Transcript

Terminale S 1 F. Laroche Suites numériques exercices corrigés

FICHE DE TRAVAUX DIRIGES TLES

C,D,E

STRUCTURE : suites

EXERCICES CORRIGES

Par Hugues SILA (http://sila.e-monsite.com)

mail : [email protected]

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 2

1. 1. QCM

Répondez par VRAI ou FAUX en JUSTIFIANT (sauf la question f. où il « suffit » de prouver).

Soit (un) une suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raison q ∈ ]0 ; +∞ [.

On note Sn = u0 + u1 + ... + un.

Alors

a. S'il existe n ∈ℕ tel que un > 2000, alors q > 1.

b. Si q < 1, alors il existe n ∈ℕ tel que 0 < un < 2.

c. Si q > 1, alors lim nSn

= +∞→+∞

.

d. Si lim 2nSn

=→+∞

, alors 1

2q = .

e. Si q = 2, alors S4 = 15.

f. Démontrer par récurrence que 3 3 3 21 2 ... (1 2 3 ... )n n+ + + = + + + + .

Correction

a. Vrai, b. Vrai, c. Vrai, d. Vrai, e. Faux.

1. 2.

On considère la suite ( )n nu ∈ℕ définie par 0 0u = , 1 1u = et, pour tout n ∈ ℕ ,

2 11 2

3 3n n nu u u+ += + .

On définit les suites ( )n nv ∈ℕ et ( )n n

w ∈ℕ par 1n n nv u u+= − et 12

3n n nw u u+= + .

a. La suite ( )n nv ∈ℕ est arithmétique.

b. La suite ( )n nw ∈ℕ est constante.

c. Pour tout n ∈ ℕ , on a : ( )3

5n n nu w v= − .

d. La suite ( ) *n nu ∈ℕ n’a pas de limite finie.

Correction

a. Faux : Si la suite nv est arithmétique, 1n nv v+ − est constante :

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 3

1 2 1 1 1 1 11 2 5 5 5

( ) ( ) 23 3 3 3 3n n n n n n n n n n n n nv v u u u u u u u u u u v+ + + + + + +− = − − − = + − + = − + = − ;

c’est donc faux, mais nous gagnons une information intéressante : 15 2

3 3n n n nv v v v+ = − + = − ; nv est géométrique de

raison 2

3− et de premier terme 0 1 0 1v = − = d’où

2

3

n

nv = −

.

b. Vrai : Recommençons :

1 2 1 1 1 1 12 2 1 2 2 2

03 3 3 3 3 3n n n n n n n n n n nw w u u u u u u u u u+ + + + + + +− = + − − = + + − − = donc c’est vrai. En plus on a

0 1 02

13nw w u u= = + = .

c. Vrai : ( ) 1 13 3 2 3 5

5 5 3 5 3n n n n n n n nw v u u u u u u+ + − = + − + = =

. Ok !

d. Faux : Remplaçons pour calculer nu : 3 2

15 3

n

nu = − −

dont la limite est 3

5.

1. 3.

Soient l un réel et ( )n nu ∈ℕ une suite réelle à termes tous strictement positifs. Pour les questions a., b., c. on suppose que

un converge vers l.

a. l est strictement positif.

b. Il existe n entier naturel tel que l soit une valeur approchée de un à 10−3 près.

c. La suite (ln )n nu ∈ℕ converge vers ln(l).

d. On suppose dans cette question que la suite ( )n nu ∈ℕ vérifie pour tout entier naturel n, 1 lnn nu u+ = et que 0 1u u> . On

ne suppose pas que la suite ( )n nu ∈ℕ converge.

La suite ( )n nu ∈ℕ est décroissante.

Correction

Question a b c d

Réponse F V F V

a. Si l pouvait être négative, il existerait des termes de un négatifs à partir d’un certain rang ce qui est impossible.

Par contre l peut être nulle : par exemple les suites qn avec 0 < q < 1 convergent vers 0.

b. La traduction de cette phrase est : il existe n tel que 310nu l −− ≤ ; c’est la définition même d’une suite convergente :

il existe N tel que pour tout n > N, n nu l kv− ≤ où vn converge vers 0.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 4

c. Supposons que un converge vers 0 alors la suite (ln )n nu ∈ℕ « convergerait » vers −∞. En fait cette suite divergerait.

d. La fonction ln est croissante donc si 0 1u u> alors 0 1 1 2ln lnu u u u> ⇔ > , etc. Par récurrence on a 1n nu u +> donc bien

décroissante. Remarquez que si on avait 0 1u u< alors la suite aurait été croissante. En fait dans le cas d’une suite

1 ( )n nu f u+ = avec f croissante tout dépend de l’ordre des deux premiers termes.

1. 4.

On considère la suite complexe ( )n nz ∈ℕ définie par 0 1z = et, pour tout entier n, 11

2n ni

z z++= . Pour n entier naturel, on

appelle nM le point d’affixe zn.

a. La suite ( )n nz

∈ℕ est une suite géométrique de raison

1

2.

b. Quel que soit n entier naturel, les triangles 1n nOM M + sont rectangles.

c. nM appartient à l’axe des abscisses si et seulement si n est un multiple de 4.

d. Pour tout n entier naturel, ( )

4

2

ni

n n

ez

π

= .

Correction

Question a b c d

Réponse F V V V

a. On a 1 1 1 2

2 4 4 2

i+ = + = donc ( )n nz

∈ℕ est une suite géométrique de raison

2

2.

b. Il nous faut calculer 11

11 12( , ) arg( ) arg arg

0 1 2 4n n

n n nn

iz z i

M O M Mz

π++

+ −− −= = = = −− −

������� ��������, ainsi que

11

1( , ) arg( ) arg

2 4n

nnn

z iOM OM

z

π++

+= = =������� �����

. Le dernier angle vaut donc bien 2

π(on aurait pu calculer un seul angle mais

ç’aurait été moins amusant…).

c. On a évidemment 4 40

1 2 2

2 2 2

n n nn i i

ni

z z e eπ π + = = =

donc nM appartient à l’axe des abscisses si

44

4

kn k n k

π πππ

= ⇔ = = .

d. Avec la réponse au c. et en remarquant que 2 1

2 2= , on retrouve bien

( )4

2

ni

n n

ez

π

= .

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 5

1. 5.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( ; , )O i j� �

. On considère dans ce repère les points A(1 ; −1), B(5 ; 3) et I le

milieu de [AB]. Soit (G )n n∈ℕ la suite de points définie par :

* G0 = O,

* Pour n entier naturel, Gn+1 est le barycentre de {(Gn ; 2), (A ; 1), (B ; 1)}.

On appelle (xn ; yn) les coordonnées de Gn.

a. G1, G2 et G3 sont alignés.

b. Quel que soit n, Gn+1 est l’image de Gn par l’homothétie de centre I et de rapport 2.

c. La suite ( )n nu ∈ℕ définie par 3n nu x= − est une suite géométrique de premier terme −3 et de raison 1

2.

d. Pour tout n, 1

3 12

n nx = −

.

Correction

Question a b c d

Réponse V F V V

a. En utilisant le barycentre partiel on a Gn+1 barycentre de {(Gn ; 2), (I ; 2)}, soit le milieu de [GnI], tous les Gn sont donc

alignés.

b. L’homothétie est bien de centre I mais de rapport 1/2. Les coordonnées de I sont (3 ; 2).

c. En utilisant la définition d’une homothétie : 'IM kIM=����� ����

, on a 1

1

13 ( 3)

21

2 ( 2)2

n n

n n

x x

y y

+

+

− = − − = −

d’où 3n nu x= − est géométrique de

raison 1/2, de premier terme 0 0 3 3u x= − = − .

d. Avec ce qu’on a fait, 1 1

( 3) 3 3 12 2

n

n n nx x − = − ⇔ = −

. On peut compléter avec le calcul de yn :

1 12 2 2 1

2 2

n

n n ny y − = − ⇔ = −

. Quand n tend vers l’infini xn et yn tendent respectivement vers 3 et 2, soit Gn tend

vers I (ce qui était prévisible puisqu’à chaque itération on prend le milieu de [GnI]).

1. 6.

On considère une droite graduée ∆ d’origine O. On considère les suites de points (G )n n∈ℕ et (H )n n∈ℕ définies ainsi :

* G0 = O,

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 6

* Pour n entier naturel, Gn+1 est le barycentre de {(Gn ; 2), (Hn ; 3)},

* H0 a pour abscisse 1,

* Pour n entier naturel, Hn+1 est le barycentre de {(Gn ; 3), (Hn ; 2)}.

On appelle gn et hn les abscisses respectives de Gn et Hn.

a. La suite ( )n ng h− est une suite géométrique de raison 1

5− .

b. La suite ( )n ng h+ est une suite constante.

c. Les deux suites gn et hn convergent vers la même limite.

d. Les suites gn et hn sont adjacentes.

Correction

Question a b c d

Réponse V V V F

a. Il faut évidemment trouver les relations entre gn et hn.

Gn+1 barycentre de {(Gn ; 2), (Hn ; 3)} nous donne

1 1 1 12 3

2( ) 3( ) 0 5 2 35 5n n n n n n n n n ng g g h g g h g g h+ + + +− + − = ⇔ = + ⇔ = + ;

Hn+1 barycentre de {(Gn ; 3), (Hn ; 2)} nous donne

1 1 1 13 2

3( ) 2( ) 0 5 3 25 5n n n n n n n n n nh g h h h g h h g h+ + + +− + − = ⇔ = + ⇔ = + ;

d’où 1 12 3 3 2 1

( )5 5 5 5 5n n n n n n n ng h g h g h g h+ +− = + − − = − − .

On peut alors calculer 0 01 1

( )5 5

n n

n ng h g h − = − − = − −

. Quelle est la signification géométrique de ce résultat ?

b. 1 1 0 05 5

... 0 1 15 5n n n n n ng h g h g h g h+ ++ = + = + = = + = + = . Quelle est la signification géométrique de ce résultat ?

c. Des deux relations précédentes on tire un petit système : ( 1 / 5)

1

nn n

n n

g h

g h

− = − −

+ = d’où

( )( )

11 ( 1/ 5)

21

1 ( 1/ 5)2

nn

nn

g

h

= − − = + −

qui

convergent toutes les deux vers 1

2, soit le milieu de [G0H0].

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 7

d. C’est du cours… la condition de monotonie des deux suites n’est pas respectée.

On voit bien qu’à chaque itération la distance [GnHn] est divisée par 5.

H2G2H1 G1 10

1. 7. QCM divers

1. Pour tout réel x, xe désigne l’image de x par la fonction exponentielle.

Affirmation 1. a. Pour tous les réels a et b strictement positifs, ( )ln ba ae b= .

Affirmation 1. b. Pour tous les réels a et b strictement positifs, ( )ln ln lna b a b+ = + .

Affirmation 1. c. La tangente en 1 à la courbe de la fonction exponentielle a pour équation y ex= .

2. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I.

Affirmation 2. a. Si f est continue sur I, alors f admet une seule primitive sur I.

Affirmation 2. b. Si f n’est pas continue en a, alors f n’est pas dérivable en a.

Affirmation 2. c. Si f n’est pas dérivable en a, alors la fonction

( ) ( )f a h f ah

h

+ −֏ a une limite

infinie en a.

3. On considère deux suites ( )nu et ( )nv définies sur ℕ .

Affirmation 3. a. Si ( )nu est monotone décroissante et minorée et ( )nv est monotone croissante

et majorée alors ( )nu et ( )nv convergent vers la même limite.

Affirmation 3. b. Si on a 1n n

n na u u b+< − < avec a et b dans l’intervalle ] [0 ;1 alors nu converge.

Affirmation 3. c. Si ( )nu converge, alors la suite ( )ln nu converge.

Affirmation 3. d.

Soit *n∈ℕ . On considère la fonction f définie sur ]1 ; +∞ [ par : 11

( )1

nxf x

x

+−=−

.

f est dérivable sur ]1 ; +∞ [ et pour tout x > 1, on a :

f’(x) = 1+2x + 3x2 + 4x

3 + · · · + nxn−1.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 8

Correction

1. Pour tout réel x, xe désigne l’image de x par la fonction exponentielle.

Affirmation 1. a. Vrai : ( ) ( )ln ln aba b ae e b= = .

Affirmation 1. b. Faux : ( ) ( )ln ln ln lna b a b ab+ ≠ + = .

Affirmation 1. c. Vrai : en 1, la tangente est ( )1 11y e x e ex e e ex= − + = − + = .

2. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I.

Affirmation 2. a. Faux : Si f est continue sur I, alors f admet une infinité de primitives sur I, toutes

différentes d’une constante.

Affirmation 2. b. Vrai : Si f n’est pas continue en a, on n’a pas f(a) et f n’est pas dérivable en a.

Affirmation 2. c. Faux : pas forcément, on peut avoir des demi-tangentes.

3. On considère deux suites ( )nu et ( )nv définies sur ℕ .

Affirmation 3. a. Faux : il faudrait par exemple en plus que n nv u− tende vers 0.

Affirmation 3. b.

Vrai : nu est croissante, et si on fait la somme des inégalités 1n n

n na u u b+< − < , on

a 1 1

1 0 0 1 0 01 1 1

1 1 1

n nk k

n n

k k

a ba u u b u u u u

a b b

+ +

+ +− −< − < ⇔ + < < + < +

− − −∑ ∑ ; donc nu

est bornée.

Affirmation 3. c. Faux : Si ( )nu converge vers 0, alors la suite ( )ln nu diverge.

Affirmation 3. d. Vrai : 2 1( ) 1 ... '( ) 1 2 ...n nf x x x x f x x nx −= + + + + ⇒ = + + + .

1. 8. ROC+exemples,

4 points

Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances.

PARTIE A : QUESTION DE COURS

On suppose connus les résultats suivants :

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 9

(1) deux suites (un) et (vn) sont adjacentes lorsque : l'une est croissante, l'autre est décroissante et un − vn tend vers 0

quand n tend vers +∞ ;

(2) si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un) est croissante et (vn) est décroissante, alors pour tout n

appartenant à ℕ , on a n nu v≤ ;

(3) toute suite croissante et majorée est convergente ; toute suite décroissante et minorée est convergente.

Démontrer alors la proposition suivante :

« Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite ».

PARTIE B

On considère une suite (un), définie sur ℕ dont aucun terme n'est nul.

On définit alors la suite (vn) sur ℕ par 2

nn

vu

−= .

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée.

Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre exemple. Une réponse non

démontrée ne rapporte aucun point.

1. Si (un) est convergente, alors (vn) est convergente.

2. Si (un) est minorée par 2, alors (vn) est minorée par −1.

3. Si (un) est décroissante, alors (vn) est croissante.

4. Si (un) est divergente, alors (vn) converge vers zéro.

Correction

PARTIE A : « Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite ».

On a n nu v≤ et (vn) décroissante donc 0...n nu v v≤ ≤ ≤ d’où (un) est majorée et converge vers l ; même chose pour (vn) qui

est décroissante et minorée par 0u et converge vers l’.

Comme un − vn tend vers 0 quand n tend vers +∞ , on a ' 0 'l l l l− = ⇒ = .

Pour une première ROC la difficulté est raisonnable… Inutile de raconter sa vie non plus !

PARTIE B : (un) non nulle, 2

nn

vu

−= .

1. Si (un) est convergente, alors (vn) est convergente :

Faux : n’importe quelle suite convergente vers 0 ne marche pas, prendre par exemple 1/n.

2. Si (un) est minorée par 2, alors (vn) est minorée par −1 :

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 10

Vrai : 1 1 1 1 2 2

2 12 2 2n n

n n n

u vu u u

≤ ⇒ ≥ ⇒ − ≤ − ⇒ − ≤ − ⇒ − ≤ .

3. Si (un) est décroissante, alors (vn) est croissante :

Faux ; 11

1 1

2( )2 2 n nn n

n n n n

u uv v

u u u u+

++ +

− −− −− = − = ; si (un) est décroissante, 1 10n n n nu u u u+ +≤ ⇒ ≤ − , le numérateur est négatif, si le

dénominateur est positif, soit lorsque la suite (un) n’a que des termes positifs, (vn) est décroissante.

4. Si (un) est divergente, alors (vn) converge vers zéro.

Faux : une suite peut être divergente sans tendre vers l’infini, par exemple ( 1)nnu = − diverge, de même évidemment

que nv .

Dans l’ensemble les questions ne sont pas trop compliquées, la fabrication de contre-exemples est

une bonne activité qui permet la compréhension des phénomènes en jeu. Il est vrai que ne pas

connaître les réponses est déstabilisant, mais les correcteurs feront certainement preuve de

compréhension.

1. 9. Récurrence 1,

On considère la suite (un) définie par 0

1

1

2 3n n

u

u u n+

= = + +

pour tout entier naturel n.

1. Etudier la monotonie de la suite (un).

2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 2nu n> .

b. Quelle est la limite de la suite (un) ?

3. Conjecturer une expression de un en fonction de n, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.

Correction

1. 1 2 3n nu u n+ − = + qui est évidemment positif. un est croissante.

2. a. Par récurrence : 20 1 0u = > , la propriété est vraie au rang 0. Au rang n + 1 il faut montrer que

2 21 ( 1) 2 1nu n n n+ > + = + + ; or si 2

nu n> , alors 21 2 3nu n n+ > + + qui est évidemment supérieur à 2 2 1n n+ + . C’est fini.

b. Comme 2nu n> et que 2n tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞, un tend clairement vers +∞.

3. On calcule les premières valeurs de un : 0 1 2 31, 1 2.0 3 4, 4 2.1 3 9, 9 2.2 3 16u u u u= = + + = = + + = = + + + = . On voit

apparaître la suite des carrés des entiers avec un décalage d’un cran par rapport à l’indice ; il s’agit donc de montrer que 2( 1)nu n= + : encore une récurrence.

2 2 2 21 ( 1) 2 3 2 1 2 3 4 4 ( 2)nu n n n n n n n n+ = + + + = + + + + = + + = + . C’est bon.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 11

1. 10. Récurrence 2,

1. Soit la suite u définie par 0 11

0,2n

n

u uu+= =

−.

a. Claculer 1 2 3, ,u u u . On exprimera chacun des termes sous forme d’une fraction irréductible.

b. Comparer les quatre premiers termes de la suite u aux quatre premiers termes de la suite w définie par 1n

nw

n=

+.

c. A l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que, pour tout entier naturel n, n nu w= .

2. Soit v la suite définie par ln1n

nv

n = +

.

a. Monter que 1 2 3 ln 4v v v+ + = − .

b. Soit nS la somme définie pour tout entier n non nul par 1 2 ...n nS v v v= + + + . Exprimer nS en fonction de n. Déterminer

la limite de nS lorsque n tend vers l’infini.

