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Le Grand Livre des Tests de logique et psychotechniques et de personnalité et de créativitéCatégories A, B et C

Bernard Myers

Benoît Priet

Dominique Souder

Corinne Pelletier

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© Dunod, 20145, rue Laromiguière, 75005 Paris

www.dunod.comISBN 978-2-10-071587-9

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Partie 1 : Aptitude numériqueChapitre 1 QCM de maths : comment être performant ? 3

Chapitre 2 Nombres relatifs 7

Chapitre 3 Pourcentages 17

Chapitre 4 Calculs, priorités et estimations 25

Chapitre 5 Puissances 41

Chapitre 6 Règle de trois, proportionnalité 48

Chapitre 7 Conversions 60

Chapitre 8 Calcul mental rapide 72

Chapitre 9 Racines 92

Chapitre 10 Aires 99

Chapitre 11 Volumes 106

Chapitre 12 Distances, vitesses, temps, débits… 113

Chapitre 13 Dénombrements 120

Chapitre 14 Équations 131

Chapitre 15 Suites 141

Chapitre 16 Probabilités 146

Partie 2 : Aptitude logiqueChapitre 17 Les séries graphiques 161

Chapitre 18 Les séries alpha-numériques 178

Chapitre 19 Les matrices 186

Chapitre 20 Les ensembles et les intrus 192

Chapitre 21 Les séries doubles 200

Chapitre 22 Logique numérique 222

Table des matières

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Table des matières

IV

Chapitre 23 Les dominos 236

Chapitre 24 Les cartes à jouer 251

Chapitre 25 Les carrés logiques 256

Chapitre 26 Les tests d’attention 269

Chapitre 27 Les logigrammes 276

Chapitre 28 Autres épreuves logiques 282

Partie 3 : Aptitude verbaleChapitre 29 Le vocabulaire 315

Chapitre 30 L’orthographe lexicale 331

Chapitre 31 L’orthographe grammaticale 341

Chapitre 32 La conjugaison 370

Chapitre 33 Tests de compréhension 385

Chapitre 34 Logique verbale 404

Partie 4 : Personnalité et créativitéSous-partie 1 : Les tests de personnalité

Chapitre 35 Les questionnaires de personnalité 426

Chapitre 36 Les tests projectifs 433

Sous-partie 2 : Les tests de créativité

Chapitre 37 Les tests de créativité individuels et collectifs 438

Chapitre 38 Conseils pour réussir les tests de créativité 443

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Aptitude numérique

1. QCM de maths : comment être performant ? 32. Nombres relatifs 73. Pourcentages 174. Calculs, priorités et estimations 255. Puissances 416. Règle de trois, proportionnalité 487. Conversions 608. Calcul mental rapide 729. Racines 9210. Aires 9911. Volumes 10612. Distances, vitesses, temps, débits… 11313. Dénombrements 12014. Équations 13115. Suites 14116. Probabilités 146

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Nul besoin d’être Einstein pour réussir aux questions d’aptitude numérique des concours. Si vous avez le niveau de la troisième en maths, vous pouvez vous en sortir ! Et ceux qui ont un niveau supérieur ou une certaine aisance avec les chiffres peuvent compter sur cette section pour

faire monter leur moyenne. Le débat a longtemps fait rage : certains préconisent l’usage des maths pour opérer une sélection des candidats, car ils considèrent que l’aptitude mathématique est révélatrice d’intelligence, de logique, de rigueur et de bien d’autres qualités que l’on recherche chez les candidats. D’autres considèrent que les maths ne sont qu’un outil parmi d’autres et que les épreuves de maths trop poussées excluent des candidat(e)s avec de nombreuses autres qualités tout aussi nécessaires. Pour l’instant, à en juger par le niveau des épreuves, le balancier est plutôt dans le camp de ceux qui veulent limiter l’importance des maths. Ce n’est pas le cas dans toutes les régions, mais la difficulté des questions est nettement moins élevée qu’il y a quelques années. Cela ne veut pas dire qu’il faille négliger les maths pour autant ! Au contraire ! Considérez cette épreuve comme celle où vous pourrez consolider votre position. Pour cela, vous pouvez commencer par rafraîchir vos souvenirs scolaires avec les pages qui suivent. Ensuite, affrontez diverses questions pour vous remettre en forme. Au début, prenez votre temps, pour bien comprendre, bien assimiler. Ensuite, mettez-vous dans les conditions de concours, c’est-à-dire répondez dans un temps limité et sans calculette. (Si ce dernier point vous cause de grandes difficultés, il faut réviser vos tables de multiplications – elles s’oublient vite !).

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1QCM de maths : comment être performant ?

Les conseils qui vont suivre concernent les QCM dont la règle du jeu indiquée en début d’épreuve précise qu’il y a une bonne réponse et une seule parmi celles qui sont proposées.

Si vous êtes bon en maths, vous allez avoir tendance à résoudre le problème posé sans tenir compte des propositions de solutions. La réponse que vous allez trouver, vous vérifierez ensuite si elle figure bien parmi les propositions : si c’est le cas, vous vous direz « j’ai réussi » ; sinon vous chercherez une erreur dans vos calculs.

Dans certains types de problème cette tactique va vous faire perdre du temps et vous ne pourrez pas finir l’ensemble des QCM, contrairement à d’autres candidats plus malins et efficaces.

Voici quelques exemples de problèmes où partir des valeurs proposées comme solution permet d’être efficace et rapide.

