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La théorie des invariants en élasticité

Boris Kolev

Université d’Aix-Marseille

Rennes1er Octobre 2013

B. Kolev (Université d’Aix-Marseille) Invariants en élasticité Rennes 2013-10-01 1 / 36

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Motivations et origine de la collaboration

En mécanique, le calcul des invariants des tenseurs joue un rôleimportant. Les invariants du tenseur d’élasticité, un vieux« serpent de mer », est l’exemple type.Dans la décomposition en facteurs irréductibles (sous SO(3)) dutenseur d’élasticité, apparait un tenseur harmonique d’ordre 4(H4), « version réelle » de la forme binaire d’ordre 8 (S8).Christophe et Reynald ont étudié la stratification en classed’isotropie de S8 (en omettant certaines formes non génériques),nous avons effectué celle de H4 (en omettant certains classestrès anisotropes, celles-ci ayant peu d’intérêt en mécanique).Intérêt commun pour les méthodes effectives de calculd’invariants.

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Sommaire

1 Quelques notions de mécanique des milieux continus

2 Représentations de SO(3) et SL(2,C)

3 Géométrie des espaces d’orbites d’un groupe compact

4 Structure semi-algébrique de l’espace des orbites

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Section 1 - Quelques notions de mécanique desmilieux continus

1 Quelques notions de mécanique des milieux continus

2 Représentations de SO(3) et SL(2,C)

3 Géométrie des espaces d’orbites d’un groupe compact

4 Structure semi-algébrique de l’espace des orbites

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Déformations

En mécanique des milieux continus, les configurations d’unmatériau sont décrites par les plongements

ϕ : Σ→ R3

d’une configuration initiale Σ dans l’espace ambiant.Le tenseur des déformations correspond à l’écart entre lamétrique euclidienne initiale induite q sur Σ et la métriquedéformée par le plongement :

D =12

(ϕ∗q − q)

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Élasticité linéaire

En élasticité linéaire (petites déformations), on fait l’hypothèse queϕ est le flot d’un champ de vecteur u (le déplacement) et onremplace D par son approximation au premier ordre ε :

εij :=12

(Luq)ij =12

(∂ui

∂x j +∂uj

∂x i

).

La théorie des déformations est une théorie métrique : elle utilisela métrique de l’espace ambiant.

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Contraintes

En mécanique des milieux continus, les efforts intérieurs (quiassurent la cohésion du matériau) sont décrits par le tenseur descontraintes, noté σ et introduit par Cauchy en 1822.En langage moderne, ces efforts intérieurs sont décrits par leurpuissance (ou travail élémentaire), représentée par une 1-formesur la variété des métriques riemanniennes définies sur Σ.Lorsque cette puissance ne dépend que des dérivées premièresdu déplacement (fonctionnelle de premier gradient), elle s’écrit

Wg(ε) :=

∫Σσijεij volg ,

où σ est le tenseur des contraintes de Cauchy.

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Loi de comportement élastique

Loi de Hooke (1670) : la déformation d’un ressort estproportionnelle à la force qu’il subit.Plus généralement, en élasticité, une loi de comportement

σ = f (ε)

est un modèle empirique qui décrit le comportement mécaniqued’un matériau.En élasticité linéaire classique, on fait l’hypothèse d’une relationlinéaire entre σ et ε (loi de Hooke généralisée) :

σij = C ijkl εkl .

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Le tenseur d’élasticité

Le tenseur C = (C ijkl) est appelé le tenseur d’élasticité. C’est unegénéralisation tensorielle de la constante de raideur k d’unressort.Il possède les symétries suivantes :

C ijkl = C jikl = C ijlk .

Dans le cas des matériaux hyper-élastiques (quand la puissanceest une 1-forme fermée), on a la symétrie supplémentaire :

C ijkl = Cklij .

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Classification des matériaux

A chaque matériau, correspond un tenseur d’élasticité C maiscette correspondance n’est pas univoque. Elle est relative à uneorientation particulière du matériau dans l’espace (groupe dejauge SO(3)).Du point de vue de l’élasticité linéaire, décrire tous les matériauxhyper-élastiques homogènes, c’est décrire les orbites de lareprésentation de SO(3) sur l’espace de dimension 21 :

E(3) := S2(S2(R3)∗).

