilise l'équation (III.93) pour j=JL-1, JL-2, …, 3, 2, 1 afin d'obtenir les valeurs

III.7 Algorithme de calcul Pour résoudre le problème de la présente étude, on suit les étapes de l'algorithme

suivant :

( )102.IIIQJLJL =φ

11 QetP

jP jQ

JLJL Q=φ

.,,...,,, 12321 φφφφφ −− JLJL

( )101.,1

11

1

11 III

adQ

abP ==

( )100.1

12

1

11 III

ad

ab

+= φφ

Chapitre III Modélisation numérique

53

Page 65: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Lecture des données

Maillage

Estimation initiale des champs de pression, de vitesses et de température.

DÉBUT

Calcul des pseudo-vitesses, après le calcul des coefficients des équations de quantité de mouvement.

Calcul des coefficients et résoudre l'équation de pression

Résoudre les équations de conservation de quantité de mouvement

Calcul des coefficients et puis résoudre l'équation de correction de pression

Corriger le champ de vitesses

Convergence?

Calcul des coefficients de l'équation de l'énergie et résoudre l'équation de l'énergie

FIN

Oui

Actualiser P* =P ; U* =UV* =V ; θ* =θ

Boucle d'itérations

Non

Figure III.5 : Algorithme de calcul.

Chapitre III Modélisation numérique

54

Page 66: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

CHAPITRE IV RESULTATS ET DISCUSSION

Page 67: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

IV.1 Description des objectifs de notre étude

Dans ce chapitre, nous présentons les résultats de l'étude numérique de la

convection mixte, stationnaire et bidimensionnelle d'un écoulement du fluide sur une plaque

plane isotherme et inclinée d'un angle α par rapport à la verticale. L'étude est axée, d'une part,

sur les influences du nombre de Richardson (Ri=GrL/ReL2) et de l'inclinaison sur l'aspect

thermique et dynamique de l'écoulement le long de plaque. Pour cette étude nous avons utilisé

les équations de Navier-Stockes et de la chaleur dans un domaine avoisinant la surface de la

plaque avec l’idée de mettre en évidence le développement d’une couche limite.

Pour avoir une idée globale du comportement des différents fluides nous avons choisi,

comme référence, l'air (Pr=0.72 premier cas) et l'eau (Pr=7.0 deuxième cas) qui traduisent

respectivement le comportement général des gaz et des liquides.

Le phénomène de la convection mixte est étudié par la variation du nombre Ri entre

les valeurs 0 à 5 pour l’air et 0 à 10 pour l’eau.

Le domaine de variation de l'angle d'inclinaison est compris entre 0° et 90°. Cette

étude engendre le cas d'une convection mixte favorable, c-à-d la convection naturelle et

forcée sont dans le même sens et la convection mixte défavorable où la convection naturelle

agit dans le sens inverse de la convection forcée.

IV.2 Validation numérique du modèle. Pour valider nos résultats numériques, nous les avons confrontés, d'une part, à ceux de

Wickern [11] et N.H.Saeid [16] qui ont travaillé sur le même sujet, en considérant une plaque

plane dont la température est constante. Notons que ces deux auteurs ont utilisés l'approche de

la couche limite. La méthode numérique de résolution suivie par Wickern est celle de Keller's

box tandis que Saeid a appliqué la méthode des différences finies. Nous avons collecté les

résultats propres à la position verticale de la plaque de ces deux études et avons adoptés des

conditions analogues à celles prises par les deux auteurs. Ces conditions se résument à la

fixation du nombre de Reynolds, de l'angle d'inclinaison à 0° (position verticale) et à la

variation du nombre de Richardson entre 0 et 1. La variation de ce dernier paramètre

Chapitre IV Résultats et discussion

55

Page 68: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

adimensionnel s'effectue par l'intermédiaire du nombre de Grashof. Les résultats d'évolution

du nombre de Nusselt local (NuLReL-1/2), en fonction du nombre de Richardson, qui sont

illustrés sur la figure IV.1 montrent un bon accord entre nos résultats et ceux obtenus par les

deux auteurs.

Pour justifier, une fois de plus, l'exactitude de nos résultats numériques nous les avons

confrontés à ceux obtenus par J.a. Souza [15]. Ce dernier a étudié le problème de frottement

de l'air qui s'écoule sur une plaque plane, de longueur finie, en oscillation par rapport à un axe

parallèle à sa surface et qui est aussi en mouvement. On note que cette étude a été effectuée, à

partir des équations généralisées tout comme notre approche. Le glissement des résultats de

cet auteur sur les nôtres est obtenu par une simple fixation de l'angle d'inclinaison de la plaque

et du nombre de Reynolds. La figure IV.2 montre un très bon accord entre nos résultats et

ceux de Souza dans tout le domaine de variation du nombre de Richardson que nous avons

exploré (0-5). Dans ce cas, le Nusselt étudié est le Nusselt local (NuL ReL-1/2).