Exemple 1

Bacchus se verse à boire la moitié d’une bouteille pleine de bon vin. Il revient vers la bouteille et boit le tiers de ce qui reste. Puis il retourne boire le quart du dernier reste. Le contenu restant de la bouteille lui permet de se remplir enfin un dernier verre de 33 cL.Quelle est la capacité de cette bouteille ? r a. 66 cL r b. 100 cL r c. 120 cL r d. 132 cL r e. 144 cL

Solution

Au lieu de se lancer dans des équations ou des calculs de fractions, on peut essayer de vérifier si l’on obtient le 33 cL final à partir d’une des valeurs pro posées.Un premier essai astucieux est de partir de la valeur du milieu parmi les proposi-tions : ici 120 cL.Bacchus verse 60 cL, il reste 60 cL. Il boit le tiers du reste soit 20 cL. Il reste 40 cL dans la bouteille. Il boit le quart de ce reste soit 10 cL, il reste 30 cL dans la bouteille et non 33  cL. Notre choix c. n’est pas le bon, mais comme il donne un peu moins que ce qu’il faut, on peut abandonner les essais pour une valeur moindre, et faire un autre essai avec la valeur du d. un peu supérieure : 132 cL. Bacchus verse 66 cL, il reste 66 cL. Il boit le tiers du reste soit 22 cL, il reste 44 cL dans la bouteille. Il boit le quart du reste, soit 11 cL. Il reste 33 cL dans la bouteille : c’est ce qu’on souhaitait, la bonne réponse est d.

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QCM de maths : comment être performant ?

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Exemple 2Au moment où elle met au monde son quatrième enfant, une mère (profes seur de maths) a 3 fois la somme des âges de ses 3 premiers enfants. Sachant que dans 8 ans son âge sera la somme de ceux de ses 4 enfants, quel son âge actuel ?q a. 36 ans q b. 35 ans q c. 33 ans q d. 30 ans q e. 27 ans

SolutionPartons de la valeur 36 ans.Elle est bien divisible par 3, car 36 c’est 3 × 12. Dans 8 ans la mère aura 44 ans. Chaque enfant aura 8 ans de plus, et à quatre cela fera 8 × 4 = 32 ans de plus, la somme de leurs âges sera aussi 12 + 32 = 44. On a trouvé, la solu tion est le a.

Voici maintenant d’autres types de problèmes : ceux où figurent de nombreuses va-riables abstraites sous forme de lettres. On a peur de s’y perdre…Imaginer certaines valeurs à la place des lettres peut permettre de débrouiller la situation…

Exemple 3Si x, y et z sont trois nombres non nuls tels que 1 / z = 1 / x + 1 / y, alors x =q a. y z / (z – y) q c. (y – z) / y z q e. z – yq b. y z / (y – z) q d. (z – y) /y z

SolutionChacun sait que ½ = ¼ + ¼.On peut donc imaginer x = 4, y = 4 et z = 2 et voir s’il n’y a pas qu’une seule des formules proposées qui serait valable pour ces valeurs concrètes là.y z / (z – y) = 8 / (– 2) = – 4 ; y z / (y – z) = 8 / 2 = 4 ; (y – z) / y z = 2 / 8 = ¼ ;(z – y) / y z = 2 / 8 = ¼ ; z – y = 2 ; seule la formule b. donne la bonne valeur de x = 4. La solution est b.

Exemple 4Les trois nombres entiers positifs non nuls et différents a, b, c vérifienta + b + c = 6. Que vaut : 1 / (a + b) + 1 / (b + c) + 1 / (a + c) ?q a. 17 / 30 q b. 27 / 40 q c. 37 / 50 q d. 47 / 60 q e. 57 / 60

SolutionOn peut imaginer a = 1, b = 2, c = 3, on a bien a + b + c = 6.On obtient alors 1 / (a + b) + 1 / (b + c) + 1 / (a + c) = 1 / 3 + 1 / 5 + 1 / 4= (20 + 12 + 15) / 60 = 47 / 60.La bonne réponse est donc d.

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Exercices d’entraînement

1. Ma sœur a autant de frères que de sœurs. Mon frère a deux fois plus de sœurs que de frères. Combien y a t-il d’enfants dans notre famille ?q a. 5 q b. 6 q c. 7 q d. 8 q e. 9

2. Je suis un nombre de deux chiffres. Si on intervertit mes deux chiffres, on obtient un nombre valant 1 de moins que ma moitié. Qui suis-je ?q a. 32 q b. 42 q c. 52q d. 34 q e. un tel nombre n’existe pas

3. Dans 20 ans ton âge sera le carré de ton âge actuel. Quel âge as-tu ?q a. 5 ans q b. 6 ans q c. 7 ans q d. 8 ans q e. 9 ans

4. Soient a, b, c trois nombres réels. Quatre des cinq relations ci-dessous sont équivalentes entre elles (reviennent au même après simplification).Quelle est celle qui n’est équivalente à aucune autre ?

q a. b = (a + c) 2

q c. b = (2a + b + 2c)5

q e. b = a – b + c

q b. b = (a + b + c)3

q d. b = (4a + 2b + c)7

5. Ludo écrit trois nombres. En les ajoutant deux par deux, il obtient les sommes 63, 65 et 68. Quel est le plus petit des trois nombres écrits ?q a. 25 q b. 28 q c. 23 q d. 31 q e. 30

6. Une mouche s’est écrabouillée sur l’extrémité d’une pale d’éolienne de 20 m de rayon. Celle-ci tourne régulièrement à la vitesse de 30 tours à la minute.Quelle est la vitesse de déplacement du cadavre de la mouche (à 1 km/h près) ?q a. 147 km/h q b. 166 km/h q c. 185 km/h q d. 204 km/h q e. 223 km/h

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QCM de maths : comment être performant ?1C

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S Corrigés des exercices

1. Réponse c.« Ma sœur a autant de frères que de sœurs » : il y a donc une fille de plus que le nombre de garçons. Essayons la valeur centrale proposée : 7 enfants, qui correspond à 4 filles et 3 garçons : une fille a autant de sœurs (3) que de frères (3), un garçon a deux fois plus de sœurs (4) que de frères (2). La solution est donc 7 enfants.

