Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Bonjour !
Victor Ng Le calcul de Malliavin pour les nuls
Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Le calcul de Malliavin pour les nuls
Victor Ng
Équipe de Statistiques et ProbabilitésUniversité Paul Sabatier, Toulouse III
Séminaire étudiant du 28 octobre 2009
Victor Ng Le calcul de Malliavin pour les nuls
Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Introduction
Paul MalliavinVictor Ng Le calcul de Malliavin pour les nuls
Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Plan de l’exposé
1 Mouvement brownienEspaces de probabilités filtrésMouvement brownien
2 Calcul de MalliavinDérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
3 Culture générale : Application au calcul des "grecques"Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Espaces de probabilités filtrésMouvement brownien
Plan de l’exposé
1 Mouvement brownienEspaces de probabilités filtrésMouvement brownien
2 Calcul de MalliavinDérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
3 Culture générale : Application au calcul des "grecques"Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
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Espaces de probabilités filtrésMouvement brownien
Arrêt sur image
Une trajectoire du mouvement brownien
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Espaces de probabilités filtrésMouvement brownien
Histoire du mouvement brownien
1827 : Robert Brown, botaniste, observe au microscope unmouvement aléatoire de particules à l’intérieur de grainsde pollen.1900 : Louis Bachelier, mathématicien, utilise lemouvement brownien comme modèle du fluctuation ducours des actions en bourse.1905 : Albert Einstein, physicien, met en équation lemouvement brownien.Années 1930 : Norbert Wiener, Andreï Kolmogorov et PaulLévy fondent la théorie moderne du mouvement brownien.
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Histoire du mouvement brownien
1827 : Robert Brown, botaniste, observe au microscope unmouvement aléatoire de particules à l’intérieur de grainsde pollen.1900 : Louis Bachelier, mathématicien, utilise lemouvement brownien comme modèle du fluctuation ducours des actions en bourse.1905 : Albert Einstein, physicien, met en équation lemouvement brownien.Années 1930 : Norbert Wiener, Andreï Kolmogorov et PaulLévy fondent la théorie moderne du mouvement brownien.
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Histoire du mouvement brownien
1827 : Robert Brown, botaniste, observe au microscope unmouvement aléatoire de particules à l’intérieur de grainsde pollen.1900 : Louis Bachelier, mathématicien, utilise lemouvement brownien comme modèle du fluctuation ducours des actions en bourse.1905 : Albert Einstein, physicien, met en équation lemouvement brownien.Années 1930 : Norbert Wiener, Andreï Kolmogorov et PaulLévy fondent la théorie moderne du mouvement brownien.
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Histoire du mouvement brownien
1827 : Robert Brown, botaniste, observe au microscope unmouvement aléatoire de particules à l’intérieur de grainsde pollen.1900 : Louis Bachelier, mathématicien, utilise lemouvement brownien comme modèle du fluctuation ducours des actions en bourse.1905 : Albert Einstein, physicien, met en équation lemouvement brownien.Années 1930 : Norbert Wiener, Andreï Kolmogorov et PaulLévy fondent la théorie moderne du mouvement brownien.
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1 Mouvement brownienEspaces de probabilités filtrésMouvement brownien
2 Calcul de MalliavinDérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
3 Culture générale : Application au calcul des "grecques"Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
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Axiomes des probabilités
Andreï Kolmogorov (1903-1987)
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Espaces de probabilités filtrésMouvement brownien
Axiomes des probabilités
On modélise le hasard par un espace (Ω,F , P) avecΩ un ensemble qui reflète au mieux les résultats possiblesdu phénomène aléatoire.F une tribu sur Ω, i.e. une ensemble de parties de Ωpermettant de considèrer tous les événements possiblesdu fait de sa stabilité par certaines opérations.P une mesure de probabilité sur Ω qui donne un nombreentre 0 et 1 à un événement selon que celui-ci ait deschances ou non de se réaliser.
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Axiomes des probabilités
On modélise le hasard par un espace (Ω,F , P) avecΩ un ensemble qui reflète au mieux les résultats possiblesdu phénomène aléatoire.F une tribu sur Ω, i.e. une ensemble de parties de Ωpermettant de considèrer tous les événements possiblesdu fait de sa stabilité par certaines opérations.P une mesure de probabilité sur Ω qui donne un nombreentre 0 et 1 à un événement selon que celui-ci ait deschances ou non de se réaliser.
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Axiomes des probabilités
On modélise le hasard par un espace (Ω,F , P) avecΩ un ensemble qui reflète au mieux les résultats possiblesdu phénomène aléatoire.F une tribu sur Ω, i.e. une ensemble de parties de Ωpermettant de considèrer tous les événements possiblesdu fait de sa stabilité par certaines opérations.P une mesure de probabilité sur Ω qui donne un nombreentre 0 et 1 à un événement selon que celui-ci ait deschances ou non de se réaliser.
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Processus stochastiques
L’évolution au cours du temps d’un phénomène est donnéepar une fonction X : t ∈ T 7−→ X (t) ∈ E , avec E un certainespace mesurable, i.e. muni d’une tribu E .On modélise le hasard en disant que la fonction X est unefonction de deux variables :
X : (ω, t) ∈ Ω× T 7−→ X (ω, t) ∈ E
On commence par demander que pour tout t ∈ T ,l’application X (., t) soit une fonction mesurable, i.e. l’imageréciproque de tout élément de la tribu d’arrivée E soit unélément de la tribu de départ F .On utilise également le terme de "variable aléatoire" aulieu de fonction mesurable.