Chapitre IV Résultats et discussion

56

Page 69: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,2

0,3

0,4

0,5

Wickern[11] ; N. H. Saeid [16] présent travail

Nu LR

e L-1/2

Ri

Pr = 0.72

Figure IV.1 : Variation de NuL ReL-1/2 en fonction du nombre de Richardson

de l'air sur une plaque verticale

0 1 2 3 4 50,2

0,4

0,6

0,8

Pr=0.72

Nu LR

e L-1/2

Ri

J.a. Souza[15] présent travail

Figure IV.2 : Variation de NuL ReL-1/2 en fonction du nombre de Richardson

Chapitre IV Résultats et discussion

57

Page 70: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

IV.3 Résultats de la convection mixte dans le cas favorable

IV.3.1 Cas de l'air (Pr = 0.72)

IV.3.1.1 Influence du nombre de Richardson sur la convection

(0≤Ri≤5)

Cas d'une plaque plane verticale (α=0°)

● Champ dynamique La figure IV.3 (a) présente la variation du profil de la vitesse longitudinale

adimensionnelle en fonction du coordonnée adimensionnelle Y pour différentes valeurs du

nombre de Richardson à la position X=0.9, voisine du bord de sortie. La composante de la

vitesse locale, due à la convection naturelle, est maximale en cette abscisse. En effet, à cette

abscisse et au voisinage de la surface la température du fluide est très élevée. Ce gradient de

température amplifie le phénomène de la convection naturelle. On remarque que

l'augmentation du nombre de Richardson Ri accélère l'écoulement au voisinage de la paroi. Le

profil de vitesse présente un maximum dans le domaine de coordonnée Y 0-0.01. Ce résultat

s'explique par le fait que la convection naturelle, apparaissant dans ce cas, augmente la vitesse

des particules fluides au voisinage de la paroi. Cette accélération conduit à une diminution de

l'épaisseur de la couche limite dynamique et donc à des gradients de vitesse pariétaux

importants d'où des transferts thermiques pariétaux accrus. Sachant qu’à la valeur Ri=0

l’écoulement est due à une convection forcée pure. Pour les faibles valeurs de Ri l'écoulement

forcé reste prépondérant sur toute la plaque. Nous avons observé que la convection mixte

n’apparaît qu’à partir de Ri ≥0.5 où l'on remarque que la vitesse, dans cette abscisse, devient

plus importante que la vitesse imposée à l'entrée.

La figure IV.4 illustre, pour divers nombres de Richardson Ri, la variation de la vitesse

longitudinale adimensionnelle en fonction du coordonnée adimensionnelle Y le long de la

plaque (X=0.1-1). Nous observons que l'accroissement du nombre de Richardson favorise

l'apparition précoce de la convection mixte le long de la plaque. Ce phénomène se généralise

sur toute la plaque à partir de Ri ≥ 5. Pour cette raison, cette valeur de Ri=5 est prise comme

limite dans notre étude.

Chapitre IV Résultats et discussion

58

Page 71: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

● Champ thermique

La figure IV.3 (b) représente l'évolution de la température adimensionnelle en fonction

de la coordonnée transversale Y pour diverses valeurs de Ri. Pour cette position verticale de la

plaque, l'augmentation du nombre de Richardson Ri, provoque une diminution de l'épaisseur

de la couche limite thermique. Ceci s'explique par des gradients thermiques pariétaux

importants. Pour Ri=0, nous obtenons une couche limite thermique dont l'épaisseur est

voisine de celle dynamique. Ce résultat numérique est en bon accord avec la relation classique

δt/δ=Pr-1/3 [3]. Ce résultat est aussi confirmé par les courbes de la figure IV.5.

La figure IV.6 représente les variations des épaisseurs, au bord de sortie X=0.9, de la

couche limite dynamique et thermique adimensionnelles en fonction de Ri. On remarque que

l'augmentation de Ri, diminue les épaisseurs de la couche limite dynamique et thermique. Ce

résultat montre que la convection naturelle contribue à accélérer l'écoulement et à augmenter

l’échange thermique avec la paroi.

Les figures IV.7-IV.8 illustrent les variations du nombre de Nusselt local et le

coefficient de frottement en fonction du nombre de Richardson. Elles montrent que

l'augmentation de Ri accroît le nombre de Nusselt et le coefficient de frottement. Ceci

s'explique, sous l'effet de la contribution de la convection naturelle, par l'accroissement du

gradient de la vitesse et de la température au voisinage de la paroi. Sur cette dernière courbe

on peut lire que la valeur initiale du paramètre ((1/2) Cf, L ReL1/2) est de l’ordre de 0.5,

valeur différente de celle donnée par Blasius (0.332). Cette différence provient du faite que,

dans notre étude, nous n’avons pas adopté les mêmes approximations que ce dernier. Ce

résultat est corroboré par les travaux de Bianchi cité par Souza et al.

Chapitre IV Résultats et discussion

59

Page 72: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(b)

θ

Y

α = 0° ; X=0.9 Ri=0 Ri=0.1 Ri=0.5 Ri=1 Ri=2 Ri=3 Ri=4 Ri=5

Figure IV.3 : Variation transversale de: (a) : la vitesse longitudinale adimensionnelle (b) : la température longitudinale adimensionnelle pour différents nombres de Richardson.

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

(a)

U

Y

α = 0° ; X=0.9 Ri=0 Ri=0.1 Ri=0.5 Ri=1 Ri=2 Ri=3 Ri=4 Ri=5

Chapitre IV Résultats et discussion

60

Page 73: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

U

Y

Ri=0 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

U

Y

Ri=0.1 , α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

U

Y

Ri=0.5 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

U

Y

Ri=1 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

U

Y

Ri=2 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

2,6

U

Y

Ri=5 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1

Figure IV.4 : Evolution de la vitesse longitudinale adimensionnelle le long de l'abscisse pour différents nombres de Richardson.

Chapitre IV Résultats et discussion

61

Page 74: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=2 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=5 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=0.5 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=1 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=2 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=5 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1

Figure IV.5 : Evolution de la température adimensionnelle le long de l'abscisse pour différents nombres de Richardson.