2. Réponse c.On peut faire des essais avec les quatre valeurs proposées.52 est la solution, car l’interversion donne 25, et 25 + 1 = 26 est la moitié de 52.

3. Réponse a.Il peut sauter à l’œil de suite que 5 + 20 = 25 est le carré de 5.

4. Réponse d.Partons de la première proposition b = (1 / 2) (a + c) et imaginons des valeurs qui la res-pectent, par exemple a = 1, b = 2, c = 3 car 2 = (1 / 2) (1 + 3).Les calculs des propositions suivantes conduisent à :a. (1 + 3) / 2 = 2 vrai. b. (1 / 3) (6) = 2 vrai. c. (1 / 5) (10) = 2 vrai.d. (1 / 7) (11) = 2 faux. e. 2 = 2 vrai.La formule différente des autres est donc d.

5. Réponse d.Classons les propositions par ordre croissant : 23, 25, 28, 30, 31. La valeur centrale est 28 : essayons-la.Pour faire 63, il faut un deuxième nombre égal à 63 – 28 = 35. Pour faire 65 il faut un troi-sième nombre égal à 65 – 28 = 37. La somme de 35 et 37 fait 72 ce qui ne correspond pas à l’énoncé (68).Comme on trouve trop avec ces deux nombres obtenus par des soustractions, on va plu-tôt essayer les valeurs supérieures du petit nombre, ce qui, par soustraction à ces deux grands nombres, donnera moins.Prenons 30. Pour faire 63, il faut un deuxième nombre égal à 63 – 30 = 33. Pour faire 65, il faut un troisième nombre égal à 65 – 30 = 35. On obtient alors la somme 33 + 35 = 68 qui corres-pond à l’énoncé.La plus petit des trois nombres est 30.

6. Réponse e.Le cadavre de la mouche parcourt un cercle de rayon 20 m, cela 30 fois à la minute donc 30 × 60 = 1 800 fois à l’heure.Le périmètre correspondant à un tour est 2 p R = 40 p (en mètres).La distance parcourue en une heure par le cadavre, en km, est :

40 p × 1 800 / 1 000 = 40 p × 1,8 = 72 pOn sait que p vaut environ 3,14 ; mais ce qui importe, c’est que p est plus grand que 3. Comme 72 est plus grand que 70, le résultat cherché est supérieur à 70 × 3 = 210 km. Il n’y a qu’une seule proposition supérieure à 210 km, c’est 223 km.On peut éviter tout calcul précis dans ce QCM, et s’en tirer par une évaluation de l’ordre de grandeur du résultat confronté aux propositions. Ceci est vrai même si les proposi-tions semblent précises (comme ici 147, 166, 204…)

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2Nombres relatifs

Comme Monsieur Jourdain qui découvrait avec stupéfaction que sa réplique « Nicole, apportez–moi mes pantoufles » était de la prose, certains d’entre nous apprendront avec ravissement que quand nous disons «  Cela fait 10 euros  », nous utilisons un nombre entier relatif positif et si nous ajoutons «  C’est 1,5  euro de moins que la semaine dernière », alors il s’agit d’un nombre décimal relatif négatif… Ces termes, qui peuvent paraître bien abs cons, sont pourtant très utiles, car lorsqu’on parle de choses précises comme les mathé matiques, il est important d’être clair.

Le mot relatif peut s’entendre comme « relativement à zéro », et l’on considère donc des nombres qui peuvent être positifs (supérieurs à zéro) ou négatifs (inférieurs à zéro).

Il existe des nombres entiers relatifs positifs (0, + 1, + 2, + 3, etc.) et des nombres entiers relatifs négatifs (0,  1,  2,  3, etc.).

Il existe des nombres décimaux relatifs positifs (exemple : + 1,825) et des nombres décimaux relatifs négatifs (exemple :  6,07).

Comparer deux nombres relatifs

l Si l’un des deux nombres est positif et l’autre négatif  : c’est le nombre négatif qui est le plus petit.

Exemple 2 < + 1.

l Si les deux nombres sont positifs : on applique la règle habituelle de com paraison.

Exemple6 < 8 soit + 6 < + 8.

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Nombres relatifs

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l Si les deux nombres sont négatifs : c’est le nombre qui a la plus grande dis tance à zéro qui est le plus petit.

Exemple 8 < 6 car la distance 8 à zéro est 8, ce qui est plus grand que la distance de 6 à zéro qui n’est que 6.

Additionner les nombres relatifsl Pour deux nombres relatifs de même signe : on ajoute les deux distances par rap-

port à zéro, et on met devant le résultat le signe commun aux deux nombres.

Exemples( 2) + ( 3) = ( 5) (+ 6) + (+ 8) = (+ 14)

l Pour deux nombres relatifs de signes différents : on soustrait les deux dis tances à zéro, et on met devant le résultat le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.

Exemples( 2) + (+ 5) = (+ 3) le signe du résultat est + car 5 > 2.( 7) + (+ 2) = ( 5) le signe est car 7 > 2.

l Quand deux nombres sont opposés : leur somme est égale à zéro.

Exemple( 4) et (+ 4) sont opposés : ( 4) + (+ 4) = 0.

Différence de deux nombres relatifsl Pour soustraire un nombre relatif, il faut ajouter son opposé.

Exemples(+ 12) – ( 4) = (+ 12) + (+ 4) = (+ 16)( 7) – ( 9) = ( 7) + (+ 9) = (+ 2)(+ 10) – (+ 18) = (+ 10) + ( 18) = ( 8)( 6) – (+ 8) = ( 6) + ( 8) = ( 14).