Correction

1. a. On a 0 0u = , 11 1

2 0 2u = =

−, 2

1 2

2 1/ 2 3u = =

−, 3

1 3

2 2 / 3 4u = =

−.

b. On voit facilement que les termes de un sont ceux de 1n

nw

n=

+.

c. Par récurrence (ainsi que demandé) ; on vérifie au rang 0 : 00

0, 01nu w= = = , ok.

Supposons alors que n nu w= et montrons que 1 1n nu w+ += : ceci est équivalent à 1 1

2 2n

n

u n

+=− +

, soit

2 2 2 2 22 2

1 1 1 1n nn n n n n

u un n n n

+ + + − −− = ⇔ = − = =+ + + +

. Tout va bien.

2. a. 11

ln2

v =

, 22

ln3

v =

, 33

ln4

v =

.

On peut utiliser ln(a/b) = lna − lnb : 1 2 3 ln 1 ln 2 ln 2 ln 3 ln 3 ln 4 ln 4v v v+ + = − + − + − = − ou bien

ln(ab) = lna + lnb : 1 2 31 2 3 1 2 3 1

ln ln ln ln ln ln 42 3 4 2 3 4 4

v v v + + = + + = = = −

.

b. 1 21 2 1

... ln ln ... ln ln2 3 1n n

n nS v v v

n n

−= + + + = + + + ++

,

soit ln 1 ln 2 ln 2 ln 3 ... ln( 1) ln ln ln( 1)nS n n n n= − + − + + − − + − + .

Tous les termes intermédiaires disparaissent ; on a donc ln( 1)nS n= − + qui tend évidemment vers −∞.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 12

1. 11. Récurrence 3,

6 points

Le graphique ci-dessous sera complété et remis avec la copie.

Soit la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 2] par 2 1

( )1

xf x

x

+=+

.

1. Étudier les variations de f sur l’intervalle [0 ; 2]. Montrer que si [ ]1 ; 2x ∈ alors [ ]( ) 1 ; 2f x ∈ .

2. (un) et (vn) sont deux suites définies sur ℕ par :

u0 = 1 et pour tout entier naturel n, 1 ( )n nu f u+ = ,

v0 = 2 et pour tout entier naturel n, 1 ( )n nv f v+ = .

a. Le graphique donné en annexe représente la fonction f sur l’intervalle [0 ; 2]. Construire sur l’axe des abscisses les

trois premiers termes de chacune des suites (un) et (vn) en laissant apparents tous les traits de construction.

À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites (un) et

(vn) ?

b. Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que :

Pour tout entier naturel n, 1 2nv≤ ≤ .

Pour tout entier naturel n, 1n nv v+ ≤ .

On admettra que l’on peut démontrer de la même façon que :

Pour tout entier naturel n, 1 2nu≤ ≤ .

Pour tout entier naturel n, 1n nu u +≤ .

c. Montrer que pour tout entier naturel n, ( ) ( )1 1 1 1

n nn n

n n

v uv u

v u+ +−

− =+ +

.

En déduire que pour tout entier naturel n, 0n nv u− ≥ et ( )1 11

4n n n nv u v u+ +− ≤ − .

d. Montrer que pour tout entier naturel n, 1

4

n

n nv u − ≤

.

e. Montrer que les suites (un) et (vn) convergent vers un même réel α . Déterminer la valeur exacte de α .

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 13

Correction

1. 2

1'( ) 0

( 1)f x

x= >

+ donc f est croissante ;

3(1) 1

2f = > et

5(2) 2

3f = < donc si [ ]1 ; 2x ∈ , [ ]( ) 1 ; 2f x ∈ .

2. a. Visiblement la suite un est croissante, et converge vers le point d’intersection entre la courbe de f et la droite

(y = x), soit environ 1,6 ; de même vn semble décroissante et converger vers le même point.

0

0,5

1

1,5

0 0,5 1 1,5 2

y

x

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 14

b. Pour n = 0, on a 0 2v = qui est bien dans l’intervalle [1 ; 2] ; par ailleurs si 1 2nv≤ ≤ alors comme f est croissante,

1(1) ( ) (2) 1 2n nf f v f v +≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ; la propriété est toujours vraie.

De même on a 1 05

(2)3

v f v= = ≤ ; par ailleurs si 1 1 2 1( ) ( )n n n n n nv v f v f v v v+ + + +≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ , etc.

Remarquez que c’est 1 05

(2)3

v f v= = ≤ qui entraîne tous les autres termes derrière avec la complicité de la croissance de

f. Pour nu c’est pratiquement pareil, sauf que 1 0 03

( )2

u f u u= = > et donc, etc.

c. On n’échappe pas au calcul :

( ) ( ) ( ) ( )1 12 1 2 1 2 2 1 2 2 1

1 1 1 1 1 1n n n n n n n n n n n n

n nn n n n n n

v u u v v u u v v u v uv u

v u v u v u+ ++ + + + + − − − − −

− = − = =+ + + + + +

.

1 1n nv u+ +− est du signe de n nv u− ; comme 0 0 2 1 0v u− = − > , par récurrence on a 0n nv u− ≥ ; on a

1 11 1 2

1 2n nn

v vv

> ⇒ + > ⇒ <+

et pareil pour nu donc ( ) ( )1 11 1 1

.2 2 4n n n n n nv u v u v u+ +− ≤ − = − .

0

0,5

1

1,5

0 0,5 1 1,5 2

y

x

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 15

d. Encore une récurrence : 0

0 01

2 1 1 14

v u − = − = ≤ =

; grâce à la relation précédente on a évidemment

( )1

1 11 1 1 1

4 4 4 4

n n

n n n nv u v u+

+ + − ≤ − ≤ =

.

e. Les suites nu et nv sont adjacentes car ( ) ( )10 0 lim 0 lim 0

4

n

n n n n n nn n

v u v u v u→∞ →∞

≤ − ≤ ⇒ ≤ − ≤ ⇒ − =

; elles convergent

bien vers une même limite α telle que

12 2

1

1 51,618

2 1 2( ) 2 1 1 01 1 5

0,6182

f aααα α α α α α

αα

+= ≈+ = = ⇔ + = + ⇔ − − = ⇒ + − = ≈ −

.

La limite est donc la première racine, soit 11 5

2α += .

1. 12. Suite récurrente,

6 points

A

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

y

x

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 16

1. La suite u est définie par : u0 = 2 et 11 23

3 27n nu u+ = + pour tout entier naturel n.

a. On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan ci-dessous, la droite d’équation 1 23

3 27y x= + et le point A

de coordonnées (2 ; 0).

Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u.

b. Démontrer que si la suite u est convergente alors sa limite est 23

18l = .

c. Démontrer que pour tout entier naturel n on a : 23

18nu > .

d. Étudier la monotonie de la suite u et donner sa limite.

2. a. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que : 1

2

1 1 11

9010 10

n

k nk

+

=

= −

∑ c’est-à-dire que

2 3 1

1 1 1 1 1... 1

9010 10 10 10n n+ + + + = −

.

b. La suite v est définie par vn = 1,277 7. . .7 avec n décimales consécutives égales à 7.

Ainsi v0 = 1,2, v1 = 1,27 et v2 = 1,277.

En utilisant le 2. a. démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r (c’est-à-dire le quotient de deux

entiers).

3. La suite u définie au 1. et la suite v sont-elles adjacentes ? Justifier.

Correction

1. u0 = 2 et 11 23

3 27n nu u+ = + .

a. Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u.

b. Si la suite u est convergente alors sa limite l est telle que 1 23 2 23 23

3 27 3 27 18l l l l= + ⇔ = ⇔ = .

c. Par récurrence : 023

218

u = > .

On suppose 23

18nu > , alors 11 23 1 23 23 23 46 69 23

3 27 3 18 27 54 54 18n nu u++= + > × + = = = CQFD.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 17

d. 11 23 2 23

3 27 3 27n n n n nu u u u u+ − = + − = − + qui est positif lorsque 2 23 23

3 27 18n nu u− > − ⇔ < , ce qui est faux donc nu est

décroissante. La suite est décroissante, minorée elle converge donc vers 23

18l = .

2. a. Somme des n premiers termes (de 2 à n+1 il y a n termes) d’une suite géométrique de premier terme 2

1 1

10010= et

de raison 1

10 :

1

2

11

1 1 1 110 11100 9010 101

10

n n

k nk

+

=

− = = − −

∑ .

b. 0 1,2v = , 1 0 0 2

10,07 7

10v v v= + = + , 2 1 0 2 3

1 10,007 7 7

10 10v v v= + = + + , etc.

On a donc 2 3 1

1 1 1 1 11,2 7 ... 1,2 7 1

9010 10 10 10n n n

v+

= + + + + = + −

. Lorsque n tend vers +∞ , 1

10n tend vers 0 et nv

tend vers 7 12 7 115 23

1,290 10 90 90 18

+ = + = = .

3. u décroissante et minorée, v croissante et majorée (évident) ; elles ont même limite, elles sont adjacentes.

1. 13. Barycentre 1,

5 points

PARTIE A

Étant donnés deux points distincts A0 et B0 d’une droite, on définit les points : A1 milieu du segment [A0B0] et B1

barycentre de {(A0, 1) ; (B0, 2)}.

Puis, pour tout entier naturel n, An+1 milieu du segment [AnBn] et Bn+1 barycentre de {(An, 1) ; (Bn, 2)}.

1. Placer les points A1 , B1, A2 et B2 pour A0B0= 12 cm.

Quelle conjecture peut-on faire sur les points An et Bn quand n devient très grand ?

2. On munit la droite (A0B0) du repère ( )0 ;A i�

avec 0 01

12i A B=

��������.

Soit un et vn les abscisses respectives des points An et Bn. Justifier que pour tout entier naturel n strictement positif, on a

1 2n n

nu v

u ++

= et 12

3n n

nu v

v ++

= .

PARTIE B

On considère les suites (un) et (vn) définies par u0 = 0 ; v0 = 12 ; 1 2n n

nu v

u ++

= et 12

3n n

nu v

v ++

= .

1. Démontrer que la suite (wn) définie par wn = vn − un est une suite géométrique convergente et que tous ses termes

sont positifs.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 18

2. Montrer que la suite (un) est croissante puis que la suite (vn) est décroissante.

3. Déduire des deux questions précédentes que les suites (un) et (vn) sont convergentes et ont la même limite.

4. On considère la suite (tn) définie par tn = 2un + 3vn. Montrer qu’elle est constante.

PARTIE C

À partir des résultats obtenus dans les parties A et B, préciser la position limite des points An et Bn quand n tend vers

+∞ .

Correction

PARTIE A

An+1 milieu du segment [AnBn] et Bn+1 barycentre de {(An, 1) ; (Bn, 2)}.

1.

A2

B2

B1A1 B0A0

Même quand n n’est pas très grand, les suites de points convergent vers un point qui semble être à peu près au milieu

de [A2B2].

2. On a dans ce repère les abscisses suivantes : 0 0u = et 0 12v = .

Si un et vn sont les abscisses des points An et Bn, on a 1 2n n

nu v

u ++

= car An+1 est le milieu de [AnBn] et

11. 2. 2

1 2 3n n n n

nu v u v

v ++ +

= =+

car Bn+1 est le barycentre de {(An, 1) ; (Bn, 2)}.

PARTIE B

1. 1 1 12 2 4 3 3

3 2 6 6n n n n n n n n n n

n n n n n nu v u v u v u v v u

w v u w v u+ + ++ + + − − −

= − ⇒ = − = − = = donc wn est une suite géométrique

de raison 1/6, donc convergente vers 0. Tous ses termes sont positifs car 01 12

6 6n n n

w w= = .

2. 12 1

02 2 2

n n n n nn n n

u v u v uu u w+

+ − −− = = = > donc (un) est croissante ;

12 3 1

03 3

n n nn n n

u v vv v w+

+ −− = = − < donc la suite (vn) est décroissante.

3. Comme 0nw > , on a n nu v< donc nu est croissante majoée, nv décroissante minorée, les suites (un) et (vn) sont

convergentes et sont adjacentes car lim 0nn

w→∞

= ; elles ont donc la même limite.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 19

4. 1 1 1 0 0 02

2 3 2 3 2 2 3 ... 2 3 362 3

n n n nn n n n n n n n n n

u v u vt u v u v u v u v t t u v+ + +

+ += + = + = + + + = + = = = = + = .

PARTIE C

Comme nu et nv tendent vers la même limite l, en remplaçant dans tn on a :

362 3 36 2 3 5 36

5n n nt u v l l l l= + = → + = = ⇒ = .

1. 14. Barycentre

On considère les deux suites ( )nu et ( )nv définies, pour tout entier naturel n, par :

0

1

3

2n n

n

u

u vu +

=

+ =

et 0

11

4

2n n

n

v

u vv +

+

=

+ =

.

1. Calculer 1 1 2 2, , ,u v u v .

2. Soit la suite ( )nw définie pour tout entier naturel n par n n nw v u= − .

a. Montrer que la suite ( )nw est une suite géométrique de raison 1

4.

b. Exprimer nw en fonction de n et préciser la limite de la suite ( )nw .

3. Après avoir étudié le sens de variation des suites ( )nu et ( )nv , démontrer que ces deux suites sont adjacentes. Que

peut-on en déduire ?

4. On considère à présent la suite ( )nt définie, pour tout entier naturel n, par 2

3n n

nu v

t+

= .

a. Démontrer que la suite ( )nt est constante.

b. En déduire la limite des suites ( )nu et ( )nv .

Correction

1. 2 10 0 1 0 1 11 1 2 2

7 15 29 59, , ,

2 2 2 4 2 8 2 16

u vu v u v u vu v u v

++ + += = = = = = = = .

2. a. 1 11 1 1

2 122 2 2 2 4 4 4

n nn

n n n n n n n n n n nn n n n

u vu

u v u v u u u v u v uw v u w+ +

+ + +

+−+ + − + − −

= − = − = = = = = .

b. 0 0 0 4 3 1w v u= − = − = donc 1 1

1.4 4

n n nw = = ; sa limite est évidemment 0.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 20

3. On a vu que 11 0

2n n

nu u

w++

−= > donc nu est croissante ; par ailleurs 0n n nw v u= − > donc n nu v> ; enfin

1 1 11 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) 02 2 2 2 2 4

n nn n n n n n n n n n

u vv v u v v u v v u v+ + +

+− = + − = − = − = − < donc nv est décroissante.

Il reste à montrer que lim( ) 0n nn

u v→∞

− = or c’est justement la limite de nw . Les suites ( )nu et ( )nv convergent donc vers la

même limite (inconnue pour l’instant…).

4. a. ( )1 1 11

2 1 1 12 2

3 3 2 2 3 2 2 3n n n n n n n n n n

n n n n nu v u v u v u v u v

t v u v t+ + ++

+ + + + + = = + = + + = + =

. On a donc

0 01 7

( )3 3nt u v= + = .

b. Les suites ( )nu et ( )nv ont même limite l donc à l’infini, en remplaçant dans nt : 7 1 7

( 2 )3 3 3

l l l= + ⇒ = .

1. 15. Une exponentielle,

6 points

Pour tout entier naturel n, on pose 10

2n n

nu = . On définit ainsi une suite ( )n nu ∈ℕ .

1. Prouver, pour tout entier naturel n non nul, l’équivalence suivante :

1 0,95n nu u+ ≤ si et seulement si 101

1 1,9n

+ ≤

.

2. On considère la fonction f définie sur [1 ; [+ ∞ par 101

( ) 1f xx

= +

.

a. Etudier le sens de variation et la limite en +∞ de la fonction f.

b. Montrer qu’il existe dans l’intervalle [1 ; [+ ∞ un unique nombre réel α tel que ( ) 1,9f α = .

c. Déterminer l’entier naturel 0n tel que 0 01n nα− ≤ ≤ .

d. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, on a : 101

1 1,9n

+ ≤

.

3. a. Déterminer le sens de variation de la suite ( )nu à partir du rang 16.

b. Que peut-on en déduire pour la suite ?

4. En utilisant un raisonnement par récurrence, prouver, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16,

l’encadrement : 16160 0,95n

nu u−≤ ≤ . En déduire la limite de la suite ( )n nu ∈ℕ .

Correction

1. On remplace, on simplifie et on a ce qui est demandé :

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 21

10 1010 1010

1 1 10

( 1) ( 1) 2 .2 1 10,95 0,95 0,95 1,9 1 1,9

2 2 2

n

n n n n n

n nn nu u

n nn+ +

+ + + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ + ≤

.

2. a. 101

( ) 1f xx

= +

; 9 9

2

1 1 1 1'( ) 10 1 1 10 1 0f x

x x xx

′ = + + = − + <

donc f est décroissante ;

10101

lim 1 1 1x x→+∞

+ = =

.

b. 10(1) 2f = et f décroissante donc f est bijective de [1 ; [+ ∞ vers 10]1 ; 2 ] ; comme 1,9 est dans cet intervalle, il existe

bien un unique réel α tel que ( ) 1,9f α = .

c. On a (15) 1,9067f ≈ et (16) 1,8335f ≈ d’où 16 1 15 16α− = ≤ ≤ .

d. Lorsque x α≥ , comme f est décroissante, on a : ( ) ( ) 1,9f x f α≤ = , donc pour tous les n tels que 16n α≥ ≥ , on a

1011 ( ) (16) ( ) 1,9f n f f

nα + = ≤ ≤ =

.

3. a. D’aprèe ce que nous venons de dire, la suite ( )nu est telle que 1 0,95n nu u+ ≤ à partir du rang 16 ; comme tous les

termes sont évidemment positifs, la suite ( )nu est décroissante à prtir de ce rang.

b. Décroissante et minorée par 0 donc convergente.

4. 16160 0,95n

nu u−≤ ≤ : on vérifie facilement au rang 16 car 16 160 u u≤ ≤ ; quand on passe au rang suivant, on a

16 ( 1) 161 16 160,95 0,95.0,95 0,95n n

n nu u u u− + −+ ≤ ≤ = , CQFD.

Comme 0,95 1< , 160,95n− tend vers 0 à l’infini ainsi que nu grâce à nos amis les gendarmes.

1. 16. Formule de Stirling

Soit la suite ( )nu (n > 0) définie par : !

n n

nn e

un

−= .

