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Les lignes de transmission

RÉMI SIESKIND – [email protected]

Table des matières

1 Les lignes : utilité et mode de propagation 1

1.1 Intérêt et technologies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Le mode TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 L’ARQP et les hautes fréquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Modèles de lignes 2

2.1 Modèle à constante réparties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Modèle de la ligne parfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Impédance caractéristique et adaptation 4

3.1 Impédance et coefficient de réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Abaque de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 Les lignes : utilité et mode de propagation

1.1 Intérêt et technologies

En transmission de l’information par micro-ondes, il existe deux types de propagation : la radio-propagation,dans l’air, à longue portée, et la propagation guidée, dans les lignes de transmission qu’on trouve engénéral entre une antenne et un analyseur. Une ligne de transmission est composée de deux conduc-teurs séparés par un diélectrique dans lequel se propage l’on de électromagnétique (

�!E ,

�!H ). Il existe

trois grands types de ligne : La ligne coaxiale, la ligne bifilaire et la ligne microruban (fig. 1).

1.2 Le mode TEM

On appelle onde Transverse ElectroMagnétique une onde électromagnétique telle que�!E et

�!H soient

orthogonaux au vecteur d’onde�!k . On se limitera à l’étude de ce mode dans nos lignes car il permet

de définir une dualité simple entre�!E et une tensionV entre les deux conducteurs et entre

�!H et une

intensité dans chaque (fig. 4).

FIGURE 4 – Exemple dans une ligne micro-ruban

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Leçon lignes de transmission

FIGURE 1 – Ligne micro-rubanFIGURE 2 – Ligne coaxiale

FIGURE 3 – Ligne bifilaire

1.3 L’ARQP et les hautes fréquences

L’Approximation des Régimes Quasi-Permanents revient à considérer comme négligeable les temps depropagation des ondes électromagnétiques devant la période du signal ou à considérer les dimensionsdu circuit très petites devant la longueur d’onde. A cette condition, un fil peut-être considéré commeéquipotentiel, mais dans le cas des micro-ondes, f ' 1 GHz et � ⇠ 30 cm. L’ARQP est donc mise endéfaut dans nos lignes. En fonction de la charge à l’entrée et à la sortie, ces ondes vont être réfléchies ettransmises en bout de ligne, on essaye généralement de limiter les réflexions qui constituent une pertede puissance de signal.

2 Modèles de lignes

2.1 Modèle à constante réparties

i(z, t)R1dz L1dz i(z + dz, t)

G1dz C1dzv(z, t) v(z + dz, t)

R1 = Résistance série linéique en ⌦.m�1

L1 = Self inductance linéique en H.m�1

G1 = Conductance linéique de l’isolant en ⌦�1.m�1

C1 = Capacité linéique en F.m�1

On suppose l’ARQP valable entre z et z + dz.

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Leçon lignes de transmission

Loi des mailles :

v(z, t) = R1dz.i(z, t) + L1dz@i(z, t)

@t+ v(z + dz, t)

Loi des noeuds :

i(z, t) = G1dz.v(z + dz, t) + C1dz@v(z + dz, t)

@t+ i(z + dz, t)

Au premier ordre : 8><

>:

�@v

@z= R1i+ L1

@i

@t

� @i

@z= G1v + C1

@v

@t

En dérivant par rapport à z :8><

>:

@2v

@z2= L1C1

@2v

@t2+ (R1C1 + L1G1)

@v

@t+R1G1v

@2i

@z2= L1C1

@2i

@t2+ (R1C1 + L1G1)

@i

@t+R1G1i

Ces équations sont appelées équations des télégraphistes. Comme elles sont identiques en v et en i, onne va résoudre que pour v. On cherche v de la forme v(z, t) = V (z)ej!t (solution ondulatoire). On a

alors :@2V

@z2= �L1C1!2V + j!(R1C1 + L1G1)V +R1G1V = (R1 + jL1!)(G1 + jC1!)V

On écrit :@2V

@z2= �2V et on pose � = ↵+ j�.

D’où V = Vi

e�↵ze�j�z + Vr

e↵zej�z et v(z, t) = Vi

e�↵zej(!t��z) + Vr

e↵zej(!t+�z). On a donc la sommed’une onde de tension incidente (vers les z croissants) et une onde de tension réfléchie (vers les zdécroissants) et v

p

= !

est appelée vitesse de phase ( ⇠ 2.108m.s�1).