Les invariants du tenseurs d’élasticité représentent descaractéristiques mécaniques du matériau, qui généralisent leconcept de « raideur d’un ressort ».

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Exemple : les tenseurs totalement isotropes

Un tenseur C ayant l’isotropie maximale, SO(3), a la forme

C ijkl = λqijδkl + µ (qikqjl + qilqjk )

ou plus simplement :

Cε = λ(tr ε)q + 2µε

où λ et µ sont les nombres de Lamé et q est la métriqueeuclidienne de R3.Cette loi isotrope, qui dépend de 2 paramètres est « la seuleconnue des ingénieurs ».

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Section 2 - Représentations de SO(3) et SL(2,C)

1 Quelques notions de mécanique des milieux continus

2 Représentations de SO(3) et SL(2,C)

3 Géométrie des espaces d’orbites d’un groupe compact

4 Structure semi-algébrique de l’espace des orbites

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Représentations irréductibles de SO(3)

SO(3) agit naturellement sur R[x , y , z] et cette action préserve lesous-espace R[x , y , z]n, des polynôme homogènes de degrén ∈ N.Comme le laplacien est invariant par SO(3), le sous-espace Hn deR[x , y , z]n des polynômes harmoniques est invariant.On peut également représenter Hn par l’espace des tenseurssymétriques, d’ordre n, de trace nulle. On parle donc aussi detenseurs harmoniques.On montre que Hn est un sous-espace irréductible et que toutereprésentation irréductible de SO(3) est isomorphe à un Hn.

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Décomposition harmonique de E(3)

La décomposition harmonique de E(3) s’écrit :

H4 ⊕ 2H2 ⊕ 2H0

Plus précisément, un tenseur C ∈ E(3) s’écrit :

Cijkl = λqijqkl + µ(qikqjl + qilqjk )

+ qijakl + qklaij

+ qikbjl + qjlbik + qilbjk + qjkbil

+ Dijkl ,

où a et b sont des formes quadratiques de trace nulle, λ, µ desscalaires, D un tenseur d’ordre 4, totalement symétrique de tracenulle et q la métrique euclidienne de R3.

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Lien avec les formes binaires

Toute représentation de SO(3) s’étend en une représentation deSU(2).Toute représentation algébrique réelle V de SU(2), s’étend en unereprésentation complexe de SL(2,C) sur le complexifié C⊗ V .Cette correspondance préserve l’irréductibilité. En particulier :

C⊗Hn ' S2n,

où S2n est l’espace des formes binaires d’ordre 2n.On montre également la relation suivante entre les algèbresd’invariants :

C⊗ R[V ]SO(3) ' C[C⊗ V ]SL(2,C).

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Les invariants simples du tenseur d’élasticité

Les invariants qui ne dépendent que d’un seul des élémentsirréductibles λ, µ, a, b, ou D sont appelés invariants simples.λ, µ sont des invariants de degré 1.L’algèbre des invariants simples de a est engendrée partr(a2), tr(a3), idem pour b.Le calcul des invariants simples de D se ramène au calcul desinvariants de la forme binaire de degré 8 (Shioda, 1967), àcondition de pouvoir les retranscrire dans ce contexte réel(Boehler-Kirillov-Onat, 1994).

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Les invariants joints du tenseur d’élasticité

Une base d’intégrité du tenseur d’élasticité ne semble toujourspas connu à ce jour.Nombreuses tentatives : exemple le polynôme de Betten (1987)

BC(λ, µ) = det(C − Cλ,µ),

où Cλ,µ est le tenseur totalement isotrope.Sur H4, ce polynôme n’apporte rien de plus que le polynômecaractéristique

BD(λ, µ) = (3λ+ 2µ)χrD(2µ),

où χD(λ) = λχrD(λ).

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Section 3 - Géométrie des espaces d’orbites d’ungroupe compact

1 Quelques notions de mécanique des milieux continus

2 Représentations de SO(3) et SL(2,C)

3 Géométrie des espaces d’orbites d’un groupe compact

4 Structure semi-algébrique de l’espace des orbites

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Orbites et classes d’isotropie

Soit (ρ,G,V ) une représentation d’un groupe de Lie compact G.

Remarque fondamentale : l’algèbre des invariants polynomiauxR[V ]G d’un groupe de Lie réel, compact, G, est de type finie etsépare les orbites (Stone-Weierstrass).Une classe de conjugaison [H] de G est une classe d’isotropie si ilexiste v ∈ V tel que :

Gv := {g ∈ G | g · v = v} = H.