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Écriture simplifiée des relatifsl Dans une suite d’additions de nombres relatifs, on peut supprimer les signes d’ad-

dition et les parenthèses.

Un nombre positif écrit en début de calcul peut s’écrire sans signe (mais pas un nombre négatif).

Exemples(+ 7) + (+ 11) + ( 16) peut s’écrire 7 + 11 – 16.( 3) + (+ 2) + ( 5) peut s’écrire 3 + 2 – 5.Inversement, le calcul 5 – 8 + 11 peut s’écrire (+ 5) + ( 8) + (+ 11).

Effectuer une suite de calculs avec des nombres relatifsl S’il n’y a pas de parenthèses encadrant les calculs :1re tactique  : on transforme les soustractions de nombres relatifs négatifs en addi-tions, on supprime les termes opposés s’il y en a, puis on regroupe les termes positifs et les termes négatifs, et on effectue les sommes de ces termes.

Exemple ( 4) – ( 8) – ( 7) + ( 8) + (+ 15)= ( 4) + (+ 8) + (+ 7) + ( 8) + (+ 15)= ( 4) + (+ 7) + (+ 15)= ( 4) + (+ 22) = (+ 18).

2e tactique : on applique les règles de simplification des écritures, on sup prime les opposés, on regroupe les termes positifs et négatifs et on effectue les sommes.

Exemple ( 4) – ( 8) – ( 7) + ( 8) + (+ 15)= 4 + 8 + 7 – 8 + 15= 4 + 7 + 15= 4 + 22 = 18.

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l S’il y a des calculs encadrés par des parenthèses : on commence par effec tuer les calculs dans les parenthèses, ensuite on applique une des méthodes précédentes.

Exemple ( 5) – ( 6 + 4) + (7 – 11)= ( 5) – ( 2) + ( 4)= 5 + 2 – 4= 9 + 2 = 7.

Multiplication de deux nombres relatifsPour multiplier deux nombres relatifs, on multiplie leurs distances à zéro, puis on détermine le signe du produit :l si les deux nombres sont de même signe, le produit est positif ;l si les deux nombres sont de signes différents, le produit est négatif.

Exemples( 3) × ( 8) = (+ 24) ( 2) × (+ 6) = ( 12)(+ 6) × (+ 7) = (+ 42) (+ 8) × ( 3) = ( 24)

Multiplication de plusieurs nombres relatifsOn compte le nombre de nombres négatifs dans ce produit :l si ce nombre est pair, le produit est positif ;l si ce nombre est impair, le produit est négatif.

Exemples( 2) × ( 5) × (+ 7) × ( 6) = 420 (il y a trois négatifs donc le produit est négatif). ( 6) × (+ 5) × ( 5) × (+ 4) = + 600 (il y a deux négatifs donc le produit est positif).

Division de deux nombres négatifsPour diviser deux nombres relatifs (le diviseur n’étant pas zéro) :l on divise leurs distances à zéro ;l on applique la même règle de signe que pour la multiplication.

Exemples( 8)( 2)

= (+ 4) ( 15)(+ 5)

= ( 3)

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Priorités

l Si un calcul comporte des opérations entre parenthèses, celles–ci sont effec tuées en priorité.

Exemples( 6) – (( 5) + ( 2)) = ( 6) – ( 7) = 6 + 7 = + 1.( 2,5) × ( 4 + 8) = ( 2,5) × (+ 4) = ( 10).

l Si un calcul ne comporte pas d’opérations entre parenthèses, les multiplica tions et les divisions sont effectuées en priorité sur les additions et les sous tractions.

Exemple( 3) + ( 4) × (+ 3) = 3 + ( 12) = ( 15).

Conduire un calcul…On observe d’abord la présence éventuelle de parenthèses, puis d’opérations de priorités différentes...Mais pour faciliter le calcul de certaines expressions, on peut utiliser aussi la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition ou à la soustraction :

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

a × (b – c) = (a × b) – (a × c)

Exemples ( 8) × (+ 13) + ( 8) × ( 3)= ( 8) × (+ 13 + ( 3))= ( 8) × (+ 10) = ( 80).

( 75) × (+ 102)= ( 75) × (100 + 2)= ( 75) × 100 + ( 75) × 2= 7 500 – 150 = 7 650.

Avant d’exécuter un calcul, on pourrait dire qu’il se médite…

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Exercices d’entraînement

Niveau 1 :0 0 1 5

1. Ranger par ordre décroissant les nombres suivants :

11 11,8 18 + 11 10,8

2. Calculer x dans chacune des égalités suivantes :

a. 6 + x = 2 b. x + ( 3) = + 1 c. (+ 5) + x = 8

3. Calculer les quatre nombres suivants :

A = ( 14) – ( 11) C = 7 – 8 + 9 – 7B = (+ 25) + ( 7) D = 6 – 15 – 7 + 2

4. Calculer les deux nombres suivants :

E = 17 – (( 3) – (+ 12)) F = (13 – ( 2)) – (9 – (+ 12))

5. Calculer : ( 2) × (+ 4) × ( 5) × ( 3)

6. Calculer : ( 7) + ( 3) × ( 2) – ( 9)

7. Calculer : 15 – [7 – [ 3 – ( 12)]]

8. Déterminer x sachant que : ( 5) + ( x) = 15

9. Calculer les trois expressions suivantes :

a. ( 9)( 3)

b. 7 × ( 4) c. 5 × ( 2 + 6)

10. Calculer astucieusement :

A = 970 × ( 13) + 30 × ( 13)B = 99 × (+ 25)