2.2 Modèle de la ligne parfaite

On considère ici un conducteur parfait (R1 = 0) et un isolant parfait (G1 = 0)

i(z, t)L1dz i(z + dz, t)

C1dzv(z, t) v(z + dz, t)

A nouveau, l’ARQP est valable entre z et z + dzLoi des mailles :

v(z, t) = L1dz@i(z, t)

@t+ v(z + dz, t)

Loi des noeuds :

i(z, t) = C1dz@v(z + dz, t)

@t+ i(z + dz, t)

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Leçon lignes de transmission

Au premier ordre : 8><

>:

�@v

@z= L1

@i

@t

� @i

@z= C1

@v

@t

En dérivant par rapport à z : 8><

>:

@2v

@z2= L1C1

@2v

@t2@2i

@z2= L1C1

@2i

@t2

A nouveau, on cherche v de la forme v(z, t) = V (z)ej!t (solution ondulatoire).On obtient v(z, t) = V

i

ej!(t� zc ) + V

r

ej!(t+ zc ) avec c = 1p

L1C1.

On perd le terme atténuateur en e�↵z.

3 Impédance caractéristique et adaptation

3.1 Impédance et coefficient de réflexion

On définit Zc

=Vi

Ii= R1+jL1!

d’où Zc

=q

R1+jL1!

G1+jC1!

Souvent Zc

= 50⌦ en micro-ondes 600⌦ en téléphonie et 75⌦ en vidéo.

Dans le cas du modèle sans pertes, on a Zc

= Rc

=q

L1C1

Exemple : câble coaxial RG-58U (diélectrique en po-lyéthylène)

⇢cond

1, 7.10�8⌦.m�1

2a 0, 406mm2b 1, 418mme 0, 25mm✏r

2, 25µr

1⇢isol

3.1013⌦.m�1

C1 = 2⇡✏0✏rln( b

a )100pF.m�1

L1 = 12⇡µ0µr

ln( ba

) 0, 25µH.m�1

c 2.108m.s�1

Rc

50⌦

On définit �L

=Vr,L

Vi,Lle coefficient de réflexion et �

L,d

= �L

e�2↵de�2j�d le coefficient ramené en d.

ZL

=VL

IL

=Vr,L

+ Vi,L

Ir,L

+ Ii,L

=Vi,L

Ii,L

1 + �L

1� �L

On pose z =ZL

ZC.

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Leçon lignes de transmission

FIGURE 5 – Schéma d’une ligne chargée

Si ZL

(ici, Rload

) = Zc

alors �L

= 0, on n’a pas de réflexion (régime d’onde progressive).

FIGURE 6 – Transmission d’une impulsion vers une charge de 50⌦

Si ZL

= 1 alors �L

= 1, on a réflexion.

FIGURE 7 – Transmission d’une impulsion vers une charge infinie

Si ZL

= 0 alors �L

= �1, on a réflexion inversée.

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Leçon lignes de transmission

FIGURE 8 – Transmission d’une impulsion vers une charge nulle

3.2 Adaptation

On s’intéresse à la puissance absorbée par un dipôle en bout de ligne. Pabs

= Pinc

� Pref

= Pinc

(1 �|�

L

|2) et maximiser la puissance revient à avoir �L

= 0, z = 1 ou ZL

= ZC

.Si on a une onde réfléchie, il existe un système d’onde stationnaires. On le caractérise par le TOS ouSWR =

1+|�L|1�|�L| � 1, jusqu’à 1,2, on considère la charge bien adaptée.

NB : �L,d

= ��L

si d = �

4 , ce qui signifie qu’on peut changer un charge inductive en une chargecapacitive pour une certaine longueur d’onde en rajoutant une certaine longueur de ligne. De plus si lacharge vaut R1 à un bout, l’onde voit R2 à l’autre bout tel que R1R2 = Z

C

2. La ligne quart d’onde estun adaptateur d’impédance.

3.3 Abaque de Smith

(� = p+ jq

z = r + jx

� = z�1z+1 donc p+ jq = r�1+jx

r+1+jx

D’où p(r + 1)� qx+ j((r + 1)q + px) = r � 1 + jx

(p(r + 1)� qx = r � 1

(r + 1)q + px = x

(p(r + 1)� q2 r+1

1�p

= r � 1

x = q r+11�p

D’où p(r + 1)(1� p)� q2(r + 1) = r � 1 et (p� r

1+r

)2 + q2 = ( 11+r

)2 qui est l’équation d’un cercle pourr constant. De même si on élimine r au lieu de x, (p� 1)2 + (q � 1

x

)2 = ( 1x

)2. Ce qui explique l’abaquede Smith : à partir de z, on retrouve �.

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Leçon lignes de transmission

FIGURE 9 – Abaque de Smith

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