Deux vecteurs sont dit dans la même classe d’isotropie si leurssous-groupes d’isotropie sont conjugués dans G.Il existe seulement un nombre fini de classes d’isotropie.

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Stratification par les classes d’isotropie

Pour chaque classe d’isotropie [H], on définit la strate :

Σ[H] := {v ∈ V | [Gv ] = [H]} .

Sur les classes de conjugaison des sous-groupes fermés d’ungroupe de Lie compact G, la relation

[H1] � [H2]⇔ ∃g ∈ G | H1 ⊂ gH2g−1

définit un ordre partiel, qui induit un ordre partiel (inverse) sur lesstrates Σ[H].

L’adhérence d’une strate, Σ[H], est l’ensemble des points v dontl’isotropie [Gv ] � [H]. C’est l’union des strates plus petites.

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Les huit classes d’élasticité (Forte et Vianello, 1996)

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Espaces de point fixes et normalisateurs

Soit H un sous-groupe de G, N(H) son normalisateur et

V H := {v ∈ V | h.v = v , ∀h ∈ H} .

LemmeV H est N(H)-invariant.Si H est un sous-groupe d’isotropie alors N(H) est le sous-groupemaximal de G qui laisse invariant V H .Si H est un sous-groupe d’isotropie, alors

ρΓH : ΓH −→ GL(V H), ΓH := N(H)/H.

est une représentation fidèle.

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Tranches linéaires et monodromies

Soit H un sous-groupe d’isotropie.

Σ[H] ∩ V H est un ouvert dense de V H .

Si ΓH est trivial, alors V H intersecte chaque orbite de Σ[H] en unpoint unique, V H est une tranche linéaire pour Σ[H].

Si ΓH est fini alors V H intersecte chaque orbite de Σ[H] en unmême nombre fini de points, qui sont permutés par ΓH , V H estencore une tranche linéaire pour Σ[H] mais avec la monodromieΓH .Le degré de la tranche se calcule a priori et vaut card(ΓH).

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Exemple : action de SO(3) sur les matricessymétriques de R3

Soit H = {e, σx , σy , σz}, le sous-groupe d’isotropie d’une matricediagonale générique, alors :

V H est le sous-espace des matrices diagonales.N(H) = O est le groupe du cube.ΓH = S3 est le groupe symétrique à 3 éléments, qui permute leséléments diagonaux.L’orbite de toute matrice symétrique rencontre V H qui est doncune tranche linéaire globale (avec la monodromie S3).L’ordre sur les classes d’isotropies est total

[D2] � [O(2)] � [SO(3)] .

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N(H)/H pour les sous-groupes fermés de SO(3)

N(SO(3))/SO(3) = 1,N(O(2))/O(2) = 1,N(SO(2))/SO(2) = Z2,N(O)/O = 1,N(I)/I = 1,N(T)/T = Z2,N(Zn)/Zn = O(2) pour n ≥ 2 et N(1)/1 = SO(3),N(Dn)/Dn = Z2 pour n ≥ 3 et N(D2)/D2 = S3.

Remarque : ce sont tous des groupes finis sauf pour les groupescycliques.

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Dimension des strates

Chaque strate Σ[H] est un fibré de fibre type G/H dont la base estdifféomorphe à

(V H ∩ Σ[H])/ΓH .

On a la relation

dim Σ[H] = dim V H + dim G − dim N(H).

Remarque : une formule proche semble avoir été utilisée par lesmécaniciens d’une façon totalement empirique.

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Classes d’isotropie de E(3)

H N(H) ΓH card ΓH dim V H dim Σ[H]

1 SO(3) SO(3) ∞ 21 21Z2 O(2) O(2) ∞ 13 15D2 O S3 6 9 12D3 D6 S2 2 6 9D4 D8 S2 2 6 9

O(2) O(2) 1 1 5 7O O 1 1 3 6

SO(3) SO(3) 1 1 2 2

TABLE : Les 8 classes d’isotropie de E(3) et leur monodromie.