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Processus stochastiques
L’évolution au cours du temps d’un phénomène est donnéepar une fonction X : t ∈ T 7−→ X (t) ∈ E , avec E un certainespace mesurable, i.e. muni d’une tribu E .On modélise le hasard en disant que la fonction X est unefonction de deux variables :
X : (ω, t) ∈ Ω× T 7−→ X (ω, t) ∈ E
On commence par demander que pour tout t ∈ T ,l’application X (., t) soit une fonction mesurable, i.e. l’imageréciproque de tout élément de la tribu d’arrivée E soit unélément de la tribu de départ F .On utilise également le terme de "variable aléatoire" aulieu de fonction mesurable.
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Processus stochastiques
L’évolution au cours du temps d’un phénomène est donnéepar une fonction X : t ∈ T 7−→ X (t) ∈ E , avec E un certainespace mesurable, i.e. muni d’une tribu E .On modélise le hasard en disant que la fonction X est unefonction de deux variables :
X : (ω, t) ∈ Ω× T 7−→ X (ω, t) ∈ E
On commence par demander que pour tout t ∈ T ,l’application X (., t) soit une fonction mesurable, i.e. l’imageréciproque de tout élément de la tribu d’arrivée E soit unélément de la tribu de départ F .On utilise également le terme de "variable aléatoire" aulieu de fonction mesurable.
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Processus stochastiques
L’évolution au cours du temps d’un phénomène est donnéepar une fonction X : t ∈ T 7−→ X (t) ∈ E , avec E un certainespace mesurable, i.e. muni d’une tribu E .On modélise le hasard en disant que la fonction X est unefonction de deux variables :
X : (ω, t) ∈ Ω× T 7−→ X (ω, t) ∈ E
On commence par demander que pour tout t ∈ T ,l’application X (., t) soit une fonction mesurable, i.e. l’imageréciproque de tout élément de la tribu d’arrivée E soit unélément de la tribu de départ F .On utilise également le terme de "variable aléatoire" aulieu de fonction mesurable.
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Espaces de probabilités filtrésMouvement brownien
Filtrations
Lorsqu’on observe un processus au temps t , seulscertains événements peuvent survenir dans l’intervalle detemps [0, t ].Ces événements constituent une sous-tribu Ft de F : c’esttoute l’information disponible au temps t .On exige donc de plus que, pour tout t ∈ T , la variablealéatoire X (., t) soit Ft -mesurable, i.e. l’image réciproquepar X (., t) de tout élément de la tribu d’arrivée E soit unélément de la sous-tribu Ft .La famille (Ft)t∈T s’appelle une filtration.Cette famille est croissante : plus le temps avance et plusles informations filtrent, peu à peu.
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Filtrations
Lorsqu’on observe un processus au temps t , seulscertains événements peuvent survenir dans l’intervalle detemps [0, t ].Ces événements constituent une sous-tribu Ft de F : c’esttoute l’information disponible au temps t .On exige donc de plus que, pour tout t ∈ T , la variablealéatoire X (., t) soit Ft -mesurable, i.e. l’image réciproquepar X (., t) de tout élément de la tribu d’arrivée E soit unélément de la sous-tribu Ft .La famille (Ft)t∈T s’appelle une filtration.Cette famille est croissante : plus le temps avance et plusles informations filtrent, peu à peu.
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Filtrations
Lorsqu’on observe un processus au temps t , seulscertains événements peuvent survenir dans l’intervalle detemps [0, t ].Ces événements constituent une sous-tribu Ft de F : c’esttoute l’information disponible au temps t .On exige donc de plus que, pour tout t ∈ T , la variablealéatoire X (., t) soit Ft -mesurable, i.e. l’image réciproquepar X (., t) de tout élément de la tribu d’arrivée E soit unélément de la sous-tribu Ft .La famille (Ft)t∈T s’appelle une filtration.Cette famille est croissante : plus le temps avance et plusles informations filtrent, peu à peu.
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Filtrations
Lorsqu’on observe un processus au temps t , seulscertains événements peuvent survenir dans l’intervalle detemps [0, t ].Ces événements constituent une sous-tribu Ft de F : c’esttoute l’information disponible au temps t .On exige donc de plus que, pour tout t ∈ T , la variablealéatoire X (., t) soit Ft -mesurable, i.e. l’image réciproquepar X (., t) de tout élément de la tribu d’arrivée E soit unélément de la sous-tribu Ft .La famille (Ft)t∈T s’appelle une filtration.Cette famille est croissante : plus le temps avance et plusles informations filtrent, peu à peu.
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Filtrations
Lorsqu’on observe un processus au temps t , seulscertains événements peuvent survenir dans l’intervalle detemps [0, t ].Ces événements constituent une sous-tribu Ft de F : c’esttoute l’information disponible au temps t .On exige donc de plus que, pour tout t ∈ T , la variablealéatoire X (., t) soit Ft -mesurable, i.e. l’image réciproquepar X (., t) de tout élément de la tribu d’arrivée E soit unélément de la sous-tribu Ft .La famille (Ft)t∈T s’appelle une filtration.Cette famille est croissante : plus le temps avance et plusles informations filtrent, peu à peu.
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Processus stochastiques
On peut voir un processus stochastique comme :ou bien une famille (Xt)t∈T de variables aléatoires,chacune étant Ft -mesurable.ou bien comme une variable aléatoire à valeurs dans unespace fonctionnel : ∀ω ∈ Ω, X (ω, .) ∈ ET , avec unecertaine tribu sur cet espace fonctionnel.
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Processus stochastiques
On peut voir un processus stochastique comme :ou bien une famille (Xt)t∈T de variables aléatoires,chacune étant Ft -mesurable.ou bien comme une variable aléatoire à valeurs dans unespace fonctionnel : ∀ω ∈ Ω, X (ω, .) ∈ ET , avec unecertaine tribu sur cet espace fonctionnel.