1. Donner des valeurs approchées de 1 2 3, ,u u u à 10−2 près.

2. a. Soit g la fonction définie sur [0 ; 1] par 2

( ) ln(1 )4

tg t t t= + − + . En utilisant les variations de g, démontrer que pour

tout t de [0 ; 1] on a : 2

ln(1 )4

tt t+ ≤ − .

b. En déduire que pour tout n > 0, on a 1

141

1n

nen

− + ≤

(on pourra poser t = 1/n).

3. a. Démontrer que pour tout entier n > 0 on a 1

1 4n n

n

ue

u

−+ ≤ .

b. En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 on a : 1 1 1 1

1 ... 14 1 2 2n n

nu e − − + + + + − − ≤ .

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 22

4. a. Par des considérations d’aire montrer que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 on a :

1

1 1 1 1 11 ...

2 3 2 1

n

dtt n n

≤ + + + + +− −∫ .

b. En déduire que que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 on a : 1

1 ln4

n

nu e− −

≤ . Quelle est la limite de la suite ( )nu ?

Commentaire : on explore ici un moyen d’approcher n! : comme un tend vers 0, on peut se dire qu’en multipliant par

quelque chose de la forme Knα la limite peut devenir 1. Ceci donnerait alors un équivalent de n! de la forme nn

Kne

α

.

En l’occurrence ça marche, il s’agit de ( )1

22 2n nπ π= : ! 2nn

n ne

π ≈

.

Correction

1. 1 2 30,3679, 0,2707, 0,2240u u u≈ ≈ ≈ .

2. a. 2

( ) ln(1 )4

tg t t t= + − + ;

2 2 ( 1)1 2 2 2( ) 1 0

1 2 2(1 ) 2(1 ) 2(1 )

t tt t t t t tg t

t t t t

−− − + + −′ = − + = = = <+ + + +

sur [0 ; 1].

g est décroissante et (0) ln 1 0 0 0g = − + = par conséquent 2

( ) (0) 0 ln(1 )4

tg t g t t≤ = ⇒ + ≤ − .

b. Posons 1

tn

= dans la relation précédente : 2

2

1 1 1 1 1ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) 1

4 44

tt t n

n n n nn+ ≤ − ⇔ + ≤ − ⇔ + ≤ − d’où

1 11 1

4 41 1ln 1 ln 1

n nn ne e

n n

− − + ≤ ⇔ + ≤

.

3. a. 1 1

1 ( 1)( 1) !

( 1)!

n nn

n nn

nu n e n

u n n e

+ − −+

++= =

+( 1)n nn e−+ 1

n n

e

n e

!n

!n ( 1)n +

1 111 14 41 n

n nne e e e

n

− −− −+ = ≤ =

.

b. On a

1 1 1 1114( 1) 4( 2) 4.1 4.14

1 1 1 2 2 1...n nnn n n n n nu e u u e u u e u u e u e e

− − − −− −− −+ − − −≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ = .

Par conséquent on a en effectuant les produits d’inégalités successifs :

1 1 1 1 1 1 11 114( 1) 4( 1) 4( 2) 4( 1) 4( 2) 4( 1) 4( 2)4.1 4.1

1 2 1... ... ...n n n n n n nn n nu e u e e u e e e u e e e e

− − − − − − −− − −− − − − − − −− −≤ ≤ ≤ ≤ = ,

soit

1 1 1 11 ... 1

4 1 2 2n nnu e

− − + + + + − − ≤ .

4. a. Cet argument est très classique. Entre deux valeurs entières consécutives, k et k+1, l’aire sous la courbe de 1/x est

inférieure à l’aire du rectangle de largueur 1 et de hauteur 1/(k+1) :

11 1 1 1 1 11

1 1

k

kk t k dt

k t k k t k

+≤ ≤ + ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤

+ + ∫

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 23

d’où en sommant sur tous ces rectangles :

2

1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1... ...

1 2 3 2 1

n n

ndt dt dt

t t t n n−= + + ≤ + + + + +

− −∫ ∫ ∫ .

b. On a donc 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

... ln ... ln1 2 3 2 1 1 2 3 2 1

n nn n n n

+ + + + + ≥ ⇒ − + + + + + ≤ − − − − − , soit

1 1 1 1 1 1 11 ... 1 ln

4 1 2 3 2 1 4n

n n − − + + + + + ≤ − − − −

et d’après l’inégalité du 3.b : 1

1 ln4

n

nu e− −

≤ .

La suite ( )nu est positive et la partie droite tend vers exp( −∞ ), soit 0. Donc la suite tend vers 0.

1. 17. Suites adjacentes,

On définit les suites (an) et (bn) par a0 =1, b0 =7 et ( )

( )

1

1

12

31

23

n n n

n n n

a a b

b a b

+

+

= + = +

.

Soit D une droite munie d’un repère ( );O i�

. Pour tout n de ℕ , on considère les points An et Bn d’abscisses respectives

an et bn.

1. Placez les points A0, B0, A1, B1, A2 et B2.

2. Soit (un) la suite définie par un = bn – an. Démontrez que (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et

le premier terme. Exprimez un en fonction de n.

3. Comparez an et bn. Étudiez le sens de variation des suites (an) et (bn). Interprétez géométriquement ces résultats.

4. Démontrez que les suites (an) et (bn) sont adjacentes.

5. Soit (vn) la suite définie par vn = bn – an pour tout entier n. Démontrez que (vn) est une suite constante. En déduire que

les segments [AnBn] ont tous le même milieu I.

6. Justifiez que les suites (an) et (bn) sont convergentes et calculez leur limite. Interprétez géométriquement ce résultat.

Corrigé

1. Les points ont pour abscisse :

11

(2 7) 33

a = + = ; 11

(1 14) 53

b = + = ; 21 11

(6 5)3 3

a = + = ; 21 13

(3 10)3 3

b = + = .

2. (un) est géométrique : on a n n nu b a= − d’où

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 24

1 1 11 1 1 1

( 2 ) (2 ) ( )3 3 3 3n n n n n n n n n nu b a a b a b b a u+ + += − = + − + = − = .

La suite (un) est géométrique de raison 1

3 et de premier terme u0 = 7 – 1 = 6. Finalement on a

16

3n n

u = × .

3. Comparons an et bn et cherchons les variations de ces suites :

bn − an = 6

03

n nu = > donc bn > an.

11 1 1

( 2 ) ( ) 03 3 3n n n n n n n nb b a b b b a u+ − = + − = − − = − < donc (bn) est décroissante.

11 1 1

(2 ) ( 03 3 3n n n n n n n na a a b a b a u+ − = + − = − = > donc (an) est croissante.

Graphiquement cela se traduit par le fait que la suite des points An avance vers la droite alors que la suite des points Bn

se déplace vers la gauche mais les points An demeurent en permanence à gauche des points Bn.

4. Montrons que (an) et (bn) sont adjacentes : (bn) est décroissante, (an) est croissante, 1

lim( ) lim(6 )3

n n nb a− = = 0 car la

limite d’une suite géométrique de raison r telle que 1r < est 0, donc les suites (an) et (bn) sont adjacentes.

5. n n nv a b= + donc 1 1 11 1

(2 ) ( 2 )3 3n n n n n n n n n nv a b a b a b a b v+ + += + = + + + = + = donc (vn) est constante : le milieu du segment

[AnBn] est In d’abscisse 2

n nn

a bi

+= = 2nv

= 0

2

v car (vn) est constante donc le milieu de [AnBn] est constant et est la point I

d’abscisse 4 car 0 1 7 8v = + = .

6. Les suites (an) et (bn) sont respectivement croissante et décroissante et bn > an donc

0 01 7n na a b b= ≤ ≤ ≤ = ;

(an) est croissante et majorée par 7 donc (an) converge.

(bn) est décroissante et minorée par 1 donc (bn) converge.

De plus ces deux suites sont adjacentes donc elles convergent vers la même limite L.

En utilisant la suite constante (vn) telle que vn = 8n na b+ = et par passage à la limite : lim lim 8n na b+ = donc L + L = 8

donc L = 4.

Géométriquement, cela se traduit par le fait que les suites de points (An) et (Bn) vont se rapprocher du point I(4), l’une

par la gauche, l’autre par la droite.

1. 18. Suites adjacentes : calcul de la racine carrée

On considère les suites (un) et (vn) définies sur ℕ par u0 = 3 et les relations :

++=1 2

n nn

u vu et = 7

nn

vu

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 25

1. Calculer v0, u1, v1, u2, v2, u3 et v3. Donner l'approximation de u3 et v3 lue sur la calculatrice.

2. Justifier par récurrence que pour tout n de ℕ , un > 0 et vn > 0.

3. a. Démontrer que quel que soit n de ℕ , ( ) ( )+ − = −2 228n n n nu v u v .

b. En déduire que ( )+ ++

− = − 21 1

1

1

4n n n nn

u v u vu

.

c. Conclure que quel que soit n on a − ≥ 0n nu v .

4. En s’aidant de la question 3. c., prouver que la suite (un) est décroissante et que la suite (vn) est croissante.

5. a. Démontrer que quel que soit n de ℕ *, ≥ 21

8nu .

b. Utiliser le résultat précédent pour démontrer que ( )+ +− ≤ − 21 1

1

10n n n nu v u v .

c. En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence que −

− ≤2 1

1

10n n n

u v .

d. Déterminer la limite de un – vn lorsque n tend vers +∞ .

6. Conclure que les suites (un) et (vn) sont adjacentes et déterminer leur limite commune.

7. Justifier que u3 est une approximation de 7 à 10−7 près.

8. Proposez une méthode générale pour trouver une valeur approchée de a où a est un réel quelconque positif.

Cette méthode est celle utilisée par le mathématicien grec Héron (1er

siècle) pour déterminer une approximation des

racines carrées.

Correction

1. = =00

7 7

3v

u ;

++= = = =0 01

73 16 83

2 2 6 3

u vu ; = = =1

1

7 7 218 83

vu

; ++ += = = =1 1

2

8 2164 63 1273 8

2 2 48 48

u vu ; = = =2

2

7 7 336127 12748

vu

; ++

= = = ≈2 23

127 3363225748 127 2,64575

2 2 12192

u vu ; = = = ≈3

3

7 7 853442,64575

32257 3225712192

vu

.

Il semble que les suites tendent vers 2,64575... et que la convergence soit très rapide.

2. Pn : un > 0 et vn > 0.

P0 : u0 = 3 > 0 et v0 = 7/3 > 0 : P0 est vérifiée.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 26

Supposons Pn vraie : ++= >1 02

n nn

u vu puisque un et vn sont positifs, et bien sûr il en résulte que +

+= >1

1

70n

n

vu

. On a

bien, quel que soit n de ℕ , un > 0 et vn > 0.

3. a. ( ) ( ) ( ) ( )+ − = − ⇔ + − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ =2 2 2 2 728 28 2(2 ) 28 7n n n n n n n n n n n n n

n

u v u v u v u v u v u v vu

.

3. b. ( ) ( )( ) ( )+ + +

+ − = + − = −

22 2

1 1 1

1 1 128 7

4 4 4n n

n n n nn n n

u vu v u v

u u u

( )+ + + ++ +

= − = − = −21 1 1 1

1 1

1 77 .n n n n

n n

u u u vu u

3. c. De l'égalité précédente, on conclut que un+1 – vn+1 est strictement positif quel que soit n, c'est-à-dire en remplaçant

n+1 par n, on a un – vn positif pour ≥ 1n . Il faut vérifier que l'inégalité est aussi vraie pour n = 0 : − = − = >0 07 2

3 03 3

u v .

On a bien un – vn > 0 ou encore un > vn.

4. ++ + − −− = − = = <1

20

2 2 2n n n n n n n

n n nu v u v u v u

u u u car vn – un < 0 ; ++

+ +

−− = − = >1

11 1

7( )7 70n n

n nn n n n

u uv v

u u u u car un+1 – un < 0 et

un > 0 quel que soit n. La suite (un) est bien décroissante et la suite (vn) est croissante.

5. a. On sait que un > vn or la suite vn est croissante, donc vn > v1, on a donc : > > =121

8n nu v v .

5. b. Par équivalence :

( ) ( ) ( )+ + + ++ +

− ≤ − ⇔ − ≤ − ⇔ ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥2 2 21 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 54 10

10 4 10 4 10 2n n n n n n n n n nn n

u v u v u v u v u uu u

. Or on sait que

> >21 5

8 2nu d'où le résultat.

5.c. On veut montrer par récurrence la propriété Pn : −

− ≤2 1

1

10n n n

u v .

Vérifions P0 : −

− = < =0 0 02 1

2 11

3 10u v , ok.

Démontrons Pn+1 :

( )+ + +− − × × − −−

− ≤ − ≤ = × = × = = × ×

22

1 1 2 12 1 (2 1) 2 2 2 2 2 12 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

10 10 10 1010 10 10 10 10 1010n n n n n n n nn

u v u v .

5. d. On a −

≤ − ≤2 1

10

10n n n

u v et on sait que →+∞ −

=2 1

1lim 0

10nn

, donc→+∞

− =lim ( ) 0n nn

u v (gendarmes).

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 27

6. Les suites (un) et (vn) sont adjacentes, elles sont donc convergentes vers la même limite λ . Celle-ci vérifie la relation

→+∞→+∞

= ⇔ = ⇔ =27 7lim 7

limnn n

n

v l lu l

; or l >0 donc = 7l .

7. −−−

− ≤ = = 73 3 3 8 12 1

1 110

1010u v : la rapidité de la convergence est impressionnante puisqu’à chaque itération on gagne

un facteur environ +− 1210

n. En fait on double le nombre de décimales à chaque coup…

On se trouve en présence d'une convergence dite quadratique.

8. Pour trouver a , il suffit de faire la même chose avec ++=1 2

n nn

u vu et =n

n

av

u puisque si (un) et (vn) sont adjacentes,

elles ont même limite l telle que = ⇔ =2al l a

l. Les démonstrations précédentes peuvent se faire de manière identique,

ça marche bien.

L’algorithme présenté ici débouche sur bon nombre de problèmes dont certains sont très actuels : on l’utilise par

exemple pour calculer les décimales de π , c’est l’algorithme de Brent et Salamin. Il s’agit essentiellement de

l’algorithme de la moyenne arithmético-géométrique étudié par Lagrange puis par Gauss au 19ème siècle.

1. 19. Suites adjacentes : aire sous une courbe

Etude de l’aire sous une courbe à l’aide de suites

Objectifs :

Comprendre comment on peut encadrer l’aire sous une courbe par deux suites, comprendre les notations associées,

savoir écrire le terme général des suites, prouver qu’elles ont l’aire comme limite commune (l’existence de l’aire est ici

admise).

Application à deux exemples.

Remarques :

L’énoncé ci-dessous est un peu long pour être proposé tel quel à une classe. Par contre, il est possible d’en exploiter des

parties avec des élèves sous la forme d’un TP encadré et commenté (surtout pour les notations) par le professeur .

f est une fonction continue monotone positive définie sur [0 ; 1] et (C) est la courbe représentant f dans un repère

orthonormal ( )� �; ,O i j . On note A le point tel que =

���� �OA i .

On s’intéresse à l’aire A du domaine D délimité par la courbe (C), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x

= 1.

Pour approcher A, on utilise les suites u et v définies ainsi :

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 28

- le segment [OA] est partagé en n segments de même longueur (n ≥ 1) ;

- conformément aux figures ci-dessous, on construit :

* les n rectangles ≤ ≤ −, 0 1k k nR situés sous la courbe (C), ayant comme base un des segments de la subdivision et

un sommet sur la courbe (C) ;

* les n rectangles ≤ ≤ −, 0 1k k nS contenant la courbe (C), ayant comme base un des segments de la subdivision et

un sommet sur la courbe (C);

- un est la somme des aires des n rectangles ≤ ≤ −, 0 1k k nR ;

- vn est la somme des aires des n rectangles ≤ ≤ −, 0 1k k nS ;

La monotonie de f assure que : ≤ ≤n nu vA pour tout ≥ 1n .

Figure 1 Figure 2

Partie A - Etude des notations

1. On note A0 = O et A1, A2, …, An les points de [OA] correspondant à sa subdivision en n segments de même longueur.

a. Sur les figures 1 et 2 ci-dessus où n = 5, placer les points Ak pour { }∈ 0,1, ... ,5k .

b. On reprend n quelconque. Quel point de la suite est confondu avec A ?

c. Quelle est la longueur d’un segment [AkAk +1], { }∈ −0,1, ... , 1k n ?

d. Quelle est l’abscisse du point Ak , { }∈ 0,1, ... ,k n ?

2. On note B0, B1, B2, … , Bn les points de (C) d’abscisses respectives 0, 1

n,

2

n, … , 1.

o A o A

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 29

a. Sur les figures 1 et 2 ci-dessus où n = 5, placer les points Bk pour { }∈ 0,1, ... ,5k .

On reprend n quelconque. Quelles sont les coordonnées de Bk , { }∈ 0,1, ... ,k n ?

3. Sur les figures 1 et 2 ci-dessus :

a. Indiquer les rectangles Rk et Sk pour { }∈ 0,1, ... ,4k .

b. Colorier la surface correspondant à l’aire un.

c. Dans une couleur différente de celle du b. colorier la surface correspondant à vn − un.

Partie B – Etude des suites u et v

1. Dans cette question, on suppose que f est croissante sur [0 ; 1] (figure 1).

a. Prouver que − = −1( (1) (0))n nv u f f

n (on pourra par exemple « empiler » tous les petits rectangles coloriés pour vn - un ).

b. Quelle est la hauteur du rectangle Rk pour { }∈ −0,1, ... , 1k n ?

c. Quelle est l’aire du rectangle Rk ? En déduire une écriture de un .

2. Dans cette question, on suppose que f est décroissante sur [0 ; 1] (figure 2).

a. Prouver que − = −1( (0) (1))n nv u f f

n.

b. Quelle est la hauteur du rectangle Sk pour { }∈ −0,1, ... , 1k n ?

c. Donner une écriture de vn .

3. Prouver que les suites u et v convergent vers A (on pourra encadrer A − un , puis A - vn à l’aide de l’inégalité

≤ ≤n nu vA ).

Partie C – Un exemple où f est décroissante

f est la fonction définie sur [0 ; 1] par =+1

( )1

f xx

et (C) est sa courbe représentative dans un repère orthonormal

( )� �; ,O i j (unité graphique : 10 cm).

1. Faire une figure dans le cas n = 5. Placer (C), les points Ak et Bk pour { }∈ 0,1, ... ,k n , ainsi que les rectangles Rk et Sk

pour { }∈ −0,1, ... , 1k n .

2. A l’aide de la question B. 2. c. vérifier que pour tout ≥ = + + + + ++ +

1 1 1 1 11, ...