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Section 4 - Structure semi-algébrique de l’espace desorbites

1 Quelques notions de mécanique des milieux continus

2 Représentations de SO(3) et SL(2,C)

3 Géométrie des espaces d’orbites d’un groupe compact

4 Structure semi-algébrique de l’espace des orbites

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Structure semi-algébrique sur l’espace des orbites

L’espace des orbites V/G d’une représentation d’un groupe de Lieréel, compact, G peut être muni d’une structure semi-algébrique(i.e un sous ensemble de RN définie par un nombre fini d’égalitéset d’inégalités polynomiales réelles).Explicitement, cette construction se fait après la donnée d’unebase d’invariants polynomiaux :

{J1, J2, . . . , JN} .

L’application J : V → RN :

v 7→(J1(v), J2(v), . . . , JN(v)

),

induit un homéomorphisme entre l’espace des orbites V/G etJ(V ) ⊂ RN , ensemble semi-algébrique de RN .

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Méthode de Hermite

Un problème ancien consiste à déterminer combien de racinesréelles possède un polynôme à coefficients réels :

p(x) = xn − σ1xn−1 + · · ·+ (−1)nσn.

La solution a été donnée par Hermite. Le nombre de racinesréelles distinctes de p est égal à la signature de la matrice deFrankel :

B(p) :=(Si+j−2

)1≤i,j≤n

où Sk :=∑n

i=1(x i)k est la somme des puissances k -ièmes desracines de p.En particulier, toutes les racines de p sont réelles si et seulementsi B(p) est positive.

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Méthode de Procesi et Schwarz

Procesi et Schwarz (1985) se sont inspirés de la méthode deHermite pour décrire la structure semi-algébrique de l’espace desorbites V/G.Elle consiste à former la matrice de Gram :

Gij =(< dJj ,dJk >

)1≤j,k≤N

où < ·, · > est un produit scalaire invariant par G.Un point de RN est dans l’image de J : V → RN si et seulement sila matrice G est positive en ce point.

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La méthode utilisée : équations implicites

Une isotopie [H] étant donnée, on évalue une base d’invariants{J1, J2, . . . , JN} sur une tranche correspondante V H . On obtientainsi une variété définie par un système paramétrique VP , dont ontente d’obtenir des équations implicites.Ceci est un problème difficile en général. Il se peut que la variétéalgébrique VI définie par ces équations implicites soit plus grandeque VP (et en plus on travaille sur R !).Au lieu d’écrire ce système paramétrique en fonction descoordonnées de V H , on l’écrit en fonction d’une base d’invariants{σ1, . . . , σr} de ΓH . Ceci permet de trouver les équations implicitesbeaucoup plus facilement.

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Résolution du problème

Un système de relations entre J1, . . . , JN est obtenu quicaractérise VI (à l’aide d’une base de Groebner).Première observation : dans tous les cas traités, les σ1, . . . , σrs’expriment rationnellement en fonction de J1, . . . , JN .Il faut ensuite résoudre le système d’équations qui détermine une(ou plusieurs) solutions sur V H (pour obtenir une forme normale) àpartir des invariants σ1, . . . , σr de ΓH (problème de reconstruction).Deuxième observation : dans les cas traités, ΓH correspond àl’action standard de S2 ou S3 ; le problème de reconstruction estdonc trivial.

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Une conjecture ?

La résolution du problème a fait apparaître l’observation suivante :

La restriction IV H (R[V ]G) de l’algèbre des invariants polynomiauxR[V ]G d’un groupe compact G à une tranche V H est unesous-algèbre de R[V H ]Γ

Het l’inclusion est stricte, en général.

Les exemples traités nous amènent à proposer la conjecturesuivante : le corps des fractions de IV H (R[V ]G) est égal au corpsdes invariants rationnels R(V H)ΓH

.Autrement dit : les invariants σ1, . . . , σr de ΓH s’exprimentrationnellement en fonction des invariants J1, . . . , JN de G.

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Diagramme de bifurcations pour H4

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Perspectives

Le cas de l’élasticité n’est qu’un exemple. La plupart des lois decomportement en mécanique (et elles sont nombreuses)correspondent aux orbites d’une représentation tensorielle.Les milieux dits de « second gradients » (méta-matériaux) fontintervenir en particulier H6 (i.e. S12). L’étude des invariants estpour l’instant inabordable (et non abordée).Problème du "bruitage" : un tenseur « réel » est toujoursanisotrope (erreurs numériques) mais il possède « presque » unecertaine symétrie.Intérêt de définir des distances ou des structures riemanniennessur l’espace des orbites.

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