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Niveau 2 :0 0 2 5

11. Que vaut 3 – (2 – (1 – (3 – (2 – (1 – 3))))) ?

q a. 3 q b. 1 q c. 0 q d. 1 q e. 3

12. Roméo et Juliette ont décidé d’explorer un gouffre dont le point le plus bas est situé à 426 m par rapport au niveau de l’entrée. Ils arrivent à – 134 m et doivent descendre dans un puits pour atteindre un ruisseau souterrain qui coule à – 251 m. Lorsqu’ils ont atteint ce ruisseau, de combien de mètres doivent–ils encore descendre pour atteindre le fond du gouffre ?

q a. 41 m q b. 175 m q c. 185 m q d. 292 m q e. 309 m

13. Du cube de (– 1) on soustrait le carré de (– 4). Que vaut cette différence ?

q a. 65 q b. 7 q c. 63 q d.  15 q e.  17

14. – 2² – 2² = combien ?

q a.  23 q b.  20 q c. 20 q d. 24 q e. 42

15. Le nombre 1 – 2 + 3 – 4 + … + 2 005 – 2 006 n’est pas :

q a. entier q b. négatif q c. inférieur à 500 q d. multiple de 3 q e. multiple de 2

16. Que vaut : 2 – 4 + 6 – 8 + … – 204 + 206 – 208 + 210 ?

q a. 104 q b. 106 q c. 210 q d. 208 q e. 210

17. Que vaut ( 1)2 006 – ( 1)2 007 ?

q a. 2 q b. 1 q c. 0 q d. 1 q e. 2

18. Parmi les nombres suivants, quel est le plus petit qui dépasse 117

 ?

q a. 1,57 q b. 1,58 q c. 1,56 q d. 11,7 q e. 11,71

19. Que vaut – 2,333… ?

q a. 53

q b. (2 + 310 ) q c. 2,34 q d.

73

q e. 2,4

20. 2 006 – (1 – 2) – (3 – 4) – (5 – 6) –... – (2 005 – 2 006) = combien ?

q a. 1 003 q b. 2 006 q c. 3 009 q d. 0 q e. 4 012

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Corrigés des exercices

1. Par ordre décroissant : + 11 > 10,8 > 11 >  11,8 >  18.

2. a. 6 + x = 2 donne x = – 2 – 6 = 8b. x + ( 3) = + 1 donne x = + 1 – ( 3) = + 4c. (+ 5) + x = 8 donne x = 8 – (+ 5) = 13

3. A = ( 14) – ( 11) = 14 + 11 = 3B = (+ 25) + ( 7) = + 18C = 7 – 8 + 9 – 7 = 15 + 9 – 7 = 6 – 7 = 13D = 6 – 15 – 7 + 2 = 9 – 7 + 2 = 16 + 2 = 14

4. E = 17 – (( 3) – (+ 12)) = 17 – ( 3 – 12) = 17 – ( 15) = 17 + 15 = + 32F = (13 – ( 2)) – (9 – (+ 12)) = (13 + 2) – (9 – 12) = 15 – ( 3) = 15 + 3 = 18

5. ( 2) × (+ 4) × ( 5) × ( 3) = 120, le résultat est négatif car il y a un nombre impair (3) de nombres négatifs dans le produit.

6. ( 7) + ( 3) × ( 2) – ( 9) = 7 + 6 + 9 = 1 + 9 = + 8.

7. 15 – [7 – [ 3 – ( 12)]] = 15 – [7 – ( 3 + 12)]= 15 – (7 – 9)= 15 – ( 2) = 15 + 2 = 17.

8. ( 5) + ( x) = 15 donne 5 – 15 = x, d’où x = 20.

9. a. ( 9)( 3)

= + 3

b. 7 × ( 4) = 28c. 5 × ( 2 + 6) = 5 × (4) = 20

10. A = 970 × ( 13) + 30 × ( 13) B = 99 × (+ 25) = (970 + 30) × ( 13) = (100 – 1)(25) = 1 000 × ( 13) = 13 000 = 100 × 25 – ( 1) × 25 = 2 500 + 25 = 2 475.

11. Bonne réponse : e. 3 – (2 – (1 – (3 – (2 – (1 – 3))))) = 3 – (2 – (1 – (3 – (2 – ( 2)))))= 3 – (2 – (1 – (3 – (4))))= 3 – (2 – (1 – ( 1)))= 3 – (2 – (2)) = 3

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12. Bonne réponse : b.Dans ce genre d’exercices, un dessin pourrait aider à mieux comprendre l’énoncé et à trouver rapidement la solution :

Entrée du gou�re

Fond du gou�re

0 m

– 134 m

– 251 m (ruisseau)

Distance recherchée

– 426 m

Le 134 ne sert à rien. On calcule 426 – 251 = 175 m.

13. Bonne réponse : e.On écrit le calcul : ( 1)3 – ( 4)2 = 1 – (+ 16) = 17.

14. Bonne réponse : a. 4 – 4 = 8 = 23.En l’absence de parenthèses, la puissance s’applique au 2 et non au signe –, de même que la multiplication a priorité sur la soustraction.

15. Bonnes réponses : d. et e.Il faut d’abord effectuer le calcul : 1 – 2 + 3 – 4 +... 2 005 – 2 006

On remarque qu’on peut regrouper les nombres composant ce calcul par paires, chaque paire composant une soustraction et chaque soustraction étant égale à 1.Il faut donc calculer le nombre de paires. Il y a 2 006 nombres dans le calcul.

Quand on les regroupe par deux, cela donne 2 0062 = 1 003 paires.

Le résultat est donc : 1 × 1 003 = 1 003. 1 003 est un nombre entier négatif inférieur à 500, mais il n’est ni multiple de 3 ni multiple de 2.

16. Bonne réponse : b.Il y a 105 nombres, on laisse le premier 2, et les 104 autres peuvent être regroupés par paires (voir exercice précédent) soit 52 paires donnant chacune 2.D’où la somme : 2 + 52 × 2 = 106.

