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Leçon 4: Frottement1. Introduction (Benson 6.1)
• On pose sur une table horizontale un objet de masse m. Si l'objet est au
repos, il est soumis à deux forces, son poids (
mr
g) et la réaction de la tabler
N = mr
g. Ensuite, on tente de le déplacer en appliquant la force horizontaler
F : une force de frottement statique (
r
f ) tend à s'y opposer.
mr
g
r
N
mr
g
r
N
r
F
r
f
Si l'objet est en
mouvement, une force de
frottement cinétique
existe; elle est dirigée
dans le sens opposéà la vitesse.
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• Le frottement gêne le mouvement des objets, cause de l'usure et convertit
de l'énergie cinétique en chaleur. Mais, le frottement a aussi des avantages:
il permet la marche, la circulation ferroviaire/automobile, etc.
• Il existe du frottement solide-solide (exemple ci-dessus), solide-fluide
(mouvement d'un objet dans un fluide), ainsi que des cas intermédiaires(lubrification). La nature des processus physiques générant une force de
frottement est souvent complexe (voir le “Sujet connexe” à la fin du Chp. 6
de Benson). Heureusement, il existe des paramétrisations simples, qui
sont généralement considérées comme satisfaisantes dans nombre de
modèles de mécanique macroscopique.
2. Frottement solide-solide (Benson 6.1)
• On sait qu'il faut une force minimale pour commencer à faire glisser un
objet. Ensuite, pour le maintenir en mouvement à une vitesse constante, il
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faut une force moins grande. C'est pourquoi Euler (1748) fit la distinction
entre frottement statique et frottement cinétique.
• La force de frottement cinétique obéit assez bien aux trois lois
d'Amontons. Cette force est
- proportionnelle à la charge (c-à-d la force normale à la surface decontact);
- indépendante de l'aire (apparente) de contact (!);
- indépendante de la norme de la vitesse.
• On considère un objet au repos en contact avec un autre. La surface de
contact subit une force normaler
N . On applique au corps une forcer
F qui
grandit progressivement. Tant que la force appliquée n'atteint pas μ s
r
N , la
force de frottementr
fs s'adapte pour maintenir l'équilibre statique:r
fs μ s
r
N (1)μ s[ ] =[r
fs ]
[r
N ]=
MLT 2
MLT 2 =1
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où μ s est le coefficient de frottement statique, qui est adimensionnel.
Dès que le corps est en mouvement, la force de frottement vautr
fc = μ c
r
Nr
uv (2)
où μ c est le coefficient de frottement cinétique, qui est adimensionnel; levecteur unitaire
r
uv est parallèle à la vitesse:
r
uv =
r
v
r
v
(3)
La force de frottement est dirigée dans le sens opposé à la vitesser
v (d'où le
signe “-” dans (2)), mais sa norme est indépendante de la vitesse, car le
vecteurr
uv est unitaire (
r
u =1). En général, on a
μ c < μ s (4)
• La valeur des coefficients de frottement statique et cinétique dépend
fortement des matériaux en contact (voir Tableau 6.1 de Benson).
μ c[ ] =
[r
fc ]
[r
N ]=
MLT 2
MLT 2 =1
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• Application: équilibre sur un plan incliné. Un corps de masse m est au
repos sur un plan incliné d'un angle avec l'horizontale. Déterminer le
coefficient de frottement statique.
y
x
r
j
r
i
mr
g
r
N
mr
g
mr
g//
r
fs
mr
g = mgcos r
j
mr
g// =mg sin r
i
plan incliné
coeff. de frottement: s, c
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Le corps est soumis à deux forces, sont poids mr
g et la réaction du plan
inclinér
R. Le corps étant au repos, ces deux forces doivent être en équilibre
(leur somme doit être nulle):
mr
g + r
R = 0 (5)
On décompose le poids en une partie normale au plan incliné ( mr
g) et unepartie parallèle au plan incliné (
mr
g//):
mr
g = mr
g// + mr
g = mgsin r
i
mr
g//
1 24 34
+ (mgcos )r
j
mr
g
1 244 344
(6)
On décompose aussi la réaction du plan incliné en une partie normale ( r
N)
et une partie tangentielle (
r
fs), qui est due au frottement. On ar
R =
r
fs +
r
N = f sr
ir
fs
{
+ N r
jr
N
{
(7)
On substitue (6)-(7) dans (5), ce qui conduit à
(mgsin f s
=0
1 24 34)r
i + (mgcos + N
=0
1 244 344)r
j = 0 (8)
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L'équilibre du poids et de la réaction du plan incliné impose donc
f s = mgsin (9)
N = mgcos (10)
On substitue (9)-(10) dans la formule (1) et on obtient
f s
N =
mgsin
mgcos = tan μ s (11)
Si l'on augmente l'inclinaison (c-à-d augmenter ), l'équilibre reste possible
aussi longtemps que tan μ s. Si tan >μ s, alors l'équilibre n'est pluspossible, et le corps doit glisser. Il existe donc une valeur critique de
l'inclinaison, crit , telle que
tan crit = μ s (12)
Ainsi, il vient
crit = arctanμ s équilibre possible
> crit
= arctanμ s équilibre impossible glissement
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• Détermination expérimentale du coefficient de frottement statique. On
pose un corps sur un plan horizontal et on l'incline très lentement jusqu'aumoment où le corps se met à glisser. L'angle correspondant est l'angle
critique, crit. On utilise alors (12) pour déterminer le coefficient de
frottement statique, c-à-d μ s = tan crit . L'angle critique ne dépend pas de la
masse du corps.