Chapitre IV Résultats et discussion

62

Page 75: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Figure IV.6 : Evolution des épaisseurs de la couche limite thermique (δt/L) et dynamique (δ/L) en fonction du nombre de Richardson.

0 1 2 3 4 5

0,008

0,009

0,010

0,011

0,012

0,013

0,014

0,015

0,016

0,017

Ep. d

e la

cou

che

limite

RiL

δ/L δt/L

Figure IV.7 : Variation de NuL ReL-1/2 en fonction du nombre de Richardson

0 1 2 3 4 5

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

Nu LR

e L-1/2

RiL

α = 0° ; Pr = 0.72

Figure IV.8 : Variation de (1/2) Cf, L Re1/2L en fonction du nombre de Richardson

0 1 2 3 4 5

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

(1/2

) Cf,L

Re L1/

2

RiL

α = 0° ; Pr = 0.72

Chapitre IV Résultats et discussion

63

Page 76: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

IV.3.1.2 Influence de l'angle d'inclinaison (α) sur la convection Afin d'étudier l'effet de l'inclinaison de la plaque sur le phénomène de la convection

mixte, nous avons fait varier l'angle d'inclinaison α de la plaque entre deux positions limites:

α =0° et α =90°, respectivement, plaque verticale et plaque horizontale. Nous présentons les

résultats obtenus au milieu de la plaque (X=0.5). Les résultats des autres positions (X=0.1) et

(X=0.9) sont en annexe (B).

Nous constatons à partir des figures IV.9-IV.10 que, quelque soit l'inclinaison de la

plaque, l'apparition de la convection mixte commence toujours vers le bord de sortie. Sachant

que l'inclinaison de la plaque, par rapport à la verticale, fait apparaître deux composantes de la

vitesse de l'écoulement due à la convection naturelle. Une composante qui est dirigée dans le

sens de l'écoulement dépend du cos(α) et l'autre, dirigée dans le sens transversal, dépend de

sin(α). La composante parallèle est maximale pour une position verticale, ceci justifie

l'apparition précoce de la convection mixte pour les faibles valeurs de α.

L'influence de l'inclinaison sur le développement de la convection mixte au milieu de

la plaque apparaît pour des nombres de Richardson supérieurs à 0.5. L'accroissement de

l'angle d'inclinaison diminue la composante longitudinale de la vitesse. Ce résultat a pour

effet de retarder la formation de la convection mixte.

En convection forcée pure (Ri=0), on remarque que les profils de la vitesse et de la

température sont identiques quelque soit l'angle d'inclinaison. Pour un nombre de Richardson

supérieur à 0.5, l’inclinaison de la plaque influence l’apparition de la convection mixte, la

vitesse de l’écoulement et l’épaisseur de la couche limite. Ce résultat est une conséquence de

la diminution de la vitesse du fluide et de l’augmentation des épaisseurs dynamique et

thermique de la couche limite.

Les figures IV.11-IV.12 illustrent les variations du nombre de Nusselt local et le

coefficient de frottement en fonction du nombre de Richardson pour différentes valeurs de

l'angle d'inclinaison de la plaque. Ces courbes montrent que l'augmentation de α décroît le

coefficient de frottement et le nombre de Nusselt. Cette influence est faible pour

0°≤ α ≤60° et elle devient plus importante lorsque la plaque tend vers la position

horizontale 60°≤ α.≤90°. Ceci s'explique par la diminution de la contribution de la convection

naturelle sur l’écoulement.

Chapitre IV Résultats et discussion

64

Page 77: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

U

Y

Ri=5 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

U

Y

Ri=0 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

U

Y

Ri =0.5 ; X =0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

U

Y

Ri =1 ; X =0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

U

Y

Ri =2 ; X =0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

U

Y

Ri =3 ; X =0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

Figure IV.9 : Evolution transversale de la vitesse adimensionnelle pour différents angles d'inclinaison et divers nombre de Richardson à la position X =0.5

Chapitre IV Résultats et discussion

65

Page 78: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri =2 ; X =0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

Figure IV.10 : Evolution transversale de la température adimensionnelle pour différents angles d'inclinaison et divers nombre de Richardson à la position X = 0.5

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=0 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri =0.5 ; X =0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri =3 ; X =0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri =3 ; X =0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri = 5 ; X = 0.5 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°

Chapitre IV Résultats et discussion

66

Page 79: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Figure IV.11 : Variation de NuL ReL-1/2 en fonction du nombre de Richardson pour

différents angles d'inclinaison de la plaque

Figure IV.12 : Variation de (1/2) Cf, L ReL1/2 en fonction du nombre de Richardson pour

différents angles d'inclinaison

0 1 2 3 4 5

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

α = 90° ; 60° ; 30° ; 0°

(1/2

) Cf,L

Re L1/

2

RiL

Pr = 0.72

0 1 2 3 4 5

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

α = 90° ; 60° ; 30° ; 0°

Nu LR

e L-1/2

RiL

Pr = 0.72

Chapitre IV Résultats et discussion

67

Page 80: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

IV.3.2 Cas de l'eau (Pr =7.0)

IV.3.2.1 Influence du nombre de Richardson sur la convection

(0≤Ri≤10)

Cas d'une plaque plane verticale (α=0°)

Les figures IV.13 – IV.15 présentent l'influence du nombre de Richardson Ri, sur les

profils de la vitesse et de la température en fonction du coordonnée adimensionnelle Y et pour

différentes positions X. Nous rappelons que la valeur Ri=0 correspond à la convection forcée

seule (l'absence totale de la convection naturelle).

