Fibres optiquesThéorie des fibres optiques
La lumière : du rayon à l’onde Optique géométrique
Principe : réflexion totale Ouverture numérique Fibre à saut d ’indice Fibre à gradient d ’indice
Théorie électromagnétique Position du problème et méthode de résolution Notion de modes et relation de dispersion Principaux résultats
Théorie des fibres optiquesLa lumière : du rayon à l ’onde
Optique géométrique : lumière représentée par des rayons formation des images
Ne peut pas expliquer les interférences et la diffraction
Optique ondulatoire : la lumière est représentée par une vibration scalaire (fonction d ’onde)
interférences et diffractionOptique géométrique = limite de l ’optique ondulatoire
quand 0 .Ne peut pas expliquer la réflexion, la réfraction, la polarisation
Optique électromagnétique : la lumière est représentée par une onde électromagnétique (équations de Maxwell)
réflexion, réfraction, polarisation à suivre….
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (1)
Plan d ’incidence :plan
défini par le rayon incident
et la normale. Milieu 1n1
Milieu 2n2
i r
t
n1 < n2
Lois de Descartes :
• rayons réfléchi et transmissont dans le plan
d ’incidence
• i = r
• n1sini=n2sint
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (2)
Milieu 1n1
Milieu 2n2
i r
t
n1 > n2
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (3)
Milieu 1n1
Milieu 2n2
i=lim r
t=/2
n1 > n2
i ≥ Lim
Réflexion totale
€
sinθLim =n2
n1
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (4)
gaine(cladding)cœur (core)
rayon a
rayon b
n(r)
ra
n1
n2
Fibre à saut d ’indice
b
n0
Principe de fonctionnement
La lumière est guidée dans la fibre par des réflexions totales successives à l’interface cœur-gaine
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (5)
0
1
Pour que la lumière soit guidée dans la fibre, quelles conditionsdoit vérifier l ’injection de lumière dans la fibre ?
Exercice : Etablir la condition que doit vérifier 0 pour que la lumière soit guidée dans la fibre.Définir le cône d ’acceptance et l ’ouverture numérique
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (6)
L ?
0
1
α ≥αL =Arcsinn2
n1
θ1 =π2
−α ≤π2
−αL =π2
−Arcsinn2
n1
n0 sinθ0 =n1sinθ1 θ0 =Arcsinn1
n0
sinθ1
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (7)
θ0 ≤θL =Arcsinn1
n0
sinπ2
−Arcsinn2
n1
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
θL =Arcsinn1
n0
cosArcsinn2
n1
⎡
⎣ ⎢ ⎢
⎤
⎦ ⎥ ⎥
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ =Arcsin
n1
n0
1−n2
n1
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
2⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
La lumière doit être injectée dans la fibre dans un cône de demi-angle au sommet L (cône d’acceptance)
Ouverture numérique :ON=n0 sinθL = n12 −n2
2
Exemple : n1=1,5 ; n2=1,4 ; n0= 1 ; ON = 0,539 et L=32,6°
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (8)
L
n1>n2 mais en général les deux indices sont voisins (n1-n2<<n1)
, variation relative d ’indice
Δ =n1
2 −n22
2n12 =
n1 −n2( ) n1 +n2( )2n1
2 ≈n1 −n2
n1
.Dans ce cas , ON ≈ n1 2Δ
Exemple : n1=1,45 ; =1% ; n0=1 : ON = 0,205 L=11,8°
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (9)
(B.E.A. SALEH, M.C. TEICH, Fundamentals of photonics, Wiley)
Rayons non méridiens dans une fibre optique
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (10)
Pourquoi la réflexion totale ?
Exercice :Evaluer l’ordre de grandeur de la fraction de puissance réfléchie à l’interface entre deux diélectriques(n1=1,5;=1%)Pour le parcours correspondant à la valeur limite de combien y a t’il de réflexions sur un mètre de fibre (a=30m) ? Conclusion ?
