LISA-France 1/2/07
Localisation d’une sourceMonochromatique avec
LISA
Jean-Yves Vinet
LISA-France 1/2/07
Contributions existantes:
C. Cutler, Phys. Rev D 57 p.7089 (1998)
N.J. Cornish & L.J. Rubbo, Phys. Rev D 67 022001 (2003)
L’équipe de APC
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( , )
binaire
LISA
Soleil
*angle d’inclinaison i*phase
Calculer les paramètres(i,h+,hx)À partir des données de LISA
i
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sin cos cos cos sin
sin sin , cos sin , cos
cos sin 0
w
w
Trièdre liéà la direction deLa source
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Fonctions directionnelles pour 1 bras
n
2 2( . ) ( . )n n
2( . )( . )n n
xMasses d’épreuve
( ) ( . ) ( . )H t h t w r h t w r
x x
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Observables de LISA
3 1
2 1 1 3 21
2
( . ) ( . )
2(1 . )
H t w r H t w r LU
w n
1 3 1 1 23
2
( . ) ( . )
2(1 . )
H t w r H t w r LV
w n
L2
2n
+ permutations circulaires
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Approximation basse fréquence:
21 2 0( . )
2
LU H t w r
31 2 0( . )
2
LV H t w r
0r
: centre de massede LISA
Combinaison TDI « Michelson 1 »:
2 2 2 21 2 1 2 3 3 3 1 3 2 2(1 ) 1 (1 ) 1X D V D D V D U D D U
21 1 3 1 2(1 )X D V DV U DU
1 2 3L L L L
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Approximation basse fréquence:
21 3 0 2 0(1 ) ( . ) ( . )X L D H t w r H t w r
21 0 3 2 0 3 2(1 ) ( . )( ) ( . )( )X L D h t w r h t w r
x x x
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Source binaire
( ) sin( ) cosh t h t i x
21 cos( ) cos( )
2
ih t h t
+
0 11
0 1
cos[ ( . ) ] ( , )( ) sin( )
sin[ ( . ) ] ( , )
h t w r L FX t L L
h t w r L F
x x
1 3 2 1 3 2( , ) , ( , )F F x xx
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Repère barycentrique
Source fixe ( , , , )i
Vecteurs unitaires fonctions du temps (mouvement orbital)
1 2 3
sin 2 sin(2 2 / 3) 3 3 / 2 sin(2 2 / 3) 3 3 / 21 1 1
cos 2 3 , cos(2 2 / 3) 3 / 2 , cos(2 2 / 3) 3 / 24 4 4
2 3 sin 2 3 sin( 2 / 3) 2 3 sin( 2 / 3)
n n n
21an
t
T
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Fonctions directionnelles dépendant du temps:
1
1 3 cos [cos(4 2 ) 9cos 2 ]( , , )
16 6sin [cos(3 ) 3cos( )]F
x
21
2
6sin 2 3sin( ) sin(3 )1
( , , ) 18 3 sin sin 232
3(1 cos ) sin(4 2 ) 9sin 2
F
21an
t
T
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Fonctions directionnelles dépendant du temps:
Harmoniques 0,1,2,3,4
)4
4
(( , , ) exp( )( , )k
n
F ikz
Calculés explicitement
Calculés explicitement
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L’enveloppe du signal
1/ 22 2 2( ) ( ) ( ) ( )E t L h F h F x x
Permet déjà de trouver la direction de la sourceà une symétrie centrale (par rapport au Soleil) près
cos , sinh h h h x
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Exemples d’enveloppes
( 1, 1, 1) ( 1.2, 1.2, 1.2)
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Intégrale de corrélation:
2
0
( , ') ( , ) ( ', )C p p E p E p d
( , , ), ' ( ', ', ')p p
' 0, , ' , , ' / 2, / 2
Permet de trouver sin
' 0, , ' 0, , ' 0, / 2
En raison des symétries, il suffit de scanner
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Carte decorrélation
Ambigüité n°1:
Ambigüité n°2:
( , ) ou
( , )
ou
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1( ) exp cos( ) .
2S t h F ih F i t R c c x x
1( ) exp cos( )
2dS t h F ih F i R x x
h hx x
Signal:
Signal démodulé:/ 2
2 '
/ 2
( ) ( ') e 'G
G
G
t N fi f tG
d
t N f
fS t S t dt
N
( )exp 2 sin cos( ) exp[ ( ( ) ( '))]
( ')d
d
S ti R i t t
S t
1 ( )( ) tan
( )x xh F t
th F t
CalculablesAvec les données
' 6 moist t
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Le signe de est maintenant relié à celui de la direction hx
Les ambiguités sur la direction de la sourceet sur la direction de son moment angulaire sont réduites à une seule :
Opérateur de symétrie centrale :
: ( , , ) ( , , )R
L’amplitude complexe est invariante sous la transformation R.Pour lever la dégénérescence, il faut exploiter la modulation de phase.
Connu pour un couple donné ( , )
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Le signal en série de Fourier
1( ) exp exp cos( )
2dS t h F ih F i i R x x
Série de FourierConnue: harmoniques0 à 4
exp( ) ( sin )exp( )nn
n
i in J R in
01 1
1( ) e cos( ) sin( )
2i
d n nn n
S U U n V n
convolution
Indice de modul connu!
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Il suffit de 2 coefficients de Fourier pour lever complètement ladégénérescence directionnelle
Par exemple:0 0 0 1 1 1, U x iy U x iy
22
0 4 0
4 0
3 1 coscos 9sin ( 9 ) sin 2
16 2
3 sin ( 9 )cos cos 2
16
x J J
J J
0 3 1 3 1
3 3cos ( 3 )sin cos sin ( 3 )sin
8 8y J J J J
Etc…
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Sous la transformation R:
0 0 1 1, R U U R U U
Données empiriques:2 2
0 1
0 0
1 1( , , ) ( ) , ( , , ) ( ) cos
2 d dS S d S S d
Par ailleurs : 0 0 0 1 1 1
1 1e ( ), e ( )
2 2i iS x iy S x iy
0 1 01 10 0 1
1( )
4S S S S U U U U
données Change de signe sous R
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Avantages de cette stratégie:
1) La corrélation d’enveloppe dépend de 3 paramètres seulement
2) La levée des indéterminations est robuste (+,-) et redondante(plusieurs tests indépendants sont possibles)
Il faudrait tester ce genre d’algorithme en présence de bruit