La figure IV.13 : (a et b) représente, à la position X=0.9, les variations du profil de la

vitesse longitudinale adimensionnelle U et du profil de la température adimensionnelle θ

successivement. On remarque que l'augmentation du nombre de Richardson Ri, accélère

l'écoulement au voisinage de la paroi et le profil de vitesse présente un maximum puis décroît

jusqu’à la frontière de la couche limite dynamique. Ce résultat s'explique par la contribution

de la convection naturelle dans l'écoulement qui apparaît par une accélération des particules

fluides au voisinage de la paroi. Cette accélération conduit à une diminution des épaisseurs de

la couche limite mais ce rétrécissement est plus sensible dans le champ dynamique que

thermique. Ceci est du à des gradients de vitesse et de température importants. On constate

qu’au bord de sortie de la plaque, la convection mixte apparaît à partir de Ri ≥4. Ce résultat

est justifié par la figure IV.14 où l’on observe que la vitesse U dépasse l’unité. Les courbes de

la figure IV.15 représentent l’évolution de la température le long de l’abscisse pour différents

Ri.

La figure IV.16 représente les variations, en fonction de Ri, des épaisseurs

adimensionnelles de la couche limite dynamique et thermique. On remarque que

l'augmentation de Ri provoque une diminution des deux épaisseurs. Dans le domaine de Ri

exploré l'épaisseur de la couche limite thermique reste inférieure de celle dynamique. Ce

résultat numérique est en bon accord avec la relation classique donnée pour la convection

forcée δt/δ=Pr-1/3 [3].

Les figures IV.17-IV.18 illustrent les variations du nombre de Nusselt local et le

coefficient de frottement en fonction du nombre de Richardson. Elles montrent que

l'augmentation du Ri, accroît le nombre de Nusselt et le coefficient de frottement. Ceci

s'explique par l'accroissement du gradient de la vitesse et de la température au voisinage de la

paroi, causé par la contribution de la convection naturelle qui augmente avec Ri.

Chapitre IV Résultats et discussion

68

Page 81: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

(a)

U

Y

α =0° ; X=0.9 Ri=0 Ri=1 Ri=2 Ri=4 Ri=6 Ri=8 Ri=10

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(b)

θ

Y

α =0° ; X=0.9 Ri=0 Ri=1 Ri=2 Ri=4 Ri=6 Ri=8 Ri=10

Figure VI.13 : Variation transversale de: (a) : la vitesse longitudinale adimensionnelle (b) : la température longitudinale adimensionnelle pour différents nombres de Richardson

Chapitre IV Résultats et discussion

69

Page 82: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

U

Y

Ri=1 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

U

Y

Ri=0 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

U

Y

Ri=4 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

U

Y

Ri=6 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

U

Y

Ri=8 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

U

Y

Ri=10 ; α =0° X=0.1 X=0.2 X=0.3 X=0.5 X=0.7 X=0.9 X=1

Figure IV.14 : Evolution de la vitesse longitudinale adimensionnelle le long de l'abscisse pour différents nombres de Richardson

Chapitre IV Résultats et discussion

70

Page 83: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=10 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=1 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=0 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=4 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=10 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=8 ; α =0° X=0.1 X=0.5 X=0.9 X=1

Figure IV.15: Evolution de la température adimensionnelle le long de l'abscisse en fonction de Y pour différents nombres de Richardson

Chapitre IV Résultats et discussion

71

Page 84: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Figure IV.16 : Evolution des épaisseurs de la couche limite thermique (δt /L) et dynamique (δ/L) en fonction du nombre de Richardson

0 2 4 6 8 100,005

0,006

0,007

0,008

0,009

0,010

0,011

0,012

0,013

0,014

0,015

0,016

Ep. d

e la

cou

che

limite

RiL

δ/L δt/L

Figure IV.17 : Variation de NuL ReL-1/2 en fonction du nombre de Richardson

0 2 4 6 8 100,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Nu LR

e L-1/2

R iL

α = 0° ; Pr = 7.0

Figure IV.18 : Variation de (1/2) Cf, L ReL1/2 en fonction du nombre de Richardson

0 2 4 6 8 10

0,5

1,0

1,5

2,0

(1/2

) Cf,L

Re L1/

2

R iL

α = 0° ; Pr = 7.0

Chapitre IV Résultats et discussion

72

Page 85: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

IV.3.2.2 Influence de l'angle d'inclinaison (α) sur la convection Les figures IV.19-IV.20 schématisent les variations adimensionnelles de la vitesse U

(X=0.5) et de la température θ (X=0.9) en fonction de Y. L’étude porte sur différentes valeurs

de l'angle et diverses valeurs du nombre de Richardson. Comme pour l’air, on remarque

également que l'apparition de la convection mixte commence toujours au bord de sortie de la

plaque est-ce quelque soit l'inclinaison mais l'augmentation de celui-ci par rapport à la

verticale provoque une diminution de la vitesse et retarde l'apparition de la convection mixte.

Pour un nombre de Richardson nul (Ri=0), on note que, quelque soit la valeur de (α), les

profils de vitesse sont identiques et celles de la température aussi. Les épaisseurs dynamique

et thermique de la couche limite augmentent d’avantage lorsque l'inclinaison de la plaque tend

vers la position horizontale.