1 2 2 - 2 2 -1nn v

n n n n n.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 30

3. A l’aide de la question B. 2. a. en déduire que = + + + + ++ + +1 1 1 1 1

... 1 2 3 2 -1 2nu

n n n n n.

4. Pour quelle valeur minimale de n, un et vn donnent-ils un encadrement de A d’amplitude 0,01 ?

Calculer les un et vn correspondants à l’aide d’une calculatrice programmable ou d’un logiciel.

Partie D – Un exemple où f est croissante

f est la fonction définie sur [0 ; 1] par = 2( )f x x et (C) est sa courbe représentative dans un repère orthonormal ( )� �; ,O i j

(unité graphique : 10 cm).

1. Faire une figure dans le cas n = 5. Placer (C), les points Ak et Bk pour { }∈ 0,1, ... ,k n , ainsi que les rectangles Rk et Sk

pour { }∈ −0,1, ... , 1k n .

2. Prouver que l’aire du rectangle Rk est égale à 2

3

k

n.

3. Vérifier que pour tout ≥ = + + +2 2 23

11, (1 2 ... ( -1) )nn u n

n.

4. A l’aide de l’égalité

+ ++ + = ≥2 2 2 ( 1)(2 1)1 2 ... pour 1

6

n n nn n ,

prouver que pour tout ≥ 1n ,

=2

( -1)(2 -1)

6n

n nu

n.

En déduire la limite de la suite u.

5. A l’aide de la question B. 1. a. exprimer vn en fonction de un et en déduire la limite de la suite v.

6. Conclure : quelle est l’aire A ?

Correction

A. 1. A = An ; AkAk +1 = 1

n ; abscisse de Ak =

k

n.

2. Coordonnées de Bk :

;k k

fn n

.

B. 1. vn - un est la somme des aires des petits rectangles coloriés sur la figure. En « empilant » ces rectangles, on obtient

un rectangle de base 1

n et de hauteur f(1) – f(0). Donc − = −1

( (1) (0))n nv u f fn

.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 31

Hauteur de Rk =

kf

n ; aire de Rk =

×

1 kf

n n. un = aire de R0 + aire de R1 + … + aire de Rn–1 = ×

1 0f

n n+ ×

1 1f

n n+ …

− ×

1 1nf

n n=

= −

=

× ∑

1

0

1k n

k

kf

n n.

2. En « empilant » les rectangles correspondant à vn − un , on obtient un rectangle de base 1

n et de hauteur −(0) (1)f f .

Donc − = −1( (0) (1))n nv u f f

n.

Hauteur de Sk =

kf

n ; aire de Sk =

×

1 kf

n n. vn = aire de S0 + aire de S1 + … + aire de Sn–1 = ×

1 0f

n n+ ×

1 1f

n n+ …

− ×

1 1nf

n n=

= −

=

× ∑

1

0

1k n

k

kf

n n.

3. un ≤ A ≤ vn donc 0 ≤ A − un ≤ vn − un et un − vn ≤ A − vn ≤ 0 .

Or − = −1(0) (1)n nv u f f

n donc

→+∞− =lim 0n n

nu v . Par conséquent, d’après le « théorème des gendarmes »,

→+∞− =lim 0n

nuA et

→+∞− =lim 0n

nvA . D’où

→+∞ →+∞= =lim limn n

n nu v A .

C. 1.

2. Aire de Sk = ×

1 kf

n n= ×

+=

+1 1

1

1knn

k n donc vn = aire de S0 + aire de S1 + … + aire de Sn–1 =

+ + + + ++ + + − + −

1 1 1 1 1 ...

1 2 2 1n n n n n n n= + + + + +

+ +1 1 1 1 1

... 1 2 2 -2 2 -1n n n n n

.

− = −1( (0) (1))n nv u f f

n= × − =

1 1 11

2 2n n.

Donc = −1

2n nu v

n = + + + + + −

+ +1 1 1 1 1 1

... 1 2 2 -2 2 -1 2n n n n n n

= + + + + ++ + +1 1 1 1 1

... 1 2 3 2 -1 2n n n n n

.

o A

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 32

3. − = 1

2n nv un

et =10,01

2n pour n = 50.

Excel donne ≃50 0,688172179u et ≃50 0,698172179v .

Remarques

* Evidemment A= ln 2, mais deux sommes de n termes (un et vn) ne donnent un encadrement de A que d’amplitude 1

2n.

Ce n’est pas très efficace(croissance très lente de la série harmonique) pour calculer ln 2.

* En fait, les suites u et v sont adjacentes, mais il est assez pénible de prouver que u est croissante et que v est

décroissante :

( )+ − = + + + + + − + + + + ++ + + + + + + + −

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ...

2 3 4 2( 1) -1 2( 1) 1 2 3 2 1 2n nu u

n n n n n n n n n n=

+ + + − ++ − = =

+ + + + + + +1 1 1 2( 1) (2 1) 2(2 1) 1

2 1 2 2 1 2( 1)(2 1) 2( 1)(2 1)

n n n

n n n n n n n > 0.

( )+ − = + + + + + − + + + + ++ + + + + + +

1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ...

1 2 3 2( 1) - 2 2( 1) - 1 1 2 2 - 2 2 -1n nv v

n n n n n n n n n n=

( ) ( )+ + + + + − + + + + ++ + + + + +

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ...

1 2 3 2 2 1 1 2 2 - 2 2 -1n n n n n n n n n n=

+ + − ++ − = = −

+ + +1 1 1 (2 1) 2 2(2 1) 1

2 2 1 2 (2 1) 2 (2 1)

n n n

n n n n n n n < 0.

C’est donc long et nous avons vu que le seul intérêt de prouver que les suites sont adjacentes est que cela permettrait

d’établir l’existence de l’aire.

D. 1.

2. Aire de Rk = ×

1 kf

n n=

× =

2 2

3

1 k k

n n n.

3. un = aire de R0 + aire de R1 + … + aire de Rn–1 = −+ + +

2 2 2

3 3 3

0 1 ( 1)...

n

n n n= + + + −2 2 2

3

1(1 2 ... ( 1) )n

n.

o

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 33

4. + ++ + = ≥2 2 2 ( 1)(2 1)

1 2 ... pour tout 16

n n nn n . Donc

− × × − += ×

3

( 1) (2( 1) 1)1

6nn n n

un

=− −

2

( 1)(2 1)

6

n n

n.

5. →+∞ →+∞

= =2

2

2 1lim lim

36n

n n

nu

n.

Pour tout ≥ 1n , ( )− = − =1 1(1) (0)n nv u f f

n n, donc = + 1

n nv un

, d’où →+∞ →+∞

= = 1lim lim

3n nn n

v u .

6. Comme ≤ ≤n nu vA et →+∞ →+∞

= = 1lim lim

3n nn n

v u , on en déduit = 1

3A .

Remarque

Ici aussi, les deux suites u et v sont adjacentes. Pour le démontrer, il faudrait établir que u est croissante et que v est

décroissante.

C’est faisable car pour ≥ 1n , ++ −− =

+

2

1 2 2

3 1

6 ( 1)n n

n nu u

n n> 0 et +

− − −− =+

2

1 2 2

3 5 1

6 ( 1)n n

n nv v

n n< 0, mais les calculs sont difficiles. De

plus, ici, c’est tout à fait inutile car la convergence des suites u est v vers un même nombre est immédiate et prouve

donc l’existence de l’aire, dont on obtient en plus la valeur exacte.

1. 20. Suites adjacentes : le principe de la dichotomie

Le principe de la dichotomie

* On admet la propriété des suites adjacentes : Si u est une suite croissante et v une suite décroissante telles que

(v – u) converge vers 0, alors u et v convergent vers une même limite l.

On en déduit que l est l’unique réel tel que pour tout ∈ℕn , ≤ ≤n nu l v .

* Méthode de dichotomie :

I0 est un intervalle fermé borné. On le partage en deux intervalles fermés de longueurs égales I et I'.

On choisit l'un d'entre eux noté I1 , sur lequel on effectue à nouveau cette opération.

On construit ainsi par récurrence une suite ∈ℕ( )n nI d'intervalles.

* Il s’agit de prouver qu’il existe un unique réel appartenant à tous les intervalles In.

Preuve :

On définit deux suites a et b :

Pour tout ∈ℕn , on note = [ ; ]n n nI a b (avec ≤n na b ), +=2

n nn

a bc , =' [ ; ]n n nI a c et =" [ ; ]n n nI c b .

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 34

Si on choisit + = '1n nI I , alors + =1n na a et +

+=1 2n n

na b

b , sinon on choisit + = "1n nI I , et donc +

+=1 2n n

na b

a et + =1n nb b .

On prouve que les deux suites a et b sont adjacentes :

* Pour tout ∈ℕn , + +−− =1 1 2

n nn n

b ab a , donc la suite (b – a) est géométrique, de raison

1

2. Elle converge donc vers 0.

* Pour tout ∈ℕn , + ⊂1n nI I , donc + +≤ ≤ ≤1 1n n n na a b b . Par conséquent, a est croissante et b est décroissante .

* Les deux suites a et b sont donc adjacentes.

Conséquences :

Les deux suites a et b convergent vers une limite commune l et l est l’unique nombre réel tel que pour tout ∈ℕn ,

≤ ≤n na l b , c’est à dire ∈ nl I .

Démonstration du théorème de la convergence monotone à l’aide de la méthode de dichotomie :

* On a déjà prouvé que si une suite d’intervalles = [ ; ]n n nI a b a été construite par dichotomie, les deux suites a et b

convergent vers un même réel l.

* Il s’agit de démontrer que toute suite croissante majorée est convergente.

Preuve

Soit ∈ℕ( )n nu une suite croissante et majorée par un réel M. On construit par récurrence la suite d’intervalles ∈ℕ( )n nI

définie ainsi :

* =0 0[ ; ]I u M ;

* Pour tout ∈ℕn , on note = [ ; ]n n nI a b , +=2

n nn

a bc , =' [ ; ]n n nI a c et =" [ ; ]n n nI c b . Si "

nI contient un terme de la suite u,

alors + = "1n nI I sinon + = '

1n nI I .

La suite d’intervalles N∈( )n nI ayant été construite par dichotomie, les deux suites a et b convergent vers un même réel l.

Par récurrence, chaque intervalle nI contient tous les termes de la suite u à partir d’un certain rang pn :

* =0 0[ ; ]I u M contient tous les termes de la suite u à partir du rang 0 = p0.

* Supposons que nI contienne tous les termes de la suite u à partir d’un certain rang pn. Alors :

- ou bien "nI contient un terme up de u, donc + = "

1n nI I ; comme u est croissante, 'nI contient au plus les termes un pour

∈ −{0, 1, ... , 1}n p . Donc +1nI contient les mêmes termes de u que nI , sauf peut-être certains des p premiers, et par

conséquent contient tous les termes de la suite u à partir d’un certain rang pn+1 ;

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 35

- ou bien "nI ne contient pas de terme de u, donc + = '

1n nI I . Dans ce cas, +1nI contient les mêmes termes de u que nI ,

donc tous à partir du rang pn = pn+1.

* Par conséquent, chaque intervalle nI contient tous les termes de u à partir d’un certain rang pn.

On maintenant prouve que la suite u converge vers l :

Soit I un intervalle ouvert contenant l.

Comme →+∞ →+∞

= =lim limn nn n

l a b , il existe un rang N pour lequel aN et bN sont dans I, donc ⊂NI I .

Or NI contient tous les termes de la suite u à partir d’un certain rang pN. A partir de ce rang, tous les termes de la suite

u sont aussi dans I. Donc la suite u converge vers l.

1. 21. Ln et méthode de Newton-Raphson, Asie 2000

11 points

Partie A : Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur [0 ; +∞ [ par : ( ) ln1

xf x

x= + .

Soit (C) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j� �

; unité graphique : 5 cm.

1. Calculer les limites de f en 0 et en +∞ . Déterminer les asymptotes de (C).

2. Étudier le sens de variation de f. Dresser le tableau de variation de f.

3. Montrer que l’équation ( ) 0f x = admet sur l’ intervalle 1

; 1e

une solution unique, notée α .

Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−2.

Donner, suivant les valeurs de x, le signe de ( )f x sur ]0 ; +∞ [.

4. Tracer la courbe (C).

Partie B : Calcul d’aire

1. Déterminer une équation de la tangente (D) à (C) au point d’abscisse 1.

2. a. Soit ϕ la fonction définie, pour tout x > 0, par : ( ) 2 lnx x x xϕ = − + . Calculer ( )xϕ′ .

En déduire le sens de variation de ϕ , puis le signe de ( )xϕ , sur l’intervalle ]0 ; +∞ [.

b. Montrer que, pour tout x > 0, ( ) ( )xf x x

x

ϕ− = .

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 36

c. En déduire la position relative de (C) et de (D).

3. On considère le domaine limité sur le graphique par l’axe des abscisses, la courbe (C) et la tangente (D).

a. Hachurer ce domaine.

b. Soit A son aire, en cm2. Écrire la valeur exacte de A comme expression polynomiale du second degré en α .

Partie C : Étude d’une suite

Soit x0 un réel appartenant à l’intervalle 1

;e

α

. On note M0 le point de (C) d’abscisse x0.

1. a. Donner une équation de la tangente (T0) à (C) en M0, en fonction de x0, ( )0f x et ( )0'f x .

b. Soit x1 l’abscisse du point d’intersection de (T0) avec l’axe des abscisses.

Écrire x1 en fonction de x0, ( )0f x et ( )0'f x .

2. On considère la fonction h définie sur 1

;e

α

par : ( ) ( )( )

f xh x x

f x= −

′. (On remarquera que h(x0) = x1).

a. Montrer que ( ) ( ) ( )( ) 2

f x f xh x

f x

′′ ×′ =

.

b. Calculer ( )f x′′ et étudier son signe sur 1

;e

α

.

c. En déduire que h est strictement croissante sur 1

;e

α

, puis montrer que 1x α< .

d. En écrivant ( ) ( )( )

f xh x x

f x= −

′, étudier le signe de ( )h x x− sur

1;

. En déduire que 0 1

1x x

eα< < < .

3. a. Démontrer que, pour tout x appartenant à 1

;e

α

( )h x appartient à 1

;e

α

.

b. On considère la suite (xn) de réels définie par x0 et ( )1n nx h x+ = pour tout entier naturel n.

Montrer que la suite (xn) est strictement croissante.

Correction

Partie A : Étude d’une fonction ( ) ln1

xf x

x= + .

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 37

1. Limite de f en 0 : on écrit ln 1

lnx

xx x

= × d’où la limite est −∞ . En +∞ ln x

x tend vers 0 donc f tend vers 1.

2. ( ) 2 2

1ln 1 ln

'x x

xxf xx x

− −= = qui est positif lorsque x e≤ . ( ) 11f e

e= + .

3. Sur l’ intervalle 1

;1e

f est croissante vers l’intervalle 1

1 ;1e

− qui contient 0 : ( ) 0f x = a donc une solution unique

α . La machine donne 0,567 comme valeur approchée de α .

Comme f est croissante, ( ) 0f x ≤ lorsque x α≤ et ( ) 0f x ≥ lorsque x α≥ .

Partie B : Calcul d’aire

1. (D) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1y f x f x x′= − + = − + = .

2. a. ( ) 2 lnx x x xϕ = − + ; ( )( ) ( )2 2 1 11 1 2

1 2x xx x

x xx x x

ϕ− − −+ −′ = − + = = : positif lorsque 1x ≤ , négatif sinon.

( )1 0ϕ = donc ( ) ( )1 0xϕ ϕ≤ = .

b. ( )( )2ln ln

1xx x x x

f x x xx x x

ϕ+ −− = + − = = .

c. La position relative de (C) et de (D) est donnée par le signe de ( )f x x− donc (C) est toujours en dessous de (D).

3. a.

H

K

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

y

x

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 38

b. Il faut d’abord calculer l’intégrale ( ) ( ) ( )11 1

2 21 1 11 ln ln 1 ln

2 2I f x dx xdx x x

xα α αα α = = + = + = − − ∫ ∫ ; comme

( ) 0f α = , on a ( )ln α α= − d’où en remplaçant : 211

2I α α= − − . Par ailleurs il faut soustraire cette intégrale à l’aire du

triangle OKH qui vaut 1

2, et multiplier le tout par l’unité d’aire, soit 25 cm2.

Finalement ( )2 21 1 2525 1 2 1

2 2 2A α α α α = − + + = + −

.

Partie C : Étude d’une suite

Soit x0 un réel appartenant à l’intervalle 1

;e

α

. On note M0 le point de (C) d’abscisse x0.

1. a. (T0) : ( ) 00 2

0

1 ln'

xf x

x

−= ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0y f x x x f x xf x f x x f x′ ′ ′= − + = + − .

b. Lorsqu’on fait 0y = dans l’équation précédente, on trouve

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

0 0 0 00 0 0 0 0 1

0 0

0x f x f x f x

xf x f x x f x x x xf x f x

′ −′ ′= + − ⇔ = = − =

′ ′.

2. On considère la fonction h définie sur 1

;e

α

par : ( ) ( )( )

f xh x x

f x= −

′. (On remarquera que h(x0) = x1).

a. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

21

f x f x f x f xf x f x f x f x f xh x x h x

f x f x f xf x

′ ′ ′′− + ×′ ′ ′′ × − × ′= − ⇒ = − =′ ′′ ×′

,

soit ( ) ( ) ( )( ) 2

f x f xh x

f x

′′ ×′ =

.

b. ( ) ( )( )2

2 4 4 3

12 1 ln

1 ln 3 2 ln 3 2 ln'

x x xx x x x xxf x f x

x x x x

− − −− − + − +′′= ⇒ = = = . 3

3 2ln 02

x x− + ≥ ⇔ ≥ donc sur 1

;e

α

,

( ) 0f x′′ < .

c. f est également négative sur cet intervalle donc h’ est positive et h est croissante.

On a ( ) ( )( )

fh

f

αα α α

α= − =

′ et ( )1 0x h x= .

Comme 0x α< et que h est croisssante, on a donc bien ( ) ( )0 1h x h xα α< ⇔ < .

d. ( ) ( )( )

f xh x x

f x− = −

′ est positive sur

1;

car f ’ est positive et f est négative.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 39

Enfin on a 01

xe

< et ( )0 0 1 0 1 00h x x x x x x− = − > ⇒ > , soit 0 11

x xe

α< < < .

3. a. Nous venons de montrer que pour un 0x dans 1

;e

α

alors ( )1 0x h x= est dans 1

;e

α

. C’est ok.

b. Par récurrence : ( )2 1x h x= est alors tel que 0 1 21

x x xe

α< < < < , etc. Le raisonnement fait en 0x est le même à

n’importe quel rang.