= 1 = 1 = 1

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17. Bonne réponse : e.2 006 est pair, donc : ( 1)2 006 = 1 ; 2 007 est impair, donc : ( 1)2 007 = 1.On a donc : 1 – ( 1) = 2.

18. Bonne réponse : a. 11

7 vaut environ 1,5714, le plus petit nombre supérieur proposé est 1,57.

19. Bonne réponse : d.

Seul 73 donne la bonne valeur.

Au b. on trouve 2,3 ce qui n’est pas exactement la réponse mais seulement une valeur approchée.

20. Bonne réponse : c.2 006 – ( 1 × 1 003) = 2 006 + 1 003 = 3 009.

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3Pourcentages

Même si le concept mathématique peut sembler théorique, les pourcentages dans les pro fessions médicales sont au contraire tout ce qu’il y a de pratique et de quotidien. Il faut être monté très haut dans la hiérarchie médicale pour ne plus avoir à faire « en vitesse s’il vous plaît » une dilution de 10 %, ou d’augmenter une dose de 5 %.

Maîtrisez les pourcentages pour le concours : cela vous servira encore pour de longues années !

D’une part 5 %, c’est le nombre 5

100 ou 0,05.

D’autre part, dire qu’un gâteau contient 5 % de sucre signifie que :

dans 100 g de gâteau, il y a 5 g de sucre ;

dans 200 g de gâteau, il y a 10 g de sucre ;

dans 300 g de gâteau, il y a 15 g de sucre ;

dans un nombre N de grammes de gâteau il y a 0,05 × N grammes de sucre.

Appliquer un taux de pourcentage p % à un nombre x

Cela consiste à multiplier ce dernier par : p100

.

Exemple

Calculer 20 % de 50 euros.50 × 20

100 = 50 × 0,2 = 10

donc 20 % de 50 euros c’est 10 euros.

Calculer un taux de pourcentage

Exemple

Dans une école de 250 élèves, 80 sont des demi-pensionnaires. Quel est le taux de demi-pensionnaires dans cette école ?

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La fraction de demi-pensionnaires dans l’école est 80250

, ce nombre est égal à 0,32, soit 32

100.

Le pourcentage de demi-pensionnaires est 32 %.On peut aussi dresser un tableau de proportionnalité, dans lequel un même coeffi-cient de multiplication permet de passer de la première à la deuxième ligne, en cher-chant quel nombre mettre dans la case de la deuxième ligne située en dessous du nombre 100 marqué en première ligne.

Nombre d’élèves 250 100

Nombre de demi-pensionnaires 80 ?

La valeur du point d’interrogation se calcule en appliquant la règle du « produit en croix » :250 × ? = 80 × 100 donc on trouve la solution en calculant 80 × 100

250, et on trouve 32.

En conclusion, le taux de pourcentage de x par rapport à y est égal à : 100y

x × .

Augmenter un nombre de x %

Cela revient à le multiplier par : 1 + x100( ) .

Exemple

Un article coûte 200 euros, son prix augmente de 3 %. Quel est le nouveau prix ?On calcule 1 + 3 % = 1,03, puis 200 × 1,03 = 206. Le nouveau prix est 206 euros.

Diminuer un nombre de x %

Cela revient à le multiplier par : 1 – x100( ) .

ExempleUn article coûte 150 euros, son prix baisse de 5 %. Quel est le nouveau prix ?On calcule : 1 – 5 % = 0,95 ; puis 150 × 0,95 = 142,50. Le nouveau prix est 142,50 euros.

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Retrouver la valeur initiale après application d’un pourcentage

Exemple

Après une augmentation de 8 %, un DVD coûte 27 euros. Quel était son prix avant l’augmentation ?Soit p le prix avant augmentation. On sait que 1 + 8 % = 1,08 donc p × 1,08 = 27, et on obtient p = 27

1,08 = 25. Le prix du DVD avant l’augmentation était 25 euros.

On peut retenir, pour une augmentation de t % :

valeur initiale = (valeur finale) / 1 + t100( )

D’autre part, s’il y a eu une baisse de t % :

valeur initiale = (valeur finale) / 1 − t100( )

Exemple

Si un prix est devenu 75 euros après une baisse de 20 %, c’est que le prix

initial était : 1 − 20

100( )75 = 75

0,80 = 93,75 soit 93,75 euros.

Composer (enchaîner) des pourcentages

Exemple

Dans un collège, les effectifs ont augmenté de 10 % l’an dernier, puis de 20 % cette année. De quel pourcentage global ont-ils augmenté pendant cette période de 2 ans ?Soit E l’effectif de départ, au bout d’un an il est devenu 1,10 E : en effet le cœfficient de multiplication pour passer d’une année à l’autre est : 1 + 10 % = 1,10.

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La deuxième année il est multiplié par 1,20 donc en deux ans il devient 1,2(1,1 E) = 1,32 E.Le passage de E à 1,32 E est une augmentation de 32 % car 132 % = 100 % + 32 %.

Augmenter successivement de 10 % puis de 20 % revient à augmenter glo balement de 32 %.

Quelques situations qu’on pourrait traiter par un calcul mentall « Multiplier par 3 » c’est augmenter de 200 % : Si le nombre de départ est 100, il devient 300, donc il a augmenté de 200 ce qui repré-

sente 200 % de 100.l « Augmenter de 400 % » c’est multiplier par 5 : Si le nombre de départ est 100, augmenter de 400 permet d’obtenir 500, or ce nombre

est 5 fois 100.l « Baisser de 10 % puis augmenter de 10 % » est-ce revenir au point de départ ? Si le nombre de départ est 100, la baisse de 10 % le fait arriver à 90. Une hausse de 10 % de 90, soit 9, le conduit ensuite à 99. Globalement on est passé de

100 à 99 donc on a baissé de 1 %.