Les variations, en fonction du nombre de Richardson, du nombre de Nusselt et du

coefficient de frottement sont représentées sur les figures IV.21-IV.22. L’étude prend en

considération l’influence de l'angle d'inclinaison. L’évolution des deux paramètres montre une

augmentation avec Ri et une diminution avec l'accroissement de l'angle d'inclinaison. Ce

résultat est une conséquence de l'effet de la convection naturelle dans l'écoulement au

voisinage de la paroi. On remarque que l’influence de l’inclinaison sur ces deux derniers

paramètres est faible pour des angles 0°≤α ≤60° et elle devient assez importante lorsque la

plaque tend vers la position horizontale 60°≤α≤90°.

Chapitre IV Résultats et discussion

73

Page 86: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

U

Y

Ri=0 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

U

Y

Ri=1 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

U

Y

Ri=4 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

U

Y

Ri=8 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

U

Y

Ri=8 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

U

Y

Ri=10 ; X=0.5 α =0° α =30° α =60° α =90°

Figure IV.19 : Evolution transversale de la vitesse adimensionnelle pour différents angles d'inclinaison et divers nombre de Richardson

Chapitre IV Résultats et discussion

74

Page 87: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

θ

Y

Pr = 7.0 ; Ri = 0 ; X = 0.9

Figure IV.20 : Evolution transversale de la température adimensionnelle pour différents angles d'inclinaison et divers nombre de Richardson.

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

θ

Y

Pr = 7.0 ; Ri = 6 ; X = 0.9

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

θ

Y

Pr = 7.0 ; Ri = 10 ; X = 0.9

Chapitre IV Résultats et discussion

75

Page 88: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Figure IV.22 : Variation de (1/2) Cf, L ReL1/2 en fonction du nombre de Richardson pour

différents angles d'inclinaison

0 2 4 6 8 10

0,5

1,0

1,5

2,0

α = 90° ; 60° ; 30° ; 0°

(1/2

) Cf,L

Re L1/

2

RiL

Pr = 7.0

Figure IV.21 : Variation de NuL ReL-1/2 en fonction du nombre de Richardson pour

différents angles d'inclinaison

0 2 4 6 8 100,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

α = 90° ; 60° ; 30° ; 0°

Nu LR

e L-1/2

RiL

Pr = 7.0

Chapitre IV Résultats et discussion

76

Page 89: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

IV.3.3 Etude comparative entre les résultats de l'air (Pr = 0.72) et de

l'eau (Pr =7.0) Dans cette étude nous avons comparer les résultats de deux fluides différents, en

l’occurrence, l’air (Pr= 0.72) et l’eau (Pr=7.0). L’étude est effectuée sur plusieurs points de

la plaque : X = 0.1 ; 0.5 et 0.9 et pour deux nombres de Richardson critiques : R i = 0

et 5.

La figure IV.23 représente les variations adimensionnelles de la vitesse et de la

température en fonction du coordonnée adimensionnelle Y. Pour la convection forcée pure

(Ri=0), on remarque que les profiles de la vitesse des deux fluides sont identiques par contre

ceux de la température sont distincts. Dans ce cas, les deux fluides donnent, la même

épaisseur dynamique mais les épaisseurs thermiques sont différentes. En effet, comme nous

sommes dans le cas d’un écoulement forcé, qui peut être expliqué par la relation de Blasius

(δ/x = 4.92 Re-1/2 ) qui montre que l’épaisseur dynamique ne dépend que du nombre de

Reynolds. A l’inverse, l’épaisseur de la couche limite thermique dépend, en plus du nombre

de Reynolds, du nombre de Prandtl selon la relation δt/δ =Pr-1/3 [3, 10], valable

dans le domaine des fluides 0.6≤Pr≤50. Comme ce dernier dépend de la nature du fluide, il

influe donc sur la valeur de δt.

La figure IV.24 représente les évolution de la vitesse et de la température

adimensionnelles en fonction de la coordonnée transversale Y, pour diverses valeurs de Ri

tandis que les autres paramètres sont fixés à α=0° et X=0.9. On note que les courbes de la

vitesse de l'air sont plus grandes que celles de l'eau.

La figure IV.25 représente les évolution de la vitesse (a,b,c) et de la température (d,e,f)

adimensionnelles en fonction de la coordonnée transversale Y, pour diverses valeurs de α et

différentes positions X. Pour une convection forcée pure (Ri=0), on observe que les profils de

vitesse sont identiques quelque soit la valeur de (α) et du nombre de Prandtl alors que ceux de

la température sont sensibles au nombre de Prandtl.

Chapitre IV Résultats et discussion

77

Page 90: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

La figure IV.26 schématise les variations adimensionnelles de la vitesse (a, b, c) et de

la température (d, e, f) en fonction du coordonnée adimensionnelle Y, pour différentes valeurs

de l'angle et différentes positions X. Pour un nombre de Richardson différent de zéro (Ri=5),

on remarque que l'apparition de la convection mixte commence toujours vers le bord de sortie

de la plaque est-ce quelque soit l'inclinaison. L'augmentation de l'angle d'inclinaison par

rapport à la verticale provoque une diminution de la vitesse dans la couche limite et retarde la

naissance de la convection mixte. Les épaisseurs dynamique et thermique de la couche limite

augmentent avec l'angle d'inclinaison et diminuent avec le nombre de Prandtl.