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Plan de l’exposé
1 Mouvement brownienEspaces de probabilités filtrésMouvement brownien
2 Calcul de MalliavinDérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
3 Culture générale : Application au calcul des "grecques"Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
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Définition du mouvement brownien
Soit (Ω,F , (Ft)t∈T , P) un espace probabilisé et filtré.On appelle mouvement brownien un processus (B(t))t>0 àvaleurs réelles tel que :
B(0) = 0, ce P-presque sûrement∀s, t ∈ R+ avec s 6 t , B(t)− B(s) soit indépendante de Fset de loi N (0, t − s).
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Définition du mouvement brownien
Soit (Ω,F , (Ft)t∈T , P) un espace probabilisé et filtré.On appelle mouvement brownien un processus (B(t))t>0 àvaleurs réelles tel que :
B(0) = 0, ce P-presque sûrement∀s, t ∈ R+ avec s 6 t , B(t)− B(s) soit indépendante de Fset de loi N (0, t − s).
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Espaces de probabilités filtrésMouvement brownien
Le mouvement brownien comme limite de marchesaléatoires
Marche aléatoire : on lance une pièce équilibrée et onavance d’un pas si l’on obtient pile et on recule d’un pas sil’on obtient face.Renormalisation en temps et en espace : on lance la pièceen tous les instants 1
n et on avance ou recule d’un pas detaille 1√
n
Donsker : convergence vers le mouvement brownien.
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Le mouvement brownien comme limite de marchesaléatoires
Marche aléatoire : on lance une pièce équilibrée et onavance d’un pas si l’on obtient pile et on recule d’un pas sil’on obtient face.Renormalisation en temps et en espace : on lance la pièceen tous les instants 1
n et on avance ou recule d’un pas detaille 1√
n
Donsker : convergence vers le mouvement brownien.
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Le mouvement brownien comme limite de marchesaléatoires
Marche aléatoire : on lance une pièce équilibrée et onavance d’un pas si l’on obtient pile et on recule d’un pas sil’on obtient face.Renormalisation en temps et en espace : on lance la pièceen tous les instants 1
n et on avance ou recule d’un pas detaille 1√
n
Donsker : convergence vers le mouvement brownien.
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Espace de Wiener
Norbert Wiener (1894-1964)
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Espaces de probabilités filtrésMouvement brownien
Espace de Wiener
Ω = C0(R+, R)
F tribu qui rend mesurable chaque application coordonnéeP mesure de Wiener, "analogue" de la mesure uniforme
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F tribu qui rend mesurable chaque application coordonnéeP mesure de Wiener, "analogue" de la mesure uniforme
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2 Calcul de MalliavinDérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
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Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Cadre et notations
1 Dans tout ce qui suit, on considère :un espace de probabilités (Ω,F , P)un mouvement brownien (B(t))06t61 sur [0, 1]la filtration associée à ce mouvement brownien, (Ft)06t61
2 De plus, on subdivise l’intervalle [0, 1] avec les dyadiquestk ,n = k
2n , avec n ∈ N∗ et k ∈ 0, ..., 2n.3 On note ∆k ,n = B(tk+1,n)− B(tk ,n) et
∆n =(∆0,n, ...,∆2n−1,n
).
4 On note C∞p(R2n)
l’espace des fonctions indéfinimentdérivables à croissance au plus pôlynomiale à l’infini.
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Cadre et notations
1 Dans tout ce qui suit, on considère :un espace de probabilités (Ω,F , P)un mouvement brownien (B(t))06t61 sur [0, 1]la filtration associée à ce mouvement brownien, (Ft)06t61
2 De plus, on subdivise l’intervalle [0, 1] avec les dyadiquestk ,n = k
2n , avec n ∈ N∗ et k ∈ 0, ..., 2n.3 On note ∆k ,n = B(tk+1,n)− B(tk ,n) et
∆n =(∆0,n, ...,∆2n−1,n
).
4 On note C∞p(R2n)
l’espace des fonctions indéfinimentdérivables à croissance au plus pôlynomiale à l’infini.
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Cadre et notations
1 Dans tout ce qui suit, on considère :un espace de probabilités (Ω,F , P)un mouvement brownien (B(t))06t61 sur [0, 1]la filtration associée à ce mouvement brownien, (Ft)06t61
2 De plus, on subdivise l’intervalle [0, 1] avec les dyadiquestk ,n = k
2n , avec n ∈ N∗ et k ∈ 0, ..., 2n.3 On note ∆k ,n = B(tk+1,n)− B(tk ,n) et
∆n =(∆0,n, ...,∆2n−1,n
).
4 On note C∞p(R2n)
l’espace des fonctions indéfinimentdérivables à croissance au plus pôlynomiale à l’infini.
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Cadre et notations
1 Dans tout ce qui suit, on considère :un espace de probabilités (Ω,F , P)un mouvement brownien (B(t))06t61 sur [0, 1]la filtration associée à ce mouvement brownien, (Ft)06t61
2 De plus, on subdivise l’intervalle [0, 1] avec les dyadiquestk ,n = k
2n , avec n ∈ N∗ et k ∈ 0, ..., 2n.3 On note ∆k ,n = B(tk+1,n)− B(tk ,n) et
∆n =(∆0,n, ...,∆2n−1,n
).
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Cadre et notations
1 Dans tout ce qui suit, on considère :un espace de probabilités (Ω,F , P)un mouvement brownien (B(t))06t61 sur [0, 1]la filtration associée à ce mouvement brownien, (Ft)06t61
2 De plus, on subdivise l’intervalle [0, 1] avec les dyadiquestk ,n = k
2n , avec n ∈ N∗ et k ∈ 0, ..., 2n.3 On note ∆k ,n = B(tk+1,n)− B(tk ,n) et
∆n =(∆0,n, ...,∆2n−1,n
).