• Application: glissement avec frottement sur un plan incliné. Un corps
de masse m descend un plan incliné d'un angle avec l'horizontale, avec
> crit. Si X (t ) est la coordonnée du corps mesurée dans le sens de la
descente, la vitesse du corps est
r
v(t ) = d
dt
X (t )
=v x (t )
123
r
i (13)
Puisque le corps descend le plan incliné, le vecteur unitaire pointant dans le
sens de la vitesse estr
uv =
r
i .
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Comme dans le cas où le corps est au repos, il est soumis à deux forces, son
poids mr
g et la réaction du plan inclinér
R =
r
fc +
r
N = f cr
ir
fc
{
+ N r
jr
N
{
(14)
La composante tangentielle de la réaction,
r
fc, est la force de frottementcinétique — et non plus la force de frottement statique. La relation (2)
conduit à
f c = μ c N (15)
Le corps restant en contact avec le plan incliné, la résultante des forces
normales au plan doit être nulle; la relation (10) reste donc valable. En
combinant (10) et (15), il vient
f c = μ
cmgcos
(16)On applique maintenant la seconde loi de Newton
md
dt v x (t ) = mgsin
mr
g//•r
i
1 24 34+ (μ cmgcos )
force de friction
1 244 344=mg(tan
>μ s
{μ c )cos = const. (17)
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La force étant constante, le corps subit un mouvement uniformément
accéléré:
v x (t ) = v x,0 + [g(tan μ c )cos ]t (18)
X (t )=
X 0 +
v x,0 t +
[g(tan
μ c )cos ]
a x =const.
1 24 44 34 44
t 2
2 (19)
• Dans des systèmes mécaniques, pour réduire le frottement entre deux
solides (et lutter contre ses conséquences parfois très néfastes comme legrippage), on fait en sorte qu'une mince couche de liquide lubrifiant se
maintienne entre les deux corps. Dans ce cas, il n'y a plus de contact direct
entre les deux solides et la force de frottement est grandement diminuée.
3. Frottement solide-fluide (Benson 6.4)
• Un solide qui se meut dans un fluide subit une force aérodynamique
(due à l'écoulement du fluide autour du corps), que l'on décompose en
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traînée (
r
f D), qui s'oppose au mouvement, et portance (
r
f L), qui est
normale à la vitesse du corps ( r
v ). Ici, on suppose que la masse volumique
du solide est nettement plus grande que celle du fluide: on peut négliger lapoussée d'Archimède.
• La nature des forces aérodynamiques est complexe. Heureusement, onpeut souvent les paramétriser de façon simple:
r
f D = 1
2
C D Ar
v2 r
uv (20)
r
f L = 1
2C L A
r
v2 r
u (21)
où:
r
u est un vecteur unitaire (
r
u
=1) qui est normal à la vitesse
(
r
u •r
v = 0) dont l'orientation dépend de la forme de l'objet et de son
orientation par rapport à l'écoulement;
A est la surface (frontale) de l'objet (que l'on définit selon les
conventions en vigueur dans le domaine concerné);
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est la masse volumique du fluide dans lequel se meut le corps;
C D et C L sont les coefficients de traînée et de portance; ils sontadimensionnels.