Chapitre IV Résultats et discussion

78

Page 91: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(a)

U

Y

X=0.9 , α =0°,Ri=0 Pr=0.72 , ...... Pr=7.0

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(b)

θ

Y

X=0.9 , α =0°,Ri=0 Pr=0.72 , ...... Pr=7.0

Figure IV. 23: Variation transversale de: (a) : la vitesse longitudinale adimensionnelle (b) : la température longitudinale adimensionnelle pour différents nombres de Prandtl et Ri=0

Chapitre IV Résultats et discussion

79

Page 92: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

2,4

(a)

Ri = 1 ; 2 ; 4 ; 5

U

Y

X=0.9 , α =0° Pr=0.72 , ----- Pr=7.0

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(b)

Ri = 1 ; 2 ; 4 ; 5

θ

Y

X=0.9 , α =0° Pr=0.72 , ----- Pr=7.0

Figure IV. 24 : Variation transversale de: (a) : la vitesse longitudinale adimensionnelle (b) : la température longitudinale adimensionnelle pour différents nombres de Richardson et de Prandtl

Chapitre IV Résultats et discussion

80

Page 93: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(f)

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

θ

Y

Ri=0 ; X=0.9 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(a)

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

U

Y

Ri=0 ; X=0.1 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(d)

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

θ

Y

Ri=0 ; X=0.1 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(b)

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

U

Y

Ri=0 ; X=0.5 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(e)

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

θ

Y

Ri=0 ; X=0.5 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(c)

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

U

Y

Ri=0 ; X=0.9 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0

Figure IV. 25 : Variation transversale de: (a),(b), (c) : la vitesse longitudinale adimensionnelle (d), (e), (f) : la température longitudinale adimensionnelle pour différents angles d'inclinaison et nombres de Prandtl (cas de Ri=0)

Chapitre IV Résultats et discussion

81

Page 94: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

(a)

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

U

Y

Ri=5 ; X=0.1 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(d)

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

θ

Y

Ri=5 ; X=0.1 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

(b)

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

U

Y

Ri=5 ; X=0.5 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(e)

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

θ

Y

Ri=5 ; X=0.5 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

(c)

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

U

Y

Ri=5 ; X=0.9 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(f)

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

θ

Y

Ri=5 ; X=0.9 Pr = 0.72 , ....... Pr = 7.0

Figure IV. 26 : Variation transversale de: (a),(b), (c) : la vitesse longitudinale adimensionnelle (d), (e), (f) : la température longitudinale adimensionnelle pour différents angles d'inclinaison et nombres de Prandtl, Ri=5

Chapitre IV Résultats et discussion

82

Page 95: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

IV.4 Résultats de la convection mixte dans le cas défavorable

Nous présentons les résultats de l'étude numérique de la convection mixte dans le cas

défavorable où la convection naturelle agit dans le sens inverse de la convection forcée.

L’étude suivante est effectuée pour l'air (Pr = 0.72).

L’ensemble des figures IV.27-IV.37 représente l'influence du nombre de Richardson Ri,

sur les champs de la vitesse et de la température. Dans ce cas où la convection naturelle se

dirige contrairement à l'écoulement potentiel nous avons remarqué, de la figure IV.27 (a), que

les deux types de convection naturelle et forcée deviennent du même ordre de grandeur

lorsque Ri est compris dans le domaine : 0.2- 0.22. Au delà de cette valeur, il y’a apparition

d’un écoulement inverse prés de la paroi, provoquant ainsi le décollement de l'écoulement.

Les figures IV.32-IV.36, qui schématisent les contours de variations de la vitesse et de la

température, montrent que ce point de décollement avance vers le bord d'attaque de plus en

plus que le nombre de Richardson Ri augmente.

L'effet de l'angle d'inclinaison sur le décollement de l'écoulement, pour divers Ri est

montré sur la figure IV.29. Le phénomène de décollement est obtenu lorsque le coefficient de

frottement pariétal s'annule. Pour un nombre de Richardson constant on remarque que

l'augmentation de l'angle d'inclinaison retarde le décollement de l'écoulement parce que la

force de la poussée thermique agissant dans le sens inverse de l'écoulement potentiel est

diminuée avec l'augmentation de l'angle d'inclinaison. La figure IV.28 montre que

l'augmentation du nombre de Richardson Ri, provoque une atténuation du nombre de Nusselt.

Ce résultat est causé par les variations simultanées du gradient de vitesse et, surtout, celui de

la température avec Ri, comme la montre la figure IV.27.

Chapitre IV Résultats et discussion

83

Page 96: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(a)

U

Y

α = 0° ; X = 0.9 Ri = 0 Ri = 0.10 Ri = 0.20 Ri = 0.22 Ri = 0.25

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

(b)

θ

Y

α = 0° , X = 0.9 Ri = 0 Ri = 0.10 Ri = 0.20 Ri = 0.22 Ri = 0.25

Figure IV. 27 : Variation transversale de: (a) : la vitesse longitudinale adimensionnelle (b) : la température longitudinale adimensionnelle pour différents nombres de Richardson

Chapitre IV Résultats et discussion

84

Page 97: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

Nu LR

e L-1/2

RiL

Pr = 0.72

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

α = 0° ; 30° ; 60° ; 90°

(1/2

) Cf,L

Re L1/

2

RiL

Pr = 0.72

Figure IV.28 : Variation de NuL ReL-1/2 en fonction du nombre de Richardson pour différents angles d'inclinaison

Figure IV.29 : Variation de (1/2) Cf, L ReL1/2 en fonction du nombre de Richardson pour

différents angles d'inclinaison

Chapitre IV Résultats et discussion

85

Page 98: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Figure IV.30 : Contour de la vitesse longitudinale adimensionnelle, cas d'une plaque verticale et Ri=0.10