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Cadre et notations
1 Dans tout ce qui suit, on considère :un espace de probabilités (Ω,F , P)un mouvement brownien (B(t))06t61 sur [0, 1]la filtration associée à ce mouvement brownien, (Ft)06t61
2 De plus, on subdivise l’intervalle [0, 1] avec les dyadiquestk ,n = k
2n , avec n ∈ N∗ et k ∈ 0, ..., 2n.3 On note ∆k ,n = B(tk+1,n)− B(tk ,n) et
∆n =(∆0,n, ...,∆2n−1,n
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1 Dans tout ce qui suit, on considère :un espace de probabilités (Ω,F , P)un mouvement brownien (B(t))06t61 sur [0, 1]la filtration associée à ce mouvement brownien, (Ft)06t61
2 De plus, on subdivise l’intervalle [0, 1] avec les dyadiquestk ,n = k
2n , avec n ∈ N∗ et k ∈ 0, ..., 2n.3 On note ∆k ,n = B(tk+1,n)− B(tk ,n) et
∆n =(∆0,n, ...,∆2n−1,n
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l’espace des fonctions indéfinimentdérivables à croissance au plus pôlynomiale à l’infini.
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Fonctionnelles simples
On poseSn =
f (∆n) : f ∈ C∞p
(R2n
).
Il s’agit d’une suite croissante de sous-ensembles deL2(Ω).Les éléments sont des variables aléatoires !L’ensemble
S =⋃n>1
Sn
s’appelle l’ensemble des fonctionnelles simples.S est dense dans L2(Ω).
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On poseSn =
f (∆n) : f ∈ C∞p
(R2n
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Il s’agit d’une suite croissante de sous-ensembles deL2(Ω).Les éléments sont des variables aléatoires !L’ensemble
S =⋃n>1
Sn
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On poseSn =
f (∆n) : f ∈ C∞p
(R2n
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Il s’agit d’une suite croissante de sous-ensembles deL2(Ω).Les éléments sont des variables aléatoires !L’ensemble
S =⋃n>1
Sn
s’appelle l’ensemble des fonctionnelles simples.S est dense dans L2(Ω).
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Fonctionnelles simples
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f (∆n) : f ∈ C∞p
(R2n
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Il s’agit d’une suite croissante de sous-ensembles deL2(Ω).Les éléments sont des variables aléatoires !L’ensemble
S =⋃n>1
Sn
s’appelle l’ensemble des fonctionnelles simples.S est dense dans L2(Ω).
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Processus simples
On pose
Pn =
(ω, t) 7−→
2n−1∑i=0
Fi(ω)I[ti,n,ti+1,n[(t) : Fi ∈ Sn
.
Il s’agit d’une suite croissante de sous-ensembles deL2(Ω× [0, 1]).Les éléments sont processus stochastiques !L’ensemble
P =⋃n>1
Pn
s’appelle l’ensemble des processus simples.P est dense dans L2(Ω× [0, 1]).
Victor Ng Le calcul de Malliavin pour les nuls
Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Processus simples
On pose
Pn =
(ω, t) 7−→
2n−1∑i=0
Fi(ω)I[ti,n,ti+1,n[(t) : Fi ∈ Sn
.
Il s’agit d’une suite croissante de sous-ensembles deL2(Ω× [0, 1]).Les éléments sont processus stochastiques !L’ensemble
P =⋃n>1
Pn
s’appelle l’ensemble des processus simples.P est dense dans L2(Ω× [0, 1]).
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Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Processus simples
On pose
Pn =
(ω, t) 7−→
2n−1∑i=0
Fi(ω)I[ti,n,ti+1,n[(t) : Fi ∈ Sn
.
Il s’agit d’une suite croissante de sous-ensembles deL2(Ω× [0, 1]).Les éléments sont processus stochastiques !L’ensemble
P =⋃n>1
Pn
s’appelle l’ensemble des processus simples.P est dense dans L2(Ω× [0, 1]).
Victor Ng Le calcul de Malliavin pour les nuls
Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Processus simples
On pose
Pn =
(ω, t) 7−→
2n−1∑i=0
Fi(ω)I[ti,n,ti+1,n[(t) : Fi ∈ Sn
.
Il s’agit d’une suite croissante de sous-ensembles deL2(Ω× [0, 1]).Les éléments sont processus stochastiques !L’ensemble
P =⋃n>1
Pn
s’appelle l’ensemble des processus simples.P est dense dans L2(Ω× [0, 1]).
Victor Ng Le calcul de Malliavin pour les nuls
Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Plan de l’exposé
1 Mouvement brownienEspaces de probabilités filtrésMouvement brownien
2 Calcul de MalliavinDérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
3 Culture générale : Application au calcul des "grecques"Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Victor Ng Le calcul de Malliavin pour les nuls
Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Dérivée de Malliavin
Paul Malliavin (Né en 1925, toujours vivant)
Victor Ng Le calcul de Malliavin pour les nuls
Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Dérivation au sens de Malliavin
Soit F ∈ S. Il existe donc n ∈ N∗ et f ∈ C∞p(R2n)
tel que∀ω ∈ Ω, F (ω) = f (∆n(ω)).On définit l’opérateur de dérivation au sens de Malliavincomme étant l’opérateur D qui appliqué à F , vaut pour toutω ∈ Ω et s ∈ [0, 1],
DF (ω, s) =2n−1∑i=0
∂f∂xi
(∆n(ω))I[ti,n,ti+1,n[(s).
On dérive une variable aléatoire et on obtient unprocessus.Exercices :
Quelle est la dérivée de Malliavin de B(1) ?Pour s > t , calculer la dérivée de Malliavin DF (ω, s) d’unevariable aléatoire F Ft -adaptée.