Donc la suite (xn) est strictement croissante. Comme elle est majorée par α , elle converge. Il faudrait encore montrer

qu’elle converge vers α , ce que l’on voit en faisant le calcul : la rapidité de convergence est même spectaculaire.

n xn n xn

0 0,36787944117144200000 4 0,56714261155675600000

1 0,48415152013885700000 5 0,56714329040871200000

2 0,55183615060547200000 6 0,56714329040978400000

3 0,56660294853210500000 7 0,56714329040978400000

Cette méthode est très performante ; elle fut inventée par Newton et améliorée par J. Raphson quelques années plus

tard. C’est celle que l’on utilise en général dans les logiciels de calcul.

1. 22. ROC+suite solution équation,

7 points

La page annexe sera à compléter et à remettre avec la copie à la fin de l’épreuve.

Partie A

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞ [ par f (x) = x +ln x.

On nomme Γ sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( ; , )O i j� �

du plan.

1. a. Déterminer les limites de la fonction f aux bornes de son intervalle de définition.

b. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞ [.

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, l’équation f (x) = n admet une unique solution dans ]0 ; +∞ [.

On note nα cette solution. On a donc : pour tout entier naturel n, lnn n nα α+ = .

b. Sur la page annexe, on a tracé Γ dans le repère ( ; , )O i j� �

.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 40

Placer les nombres 0α , 1α , 2α , 3α , 4α et 5α sur l’axe des abscisses en laissant apparents les traits de construction.

c. Préciser la valeur de 1α .

d. Démontrer que la suite ( nα ) est strictement croissante.

3. a. Déterminer une équation de la tangente ∆ à la courbe Γ au point A d’abscisse 1.

b. Étudier les variations de la fonction h définie sur ]0 ; +∞ [ par h(x) = ln x − x +1.

En déduire la position de la courbe Γ par rapport à ∆ .

c. Tracer ∆ sur le graphique de la page annexe. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, 1

2 nn α+ ≤ .

4. Déterminer la limite de la suite ( nα ).

Partie B

On considère une fonction g continue, strictement croissante sur ]0 ; +∞ [ et telle que 0

lim ( )x

g x→

= −∞ et lim ( )x

g x→+∞

= +∞ .

On admet que l’on peut, comme on l’a fait dans la partie A, définir sur ℕ une suite ( )nβ de réels tels que ( )ng nβ = , et

que cette suite est strictement croissante.

1. Démonstration de cours :

Prérequis : définition d’une suite tendant vers +∞ .

« Une suite tend vers +∞ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d’un certain rang, supérieurs à A

».

Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +∞ .

2. Montrer que la suite ( )nβ tend vers +∞ .

Page annexe

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 41

Correction

Partie A f (x) = x +ln x.

1. a. En +∞ les deux termes tendent vers +∞ donc f tend vers +∞ ; en 0+ lnx tend vers −∞ donc f également.

b. x est croissante, ln est croissante, la somme de deux fonctions croissantes est croissante. Sinon on a facilement

1'( ) 1 0f x

x= + > .

2. a. f est continue, monotone croissante de *+ℝ vers ℝ ; elle est donc bijective et toutes les valeurs n entières sont

atteintes. A chaque n correspond donc un unique antécédent nα avec lnn n nα α+ = .

b. On part des valeurs entières 1, 2, 3, 4 et 5 sur l’axe des ordonnées et on trace.

c. 1α : 1 1ln 1α α+ = ; cette équation a l’unique solution 1 : 1 ln 1 1+ = .

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y

x

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 42

d. Comme f est croissante et que 1n n+ > , alors les antécédents nα et 1nα + sont rangés dans le même ordre :

1 1( ) ( ) 1n n n nf f n nα α α α+ +≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ + .

3. a. 1

'(1) 1 21

f = + = et (1) 1f = d’où l’équation de ∆ : 2( 1) 1 2 1y x x= − + = − .

b. h(x) = ln x − x +1, 1 1

'( ) 1x

h xx x

−= − = est positif lorsque x < 1, négatif lorsque x > 1. On a (1) 0h = donc h est croissante

avant 1, décroissante après 1 d’où ( ) (1) 0h x h≤ = . La position de Γ par rapport à ∆ est donnée par le signe de

( ) (2 1) ln 2 1 ln 1 ( )f x x x x x x x h x− − = + − + = − + = , donc Γ est toujours en dessous de ∆ .

c. Comme ( ) 0h x ≤ pour 1x > , ceci est valable pour nα : 1

( ) 2 1 0 2 1 02n n n n

nf nα α α α +− + ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≥ .

4. Comme n tend vers +∞ , 1

2

n + également et nα également.

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x

y

1α2α

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 43

Partie B

g continue, strictement croissante sur ]0 ; +∞ [ et telle que 0

lim ( )x

g x→

= −∞ et lim ( )x

g x→+∞

= +∞ .

1. Démonstration de cours : une suite croissante non majorée tend vers +∞ .

Démonstration par l’absurde : si (un) est croissante non majorée et qu’elle tend vers une limite L, alors il arriverait un

moment (une valeur N de n) où Nu L ε< − où ε est un réel positif choisi arbitrairement (aussi petit qu’on le veut) ; si le

terme suivant est supérieur à L ε− , la suite ne converge pas vers L et si le terme suivant reste inférieur à L, la suite est

majorée. Dans les deux cas il y a contradiction.

Démonstration directe : si (un) est non majorée, pour tout A réel il existe une valeur N de n pour laquelle Nu A≥ ;

comme (un) est croissante, pour toutes les valeurs de n supérieures à N, on a nu A≥ . La définition précédente est

respectée, (un) tend bien vers +∞ .

2. La suite ( )nβ est croissante pour les mêmes raisons que ( )nα ; comme lim ( )x

g x→+∞

= +∞ et que ( )ng nβ = , les termes nβ

sont comme x et tendent donc vers l’infini.

De manière plus élégante on peut considérer que g est bijective et a une application réciproque g−1 qui est telle que 1lim ( )

yg y−

→+∞= +∞ d’où 1lim ( ) lim n

n ng n β−

→+∞ →+∞= = +∞ .

1. 23. Questions de cours au sujet des suites

Valider ou infirmer les propositions suivantes :

1. Si une suite u est croissante et majorée par 5 , alors elle converge vers 5.

2. Si une suite u est monotone et bornée , alors elle est convergente.

3. Si une suite u n’est pas convergente , alors elle n’est pas bornée.

4. Si deux suites ont la même limite, alors elles sont adjacentes.

5. Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont bornées.

6. Une suite convergente est bornée.

7. Une suite bornée est convergente.

8. Une suite qui tend vers +∞ ne peut pas être majorée.

9. Si n nu v− tend vers 0 alors un et vn ont la même limite.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 44

10. Si (un) et (vn) tendent vers +∞ alors n nu v− tend vers 0.

11. Si pour tout n ≥ 10, 2

13nu

n− ≤ alors (un) converge vers 3.

1. 24. QCM divers,

4 points

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes et sont notées sur un point chacune.

Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes. Le candidat doit indiquer sur sa copie les deux propositions vraies. Aucune

justification n’est demandée.

Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Donner trois propositions ou plus d’une question, ou bien n’en

donner aucune, ne rapporte aucun point. Si, par application de ce barème, le total des points de l’exercice est négatif, il est ramené à zéro.

1. Les suites suivantes sont convergentes :

a. 2005

0

2n

nn >

b. 2 ( 1)

1

n

n

n n

n∈

+ − + ℕ

c. 0

1sin

n

nn >

d. 1

lnn

n

n>

2. On considère trois suites (un) , (vn) et (wn) ayant, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes :

n n nu v w≤ ≤ , lim ( ) 1nn

u→+∞

= − et lim ( ) 1nn

w→+∞

= .

Alors :

a. lim ( ) 0nn

v→+∞

= .

b. La suite (un) est minorée.

c. Pour tout n de ℕ , on a : 1 1nv− ≤ ≤ .

d. On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.

3. Une suite (un) est définie sur ℕ par 0

1

1, 5

2 1n n

u

u u+

= = −

pour tout entier naturel n.

a. La suite (un) converge vers 1, abscisse du point d’intersection des droites d’équations y = x et y = 2x −1.

b. La suite (vn), définie sur ℕ par vn = un −1, est géométrique.

c. La suite (vn) est majorée.

d. La suite (wn), définie sur ℕ par wn = ln (un −1), est arithmétique.

4. Deux suites (xn) et (yn) sont définies pour n > 0 par les relations :

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 45

1 1 1...

1 2nxn n n

= + + ++

et 1 1 1

...1 2 2ny

n n n= + + +

+ +.

a. Les suites (xn) et (yn) sont toutes les deux croissantes.

b. 319

20x = et 3

37

60y = .

c. Les suites (xn) et (yn) ne sont pas majorées.

d. Les suites (xn) et (yn) sont adjacentes.

1. 25. QCM,

4 points

Soit ( ) 0n nv ≥ une suite. On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par −= + 1vn

nu e .

Partie A Pour chacune des questions quatre propositions sont faites dont une seule est exacte. Pour chaque question donner sans

justification une réponse sur votre copie. Si la réponse est bonne elle rapporte 0,75 points, si elle est mauvaise elle coûte

0,25 points, si vous ne répondez pas vous gagnez 0 point… En cas de total négatif votre ardoise est effacée !

1. a est un réel strictement positif et ln désigne la fonction logarithme néperien. Si 0 lnv a= , alors :

a. 01

1ua

= + b. 01

1u

a=

+ c. 0 1u a= − + d. 0 1au e−= +

2. Si v est strictement croissante, alors : a. u est strictement décroissante et majorée par 2 c. u est strictement croissante et majorée par 2 b. u est strictement croissante et minorée par 1 d. u est strictement décroissante et minorée par 1 3. Si v diverge vers +∞ alors : a. u converge vers 2 c. u converge vers 1 b. u diverge vers +∞ d. u converge vers un réel L tel que 1L > 4. Si v est majorée par 2, alors :

a. u est majorée par 21 e−+ c. u est majorée par 21 e+

b. u est minorée par 21 e−+ d. u est minorée par 21 e+ Partie B

Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : ( )ln 0n nu v+ > .

1. 26. Raisonnement par récurrence 1

1. On note 1 2 3 ....... !n n× × × × = (et on lit « factorielle » n).

Démontrez par récurrence que, pour tout entier naturel 1n ≥ , on a : 1! 2nn −≥ .

2. Démontrez que, pour tout entier naturel n, l’entier 23 2n n− est un multiple de 7 ; n désigne un entier supérieur à 1.

3. Montrer par récurrence les propriétés suivantes :

a. Pour tout entier naturel n, 2n n≥ .

b. Pour tout entier naturel n, 2 1 2 12 3n n+ ++ est un multiple de 5.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 46

c. Pour tout entier n différent de 1, 1 1 1 1

... 11 2 2 3 ( 1) 1n n n

+ + + = −× × + +

.

1. 27. Raisonnement par récurrence 2

1. Rappeler la valeur de 1 2 3 ...nS n= + + + + .

2. On appelle nS ′ la somme 1 2 2 3 3 4 ... ( 1)nS n n′ = × + × + × + + + .

a. Montrer par récurrence que pour tout n on a ( 1)( 2)

'3n

n n nS

+ += .

b. On admettra que 2

1 1

n n

n

k k

S k k= =

′ = +∑ ∑ . Déduire des résultats précédents la valeur de 2

1

n

k

k=∑ en fonction de n.

3. Montrer par récurrence que 1

( 1)( 2)( 3)( 1)( 2)

4

n

k

n n n nk k k

=

+ + ++ + =∑

4. On cherche à généraliser les résultats précédents : p désigne un entier supérieur à 1, et on définit la somme :

( , ) 1 2 ... 2 3 ... ( 1) 3 4 ...( 2) ... ( 1)....( 1)S n p p p p n n n p= × × × + × × × + + × × + + + + + − .

Montrer par récurrence sur n (p est supposé fixé) que ( 1)( 2)...( )

( , )1

n n n n pS n p

p

+ + +=

+.

1. 28. Raisonnement par récurrence 3

« Le maître d’école s’appelait Büttner et il aimait rosser ses élèves. Il feignait d’être sévère et ascétique, et, en quelques

rares occasions, l’expression de son visage révélait le plaisir qu’il prenait à les rouer de coups. […] Cela se passait dans le

quartier le plus pauvre de Brunswick, aucun de ces enfants n’irait jamais à l’école secondaire, personne ici ne

travaillerait autrement qu’avec ses mains. Gauss avait beau se taire et s’évertuer à répondre aussi lentement que les

autres, il percevait la méfiance du maître. Il sentait que ce dernier n’attendait qu’une occasion de le frapper un peu plus

fort que le reste du groupe. Et un beau jour, il lui fournit cette occasion.

Büttner leur avait demandé d’additionner tous les nombres de un à cent. Cela prendrait des heures et, même avec la

meilleure bonne volonté du monde, ce n’était pas possible sans faire à un moment ou à un autre une erreur de calcul

pour laquelle on pouvait alors être puni. […] Gauss ne réussit pas à se contrôler ce jour là et au bout de trois minutes il

s’était retrouvé devant le pupitre du maître avec son ardoise.

Bon, dit Büttner, et il saisit le bâton. Qu’est-ce que c’est que ça ?

Cinq mille cinquante.

Quoi ?

Gauss se racla la gorge : c’était pourtant bien cela qu’il fallait faire, dit-il, additionner tous les nombres de un à cent.

Cent plus un faisaient cent-un. Quatre-ving-dix-neuf plus deux faisaient cent-un. Quatre-ving-dix-huit plus trois faisaient

cent-un. Toujours cent-un. On pouvait répéter l’opération cinquante fois. Donc : cinquante fois cent-un. »

Daniel Kehlmann, Les arpenteurs du monde, Actes Sud, 2006

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 47

1. La somme des n premiers entiers est 1 1 2 3 ... ???S n= + + + + = . Démontrez-le par récurrence.

2. Calculez les sommes u1 = 13, u2 = 13+23, u3 = 13+23+33, …, u10 = 13+23+33+43+…+103.

3. Voyez-vous une formule apparaître ?

4. Essayez de démontrer la formule obtenue par récurrence.

1. 29. Géométrique 1

La population mondiale est de l'ordre de 5 milliards d'individus.

1. Si on admet un accroissement moyen de la population mondiale de 1,6 % par an, quelle sera la population mondiale

dans vingt ans ?

2. Dans combien d'années la population mondiale aura-t-elle doublé (en prenant le même taux annuel d'accroissement)

?

3. P0 désigne la population d'un continent en 1939, Pn la population du même continent n années plus tard ; i désigne le

taux d'accroissement annuel moyen de la population au cours de cette période. Montrer que Pn = P0 (1 + i)n.

Application numérique : en Europe la population était de 380 millions en 1939 et de 500 millions en 1989. Dans le même

temps la population est passée en Amérique du Sud de 110 millions à 435 millions d'habitants. Calculer le taux

d'accroissement annuel moyen sur cette période dans les deux cas.

1. 30. Géométrique 2 : des sous

1. On place un capital C à intérêts composés (les intérêst versés au bout d’un an sont intégrés au capital) pendant une

durée de 2 ans. On souhaite récupérer son capital augmenté de 10 % au bout de ces deux ans. Quel doit être le taux

d’intérêt annuel auquel est placé le capital ?

2. Même question mais la durée de placement est de 4 ans et on veut un capital augmenté de 20 %.

3. Proposez une formule générale de calcul.

1. 31. Nombres de Fermat

1. Pour tout entier naturel n, on note ( )2

2 1n

nF = + . Calculer F0, F1, F2, F3.

2. Démontrer par récurrence que pour tout n > 1, on a 0 1 2 1... 2n nF F F F F +× × × = − .

3. Montrer que la suite ( )nF est croissante et non majorée. Quelle est sa limite ?

1. 32. Somme de termes

1. Montrer par récurrence que pour tout n ≥ 0, on a 23 ( 1)n n n≥ − .

2. On définit, pour n ≥ 1, la suite ( )nu par 1 2

1 2...

3 3 3n n

nu = + + + .

a. Quel est le sens de variation de ( )nu ?

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 48

b. Montrer par récurrence que pour tout entier k ≥ 1, 3

02

k

k − ≤

. En déduire que, pour tout k ≥ 1, 1

3 2k k

k ≤ puis un

majorant de nu . Que peut-on en conclure pour ( )nu ?

3. On définit pour n ≥ 1 la suite ( )nv par 1

n nv un

= + . En utilisant la question 1), montrer que ( )nv est décroissante.

Quelle est la limite de ( )n nv u− ? Que peut-on en conclure pour ( )nv ?

1. 33. Les lettres de Gaston

On définit la suite ( )nu par 0 13

2000, 2004n nu u u+= = + .

1. Dans un repère de votre choix, représenter les droites d’équation respectives y x= et 3

2004

y x= + , puis les premiers

termes de la suite ( )nu .

2. On pose pour tout n 800n nv u= − . Montrer que la suite ( )nv est géométrique. En déduire l’expression de nu en

fonction de n et la limite de ( )nu . Au bout de combien de temps a-t-on 810nu < ?

3. Gaston L, garçon de bureau aux éditions Dupuis, se plaint à sa dulcinée : « Voyez-vous, m’oiselle Jeanne, tous les jours

je sais traiter le quart de mon courrier en retard, mais il m’arrive 200 lettres de plus chaque matin .» « Monsieur Gaston,

vous arriverez bien à trouver une solution, vous êtes si intelligent… » Oui, mais quelle solution, sachant qu’hier soir il y

avait 2000 lettres sur le bureau de notre héros ?

4. La question a. est indépendante de ce qui précède

a. Si ( )nx est une suite croissante, on définit ( )ny par 0 1...

1n

nx x x

yn

+ +=

+. Montrer que ( )ny est croissante et que pour tout

n on a n ny x≤ . Que peut-on dire pour une suite ( )nx décroissante (on ne justifiera pas ses affirmations).

b. On appelle nM la quantité de lettres qu’il y eu en moyenne sur le bureau de Gaston pendant les n premiers jours (en

comptant comme jour 0 le soir où il y avait 2000 lettres). Exprimer nM en fonction de n. Quel est le sens de variation de

( )nM . La suite ( )nM est-elle convergente ?

Généralisation : On considère une suite v donnée et la suite u dont le terme général un est la moyenne arithmétique :

1

1n

n k

k

u vn

=

= ∑ .

A partir du calcul des premiers termes et d’une représentation graphique, on demande de conjecturer une expression

de un en fonction de n, que l’on demande de démontrer.