Chapitre IV Résultats et discussion

86

Page 99: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Figure IV.31 : Contour de la température adimensionnelle, cas d'une plaque verticale et Ri=0.10

Chapitre IV Résultats et discussion

87

Page 100: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Figure IV.32 : Contour de la vitesse longitudinale adimensionnelle, cas d'une plaque verticale et Ri=0.22

Chapitre IV Résultats et discussion

88

Page 101: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Figure IV.33 : Contour de la température adimensionnelle, cas d'une plaque verticale et Ri=0.22

Chapitre IV Résultats et discussion

89

Page 102: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Figure IV.34 : Contour de la vitesse longitudinale adimensionnelle, cas d'une plaque verticale et Ri=0.25

Chapitre IV Résultats et discussion

90

Page 103: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Figure IV.35 : Contour de la température adimensionnelle, cas d'une plaque verticale et Ri=0.25

Chapitre IV Résultats et discussion

91

Page 104: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Figure IV.36 : Contour de la vitesse longitudinale adimensionnelle, cas d'une plaque verticale et Ri=1

Chapitre IV Résultats et discussion

92

Page 105: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Figure IV.37 : Contour de la température adimensionnelle, cas d'une plaque verticale et Ri=1

Chapitre IV Résultats et discussion

93

Page 106: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

CONCLUSION GENERALE

Page 107: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

L’étude que nous avons effectuée a portée sur une convection mixte au dessus d’une plaque

plane isotherme et inclinée d'un angle α par rapport à la verticale. En effet, l’échauffement

(ou refroidissement) d'un plan donne, dans le fluide, naissance à une convection naturelle qui

perturbe l’écoulement forcée. L'écoulement, dans ce cas, est dit mixte. Son étude est effectuée

à l'aide du nombre de Richardson (Ri=Gr/Re2).

Le test de validation de notre programme de calcul est justifié grâce à la bonne

concordance trouvée entre nos résultats et ceux de la littérature [11, 15, 16]. Les résultats

obtenus dans le cas favorable montrent, pour toute inclinaison α de la plaque, un

développement d'une couche limite d’épaisseur finie. D'après ces résultats, l’étude peut être

simplifiée par l’approximation de Prandtl. Cependant, cette confirmation ne reste valable que

dans le domaine de Richardson exploré, à savoir : Ri=0-5 pour l’air et Ri=0-10 pour l’eau.

La synthèse des résultats nous permet de dégager les points suivants :

Pour l’air, la convection mixte apparaît sur le bord de sortie, à partir de

Ri = 0.5. Elle se développe le long de la surface, au fur et à mesure que le

nombre de Richardson augmente. Elle se généralise pour Ri = 5.

Pour l’eau, on observe un comportement identique à celui de l’air sauf que,

pour obtenir une convection mixte sur l’ensemble de la plaque, il faut

augmenter le nombre de Richardson au-delà de 10 et que la convection mixte

ne commence qu'à partir de Ri = 4.

L'augmentation du nombre de Richardson Ri accélère l'écoulement et favorise

les changes thermiques. Ceci provoque une diminution des épaisseurs de la

couche limite thermique et dynamique.

Pour la convection forcée pure (Ri = 0), les profils de la vitesse et de la

température sont indépendants de l'inclinaison de la plaque.

Pour une convection mixte (Ri ≠ 0), l’épaisseur de la couche limite augmente

légèrement avec l’inclinaison de la plaque.

Conclusion générale

94

Page 108: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Le nombre de Nusselt et le coefficient de frottement augmentent avec

l'accroissement de Ri et diminuent avec l'augmentation de α. Pour la valeur

spécifique α = 90° (la plaque horizontale), ces grandeurs varient légèrement

avec l'augmentation de Ri.

L’accroissement du nombre de Prandtl a pour effet de diminuer l'épaisseur de

la couche limite thermique.

L’épaisseur (δt) de la couche limite thermique varie avec le nombre de Pr,

l’inclinaison de la surface et le nombre de Richardson. Par contre, la couche

limite dynamique ne dépend que des deux derniers paramètres.

Pour l'air, les résultats obtenus dans le cas défavorable se résument aux points suivants :

Lorsque la convection naturelle devient du même ordre de grandeur que la

convection forcée, il se crée un écoulement inverse prés de la paroi ce qui

provoque un décollement de la couche limite en induisant ainsi une turbulence.

Un décollement apparaît vers la fin de la plaque pour Ri = 0.22. Au-delà de

cette valeur, l’écoulement est aléatoire et on ne peut parler de couche limite.

Conclusion générale

95

Page 109: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

BIBLIOGRAPHIE

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Bibliographie

99

Page 114: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

ANNEXES

Page 115: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Les relations fondamentales utilisées pour valide nos résultats numériques sont exprimées par

[3], [7], [9], [10].