Victor Ng Le calcul de Malliavin pour les nuls
Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Dérivation au sens de Malliavin
Soit F ∈ S. Il existe donc n ∈ N∗ et f ∈ C∞p(R2n)
tel que∀ω ∈ Ω, F (ω) = f (∆n(ω)).On définit l’opérateur de dérivation au sens de Malliavincomme étant l’opérateur D qui appliqué à F , vaut pour toutω ∈ Ω et s ∈ [0, 1],
DF (ω, s) =2n−1∑i=0
∂f∂xi
(∆n(ω))I[ti,n,ti+1,n[(s).
On dérive une variable aléatoire et on obtient unprocessus.Exercices :
Quelle est la dérivée de Malliavin de B(1) ?Pour s > t , calculer la dérivée de Malliavin DF (ω, s) d’unevariable aléatoire F Ft -adaptée.
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Dérivation au sens de Malliavin
Soit F ∈ S. Il existe donc n ∈ N∗ et f ∈ C∞p(R2n)
tel que∀ω ∈ Ω, F (ω) = f (∆n(ω)).On définit l’opérateur de dérivation au sens de Malliavincomme étant l’opérateur D qui appliqué à F , vaut pour toutω ∈ Ω et s ∈ [0, 1],
DF (ω, s) =2n−1∑i=0
∂f∂xi
(∆n(ω))I[ti,n,ti+1,n[(s).
On dérive une variable aléatoire et on obtient unprocessus.Exercices :
Quelle est la dérivée de Malliavin de B(1) ?Pour s > t , calculer la dérivée de Malliavin DF (ω, s) d’unevariable aléatoire F Ft -adaptée.
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Dérivation au sens de Malliavin
Soit F ∈ S. Il existe donc n ∈ N∗ et f ∈ C∞p(R2n)
tel que∀ω ∈ Ω, F (ω) = f (∆n(ω)).On définit l’opérateur de dérivation au sens de Malliavincomme étant l’opérateur D qui appliqué à F , vaut pour toutω ∈ Ω et s ∈ [0, 1],
DF (ω, s) =2n−1∑i=0
∂f∂xi
(∆n(ω))I[ti,n,ti+1,n[(s).
On dérive une variable aléatoire et on obtient unprocessus.Exercices :
Quelle est la dérivée de Malliavin de B(1) ?Pour s > t , calculer la dérivée de Malliavin DF (ω, s) d’unevariable aléatoire F Ft -adaptée.
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Dérivation au sens de Malliavin
Soit F ∈ S. Il existe donc n ∈ N∗ et f ∈ C∞p(R2n)
tel que∀ω ∈ Ω, F (ω) = f (∆n(ω)).On définit l’opérateur de dérivation au sens de Malliavincomme étant l’opérateur D qui appliqué à F , vaut pour toutω ∈ Ω et s ∈ [0, 1],
DF (ω, s) =2n−1∑i=0
∂f∂xi
(∆n(ω))I[ti,n,ti+1,n[(s).
On dérive une variable aléatoire et on obtient unprocessus.Exercices :
Quelle est la dérivée de Malliavin de B(1) ?Pour s > t , calculer la dérivée de Malliavin DF (ω, s) d’unevariable aléatoire F Ft -adaptée.
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Dérivation au sens de Malliavin
Soit F ∈ S. Il existe donc n ∈ N∗ et f ∈ C∞p(R2n)
tel que∀ω ∈ Ω, F (ω) = f (∆n(ω)).On définit l’opérateur de dérivation au sens de Malliavincomme étant l’opérateur D qui appliqué à F , vaut pour toutω ∈ Ω et s ∈ [0, 1],
DF (ω, s) =2n−1∑i=0
∂f∂xi
(∆n(ω))I[ti,n,ti+1,n[(s).
On dérive une variable aléatoire et on obtient unprocessus.Exercices :
Quelle est la dérivée de Malliavin de B(1) ?Pour s > t , calculer la dérivée de Malliavin DF (ω, s) d’unevariable aléatoire F Ft -adaptée.
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Plan de l’exposé
1 Mouvement brownienEspaces de probabilités filtrésMouvement brownien
2 Calcul de MalliavinDérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
3 Culture générale : Application au calcul des "grecques"Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Intégrale de Skorokhod
A. V. Skorokhod (Né en 1930, toujours vivant)
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Intégration au sens de Skorokhod
Soit u ∈ P. Il existe donc n ∈ N∗ tel que u ∈ Pn.u s’écrit donc
u(ω, t) =2n−1∑i=0
Fi(ω)I[ti,n,ti+1,n[(t) =2n−1∑i=0
fi(∆n(ω))I[ti,n,ti+1,n[(t)
On définit l’opérateur d’intégration au sens de Skorokhodcomme étant l’opérateur δ qui appliqué à u, vaut pour toutω ∈ Ω,
δ(u)(ω) =2n−1∑i=0
fi(∆n(ω))∆i,n(ω)− 12n
2n−1∑i=0
∂f∂xi
(∆n(ω)).
On intègre un processus et on a une variable aléatoire.Exercices :
Que vaut l’intégrale de Skorokhod de I[0,1[ ?Que se passe-t-il pour un processus prévisible ?
Victor Ng Le calcul de Malliavin pour les nuls
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Intégration au sens de Skorokhod
Soit u ∈ P. Il existe donc n ∈ N∗ tel que u ∈ Pn.u s’écrit donc
u(ω, t) =2n−1∑i=0
Fi(ω)I[ti,n,ti+1,n[(t) =2n−1∑i=0
fi(∆n(ω))I[ti,n,ti+1,n[(t)
On définit l’opérateur d’intégration au sens de Skorokhodcomme étant l’opérateur δ qui appliqué à u, vaut pour toutω ∈ Ω,
δ(u)(ω) =2n−1∑i=0
fi(∆n(ω))∆i,n(ω)− 12n
2n−1∑i=0
∂f∂xi
(∆n(ω)).