C D ,C L[ ] =
r
f D ,r
f L[ ] [ ] A[ ]
r
v[ ]2 =
MLT 2
( ML3) L2( LT 1)2 =
MLT 2
MLT 2 =1 (22)
• Les coefficients de portance et de traînée ne dépendent pas de la masse
de l'objet (car la masse de l'objet n'influence pas l'écoulement du fluideautour de lui), mais dépendent de la vitesse de l'objet, de sa forme et de
son orientation. A haute vitesse, le coefficient de traînée tend à être
constant, tandis qu'à basse vitesse il tend à être inversément proportionnel à
la vitesse. Donc, à basse vitesse, on peut exprimer la traînée comme suit:r
f D = r
vr
uv = r
v (23)[ ]=[r
f D ]
[r
v]=
MLT 2
LT 1= MT 1
voir (3) :r
v
r
uv =
r
v
r
v
r
v
=
r
v
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où le coefficient ne dépend ni de la vitesse, ni de la masse de l'objet
étudié. Par contre, il dépend de sa forme et de son orientation, et de lamasse volumique du fluide dans lequel l'objet de déplace.
• Application: les voitures de compétition sont légères (moindre inertie) et
profilées (moindre traînée). Inconvénient de la légèreté: force normaleappliquée sur la piste faible, donc force de frottement faible, donc peu de
motricité et de “tenue de route” (possibilité de patinage ou dérapage).
Solution: forme qui induit une portance dirigée vers le bas, le “poids
aérodynamique”. Celui-ci se combine au poids réel, mais n'implique pasune augmentation de l'inertie. En d'autres termes, la voiture a une masse ou
une inertie faible, mais un grand poids (apparent) — à grande vitesse.
Enzo Ferrari, fondateur de la firme éponyme,
aurait déclaré: “L'aérodynamique, c'est pour ceux
qui ne savent pas construire un moteur”.On appréciera la pertinence de cette affirmation...
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4. Chute dans un milieu résistant (Benson 6.4)
• On étudie le mouvement à basse vitesse en milieu résistant d'une particule
de masse m. Elle est soumise à deux forces: le poids (=const.) et la traînée
(
r
v). On peut montrer que la trajectoire s'inscrit dans un plan vertical.
r
i
r
k r
r (t )
mr
g = mgr
k
r
v(t )
r
f D = r
v
trajectoire
• Sans perte de généralité, on peut supposer que le plan du mouvement est
celui des vecteurs orthonormés (r
i ,r
k ). Le problème différentiel à résoudre
est le suivant:
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m
d 2
dt 2
r
r (t )=
m
d
dt
r
v(t )=
mg
r
k
r
v(t ) (24)r
r (0)=r
r0 ,r
v(0)=r
v0 (25)
• On pose
=
m
(26)
Ainsi 1 est un temps caractéristique associé à la friction. La solution de
(24)-(25) est
r
v(t ) = e t r
v0 + 1 e t
r
g (27)
r
r (t ) = r
r0 + 1
e t
r
v0 1
t
e t
2
r
g (28)
On se persuade que cette solution est correcte en vérifiant que (27) est la
dérivée de (28), et que (27)-(28) satisfont (24)-(25).
[ ]= [ ][m]
= MT
1
M = T 1
7/25/2019 L4_r1
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LPHY 1113 B & D, Physique générale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eric Deleersnijder, www.ericd.be) L4.16
• Les expressions (27)-(28) semblent très différentes de celles que l'on
obtient en supposant que la traînée est nulle ( = 0) (voir Sections L3.3 etL3.4):
r
v(t ) = r
v0 + t r
g (29)
r
r (t ) = r
r0 + t r
v0 + t 2
2
r
g (30)
Pourtant, dans les premiers instants, les trajectoires se ressemblent (voir
figure ci-dessous).
r
i
r
k
r
r0
r
v0
= 0
(traînée nulle)
= 1
= 2
0 < 1 < 2
Trajectoires obtenues
pour des positions et vitesses
initiales identiques,et différentes valeurs de .
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LPHY 1113 B & D, Physique générale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eric Deleersnijder, www.ericd.be) L4.17
• Le développement de Taylor de e t est:
e t =
(1)n( t )n
n! =
n=0
1 t + ( t )2
2
( t )3
6 + ... (31)
Pour t << 1, c-à-d t <<1, on peut tronquer (31) en ne conservant que les
premiers termes, ce qui conduit aux approximations illustrées ci-dessous.