1. 34. De Mesmaeker

Monsieur De Mesmaeker, grand patron bruxellois, propose à ses nouveaux employés les deux contrats suivants : dans

tous les cas un salaire initial de 1500 € pour le premier mois, augmenté de 5 € chaque mois (contrat 1), ou augmenté de

0,3% tous les mois (contrat 2).

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 49

1. Soient nu et nv les salaires respectifs pour chaque contrat le nième mois.

Exprimer nu et nv en fonction de n.

2. Quel salaire gagnerait-on pour chaque contrat après un an passé dans l’entreprise ?

3. Comparer la totalité des sommes gagnée par quelqu’un qui resterait pendant 40 ans dans l’entreprise.

1. 35. Définition de la limite d’une suite

1. Soit une suite de terme général un. Que signifie : la suite (un) a pour limite +∞ ?

2. Soit la suite (un) définie par 2 2

nn

un

+= pour n ≥ 1.

a. Montrez qu’à partir d’un certain rang 0n , à déterminer, tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle ]10 ;

+∞ [.

b. Soit A un réel aussi grand que l’on veut (on peut supposer 10A ≥ ) ; montrez qu’à partir d’un certain rang 0n , à

déterminer en fonction de A, tous les termes de la suite appartiennent à l’intervalle ]A ; +∞ [.

c. En déduire à l’aide du 1. la limite de la suite (un).

d. Donnez une méthode pratique permettant d’obtenir cette limite sans avoir recours à la définition.

1. 36. Suite récurrente 1

On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang

diminue en fonction du temps. Le but de l’exercice est d’étudier pour différentes hypothèses, l’évolution de cette

quantité minute par minute.

1. Injection unique

On effectue à l’instant 0 une injection de 10 ml de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par

minute. On note un la quantité de médicament restant dans le sang à la minute n.

a. Quelle est la nature de la suite un ? Quel est son sens de variation ? Quelle est sa limite ?

b. Donnez l’expression de un en fonction de n. Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le

sang devient-elle inférieure à 1 % de la quantité initiale ? Cette durée dépend-elle de la quantité initiale ?

2. Injections répétées

Une machine effectue à l’instant 0 une injection de 10 ml de médicament. On estime que 20 % du médicament est

éliminé par minute. On note vn la quantité de médicament restant dans le sang à la minute n.

Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de la moitié de la dose initiale la machine réinjecte un peu de

produit, soit k la quantité injectée exprimée en ml. Au bout de 30 minutes on arrête la machine.

a. Complétez la colonne k = 1 du tableau ci-dessous. Quelle est la quantité totale de produit injecté dans ce cas ?

b. Quelle constatation faites-vous sur la durée entre deux injections ? Justifiez.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 50

c. On modélise la situation par la suite Vn définie par ( )1 0,8 pn nV V k+ = + avec 0 10V = et p entier. Quelle valeur doit-on

donner à p ? On note a le nombre 0,8p .

On prend toujours k = 1 ml.

d. On représente les termes de la suite sur la figure de la page 4 de la manière suivante : on part à chaque fois de nV sur

l’axe des abscisses et on représente son image Vn+1 sur l’axe vertical par l’intermédiaire de la droite dk : y ax k= + . On

renvoie alors Vn+1 sur l’axe horizontal par l’intermédiaire de la droite (y = x) et ainsi de suite.

Tracez les premiers termes de la suite Vn. Quelles conjectures pouvez-vous faire sur le comportement de Vn (sens de

variation, majorant, minorant, limite) ?

e. Prouvez que Vn est décroissante. Soit α l’abscisse du point d’intersection entre les deux droites. Montrez que Vn est

minorée par α .

f. On note nW l’écart entre nV et α . Quelle est la nature de nW ?. Déduisez-en Wn en fonction de n et α puis Vn en

fonction de n et α . Quelle est la limite de nV ?

g. Que va-t-il se passer si on prend V0 = 1 par exemple ?

n = temps un vn, k = 4 ml vn, k = 3 ml vn, k = 2 ml vn, k = 1 ml

0 10,000 10,000 10,000 10,000 10,000

1 8,000 8,000 8,000 8,000 8,000

2 6,400 6,400 6,400 6,400 6,400

3 5,120 5,120 5,120 5,120 5,120

4 4,096 8,096 7,096 6,096 5,096

5 3,277 6,477

6 2,621 5,181

7 2,097 4,145

8 1,678 7,316

9 1,342 5,853

10 1,074 4,682

11 0,859 3,746

12 0,687 6,997

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 51

13 0,550 5,597

14 0,440 4,478

15 0,352 3,582

16 0,281 6,866

17 0,225 5,493

18 0,180 4,394

19 0,144 3,515

20 0,115 6,812

21 0,092 5,450

22 0,074 4,360

23 0,059 3,488

24 0,047 6,790

25 0,038 5,432

26 0,030 4,346

27 0,024 3,477

28 0,019 6,781

29 0,015 5,425

30 0,012 4,340

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 52

1. 37. Suite récurrente 2

On considère la suite *( ),nu n∈ℕ définie par 1

21

1

( ) 4n n

u

u u+

=

=.

1. Calculer 2 3 4 5, , ,u u u u . Donner les résultats sous la forme 2α .

2. On considère la suite ( )nv définie par ln( ) ln 4n nv u= − . Montrer que ( )nv est une suite géométrique dont on donnera

la raison et le premier terme.

3. Exprimer nv en fonction de n. En déduire nu et calculer lim nn

u→∞

.

4. Pour quelles valeurs de n a-t-on 3,96nu > ?

1. 38. Suite récurrente 3,

1. 39. On considère la suite nu définie par 0

1 (2 )n n n

u a

u u u+

= = −

où a est un réel donné avec 0 < a < 1.

1. On suppose que 1

8a = ;

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10 12

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 53

a. Calculer 1u et 2u .

b. Tracer dans un repère orthonormal la courbe représentative P de la fonction f : ( ) (2 )f x x x= − ainsi que la droite d

(y = x).

c. Utiliser d et P pour construire sur l’axe des abscisses les points 1 2 3, ,A A A d’abscisses respectives 1 2 3, ,u u u .

2. On suppose dans cette question que a est quelconque (0 < a < 1).

a. Montrer par récurrence que 0 1nu< < .

b. Montrer que nu est croissante.

c. Que peut-on en déduire ?

3. On suppose de nouveau 1

8a = et on considére la suite 1n nv u= − .

a. Exprimer 1nv + en fonction de nv

b. En déduire l’expression de nv en fonction de n.

c. Déterminer la limite de nv puis celle de nu .

1. 40. Suite récurrente 4

On considère la suite ( )n nu ∈ℕ définie par 0u e= et, pour tout entier naturel n, 1n nu u+ =

On pose, pour tout entier naturel n, lnn nv u= .

1. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, 11

2n nv v+ = , en déduire que nv est le terme général d'une suite

géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

b. Donner l'expression de nv en fonction de n. En déduire celle de nu en fonction de n.

2. Pour tout entier naturel n on pose 0 1 n nv v v= + +…+S et 0 1 n nu u u= × ×…×P .

a. Montrer que Snn e=P .

b. Exprimer nS en fonction de n.

c. En déduire l'expression de nP en fonction de n.

3. Déterminer la limite de la suite ( )nS ; en déduire celle de la suite ( )nP .

1. 41. Suite récurrente 5

On considère la suite (un) définie par : 0 11

0 12n nu et u u+= = + pour tout n entier naturel.

1. Calculer u1, u2, u3, u4, u5 . Placer les points correspondants sur une droite graduée.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 54

2. Démontrer que la suite (un) est bornée.

3. Démontrer que la suite (un) est croissante.

4. Que peut-on conjecturer pour la limite de la suite ?

1. 42. Suite récurrente 6

On considère la suite (un) définie par : 0 2u = et 1 2 3n nu u+ = + pour tout n entier naturel.

1. Donner les valeurs approchées à 10−3 près de u1, u2, …, u10.

2. Démontrer que, pour tout n de ℕ , 0 3nu≤ ≤ .

3. Démontrer que la suite (un) est convergente.

4. Déterminer lim nn

u→+∞

.

1. 43. Suite récurrente 7, Haddock

Le Capitaine Haddock a décidé de rationaliser sa consommation de Whisky. Il a un stock de 200 bouteilles, et chaque

mois il consomme le quart de son stock, et rachète 10 bouteilles. On appelle un le nombre de bouteilles en stock au bout

de n mois (ainsi u0 = 200).

1. Montrer que, pour tout n ≠ 0, 13

104n nu u+ = + . Calculer u1 et u2.

2. On pose pour tout entier n : 40n nv u= − . Quelle est la nature de la suite (vn) ?

3. Quelle sera, à terme, la consommation mensuelle du Capitaine ? Au bout de combien de mois sera-t-elle inférieure à

12 bouteilles ?

1. 44. Suite récurrente 8, Antilles 2003

Partie A - Étude préliminaire d’une fonction f définie sur ℝ par ( ) ( )2 1xx x eϕ = − − .

1. Déterminer les limites de la fonction ϕ en −∞ et +∞ .

2. Montrer que la fonction ϕ est continue et dérivable sur ℝ et étudier le signe de sa dérivée.

En déduire les variations de la fonction ϕ et préciser les valeurs de ( 2)ϕ − , (0)ϕ , (1)ϕ et (2)ϕ .

3. Prouver que la fonction ϕ s’annule uniquement en deux valeurs que l’on nommera α et β . On prendra α < β .

Étudier alors le signe de la fonction ϕ sur l’ensemble des réels et récapituler cette étude dans un tableau.

4. À l’aide de la calculatrice, fournir un encadrement d’amplitude 10−2 des valeurs α et β .

5. Montrer que 1

2eα

α=

−.

Partie B - Étude d’une fonction f définie par 1

( )x

x

ef x

e x

−=−

et calcul intégral.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 55

1. Montrer que xe x− ne s’annule pas sur ℝ . En déduire que f est définie sur ℝ .

2. Déterminer les limites de la fonction f en −∞ et +∞ .

3. Calculer la dérivée f ’ de la fonction f puis, à l’aide des résultats de la partie A, construire le tableau des variations de f

.

4. Montrer que 1

( )1

f αα

=−

, le nombre α étant la plus petite des deux valeurs pour lesquelles la fonction ϕ de la partie

A s’annule.

5. Déterminer une primitive de la fonction f sur ℝ . Donner une valeur exacte puis une valeur décimale approchée à 0,01

près de l’intégrale : 1

0( )f x dx∫ .

Partie C - Étude de deux suites

1. Préciser l’ensemble de définition Dg de la fonction g définie sur cet ensemble par 1

( ) ln2

g xx

= − où ln désigne la

fonction logarithme népérien. Prouver que la fonction g est croissante sur son ensemble de définition et que l’image par

g de l’intervalle I = [−2 ; 0] est incluse dans cet intervalle.

2. a. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par : 0

1

2

( )n n

u

u g u+

= − =

.

Montrer que u1 appartient à l’intervalle I = [−2 ; 0]. Prouver par récurrence, à l’aide des variations de la fonction g, que

la suite (un) a tous ses termes dans l’intervalle I et est croissante.

b. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par : 0

1

0

( )n n

v

v g v+

= =

.

Calculer le terme v1 et montrer que 1 1 02 0u v v− ≤ ≤ ≤ ≤ .

Établir par récurrence, à l’aide de la croissance de la fonction g sur l’intervalle [−2 ; 0], que pour tout entier naturel n

strictement positif, on a : 12 0n n nu v v −− ≤ ≤ ≤ ≤ .

Préciser le sens de variation de la suite (vn).

3. a. Soit m la fonction définie sur [0 ; +∞ [ par : m(x) = x −ln(1+x).

Montrer que m est croissante et calculer m(0). En déduire que, pour tout x positif, on a ln(1+x) ≤ x.

b. Vérifier que, pour tout entier n, 1 1 ln 12n n

n nn

v uv u

v+ + −

− = + − . En déduire que 1 1 2

n nn n

n

v uv u

v+ +−

− ≤−

.

Sachant que, pour tout entier n, les termes de la suite (vn) appartiennent à l’intervalle [−2 ; 0], donner un encadrement

de 1

2 nv− et établir que : ( )1 1

1

2n n n nv u v u+ +− ≤ − .

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 56

Prouver alors que, pour tout entier naturel n, ( )1 1 0 01

2n n n

v u v u+ +− ≤ − .

Que peut-on en déduire pour la suite de terme général vn −un et pour les suites (un) et (vn) ?

4. Donner, à l’aide de la calculatrice, un encadrement d’amplitude 10−4 de u10 et v10.

1. 45. Suite récurrente 9, Syracuse

On considère la suite nu définie par la donnée de son premier terme 0u p= et par la relation :

Si nu est pair, 11

2n nu u+ = ; si nu est impair, 1 3 1n nu u+ = + .

1. Que devient nu pour p = 1, 2, 3, 7, 8, 11, 27, 28. Constatation(s) ?

2. On appelle vol de p le nombre V(p) de termes de la suite un et hauteur de p le nombre H(p), plus grand terme de la

suite un. Déterminer V(11) et H(11).

2. Calculer de même V et H pour 2kp = , k entier. Donnez un autre exemple où le calcul est simple.

3. On suppose que la conjecture est vérifiée pour tous les nombres jusqu’à p. Que dire si ( )1H p p+ < ?

4. Les nombres entiers peuvent être rangés dans quatre groupes : ceux de la forme 4k, de la forme 4k+1, de la forme

4k+2 ou de la forme 4k+3 avec k entier. Que pouvez-vous dire dans les trois premiers cas ?

Une page d’intro : http://membres.lycos.fr/ericmer/

1. 46. Suite récurrente 10,

On se propose d'étudier une suite définie par une relation de récurrence. Les réels a, b et c étant donnés, la suite (un)

est ici définie par :

0

31

1( ) pour tout ent ier

3n n n

u a

u bu u nc+

= = −

1. On choisit b = c = 1. Étudier les variations de la fonction f définie par 31( )

3f t t t= − sur [0 ; +∞[.

Représenter le graphe de cette fonction. En déduire ensuite le graphe de f lorsque la variable parcourt la totalité de ℝ .

2. On suppose b = c = 1. À l'aide de la première bissectrice des axes tracés dans un repère sur lequel on reproduira le

graphique précédent, définir des tracés qui permettent la détermination des quatre premiers termes de la suite

précédente lorsque le premier terme est défini par a = 1. Quelle conclusion sur la suite vous suggèrent ces tracés ? À

l'aide du même procédé, décrire ce qui se passe lorsque a > 1 (on ne demande pas une discussion complète).

3. On suppose encore : a = b = c = 1. Montrer que la suite (un) est décroissante et que tous ses termes sont positifs. En

déduire que la suite admet une limite et montrer que cette limite est nulle.

4. On suppose à présent que a = 6, b = 2, c = 18. Déterminer le graphe de la fonction g définie par 3

( ) 254

tg t t= − .

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 57

Déterminer les solutions des équations g(t) = t et g(t) = 0. En choisissant les unités des axes les plus grandes possibles,

dessiner la partie du graphique correspondant au cas où la variable parcourt le segment [0 ; 11]. Dessiner également la

première bissectrice des axes et définir des tracés qui permettent la détermination des quatre premiers termes de la

suite. Calculer ces quatre premiers termes. Quelles sont vos remarques en ce qui concerne le comportement de cette

suite ?

1. 47. Suite récurrente 11, homographique

Soit I l’intervalle [0 ; 1]. On considère la fonction f définie sur I par 3 2

( )4

xf x

x

+=+

.

1. Etudier les variations de f et en déduire que, pour tout x élément de I, ( )f x appartient à I.

2. On considère la suite (un) définie par u0 = 0 et 13 2

( )4

nn n

n

uu f u

u++

= =+

. Montrer que, pour tout n entier, un appartient à I.

On se propose d’étudier la suite (un) par deux méthodes différentes.

Première méthode :

3. a. Représenter graphiquement f dans un repère orthonormal d’unité graphique 10 cm.

b. En utilisant le graphique précédent, placer les points A0, A1, A2 et A3 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u0, u1,

u2 et u3.

Que suggère le graphique concernant le sens de variation de (un) et sa convergence ?

c. Etablir la relation 1(1 )( 2)

4n n

n nn

u uu u

u+− +

− =+

et en déduire le sens de variation de la suite (un).

d. Démontrer que la suite (un) est convergente.

e. Prouver que la limite l de la suite (un) vérifie l = f(l) et calculer l.

Deuxième méthode : On considère la suite (vn) définie par 1

2n

nn

uv

u

−=

+.

4. a. Prouver que (vn) est une suite géométrique de raison 2

5.

b. Calculer v0 et exprimer vn en fonction de n.

c. Exprimer un en fonction de vn, puis en fonction de n.

d. En déduire la convergence de la suite (un) et sa limite l.

1. 48. Suite récurrente 12,

5 points

Partie A : Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞ [ par ( )ln

xf x

x= .

1. a. Déterminer les limites de la fonction f en 1 et en +∞ .

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 58

b. Étudier les variations de la fonction f .

2. Soit (un) la suite définie par u0 = 5 et un+1 = f(un) pour tout entier naturel n.

a. On a tracé la courbe représentative C de la fonction f sur la figure ci-dessus.

Construire la droite d’équation y = x et les points M1 et M2 de la courbe C d’abscisses respectives u1 et u2. Proposer une

conjecture sur le comportement de la suite (un).

b. Démontrer que pour tout entier naturel n, on a un ≥ e (on pourra utiliser la question 1. b.).

c. Démontrer que la suite (un) converge vers un réel l de l’intervalle [e ; +∞ [.

Partie B : On rappelle que la fonction f est continue sur l’intervalle ]1 ; +∞ [.

1. En étudiant de deux manières la limite de la suite [f (un)], démontrer que ( )f l l= .

2. En déduire la valeur de l.

1. 49. Suite récurrente 13, La Réunion 2007

4 points

Soit a un nombre réel tel que −1 < a < 0.

On considère la suite u définie par u0 = a, et pour tout entier naturel n, 21n n nu u u+ = + .

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

y

x

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 59

1. Étudier la monotonie de la suite u.

2. a. Soit h la fonction définie sur ℝ par ( ) 2h x x x= + . Étudier le sens de variations de la fonction h.

En déduire que pour tout x appartenant à l’intervalle ]−1 ; 0[, le nombre ( )h x appartient aussi à l’intervalle ]−1 ; 0[.

b. Démontrer que pour tout entier naturel n on a : −1 < un < 0.

3. Étudier la convergence de la suite u. Déterminer, si elle existe, sa limite.

