Exercice n°6
Inertie d’un vilebrequin
Inertie d'un vilebrequinUn vilebrequin S est constitué de trois cylindres.Exprimer son opérateur d'inertie I(G1,S).Les trois cylindres sont définis tels que :- S1 de masse m1 de centre d'inertie G1 (0, 0, 0 ) de rayon R1et de hauteur h1
- S2 de masse m2 de centre d'inertie G2 (a2, 0, c2 ) de rayon R2 et de hauteur h2
- S3 de masse m3 de centre d'inertie G3 (a3, 0, c3 ) de rayon R3 et de hauteur h3
z
G1
xy
G2
G3
i (G , x, y, z )
On notera Ai, Bi, Ci les moments d’inertie du cylindre indice i par rapport aux axes du repère
Piston
Chemise
Micro moteur Picco LE P21 G EVO
Vilebrequin
Bielle
Inertie d'un vilebrequinUn vilebrequin S est constitué de trois cylindres.Exprimer son opérateur d'inertie I(G1,S).Les trois cylindres sont définis tels que :- S1 de masse m1 de centre d'inertie G1 (0, 0, 0 ) de rayon R1et de hauteur h1
- S2 de masse m2 de centre d'inertie G2 (a2, 0, c2 ) de rayon R2 et de hauteur h2
- S3 de masse m3 de centre d'inertie G3 (a3, 0, c3 ) de rayon R3 et de hauteur h3
z
G1
xy
G2
G3
Le moment d’inertie par rapport à l’axe
i i
2i i
G z/Cyl i
m R I C
2
1 i i i
2 2 2G z/Cyl G z/Cyl i i i i i i I I m (a b ) C m a
Avec ici bi = 0
i (G , z )
du cylindre i de masse mi s’écrit :
On exprime le moment d’inertie par rapport à l’axe
1 (G , z )
du cylindre i de masse mi qui a pour centrede gravité Gi (ai, bi, ci ) .
Inertie d'un vilebrequinUn vilebrequin S est constitué de trois cylindres.Exprimer son opérateur d'inertie I(G1,S).Les trois cylindres sont définis tels que :- S1 de masse m1 de centre d'inertie G1 (0, 0, 0 ) de rayon R1et de hauteur h1
- S2 de masse m2 de centre d'inertie G2 (a2, 0, c2 ) de rayon R2 et de hauteur h2
- S3 de masse m3 de centre d'inertie G3 (a3, 0, c3 ) de rayon R3 et de hauteur h3
z
G1
xy
G2
G3
i i
2 2i i i i
G x/Cyl i
m R m h I A
4 12
1 i i i
2 2 2G x/Cyl G x/Cyl i i i i i i I I m (b c ) A m c
i (G , x )
du cylindre i de masse mi s’écrit :Le moment d’inertie par rapport à l’axe
Moment d’inertie par rapport à l’axe 1 (G , x )
du cylindre i de masse mi qui a pour cdg Gi (ai, bi, ci ) .
Résultat analogue pour l’axe i (G , x )
i
2 2i i i i
G y i
m R m h I B
4 12
1 i i i
2 2 2 2G y/Cyl G y/Cyl i i i i i i i I I m (c a ) B m (c a )
Inertie d'un vilebrequinUn vilebrequin S est constitué de trois cylindres.Exprimer son opérateur d'inertie I(G1,S).Les trois cylindres sont définis tels que :- S1 de masse m1 de centre d'inertie G1 (0, 0, 0 ) de rayon R1et de hauteur h1
- S2 de masse m2 de centre d'inertie G2 (a2, 0, c2 ) de rayon R2 et de hauteur h2
- S3 de masse m3 de centre d'inertie G3 (a3, 0, c3 ) de rayon R3 et de hauteur h3
z
G1
xy
G2
G3
1 (G , x, y, z )On fait la somme des moments d’inertie par rapport aux trois axes
du repère pour les trois cylindres
1
3 2 2 3 2i 1 i 1G x i i i i i i i/S
I A m (b c ) A m c
1
3 2 2i 1G y i i i i/S
I B m (c a )
1
3 2 2 3 2i 1 i 1G z i i i i i i i/S
I C m (a b ) C m a
Inertie d'un vilebrequin
z
G1
xy
G2
G3
en yz i/Cyl Gi i
I D 0
On les calcule d’abord dans le repère centré en Gi
en yz i i i i/Cyl Gi 1
I D m b c 0 Puis on les calcule dans le repère centré en G1
en zx i i i i i i i/Cyl Gi 1
I E m c a m c a
en xy i i i i/Cyl Gi 1
I F m a b 0
Recherche des produits d’inertie pour le cylindre i :
Enfin on somme les pour chaque produit les produits des trois cylindres
i i de même E F 0
en en
3i 1yz yz/S G /Cyl G1 i 1
I I 0
en en
3 3i 1 i 1z z i i ix/S G x/Cyl G1 i 1
I I m c a
en en
3i 1xy xy/S G /Cyl G1 i 1
I I 0
Inertie d'un vilebrequin
z
G1
xy
G2
G3
D’où l’écriture de l’opérateur d’inertie :
3 2 3i 1 i 1i i i i i i
3 2 2i 1 i i i i
3 3 2i 1 i 1i i i i i i
A m c 0 m c a
0 B m (c a ) 0
m c a 0 C m a
(G1,S)
B0
On remarque que le plan 1 ( z, G , x )
est plan de symétrie. On confirme
bien ainsi les deux produits D et F nuls.
!!! Bien penser au signe moins devant les produits
Fin