On intègre un processus et on a une variable aléatoire.Exercices :
Que vaut l’intégrale de Skorokhod de I[0,1[ ?Que se passe-t-il pour un processus prévisible ?
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Intégration au sens de Skorokhod
Soit u ∈ P. Il existe donc n ∈ N∗ tel que u ∈ Pn.u s’écrit donc
u(ω, t) =2n−1∑i=0
Fi(ω)I[ti,n,ti+1,n[(t) =2n−1∑i=0
fi(∆n(ω))I[ti,n,ti+1,n[(t)
On définit l’opérateur d’intégration au sens de Skorokhodcomme étant l’opérateur δ qui appliqué à u, vaut pour toutω ∈ Ω,
δ(u)(ω) =2n−1∑i=0
fi(∆n(ω))∆i,n(ω)− 12n
2n−1∑i=0
∂f∂xi
(∆n(ω)).
On intègre un processus et on a une variable aléatoire.Exercices :
Que vaut l’intégrale de Skorokhod de I[0,1[ ?Que se passe-t-il pour un processus prévisible ?
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Intégration au sens de Skorokhod
Soit u ∈ P. Il existe donc n ∈ N∗ tel que u ∈ Pn.u s’écrit donc
u(ω, t) =2n−1∑i=0
Fi(ω)I[ti,n,ti+1,n[(t) =2n−1∑i=0
fi(∆n(ω))I[ti,n,ti+1,n[(t)
On définit l’opérateur d’intégration au sens de Skorokhodcomme étant l’opérateur δ qui appliqué à u, vaut pour toutω ∈ Ω,
δ(u)(ω) =2n−1∑i=0
fi(∆n(ω))∆i,n(ω)− 12n
2n−1∑i=0
∂f∂xi
(∆n(ω)).
On intègre un processus et on a une variable aléatoire.Exercices :
Que vaut l’intégrale de Skorokhod de I[0,1[ ?Que se passe-t-il pour un processus prévisible ?
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Intégration au sens de Skorokhod
Soit u ∈ P. Il existe donc n ∈ N∗ tel que u ∈ Pn.u s’écrit donc
u(ω, t) =2n−1∑i=0
Fi(ω)I[ti,n,ti+1,n[(t) =2n−1∑i=0
fi(∆n(ω))I[ti,n,ti+1,n[(t)
On définit l’opérateur d’intégration au sens de Skorokhodcomme étant l’opérateur δ qui appliqué à u, vaut pour toutω ∈ Ω,
δ(u)(ω) =2n−1∑i=0
fi(∆n(ω))∆i,n(ω)− 12n
2n−1∑i=0
∂f∂xi
(∆n(ω)).
On intègre un processus et on a une variable aléatoire.Exercices :
Que vaut l’intégrale de Skorokhod de I[0,1[ ?Que se passe-t-il pour un processus prévisible ?
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Intégration au sens de Skorokhod
Soit u ∈ P. Il existe donc n ∈ N∗ tel que u ∈ Pn.u s’écrit donc
u(ω, t) =2n−1∑i=0
Fi(ω)I[ti,n,ti+1,n[(t) =2n−1∑i=0
fi(∆n(ω))I[ti,n,ti+1,n[(t)
On définit l’opérateur d’intégration au sens de Skorokhodcomme étant l’opérateur δ qui appliqué à u, vaut pour toutω ∈ Ω,
δ(u)(ω) =2n−1∑i=0
fi(∆n(ω))∆i,n(ω)− 12n
2n−1∑i=0
∂f∂xi
(∆n(ω)).
On intègre un processus et on a une variable aléatoire.Exercices :
Que vaut l’intégrale de Skorokhod de I[0,1[ ?Que se passe-t-il pour un processus prévisible ?
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Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Intégration au sens de Skorokhod
Soit u ∈ P. Il existe donc n ∈ N∗ tel que u ∈ Pn.u s’écrit donc
u(ω, t) =2n−1∑i=0
Fi(ω)I[ti,n,ti+1,n[(t) =2n−1∑i=0
fi(∆n(ω))I[ti,n,ti+1,n[(t)
On définit l’opérateur d’intégration au sens de Skorokhodcomme étant l’opérateur δ qui appliqué à u, vaut pour toutω ∈ Ω,
δ(u)(ω) =2n−1∑i=0
fi(∆n(ω))∆i,n(ω)− 12n
2n−1∑i=0
∂f∂xi
(∆n(ω)).
On intègre un processus et on a une variable aléatoire.Exercices :
Que vaut l’intégrale de Skorokhod de I[0,1[ ?Que se passe-t-il pour un processus prévisible ?
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Plan de l’exposé
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2 Calcul de MalliavinDérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
3 Culture générale : Application au calcul des "grecques"Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Prolongement des opérateurs
Soit D l’ensemble des fonctionnelles F de L2(Ω) quiadmettent une suite (Fn)n∈N d’éléments de S telle que
Fn −→ F et DFn −→ u,
respectivement dans L2(Ω) et L2(Ω× [0, 1]).De même, soit Dom(δ) l’ensemble des processus u deL2(Ω× [0, 1]) qui admettent une suite (un)n∈N d’élémentsde P telle que
un −→ u et δ(un) −→ F ,
respectivement dans L2(Ω× [0, 1]) et L2(Ω).Les opérateurs D et δ sont des opérateurs fermés, ce quiassure dans le premier point (resp. le deuxième point) queDF = u (resp. δ(u) = F )L’opérateur D s’étend sur D et l’opérateur δ sur Dom(δ).