« Baisser de 10 % puis augmenter de 10 % » revient globalement à baisser de 1 %.

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Exercices d’entraînement

:0 0 1 5

Niveau 11. Quel est l’intérêt rapporté annuellement par une somme de 100 euros lorsque

le taux du placement est 4,25 % ?

2. Une personne a emprunté 3 600 euros à 5 %. À la fin de l’année, elle rembourse le capital et les intérêts. Quelle somme doit-elle verser ?

3. Placé à 4 %, un capital a rapporté 300 euros en un an. Quel est le montant de ce capital ?

4. Ayant emprunté 40 000 euros, une personne verse annuellement 2 500 euros d’intérêt. À quel taux a-t-elle contracté son emprunt ?

5. Un commerçant consent une remise de 5 % à un client sur le prix d’un appareil photo marqué 680 euros. Combien le client paie-t-il ?

6. Une note de restaurant s’élève à 80 euros auxquels s’ajoutent 12 euros de ser-vice. Quel est le taux de ce service ?

7. Le lait écrémé donne 14 % de son volume de crème. Combien faut-il écrémer de litres de lait pour en obtenir un litre de crème ?

8. Un fromage porte la mention 45 % de matières grasses. Combien de grammes de matières non grasses y a-t-il dans un fromage de 200 grammes ?

9. Un prix baisse de 20 %. De quel pourcentage faudrait-il augmenter ce nouveau prix pour revenir au premier ?

10. Quel est le bilan, en pourcentage du prix d’origine, de deux baisses successives, l’une de 20 % puis l’autre de 10 % ?

Niveau 2 :0 0 2 5

11. Quel est le pourcentage de remise quand on fait payer 231 euros un objet marqué 275 euros ?

q a. 16 % q b. 19 % q c. 20 % q d. 22 % q e. 44 %

12. Le magasin X solde : – 30 % sur tout le stock. Un article marqué 300 euros est vendu :

q a. 330 euros q b. 390 euros q c. 270 euros q d. 210 euros q e. une autre valeur

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13. Dans le magasin Y qui solde à – 20 %, j’ai acheté un petit meuble à 180 euros.Quel était l’ancien prix ?q a. 200 euros q b. 216 euros q c. 154 euros q d. 225 euros q e. une autre valeur

14. Si un œuf d’autruche pesant 200 g contient 12 % de protéines, 11 % de graisses, 11,5 % de sels minéraux, et le reste en eau, quelle quantité d’eau contient-il ?

q a. 69 g q b. 199,10 g q c. 131 g q d. 13,10 g q e. 19,1 g

15. Une entreprise va être privatisée. L’État possède actuellement 52 % des parts. Un actionnaire X possède 24 % des parts et un actionnaire Y possède 22 % des parts. L’actionnaire Y voudrait être sûr de prendre la majorité absolue. Si l’État vend toutes ses parts, Y doit acquérir le pourcentage suivant des parts mises en vente :

q a. 28 % q b. 26 % q c. 54 % q d. 30 % q e. 48 %

16. À l’association sportive, on ne pratique que deux sports : le rugby et le foot. Le tiers des footballeurs jouent aussi au rugby, et 50 % des rugbymen jouent aussi au football. Quel est le pourcentage de ceux qui pratiquent à la fois les deux sports au sein de l’association ?

q a. 40 % q b. 60 % q c. 25 % q d. 83,3 % q e. 100 %

17. Dans un étang de jardin il y a 100 poissons. 100 % d’entre eux sont rouges. La moitié des poissons sont retirés. Quelle est alors la proportion de poissons rouges dans l’étang ?

q a. 0 % q b. 25 % q c. 50 % q d. 75 % q e. 100 %

18. Roméo a acheté 23 bouteilles de jus d’orange. Grâce à un marchandage, Juliette a obtenu une réduction de prix de 8 % par bouteille ; elle a pu ainsi acheter pour le même prix 2 bouteilles de plus que Roméo. Quel était le prix initial en euros d’une bouteille ?

q a. 1,5 q b. 1,3 q c. 1,2 q d. on ne peut pas savoir q e. 0,8

19. Une paire de chaussures, qui coûtait initialement 100 euros, a subi une pre-mière augmentation de 60 %. Une seconde augmentation a ensuite amené le prix au double du prix initial. Quel est le taux de cette seconde augmentation ?

q a. 20 % q b. 25 % q c. 40 % q d. 50 % q e. 80 %

20. Si je dors 8 heures par nuit pendant la semaine et 11 heures et demie durant chacune des deux nuits du week-end, quel pourcentage de mon temps est consacré à dormir ?

q a. 30 % q b. 33,3 % q c. 35 % q d. 37,5 % q e. 40 %

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Corrigés des exercices

1. L’intérêt en euros est : 100 × 4,25 % = 100 × 0,0425 = 4,25 soit 4,25 euros.

2. Ajouter 5 % c’est multiplier par 105 % soit 1,05.La somme à verser est : 3 600 × 1,05 = 3 780 euros.

3. Soit C le capital, C × 0,04 = 300 donc C = 3000,04

= 7 500 euros.

4. Le taux est : 2 50040 000 = 0,0625 soit 6,25 %.

5. Diminuer de 5 % c’est multiplier par 0,95. Le client paie : 680 × 0,95 = 646 euros.

6. Le taux est : 1280

= 0,15 soit 15 %.

7. Si un litre de crème est 14 % du volume de lait, alors 1 % de ce volume c’est 14 fois moins de crème et 100 % c’est 100 fois plus. Ainsi 100 % de ce volume en litres c’est :

100 × 114 = 7,143 litres environ

8. Matières grasses 45

Non grasses 55

Total 100 200

Le pourcentage de matières non grasses du fromage est : 100 % – 45 % = 55 %.Il faut multiplier par 2 pour passer de l’avant dernière à la dernière colonne.Les matières non grasses d’un fromage de 200 g pèsent 55 × 2 = 110 g.