Elargissement d’impulsions
Exercice :Pour une longueur L de fibre, calculer la longueur et la durée des trajets le plus long et le plus court.(n1=1,5;=1% ; a=30m)
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (11)
A l’incidence normale le coefficient de réflexion en puissance vaut (formules de Fresnel)
€
R =n1 − n2
n1 + n2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
=Δ
2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟2
= 2,5.10−5
n1 n2
i
r
r
€
r = R.Φ i
€
R =n1 − n2
n1 + n2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
2
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (12)
0
1M
N
P
Nombre de réflexions sur une longueur L :
€
q =L
MP
€
q =L
2atgα qL =
L
2atgα L
=L
2a2Δ
n1=1,5 ; =1% ; a=30m 2374 réflexions/mètre
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (13)
Longueur d’un parcours pour une fibre de longueur L :
€
l = MN + NP( )L
2atgα=
2a
cosα
L
2atgα=
L
sinα
Trajet le plus long plus petite valeur de , L
€
lmax =n1
n2
L , tmax =n1
2
n2cL
Trajet le plus court plus grande valeur de ,
€
lmin = L , tmin =n1
cL
Elargissement des impulsions (Dispersion intermodale)
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (14)
Dans un milieu homogène, rayon lumineux = droite
Trajectoire des rayons lumineux dans un milieu non homogène ?
Milieu stratifié : milieu constitué par un empilement de couches homogènes.
ni
ni-1
ni+1 i+1
i
i-1
n augmente
Lois de Descartes :
€
ni−1 cosθ i−1 = ni cosθ i
= ni+1 cosθ i+1
nicosi = constante
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (15)
Si on fait tendre l’épaisseur de la couche vers 0,
n
n-dn -d
€
grad(n)
€
ncosθ = n − dn( )cos θ − dθ( )
n sinθdθ = cosθdn
d n cosθ( ) = 0
€
n.cosθ = constante
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (16)
Dans un milieu inhomogène, les rayons lumineux suivent des courbes concaves dont la concavité est tournée dans le sens du gradient de l’indice.Exemple : le mirage
€
grad(n)pays chauds
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (17)
€
grad(n)
mers froides
Le vaisseau fantôme
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (18)
Dans un milieu inhomogène quelconque, la trajectoire desrayons lumineux est la solution de l’équation d’Euler :
€
d(nr u )
ds= grad(n)
€
ru =
dr r
ds
€
ru
€
ru
€
rr
s
avec , vecteur unitaire de la tangente, s, abscisse curviligne sur la trajectoire
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (19)
Remarques :•Si on se place dans un plan, avec une variation d’indicesuivant une seule coordonnée :
€
d(nr u )
ds= grad(n)
€
d
dsn
dr r
ds
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟= grad(n)
en projection sur Ox :
x
y
€
grad(n)
€
d
dsn
dx
ds
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟=
dn
dx= 0
€
ndx
ds= ncosθ = constante
• Si le milieu est homogène,
€
nr u = constante
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (20)
ra
n(r)
n1
n2
Fibre à gradient d ’indice
n0
b
Profil d’indice :
€
n(r) = n1 1− 2Δr
a
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟α
• n1 : indice sur l’axe• : paramètre du profil
• =1, profil triangulaire• =2, profil parabolique• =, saut d’indice
•
rayons
Intérêt : diminution de la dispersion intermodale
€
n(a) = n2 = n1 1− 2Δ
Δ =n1
2 − n22
2n12
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (21)
Fibre optique à gradient d’indice à profil parabolique :
€
n(r) = n1 1− 2Δr
a
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟2
≈ n1 1− Δr
a
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟2 ⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
Equation de la trajectoire des rayons :
€
r =asinθ1
2Δsin
2Δ
acosθ1
z ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
z
r
Exercice : Retrouver ce résultat à partir de la relationncos = constante.A quoi est égale l’ouverture numérique de la fibre ?
Théorie des fibres optiquesOptique géométrique (23)
(B.E.A. SALEH, M.C. TEICH, Fundamentals of photonics, Wiley)
Rayons non méridiens dans une fibre à gradient d’indice