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Prolongement des opérateurs
Soit D l’ensemble des fonctionnelles F de L2(Ω) quiadmettent une suite (Fn)n∈N d’éléments de S telle que
Fn −→ F et DFn −→ u,
respectivement dans L2(Ω) et L2(Ω× [0, 1]).De même, soit Dom(δ) l’ensemble des processus u deL2(Ω× [0, 1]) qui admettent une suite (un)n∈N d’élémentsde P telle que
un −→ u et δ(un) −→ F ,
respectivement dans L2(Ω× [0, 1]) et L2(Ω).Les opérateurs D et δ sont des opérateurs fermés, ce quiassure dans le premier point (resp. le deuxième point) queDF = u (resp. δ(u) = F )L’opérateur D s’étend sur D et l’opérateur δ sur Dom(δ).
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Prolongement des opérateurs
Soit D l’ensemble des fonctionnelles F de L2(Ω) quiadmettent une suite (Fn)n∈N d’éléments de S telle que
Fn −→ F et DFn −→ u,
respectivement dans L2(Ω) et L2(Ω× [0, 1]).De même, soit Dom(δ) l’ensemble des processus u deL2(Ω× [0, 1]) qui admettent une suite (un)n∈N d’élémentsde P telle que
un −→ u et δ(un) −→ F ,
respectivement dans L2(Ω× [0, 1]) et L2(Ω).Les opérateurs D et δ sont des opérateurs fermés, ce quiassure dans le premier point (resp. le deuxième point) queDF = u (resp. δ(u) = F )L’opérateur D s’étend sur D et l’opérateur δ sur Dom(δ).
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Prolongement des opérateurs
Soit D l’ensemble des fonctionnelles F de L2(Ω) quiadmettent une suite (Fn)n∈N d’éléments de S telle que
Fn −→ F et DFn −→ u,
respectivement dans L2(Ω) et L2(Ω× [0, 1]).De même, soit Dom(δ) l’ensemble des processus u deL2(Ω× [0, 1]) qui admettent une suite (un)n∈N d’élémentsde P telle que
un −→ u et δ(un) −→ F ,
respectivement dans L2(Ω× [0, 1]) et L2(Ω).Les opérateurs D et δ sont des opérateurs fermés, ce quiassure dans le premier point (resp. le deuxième point) queDF = u (resp. δ(u) = F )L’opérateur D s’étend sur D et l’opérateur δ sur Dom(δ).
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Formule d’intégration par parties
F ∈ D et u ∈ Dom(δ).On a la relation suivante :
< DF , u >L2(Ω×[0,1])=< F , δ(u) >L2(Ω) .
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Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
Formule d’intégration par parties
F ∈ D et u ∈ Dom(δ).On a la relation suivante :
< DF , u >L2(Ω×[0,1])=< F , δ(u) >L2(Ω) .
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Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Plan de l’exposé
1 Mouvement brownienEspaces de probabilités filtrésMouvement brownien
2 Calcul de MalliavinDérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
3 Culture générale : Application au calcul des "grecques"Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Marchés financiers
Cours d’un actif
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Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Plan de l’exposé
1 Mouvement brownienEspaces de probabilités filtrésMouvement brownien
2 Calcul de MalliavinDérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
3 Culture générale : Application au calcul des "grecques"Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Produits dérivés
Option : produit dérivé qui donne le droit d’acheter ou devendre un actif à un prix et à une échéance fixés àl’avance.But du trader ou du gestionnaire de portefeuille : contrôlerson exposition aux risques.Les "grecques" sont des indicateurs de sensibilité quimesurent la variation de la valeur du produit dérivé parrapport à une variation de certains paramètres.
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Produits dérivés
Option : produit dérivé qui donne le droit d’acheter ou devendre un actif à un prix et à une échéance fixés àl’avance.But du trader ou du gestionnaire de portefeuille : contrôlerson exposition aux risques.Les "grecques" sont des indicateurs de sensibilité quimesurent la variation de la valeur du produit dérivé parrapport à une variation de certains paramètres.
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Produits dérivés
Option : produit dérivé qui donne le droit d’acheter ou devendre un actif à un prix et à une échéance fixés àl’avance.But du trader ou du gestionnaire de portefeuille : contrôlerson exposition aux risques.Les "grecques" sont des indicateurs de sensibilité quimesurent la variation de la valeur du produit dérivé parrapport à une variation de certains paramètres.
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Produits dérivés
On se munit d’un actif dont le cours est donné par le processusS.
Call : contrat qui permet à son souscripteur d’acquérirl’actif, alors appelé actif sous-jacent, à un prix K fixé àl’avance, appelé strike, et à une échéance déterminée.Put : contrat qui permet à son souscripteur de vendrel’actif, alors appelé actif sous-jacent, à un prix K fixé àl’avance, appelé strike, et à une échéance déterminée.Si X est la valeur de l’actif sous-jacent à la date d’exercice,alors la valeur de l’option, ou payoff, est P = (X − K )+ etson prix sera donné par C(x) = E[f (X x)], où x est la valeurinitiale du sous-jacent.
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Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Produits dérivés
On se munit d’un actif dont le cours est donné par le processusS.
Call : contrat qui permet à son souscripteur d’acquérirl’actif, alors appelé actif sous-jacent, à un prix K fixé àl’avance, appelé strike, et à une échéance déterminée.Put : contrat qui permet à son souscripteur de vendrel’actif, alors appelé actif sous-jacent, à un prix K fixé àl’avance, appelé strike, et à une échéance déterminée.Si X est la valeur de l’actif sous-jacent à la date d’exercice,alors la valeur de l’option, ou payoff, est P = (X − K )+ etson prix sera donné par C(x) = E[f (X x)], où x est la valeurinitiale du sous-jacent.
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Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Produits dérivés
On se munit d’un actif dont le cours est donné par le processusS.