e
t
1 t
1
t + ( t )2
2
1 t +( t )2
2
( t )3
6
Les approximationspolynomiales sont d'autantmeilleures que t <<1
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•
On prende t ~ 1 t +
( t )2
2
( t )3
6 , t 0 (32)
On substitue (32) dans (27)-(28) et en se limitant au premier ordre en t , on
aboutit aux expressions asymptotiques suivantes
r
v(t ) ~ (r
v0 + t r
g)
friction nulle( =0)
1 24 34
r
v0 +
t
2
r
g
( t )
correction dueà la friction
1 244 344
, t 0 (33)
r
r(t ) ~r
r0 + t r
v0 +
t 2
2
r
g
friction nulle( =0)
1 244 34 4
t
2
r
v0 +
t 2
6
r
g
( t )
correction dueà la friction
1 244 34 4
, t 0 (34)
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LPHY 1113 B & D, Physique générale 1 - Leçon 4 (Mécanique, Eric Deleersnijder, www.ericd.be) L4.19
•
A l'exception d'un mouvement de développant dans le vide, la traînée esttoujours présente. On pourrait donc penser qu'ignorer cette force de friction
n'est jamais acceptable. Les relations asymptotiques (33) et (34) montrent
que cela n'est pas le cas:
Il est légitime de négliger la traînée pour autant que l'on se borne àétudier les premiers instants du mouvement, c-à-d 0 t << 1.
En d'autres termes, la solution obtenue en négligeant la friction (c-à-d en
posant = 0) est une bonne approximation de la solution exacte aussi
longtemps que 0 t << 1, d'où l'importance du temps caractéristique 1
• A mesure que t augmente, le mouvement tend vers un mouvement
rectiligne uniforme dirigé vers le bas:r
v = limt
r
v(t ) = limt
e t rv0 +1 e t
r
g
=
r
g
=
m
r
g = mg
r
k (35)
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Ainsi, quelles que soient la position initiale et la vitesse initiale, la friction
va progressivement annuler la vitesse horizontale et le corps tendra à chuterà la vitesse verticale constante
r
v, que l'on appelle vitesse limite. Ce
comportement est très différent de celui obtenu en négligeant
complètement la friction: dans cette hypothèse, la vitesse horizontale reste
constante et la vitesse de chute augmente indéfiniment. Donc, on aboutit à
la conclusion suivante:
Dès que t est du même ordre de grandeur que 1, la solution obtenue
en négligeant la friction devient irréaliste.
• Pour les grandes valeurs du temps, c-à-d t >> 1, la vitesse est
approximativement constante (et égale à la vitesse limite). L'accélération
est donc négligeable. La résultante des forces agissant sur le corps (poids +traînée) est donc à peu près nulle. D'après (24), on a
0 ~ mgr
k r
v r
v ~ mg
r
k =r
v (36)
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Corps
Parachutiste en chute libre
position verticale
position du saut de l’ange
85
55Parachutiste 6,5
Balle de tennis de table 7
Balle de base-ball 40
Balle de golf 30
Balle en fer (2 cm de rayon) 80
Pierre (1 cm de rayon) 30
Goutte de pluie 10
vL m ⁄ s ( )
La traînée et le poids sont alors approximativement en équilibre.
La plupart des mouvements que l'on observe
dans l'air sont caractérisés par une “haute
vitesse”. La traînée est alors une fonctionquadratique de la vitesse — plutôt qu'une
fonction linéaire. Toutefois, le concept de
vitesse limite reste pertinent. Ci-contre,
quelques valeurs typiques de la vitesselimite dans l'air.
• Tous les mouvements (à “basse vitesse” ou à “haute vitesse”) de chute en
milieu résistant tendent vers une chute verticale à la vitesse limite. C'est
pourquoi ce processus fait l'objet de nombreuses études.
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«Violent»
«Naturel»
«Mixte»Avant le XVIème siècle, on pensait que
la “force du canon” influençait le projectilependant la première partie du trajet, avant que le
mouvement naturel l'emporte progressivement,
entraînant alors le projectile vers le bas. Si cette
description/explication est fausse, l'allure
générale de la trajectoire est compatible avec la
présence de friction.
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Points essentiels
1. La force de frottement tend à s'opposer au mouvement relatif de
deux corps.
2. Pour le frottement solide-solide, on distingue le frottement statiqueet le frottement cinétique. La norme de la force de frottement
cinétique est indépendante de la vitesse et est proportionnelle à la
force de contact normale.
3. Pour le frottement solide-fluide, la force de friction que subit le
solide (la traînée) dépend de la vitesse, de la forme et de
l'orientation du corps.
4. La chute d'un corps en milieu résistant tend toujours vers une
situation où la traînée et le poids sont en équilibre. La vitesse
correspondante (vitesse limite) est verticale et de norme constante.
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