9. Quand on baisse de 20 %, on passe de 100 à 80. Quand on passe de 80 à 100 on aug-mente de 20 par rapport à 80, mais 20 c’est un quart de 80, donc pour annuler une baisse de 20 % il faut enchaîner avec une hausse de 25 %.

10. La première baisse de 20 % fait passer de 100 à 80. La deuxième baisse, de 10 %, fait passer de 80 à 80 – 8 = 72. Le bilan est un passage de 100 à 72 soit une baisse de 28 %.Conclusion : baisser de 20 % puis baisser de 10 % revient à baisser d’un coup de 28 %.

11. Réponse a.

On a 275 – 231 = 44 ; 44275 = 0,16 donc le pourcentage de remise est 16 %.

12. Réponse d.On a 300 × 30 % = 90 ; 300 – 90 = 210 donc l’article est vendu 210 euros.

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Pourcentages3C

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S 13. Réponse d.Le prix soldé est 80 % du prix normal ; 180 × 100

80 = 225 donc l’ancien prix était 225 euros.

14. Réponse c.Le pourcentage d’eau est 100 % – 11 % – 12 % – 11,5 % = 65,5 %.L’eau pèse 200 × 65,5 % = 131 g.

15. Réponse c.Pour avoir la majorité absolue, Y doit posséder plus de 50 % des parts de l’entre prise. Y doit donc acheter plus de 28 % des parts. L’État a 52 % des parts, donc il faut que Y ob-

tienne plus des 2852

e des parts de l’État, ce qui fait plus de leur moitié ; cela donne environ

53,8 %, on en prend 54 % pour avoir la majorité absolue, toutes les autres propositions sont à rejeter car elles sont inférieures à 50 % des parts de l’État.

16. Réponse c.Soit x le nombre de rugbymen non footballeurs, il y a alors x rugbymen footballeurs qui sont aussi les footballeurs rugbymen, et donc (2x) footballeurs non rugbymen. En tout il y a (4x) sportifs, et la proportion des adeptes des deux sports en même temps est

x4x

= 14

= 25 %.

17. Réponse e.Il n’y a que des poissons rouges : donc 100 % de rouges.

18. La meilleure réponse est d.Mais les valeurs proposées sont toutes possibles…Soit x le prix initial d’une bouteille, après réduction de 8 % il devient 92 % de x, et le nombre de bouteilles achetées par Juliette est 23 + 2 = 25.Les 2 personnes paient le même prix : 23 x = 25(0,92 x) soit 23 x = 23 x.Comme cette équation est vérifiée par tout nombre x, on ne peut connaître le prix initial.

19. Réponse b.De 160 à 200 il faut augmenter de 40 ce qui fait 40

160 = un quart d’augmentation

ou 25 %.

20. Réponse d.Total d’heures de sommeil  : 5 × 8 + 11,5 × 2 = 63  heures. En une semaine il y a  :

24 × 7 = 168 heures. Le sommeil représente 63168

= 0,375 ou 37,5 % du temps.

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4Calculs, prioritéset estimations

Selon les années et les régions, les concours privilégient soit le raisonnement mathématique, soit la pratique du calcul. Il ne faut donc négliger ni l’un ni l’autre. Il est de toute façon toujours utile de rafraîchir sa mémoire et de réapprendre les règles de calcul qu’on nous a enseignées à l’école. Par ailleurs, dans certains concours, on trouve des épreuves d’estimations mathématiques, des questions où le candidat n’a pas le temps de faire des calculs complexes, mais où avec un peu de bon sens, il doit faire une estimation et choisir la bonne réponse à un QCM. Il faut donc s’entraîner à faire des estimations pertinentes.

Priorités

Calculs sans parenthèses

l Dans un calcul sans parenthèses et formé uniquement d’additions et de soustractions, les calculs s’effectuent de gauche à droite.

Exemple39 – 5 + 6 = 34 + 6 = 40.

l Dans un calcul sans parenthèses, la multiplication et la division sont effec tuées en priorité sur l’addition et la soustraction.

Exemples4 + 7 × 3 = 4 + 21 = 25 ; 7 – 6 / 3 = 7 – 2 = 5.

Calculs avec parenthèses

Dans un calcul avec parenthèses, les calculs entre parenthèses sont effectués en priorité.

Exemples

15 – (8 – 3) = 15 – 5 = 10 ;(8 + 6 × 2) × (7 – 4 × 2) = (8 + 12) × (7 – 8) = (20) × ( 1) = 20.

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Calculs, priorités et estimations

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Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition et à la soustractionQuels que soient les nombres a, b, c :l Les calculs : a × (b + c) et (a × b) + (a × c) donnent le même résultat :

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Ce résultat se note également :

a (b + c) = a b + a c

l Les calculs : a × (b - c) et (a × b) - (a × c) donnent le même résultat :

a × (b – c) = (a × b) – (a × c)

Ce résultat se note également :

a (b – c) = a b – a c

Exemples

• Pour calculer 62 × 99 « de tête », on peut penser à effectuer :62 × 99 = 62 × (100 – 1) = 62 × 100 – 62 × 1 = 6 200 – 62 = 6 138.• Pour calculer de tête 7 × 35 + 7 × 45, on peut penser à effectuer :7 × 35 + 7 × 45 = 7 × (35 + 45) = 7 × 80 = 560.

Parenthèses emboîtéesS’il y a des parenthèses les unes dans les autres, on commence par les paren thèses les plus internes.

Exemple

Calculer le nombre N égal à (5 + (4 × (3 – 2)) 6).N = (5 + (4 × 1) – 6) = (5 + 4 – 6) = 9 – 6 = 3.

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