Call : contrat qui permet à son souscripteur d’acquérirl’actif, alors appelé actif sous-jacent, à un prix K fixé àl’avance, appelé strike, et à une échéance déterminée.Put : contrat qui permet à son souscripteur de vendrel’actif, alors appelé actif sous-jacent, à un prix K fixé àl’avance, appelé strike, et à une échéance déterminée.Si X est la valeur de l’actif sous-jacent à la date d’exercice,alors la valeur de l’option, ou payoff, est P = (X − K )+ etson prix sera donné par C(x) = E[f (X x)], où x est la valeurinitiale du sous-jacent.
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Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Exemples
Les différents types d’options sont les suivantes :Option européenne : exerçable à uniquement à échéanceT ; P = (ST − K )+
Option américaine : exerçable jusqu’à échéance ;P = (Sτ − K )+ avec τ un temps d’arrêt.Option asiatique : exerçable à uniquement à échéance T ;
P = (1T
∫ T
0Stdt − K )+
Victor Ng Le calcul de Malliavin pour les nuls
Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Exemples
Les différents types d’options sont les suivantes :Option européenne : exerçable à uniquement à échéanceT ; P = (ST − K )+
Option américaine : exerçable jusqu’à échéance ;P = (Sτ − K )+ avec τ un temps d’arrêt.Option asiatique : exerçable à uniquement à échéance T ;
P = (1T
∫ T
0Stdt − K )+
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Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Exemples
Les différents types d’options sont les suivantes :Option européenne : exerçable à uniquement à échéanceT ; P = (ST − K )+
Option américaine : exerçable jusqu’à échéance ;P = (Sτ − K )+ avec τ un temps d’arrêt.Option asiatique : exerçable à uniquement à échéance T ;
P = (1T
∫ T
0Stdt − K )+
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Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Plan de l’exposé
1 Mouvement brownienEspaces de probabilités filtrésMouvement brownien
2 Calcul de MalliavinDérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés
3 Culture générale : Application au calcul des "grecques"Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
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Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Les "grecques"
δ : mesure l’impact d’une variation du prix de l’actifsous-jacent sur le prix de l’option.γ : indique si le prix de l’option a tendance à évoluer plusou moins vite que le prix du sous-jacent.θ : évalue à quel point l’écoulement du temps influe sur lavaleur de l’option.ρ : mesure la variation du prix de l’option par rapport àl’évolution du taux d’intérêt.ν : le Véga mesure l’exposition à la volatilité implicite.
Victor Ng Le calcul de Malliavin pour les nuls
Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Les "grecques"
δ : mesure l’impact d’une variation du prix de l’actifsous-jacent sur le prix de l’option.γ : indique si le prix de l’option a tendance à évoluer plusou moins vite que le prix du sous-jacent.θ : évalue à quel point l’écoulement du temps influe sur lavaleur de l’option.ρ : mesure la variation du prix de l’option par rapport àl’évolution du taux d’intérêt.ν : le Véga mesure l’exposition à la volatilité implicite.
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Les "grecques"
δ : mesure l’impact d’une variation du prix de l’actifsous-jacent sur le prix de l’option.γ : indique si le prix de l’option a tendance à évoluer plusou moins vite que le prix du sous-jacent.θ : évalue à quel point l’écoulement du temps influe sur lavaleur de l’option.ρ : mesure la variation du prix de l’option par rapport àl’évolution du taux d’intérêt.ν : le Véga mesure l’exposition à la volatilité implicite.
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Les "grecques"
δ : mesure l’impact d’une variation du prix de l’actifsous-jacent sur le prix de l’option.γ : indique si le prix de l’option a tendance à évoluer plusou moins vite que le prix du sous-jacent.θ : évalue à quel point l’écoulement du temps influe sur lavaleur de l’option.ρ : mesure la variation du prix de l’option par rapport àl’évolution du taux d’intérêt.ν : le Véga mesure l’exposition à la volatilité implicite.
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Les "grecques"
δ : mesure l’impact d’une variation du prix de l’actifsous-jacent sur le prix de l’option.γ : indique si le prix de l’option a tendance à évoluer plusou moins vite que le prix du sous-jacent.θ : évalue à quel point l’écoulement du temps influe sur lavaleur de l’option.ρ : mesure la variation du prix de l’option par rapport àl’évolution du taux d’intérêt.ν : le Véga mesure l’exposition à la volatilité implicite.
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Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Calcul des "grecques"
δ = ∂∂x C(x) = ∂
∂x E[f (X x)]
Calcul par la méthode des différences finies :
δ ≈ C(x + ε)− C(x − ε)
2ε
A l’aide du calcul de Malliavin : plus de rapidité etd’efficacité !δ = E[P × w ], avec w un poids à déterminer.
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Mouvement brownienCalcul de Malliavin
Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Calcul des "grecques"
δ = ∂∂x C(x) = ∂
∂x E[f (X x)]
Calcul par la méthode des différences finies :
δ ≈ C(x + ε)− C(x − ε)
2ε
A l’aide du calcul de Malliavin : plus de rapidité etd’efficacité !δ = E[P × w ], avec w un poids à déterminer.
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Calcul des "grecques"
δ = ∂∂x C(x) = ∂
∂x E[f (X x)]
Calcul par la méthode des différences finies :
δ ≈ C(x + ε)− C(x − ε)
2ε
A l’aide du calcul de Malliavin : plus de rapidité etd’efficacité !δ = E[P × w ], avec w un poids à déterminer.
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Culture générale : Application au calcul des "grecques"
Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin
Calcul des "grecques"
δ = ∂∂x C(x) = ∂
∂x E[f (X x)]
Calcul par la méthode des différences finies :
δ ≈ C(x + ε)− C(x − ε)
2ε
A l’aide du calcul de Malliavin : plus de rapidité etd’efficacité !δ = E[P × w ], avec w un poids à déterminer.
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Conclusion
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