1. 50. Intégrale 1

L'objectif est d'étudier la suite (un) définie pour tout entier n ≥ 0 par :

1

020

1

1u dx

x=

+∫ et, pour n ≥ 1, 1

20 1

n

nx

u dxx

=+∫ .

1. a. Soit f la fonction numérique définie sur [0 ; 1] par : 2( ) ln( 1 ).f x x x= + + Calculer la dérivée f ' de f. En déduire u0.

b. Calculer u1.

2. a. Prouver que la suite (un) est décroissante (on ne cherchera pas à calculer un).

En déduire que la suite (un) est convergente.

b. Montrer que, pour tout nombre réel x appartenant à l'intervalle [0 ; 1], on a : 21 1 2x≤ + ≤ .

En déduire que, pour tout entier 1n ≥ , on a : (1) 1 1

1( 1) 2nu

nn≤ ≤

++. Déterminer la limite de (un).

3. Pour tout entier 3n ≥ , on pose : 1

2 2

0I 1n

n x x dx−= +∫ .

a. Vérifier que, pour tout entier 3n ≥ , on a : un + un−2 = In.

Par une intégration par parties portant sur In, montrer que, pour tout entier 3n ≥ , on a :

2( 1) 2n nnu n u −+ − = .

b. En déduire que, pour tout entier 3n ≥ , on a : (2) (2 1) 2nn u− ≤ .

c. À l'aide des inégalités (1) et (2), montrer que la suite (nun) est convergente et calculer sa limite.

1. 51. Intégrale 2

Première partie

On considère la courbe (C) de la fonction inverse : 1

( )x f xx

=֏ pour 1 2x≤ ≤ . On voudrait trouver une valeur

approchée de l’aire comprise entre (C), l’axe (Ox) et les droites d’équations x = 1 et x = 2. On découpe l’intervalle [1 ; 2]

en n intervalles de même amplitude.

1. Donner les valeurs x0, x1, …, xn des bornes des intervalles.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 60

2. Déterminer les images de ces valeurs par f.

3. En considérant les aires des n rectangles dont l’un des sommets est sur la courbe (C), déduire, en fonction de n, un

encadrement de l’aire cherchée.

Deuxième partie

On considère la suite (un) définie par : 1

1 1 1 1

1 2 2

i n

n

i

un n n n i

=

=

= + + + =+ + +∑… , pour tout n de ℕ *, et la suite (vn) définie

par : 1

0

1 1 1 1

1 2 1

i n

n

i

vn n n n i

= −

=

= + + + =+ − +∑… , pour tout n de ℕ *.

1. Déterminer u1, u2, u3, u4, v1, v2, v3, v4 et en donner des valeurs approchées à 10–2 près.

2. Représenter les points correspondants sur une droite.

3. Démontrer que la suite (un) est croissante et la suite (vn) est décroissante.

4. Calculer vn – un et démontrer que lim 0n nn

v u→+∞

− = .

5. Quelle conjecture peut-on faire pour les suites (un) et (vn) ?

6. En utilisant une calculatrice, donner une valeur approchée à 10−3 près de u50 et v50 puis de u150 et v150 .

1. 52. Récurrence double

On considère la suite (un) définie par : 0 1

1 1

0 ; 1 ;

7 8n n n

u u

u u u+ −

= = = +

1. Montrer que la suite sn définie par sn = un+1 + un est une suite géométrique dont on précisera la raison. En déduire sn en

fonction de n.

2. On pose vn = (−1)nun et on considère la suite tn définie par tn = vn+1 − vn. Exprimer tn en fonction de sn.

3. Exprimer vn puis un en fonction de n (on pourra calculer de deux manières la somme 0 1 ... nt t t+ + + ).

4. Déterminer lim8

nnn

u→+∞

.

1. 53. Suites adjacentes 1

On considère les suites (un) et (vn) définies par : 1 10 nnu −= − et 1 10 n

nv −= + pour tout n de ℕ .

1. Donner les valeurs de u0, v0, u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4.

2. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

3. Quelle est leur limite ?

4. Que peut-on dire du nombre dont l’écriture décimale est 0,9999… ?

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 61

1. 54. Suites adjacentes 2

On considère la suite ( ) 1n nu ≥ définie par :

2 2 2 21

1 1 1 1

1 2

p n

n

p

up n

=

=

= = + + +∑ … ,

et la suite ( ) 1n nv ≥ définie par :

1n nv u

n= + .

1. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.

2. Soit l leur limite. Donner un entier n0 pour lequel l’encadrement de l par 0nu et

0nv est un encadrement d’amplitude

inférieure ou égale à 10–3.

3. Donner à la calculatrice une valeur approchée de 0nu et

0nv . Est-il possible que l soit égal à 2

6

π ?

1. 55. Suites adjacentes 3

On considère les suites (un) et (vn) définies par :

0

1

0

3 1

4n

n

u

uu +

=

+ =

, et 0

1

2

3 1

4n

n

v

vv +

=

+ =

pour tout entier naturel n.

Dans un repère orthonormé ( ; , )O i j� �

, tracer les droites (D) et ( ∆ ) d’équations respectives

3 1

4

xy

+= et y = x.

1. En utilisant ces deux droites, placer sur l’axe des abscisses les réels u1, u2, u3 puis v1, v2 et v3.

2. Calculer u1, u2, u3 puis v1, v2 et v3.

3. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont convergentes et donner leur limite.

1. 56. Suites adjacentes 5 :

On définit deux suites (un) et (vn) par : 1 1 1 12 3

12, 1, ,3 4

n n n nn n

u v u vu v u v+ +

+ += = = =

1. Pour tout entier n ≥ 1, on pose wn = un – vn. Montrer que (wn) est une suite géométrique à termes positifs,

déterminer sa limite et exprimer wn en fonction de n.

2. Démontrer que la suite (un) est décroissante et que la suite (vn) est croissante.

3. Pour tout entier n ≥ 1, démontrer que n nu v≥ . En déduire que 1 1n nu u v v≥ ≥ ≥ .

4. Pour tout entier n ≥ 1, on pose tn = 3un + 8vn. Démontrer que (tn) est une suite constante.

5. En déduire les expressions de un et vn en fonction de n, puis les limites de (un) et (vn).

1. 57. Suites adjacentes 6 : étude d’un nombre

Définition et étude d’un nombre à l’aide de deux suites adjacentes

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 62

A. Préambule : quelques propriétés de la factorielle

n est un entier naturel non nul. On note !n (et on lit « factorielle n ») le produit − × × ×( 1) ... 2 1n n .

On convient de plus que =0! 1 .

1. Calculer 2!, 3!, 4!, 5!

2. Simplifier +( 1)!

!

n

n puis

!n

n.

3. Vérifier que −− =

+ +2 1 1

( 1)! ! ( 1)!

n

n n n.

4. Justifier que le nombre + + + +

1 1 1! 1 ...

1! 2! !n

n est un entier.

5. h est la fonction définie sur ℝ par −

= + + + + +−

2 1

( ) 1 ...1! 2! ( 1)! !

n nx x x xh x

n n. Calculer '( )h x et vérifier que pour tout ∈ℝx ,

−= + + + +

2 1

'( ) 1 ...1! 2! ( 1)!

nx x xh x

n.

B. Etude du nombre e

On considère les deux suites ( ) ≥1n nu et ( ) ≥1n n

v définies par :

= + + + +1 1 11 ...

1! 2! !nun

et = + 1

!n nv un

.

1. Etude des suites ( ) ≥1n nu et ( ) ≥1n n

v

a. Calculer 1 1 2 2 3 3, , , , ,u v u v u v .

b. Montrer que la suite ( ) ≥1n nu est strictement croissante.

c. Montrer que la suite ( ) ≥1n nv est décroissante. Est-elle strictement décroissante ? L’est-elle à partir d’un certain rang ?

d. Montrer que les suites ( ) ≥1n nu et ( ) ≥1n n

v sont adjacentes.

e. On note l leur limite commune. Déterminer un encadrement de l d’amplitude −310 .

2. On suppose que l est rationnel, c’est à dire qu’il existe deux entiers naturels p et n vérifiant =p

ln

.

a. Est-il possible que n = 1 ?

b. Justifier l’encadrement : < < + 1

!n np

u un n

.

c. En déduire que < − − <0 ( 1)! ! 1np n n u .

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 63

d. Justifier que le nombre = − −( 1)! ! nN p n n u est un entier. Qu’en conclut-on ?

3. Où l’on retrouve l’exponentielle

a. Quel autre nombre déjà rencontré vérifie l’inégalité établie à la question B. 1. e. ?

b. Pour ∈ℕ*n on définit la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1] par − = + + + +

2

( ) 1 ...1! 2! !

nxx x x

f x en

.

Montrer que pour tout ∈[0 ; 1]x , −= −'( )!

nxx

f x en

.

c. Etablir le tableau de variation de f sur [0 ; 1].

d. Calculer f(0). Montrer que =(1) nuf

e. En déduire que pour tout ∈ℕ*n : <nu e .

4. Pour n entier fixé ( ≥ 2n ), on définit la fonction g sur l’intervalle [0 ; 1] par :

−−

= + + + + + −

2 1

( ) 1 ... 21! 2! ( 1)! !

n nxx x x x

g x en n

.

a. Montrer que pour tout ∈[0 ; 1]x , −

−= −1

'( ) ( 2 )!

nxx

g x n x en

.

b. Etablir le tableau de variation de g sur [0 ; 1].

c. Calculer g(0). Montrer que =(1) nvg

e. En déduire que pour tout ≥ 2n : < <n nu e v .

Conclure : quel est le nombre l défini en B. 1. e. ?

1. 58. Suites adj. 7 : constante d’Euler,

6 points

1. Démontrer que pour tout n de ℕ * et tout x de [0 ; 1] : 2

1 1 1x

n x n nn− ≤ ≤

+.

2. a. Calculer 1

0

1dx

x n+∫ .

b. Déduire en utilisant 1., que : pour *n∈ℕ , 2

1 1 1ln

2

n

n nn

+ − ≤

puis que 1 1

lnn

n n

+ ≤

.

3. On appelle U la suite définie pour *n∈ℕ par : 1

1 1 1 1( ) ln( ) 1 ... ln( )

2 3

k n

k

U n n nk n

=

=

= − = + + + + −∑ .

Démontrer que U est décroissante (on pourra utiliser 2. b.)

4. On désigne par V la suite de terme général : 1

1 1 1 1( ) ln( 1) 1 ... ln( 1)

2 3

k n

k

V n n nk n

=

=

= − + = + + + + − +∑ .

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 64

Démontrer que V est croissante.

5. Démontrer que U et V convergent vers une limite commune notée γ .

Déterminer une valeur approchée de γ à 10−2 près par la méthode de votre choix.

1. 59. Exp+sensibilité calcul,

8 points Partie A

On considère la suite (un) définie par : pour tout entier naturel n non nul, 1

0(1 )n t

nu t e dt= −∫ .

1. Montrer que la fonction : (2 ) tf t t e→ − est une primitive de : (1 ) tg t t e→ − sur [0 ; 1]. En déduire la valeur de u1.

2. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout n non nul, 1 ( 1) 1n nu n u+ = + − (R).

Partie B On regarde d’abord ce qu’affichent deux calculatrices différentes pour les valeurs approchées des 25 premiers termes

de la suite (un) en utilisant pour le calcul la relation de récurrence (R) ci-dessus.

Voici les résultats affichés par ces deux calculatrices :

Valeur

de n

Valeur de un

affichée par la

première

calculatrice

Valeur de un

affichée par la

deuxième

calculatrice

1 7,1828182845 E-01 7,1828182846 E-01

2 4,3656365691 E-01 4,3656365692 E-01

3 3,0969097075 E-01 3,0969097076 E-01

4 2,3876388301 E-01 2,3876388304 E-01

5 1,9381941508 E-01 1,9381941520 E-01

6 1,6291649051 E-01 1,6291649120 E-01

7 1,40415433581 E-01 1,4041543840 E-01

8 1,2332346869 E-01 1,2332350720 E-01

9 1,0991121828 E-01 1,0991156480 E-01

10 9,9112182825 E-02 9,9115648000 E-02

11 9,0234011080 E-02 9,0272128000 E-02

12 8,2808132963 E-02 8,3265536000 E-02

13 7,6505728522 E-02 8,2451968000 E-02

14 7,1080199309 E-02 1,5432755200 E-01

15 6,6202989636 E-02 1,31491328006

E+00

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 65

16 5,9247834186 E-02 2,0038612480 E+01

17 7,2131811612 E-02 3,3965641216 E+02

18 −8,7016273909 E-02 6,1128154189 E+03

19 −1,7533092042 E-02 1,1614249296 E+05

20 −3,5166184085 E-02 2,3228488592 E+06

21 −7,3858986580 E-02 4,8779825043 E+07

22 −1,6249077047 E-02 1,0731561499 E+09

23 −3,7372887209 E-02 2,4682591448 E+10

24 −8,9694930302 E-02 5,923821947 E+11

25 −2,242372585 E-02 1,4809554869 E+13

Quelle conjecture peut-on faire sur la convergence de la suite (un) quand on examine les résultats obtenus avec la

première calculatrice ? Et avec les résultats obtenus avec la deuxième calculatrice ?

Partie C Dans cette partie on se propose d’étudier la suite (un) à partir de la définition : pour tout entier naturel n non nul,

1

0(1 )n t

nu t e dt= −∫ .

1. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, 0nu ≥ .

2. a. Montrer que pour tout réel t de l’intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel non nul n,

( ) ( )1 1n ntt e t e− ≤ − .

b. En déduire que pour tout n non nul, 1n

eu

n≤

+.

3. Déterminer la limite de la suite (un).

Partie D Dans cette partie, on se propose d’exploiter la relation de récurrence (R) vérifiée par la suite (un) : 1 ( 1) 1n nu n u+ = + − .

Étant donné un réel a, on considère la suite (vn) définie par : v1 = a et pour tout entier naturel non nul n,

1 ( 1) 1n nv n v+ = + − .

1. En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout entier naturel non nul n,

( !)( 2 )n nv u n a e= + + −

où n! désigne le produit des n premiers entiers naturels non nuls.

2. Étudier le comportement de la suite (vn) à l’infini suivant les valeurs de a. (On rappelle : lim !n

n→+∞

= +∞ )

3. En déduire une raison susceptible d’expliquer les résultats affichés par les deux calculatrices.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 66

1. 60. Suites adj.+barycentre,

5 points

Partie A

On considère les suites de points An et Bn définies pour tout entier naturel n de la manière suivante : sur un axe orienté

( ; )O u�

donné ci-dessous, le point A0 a pour abscisse 0 et le point B0 a pour abscisse 12.

Le point An+1 est le barycentre des points (An, 2) et (Bn, 1), le point Bn+1 est le barycentre des points pondérés (An, 1) et

(Bn, 3).

1. Sur le graphique placer les points A2, B2.

2. On définit les suites (an) et (bn) des abscisses respectives des points An et Bn.

Montrer que : 12

3n n

na b

a ++

= . On admet de même que 13

4n n

na b

b ++

= .

Partie B

1. On considère la suite (un) définie, pour tout entier naturel n, par un = bn − an.

a. Montrer que la suite (un) est géométrique. En préciser la raison.

b. Donner l’expression de un en fonction de l’entier naturel n.

c. Déterminer la limite de (un). Interpréter géométriquement ce résultat.

2. a. Démontrer que la suite (an) est croissante (on pourra utiliser le signe de un).

b. Étudier les variations de la suite (bn).

3. Que peut-on déduire des résultats précédents quand à la convergence des suites (an) et (bn) ?

Partie C

1. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier naturel n, par vn = 3an +4bn. Montrer que la suite (vn) est constante.

2. Déterminer la limite des suites (an) et (bn).

u

B0B1A1A0

121086420

1. 61. Exp+sol équation

10 points

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 67

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; , )O i j� �

. (Unités graphiques : 2 cm).

Partie A

On considère la fonction f définie sur ℝ par ( ) 2( ) 3x

f x x e−

= + .

1. Déterminer les limites de f en −∞ , puis en +∞ .

2. Étudier les variations de f sur ℝ et dresser son tableau de variations.

3. Construire la courbe ( Γ ) représentative de f dans ( ; , )O i j� �

.

4. À l’aide d’une intégration par parties, calculer 0

2

3

x

I xe dx−

−= ∫ et en déduire l’aire, en unités d’aire, du domaine défini

par les couples (x, y) tels que 0 ≤ y ≤ f (x) et x ≤ 0.

5. a. Démontrer que l’équation f (x) = 3 admet deux solutions dans ℝ . Soit α la solution non nulle, montrer que :

32

2α− < < − .

b. Plus généralement, déterminer graphiquement suivant les valeurs du nombre réel m, le nombre de solutions de

l’équation f (x) = m.

Partie B

On considère la fonction ϕ définie sur ℝ par 2( ) 3 3x

x eϕ = − .

1. Démontrer que f(x) = 3 si et seulement si ϕ (x) = x.

2. Soit 'ϕ et ''ϕ les dérivées première et seconde de la fonction ϕ .

a. Calculer, pour tout réel x, ( )' xϕ et ( )'' xϕ . Justifier que ( ) 3

2

αϕ α += .

b. Étudier le sens de variation de ( )' xϕ , puis celui de ( )xϕ .

c. On se place désormais dans l’intervalle I= [−2 ; α ].

3. Montrer que, pour tout x appartenant I :

a. ( )xϕ appartient à I.

b. ( )1 3'

2 4xϕ≤ ≤ .

c. En déduire, à l’aide d’une intégration, que pour tout x de l’intervalle I, on a :

( ) ( ) ( ) ( )1 30

2 4x x xα ϕ α ϕ α≤ − ≤ − ≤ − .

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 68

4. On considère la suite (un) définie sur ℕ par : ( )0

1

2

n n

u

u uϕ+

= − =

.

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n, un appartient à l’intervalle I.

b. Justifier que, pour tout entier n, ( )13

04n nu uα α+≤ − ≤ − puis que

30

4

n

nuα ≤ − ≤

.

c. En déduire que la suite (un) est convergente et donner sa limite.

d. Déterminer le plus petit entier p tel que : 2310

4

p− ≤

. Donner une approximation décimale à 10−2 près de up , à l’aide

d’une calculatrice, puis une valeur approchée de α à 22 10−× près.

1. 62. Encadrement d’intégrale,

5 points

On considère la suite (In), n ∈ ℕ , définie par :

21

0 1

t

ne

I dtn t

−=

+ +∫ .