Cas d'une plaque plane : couche limite laminaire bidimensionnelle. ● Coefficient de frottement ● L'épaisseur de couche limite dynamique ● Les épaisseurs de couches limites dynamique δ, et thermique δt, et le nombre de Prandtl - Pour Pr=1, δ=δt

- Pour Pr >1, δ>δt

- Pour Pr <1, δ<δt

● Nombre de Nusselt La corrélation de Pohlhausen's pour un écoulement laminaire sur une surface plane,

pour différentes valeurs de Pr est :

Pour 0.6 ≤ Pr ≤ 50

Pour 0.6 ≤ Pr ≤ 50

Annexe A

( )1.Re664.0

21 2

Au

Cx

wf ==

∞ρ

τ

( )2.Re92.4 A

x x

31

Pr−

=δδ t

31

21

PrRe332.0 xxNu =

100

Page 116: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

- Cas d'un nombre de Prandtl très inférieur à l'unité

Annexe A

21

Pr−

≈δδ t

21

21

PrRe xxNu ≈

101

Page 117: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Influence de l'angle d'inclinaison (α) sur la convection cas de l'air (Pr=0.72)

Les résultats des évolutions de U et de θ obtenus pour les positions près du bord

d'attaque (X=0.1) et vers la fin de la plaque (X=0.9). Les figures représentent l'Influence de

l'angle d'inclinaison sur les profils de la composante longitudinale de la vitesse

adimensionnelle et de la température adimensionnelle pour différents nombres de Richardson.

Annexe B

102

Page 118: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Annexe B

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

U

Y

Ri=0 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

U

Y

Ri=0.5 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

U

Y

Ri=1 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

U

Y

Ri=2 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

U

Y

Ri=3 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

U

Y

Ri=5 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°

Figure B.1 : Influence de l'angle d'inclinaison sur le profil de la composante longitudinale de la vitesse adimensionnelle pour différents nombres de Richardson

103

Page 119: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Annexe B

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=0 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=0.5 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=1 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=2 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=3 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri=5 ; X = 0.1 α =0° α =30° α =60° α =90°

Figure B.2 : Influence de l'angle d'inclinaison sur le profil de la température adimensionnelle pour différents nombres de Richardson

104

Page 120: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Annexe B

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

U

Y

Ri =0 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

U

Y

Ri =0.5 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

U

Y

Ri = 1 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

U

Y

Ri = 2 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

U

Y

Ri = 3 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°

0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

U

Y

Ri = 5 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°

Figure B.3 : Influence de l'angle d'inclinaison sur le profil de la composante longitudinale de la vitesse adimensionnelle pour différents nombres de Richardson

105

Page 121: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

Annexe B

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri =0 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri =0.5 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri = 1 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri = 2 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri = 3 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°

-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

θ

Y

Ri = 5 ; X = 0.9 α = 0° α = 30° α = 60° α = 90°

Figure B.4 : Influence de l'angle d'inclinaison sur le profil de la température adimensionnelle pour différents nombres de Richardson

106

Page 122: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN

CONVECTION MIXTE : EFFET DE L'INCLINAISON DE LA

PAROI

Résumé

Le travail consiste en une étude numérique de la convection mixte d’un écoulement

laminaire et permanent sur une plaque plane isotherme et inclinée. Le fluide est newtonien et

incompressible avec des propriétés constantes sauf dans le terme de gravité où l'hypothèse de

Boussinesq est adoptée et une dissipation visqueuse négligeable. Le système d'équations aux

dérivées partielles est résolu numériquement par la méthode des volumes finis ou la

correction de la pression et de la vitesse est obtenue par L'algorithme SIMPLER. Cette

discrétisation donne un système matriciel tridiagonal dont la résolution est obtenue par

l'application de l'algorithme de Thomas.

L’étude est effectuée pour deux fluides: l'air (Pr = 0.72) et l'eau (Pr = 7.0), nous avons

validé les résultats numériques de notre modèle par leur comparaison avec des travaux

antérieurs. Les résultats présentés traitent : (i) cas favorable où la convection naturelle

favorise l’écoulement forcé et, (ii) cas défavorable dans lequel la convection naturelle

s’oppose à l’écoulement forcée. Dans tout les cas, l'évolution, en fonction du nombre de

Richardson et de l'angle d'inclinaison, des champs de température et de vitesse ainsi que le

nombre de Nusselt et le coefficient de frottement sont présentés. Nous avons trouvé que ces

paramètres (Ri, α), influent sur la vitesse de l'écoulement, la séparation de l'écoulement, les

épaisseurs des couches limites thermique et dynamique ainsi que sur le transfert de chaleur.

Mots-clés : convection mixte ; plaque inclinée; volumes finis; écoulement laminaire ;

transfert de chaleur

Page 123: ETUDE D'UNE COUCHE LIMITE LAMINAIRE EN CONVECTION

STUDY OF A LAMINAR BOUNDARY LAYER IN MIXED

CONVECTION: EFFECT OF THE INCLINATION ANGLE

Abstract This Work consists of a numerical study of the mixed convection of a laminar and

permanent flow over an isothermal inclined flat plate. The fluid is Newtonian and

incompressible with constant properties except in the term of gravity where the Boussinesq

approximation is adopted and a negligible viscous dissipation. The system of partial

derivative equations of the flow is solved numerically by the method of finite- volume. The

pressure and velocity fields are determined via the well-known SIMPLER algorithm. This

discretization gives a tridiagonal matrix system which is solved by algorithm of Thomas.

The study is carried out for two fluids: air (Pr = 0.72) and water (Pr = 7.0), we validated

the numerical results of our model by their comparison with former works. The results treat:

(i) favorable case when the natural convection supports the forced flow and, (ii) unfavorable

case in which the natural convection is opposed to the forced flow. For all cases, the evolution

of temperature and velocity fields as well as the Nusselt number and the coefficient of friction

are presented with Richardson number and inclination of the plate. We found that these

parameters (Ri, α) influences the velocity of the flow, the separation of the flow, the

thicknesses of boundary layer thermal and dynamic like on the transfer of heat.

Key words: mixed convection; inclined plate; finite-volume; laminar flow; heat transfer


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