1. a. Déterminer le sens de variation de cette suite.

b. Montrer que (In), est une suite positive.

c. Montrer que pour tout t ∈ [0 ; 1] on a

21

1 1

te

n t n

−≤

+ + + et en déduire que

10

1nI n≤ ≤

+. Que peut-on en conclure quant

à la convergence de (In) ?

2. On considère f et g deux fonctions définies sur [0 ; 1] par : ( ) 1xf x e x−= + − et 2

( ) 12

xxg x x e−= − + − .

a. Étudier le sens de variation et le signe de f.

b. En déduire le sens de variation de g sur [0 ; 1].

c. Établir, pour tout x appartenant à [0 ; 1], l’encadrement : 2

1 12

x xx e x−− ≤ ≤ − + .

d. En déduire un encadrement de 2te− pour tout t appartenant à [0 ; 1].

e. Établir l’encadrement : ( ) ( )

2 23

3 2 30 1nIn n≤ ≤

+ +.

f. Donner une valeur de p telle que Ip ≤ 10−2.

1. 63. Puissances et factorielles,

4 points 1. Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 69

a. Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, ! !

n kk k

n k≤ .

b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à k, ! !

nn kx x k

n k k ≤ ×

.

c. Montrer que lim 0!

n

n

x

n→+∞= .

2. a. Montrer que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, 1

1!

nn

n

−≥ (on pourra écrire

1

!

nn

n

− comme un produit de n−1

facteurs supérieurs ou égaux à 1).

b. En déduire que lim!

n

n

n

n→+∞= +∞ .

1. 64. Sommes et fonction ln,

7 points I. Première partie

On appelle f et g les deux fonctions définies sur l’intervalle [0 ; +∞ [ par

( ) ln(1 )f x x x= + − et 2

( ) ln(1 )2

xg x x x= + − + .

1. Étudier les variations de f et de g sur [0 ; +∞ [.

2. En déduire que pour tout 0x ≥ , 2

ln(1 )2

xx x x− ≤ + ≤ .

II. Deuxième partie

On se propose d’étudier la suite (un) de nombres réels définie par : 13

2u = et 1 1

11

2n n n

u u+ + = +

.

1. Montrer par récurrence que un > 0 pour tout entier naturel 1n ≥ .

2. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel 1n ≥ :

2

1 1 1ln ln 1 ln 1 ... ln 1

2 2 2n n

u = + + + + + +

.

3. On pose 2

1 1 1...

2 2 2n n

S = + + + et 2

1 1 1...

4 4 4n n

T = + + +

À l’aide de la première partie, montrer que : 1

ln2n n n nS T u S− ≤ ≤ .

4. Calculer Sn et Tn en fonction de n. En déduire lim nn

S→+∞

et lim nn

T→+∞

.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 70

5. Étude de la convergence de la suite (un).

a. Montrer que la suite (un) est strictement croissante.

b. En déduire que (un) est convergente. Soit l sa limite.

c. On admet le résultat suivant : si deux suites (vn) et (wn) sont convergentes et telles que n nv w≤ pour tout n entier

naturel, alors lim limn nn n

v w→+∞ →+∞

≤ .

Montrer alors que 5

ln 16

l≤ ≤ et en déduire, un encadrement de l.

1. 65. Indice de Gini,

9 points On s’intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d’une entreprise. Les fonctions f

associées définies sur l’intervalle [0 ; 1] doivent vérifier les conditions suivantes :

(1) f(0) = 0 et f(1) = 1 ;

(2) f est croissante sur l’intervalle [0 ; 1] ;

(3) Pour tout réel x appartenant à l’intervalle [0 ; 1], f(x) ≤ x.

Le plan est rapporté au repère orthonormal R=( ; , )O i j� �

, unité graphique 10 cm.

I. Étude d’un modèle

On appelle g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par g (x)= xex−1.

1. Prouver que g vérifie les conditions (1) et (2).

2. Montrer que ( )( ) xxg x x e e

e− = − et en déduire que g vérifie la condition (3).

3. Tracer les droites d’équations y = x et x = 1 et la courbe représentative de g dans le repère R.

II. Un calcul d’indice

Pour une fonction f vérifiant les conditions (1), (2) (3), on définit un indice If égal à l’aire exprimée en unité d’aire, du

domaine plan M délimité par les droites d’équations y = x, x = 1 et la courbe représentative de f .

1. Justifier que [ ]1

0( )fI x f x dx= −∫ .

2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’indice Ig, associé à g.

3. On s’intéresse aux fonctions fn, définies sur l’intervalle [0 ; 1] par 2

( )1

n

nx

f xx

=+

où n est un entier naturel supérieur en

égal à 2. On admet que ces fonctions vérifient les conditions (1), (2), (3) et on se propose d’étudier l’évolution de leur

indice In lorsque n tend vers l’infini.

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 71

a. On pose [ ]1

0( )n nI x f x dx= −∫ et

1

0( )n nu f x dx= ∫ . Prouver que

1

2n nI u= − .

b. Comparer 1

1

nt

t

+

+ et

1

nt

t+ sur l’intervalle [0 ; 1] ; en déduire que la suite (un) est décroissante.

c. Prouver que pour tout réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1], 1

01

nnt

tt

+≤ ≤

+.

d. En déduire que pour tout entier naturel n ≥ 2, 2

01nu

n≤ ≤

+.

e. Déterminer alors la limite de In quand n tend vers l’infini.

1. 66. Accroissements finis,

8 points

I. Étude d’une fonction f

On appelle f la fonction définie sur l’intervalle 1

;2

I = − + ∞ par f(x) = ln(1+2x).

1. Justifier que f est strictement croissante sur l’intervalle I.

2. Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers 1

2− .

3. On considère la fonction g définie sur l’intervalle I par g(x)= f(x)−x.

a. Étudier les variations de g sur l’intervalle I.

b. Justifier que l’équation g(x) = 0 admet deux solutions : 0 et une autre, notée β , appartenant à l’intervalle [1 ; 2].

c. En déduire le signe de g(x) pour x appartenant à l’intervalle I.

4. Justifier que pour tout réel x appartenant à l’intervalle ]0 ; β [, f(x) appartient aussi à ]0 ; β [.

II. Étude d’une suite récurrente

On appelle (un), n ≥ 0 la suite définie par un+1 = f(un) et u0 = 1.

1. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un appartient à ]0 ; β [.

2. Démontrer par récurrence que la suite (un) est croissante.

3. Justifier que la suite (un) est convergente.

III. Recherche de la limite de la suite (un)

1. Montrer que pour tout réel x ≥ 1, 2

( )3

f x ≤ .

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 72

2. Recherche de la limite de la suite (un) :

a. Démontrer que pour tout entier naturel n, n ≥ 0, ( )0

2'( )

3 nu

f t dt uβ

β≤ −∫ .

b. En déduire que pour tout entier naturel n, ( )12

3n nu uβ β+− ≤ − , puis à l’aide d’un raisonnement par récurrence que

20

3

n

nuβ ≤ − ≤

.

c. Quelle est la limite de la suite (un) ?

1. 67. Suite récurrente+intégrale,

5 points On considère les suites (un) et (vn) définies, pour tout entier naturel n non nul, par :

1

1

1

1, 2n n

u

u u nn−

= = + ≥

et lnn nv u n= − pour 1n ≥ .

1. a. Calculer u2, u3 et u4.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul : 1

1n

n

k

uk

=

=∑ .

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel k non nul : 11 1 1

1

k

kdx

k x k

+≤ ≤

+ ∫ .

b. En déduire que, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, on a les inégalités suivantes :

11 lnn nu n u

n− ≤ ≤ − et 0 1nv≤ ≤ .

c. En déduire le sens de variation de la suite (vn).

3. Montrer que la suite (vn) converge. On note γ la limite de la suite (vn) (on ne cherchera pas à calculer γ ).

Quelle est la limite de la suite (un) ?

1. 68. Intégrale+suite+calcul de exp(2),

7 points

On s’intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers 2e .

On définit, pour tout entier naturel 1n ≥ , l’intégrale ( )2

0

12

!n x

nI x e dxn

= −∫ .

1. Calculer I1.

2. Établir que pour tout entier naturel 1n ≥ , 220 ( 1)

!

n

nI en

≤ ≤ − .

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 73

3. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel 1n ≥ , 1

12

( 1)!

n

n nI In

+

+ = −+

.

4. Démontrer par récurrence que 2

2 2 2 21 ...

1! 2! !

n

ne In

= + + + + + .

5. On pose, pour tout entier naturel 1n ≥ , 2

!

n

nun

= .

a. Calculer 1n

n

u

u+ et prouver que pour tout entier naturel 3n ≥ , 1

1

2n nu u+ ≤ .

b. En déduire que pour tout entier naturel 3n ≥ , 3

31

02

n

nu u−

≤ ≤

.

6. En déduire la limite de la suite (un) puis celle de la suite (In).

7. Justifier enfin que : 2 3

2 2 2 2 2lim 1 ...

1! 2! 3! !

n

ne

n→+∞

= + + + + +

.

1. 69. Intégrale et suite, 8 points

Partie I

On donne un entier naturel n strictement positif, et on considère l’équation différentielle :

(En) '!

nxx

y y en

−+ = .

1. On fait l’hypothèse que deux fonctions g et h, définies et dérivables sur ℝ , vérifient, pour tout x réel :

g (x)= h(x)e−x .

a. Montrer que g est solution de (En) si et seulement si, pour tout x réel, '( )!

nxh x

n= .

b. En déduire la fonction h associée à une solution g de (En), sachant que h(0) = 0. Quelle est alors la fonction g ?

2. Soit ϕ une fonction dérivable sur ℝ .

a. Montrer que ϕ est solution de (En) si et seulement si ϕ − g est solution de l’équation : (F) y’ + y = 0.

b. Résoudre (F).

c. Déterminer la solution générale ϕ de l’équation (En).

d. Déterminer la solution f de l’équation (En) vérifiant f (0) = 0.

Partie II

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 74

Le but de cette partie est démontrer que 0

1lim

!

n

nk

ek→+∞

=

=∑ (on rappelle que par convention 0! = 1).

1. On pose, pour tout x réel, 0( ) xf x e−= , 1( ) xf x xe−= .

a. Vérifier que f1 est solution de l’équation différentielle : y’ + y = f0.

b. Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction fn comme la solution de l’équation différentielle y’ + y =

fn−1 vérifiant fn(0) = 0.

En utilisant la Partie I, montrer par récurrence que, pour tout x réel et tout entier n ≥ 1 : ( )!

nx

nx

f x en

−= .

2. Pour tout entier naturel n, on pose 1

0( )n nI f x dx= ∫ (on ne cherchera pas à calculer In).

a. Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0 ; 1], l’encadrement : 0 ( )!

n

nx

f xn

≤ ≤ . En

déduire que ( )

10

1 !nI n≤ ≤

+0, puis déterminer la limite de la suite (In).

b. Montrer, pour tout entier naturel k non nul, l’égalité : 11

1

!k kI I ek

−−− = − .

c. Calculer I0 et déduire de ce qui précède que : 1

0

1!

n

n

k

eI

k

=

= −∑ .

d. En déduire finalement : 0

1lim

!

n

nk

ek→+∞

=

=∑ .

1. 70. Intégrale et suite

Partie A : Étude d’une fonction

On considère la fonction f définie sur ℝ par 2( ) 1 2x xf x e e− −= + − et C sa courbe représentative dans un plan rapporté à

un repère orthogonal ( ; , )O i j� �

, (unités graphiques : 3 cm sur l’axe des abscisses et 8 cm sur l’axe des ordonnées).

1. a. Soit Ie polynôme P défini sur ℝ par P(X) = 1+X −2X2. Étudier Ie signe de P(X).

b. En déduire le signe de ( )f x sur ℝ .

c. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

2. Déterminer la limite de la fonction f en +∞ . Qu’en déduire pour la courbe C ?

3. Vérifier que ( )2 2( ) 2x x xf x e e e−= + − , puis déterminer la limite de f en −∞ .

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 75

4. a. Soit f ’ la fonction dérivee de la fonction f, calculer f ’(x).

b. Montrer que f ’(x) a Ie même signe que (4−ex ), puis étudier Ie signe de f ’(x).

c. Dresser Ie tableau de variations de f. On montrera que Ie maximum est un nombre rationnel.

5. a. Démontrer que la courbe C et la droite D d’équation y = 1 n’ont qu’un point d’intersection A dont on déterminera

les coordonnées.

b. Étudier la position de la courbe C par rapport a la droite D.

6. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe C au point A.

7. Tracer les droites D et T , puis la courbe C.

Partie B : Étude d’une suite

1. Calculer l’aire, en unités d’aire, de la partie de plan limitée par la courbe C, l’axe des ordonnées et la droite D.

2. On considère la suite (un) définie sur ℕ * par : [ ]ln 2

1 ln 2( ) 1

n

nn

u f x dx+

− += −∫ .

a. Démontrer que la suite (un) est à termes positifs.

b. Donner une interprétation géométrique de (un).

3. a. En utilisant Ie sens de variation de f , montrer que, pour tout n ≥ 2 :

si x ∈ [(n −1)+ln2 ; n +ln 2] alors f(n +ln 2)−1 ≤ f(x)−1 ≤ f[(n −1)+ln2]−1.

b. En déduire que, pour tout n, n ≥ 2, on a : f(n +ln 2)−1 ≤ un ≤ f[(n −1)+ln2]−1.

c. Démontrer que la suite (un) est décroissante à partir du rang 2.

d. Montrer que la suite (un) est convergente.

4. Soit la suite (Sn) définie pour n > 0, par Sn = u1 +u2 + u3 +. . .+ un.

a. Écrire Sn à l’aide d’une intégrale.

b. Interpréter géométriquement Sn.

c. Calculer Sn et déterminer la limite de la suite (Sn).

1. 71. Intégrale et suite,

On considère la fonction f définie sur ℝ par : 1

( )x x

f xe e−=

+ et on désigne par Γ sa courbe représentative dans un

repère orthogonal ( ; , )O i j� �

.

Partie A

1. Étudier la parité de f . Que peut-on en déduire pour la courbe Γ ?

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 76

2. Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, x xe e− ≤ .

3. a. Déterminer la limite de f en +∞ .

b. Étudier les variations de f sur [0 ; +∞ [.

4. On considère les fonctions g et h définies sur [0 ; +∞ [ par 1

( )x

g xe

= et 1

( )2 x

h xe

= .

Sur la figure ci-dessous sont tracées les courbes représentatives de g et h, notées respectivement C1 et C2.

a. Démontrer que, pour tout réel x positif ou nul, h(x) ≤ f(x) ≤ g(x).

b. Que peut-on en déduire pour les courbes Γ , C1, et C2 ? Tracer Γ sur l’annexe, en précisant sa tangente au point

d’abscisse 0.

Partie B

Soit (In) la suite définie sur ℕ par : 1

( )n

nn

I f x dx+

= ∫ .

1. Justifier l’existence de (In), et donner une interprétation géométrique de (In).

2. a. Démontrer, que pour tout entier naturel n, f(n +1) ≤ In ≤ f (n).

b. En déduire que la suite (In) est décroissante.

c. Démontrer que la suite (In) est convergente et determiner sa limite.

Partie C

Soit (Jn) la suite définie sur ℕ par : 0

( )n

nJ f x dx= ∫ .

1. En utilisant l’encadrement obtenu dans la question A. 4. a., démontrer que, pour tout entier naturel n :

( )11 1 1

2n n

ne J e− −− ≤ ≤ − ≤ ..

2. Démontrer que la suite (Jn) est croissante. En déduire qu’elle converge.

3. On note L la limite de la suite (Jn) et on admet le théorème suivant : « Si un, vn et wn sont trois suites convergentes de

limites respectives a, b et c et si, à partir d’un certain rang on a pour tout n, un ≤ vn ≤ wn, alors a ≤ b ≤ c ».

Donner un encadrement de L.

4. Soit u la fonction définie sur ℝ par 2

1( )

1u x

x=

+. On note v la primitive de u sur ℝ telle que (1)

4v

π= .

On admet que la courbe représentative de v admet en +∞ une asymptote d’équation 2

yπ= .

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 77

a. Démontrer que, pour tout réel x,

( )2( )

1

x

x

ef x

e=

+.

b. Démontrer que, pour tout réel x, f est la dérivée de la fonction ( )xx v e֏ .

c. En déduire la valeur exacte de L.

1. 72. Intégrale et suite, ESME-SUDRIA 2001

On considère les suites de termes généraux 2

1

(ln )n

nt

u dtt

=

∫ et (ln 2)nnv = .

1. Montrer que la suite (un) est décroissante.

2. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ , n nu v≤ .

3. Démontrer que lim 0nnu

→+∞= .

4. Démontrer que lim 0nn

n

u

v→+∞

=

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1,1

0 1 2 3 4 5 6

y

x

Club math du collège privé laic « les pigeons » sur http://collegelespigeons.e-monsite.com

TLES S suites exercices corrigés

Hugues SILA Page 78

1. 73. Intégrale et suite, EFREI 2001

On considère les intégrales In dépendant de l'entier n définies par 1

20

( 1)

(1 )n

n x

xe

I dxe

+=

+∫ .

1. Trouver les dérivées de ln(1 )xe+ et de 1(1 )xe −+ .

2. Calculer I0 + I1 . Calculer ensuite I0 et en déduire I1.

3. Calculer, en utilisant encore une simplification sous le signe « intégrale », le nombre I1 + I2 et en déduire I2.

4. En remarquant que l'on peut écrire 3 ( 1)( 1)x x x x xe e e e e= − + + , calculer le nombre I2 + I3 et en déduire I3.

5. Démontrer, lorsque n est impair, la formule 1

( )1

nuP u

u

+ =+

où P est le polynôme de degré n – 1 défini par

2 3 1 1( ) 1 ... ( 1)n nP u u u u u− −= − + − + + − .

En déduire une primitive de la fonction 1

nuu

u+֏ s'exprimant à l'aide d'un polynôme P1(u) que l'on définira et d'une

fonction logarithme.

Montrer que Jn = In + In + 1 peut se mettre sous la forme 1

0 1n

nx

xe

J dxe

=+∫

En utilisant ce qui précède, déterminer, lorsque n est impair, la valeur de Jn en utilisant les nombres P1(e), P1(1) et un

logarithme.

6. Déterminer de même un polynôme Q(u) tel que, n étant pair, 1

( )1

nuQ u

u

−=+

. En déduire dans ce cas la valeur de Jn = In +

In+1 à l'aide d'un certain polynôme à définir et d'un logarithme.

7. Décrire une méthode permettant la détermination de proche en proche des intégrales In . Calculer I4.


Recommended